Title: IMA1 (viikko 5)

Määritellään funktio \(f\) paloittain seuraavasti.

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f\) että \(f'\) ovat jatkuvia funktioita. Määritä sellainen kolmannen asteen polynomi \(p(x)\), että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_3=~\)

\(a_2=~\)

\(a_1=~\)

\(a_0=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \[ \qquad \begin{cases} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0 =f(1) \\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0= f(-1) \\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1=f'(1) \\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1= f'(-1) \end{cases}, \] jonka ratkaisuna saadaan \[ \qquad \begin{cases} a_3 = [value] \\ a_2 = [value] \\ a_1 = [value] \\ a_0 = [value] \end{cases} \]