Title: Matriisi lineaarikuvauksena

\(2\times 2\) matrix \(\mathrm{M}\) satisfies the following conditions: \begin{eqnarray} \mathrm{M}\left[\begin{smallmatrix}[value]\\1\end{smallmatrix}\right]&=& \left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right]\\ \\ \mathrm{M}\left[\begin{smallmatrix}1\\[value]\end{smallmatrix}\right] &=&\left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right] \end{eqnarray} Determine \(\mathrm{M} \left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right]\). \(2\times 2\) matriisi \(\mathrm{M}\) toteuttaa seuraavat ehdot: \begin{eqnarray} \mathrm{M}\left[\begin{smallmatrix}[value]\\1\end{smallmatrix}\right]&=& \left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right]\\ \\ \mathrm{M}\left[\begin{smallmatrix}1\\[value]\end{smallmatrix}\right] &=&\left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right] \end{eqnarray} Määritä \(\mathrm{M} \left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right]\).

\(\mathrm{M} \left[\begin{smallmatrix}[value]\\[value]\end{smallmatrix}\right] =\) |
Feedback: The idea of the solution symbolically: Let \(\mathrm{M}{\bf u}={\bf a}, \ \mathrm{M}{\bf v}={\bf b}\) be the values given in the exercise. Method 1 Vectors \({\bf u}, {\bf v}\) form a basis so \([1,1]^T = c_1 {\bf u}+c_2{\bf v}\) holds for some \(c_1,c_2\). Based on linearity, \(\mathrm{M}[1,1]^T=c_1\mathrm{M}{\bf u}+c_2\mathrm{M}{\bf v}=c_1{\bf a}+c_2{\bf b}\). Method 2 Form the matrices \( \mathrm{A}=[ \mathbf{u} \ \vert \ \mathbf{v} ] \) and \( \mathrm{B}=[ \mathbf{a} \ \vert \ \mathbf{b} ] \). Now \[ \begin{eqnarray} \mathrm{M}\mathbf{u} = \mathbf{a} \ &\land & \ \mathrm{M}\mathbf{v} = \mathbf{b} \\ \Longleftrightarrow \mathrm{M}\mathrm{A} & = & \mathrm{B} \end{eqnarray} \] Vectors \( \mathbf{u} \) and \( \mathbf{v} \) are linearly independent so matrix \( \mathrm{A} \) is invertible. Now we may compute \( \mathrm{A}^{-1} \) and solve \[ \begin{eqnarray} \mathrm{M}\mathrm{A} & = & \mathrm{B} \\ \mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{A}^{-1} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} \\ \mathrm{M}\mathrm{I} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} \\ \mathrm{M} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} . \end{eqnarray} \] After solving \( \mathrm{M} \) we may compute \[ \mathrm{M}[value] = \ldots .\] Method 3 Let \(\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}\). Compute the two products in the matrix equations to end up with a system of 4 equations for four variables \(a,b,c,d\). This system can be solved using Gaussian elimination of other methods. Finally we may compute \(\mathrm{M}[1,1]^T\). Malliratkaisun idea symbolisesti: Tehtävässä annettu ehdot \(\mathrm{M}{\bf u}={\bf a}, \ \mathrm{M}{\bf v}={\bf b}\). Tapa 1 Vektorit \({\bf u}, {\bf v}\) muodostavat kannan, joten \([1,1]^T = c_1 {\bf u}+c_2{\bf v}\) sopivilla kertoimilla \(c_1,c_2\). Lineaarisuuden nojalla \(\mathrm{M}[1,1]^T=c_1\mathrm{M}{\bf u}+c_2\mathrm{M}{\bf v}=c_1{\bf a}+c_2{\bf b}\), joka voidaan laskea tehtävässä annetuilla tiedoilla. Tapa 2 Muodostetaan vektoreista \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) matriisi \( \mathrm{A}=[ \mathbf{u} \ \vert \ \mathbf{v} ] \) ja vektoreista vektoreista \( \mathbf{a} \) ja \( \mathbf{b} \) matriisi \( \mathrm{B}=[ \mathbf{a} \ \vert \ \mathbf{b} ] \). Nyt \[ \begin{eqnarray} \mathrm{M}\mathbf{u} = \mathbf{a} \ &\land & \ \mathrm{M}\mathbf{v} = \mathbf{b} \\ \Longleftrightarrow \mathrm{M}\mathrm{A} & = & \mathrm{B} \end{eqnarray} \] Vektorit \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) ovat lineaarisesti riippumattomat, joten matriisi \( \mathrm{A} \) on kääntyvä. Voimme siis laskea \( \mathrm{A}^{-1} \):sen ja ratkaista \[ \begin{eqnarray} \mathrm{M}\mathrm{A} & = & \mathrm{B} \\ \mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{A}^{-1} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} \\ \mathrm{M}\mathrm{I} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} \\ \mathrm{M} & = & \mathrm{B}\mathrm{A}^{-1} \end{eqnarray} \] Kun olemme ratkaisseet \( \mathrm{M} \):n voimme laskea \[ \mathrm{M}[value] = \ldots \] Tapa 3 Olkoon \(\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}\). Kirjoitetaan annetut kaksi vektoriyhtälöä auki, jolloin tuloksena on yhtälöryhmä tuntemattomille \(a,b,c,d\). Se ratkaistaan tavalliseen tapaan Gaussin eliminointimenetelmällä, jolloin saadaan selville matriisi \(\mathrm{M}\). Lopuksi lasketaan kysytty \(\mathrm{M}[1,1]^T\).

Siirrä vektoria \(r=\)[value] vektorin \(x=\)[value] verran ja kierrä [value]\(^\circ\) \(z\)-akselin suhteen.

a) | Mikä on siirron jälkeinen vektori? |
 | \(r_s=\) | &nbsp |
b) | Mikä on lopullinen vektori? |
 | \(r_l=\) | &nbsp |
Feedback: Mallivastaus: a) Muodostetaan laajennetut vektorit siirtoa ja kiertoa varten, jolloin saadaan \( r_{laaja} = [value]\) ja \( x_{laaja} = [value].\) Siirtomatriisiksi saadaan nyt \(T= \) [value] ja siirretyksi laajaksi vektoriksi saadaan \( r_{s,laaja}=T\cdot r_{laaja} = \) [value]\(\cdot\)[value]=[value]. Siirretty vektori on siis \(r_s=\) [value]. b) Vektoria \(r_s\) kierretään [value]\(^\circ\) \(z\)-akselin suhteen, jolloin rotaatiomatriisiksi saadaan \(R=\) [value]=[value]. Laaja kierretty vektori \(r_{l,laaja}\) on \( r_{l,laaja} = R\cdot T\cdot r_{laaja} = R\cdot r_{s,laaja}=\) [value]\(\cdot\)[value]=[value] ja lopullinen vektori on siis \(r_l= \) [value].

Eräs matriisi \(B\) määrää lineaarikuvauksen \(L_B : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R^3}\), jolla

\((x_1,x_2) \mapsto ([value], [value], [value]).\)

Mikä matriisi \(B\) on?

Vastaus:
Feedback: Ratkaisuehdotus: Oletetaan, että \((x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\). Kun tulkitaan vektorit matriiseiksi, saadaan vektorin \((x_1, x_2)\) kuvavektoriksi \(L([value]) = [value] = [value] [value] \). Siten lineaarikuvaus \(L\) on matriisin \([value]\) määräämä lineaarikuvaus.