Title: Funktion kulku ja integrointi

Integroi funktio. Anna tulos ilman integroimisvakiota.

(a)\(\int [value]\,dx=\)

(b)\(\int [value]\,dx=\)
Feedback: Mallivastaus: (a)\(\int [value]\,dx=\frac{1}{[value]}\int[value]\cdot[value]\,dx=[value]\) (b)\(\int [value]\,dx=\frac{1}{[value]}\int[value]\cdot[value]\,dx=[value]\)

Laske funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio. Syötä vastaus ilman integroimisvakiota.

\( \int([value]) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}\int[value] \, dx & = & \int[value]\, dx& = & [value].\end{eqnarray*} \)

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio. Ilmoita integraalifunktio ilman integroimisvakiota.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Determine the following integral functions: Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

Muista integroimisvakio!

For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)

Compute the following integrals: Laske seuraavat integraalit:

(a)\[\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x \] (b)\[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x \] (c)\[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x \]

Give your answers in exact form! The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2). Anna vastaukset tarkkoina arvoina! Neliöjuuri a merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e, esim. 2*e.

(a) | \(\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}([value]x^2-[value]\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}+[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]^{3/2}+[value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]^2+[value]\cdot [value]^{3/2}-[value]\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*} (b) \[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]}2\sin(\frac{x}{2})=2\sin([value])-2\sin(0)=2\sin([value])=[value]. \] (c) \[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} [value]=[value]. \]

Calculate the following integrals. Give your answers in exact form. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2).

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right) \\ & = & [value] - \left([value]\right) \\ & = & [value] \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = & -[value]\cdot \cos([value]) - \left(-[value]\cdot \cos([value])\right) \\ & = & [value] \end{array}\]

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio. Ilmoita integraalifunktio ilman integroimisvakiota.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \)

Laske määrätty integraali \( \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \, dx.\) Anna vastaus tarkkana arvona!

\( \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{eqnarray*}\int_[value]^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\)

Laske määrätty integraali \( \int_{0}^[value] [value] \, dx.\)

Esimerkiksi luku \( 2e^3-5 \) kirjoitetaan vastaukseen 2*e^3-5.

\( \int_{0}^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{eqnarray*} \int_{0}^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{0}}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\)

Determine the following integral functions. For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e.Määrää seuraavat integraalifunktiot. Luvun \(a\) luonnollinen logaritmi merkitään muodossa ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmi kantaluku \(\mathrm{e}\) merkitään muuttujalla e, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(c) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, we apply the integration rule for composite functions: Funktiot saadaan integroitua soveltamalla yhdistetyn funktion integrointikaavaa: \[ \int g'(x)\cdot f'(g(x)) \mathrm{d}x = f(g(x)) + C\] (a) \[ \int \cos([value]+[value]) \mathrm{d}x =[value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\cos(\overbrace{[value]+[value]}^{g(x)})}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (b) \[ \int \mathrm{e}^{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\mathrm{e}^{\overbrace{[value]}^{g(x)}}}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (c) \[ \int \frac[value]{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace[value]_{g'(x)} \overbrace{(\underbrace{[value]}_{g(x)})^{-1}}^{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\]

Determine the following integral functions. For the constant of integration, you can use the letter C, for example.Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x \]

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Determine the following integral functions: Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(c) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Mallivastaus: To calculate the integrals, you may apply the following formula, for example: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Calculate the integrals Laske integraalit

\[\text{(a) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] \[\text{(b) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\]

(Hint: What does \(D(\ln(\cos(x))\) simplify to?)(Vihje: Mitä \(D(\ln(\cos(x))\) on?)

Provide your answer in exact form. For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2).Anna vastauksesi tarkkoina arvoina. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantalukua merkitään e, esim. 2*e. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

Answers: Vastaukset:

(a) |  |
(b) |  |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} |[value]-x| \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} ([value]-x) \, \mathrm{d}x+\int_{[value]}^{[value]} (x-[value]) \, \mathrm{d}x \\ & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} ([value]x-\frac{1}{2}x^2)+\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} (\frac{1}{2}x^2-[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+\frac{1}{2}\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+[value]^2 \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} (b) \[D\left(\ln\left(\cos(x)\right)\right)=\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).\] \[\int_{0}^{[value]} \tan(x) \, \mathrm{d}x = \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} -\ln\left(\cos(x)\right)=-\ln\left(\cos\left([value]\right)\right)-\left[-\ln\left(\cos(0)\right)\right] = [value].\]

Laske määrätty integraali \( \int_[value]^[value] [value] \, dx.\)

Mieti ensin, milloin itseisarvojen sisällä oleva funktio on positiivinen ja milloin negatiivinen. Jos negatiivisia arvoja osuu integrointirajojen sisälle, pitää integrointi tehdä paloissa. Kun funktio on negatiivinen, tulee integroitavan funktion eteen miinus. Tässä tehtävässä on oltava erityisen tarkkana merkkivirheiden kanssa.

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.

\( \int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: Katsotaan ensin, milloin itseisarvomerkkien sisällä oleva funktio saa negatiivisia arvoja, eli tarkastellaan epäyhtälöä \( x+x^2<0 \). Tarkistetaan ensin funktion \( f(x)=x+x^2 \) nollakohdat: \( x+x^2=x(1+x)=0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ x=0 \ \ \text{tai} \ \ x=-1 \). Koska funktion \( f(x) \) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, funktio saa negatiivisia arvoja, kun \( -1<x<0 \). Nyt voidaan kirjoittaa määrätty integraali uuteen muotoon: \( \int_[value]^[value] [value] \, dx \\ = [value]\cdot \left( \int_[value]^{-1} (x+x^2)\, dx+\int_{-1}^{0} (-x-x^2) \, dx+\int_{0}^[value] (x+x^2) \, dx \right) \\ = [value]\cdot \left( \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,{-1}} \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{-1}}^{\>\,{0}} -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3+ \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{0}}^{\>\,[value]} \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 \right) \\ = [value]\left( [value]+[value]+[value] \right) \\ = [value]. \)

Laske määrätty integraali \( \int_[value]^[value] ([value]) \, dx.\)

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.

\( \int_[value]^[value] ([value]) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] ([value]) \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske määrätty integraali \( \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \, dx.\)

Anna vastaus tarkkana arvona. Luku \( e\) kirjoitetaan vastaukseen e. Esimerkiksi luku \( \frac{1}{2}(e^3-1) \) kirjoitetaan 1/2*(e^3-1)

\( \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Funktio \( f(x) = [value] \).

Laske määrätty integraali \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.\)

Sievennä ensin integroitavaa funktiota yksinkertaisemmaksi. Muokkaa sen jälkeen funktiota trigonometristen funktioiden muunnoskaavoilla helpommin integroitavaksi. (Vihje: \( \cos(x)^2=(1+\cos2x)/2 \))

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna. Merkitse lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi.

\( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: Tiedetään, että \( \cos(x)^2+\sin(x)^2=1 \) ja toisaalta \( \cos(x)^2-\sin(x)^2=\cos2x \), joten \( \cos(x)^2=(1+\cos2x)/2 \). Näillä tiedoillla integraali saadaan muokattua helpompaan muotoon: \( \begin{eqnarray*} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \sqrt{[value]\cdot (1-(1-\cos(x)^2))} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value] \cdot \cos(x) \cdot [value]\cdot \sqrt{\cos(x)^2} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \cos(x) \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)^2 \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot(1+\cos(2x))/2 \\ & = & [value] \cdot \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{-\pi/2}}^{\>\,{\pi/2}} (x+\frac{1}{2}\sin(2x)) \\ & = & [value]\cdot \left( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0-(\frac{-\pi}{2}+\frac{1}{2} \cdot 0) \right)=[value]. \end{eqnarray*} \)

Laske funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio. Syötä vastaus ilman integroimisvakiota.

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.

\( \int([value]) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}\int[value] \, dx & = & \int[value]\, dx& = & [value].\end{eqnarray*} \)

Calculate the following integrals. Give your answers in exact form. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2).

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |

Laske seuraavat integraalit:

(a)\[\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x \] (b)\[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x \] (c)\[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x \]

Anna vastaukset tarkkoina arvoina! Neliöjuuri a merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e, esim. 2*e.

(a) | \(\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}([value]x^2-[value]\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}+[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]^{3/2}+[value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]^2+[value]\cdot [value]^{3/2}-[value]\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*} (b) \[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]}2\sin(\frac{x}{2})=2\sin([value])-2\sin(0)=2\sin([value])=[value]. \] (c) \[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} [value]=[value]. \]

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio (ilman integrointivakiota).

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: Käytetään potenssifunktion integrointikaavaa \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \). \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+ \text{ integroimisvakio } C) \).

Determine the following integral functions: Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(c) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

Muista integroimisvakio!

For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)

Funktio \( f(x) = [value] \).

Laske määrätty integraali \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.\)

Sievennä ensin integroitavaa funktiota yksinkertaisemmaksi. Muokkaa sen jälkeen funktiota trigonometristen funktioiden muunnoskaavoilla helpommin integroitavaksi. (Vihje: \( \cos(x)^2=(1+\cos2x)/2 \))

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna. Merkitse lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi.

\( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx= \)
Feedback: Tiedetään, että \( \cos(x)^2+\sin(x)^2=1 \) ja toisaalta \( \cos(x)^2-\sin(x)^2=\cos2x \), joten \( \cos(x)^2=(1+\cos2x)/2 \). Näillä tiedoillla integraali saadaan muokattua helpompaan muotoon: \( \begin{eqnarray*} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \sqrt{[value]\cdot (1-(1-\cos(x)^2))} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value] \cdot \cos(x) \cdot [value]\cdot \sqrt{\cos(x)^2} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \cos(x) \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)^2 \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot(1+\cos(2x))/2 \\ & = & [value] \cdot \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{-\pi/2}}^{\>\,{\pi/2}} (x+\frac{1}{2}\sin(2x)) \\ & = & [value]\cdot \left( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0-(\frac{-\pi}{2}+\frac{1}{2} \cdot 0) \right)=[value]. \end{eqnarray*} \)

Laske funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio (ilman integrointivakiota).

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: Käytetään potenssifunktion integrointikaavaa \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \). \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+\, \text{integroimisvakio } C) \).

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) jokin integraalifunktio.

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)