Title: IMP Matlab (viikko 6)

Yllä olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:

- Miksi derivointikomentoa ei ole kirjoitettu kahteen kertaan, vaikka lasketaan toinen derivaatta? Toimiiko sama integrointikomennon kanssa?
- Yhtälönratkaisukomennon solve ensimmäinen parametri ei ole tässä yhtälö, vaan ratkaistaan nimenomaan nollakohtia. Voiko sen syötteeksi kuitenkin laittaa kokonaisen yhtälön yhtäsuuruusmerkkeineen?
- Mitä komennon fplot jälkimmäinen parametri tekee? Muistatko vielä, millä erillisellä komennolla pystyy tekemään saman? Entä voiko komentoon fplot laittaa vastaavia piirtovärin ja -viivan valintaparametreja kuin komentoon plot

Q: Matlab-tehtävä

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x

int(1+x^3-x^5,x)

int(sin(x)/x,x)

int(1/log(x),x)

int(exp(x)/x,x)

int(exp(-x^2)*log(x)^2,x)

int(exp(-x^2)*log(x)^2,x,0,5)

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

integral(f,0,5)


Matlabin Symbolic Math Toolboxin integrointikomento int laskee sekä integraalifunktioita että määrätyn integraalin arvoja. Joidenkin funktioiden, kuten ns. sinc-funktion \( \frac{\sin{x}}{x}\), ja funktioiden \( \frac{1}{\ln{x}}\) ja \( \frac{e^{x}}{x}\) integraalit eivät ole esitettävissä äärellisen monen alkeisfunktion avulla, mutta ne esiintyvät tietyissä yhteyksissä niin usein, että integraaleille on annettu Matlabissa omat nimensä.

Eräs esimerkki funktiosta, jonka integraalia komennolla int ei laskea tarkasti, on \( e^{-x^2}\left(\ln{x}\right)^2\). Määrättyä integraalia tälle funktiolle voi approksimoida käyttämällä perus-Matlabin numeerista integrointikomentoa integral, jota varten integroitava funktio täytyy esitellä käyttäen Matlabin funktiokahvaa f=@(muuttujanimi)lauseke.

Kysymys: Millä nimellä esiintyvät seuraavien funktioiden integraalifunktiot Matlabissa?

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x); ei(x)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x); lni(x); logint(x)
Gap 3 offers: exint(x); ei(x); expint(x)

Q: Matlab-tehtävä

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään ja piirretään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) kuvaajan käännepisteet. Näissä pisteissä kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Komentoikkunassa käännepisteet näkyvät vektorin \(\mathtt{p}\) alkioina.

Kysymys: Mikä seuraavista ei ole funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx -0.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1 \approx 2.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)

Yllä olevan kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:

- Mitä funktiolle \(k\) tehdään, kun sen avulla määritetään \(f\)? Onko funktion \(k\) käyttö ollut oleellista tämän tehtävän kysymyksen tai kuvan kannalta?
- Mitä täsmälleen komennolla solve on ratkaistu komentosarjassa? Näkyykö ratkaisu jotenkin kuvassa?
- Miten tässä tehtävässä suoritettavaan lasketaan vaikuttaa se, että komennon syms lisäparametrina on real? Muuttuisiko laskennassa tai kuvassa jotain, jos tätä lisäparametria ei käytetä?
- Saatko funktion \(f\) lausekkeen näkymään komentoikkunassa? Entä likiarvon tai likiarvot luvu(i)sta, jo(t)ka on talletettu muuttujaan t? Vihje: Miten komento double liittyy likiarvoihin?

Q: Matlab-tehtävä

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x real

k = exp(sin(x));

f = diff(k,x)

g = diff(f,x);

t = solve(g,x);

X = -2:.06:5;

F = subs(f,x,X);

T = subs(f,x,t);

plot(X, F, t, T,'r*')

grid on


Komennot piirtävät erään funktion \(f\) kuvaajan. Alle on listattuna likiarvot viidelle pisteelle. Niiden joukossa ovat funktion \(f\) kriittisten pisteiden likiarvot. Kaikki listatut eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on.

Kysymys: Mikä seuraavista on maksimipiste?

Huom. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit. Voit tarvittaessa myös suurentaa kuvaikkunaa
- \( x=0 \)
- \( x \approx 2,48 \)
- \( x \approx -1,57 \)
- \( x \approx 1,57\)
- \( x \approx 0,67 \)
A: \( x \approx 0,67 \)

Q: Matlab-tehtävä

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x y

f1=sqrt(x^2+y^2);

figure(1)

fsurf(f1,[-1 1 -1 1])

axis([-1 1 -1 1 0 1])

title('$f_1(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$','Interpreter','latex')

f2=sqrt(1-(x^2+y^2));

figure(2)

fsurf(f2,[-1 1 -1 1])

axis equal

title('$f_2(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$','Interpreter','latex')

f3(x,y)=sqrt(1-y^2);

figure(3)

fsurf(f3,[-1 1 -1 1])

axis equal

title('$f_3(x,y)=\sqrt{1-y^2}$','Interpreter','latex')


Tämä koodi avaa kolme kuvaikkunaa. Jos kopioit tekstin ohjeen mukaisesti komentoikkunaan (etkä esim. Live Editoriin), ikkunat voivat olla toistensa päällä. Saatat joutua siirtelemään ikkunoita, jotta näet kaikki kuvat.

Jokaisessa kuvassa on otsikkona lauseke sille kahden muuttujan funktiolle, joka kuvassa on esitettynä.

Kysymys: Mikä sana kuvaa parhaiten funktion kuvaajapintaa seuraaville kahden muuttujan funktioille?

\( \displaystyle{f_1(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}} \quad \ \ \, \ \)[...]

\( \displaystyle{f_2(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}} \ \)[...]

\( \displaystyle{f_3(x,y)=\sqrt{1-y^2}} \qquad \; \ \)[...]
A: kartio; puolipallo; lieriön puolikas
Gap 1 offers: pallo; puolipallo; lieriö; lieriön puolikas; kartio; kartion puolikas
Gap 2 offers: pallo; puolipallo; lieriö; lieriön puolikas; kartio; kartion puolikas
Gap 3 offers: pallo; puolipallo; lieriö; lieriön puolikas; kartio; kartion puolikas

Yllä olevan kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:

- Komennolla title tuotetaan kuvien otsikot. Jos otsikko ei sisällä matemaattisia merkkejä, mitä parametreja tarvitset komentoon?
- Mitä tapahtuu, jos komennon axis equal jättää pois koodista?
- Miksi ensimmäisen funktion kuvan kohdalla ei käytetä komentoa axis equal, vaan axis([-1 1 -1 1 0 1])?
- Funktio f3 on tehty käyttäen funktiorakennetta eli f3(x,y)=sqrt(1-y^2). Mitä koodin tulosteessa muuttuu, jos kirjoitetaankin vain f3=sqrt(1-y^2)niinkuin kahden muun funktion kohdalla?
- Entä mitä muutosta vastaavasti tapahtuisi silloin, jos funktion f3 lausekkeesssa olisikin muuttujan y paikalla muuttuja x? Yritä päätellä, miten Matlab ymmärtää lausekkeen, kun funktiorakenne ei ole käytössä.
- Piirrä kuvaaja muutamalle keksimällesi funktiolle, jotka syötät funktiorakenteella, mutta lauseke sisältää vain yhden muuttujan. Onko pinnoilla jotain yhteistä? Miten "puuttuva" muuttuja ilmentyy kuvaajissa?

Yllä olevan kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:

- Millä tulosteella Matlab ilmoittaa, että se ei osaa laskea?
- Mikä on koodissa esiintyvien kahden määrätyn integraalin integrointiväli?
- Funktiokahvassa esiintyy kertomerkkien ja potenssiinkorotusmerkkien edessä pisteitä, jotka viittaavat vektorilaskentaan, joka suoritetaan kyseisen operaation yhteydessä "pisteittäin" eli vektorin alkio kerrallaan. Tässä koodissa ei näytä olevan vektoreita käytössä, mutta käytetäänkö niitä jonkin komennon sisällä? Onko pisteiden käyttö välttämätöntä funktiokahvaa määritellessä? Entä onko niiden käyttö välttämätöntä komennon integral käytön yhteydessä?
- Toimiiko komento int funktiokahvan avulla esitetyllä funktiolla vai onko esitys jätetty tarkoituksellisesti pois sen komennon yhteydestä? Entä pystyykö pisteitä sisältävää funktion esitystä käyttämään jossakin muussa symbolisen laskennan komennossa, kuten diff tai limit?
- Tulisiko mieleesi jokin muu laskutoimitus kuin kertominen tai potenssiinkorotus, joka saattaisi vaatia pisteen eteensä komennon integral käytön yhteydessä? Jos et muista tai ole koskaan kuullutkaan, millä tavalla vektorien laskutoimitukset eroavat yksittäisten lukujen laskutoimituksista, ei huolta, voit myös kokeilla tuntemiasi yksinkertaisia laskutoimituksia, jos jonkun komennon toiminnassa näkyisi eroa pisteen kanssa tai ilman.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x

int(1+x^3-x^5,x)

int(sin(x)/x,x)

int(1/log(x),x)

int(exp(x)/x,x)

int(exp(-x^2)*log(x)^2,x)

int(exp(-x^2)*log(x)^2,x,0,5)

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

integral(f,0,5)


Matlabin Symbolic Math Toolboxin integrointikomento int laskee sekä integraalifunktioita että määrätyn integraalin arvoja. Joidenkin funktioiden, kuten ns. sinc-funktion \( \frac{\sin{x}}{x}\), ja funktioiden \( \frac{1}{\ln{x}}\) ja \( \frac{e^{x}}{x}\) integraalit eivät ole esitettävissä äärellisen monen alkeisfunktion avulla, mutta ne esiintyvät tietyissä yhteyksissä niin usein, että integraaleille on annettu Matlabissa omat nimensä.

Eräs esimerkki funktiosta, jonka integraalia komennolla int ei laskea tarkasti, on \( e^{-x^2}\left(\ln{x}\right)^2\). Määrättyä integraalia tälle funktiolle voi approksimoida käyttämällä perus-Matlabin numeerista integrointikomentoa integral, jota varten integroitava funktio täytyy esitellä käyttäen Matlabin funktiokahvaa f=@(muuttujanimi)lauseke.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Millä tulosteella Matlab ilmoittaa, että se ei osaa laskea?
- Mikä on koodissa esiintyvien kahden määrätyn integraalin integrointiväli?
- Funktiokahvassa esiintyy kertomerkkien ja potenssiinkorotusmerkkien edessä pisteitä, jotka viittaavat vektorilaskentaan, joka suoritetaan kyseisen operaation yhteydessä "pisteittäin" eli vektorin alkio kerrallaan. Tässä koodissa ei näytä olevan vektoreita käytössä, mutta käytetäänkö niitä jonkin komennon sisällä? Onko pisteiden käyttö välttämätöntä funktiokahvaa määritellessä? Entä onko niiden käyttö välttämätöntä komennon integral käytön yhteydessä?
- Toimiiko komento int funktiokahvan avulla esitetyllä funktiolla vai onko esitys jätetty tarkoituksellisesti pois sen komennon yhteydestä? Entä pystyykö pisteitä sisältävää funktion esitystä käyttämään jossakin muussa symbolisen laskennan komennossa, kuten diff tai limit?
- Tulisiko mieleesi jokin muu laskutoimitus kuin kertominen tai potenssiinkorotus, joka saattaisi vaatia pisteen eteensä komennon integral käytön yhteydessä? Jos et muista tai ole koskaan kuullutkaan, millä tavalla vektorien laskutoimitukset eroavat yksittäisten lukujen laskutoimituksista, ei huolta, voit myös kokeilla tuntemiasi yksinkertaisia laskutoimituksia, jos jonkun komennon toiminnassa näkyisi eroa pisteen kanssa tai ilman.

Kysymys: Millä nimellä esiintyvät seuraavien funktioiden integraalifunktiot Matlabissa?

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x); ei(x)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x); lni(x); logint(x)
Gap 3 offers: exint(x); ei(x); expint(x)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x real

k = exp(sin(x));

f = diff(k,x)

g = diff(f,x);

t = solve(g,x);

X = -2:.06:5;

F = subs(f,x,X);

T = subs(f,x,t);

plot(X, F, t, T,'r*')

grid on


Komennot piirtävät erään funktion \(f\) kuvaajan. Alle on listattuna likiarvot viidelle pisteelle. Niiden joukossa ovat funktion \(f\) kriittisten pisteiden likiarvot. Kaikki listatut eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Mitä funktiolle \(k\) tehdään, kun sen avulla määritetään \(f\)? Onko funktion \(k\) käyttö ollut oleellista tämän tehtävän kysymyksen tai kuvan kannalta?
- Mitä täsmälleen komennolla solve on ratkaistu komentosarjassa? Näkyykö ratkaisu jotenkin kuvassa?
- Miten tässä tehtävässä suoritettavaan lasketaan vaikuttaa se, että komennon syms lisäparametrina on real? Muuttuisiko laskennassa tai kuvassa jotain, jos tätä lisäparametria ei käytetä?
- Saatko funktion \(f\) lausekkeen näkymään komentoikkunassa? Entä likiarvon tai likiarvot luvu(i)sta, jo(t)ka on talletettu muuttujaan t? Vihje: Miten komento double liittyy likiarvoihin?

Kysymys: Mikä seuraavista on maksimipiste?

Huom. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit. Voit tarvittaessa myös suurentaa kuvaikkunaa
- \( x=0 \)
- \( x \approx 2,48 \)
- \( x \approx -1,57 \)
- \( x \approx 1,57\)
- \( x \approx 0,67 \)
A: \( x \approx 0,67 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään ja piirretään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) kuvaajan käännepisteet. Näissä pisteissä kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Komentoikkunassa käännepisteet näkyvät vektorin \(\mathtt{p}\) alkioina.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Miksi derivointikomentoa ei ole kirjoitettu kahteen kertaan, vaikka lasketaan toinen derivaatta? Toimiiko sama integrointikomennon kanssa?
- Yhtälönratkaisukomennon solve ensimmäinen parametri ei ole tässä yhtälö, vaan ratkaistaan nimenomaan nollakohtia. Voiko sen syötteeksi kuitenkin laittaa kokonaisen yhtälön yhtäsuuruusmerkkeineen?
- Mitä komennon fplot jälkimmäinen parametri tekee? Muistatko vielä, millä erillisellä komennolla pystyy tekemään saman? Entä voiko komentoon fplot laittaa vastaavia piirtovärin ja -viivan valintaparametreja kuin komentoon plot

Kysymys: Mikä seuraavista ei ole funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx -0.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1 \approx 2.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)