Title: IMA1 (viikko 5) muut

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Määritellään tämän muuttujan avulla \(x=2n+1\).
Tällöin \(x\) esittää mitä tahansa paritonta kokonaislukua.
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Järjestä numeroimalla osajoukkotodistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{N} : x \text{ on parillinen}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{N} : x = 6s+10t, \text{ missä } s,t\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{Z} : x=4k+1 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{Z} : x = 4k-3 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja. Todista, että \(A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Todistus.

Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=2k\) jollekin \(k\in \mathbb{Z}\).
Luku \(2\) on parillinen ja voidaan kirjoittaa \(2=6\cdot 2+10(-1)\).
Tässä esityksessä \(s=2\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-1\in \mathbb{Z}\), joten \(2\in B\).
Sijoitetaan luvun \(2\) esitys yhtälöön \(x=2k\).
Tällöin \(x=2k = \big( 6\cdot 2+10(-1)\big) k = 6\cdot 2k+10(-k)\).
Tässä esityksessä \(s=2k\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-k\in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=4m+1\) jollekin \(m\in \mathbb{Z}\).
Olkoon \(n=m+1\).
Tällöin \(m=n-1\).
Sijoitetaan \(m=n-1\) yhtälöön \(x=4m+1\).
Tällöin \(x=4m+1 = 4(n-1)+1 = 4m-4+1 = 4n-3\).
Siis \(x = 4n-3\) luvulle \(n=m+1 \in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\cup (B\cap C)\).
Tällöin \(x\in A\) tai \(x\in B\cap C\) yhdisteen määritelmän mukaan.
Tapauksessa \(x \in A\) yhdisteen määritelmän mukaan \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Tapauksessa \(x \in B\cap C\) leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in B\) ja \(x\in C\).
Edelleen, koska \(x\in B\) ja \(x\in C\), niin \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Molemmissa tapauksissa \(x \in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Näin ollen leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-10 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan vain itsellään ja ykkösellä. Muut luvut eli yhdistetyt luvut voidaan esittää alkulukujen tuloina.

Väite: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väitteen oletusosa: Tämä väite ei sisällä varsinaista oletusosaa.

Väitteen johtopäätösosa: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väite: Jos \(a\) on irrationaaliluku eli \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), niin \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen oletusosa: \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen johtopäätösosa: \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väite: Jos\(0a^2\).

Väitteen oletusosa: \(0

Väitteen johtopäätösosa: \(a>a^2\)

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta sivujanasta ja kolmesta kulmasta, jotka ovat kaikki suurempia kuin nollakulma.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Väitteen oletusosa: Tarkasteltava kuvio on kolmio.

Väitteen johtopäätösosa: Tarkasteltavalla kuviolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus.

Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa suurin alkuluku.
Merkitään suurinta alkulukua kirjaimella \(n\).
Jatkossa \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n\) tarkoittaa kaikkien alkulukujen tuloa.
Merkitään lisäksi \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1\).
Jos lukua \(m\) jaetaan millä tahansa alkuluvulla \(2,3,5,7,\ldots,n\), saadaan jakojäännökseksi 1.
Siis luvulla \(m\) ei ole alkulukutekijöitä.
Näin ollen \(m\) on alkuluku, jolloin oletuksen mukaan \(m\leq n\).
Kuitenkin \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1>n\), mikä on ristiriita.
Koska väitteen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska väitteen negaatio on epätosi, väite on tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\).
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(\frac{3a+1}{2a−3}\in \mathbb{Q}\).
Tällöin voi merkitä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\), missä \(m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). Huom. Myös \(m\neq 0\) tai muuten \(a\in \mathbb{Q}\).
Lisäksi voidaan olettaa, että \(\frac{m}{n}\) on supistettu muoto eli lukujen \(m\) ja \(n\) suurin yhteinen tekijä on 1.
Esityksestä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\) saadaan ristiin kertomalla \(3n\cdot a+n=2m\cdot a−3m\).
Jos \(3n=2m\) (eli \(n=\frac{2}{3}m\)), niin edellisestä yhtälöstä voidaan päätellä, että \(n=−3m\).
Siis \(\frac{2}{3}m=−3m\), joka on mahdollista vain kun \(m=0\), mikä on ristiriita.
Jos taas \(3n\neq 2m\), saadaan samasta yhtälöstä ratkaistua \(a=\frac{−3m−n}{3n−2m}\in \mathbb{Q}\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti molemmissa tapauksissa ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\) siten, että \(0
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(a\leq a^2\).
Koska \(a\leq a^2\), niin \(a−a^2\leq 0\).
Siis \(a(1−a)=a−a^2\leq 0\).
Koska oletuksen mukaan \(a<1\), niin \(1−a>0\).
Samanaikaisesti pätee siis \(a(1−a)\leq 0\) ja \(1−a>0\).
Tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että \(a\leq 0\).
Oletuksen mukaan \(a>0\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(ABC\) kolmio.
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että kolmiolla \(ABC\) on vähintään kaksi suoraa kulmaa.
Merkitään kolmion \(ABC\) kulmia kirjaimilla \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\).
Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia merkitsevät ainakin \(\alpha\) ja \(\beta\).
Koska kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat suoria kulmia, niiden suuruus on \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) (radiaania).
Tiedetään, että kolmion kulmien summa on \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) (radiaania).
Nyt siis pätee \(\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma =\pi+\gamma =\pi \).
Näin ollen kulman \(\gamma\) suuruus on \(\gamma=0\), joka on ristiriidassa sen kanssa, että \(ABC\) on kolmio.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.

Oletetaan, että \(a,b\) ja \(c\) ovat kokonaislukuja.

a) Luku \(n=[value]a^2+[value]a+1\) on pariton, koska

se voidaan esittää muodossa \(n=2(\) \()+1\), missä on kokonaisluku.

b) Luku \(m=[value]a+[value]b^2-[value]c\) on parillinen, koska

se voidaan esittää muodossa \(m=2(\) \()\), missä on kokonaisluku.

c) Luku \(p=[value]a^2+3b+9c\) on jaollinen kolmella, koska

se voidaan esittää muodossa \(p=3(\) \()\), missä  on kokonaisluku.
Feedback: a) Luku \(n = [value]a^2+[value]a+1\) on pariton, koska se voidaan esittää muodossa \(n=2([value]a^2+[value]a)+1\), missä \([value]a^2+[value]a\) on kokonaisluku. b) Luku \(m = [value]a+[value]b^2-[value]c\) on parillinen, koska se voidaan esittää muodossa \(m=2([value]a+[value]b^2-[value]c)\), missä \([value]a+[value]b^2-[value]c\) on kokonaisluku. c) Luku \(p=[value]a^2+3b+9c\) on jaollinen kolmella, koska se voidaan esittää muodossa \(p=3([value]a^2+b+3c)\), missä \([value]a^2+b+3c\) on kokonaisluku.

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

(a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

(b) Millä hetkellä \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) (b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla hetkellä \(t=[value]\, s\).