Title: Potenssijoukko ja komplementti

Täydennä lauseen \(A\) totuustaulukko. Kirjoita jokaiseen vastausruutuun joko 1 (tosi) tai 0 (epätosi).

\(A\colon [value]\)

\(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ A\ \)
1 | 1 |  |  |  |  |
1 | 0 |  |  |  |  |
0 | 1 |  |  |  |  |
0 | 0 |  |  |  |  |

Onko \(A\) tautologia?

Syötä jokaiseen vastausruutuun vastaus ja valitse viimeisen kysymyksen vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n+[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n+[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k + [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^n + [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} + [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n-[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n-[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k - [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^k - [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} - [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]\) \((k+1)^[value]-(k+1)\) \(=[value]\)\(\Big(\)\(\Big)\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = [value]\).

(a) Määritä funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \(([value],[value])\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö.

\(y=\)

(b) Funktiota \(f\) approksimoidaan pisteen \(a=[value]\) ympäristössä lineaarisella approksimaatiolla. Mikä on tämän linearisoinnin antama likiarvo funktion arvolle \( f\left([value]\right)\)? Anna vastauksesi murtolukuna, älä liukulukuna tai sekalukuna.

\(f\left([value]\right)\approx\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktion \(f(x) \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value]) \) piirretyn tangetin yhtälö on \[ y = f([value]) + f'([value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) derivaatta. \[ f'(x) = \displaystyle [value].\] Tangentin yhtälöksi saadaan \[y = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] (b) Lineaarinen approksimaatio pisteen \(a\) ympäristössä on se ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on funktion tangenttisuora siinä pisteessä, missä \(x=a\). Siis nyt \[T(x) = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] Näin ollen \(\displaystyle f\left([value]\right)\approx [value] - + [value] \left([value] + -[value]\right) = [value] - + [value] \cdot \frac{1}{2} =[value].\)

Tutustutaan vielä summamerkintään. Summamerkintä on hyödyllinen lyhennysmerkintä monessa yhteydessä, erityisesti sarjojen teoriassa. Tällä kurssilla summamerkintöjä käytetään erityisesti induktiotodistuksia harjoiteltaessa. Jos summamerkintä ei ole sinulle entuudestaan tuttu, voit tutustua siihen tutkimalla kurssimateriaalin esimerkkiä 4.1.2.

a) Laske seuraavat summat.

i. \(\sum \limits_{k=2}^6 (k+[value]) = \)

ii. \(\sum \limits_{j=0}^4 (-[value])^j = \)

iii.\(\sum \limits_{n=1}^7 [value] = \)

b) Esimerkissä 4.1.2 on merkitty

\begin{align*}\sum \limits_{j=0}^n 2j = 0 + 2 + 4 + \cdots + 2n.\end{align*}

Kirjoita seuraavat summat samaan tapaan auki ilman summamerkintää. Korvaa esimerkin kolme pistettä kirjaimin kp, esimerkiksi 0+2+4+kp+2*n. Kirjoita kolme ensimmäistä summattavaa näkyviin ennen kolmea pistettä.

i. \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \)

ii. \(\sum \limits_{j=0}^n (-2)^j = \)
Feedback: a) i. \(\sum \limits_{k=2}^6 (k+[value]) = (2+[value]) + (3+[value]) + (4+[value]) + (5+[value]) + (6+[value]) = [value].\) ii. \(\sum \limits_{j=0}^4 (-[value])^j = (-[value])^0 + (-[value])^1 + (-[value])^2 + (-[value])^3 + (-[value])^4 = [value].\) iii. \(\sum \limits_{n=1}^7 [value] = 7 \cdot [value] = [value].\) b) i. \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = 0 + 2 + 6 + \ldots + n(n+1).\) ii. \(\sum \limits_{j=0}^n (-2)^j = 1 - 2 + 4+ \ldots + (-2)^n.\)

Erään geometrisen lukujonon \((a_n)\) toinen jäsen on \(a_1=[value]\) ja neljäs jäsen \(a_3=[value]\). Lisäksi tiedetään, että jonon ensimmäinen jäsen \(a_0\) on [value].

a) Mikä on jonon suhdeluku?

b) Mikä on jonon ensimmäinen jäsen?

c) Mikä on sarjan \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) summa? Voit antaa vastauksen sieventämättömänä lausekkeena. Vastaa und (niin kuin "undefined") jos sarja ei suppene.
Feedback: Ratkaisu a) Jos suhdelukua merkitään \(q\), tiedetään, että \(a_2=q\cdot a_1\), jolloin \(a_3=q\cdot a_2=q^2\cdot a_1\). Näin ollen \[q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{[value]}{[value]}=[value].\] Tästä saadaan \(q=\pm([value])\). Koska lisäksi \(a_0\) on [value] ja \(a_1=q\cdot a_0\), voidaan päätellä, että \(q=[value]\). b) Koska \(a_1=q\cdot a_0\), voidaan edellisen kohdan perusteella laskea \(a_0=\dfrac{a_1}{q}=\dfrac{[value]}{[value]}=[value]\). c) Geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos suhdeluvulle \(q\) pätee \(-1<q<1\). Jos sarja suppenee, sen summa on kaavan mukaan \(\sum_{n=0}^\infty a_n=\dfrac{a_0}{1-q}\). Koska \(q=[value]\), sarja [value], ja sen summa on [value].

Tällä kurssilla on käytössä monia erilaisia tehtävätyyppejä, joista yksi on tämän tehtävän kaltainen Stack. Harjoitellaan vastauksen syöttämistä Stack-tehtävään oheisten tehtävien avulla.

a) Syötä vastaukseksi oikea lukuarvo.

Yhtälön \(2x - 4 = 0\) ratkaisu on \(x = \) .

b) Toisinaan sinun halutaan syöttävän vastaukseksi jokin merkkijono.

Kirjoita lemma oheiseen vastauskenttään.

Kun olet lukinnut vastauksesi, tarkista tehtävän alapuolelle ilmestyvä palaute. Koko tentin palauttamisen jälkeen näet aina tehtävien malliratkaisut kokonaisuudessaan.
Feedback: Oikeat vastaukset ovat a) \(2\) b) lemma

Tässä Stack-tehtävässä harjoitellaan joukkojen syöttämistä. Huomaa, että alkioiden järjestyksellä tai toistamisella ei ole vaikutusta vastauksen oikeellisuuteen. Esimerkiksi joukko \(\{1,2,3\}\) on sama kuin joukko \(\{2,3,1\}\) tai \(\{1,1,2,2,2,3\}\).

a) Joukko \(\{a,b,c\}\) syötetään muodossa {a,b,c}.

Syötä joukko \(\{1,2,3,4,5\}\).

b) Tyhjä joukko \(\emptyset\) syötetään muodossa {}.

Syötä tyhjä joukko.

c) Järjestetyistä pareista muodostuva joukko \(\{(a,b), (c,d)\}\) syötetään muodossa {[a,b],[c,d]}. Huomaa hakasulut!

Syötä joukko \(\{(0,0), (1,1)\}\).
Feedback: a) {1,2,3,4,5} b) {} c) {[0,0],[1,1]}

Tässä Stack-tehtävässä harjoitellaan lausekkeiden syöttämistä.

a) Kirjoita lauseke \(\sqrt{a^2+b^2}\) oheiseen vastauskenttään. Potenssin saat komennolla ^ ja neliöjuuren komennolla sqrt().

b) Kirjoita lauseke \(\frac{x+y}{2}\) oheiseen vastauskenttään.
Feedback: a) sqrt(a^2+b^2) b) (x+y)/2

Paraabelin kaari \(y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]\) pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske näin saadun paraboloidisen maljan tilavuus. Vihje: Integroi maljan poikkileikkauksen pinta-alaa muodossa \[V= \int_{0}^{[value]} A(y) \, \textrm{d}y. \] Anna vastaus tarkkana arvona. \(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \[y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]. \] \begin{eqnarray*} x^2 & = & \frac{1}{[value]} y \ \ \Arrowvert \sqrt{} \\ x & = & \sqrt{\frac{1}{[value]}y} \ \ \ \text{käänteisfunktio} \end{eqnarray*} Kun \(x=0, \ \ \ y=0\) Kun \(x=[value], \ \ \ y=[value]\). \begin{eqnarray*} A & = & \int_{0}^{[value]} \pi \frac{1}{[value]} y \, \textrm{d}y \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \bigg|_{0}^{[value]} \frac{y^2}{2} \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \left( \frac{[value]^2}{2}-\frac{0^2}{2} \right) \\ & = & \pi \cdot \frac{1}{[value]}\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*}

Käyrä \(y=[value]\), missä \(0\leq x \leq [value]\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Määritä näin saadun kappaleen tilavuus.

\(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \(y={[value]}\). Tapa 1 \begin{eqnarray*} V & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} (\sin(x))^2 \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{2}\pi ([value]-0)-[value]\cdot \frac{1}{4}\pi (\sin([value])-\sin(0)) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} Tapa 2 Osittaisintegroinnilla (\(\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x= |_{a}^{b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\)) \(u(x)=\sin(x) \ \ \ u'(x)=\cos(x)\) \(v'(x)=\sin(x) \ \ \ v(x)=-\cos(x)\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} \sin(x) \sin(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x))\sin(x)-\int_{0}^{[value]} (-\cos(x))\cos(x) \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x)) \sin(x)+\int_{0}^{[value]} (1-\sin^2(x)) \, \textrm{d}x \\ 2 \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & -\bigg|_{0}^{[value]} \cos(x)\sin(x)+\int_{0}^{[value]} 1 \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{2}([value]+[value])=[value] \\ \Rightarrow [value]\pi \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Laske likiarvo \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) integraalille \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] Simpsonin säännöllä, kun integroimisväli jaetaan neljään osaan. Laske virhearvio käyttämällä kaavaa \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] missä \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).

Likiarvo \( S_[value]=~\) |
Virhearvio \(C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Tehtävänä on laskea funktion \(f(x)=[value]\) integraalille likiarvo Simpsonin säännöllä. Integrointirajat ovat \(a=[value]\) ja \(b=[value]\) ja integrointiväli jaetaan neljään saman pituiseen osaan eli \(n=[value]\), joten yhden osavälin pituus on \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). Seuraavaan taulukkoon on laskettu funktion arvot osavälien reunoilla. \(\begin{array}{rlllll} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x: & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ f(x): & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \end{array}\) Simpsonin säännön mukaan likiarvo on \begin{align*} S_4 & = \frac{h}{3} \left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+f(x_4)\right) \\ & = \frac{[value]}{3} \left( [value]+4\cdot [value]+2\cdot [value]+4\cdot [value]+[value] \right)\\ & \approx [value]. \end{align*} Virhearvio: \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4},\] missä \[C_4=\max_{x\in[0,b]} |f^{(4)}(x)|\] \begin{align*} f'(x) & = [value] \\ f''(x) & = [value] \\ f^{(3)}(x) & = [value] \\ f^{(4)}(x) & = [value], \end{align*} Siis \[C_4=\max_{x\in [[value],[value]]} |[value]| = 0.\] Ja virhearvio: \[C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=0\cdot \frac{([value]-[value])^5}{180\cdot 4^4} =0.\] Huom! Kolmannen asteen polynomin neljäs derivaatta on aina 0, joten Simpsonin sääntö on tarkka kolmannen asteen polynomeille.

Etsi lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen ([value],[value]). [value]

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Olkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] \((x,y)\in C\), joten pätee \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Nyt olemme siis saaneet etäisyylle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Tavoitteenamme on etsiä lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä, joten riittää etsiä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Differentiaalilaskennosta tiedämme, että funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \(D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\). Funktion \(D^2(x)\) derivaatta, \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \approx [value] \) ja \(x_2 = [value] \approx [value] \). Tutkitaan seuraavaksi funktion arvoja derivaatan nollakohdissa. \[\begin{array}{rll} D^2(x_1) & = & \left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] \[\begin{array}{rll} D^2(x_2) & = & \left( x_2-[value] \right)^2+x_2^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] Kohdassa \(x=x_1\) funktio \(D^2(x)\) saa pienemmän arvon kuin kohdassa \(x=x_2\), joten sillä on kohdassa \(x=x_1\) minimi. Pisteen ([value],[value]) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} D(x_1) & = & \sqrt{\left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3} \\ & = & \sqrt{[value]} \\ & = & [value]\\ & \approx & [value] \end{array}\]

The distance between the points \((x,y)\) and \((x_0,y_0)\) is given byPisteiden \((x,y)\) ja \((x_0,y_0)\) välinen etäisyys saadaan laskettua lausekkeella

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.\]

Find the shortest distance from the point \((x_0,y_0)=([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn. Etsi lyhin etäisyys pisteestä \((x_0,y_0)=([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen \(\left([value],[value]\right)\).

[value]

What is the distance function \(D(x)\) for which you should find the minimum? Mikä on etäisyysfunktio \(D(x)\), jolle etsit minimiä?

\(D(x)=\)

What is the point on \(C\) where the distance to \(([value],[value])\) is at its shortest? Mikä käyrän \(C\) piste on lähinnä pistettä \(([value],[value])\) ?

\((x,y)=\)(,).

What is the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C\)? Mikä on lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C\)?

\(D(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) isOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaKoska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). A function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the functionNyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Etsitään lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä etsimällä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\]. The derivative of the function \(D^2(x)\) is Funktion \(D^2(x)\) derivaatta on \[ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value]\) and \(x_2 = [value]\). Out of these numbers, the only one on \(C\) is \(x=[value]\geq0\). Then \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Therefore, the shortest distance between the point \(\left([value],[value]\right)\) and the curve \(C\) isjoka on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \) ja \(x_2 = [value] \). Näistä arvoista käyrällä \(C\) voi olla vain \(x=[value]\geq0\). Tällöin \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Pisteen \(\left([value],[value]\right)\) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} \displaystyle{D\left([value]\right)} & = & \displaystyle{\sqrt{\left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3}} \\ & = & \displaystyle{\sqrt{[value]} = 2\sqrt{11} \frac{16}{3\sqrt{3}}} \end{array}\]

Find the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn.

Etsi lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen ([value],[value]).

[value]

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) is \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Koska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). From calculus we remember that a function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the function \(D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\). The derivative of the function \(D^2(x)\) is \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value] \approx [value] \) and \(x_2 = [value] \approx [value] \). Next, we will examine the values of the function \(D^2\) at the zeros of its derivative.Nyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Tavoitteenamme on etsiä lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä, joten riittää etsiä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Differentiaalilaskennasta tiedämme, että funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[ D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]. \] Funktion \(D^2(x)\) derivaatta, \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \approx [value] \) ja \(x_2 = [value] \approx [value] \). Tutkitaan seuraavaksi funktion arvoja derivaatan nollakohdissa. \[\begin{array}{rll} D^2(x_1) & = & \left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] \[\begin{array}{rll} D^2(x_2) & = & \left( x_2-[value] \right)^2+x_2^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] At \(x=x_1\) the value of the function \(D^2(x)\) is smaller than at \(x=x_2\), so the function has a minimum at \(x=x_1\). Therefore, the shortest distance between the point ([value],[value]) and the curve \(C\) is Kohdassa \(x=x_1\) funktio \(D^2(x)\) saa pienemmän arvon kuin kohdassa \(x=x_2\), joten sillä on kohdassa \(x=x_1\) minimi. Pisteen ([value],[value]) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} D(x_1) & = & \sqrt{\left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3} \\ & = & \sqrt{[value]} \\ & = & [value]\\ & \approx & [value] \end{array}\]

Q: Olkoon perusjoukko \(X = \{1,2,3,\ldots,10\}\) ja joukot \( A = [value] \), \( B = [value] \), \( C = [value] \) ja \(D = [value]\).

Esitä alla olevat joukot kuten yllä luettelemalla niiden alkiot aaltosulkujen sisällä ja pilkuilla eroteltuna. Tyhjä joukko on {}.

\( A \cap B =\)
\( (B \cup C) \cap D =\)
\( B \cap C \cap A =\)
\( (A \cup B)^c =\)
\( (B \setminus D) \cup (D \setminus B) =\)
Feedback: Mallivastaus: \( A \cap B = [value] \). \( (B \cup C ) \cap D = [value] \). \( B \cap C \cap A= [value] \). \( ( A \cup B )^c = [value]\). \( (B \setminus D) \cup ( D \setminus B ) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske seuraavien funktioiden toiset derivaatat. Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f(x)=[value] \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g(x)=[value] \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h(x)=[value] \)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f''(x) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g''(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h''(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska \( f'(x) = [value]\), niin \( f''(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \) Käytetään ketjusääntöä. Merkitään \( (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = [value]\), missä \( f_1(x) = x^2 \) ja \( g_1(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) &= D(f_1 \circ g_1)(x) = D(f_1(g_1(x)) = f_1'(g(x))g_1'(x) \\ & = 2[value] \cdot ([value]) \end{align} \] Toinen derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä \[ \begin{align} g''(x) &= D([value][value][value]) = [value]([value][value] + [value]([value])) \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( f_2(x) = [value]\) ja \( g_2(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} h'(x) & = \dfrac{f_2'(x)g_2(x)-f_2(x)g_2'(x)}{(g_2(x))^2} = \dfrac{[value] \cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] Huomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ h''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]

Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti asettamalla \( F_0=0, F_1=1 \) ja lisäksi

\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \geq 2 \). Laske.

a) \(F_2= \)

b) \(F_3= \)

c) \(F_4= \)

d) \(F_5= \)

e) \(F_6= \)

f) \(F_7= \)

g) \(F_8= \)

h) \(F_9= \)

i) \(F_{10}= \)

Tarkastele peräkkäisten Fibonaccin lukujen summia alusta lähtien, eli summia \( \sum \limits_{i=0}^n F_i \), missä \( n \in \mathbb{N} \). Vertaa tällaisia summia muihin Fibonaccin lukuihin.
Täydennä oheinen yhtälö.

\( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{n+2}-\)
Feedback: \( F_0, \ldots, F_{10} = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 \) \( \sum \limits_{i=0}^0 F_i = 0 \) \( \sum \limits_{i=0}^1 F_i = 0+1=1 \) \( \sum \limits_{i=0}^2 F_i =0+1+1=2 \) \( \sum \limits_{i=0}^3 F_i =0+1+1+2=4 \) \( \sum \limits_{i=0}^4 F_i =0+1+1+2+3=7 \) \( \sum \limits_{i=0}^5 F_i =0+1+1+2+3+5=12 \) \( \sum \limits_{i=0}^6 F_i =0+1+1+2+3+5+8=20 \) \( \sum \limits_{i=0}^7 F_i =0+1+1+2+3+5+8+13=33 \) \( \sum \limits_{i=0}^8 F_i =0+1+1+2+3+5+8+13+21=54 \) Vertailemalla Fibonaccin lukuja ja summia keskenään huomataan, että summat ovat hyvin lähellä itse Fibonaccin lukuja. Itse asiassa, kun lasketaan yhteen ensimmäiset \(n\) Fibonaccin lukua, on saatava summa yhtä pienempi kuin luku \(F_{n+2}\), eli \( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{n+2}-1. \)

Määritellään lukujono \(a_n \) rekursiivisesti asettamalla \(a_1=[value]\), \(a_2=[value]\) ja

\( a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2} \) kaikilla \(  n \geq 3  \).

Laske.

a) \( a_3 = \)

b) \( a_4 = \)

c) \( a_5 = \)

Muodosta tämän perusteella arvaus jonon jäsenelle \( a_n \). Se ei saa riippua jonon aiemmista jäsenistä.

d) \( a_n = \)
Feedback: a) \( a_3 = 2a_2 - a_1 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) b) \( a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) c) \( a_5 = 2a_4 - a_3 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) d) Koska \(a_1= [value]+[value] \cdot 1, a_2= [value]+[value] \cdot 2, a_3= [value]+[value] \cdot 3, a_4= [value]+[value] \cdot 4\) ja \( a_5= [value]+[value] \cdot 5\), niin arvataan, että \( a_n =[value]+[value]n\).

Seuraavissa tehtävissä tutustutaan niin kutsuttuihin rekursiivisiin lukujonoihin. Niiden jäsenet määräytyvät edellisten jäsenten perusteella.

Määritellään lukujono \(a_n \) rekursiivisesti asettamalla \(a_0=1\), \(a_1=[value]\) ja

\( a_n = [value]a_{n-1} - [value]a_{n-2} \) kaikilla \(  n \geq 2  \).

Laske.

a) \( a_2 = \)

b) \( a_3 = \)

c) \( a_4 = \)

Muodosta tämän perusteella arvaus jonon jäsenelle \( a_n \). Se ei saa riippua jonon aiemmista jäsenistä.

d) \( a_n = \)
Feedback: a) \( a_2 = [value]a_1- [value]a_0 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot 1 = [value] \) b) \( a_3 = [value]a_2- [value]a_1 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value] \) c) \( a_4 = [value]a_3- [value]a_2 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value] \) d) Koska \(a_0=[value]^0, a_1=[value]^1, a_2=[value]^2, a_3=[value]^3\) ja \( a_4=[value]^4\), niin arvataan, että \( a_n = [value]^n \).

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]\cdot [value]}} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]-[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]}}. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} &= \dfrac{2^{[value]}2^{[value]([value])}}{2^{[value]([value])}} = \dfrac{2^{[value]+[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} = \dfrac{2^{[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} \\ \\ &= 2^{[value]x+[value]-[value]x-[value]} =2^{[value]} = [value]. \end{align} \)

\( \textbf{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat.}\)

\(\textbf{Vastauksissa kertolaskuihin on laitettava aina kertomerkit.}\)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i \) tarkoittaa summaa \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan yhtälön pätevän arvolla \( n = 1\).
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{1}}2i =\)
ja oikea puoli on , joten väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) Oletetaan, että jollekin \( n = k \) pätee
\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i =\) .

\( \textbf{Induktioaskel}: \) On todistettava, että pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = \) .

Todistetaan se seuraavasti:

\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = \) \( + \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan yhtälön pätevän arvolla \( n = 1\). Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{1}}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) Oletetaan, että jollekin \( n = k \) pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioaskel}: \) On todistettava, että pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). Todistetaan se seuraavasti: Otetaan summan viimeinen eli \((k+1).\) termi ulos summalausekkeesta: \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Jäljellä olevaan summaan käytetään induktio-oletusta \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = k(k+1) \), jolloin saadaan \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = 2(k+1) + \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Tutustu kurssimateriaalin lukuun 1.8, jossa esitellään joukon potenssijoukko.

Määritä joukon \(A\) potenssijoukko \(\mathcal{P}(A)\) seuraavissa tapauksissa. Anna vastauksesi joukkojen joukkona eli muodossa {B,C,D}, missä B, C ja D ovat joukkoja. Älä syötä kirjainsymboleita vastaukseesi. Tyhjä joukko syötetään muodossa {}.

a) \(A = [value]\)

\(\mathcal{P}(A) = \)

b) \(A = \{[value]^[value]\}\)

\(\mathcal{P}(A) = \)
Feedback: a) \(\mathcal{P}(A) = [value]\) b) \(\mathcal{P}(A) = [value]\) Huomaa, että \(n\)-alkioisen joukon potenssijoukossa on \(2^n\) alkiota.

Määritä seuraavat potenssijoukot. Syötä tyhjä joukko muodossa {}.

a) \(\mathcal{P} ([value]) = \)

b) \(\mathcal{P} ([value]) = \)

c) \(\mathcal{P} (\mathcal{P} ([value])) = \)

d) \(\mathcal{P} (\emptyset) = \)
Feedback: a) \(\mathcal{P} ([value]) = [value]\) b) \(\mathcal{P} ([value]) = [value]\) c) \(\mathcal{P} (\mathcal{P} ([value])) = [value]\) d) \(\mathcal{P} (\emptyset) = \{\emptyset\} \) Huomaa, että jokaisen joukon osajoukkoja ovat aina myös tyhjä joukko \(\emptyset\) ja joukko itse.

Funktio \(f\) määritellään paloittain seuraavasti:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Määritä kolmannen asteen polynomi \(p(x)\) siten, että funktio on jatkuvasti derivoituva. Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f(x)\) että \(f'(x)\) ovat jatkuvia funktioita.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_0=~\)

\(a_1=~\)

\(a_2=~\)

\(a_3=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt pätee \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \begin{eqnarray} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0&=&f(1)\nonumber\\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0&=&f(-1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1&=&f'(1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1&=&f'(-1)\nonumber \end{eqnarray} Esitetään yhtälöryhmä matriisimuodossa ja ratkaistaan kertoimet. \[ [value] \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \] \[ \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \]

Q: Määritellään Funktio \(f\) paloittain

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Määritä sellainen kolmannen asteen polynomi \(p(x)\), että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva. Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f\) että \(f'\) ovat jatkuvia funktioita.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_0=~\)

\(a_1=~\)

\(a_2=~\)

\(a_3=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \[ \qquad \begin{cases} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0 =f(1) \\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0= f(-1) \\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1=f'(1) \\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1= f'(-1) \end{cases}, \] jonka ratkaisuna saadaan \[ \qquad \begin{cases} a_3 = [value] \\ a_2 = [value] \\ a_1 = [value] \\ a_0 = [value] \end{cases} \]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\) \(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge (r \vee \neg p) )\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow( \neg q \vee p) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\) \(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\) \(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\) \(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\) \(\Rightarrow q \wedge r\) \(\Rightarrow r\) | \(\quad \)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\)

\(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\)

\(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\)
\(\Rightarrow q \wedge r\)

\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow r\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Alla on todistettu kaksi eräs joukko-operaatioihin liittyvää laskulakia. Kerro, mitä todistuksissa todistuksessa tehdään valitsemalla pudotusvalikosta ekvivalenssin yhteydessä käytetty sääntö.

\((A^c)^c = A\) ja \(A\cup B = B\cup A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A^c)^c = A \) ja \(A\cap B = B\cap A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cup C)\)

\((A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cap C)\)

\((A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cup C)\)

\((A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cap C)\)

\(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cap C)\) |
\(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) ja \(x\in C)\) |
\(x\in A\cup B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in B\)

\(x\in A\cap B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in B\) \(\Leftrightarrow (x\in A \) tai \(x\in B)\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) tai \((x\in A\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) tai \(x\in B)\) ja \((x\in A\) tai \(x\in C)\)
\(\vphantom{A\cup B}\)

\(\vphantom{A\cap B}\)
\(\Leftrightarrow x\in B\) tai \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in B\) ja \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) tai \(x\in A\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\) |
\(\Leftrightarrow x\in B\cup A\) \(\Leftrightarrow x\in B\cap A\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\) |

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a \quad = \quad \)
\(b \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä pisteessä täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{Vastaus:} \quad a = [value], \quad b=[value]. \)

Määritä vakiot A,B,C,D seuraavissa osamurtohajotelmissa. (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}\] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}\]

\(A =~\) |
\(B =~\) |
\(C =~\) |
\(D =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}=\frac{A(x+[value])+B(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}. \] Eli \[(A+B)x+[value]A-[value]B=1 \Rightarrow \begin{cases} A+B &= 0 \\ [value]A-[value]B &= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value]. \end{cases} \] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}=\frac{C(x+[value])+D(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{(C+D)x+[value]C-[value]D}{(x-[value])(x+[value])} \] Eli \[(C+D)x+[value]C-[value]D=x \Rightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ [value]C-[value]D &= 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ D &= \frac{[value]}{[value]}C \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C &= [value] \\ D &= [value]. \end{cases} \]

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Jaa a-kohdan jakojäännös \(\displaystyle [value] \) osamurtoihin.

Huom. Älä kirjoita vastaukseksi pelkkää osamurtokehitelmän yritettä vaan kokonaan ratkaistu kehitelmä.

\(\displaystyle [value] = \) \(+\) .

(c) Integroi osamurtokehitelmän avulla. Itseisarvo merkitään \( |x|=\text{abs}(x) \).

\( \displaystyle [value] = \) \( +C \),

missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Jaettaessa jakojäännöstä tekijöihin lasketaan ensiksi nimittäjän nollakohdat, jotka ovat \(x = [value]\) ja \(x = [value] \), ja siten nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin \( [value] = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis muotoa \( \displaystyle [value] = \frac{A}{[value]} + \frac{B}{[value]} \). Laventamalla oikean puolen termit saman nimisiksi saadaan \( \displaystyle [value] = \frac{A([value]) + B([value])}{[value]} \) mistä saadaan \(A\):lle ja \(B\):lle yhtälöpari \( \begin{cases} (A + B)x = [value]x, \\ [value] = [value] \end{cases} \), jonka ratkaisuna saadaa \(A = [value] \) ja \( B = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). (c) Käyttämällä a- ja b-kohtien tuloksia saadaan \( \begin{split} [value] & = \int [value] + [value] \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Olkoon \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\). Tarkastellaan seuraavaa kuvausta \(g \colon A \to \mathbb{Z}\), jolle

\( g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
      \frac{x}{2}, & \text{jos } x=2n \text{ jollain } n \in \mathbb{Z} \\
      \frac{x-1}{2}, & \text{jos } x=2n+1 \text{ jollain } n \in \mathbb{Z}. \\
\end{array}
\right. \)

Laske.

a) \(g(0)=\)

b) \(g(1)=\)

c) \(g(2)=\)

d) \(g(3)=\)

e) \(g(4)=\)

f) \(g(5)=\)

g) Voiko samalla säännöllä määritellä kuvauksen \( \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)?

h) Voiko samalla säännöllä määritellä kuvauksen \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)?
Feedback: Kuvauksen \(g\) määritelmän mukaan parilliset alkiot kuvautuvat eri tavoin kuin parittomat. a) Alkio \(0 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(0)=\frac{0}{2}=0\). b) Alkio \(1 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(1)=\frac{1-1}{2}=0\). c) Alkio \(2 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(2)=\frac{2}{2}=1\). d) Alkio \(3 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(3)=\frac{3-1}{2}=1\). e) Alkio \(4 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(4)=\frac{4}{2}=2\). f) Alkio \(5 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(5)=\frac{5-1}{2}=2\). g) Olkoon \(a \in \mathbb{Z}\). Jos \(a\) on parillinen eli \(a=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\), niin se kuvautuu alkiolle \(g(a)=\frac{a}{2}=\frac{2k}{2}=k \in \mathbb{Z}\). Jos taas \(a\) on pariton eli \(a=2k+1\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\), niin se kuvautuu alkiolle \(g(a)=\frac{a-1}{2}=\frac{2k+1-1}{2}=k \in \mathbb{Z} \). Siten sääntö \(g\) on kuvaus \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), sillä se liittää jokaiseen joukon \(\mathbb{Z}\) alkioon täsmälleen yhden joukon \(\mathbb{Z}\) alkion. h) Sääntö \(g\) ei ole kuvaus \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), koska se ei liitä esimerkiksi lukuun \( \pi \in \mathbb{R}\) yhtään joukon \(\mathbb{R}\) alkiota.

Tässä tehtävässä lasketaan kompleksilukujen osamääriä. Osamääristä löytyy tietoa kurssimateriaalin luvusta 7.5.

Laske osamäärät. Muuta osamäärä ensin muotoon, jossa nimittäjä on reaalinen. Sievennä vastaus sen jälkeen muotoon \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\) ja murtoluvut ovat supistetussa muodossa (esim. \(10/26\) on kirjoitettu muodossa \(5/13\)).

a) \(\dfrac{([value]+i)([value]-[value]i)}{[value]+i}\)

\(=\) \(\Big / \)

\(=\)

Anna seuraavissa kohdissa osamäärät suoraan muodossa \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\). Kirjoita murtoluvut muodossa x/y.

b) \(\dfrac{([value]-i)^3}{([value]+i)^2} = \)

c) \(\dfrac{1}{[value]+i}- \dfrac{1}{[value]-i} = \)
Feedback: Ratkaisu a) Lavennetaan lauseke nimittäjän liittoluvulla, jotta nimittäjästä tulee reaalinen: \[ \begin{align*}\frac{([value])([value])}{[value]} &= \frac{([value])([value])([value])}{([value])({[value])}} \\ &= \frac{([value])([value])}{[value]^2-i^2}\\ &= \frac{([value])}{[value]}\\ &= [value]. \end{align*} \] b) Lasketaan osoittaja ja nimittäjä ensin auki ja lavennetaan sitten nimittäjän liittoluvulla: \[\begin{align*}\frac{[value]}{[value]} &= \frac{([value]^2-2\cdot[value]i+i^2)([value]-i)}{[value]^2+2\cdot[value]i+i^2} \\ & = \frac{([value]-[value]i-1)([value]-i)}{[value]+[value]i-1}\\ &= \frac{([value]-[value]i)([value]-i)}{[value]+[value]i} \\ &= \frac{[value]\cdot[value]-[value]i-[value]i\cdot[value]+[value]i^2}{[value]+[value]i} \\ &= \frac{[value]-[value]i-[value]i-[value]}{[value]+[value]i}\\ &= \frac{[value]}{[value]} \\ &=\frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &=\frac{[value]\cdot[value]-[value]\cdot([value]i)-[value]i\cdot[value]+[value]\cdot([value])i^2}{[value]^2+[value]^2}\\ &=\frac{[value]+([value])i+[value]i+[value]}{[value]} \\ &=\frac{[value]}{[value]} \\ &=[value].\end{align*}\] c) Lavennetaan nimittäjät samannimisiksi ja lasketaan: \[\begin{align*}\frac{1}{[value]+i}- \frac{1}{[value]-i} & =\frac{[value]-i}{([value]+i)([value]-i)}- \frac{[value]+i}{([value]+i)([value]-i)} \\ &=\frac{[value]-i-[value]-i}{([value]+i)([value]-i)} \\ & = \frac{-2i}{[value]^2-i^2} \\ &= \frac{-2i}{[value]+1} \\ &=[value].\end{align*} \]

Ovatko seuraavat lauseet tautologioita? Vihjeenä jokaisen lauseen totuustaulun alkuosa.

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value]\)
[value] |

/**/

Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), mikäli funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono toteuttaa \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\) eli suppenee kohti haluttua juurta.

Sovella Newtonin iteraatiota yhtälöön \([value]=0\) ja laske iteraation neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Alkuarvauksena käytä \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \[ f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = \frac[value][value] \] Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f(x)\): \[\begin{array}{rll} x_{n+1} & = & x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = & x_{n} -([value])\cdot \frac[value][value]\\ & = & x_{n} -\frac[value][value]\\ \end{array}\] Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ x_1 = x_{0} -\frac[value][value] = ([value]) -\frac{([value])^[value]+2 e^{[value]\cdot ([value])}}{[value]\cdot ([value])^[value]-[value]\cdot ([value])^[value]} = [value] \approx [value] \] \[\begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_{1} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_{2} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_{3} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]

With Newton's method, we can find solutions for an equation of the form \(f(x)=0\), if the function \(f\) is "smooth" near the zero \(r\). We can then form a recursive sequence \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] where the first element \(x_{0}\) is chosen near the seeked zero \(r\). It can be shown that if the initial estimate \(x_{0}\) is sufficiently near this zero, then for the sequence \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\). That is, the sequence converges to the point \(r\).Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), mikäli funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono toteuttaa \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\) eli suppenee kohti haluttua juurta.

Apply Newton's iteration for the equation \([value]=0\) and calculate the first four values \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) and \(x_{4}\). For the initial guess, use \(x_{0}=[value]\). Provide your answer in the precision of at least five decimals.Sovella Newtonin iteraatiota yhtälöön \([value]=0\) ja laske iteraation neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Alkuarvauksena käytä \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In order to apply Newton's method to find the zeros of the function \(f(x)=[value]\), first we have to find its derivative: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \[ f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = \frac[value][value] \] Now we can form the recursive formula for \(f\): Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f\): \[\begin{array}{rll} x_{n+1} & = & x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = & x_{n} -([value])\cdot \frac[value][value]\\ & = & x_{n} -\frac[value][value]\\ \end{array}\] Next, starting from the initial guess \(x_0=[value]\) we keep iterating the recursive formula: Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ x_1 = x_{0} -\frac[value][value] = ([value]) -\frac{([value])^[value]+2 e^{[value]\cdot ([value])}}{[value]\cdot ([value])^[value]-[value]\cdot ([value])^[value]} = [value] \approx [value] \] \[\begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_{1} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_{2} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_{3} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]

Q: Tässä tehtävässä tarvitaan laskin likiarvojen määrittämiseen.
Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), jos funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(x = r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono
\( \displaystyle \qquad x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\)
jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono suppenee kohti haluttua juurta eli \( \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=r\).

Ideana menetelmässä on, että \(x_{n+1}\) on käyrän pisteeseen \( \big(x_n, f(x_n) \big) \) asetetun tangenttisuoran ja \(x\)-akselin leikkauskohta. Se avulla approksimoidaan \(x\)-koordinaattia sille pisteelle, jossa funktion kuvaaja leikkaa \(x\)-akselin. Kun \(x_{n+1}\) ja \(x_n\) ovat lähes samat, niin \(f(x_n) \approx 0\).

Sovella Newtonin menetelmää yhtälöön \[ [value]=0\] ja laske rekursiivisesti (anna edellisellä kierroksella saatu vastaus syötteeksi seuraavalle kierrokselle) neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Aloita arvauksella \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \( \qquad \displaystyle f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = [value] = [value] \) Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f(x)\): \[\qquad \begin{array}{rll} x_{n+1} & = &\displaystyle x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = &\displaystyle x_n - \frac{[value]}{[value]} \end{array}\] Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ \qquad x_1 = x_0 -\frac{[value]}{[value]} = ([value]) - \frac{[value]}{[value]}= [value] \approx [value] \] \[\qquad \begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_1 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_2 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_3 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Palauta mieleesi 2-kantaisen logaritmin määritelmä. Ratkaise sitten luku \(x\) seuraavissa tapauksissa. Anna vastaukseksi tarkat arvot. Älä käytä desimaalilukuja. Ilmaise kaksikantainen logaritmi, eslm. \(\log_2(10)\), muodossa log(10)/log(2).

a) \(\log_2(x) = [value]\)

\(x = \)

b) \(\log_2(x) = [value]\)

\(x = \)

c) \(2^x = [value]\)

\(x = \)

d) \(2^{[value]x-[value]} = [value]\)

\(x = \)
Feedback: Ratkaisu Määritelmänä käytetään: \(\log_2(x)=y\), jos ja vain jos \(2^y=x\). a) \(\log_2(x) = [value] \ \iff \ x=2^[value]=[value]\) b) \(\log_2(x) = [value] \ \iff \ x=2^[value]=2^[value]\cdot 2^{1/2}= 2^[value]\sqrt{2}\) c) \(2^x = [value] \ \iff \ x=\log_2([value]) = [value]\) d)\begin{align*} 2^{[value]x-[value]} = [value] & \iff [value]x-[value]=\log_2([value]) \\ & \iff [value]x=\log_2([value])+[value] \\ & \iff x=\dfrac{1}[value]\bigl(\log_2([value])+[value]\bigr) = \dfrac{1}[value]\bigl([value]+[value]\bigr) \\ & \qquad\quad = \dfrac{1}[value] \cdot [value] = [value] \end{align*}

a) Ratkaise seuraavasta yhtälöstä muuttuja \(x\). Käytä vastauksessasi luonnollista logaritmia ja kirjoita se muodossa log, esimerkiksi \(\ln 3\) kirjoitetaan log(3).

\[[value]\cdot [value]^x=[value]\]

\(x = \)

b) Opiskelijakahvi maksaa eräällä yliopistolla [value] euroa. Kahvin hinta nousee joka vuosi [value] prosentilla. Kuinka monen vuoden kuluttua opiskelijakahvin hinta on kaksi kertaa niin kallis kuin nyt? Anna vastauksesi kokonaislukuna ylöspäin pyöristettynä.
Feedback: Ratkaisu a) Ratkaistaan yhtälö: \begin{align*}[value]\cdot [value]^x=[value] & \iff [value]^x=\frac{[value]}{[value]}=[value]\\ & \iff \ln([value]^x)=\ln\left([value]\right) \\ & \iff x\ln([value])=\ln\left([value]\right) \\ & \iff x = [value]. \end{align*} b) Merkitään kysyttyä vuosien määrää muuttujalla \(x\). Opiskelijakahvin hinta on \(x\) vuoden kuluttua \[[value]\cdot\left([value]\right)^x = 2 \cdot [value].\] Tämä on tutkittava yhtälö. Ratkaistaan: \begin{align*} [value]\cdot\left([value]\right)^x = 2 \cdot [value] & \iff \left([value]\right)^x= 2 \\ & \iff x\ln\left([value]\right) = \ln{2} \\& \iff x = \frac{\ln 2}{\ln[value]} = [value].\end{align*} Vastausta pyydettiin kokonaislukuna. Näin ollen opiskelijakahvin hinta on kaksinkertaistunut \([value]\) vuoden kuluttua.

Tämä tehtävä perustuu kurssimateriaalin lukuun 8.3, erityisesti esimerkkeihin 8.3.6 ja 8.3.7.

Määritä seuraavat logaritmit tai niiden likiarvot jakolaskun avulla välivaiheineen. Anna vastaukseksi laskemasi välivaiheet sekä varsinainen logaritmi. Esimerkiksi logaritmin \(\log_2 40\) välivaiheet annettaisiin muodossa [20, 10, 5, 2.5, 1.25], missä viimeinen likiarvo on lähinnä ykköstä. Logaritmin vastaus olisi tällöin 5 (likiarvo).

Käytä välivaiheiden likiarvoissa kahden desimaalin tarkkuutta. Varsinaisen logaritmin likiarvo on tarkoitus antaa kokonaisluvuksi pyöristettynä. Viimeisessä kohdassa vastauksen tulee sisältää muuttuja \(n\).

 a) \( \log_2 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

b) \( \log_2 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

c) \( \log_3 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

d) \( \log_{10} [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

e) \( \log_2 (2^[value] \cdot 2^[value]) \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

f) \( \log_2 ([value]\cdot 8^n) \), missä \(n\in\mathbb{N}\)

Logaritmi:
Feedback: Ratkaisu a) 2-kantainen logaritmi luvusta 1024 kertoo kuinka monta kertaa se on jaettava luvulla 2, jotta tulos olisi 1. Tutkitaan, voidaanko lukua 1024 toistuvasti luvulla 2 jakamalla saada osamääräksi 1. \begin{align*} \frac{1024}{2}&=512, & \frac{512}{2}&=256, & \frac{256}{2}&=128, &\frac{128}{2}&=64, & \frac{64}{2}&=32, \\ \frac{32}{2}&=16,& \frac{16}{2}&=8,& \frac{8}{2}&=4, & \frac{4}{2}&=2, & \frac{2}{2}&=1. & &\end{align*} Kun luku 1024 jaettiin luvulla 2 kymmenen kertaa saatiin osamääräksi 1, joten \( \log_2 1024=10\). b) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 2. \begin{align*} \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], \\ \frac[value]{2} &= [value], & \frac[value]{2}&= [value], & \frac[value]{2}&= [value], & \frac[value]{2}&= [value]. \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 2 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_2 [value]\approx [value]\). c) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 3. \begin{align*} \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value],\\ \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&= [value]. & & \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 3 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_3 [value]\approx [value]\). d) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 10. \begin{align*} \frac[value]{10}&=[value],& \frac[value]{10}&=[value],& \frac[value]{10}&=[value], \\ \frac[value]{10}&=[value], & \frac[value]{10}&=[value], & \frac[value]{10}&=[value] , \\ \frac[value]{10}&=[value] & & & & \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 10 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_{10} [value]\approx [value]\). e) Jaetaan lukua \(2^3\cdot 2^4\) toistuvasti luvulla 2. \begin{align*} \frac{2^3\cdot 2^4}{2}&=2^3\cdot 2^3,& \frac{2^3\cdot 2^3}{2}&=2^3\cdot 2^2,& \frac{2^3\cdot 2^2}{2}&={2^3\cdot 2}, \\ \frac{2^3\cdot 2}{2}&=2^3, & \frac{2^3}{2}&=2^2, & \frac{2^2}{2}&={2} , \\ \frac{2}{2}&=1 & & & & \end{align*} Kun luku \(2^3\cdot 2^4\) jaetaan luvulla 2 seitsemän kertaa, saadaan lopulta osamääräksi 1. Tämän näkee myös siitä, että \(2^3\cdot 2^4\) on saatu kertomalla luku 2 ensin kolme kertaa itsellään ja tämän jälkeen vielä neljä kertaa. Luvussa \(2^3\cdot 2^4\) esiintyy siis tekijä 2 yhteensä \(3+4=7\) kertaa. f) Luku \(8^n\) voidaan kirjoittaa muodossa \((2\cdot 2\cdot 2)^n\). Tästä nähdään, että aina kun luku \(8^n\) jaetaan kolmasti luvulla \(2\), eksponentista \(n\) voidaan vähentää yksi: \[8^n/2/2/2=\dfrac{(2\cdot 2\cdot 2)^n}{2\cdot 2\cdot 2}=(2\cdot 2\cdot 2)^{n-1}=8^{n-1}.\] Siispä kun luku \([value]\cdot 8^n\) on jaettu yhteensä \(3n\) kertaa, jaettavana on jäljellä enää luku \([value]\). Tämä on vielä jaettava \([value]\) kertaa, jotta päästään lähelle ykköstä. Näin ollen jakoja tarvitaan yhteensä \(3n+[value]\), joten tämä on kysytyn logaritmin likiarvo.

\(r\)-säteisen kuulan tilavuus on \(V=4\pi r^3/3\). Kirjoita kuulan säde tilavuuden funktiona \(V\mapsto r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{missä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] Suhteellinen muutos on \[\frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] Kun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

The volume of a ball having a radius \(r\) is given by \(V=4\pi r^3/3\). Express the radius as a function of the volume \(V\mapsto r(V)\), and applying the linear approximation Kuulan, jonka säde on \(r\), tilavuus on \(V=\displaystyle\frac{4\pi r^3}{3}\). Esitä säde tilavuuden funktiona \(r=r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

find out by how many percents does the radius increase as the volume of the ball increases by \([value]\) percents. Give your answer as an integer without the % sign. avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{wheremissä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=AV_0^{1/3} + \frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] The relative change isSuhteellinen muutos on \[\displaystyle \frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] When the volume is increased by \([value]\) percents, i.e. \(V=[value]\cdot V_0\), the relative change of the radius isKun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

The volume of a ball having a radius \(r\) is given by \(V=4\pi r^3/3\). Express the radius as a function of the volume \(V\mapsto r(V)\), and applying the linear approximation \(r\)-säteisen kuulan tilavuus on \(V=4\pi r^3/3\). Kirjoita kuulan säde tilavuuden funktiona \(V\mapsto r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

find out by how many percents does the radius increase as the volume of the ball increases by \([value]\) percents. Give your answer as an integer without the % sign.avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{wheremissä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] The relative change isSuhteellinen muutos on \[\frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] When the volume is increased by \([value]\) percents, i.e. \(V=[value]\cdot V_0\), the relative change of the radius isKun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

Laske käsin luvun \(\sin([value])\) likiarvo. Käytä hyväksi tietoja, että \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) ja \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Lisäksi käytä approksimaatioita \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) ja \(\pi\approx\frac{314}{100}\) (Huomaa, että \(\pi\):n approksimaatio vaikuttaa ainoastaan välin pituuteen \(h\)). Tee tehtävä linearisoimalla funktiota \(f(x)=\sin{(x)}\). Ohje: Approksimaation tulee perustua derivaatan määritelmästä saatavan seuraavan kaavan käyttöön \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Käyttämällä yllä annettuja approksimaatteja, vastaukseksi tulee murtoluku. Vastauksen voi antaa, joko tarkkana arvona tai likiarvona vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\(\sin([value])\approx~\) |
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin funktiolle \(\sin(x)\) linearisointi pisteen \(\frac{\pi}{6}\) ympäristössä. Linearisointia varten tarvitsemme funktion derivaatan: \[ \sin ' (x) = \cos(x) \] Linearisoinnin saamme laskettua kaavalla \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h,\] jossa \(x\) on kehityskeskus ja \(h\) on siirtymä kehityskeskuksesta. Nyt siis \(x=\frac{\pi}{6}\) ja \(f=\sin\). Linearisointi on siis \[\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{6}+h\right) &\approx& \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\frac{173}{100}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot h \\ \end{eqnarray}\] Haluamme arvioida sinifunktion arvoa pisteessä [value], joten meidän täytyy laskea sen etäisyys pisteestä \(\frac{\pi}{6}\). \[\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6}+h &=& [value] \\ h &=& [value]-\frac{\pi}{6} \\ h &=& [value]-\frac{\frac{314}{100}}{6} \\ h &=& [value]-\frac{314}{600} \\ h &=& [value] \\ \end{eqnarray}\] Nyt voimme sijoittaa \(h\):n arvon saatuun linearisaatioon. \[\begin{eqnarray} \sin\left([value]\right) &=& \sin\left(\frac{\pi}{6}+[value]\right) \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot [value] \\ &=& [value] \\ &\approx& [value] \end{eqnarray}\]

Calculate the estimate of \(\sin([value])\) by hand. Make use of the facts \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) and \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). You should also use the approximations \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) and \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Note that the approximation of \(\pi\) effects only the length of the interval \(h\)). Solve the problem by linearizing the function \(f(x)=\sin{(x)}\). Advice: The approximation should be based on the following formula which stems from the definition of the derivative: \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Using the approximations given above, the solution will result in a fraction. You can either provide the exact value or an estimate with at least five decimals as your answer. Laske käsin luvun \(\sin([value])\) likiarvo. Käytä hyväksi tietoja, että \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) ja \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Lisäksi käytä approksimaatioita \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) ja \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Huomaa, että \(\pi\):n approksimaatio vaikuttaa ainoastaan välin pituuteen \(h\)). Tee tehtävä linearisoimalla funktiota \(f(x)=\sin{(x)}\). Ohje: Approksimaation tulee perustua derivaatan määritelmästä saatavan seuraavan kaavan käyttöön \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Käyttämällä yllä annettuja approksimaatteja, vastaukseksi tulee murtoluku. Vastauksen voi antaa, joko tarkkana arvona tai likiarvona vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\(\sin([value])\approx~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we form a linearization for the function \(\sin(x)\) about the point \(\frac{\pi}{6}\). For this we need the derivative of the function: Muodostetaan ensin funktiolle \(\sin(x)\) linearisointi pisteen \(\frac{\pi}{6}\) ympäristössä. Linearisointia varten tarvitsemme funktion derivaatan: \[ \sin ' (x) = \cos(x) \] The linearization is given by the formulaLinearisoinnin saamme laskettua kaavalla \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h,\] where \(x\) is the center of expansion and \(h\) is the distance from this point. In this case, \(x=\frac{\pi}{6}\) and \(f(x)=\sin(x)\). Therefore the linearization isjossa \(x\) on kehityskeskus ja \(h\) on siirtymä kehityskeskuksesta. Nyt \(x=\frac{\pi}{6}\) ja \(f(x)=\sin(x)\). Linearisointi on siten \[\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{6}+h\right) &\approx& \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\frac{173}{100}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot h \\ \end{eqnarray}\] We want to estimate the value of the sine function at [value], so we need to find its distance from the point \(\frac{\pi}{6}\).Haluamme arvioida sinifunktion arvoa pisteessä [value], joten meidän täytyy laskea sen etäisyys pisteestä \(\frac{\pi}{6}\). \[\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6}+h &=& [value] \\ h &=& [value]-\frac{\pi}{6} \\ h &=& [value]-\frac{\frac{314}{100}}{6} \\ h &=& [value]-\frac{314}{600} \\ h &=& [value] \\ \end{eqnarray}\] Now we can substitute the value for \(h\) in the linearization.Nyt voimme sijoittaa \(h\):n arvon saatuun linearisaatioon. \[\begin{eqnarray} \sin\left([value]\right) &=& \sin\left(\frac{\pi}{6}+[value]\right) \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot [value] \\ &=& [value] \\ &\approx& [value] \end{eqnarray}\]

Q: Tarkastellaan funktiota \( \displaystyle f(x) = [value]. \)
Määritä seuraavat toispuoleiset raja-arvot.

\(\displaystyle \lim_{x \to [value]^+} f(x) = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to [value]^-} f(x) = \)

Onko seuraava väite tosi vai epätosi?
Funktiolla \(f\) on raja-arvo kohdassa \(x = [value]\).

Vastaa kaikkiin kohtiin ennen vastauksen lukitsemista.
Feedback: Mallivastaus: Aluksi poistetaan itseisarvomerkit. Kun \(x > [value]\), pätee \(x - [value] > 0\). Tällöin \(|x - [value]| = x - [value]\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = [value]. \] Kun \(x < [value]\), pätee \(x - [value] < 0\). Tällöin \(|x - [value]| = [value] - x\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^-} [value] = \lim_{x \to [value]^-} \frac{[value]}{[value]} = \lim_{x \to [value]^-} [value] = [value]. \] Toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(x = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Määritä seuraavat raja-arvot. (\(\infty = \verb+inf+\) ja \(-\infty = \verb+minf+\))
a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \]
b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \]
c) \[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \]
Feedback: Mallivastaus: a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \lim_{x \to 0} ([value]) = [value]\] b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \lim_{x \to \infty} [value] = [value]\] c) \(\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \lim_{x \to [value]} [value] \cdot [value] = \lim_{x \to [value]} [value] = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty} \large( [value] )^{\Large[value]} \).

Ohje: kirjoita ensin sulkulauseke muodossa \( (\cdots)=e^{\ln(\cdots)}\).

Syntaksivihje: Esimerkiksi \( \sqrt{x} \) kirjoitetaan muodossa sqrt(x) tai x^(1/2), \( \sqrt[7]{x} \) muodossa x^(1/7) ja \(e^x \) muodossa e^(x) tai exp(x).

\(\lim\limits_{x\to\infty}\large( [value] )^{\Large[value]}=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \large \left(e^x+x\right)^{ \Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\ln(e^x+x)\right)^{\Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) \). Soveltamalla l'Hospital'n sääntöä eksponentin sisäfunktioon kolmesti saadaan \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{[value](e^x+x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x+[value]} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x}=\frac{1}{[value]}, \] joten \[\lim\limits_{x\to\infty} \large \left(e^x+x\right)^{\Large [value]} \normalsize = \lim\limits_{x\to\infty} \exp \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) = \exp \left( \frac{1}{[value]} \right) = \large [value].\]

Laske seuraavat raja-arvot l'Hopitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

(a) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

(b) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

(c) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. (a) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) (b) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) (c) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Tutustu logaritmin laskusääntöihin kurssimateriaalin luvussa 8.3.

Oletetaan, että \(a \in \mathbb{R}\) ja \(a > 1\). Täydennä seuraavat virkkeet jollain luvuilla. Kaikki logaritmit tarkoittavat tässä 2-kantaisia logaritmeja.

a) Kun luku \(a\) kasvaa [value]-kertaiseksi, sen logaritmi kasvaa luvulla .

b) Kun luku \(a\) korotetaan potenssiin [value], sen logaritmi kasvaa -kertaiseksi.

c) Kun luku \(3\) muuttuu luvuksi , sen logaritmi kasvaa [value]-kertaiseksi.

Mitä voit edellisten kohtien nojalla päätellä luvun logaritmin kasvunopeudesta luvun itsensä kasvunopeuteen verrattuna?

Hanoin torni on peli, jossa siirretään kiekkoja pylväästä toiseen. Jos renkaiden lukumäärä on \(n\), siirtoja pelin voittamiseen tarvitaan \(2^n-1\). Oletetaan, että pystyt tekemään yhden siirron sekunnissa.

d) Kuinka monta tuntia menee 15 kiekon Hanoin tornin siirtämiseen? Vastaa lähimmän kokonaisluvun tarkkuudella.

e) Montako kiekkoa tarvitaan, jotta tornin siirtämiseen menisi 30 vuorokautta? Vastaa lähimmän kokonaisluvun tarkkuudella.
Feedback: a) Koska \(\log_2([value]a)=\log_2([value])+\log_2(a)=[value]+\log_2(a)\), luvun \(a\) 2-kantainen logaritmi kasvaa luvulla [value], kun \(a\) kasvaa [value]-kertaiseksi. b) Koska \(\log_2(a^[value])=[value]\log_2(a)\), luvun \(a\) 2-kantainen logaritmi kasvaa [value]-kertaiseksi, jos \(a\) korotetaan potenssiin [value]. c) Tehtävässä haetaan ratkaisua yhtälöön \(\log_2(x)=[value]\cdot\log_2(3)\). Logaritmin laskusääntöjen mukaan \([value]\cdot\log_2(3)=\log_2(3^[value])=\log_2([value]).\) Tästä nähdään, että \(x=[value]\). d) 15 kiekon siirtämiseen menee noin \(2^{15}=32768\) sekuntia. Koska tunnissa on 3600 sekuntia, tunteja kuluu yhteensä \(32768/3600\approx 9{,}1\) eli noin 9 tuntia. Torni olisi siis siirretty yhden pitkän työpäivän päätteeksi. e) 30 vuorokaudessa on \(30\cdot 24\cdot 3600=2592000\) sekuntia, siis noin kaksi ja puoli miljoonaa sekuntia. Etsitään siis lukua \(n\), jolle pätee \(2^n-1=2592000\). Logaritmien avulla saadaan \(n=\log_2 2592001=\ln 2592001 / \ln 2\approx 21{,}3\). Kiekkoja tarvitaan siis 21, vain kuusi enemmän kuin edellisessä kohdassa.

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Laske seuraavat raja-arvot. (Äärettömät kirjoitetaan seuraavasti: \( \infty = \) inf ja \( -\infty = \) minf.)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \quad = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to a} [value], \quad = \) \( \, \textrm{ol. } \, a\neq 0 \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=[value] \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) \( a \):ta ei voida sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten muokataan hieman lauseketta ensin. \begin{align*} \lim_{x \to a}\frac{\frac{1}{x}^{ (a}-\frac{1}{a}^{ (x}}{x-a}&= \lim_{x \to a}\frac{\frac{a-x}{ax}}{x-a} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-(x-a)}{ax(x-a)} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-1}{ax}=-\frac{1}{a^2} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value]^{([value]} &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Laske seuraavat raja-arvot. Jos vastaus ei ole kokonaisluku, anna se murtolukuna, älä sekalukuna tai liukulukuna.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. Esitetään osoittaja ja nimittäjä nollakohtiensa avulla. Koska molemmilla on nollakohtana \(-[value]\), voidaan supistaa termillä \(x+[value]\). \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=\displaystyle{[value]} \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) Lukua \( [value] \) ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \). Lavennetaan osoittajassa olevat osamäärät samannimisiksi. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{[value]}}{x-[value]} &= \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{[value]}{[value]x}-\frac{x}{[value]x}}{x-[value]} = \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{[value]-x}{[value]x}}{x-[value]} \\ &= \lim_{x \to [value]}\frac{-(x-[value])}{[value]x(x-[value])} \\ &= \lim_{x \to [value]}\frac{-1}{[value]x} = -\frac{1}{[value]^2} = -\frac{1}{[value]} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \). Lavennetaan termillä \([value]\), jotta päästään osoittajassa eroon neliöjuuresta. Kirjoitetaan sen jälkeen alkuperäinen nimittäjä nollakohtiensa avulla. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value] &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Q: Määritä seuraavat raja-arvot. (\(\infty = \verb+inf+\) ja \(-\infty = \verb+minf+\))

(a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \]

(b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \]
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \lim_{x \to 0} ([value]) = [value]\] (b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \lim_{x \to \infty} [value] = [value]\]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Assume it known that \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\). Determine the limit

Oletetaan tunnetuksi, että \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\). Määritä raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin([value]x)}{x} \]

Answer:

Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Denoting \(y= [value]x\), we getMerkitsemällä \(y= [value]x\), saadaan \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin ([value]x)}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{\frac{y}{[value]}}=\lim_{y\to 0} [value]\frac{\sin(y)}{y}=[value]\cdot 1=[value]. \]

Let us determine the limit \[ \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]} \] using the reasoning below. Answer to the questions concerning the steps taken by picking the correct choice from the list below. Note that the rows are numbered by 1-4. In the following questions numbers refer to this numbering.Lasketaan raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]} \] käyttämällä alla olevaa päättelyketjua. Vastaa päättelyketjua koskeviin kysymyksiin valitsemalla oikea vaihtoehto alla olevasta listasta. Huomaa, että rivit on numeroitu 1-4. Alla olevissa kysymyksissä viitataan numeroilla tähän numerointiin.

We begin by determining the limit for the logarithm of the given function \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}\): Ensin lasketaan raja-arvo kysytyn funktion \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}\) logaritmifunktiolle:

\[\begin{array}{rlllr} \lim_{x\to 0}\frac{\ln{\cos{[value]x} } }[value] &\overset{1}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos{[value]x}}\cdot(-\sin{[value]x})\cdot [value] }{[value]x} & \text{ }& (1)\\ &\overset{2}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\sin{[value]x}}{[value]x\cos{[value]x}} && (2)\\ &\overset{3}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\cos{[value]x}} {-[value]x\sin{[value]x} + [value]\cos{[value]x}} && (3)\\ &\overset{4}{=}&[value] && (4) \end{array}\]

Now the actual limit of interest can be determined using the formula \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\).Nyt haluttu raja-arvo voidaan laskea kaavalla \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\).

Question 1
On what principle is the above reasoning process based on? Insert the number of your pick of choice in the box below.

\begin{array}{rl} (1) & \text{l'Hôpital's rule}\\ (2) & \text{Taylor series of trigonometric functions}\\ (3) & \text{Bolzano's theorem}\\ (4) & \text{Mean value theorem}\\ \end{array}

Kysymys 1
Mihin periaatteeseen yllä oleva raja-arvon laskeminen perustuu? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{l'Hôpitalin säännön käyttöön}\\ (2) & \text{Trigonometristen funktioiden Taylorin sarjojen käyttöön}\\ (3) & \text{Bolzanon lauseen käyttöön}\\ (4) & \text{Väliarvolauseen käyttöön}\\ \end{array}

Answer: Vastaus:

Question 2
Which of the above equalities (1-4) are based on the method corresponding to the answer to the previous question? Insert the number of your pick of choice.

\begin{array}{rl} (1) & \text{Row 1}\\ (2) & \text{Row 2}\\ (3) & \text{Row 3}\\ (4) & \text{Row 4}\\ (5) & \text{Rows 1 and 2}\\ (6) & \text{Rows 1 and 3}\\ (7) & \text{Rows 2 and 3}\\ (8) & \text{Rows 1, 2 and 3}\\ \end{array}

Kysymys 2
Mitkä kaikki yhtäsuuruusmerkit (1-4) on saatu käyttämällä edellisessä kohdassa antamaasi menetelmää raja-arvon laskemiseksi? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{Rivin 1}\\ (2) & \text{Rivin 2}\\ (3) & \text{Rivin 3}\\ (4) & \text{Rivin 4}\\ (5) & \text{Rivien 1 ja 2}\\ (6) & \text{Rivien 1 ja 3}\\ (7) & \text{Rivien 2 ja 3}\\ (8) & \text{Rivien 1, 2 ja 3}\\ \end{array}

Answer: Vastaus:

Question 3
Determine the limit by solving the rest of the problem.
Kysymys 3
Laske tehtävä loppuun ja ilmoita kysytty raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}=~\) |

Question 4 Kysymys 4

Why was it possible to calculate the limit by applying the formula \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\)? Insert the number of your pick of choice. Miksi raja-arvo voitiin lopuksi laskea käyttämällä kaavaa \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\)? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\(\text{(1) Because the function } \ln{x} \text{ is a continuous injection in the vicinity of } [value].\)
\(\text{(2) Because the function } \ln{x} \text{ is continous at } x=[value] .\)
\(\text{(3) Because there is not a real } x \text{ such that the function } e^x \text{ would be zero or infinite.}\)
\(\text{(4) Because the exponential function and the logarithmic function are each other's inverse functions.}\) \(\text{(1) Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva injektio pisteen } [value] \text{ ympäristössä.}\)
\(\text{(2) Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva pisteessä } x=[value] .\)
\(\text{(3) Koska funktio } e^x \text{ ei ole nolla tai ääretön missään reaalipisteessä } x .\)
\(\text{(4) Koska eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita.}\)
Answer: Vastaus:

Using l'Hôpital's rule, determine the following limitLaske l'Hôpitalin säännön avulla raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value].\]

When applying l'Hôpital's rule, the functions in the numerator and denominator are differentiated separately. Enter the result of the differentiation in the first text box.L'Hôpitalin sääntöä sovellettaessa derivoidaan murtolausekkeen osoittajaa ja nimittäjää erikseen. Kirjoita ensimmäiseen kenttään derivoinnin tulos.

\(\displaystyle \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |

After differentiation, you can take the limit assuming the expression has been brought to a suitable form. Enter the limit in the following text box.Derivoinnin jälkeen voidaan ottaa raja-arvo, jos lauseke on saatu sopivaan muotoon. Kirjoita seuraavaan kenttään saatu raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac[value][value] =~ \) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: L'Hôpital's rule can be applied to calculating the limit of a quotient in certain cases. Let us consider the limit \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}.\] L'Hôpital's rule may be applied only if \[\begin{array}{rl} (1) & \lim_{x\to c} f(x) =\lim_{x\to c} g(x) = 0 \text{ or } \pm \infty, \\ (2) & \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ exists and} \\ (3) & g'(x)\neq 0. \end{array}\] In practice, the first condition means that the limit has to be of the form \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) or \(\frac{-\infty}{-\infty}\). If these conditions are satisfied, then \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää osamäärän raja-arvon laskemiseen tietyissä tilanteissa. Olkoon \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\] tutkittava raja-arvo. L'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa vain jos \[\begin{array}{rl} (1) & \lim_{x\to c} f(x) =\lim_{x\to c} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \\ (2) & \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ on olemassa ja} \\ (3) & g'(x)\neq 0. \end{array}\] Ensimmäinen ehto käytännössä tarkoittaa, että raja-arvon täytyy olla muotoa \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) tai \(\frac{-\infty}{-\infty}\). Jos edelliset ehdot pätevät, niin \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] The limit \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] \] is of the form \(\frac{0}{0}\). We differentiate the numerator and denominator and examine whether the conditions in l'Hôpital's rule are satisfied. \[ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \frac{ [value]}{[value]} = [value] \underset{x\to 0}{\longrightarrow} [value] \] Based on the previous examination we see that the condition (2) holds. Also the condition (3) holds, because \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value] \neq 0\). Thus, according to l'Hôpital's rule, we get Raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] \] on muotoa \(\frac{0}{0}\). Derivoidaan osamäärän osoittaja ja nimittäjä ja tutkitaan toteutuvatko l'Hôpitalin säännön ehdot. \[ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \frac{ [value]}{[value]} = [value] \underset{x\to 0}{\longrightarrow} [value] \] Edellisen perusteella ehto (2) siis pätee. Myös ehto (3) pätee, koska \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value] \neq 0\). Nyt siis l'Hôpitalin säännön perusteella \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] = \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \lim_{x\to 0} \left([value]\right) = [value]\]

Using l'Hôpital's rule determine the following limits. Give your answers in exact form! Laske l'Hôpitalin säännön avulla seuraavat raja-arvot. Anna vastaus tarkkana arvona!

\[ \begin{align*} \text{(a)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{\sin ([value]x)}{x} \\ \\ \\ \text{(b)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ([value]x)}{x^2} \end{align*} \]

Answers: Vastaukset:

(a)

(b)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] assuming the latter limit exists. L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on voimassa \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. (a) \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{x}\] Since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}x=0,\] we may apply the l'Hôpital's rule. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}x=0,\] voidaan soveltaa l'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] and \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\]Derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] NowNyt \[ \lim_{x\to 0} \frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value]\] (b) \[[value]\] Again, since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to 0}([value]) = [value] = 0,\] we may apply the L'Hôpital's rule. Taas koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to 0}([value]) = [value] = 0,\] voidaan soveltaa L'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we getDerivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value]) = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Further, we notice that since the numerator and denominator are continuously differentiable it holds that \[\lim_{x\to 0}[value] = \lim_{x\to 0}([value]) = 0,\] so we may apply L'Hôpital's rule again. Huomataan, että edelleen osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja niille pätee \[\lim_{x\to 0}[value] = \lim_{x\to 0}([value]) = 0,\] joten sovelletaan L'Hôpitalin sääntöä uudestaan. Now differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Finally, we are able to determine the limit: \[[value] \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value].\]Nyt derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Raja-arvoksi saadaan lopulta laskettua \[[value] \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value].\]

Using l'Hôpital's rule, determine the limitLaske l'Hôpitalin säännön avulla raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}\]

In the first text box, write the expression you get having calculated the first order derivatives. For the second box provide the actual limit (an integer).Kirjoita ensimmäiseen kenttään lauseke, joka saadaan soveltamalla l'Hôpitalin sääntöä kerran derivoimalla raja-arvolauseketta ja toiseen kenttään itse raja-arvoksi saatava kokonaisluku.

\(\displaystyle\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=~\) |

Next, select from the following options when l'Hôpital's rule is applicable. Type the number corresponding to your pick of choice in the box below.Lisäksi valitse seuraavista vaihtoehdoista milloin l'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää kirjoittamalla oikeaa vastausta vastaava numero alla olevaan tekstikenttään.

\(([value])\quad\) | L'Hôpital's rule may be applied to all kinds of situations without any restrictions.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.

\(([value])\quad\) | Calculating a limit, l'Hôpital's rule may be applied to quotients of the form \(\frac{0}{\infty}\) and \(\frac{\infty}{0}\), assuming the derivatives exist and the derivative of the denominator is non-zero at the point where the limit is determined.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää muotoa \(\frac{0}{\infty}\) ja \(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | Calculating a limit, l'Hôpital's rule may be applied to quotients of the form \(\frac{0}{0}\) and \(\frac{\infty}{\infty}\), assuming the derivatives exist and the derivative of the denominator is non-zero at the point where the limit is determined.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää muotoa \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | When applying l'Hôpital's rule, limits are insignificant. All that matters is the differentiability of the functions. L'Hôpitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=\frac{[value]}{[value]}=[value]. \] \[\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=\lim_{x\to 0}[value]=[value](0-1)=[value]. \]

Compute the following limits using l'Hôpital's rule:

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä l'Hôpitalin sääntöä:

(a)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} \]

(b)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x} \]

Give your answers in exact form!

Anna vastaukseksi tarkat arvot!

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x}=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \(f,g\colon [0,\infty)\to \mathbb{R}\) are continuously differentiable and \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\), thenL'Hôpitalin säännön mukaan, jos \(f,g\colon [0,\infty)\to \mathbb{R}\) ovat jatkuvasti derivoituvia ja \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\), niin \[\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}, \] assuming the right hand side limit exists. jos oikean puolen raja-arvo on olemassa. (a) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}\] Now \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+\ln(x))=\infty=\lim_{x\to\infty}([value]+\ln(x))\] and both of the equations are differentiable, so Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+\ln(x))=\infty=\lim_{x\to\infty}([value]+\ln(x))\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+\ln(x))}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]+\ln(x)} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1/x}{[value]+\ln(x)}}{1/x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]+\ln(x)} \\ & = & 0. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x}\] Now \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+e^{[value]x})=\infty=\lim_{x\to \infty} [value]x\] and both of the equations are differentiable, so Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+e^{[value]x})=\infty=\lim_{x\to \infty} [value]x\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+e^{[value]x})}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{[value]e^{[value]x}}{[value]+e^{[value]x}}}{[value]} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]} \frac{[value]}{[value]e^{-[value]x}+1} \\ & = & \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*}

Using appropriate substitutions, calculate the following limits:

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä sopivaa sijoitusta:

(a) | \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}[value]=~\) |
(b) | \( \displaystyle \lim_{x\to 81} [value]=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) We solve the exercise using an extremely common transformation \(x=t^{-1}\), which proves its usefulness especially when the original limit approaches infinity. Specifically, in that case, \(t \rightarrow 0\). By substituting \(x=t^{-1}\) we get \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8x+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{8t^{-1}+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}}. \] Before calculating the limit we need to simplify the expression. \[ \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[12]{t}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \frac{\sqrt[12]{0}+1}{\sqrt[3]{8+3 \cdot 0}} = \frac{1}{2} \] Ratkaistaan tehtävä käyttämällä erittäin yleistä muuttujanvaihtoa \(x=t^{-1}\), joka osoittaa erinomaisuutensa erityisesti silloin, kun alkuperäinen raja-arvo lähestyy ääretöntä. Tällöin nimittäin \(t \rightarrow 0\). Muuttujanvaihdolla \(x=t^{-1}\) lauseke saadaan muotoon \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8x+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{8t^{-1}+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}}. \] Saatua muotoa täytyy vielä sieventää ennen sijoitusta. \[ \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[12]{t}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \frac{\sqrt[12]{0}+1}{\sqrt[3]{8+3 \cdot 0}} = \frac{1}{2} \] (b) We apply the transformation \(t=[value] \Rightarrow x=t^4\). Now the expression can be written in the form \[ \lim_{x\to81} \frac{\sqrt{x}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{\sqrt{t^4}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3}. \] Dividing the nominator further into factors, we can finally determine the limit. Käytetään muuttujanvaihtoa \(t=[value] \Rightarrow x=t^4\). Näin saadaan lauseke muotoon \[ \lim_{x\to81} \frac{\sqrt{x}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{\sqrt{t^4}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3}. \] Osoittajan voi edelleen jakaa tekijöihin, jolloin raja-arvo saadaan laskettua: \[ \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3} = \lim_{t\to3} \frac{(t-3)(t+3)}{t-3} = \lim_{t\to3} (t+3) = 6. \]

Calculate the limits of the following sequences:

Laske lukujonojen

(a) \[a_n=\frac{[value]}{[value]} \]

(b) \[b_n=\frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n} \]

Note: Provide your answers in exact form.

raja-arvot. Huom. Anna vastaukseksi tarkat arvot.

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=\)

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} b_n=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) We divide the numerator and denominator of the expression by the biggest exponent in the denominator, \(n^3\): Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \(n^3\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\frac{[value]+0+0}{[value]+0+0}=[value].\] (b) We divide the numerator and denominator of the expression by the biggest exponent in the denominator, \([value]^n\): Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \([value]^n\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n}=\lim_{n\to \infty} [value]\cdot \frac[value]{\frac{2}{[value]^n}+1}=[value]\cdot \frac{[value]}{0+1}=[value].\]

Laske seuraava raja-arvo käyttämättä derivaattaa:

Evaluate the following limit without using the derivative:

\[\lim\limits_{x \to [value]} [value].\]

Raja-arvo on The limit is .
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \(\begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\lim\limits_{x\to [value]} [value] = \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{[value]}\\ &= \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{(\sqrt{[value]})^2-([value])^2} = \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} = \lim_{x \to [value]}([value]) =[value] \end{align*}\)

Determine the following limits. Do not use approximate values. For symbols \(\infty\) and \(-\infty\), type inf or minf, respectively.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to[value]+} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[\lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) In the (a) part of the exercise, it should be noticed that the point is approached from the positive direction. This means that the absolute value is always non-negative and thus we can leave the absolute value bars out.Tehtävän a-kohdassa tulee huomata, että tarkastelupistettä lähestytään positiivisesta suunnasta. Tämä tarkoittaa, että itseisarvo on aina ei-negatiivinen. Itseisarvomerkit voidaan siis suoraan jättää pois. \[ \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} \frac{-([value]-x)}{[value]-x} = \lim_{x\to[value]+} \frac{-1}{1} = -1 \] It is worth noting that if we approached the point from the negative side instead, the answer would be different in sign. The function has one-sided limits at \(x=[value]\) but they are nonequal. In other words, limit at \(x=[value]\) does not exist.Kannattaa huomata, että tässä tehtävässä negatiiviselta puolelta lähestyminen muuttaisi vastauksen merkin positiiviseksi. Funktiolla on toispuoleiset raja-arvot pisteessä \(x=[value]\), mutta ne eivät ole samat. Siis raja-arvoa pisteessä \(x=[value]\) ei ole olemassa. (b) We can see the answer right away by looking at the exponents of \(x\), but here we will justify our reasoning more accurately. First we reduce the expression by \(x^2\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\frac[value]{x^2}}{1+\frac[value]{x^2}} = \infty \] From this form we see that \(x\) will remain in the numerator, when \(x \rightarrow \infty\). Consequently, the limit approaches to infinity.Ratkaisu voidaan nähdä suoraan katsomalla \(x\):n eksponentteja, mutta perustellaan vastaus tarkemmin. Supistetaan lauseke termillä \(x^2\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\frac[value]{x^2}}{1+\frac[value]{x^2}} = \infty \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \(x\) jää jäljelle osoittajaan, kun \(x \rightarrow \infty\). Sen seurauksena raja-arvo lähestyy ääretöntä.

Laske seuraava raja-arvo käyttämättä derivaattaa:

\[ \displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{[value]}{[value]-\sqrt{[value]}}. \]

Raja-arvo on .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{[value]x^2+[value]}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{x^2([value]+\frac{[value]}{x^2})}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\underbrace{|x|}_{=-x}\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x+x\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{x([value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}})} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]}{[value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =[value] \end{align*} \]

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \displaystyle \lim_{x\to2} \left([value]\right) \] | \(=~\) |
(b) | \[ \displaystyle \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän a-kohdassa ratkaisu löydetään laventamalla molemmat termit samannimisiksi. Ensimmäinen termi tulee siis laventaa \((x+2)\):lla. \[ \lim_{x\to2} \left([value]\right) = \lim_{x\to2} \frac{[value](x+2)-[value]}{x^2-4} = \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \((x-2)\) supistuu pois ja jäljelle jäävästä lausekkeesta saadaan suoraan laskettua haluttu raja-arvo. \[ \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to2} \frac{[value]}{x+2} = \frac{[value]}{2+2} = [value] \] Osoittajan termejä tarkastelemalla nähdään, että \(x^4\)-termit kumoutuvat ja jäljelle jää vain alempiasteisia termejä. Nimittäjässä oleva termi \(x^3\) pakottaa osoittajassa olevat astetta 3 pienemmät termit nollaksi, kun \(x \rightarrow \infty\). Harjaantunut mieli voi siis ratkaista tehtävän tarkastelemalla pelkästään astetta 3 olevien termien kertoimia. Ratkaistaan tehtävä kuitenkin harjoituksen vuoksi raa'alla voimalla. \begin{align} \lim_{x\to\infty} [value] &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-([value])}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} ([value]) \\ &= [value] \end{align}

Determine the following limits. Do not use approximate values. For symbols \(\infty\) and \(-\infty\), type inf or minf, respectively.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) For the solution, notice that according to the definition of Napier's constant \[ \lim_{x\to\infty} [value] = e. \] Now it is easy to determine the limit: \[ \lim_{x\to\infty} [value] = [value] \]Ratkaisua varten tulee huomata, että Neperin luvun määritelmän mukaan \[ \lim_{x\to\infty} [value] = e. \] Nyt kysytty raja-arvo on helppo laskea. \[ \lim_{x\to\infty} [value] = [value] \] (b) For the solution, we reduce the expression by removing the term \((x+1)!\).Ratkaisu saadaan supistamalla termillä \((x+1)!\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} \] To progress, we split the term \((x+1)!\) into factors.Saadusta muodosta päästään eteenpäin hajottamalla termi \((x+1)!\) tekijöihin. \[ \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)(x)(x-1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)(x-1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{1}{(x+1)(x)}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)}} = [value] \] The term \(1/(x(x+1))\) appearing both in the numerator and denominator approaches zero as \(x \rightarrow \infty\). Applying this fact we obtain the limit.Sekä osoittajassa että nimittäjässä esiintyvä termi \(1/(x(x+1))\) lähestyy nollaa, kun \(x \rightarrow \infty\). Tämän perusteella saadaan kysytty raja-arvo.

Oletetaan, että \(a\in\mathbb{R}\), ja tarkastellaan lauseketta \(([value]-ai)^2+[value]a(ai-[value])\).

a) Mikä on kyseisen lausekkeen arvo, jos \(a = [value]\)? Anna vastaus muodossa \(x+yi\), missä \(x,y\in\mathbb{R}\).

b) Kirjoita koko lauseke muodossa \((\dots)+(\dots)i\). Osat \((\dots)\) eivät saa sisältää imaginaariyksikköä, mutta ne saavat sisältää tuntemattoman vakion \(a\).

\((\)\() + (\)\()i\)

c) Määritä ne reaaliluvut \(a\), joilla lauseke on reaalinen. Vastaukseksi tulee kaksi eri arvoa.

\(a = \) tai \(a = \)
Feedback: a) Kun \(a=[value]\), lausekkeen arvoksi tulee \begin{align*} & ([value]-([value])i)^2+[value]\cdot([value])\cdot(([value])i-[value]) \\ & = [value]^2-2\cdot[value]\cdot([value])i-([value])^2+[value]\cdot([value])\cdot([value]) i-[value]\cdot([value])\cdot[value] \\ & =[value]-([value])i-[value]+[value]i-([value]) \\ & =[value].\end{align*} b) Sievennetään lauseke: \begin{align*} & ([value]-ai)^2+[value]a(ai-[value]) \\ & =[value]-[value]ai-a^2+[value]a^2i-[value]a \\ & =[value]. \end{align*} c) Luku \(z\) on reaalinen, jos ja vain jos sen imaginaariosa on nolla. Ratkaistaan: \begin{align*} & [value]a^2-[value]a=0 \\ \iff & a([value]a-[value])=0 \\ \iff & a = 0 \ \text{tai} \ a = [value].\end{align*} Siis lauseke on reaalinen, jos ja vain jos \(a=0\) tai \(a= [value]\).

Tässä tehtävässä harjoitellaan napaesityksessä ilmoitettujen kompleksilukujen laskutoimituksia. Kussakin kohdassa on vastattava molempiin kysymyksiin, ennen kuin saat palautetta. Tehtävässä kannattaa hyödyntää luvun 7.7 lauseita.

a) Määritä luvun \(z = [value]\left(\cos [value] + i\sin [value]\right)\) reaaliosa ja imaginaariosa. Anna vastaukset lausekkeina, esim. 2*cos(3*pi/5).

\(\operatorname{Re}z=\)

\(\operatorname{Im}z=\)

b) Määritä luvun \(w = [value]\left(\cos [value] + i\sin [value]\right)\) liittoluku ja käänteisluku napaesitysmuodossa. Anna vastaukset lukuina, esim. 4 tai pi/2.

\(\bar{w} = \) \((\cos{}\)\(+i\sin{}\)\()\)

\(w^{-1} = \) \((\cos{}\)\(+i\sin{}\)\()\)

c) Määritä kompleksiluvun \(u\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(u = [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\cdot [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\)

\(|u| =\)

\(\theta = \)

d) Määritä kompleksiluvun \(v\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(v = \frac{[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)}{[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)}\)

\(|v| =\)

\(\theta = \)

e) Olkoon \(y = [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\). Laske kompleksiluvun \(y^{[value]}\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(|y^{[value]}|=\)

\(\theta = \)
Feedback: a) Kompleksilukujen reaali- ja imaginaariosat saadaan kertomalla itseisarvolla napaesityksen kosini- ja sinilausekkeet: \(\operatorname{Re} z = [value] \cdot \cos [value] = [value]\) \(\operatorname{Im} z = [value] \cdot \sin [value] = [value]\). b) Ratkaistaan liittoluku ja käänteisluku lauseen 7.7.6 avulla: \(\bar{w} = |w|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)) = [value](\cos([value])+i\sin([value]))\), \(w^{-1} = |w|^{-1}(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)) = [value](\cos([value])+i\sin([value]))\). c) Tulon tekijät ovat napaesityksessä, joten lauseen 7.7.8 avulla saadaan suoraan \begin{align*} & [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr)\cdot [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr) \\ &= ([value]\cdot [value])\Bigl(\cos \Bigl([value]+[value]\Bigr) + i\sin\Bigl([value]+[value]\Bigr)\Bigr) \\ & =[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr).\end{align*} Tästä nähdään, että tulon itseisarvo on [value] ja vaihekulma \([value]\) d) Lauseen 7.7.8 avulla saadaan \begin{align*} & \frac{[value]\Bigl(\cos [value]+ i\sin[value]\Bigr)}{[value]\Bigl(\cos [value]+ i\sin[value]\Bigr)} \\ &= \frac{[value]}{[value]}\Bigl(\cos\Bigl([value]-[value]\Bigr) + i\sin \Bigl([value]-[value]\Bigr)\Bigr) \\ &=\frac{[value]}{[value]}\Bigl(\cos[value]+ i\sin[value]\Bigr).\end{align*} Tästä nähdään, että tulon itseisarvo on \([value]\) ja vaihekulma \([value]\). e) De Moivren kaavalla saadaan \begin{align*} y^{[value]} & = [value]^{[value]}\left(\cos\left([value]\cdot[value]\right)+i\sin\left([value]\cdot[value]\right)\right) \\ & = [value]\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right).\end{align*} Itseisarvoksi saadaan täten \([value]\) ja vaihekulmaksi \([value]\).

Determine the limit using l'Hôpital's ruleLaske raja-arvo käyttämällä l'Hôpitalin sääntöä

\(\lim_{x\to [value]} \frac{\sin \left([value]\pi x\right)}{[value]x-[value]} =~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then it holds that \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] assuming the latter limit exists. L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on voimassa \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to [value]}\sin \left([value]\pi x\right)=\lim_{x\to [value]}[value]x-[value]=0,\] we may apply l'Hôpital's rule.Koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to [value]}\sin \left([value]\pi x\right)=\lim_{x\to [value]}[value]x-[value]=0,\] voidaan soveltaa L'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin \left([value]\pi x\right) = [value]\pi\cos \left([value]\pi x\right) \] and \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x-[value] = [value].\]Derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin \left([value]\pi x\right) = [value]\pi\cos \left([value]\pi x\right) \] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x-[value] = [value].\] NowNyt \[ \lim_{x\to [value]} \frac{\sin \left([value]\pi x\right)}{[value]x-[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to [value]} \frac{[value]\pi\cos \left([value]\pi x\right)}{[value]} = [value].\]

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

a) Olkoon \(X = \{1,2\}\). Tehtävänä on määrittää, kuinka monta kuvausta \(X \to X\) on olemassa. Kaverisi on tehnyt oheisen kuvan mukaiset kuvaukset. Hänen mukaansa nämä ovat ainoat mahdolliset kuvaukset, koska aluksi lähtöjoukon alkio \(1\) voidaan liittää joko maalijoukon alkioon \(1\) tai \(2\). Tämän jälkeen lähtöjoukon alkiolle \(2\) on jäljellä enää yksi maalijoukon alkio, johon se voidaan liittää.

[Image]

Pohdi kaverisi päättelyä kuvauksen määritelmän avulla. Kuinka monta erilaista kuvausta \(X \to X\) on olemassa?

b) Olkoon \(Y = \{1,2,3\}\). Määritetään, kuinka monta kuvausta \(Y \to Y\) on olemassa.

Alkion \(1\) kuva-alkioksi on  vaihtoehtoa, alkion \(2\) kuva-alkioksi vaihtoehtoa ja alkion \(3\) kuva-alkioksi  vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen nojalla erilaisia kuvauksia on siis yhteensä  .

c) Olkoon \(Z = \{1,2, \ldots, n\}\). Erilaisia kuvauksia \(Z \to Z\) on olemassa yhteensä  .

LIsätehtävä:

Olkoon \(A=\{1,2,\ldots, n\}\) ja \(B=\{1,2, \ldots, m\}\). Kuinka monta erilaista kuvausta \(A \to B\) on olemassa? (Tätä vastausta ei arvostella.)
Feedback: a) Kaverisi on unohtanut, että sääntö on kuvaus, vaikka se liittäisi useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion samaan maalijoukon alkioon. Näin ollen kuvauksia \(X \to X\) on yhteensä 4. b) Olkoon \(Y = \{1,2,3\}\). Määritetään, kuinka monta kuvausta \(Y \to Y\) on olemassa. Alkion \(1\) kuva-alkioksi on 3 vaihtoehtoa, alkion \(2\) kuva-alkioksi 3 vaihtoehtoa ja alkion \(3\) kuva-alkioksi 3 vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen nojalla erilaisia kuvauksia on siis yhteensä \(3 \cdot 3 \cdot 3 =27\). c) Olkoon \(Z = \{1,2, \ldots, n\}\). Erilaisia kuvauksia \(Z \to Z\) on olemassa yhteensä \(n^n\). Lisätehtävä: Olkoon \(A=\{1,2,\ldots, n\}\) ja \(B=\{1,2, \ldots, m\}\). Erilaisia kuvauksia \(A \to B\) on yhteensä \(m^n\).

Tarkastellaan funktiota \(h \colon \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R}\), jolla

\(h(x) = \frac{[value]x}{x-3} \)

kaikilla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) ei ole surjektio. Täydennä puuttuvat kohdat.

Tehdään , eli oletetaan, että \(f\) on surjektio.

Tällöin  määritelmän nojalla  \(y \in \mathbb{R} \) on olemassa sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(x)=\)  .
Erityisesti lukua  \(\in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(a \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\),
että \(h(a)=\)  eli \( \frac{[value]a}{a-3} =\)  .
Tästä seuraa, että \([value]a=\)  . Vähentämällä \([value]a\) puolittain saadaan edelleen \(0=\) . Tämä on ristiriita.
Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.
Feedback: Tehdään vastaoletus, eli oletetaan, että \(f\) on surjektio. Tällöin surjektion määritelmän nojalla kaikilla \(y \in \mathbb{R} \) on olemassa sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(x)=y\). Erityisesti lukua \([value] \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(a \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(a)=[value]\) eli \( \frac{[value]a}{a-3} =[value]\). Tästä seuraa, että \([value]a=[value]a-[value]\). Vähentämällä \([value]a\) puolittain saadaan edelleen \(0=-[value]\) . Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.

Muodosta kuvaus \(X \to Y\) siirtämällä oikealla olevat nuolet vasemmalla olevaan kaaviokuvaan.

Täydennä.

\(a \mapsto \)

\(b \mapsto \)

\(c \mapsto r\)

\(d \mapsto \)
Feedback: [Image]

Tarkastellaan funktiota \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), jolla \(h(x) = x^2-[value]x\) kaikilla \(x \in \mathbb{R} \).

Osoitetaan, että kuvaus \(h\) ei ole injektio. Täydennä puuttuvat kohdat.

Tehdään , eli oletetaan, että kuvaus \(h\) on injektio. Tällöin  määritelmän nojalla  \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(h(x_1)=h(x_2)\) seuraa, että \(x_1=x_2\).

Huomataan kuitenkin, että esimerkiksi \(h([value])=h(\) \()\), vaikka \([value] \neq\). Tämä on ristiriita.

Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.
Feedback: Tehdään vastaoletus, eli oletetaan, että kuvaus \(h\) on injektio. Tällöin injektion määritelmän nojalla kaikilla \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(h(x_1)=h(x_2)\) seuraa, että \(x_1=x_2\). Huomataan kuitenkin, että esimerkiksi \(h([value])=h([value])\), vaikka \([value] \neq [value]\). Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.

Määritellään funktio \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ja \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=5-(x-3)^2\).

Merkitään \(U = [-1,2]\) ja \(V = [1,4]\). Piirrä funktioiden \(f\) ja \(h\) kuvaajat ja määritä niiden avulla seuraavat joukot. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(fU = \)

b) \(hV = \)
Feedback: a) [Image] Kuvaajan perusteella \(fU=[-5,1]\). b) [Image] Kuvaajan perusteella \(hV=[1,5]\).

Palauta mieleen, miten funktion kuvaajan avulla voidaan päätellä lähtöjoukon osajoukon kuva, tai maalijoukon osajoukon alkukuva. Luentomateriaalin luvuissa 5.2 ja 5.3 käsitellään näitä asioita. Voit myös katsella luentokalvoja (kalvo juennot_jym_20191118.pdf) tai pyytää ohjaajilta apua. Tässä tehtävässä on monta käsitettä samaan aikaan, joten tarkkuutta! Myöskin, joukko \(A\) on kahdessa roolissa: kohdissa a) ja b) se ajatellaan \(f\):n lähtöjoukon osajoukkona. Kohdissa c) ja d) se ajatellaan maalijoukon osajoukkona. Muistele, kummassa tapauksessa se tulisi piirtää x-akselille, ja kummassa y-akselille.

Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) funktio, jolle \(x \mapsto|x-2|+2\). Olkoon lisäksi \(A = [0,3]\). Piirrä funktion \(f\) kuvaaja ja määritä sen avulla seuraavat joukot. Syötä suljettu väli muodossa [a,b]. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(fA= \)

b) \(f^{\leftarrow}[fA]= \)

c) \(f^{\leftarrow}A= \)

d) \(f[f^{\leftarrow}A]= \)
Feedback: a) [Image] b) [Image] c) [Image] d) [Image]

Using l'Hôpital's rule determine the following limits. Give your answers in exact form! Laske l'Hôpitalin säännön avulla seuraavat raja-arvot. Anna vastaus tarkkana arvona!

\[ \begin{align*} \text{(a)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{\sin ([value]x)}{\sin ([value]x)} \\ \\ \\ \text{(b)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ([value]x)}{1-\cos ([value]x)} \end{align*} \]

Answers: Vastaukset:

(a)

(b)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\] L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\] (a) \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)}\] Now \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=0,\] so Nyt \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\cos([value]x)}{[value]\cos([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)}\] Now \[\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=0,\] so Nyt \[\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\sin([value]x)}{[value]\sin([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} \\ &\stackrel{(a)}{=}& \frac{[value]^2}{[value]^2} \\ &=& [value]. \end{eqnarray*}

Kurssimateriaalin luvussa 5.2 määritellään osajoukon kuva. Lue tätä lukua ja tutustu osajoukon kuvaan seuraavien tehtävien avulla.

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), jolle \( n \mapsto|n-2|-1\).
Merkitään \( A=[value] \) ja \( B=[value] \). Määritä seuraavat joukot.

a) \(fA = \)

b) \(fB = \)
Feedback: a) Kuvaukselle \(f\) pätee \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\), \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\) ja \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\). Täten \(fA = [value] \). b) Vastaavasti kuvaukselle \(f\) pätee \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\) ja \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\). Täten \(fB = [value] \).

a) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa. Ruudukon neliöiden sivun pituus on 1. Kirjoita pyydetyt kompleksiluvut muodossa \(a + bi\), missä \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja. Voit syöttää kompleksiluvun kirjoittamalla esimerkiksi 2+3*i (muista kertomerkki).

[Image: Pisteitä kompeksitasossa]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Laske seuraavat kompleksiluvut. Kerro ensin sulut auki ja sievennä sitten lopputulos. Välivaihe saa olla missä muodossa vain, mutta lopputuloksen on oltava muotoa \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\).

b) \(([value]-[value]i)([value]+[value]i) =\) \(=\)

c) \(([value]-[value]i)^2-[value]i =\) \(=\)
Feedback: a) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) b) \begin{align*} ([value]-[value]i)([value]+[value]i) & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value]i - [value] \cdot [value]i - [value] \cdot [value]i^2 \\ & = [value] +[value]i - [value]i + [value] = [value] \end{align*} c) \begin{align*} ([value]-[value]i)^{2}-[value]i & = [value]^{2} - 2 \cdot [value] \cdot [value]i+([value]i)^{2}-[value]i \\ & = [value] - [value]i-[value]-[value]i = [value] \end{align*}

Seuraavat tehtävät liittyvät napaesitykseen, joka esitellään kurssimateriaalin luvussa 7.7.

Ennen kuin voit lukita vastauksesi ja saada palautetta a)- tai b)-kohdasta, sinun on vastattava kyseisen kohdan kaikkiin kysymyksiin.

a) Oheisissa kuvissa on yksikköympyrään piirretty kulmat \(\alpha\), \(\beta\) ja \(\gamma\). Jokaisen kulman yksi kylki on x-akselilla. Tutkitaan kohtia, joissa toinen kylki leikkaa yksikköympyrän. Anna vastauksesi yhden desimaalin tarkkuudella (esim. 0.2).

[Image] [Image]

Mikä on sen kohdan [value]-koordinaatti, jossa kulman \(\alpha\) vasen kylki leikkaa yksikköympyrän?
Mitä lukua tämä koordinaatin arvo vastaa? \(\alpha\)

Mikä on sen kohdan [value]-koordinaatti, jossa kulman \(\beta\) oikea kylki leikkaa yksikköympyrän?
Mitä lukua tämä koordinaatin arvo vastaa? \(\beta\)

Määritä samalla tavoin: \(\[value]\gamma \approx{}\)

b) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa (ruudun sivun pituus on 1). Lisäksi tiedetään, että \(z_7 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i\) ja \(z_8 = -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\). Kirjoita pyydettyjen kompleksilukujen napaesitykset. Kirjoita vastauksesi muodossa 2*(cos(pi)+i*sin(pi)) käyttäen tarkkoja arvoja ja radiaaneja (materiaalista ja alta löytyvistä muistikolmioista on tässä apua). Kirjoita pii muodossa pi ja neliöjuuri muodossa sqrt(2).

[Image]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Voit hyödyntää tehtävässä alla olevia muistikolmioita:

[Image] [Image]
Feedback: Ratkaisu a) Kulman ja yksikköympyrän leikkauspisteen x-koordinaattia vastaa kulman kosini ja y-koordinaattia kulman sini. \(\[value]\alpha \approx [value]\) \(\[value]\beta \approx [value]\) \(\[value]\gamma \approx [value]\) b) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\)

a) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa. Ruudukon neliöiden sivun pituus on 1. Selvitä pyydettyjen kompleksilukujen itseisarvo eli moduli. Syötä neliöjuuri kirjoittamalla esimerkiksi sqrt(2).

[Image]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Merkitään \(z = [value]i([value]-[value]i)-([value]-[value]i)^2\).

b) Määritä luvun \(z\) reaaliosa ja imaginaariosa.

\( \operatorname{Re} z =\)

\( \operatorname{Im} z =\)

c) Määritä vielä luvun \(z\) itseisarvo ja liittoluku.

\( |z|= \)

\( \bar{z} = \)
Feedback: a) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) b) Muunnetaan \(z\) ensin muotoon \(x+yi\): \begin{align*} z &= [value]i([value]-[value]i)-([value]-[value]i)^2 \\ & =[value]i \cdot[value] + ([value])i\cdot ([value])i - ([value]\cdot [value] - 2\cdot[value]\cdot [value]i + [value]i\cdot[value]i) \\ &=[value]i-[value]-[value]+[value]i+[value] \\ &=[value]+[value]i \end{align*} Tästä saadaan \(\operatorname{Re} z = [value]\) ja \(\operatorname{Im} z=[value]\). c) Lisäksi \(|z|=\sqrt{([value])^{2}+([value])^{2}}=[value]\) ja \(\bar{z}=[value]\).

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Tutustu kurssimateriaalin lukuun 1.7, jossa kerrotaan osajoukon komplementista.

Tarkastellaan joukon \( X = \{0,1,2, \ldots, 15 \} \) osajoukkoja \( A = [value] \) ja \( B = \{ n \in \mathbb{N} \mid n < [value] \} \). Määritä

a) \( \complement A = \)

b) \( \complement B = \)

c) \( \complement (A \cup B) = \)

d) \( \complement (A \cap B) = \)

Miten voisit ilmaista c- ja d-kohtien joukot a- ja b-kohtien joukkojen avulla? (Tätä vastausta ei arvioida.)
Feedback: a) \( \complement A = [value] \) b) \( \complement B = [value]\) c) \( \complement (A \cup B) = [value]\) d) \( \complement (A \cap B) = [value]\) \(\complement (A \cup B) =\complement A \cap \complement B \) \(\complement (A \cap B) =\complement A \cup \complement B \)