Title: Aiheviikko 3

a) Järjestä 1. kertaluvun lineaariyhtälön \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\) ratkaisuvaiheet oikeaan järjestykseen kirjoittamalla numerot 1-5 tyhjiin ruutuihin.

 | Muodosta integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int a(x) dx}\).
 | Kerro yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä.
 | Tarkista, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( y(x)\mu(x) \big)\).
 | Integroi puolittain. Lisää vakio \(C\) oikealle puolelle.
 | Muuta eksplisiittiseen muotoon.

b) Tavoitteena on ratkaista \(y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\). Käytetään integroivana tekijänä \(\mu(x) = e^{\int a(x)dx}\). Valitse jokaiseen välivaiheeseen sopiva perustelu alasvetovalikosta.

 | \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle e^{\int a(x)dx} y'(x)+a(x)e^{\int a(x)dx} y(x) = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle D_x\big[ y(x)e^{\int a(x)dx} \big] = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x)e^{\int a(x)dx} = \int f(x)e^{\int a(x)dx} + C\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x) = e^{-\int a(x)dx} \Big( \int f(x)e^{\int a(x)dx} dx + C \Big)\) |

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

- Differentiaaliyhtälöllä on aina yksikäsitteinen ratkaisu.
- Alkuehdon avulla on mahdollista määrittää, mikä ratkaisuparven ratkaisuista valitaan.
- 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöllä voi olla erikoisratkaisu, joka ei sisälly yleiseen ratkaisuun.
- Olkoon \(y' = y^2\) ja \(y(0) = 1\). Tässä tilanteessa on yksikäsitteinen ratkaisu
- Differentiaaliyhtälön \(y' = e^x\) voi ratkaista integroimalla.
- Differentiaaliyhtälön kertaluku on muuttujan \(y\) korkein potenssi.
- Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion \(y=y(x)\) yhden tai useamman derivaatan \(y',y'',y''',y^{(4)},\ldots\).
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Differentiaaliyhtälöllä on useita ratkaisuja, jotka ilmoitetaan yhden tai useamman parametrin avulla. Jos halutaan tarkastella yhtä tiettyä ratkaisua, tarvitaan yksi tai useampi alkuehto. - Tosi. Alkuehto auttaa valitsemaan tietyn ratkaisun. - Tosi. Erikoisratkaisu voi olla esim \(y(x)=0\), mikä ei välttämättä voi lausua yleisen ratkaisun papametrien avulla. - Tosi. Yksi alkuehto takaa 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön yksikäsitteisyyden. - Tosi. Differentiaaliyhtälö on muotoa y'=f(x). - Epätosi. Differentiaaliyhtälön kertalu on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista. - Tosi. Näin on!

a) Yhdistä sopivasti kirjoittamalla oikea kirjainsymboli kuhunkin ruutuun. Jokaiselle löytyy pari.

Normaalimuoto |  |
Alkuarvotehtävä |  |
Erikoisratkaisu |  |
Yksittäisratkaisu |  |
Yleinen ratkaisu |  |
Implisiittinen ratkaisu |  |
[value]) | Esitysmuoto, jossa korkein derivaatta on ratkaistuna, esim. \(y'=2y+x\).
[value]) | Sisältää differentiaaliyhtälön lisäksi yhden tai useamman alkuehdon.
[value]) | Differentiaaliyhtälön ratkaisu, jota ei voi esittää yleisen kaavan avulla.
[value]) | Eräs funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
[value]) | Esim. \(y=e^x+\frac{1}{2}Cx\). Toiselta nimeltään ratkaisuparvi.
[value]) | Tulos ei ole muodossa \(y(x)=f(x)\). Esim. \(\frac{1}{y(x)}=e^x+1\).

b) Olkoon \(y' = 2y\).

Alla on lueteltuna yhtälön ratkaisuja.

Millainen ratkaisu on kyseessä?

- \(y(x) = 3e^{2x-2}\)
- \(y(x) = Ce^{2x}\)
- \(y(x) = 0\)

Ratkaise integroitavissa oleva differentiaaliyhtälö

\(y'-\sin([value]x) = 0,\quad\) kun \(y(0) = 1\).

Yhtälön yleinen ratkaisu on \(y(x) = \)

Alkuehdon toteuttava ratkaisu on \(y(x) = \)
Feedback: Malliratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon \(y'(x) = \sin([value]x)\), josta integroimalla \(y(x) = \int \sin([value]x) dx = [value]\). Integraalifunktioiden ominaisuuksien nojalla tämä on yhtälön yleinen ratkaisu. Alkuehdon \(y(0) = 1\) toteuttava ratkaisu määritetään asettamalla \(y(0) = [value] = 1\), joten \(C = [value]\) ja siten kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on \([value]\).

1) Yhdistä 1. kertaluvun lineaariyhtälö ja integroiva tekijä valitsemalla sopiva kirjain.

\(xy'-3y = x^3\) |  |
\(y'+y = e^x\) |  |
\(y'+3y = 2xe^{-3x}\) |  |
\(y'+2xy = x\) |  |
\(y'+ \frac{5}{x}y = 7x\) |  |
\(y' = (1-y)\cos(x)\) |  |
[value]) | \(x^{-3}\)
[value]) | \(e^x\)
[value]) | \(e^{3x}\)
[value]) | \(e^{x^2}\)
[value]) | \(x^5\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}\)

2) Olkoon \(xy'+ [value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\).

Nyt integroiva tekijä on \(\displaystyle \mu(x) = e^{\int}\)^\(\displaystyle ^{dx} = \) .

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä. Yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu derivaatta \(D_x\big( \) \(y(x) \big)\).

Differentiaaliyhtälön ratkaisu on \(y(x) = \) (Käytä vakiota C).

Ratkaistaan \(C = \) hyödyntäen tietoa \(y(1) = 5\).

Alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu 1-kohtaan: Differentiaaliyhtälön \(y' + a(x)y = f(x)\) integroiva tekijä on muotoa \(\mu(x) = e^{\int a(x) \, dx}\). Malliratkaisu 2-kohtaan: \(xy'+[value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\). Muokataan \(xy'+[value]y = [value]x \Leftrightarrow y'+\frac{[value]}{x}y = [value]\). Nyt integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int \frac{[value]}{x}} dx = e^{[value]\ln(x)} = e^{\ln x^[value]} = x^[value]\). Kerrotaan yhtälö puolittain integroivalla tekijällä: \(x^[value] y' + [value][value]y = [value]x^[value]\). Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( x^[value] \cdot y(x) \big) = x^[value] y' + [value][value]y\) (tulon derivaatta). Integroidaan puolittain: \(x^[value] y(x) = x^[value]+C \Leftrightarrow y(x)=x+\frac{C}{x^[value]}\). Alkuarvotehtävän nojalla \(y(1) = 1+C = 5\) eli \(C = 4\). Siispä \(y(x) = x + \frac{4}{x^[value]}\).

Ratkaistaan \(y'=(1-y)\cos(x)\), kun \(y(\pi)=2\). Valitse kuhunkin kohtaan sopiva välivaiheen lauseke tai yhtälö. Jokaista käytetään täsmälleen kerran.

Muutetaan yhtälö muotoon |  |
Integroiva tekijä \(\mu(x)\) on |  |
Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä eli |  |
Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on tulon derivaatta |  |
jolloin yhtälö voidaan ilmaista |  |
Integroidaan puolittain eli |  |
Muutetaan ratkaistuun muotoon |  |
Sijoitetaan \(x=\pi\) ja \(y=2\) eli |  |
Ratkaistaan vakio |  |
Lopullinen ratkaisu on |  |
[value]) | \(y'+\cos(x)y=\cos(x)\)
[value]) | \(e^{\int \cos(x) dx} = e^{\sin(x)}\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}y'+e^{\sin(x)}\cos(x)y = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big]\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big] = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(y\cdot e^{\sin(x)} = e^{\sin(x)} + C\)
[value]) | \(y = 1+Ce^{-\sin(x)}\)
[value]) | \(2 = 1+C\)
[value]) | \(C = 1\)
[value]) | \(y(x) = 1+e^{-\sin(x)}\)

Mitkä seuraavista ovat separoituvia?
Feedback: Malliratkaisu: Separoituva yhtälö on muotoa: \(y'(x)=f(x)g(y(x))\).

a) Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan esittää muodossa

Ratkaiseminen:

- Kirjoita \(y' = \frac{dy}{dx}\) ja ajattele kyseessä olevan jakolasku. Siispä \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\).
- Separoi \(x\) ja \(y\) yhtälön eri puolille, jolloin \(\frac{1}{g(y)}dy = \) \(dx\).
- Integroi puolittain ja lisää integrointivakio oikealle.
\(\displaystyle\int \frac{1}{g(y)} dy = \int\) \(\displaystyle dx + C\).
- Saatu ratkaisu on
- Huomaa, että oletimme \(g(y) \neq 0\).

b) Olkoon \(y' = 2xy^2\).

Nyt \(\frac{dy}{dx} = \).

Separoidaan, jolloin \(\frac{dy}{y^2} = \) \(dx\).

Integroidaan puolittain:

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dy = \int \) \(\displaystyle dx\).

Siispä \(-\frac{1}{y} = \) .

Lopullinen eksplisiittinen ratkaisu on \(y(x) = \) .

Solve the differential equationVapaaehtoinen (ei pisteitä): Ratkaise differentiaaliyhtälö

\[y'(t) = \frac{e^{-t}-8}{y(t)}.\]

Pick the correct answer from the following choices. Write the number corresponding to your pick of choice in the text box below.Valitse oikea yksittäisratkaisu seuraavista vaihtoehdoista. Kirjoita ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

(1) \(\quad [value]\)

(2) \(\quad [value]\)

(3) \(\quad [value]\)

(4) \(\quad [value]\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The equation is separable. Multiplying with the function \(y(t)\) we getYhtälö on separoituva. Kertomalla funktiolla \(y(t)\) saadaan \begin{equation*} y(t)y'(t) = \textrm{e}^{-t}-8 \quad\Rightarrow\quad \int y(t)y'(t) \,\textrm d t = \int \left( \textrm{e}^{-t}-8 \right) \,\textrm d t = -\textrm{e}^{-t} - 8t + c, \end{equation*} and since \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), we getja koska \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), saadaan \begin{equation*} \int y(t)y'(t) \,\textrm d t= \tfrac 12 y(t)^2. \end{equation*} ThereforeSiten \begin{equation*} y(t)^2 = 2c - 2\textrm{e}^{-t} - 16t \quad\Rightarrow\quad y(t) = \pm \sqrt{C - 2\textrm{e}^{-t} - 16t}. \end{equation*}

Function \(y\) that is of the form \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) satisfies the following differential equation: \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \] Find the expression for \(y\). Hint: Substitute the given expression in the equation and determine the multipliers \(A\) and \(B\). Vapaaehtoinen (ei pisteitä): Funktio \(y\), joka on muotoa \[ y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x), \] toteuttaa differentiaaliyhtälön \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x). \] Ratkaise kertoimet \(A\) ja \(B\). Vihje: Sijoita annettu lauseke yhtälöön ja päättele kertoimet \(A\) ja \(B\). Mikä tällöin on funktion \(y\) lauseke?

\(\displaystyle y(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In this exercise we solve the differential equation \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) using a sophisticated guess \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Substituting the guess in the given equation we can solve the equation for the constants \(A\) and \(B\).Tässä tehtävässä ratkaistaan differentiaaliyhtälö \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) sivistyneellä arvauksella \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Sijoittamalla arvaus annettuun yhtälöön voidaan ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). First we have find the first order derivative of the function \(y\), as it is needed in the substitution.Lasketaan ensin yritteen ensimmäinen derivaatta, jota tarvitaan sijoitukseen. \begin{align*} y(x) &= A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) \\ y'(x) &= -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) \end{align*} Substituting \(y\) and its derivative in the differential equation we getSijoitetaan yrite ja sen derivaatta differentiaaliyhtälöön. \begin{align*} y'+y &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \\ -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) + A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \end{align*} Now we can form a system of equations for \(A\) and \(B\).Nyt voidaan muodostaa yhtälöryhmä \(A\):lle ja \(B\):lle. \begin{equation*} \begin{cases} -A \cdot [value] + B &= [value] \\ B\cdot [value] +A &= 0 \end{cases} \end{equation*} For the solutions we getRatkaisuksi saadaan \begin{equation*} \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \end{cases}. \end{equation*} Thus the solution for the differential equation isKysytyn differentiaaliyhtälön ratkaiseva funktio \(y(x)\) on siis \[ y(x) = [value]. \]

Find the general solution for the differential equation Ratkaise yleisesti lineaarinen differentiaaliyhtälö

\[ y'+[value]y=[value]e^{[value]x} \]

using integrating factor.integroivaa tekijää käyttäen.

Integrating factor (do not include the constant of integration here): Integroiva tekijä (älä laita integrointivakiota tähän):

Solution (use C for the constant)Ratkaisu (käytä vakiona C:tä) \(\displaystyle y(x)=~\)

(Hint: Exponential function \(e^{5x}\) can be written in the form(Vinkki: Eksponenttifunktion \(e^{5x}\) voi kirjoittaa muodossa \({\tt exp(5*x)}\).)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(y'+[value]y=[value]e^{[value]x}\) The integrating factor is of the form \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), where \(p(x)\) is the multiplier preceding \(y\), which in this case is the constant [value]. The integrating factor is \(\textrm{e}^{[value]x}\).Integroiva tekijä on muotoa \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), jossa \(p(x)\) on \(y\):tä edeltävä kerroin eli tässä tapauksessa vakio [value]. Integroiva tekijä on siis \(\textrm{e}^{[value]x}\). Let us multiply both sides of the equation with the integrating factor: Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä: \begin{align*} \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x}\cdot\textrm{e}^{[value]x} \\ \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x} \\ \end{align*} The left side of the equation satisfies the conditions to apply the product rule. Yhtälön vasen puoli täyttää tulon derivointikaavan tunnusmerkit. \(\small{\textrm{D}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\) \[ \Rightarrow\textrm{D}(\textrm{e}^{[value]x}y)=[value]\textrm{e}^{[value]x} \] We integrate both sides with respect to \(x\).Integroidaan molemmat puolet \(x\):n suhteen \begin{align*} \Rightarrow \textrm{e}^{[value]x}y+A&=[value]+B \\ \\ \textrm{e}^{[value]x}y&=[value]+C,\quad\textrm{jossa }C=B-A \\ \end{align*} Solving for \(y\) we getFunktion \(y\) suhteen ratkaisemalla saadaan \[ y=[value]+\frac{C}{\textrm{e}^{[value]x}} \]

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[y' = [value]y\]

given that \[y([value])=[value]\]kun tiedetään, että \[y([value])=[value]\].

\(y(x) = \)

Give your answer in exact form! Käytä vastauksessasi tarkkoja arvoja!
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Theorem 6.1: The solutions to the differential equation \(y'=ky\) are of the form \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\).Lause 6.1: Differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\). Thus the solutions to the differential equation \(y'=[value]y\) are of the form \(y(x) = Ce^{[value]x}\).Siis differentiaaliyhtälön \(y'=[value]y\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x) = Ce^{[value]x}\). Solving for \(C\) we getRatkaisemalla yhtälö \(C\):n suhteen saadaan \begin{align*} &&y([value])&=[value]\\ \implies&&Ce^{[value]\cdot[value]}&=[value]\\ \implies&&C&=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}} \end{align*} ThereforeSiis \(y(x)=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}}e^{[value]x} = [value]e^{[value](x-[value])}.\)

Find a solution to the separable differential equation \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).Määritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let us begin by separating \(x\) and \(y\). We neglect the specific points for now and return to them later in case we are unable to derive the particular solution from the general solution.Aloitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla \(x\) ja \(y\). Jätetään erityiset pisteet huomiotta ja palataan niihin, mikäli yleisestä ratkaisusta ei saada haluttua yksittäisratkaisua. \begin{align*} y' &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \frac{dy}{dx} &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \int \frac{1}{[value]+y} dy &= [value]\cdot \int \frac{1}{x} dx \end{align*} Integrating the previous equation gives us the general solution.Integroimalla saatu yhtälö saadaan yleinen ratkaisu. \begin{align*} \text{ln }|[value]+y| &= [value]\cdot \text{ln }|x| + \text{ln }|C| \\ \text{ln }|[value]+y| &= \text{ln }|x^{[value]}| + \text{ln }|C| \\ [value]+y &= Cx^{[value]} \\ y &= Cx^{[value]} - [value] \end{align*} The exercise is not over yet, since we wanted a particular solution that satisfies the condition \(y(1)=[value]\). Solving for \(C\), we getTehtävä ei lopu vielä tähän, sillä tehtävässä halutaan yksittäisratkaisu, joka toteuttaa ehdon \(y(1)=[value]\). Ratkaistaan siis integroimisvakio \(C\). \begin{align*} y(1) &= [value] \\ C(1)^{[value]} - [value] &= [value] \\ C - [value] &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} Therefore, the solution to the exercise isTehtävän ratkaisu on siten \[ y(x) = [value]x^{[value]} - [value]. \]

Solve the differential equationMääritä alkuarvotehtävän \[ y'=-[value]\cdot \frac{[value]+y}{x}, \] given the initial value \(y(-1)=-[value]\).\(y(-1)=-[value]\), ratkaisu.

Hint: The solution can be simplified to the form \(a+b/x^c\).Vihje: Ratkaisu voidaan sieventää muotoon \(a+b/x^c\).

\(y\left(x\right)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: A separable DY is of the formSeparoituva DY on muotoa \(y' = f(x)g(y)\) \[ y'=-[value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] Let us modify the equation and rewrite it in the form \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). We getMuokataan yhtälö muotoon \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). Eli: \[ \frac{y'}{[value]+y}=-[value]\cdot \frac{1}{x} \] Next, we integrate both sides of the equation with respect to \(x\).Seuraavaksi integroidaan yhtälön molemmat puolet \(x\):n suhteen. \[ \begin{eqnarray} \int \frac{y'}{[value]+y} \, \textrm{d}x&=&\int -[value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x & \\ \Rightarrow\quad\int \frac{1}{[value]+y} \, \textrm{d}y&=&\int -[value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad\ln([value]+y)+C&=&-[value]\ln(x)+D &\\ \Rightarrow\quad\ln([value]+y)+\ln(x^[value])&=&E &\quad\Vert~ E = D - C \\ \Rightarrow\quad\ln([value]x^[value]+yx^[value])&=&E \\ \Rightarrow\quad [value]x^[value]+yx^[value]&=&\textrm{e}^E &\quad\Vert~\textrm{e}^E=A \\ \Rightarrow\quad y&=&\frac{A}{x^[value]}-[value] & \end{eqnarray} \] Then, we determine the value for \(A\) using the given initial value.Seuraavaksi ratkaistaan vakion \(A\) arvo annetun alkuarvon perusteella. \begin{align} y(-1)&=-[value] \\ \Rightarrow \frac{A}{(-1)^[value]}-[value]&=-[value] \\ \Rightarrow A&=(-[value]+[value])\cdot(-1)^[value] \\ A&=[value] \end{align} Therefore, the solution isLopullinen ratkaisu on siis \[ [value] \]