Title: Odotusarvo

Tuotteen kestoikä \( T \) (vuosissa) on satunnaismuuttuja, jonka odotusarvoksi oletetaan [value] vuotta ja varianssiksi [value] vuotta.
Määrää Tsebyshevin epäyhtälön avulla alaraja todennäköisyydelle, että tuote pysyy ehjänä ainakin [value] vuotta. Anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu \( \begin{align} P(T \geq [value]) & = \quad P(T - [value] \geq [value]-[value]) = P(T - [value] \geq [value]) \\ & \geq \quad P([value] \leq T-[value] \leq [value]) = P(|T-\mu|\leq[value]) \\ & \stackrel{Tseb.}{\geq} \quad 1-\dfrac{[value]}{([value])^2} \approx [value]. \end{align} \)

Jatkuvan satunnaismuuttujan \( X \) tiheysfunktio ja otosavaruus ovat

\( f(x) = \large [value], \normalsize \quad x \in \Omega = [0,[value]]\).

a) Laske odotusarvo \( E(X) \)
b) Laske varianssi \( Var(X) \)
c) Jatkuvan satunnaismuuttujan \( X \) mediaani toteuttaa ehdon \( P\left(X \leq Md(X)\right) = \dfrac{1}{2} \) eli mediaani jakaa otosavaruuden kahteen, todennäköisyydeltään yhtäsuureen osaan. Laske \( Md(X) \)

Anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella. Luvun potenssi merkitään ^-merkillä.

a) \( E(X) = \) |  |  |
b) \( Var(X) = \) |  |  |
c) \( Md(X) = \) |  |  |
Feedback: a) \[E(X) = \large \int\limits_{0}^{[value]} x \cdot [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} [value] = [value] = [value] \] b) Lasketaan ensin \[ E(X^2) = \large \int\limits_{0}^{[value]} x^2 \cdot [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} [value] = [value] \] ja varianssi on \[Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = [value] - \left([value]\right)^2 = [value]= [value]\] c) \( P\left(X \leq Md(X)\right) = \frac{1}{2} \) eli \[ \large \int\limits_{0}^{Md} [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{Md} [value] = [value] = \frac{1}{2} \Leftrightarrow Md(X) = \sqrt[3]{\dfrac{[value]}{2}} = [value] \approx [value]\]

Diskreetin satunnaisvektorin \( (X,Y) \) otosavaruus on \( \Omega = \{ (0,0), \, (1,1), \, (3,1), \, (1,5) \} \) ja tiheysfunktion arvot ovat

\( f(0,0) = \dfrac{[value]}{[value]}, \quad f(1,1) = \dfrac{[value]}{[value]}, \quad f(3,1) = \dfrac{[value]}{[value]}, \quad f(1,5) = \dfrac{[value]}{[value]} \).

Laske (tarkka arvo tai kolmen desimaalin tarkkuudella)

a) \( \text{Cov}(X,Y) = \) |  |  |
b) \( \text{Corr}(X,Y) = \) |  |  |

c) Ovatko \( X \) ja \( Y \) riippumattomia? Vastaa 0=eivät ole tai 1= ovat, 2= ei voi tietää. Vain 1. vastauskerta c)-kohdassa. Mieti siis tarkkaan vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen.

Vastaus: |  |  |
Feedback: \( E(X) \) saadaan laskemalla \( x \)-koordinaattien odotusarvo ja \( E(Y) \) laskemalla \( y \)-koordinaattien odotusarvo. \( \begin{align} E(X) &= \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 0 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 3 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 = [value] \\ E(Y) &= \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 0 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 5 = [value] \end{align} \) Vastaavasti \( E(XY) \) saadaan laskemalla tulojen \(xy\) odotusarvo: \( E(XY) = \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 0 \cdot 0 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 \cdot 1 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 3 \cdot 1 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1 \cdot 5 = [value] \) Kovarianssi on siis \( \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) = [value]-[value]\cdot[value]=[value] = [value]\). Korrelaatiokerrointa varten tarvitaan vielä varianssit. Lasketaan ne kaavalla \( \text{Var}(X) = E \left( X^2 \right) - \left( E(X) \right)^2 \). \( \begin{align} E \left( X^2 \right) & = \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 0^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 3^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1^2 = [value] \\ \\ E \left( Y^2 \right) & = \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 0^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{[value]} \cdot 5^2 = [value] \end{align} \) ja varianssit ovat \( \text{Var}(X) = [value]- \left( [value] \right)^2 = [value] \) sekä \( \text{Var}(Y) = [value]- \left( [value] \right)^2 = [value] \). Näin saadaan \( \text{Corr}(X,Y) = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} = \dfrac{[value]}{\sqrt{[value]\cdot[value]}}=[value] = [value]\). Jos \( X \) ja \( Y \) ovat riippumattomia, niin kaikilla tapahtumilla \(A\in\Omega_X,\ B\in\Omega_Y\) on voimassa \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Kun valitaan \(A=\{x=3\},\ B=\{y=0\}\), huomataan, että \(P(A\cap B)=P(x=3, y=0)=0\neq P(A)P(B)=P(x=3)P(y=0)=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{[value]}{[value]}\). Näin satunnaismuuttujat eivät ole riippumattomia. Huomaa, että jos olisi \( \text{Cov}(X,Y) = 0 \), niin siitä ei seuraa automaattiisesti riippumattomuus.

Diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) saamat arvot ovat joukossa \(\{1,2,3,4,5\}\).

Lisäksi tiedetään, että kertymäfunktio \(F\) saa seuraavia arvoja:

\[ F(1)=[value],\,F(2)=[value],\,F(3)=[value],\,F(4)=[value]. \]

Olkoon \(f\) satunnaismuuttujan \(X\) pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin

a)   \(f([value]) = \) ,

b)   odotusarvo \(\mathbb{E} X = \) .
Feedback: Mallivastaus: a) Pistetodennäköisyysfunktion arvot saadaan laskettua seuraavasti \(f(1) = F(1) = [value]\), \(f(2) = F(2)-F(1) = [value]-[value] = [value]\), \(f(3) = F(3)-F(2) = [value]-[value] = [value]\), \(f(4) = F(4)-F(3) = [value]-[value] = [value]\), \(f(5) = 1-F(4) = 1-[value] = [value]\). b) Edellä laskettujen arvojen avulla saadaan laskettua satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo \(\mathbb{E} X = f(1)\cdot 1+ f(2)\cdot 2+ f(3)\cdot 3+ f(4)\cdot 4+ f(5)\cdot 5 = [value] \cdot 1 + [value] \cdot 2 + [value] \cdot 3 + [value] \cdot 4 + [value] \cdot 5 = [value]\).

The random variable \(M\) has the expected value [value] and standard deviation [value]. Another random variable \(L\) depends on \(M\) as follows: Satunnaismuuttujalla \(M\) on odotusarvo [value] ja hajonta [value]. Toinen satunnaismuuttuja \(L\) riippuu satunnaismuuttujasta \(M\) seuraavasti: Den stokastiska variabeln \(M\) har väntevärdet [value] och standardavvikelsen [value]. En annan stokastisk variabel \(L\) beror av \(M\) på följande sätt:

\[L=\frac{[value]+[value]\,M}[value].\]

What is theMikä on satunnaismuuttujan \(L\)Vad är \(L\):s

a) expected value of \(L\)? odotusarvo? väntevärde?

b) standard deviation of \(L\)? hajonta? standardavvikelse?

Give the answer with [value] significant figures.Anna vastauksesi [value] merkitsevän numeron tarkkuudella.Ge svaren med [value] gällande siffror.

a) | Answer: Vastaus: Svar: |
b) | Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: a) The random variable \(L\) consists of a linear function of \(M\), so the expected value can be obtained directly as follows: Koska satunnaismuuttuja \(L\) on muodostettu satunnaismuuttujasta \(M\) riippuvasta lineaarisesta funktiosta, satunnaismuuttujan \(L\) odotusarvo saadaan suoraan laskemalla seuraavasti: Den stokastiska variabeln \(L\) består av en linjär funktion av \(M\) och det går därför direkt att räkna ut väntevärdet så här: \[ \begin{split} E(L) &= \frac{[value]+[value]\, E(M)}{[value]} \\ &= \frac{[value]+[value] \cdot [value]}{[value]} \\ &\approx [value]. \end{split} \] b) The standard deviation is slightly more challenging to calculate. For a random variable \(Y = a\,X+b\) it holds that \(D(a\,X+b) = \lvert a \rvert D(X)\). Thus, we getHajonnan laskeminen on piirun verran kinkkisempää. Satunnaismuuttujalle \(Y = a\,X+b\) pätee \(D(a\,X+b) = \lvert a \rvert D(X)\). Saadaan siisStandardavvikelsen är lite knepigare. För en stokastisk variabel \(Y = a\,X+b\) gäller \(D(a\,X+b) = \lvert a \rvert D(X)\). Vi får alltså \[ \begin{split} D(L) &= D\left(\frac{[value]+[value]\, M}{[value]} \right) \\ &= D \left( \frac{[value]}{[value]}+\frac{[value] \, M}{[value]} \right) \\ &= \frac{[value]}{[value]} \cdot [value] \\ &\approx [value]. \end{split} \]

Satunnaisvektorin \((X,Y)\) tiheysfunktio ja otosavaruus ovat
\[
f(x,y)=x+y,\qquad\text{kun } (x,y)\in \Omega=\{(x,y) : 0<X<1,\ 0<Y<1\}
\]

Laske korrelaatiokerroin \(Corr(X,Y)\)  seuraavien välivaiheiden avulla. Vastaukseksi tarkka arvo tai kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä marginaalijakauman tiheysfunktioissa \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\) muuttujia \(x\) tai \(y\) (pieni kirjain). Anna numeeriset vastaukset ja funktioiden kertoimet tarkkoina arvoina (kokonaislukuina tai murtolukuina).

\(f_1(x) =\) |  |  |
\(f_2(y) = \) |  |  |
\(E(X) = \) |  |  |
\(E(Y) = \) |  |  |
\(E(XY) = \) |  |  |
\(Cov(X,Y) = \) |  |  |
\(Var(X) = \) |  |  |
\(Var(Y) = \) |  |  |
\(Corr(X,Y) = \) |  |  |

Ovatko satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) riippumattomia. Vastaa 0=eivät ole, 1=ovat riippumattomia, 2=ei voi tietää.  Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa.

Vastaus = |  |  |
Feedback: Etsitään ensin muuttujien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien tiheysfunktiot \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\). Ne löydetään yhteisjakauman tiheysfunktion avulla, jolloin \[\begin{aligned} f_1(x) &= \int_0^1 x+y\,dy = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}1}\left(xy+\frac{1}{2}y^2\right) = x + \frac{1}{2} \\ f_2(y) &= \int_0^1 x+y\, dx = y + \frac{1}{2}. \end{aligned}\] Nyt voidaan laskea odotusarvon määritelmän ja satunnaismuuttujien funktion odotusarvon kaavan avulla, että \[\begin{aligned} E(X) &= \int_0^1 x\left(x+\frac{1}{2}\right) dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}1}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \\ E(Y) &= \int_0^1 y\left(y+\frac{1}{2}\right) dy = \frac{7}{12} \\ E(XY) &= \int_0^1\int_0^1 xy(x + y) dxdy = \int_0^1 y\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}1}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2y\right) dy \\ &= \int_0^1 y\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}y\right)\ dy= \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}1}\left(\frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}y^3\right) = \frac{1}{3}. \end{aligned}\] Näiden tietojen avulla saadaan \[ \mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{3}-\left(\frac{7}{12}\right)^2=-\frac{1}{144}=-0.00694. \] Koska \[ E(X^2)=\int\limits_0^1x^2\left(x+\frac{1}{2}\right)\ dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}=E(Y^2), \] niin saadaan \[ \mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\frac{5}{12}-\left(\frac{7}{12}\right)^2=\frac{11}{144} \] ja edelleen \[ \sigma(X)=\sigma(Y)=\sqrt{\frac{11}{144}}. \] Siis \[\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}= \frac{-\frac{1}{144}}{\sqrt{\frac{11}{144}\cdot\frac{11}{144}}}=-\frac{1}{11}\] Satunnaismuuttujat \( X \) ja \( Y \) eivät ole riippumattomia. Tämä voidaan tietää siitä, että \(f_1(x)f_2(y)\neq f(x,y)\) ja myös siitä, että \( \text{Cov}(X,Y) = [value] \neq 0 \).

Taskussa on [value] kahden euron ja [value] yhden euron kolikkoa, joista otetaan satunnaisesti kolme kolikkoa. Olkoon satunnaismuuttuja \(X\) näiden kolmen kolikon yhteenlaskettu rahamäärä. Mikä on rahamäärän \(X\)

a) otosavaruus \(\Omega\)
b) tiheysfunktio \(f(x)\)
c) odotusarvo \(E(X)\)
d) varianssi \(Var(X)\)

Esitä a) ja b)-kohdan vastaukset tarkkoina arvoina ja  vektorimuodossa. Otosavaruuden alkiot luetellaan vektorin alkioina suuruusjärjestyksessä ja tiheysfunktion arvot vastaavassa järjestyksessä. Vektorit ilmoitetaan hakasuluissa ja alkiot erotetaan  pilkulla. Esimerkki: otosavaruus \( \{ 4,5,6\}\) ilmoitetaan \(\texttt{[4, 5, 6]}\) ja tiheysfunktio voisi olla esimerkiksi \(\texttt{[1/2, 1/3, 1/6]}\) (sama määrä alkioita kuin otosavaruudessa). Oikeaan vastaukseen vaaditaan, että kaikki vektorin alkiot ovat oikein. c)- ja d)-kohdan vastaukset tarkkoina arvoina tai 3 desimaalin tarkkuudella.

a) \(\Omega_x = \)

b) \(f_x = \)

c) \(E(X) = \)

d) \(Var(X) = \)
Feedback: Yhteensä [value] kolikosta voidaan valita 3 kolikkoa \(\binom{[value]}{3}=[value]\) eri tavalla. Eri kolikkojen lukumäärät valinnassa ja niiden todennäköisyydet ovat \[ \begin{array}{ccccc} 2 e&1 e&lkm&\textit{rahamäärä}=X&P(X=x)=f(x)\\ \hline 0&3&\binom{[value]}{0}\binom{[value]}{3}=[value] &3&[value]/[value]=[value]\\ 1&2&\binom{[value]}{1}\binom{[value]}{2}=[value] &4&[value]/[value]=[value]\\ 2&1&\binom{[value]}{2}\binom{[value]}{1}=[value] &5&[value]/[value]=[value]\\ 3&0&\binom{[value]}{3}\binom{[value]}{0}=[value] &6&[value]/[value]=[value]\\ \end{array} \] Rahamäärän \(X\) otosavaruus on \(\Omega=\{3,4,5,6\}\) ja tiheysfunktion arvot ovat \(f(3)=[value],\ f(4)=[value],\ f(5)=[value],\ f(6)=[value]\) Tämä luettelo riittää tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion voi ilmoittaa myös funktiomuodossa \[f(x)=\dfrac{\binom{[value]}{x-3}\binom{[value]}{6-x}}{[value]}\] Odotusarvoksi saadaan \[E(X)=3\cdot [value]+4\cdot [value]+ 5\cdot[value]+6\cdot[value]=[value]=[value]\] Varianssia varten lasketaan ensin \[E(X^2)=3^2\cdot [value]+4^2\cdot[value]+ 5^2\cdot [value] +6^2\cdot [value]=[value]\] ja varianssi on \[\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2=[value]-\left([value]\right)^2=[value]=[value]\]

Satunnaismuuttujan \( X \) odotusarvo \( E(X) = [value] \) ja \( \text{Var}(X) = [value] \) ja satunnaismuuttujan \( Y \) odotusarvo \( E(Y) = [value] \)  ja \( \text{Var}(Y) = [value] \). Laske seuraavat tunnusluvut tarkkoina arvoina, kun \( X \) ja \( Y \) ovat riippumattomia.

a) \( E\left( (X-Y)^2 \right) \) = |  |  |
b) \(Cov(X+Y,\, X-Y) \) = |  |  |
Feedback: Satunnaismuuttujan \( X \) odotusarvo \( E(X) = [value] \) ja \( \text{Var}(X) = [value] \) ja satunnaismuuttujan \( Y \) odotusarvo \( E(Y) = [value] \) ja \( \text{Var}(Y) = [value] \) a) Koska \( \text{Var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \Rightarrow E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2 \) /*= [value] + [value] = [value]\), */ saadaan \begin{align*} E\left( (X-Y)^2 \right) &= E(X^2 - 2XY +Y^2) \\ &= E(X^2) - 2E(XY) +E(Y^2) \\ &=(Var(X)+E(X)^2) -2E(X)E(Y) + (Var(Y)+E(Y)^2) \\ &=[value]+[value]^2-2\cdot[value]\cdot[value] + [value]+[value]^2\\ &=[value] \end{align*} b) \begin{align*} \mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)&= E((X+Y)(X-Y))-E(X+Y)E(X-Y)\\ &= E(X^2-Y^2)-(E(X)+E(Y))(E(X)-E(Y))\\ &= E(X^2)-E(Y^2)-E(X)^2+E(Y)^2\\ &= E(X^2)-E(X)^2 -(E(Y^2)-E(Y)^2)\\ &= \mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)\\ &= [value]-[value]=[value] \end{align*}

Satunnaismuuttujista \(X \) ja \(Y \) tiedetään odotusarvot \(E(X)=[value]\), \(E(Y)=[value]\), \(E(XY)=[value]\) ja varianssit  \(Var(X)=[value]\), \(Var(Y)=[value]\). Vastaa tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella seuraavat tunnusluvut.

a) \(E([value]X+[value])\)= |  |  |
b)  \(E([value]X-[value]Y)\)= |  |  |
c)  \(Var(-[value]X+[value])\)= |  |  |
d)  \(Corr(X,Y)\)= |  |  |
e)  \(D([value]X-[value]Y)\)= |  |  |
Feedback: Mallivastaus: a) \(E([value]X+[value])= [value]E(X)+[value]= [value]\cdot [value]+[value]=[value]\) b) \(E([value]X-[value]Y)= [value]E(X)-[value]E(Y)= [value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]=[value]\) c) \(Var(-[value]X+[value])= ([value])^2Var(X) = [value]\cdot[value]=[value]\) d) \(Corr(X,Y)=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(y)}} = \dfrac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{Var(X)Var(y)}} = \dfrac{[value]-[value]\cdot[value]}{\sqrt{[value]\cdot[value]}} = [value]=[value]\) e) Lasketaan aluksi varianssi \[\begin{eqnarray*} Var([value]X-[value]Y)&=& [value]^2Var(X)+([value])^2Var(Y) +2\cdot [value]\cdot([value])\cdot Cov(X,Y)\\ &=& [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value] -2\cdot [value]\cdot[value]\cdot [value]\\ &=&[value]\end{eqnarray*}\] ja tämän jälkeen \(D([value]X-[value]Y)=\sqrt{Var([value]X-[value]Y)} = \sqrt{[value]}=[value]\)

In a court there are three judges, \(A\), \(B\) and \(C\), and the court makes its judgments by voting such that the majority's opinion wins. Let \(R_X\) denote the event that judge \(X\) votes correctly for the question whether the defendant is guilty or not, and assume that \(\mathbb{P}(R_A)=[value]\), \(\mathbb{P}(R_B)=[value]\) and \(\mathbb{P}(R_C)=[value]\), where the events \(R_A\), \(R_B\) and \(R_C\) are independent.Tuomioistuimessa istuu kolme tuomaria, \(A\), \(B\) ja \(C\), jotka vastaavat oikeudenkäynnissä suoritettavasta päätöksenteosta äänestämällä siten, että eniten ääniä saanut lausuntoehdotus voittaa. Merkitään symbolilla \(R_X\) tapahtumaa, jossa tuomari \(X\) äänestää oikein syytetyn syyllisyyttä koskevaan kysymykseen, ja oletetaan, että tapahtumien todennäköisyydet kunkin tuomarin kohdalla ovat \(\mathbb{P}(R_A)=[value]\), \(\mathbb{P}(R_B)=[value]\) ja \(\mathbb{P}(R_C)=[value]\), jossa \(R_A\), \(R_B\) ja \(R_C\) ovat keskenään riippumattomia.I en domstol sitter tre domare, \(A\), \(B\) och \(C\), och domstolen fattar sina beslut genom att rösta så att majoritetens åsikt vinner. Låt \(R_X\) beteckna händelsen att domare \(X\) röstar rätt när frågan gäller om den åtalade är skyldig eller inte, och anta att \(\mathbb{P}(R_A)=[value]\), \(\mathbb{P}(R_B)=[value]\) och \(\mathbb{P}(R_C)=[value]\), där händelserna \(R_A\), \(R_B\) och \(R_C\) är oberoende.

a) What is the probability that the court will make a correct judgment? Give your answer with three significant figures.Vilken är sannolikheten att domstolen fattar rätt beslut? Ge ditt svar med tre gällande siffror.Millä todennäköisyydellä tuomioistuin päätyy juridisesti oikeaan päätökseen? Anna vastauksesi kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.Vilken är sannolikheten att domstolen fattar rätt beslut? Ge ditt svar med tre gällande siffror.

b) Assume now that the votes given by the judges \(A\) and \(B\) are the same as before, but this time judge \(C\) decides to vote similarly to judge \(A\), as he/she considers \(A\) to be more competent. What is the probability that the court will make a correct judgment in this case? Oletetaan nyt, että tuomarien \(A\) ja \(B\) antamat äänet ovat samat kuin edellä, mutta tuomari \(C\) päättääkin äänestää samalla tavalla kuin tuomari \(A\), koska hän pitää tuomaria \(A\) itseään asiantuntevampana lainoppineena. Mikä on tässä tapauksessa todennäköisyys, että tuomioistuin päätyy oikeaan päätökseen? Anta nu att \(A\) och \(B\) avger sina röster som tidigare men domare \(C\) bestämmer sig för att rösta på samma sätt som domare \(A\), eftersom hen anser att \(A\) är en bättre domare än hen själv. Vad händer med sannolikheten för att domstolen fattar rätt beslut?

a) The probability that the judgment is correct isTodennäköisyys, että tuomioistuin äänestää oikein, onSannolikheten för att domen är rätt är .

b) The probabilityMitä tapahtuu todennäköisyydelle, että tuomioistuin päätyy oikeaan päätöksen, verrattuna siihen, että C äänestäisi toisista tuomareista riippumatta? Sannolikheten
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: a) Let us introduce the event \(D: \text{"The court makes a correct judgment"}\). The court makes a correct judgments when at least two of the judges vote correctly, which is the union of the independent events \(R_A\cap R_B\cap R_C\), \(R_A\cap R_B \cap R_C^c\), \(R_A\cap R_C \cap R_B^c\) and \(R_B\cap R_C \cap R_A^c\). The probability isOtetaan käyttöön merkintä \(D: \text{"Tuomioistuin tekee oikean päätöksen"}\). Tuomioistuin tekee oikean päätöksen silloin, kun ainakin kaksi tuomareista äänestää oikein, mikä on keskenään erillisten tapahtumien muodostama yhdiste \(R_A\cap R_B\cap R_C\), \(R_A\cap R_B \cap R_C^c\), \(R_A\cap R_C \cap R_B^c\) ja \(R_B\cap R_C \cap R_A^c\). Todennäköisyydeksi saadaan siisDefiniera händelsen \(D: \text{"Domstolen fattar rätt beslut"}\). Domstolen fattar rätt beslut om åtminstone två av domarna röstar rätt och detta är unionen av de oförenliga händelserna \(R_A\cap R_B\cap R_C\), \(R_A\cap R_B \cap R_C^c\), \(R_A\cap R_C \cap R_B^c\) och \(R_B\cap R_C \cap R_A^c\). Sannolikheten blir alltså \[ \begin{split} \mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(R_A\cap R_B\cap R_C) + \mathbb{P}(R_A\cap R_B \cap R_C^c) \\&\quad+ \mathbb{P}(R_A\cap R_C \cap R_B^c) + \mathbb{P}(R_B\cap R_C \cap R_A^c). \end{split} \] Since we assume that the events \(R_A\), \(R_B\) and \(R_C\) are independent we can calculate the probability by multiplying the probabilities for the disjoint events. We have e.g. \(\mathbb{P}(R_A\cap R_B\cap R_C) = \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C)\). Thus, the probability that the court makes a correct judgment isKoska tehtävässä oletetaan, että tapahtumat \(R_A\), \(R_B\) ja \(R_C\) ovat keskenään riippumattomia, voidaan kysytty todennäköisyys laskea kertomalla näiden yksittäisten tapahtumien todennäköisyydet keskenään. Siten esim. \(\mathbb{P}(R_A\cap R_B\cap R_C) = \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C)\). Todennäköisyys sille, että tuomioistuin päätyy oikeaan päätökseen, onEftersom vi antar att händelserna \(R_A\), \(R_B\) och \(R_C\) är oberoende så kan vi beräkna sannolikheten genom att multiplicera ihop sannolikheterna för de enskilda händelserna. Vi har t.ex. \(\mathbb{P}(R_A\cap R_B\cap R_C) = \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C)\). Sannolikheten för att domstolen fattar rätt beslut blir då \[\begin{split} \mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C) + \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, (1-\mathbb{P}(R_C)) \\ &\quad+ \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_C)\, (1-\mathbb{P}(R_B)) + \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C)\, (1-\mathbb{P}(R_A)) \\ &= \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B) + \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_C)+ \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C) - 2\, \mathbb{P}(R_A)\, \mathbb{P}(R_B)\, \mathbb{P}(R_C) \\ &= [value]\cdot [value] +[value]\cdot [value] +[value]\cdot [value] - 2\cdot [value]\cdot [value]\cdot [value] \\ &= [value]. \end{split}\] b) In this case the court makes a correct judgment only if judge \(A\) votes correctly. The probability that the majority's opinion is correct is therefore [value]. Thus, the probability that the court makes a correct judgment if judge \(C\) votes similarly to judge \(A\)Tässä tapauksessa tuomioistuin tekee oikean päätöksen vain silloin, kun tuomarin \(A\) lausuntoehdotus on oikein. Todennäköisyys sille, että tuomioistuin äänestää oikein, on [value]. Näin ollen todennäköisyys, että tuomiostuin tekee oikean päätöksen, jos tuomari \(C\) äänestää samalla tavalla kuin tuomari \(A\), onI det här fallet fattar domstolen rätt beslut bara om domare \(A\) röstar på rätt alternativ. Sannolikheten att domen blir rätt är alltså [value]. Således är sannolikheten is greatersuurempistörre does not changeyhtä suurioförändrad is smallerpienempimindre from before.kuin edellä.att domen blir rätt om domare \(C\) röstar på samma sätt som domare \(A\).

Suunnistusreitin pituus kartalla on [value] km.  Maaston esteistä, reittivalinnoista ym. johtuen suunnistajan kulkema todellinen matka on satunnaismuuttuja \(X\) (km) ja hänen keskinopeutensa on satunnaismuuttuja \(Y\) (km/h). Näiden riippumattomien satunnaismuuttujien tiheysfunktiot ja otosavaruudet ovat

\begin{eqnarray*}&&f(x)=[value], \ x\in \Omega_x=[[value],[value]],\ \ g(y)=[value], \ y\in \Omega_y=[[value],[value]]\end{eqnarray*}

a) Millä todennäköisyydellä suunnistaja pääsee perille alle kahdessa tunnissa? Anna vastaus tarkkana arvona tai 3 desimaalin tarkkuudella. Vastaus =

b) Kuinka kauan keskimäärin suunnistajalta menee reitillä? Anna vastaus tunteina tarkkana arvona tai 3 desimaalin tarkkuudella. Vastaus = h.
Feedback: a) Kun satunnaismuuttujat \(X\) (matka) ja \(Y\) (nopeus) ovat riippumattomia, niin satunnaisvektorin \((X,Y)\) yhteisjakauman tiheysfunktio saadaan tulona \begin{eqnarray*}&&f(x,y)=f(x)g(y)=[value]\cdot [value] = [value] \end{eqnarray*} ja otosavaruus on \begin{eqnarray*}&&\Omega=\{ (x,y)\mid [value]\leq x\leq [value],\ [value]\leq y \leq [value] \}\end{eqnarray*} Suunnistaja pääsee perille alle kahdessa tunnissa, kun matkaan kuluva aika \(\dfrac{X}{Y}<2 \Leftrightarrow \dfrac{X}{2}<Y\). Tämän tapahtuman todennäköisyys on \begin{eqnarray*} P\left( \dfrac{X}{2}<Y\right) &=& \int\limits_[value]^[value] \int\limits_{x/2}^{[value]} [value]\ dydx = \int\limits_[value]^[value] \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}{x/2}}^{\mspace{17mu}{[value]}} [value]\ \ dx \\ &=& \int\limits_[value]^[value] [value]\ dx\\ &=& \int\limits_[value]^[value] [value]\ dx\\ &=&\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]}[value]\\ &=& [value] = [value] \end{eqnarray*} b) Keskimääräinen aika reitillä on odotusarvo \begin{eqnarray*} E\left( \dfrac{X}{Y}\right) &=& \int\limits_[value]^[value] \int\limits_{[value]}^{[value]} \dfrac{x}{y}\cdot [value] \ dydx = \int\limits_[value]^[value] \int\limits_{[value]}^{[value]}[value] \ dydx \\ &=& \int\limits_[value]^[value] [value] \ dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]} [value] \\ &=& [value] = [value] \ h \end{eqnarray*}

Tietokilpailussa on kaksi kysymystä A ja B. Kysymykseen A oikein vastaamalla saa 200 euroa ja kysymykseen B 100 euroa. Vastaaja saa päättää, kumpi kysymys esitetään ensin ja hän saa yrittää vastata toiseen kysymykseen vain, jos ensimmäinen vastaus oli oikein. Vastaaja kokee osaavansa kysymyksen A todennäköisyydellä [value] ja kysymyksen B todennäköisyydellä [value]. Vastaukset ovat riippumattomia. Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

Kumpi kysymys kannattaa valita ensin? Laske voittosumman odotusarvo tapauksessa, jossa vastaaja yrittää ensin kysymystä

a) A |  |  |
b)  B |  |  |
Feedback: a) Kuvatkoon satunnaismuuttuja \(X\) voittosummaa. Lasketaan todennäköisyydet eri \(X\):n arvoille. Saadaan \(P(X=0)= 1-[value] = [value]\), \(P(X=200) = [value]\cdot (1-[value]) = [value]\), \(P(X=300) = [value]\cdot [value] = [value]\). Satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvoksi saadaan \(E(X) = [value]\cdot 0 + [value]\cdot 200 + [value]\cdot 300 = [value]\) b) Kuvatkoon satunnaismuuttuja \(Y\) voittosummaa. Lasketaan todennäköisyydet eri \(Y\):n arvoille. Saadaan \(P(Y=0) = 1-[value] = [value]\), \(P(Y=100) = [value]\cdot (1-[value]) = [value]\), \(P(Y=300) = [value]\cdot [value] = [value]\). Satunnaismuuttujan \(Y\) odotusarvoksi saadaan \(E(Y) = [value]\cdot 0 + [value]\cdot 100 + [value]\cdot 300 = [value]\)

Jatkuvan satunnaismuuttujan \( X \) tiheysfunktio on

\( f(x) = \large [value], \normalsize \quad x \in \Omega = [0,[value]]\).

\( \textbf{(a)} \) Laske ehdollinen todennäköisyys \( P(X < [value] \, | \, X \geq [value]) \).

Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) Laske \( E(X^3) \).

Vastaus: |

Anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella.
Feedback: Malliratkaisu: \( \textbf{(a)} \quad P(X < [value] \, | \, X \geq [value]) = \dfrac{P([value] \leq x < [value])}{P(x \geq [value])} = \dfrac{ \large \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x}{\large \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x} = \dfrac{\mathop{\Big/}\limits_{[value]}^{[value]} [value]}{\mathop{\Big/}\limits_{[value]}^{[value]} [value]} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \approx [value] \). \( \textbf{(b)} \quad E(X) = \large \int\limits_{0}^{[value]} x \cdot [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} [value] = [value] \approx [value] \) ja siten \( E(X^3) = \large \int\limits_{0}^{[value]} x^3 \cdot [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} [value] = [value] \).

Diskreetin satunnaisvektorin \( (X,Y) \) otosavaruus on \( \Omega = \{ (0,0), \, (1,1), \, (2,1), \, (1,3) \} \) ja tiheysfunktion arvot ovat

\( f(0,0) = \dfrac{[value]}{8}, \quad f(1,1) = \dfrac{[value]}{8}, \quad f(2,1) = \dfrac{[value]}{8}, \quad f(1,3) = \dfrac{[value]}{8} \).

Laske (tarkka arvo tai kolmen desimaalin tarkkuudella)

\( \text{Cov}(X,Y) = \) |
\( \text{Corr}(X,Y) = \) |

Ovatko \( X \) ja \( Y \) riippumattomia? Vastaa 'tosi', jos ovat tai 'epätosi', jos eivät ole.

Vastaus: |
Feedback: Malliratkaisu: \( E(X) \) saadaan laskemalla \( x \)-koordinaattien odotusarvo ja \( E(Y) \) laskemalla \( y \)-koordinaattien odotusarvo. \( \begin{align} E(X) &= \dfrac{[value]}{8} \cdot 0 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 = [value] \\ E(Y) &= \dfrac{[value]}{8} \cdot 0 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 3 = [value] \end{align} \) Vastaavasti \( E(XY) \) saadaan laskemalla tulojen \(xy\) odotusarvo: \( E(XY) = \dfrac{[value]}{8} \cdot 0 \cdot 0 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 \cdot 1 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 2 \cdot 1 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1 \cdot 3 = [value] \) Kovarianssi on siis \( \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) = [value]-[value]\cdot[value]=[value] = [value]\). Korrelaatiokerrointa varten tarvitaan vielä varianssit. Lasketaan ne kaavalla \( \text{Var}(X) = E \left( X^2 \right) - \left( E(X) \right)^2 \). \( \begin{align} E \left( X^2 \right) & = \dfrac{[value]}{8} \cdot 0^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 2^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1^2 = [value] \\ \\ E \left( Y^2 \right) & = \dfrac{[value]}{8} \cdot 0^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 1^2 + \dfrac{[value]}{8} \cdot 3^2 = [value] \end{align} \) ja varianssit ovat \( \text{Var}(X) = [value]- \left( [value] \right)^2 = [value] \) sekä \( \text{Var}(Y) = [value]- \left( [value] \right)^2 = [value] \). Näin saadaan \( \text{Corr}(X,Y) = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} = \dfrac{[value]}{\sqrt{[value]\cdot[value]}}=[value] = [value]\). Jos \( X \) ja \( Y \) ovat riippumattomia, niin \( \text{Cov}(X,Y) = 0 \). Tästä seuraa, että jos \( \text{Cov}(X,Y) \neq 0 \), niin \( X \) ja \( Y \) eivät ole riippumattomia. Nyt \( \text{Cov}(X,Y) = [value] \), joten \( X \) ja \( Y \) [value] riippumattomia.

Satunnaismuuttujan \( X \) odotusarvo \( E(X) = [value] \) ja \( \text{Var}(X) = [value] \). Mitä on \( E\left( (X-[value])^2 \right) \) ? Käytä ratkaisussa vakiota \(a\).

Vastaus: |
Feedback: Malliratkaisu: Koska \( \text{Var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \Rightarrow E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2 = [value] + [value] = [value]\), saadaan \( E\left( (X-[value])^2 \right) = E(X^2 - [value]X+[value]) = E(X^2) - [value]E(X) + [value] = [value]- [value] \cdot [value]+[value] = [value]\).