Title: Käänteiskuvaukset

Q: Lue kurssimateriaalin luvun 5.7 muutama ensimmäinen sivu, jossa esitellään, mitä funktion käänteiskuvaus tarkoittaa. Kiinnitä huomiota kuvausten lähtö- ja maalijoukkoihin! Ne eivät aina ole kaikki reaaliluvut...

Onko seuraavilla kuvauksilla olemassa käänteiskuvausta? Valitse kuhunkin kohtaan sopiva vaihtoehto.

a) \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, z \mapsto 3-5z\)

[...]

b) \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 3-5x\)

[...]

c) \(h \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto |n-2|\)

[...]
A: Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.; Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.
Gap 1 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.
Gap 2 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.
Gap 3 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole surjektio.
Feedback: a) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio. b) Käänteiskuvaus on olemassa. c) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.

Q: Onko seuraavilla kuvauksilla olemassa käänteiskuvausta? Valitse kuhunkin kohtaan sopiva vaihtoehto.

a) \(f \colon [4, \infty[ \to [1, \infty[, x \mapsto \sqrt{x-3}\)

[...]

b) \(g \colon \mathbb{R} \setminus \{5\} \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{3}{x-5} \)

[...]

c) \(h \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}, x \mapsto \frac{8}{x+2} \)

[...]
A: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.; Käänteiskuvaus on olemassa.
Gap 1 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.
Gap 2 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.
Gap 3 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole surjektio.
Feedback: a) Käänteiskuvaus on olemassa. b) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio. c) Käänteiskuvaus on olemassa.

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=[value]x+[value]\). Voidaan osoittaa, että kuvauksella \(f\) on olemassa käänteiskuvaus. Määritä käänteiskuvaus.

\(f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f^{-1}(x)=\)
Feedback: Käänteiskuvaus löydetään ratkaisemalla \(x\) yhtälöstä \(f(x)=y\), eli tässä tapauksessa yhtälöstä \([value]x+[value]=y\). Vähentämällä puolittain luku \([value]\) saadaan \([value]x = y - [value]\). Edelleen jakamalla puolittain luvulla \([value]\) saadaan \(x=\frac{y-[value]}{[value]}\). Näin ollen \(f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f^{-1}(x)=\frac{x-[value]}{[value]}\).

Olkoon \(A= [[value], \infty [\) ja \(B=[[value], \infty[\). Tarkastellaan kuvausta \(f \colon A \to B, f(x)=x^2-[value]x+[value]\).

Voidaan osoittaa, että kuvauksella \(f\) on olemassa käänteiskuvaus. Määritä kuvauksen \(f\) käänteiskuvaus. Neliöjuuren saat komennolla sqrt(). Esimerkiksi \(\sqrt{x}\) kirjoitettaisiin muodossa sqrt(x).

\(f^{-1} \colon B \to A, f^{-1}(x)=\)
Feedback: Oletetaan, että \(y \in [[value], \infty[\). Käänteiskuvaus löydetään ratkaisemalla \(x\) yhtälöstä \(f(x)=y\), eli tässä tapauksessa yhtälöstä \(x^2-[value]x+[value] =y\). Tehdään tämä kahdella tavalla. Tapa 1 Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa \(x^2-[value]x+([value]-y)=0\). Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan \(x = \frac{ -(-[value]) \pm \sqrt{(-[value])^2-4([value]-y)} }{2} = \frac{ [value] \pm \sqrt{[value]+4y} }{2}=\frac{ [value] \pm \sqrt{4(-[value]+y)} }{2} = \frac{ [value] \pm 2\sqrt{-[value]+y} }{2}\), eli \(x = [value]+\sqrt{y-[value]}\) tai \(x = [value]-\sqrt{y-[value]}\). Tapa 2 Täydennetään yhtälön vasen puoli neliöksi. Vähentämällä puolittain luku \([value]\) saadaan \(x^2-[value]x+[value]=y-[value]\), joka voidaan edelleen kirjoittaa muodossa \((x-[value])^2=y-[value]\). Tästä seuraa, että \(x-[value]=\pm \sqrt{y-[value]}\), eli \(x = [value]+\sqrt{y-[value]}\) tai \(x = [value]-\sqrt{y-[value]}\). Koska \(x \geq [value]\), niin valitaan näistä kahdesta vaihtoehdosta \(x = [value]+\sqrt{y-[value]}\). Näin ollen \(f^{-1} \colon [[value], \infty [ \to [[value], \infty[, f^{-1}(x)=[value]+\sqrt{x-[value]}\).

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{-[value]\} \to \mathbb{R} \setminus \{[value]\}, f(x)=\frac{ [value]x+[value] }{x+[value] }\). Voidaan osoittaa, että kuvauksella \(f\) on olemassa käänteiskuvaus. Määritä käänteiskuvaus.

\(f^{-1} \colon \mathbb{R} \setminus \{[value]\} \to \mathbb{R} \setminus \{-[value]\}, f^{-1}(x)= \)
Feedback: Oletetaan, että \(y \in \mathbb{R} \setminus \{[value]\}\). Käänteiskuvaus löydetään ratkaisemalla \(x\) yhtälöstä \(f(x)=y\), eli tässä tapauksessa yhtälöstä \(\frac{ [value]x+[value] }{x+[value] }=y\). Tästä saadaan \([value]x+[value]=yx+[value]y\). Siirtämällä kaikki muuttujaa \(x\) sisältävät termit samalle puolelle saadaan \(yx-[value]x=-[value]y+[value]\) eli \((y-[value])x=-[value]y+[value]\), josta saadaan edelleen \(x = \frac{-[value]y+[value]}{y-[value]}\). Näin ollen \(f^{-1} \colon \mathbb{R} \setminus \{[value]\} \to \mathbb{R} \setminus \{-[value]\}, f^{-1}(x)= \frac{-[value]x+[value]}{x-[value]}\).

Osoita, että kuvaus \(g\) on kuvauksen \(f\) käänteiskuvaus, jos \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ja \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) on määritelty asettamalla \(f(x)=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\) ja \(g(x)=2x+3\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Käänteiskuvauksen määritelmän mukaan on osoitettava, että \(f \circ g=\)id\(_{\mathbb{R}}\) ja \(g \circ f=\)id\(_{\mathbb{R}}\). Kuvauksilla \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ja id\(_{\mathbb{R}} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) on sama lähtö ja sama maali, joten riittää osoittaa, että \( (f \circ g)(x)=x\) ja \( (g \circ f)(x)=x\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Oletetaan, että \(x \in \mathbb{R} \). Nyt saadaan

\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\) \()= \frac{1}{2}(\) \() - \frac{3}{2} = \)

ja

\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\)  \()=2(\)  \() + 3 = \)  .

Näin on näytetty, että kuvaus \(g\) on kuvauksen \(f\) käänteiskuvaus.
Feedback: Käänteiskuvauksen määritelmän mukaan on osoitettava, että \(f \circ g=\)id\(_{\mathbb{R}}\) ja \(g \circ f=\)id\(_{\mathbb{R}}\). Kuvauksilla \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ja id\(_{\mathbb{R}} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) on sama lähtö ja sama maali, joten riittää osoittaa, että \( (f \circ g)(x)=x\) ja \( (g \circ f)(x)=x\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\). Oletetaan, että \(x \in \mathbb{R} \). Nyt saadaan \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+3) = \frac{1}{2}(2x+3)-\frac{3}{2} = x \) ja \( (g \circ f)(x) =g\left( \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \right) = 2 \left( \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \right) +3 =x \). Näin on näytetty, että kuvaus \(g\) on kuvauksen \(f\) käänteiskuvaus.

Määritä oheisen sovelman avulla käänteiskuvaus kuvaukselle \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), jolla \(f(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Liukusäädinten avulla voit muuttaa sinisen suoran kulmakerrointa \(k\) sekä vakiotermiä \(b\). Punaisella on piirretty tämän suoran peilikuva katkoviivalla piirretyn suoran \(y=x\) suhteen.

Käänteiskuvaus on \( f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), jolla \(f^{-1}(x) = \) .
Feedback: Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat symmetrisiä suoran \(y=x\) suhteen. Näin ollen käänteisfunktion lauseke saadaan muodostamalla punaiselle suoralle yhtälö, kun sinisen suoran yhtälö on \(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0.5x-0.5\). Luetaan punaiselta suoralta tässä tilanteessa kaksi pistettä, esimerkiksi \((0,1)\) ja \((1,3)\). Suoran kulmakerroin on \(k = \frac{3-1}{1-0} = 2\), joten suoran yhtälöksi saadaan \(y-1=2(x-0)\) eli \(y=2x+1\). Näin ollen \( f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), jolla \(f^{-1}(x) = 2x+1\).