Title: kuvaukset

Moodle-harjoitusten kehittämiseen ovat vuosien varrella osallistuneet Susanna Lankinen, Jesse Railo, Raine Rönnholm ja Miikka Vilander.

Q: K001
Seuraavan luettelon relaatiot esittävät funktioita $$f: X \to \{ 1, 2, 3 \},$$ jossa lähtöjoukko $$X$$ vaihtelee (ja on pääteltävissä kontekstista, koska kyseessä funktio). Valitse kunkin funktion kohdalla sitä vastaava luonnehdinta.
- $$\{ (1,1), (2,2), (3,2) \}$$ | ei injektio, ei surjektio
- $$\{ (1,1), (2,3), (3,2), (4,1), (5,2) \}$$ | ei injektio, on surjektio
- $$\{ (1,3), (2,2), (3,1) \}$$ | bijektio
- $$\{ (1,1), (2,2), (3,3) \}$$ | bijektio
- $$\{ (1,3), (2,2) \}$$ | on injektio, ei surjektio
- $$\{ (1,2), (2,1), (3,3) \}$$ | bijektio
- $$\{ (1,1), (2,3),(3,1), (4,3) \}$$ | ei injektio, ei surjektio

Q: K002

Seuraavan luettelon relaatiot esittävät funktioita $$f: X \to\mathbb{Z},$$ jossa lähtöjoukko $$X$$ vaihtelee (ja on pääteltävissä kontekstista, koska kyseessä funktio). Valitse kunkin funktion kohdalla sitä vastaava luonnehdinta.
- $$\{(n,n)\ |\ n\in\mathbb{N}\}$$ (siis funktion määrittelyjoukko luonnolliset luvut) | injektio, ei surjektio
- $$\{(n, n^2) \ |\ n\in\mathbb{Z}\}$$ | ei injektio, ei surjektio
- $$\{(n^2, n)\ |\ n \in \mathbb{N}\}$$ (määrittelyjoukko?) | injektio, ei surjektio
- $$\{ (n, \lfloor n \rfloor) \ |\ n \in \mathbb{R} \}$$ (lattiafunktio, ks. moniste) | ei injektio, surjektio
- $$\{(n+1, n-1)\ |\ n \in \mathbb{Z} \}$$ | bijektio
- $$\{(n,2n)\ |\ n \in \mathbb{Z}\}$$ | injektio, ei surjektio
- $$\{ (0,0), (2,-1), (4,-2), (6,-3) \ldots \} \cup$$ $$\{ (1,1), (3,2), (5,3), \ldots \}$$ | bijektio
- $$\{ (2,1), (4,2), (6,3) \ldots \} \cup$$ $$\{ (1,-1), (3,-2), (5,-3), \ldots \}$$ (siis funktion määrittelyjoukko positiiviset kokonaisluvut) | injektio, ei surjektio
- $$\{(2n, n)\ |\ n$$ positiivinen kokonaisluku $$\} \cup $$ $$\{(2n+1, -n)\ |\ n \in \mathbb{N} \}$$ | bijektio
- $$\{(n, 2n)\ |\ n$$ positiivinen kokonaisluku $$\} \cup $$ $$\{(-n, 2n+1)\ |\ n \in \mathbb{N} \}$$ | injektio, ei surjektio

Q: K003

Tutki ovatko seuraavat kuvaukset joko injektioita tai surjektioita tai molempia (eli bijektioita) tai ei kumpaakaan.
- $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}:f(x)=|x|$$ | injektio, ei surjektio
- $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}:f(x)=|x|$$ | ei injektio, surjektio
- $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}:f(x)=|x|$$ | bijektio
- $$f:\mathbb{N}\to\{0,1,2,3,4 \}$$ f(x) = x:n jakojäännös viidellä jaettaessa | ei injektio, surjektio
- $$f:\{2,3,4,6,7 \}\to\mathbb{N}$$ f(x) = x:n jakojäännös viidellä jaettaessa | ei injektio, ei surjektio
- $$f:\{3,9,15,21,32 \}\to\{0,1,2,3,4 \}$$ f(x) = x:n jakojäännös viidellä jaettaessa | bijektio
- Olkoon $$X = \{$$1.1.2013 elossa olevat ihmiset$$\}$$, $$Y = \{$$1.1.1800 jälkeen syntyneet ihmiset$$\}$$ $$f : X → Y : f(x) = x$$:n äiti | ei injektio, ei surjektio
- Olkoon $$X = \{$$1.1.2013 elossa olevat Suomen kansalaiset$$\}$$, $$Y = \{$$kaikki kelvolliset suomalaiset henkilötunnukset$$\}$$ $$f : X → Y : f(x) = x$$:n henkilötunnus | injektio, ei surjektio
- Olkoon $$X = \{$$1.1.2000 jälkeen syntyneet ihmiset$$\}$$, $$Y = \{ 0,1,2,...,13 \}$$ $$f : X → Y : f(x) = x$$:n ikä (vuosissa) 1.1.2013 | ei injektio, surjektio

Q: K004

Funktion $$f: \{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4,5\}$$ tiedetään olevan bijektio. Lisäksi tiedetään, että

$$f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 5$$

Merkitään $$g = f^{-1}$$.

Laske, jos mahdollista, seuraavat f:n käänteiskuvauksen g arvot.
- g(1) | 1
- g(2) | 5
- g(5) | 4
- g(g(4)) | 2
Also offered: 3; ei tiedossa annettujen tietojen pohjalta

Q: K005

Tarkastellaan relaatiota R, joka on bijektio. Käytetään relaatiolla R myös merkintää f:
$$f = R$$

Relaatiosta R ja sen käänteisrelaatiosta tiedetään lisäksi, että
$$0 R 4, \ 1 R 5,\ 2 R^{-1} 6,\ 3 R^{-1} 7$$

Mitä näiden tietojen perusteella voidaan sanoa seuraavista kuvauksesta f ja sen käänteiskuvauksesta koskevista väitteistä?
- $$f(0) = 4$$ | tosi
- $$f(4) = 0$$ | ei voi tietää
- $$f(1) = 0$$ | epätosi
- $$f(8) = 2$$ | epätosi
- $$f^{-1}(0) = 4$$ | ei voi tietää
- $$f^{-1}(4) = 0$$ | tosi
- $$f^{-1}(2) = 6$$ | tosi
- $$f^{-1}(6) = 6$$ | epätosi

Q: K006
Olkoon X kaikkien maapallolla juuri nyt elävien ihmisten joukko ja Y kaikkien maapallolla elävien tai eläneiden ihmisten joukko vaikkapa vuodesta 1000 lähtien. Määritellään isyys, äitiys yms. biologisin perustein. Onko f kuvaus $$X\to Y,$$ kun f(x) on x:n
- isä | ON kuvaus
- isoäiti | EI ole kuvaus
- äidin isä | ON kuvaus
- esikoinen | EI ole kuvaus
- isän vanhin lapsi | ON kuvaus

Q: K007

Tarkastellaan eräitä luonnollisten lukujen joukossa määriteltyjä relaatioita

$$R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$$

Tutki, mitkä niistä ovat kuvauksia. Jos kyseessä on kuvaus, tutki lisäksi sitä, onko kyseessä injektio, surjektio vai molemmat eli bijektio.
- $$R = \{ (2n, n) \mid n \in \mathbb{N} \}$$ | ei kuvaus
- $$R = \{ (n, 2n) \mid n \in \mathbb{N} \}$$ | kuvaus, joka injektio mutta ei surjektio
- $$R = \{ (2n, n) \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ (2n+1, n) \mid n \in \mathbb{N} \} $$ | kuvaus, joka surjektio mutta ei injektio
- $$R = \{ (n, 2n) \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ (n, 2n+1) \mid n \in \mathbb{N} \} $$ | ei kuvaus
- $$R = \{ (2n, 2n+1) \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ (2n+1, 2n) \mid n \in \mathbb{N} \} $$ | kuvaus, joka bijektio

Q: K008

Alla on annettu relaatioita $$R \subseteq X\times Y$$, jotka ovat kuvauksia. Ovatko ne injektioita, surjektioita tai bijektioita.

Valitse oikeat vaihtoehdot.
- R = {(1,2), (2,2), (3,1)} X = Y = {1,2,3} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,1)} X = Y = {1,2,3} | bijektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} X = Y = {1,2,3,...} | injektio, ei surjektio
- R = {(1,10), (2,10), (4, 8) (6,6), (8,4), (10,2)} X = Y = {1,2,4,6,8,10} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,2), (5,3),(6,3),... } X = Y = {1,2,3,...} | ei injektio, surjektio
- R = {(n,n) | n luonnollinen luku} X = Y = {0,1,2,...} | bijektio
- R = {(n,n) | n luonnollinen luku} X = {0,1,2,...}, Y = {...,-2,-1,0,1,2,...} | injektio, ei surjektio
- R = {(m, 2m +1) | m luonnollinen luku} X = Y = {0,1,2,...} | injektio, ei surjektio
- R = {(m, 2m +1) | m luonnollinen luku} X = {0,1,2,...}, Y = {1,3,5,...} | bijektio
- R = {(2m+1,m) | m luonnollinen luku} X = {1,3,5,...}, Y = {0,1,2,3,...} | bijektio
Also offered: bijektio

Q: K009

Alla on annettu relaatioita R. Tarkastellaan vastaavia kuvauksia f : X → X, jossa X on relaation R määrittelyjoukko. Huomaa, että funktion f maalijoukko on sen lähtöjoukko (joka siis on R:n määrittelyjoukko). Valitse oikeat vaihtoehdot.
- R = {(1,2), (2,2), (3,1)} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,1)} | bijektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} | injektio, ei surjektio
- R = {(1,10), (2,10), (4, 8) (6,6), (8,4), (10,2)} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,2), (5,3),(6,3),... } | ei injektio, surjektio
- R = {(m, 2m + 1) : m luonnollinen luku} | injektio, ei surjektio
- R = {(m, 2m) : m kokonaisluku} | injektio, ei surjektio
- R = {(n,n) : n luonnollinen luku} | bijektio
- R = {(m,n) : m, n kokonaislukuja, m = |n| } (kompakysymys!) | bijektio

Q: K010

Alla on annettu relaatioita $$R \subseteq X\times Y$$ . Tarkastellaan vastaavia kuvauksia

$$f:X\to Y$$

Valitse oikeat vaihtoehdot.
- R = {(1,2), (2,2), (3,1)} X = Y = {1,2,3} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,1)} X = Y = {1,2,3} | bijektio
- R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} X = Y = {1,2,3,...} | injektio, ei surjektio
- R = {(1,10), (2,10), (4, 8) (6,6), (8,4), (10,2)} X = Y = {1,2,4,6,8,10} | ei injektio eikä surjektio
- R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,2), (5,3),(6,3),... } X = Y = {1,2,3,...} | ei injektio, surjektio
- R = {(n,n) | n luonnollinen luku} X = Y = {0,1,2,...} | bijektio
Also offered: bijektio

Q: K011
Onko relaatio $$R$$ kuvaus joukolta $$X=\{1,2,3\}$$ joukkoon
$$Y=\{4,5,6\}$$, kun $$R$$ on
- $$\{(1,4),(2,5)\}$$ | EI ole kuvaus
- $$\{(1,4),(1,5),(2,5),(3,6)\}$$ | EI ole kuvaus
- $$\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$$ | ON kuvaus
- $$\{(1,5),(2,6),(3,7)\}$$ | EI ole kuvaus

Q: K012

Olkoot f ja g kuvauksia $$\{ 1,2,3,4,5 \} \to \{ 1,2,3,4,5 \}$$, jotka saavat seuraavat arvot:

$$(f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)) = (3,2,1,2,3)$$

$$(g(1), g(2), g(3), g(4), g(5)) = (5,4,3,2,1)$$

Laske seuraavat yhdistettyjen funktioiden arvo. Näiden yhdistettyjen funktioiden määrittely- ja maalijoukot oletetaan valittavan sopivasti.
- $$(f\circ f)(5)$$ | 1
- $$(g\circ g)(2)$$ | 2
- $$(f\circ g)(3)$$ | 1
- $$(g\circ f)(3)$$ | 5
- $$(f\circ f\circ f)(1)$$ | 3

Q: K013
Tarkastellaan joukossa {1,2,3,4,5} määriteltyä relaatiota

f = {(1,1), (2,2),(3,2),(4,5),(5,4)},

joka on funktio, ja seuraavia esimerkkejä, joissa valitaan joukon {1,2,3,4,5} osajoukot A ja B

(Esim1) A = {2,3}, B = {1,2}
(Esim2) A = {4,5}, B = {4,5}
(Esim3) A = {1,2}, B = {3,4}

Merkitse seuraavaan taulukkoon, mille yleiseksi väitetylle säännölle nämä valinnat ovat vastaesimerkkejä. Sama valinta voi olla vastaesimerkki useammallekin säännölle ja joku sääntö voi olla yleisesti voimassa, jolloin sille ei näistäkään valinnoista löydy vastaesimerkkiä.

 | Onko esimerkki vastaesimerkki säännölle?
 | (Esim1) | (Esim2) | (Esim3)
$$f(A \setminus B) = f(A) \setminus f(B)$$ | [...] | [...] | [...]
$$f^{-1}(A\setminus B) = f^{-1}(A) \setminus f^{-1}(B)$$ | [...] | [...] | [...]
$$f^{-1}(f(A))=A$$ | [...] | [...] | [...]
$$f(f^{-1}(A))=A$$ | [...] | [...] | [...]
A: ON; ON / EI OLE; ON; EI OLE; EI OLE; EI OLE; EI OLE; EI OLE; ON; ON; EI OLE; EI OLE
Gap 1 offers: ON; EI OLE
Gap 2 offers: ON; EI OLE
Gap 3 offers: ON; EI OLE
Gap 4 offers: ON; EI OLE
Gap 5 offers: ON; EI OLE
Gap 6 offers: ON; EI OLE
Gap 7 offers: ON; EI OLE
Gap 8 offers: ON; EI OLE
Gap 9 offers: ON; EI OLE
Gap 10 offers: ON; EI OLE
Gap 11 offers: ON; EI OLE
Gap 12 offers: ON; EI OLE

Q: K014

Olkoon

R = {(1,1),(2,2),(3,3)}

S = {(1,1), (2,1), (3,2),(4,2)}

T = {(1,1),(2,1),(3,2)}

Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {1,2,3} (huomaa, että lähtö- ja maalijoukot vaihtelevat)

Valitse todet väitteet.
- R on kuvaus X → Y
- S on kuvaus X → Y
- R on kuvaus Y → X
- R^-1 on kuvaus Y → X
- S^-1 on kuvaus Y → X
- T^-1 on kuvaus Y → Y
- R U S on kuvaus X → Y (U unioni)
- R U T on kuvaus Y → X (U unioni)
- R U {(1,1),(4,4)} on kuvaus X → X (U unioni)
- R ∩ S on kuvaus X → Y
- R ∩ S on kuvaus Y → X
- S ∩ T on kuvaus X → Y
- S ∩ T on kuvaus Y → X
A: S on kuvaus X → Y; R on kuvaus Y → X; R^-1 on kuvaus Y → X; R U {(1,1),(4,4)} on kuvaus X → X (U unioni); S ∩ T on kuvaus Y → X

Q: K015

Olkoon

R = {(1,1),(1,4),(2,1), (3,3),(4,3)}

S = {(1,2), (2,1), (3,3)}

Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {1,2,3} (huomaa, että lähtö- ja maalijoukot vaihtelevat)

Valitse todet väitteet.
- R on kuvaus X → X
- S on kuvaus X → X
- RoR on kuvaus X → X (o yhdistetty kuvaus)
- RoS on kuvaus X → X
- SoS on kuvaus Y → X
- SoR on kuvaus Y → X
A: RoS on kuvaus X → X; SoS on kuvaus Y → X

Q: K016

Tarkastellaan positiivisten kokonaislukujen joukossa { 1,2,3,... } määriteltyjä relaatioita R, joiden sääntö xRy on annettu alla. Valitse ne, jotka ovat kuvauksia.
- xRy, joss x = y - 2
- xRy, joss x - 2 = y
- xRy, joss x/y on kokonaisluku
- xRy, joss y/x on kokonaisluku
- xRy, joss 38841x = 321y
- xRy, joss 321x = 38841y
- xRy, joss y on suurin sellainen luku, että x < y
- xRy, joss y on pienin sellainen luku, että x < y
- xRy, joss y on suurin sellainen luku, että y < x + 13
- xRy, joss y on suurin sellainen luku, että y + 13 < x.
- xRy, joss xy = 1 tai y on suurin sellainen luku, että y < x
- xRy, joss (x = 1 ja y = 2) tai (x = 2 ja y = 1) tai y on pienin sellainen luku, että y < x.
- xRy, joss x = y^2
- xRy, joss x = x^y
- xRy, joss (x+y)(x-y) = 0
A: xRy, joss x = y - 2; xRy, joss 38841x = 321y; xRy, joss y on pienin sellainen luku, että x < y; xRy, joss y on suurin sellainen luku, että y < x + 13; xRy, joss xy = 1 tai y on suurin sellainen luku, että y < x; xRy, joss (x = 1 ja y = 2) tai (x = 2 ja y = 1) tai y on pienin sellainen luku, että y < x.; xRy, joss x = x^y; xRy, joss (x+y)(x-y) = 0

Q: K017
Tarkastellaan kaikkia funktioita $$f : \{ 1,2,3,4,5 \} \to \{ 1,2,3,4,5 \}$$ ja joukkoja $$A,B \subseteq \{ 1,2,3,4,5 \}$$. Ovatko seuraavat väitteet aina tosia? Valitse todet väitteet. Kuvioiden piirtäminen auttanee.
- $$f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)$$
- $$f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B)$$
- $$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$$
- $$f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)$$
- $$f^{-1}(A \cup B) \subseteq f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$$
- $$f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cup B)$$
- $$f^{-1}(A \cap B) \subseteq f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$$
- $$f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap B)$$
- $$A \subseteq f^{-1}(f(A))$$
- $$f^{-1}(f(A)) \subseteq A$$
- $$A \subseteq f(f^{-1}(A))$$
- $$f(f^{-1}(A)) \subseteq A$$
A: $$f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)$$; $$f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B)$$; $$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$$; $$f^{-1}(A \cup B) \subseteq f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$$; $$f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cup B)$$; $$f^{-1}(A \cap B) \subseteq f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$$; $$f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap B)$$; $$A \subseteq f^{-1}(f(A))$$; $$f(f^{-1}(A)) \subseteq A$$

Q: K018

Olkoon $$f$$ lattiafunktio $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ (katso luentokalvot).

Joukon {-2, 1, 3} alkukuvien joukko on ääretön. Valitse seuraavista vaihtoehdoista ne alkiot x, joille

$$x \in f^{-1}(\{ -2, 1, 3 \})$$
- 4
- 3.5
- 3.2
- 2.5
- 2
- 1.5
- 1
- 0
- -0.5
- -0.9
- -1.3
- -1.8
- -2.1
- -2.5
- -3
- -3.1
A: 3.5; 3.2; 1.5; 1; -1.3; -1.8

Q: K019

Valitse seuraavista relaatioista $$R \subseteq X \times Y$$ ne, jotka ovat kuvauksia
$$f : X \to Y$$
- R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} X = {1,2,3,...}, Y = {0,1,2,...}
- R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} X = {0,1,2,...}, Y = {1,2,3,...}
- R = {(0,0), (1,1), (1,-1),(2,2),(2,-2),...} X = Y = {...,-2,-1,0,1,2,...}
- R = {(0,0), (1,1), (1,-1),(2,2),(2,-2),...} X = {0,1,2,...}, Y = {...,-2,-1,0,1,2,...}
- R = {(n,2n) | n on luonnollinen luku } X = Y = {0,1,2,...}
- R = {(2n,n) | n on luonnollinen luku } X = Y = {0,1,2,...}
A: R = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} X = {1,2,3,...}, Y = {0,1,2,...}; R = {(n,2n) | n on luonnollinen luku } X = Y = {0,1,2,...}

Q: K020

Olkoon

R = {(1,1),(2,2),(3,3)}

S = {(3,2),(4,2)}

T = {(1,1),(4,4)}

Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {1,2,3}.

Valitse todet väitteet.
- R on kuvaus X → Y
- S on kuvaus X → Y
- T on kuvaus X → Y
- R^-1 on kuvaus Y → X
- S^-1 on kuvaus Y → X
- T^-1 on kuvaus Y → X
- R U S on kuvaus X → Y (U unioni)
- R U T on kuvaus X → Y (U unioni)
- S U T on kuvaus X → Y (U unioni)
- R ∩ S on kuvaus X → Y
- R ∩ T on kuvaus X → Y
- S ∩ T on kuvaus X → Y
A: R^-1 on kuvaus Y → X; R U T on kuvaus X → Y (U unioni)

Q: K021
Alla on lueteltu osa joukossa {1,2} määritellyistä relaatioista. Etsi luettelosta kuvauksia
$$f: \{1,2 \} \to \{1,2 \}.$$
Huomaa myös viimeinen kohta.
- $$\emptyset$$
- $$\{ (1,1) \}$$
- $$\{ (1,1), (2,1) \}$$
- $$\{ (1,1), (1,2), (2,2) \}$$
- $$\{ (1,1), (1,1), (2,2) \}$$
- $$\{ (1,2), (2,2) \}$$
- $$\{ (1,1), (1,2),(2,1),(2,2) \}$$
- yllä olevassa luettelossa ei ole mukana kaikkia funktioita $$f: \{1,2 \} \to \{1,2 \}.$$
A: $$\{ (1,1), (2,1) \}$$; $$\{ (1,1), (1,1), (2,2) \}$$; $$\{ (1,2), (2,2) \}$$; yllä olevassa luettelossa ei ole mukana kaikkia funktioita $$f: \{1,2 \} \to \{1,2 \}.$$

Q: K022

Olkoon annettu seuraavat relaatiot positiivisten kokonaislukujen joukossa:

$$R = \{ (1,1), (2,2) \} \cup \{ (n,n+1) \ |\ n = 3,4,5,\ldots \}$$
$$S = \{ (n, 2n) \ |\ n = 1,2,3, \ldots \}$$  (korjaus n = 0,1, -> n = 1,2,  AV)

Relaatiot R ja S ovat kuvauksia. Käytetään näille kuvauksille merkintöjä f = R ja g = S:

$$f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+,\ f(x) = y \Leftrightarrow xRy$$ ja

$$g:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+,\ g(x) = y \Leftrightarrow xSy$$

Valitse seuraavista todet väitteet
- $$1 R \circ S 2$$
- $$3 R \circ S 8$$
- $$(f \circ g)(1) = 2$$
- $$(f \circ g)(3) = 8$$
- $$2 S \circ R 6$$
- $$20 S \circ R 41$$
- $$(g\circ f)(3) = 8$$
- $$(g\circ f)(20) = 41$$
A: $$1 R \circ S 2$$; $$3 R \circ S 8$$; $$(f \circ g)(1) = 2$$; $$20 S \circ R 41$$; $$(g\circ f)(3) = 8$$

Q: K041

Tarkastellaan positiivisten kokonaislukujen joukossa { 1,2,3,... } määriteltyjä relaatioita R, joiden sääntö xRy on annettu alla (lisäksi siis edellytetään x ja y positiivisia kokonaislukuja). Valitse ne, jotka ovat kuvauksia.
- xRy, joss x = y - 2
- xRy, joss x - 2 = y
- xRy, joss x/y on kokonaisluku
- xRy, joss y/x on kokonaisluku
- xRy, joss 38841x = 321y
- xRy, joss 321x = 38841y
- xRy, joss y on suurin sellainen luku, että x < y
- xRy, joss y on pienin sellainen luku, että x < y
A: xRy, joss x = y - 2; xRy, joss 38841x = 321y; xRy, joss y on pienin sellainen luku, että x < y

Q: K023
Olkoon $$f$$ Dirichlet'n funktio $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = 1$$, kun $$x \in \mathbb{Q}$$,
$$f(x) = 0$$, kun $$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$ (katso luentokalvot).

Anna kuvajoukko $$f(\{ -2, -\sqrt{2}, -1, 0, 1, \sqrt{2}, 2 \})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Tyhjä joukko on "{}"
A: 0,1

Q: K024
Olkoon $$f$$ Dirichlet'n funktio $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = 1$$, kun $$x \in \mathbb{Q}$$,
$$f(x) = 0$$, kun $$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$ (katso luentokalvot).

Anna kuvajoukko $$f(\mathbb{N})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Tyhjä joukko on "{}"
A: 1

Q: K025

Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan funktiota
$$f : \{ 1,2,3,4,5,6 \} \to \{ 1,2,3,4,5,6 \},$$
jotka esitetään numerojonona f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6) seuraavasti:

f:= 432615

Siis tämä tarkoittaa, että esimerkiksi f(1) = 4, f(2)=3, f(3)=2 jne. Myös vastaukset annetaan tämänkaltaisena numerojonona.

Mikä on funktion f käänteisfunktio? Anna vastaus numerojonona, esimerkiksi "123456" ilman lainausmerkkejä (tämä ei tosin ole oikea vastaus).
A: 532164

Q: K026
Olkoon f := 32154.

Mikä on $$f \circ f \circ f \circ f \circ f$$ ?
Anna vastaus numerojonona.
A: 32154

Q: K027
Olkoon f := 32154.

Mikä on $$f \circ f \circ f \circ f$$ ?
Anna vastaus numerojonona.
A: 12345

Q: K028

Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan funktioita
$$f, g : \{ 1,2,3,4,5 \} \to \{ 1,2,3,4,5 \},$$
jotka esitetään numerojonona f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) ja g(1)g(2)g(3)g(4)g(5)  seuraavasti:

 f := 32154 ja g := 54321

Tämä siis tarkoittaa, että esimerkiksi f(1) = 3, f(2)=2, f(3)=1 jne. Myös vastaukset annetaan tämänkaltaisena numerojonona.

Mikä on $$f \circ g \circ f$$ ?
Anna vastaus numerojonona, esimerkiksi "12345" ilman lainausmerkkejä (tämä ei tosin ole oikea vastaus).
A: 15432

Q: K029
Olkoon f := 32154 ja g := 54321

Mikä on käänteisfunktio $$(g \circ f \circ g)^{-1}$$ ?
Anna vastaus numerojonona.
A: 21543

Q: K030
Olkoon g := 54321

Mikä on $$g \circ g$$ ?
Anna vastaus numerojonona.
A: 12345

Q: K031
Olkoon g := 54321

Mikä on $$g \circ g^{-1} \circ g$$ ?
Anna vastaus numerojonona.
A: 54321

Q: K032
Olkoon f := 432615 ja g := 224355

Mikä on funktioiden f ja g yhdistetty funktion $$f\circ g$$? Anna vastaus numerojonona, esimerkiksi "123456" ilman lainausmerkkejä (tämä ei tosin ole oikea vastaus).
A: 336211

Q: K033
Olkoon f := 432615 ja g := 224355

Mikä on funktioiden g ja f yhdistetty funktion $$g\circ f$$? Anna vastaus numerojonona, esimerkiksi "123456" ilman lainausmerkkejä (tämä ei tosin ole oikea vastaus).
A: 342525

Q: K034
Olkoon $$f$$ kattofunktio $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = \lceil x \rceil$$ (katso luentokalvot).

Anna kuvajoukko $$f(\{-\frac{5}{4},\ -\frac{1}{2},\ 0, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{11}{3} \})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3", tyhjä joukko on "{}" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen).
A: -1,0,1,4
Partly right: -1,0,1 (50%); 0,1,4 (50%); -1,1,4 (50%); -1,0,4 (50%)

Q: K035
Olkoon $$f$$ lattiafunktio $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ (katso luentokalvot).

Joukon {-2, 1, 3} alkukuvien joukko on ääretön. Anna leikkausjoukko $$f^{-1}({-2, 1, 3}) \cap \{-4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.01, 0.1, 1, 1.01, 1.1, 2, 2.1, 3, 3.1, 4, 5 \}$$

Huomaa, että tässä on desimaalipilkkuna käytety desimaalipistettä luettavuuden vuoksi.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {0, 0.1, 0.01}, niin se annetaan muodossa "0,0.01,0.1" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen).

Voit kopioida ja muokata vastauksen jonosta
-4,-3.5,-3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.01,0.1,1,1.01,1.1,2,2.1,3,3.1,4,5
Tyhjä joukko on "{}"
A: -2,-1.5,1,1.01,1.1,3,3.1 / -2,-1.5,1,1.1,1.01,3,3.1

Q: K036
Olkoon $$f$$ itseisarvofunktiojoukossa eli $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = |x|$$.

Anna alkukuvien joukko $$f^{-1}(\{ -5, -4, -1, 0, 3 \})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen). Tyhjä joukko on "{}"
A: -3,0,3

Q: K037
Olkoon $$f$$ funktio neliöfunktio kokonaislukujen joukossa eli $$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = x^2$$.

Anna alkukuvien joukko $$f^{-1}(\{ -9, -4, -1, 1, 3, 5,7, 9 \})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen). Tyhjä joukko on "{}"
A: -3,-1,1,3

Q: K038
Olkoon $$f$$ neliöfunktio luonnollisten lukujen joukolta kokonaislukujen joukkoon eli $$f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = x^2$$.

Anna alkukuvien joukko $$f^{-1}(\{ -2,-1,0, 1, 2,3,4,5 \})$$ eli joukko $$\{ x \in \mathbb{N} | f(x) \in \{ -2,-1,0, 1, 2,3,4,5 \} \}$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen). Tyhjä joukko on "{}"
A: 0,1,2

Q: K039
Olkoon $$f$$ neliöfunktio luonnollisten lukujen joukossa eli $$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$, $$f(x) = x^2$$.

Anna alkukuvien joukko $$f^{-1}(\{ 2,3,5 \})$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen). Tyhjä joukko on "{}"
A: {}

Q: K040
Olkoon $$f$$ funktio neliöfunktio kokonaislukujen joukossa eli $$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$, $$f(x) = x^2$$.

Anna kuvajoukko $$f(\{ -3, -2, -1, 0,1,2, 3 \}) = \{ f(-3), f(-2), f(-1), f(0),f(1),f(2), f(3) \}$$.

Anna vastaus luettelemalla joukon alkiot pienimmästä suurimpaan pilkulla erotettuna ilman välilyöntejä tai aaltosulkeita. Esimerkiksi jos vastaus olisi joukko {2,3,-2,-3}, niin se annetaan muodossa "-3,-2,2,3" (lainausmerkit eivät sisälly vastaukseen). Tyhjä joukko on "{}"
A: 0,1,4,9