Title: IMA1 Matlab (viikko 6)

Q: Valitse paras ilmaus siten, että todistus on looginen ja noudattaa hyvää matemaattista kirjoitustapaa.

Osoitetaan kaikille \(m,n \in \mathbb{Z}\) väite "jos \(mn\) ja \(m + n\) ovat parillisia, niin \(m\) ja \(n\) ovat kumpikin parillisia".

Todistus. [...] väitteen kontrapositio "jos ainakin toinen luvuista \(m\) ja \(n\) on pariton, niin \(mn\) on pariton tai \(m+n\) on pariton".

[...] \(m\) on pariton. [...] \(m = 2k + 1\) [...] \(k \in \mathbb{Z}\). Koska \(n\) voi olla parillinen tai pariton, niin on tutkittava tapaukset erikseen.

1. [...] \(n\) on parillinen. Nyt \(n = \) [...] [...] \(l \in \mathbb{Z}\). Laskemalla nähdään, että \(m + n = 2k + 1 + 2l = 2(k+l) + 1\), [...] \(k+l \in \mathbb{Z}\). Siis \(m+n\) on pariton.
2. [...] \(n\) on pariton. Nyt \(n = \) [...] [...] \(l \in \mathbb{Z}\). Laskemalla nähdään, että \(mn = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1\), [...] \(2kl+k+l \in \mathbb{Z}\). Siis \(mn\) on pariton.

Molemmissa tapauksissa [...]. Olemme nyt [...] väitteen kontraposition, joten väite pätee.

Huomaa, että olisimme alussa voineet yhtä hyvin olettaa, että \(n\) on pariton.
A: Todistetaan; Oletetaan, että; Tällöin; jollakin; Oletetaan, että; 2l; jollakin; missä; Oletetaan, että; 2l + 1; jollakin; missä; m+n tai mn on pariton; osoittaneet
Gap 1 offers: Oletetaan; Todistetaan
Gap 2 offers: Oletetaan, että; Tiedetään, että; Päätellään, että
Gap 3 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tällöin
Gap 4 offers: kun; jos; jollakin; kaikilla
Gap 5 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tiedetään, että
Gap 6 offers: 2l; 2l + 1
Gap 7 offers: kun; jos; jollakin; kaikilla
Gap 8 offers: kun; missä; jos
Gap 9 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tiedetään, että
Gap 10 offers: 2l; 2l + 1
Gap 11 offers: kun; jos; jollakin; kaikilla
Gap 12 offers: kun; missä; jos
Gap 13 offers: m+n ja mn ovat parittomia; m+n tai mn on pariton
Gap 14 offers: olettaneet; osoittaneet; muodostaneet
Feedback: Todistus. Todistetaan väitteen kontrapositio "jos ainakin toinen luvuista \(m\) ja \(n\) on pariton, niin \(mn\) on pariton tai \(m+n\) on pariton". Oletetaan, että \(m\) on pariton. Tällöin \(m = 2k + 1\) jollakin \(k \in \mathbb{Z}\). Koska \(n\) voi olla parillinen tai pariton, niin on tutkittava tapaukset erikseen. 1. Oletetaan, että \(n\) on parillinen. Nyt \(n = 2l\) jollakin \(l \in \mathbb{Z}\). Laskemalla nähdään, että \(m + n = 2k + 1 + 2l = 2(k+l) + 1\), missä \(k+l \in \mathbb{Z}\). Siis \(m+n\) on pariton. 2. Oletetaan, että \(n\) on pariton. Nyt \(n = 2l + 1\) jollakin \(l \in \mathbb{Z}\). Laskemalla nähdään, että \(mn = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1\), missä \(2kl+k+l \in \mathbb{Z}\). Siis \(mn\) on pariton. Molemmissa tapauksissa \(m+n\) tai \(mn\) on pariton. Olemme nyt osoittaneet väitteen kontraposition, joten väite pätee. Huomaa, että olisimme alussa voineet yhtä hyvin olettaa, että \(n\) on pariton.

Q: Valitse paras vaihtoehto niin, että todistus on looginen ja noudattaa hyvää matemaattista kirjoitustapaa. Tarkasteltava väite on "jos \(\frac{1}{x}\) on irrationaaliluku, niin \(x\) on irrationaaliluku".

Todistus. [...] väitteen kontrapositio, joka on "jos \(x\) on rationaaliluku, niin \(\frac{1}{x}\) on rationaaliluku".

[...] \(x \in \mathbb{Q}\). [...] \(x = \frac{n}{k}\) [...] \(n, k \in \mathbb{Z}\).

Nähdään, että (Valitse mielekkäin esitysjärjestys allaolevista.) [...]

     a) \(\frac{k}{n} = \left(\frac{n}{k}\right)^{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}\)

     b) \(\left(\frac{n}{k}\right)^{-1} = \frac{k}{n} = x^{-1} = \frac{1}{x}\)

     c) \(\frac{1}{x} = x^{-1} = \left(\frac{n}{k}\right)^{-1} = \frac{k}{n}\)

     d) \(x^{-1} = \left(\frac{n}{k}\right)^{-1} = \frac{1}{x} = \frac{k}{n}\)

[...] \(k, n \in \mathbb{Z}\). Näin ollen \(\frac{1}{x} \in \mathbb{Q}\), mikä [...].
A: Todistetaan; Oletetaan, että; Tällöin; joillakin; c); missä; oli osoitettava
Gap 1 offers: Oletetaan; Todistetaan
Gap 2 offers: Oletetaan, että; Tiedetään, että; Osoitetaan, että
Gap 3 offers: Oletetaan myös, että; Tällöin; Osoitetaan, että
Gap 4 offers: joillakin; kun; jos; mielivaltaisilla
Gap 5 offers: a); b); c); d)
Gap 6 offers: missä; kun; mielivaltaisilla; kaikilla
Gap 7 offers: oltiin oletettu; on ristiriita; oli osoitettava
Feedback: Todistus. Todistetaan väitteen kontrapositio, joka on "jos \(x\) on rationaaliluku, niin \(\frac{1}{x}\) on rationaaliluku". Oletetaan, että \(x \in \mathbb{Q}\). Tällöin \(x = \frac{n}{k}\) joillakin \(n, k \in \mathbb{Z}\). Nähdään, että \(\frac{1}{x} = x^{-1} = \left(\frac{n}{k}\right)^{-1} = \frac{k}{n}\), missä \(k, n \in \mathbb{Z}\). Näin ollen \(\frac{1}{x} \in \mathbb{Q}\), mikä oli osoitettava.

Q: Valitse paras ilmaus siten, että todistus on looginen ja noudattaa hyvää matemaattista kirjoitustapaa.

Osoitetaan, että \(6^n - 1\) on jaollinen luvulla \(5\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Todistus. Alkuaskel: [...] väite pätee luvulla \(0\). Nyt \(6^0 - 1 = 1 - 1 = 0\) ja luku \(0\) on jaollinen [...]. Siis väite pätee luvulla \(0\).

Induktioaskel: [...] väite pätee [...] \(k \in \mathbb{N}\). [...] väite pätee myös [...] luvulla \(k+1\).

Induktio-oletuksen nojalla \(6^k - 1\) on jaollinen luvulla \(5\), mikä [...] mukaan tarkoittaa sitä, että \(6^k - 1 = 5m\) [...] \(m \in \mathbb{Z}\). Tämä on [...] sen kanssa, että \(6^k = 5m + 1\). Nähdään, että

\(6^{k+1} - 1 = 6 \cdot 6^k - 1\)

                  \( = 6(5m + 1) - 1\)

                  \( = 30m + 5\)

                  \( =  5(6m + 1)\),

[...] \(6m + 1 \in \mathbb{Z}\). Määritelmän nojalla \(6^{k+1} - 1\) on jaollinen luvulla \(5\), joten väite pätee myös [...] luvulla \(k+1\).

Olemme osoittaneet, että väite pätee [...] \(n \in \mathbb{N}\).
A: Osoitetaan, että; luvulla 5; Oletetaan, että; jollakin; Osoitetaan, että; (tyhjä); määritelmän; jollakin; yhtäpitävää; missä; (tyhjä); kaikilla
Gap 1 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tiedetään, että; (tyhjä)
Gap 2 offers: 5:llä; luvulla 5; (tyhjä)
Gap 3 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tiedetään, että; (tyhjä)
Gap 4 offers: jollakin; kaikilla; kun; jos
Gap 5 offers: Oletetaan, että; Osoitetaan, että; Tiedetään, että; (tyhjä)
Gap 6 offers: jollakin; mielivaltaisella; (tyhjä)
Gap 7 offers: määritelmän; oletuksen; alkuaskeleen
Gap 8 offers: jollakin; kaikilla; kun; jos
Gap 9 offers: yhtäsuurta; yhtäpitävää; sama
Gap 10 offers: kun; jos; missä
Gap 11 offers: jollakin; mielivaltaisella; (tyhjä)
Gap 12 offers: jollakin; kaikilla; tietyillä
Feedback: Todistus. Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee luvulla \(0\). Nyt \(6^0 - 1 = 1 - 1 = 0\) ja luku \(0\) on jaollinen luvulla \(5\). Siis väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel: Oletetaan, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N}\). Osoitetaan, että väite pätee myös luvulla \(k+1\). Induktio-oletuksen nojalla \(6^k - 1\) on jaollinen luvulla \(5\), mikä määritelmän mukaan tarkoittaa sitä, että \(6^k - 1 = 5m\) jollakin \(m \in \mathbb{Z}\). Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että \(6^k = 5m + 1\). Nähdään, että \(6^{k+1} - 1 = 6 \cdot 6^k - 1\) \( = 6(5m + 1) - 1\) \( = 30m + 5\) \( = 5(6m + 1)\), missä \(6m + 1 \in \mathbb{Z}\). Määritelmän nojalla \(6^{k+1} - 1\) on jaollinen luvulla \(5\), joten väite pätee myös luvulla \(k+1\). Olemme osoittaneet, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Q: Valitse paras ilmaus siten, että todistus on looginen ja noudattaa hyvää matemaattista kirjoitustapaa.

Osoitetaan, että jos \(A \neq \emptyset\), niin \(A \cup B \neq \emptyset\).

Todistus

[...], että \(A \neq \emptyset\). [...] \(x \in A\). Nyt yhdisteen [...] nojalla \(x \in A \cup B\).  [...] \(A \cup B \neq \emptyset\), mikä todistaa väitteen.
A: Oletetaan; Tällöin on olemassa; määritelmän; Näin ollen
Gap 1 offers: Oletetaan; Tiedetään; Päätellään
Gap 2 offers: Tällöin on olemassa; Oletetaan, että; Olkoon
Gap 3 offers: määritelmän; lauseen; lemman
Gap 4 offers: Näin ollen; Olkoon siis; Oletetaan siis, että
Feedback: Todistus Oletetaan, että \(A \neq \emptyset\). Tällöin on olemassa \(x \in A\). Nyt yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\). Näin ollen \(A \cup B \neq \emptyset\), mikä todistaa väitteen.

Q: Tämä tehtävä on esimerkki monivalintatehtävästä. Tässä tehtävätyypissä palaute näkyy valitsemiesi vaihtoehtojen perässä, ei tehtävän alapuolella kuten joissakin tehtävissä.

Minkä funktion kuvaaja EI ole paraabeli?

[...]

Vastausvaihtoehdot saatetaan esittää myös pudotusvalikkona. Montako astetta on kolmion kulmien summa?

[...]
A: \(g(x) = 5x\); 180
Gap 1 offers: \(f(x) = x^2\); \(g(x) = 5x\); \(h(x) = x^2 + x + 1\)
Gap 2 offers: 90; 150; 180; 360
Feedback: Funktion \(g\) kuvaaja ei ole paraabeli, vaan suora. Kolmion kulmien summa on \(180\) astetta.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

int(sin(x)/x,x)

int(1/log(x),x)

int(exp(x)/x,x)



Kurssimonisteessa mainittaan, että mm. yksinkertaisen näköisillä funktioilla \( \displaystyle{\frac{\sin{x}}{x}}\), \( \displaystyle{\frac{1}{\ln{x}}}\) ja \( \displaystyle{\frac{e^{x}}{x}}\) ei ole esitystä äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Kuitenkin kyseisiä integraaleja tarvitaan tietyissä tilanteissa, josta syystä Matlabissa on niille erilliset nimet. Valitse alla jokaiselle kolmelle oikea tulos.

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sineint(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x)\(\:\); li(x)\(\,\); logint(x)\(\,\); lint(x)
Gap 3 offers: exint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\); expint(x)\(\:\); eint(x)