Title: IMA1 Matlab (viikko 6)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2 \approx -0.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1 \approx 2.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

int(sin(x)/x,x)

int(1/log(x),x)

int(exp(x)/x,x)



Kurssimonisteessa mainittaan, että mm. yksinkertaisen näköisillä funktioilla \( \displaystyle{\frac{\sin{x}}{x}}\), \( \displaystyle{\frac{1}{\ln{x}}}\) ja \( \displaystyle{\frac{e^{x}}{x}}\) ei ole esitystä äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Kuitenkin kyseisiä integraaleja tarvitaan tietyissä tilanteissa, josta syystä Matlabissa on niille erilliset nimet. Valitse alla jokaiselle kolmelle oikea tulos.

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sineint(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x)\(\:\); li(x)\(\,\); logint(x)\(\,\); lint(x)
Gap 3 offers: exint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\); expint(x)\(\:\); eint(x)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

syms x h

f = exp(sin(x))

m = (subs(f,x,x+h)-f)/h

g = limit(m,h,0)

X = -5:.06:5;

G = subs(g,x,X);

figure(1), plot(X, G)

grid on



Komennot piirtävät erään funktion \(g\) kuvaajan. Alle on listattuna viisi pistettä, joiden väitetään olevan funktion kriittisiä pisteitä. Kaikki niistä eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on. Mikä on funktion \(g\) lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? Sinun kannattaa ensin tunnistaa, mitkä pisteet ovat oikeasti niitä, mitä väitetään ja valita niistä lähin pisteelle \(x=0\). Satulapisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, joka on kriittinen, mutta ei ole lokaali ääriarvopiste.

Vihje: (Pitäisi toimia myös Matlab Onlinessa.) Voit suurentaa kuvaikkunan. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit.
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

int(sqrt(1+x^3-x^5),x)



Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa. Live Editor käynnistetään painamalla Home-välilehden painiketta New Live Script. Harmaa alue on komentojen kirjoitusta varten, ja komennot ajetaan Live Editor -välilehden Run-nappia painamalla.
- Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Not computable.
- The command you entered has failed.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

int(f,x)

int(f,x,0,5)

integral(f,0,5)



Komento \(\mathtt{int}\) on Symbolic Math Toolboxiin liittyvä symbolisen integroinnin komento. Komento \(\mathtt{integral}\) on Matlabin peruskomento numeeriseen laskentaan eli määrätyn integraalin arvon approksimointiin. Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\ln(x)^2\) integraalifunktiota Matlab ei osaa laskea. Lasketaan välillä \(\left(0,5\right)\) numeerinen approksimaatio.

Komento \(\mathtt{integral}\) tarvitsee toimiakseen funktion syöttämisen ns. funktiokahvan avulla eli muodossa \(\mathtt{f=@(x)...}\). Myös \(\mathtt{int}\) hyväksyy tämän syötteen. Funktiokahvassa on laskutoimitusten *, / ja ^ edessä piste, joka kertoo, että matriiseihin liittyvät laskut hoidetaan alkioittain eikä koko matriisi kerralla. Komento \(\mathtt{integral}\) muodostaa käytön aikana approksimaatiopisteiden vektorin, joka syötetään sisälle funktioon, ja vektorit Matlab käsittelee matriiseina, joten jos funktiokahva ei sisältäisi pisteitä, saataisiin virheilmoitus. Matriisilaskutoimituksista tarkemmin kurssilla Vektorit ja matriisit.

Mikä seuraavista on Matlabin antama approksimaatio?
- \(1.9475\)
- \(1.4723\)
- \(2.3151\)
- \(0.3289\)
- \(0.6824\)
A: \(1.9475\) / \(1.4723\)