Title: Predikaattilogiikka

Moodle-harjoitusten kehittämiseen ovat vuosien varrella osallistuneet Susanna Lankinen, Jesse Railo, Raine Rönnholm ja Miikka Vilander.

Q: P001
Yhdistä loogisesti ekvivalentit parit.
- ¬(∀x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x = y) | ∃x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x ≠ y
- ∃x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x = y | ¬(∀x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x ≠ y)
- ¬(∃x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x ≠ y) | ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x = y
- ∀x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x=y | ¬(∃x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x ≠ y)
- ¬(∀x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x ≠ y) | ∃x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x = y
- ¬(∀x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x = y) | ∃x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x ≠ y
- ¬(∃x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x = y) | ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x ≠ y
- ∀x ∈ ℝ: ∀y ∈ ℝ: x ≠ y | ¬(∃x ∈ ℝ: ∃y ∈ ℝ: x = y)

Q: P023
Olkoot p(x) ja q(x) joukossa X määriteltyjä avoimia lauseita.
Ovatko seuraavat lauseet yleisesti tosia vai jossain tapauksissa epätosia.
- $$\forall x\in X: p(x)\vee q(x) \Leftrightarrow \forall x\in X: p(x) \vee \forall x\in X: q(x)$$ | joskus epätosi
- $$\forall x\in X: p(x)\wedge q(x) \Leftrightarrow \forall x\in X: p(x) \wedge \forall x\in X: q(x)$$ | yleisesti tosi
- $$\exists x\in X: p(x)\vee q(x) \Leftrightarrow\exists x\in X: p(x) \vee \exists x\in X: q(x)$$ | yleisesti tosi
- $$\exists x\in X: p(x)\wedge q(x) \Leftrightarrow\exists x\in X: p(x) \wedge \exists x\in X: q(x)$$ | joskus epätosi
Also offered: en tiedä,mikä vastaus on

Q: P002

Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia?
- $$\exists x\in\mathbb{N}:\ x \le 0 \ \vee\ x>0$$
- $$\exists x\in\mathbb{N}:\ x \le 0 \ \wedge\ x>0$$
- $$\exists x\in\mathbb{N}:x \le 0 \ \wedge\ \exists x \in \mathbb{N}: x>0$$
- $$\exists x\in\mathbb{N}:x \le 0 \ \vee\ \exists x \in \mathbb{N}: x>0$$
A: $$\exists x\in\mathbb{N}:\ x \le 0 \ \vee\ x>0$$; $$\exists x\in\mathbb{N}:x \le 0 \ \wedge\ \exists x \in \mathbb{N}: x>0$$; $$\exists x\in\mathbb{N}:x \le 0 \ \vee\ \exists x \in \mathbb{N}: x>0$$

Q: P022
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{N} : x^2 \ge x$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \ge x$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} :\ x \le y \Rightarrow x^2 \le y^2$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} :\ x \le y \Rightarrow x^2 \le y^2$$
A: $$\forall x \in \mathbb{N} : x^2 \ge x$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} :\ x \le y \Rightarrow x^2 \le y^2$$

Q: P003

Olkoot $$p(x,y)$$ reaalilukujen joukossa määritelty kaksipaikkainen predikaatti ja $$A$$, $$B$$, $$C$$ ja $$D$$ seuraavat lauseet:

$$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ p(x,y)$$
$$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ p(x,y)$$
$$C:\ \forall x \in \mathbb{R}:\forall y_1 \in \mathbb{R}: \forall y_2 \in \mathbb{R}:\ p(x,y) \wedge p(x,z) \Rightarrow y = z$$, lyhyesti: $$p(x,y) \wedge p(x,z) \Rightarrow y = z$$
$$D:\ \forall x_1 \in \mathbb{R}:\forall x_2 \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ p(x_1,y) \wedge p(x_2,y) \Rightarrow x_1 = x_2$$, lyhyesti: $$p(x_1,y) \wedge p(x_2,y) \Rightarrow x_1 = x_2$$

Alla on esimerkkejä näistä lauseista erilaisilla predikaatin $$p(x,y)$$ valinnoilla.

Valitse todet lauseet. Tehtävän tekemistä nopeuttanee, jos tuumii ensin, mikä lauseiden A, B, C ja D merkitys on yleisessä tapauksessa.
- $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$
- $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$
- $$C:\ x = y^2 \wedge x = z^2 \Rightarrow y = z$$
- $$D:\ x_1 = y^2 \wedge x_2 = y^2 \Rightarrow x_1 = x_2$$
- $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$
- $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$
- $$C:\ x^2 = y \wedge x^2 = z \Rightarrow y = z$$
- $$D:\ x_1^2 = y \wedge x_2^2 = y \Rightarrow x_1 = x_2$$
- $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y^2$$
- $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 = y^2$$
- $$C:\ x^2 = y^2 \wedge x^2 = z^2 \Rightarrow y = z$$
- $$D:\ x_1^2 = y^2 \wedge x_2^2 = y^2 \Rightarrow x_1 = x_2$$
- $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ y = 2x + 1$$
- $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ y = 2x + 1$$
- $$C:\ y = 2x + 1 \wedge z = 2x + 1 \Rightarrow y = z$$
- $$D:\ y = 2x_1 + 1 \wedge y = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$$
A: $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$; $$D:\ x_1 = y^2 \wedge x_2 = y^2 \Rightarrow x_1 = x_2$$; $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$; $$C:\ x^2 = y \wedge x^2 = z \Rightarrow y = z$$; $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y^2$$; $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 = y^2$$; $$A:\ \forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ y = 2x + 1$$; $$B:\ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ y = 2x + 1$$; $$C:\ y = 2x + 1 \wedge z = 2x + 1 \Rightarrow y = z$$; $$D:\ y = 2x_1 + 1 \wedge y = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$$

Q: P004

Olkoon p(x,y) reaalilukujen joukossa määritelty kaksipaikkainen predikaatti. Mitkä seuraavasti lauseista ovat lauseen

$$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x,y)$$

kanssa ekvivalentit lauseet (riippumatta siitä, millainen predikaatti p(x,y) on)?
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ \neg p(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R} :\ \neg p(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \forall y \in \mathbb{R} :\ p(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R} :\ p(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \forall y \in \mathbb{R} :\ \neg p(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R} :\ \left(p(x,y) \Rightarrow \neg p(x,y)\right)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R} :\ \neg \left(p(x,y) \Rightarrow \neg p(x,y)\right)$$
A: $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R} :\ \neg p(x,y)$$; $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R} :\ p(x,y)$$; $$\exists x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R} :\ \neg \left(p(x,y) \Rightarrow \neg p(x,y)\right)$$

Q: P005
Valitse lauseen
∀x ∈ ℝ: x ≥ 2 ∨ x < 3
negaation kanssa ekvivalentit lauseet.
- ∃x ∈ ℝ: x ≤ 2 ∨ x > 3
- ∃x ∈ ℝ: x < 2 ∨ x ≥ 3
- ∃x ∈ ℝ: x ≤ 2 ∨ x > 3
- ∃x ∈ ℝ: x < 2 ∧ x ≥ 3
- ∀x ∈ ℝ: &not(x ≥ 2 ∨ x < 3)
- ∃x ∈ ℝ: &not(x ≥ 2 ∨ x < 3)
- ∃x ∈ ℝ: &not(x ≥ 2) ∨ &not(x < 3)
A: ∃x ∈ ℝ: x < 2 ∧ x ≥ 3; ∃x ∈ ℝ: &not(x ≥ 2 ∨ x < 3)

Q: P006
Olkoot $$p(x,y)$$ ja $$q(x,y)$$ reaalilukujen joukossa määriteltyjä kaksipaikkaisia predikaatteja.
Mitkä seuraavista lauseista ovat loogisesti ekvivalentteja lauseen

$$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x,y) \Rightarrow q(x,y)$$

kanssa?
- $$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ q(x,y) \vee \neg p(x,y)$$
- $$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ \neg q(x,y) \Rightarrow \neg p(x,y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x,y) \wedge \neg q(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ p(x,y) \wedge \neg q(x,y)$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ q(x,y) \vee \neg p(x,y))$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ \neg p(x,y) \Rightarrow \neg q(x,y)$$
A: $$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ q(x,y) \vee \neg p(x,y)$$; $$\neg \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ \neg q(x,y) \Rightarrow \neg p(x,y)$$; $$\exists x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ p(x,y) \wedge \neg q(x,y)$$

Q: P007

Olkoot $$p(x)$$ ja $$q(x)$$ reaalilukujen joukossa määriteltyjä yksipaikkaisia predikaatteja.
Mitkä seuraavista lauseista ovat loogisesti ekvivalentteja lauseen

$$\neg\exists x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x) \vee \neg q(y)$$

kanssa?
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x) \vee \neg q(x)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ \neg (\neg q(x) \vee p(x))$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ (\neg p(x) \vee q(x))$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ (\neg p(x) \wedge q(x)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ (p(x) \wedge \neg q(x))$$
A: $$\forall x \in \mathbb{R}: \neg \exists y \in \mathbb{R}:\ p(x) \vee \neg q(x)$$; $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ \neg (\neg q(x) \vee p(x))$$; $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}:\ (\neg p(x) \wedge q(x)$$

Q: P008
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ y < x$$
- $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ x < y$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y < x$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x < y$$
- $$\forall x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z} : \ y \le x$$
- $$\exists x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ x \le y$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y \le x$$
- $$\exists x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z} : \ x \le y$$
- $$\exists x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z} : \ x \ge y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \le y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge y$$
A: $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ y < x$$; $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ x < y$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x < y$$; $$\exists x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Z} : \ x \le y$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y \le x$$; $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \le y$$

Q: P009
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia? (Vihje: vähintään kaksi on tosia.)
- $$\exists x \in \mathbb{R} :\ x^2 - 2 = 0$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} :\ x^2 - 2 = 0$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} :\ x^2 = x \Rightarrow x=2 $$
- $$\forall x \in \mathbb{N} :\ x^2 = x \Rightarrow x=2 $$
A: $$\exists x \in \mathbb{R} :\ x^2 - 2 = 0$$; $$\exists x \in \mathbb{N} :\ x^2 = x \Rightarrow x=2 $$

Q: P010
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N} :\ x \le z \le y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N} :\ x < z < y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x < z < y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N} :\ x < z < y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x < z < y)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R}: \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R}: \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y$$
- $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R}: \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y$$
A: $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N} :\ x \le z \le y)$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y)$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x < z < y)$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} ( x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R} :\ x < z < y)$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R}: \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y$$; $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R}: \exists z \in \mathbb{R} :\ x \le z \le y$$

Q: P011
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- ∀x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x = y
- ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x = y
- ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x = y
- ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x = y
A: ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x = y; ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x = y

Q: P012
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- ∃ x ∈ ℝ: x^2 - 5x + 6 = 0
- ∀ x ∈ ℝ: x^2 - 5x + 6 = 0 ⇒ x = 3
- ∀ x ∈ ℝ: x = 4 ⇒ x^2 = 16
- ∀ x ∈ ℝ: x^2 = 16 ⇒ x = 4
A: ∃ x ∈ ℝ: x^2 - 5x + 6 = 0; ∀ x ∈ ℝ: x = 4 ⇒ x^2 = 16

Q: P013
Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=3 \Rightarrow x^2 = 9$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=3 \Leftrightarrow x^2 = 9$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 = 9 \Rightarrow x=3$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1 \vee x=3$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=3$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1 \wedge x=3$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x=1 \wedge x=3$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=1 \wedge x=3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=1 \wedge x=3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 \not= 0$$
A: $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=3 \Rightarrow x^2 = 9$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1 \vee x=3$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=3$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=1 \wedge x=3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$$; $$\forall x \in \mathbb{R} : \ x=1 \wedge x=3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 \not= 0$$

Q: P014

Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{N} :\ x \ge -x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{R} :\ x \ge -x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$
A: $$\forall x \in \mathbb{N} :\ x \ge -x\ $$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$; $$\exists x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$; $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$

Q: P015

Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{R} : x^2 = 5\ $$
- $$\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = 5\ $$
- $$\exists x \in \mathbb{Q} : x^2 = 5\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \ge x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : x^2 \ge x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{Z}: (x < 0 \vee x \ge 0)\ $$
- $$(\forall x \in \mathbb{Z}: x < 0) \ \vee\ (\forall x \in \mathbb{Z}: x \ge 0)\ $$
- $$(\exists x \in \mathbb{N}: x < 0) \ \wedge\ (\exists x \in \mathbb{N}: x \ge 0)\ $$
- $$\exists x \in \mathbb{N}: (x<0\wedge x\ge 0)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{Q} :\ (x >3\Rightarrow x^2>9)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{Q}:\ (x^2>9\ \Rightarrow\ x > 3)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{R} :\ (x>2 \Leftrightarrow 2x+3 > 7)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{R}:\ (x^2 \ge 0 \ \Leftrightarrow\ \forall x \in \mathbb{R}:\ x\ge 0)\ $$
A: $$\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = 5\ $$; $$\forall x \in \mathbb{N} : x^2 \ge x\ $$; $$\forall x \in \mathbb{Z}: (x < 0 \vee x \ge 0)\ $$; $$\forall x \in \mathbb{Q} :\ (x >3\Rightarrow x^2>9)\ $$; $$\forall x \in \mathbb{R} :\ (x>2 \Leftrightarrow 2x+3 > 7)\ $$

Q: P016

Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{N} :\ x \ge -x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{R} :\ x \ge -x\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$
- $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{Z} :\ y = 2x$$
- $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Q} :\ y = x/2$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{Z} :\ y = x - 3$$
- $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{N} :\ y = x + 3$$
A: $$\forall x \in \mathbb{N} :\ x \ge -x\ $$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$; $$\exists x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x \ge -y$$; $$\exists x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : \ x \ge -y$$; $$\forall x \in \mathbb{Z} : \exists y \in \mathbb{Q} :\ y = x/2$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{Z} :\ y = x - 3$$

Q: P017

Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{R}:\ \forall y \in \mathbb{R}:\ (x < y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{Q}:\ x < z < y)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N}:\ \forall y \in \mathbb{N}:\ (x < y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{Z}:\ x < z < y)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N}:\ \forall y \in \mathbb{N}:\ (x \le y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N}:\ x < z < y)\ $$
- $$\forall x \in \mathbb{N}:\ \forall y \in \mathbb{N}:\ (x < y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N}:\ x \le z \le y)\ $$
A: $$\forall x \in \mathbb{R}:\ \forall y \in \mathbb{R}:\ (x < y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{Q}:\ x < z < y)\ $$; $$\forall x \in \mathbb{N}:\ \forall y \in \mathbb{N}:\ (x < y \ \Rightarrow \exists z \in \mathbb{N}:\ x \le z \le y)\ $$

Q: P018

Olkoon

$$X = \{1,3,5,7 \}$$
$$Y = \{\ldots, -4,-2, 0 \}$$
$$Z = \mathbb{R}$$

Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in X : \exists y \in X:\ x \le y\ $$
- $$\exists x \in X : \forall y \in X:\ x \le y\ $$
- $$\forall x \in Y : \exists y \in Y:\ x < y\ $$
- $$\exists x \in Y : \forall y \in Y:\ x < y\ $$
- $$\forall x \in Z : \exists y \in Z:\ x \ge y\ $$
- $$\exists x \in Z : \forall y \in Z :\ x \ge y\ $$
- $$\exists x \in X: \exists y \in X: \forall z \in X: x \le z \le y$$
- $$\exists x \in Y: \exists y \in Y: \forall z \in Y: x \le z \le y$$
- $$\exists x \in Z: \exists y \in Z: \forall z \in Z: x \le z \le y$$
A: $$\forall x \in X : \exists y \in X:\ x \le y\ $$; $$\exists x \in X : \forall y \in X:\ x \le y\ $$; $$\forall x \in Z : \exists y \in Z:\ x \ge y\ $$; $$\exists x \in X: \exists y \in X: \forall z \in X: x \le z \le y$$

Q: P019

Olkoon perusjoukkona positiivisten kokonaislukujen joukko $$X = \{ 1,2,3,\ldots \}$$ ja tarkastellaan kaksipaikkaista predikaatteja $$p$$, $$q$$ ja $$r$$, joiden tulkinnat ovat seuraavat

$$p(x,y):\ $$ | x ≤ y
$$q(x,y):\ $$ | summa x+y on pariton
$$r(x,y):\ $$ | tulo xy on pariton

Valitse seuraavista todet lauseet.
- $$\ \forall y \in X : \exists x \in X: p(x,y)$$ (pienempi tai yhtäsuuri kuin)
- $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$
- $$\ \exists x \in X : \forall y \in X: p(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \wedge p(y,x) \Rightarrow x = y$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \Rightarrow p(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: p(x,y) \wedge p(y,z) \Rightarrow p(x,z)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y)$$ (summa pariton)
- $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \exists x \in X : \forall y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : q(x,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y) \Rightarrow q(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: q(x,y) \wedge q(y,z) \Rightarrow q(x,z)$$
- $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: r(x,y)$$ (tulo pariton)
- $$\ \exists x \in X : r(x,x)$$
- $$\ \forall x \in X : r(x,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: r(x,y) \wedge r(y,x) \Rightarrow x = y$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: r(x,y) \wedge r(y,z) \Rightarrow r(x,z)$$
A: $$\ \forall y \in X : \exists x \in X: p(x,y)$$ (pienempi tai yhtäsuuri kuin); $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \wedge p(y,x) \Rightarrow x = y$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: p(x,y) \wedge p(y,z) \Rightarrow p(x,z)$$; $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y) \Rightarrow q(y,x)$$; $$\ \exists x \in X : r(x,x)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: r(x,y) \wedge r(y,z) \Rightarrow r(x,z)$$

Q: P020

Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ y < x$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ x < y$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y < x$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x < y$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}_+ : \forall y \in \mathbb{R}_+ : \ y \le x$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ x \le y$$
- $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y \le x$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}_+ : \forall y \in \mathbb{R}_+ : \ x \le y$$
- $$\exists x \in \mathbb{R}_+ : \forall y \in \mathbb{R}_+ : \ x \ge y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \le y$$
- $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \ge y$$
A: $$\forall x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ y < x$$; $$\forall x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ x < y$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ x < y$$; $$\exists x \in \mathbb{R}_+ : \exists y \in \mathbb{R}_+ : \ x \le y$$; $$\forall x \in \mathbb{N} : \exists y \in \mathbb{N} : \ y \le x$$; $$\exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : \ x \le y$$

Q: P021

Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia?
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x > 0 \ \wedge \ y > 0 \ \Rightarrow \ xy \ge 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x \ge 0 \ \wedge \ y \ge 0 \ \Rightarrow \ xy > 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x > 0 \ \wedge \ y > 0 \ \wedge\ xy > 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x > 0 \ \wedge\ y > 0 \ \Leftrightarrow\ xy \ge 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x \ge 0 \ \wedge \ y \ge 0 \ \Leftrightarrow\ xy > 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (xy > 0 \ \Rightarrow\ x > 0\ \wedge \ y > 0)$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (xy > 0 \ \wedge\ x>0 \ \Rightarrow\ y > 0)$$
A: $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (x > 0 \ \wedge \ y > 0 \ \Rightarrow \ xy \ge 0)$$; $$\forall x \in \mathbb{R}: \forall y \in \mathbb{R}: (xy > 0 \ \wedge\ x>0 \ \Rightarrow\ y > 0)$$

Q: P019

Olkoon perusjoukkona positiivisten kokonaislukujen joukko $$X = \{ 1,2,3,\ldots \}$$ ja tarkastellaan kaksipaikkaista predikaatteja $$p$$ ja $$q$$  joiden tulkinnat ovat seuraavat

$$p(x,y):\ $$ | x > y
$$q(x,y):\ $$ | summa x+y on parillinen

Valitse seuraavista todet lauseet.
- $$\ \forall y \in X : \exists x \in X: p(x,y)$$ (suurempi kuin)
- $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$
- $$\ \exists x \in X : \forall y \in X: p(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \wedge p(y,x) \Rightarrow x = y$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \Rightarrow p(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: p(x,y) \wedge p(y,z) \Rightarrow p(x,z)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y)$$ (summa parillinen)
- $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \exists x \in X : \forall y \in X: q(x,y)$$
- $$\ \forall x \in X : q(x,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y) \Rightarrow q(y,x)$$
- $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: q(x,y) \wedge q(y,z) \Rightarrow q(x,z)$$
A: $$\ \forall y \in X : \exists x \in X: p(x,y)$$ (suurempi kuin); $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: p(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: p(x,y) \wedge p(y,x) \Rightarrow x = y$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: p(x,y) \wedge p(y,z) \Rightarrow p(x,z)$$; $$\ \exists x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : \exists y \in X: q(x,y)$$; $$\ \forall x \in X : q(x,x)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: q(x,y) \Rightarrow q(y,x)$$; $$\ \forall x \in X : \forall y \in X: \forall z \in X: q(x,y) \wedge q(y,z) \Rightarrow q(x,z)$$

Q: P024

Valitse todet lauseet. Implikaatioiden, joiden edessä ei ole kvantoreita, eteen ajatellaan lisättäväksi tarvittavat universaalikvanttorit yleisen käytännön mukaisesti. Perusjoukoksi ajatellaan tällöin reaalilukujen joukko. Esimerkiksi implikaation

$$\ x = y^2 \wedge x = z^2 \Rightarrow y = z$$

eteen ajatellaan lisätyksi univeraalikvanttorit

$$\forall x \in\mathbb{R}:\forall y\in\mathbb{R}:\forall z \in \mathbb{R}:$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$
- $$\forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$
- $$x = y^2 \wedge x = z^2 \Rightarrow y = z$$
- $$x = y^2 \wedge z = y^2 \Rightarrow x = z$$
- $$\forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$
- $$\forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$
- $$x^2 = y \wedge x^2 = z \Rightarrow y = z$$
- $$x^2 = y \wedge z^2 = y \Rightarrow x = z$$
A: $$\forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}:\ x = y^2$$; $$x = y^2 \wedge z = y^2 \Rightarrow x = z$$; $$\forall x \in \mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:\ x^2 = y$$; $$x^2 = y \wedge x^2 = z \Rightarrow y = z$$

Q: Valitse oikea kohta sen mukaan, kuinka monta plussaa + keräsit ryhmäkeskustelussa.
- vähemmän kuin 3 plussaa
- 3,4 tai 5 plussaa
- 6, 7, 8 plussaa
- 9 tai useampi plussa
A: 9 tai useampi plussa
Partly right: 6, 7, 8 plussaa (67%); 3,4 tai 5 plussaa (33%)

Q: Valitse oikea kohta sen mukaan, kuinka monta plussaa + keräsit ryhmäkeskustelussa.
- vähemmän kuin 3 plussaa
- 3,4 tai 5 plussaa
- 6, 7, 8 plussaa
A: 6, 7, 8 plussaa
Partly right: 3,4 tai 5 plussaa (50%)