Title: APK Viikko 2

Tarkasteellaan funktiota \(f\colon A\to B,\, f(x)=[value]\).

a) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on injektio, mutta ei surjektio.

\(B=\,\)

b) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on surjektio, mutta ei injektio.

\(B=\,\)

c) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on bijektio.

\(B=\,\)

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

Vastaa kysymyksiin. Syötä tehtävään vastaukset joukkoina kaarisulkeiden avulla, myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio. Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}.

\( \textbf{(a)}\) Etsi laajin joukko \( A \subset \mathbb{Z} \) ja sitä vastaava arvojoukko \( R_f\).

\( A =\)

\( R_f = \)

\( \textbf{(b)} \) Määritä alkioiden \( [value] \) ja \( [value] \) alkukuvajoukot.

Luvun \([value]\) alkukuvajoukko:

Luvun \( [value]\) alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Valitse seuraaville funktioille laajin mahdollinen määrittelyjoukko.

a) | \(f_1(x) = \displaystyle [value]\) | \(D_{f_1} = \)
b) | \(f_2(x) = \displaystyle \sqrt[[value]]{[value]}\) | \(D_{f_2} = \)
c) | \(f_3(x) = \displaystyle \ln ([value])\) | \(D_{f_3} = \)

Sievennä kohdat \( \textbf{(a)} \) ja \( \textbf{(b)} \) ja ratkaise kohdat \( \textbf{(c)} \) ja \( \textbf{(d)} \) ilman laskinta. Luonnollinen logaritmi \(=\mathtt{ln(x)}\) ja \(\pi=\mathtt{pi}\).

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\displaystyle \arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle \arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Ratkaise yhtälö \( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \) seuraavien ohjeiden avulla.

- Kirjoita aluksi yhtälössä esiintyvät hyperboliset funktiot määritelmiensä mukaisissa muodoissa eksponenttifunktion avulla.
- Korvaa jokainen \(e^x\) muuttujalla \(t\), jolloin vastaavasti \(e^{-x}\) on \(\frac{1}{t}\).
- Kerro yhtälö puolittain \(t\):llä. Tämän jälkeen pystyt esittämään yhtälön toisen asteen yhtälönä, jonka muuttujana on \(t\).
- Ratkaise toisen asteen yhtälö. Tiedät, että \(t=e^x\), joten pystyt tästä ratkaisemaan edelleen \(x\):n.

Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)? Anna tämä välivaihe muodossa \( at^2+bt+c = 0 \), muista kertomerkit. Sen jälkeen anna ratkaisu hyperboliselle yhtälölle, eli mitä on \(x\)? Jos ratkaisuja on useita, anna vastaukseksi niistä vain suurin luku.

\( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+ [value] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= [value]\\ \Rightarrow & \quad [value] (e^{x}+e^{-x})+ [value] (e^{x}-e^{-x}) = [value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}+[value]e^{-x}=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}-[value]+[value]e^{-x}=0\\ & \mathrm{kerrotaan} \ e^x\mathrm{:llä}\\ \Rightarrow & \quad [value](e^{x})^2-[value]e^x+[value]=0\\ & \mathrm{merkitään} \ t=e^x\\ \Rightarrow & \quad [value]t^2-[value]t+[value]=0\\ \Rightarrow & \quad t=\dfrac{[value]\pm\sqrt{[value]-4\cdot[value]\cdot[value]}}{2\cdot[value]}. \end{align*}\) Plusmiinusmerkistä valitaan vain plus-osuus, koska halutaan (mahdollisesta) kahdesta tuloksesta suurempi. Tällöin \( t=\dfrac{[value]+\sqrt{[value]}}{[value]}=\large[value]=e^x\), joten \(x=\ln([value])\).

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]\cdot [value]}} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]-[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]}}. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} &= \dfrac{2^{[value]}2^{[value]([value])}}{2^{[value]([value])}} = \dfrac{2^{[value]+[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} = \dfrac{2^{[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} \\ \\ &= 2^{[value]x+[value]-[value]x-[value]} =2^{[value]} = [value]. \end{align} \)

Valitse maalijoukko \(B\) niin, että funktio \(f\colon A \to B\) on bijektio. Määritä käänteisfunktion lauseke. Anna maalijoukko \(B\) hakasulkeissa muodossa \([x_1,x_2]\). Neliöjuuren saat komennolla \(\mathtt{sqrt(x)}\).

\(f(x) = [value],\quad A = [value]\)

\(B = \,\)

\(f^{-1}(x) = \,\)

Päättele, onko funktio parillinen, pariton vai ei kumpikaan. Huomaa, että monen tehtävässä esiintyvän funktion kuvaaja löytyy kurssimonisteesta, ja muiden piirtämiseen on internetissä tarjolla apukeinoja.

a) | \(f(x) = [value]\) |
b) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |
c) | \(f(x) = \arcsin(x) \arccos(x) \arctan(x) [value]\) |
d) | \(f(x) = \,\)\(e^x\) \(\ln(x)\) \([value]^x\) \(\log_{[value]}(x)\) |
e) | \(f(x) = \mathrm{arsinh}(x) \mathrm{arcosh}(x) \mathrm{artanh}(x) [value]\) |
f) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |

a) Origoa kierretään nollakulmasta lähtien kulman \([value]\pi\) verran. Ilmoita murtolukuna (ei sekalukuna!) puolikkaan tarkkuudella, kuinka monta kertaa ympyrä kierretään ja mihin suuntaan.

Vastaus: kertaa

b) Origokeskiseen \([value]\)-säteiseen ympyrään piirretään säde kulmassa \(\theta = [value]\pi\).
Anna säteen ympyränpuoleisen päätepisteen koordinaatit. Anna vastaus tarkkana arvona, esim. \(\frac{1}{\sqrt{5}} = \) 1/sqrt(5).

Vastaus: Päätepiste on \(\Big(\),\(\Big)\).

Esitä annettu 2. asteen polynomi neliöksi täydennettynä eli muodossa \(a(x+b)^2+c\), missä \(a,b,c\in \mathbb{R}\).

Päättele tämän esityksen mukaisesti, mikä on polynomin (reaalisten) nollakohtien lukumäärä. Vastaa kaikkiin kohtiin jotain ennen vastauksen lukitsemista.

\(p(x) = [value]\)

\(a=\,\)

\(b=\,\)

\(c=\,\)

nollakohtien lkm: