Title: Muut

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Jos funktio \(f\) on derivoituva avoimella välillä \((a,b)\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio saavuttaa suurimman arvonsa välillä \((a,b)\) derivaatan nollakohdassa.
- Funktiolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta välillä \((a,b)\).
- Funktio on rajoitettu välillä \((a,b)\).
- Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).
- Funktio on injektio.
A: Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).

Q: Mitkä ovat riittävät ehdot funktion \(f\) derivaatan olemassaololle jossain mielivaltaisessa pisteessä \(x_{0}\).
- Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\) ja funktion raja-arvo pisteessä \(x_{0}\) ei ole nolla.
- Raja-arvo \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) on olemassa ja \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.
- \(\displaystyle\lim_{h\to x_{0}+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to x_{0}-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- Summa \(f+g\) on derivoituva, missä \(g\) on joku mielivaltainen funktio.
A: \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.

Q: Olkoon \(f(x)\) funktio, joka toteuttaa pisteessä \(x=x_{0}\) ehdot \[f'(x_{0}) = f''(x_{0}) = \dots=f^{(2p-1)}(x_{0}) = 0\quad\mbox{ja}\quad f^{(2p)}(x_{0})\neq 0,\] jollain positiivisella kokonaisluvulla \(p\). Valitse listasta oikea vaihtoehto.
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})>0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) ei ole yhtään paikallista maksimia, jos \(f^{(2p)}(x_{0})=0.\)
- Funktion \(f(x)\) täytyy olla vakiofunktio.
- Funktio \(f(x)\) on parillinen funktio.
A: Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)