Title: Vektorit, suorat ja tasot

Vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), missä \( \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) \) ja \( \mathbf{v_2} \) on kohtisuoraan tätä vastaan oleva vektori. Mitkä ovat \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \), kun \[ \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{v}=[value]. \]

Anna vektorien alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \). Jos alkio ei ole kokonaisluku, on suositeltavaa antaa se murtolukumuodossa \( m / n \). Esimerkiksi luku \( \frac{125}{4} \) kirjoitetaan 125/4.

\( \textbf{Ratkaisu:} \)

\( \quad v_1 = \)
ja \( v_2 = \)
Feedback: /* Mallivastaus on kirjoitettu vähän vaikeasti, koska vektoreita on epämiellyttävä lukea, jos alkiot ovat murtolukuja. Tällä tavalla saadaan pidettyä murtoluvutkin yhdellä rivillä. */ \[ \textbf{Mallivastaus:} \] \[ \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})= \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = \left( \dfrac{[value]+([value])+([value])}{[value]+[value]+[value]} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Koska \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), on \[ \mathbf{v_2} = \mathbf{v} - \mathbf{v_1} = [value]- \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Tarkistuksena lasketaan vielä kohtisuoruus: \[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] /* = \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) */ = \frac{1}{[value]^2} \Bigg[ \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) \Bigg] = [value]. \] Vektorien \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \) pistetulo on nolla, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Jaa vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen (vastaus 1) ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin (vastaus 2), kun

\( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = [value], \\ \textbf{(b)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = \left[ \begin{matrix} [value]/3 \\ [value]/3 \\ [value]/6 \end{matrix} \right] \end{align} \)

\( \textbf{(a)} \)

Vastaus 1: , vastaus 2: .

\( \textbf{(b)} \)

Vastaus 1: , vastaus 2: .
Feedback: Mallivastaus: Jaetaan vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Toisin sanoen lasketaan \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \) ja tätä vastaan kohtisuora osa on \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \). Piirrä kuva! \( \textbf{(a)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \). \( \textbf{(b)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \).

Tason kolme pistettä ovat ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]) ja ([value],[value],[value]). Esitä tason yhtälö muodossa \( ax+by+cz+d=0\).

Vastaus: Yhtälö on \(x+\)\(y+\)\(z+\) \(=0\).
Tässä ei tarvitse käyttää sulkeita, vaikka jokin luvuista \(\{ a,b,c,d \}\) olisi negatiivinen.
Feedback: Mallivastaus Taso tulee määrätyksi, jos sen normaali \( \mathbf{n} \) tunnetaan ja samoin jokin sen piste \( \mathbf{r}_0 \) . Silloin tason normaaliyhtälöksi saadaan \( \mathbf{n} \cdot ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 ) = 0 \). Yhtälö saadaan yleiseen muotoon kirjoittamalla se "auki": \( ax+by+cz+d=0 \), kun \( \mathbf{r} = (x,y,z), \quad \mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0), \quad \mathbf{n} = \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \). Tällöin vakiolla \( d \) on arvo \( d = -ax_0-by_0-cz_0 \). Selvitetään normaalivektori \( \mathbf{n} \). Ratkaistaan ensin vektorit \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) tason yhtälön vektorimuodosta. Valitaan \( \begin{align} \mathbf{r}_0 &= (x_0, y_0, z_0) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{u} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{v} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]). \end{align} \) Normaalivektori \( n \) on nyt (kertaa ristitulon laskeminen tarvittaessa opintomonisteesta tai vaikkapa Wikipediasta). \( \begin{align} \mathbf{n} &= \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ & = ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{i} - ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{j} + ([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value])) \mathbf{k} \\ & = [value] \mathbf{i} + [value] \mathbf{j} + [value] \mathbf{k} \\ & = [value]. \end{align} \) Siten \( a = [value], \quad b = [value], \quad c = [value]\) ja \( d = -ax_0-by_0-cz_0 = -[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value]\). Suoran yhtälö on siis \( [value]x+[value]y+[value]z-[value] = 0 \).

Olkoot \( \mathbf{x} = [value], \quad \mathbf{y} = [value], \quad \mathbf{v} = [value]. \)

\( \textbf{(a)} \) Miten pitää \( t \) valita, että \( \mathbf{v} \) voidaan esittää vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaationa?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(b)} \) Miten pitää \( t \) valita, jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(c)} \) Miten pitää \( t \) valita, että vektori \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori?
Vastaus: \( t = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) olisi vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaatio, on joillakin vakioilla \( c_1, c_2 \) oltava \[ \begin{align} c_1 \mathbf{x} + c_2 \mathbf{y} &= \mathbf{v} \\ c_1 [value] + c_2 [value] &= [value]. \end{align} \] Vektorien ylimmistä alkioista saadaan yhtälö \( c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 = 1 \Leftrightarrow c_1 = 1. \) Toiselta riviltä saadaan \( c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 = [value] \Leftrightarrow c_2 = [value] \). Nyt ollaan ratkaistu vakiot \( c_1 \) ja \( c_2 \) ja siten \[ \begin{align} c_1 &[value] + c_2 [value] = [value] \\ \Leftrightarrow 1 &[value]+[value] [value] = [value] \\ \Leftrightarrow &[value] + [value] = [value] \\ \\ \Leftrightarrow & [value]+[value] \cdot t = [value] \\ \Leftrightarrow & t = [value]. \end{align} \] \( \textbf{(b)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset, on niiden pistetulon oltava \( 0 \). Siten \[ \begin{align} [value] \cdot [value] &= 0\\ \\ \Leftrightarrow (0 \cdot 1) + ([value] \cdot [value]) + t \cdot [value] &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= [value]. \end{align} \] \( \textbf{(c)} \) Jotta \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori, on vektorin pituuden eli normin oltava \( 1 \) eli \[ \begin{align} \| \mathbf{y} \| &= 1 \\ \Leftrightarrow \sqrt{0^2 + 1^2 + t^2} &= 1 \quad \big| ()^2 \\ \Leftrightarrow 1+t^2 &= 1 \\ \Leftrightarrow t^2 &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= 0. \end{align} \]

Express vector \( {\bf a}={\bf i}+{\bf j} \) as a linear combination of vectors \( {\bf u}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \) and \( {\bf v}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \). In other words find coefficients \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) such that \( {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \).

Esitä vektori \( {\bf a}={\bf i}+{\bf j} \) vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \) lineaarikombinaationa, eli määritä kertoimet \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) siten, että \( {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \).

\( c_1 =~\) |
\( c_2 =~\) |
Feedback: Worked solution: \( {\bf a}={\bf i}+{\bf j}\), \({\bf u}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j}\), \({\bf v}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \).By substituting \( {\bf u }\) and \( {\bf v }\) to the equation \[ {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \] we arrive at a pair of equations in two variables \[ \left\{ \begin{split} [value]c_1+[value]c_2 = 1, \\ [value]c_1+[value]c_2 = 1. \end{split} \right. \] From the first equation we solve \[ c_1=\frac{1-[value]c_2}[value]. \] Substituting this into the second equation we have \[ c_2=-\frac{1}{[value]}.\] And by substituting this value into the first equation solved for \( c_1 \) we get \[ c_1=\frac{1+[value]}[value]=[value] \] so \[ {\bf a}=[value]{\bf u}-[value]{\bf v} .\] Mallivastaus: \( {\bf a}={\bf i}+{\bf j}\), \({\bf u}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j}\), \({\bf v}=[value]{\bf i} +[value]{\bf j} \). Sijoittamalla \( {\bf u }\) ja \( {\bf v }\) vektoriin \[ {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v}, \] saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{ \begin{split} [value]c_1+[value]c_2 = 1, \\ [value]c_1+[value]c_2 = 1. \end{split} \right. \] Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \[ c_1=\frac{1-[value]c_2}[value]. \] Kun tämä sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan \[ c_2=-\frac{1}{[value]}.\] Sijoittamalla saatu arvo saadaan \[ c_1=\frac{1+[value]}[value]=[value] \] Eli \[ {\bf a}=[value]{\bf u}-[value]{\bf v} .\]

Let \(\mathbf{a} = \left( [value], \alpha, [value] \right) \) and \(\mathbf{b} = \left( \beta, [value], [value] \right) \). Choose values for the variables \(\alpha\) and \(\beta\) such that the set \(\left\{ \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\}\) is linearly dependent.

Olkoon vektorit \(\mathbf{a} = \left( [value], \alpha, [value] \right) \) ja \(\mathbf{b} = \left( \beta, [value], [value] \right) \). Valitse muuttujille \(\alpha\) ja \(\beta\) arvot siten, että joukko \(\left\{ \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\}\) on lineaarisesti riippuvainen.

\(\alpha =~\) |
\(\beta =~\) |
Feedback: Worked solution: Two vectors are known to be linearly dependent if and only if they are parallel. Two vectors being parallel means that they are scalar multiples of each other which means that there exists a scalar \(k\) such that \( \mathbf{v}_1=k \mathbf{v}_2 \). Let's investigate the question using the definition with vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\). \[\begin{eqnarray} \mathbf{a} &=& k\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow \left( [value],\ [value],\ [value] \right) &=& k \left( [value],\ [value],\ [value] \right) \\ \Leftrightarrow \left( [value],\ [value],\ [value] \right) &=& \left( [value],\ [value],\ [value] \right) \end{eqnarray}\] We may express this as a system of three equations: \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right. .\] From the third equation we can solve \[ k = [value]. \] Now the system simplifies to \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ \end{eqnarray}\right. \] from which we may solve \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ \end{eqnarray}\right. . \] Now \[ k \mathbf{b} = [value]\left( [value],\ [value],\ [value] \right) = \left( [value],\ [value],\ [value] \right) = \mathbf{a} \] which means that the vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) are parallel and consequently linearly dependent. Mallivastaus: Tiedetään, että kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvat, jos ja vain jos, ne ovat yhdensuuntaisia. Matemaattisesti vektorien yhdensuuntaisuus tarkoittaa sitä, että ne ovat toistensa skalaarimonikertoja eli löytyy jokin skalaari \(k\) siten, että \( \mathbf{v}_1=k \mathbf{v}_2 \). Tutkitaan nyt yhdensuuntaisuuden ehtoa vektoreilla \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\). \[\begin{eqnarray} \mathbf{a} &=& k\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow \left( [value],\ [value],\ [value] \right) &=& k \left( [value],\ [value],\ [value] \right) \\ \Leftrightarrow \left( [value],\ [value],\ [value] \right) &=& \left( [value],\ [value],\ [value] \right) \end{eqnarray}\] Tästä saamme kolmen yhtälön yhtälöryhmän \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right. .\] Yhtälöryhmän alimmasta yhtälöstä saamme ratkaistua, että \[ k = [value]. \] Nyt yhtälöryhmä sievenee muotoon \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ \end{eqnarray}\right. ,\] josta saamme ratkaistua \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ \end{eqnarray}\right. . \] Nyt siis \[ k \mathbf{b} = [value]\left( [value],\ [value],\ [value] \right) = \left( [value],\ [value],\ [value] \right) = \mathbf{a}, \] eli vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat yhdensuuntaiset ja täten lineaarisesti riippuvat.

Olkoon \(\mathbf{u}=\) | [value] | .

Laske vektorin \(\mathbf{u}\) normi, \(\lVert \mathbf{u} \rVert = \)

Määritä vektori \(c\mathbf{u}\), kun \(c = [value]\),

\(c\mathbf{u} = \) |

Laske vektorin \(c\mathbf{u}\) normi, \(\lVert c\mathbf{u} \rVert = \)
Feedback: Mallivastaus: \(\lVert \mathbf{u} \rVert = \sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2} = [value]\) \(c\mathbf{u} = [value]\) \(\lVert c\mathbf{u} \rVert = \sqrt{([value]\cdot[value])^2+([value]\cdot[value])^2+([value]\cdot[value])^2} = [value]\)

Esitä vektori \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2} \) vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) lineaarikombinaationa, eli määritä kertoimet \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) siten, että \( {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \).

\( c_1 = \)
\( c_2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2}, {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2}, {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \). Sijoittamalla \( {\bf u }\) ja \( {\bf v }\) vektoriin \[{\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v}, \] saadaan yhtälöryhmä \[\left\{ \begin{split} [value]c_1+[value]c_2 & = 1, \\ [value]c_1+[value]c_2 & = 1. \end{split} \right.\] Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1-[value]c_2}[value] \). Kun tämä sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan \( \displaystyle c_2=-\frac{1}{[value]} \). Sijoittamalla saatu arvo saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1+[value]}[value]=[value] \). Eli \( \displaystyle {\bf a}=[value]{\bf u}-[value]{\bf v} \).

Olkoon \(\vec{u} = ([value], [value], [value])\) ja \(\vec{v} = ([value], [value], [value])\) avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoreita. Olkoon lisäksi \(a_1 = [value]\) ja \(a_2 = [value]\) reaalilukuja.

a) Laske:

 \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v}\) = ( , , ).

b) Millä vektorin \(\vec{w}\) arvolla seuraava lause on tosi?

\(a_1 \vec{u} +a_2 \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}.\)

Vastaus: \(\vec{w}\) = ( , , ).

c) Mitkä väitteet koskien vektoria \(\vec{w}\) ovat tässä tapauksessa tosia?

Kyseessä on vektorin \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v} \) vastavektori.

Kyseessä on vektorien \(\vec{u}\) ja \(\vec{v}\) summan vastavektori.

Kyseessä on vektorien \(a_1 \vec{u} \) ja \( a_2 \vec{v} \) summan skalaarimonikerta.
Feedback: Ratkaisu Tehtävässä käsiteltiin kahta vektorien peruslaskutoimistusta: vektorien yhteenlaskua ja skalaarikertolaskua. Laskeminen vektoreilla tapahtuu samaan tapaan kuin tutuilla reaaliluvuilla, mutta laskut on tehtävä erikseen jokaiselle vektorin komponentille. a) Kohdassa a) kerrotaan ensin vektorit skalaareilla ja sen jälkeen summataan ne yhteen: \( a_1 \vec{u} = a_1 (u_1, u_2, u_3) = (a_1 u_1, a_1 u_2, a_1 u_3)\). Lisäksi \(a_2 \vec{v} = a_2 (v_1, v_2, v_3) = (a_2 v_1, a_2 v_2, a_2 v_3)\). Lasketaan vektorit yhteen. \((a_1 u_1, a_1 u_2, a_1 u_3) + (a_2 v_1, a_2 v_2, a_2 v_3) = (a_1 u_1 + a_2 v_1, a_1 u_2 + a_2 v_2, a_1 u_3 + a_2 v_3)\). Tämän tehtävän a) -kohdalle summa on siten: \([value]\) \([value]([value], [value], [value])\) \([value]\) \([value]([value], [value], [value]) = ([value], [value], [value])\). b) b)-kohdassa halutaan löytää vektori \(\vec{w}\) siten että sen summa vektorin \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v}\) on \(\vec{0}\). Tämä onnistuu esimerkiksi tarkastelemalla vektoria \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v}\) komponenteittain ja määrittämällä vektori \(\vec{w}\) siten, että jokaisen komponentin summa on 0. Näin ollen \(\vec{w} = ([value], [value], [value])\). c) Ensimmäinen väittämä on tosi. \(\vec{w} = (-1(a_1 u_1 + a_2 v_1), -1(_1 u_2 + a_2 v_2), -1(a_1 u_3 + a_2 v_3)) = (-1)(a_1 u_1 + a_2 v_1, a_1 u_2 + a_2 v_2, a_1 u_3 + a_2 v_3) = (-1)(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v})\), joten väite pätee vastavektorin määritelmän perusteella. Toinen väittämä on epätosi, koska \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v} \neq \vec{u}+\vec{v}\). Kolmas väittämä on tosi. Ensimmäisen väittämän perusteluista saadaan suoraan, että \(\vec{w}\) on vektorin \(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v}\) skalarimonikerta \((-1)(a_1 \vec{u} + a_2 \vec{v})\).

Let \(x=([value],[value]), y=([value],[value]), z=([value],[value])\). Compute

Olkoon \(x=([value],[value]), y=([value],[value]), z=([value],[value])\). Määritä

\(\|x-y\|+\|y-z\|=\)

\(\|x-z\|=\)

Are the points \(x,y,z\) on the same line? Can you determine this based on the previous calculations?

Give the answer as a decimal number rounded to three decimal places.

Mieti, ovatko pisteet \(x,y,z\) samalla suoralla? Miten tämän voi päätellä edellisten laskujen perusteella?

Anna vastaukseksi likiarvo kolmen (3) desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.
Feedback: Worked solution: \[\begin{align*} \|x-y\|+\|y-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\|+\|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\|+\|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2}+\sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*} \] \[\begin{align*} \|x-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*}\] The points are on the same line if and only if \[ \|x-z\|=\|x-y\|+\|y-z\|. \] Mallivastaus: \(\begin{align*} \|x-y\|+\|y-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\|+\|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\|+\|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2}+\sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*} \) \(\begin{align*} \|x-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*}\) Pisteet ovat samalla suoralla jos ja vain jos \[ \|x-z\|=\|x-y\|+\|y-z\|. \]

Olkoon \(A=([value],[value])\). Jos pisteestä \(A\) lähtee vektori \(\vec{AF} = \begin{bmatrix}[value] \\ [value]\end{bmatrix}\), niin mikä on piste \(F\).

\(F=\Big(\)\(,\) \(\Big)\)
Feedback: Mallivastaus: Pisteen \(F\) ensimmäinen komponentti saadaan laskemalla \([value]+[value]\), ja toinen komponentti laskemalla \([value]+[value]\), jolloin siis \(F = ([value]+[value],[value]+[value]) = ([value],[value])\).

Etsi vakio \(k\) siten että vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, kun \(\mathbf{a} = [value]\) ja \(\mathbf{b} = [value]\).

Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri on \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt}\left(x\right)\). Jos vastauksia on useampia, kirjoita vastauslaatikkoon niistä vain yksi.

\(k=\)
Feedback: Mallivastaus: Vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa eli ne ovat ortogonaaliset, kun niiden pistetulo on nolla eli \(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = 0\). Saadaan, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = [value]\). Mistä saadaan, \(\displaystyle [value]\ \) tai \(\ \displaystyle [value]\).

Olkoon \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix}\), \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix}\) ja \(\mathbf{p} = \text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\). Lakse \(\mathbf{p}\) ja piirrä koordinaatistoon vektorit \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{p}\).

\(\mathbf{p}=\) |  | .
Feedback: Mallivastaus: \(\mathbf{p} = \displaystyle \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}\mathbf{v} = \frac{\begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix}}{[value]^2+[value]^2}\begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix} = \frac{[value]}{[value]} \begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix} = [value]\begin{bmatrix} [value] \\ [value] \end{bmatrix}\).

Olkoon \(\ell\) suora \(\mathbb{R}^{2}\):ssa \([value]x+y=[value]\).

Mikä vektori \(\mathbf{n}\) on kohtisuorassa jokaista suoran suuntaista vektoria vastaan

\(\mathbf{n}\) = |

Jos suora \(\ell\) esitetään vektorimuodossa, niin mikä on vektorin suuntavektori

\(\mathbf{s}\) = |

Etsi yksi piste \(p\), jonka kautta suora \(\ell\) kulkee

\(p=\Big(\)\(,\) \(\Big)\)

Suoran \(\ell\) yhtälön normaalimuoto

\(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x} = \mathbf{n}\cdot \mathbf{p} = \) |  | \(\cdot \large\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \) |  | \(\cdot\) |

ja vektorimuoto

\(\mathbf{x} = t \,\mathbf{s} + \mathbf{p} = t \) |  | \(+\) |  | ,\(\quad t \in \mathbb{R}\).
Feedback: Mallivastaus: Suoran normaalivektori on vektori, joka on kohtisuorassa jokaista suoran suuntaista vektoria vastaan. Suoran normaalivektori saadaan suoraan yleisen muodon kertoimista, jolloin siis \(\mathbf{n} = [value]t, \quad t\in \mathbb{R}\) Suoran suuntavektori on kohtisuorassa suoran normaalivektoria vastaan, jolloin siis \(\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=\mathbf{0}\), mistä saadaan \(\mathbf{s} = [value]t, \quad t\in \mathbb{R}\) Asetetaan \(x=1\) ja ratkaistaan yhtälöstä muuttujan \(y\) arvo. Saadaan \([value]+y=[value]\). Näin ollen yksi piste, jonka kautta suora kulkee on \(p = ([value],[value])\) \(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x} = \mathbf{n}\cdot \mathbf{p} = [value]\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = [value] \cdot [value]\) \(\mathbf{x} = t \,\mathbf{s} + \mathbf{p} = t[value]+[value], \quad t \in \mathbb{R}\setminus {0}\)

Olkoon \(\mathcal{P}\) taso \(\mathbb{R}^3\):ssa.

Tason suuntavektorit ovat \([value]\) ja \( [value]\)

ja taso kulkee pisteen \(p = ([value],[value],[value])\) kautta. Käyttämällä annettuja arvoja tason yhtälö voidaan esittää muodossa

\(\mathbf{x}\) = |  | \(\, t + \) |  | \(\, s +\) |  | , \(\quad t,s\in \mathbb{R}\)

Tason \(\mathcal{P}\) jokaista vektoria vastaan on kohtisuorassa normaalivektori, joka on

\(\mathbf{n}\) = |

joten tason \(\mathcal{P}\) normaalimuoto on

\(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x} = \mathbf{n}\cdot \mathbf{p} = \) |  | \(\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \) |  | \(\cdot\) |

ja yleinen muoto
Feedback: Olkoon \(\mathcal{P}\) taso \(\mathbb{R}^3\):ssa. Tason suuntavektorit ovat \([value]\) ja \( [value]\) ja taso kulkee pisteen \(p = ([value],[value],[value])\) kautta, niin tason yhtälö voidaan esittää muodossa \(\mathbf{x} = [value]\, t + [value] \, s +[value] , \quad t,s\in \mathbb{R}\) Tason \(\mathcal{P}\) jokaista pistettä vastaan on kohtisuorassa normaalivektori, joka on \(\mathbf{n}= \left([value]\times [value]\right)\, t = [value]\, t, \quad t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) joten tason \(\mathcal{P}\) normaalimuoto on \(\mathbf{n}\cdot \mathbf{x} = \mathbf{n}\cdot \mathbf{p} = [value] \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = [value] \cdot [value]\) ja yleinen muoto (saadaan laskemalla pistetulot) [value]

Taso \(T \) kulkee pisteen \(A([value],[value],0)\) kautta ja sen normaaliyhtälö on \([value]x+([value])y+[value]z+[value]\).

Määrää origon kautta kulkevalta suoralta \(l: \vec p=t([value],[value],[value])\), \(t\in \mathbb{R}\), piste, jonka \(z\)-koordinaatti on positiivinen ja jonka etäisyys tasosta \(T\) on \(\sqrt{[value]}\).

The plane \(T \) is passing through the point \(A([value],[value],0)\) and its normal form is \([value]x+([value])y+[value]z+[value]\).

Find the point with a positive \(z\)-coordinate on the line \(l: \vec p=t([value],[value],[value])\), \(t\in \mathbb{R}\), having the distance \(\sqrt{[value]}\) from the plane \(T\).

Suoran \(l\) piste on \((\) The point on the line \(l\) is \((\),,\( )\).
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: Tason eräs normaalivektori on \(\vec{n} = [value]\vec{i}+([value])\vec{j}+[value]\vec{k}=([value],[value],[value])\). Suoran \(l\) pisteen \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\), \(t\in\mathbb{R}\), etäisyys tasosta \(T\) on A normal vector to the plane is \(\vec{n} = [value]\vec{i}+([value])\vec{j}+[value]\vec{k}=([value],[value],[value])\). The distance between the plane \(T\) and the point \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\), \(t\in\mathbb{R}\), of the line \(l\) is \begin{align*}d(P_1,T) &= \frac{\vert \vec{n}\cdot(\vec{p}_{1}-\vec{a}) \vert}{\Vert \vec{n} \Vert} = \frac{\vert([value],[value],[value])\cdot ([value],[value],[value])\vert}{\sqrt{[value]}} \\ &= \frac{\vert [value] t+[value]\vert}{\sqrt{[value]}} = \sqrt{[value]}.\end{align*} Itseisarvoyhtälön \(\vert [value] t+[value]\vert=[value]\) ratkaisuista \(t=1\) antaa pisteelle \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\) positiivisen \(z\)-koordinaatin. Kysytty suoran \(l\) piste on siis \(P_1([value],[value],[value])\). From the solutions of the absolute value equation \(\vert [value] t+[value]\vert=[value]\) the solution \(t=1\) gives positive \(z\)-coordinate to the point \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\). The point of the line \(l\) is therefore \(P_1([value],[value],[value])\). TAI OR \begin{align*} d(P_1,T) &= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\vert [value] \vert}{\sqrt{[value]}}\\ &= \frac{\vert [value] t+[value]\vert}{\sqrt{[value]}}= \sqrt{[value]}\end{align*} Itseisarvoyhtälön \(\vert [value] t+[value]\vert=[value]\) ratkaisuista \(t=1\) antaa pisteelle \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\) positiivisen \(z\)-koordinaatin. Kysytty suoran \(l\) piste on siis \(P_1([value],[value],[value])\). From the solutions of the absolute value equation \(\vert [value] t+[value]\vert=[value]\) the solution \(t=1\) gives positive \(z\)-coordinate to the point \(P_1([value]t,[value]t,[value]t)\). The point of the line \(l\) is therefore \(P_1([value],[value],[value])\).

Suora \(l_1\) kulkee pisteen \(A(2,-1,1)\) kautta ja sen suuntavektori on tason \(T: \vec p=(2,0,-1)+s([value],[value],0)+t(-1,0,2)\), \(s\), \(t\in\mathbb{R}\), normaalivektori. Suora \(l_2:\vec r=m([value],0,[value])\), \(m\in \mathbb{R}\), kulkee origon kautta. Määrää suorien \(l_1\) ja  \(l_2\) leikkauspiste.

The straight line \(l_1\) passes through the point \(A(2,-1,1)\) and has a direction vector, which is the normal vector of the plane \(T: \vec p=(2,0,-1)+s([value],[value],0)+t(-1,0,2)\), \(s\), \(t\in\mathbb{R}\). The straight line \(l_2:\vec r=m([value],0,[value])\), \(m\in \mathbb{R}\), passes through the origin. Find the intersection point of the straight lines \(l_1\) and \(l_2\).

Leikkauspiste on The intersection point is \((\),,\( )\).
Feedback: Malliratkaisu: Suoran \(l_1\) eräs suuntavektori on \[\begin{align*} ([value],[value],0) \times (-1,0,2) &= \left|\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ [value]& [value] & 0 \\ -1& 0 & 2 \end{array}\right|\\ &= ([value]\cdot2-0\cdot0)\vec i-(([value])\cdot2-0\cdot(-1))\vec j+(([value])\cdot0-([value])\cdot(-1))\vec k\\ &= ([value])\vec i+([value])\vec j+([value])\vec k. \end{align*}\] Suora \(l_1: \vec q=(2,-1,1)+n([value],[value],[value])\), \(n\in \mathbb{R}\). Suorien \(l_1\) ja \(l_2\) leikkauspisteessä \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \vec q &=&\vec r \\ (2,-1,1)+n([value],[value],[value])&=&m([value],0,[value]) \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{rcl} [value]&=&[value] \\ [value]&=& 0 \\ [value] &=& [value] \end{array} \right. \] \[\left\{ \begin{array}{rcl} n &=& [value] \\ m &=& [value]. \end{array} \right. \] Eli leikkauspiste on \((2,-1,1)+([value])([value],[value],[value]) =[value]([value],0,[value]) =(4,0,2)\). Model solution: A direction vector of the straight line \(l_1\) is \[\begin{align*} ([value],[value],0) \times (-1,0,2) &= \left|\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ [value]& [value] & 0 \\ -1& 0 & 2 \end{array}\right|\\ &= ([value]\cdot2-0\cdot0)\vec i-(([value])\cdot2-0\cdot(-1))\vec j+(([value])\cdot0-([value])\cdot(-1))\vec k\\ &= ([value])\vec i+([value])\vec j+([value])\vec k. \end{align*}\] The straight line \(l_1: \vec q=(2,-1,1)+n([value],[value],[value])\), \(n\in \mathbb{R}\). At the intersection point of the straight lines \(l_1\) and \(l_2\) \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \vec q &=&\vec r \\ (2,-1,1)+n([value],[value],[value])&=&m([value],0,[value]) \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rcl} [value]&=&[value] \\ [value]&=& 0 \\ [value] &=& [value] \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rcl} n &=& [value] \\ m &=& [value]. \end{array} \right. \] Hence the intersection point is \((2,-1,1)+([value])([value],[value],[value]) =[value]([value],0,[value]) =(4,0,2)\).

Määritä vektorit \(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\) ja \(\vec{OD}\), vektoreiden \(u = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) ja \(v = \begin{bmatrix}1 \\ 4 \end{bmatrix}\) lineaarikombinaationa.

\(\vec{OA}=\) \(u\) \(+\) \(v\) |  |
\(\vec{OB}=\) \(u\) \(+\) \(v\) |  |
\(\vec{OC}=\) \(u\) \(+\) \(v\) |  |
\(\vec{OD}=\) \(u\) \(+\) \(v\) |  |
Feedback: Mallivastaus: \(\vec{OA}\) | = | \(\begin{bmatrix}[value]\\[value]\end{bmatrix}\) | = | \([value]\) | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) | + | \([value]\) | | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}1 \\ 4 \end{bmatrix}\) \(\vec{OB}\) | = | \(\begin{bmatrix}[value]\\[value]\end{bmatrix}\) | = | \([value]\) | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) | + | \([value]\) | | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}1 \\ 4 \end{bmatrix}\) \(\vec{OC}\) | = | \(\begin{bmatrix}[value]\\[value]\end{bmatrix}\) | = | \([value]\) | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) | + | \([value]\) | | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}1 \\ 4 \end{bmatrix}\) \(\vec{OD}\) | = | \(\begin{bmatrix}[value]\\[value]\end{bmatrix}\) | = | \([value]\) | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) | + | \([value]\) | | \(\cdot\) | \(\begin{bmatrix}1 \\ 4 \end{bmatrix}\)

Olkoot

\[ \mathbf{x} = [value], \quad \mathbf{y} = [value], \quad \mathbf{z} = [value]. \]

Laske seuraavat. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Käytä imaginääriyksikkönä \( i \):tä. Vektoreita voit konstruoida matrix()-funktion avulla. Neliöjuuren saat komennolla sqrt(). Esimerkiksi
\( [value] \) kirjoitetaan matrix([1,2,3]) ja matriisi [value] kirjoitetaan matrix([i],[2*i], [3*i]) eli jokainen rivi laitetaan hakasulkeisiin ja rivit erotellaan pilkulla. Lisäksi rivin alkiot erotellaan toisistaan pilkulla. \( \sqrt7 \) kirjoitetaan sqrt(7).

\( \mathbf{x}^T = \) , \(\quad \mathbf{y}^*= \)

\( \langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = \)

\( \langle \mathbf{x} +2 \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle= \)

\( \| \mathbf{x} \| = \) , \( \quad \| \mathbf{z} \| = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{x}^T = [value] \) , \(\quad \mathbf{y}^*= [value] \). \( \langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^3 \overline{x_i}y_i = [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot [value] = [value] \) \( \langle \mathbf{x} +2 \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^3 \overline{x_i + 2y_i }z_i = \overline{([value])} \cdot [value] + \overline{([value])} \cdot ([value]) + \overline{([value])} \cdot [value] = ([value]) \cdot [value] + ([value]) \cdot ([value]) + ([value]) \cdot [value] = [value] \) \( \| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle} = \sqrt{|x_1|^2+|x_ 2|^2+|x_3|^2} = \sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2} = [value] \) \( \| \mathbf{z} \| = \sqrt{\langle \mathbf{z}, \mathbf{z} \rangle} = \sqrt{|z_1|^2+|z_ 2|^2+|z_3|^2} = \sqrt{|[value]|^2+|[value]|^2+|[value]|^2} = [value]. \)