Title: Kompleksiluvut

Seuraavissa tehtävissä tutustutaan kompleksilukuihin. Jos kompleksiluvut ovat sinulle jo tuttuja, tämä on kertausta.

Kompleksiluvut voidaan kirjoittaa muodossa \((a,b)\) tai muodossa \(a+bi\), jossa \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja ja \(i\) on imaginääriyksikkö, jolle on voimassa \(i^2=-1\). Kompleksilukuja voi siis ajatella avaruuden \(\mathbb{R}^2\) vektoreina. Niiden yhteenlasku on sama asia kuin vektorien yhteenlasku ja itseisarvo sama kuin vektorin normi.

Kompleksiluvuissa erityistä vektoreihin verrattuna on se, että niille on määritelty kertolasku. Muistettava kuitenkin, että \(i^2=-1\).

Kompleksilukujen perusteita voit opiskella Oman monisteemme liitteestä ,  Insinöörimatematiikan perusteet -monisteesta (luvut 4.1-4.2) tai Johdatus yliopistomatematiikkaan -monisteesta (luvut 7. - 7.3.).

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) seuraavat:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Olkoot \(z=[value]\) ja \(w=[value]\) kompleksilukuja. Laske \(\displaystyle{z\overline{w}}\) ja \(\displaystyle{\frac{z}{w}}\) (lavenna nimittäjän liittoluvulla).

Let \(z=[value]\) and \(w=[value]\) be complex numbers. Calculate \(\displaystyle{z\overline{w}}\) and \(\displaystyle{\frac{z}{w}}\) (multiply numerator and denominator with the complex conjugate of the denominator).

\(\displaystyle{z\overline{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\),

\(\displaystyle{\frac{z}{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\)
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \[ z\overline{w} = ([value])(\overline{[value]}) = ([value])([value])\\ = [value]-([value]){\textrm{i}}+([value]){\textrm{i}}-([value]){\textrm{i}}^2\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \] \[ \frac{z}{w}=\frac{\overline{w}z}{\overline{w}w} =\frac{z\overline{w}}{|w|^2}\\= \frac{[value]+([value]) {\textrm{i}}}{([value])^2+([value])^2}\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \]

Olkoon \(z=[value]+[value]\) kompleksiluku. Laske \(\left|z\right|\). Esitä lisäksi kompleksiluku \(\displaystyle{w=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}}\) muodossa \(w=a+b[value]\), missä \(a\), \(b\in\mathbb{R}\).

Let \(z=[value]+[value]\) be a complex number. Calculate \(\left|z\right|\). Moreover, express the complex number \(\displaystyle{w=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}}\) in the form \(w=a+b[value]\), where \(a\), \(b\in\mathbb{R}\).

\(\displaystyle{\left|z\right|}=\),
\(\displaystyle{w}=\)\(+\)\([value]\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} \left|z\right|&=[value]=[value],\\ w&=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}=\frac{-[value][value](\overline{[value]+[value]})}{\left|[value]+[value]\right|} =\frac{-[value][value]([value]-[value])}{\sqrt{([value])^2+[value]^2}}=\frac{[value]+[value][value]^2}{\sqrt[value]}=\frac{[value]+[value]}{[value]}=-[value]+[value] \end{align*} \] Model solution: \[ \begin{align*} \left|z\right|&=[value]=[value],\\ w&=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}=\frac{-[value][value](\overline{[value]+[value]})}{\left|[value]+[value]\right|} =\frac{-[value][value]([value]-[value])}{\sqrt{([value])^2+[value]^2}}=\frac{[value]+[value][value]^2}{\sqrt[value]}=\frac{[value]+[value]}{[value]}=-[value]+[value] \end{align*} \]

Harjoitellaan vielä kompleksilukuja. Niiden itseisarvo vastaa vektorin normia. Lisäksi kompleksiluvuille voidaan määritellä liittoluku.

Opiskele kompleksilukuja joko monisteesta Insinöörimatematiikan perusteet tai Johdatus yliopistomatematiikkaan. Monisteet löytyvät täältä.

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa eli muodossa \( r \exp (i \theta) \) seuraavat:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Ratkaise toisen asteen yhtälö \(x^2 - [value] \mathrm{i} x - [value]- \mathrm{i}=0 \).

Ratkaise tehtävä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti \( D \) eli toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä oleva lauseke?

Anna kaikki vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( D =\)

Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa. Vastaukset ovat muotoa \([value] + z \), missä \( z \) on jokin kompleksiluku. Esitä nämä luvut \( z \) NAPAKOORDINAATTIMUODOSSA. Eli tyyliin \( [value] + r \exp(...) \).

N:nnet juuret voit kirjoittaa muodossa x^(1/n). Esimerkiksi luvun \(\sqrt[3]{3}\exp(i\frac{5\pi}{7})\) voi kirjoittaa 3^(1/3)*exp(i*5*pi/7).

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Polynomin \(p(x)=ax^2+bx+c\) diskriminantti D ratkaistaan seuraavasti: \( \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= ([value]\mathrm{i})^2 - 4 \cdot 1 \cdot ([value]- \mathrm{i}) \\ \\ &= [value]\mathrm{i}^2+[value]+4\mathrm{i} \\ \\ &= -[value]+[value]+4\mathrm{i} = [value]+[value] \, \mathrm{i}. \end{align} \) Yhtälön ratkaisut voi laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \[ \begin{align} x&=\frac{[value]\mathrm{i} \pm \sqrt{[value]+[value] \, \mathrm{i}}}{2}=[value] \pm \sqrt{[value]}= \Large [value] \pm [value] \\ \stackrel{-1=\exp(-\mathrm{i} \pi )}{\Rightarrow} x_{1}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i},\\ \quad x_{2}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i}. \end{align} \]

Hae kaikki luvun \([value]+[value]i\) kolmannet juuret.

Kirjoita kolmas juuri luvun \( \frac{1}{3} \) potenssina. Eksponenttifunktion \( e^{x} \) voit kirjoittaa joko muodossa e^(x) (sulut tarvitaan, jos yhden merkin sijasta eksponenttina on pidempi lauseke) tai muodossa exp(x).

Esimerkki: Luku \( (9 \sqrt3 )^{1/7} e^{i \pi/15} \) kirjoitetaan (9*sqrt(3))^(1/7)*e^(i*pi/15) \( \textbf{TAI} \) (9*sqrt(3))^(1/7)*exp(i*pi/15).

Luvun \([value]+[value]i\) kaikki kolmannet juuret ovat

\( w_1 = \)
\( w_2 = \)
\( w_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: \([value]+[value]i=\sqrt{([value])^2+[value]^2} e^{\large[value]i}\normalsize=[value]e^{ \large [value]i}\). Nyt eräs kolmas juuri on \[w_1=([value])^{1/3}e^{ \large[value]i},\] sillä \(w_1^3=\left(([value])^{1/3}\right)^3e^{i \large([value]) \normalsize\cdot3}=[value]e^{ \large [value]i}\). Muut kolmannet juuret ovat kulman \(2\pi/3\) välein \(([value])^{1/3}\)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \begin{align*} w_2&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value]+2\pi/3)}= \normalsize ([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}\quad \normalsize \text{ja} \\ \\ w_3&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value] +2\cdot2\pi/3)} \normalsize =([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}. \end{align*}

Luvun \(z\) eräs neljäs juuri on \(w_0 = [value]\). Määritä luku \(z\) ja loput sen neljänsistä juurista. Kirjoita luku \(z\) ja juuret vastauslaatikoihin muodossa \(a+b[value]\) siinäkin tapauksessa, että laskisit juuret käyttäen apuna napakoordinaatteja. Anna jälkimmäiseen vastauslaatikkoon vastauksena muiden neljänsien juurten joukko aaltosulkeiden sisällä eli \(\{a_1 +b_1 [value], a_2 + b_2 [value], a_3 + b_3 [value]\}\).

Huom. Tehtävässä esiintyvän \(w_0\):n kulmaa ei tarvitse osata tentissä. Toisaalta tämän tehtävän ratkaistaksesi sinun ei välttämättä tarvitse missään vaiheessa kyseistä kulmaa selvittää. Selvitä sen sijaan kahden peräkkäisen (vastapäivään mentäessä) neljännen juuren välinen kulma, piirrä juuret ympyrälle ja mieti sen perusteella niiden koordinaatteja.

Luku \(z = \)

Luvun \(z\) muiden juurten muodostama joukko on
Feedback: Mallivastaus: Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\). Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \]

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Käytä tässä tehtävässä kertomerkkiä imaginääriyksikköä kirjoittaessasi. Esimerkiksi luku \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

(a) \( \ z_1 \cdot z_2 = \)
\( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

(b) \( \ \dfrac{z_1}{z_2} = \)
\( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

(c) \( \ z_1^2 = \)
\( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Olkoon \(z_1 = [value]\) ja \(z_2 = [value]\). Mitä ovat seuraavat? Anna vastaukset tarkkoina arvoina, älä liukulukuina. \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)} \) .

\(\operatorname{Re}(z_1) = \,\) |  |
\(\operatorname{Im}(z_1) = \,\) |  |
\(z_1+z_2 = \,\) |  |
\(z_2-z_1 = \,\) |  |
\(\overline{z_1} = \,\) |  |
\(|z_2| = \,\) |  |

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kompleksilukujen joukossa. Anna kaikki ratkaisut joukkona aaltosuluissa, esim. {-1,1}. Anna ratkaisu joukkosulkeissa myös siinä tapauksessa, että kyseessä on kaksoisjuuri. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta i.

(a) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut:

(b) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut: