Title: IMA1 (viikko 1) muut

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\}\)

\(A = \)

b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\}\)

\(B = \)

c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\}\)

\(C = \)

d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\}\)

\(D = \)
Feedback: a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\} = \{[value], [value]\}\). b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä alkioiden toistaminen ei muuta joukkoa. c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\} = \{[value], [value]\}\), sillä \((n-[value])(n-[value]) = 0\) täsmälleen silloin, kun \(n = [value]\) tai \(n = [value]\). Huomataan, että kaikissa kohdissa joukko on sama.

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \sqrt{x+[value]} = x \} \)

\(A = \)

b) \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2-[value]x+[value]=0 \text{ ja } x \neq k^2 \text{ kaikilla } k \in \mathbb{N} \} \)

\(B = \)
Feedback: a) Ratkaistaan yhtälö \(\sqrt{x+[value]}=x\). Nähdään, että \(\sqrt{x+[value]}=x\) \(\Rightarrow (\sqrt{x+[value]})^2=x^2\) \(\Rightarrow x+[value] =x^2\) \(\Rightarrow x^2-x-[value]=0\) \(\Rightarrow x=-[value] \text{ tai } x=[value]. \) Tarkistetaan sijoittamalla: Huomataan, että \(\sqrt{[value]+[value]}=[value]\), joten \(x=[value]\) on yhtälön ratkaisu. Toisaalta \(\sqrt{-[value]+[value]}=[value] \neq -[value]\), joten \(x=-[value]\) ei ole yhtälön ratkaisu. Näin ollen \(A=[value]\). b) Ratkaistaan yhtälö \(x^2-[value]x+[value]=0\). Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan \( x = \frac{-(-[value]) \pm \sqrt{(-[value])^2 -4 \cdot 1 \cdot [value]}}{2 \cdot 1} = \frac{[value] \pm \sqrt{[value]}}{2} = \frac{[value] \pm [value]}{2}\), eli \(x = [value]\) tai \(x =[value]\). Huomataan, että \([value]=[value]^2\), missä \([value] \in \mathbb{N}\). Sen sijaan selvästi \([value] \neq k^2\) kaikilla \(k \in \mathbb{N}\). Näin ollen \(B = [value]\).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A = \{ n \in \mathbb{N} \mid n < 19 \text{ ja } n = [value]k \text{ jollain } k \in \mathbb{Z} \} \).

\(A= \)

b) \(B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2-[value]x+[value] < 0\} \)

\(B= \)
Feedback: a) \(A = [value] \) b) Ratkaistaan ensin epäyhtälö \(x^2-[value]x+[value] < 0\). Määritetään aluksi nollakohdat, eli ratkaistaan yhtälö \( x^2-[value]x+[value] = 0\). Tämän ratkaisut ovat \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). Koska \(y=x^2-[value]x+[value]\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, se saa negatiivisia arvoja nollakohtiensa välissä. Epäyhtälön ratkaisu on siten \([value] < x < [value]\). Kun valitaan tältä väliltä kaikki kokonaisluvut, niin saadaan \(B=[value]\).

Aloitetaan opiskelu kisällimenetelmän tapaan tutustumalla uuteen aiheeseen tehtävien kautta. Seuraavien tehtävien avulla opettelet joukkoihin liittyviä merkintätapoja. Tietoa löydät kurssimateriaalin luvusta 1.1. Kun teet tehtäviä kurssimateriaalin avulla, opit samalla lukemaan matemaattista tekstiä. Jos jäät jumiin, voit aina kysyä neuvoa ohjaajilta.

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A=\{ x \in \mathbb{N} \mid [value]x-[value] \leq [value] \} \)

\(A=\)

b) \( B=\{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = [value] \} \)

\(B= \)
Feedback: a) Koska \([value]x-[value] \leq [value] \iff x \leq [value]\), niin \(A = [value] \). b) Yhtälön \(x^2 = [value]\) ratkaisut ovat \(x=[value]\) ja \(x=-[value]\), joten \(B = [value] \).

Siirrytään opettelemaan joukkojen välisiä operaatioita. Tähän liittyvää tietoa löydät kurssimateriaalin luvusta 1.2.

Tarkastellaan joukkoja \(A = [value], B = [value]\) ja \(C = [value]\). Määritä

a) \((A \cup B) \setminus (A \cap B) = \)

b) \((B \cup C) \setminus A = \)

c) \(B \cup (C \setminus A) = \)
Feedback: a) \((A \cup B) \setminus (A \cap B) = [value] \setminus [value] = [value]\). b) \((B \cup C) \setminus A = [value] \setminus [value] = [value]\). c) \(B \cup (C \setminus A) = [value] \cup [value] = [value]\).

Tässä tehtävässä laajennetaan yhdisteen ja leikkauksen käsitettä useamman kuin kahden joukon tapaukseen. Vaikka merkinnät voivat aluksi näyttää uhkaavilta, itse tehtävä ei ole kovin hankala.

Oletetaan, että \(n \in \mathbb{N} \) ja jokaista \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\) kohti on annettu jokin joukko \(A_i\). Tällöin joukkojen \(A_i\) yhdiste ja leikkaus ovat

\[\bigcup \limits_{i=1}^n A_i = \{x \mid x \in A_i \text{ jollakin } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\}\]

ja

\[\bigcap \limits_{i=1}^n A_i = \{x \mid x \in A_i \text{ kaikilla } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\}.\]

Määritellään joukot \(A_i = \{i+1, i+3, [value]i-2, i^2-[value]i\}\) kaikilla \(i \in \{1,2,3\}\). Määritä seuraavat joukot. Syötä tyhjä joukko muodossa {}.

a)

i. \(A_1 = \)

ii. \(A_2 = \)

iii. \(A_3 = \)

b)  Yhdiste

\(\bigcup \limits_{i=1}^3 A_i = \)

c) Leikkaus

\(\bigcap \limits_{i=1}^3 A_i = \)
Feedback: a) Joukot \(A_i\) ovat i. \(A_1 = [value]\) ii. \(A_2 = [value]\) iii. \(A_3 = [value]\). b) Joukkojen yhdiste on \(\bigcup \limits_{i=1}^3 A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3\) \(= [value] \cup [value] \cup [value]\) \(= [value].\) c) Joukkojen leikkaus on \(\bigcap \limits_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = [value] \cap [value] \cap [value] = [value]\).

Olkoon \(A=[value]\). Keksi jokaisessa kohdassa esimerkki joukosta \(B\), jolle yhtälöt pätevät. Anna vastaukset taas muodossa  {a, b, c}.

a) \(A\cup B=[value]\)

\(B = \)

b) \(A\cap B=[value]\)

\(B = \)

c) \(A \setminus B = [value] \)

\(B = \)

d) \(A \cup B = [value] \)

\(B = \)

e) \( B \setminus A = [value] \)

\(B = \)
Feedback: Esimerkiksi seuraavat joukot käyvät joukoksi \(B\). a) \(B=[value]\) b) \(B=[value]\) c) \(B=[value]\) d) \(B=[value]\) e) \(B=[value]\)

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Tällöin \(x=2n+1\) on pariton kokonaisluku.
Kaikki parittomat kokonaisluvut voidaan esittää muodossa \(x\).
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Olkoon \(a \in \mathbb{R} \), ja olkoot \(A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2-2x-y<a^2-2a\}\) ja \(B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y<0 \} \).

Oheisessa sovelmassa joukko \(A\) on piirretty sinisellä ja joukko \(B\) punaisella.

Täydennä sovelman avulla seuraava väite niin, että siitä tulee tosi.

"\(A \cap B = \emptyset\), jos ja vain jos \(a=\) "
Feedback: Kuvan kannalta väite \(A \cap B = \emptyset\) tarkoittaa sitä, että sininen (joukko A) ja punainen (joukko B) alue eivät ole missään kohdassa päällekkäin. Sovelman perusteella näin on täsmälleen silloin, kun \(a=1\).