Title: 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö

Q: Solve the equationRatkaise yhtälö

\[ \begin{align*} &\textrm{(a)}\quad t^2 y''(t) + 4ty'(t) + 2y(t) = 0,\\ &\textrm{(b)}\quad t^2y''(t) +3ty'(t) + y(t)=0,\\ &\textrm{(c)}\quad t^2y''(t) - 3ty'(t)+ 5y(t)=0. \end{align*} \]
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-1} + c_2|t|^{-1} \ln|t|, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2 \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 e^{(-2+\sqrt 2)t} + c_2 e^{(-2-\sqrt 2)t}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1 e^{(-\frac 32 +\sqrt 2)t} + c_2 e^{(-\frac 32-\sqrt 2)t}, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 e^{2t} \cos(t) + c_2 e^{2t}\sin(t) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} + c_2|t|^{-1}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} \cos(\ln|t|) + c_2|t|^{-2} \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} + c_2|t|^{-3}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-2} + c_2|t|^{-2} \ln(|t|), \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1|t|^2 \cos|t| + c_2|t|^2 \sin|t| \end{align*}\)
A: \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-1} + c_2|t|^{-1} \ln|t|, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2 \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
If right: You got it right, hooray! Good job! Oikea vastaus, hienosti tehty!
If partly right: Your answer is partially correct. Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Your answer is incorrect. Vastauksesi on väärin.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) The characteristic equation of the differential equation isDifferentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r(r-1)+4r+2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad r^2+3r+2=0. \] The solutions of this characteristic equation areTämän karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat \[ r = -\frac 32 \pm \sqrt {\frac{9-8}4} = \frac 32 \pm \frac 12 = \begin{cases} -1,&\\ -2.\end{cases} \] Thus the general solution isNäin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}. \] (b) In this case for the characteristic equation we getTässä tapauksessa saadaan karakteristiseksi yhtälöksi \[ r(r-1)+3r+1=0 \quad \Longleftrightarrow\quad r^2+2r+1=(r+1)^2=0, \] i.e. the only root is \(r=-1\). Thus the general solution isjoten ainoa juuri on \(r=-1\). Näin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2 |t|^{-1} \ln|t|. \] (c) The characteristic equation of this differential equation isTämän differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r(r-1)-3r+5=0 \quad \Longleftrightarrow\quad r^2-4r+5= 0, \] For the solutions we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r= 2 \pm\sqrt{4-5} = \begin{cases}2+i\, ,&\\ 2-i\, .&\end{cases} \] Thus the general solution of the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2\sin(\ln|t|). \]

Q: Consider the following initial value problem: \[y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0,\] \(y(0)=1\), \(y'(0)=2.\) How does the solution \(y(x)\) of this differential equation behave, when \(x \rightarrow \infty\)? Miten käyttäytyy alkuarvotehtävän \[y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0,\] \(y(0)=1\), \(y'(0)=2\), ratkaisu \(y(x)\), kun \(x \rightarrow \infty\)?
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = 0\).
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = \infty\).
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = a\) (constantvakio, \(\neq 0\)).
- none of the above.ei mikään annetuista.
A: \(\lim_{x\to\infty} y(x) = 0\).
If right: You got it right, hooray! Good job! Oikea vastaus, hienosti tehty!
If partly right: Your answer is partially correct. Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Your answer is incorrect. Vastauksesi on väärin.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Based on the known facts, we can form the characteristic equationTehtävälle saadaan karakteristinen yhtälö \[ r^{2}+2r+4=0, \] from which we getjosta \[ r=\frac{-2\pm \sqrt{4-16}}{2}=-1\pm i\sqrt{3} \] and considering the initial conditions, we end up with the solutionja tehtävän ratkaisu on alkuehdot huomioiden \[ y(x) = e^{-x} (\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})). \] This converges to zero, since \(e^{-x}\to 0\), when \(x\to\infty\), and \(\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})\) is restricted.Tämä suppenee nollaan, sillä \(e^{-x}\to 0\), kun \(x\to\infty\), ja \(\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})\) on rajoitettu.

Find the general solution for the differential equationMääritä differentiaaliyhtälön

(a) | \(\quad y''(t)-7y'(t)+10y(t)= 0\),
(b) | \(\quad y''(t)+12y'(t)+36y(t)= 0\),
(c) | \(\quad y''(t) + 4y'(t)+8y(t)= 0\),

Choose the correct answer from the following by writing the number corresponding to your pick of choice in the box below.yleinen ratkaisu. Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\[\begin{array}{ll} ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{-6t}+c_2 t\textrm{e}^{-6t}, \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{-2t}\cos(2t)+c_2\textrm{e}^{-2t}\sin(2t). \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(5t) + c_2 \sin(2t), \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2 \textrm{e}^{-6t}, \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(2t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(-6t) + c_2 \sin(-6t), & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2t \textrm{e}^{-6t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t} + c_2 \textrm{e}^{2t}. & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(-6t) + c_2 \sin(-6t), & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2 \textrm{e}^{-6t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(2t) + c_2 e^{-2t}\sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-5t} + c_2 \textrm{e}^{-2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-12t} + c_2 \textrm{e}^{-12t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(3t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(3t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-12t} + c_2 t \textrm{e}^{-12t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{2t}\cos(2t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(3t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-7t} + c_2 \textrm{e}^{10t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{12t} + c_2 \textrm{e}^{36t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{2t}\cos(3t) + c_2 \textrm{e}^{2t}\sin(3t).& \\ \\ \end{array}\]

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) The characteristic equation isKarakteristinen yhtälö on \[ r^2-7r+10= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r = \frac{7}{2} \pm\sqrt{\frac{49}{4}-10} = \begin{cases} 5,& \\ 2.&\end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t)=c_1 e^{5t}+ c_2 e^{2t}. \] (b) In this case the characteristic equation isTässä tapauksessa karakteristinen yhtälö on \[ r^2+12r+36= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r= -6 \pm\sqrt{36-36} = \begin{cases} -6,& \\ -6.& \end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 e^{-6t} + c_2 t e^{-6t}. \] (c) The characteristic equation isKarakteristinen yhtälö on \[ r^2+4r+8= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r = -2 \pm\sqrt{4-8} = \begin{cases} -2+i\, 2,& \\ -2-i\, 2.& \end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 e^{-2t}\cos(2t) + c_2 e^{-2t}\sin(2t). \]

Find a particular solution for the differential equation \[ y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x) \] using the substitution \(Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\). Provide the values of the constants \(A\) and \(B\) in your answer (integers). Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x) \] yksittäisratkaisu yritteen \[ Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x) \] avulla. Anna vastauksena vakioiden \(A\) ja \(B\) arvot (jotka ovat kokonaislukuja).

\(A=~\) |
\(B=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find a particular solution for the differential equation \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) using the substitution \(y(x) = Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\), we need to find the second derivative of the function \(y\).Differentiaaliyhtälön \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) yksittäisratkaisun määrittämiseksi yritteellä \(y(x) = Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\), tulee laskea yritteen toinen derivaatta. \begin{align*} y(x) &= Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x) \\ y'(x) &= [value] \\ y''(x) &= [value] \end{align*} Substituting \(y\) in the differential equation \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) and simplifying the expression, we get \[ [value] = [value]\cos([value]\cdot x). \] From this form we are able to see the values of the constants right away: \(A=[value]\) and \(B=[value]\).Sijoitetaan yrite differentiaaliyhtälöön \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\). Sieventämällä saadaan tulokseksi \[ [value] = [value]\cos([value]\cdot x). \] Tästä muodosta nähdään suoraan kertoimet \(A=[value]\) ja \(B=[value]\).

Find the general solution \(y(t)\) for the differential equation \[ [value]=0\] Note that you need to include constants in your answer.Etsi differentiaaliyhtälön \[ [value]=0\] yleinen ratkaisu \(y(t)\). Huomaa, että vastauksessasi täytyy olla vakiotermejä.

\( y(t)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Homogeneous, linear, second order differential equation containing constant multipliers is of the form \( a y''+b y' + c y = 0 \). The characteristic equation for this kind of differential equation is \( a r^2+b r + c = 0 \). In this exercise, we have to solve the differential equation \[ [value]=0, \] so here the characteristic equation is \[ [value]=0 \] To find the solutions for the characteristic equation, we apply the quadratic equation. The zeros are \( r_1=[value] \) and \( r_2=[value] \). Since the characteristic equation has two distinct roots, the general solution for the differential equation is of the form \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{r_1 t} + C_2 \textrm{e}^{r_2 t}, \] where \( r_1 \) and \( r_2 \) are the roots of the characteristic equation. Therefore, the solution for the differential equation is \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{[value] t} + C_2 \textrm{e}^{[value] t} .\]Homogeeninen, lineaarinen, vakiokertoiminen, toisen asteen differentiaaliyhtälö on muotoa \( a y''+b y' + c y = 0 \). Tällaisen differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \( a r^2+b r + c = 0 \). Tässä tehtävässä ratkaistava differentiaaliyhtälö on \[ [value]=0, \] joten sen karakteristinen yhtälö on \[ [value]=0 \] Karakteristisen yhtälön nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \( r_1=[value] \) ja \( r_2=[value] \). Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri juurta, joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{r_1 t} + C_2 \textrm{e}^{r_2 t}, \] jossa \( r_1 \) ja \( r_2 \) ovat karakteristisen yhtälön juuret. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{[value] t} + C_2 \textrm{e}^{[value] t} .\]

Find the general solution \(y(t)\) to the differential equation \[ [value]=[value].\] Note that you have to include constants in your answer. For constants you may use any symbols you like, e.g. \(A\) and \(B\).Etsi differentiaaliyhtälön \[ [value]=[value]\] yleinen ratkaisu \(y(t)\). Huomaa, että vastauksessasi täytyy olla vakiotermejä. Voit käyttää vakioina mitä tahansa symbolia esimerkiksi \(A\) ja \(B\).

\(y(t)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ [value]=[value] \] First we solve the homogeneous differential equation \(\small{(\textrm{subst. }y(t)=\textrm{e}^{rt})}\)Ratkaistaan ensin homogeeninen differentiaaliyhtälö \(\small{(\textrm{yrite: }y(t)=\textrm{e}^{rt})}\) \[ [value]=0 \] For the characteristic equation we getKarakteristiseksi yhtälöksi saadaan \[ [value] \\ \Rightarrow r_1=[value]\textrm{ ja }r_2=[value] \] The solution for the homogeneous equation isHomogeenisen yhtälön ratkaisu on \[ y_c (t)=C\textrm{e}^{[value]} + D\textrm{e}^{[value]} \] To find the particular solution of the nonhomogeneous equation, we use the substitutionRatkaistaan epähomogeenisen yhtälön erikoisratkaisu yritteellä \[ y_p (t)=A\cos([value])+B\sin([value]) \\ \Rightarrow y_p~'(t)=-[value]\sin([value])+[value]\cos([value]) \\ \Rightarrow y_p~''(t)=-[value]\cos([value])-[value]\sin([value]) \\ \] Substituting these in the original differential equation, we getSijoitetaan nämä tehtävässä annettuun differentiaaliyhtälöön \[ \Rightarrow[value]=[value] \] Solving for \(A\) and \(B\) we getRatkaistaan \(A\):n ja \(B\):n arvot \[ \left\{\begin{array}{ll} [value]&=[value] \\ [value]&=[value] \end{array}\right. \] The solutions are \(A=[value]\) and \(B=[value].\)Ratkaisuiksi saadaan \(A=[value]\) ja \(B=[value].\) The solution for the exercise is the sum of two expressions: the particular solution to the nonhomogeneous system of equations and the general solution to the homogeneous equation.Tehtävän ratkaisu on epähomogeenisen yhtälöryhmän erikoisratkaisu ja homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun summa. \[ y(t)=y_c (t)+y_p (t) \\ \\ y(t)=[value] \]

Find the general solution for the differential equation \[ y''+[value] y'-[value]y=0. \] Use \(x\) for the variable and symbols \(A\) and \(B\) for the constants. The exponential function should be given in the form exp(5*x). Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value] y'-[value]y=0 \] yleinen ratkaisu. Käytä muuttujaa \(x\) ja vakioille symboleja \(A\) ja \(B\). Eksponenttifunktio annetaan esim. muodossa exp(5*x).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Substitution: Yrite: \(y=\textrm{e}^{rx} \Rightarrow y'=r\textrm{e}^{rx},~y''=r^2\textrm{e}^{rx}\) Substituting these in the equation we getSijoittamalla nämä yhtälöön saadaan \[ \textrm{e}^{rx}(r^2+[value]r-[value])=0, \] so the characteristic equation of the differential equation iseli differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r^2+[value]r-[value]=0. \] Solving for \(r\) we get \(r_1=[value]\textrm{ and }r_2=[value]\).Ratkaisuiksi saadaan \(r_1=[value]\textrm{ ja }r_2=[value]\). Therefore the general solution isNäin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(x)=A\textrm{e}^{[value]x}+B\textrm{e}^{[value]x}. \]

Given the Euler differential equationMääritä Eulerin differentiaaliyhtälöön

\[ x^2 y''-[value] x y'+[value] y=0 \]

find the solution for the initial value problem \(y(1)=[value]\), \(y'(1)=0\). For your answer, provide the exponents of the functions \(x^r\) appearing in the solution in increasing order (\(r_1 < r_2\)) and the actual solution which is a polynomial having integer coefficients.liittyvän alkuarvotehtävän \[y(1)=[value]\text{ ja } y'(1)=0\] ratkaisu. Anna vastauksena ratkaisussa esiintyvien funktioiden \(x^r\) eksponentit suuruusjärjestyksessä (\(r_1 < r_2\)) ja varsinainen ratkaisu, joka on kokonaislukukertoiminen polynomi.

\(r_1 =~\)
\(r_2 =~\)
\(y(x) =~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Substitution: \(y(x)=x^r~\Rightarrow y'(x)=rx^{r-1}\textrm{ and }y''(x)=r(r-1)x^{r-2}\)Yrite: \(y(x)=x^r~\Rightarrow y'(x)=rx^{r-1}\textrm{ ja }y''(x)=r(r-1)x^{r-2}\) Substituting in the given differential equation, we getSijoitetaan annettuun differentiaaliyhtälöön \begin{align*} x^2y''-[value]xy'+[value]y&=0 \\ x^2\cdot r(r-1)x^{r-2}-[value]x\cdot rx^{r-1}+[value]x^r&=0 \\ =r(r-1)x^r-[value]rx^r+[value]x^r&=0 \\ =x^r(r(r-1)-[value]r+[value])&=0 \end{align*} Assuming \(x>0\) we can solve the equationOletuksella \(x>0\) voidaan yhtälö ratkaista \[ r(r-1)-[value]r+[value]=0. \] For the solutions we get \(r_1 = [value]\textrm{ and }r_2 = [value]\).Ratkaisuiksi saadaan \(r_1 = [value]\textrm{ ja }r_2 = [value]\). Therefore the general solution isEli yleinen ratkaisu on \[ y(x)=C_1 x+C_2 x^{[value]} \\ \] and its derivative isja sen derivaatta on \[ \Rightarrow y'(x)=C_1+[value]C_2 x^{[value]}. \] Using the initial conditions provided in the exercise, we can find the constants \(C_1\) and \(C_2\).Tehtävässä annettujen alkuarvojen perusteella ratkaisemme vielä vakiot \(C_1\) ja \(C_2\). \begin{align*} y(1)&=[value] \\ = C_1 +C_2 &= [value] \\ \Rightarrow C_1 &= [value]-C_2 \\ \\ \\ y'(1)&=0 \\ C_1+[value]C_2&=0 \\ [value]-C_2+[value]C_2&=0 \\ \Rightarrow C_2 &= -[value] \\ \Rightarrow C_1 &= [value] \\ \end{align*} The solution isVarsinainen ratkaisu: \[ y(x)=[value] \]

Let \(y(t)\) be the solution for the initial value problemOlkoon \(y(t)\) alkuarvo-ongelman

\[ 4 y''(t) + y(t) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y'(\pi) = -1 \]

Find \(y(2 \pi)\). Choose the correct answer from the following choices by writing the number corresponding to your pick of choice in the text box below.ratkaisu. Etsi \(y(2 \pi)\). Valitse oikea ratkaisu seuraavista vaihtoehdoista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

([value]) \(\quad y(2\pi)=-2\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=-1\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=1\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=2\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The characteristic equation is \(4 r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm \frac{i}{2}\). Thus the general solution is \(y(t) = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}\) and its derivative is \(y'(t) = - \frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2}\). From the initial values we get the conditionsKarakteristiseksi yhtälöksi saadaan \(4 r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm \frac{i}{2}\). Yleinen ratkaisu on tällöin \(y(t) = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}\) ja derivaatta on \(y'(t) = - \frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2}\). Alkuarvoista saadaan ehdot \begin{align*} B & = 1 \\ \\ - \frac{A}{2} & = -1, \end{align*} i.e. \(A = 2\) and \(B = 1\). Therefore \(y(t) = 2 \cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}\) and \(y(2 \pi) = 2 \cos \pi + \sin \pi = -2\).eli \(A = 2\) ja \(B = 1\). Tällöin \(y(t) = 2 \cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}\) ja \(y(2 \pi) = 2 \cos \pi + \sin \pi = -2\).

Solve the differential equation \[[value]=0.\]Ratkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=0.\]

Find the characteristic equation of the given differential equation. Use the symbol \(r\) for the variable.Määritä annetun differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö. Käytäthän muuttujana kirjainta \(r\).

\(= 0\)

The zeros of the characteristic equation areKarakteristisen yhtälön nollakohdat ovat

\(r_1 = \)

\(r_2 = \)

Thus the general solution for the differential equation isTällöin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on

\(y(x) = C_1 \cdot\) \(+ C_2 \cdot \)

(\(C_1\) and \(C_2\) are constants)(\(C_1\) ja \(C_2\) ovat vakioita)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The characteristic equation of a homogeneous and linear differential equation having constant multipliers (i.e. that is of the form \( a y''+b y' + c y = 0 \)) is \( a r^2+b r + c = 0 \). In this exercise, we have to solve the differential equation \[ [value]=0, \] so the characteristic equation is \[ [value]. \]Homogeenisen, lineaarisen, vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön (muotoa \( a y''+b y' + c y = 0 \)) karakteristinen yhtälö on \( a r^2+b r + c = 0 \). Tässä tehtävässä ratkaistava differentiaaliyhtälö on \[ [value]=0, \] joten karakteristinen yhtälö on \[ [value]. \] The zeros of the characteristic equation can be found using the quadratic formula. The zeros are \( [value] \) and \( [value] \).Karakteristisen yhtälön nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \( [value] \) ja \( [value] \). The characteristic equation has two distinct roots, so the general solution to the differential equation is of the form \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] where \( r_1 \) and \( r_2 \) are the roots of the characteristic equation. Therefore, the solution to the differential equation is \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri juurta, joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] jossa \( r_1 \) ja \( r_2 \) ovat karakteristisen yhtälön juuret. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]

Find a particular solution for the differential equation \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] using the substitution \(Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x)\). Give the values of the constants in your answer (integers).Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] yksittäisratkaisu yritteen \[ Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \] avulla. Anna vastauksena vakioiden arvot (jotka ovat kokonaislukuja).

\(A=~\)

\(B=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The substitution provided in the exercise: Tehtävässä annettu yrite: \[ y(x)=Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \\ \Rightarrow y''(x)=-[value]A\sin([value]x)-[value]Ax\cos([value]x)+[value]B\cos([value]x)-[value]Bx\sin([value]x) \] Substituting these in the differential equation and solving for \(A\) and \(B\), we getSijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön ja ratkaistaan \(A\) ja \(B\). \[ -[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x)=[value]\cos([value]x) \] The solutions areRatkaisuiksi saadaan \[ [value]B=[value]~\Rightarrow B=[value] \] andja \[ -[value]A=0~\Rightarrow A=0 \]

The general solution to a second order nonhomogeneous differential equationEpähomogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]

is of the formyleinen ratkaisu on on muotoa

\[y(x)=C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + y_0 (x),\]

where \(y_1\) and \(y_2\) are the solutions to the corresponding homogeneous equation, and \(y_0\) is a particular solution to the nonhomogeneous equation.missä \(y_1\) ja \(y_2\) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisut ja \(y_0\) on jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[[value]=x\]

given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla

\[y(0)=0 \text{ ja } y'(0)=0.\]

First form the characteristic equation of the corresponding homogeneous differential equation (\([value] = 0\)) and find its roots by solving \([value] = 0\). Then you can find the solutions corresponding these roots: Laske ensiksi vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön \[ [value] = 0 \] karakteristisen yhtälön \[ [value] = 0 \] juuret ja niitä vastaavat perusratkaisut:

\(\lambda_1 =\)

\(\lambda_2 =\)

\(y_1 = \)

\(y_2 = \)

To find the particular solution, use the substitution \(y_0 = A_0+A_1 x\) and determine the values of the constants: Käytä yksittäisratkaisulle yritettä \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja määritä vakioiden arvot:

\(A_0 = \)

\(A_1 =\)

Finally, using the given initial values, find the constants \(C_1\) and \(C_2\) and provide the solution for the differential equationMääritä vielä vakioiden \(C_1\) ja \(C_2\) arvot annettujen alkuarvojen avulla ja anna lopullinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

\(y(x)\) =
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=x\] given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla \(y(0)=0\) ja \(y'(0)=0\). Solving the characteristic equation of the corresponding homogeneous equation we get \(\lambda_1 = [value]\) and \(\lambda_2 = [value]\). Since the roots are distinct and real, the corresponding solutions are \(y_1 = [value]\) and \(y_2 = [value]\).Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisesta yhtälöstä \([value] = 0\) saadaan juuriksi \(\lambda_1 = [value]\) ja \(\lambda_2 = [value]\). Koska juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niitä vastaavat perusratkaisut ovat \(y_1 = [value]\) ja \(y_2 = [value]\). Substituting \(y_0 = A_0+A_1 x\) and its first and second order derivatives \(y_0' = A_1\) and \(y_0''=0\) in the differential equation, we getSijoitetaan yrite \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta \(y_0' = A_1\) ja \(y_0''=0\) differentiaaliyhtälöön. Näin saadaan yhtälö \[0-[value]A_1+[value]\cdot(A_0+A_1 x) = x,\] which holds when \(A_0 = [value]\) and \(A_1 = [value]\).joka pätee kun \(A_0 = [value]\) ja \(A_1 = [value]\). Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \[y(x)=C_1 [value] + C_2 [value] + [value] x + [value].\] For the initial value problem, we need to find \(y'(x)\).Alkuarvo-ongelmaa varten lasketaan vielä \(y'(x)\). \[y'(x) = [value],\] which takes us to the pair of equationsja saadaan yhtälöpari \[ \left\{\begin{aligned} y(0) &= 0 \\ y'(0) &= 0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} [value] &= 0\\ [value] &= 0 \end{aligned}\right. \] Solving for \(C_1\) and \(C_2\) we get \(C_1 = [value]\) and \(C_2 = [value]\). Therefore the solution for the initial value problem isRatkaisuiksi saadaan \(C_1 = [value]\) ja \(C_2 = [value]\). Alkuarvo-ongelman ratkaisu on siis \[y(x) = [value].\]

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.

Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu:

Karakteristinen yhtälö: (Käytä muuttujana r.)

Ratkaistaan \(r_1 = \) ja \(r_3 = \) .

Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\(y_n = \) (Käytä kertoimina a ja b.)

Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu:

Valitaan yrite \(y_p = \) . (Käytä kertoimena c.)

Nyt \(y_p' = \) ja \(y_p'' = \) .

Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = \) .

Siispä yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu: Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa. Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu: Karakteristinen yhtälö: [value] Ratkaistaan \(r_1 = [value]\) ja \(r_3 = [value]\) Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on \(y_n = [value]\) Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu: Valitaan yrite \(y_p = [value]\) Nyt \(y_p' = [value]\) ja \(y_p'' = [value]\) Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = [value]\). Siispä yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\)

Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella.

Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\).

Nyt \(y_2' = u'x + \) ja \(y_2'' = u''x+ \) \(\cdot \, u'\).

Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = \) .

Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = \) . Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!).

Nyt \(u = \) .

Tällöin ratkaisu \(y_2 = \) .

Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti

\(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \) , \(\quad x\neq 0\).

Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti |  | .

Yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) , \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella. Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\). Nyt \(y_2' = u'x + [value]\) ja \(y_2'' = u''x+ [value]u'\). Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = [value]\). Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = [value]\). Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!). Nyt \(u = [value]\). Tällöin ratkaisu \(y_2 = [value]\). Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti \(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = [value]\), \(\quad x\neq 0\). Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti riippumattomia. Yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\), \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).

Find the general solution \(y(t)\) for the differential equation \[ y''(t) = [value].\] Also, find the particular solution \(y_{e}(t)\), for which it holds that \(y([value])=[value]\) and \(y'([value])=[value]\). Note that the general solution needs to contain constants, as well. Hint: How would you write the characteristic polynomial for the corresponding homogeneous equation? Etsi yleinen ratkaisu \(y(t)\) differentiaaliyhtälölle \[ y''(t) = [value].\] Etsi lisäksi se erikoisratkaisu \(y_{e}(t)\), joka toteuttaa alkuarvot \[y([value])=[value] \text{ ja } y'([value])=[value]\]. Huomaa, että yleisessä ratkaisussa täytyy olla vakiotermejä. Vihje: Kuinka kirjoitat yhtälön homogeenisen osan karakteristisen polynomin?

\(y(t) = \)

\(y_{e}(t) = \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We want to solve the differential equation \[ y''(t) = [value]. \] The equation in question is a second order differential equation. Since the equation is of suitable form, we can find the solution by integrating it twice.Tehtävänämme on ratkaista differentiaaliyhtälö \[ y''(t) = [value]. \] Kyseessä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Koska yhtälö on sopivaa muotoa, voidaan se ratkaista integroimalla kahteen kertaan. Let us integrate both sides of the equation with respect to \(t\): \[\begin{array}{rll} \int y''(t) dt & = & \int \left([value] \right) dt \\ y'(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt \\ y'(t) & = & [value] + [value] + C \\ \end{array}\] We integrate once more: \[\begin{array}{rll} \int y'(t) dt & = & \int \left( [value] + [value] + C \right) dt \\ y(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt + \int C dt \\ y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ \end{array}\] Now we have found the general solution for the differential equation, \[ y(t) = [value] + [value] + C t + D .\] Integroidaan puolittain muuttujan \(t\) suhteen: \[\begin{array}{rll} \int y''(t) dt & = & \int \left([value] \right) dt \\ y'(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt \\ y'(t) & = & [value] + [value] + C \\ \end{array}\] Integroidaan vielä toiseen kertaan: \[\begin{array}{rll} \int y'(t) dt & = & \int \left( [value] + [value] + C \right) dt \\ y(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt + \int C dt \\ y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ \end{array}\] Nyt olemme siis saaneet selville differentiaaliyhtälön yleisen ratkaisun, \[ y(t) = [value] + [value] + C t + D .\] To find the particular solution, we need to determine the values for the constants \(C\) and \(D\) using the initial conditions. According to the first initial condition \[ y([value])=[value] ,\] so substituting in the equation \(y(t) = [value] + [value] + C t + D\) we get \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value]+[value]+[value] + D \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] According to the second initial condition \[ y'([value])=[value] ,\] so substituting in the equation \( y'(t) = [value] + [value] + C \) we get \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value] + [value] + C \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Thus, the values of the constants are \(C = [value]\) and \(D = [value]\). Substituting these in the expression for the general solution we get \[\begin{array}{rll} y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ & = & [value] + [value]. \end{array}\] The particular solution satisfying the initial conditions is therefore \[y_e(t) = [value] + [value].\] Erikoisratkaisua varten täytyy vakioiden \(C\) ja \(D\) arvot ratkaista alkuehtojen avulla. Ensimmäisen alkuehdon mukaan \[ y([value])=[value] ,\] joten lausekkeeseen \(y(t) = [value] + [value] + C t + D\) sijoittamalla saadaan \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value]+[value]+[value] + D \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Toisen alkuehdon mukaan \[ y'([value])=[value] ,\] joten lausekkeeseen \( y'(t) = [value] + [value] + C \) sijoittamalla saadaan \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value] + [value] + C \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Vakioiden arvot ovat siis \(C = [value]\) ja \(D = [value]\). Sijoittamalla nämä yleisen ratkaisun lausekkeeseen saamme \[\begin{array}{rll} y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ & = & [value] + [value]. \end{array}\] Alkuehdot täyttävä erikoisratkaisu on siis \[y_e(t) = [value] + [value].\]