Title: IMA1 (viikko 6) muut

Tämän tehtävän vastauksessa saattaa esiintyä neliöjuuria. Syöttöesimerkki: \(5\sqrt{8} = 5*\mathtt{sqrt(8)}\).

Jatkuvan funktion \(f\) keskiarvoksi välillä \(I = [a,b]\) sanotaan lukua
\( \displaystyle \qquad f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \).

Olkoon
\( \displaystyle \qquad f(x) = [value] \).

Funktion \(f\) keskiarvo välillä \(I = [[value], [value]]\) on .
Se saavutetaan kohdassa \(c = \) .
Feedback: Mallivastaus: Keskiarvon määritelmän mukaisesti saadaan laskettua \( \begin{align*} \qquad f(c) & = \displaystyle{ \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x} = \displaystyle{ [value]\int_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x } \\ & = \displaystyle{ [value] {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right)} = \displaystyle{[value] }. \end{align*} \) Keskiarvon kohta \(c\) saadaan ratkaistua yhtälöstä \( \qquad \displaystyle f(c) = [value] = [value] \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{c^2} = [value]\left([value] - [value] \right) = [value]. \) Siis \(c^2 = [value] \) eli \(c = \pm [value] \). Näistä kahdesta kuitenkin vain \([value] \in [[value], [value]] \), joten keskiarvon kohta on \(c = [value] \).

Laske integraalit \[\text{(a) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] \[\text{(b) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] (Vihje: Mikä on \(D(\ln(\cos(x))\)?)

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku merkitään e, esim. 2*e. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

Vastaukset:

(a) |  |
(b) |  |
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} |[value]-x| \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} ([value]-x) \, \mathrm{d}x+\int_{[value]}^{[value]} (x-[value]) \, \mathrm{d}x \\ & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} ([value]x-\frac{1}{2}x^2)+\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} (\frac{1}{2}x^2-[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+\frac{1}{2}\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+[value]^2 \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} (b) \[D\left(\ln\left(\cos(x)\right)\right)=\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).\] \[\int_{0}^{[value]} \tan(x) \, \mathrm{d}x = \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} -\ln\left(\cos(x)\right)=-\ln\left(\cos\left([value]\right)\right)-\left[-\ln\left(\cos(0)\right)\right] = [value].\]

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The derivative of the function is \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), so all the possible extrema are \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) and \(x_3=[value]\). Since \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), then \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) and \(f''([value])=[value]>0\). That is, all the points are local extrema; the middle one is a local maximum and the other two are local minima.Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)}\) ja \(\pi = \mathtt{pi}\).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \left( [value]\right) \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{ll} & \displaystyle{ \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x} \\ = & \displaystyle{ \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right)} \\ = & \displaystyle{ [value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] - \left([value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] \right)} \\ = &\displaystyle{ [value]} \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \displaystyle \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = &\displaystyle -[value]\cos\left([value]\right) - \left(-[value] \cos\left([value]\right)\right) \\ & = & \displaystyle [value] + - [value] \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\]