Title: MAT-01160 Matematiikka 1

Vastaa kysymyksiin.Tenttiaika loppuu 13.00. Viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon.

\( \textbf{(a)} \)   Onko väite tosi.  Kaikilla luvuilla \[ x\in\mathbf{R}\backslash\mathbf{Q}\] myös \[ x^2\in\mathbf{R}\backslash\mathbf{Q}\]. Vastaa 0 (epätosi) tai 1 (tosi).

\( \textbf{(b)} \)   Jos joukko \[ A=\{1,2,3,4,5\}\]  ja \[ B=\{2,4,6,8\}\], niin mikä on joukko \[(A^C\cap B)\cup (A\cap B^C)\].  Vastaa luettelemalla joukon alkiot suuruusjärjestyksessä ilman  välilyöntejä tai pilkkuja yhtenä lukuna. Esim. jos joukko olisi \[\{1,2,3\}\], niin vastaa luku 123. Jos joukko on tyhjä joukko, niin vastaa luku 0.

\( \textbf{(c)} \)   Onko väite tosi. On mahdollista, että \[A\subset B\] ja \[A\subset C\], mutta \[B\cap C=\emptyset\]. Vastaa 0 (epätosi) tai 1 (tosi).
Feedback: a) epätosi, esim. \[x=\sqrt2\] b) vastaus 13568 (ne alkiot, jotka kuuluvat vain toiseen joukoista) c) tosi, jos \[A=\emptyset\]

Vastaa luennolla esitettyihin kysymyksiin. Vain 1. vastauskerta otetaan huomioon.

\( \textbf{(a)} \)

\( \textbf{(b)} \)

Matlab harjoitus 2

Jatketaan Matlabin harjoittelua. Opintojakson tenteissä saa käyttää Matlabia ja tämän harjoituksen yksi tavoite on opetella tuottamaan Matlabilla tenttivastauksen kaltaisia pdf-dokumentteja. Jos et vielä ole ottanut Matlabia käyttöön, niin katso edellisen Matlab-harjoituksen ohjeet Matlabin asennukseen ja käyttöönottoon. Ohjeita peruskäyttöön löytyy mm. sivulta $@COURSEVIEWBYID*11403@$

Tee tehtävät Live Editorilla. Ratkaisussa tulee olla sekä käytetyt komennot että saadut vastaukset. Kommentoi vaiheita tarvittaessa tekstillä (valitse Live Editor -> Text). Ohjeissa on \(\verb|Matlabin komentoja|\)  ja itse täydennettävät kohdat kolmena pisteenä \(\verb|...|\)

Palauta ratkaisusi Moodlen palautuksen kautta viimeistään 22.9.2020. Maksimi suorituspistemäärä on 10 p. Kirjoita palautuksen alkuun :

Insinöörimatematiikan perusteet, verkkototeutus
Matlab-harjoitus 2
Nimesi
Opiskelijanumerosi

Olen osallistunut tutkimukseen 10.9 = vastaa numero 1

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) seuraavat (a-c):

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Ratkaise toisen asteen yhtälö \(x^2 - [value] \mathrm{i} x - [value]- \mathrm{i}=0 \).

Ratkaise tehtävä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti \( D \) eli toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä oleva lauseke?

Anna kaikki vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( D =\)

Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa. Vastaukset ovat muotoa \([value] + z \), missä \( z \) on jokin kompleksiluku. Esitä nämä luvut \( z \) NAPAKOORDINAATTIMUODOSSA. Eli tyyliin \( [value] + r \exp(...) \).

N:nnet juuret voit kirjoittaa muodossa x^(1/n). Esimerkiksi luvun \(\sqrt[3]{3}\exp(i\frac{5\pi}{7})\) voi kirjoittaa 3^(1/3)*exp(i*5*pi/7).

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Polynomin \(p(x)=ax^2+bx+c\) diskriminantti D ratkaistaan seuraavasti: \( \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= ([value]\mathrm{i})^2 - 4 \cdot 1 \cdot ([value]- \mathrm{i}) \\ \\ &= [value]\mathrm{i}^2+[value]+4\mathrm{i} \\ \\ &= -[value]+[value]+4\mathrm{i} = [value]+[value] \, \mathrm{i}. \end{align} \) Yhtälön ratkaisut voi laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \[ \begin{align} x&=\frac{[value]\mathrm{i} \pm \sqrt{[value]+[value] \, \mathrm{i}}}{2}=[value] \pm \sqrt{[value]}= \Large [value] \pm [value] \\ \stackrel{-1=\exp(-\mathrm{i} \pi )}{\Rightarrow} x_{1}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i},\\ \quad x_{2}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i}. \end{align} \]

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N} \, |\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Sievennä \( \textbf{(a)-} \text{ ja } \textbf{(b)-} \)kohdat ja ratkaise \( \textbf{(c)-} \text{ ja } \textbf{(d)-} \)kohdat ilman laskinta.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Ratkaise kaikki reaaliluvut \(x\in \mathbb{R}\), jotka toteuttavat yhtälön:
\(\textbf{(a) } 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4, \quad \textbf{(b) } \text{arsinh}(0)=x, \quad \textbf{(c) } \text{artanh}([value])=x.\)

\(\textbf{(a) } x=\)
\(\textbf{(b) } x=\)
\(\textbf{(c) } x=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \textbf{(a)} \quad & 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4\\ \Leftrightarrow & 5\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & \frac{8e^{x}+2e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & 4(e^{x})^2+1=4e^{x}\\ \Leftrightarrow & (e^{x})^2-2\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & \left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & e^{x}=\frac{1}{2} \quad | \ln \\ \Leftrightarrow & x= \ln \left( \dfrac{1}{2} \right)=\ln(2^{-1}) =-\ln(2). \end{align*}\) \(\textbf{(b)}\) Tapa 1. \(\text{arsinh}(0)=\ln \left(0+\sqrt{0^2+1}\right)=\ln(1)=0.\) Tapa 2. Sovelletaan tietoa, että areafunktio on hyperbolisen funktion käänteisfunktio, eli \(\text{arsinh}(0)=x\ \Leftrightarrow \sinh(x)=0 \ \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}=0\ \Leftrightarrow \ e^x=e^{-x}\) jos ja vain jos \(x=0\) (mieti vaikkapa kuvaajien kautta). \( \begin{align*} \textbf{(c)} \quad \text{artanh}([value]) &= \frac{1}{2}\ln \left(1+ \left([value]\right) \right)-\frac{1}{2}\left(1- \left([value]\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( [value] \right) - \frac{1}{2} \ln \left([value] \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \left ([value] \right) - \ln \left([value] \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left(\frac{[value]}{[value]} \right) = \frac{1}{2} \ln \left ([value] \right). \end{align*} \)

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= \frac{[value]}{5}\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä \(\cos (\theta)\) ja \(\tan (\theta)\). Huom! Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\(\cos (\theta) = \)

\(\tan (\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( \frac{[value]}{5} \right) ^2 } = \pm [value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \large \cos(\theta)= [value]\qquad\) ja \( \qquad \large \tan (\theta)=\frac{\sin (\theta)}{\cos\theta}=\frac{[value]/5}{[value]/5}=[value].\)

On annettu funktio \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (f \circ f)(x) & = & f(f(x)) \\ (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f \circ f)([value]) & = & ([value]^[value]+1)^[value] + 1 = [value]^[value] + 1 \\ (f\circ f)([value]) & = & [value] \end{eqnarray*} \)

Olkoot \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x)=[value] \) ja \( \displaystyle g:M_g\to \mathbb{R}, \quad g(x)=[value] \) reaalifunktioita.

\( \textbf{(a)} \) Määritä \(f^{-1}([value]) \). \( \textbf{(b)} \) Määritä funktion \(g\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_g\subset \mathbb{R} \). \( \textbf{(c)} \) Määritä \(g^{-1}([value]) \).

Anna kaikkien kohtien vastaus JOUKKONA. Joukko kirjoitetaan aaltosulkeiden avulla. Esim. luvusta a muodostuva joukko kirjoitetaan {a} ja luvuista a,b ja c muodostuva joukko kirjoitetaan {a,b,c}. \( \textbf{(b)} \) -kohdassa anna vastaukseksi se joukko, jonka alkio(t) eivät kuulu funktion \(g\) määrittelyjoukkoon.

\( \textbf{(a)} =\) \( \textbf{(b)} = \mathbb{R} \setminus \) \( \textbf{(c)} =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{(a)} \) Pisteen [value] alkukuva on joukko \[ \begin{align} f^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : f(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\} =[value]. \end{align} \] \( \mathbf{(b)} \) Funktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa, eli pisteessä \(x=[value]\). Näin ollen \[ M_{g}=\mathbb{R} \backslash \{[value]\}. \] \( \mathbf{(c)} \) Pisteen \( [value] \) alkukuva on joukko \[ \begin{align} g^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : g(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]\}=[value]. \end{align} \]

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja alkukuvajoukko \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset tarkkoina arvoina.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saisit ratkaisuksi arvon \( 4 \), kirjoita vastaus muodossa {4}. Jos saisit ratkaisuksi arvot \(4\) ja \(5\), kirjoita vastaus muodossa {4,5} jne.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)

\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio).  c)-kohdassa vain 1. vastauksesta voi saada pisteitä.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a \quad = \quad \)
\(b \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä pisteessä täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{Vastaus:} \quad a = [value], \quad b=[value]. \)

Laske seuraavat raja-arvot. (Äärettömät kirjoitetaan seuraavasti: \( \infty = \) inf ja \( -\infty = \) minf.) Väärästä vastauksesta vähennetään 0.1 pistettä, mutta voit yrittää kuitenkin uudestaan.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \quad = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to a} [value], \quad = \) \( \, \textrm{ol. } \, a\neq 0 \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=[value] \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) \( a \):ta ei voida sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten muokataan hieman lauseketta ensin. \begin{align*} \lim_{x \to a}\frac{\frac{1}{x}^{ (a}-\frac{1}{a}^{ (x}}{x-a}&= \lim_{x \to a}\frac{\frac{a-x}{ax}}{x-a} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-(x-a)}{ax(x-a)} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-1}{ax}=-\frac{1}{a^2} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value]^{([value]} &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)

/* */
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Laske raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty} \large( [value] )^{\Large[value]} \).

Ohje: kirjoita ensin sulkulauseke muodossa \( (\cdots)=e^{\ln(\cdots)}\).

Syntaksivihje: Esimerkiksi \( \sqrt{x} \) kirjoitetaan muodossa sqrt(x) tai x^(1/2), \( \sqrt[7]{x} \) muodossa x^(1/7) ja \(e^x \) muodossa e^(x) tai exp(x).

\(\lim\limits_{x\to\infty}\large( [value] )^{\Large[value]}=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \large \left(e^x+x\right)^{ \Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\ln(e^x+x)\right)^{\Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) \). Soveltamalla l'Hospital'n sääntöä eksponentin sisäfunktioon kolmesti saadaan \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{[value](e^x+x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x+[value]} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x}=\frac{1}{[value]}, \] joten \[\lim\limits_{x\to\infty} \large \left(e^x+x\right)^{\Large [value]} \normalsize = \lim\limits_{x\to\infty} \exp \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) = \exp \left( \frac{1}{[value]} \right) = \large [value].\]

Selvitä, onko lause tosi vai epätosi:

\( \begin{align*} & \textbf{(a) } \exists\, x\in[1,[value]]:\ [value] \qquad \textbf{(b) } \forall\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0\\ & \textbf{(c) } \exists\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0 \quad \textbf{(d) } \forall\, x\in\mathbb{N}\ \exists\,y\in\mathbb{R}:\ \frac{y}{x}=3 \end{align*} \)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Huom! Väärästä vastauksesta tulee miinuspisteitä, joten älä jätä vastauksia arvauksen varaan.

\( \textbf{(a)} \) \( \quad \) \( \textbf{(b)} \)

\( \textbf{(c)} \) \( \quad \) \( \textbf{(d)} \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) [value]. Suomeksi väite tarkoittaa: Väliltä \([1,[value]]\) löytyy reaaliluku, joka on aidosti [value] kuin [value]. Huomaamme, että tämä väite on [value] kaikilla \(x\in [1,[value]]\), eli väite on /* tosi */ [value]. \( \textbf{(b)} \) Epätosi. Väite ei ole tosi, valitsemalla esimerkiksi \(x=0\). \( \textbf{(c)} \) Tosi. Yhtälön ratkaisuiksi saadaan \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=1. \] Eli nähdään, että löytyy \(x=1\in\mathbb{R}\), jolla polynomi saa arvon \(0\). Näin ollen väite on tosi. \( \textbf{(d)} \) Tosi. Koska \(x\) in luonnollinen luku (eli \(1,2,3,....\)), niin erityisesti \(x\neq 0\) ja jakolasku \(y/x\) on aina hyvin määritelty. Jos \(x\):ää kohden valitaan \(y=3x\in\mathbb{R}\), nähdään, että yhtälö toteutuu \[ \frac{y}{x}=\frac{3x}{x}=3, \] ja väite on tosi.

Puiston harvennuksen yhteydessä kaadetut puut kuivataan kasassa ja toimitetaan lämpövoimalaan poltettavaksi. Tuoreen pöllin painosta on vettä [value] % ja kasassa kuivatun pöllin painosta on vettä [value] %. Täysin vedettömän puuaineksen poltosta saadaan energiaa 5,3 kWh/kg. Kosteaa puuta polttaessa aiheuttaa vesi 0,7 kWh:n energiahävikin vesikiloa kohti.

\(\textbf{(a) }\) Montako kiloa alkuaan [value]\(\mathbf{,0}\) kg painoinen pölli keveni kasassa kuivattaessa?

\(\textbf{(b) }\) Montako prosenttia enemmän energiaa saadaan kuivatusta pöllistä verrattuna siihen, että sama pölli olisi poltettu tuoreena? Pöllin massaa ei tunneta.

Ilmoita molemmat vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä. Anna \(\textbf{(b) }\)-kohdan vastaus nimenomaan prosenttina desimaaliluvun sijasta - älä käytä prosenttimerkkiä. Esim. jos vastaus on mielestäsi 95,7 %, kirjoita vastauskenttään " 95.7 ".

\(\textbf{(a)}\) kg.

\(\textbf{(b)}\) %.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan aluksi pöllin puuaineksen paino, joka on \[(100\%-[value]\%)\cdot [value] \, \textrm{kg} =[value]\, \textrm{kg}\] Olkoon kasassa kuivatun puun massa \(m_{k1},\) jolloin \[ (100\%-[value]\%)m_{k1}=[value] \,\textrm{kg} \Longrightarrow m_{k1}=\frac{[value]}{[value]}\approx [value]\, \textrm{kg}. \] Pölli keveni \([value]-\frac{[value]}[value]\approx [value] \, \textrm{kg}\). \( \textbf{(b)} \) Olkoon pöllin massa \(m\). Tuoreesta pöllistä saadaan energiaa \[ E_t=[value]\cdot m\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}=([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)\, m \, \textrm{kWh/kg} \] Kuivatusta pöllistä saadaan energiaa (kuivatun pöllin massa on \(m_{k}=\frac{[value]}{[value]}m\)) \[ \begin{align} E_k&=[value]\cdot m_k\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m_k\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}\\ &=([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}\cdot m\, \textrm{kWh/kg} \end{align}\] Näin ollen prosentteina \[ \frac{E_k-E_t}{E_t}=\frac{([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}-([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)}{[value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7}=[value]\approx [value]\% \] Vastaus: \(\textbf{(a) } [value]\, \textrm{kg} \quad \textbf{(b) } [value]\% \)

\(\text{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat. Tee tehtävä vaihe kerrallaan kärsivällisesti edeten.} \)
\(\text{Tehtävää kannattaa yrittää, vaikkei sitä kokonaan osaisikaan, sillä jokaisesta oikein menneestä kohdasta saa 0,125 pistettä.} \)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \sum_{i=1}^{n}2i \) tarkoittaa summaa \( \sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \MATHCHECK!!!! \)

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret.
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i =\)
ja oikea puoli on , joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen
\( \sum_{i=1}^{k}2i =\) .

\( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) .

\( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \)
\( \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) \( + \sum_{i=1}^{k}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret. Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). \( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \) "Pilkotaan" summa ensin siten, että viimeinen alkio otetaan summalausekkeen ulkopuolelle: \( \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Käytetään sitten induktio-oletusta: \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1) \). \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} &= \dfrac{6a^2}{a^6 a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^4 a^{3/2}} \\ & = \dfrac{6}{a^{8/2} a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^{11/2}} \\ & = \dfrac{6}{(\sqrt{a})^{11}}. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} &= \dfrac{2^{x-1}2^{3(x+1)}}{2^{2(2x+4)}} = \dfrac{2^{x-1}2^{3x+3}}{2^{4x+8)}} \\ \\ &= \dfrac{2^{4x+2}}{2^{4x+8}} = 2^{(4x+2)-(4x+8)} \\ \\ &= 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}. \end{align} \)

Hae kaikki luvun \([value]+[value]i\) kolmannet juuret.

Kirjoita kolmas juuri luvun \( \frac{1}{3} \) potenssina. Eksponenttifunktion \( e^{x} \) voit kirjoittaa joko muodossa e^(x) (sulut tarvitaan, jos yhden merkin sijasta eksponenttina on pidempi lauseke) tai muodossa exp(x).

Esimerkki: Luku \( (9 \sqrt3 )^{1/7} e^{i \pi/15} \) kirjoitetaan (9*sqrt(3))^(1/7)*e^(i*pi/15) \( \textbf{TAI} \) (9*sqrt(3))^(1/7)*exp(i*pi/15).

Luvun \([value]+[value]i\) kaikki kolmannet juuret ovat

\( w_1 = \)
\( w_2 = \)
\( w_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: \([value]+[value]i=\sqrt{([value])^2+[value]^2} e^{\large[value]i}\normalsize=[value]e^{ \large [value]i}\). Nyt eräs kolmas juuri on \[w_1=([value])^{1/3}e^{ \large[value]i},\] sillä \(w_1^3=\left(([value])^{1/3}\right)^3e^{i \large([value]) \normalsize\cdot3}=[value]e^{ \large [value]i}\). Muut kolmannet juuret ovat kulman \(2\pi/3\) välein \(([value])^{1/3}\)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \begin{align*} w_2&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value]+2\pi/3)}= \normalsize ([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}\quad \normalsize \text{ja} \\ \\ w_3&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value] +2\cdot2\pi/3)} \normalsize =([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}. \end{align*}

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Ohut suora putki (halkaisija \(=0\)) kuljetetaan vaakatasossa kuvan mukaisesti \([value]~\textrm{m}\) leveältä käytävältä kulman ympäri \([value]~\textrm{m}\) leveälle käytävälle. Kuinka pitkä putki voi korkeintaan olla, jotta se mahtuu kulkemaan?

Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:

/* JSXGraph-kuva */ (function() { /* Maximaa ajetaan JSXGraph-ympäristössä [value]-syntaksilla */ /* luodaan piirtoalue sopivilla rajoilla (boundingbox:[xmin, ymax, xmax, ymin] */ var board = JXG.JSXGraph.initBoard('uniqueName', {boundingbox:[-3,[value],[value],-3]}); /* käytävien seinät */ var line1 = board.create('line',[[0,0],[0,[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line2 = board.create('line',[[[value], 0],[[value], 6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line3 = board.create('line',[[[value], 6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* katkoviiva, ohkaisemman käytävän leveys */ var line4 = board.create('line',[[0,6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2, dash: 1}); /* putki poikittain käytävillä */ var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* kaaret ja leveyksien merkintä */ var height = 0.5; // height of the curly brace var A = board.create('point', [0,0], {name:'A', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var B = board.create('point', [[value],0], {name:'B', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width1 */ var crl = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl.bezierDegree = 3; crl.updateDataArray = function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(A.X()+B.X())*0.5, (A.Y()+B.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ A.X(), A.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], B.X()-d[1], B.X() ]; this.dataY = [ A.Y(), A.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], B.Y()+d[0], B.Y() ]; }; /* Tehdään teksti käytävän sisään kertomaan käytävän leveys (width1) */ var txt1 = board.create('text', [ function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.X()+B.X())*0.4; d[1] *= height/dl; return mid-d[1]+0.3; }, function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.Y()+B.Y())*0.4; d[0] *= height/dl; return mid+d[0]+1.5; }, function() { return [value] + " m"; } ]); var C = board.create('point', [[value],[value]], {name:'C', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var D = board.create('point', [[value],6], {name:'D', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width2 */ var crl2 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl2.bezierDegree = 3; crl2.updateDataArray = function() { var d = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(C.X()+D.X())*0.5, (C.Y()+D.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ C.X(), C.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], D.X()-d[1], D.X() ]; this.dataY = [ C.Y(), C.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], D.Y()+d[0], D.Y() ]; }; /* ja taas teksti kertomaan käytävän leveys (width2) */ var txt2 = board.create('text', [ function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.X()+D.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]+1.5; }, function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.Y()+D.Y())*0.5; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+0.1; }, function() { return [value] + " m"; } ]); /* tehdään vielä pätkä, joka näyttää x:n pituuden */ var E = board.create('point', [-1,6], {name:'E', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var F = board.create('point', [-1,[value]], {name:'F', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var crl3 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl3.bezierDegree = 1; crl3.updateDataArray = function() { var d = [F.X()-E.X(), F.Y()-E.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(E.X()+F.X())*0.5, (E.Y()+F.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ E.X(), E.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], F.X()-d[1], F.X() ]; this.dataY = [ E.Y(), E.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], F.Y()+d[0], F.Y() ]; }; var txt3 = board.create('text', [ function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]-2; }, function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+[value]; }, function() { return "x"; } ]); board.update(); // This update is necessary to call updateDataArray the first time. })();
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan kaksi pientä kolmiota, jossa suora putki koostuu kahdesta hypotenuusasta, olkoot ne vaikkapa \( a\) ja \( b \). Olkoon \( a\) kapeammalle käytävälle muodostuvan kolmion hypotenuussa. Kateetit ovat tällöin \( x \) ja [value]. Pythagoraan lauseen nojalla \( a = \sqrt{x^2+[value]} \). Leveämmän käytävän kolmiossa hypotenuusa on \( b \). (Kuvan piirtäminen saattaa helpottaa ratkaisun hahmottamista!) Yhdenmuotoisuuden nojalla \[ \dfrac{b}{[value]} = \dfrac{a}{x} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{[value]a}{x} = \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} \]. Nyt on haettava pienin arvo putken pituudelle eli minimoitava \( a+b \): \[ a + b = \sqrt{x^2+[value]} + \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} = \sqrt{x^2+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{x} \right) = f(x). \] Kriittiset pisteet: \[ \begin{align} & f'(x) = 0 \\ & \Leftrightarrow [value]\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right)+[value]\left( [value] \right) = 0 \quad \Big| \cdot [value] \\ & \Leftrightarrow x\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right) - \dfrac{[value] ( [value])}{x^2} = 0 \quad \Big|\cdot x^2 \\ & \Leftrightarrow x^3 + [value]x^2 - [value]x^2 - [value] = 0 \\ & \Leftrightarrow x^3 = [value] \\ & \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{[value]} \end{align} \] Derivaatan merkki kriittisen pisteen \( x = \sqrt[3]{[value]} \approx [value] \) eri puolilla selvitetään vaikkapa laskimella: \( f′([value]) \approx [value] < 0 \) ja \(f ′([value])\approx [value] > 0\). \(f\) on siis vähenevä välillä \( \left( 0, \sqrt[3]{[value]} \right] \) ja kasvava välillä \( \left[ \sqrt[3]{[value]}, \infty \right) \), joten kriittinen piste on globaali minimipiste. Minimiarvo on \( f( \sqrt[3]{[value]}) = \sqrt{[value]^{2/3}+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{\sqrt[3]{[value]}} \right) \approx [value]. \) Vastaus: Putki voi olla korkeintaan \( [value] \, \textrm{m} \) pitkä.

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tulossa kertolaskuoperaattorina tähteä ( *). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa exp(a*x) tai e^(a*x).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f(x) = \) ja \( f'(x) = \)

\( g(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Osoita totuustaulutarkastelun avulla:

\(\textbf{(a)}\) Osittelulaki: \( p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \). Ts. osoita, että \(p \lor (q \land r)\) ja \((p \lor q) \land (p \lor r) \) ovat loogisesti ekvivalentteja.

\(\textbf{(b)}\) Suora todistus: \( p \land (p \to q) \Rightarrow q.\)

Vihje: Kannattaa ratkaista tehtävä ensin paperilla ja sijoittaa sitten puuttuvat alkiot STACKiin.

\(\textbf{(a)}\) Täytä allaolevaan totuustauluun puuttuvat alkiot (siis x:llä merkityt). Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (* & p \lor (q \land r) \leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (*** \\ \hline 1 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ \end{array}\)

Allaolevassa taulukossa on tilan puutteen vuoksi kaksi viimeistä saraketta merkitty yhdellä ja kolmella tähdellä. Katso ylläolevasta taulukosta, mitä niiden kohdalla kuuluu olla.

\(\quad p \quad | \quad q \quad | \quad r \quad\) | \( \quad q \land r \quad \, \) | \(p \lor q \) | \( p \lor r \) | \(p \lor (q \land r) \) | \( * \) | \(*** \)
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\) |
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)

\(\textbf{(b)}\) Täytä allaolevan totuustaulun puuttuvat alkiot. Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\quad p \quad | \quad q \quad\) | \(\quad \quad p \to q \quad \quad\) | \(p \land (p \to q) \quad \) | \(p \land (p \to q) \Rightarrow q \)
\(1 \quad | \quad 1\) |
\(1 \quad | \quad 0\)
\(0 \quad | \quad 1\)
\(0 \quad | \quad 0\)
Feedback: Mallivastaus. \(\textbf{(a)}\) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) & p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\) \( \textbf{(b)} \) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & p \land (p \to q) & p \land (p \to q) \Rightarrow q \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \)

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 11.00. Viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon.

\( \textbf{(a)} \) Mikä seuraavista predikaattilogiikan lauseista tarkoittaa samaa kuin  väite: Jokaisella reaaliluvulla \[x\neq 0\] on käänteisluku. Vastaa väitteen numero.

1)  \[\exists x\neq 0: \ 1/x\in \mathbb{R}\]

2)  \[\exists x\neq 0 \ \forall y\in\mathbb{R} : \ x=1/y\]

3)  \[\forall x\neq 0 \ \exists y\in\mathbb{R} : \ x=1/y\]

4)  \[\exists x\neq 0 \ \exists y\in\mathbb{R} : \ x=1/y\]

5) ei mikään edellisistä väitteistä

\( \textbf{(b)} \)   Onko väite tosi.  Kaikilla kokonaisluvuilla  \[ n\in\mathbb{Z}\] pitää paikkansa \[ n^2 \textrm{ on pariton} \Leftrightarrow n\textrm{ on pariton}\]. Vastaa 0 (epätosi) tai 1 (tosi).

\( \textbf{(c)} \)   Onko väite tosi. \[\forall n\in\mathbb{N}: 2+4+6+\cdots + 2n=n^2+n.\] Vastaa 0 (epätosi) tai 1 (tosi).
Feedback: a) väite numero 3 b) Tosi, Luennolla oli esimerkit väitteiden komplementeista. c) tosi, tulos saadaan esimerkistä 1.31 kertomalla puolittain kahdella.

Vastaa kysymyksiin.Tenttiaika loppuu 13.00. Viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon.

Tutkitaan a) ja b)-kohdissa funktiota \[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} \]  määrittelyjoukossaan \[ M_f= (0,\infty )\]

a)   Mikä on funktion käänteisfunktio \[f^{-1}(x) \]? Anna vastaukseksi oikean vaihtoehdon 1-6 numero.

\[\textbf{1)}\ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \qquad \textbf{2)}\ f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x} \qquad \textbf{3)}\  f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x^2}   \qquad\textbf{4)}\  f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} \]

5) Ei mikään edellisistä, mutta käänteisfunktio on olemassa
6) Käänteisfunktiota ei ole olemassa

b)  Mikä on yhdistetty funktio \[(f\circ f)(x)\]? Anna vastaukseksi oikean vaihtoehdon 1-6 numero.

\[\textbf{1)}  \ (f\circ f)(x)=\dfrac{1}{x}\qquad \textbf{2)} \ (f\circ f)(x)=x \qquad \textbf{3)} \  (f\circ f)(x)=\sqrt{x}   \qquad \textbf{4)} \  (f\circ f)(x)=x^{1/4}\]

5) Ei mikään edellisistä, mutta yhdistetty funktio on olemassa
6) Yhdistettyä funktiota ei ole olemassa

c)  Mikä on luvun \[a>0\] eksponentti lausekkeessa \[ \dfrac{\sqrt[5]{a^3\cdot a^{-4}}}{a^{-3}} \]
Anna vastaukseksi kokonaisluku tai murtoluku
Feedback: a) 3 b) 4 c) 14/5

Vastaa kysymyksiin.Tenttiaika loppuu 11.00. Viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon.

Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(), luku \[\pi\]  kirjoitetaan pi. Kertomerkki = *.

a)  Jos \[\sin(x)=\dfrac{3}{5}\] ja \[x\in[\dfrac{\pi}{2}, \pi]\], niin mitä on \[\cos(x)\].

b)  Tiedetään, että \[\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\]. Tällöin
\[ \textbf{1)} \quad \sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\]
\[ \textbf{2)} \quad\sin(x-y)=-\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\]
\[ \textbf{3)} \quad\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)\]
\[ \textbf{4)} \quad\sin(x-y)=-\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)\]
5)  Ei mikään edellisistä.

c)    Mitä on \[\arctan\left(-1\right)\]
Feedback: a) -4/5 b) 3 c) \[-pi/4\]

Vastaa kysymyksiin.Tenttiaika loppuu 13.00. Viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon.

Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(). Kertomerkki = *. Luonnollinen logaritmi = log(x). \[e^x\] = exp(x)

a)  Mikä seuraavista on yhtälön  \[e^{x^2}=2\] yksi ratkaisu?

\[\textbf{1)}  \ln(\sqrt{2})\qquad \textbf{2)} \sqrt{\ln(2)}   \qquad \textbf{3)} \sqrt{2/e}  \qquad \textbf{4)} \sqrt{\ln(1/2)} \qquad \textbf{5)} \textrm{ei mikään kohdista 1-4} \]

b)    Mitä on \[\ln (\sqrt{e}) \cdot \ln (e^3) \]

c)    Kuinka monta reaalista ratkaisua on yhtälöllä \[\sinh(x)-\cosh(x)=0\]
Feedback: a) 2 b) 3/2 c) 0

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 11.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

Imaginaariyksikko = i, muista käyttää kertomerkkiä, esim. \[2i= 2*i\]. Jos vastaus on reaaliluku tai puhdas imagiaariluku, niin nollan voi jättää kirjoittamatta.

a)  Mitä on \[i^{-1}\]? Esitä vastaus muodossa \[a+b*i\]

b)    Esitä \[(2+i)(1+2i)\] muodossa  \[a+b*i\]

c)    \[z=3-4i\]. Mitä on \[\vert z-\overline{z}\vert\]?
Feedback: a) -i b) 5*i c) 8

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 17.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

Imaginaariyksikko = i, muista käyttää kertomerkkiä, esim. \[2i= 2*i\]. Jos vastaus on reaaliluku tai puhdas imaginaariluku, niin nollan voi jättää kirjoittamatta. Neliöjuuri= sqrt().

a)    Olkoon kompleksiluvussa \[z=a+bi\] reaali- ja imaginaariosat \[ \ a>0 \]  ja \[b>0\]. Missä kompleksitason neljänneksessä sijaitsee luku \[z^3\]. Anna vastaukseksi kaikki neljännekset, joissa luku voi sijaita. Vastaa numerolla 1,2,3,4,12,13,14,23,24,34,123,124,134,234 tai 1234. Huom. luku ja sen potenssit eivät sijaitse koordinaattiakseleilla, joten ratkaisussa ei tarvitse päättää, mihin neljännekseen koordinaattiakselit kuuluvat.

b)    Mitä on  \[2e^{2i\pi}\] yksinkertaisimmassa muodossa  \[a+b*i\]

c)    Minkälainen pistejoukko on niiden kompleksilukujen \[z\] joukko, joilla  \[arg(z)=|z|\]?

1) vain piste \[0+0i\]
2) kompleksitason origokeskinen ympyrä
3) kompleksitason origon kautta kulkeva suora
4) kompleksitason spiraali, jonka yksi piste on origo
5) ei mikään edellisistä
Feedback: a) 123 b) 2 c) 4

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 11.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

Vastaa kaikkiin kohtiin 0=epätosi tai 1=tosi.

a)     \[z=2i\] on polynomin \[x^3 +(2-2i)x^2+(1-4i)x-2i\] yksi nollakohta. Tämä on totta ja sen totuusarvoa ei kysytä tässä tehtävässä. Onko totta, että tästä seuraa se, että  \[z=-2i\] on myös nollakohta.

b)    On mahdollista, että 5. asteen reaalikertoimisella polynomilla ei ole lainkaan reaalisia nollakohtia.

c)    5. asteen polynomilla on aina 5 erisuurta nollakohtaa kompleksilukujen joukossa.
Feedback: a) Epätosi. Vain reaalikertoimisella polynomit esiintyvät luku-liittolukupareittain. b) Epätosi. Jos polynomi on reaalikertoiminen ja pariton-asteinen, niin sillä on ainakin yksi reaalinen nollakohta. c) Epätosi. Polynomin nollakohdat voivat olla useampikertaisia nollakohtia, jolloin ne kaikki eivät ole erisuuria.

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 17.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

a)  Jos \[g(x)=f^{-1}(x)\], niin mitä on \[(g\circ f)'(x)\]. Vastaa oikean vaihtoehdon numero.

1) \[-(f'(x))^2\]      2) \[f'(f(x))f'(x)\]       3) \[x\]    4) \[0\]     5)   \[f'(x)\]    6) ei mikään edellistä

b)      Jos \[f(2)=5,\ \ f(5)=2,\ \   f'(2)=2, \ \ f'(5)=5\ \] niin mitä on  \[ (f^{-1})'(2) \]

c)    Mitä on \[D\left(\dfrac{1}{1+x^2}\right)\]. Vastaa oikean vaihtoehdon numero.

1) \[\dfrac{1}{2x}\]      2) \[\arctan(x)\]     3) \[-\dfrac{1}{(1+x^2)^2}\]     4) \[\dfrac{2x}{1+x^2}\]     5) ei mikään edellisistä
Feedback: a) 6, ei mikään edellisistä . Oikea vastaus olisi \[(g\circ f)'(x)=1\], sillä \[(f^{-1}\circ f)(x)= x\] b) 1/5 c) 5, ei mikään edellisistä. Oikea vastaus olisi \[D\left(\dfrac{1}{1+x^2}\right)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\]

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 13.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

Vastaa kaikkiin kohtiin 0=epätosi tai 1=tosi.

a)     Jos \[f'(x)=0\], niin \[x\] on aina lokaali ääriarvokohta

b)    Jos \[x\] on  lokaali ääriarvokohta, niin \[f'(x)=0\]

c)    Jos \[f'(x)\neq 0\] ja funktio on jatkuva ja derivoituva kohdassa \[x\], niin \[x\] ei voi koskaan olla lokaali ääriarvokohta.
Feedback: a) Epätosi. Esim. \[f(x)=x^3\] origossa. b) Epätosi. Lokaali ääriarvo voi olla myös kohdassa, jossa derivaattaa ei ole. Esim. \[f(x)=|x|\]. c) Tosi. Jos derivaatta poikkeaa nollasta, jatkuva ja derivoituva funktio on aidosti monotoninen tässä kohdassa.

Vastaa kysymyksiin. Tenttiaika loppuu 11.00. Ensimmäisen suorituskerran viimeiseksi jätetty vastaus otetaan huomioon. Jos avaat toisen suorituskerran, niin sen tuloksia ei huomioida.

a)     Millä seuraavista funktioista on totta väite: \[f'(x)=f^{(5)}(x)\].  Vastaa luettelemalla oikeat vaihtoehdot suuruusjärjestyksessä ilman  välilyöntejä tai pilkkuja yhtenä lukuna. Esim. jos mielestäsi funktiot  1,2,4 toteuttavat väitteen niin vastaa luku 124. Jos mikään vaihtoehdoista ei täytä ehtoa, vastaa luku 0. Tästä kohdasta saa pisteen vain jos kaikki oikeat ratkaisut ovat mukana vastauksessa.

1) \[f(x)=2\sin(x)\],    2) \[f(x)=\sinh(x)\],   3) \[f(x)=x\],    4) \[f(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}\],    5) \[f(x)=4\],    6) \[f(x)=e^x+\cos(x)\],

b)    Onko seuraavassa tehtävässä käytetty L'Hopitalin sääntöä oikein. Vastaa 0=ei , 1= kyllä.

\[\lim\limits_{x\to \pi/2} \dfrac{\cos(x)}{x}=\lim\limits_{x\to \pi/2} \dfrac{-\sin(x)}{1}=-1\]

c)    Mitä on \[\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\ln(2x)}{\ln(x)}\].  Vastaa suppenevan raja-arvon arvo tai inf=\[\infty\], minf=\[-\infty\]
Feedback: a) Funktiot 1,2,5,6 b) Ei. Ensimmäinen raja-arvo ei ole 0/0 muotoa. c) \[\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\ln(2x)}{\ln(x)}= \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to \infty} 1 = 1 \]

Tehtävä 2.

Suorita seuraavat tehtävät Matlabin Live Script-editorilla. Ratkaisussa tulee olla sekä käytetyt komennot että saadut vastaukset. Ohjeissa Matlabin komennot ovat typewriter-tyylillä ja itse täydennettävät kohdat kolmena pisteenä ...

a) Kirjoita editorin alkuun tekstikenttään (valitse Live Editor -> Text) seuraavat tiedot:

Insinöörimatematiikan perusteet, verkkototeutus
Matlab-harjoitus 1
Nimesi
Opiskelijanumerosi

b)  Vaihda koodikenttään (Live Editor->Code) ja tee siinä seuraavat tehtävät. Komennot kirjoitetaan editorin vasempaan ikkunaan ja suoritetaan Run-napilla. Tulokset näkyvät oikean puoleisessa ikkunassa.

Tutkitaan funktioita \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{3x}\) ja  \( g(x) = \dfrac{x-1}{2-x}\).
Muodosta Matlabissa aluksi symbolinen muuttuja \(x\) ja sitten funktiot \(f\) ja \(g\) . Muista kertomerkit ja sulut.

syms x
f(x)=...
g(x)=...

Laske funktion arvot \(f([value])\) ja \(g([value])\).

Entä millä arvolla \(x\) funktio \(f(x)=[value]\)? Tämän saat muodostamalla ratkaisemalla yhtälön solve-komennolla. Tässä käytetään kahta yhtäsuuruusmerkkiä yhtäsuuruuden osoittamiseen, koska yksi yhtäsuuruusmerkki on Matlabin sijoitusoperaattori. Ensimmäinen argumentti on yhtälö ja toinen on se muuttuja, joka yhtälöstä ratkaistaan.

solve(f(x)==[value],x)

Yhdistetty funktio \(f(g(x))\) saadaan suoraan sijoittamalla sisäfunktio ulkofunktioon. Tallennetaan tämä vielä funktioksi \(h(x)\), sievennetään lauseke ja piirretään tämän kuvaaja

h(x)=f(g(x))
simplify(h(x))
fplot(h(x))

Vastaa vielä lopuksi tekstikentässä, miten nimittäjän nollakohta näkyy tässä rationaalifunktion kuvaajassa.

c)  Tallenna ratkaisusi pdf-muodossa (Save -> Export to PDF).  PDF-tallennuksessa komennot ja tulokset yhdistetään yhdeksi tiedostoksi. Palauta PDF-tiedosto Moodle-sivun palautusaktiviteetin Matlab-harjoitus 1, palautus kautta viimeistään 8.9. Ajoissa tehdystä palautuksesta ja oikein tehdystä tehtävästä saa max. 10 suorituspistettä.

Jos haluat, voit tallentaa editorin sisällön -mlx-tiedostona aktiiviseen kansioon (Save-> Save, kansio näkyy osoitekentässä).  Tällöin voit myöhemmin tarvittaessa palata tähän tiedostoon.

Tässä tehtävässä ei ole vastauskenttiä, joten Lukitsen vastaukseni-napista ei tarvitse välittää.

Tehtävä 1.

a) Ratkaise \(x\) yhtälöstä \[\sin(x)=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{4}}\]  kahdella tavalla. Käytä \(\verb|solve|\)-komentoa ja ratkaise yhtälö. Toisella tavalla käytä sinin käänteisfunktiota.  Vastauksen tulisi olla \(\pi/8\). Varmista laskemalla likiarvot vastauksestasi ja luvusta \(\pi/8\), että saamasi vastaus on oikein.

b) Ratkaise yhtälö \([value]^{x+1}=[value]^{2x+1}\). Laske myös tarkka arvo (symbolinen ratkaisu) ja sievennä se \(\verb|simplify|\)-komennolla. Tarkista että saamasi desimaaliratkaisu ja symbolinen ratkaisu ovat sama luku.

c) \(\verb|solve|\)-operaatiolla voidaan ratkaista myös käänteisfunktiot. Kun määritetään kaksi symbolista reaalista muuttujaa \(\verb|syms x y real|\) , niin funktion \(f(x)\) käänteisfunktion saa \(\verb|solve(f(x)==y,x)|\). Määritä funktion \(f(x)=\sqrt{\ln(x)}-1\) käänteisfunktio.

d)  Miten saat Neperin luvun \(e\) 100 desimaalin tarkkuudella?
Feedback: vastaus : \(ln([value]/[value])/ ln([value]/[value])\)

Tehtävä 2. Ratkaise seuraavat kompleksiyhtälöt

a) PDF-harjoitukset 3 tehtävä 1 a).    Ratkaise yhtälö \(2iz+1=-\overline{z}+3i\)

b) PDF-harjoitukset 3 tehtävä 5.   Alla olevalla yhtälöllä on kolme ratkaisua  \(z\)  joukossa \(\mathbb{C}\). Esitä kaikki ratkaisut muodossa  \(z=re^{i\theta}\)  ja  muodossa  \(z=a+bi\).

                     \[\dfrac{5z^3+5z^3i}{4+12i} = -2-4i\]

Kirjoita pdf-ratkaisuusi napakoordinaattiesitykset \(z=re^{i\theta}\) tässä muodossa. Koska Matlab esittää kompleksiluvut aina \(a+bi\) muodossa, niin tämä napakoordinaattimuoto tulee rakentaa itse käyttäen modulia ja argumenttia. Live-editorin tekstitilaan saa lisättyä matemaattista tekstiä valikosta INSERT->EQUATION. Voit lisätä merkintöjä kaavaeditorilla tai latex-koodina.
Feedback: vastaus :

Kompleksiluvut Matlabissa

Matlab laskee automaattisesti kaiken kompleksilukujen joukossa. Imaginaariyksikkönä voidaan käyttää symbolia \(\verb|i|\) tai \(\verb|j|\). Muista lisätä kertomerkki kertoimen ja imaginaariyksikön väliin.

Laskutoimitukset \(\verb|+,-,*,/,^|\) ja funktiot toimivat kompleksiluvuilla, silloin kun ne ovat määritellyt kompleksilukualueessa. Opintojaksolla Insinöörimatematiikan perusteet kompleksifunktioista ollut esillä polynomit, rationaalifunktiot ja eksponenttifunktio.

Kompleksiluvuilla \(z=a+bi\) on myös omia operaatioita.

- liittoluku (kompleksikonjugaatti) \(\overline{z}=a-bi\) :  \(\verb|conj(...)|\)
- moduli (itseisarvo) \(\sqrt{a^2+b^2}\): \(\verb|abs(...)|\)
- argumentti , antaa vastauksen väliltä \((-\pi, \pi]\):  \(\verb|angle(...)|\)
- reaaliosa: \(\verb|real(...)|\)
- imaginaariosa: \(\verb|imag(...)|\)

Kompleksilukujen graafinen havainnollistaminen tehdään xy-koordinaatiston kuvina. komennolla \(\verb|plot(x,y)|\) voidaan piirtää yksi piste (x,y). Seuraavassa esimerkissä kuvataan kompleksilukua sekä tähdellä että napakoordinaatistoa havainnollistavalla kuvalla

\(\verb|z1=3+4i|\)
\(\verb|plot(real(z1),imag(z1),'*')|\)
\(\verb|xlabel('Reaaliakseli')|\)
\(\verb|ylabel('Imaginaariakseli')|\)
\(\verb|title('z1=3 + 4i')|\)
\(\verb|figure      % Uusi kuvaikkuna|\)
\(\verb|compass(z1) % sinne nuolikuva|\)

Tehtävä 1.

Asenna Matlab omalle koneellesi tai ota se muuten käyttöösi. Ohjeet asennukseen löydät Matlab-materiaalit Moodle-sivulta $@COURSEVIEWBYID*11403@$

Matlabissa on runsaasti erilaisia lisäosia ns. toolboxeja. Tällä opintojaksolla perusasennuksen lisäksi tarvitaan Symbolic Math toolbox. Toolboxeja on helppo asentaa tarvittaessa lisää.

Avaa Matlab ja tutustu perusnäkymään esim. oheisen videon avulla

https://panopto.tuni.fi/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=46dd2704-36f3-4128-85cb-ac2200b935bc

Tällä opintojaksolla Matlabia kannattaa käyttää Live Script editorissa. Sillä voidaan helposti tuottaa tehtävissä tarvittavat pdf-ratkaisut. Voit tutustua editorin käyttöön esim. oheisen videon avulla.

https://panopto.tuni.fi/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=8418f735-73fc-41d4-bef9-ac1a00883354

Ohjeita peruskäyttöön löydät Moodlen Matlab osiosta.

Edellisessä Matlab-harjoituksessa oli ohjeet Matlabin asennukseen ja käyttöönottoon. Jos et vielä silloin tehnyt tätä, niin katso sieltä.Tehtävä 1.

Asenna Matlab omalle koneellesi tai ota se muuten käyttöösi. Ohjeet asennukseen löydät Matlab-materiaalit Moodle-sivulta $@COURSEVIEWBYID*11403@$

Matlabissa on runsaasti erilaisia lisäosia ns. toolboxeja. Tällä opintojaksolla perusasennuksen lisäksi tarvitaan Symbolic Math toolbox. Toolboxeja on helppo asentaa tarvittaessa lisää.

Avaa Matlab ja tutustu perusnäkymään esim. oheisen videon avulla

https://panopto.tuni.fi/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=46dd2704-36f3-4128-85cb-ac2200b935bc

Tällä opintojaksolla Matlabia kannattaa käyttää Live Script editorissa. Sillä voidaan helposti tuottaa tehtävissä tarvittavat pdf-ratkaisut. Voit tutustua editorin käyttöön esim. oheisen videon avulla.

https://panopto.tuni.fi/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=8418f735-73fc-41d4-bef9-ac1a00883354

Ohjeita peruskäyttöön löydät Moodlen Matlab osiosta.