Title: Ylim

Jos funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) osittaisderivaatat ovat pisteessä \((a,b)\) nollia, niin

Funktion \(f(x,y)\) osittaisderivaatta pisteessä \((a,b)\) muuttujan \(x\) suhteen on \([value]\). Mitä seuraavista ei voi päätellä?

Funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) gradientti pisteessä \((x,y)\) on \(([value],[value])\).

Funktion arvo kasvaa nopeimmin suuntaan

Funktion arvo vähenee nopeimmin suuntaan

Funktion arvo ei muutu lähdettäessä suuntaan

Funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) ääriarvopisteessä \((x,y)\) gradientista tiedetään, että

Tässä tehtävässä voi valita kahdesta vaihtoehdosta.

Toinen on hiukan monimutkaisempi, toinen helpompi, ja se näkyy maksimipisteissä. Tee tehtävän versioista vain toinen. Jos teet molemmat, saat pisteet huonommin menneen vaihtoehdon mukaan.

Vaihtoehto 1 (max 6p)

Määritellään funktio \(f(x)\) niin, että se on erotus niistä funktioista, joista ensimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\) ja jälkimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\). Määritä funktion \(f(x)\) integraali välillä \([[value],[value]]\).

Vaihtoehto 2 (max 4p)

Laske määrätty integraali

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( [value]x e^{x^2+1}+[value]x \right) dx.\]

Perusteluksi kirjoita mitä integrointisääntöä käytät ja miten. Vastaa myös kysymykseen: Miten voit tulkita tämän määrätyn integraalin geometrisesti?

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostona.

Tässä tehtävässä voi valita kahdesta vaihtoehdosta.

Toinen on hiukan monimutkaisempi, toinen helpompi, ja se näkyy maksimipisteissä. Tee tehtävän versioista vain toinen. Jos teet molemmat, saat pisteet huonommin menneen vaihtoehdon mukaan.

Vaihtoehto 1 (max 6p)

Määritellään funktio \(f(x)\) niin, että se on erotus niistä funktioista, joista ensimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\) ja jälkimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\). Määritä funktion \(f(x)\) integraali välillä \([[value],[value]]\).

Vaihtoehto 2 (max 4p)

Laske määrätty integraali

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( \frac{[value]x}{x^2+1}+[value]x \right) dx.\]

Perusteluksi kirjoita mitä integrointisääntöä käytät ja miten. Vastaa myös kysymykseen: Miten voit tulkita tämän määrätyn integraalin geometrisesti?

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostona.

Tässä tehtävässä voi valita kahdesta vaihtoehdosta.

Toinen on hiukan monimutkaisempi, toinen helpompi, ja se näkyy maksimipisteissä. Tee tehtävän versioista vain toinen. Jos teet molemmat, saat pisteet huonommin menneen vaihtoehdon mukaan.

Vaihtoehto 1 (max 6p)

Määritellään funktio \(f(x)\) niin, että se on erotus niistä funktioista, joista ensimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\) ja jälkimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\). Määritä funktion \(f(x)\) integraali välillä \([[value],[value]]\).

Vaihtoehto 2 (max 4p)

Laske määrätty integraali

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( [value]x \sin(x^2+1) \cos(x^2+1)+[value]x \right) dx.\]

Perusteluksi kirjoita mitä integrointisääntöä käytät ja miten. Vastaa myös kysymykseen: Miten voit tulkita tämän määrätyn integraalin geometrisesti?

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostona.