Title: Lukujonot ja sarjat

Determine the sum of the series \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] by using the equality \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]Haastava tehtävä (eli sopii arvosanan 5 tavoittelijoille, muutoin voi olla järkevää hypätä yli): Määritä sarjan \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] summa kirjoittamalla \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]

\[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we find out the partial fraction decomposition. For this purpose, we write \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Now we can form a pair of equations and determine the constants \(A\) and \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} From the first equation we get \(B = -A\), which we can substitute for the latter and solve for \(A\): \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Therefore, \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} and \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Next, we will simplify the expression of the \(N\)th partial sum into a suitable form. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] In the first phase, we express the general sum term by using partial fraction decomposition. Then we separate some of the former terms in the first term of the summation and some of the latter terms in the second term, respectively. In the third phase, we apply a suitable substitution for the sums, after which we will notice that the sum expressions will cancel each other out. Now we have found the general expression for the \(N\)th partial sum and so we can take the limit \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\].Ratkaistaan ensimmäisenä osamurtohajotelma. Tätä varten kirjoitamme ensin \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Nyt voimme muodostaa yhtälöparin ja ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} Ylemmästä yhtälöstä saamme ratkaistua \(B = -A\), jonka voimme sijoittaa alempaan yhtälöön ja ratkaista sen \(A\):n suhteen. \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Täten siis \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} ja \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Seuraavaksi sievennämme \(N\):nnen osasumman lausekkeen sopivaan muotoon. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme summattavan osamurtohajotelman avulla ja seuraavassa vaiheessa erotamme ensimmäisestä summatermistä osan alkupään summattavista ja vastaavasti toisesta summatermistä erotamme osan loppupään summattavista. Kolmannessa vaiheessa teemme summalausekkeisiin sopivan muuttujanvaihdoksen, jolloin näämme, että summalausekkeet kumoavat nyt toisensa. Nyt olemme selvittäneet \(N\):nnen osasumman yleisen lausekkeen ja voimme ottaa raja-arvon. \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\]

Determine the sums of the following series: Määritä seuraavien sarjojen summat:

(a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n} \]

(b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n} \]

(c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n} \]

(d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}} \]

AnswerVastaus (a):

AnswerVastaus (b):

AnswerVastaus (c):

AnswerVastaus (d):
Feedback: Model solution: Mallivastaus: All the series in the exercise are geometric (of the form \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), where \(|r|<1\)) so the sum converges to \(\frac{a}{1-r}\).Kaikki tehtävän sarjat ovat geometrisiä (muotoa \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), missä \(|r|<1\)) joten summa lähestyy arvoa \(\frac{a}{1-r}\). (a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]} \right) ^n=\frac{\frac{[value]}{[value]}}{1-\frac{[value]}{[value]}}=[value]. \] (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{[value]} \right)^n=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}{1-(-\frac{[value]}{[value]})}=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}[value]=[value]. \] (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} [value]\cdot \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^n \stackrel{(a)}{=}[value]\cdot [value]=[value]. \] (d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]^2} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}[value] \right) ^n=\frac{[value]}{1-[value]}=[value]. \]

Determine the sum of the following series. Do not use approximations.Laske seuraavien sarjojen summa. Älä käytä likiarvoja.

(a) | \[ \sum_{n=0}^\infty [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[ \sum_{n=0}^\infty [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: An infinite geometric series \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\) converges to \(\frac{a}{1-r}\), if \(|r|<1\).Ääretön geometrinen sarja \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\) suppenee kohti arvoa \(\frac{a}{1-r}\), jos \(|r|<1\). (a) By change of variables, substituting \(n=k-1\) we can express the function in the formTehtävän funktio voidaan muuttaa edellä esitettyä geometrista sarjaa vastaavaksi tekemällä muuttujanvaihto \(n=k-1\): \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{[value]}{e^n} = \sum_{n=0}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^n = \sum_{k-1=0}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} = \sum_{k=1}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} \] Comparing this form to the general expression of the geometric sum, we see that \(a=1\) and \(r=1/e\). The series converges, since \(1/e < 1\). The sum of the series is given by the expression \(\frac{a}{1-r}\).Vertaamalla saatua muotoa yleiseen geometrisen summan lausekkeeseen nähdään, että \(a=1\) ja \(r=1/e\). Sarja suppenee, sillä \(1/e < 1\). Sarjan summa saadaan lausekkeesta \(\frac{a}{1-r}\). \[ \sum_{k=1}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} = \frac{[value]}{1-\frac{1}{e}} = \frac{[value]e}{e-1} \] (b) We apply the same strategy as in the (a) part. First, we alter the expression to a form where we can easily see \(a\) and \(r\). Then, we use the substitution \(n=k-1\).Käytetään vastaavaa ideaa kuin a-kohdassa. Muutetaan lauseke ensin muotoon, josta nähdään \(a\) ja \(r\) selvästi. Käytetään muuttujanvaihtoa \(n=k-1\). \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n+[value]}}{e^{n-[value]}} = \sum_{n=0}^\infty 2^[value] e^[value] \frac{2^n}{e^n} = \sum_{n=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^n = \sum_{k-1=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^{k-1} \] Comparing this form to the general expression of the geometric sum, we see that \(a = 2^[value]e^[value]\) and \(r = 2/e\). Thus, we getVerrataan lauseketta edellä esitettyyn äärettömään geometriseen sarjaan. Nyt \(a = 2^[value]e^[value]\) ja \(r = 2/e\). Tulokseksi saadaan siten \[ \sum_{k-1=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^{k-1} = \frac{2^[value] e^[value]}{1-\frac{2}{e}} = \frac{2^[value] e^{[value]+1}} {e-2}. \]

Find the sum of the following series: Laske sarjan summa:

\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]^{2n+1}}{[value]^{2n-1}}}=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: For geometric sum it holds that Geometriselle sarjalle pätee \(\sum_{n=0}^{\infty}aq^k = \frac{a}{1-q}\). \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]^{2n+1}}{[value]^{2n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]\cdot[value]^{2n}}{[value]^{-1}\cdot[value]^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left(\frac[value][value]\right)^{2n} \\= \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left[\left(\frac[value][value]\right)^{2}\right]^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left([value]\right)^n = \frac{[value]}{1-[value]} = [value]\]

When a tennis ball is dropped, it will bounce up to a height \([value]\) procent of the original. Calculate the total distance the ball will traverse, when it is dropped from a height of \([value]\) m.Kun tennispallo päästetään putoamaan, se pomppaa \([value]\) prosenttia pudotuskorkeudesta. Laske pallon pomppima kokonaismatka, kun se pudotetaan \([value]\) m korkeudesta.

Give your answer without the unit m.Anna vastaus tarkkana arvona ilman yksikköä m.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The ball traverses a distance ofPallon pomppima matka \[S=[value]+2\cdot [value]\cdot [value]+2\cdot [value]\cdot [value]\cdot [value]+\ldots =[value]+2\cdot [value] \sum_{n=1}^{\infty} [value]^n \\ =[value]+[value]\cdot \frac{[value]}{1-[value]}=[value]+[value]\cdot [value]=[value]. \]

Determine the sum of the series \[\sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] by using the equality \[\frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]Määritä sarjan \[\sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] summa kirjoittamalla \[\frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]

\[\sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we find out the partial fraction decomposition. For this purpose, we write \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Now we can form a pair of equations and determine the constants \(A\) and \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} From the first equation we get \(B = -A\), which we can substitute for the latter and solve for \(A\): \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Therefore, \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} and \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Next, we will simplify the expression of the \(N\)th partial sum into a suitable form. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] In the first phase, we express the general sum term by using partial fraction decomposition. Then we separate some of the former terms in the first term of the summation and some of the latter terms in the second term, respectively. In the third phase, we apply a suitable substitution for the sums, after which we will notice that the sum expressions will cancel each other out. Now we have found the general expression for the \(N\)th partial sum and so we can take the limit \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\].Ratkaistaan ensimmäisenä osamurtohajotelma. Tätä varten kirjoitamme ensin \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Nyt voimme muodostaa yhtälöparin ja ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} Ylemmästä yhtälöstä saamme ratkaistua \(B = -A\), jonka voimme sijoittaa alempaan yhtälöön ja ratkaista sen \(A\):n suhteen. \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Täten siis \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} ja \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Seuraavaksi sievennämme \(N\):nnen osasumman lausekkeen sopivaan muotoon. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme summattavan osamurtohajotelman avulla ja seuraavassa vaiheessa erotamme ensimmäisestä summatermistä osan alkupään summattavista ja vastaavasti toisesta summatermistä erotamme osan loppupään summattavista. Kolmannessa vaiheessa teemme summalausekkeisiin sopivan muuttujanvaihdoksen, jolloin näämme, että summalausekkeet kumoavat nyt toisensa. Nyt olemme selvittäneet \(N\):nnen osasumman yleisen lausekkeen ja voimme ottaa raja-arvon. \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\]

a) Olkoon lukujono \(\left( (-1)^n(n+1) \right)_{n=[value]}^{\infty}\).

- Lukujonon ensimmäinen termi on .
- Yleinen termi on .
- Lukujonon kolmas termi on .

b) Olkoon lukujono \(\left( 1, 4, 9, 16, \ldots \right)\).

- Lukujonon termi \(a_5 = \) .
- Lukujonon yleinen termi \(a_n = \) , kun \(a_1 = 1\).
- Lukujonossa on termiä.

Huom! \(\infty = \) inf

c) Olkoon \(a_1 = 5\) ja \(a_{n+1} = 2a_n\)\([value]\) \(+[value]\).

- Lukujonon toinen termi on .
- Lukujonon neljäs termi on .

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Lukujonon termien ääretöntä summaa kutsutaan sarjaksi.
- Summausindeksin tulee aina olla joko \(k\) tai \(n\) ja indeksointi alkaa aina ykkösestä.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a = na\), kun \(a\) on reaaliluku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(S_{10}\) on reaalinen.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=n+2}^{\infty}a_k\) suppenee. Nyt n on luonnollinen luku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k\) suppenee.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(\frac{1}{3}\). Sarja hajaantuu.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(0\). Sarja suppenee.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Määritelmä. - Epätosi. Summausindeksin nimi on valittavissa vapaasti ja indeksointi voi alkaa muustakin kuin 1. Esim. \(\displaystyle \sum_{j=2}^{\infty}j^3\). - Tosi. Summataan \(n\) kappaletta lukua a. - Epätosi. Sarja suppenee, jos \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\) on reaalinen. - Tosi. Jäännöstermi suppenee, joten koko sarja suppenee. Indeksointi voidaan hyvin aloittaa \(k+2\):sta \(k+1\):n sijaan. - Epätosi. Emme tiedä jäännöstermin suppenemista. - Tosi. Kun \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\), niin sarja hajaantuu. - Epätosi. Emme voi päätellä suppenemista, jos raja-arvo on \(0\).

For what values of \(x\) does the following series converge?Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee? Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee?

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n} \]

Pick the correct answer from the following choices by typing the number corresponding to your choice on the box below.Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\(([value])\quad x<-[value]\) ortai \(x>[value]\)

\(([value])\quad\textrm{The series does not converge.Sarja ei suppene.}\)

\(([value])\quad-[value] < x < [value]\)

\(([value])\quad x<-\frac{1}{[value]}\) ortai \(x > \frac{1}{[value]}\)

\(([value])\quad-\frac{1}{[value]} < x < \frac{1}{[value]}\)

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{x} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} q^n, \ \text{wheremissä} \ q=\frac{-[value]}{x} \] Because the series is geometric, it converges when \(x\neq 0\) andSarja on geometrinen, joten se suppenee, kun \(x\neq 0\) ja \[|q|=\left| \frac{-[value]}{x} \right|=\frac{[value]}{|x|}<1 \Leftrightarrow |x|>[value] \Leftrightarrow x<-[value] \ \text{ortai} \ x>[value]. \]

Determine the sum of the series \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value].\] If the series diverges, answer either \(\infty\) or \(-\infty\) depending on which way the divergence occurs. The symbol \(\pi\) should be denoted as pi. For \(\infty\) and \(-\infty\), use commands inf and minf, respectively.Laske sarjan \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] summa. Jos sarja mielestäsi hajaantuu, merkitse joko \(\infty\) (komento inf) tai \(-\infty\) (komento minf) riippuen sarjan hajaantumissuunnasta. Symboli \(\pi\) kirjoitetaan muodossa pi.

\[\sum_{n=1}^{\infty} [value]\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The series \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] is geometric, because it is of the form \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n , \] which can be seen by simplifying \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n} \] Therefore, \[a=\frac{-[value]}{[value]^[value]}=q.\] Since the sum of the series of the form \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n \] is \[ \frac{a}{1-q}, \] then the sum of the given series is \[ \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{-[value]}{[value]^[value]}}{1-\frac{-[value]}{[value]^[value]}} = [value] \]Sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] on geometrinen, koska se on muotoa \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n , \] mikä nähdään sieventämällä sarjaa: \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n} \] Nyt siis \[a=\frac{-[value]}{[value]^[value]}=q.\] Muotoa \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n \] olevan sarjan summa on \[ \frac{a}{1-q}, \] joten tehtävän sarjan summa on \[ \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{-[value]}{[value]^[value]}}{1-\frac{-[value]}{[value]^[value]}} = [value] \]

Ratkaise epäyhtälö \[ \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}<2. \]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\)

Solve the inequality \[ \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}<2. \]

Give your answer in the form \(x < a, \ x>a,\ldots .\)

Vastaus: Kun The answer: When ja and .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}&<2\\ -4x+\frac{5x^2}{2} &< 2 \\ \frac{-8x+5x^2-4}{2} &< 0\,\,|\cdot 2>0\\ 5x^2-8x-4 &< 0 \end{align*} Epäyhtälön vasen puoli kuvaa ylöspäin aukeavaa paraabelia. Käyvät \(x\):n arvot löytyvät siis kyseisen paraabelin nollakohtien välistä. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa \(-\tfrac25\) ja \(2\), joten epäyhtälön ratkaisu on \(x\gt -\tfrac25\) ja \(x\lt 2\). \begin{align*} \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}&<2\\ -4x+\frac{5x^2}{2} &< 2 \\ \frac{-8x+5x^2-4}{2} &< 0\,\,|\cdot 2>0\\ 5x^2-8x-4 &< 0 \end{align*} The left hand side of the inequality describes a parabola opening upwards. The values of \(x\) satisfying the inequality are between the zero points of the parabola. The zero points are in this case \(-\tfrac25\) and \(2\). Therefore, the solution of the inequality is \(x\gt -\tfrac25\) and \(x\lt 2\).

Determine the sums of the following series: Vapaaehtoinen tehtävä (ei pisteitä): Määritä seuraavien sarjojen summat:

(a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n} \]

(b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n} \]

(c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n} \]

(d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}} \]

AnswerVastaus (a):

AnswerVastaus (b):

AnswerVastaus (c):

AnswerVastaus (d):
Feedback: Model solution: Mallivastaus: All the series in the exercise are geometric (of the form \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), where \(|r|<1\)) so the sum converges to \(\frac{a}{1-r}\).Kaikki tehtävän sarjat ovat geometrisiä (muotoa \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), missä \(|r|<1\)) joten summa lähestyy arvoa \(\frac{a}{1-r}\). (a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]} \right) ^n=\frac{\frac{[value]}{[value]}}{1-\frac{[value]}{[value]}}=[value]. \] (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{[value]} \right)^n=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}{1-(-\frac{[value]}{[value]})}=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}[value]=[value]. \] (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} [value]\cdot \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^n \stackrel{(a)}{=}[value]\cdot [value]=[value]. \] (d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]^2} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}[value] \right) ^n=\frac{[value]}{1-[value]}=[value]. \]

Täydennä

a) Potenssin laskusäännöt

- \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = \)
- \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\)
- \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\)

Siispä

- \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot \)
- \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = \)

b) Kertoma

- \(\displaystyle n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot \)
- \(\displaystyle 8! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \)
- \(\displaystyle \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k\cdot (k-1) \cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1} = \frac{k!}{(k+1)k!} = \)

c) Taylorin kaavan virhetermin arviointi

Olkoon \(c>0\). Silloin

- \(\displaystyle \frac{c^n}{n!}\) on |  | , kun \(n\geq c-1\)

- \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{c^n}{n!} = \)

d) Binomikerrointa merkitään

\(\displaystyle \binom{k}{n} = \frac{k(k-1)\cdots (k-n+1)}{n!}\), kun \(n\geq 1\) ja \(\displaystyle \binom{k}{0} = 1\).

Siispä

\(\displaystyle \binom{5}{3} = \) ja \(\displaystyle \binom{8}{2} = \) .
Feedback: Malliratkaisu: a) Potenssin laskusäännöt - \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = [value]\) - \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\) - \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\) Siispä - \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot [value]\) - \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = [value]\) b) Kertoma - \(\displaystyle n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot [value]\) - \(\displaystyle 8! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot [value]\) - \(\displaystyle \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k\cdot (k-1) \cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1} = \frac{k!}{(k+1)k!} = [value]\) c) Taylorin kaavan virhetermin arviointi Olkoon \(c>0\). Silloin 1. \(\displaystyle \frac{c^n}{n!}\) on vähenevä, kun \(n\geq c-1\) ja 2. \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{c^n}{n!} = [value]\). Todistus. Kumpikin osa erikseen. 1. Havaitaan, että \(\displaystyle \frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^n}{n!}} = \frac{c}{n+1} \leq 1\), kun \(n\geq c-1\). 2. Olkoon \(m = \lfloor c \rfloor\) luvun \(c\) desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun \(n > m\), \(\displaystyle \frac{c^n}{n!} = \frac{c}{1}\frac{c}{2}\cdots \frac{c}{m}\frac{c}{m+1}\frac{c}{m+2}\cdots \frac{c}{n-1}\frac{c}{n} \leq A\frac{c}{n}\to 0\), kun \(n\to \infty\). d) \(\displaystyle \binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{60}{6} = 10\) ja \(\displaystyle \binom{8}{2} = \frac{8\cdot 7}{2!} = \frac{56}{2} = 28\).

Q: Perustele, suppeneeko vai hajaantuuko vuorotteleva sarja, ja tutki virhettä, kun sarjan summaa arvioidaan osasummalla \(S_k\).

(a) Sarjan \( \displaystyle [value] \) summaa arvioidaan osasummalla \(S_[value]\). Tällöin virhe on itseisarvoltaan pienempi kuin ja (\(\verb+positiivinen+/\verb+negatiivinen+\)).

(b) Sarjan \( \displaystyle [value] \) summaa arvioidaan osasummalla \(S_[value]\). Tällöin virhe on itseisarvoltaan pienempi kuin ja (\(\verb+positiivinen+/\verb+negatiivinen+\)).
Feedback: Mallivastaus: Koska molemmissa kohdissa sarjan yleisen termien itseisarvolle pätee \(a_k \geq a_{k+1} \) ja \( \displaystyle \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \), niin sarjat suppenevat. Lisäksi jos sarjan summaa approksimoidaan osasummalla \(S_k\), niin \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = S_k + R_k \), missä jäännöstermille \(R_k\) pätee \(|R_k| \leq a_{k+1} \). (a) Kun sarjan summaa approksimoidaan osasummalla \(S_[value]\), sarjan \([value].\) termistä \( \displaystyle a_[value] = [value] \) nähdään, että virhe on itseisarvoltaan pienempi kuin \( [value]\) ja negatiivinen positiivinen. (b) Kun sarjan summaa approksimoidaan osasummalla \(S_[value]\), sarjan \([value].\) termistä \( \displaystyle a_[value] = [value] \) nähdään, että virhe on itseisarvoltaan pienempi kuin \( [value]\) ja negatiivinen positiivinen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastele lukujonoja \( \{a_n\} \) ja selvitä, suppeneeko vai hajaantuuko lukujono.

Jos lukujono suppenee, niin määritä sen raja-arvo. (Jos ei, vastaa \( \verb+hajaantuu+ \) )

(a) \( \displaystyle a_n = [value], \quad \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(b) \( \displaystyle a_n = [value], \quad \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(c) \( \displaystyle a_n = [value], \quad \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(d) \( \displaystyle a_n = [value], \quad \lim_{n \to \infty} a_n = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} [value] = \lim_{n \to \infty} [value] = \lim_{n \to \infty} [value] = \infty \). (hajaantuu) (b) Koska lukujonon \( [value] \) temit ovat parittomilla \(n\):n arvoilla \(-1\) ja parillisilla \(1\), lukujono ei suppene kohti mitään arvoa ja siten se hajaantuu. (c) Koska \( \displaystyle 0 \leftarrow -\frac{1}{n} \leq [value] \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0 \), kun \(n \to \infty \), niin \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} [value] = 0 \). (d) Laventamalla yleinen termi \( a_n \) \( ([value]) \):lla saadaan \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} [value] = \lim_{n \to \infty} \frac{[value]}{[value]n} = \lim_{n \to \infty} \frac{[value]}{[value]} = [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.