Title: Perustaitoharjoittelu

Laske

\[ \sin{(\frac{[value]}{2})} = \]

Anna pienin positiivinen reaaliluku \[x\], joka toteuttaa yhtälön

\[\cos{(x)} = [value]\]

Huom! Vastaus pitää antaa radiaaneina.

\[x = \]

Anna jokin pisteiden \[A = ([value], [value], [value])\] ja \[B = ([value], [value], [value])\] kautta kulkevan suoran suuntainen vektori. Vastaus pyydetään muodossa \[ \overline{x} = a\overline{i} + b\overline{j} + c\overline{k}\].

\[ \overline{x} = \] \[\overline{i} +\] \[\overline{j} +\] \[\overline{k}\].

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske vektorin \[ \overline{u} = [value]\overline{i} + [value]\overline{j} \] projektio vektorille \[ \overline{v} = [value]\overline{i} \, [value]\overline{j} \]. Anna vastaukseksi vektorin alkiot alla oleviin tekstikenttiin.

Muistutuksena, vektorin \[ \overline{u} \] projektio vektorille \[ \overline{v} \] lasketaan kaavalla \[ proj_v \overline{u} = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{\overline{v} \cdot \overline{v}}\overline{v}. \]

\[ proj_v \overline{u} \] = \[ \overline{i} + \] \[ \overline{j} \]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske ja sievennä

\(\left(\frac{[value]}{[value]}\right)^3 = \)

Laske

\[ \frac{1}{[value]} - \frac{1}{[value]} = \]

Laske derivaatta \[ f'(x) \], kun \[ f(x) = x^2 + [value] \].

\(f'(x)= \)

Ratkaise 2. asteen yhtälö: \[ x^2-[value]x+[value]=0 \]

Anna yhtälön ratkaisut hakasulkeissa suuruusjärjestyksessä pilkulla erotettuna, esim. [4,5]. Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, anna se kahteen kertaan, esim. [2,2].

Juuret ovat

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan toisen asteen yhtälö \[ x^2-[value]x+[value]=0 \] käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{[value] \pm \sqrt{([value])^2 - 4\cdot1\cdot[value]}}{2\cdot1} =\frac{[value] \pm [value]}{2} = [value] \] tai \[[value]\].

Q: Laske murtolausekkeiden erotus \[ \frac{[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]}\]. Oikea vastaus on reaaliluku jaettuna polynomilla. Mitkä ovat nämä reaaliluku ja polynomi?

Osoittajan reaaliluku on

Nimittäjän polynomi on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
  Hint: \[\,\]
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin.
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin. Toinen lisävihje: Toisen asteen yhtälön ratkaisun jälkeen polynomin \[ax^2+bx+c\] voi kirjoittaa muotoon \[a\cdot(x-x_1) \cdot (x-x_2)\], missä \[x_1\] ja \[x_2\] ovat polynomin juuret. Huomaatko, miten tämä helpottaa samannimiseksi laventamista?

Ratkaise eksponenttiyhtälö \[[value]^x=[value].\] luonnollisen logaritmin avulla.

Huom! Luonnollinen logaritmi luvusta a annetaan muodossa ln(a), esimerkiksi ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku annetaan muodossa e, esimerkiksi 2*e.

\(x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Ratkaise seuraava 1. asteen yhtälö: \[[value]=[value].\]

Anna yhtälön ratkaisu tarkkana arvona (ainoastaan lukuarvo).

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Sievennä seuraava lauseke:

\[ |[value]-\sqrt{[value]}| + |1 - \sqrt{[value]}| = \]

Laske

\[ \ln(e^{[value]} \cdot e^{[value]})= \]

Laske

\([value]\cdot([value]-[value])+[value] = \)

Laske funktion \[ [value] \] ja \[x\]-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä \[ [0, [value]] \].

\[ A =\]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske määrätty integraali

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \,dx = \, \]

Ratkaise epäyhtälö \[ [value]x+[value] < \frac{1}[value]x. \]

Anna vastaus tarkkana arvona. Valitse myös pudotusvalikosta oikea merkkivaihtoehto.

\(x \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Olkoon annettu funktio \[ g(x)=[value]+[value]+[value]+[value].\] Laske funktion derivaatta.

Huom. Potenssilausekkeet annetaan muodossa a*x^(b), esim. 3*x^(1/5).

\( g'(x)= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Anna funktion \[ \displaystyle f(x) = [value] \] suurin ja pienin arvo välillä \[ [[value],[value]] \]

Suurin arvo on

Pienin arvo on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Sievennä

\[ \frac{\frac{[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}} = \]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Ratkaise 2. asteen yhtälö: \[ x^2-[value]x+[value]=0 \]

Anna yhtälön ratkaisut hakasulkeissa suuruusjärjestyksessä pilkulla erotettuna, esim. [4,5]. Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, anna se kahteen kertaan, esim. [2,2].

Juuret ovat

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Q: Kysyminen ja keskustelu ovat tärkeitä matematiikan opiskelussa.

Mitkä asiat ovat sinulle epäselviä tai vaikeita? Oletko kenties jäänyt jumiin jossakin tehtävässä? Etkö ymmärrä luentomonisteen jotakin kohtaa? Tai oletko jo tehnyt jonkin tehtävän, mutta et aivan ymmärrä, mitä siinä tapahtui?

Tällaisissa kysymyksissä auttaa Laskutupa. Se sijaitsee huoneessa C203 sekä virtuaalimaailmassa. Tässä tehtävässä tutustutaan tuohon virtuaaliseen Laskutupaan.

Käy kysymässä epäselvää tai vaikeaa asiaa Teamsissa toimivassa virtuaalisessa TG-laskutuvassa tai Laskutuvan Telegram-ryhmässä.

Jos kaikki kursssin aiheet ovat sinulle täysin selviä eikä mitään kysyttävää ole, tervehdi toisia opiskelijoita Telegram-ryhmässä.

Vaihtoehtoja siihen, kuinka kysyt apua TG-Laskutuvan (TEAMS) chatissa:

- Aloita keskustelu TG-laskutuvan chatissa ja pyydä apua. Koutsi tai tsemppari, jotka ovat Laskutuvan henkilökuntaa, vastaa sinulle. Hän voi myös tarpeen tullen aloittaa videoyhteyden (onnistuu ilman kameraakin).
- Liity valmiiseen videoyhteyteen, jossa koutsi/tsemppari on. Koutsi/tsemppari nimeää videoyhteydet yleensä tehtävän numeron mukaan.
- Luokaa kaveriporukalla oma videotapaaminen Laskutuvan kanavalla. Laskekaa porukassa tehtäviä ja pyytäkää keskustelunne chatissä koutsia liittymään mukaan, kun teillä on kysyttävää.

Vinkkejä siihen, mitä voit sanoa:

Kun et tiedä, miten aloitat tehtävää tai koet olevasi niin pihalla, ettet oikein osaa edes kysyä.
Mitä tässä tehtävässä XX on tarkoitus tehdä?
En tiedä yhtään, miten lähteä purkamaan tätä XX tehtävää. Voidaanko yhdessä pohtia videoyhteydessä?
En ymmärrä tätä määritelmää / merkintää / lausetta / esimerkkiä.

Kun olet jumissa jossain kohtaa tehtävää:
Olen päässyt johonkin vaiheeseen tehtävässä XX. Voidaanko katsoa yhdessä videoyhteydessä, mitä seuraavaksi?
Sain tehtävän suunnilleen tehtyä, mutta tiedän sen olevan väärin. En tiedä, missä kohtaa virhe on. Voidaanko yhdessä videoyhteydessä keskustella, mitä olen jo tehnyt ja mitä olen ajatellut?

Muistahan myös, että voit kysyä apua myös kurssin Telegrammissa chat-muodossa!
- Olen käynyt kysymässä kysymyksen TG-Laskutuvassa tai Telegramissa, tai jos yhtään mitään kysyttävää ei ole, tervehtinyt toisia opiskelijoita Telegramissa. Voit merkitä tämän tehtävän tehdyksi, jos olet jo aikaisemmin tämän kurssin aikana tehnyt jonkin näistä.
- En ole tehnyt mitään edellä mainituista asioista.
A: Olen käynyt kysymässä kysymyksen TG-Laskutuvassa tai Telegramissa, tai jos yhtään mitään kysyttävää ei ole, tervehtinyt toisia opiskelijoita Telegramissa. Voit merkitä tämän tehtävän tehdyksi, jos olet jo aikaisemmin tämän kurssin aikana tehnyt jonkin näistä.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.