Title: Aiheviikko 5

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{5^k}\) on geometrinen.
- Sarja, jolle \(a_1 = 100\) ja \(a_{k+1} = 10^{100} a_k\), on geometrinen.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 5\cdot 3^k = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}\).
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{2^k} = \frac{5}{1-\frac{1}{2}} = 10\).
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{3}{2^k} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = 6\).
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 0\) ja \(r = \frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r=\frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r = 1\). Tällöin osasumma \(S_6 = 6\cdot 2 = 12\).
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot (-1)^k\) hajaantuu.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. \(a_{k+1} = \frac{1}{5}a_k\). - Tosi. Kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla \(10^{100}\). - Epätosi. \(r=3>1\) eli sarja hajaantuu. - Epätosi. Nyt \(a = \frac{5}{2}\), sillä indeksi lähtee \(k=1\). - Epätosi. Halutaan laskea osasumma \(S_{10}\). - Tosi. Kyseinen sarja on muotoa \(0+0+0+\ldots = 0\). - Epätosi. \(r = \frac{8}{7}>1\) eli sarja hajaantuu. - Tosi. Kun \(r = 1\), summa on \(S_5 = 2+2+2+2+2+2 = 12\). - Tosi. \(|r|=|-1|=1\geq1\) eli sarja hajaantuu.

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value][value]+[value]>[value][value]\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida ylöspäin: \[ \dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}<\dfrac{[value][value]}{[value][value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]k^[value]+[value]>[value]k^[value] \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated upwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\le [value]k^[value] \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös alaspäin: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

By using the inequality \([value]\le [value]k^[value]\), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also downwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) hajaantuu.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) diverges.
Feedback: Malliratkaisu: Tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä alas- että ylöspäin: \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] sillä \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) ja \([value]\le [value]k^[value] \) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) hajaantuu (\(p=[value]\)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain ylöspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee (\(p=[value]>1\)), niin tutkittavakin sarja suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Model solution: The terms of the series under consideration can be estimated both downwards and upwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] because \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) and \([value]\le [value]k^[value] \) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) diverges (\(p=[value]\)) the series under consideration also diverges by the comparison test. For the series under consideration only the upward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges (\(p=[value]>1\)) the series under consideration also converges by the comparison test.

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida alaspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated downwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös ylöspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

By using the inequality \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also upwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) suppenee.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) converges.
Feedback: Malliratkaisu: Tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä ylös- että alaspäin: \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] sillä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) ja \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu (\( 0<p=\textstyle{[value]}\le1 \)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Model solution: The terms of the series under consideration can be estimated both upwards and downwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] because \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) and \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges (\(0<p=\textstyle{[value]}\le1\)) the series under consideration also diverges by the comparison test.

Using ratio test, examine whether the following series converges: Tutki seuraavan sarjan suppenemista suhdetestillä: \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{[value]^{n}}\]

The limit of the ratioSuhteen raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\):

Does the series converge? Suppeneeko sarja?
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\] \begin{align*} \lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\rvert &= \frac{\frac{(n+1)^{2}}{[value]^{n+1}}}{\frac{n^{2}}{[value]^{n}}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}/n^{2}+2n/n^{2}+1/n^{2}}{n^2/n^{2}}\\ &= \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+2/n+1/n^{2}}{1} \to \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+0+0}{1} = \frac{1}{[value]}, \text{kun } n\to\infty \end{align*} Since \(\frac{1}{[value]} < 1\), according to the ratio test the series converges.Koska \(\frac{1}{[value]} < 1\), suhdetestin perusteella sarja suppenee.

a) Olkoon lukujono \(\left( (-1)^n(n+1) \right)_{n=[value]}^{\infty}\).

- Lukujonon ensimmäinen termi on .
- Yleinen termi on .
- Lukujonon kolmas termi on .

b) Olkoon lukujono \(\left( 1, 4, 9, 16, \ldots \right)\).

- Lukujonon termi \(a_5 = \) .
- Lukujonon yleinen termi \(a_n = \) , kun \(a_1 = 1\).
- Lukujonossa on termiä.

Huom! \(\infty = \) inf

c) Olkoon \(a_1 = 5\) ja \(a_{n+1} = 2a_n\)\([value]\) \(+[value]\).

- Lukujonon toinen termi on .
- Lukujonon neljäs termi on .

Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[\displaystyle f(x)=[value]\]on jatkuva, positiivinen ja vähenevä, kun \(x\ge1\).

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. \(\infty\) merkitään inf.

Consider the convergence or divergence of the series \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] with the help of the integral test.

The function \[\displaystyle f(x)=[value]\] is continuous, positive and decreasing when \(x\ge1\).

Find the exact value of the improper integral \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo onThe exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja suppenee.Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. Model solution: The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] The series diverges by the integral test.

Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[\displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Kirjoita aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke sievennetyssä muodossa ilman sigmamerkkiä.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ \displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value])\\ &=([value]-[value])+([value]-[value])+([value]-[value]) + \cdots+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=[value]-[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Sarja siis suppenee. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Therefore the series converges.

When a tennis ball is dropped, it will bounce up to a height \([value]\) procent of the original. Calculate the total distance the ball will traverse, when it is dropped from a height of \([value]\) m.Kun tennispallo päästetään putoamaan, se pomppaa \([value]\) prosenttia pudotuskorkeudesta. Laske pallon pomppima kokonaismatka, kun se pudotetaan \([value]\) m korkeudesta.

Give your answer without the unit m.Anna vastaus tarkkana arvona ilman yksikköä m.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The ball traverses a distance ofPallon pomppima matka \[S=[value]+2\cdot [value]\cdot [value]+2\cdot [value]\cdot [value]\cdot [value]+\ldots =[value]+2\cdot [value] \sum_{n=1}^{\infty} [value]^n \\ =[value]+[value]\cdot \frac{[value]}{1-[value]}=[value]+[value]\cdot [value]=[value]. \]

For what values of \(x\) does the following series converge?Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee? Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee?

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n} \]

Pick the correct answer from the following choices by typing the number corresponding to your choice on the box below.Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\(([value])\quad x<-[value]\) ortai \(x>[value]\)

\(([value])\quad\textrm{The series does not converge.Sarja ei suppene.}\)

\(([value])\quad-[value] < x < [value]\)

\(([value])\quad x<-\frac{1}{[value]}\) ortai \(x > \frac{1}{[value]}\)

\(([value])\quad-\frac{1}{[value]} < x < \frac{1}{[value]}\)

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{x} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} q^n, \ \text{wheremissä} \ q=\frac{-[value]}{x} \] Because the series is geometric, it converges when \(x\neq 0\) andSarja on geometrinen, joten se suppenee, kun \(x\neq 0\) ja \[|q|=\left| \frac{-[value]}{x} \right|=\frac{[value]}{|x|}<1 \Leftrightarrow |x|>[value] \Leftrightarrow x<-[value] \ \text{ortai} \ x>[value]. \]

Determine the sums of the following series: Vapaaehtoinen tehtävä (ei pisteitä): Määritä seuraavien sarjojen summat:

(a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n} \]

(b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n} \]

(c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n} \]

(d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}} \]

AnswerVastaus (a):

AnswerVastaus (b):

AnswerVastaus (c):

AnswerVastaus (d):
Feedback: Model solution: Mallivastaus: All the series in the exercise are geometric (of the form \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), where \(|r|<1\)) so the sum converges to \(\frac{a}{1-r}\).Kaikki tehtävän sarjat ovat geometrisiä (muotoa \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), missä \(|r|<1\)) joten summa lähestyy arvoa \(\frac{a}{1-r}\). (a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]} \right) ^n=\frac{\frac{[value]}{[value]}}{1-\frac{[value]}{[value]}}=[value]. \] (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{[value]} \right)^n=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}{1-(-\frac{[value]}{[value]})}=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}[value]=[value]. \] (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} [value]\cdot \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^n \stackrel{(a)}{=}[value]\cdot [value]=[value]. \] (d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]^2} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}[value] \right) ^n=\frac{[value]}{1-[value]}=[value]. \]

Determine the sum of the series \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] by using the equality \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]Haastava tehtävä (eli sopii arvosanan 5 tavoittelijoille, muutoin voi olla järkevää hypätä yli): Määritä sarjan \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] summa kirjoittamalla \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]

\[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we find out the partial fraction decomposition. For this purpose, we write \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Now we can form a pair of equations and determine the constants \(A\) and \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} From the first equation we get \(B = -A\), which we can substitute for the latter and solve for \(A\): \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Therefore, \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} and \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Next, we will simplify the expression of the \(N\)th partial sum into a suitable form. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] In the first phase, we express the general sum term by using partial fraction decomposition. Then we separate some of the former terms in the first term of the summation and some of the latter terms in the second term, respectively. In the third phase, we apply a suitable substitution for the sums, after which we will notice that the sum expressions will cancel each other out. Now we have found the general expression for the \(N\)th partial sum and so we can take the limit \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\].Ratkaistaan ensimmäisenä osamurtohajotelma. Tätä varten kirjoitamme ensin \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Nyt voimme muodostaa yhtälöparin ja ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} Ylemmästä yhtälöstä saamme ratkaistua \(B = -A\), jonka voimme sijoittaa alempaan yhtälöön ja ratkaista sen \(A\):n suhteen. \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Täten siis \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} ja \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Seuraavaksi sievennämme \(N\):nnen osasumman lausekkeen sopivaan muotoon. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme summattavan osamurtohajotelman avulla ja seuraavassa vaiheessa erotamme ensimmäisestä summatermistä osan alkupään summattavista ja vastaavasti toisesta summatermistä erotamme osan loppupään summattavista. Kolmannessa vaiheessa teemme summalausekkeisiin sopivan muuttujanvaihdoksen, jolloin näämme, että summalausekkeet kumoavat nyt toisensa. Nyt olemme selvittäneet \(N\):nnen osasumman yleisen lausekkeen ja voimme ottaa raja-arvon. \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\]

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Olkoon \(\big(n^2\big)_{n=3}^{\infty}\). Lukujonon toinen termi on 16.
- Olkoon lukujonot \(\big( n \big)_{n=1}^{\infty}\) ja \(\big( n-1 \big)_{n=2}^{\infty}\). Molemmat lukujonot voidaan kirjoittaa muodossa \((1,2,3,4,5,\ldots)\).
- Tiedetään, että lukujono \(\big(a_n\big)_{n=8}^{\infty}\) suppenee. Tällöin \(\big(a_n\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee.
- Lukujono \(\big((-1)^n\big)_{n=0}^{\infty}\) suppenee kohti lukuja \(1\) ja \(-1\).
- Lukujono \(\big(n^3\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee kohti \(\infty\).
- Olkoon \(a_n \leq b_n \leq c_n\) kaikilla \(n\in \mathbb{N}\). Tiedetään, että \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 5\). Nyt \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = 5\).
- Olkoon \(a_1 = 3\) ja \(a_{n+1} = 3n-1\), kun \(n>1\). Lukujono on kasvava.
- Vakiolukujono \((5,5,5,\ldots)\) on alhaalta rajoitettu.
- Alhaalta rajoitettu vähenevä lukujono suppenee.
- Neperin luku \(\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\).
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Lukujono on \((9,16,25,36,\ldots)\). - Tosi. Kyseessä on sama lukujono. - Tosi. Äärellinen määrä jonon alkupään termejä ei vaikuta suppenemiseen. - Epätosi. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = \lim_{n \to \infty}(-1) = -1\). Lukujono hajaantuu. - Epätosi. Lukujono hajaantuu, sillä \(L \notin \mathbb{R}\). - Epätosi. Kuristusperiaate ei toimi, sillä \(c_n \geq b_n\). Nyt emme tiedä \(c_n\):n suppenemisesta. - Tosi. Lukujono on \((3,8,23,68,\ldots)\). - Tosi. On olemassa luku m (esim. \(m=4\)), jolle \(a_n \geq m\) kaikilla \(n\) (nyt \(5 \geq 4\)). - Tosi. Piirrä kuva ja pohdi kuvan kautta. - Tosi. Neperin luvun määritelmä.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2k\) on positiiviterminen sarja.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k k\) on positiiviterminen sarja.
- Positiiviterminen sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \int_5^{\infty} f(x) dx\) suppenee. Nyt \(f\colon [5,\infty) \to \mathbb{R}\) on vähenevä funktio ja \(f(k) = a_k \quad \forall k \geq 1\).
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k^2\) suppenee, jos ja vain jos \(\displaystyle \int_1^{\infty} x^2 dx \,\, \big( f\colon [1,\infty) \to \mathbb{R}\) ja \(f(k)=a_k \quad \forall k\geq 1 \big)\) suppenee.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\) on yliharmoninen sarja.
- Aliharmoninen sarja suppenee.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}\) hajaantuu.
- Olkoon \(0\leq b_k \leq a_k\) kaikilla \(k\). Tiedetään, että \(\sum b_k\) suppenee. Myös sarjan \(\sum a_k\) on supettava.
- Kyseessä on positiiviterminen sarja ja suhdetestin tulos on \(L = 1\). Suhdetesti ei kerro suppenemisesta.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. \(a_{k} \geq 0 \quad \forall k\in [0,\infty)\). - Epätosi. Kun \(k=1\), niin \(a_1 = (-1)^1\cdot 1 = -1 < 0\). - Tosi. Integraalitesti. Integraalin alarajalla ei ole testin kannalta merkitystä. - Epätosi. Integraalitestissä oletuksena, että \(f(x)\) on vähenevä funktio, mikä ei nyt päde. - Epätosi. Kyseessä on geometrinen sarja, jonka \(q = \frac{1}{2}\). - Epätosi. Aliharmoninen sarja hajaantuu. - Tosi. Kyseessä on aliharmoninen sarja ja aliharmoninen sarja hajaantuu aina. - Epätosi. Kyseinen tilanne ei anna minorantti- eikä majoranttiperiaatteen pohjalta kuvaa suppenemisesta. - Tosi. Kun suhdetestin tulos on \(L_1 = 1\) tulee käyttää muuta testiä.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Lukujonon termien ääretöntä summaa kutsutaan sarjaksi.
- Summausindeksin tulee aina olla joko \(k\) tai \(n\) ja indeksointi alkaa aina ykkösestä.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a = na\), kun \(a\) on reaaliluku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(S_{10}\) on reaalinen.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=n+2}^{\infty}a_k\) suppenee. Nyt n on luonnollinen luku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k\) suppenee.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(\frac{1}{3}\). Sarja hajaantuu.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(0\). Sarja suppenee.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Määritelmä. - Epätosi. Summausindeksin nimi on valittavissa vapaasti ja indeksointi voi alkaa muustakin kuin 1. Esim. \(\displaystyle \sum_{j=2}^{\infty}j^3\). - Tosi. Summataan \(n\) kappaletta lukua a. - Epätosi. Sarja suppenee, jos \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\) on reaalinen. - Tosi. Jäännöstermi suppenee, joten koko sarja suppenee. Indeksointi voidaan hyvin aloittaa \(k+2\):sta \(k+1\):n sijaan. - Epätosi. Emme tiedä jäännöstermin suppenemista. - Tosi. Kun \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\), niin sarja hajaantuu. - Epätosi. Emme voi päätellä suppenemista, jos raja-arvo on \(0\).

Lukujonot

Positiivitermiset sarjat

Sekalaista sarjoista

Geometrinen sarja