Title: Ominaisarvot ja -vektorit

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että yksi ominaisarvo on \( [value] \). \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:} \] Kun \( \lambda = [value] \) on yksi ominaisarvo, on \(\textrm{det} (A-([value])I) = \textrm{det} (A+[value]I) = 0 \). Tästä saadaan seuraava tulos. Tässä matriisia on kehitetty Gaussin eliminoinnilla siten, että determinantti on helppo laskea (determinantin tulos ei tietenkään muutu, vaikka eliminointi tehdään - kunhan se tehdään oikein). \[ \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \] Yllä on vasemmalla \( \textrm{det} (A+[value]I) \). Keskimmäiseen determinanttiin päästään, kun toiselle riville lasketaan 1. ja 2. rivi yhteen ja kolmannelle riville puolestaan lasketaan 3. rivin ja 1. rivin erotus. Lopuksi on vielä kolmannesta rivistä vähennetty toinen rivi, ja päästään oikeanpuoleiseen determinanttiin. Nyt kannattaa kehittää determinanttia ensimmäisen pystyrivin suhteen, koska sen kaksi alkiota ovat nollia. \[ \begin{align} & [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right|+0+0 = 0 \\ \\ \Rightarrow &[value] \left[ [value] \cdot ([value]) - 0 \cdot [value] \right] = 0 \\ \Rightarrow & [value] ([value]) = 0 \\ \Rightarrow & [value] = 0 \\ \Rightarrow &c = [value]. \end{align}\]

Olkoon matriisin

\[ A = [value] \]

erään ominaisarvon algebrallinen kertaluku \( = 1 \) ja tämän ominaisarvon yksi ominaisvektori [value]. Lisäksi tiedetään, että \( \textrm{det} (A) < 0 \) ja kaikki ominaisarvot ovat reaaliset.

Mikä on \( c \) ja onko matriisi \( A \) diagonalisoituva?

\( c = \)

Onko väite '\( A \text{ on diagonalisoituva} \)' tosi vai epätosi?

(Tämä tarkistetaan vain, jos \( c \) on oikein.)
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Yksi ominaisvektori on [value]. Yhtälöstä \( A \mathbf{x}_1 = \lambda_1 \mathbf{x}_1 \) saadaan \[ \begin{align} [value][value] & = \lambda_1 [value] \\ \Rightarrow [value] & = \lambda_1 [value], \end{align} \] josta voidaan ratkaista \( \lambda_1 = [value] \), koska esim. \[ [value] = [value] \lambda_1 \Rightarrow \lambda_1 = [value] / [value] = [value]. \] Koska nyt \( \lambda_1 = [value]\), niin \[ \begin{align} [value] &= [value] \cdot ([value]) \\ \Rightarrow c & = [value] \end{align} \] Koska nyt \( \textrm{alg}([value]) = 1 \), kumpikaan muista ominaisarvoista ei siis ole [value]. Koska \( \textrm{det}(A)=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = [value] \lambda_2 \lambda_3 < 0 \), ovat \( \lambda_2 \) ja \( \lambda_3 \) erimerkkiset. Siten matriisilla on 3 eri suurta ominaisarvoa ja se on siksi diagonalisoituva.

The eigenpairs = (eigenvalue, eigenvector) of matrix \(\mathrm{A}\) are \(([value], [[value],[value]]^T)\) and \(([value],[[value],[value]]^T)\).

What is matrix \(\mathrm{A}\)?

Matriisin \(\mathrm{A}\) ominaisparit = (ominaisarvo, ominaisvektori) ovat \(([value], [[value],[value]]^T)\) ja \(([value],[[value],[value]]^T)\).

Matriisi \(\mathrm{A}\) on tällöin:
Feedback: Worked solution: The eigenvalues and vectors give rise to equations \[ \mathrm{D}=\begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja }\ \mathrm{P}=[{\bf v}_1|{\bf v}_2]= \begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Inverting the matrix \(\mathrm{P}\) we have \[ \mathrm{P}^{-1} = \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\end{bmatrix}. \] Matrix \(\mathrm{A}\) is now the product of these matrices: \[ \mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Mallivastaus: Ominaisarvoista ja -vektoreista saadaan matriisit \[ \mathrm{D}=\begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja }\ \mathrm{P}=[{\bf v}_1|{\bf v}_2]= \begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Kääntämällä matriisi \(\mathrm{P}\) saadaan \[ \mathrm{P}^{-1} = \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\end{bmatrix}. \] Matriisi \(\mathrm{A}\) on näiden kolmen matriisin tulo: \[ \mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \]

Let \[ \mathrm{A} = [value]. \] Compute the characteristic polynomial of \(\mathrm{A}\). Use the variable \(s\). Olkoon matriisi \[ \mathrm{A} = [value]. \] Laske matriisin karakteristinen polynomi. Käytä muuttujana \(s\)-kirjainta.

\( P_{\mathrm{A}}(s) = \)

The eigenvalues of the matrix are: Matriisin ominaisarvot ovat:

\( \lambda_1 =~\) |  |
\( \lambda_2 =~\) |  |
\( \lambda_3 =~\) |  |
Feedback: Worked solution: The characteristic polynomial of \( \mathrm{A} \) is the determinant of \( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \). First we calculate this matrix: \[ \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} = [value]. \] Next we compute it's determinant: \[\begin{array}{rll} \det(\lambda \mathrm{I}-\mathrm{A}) & = & \begin{vmatrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{vmatrix}\ \\ & = & \left([value]\right) \cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} -([value]) [value] \cdot\begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} [value] +[value] \cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} \\ & = & \left([value]\right)\cdot ([value]) +[value] -[value] \cdot ([value]) [value] +[value] \cdot ([value]) \\ & = & [value] \end{array}\] The characteristic polynomial is \[\begin{array}{rr} &\det(\lambda \mathrm{I}-\mathrm{A}) = 0\ \\ \Longrightarrow & [value] = 0. \end{array}\] The roots of this third degree polynomial are the eigenvalues of the matrix. The roots are: \[\left\{\begin{array}{l} \lambda_1 = [value] \\ \lambda_2 = [value] \\ \lambda_3 = [value]. \end{array}\right.\] Mallivastaus: Tehtävänämme on laskea matriisin \[ \mathrm{A} = [value] \] ominaisarvot. Matriisin ominaisarvoyhtälö on \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} ,\] joka saadaan sieventämällä muotoon \[ \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) \mathbf{x} = \mathbf{0} .\] Matriisin \( \mathrm{A} \) karakteristinen polynomi on matriisin \( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \) determinantti. Lasketaan ensin matriisi \[ \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} = [value]. \] Lasketaan sitten determinantti \[\begin{array}{rll} \det(\lambda \mathrm{I}-\mathrm{A}) & = & \begin{vmatrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{vmatrix}\ \\ & = & \left([value]\right) \cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} -([value]) [value] \cdot\begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} [value] +[value] \cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} \\ & = & \left([value]\right)\cdot ([value]) +[value] -[value] \cdot ([value]) [value] +[value] \cdot ([value]) \\ & = & [value] \end{array}\] Karakteristinen yhtälö on \[\begin{array}{rr} &\det(\lambda \mathrm{I}-\mathrm{A}) = 0\ \\ \Longrightarrow & [value] = 0. \end{array}\] Tämän kolmannen asteen yhtälön juuret ovat matriisin \( \mathrm{A} \) ominaisarvot. Ratkaisemalla yhtälö saadaan vastaukseksi \[\left\{\begin{array}{l} \lambda_1 = [value] \\ \lambda_2 = [value] \\ \lambda_3 = [value]. \end{array}\right.\]

Matriisin \(A\) ominaisparit = (ominaisarvo, ominaisvektori) ovat \(([value], [[value],[value]]^T)\) ja \(([value],[[value],[value]]^T)\).

Matriisi \(A\) on tällöin:
Feedback: Mallivastaus: Ominaisarvoista ja -vektoreista saadaan matriisit \[ D=\begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja }\ P=[{\bf v}_1|{\bf v}_2]= \begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Kääntämällä matriisi \(P\) saadaan \[ P^{-1} = \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\end{bmatrix}. \] Matriisi \(A\) on näiden kolmen matriisin tulo. \[ A=PDP^{-1}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \]

Laske \(A^5\) diagonalisoinnin \(A=PDP^{-1}\) avulla, kun \[A = [value].\] Anna myös matriisin ominaisarvot \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\).

Ominaisarvot:

\(\lambda_1 = \)

\(\lambda_2 = \)

\(A^5=\)
Feedback: Mallivastaus: Diagonalisointi tehdään siten, että lasketaan ominaisarvot ja muodostetaan tästä diagonaalimatriisi \( D \). Matriisi \( P \) muodostuu ominaisvektoreista. Nyt \( \lambda_1 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Lisäksi \( \lambda_2 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Näin saadaan \[ \begin{align} D & = [value], \\ P & = [value] \quad \text{ja} \\ P^{-1} & = \frac{1}{([value]) \cdot ([value])-([value]) \cdot ([value])}[value] = \frac{1}{[value]}[value]. \end{align} \] Nyt \( A = PDP^{-1} \) ja siten \[ \begin{align} A^5 &= PD^5 P^{-1} \\ &= [value] [value]^5 \left( [value][value] \right) \\ &\stackrel{***}{=} [value][value] \left[ \begin{matrix} ([value])^5 & 0 \\ 0 & ([value])^5 \end{matrix} \right] [value] \\ &= [value][value][value][value] \\ &= [value] \end{align} \]. \( *** \) Diagonaalimatriisille pätee \[ \left[ \begin{matrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{matrix} \right]^n = \left[ \begin{matrix} (a_{11})^n & 0 \\ 0 & (a_{22})^n \end{matrix} \right]. \]

Säätötekniikassa on olennaista tietää, onko systeemi tasapainossa vai ei. Systeemin stabiilisuus voidaan määrittää tilamatriisin \(A\) avulla ratkaisemalla systeemin navat \(s\) yhtälöstä \(\text{det}(A-sI)=0\). Systeemi on stabiili, jos \(s<0\) ja epästabiili, jos \(s>0\). Määritä systeemin navat ja sen stabiilisuus, kun tilamatriisi on

\[ A = [value]. \]

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina!
Merkitse tasapainotilaksi 1, jos tila on stabiili ja 0, jos tila on epästabiili.

Navat: \( s_1 = \) ja \( s_2 = \) .
Tasapainotila: \(s_1:\) ja \(s_2:\)

Syntaksivihje: Neliöjuuren saat sqrt()-funktion avulla. Esim. \( \sqrt{11} \) kirjoitetaan sqrt(11).
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan matriisi \(A-sI\), missä \(I=[value]\), jolloin saadaan \(A-sI=[value]-[value] = [value]\) Lasketaan tästä determinantin nollakohta \(\text{det}(A-sI)=[value]=0\), mistä saadaan navoiksi \( s_1 = [value]\) ja \( s_2 = [value] \). Tasapainotila \(s_1\) on [value] (eli [value]) ja tasapainotila \(s_2\) on [value] (eli [value]).

Let \[ \mathrm{A} = [value]. \] Calculate the eigenvalues of \(\mathrm{A}\) and an eigenvector corresponding to the greatest eigenvalue. Olkoon matriisi \[ \mathrm{A} = [value]. \] Laske matriisin \(\mathrm{A}\) ominaisarvot ja suurinta ominaisarvoa \(\lambda\) vastaava jokin ominaisvektori.

\(\lambda_1=~\)

\(\lambda_2=~\)

\(\lambda_3=~\)

\(\mathbf{x}=~\) |
Feedback: Worked solution: Let's first calculate the eigenvalues of \(\mathrm{A}\). The eigenvalues are the zeros of the characteristic polynomial of \(\mathrm{A}\). \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \det (\mathrm{A} - \lambda \mathrm{I}) = 0 \] \begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -\lambda & [value] & 0 \\ 0 & -\lambda & [value] \\ [value] & [value] & [value] - \lambda \end{vmatrix} & = & 0 \\ \\ \lambda^2([value] -\lambda) + [value]\lambda + [value] & = & 0 \\ [value] & = & 0 \end{eqnarray*} The zeros are: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & = & [value], \\ \lambda_2 & = & [value], \\ \lambda_3 & = & [value]. \end{array}\right. \] Now we see that \(\lambda_3\) is the greatest eigenvalue of \(\mathrm{A}\). Next we determine the eigenvectors corresponding to \(\lambda_3\). Substitute \(\lambda_3\) into the equation \(\mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\) to get \[ \begin{bmatrix} 0 & [value] & 0 \\ 0 & 0 & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = [value] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} . \] Computing the products we arrive at \[ \left\{ \begin{align*} & x_2 = [value]x_1,\\ & x_3 = [value]x_2, \\ &[value]_1 + [value]_2 [value]_2 + [value]_3 [value]_3 = [value]x_3. \end{align*} \right. \] When we substitute the other equations into the last one we have \[ [value]x_1 + [value]x_1 - [value]x_1 + [value]x_1 - [value]x_1 = [value]x_1, \] which is true for all \(x_1 \in \mathbb{R}\). By choosing \(x_1 = 1\) we get \[ \underline{\hat{x}} = \begin{bmatrix} 1 \\ [value] \\ [value] \end{bmatrix} . \] Finally we scale the vector: \[ \underline{x} = \frac{1}{\sqrt{1^2+[value]^2 + [value]^4}} \begin{bmatrix} 1 \\ [value] \\ [value] \end{bmatrix} = \underline{\underline[value]}. \] Mallivastaus: Ennen kuin päästään laskemaan ominaisvektoria, on päästävä käsiksi matriisin \(\mathrm{A}\) ominaisarvoihin. Vasta sen jälkeen voidaan laskea suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Aloitetaan laskemalla matriisin \(\mathrm{A}\) ominaisarvot ratkaisemalla karakteristisen polynomin nollakohdat. \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \det (\mathrm{A} - \lambda \mathrm{I}) = 0 \] \begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -\lambda & [value] & 0 \\ 0 & -\lambda & [value] \\ [value] & [value] & [value] - \lambda \end{vmatrix} & = & 0 \\ \\ \lambda^2([value] -\lambda) + [value]\lambda + [value] & = & 0 \\ [value] & = & 0 \end{eqnarray*}Nollakohdiksi saadaan \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & = & [value], \\ \lambda_2 & = & [value], \\ \lambda_3 & = & [value]. \end{array}\right. \] Huomataan, että \(\lambda_3\) on matriisin \(\mathrm{A}\) suurin ominaisarvo. Lasketaan kyseistä ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Sijoitetaan \(\lambda_3\) yhtälöön \(\mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\) ja saadaan \[ \begin{bmatrix} 0 & [value] & 0 \\ 0 & 0 & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = [value] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} . \] Kertomalla auki saadaan \[ \left\{ \begin{align*} & x_2 = [value]x_1,\\ & x_3 = [value]x_2, \\ &[value]_1 + [value]_2 [value]_2 + [value]_3 [value]_3 = [value]x_3. \end{align*} \right. \] Sijoittamalla ylemmät yhtälöt alimpaan yhtälöön saadaan \[ [value]x_1 + [value]x_1 - [value]x_1 + [value]x_1 - [value]x_1 = [value]x_1, \] joka on identtisesti tosi kaikilla \(x_1 \in \mathbb{R}\). Valitsemalla \(x_1 = 1\) saadaan erääksi ominaisvektoriksi \[ \underline{\hat{x}} = \begin{bmatrix} 1 \\ [value] \\ [value] \end{bmatrix} . \] Normeeraamalla ominaisvektori ykkösen pituiseksi eli jakamalla ominaisvektori pituudellaan saadaan \[ \underline{x} = \frac{1}{\sqrt{1^2+[value]^2 + [value]^4}} \begin{bmatrix} 1 \\ [value] \\ [value] \end{bmatrix} = \underline{\underline[value]}. \]

The eigenvectors of \[ \mathrm{A}=[value] \] are \({\bf v}_1=[value]^\intercal\), \( {\bf v}_2=[value]^\intercal\) and \({\bf v}_3=[value]^\intercal\). Calculate the eigenvalues of the matrix corresponding to these eigenvectors.

Give your answer as a list \([\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\) such that the eigenvalues are in ascending order (\(\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3\)).

Matriisin \[ \mathrm{A}=[value] \] ominaisvektorit ovat \({\bf v}_1=[value]^\intercal\), \( {\bf v}_2=[value]^\intercal\) ja \({\bf v}_3=[value]^\intercal\). Määritä vastaavat ominaisarvot.

Kirjoita vastaus vaakavektorina \([\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\) siten, että ominaisarvot ovat nousevassa järjestyksessä (\(\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3\)).

\([\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]=\)
Feedback: Worked solution: The eigenvectors of a matrix are the vectors that satisfy the equation \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}, \] for some \( \lambda \). Let's calculate the product of \( \mathrm{A} \) and the first eigenvector. \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_1 = [value][value] = [value] \] Now we can see that \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_1 = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_1 \] which means that vector \( \mathbf{v}_1 \) is an eigenvector corresponding to \( \lambda_1 = [value] \). Similarly we have \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_2 = [value][value] = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_2 \] and \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_3 = [value][value] = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_3 ,\] which means that \( \mathbf{v}_2 \) and \( \mathbf{v}_3 \) are eigenvectors corresponding to \( \lambda_2 = [value] \) and \( \lambda_3 = [value] \). Mallivastaus: Matriisin ominaisvektorit ovat vektoreita, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälön \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \] jollakin \( \lambda \). Jokaista \( \lambda \):a vastaavat tietyt ominaisvektorit. Lasketaan matriisin \( \mathrm{A} \) ja ensimmäisen ominaisvektorin tulo. \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_1 = [value][value] = [value] \] Nyt huomataan kokeilemalla, että \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_1 = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_1 \] eli vektori \( \mathbf{v}_1 \) on ominaisarvoa \( \lambda_1 = [value] \) vastaava ominaisvektori. Vastaavasti saadaan laskettua \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_2 = [value][value] = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_2 \] ja \[ \mathrm{A}\mathbf{v}_3 = [value][value] = [value] = [value][value] = [value]\mathbf{v}_3 ,\] joten vektorit \( \mathbf{v}_2 \) ja \( \mathbf{v}_3 \) ovat ominaisarvoja \( \lambda_2 = [value] \) ja \( \lambda_3 = [value] \) vastaavat ominaisvektorit.

Mikä on se matriisi, jonka ominaisarvot ja eräät ominaisvektorit ovat \[ \lambda _1 = [value], \quad \mathbf{x_1} = [value] \quad \lambda _2 = [value], \quad \mathbf{x_2} = [value] \quad ? \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Koska \( 2 \times 2 \)-matriisilla on kaksi eri suurta ominaisarvoa [value] ja [value], on se diagonalisoituva. Siksi kysytty matriisi \( A \) voidaan esittää muodossa \( A = VDV^{-1} \), missä matriisin \( V \) sarakkeet ovat ominaisvektorit ja diagonaalimatrisiin \( D \) diagonaalialkiot ovat ominaisarvot vastaavassa järjestyksessä. Näin saadaan \[ \begin{align} A &= [value] [value] [value]^{-1} \\ \\ & = [value] [value] [value] \\ \\ & = [value][value] \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Olkoon matriisi

\[ A = [value]. \]

Laske matriisin karakteristinen polynomi. Käytä muuttujana \(s\)-kirjainta.

\( p_A(s) = \)

Matriisin ominaisarvot ovat:

\( \lambda_1 = \)

\( \lambda_2 = \)

\( \lambda_3 = \) .
Feedback: Mallivastaus: Matriisin karakteristinen polynomi on (käytetään tässä muuttujana nyt \( \lambda \):aa, vaikka vastauksessa piti käyttää \( s \):ää) \[ \begin{align} \textrm{det}(\lambda I - A) &= \textrm{det} \left( [value] \right) \\ &= ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| + ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \end{align} \] Matriisin ominaisarvot saadaan ratkaisemalla karakteristisen polynomin juuret: \[ \begin{align} [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \\ \\ \\ \lambda_1 &= [value] \\ \lambda_2 &= [value] \\ \lambda_3 &= [value] \\ \end{align} \]