Title: DIL kertaustentti

The general solution to a second order nonhomogeneous differential equationEpähomogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]

is of the formyleinen ratkaisu on on muotoa

\[y(x)=C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + y_0 (x),\]

where \(y_1\) and \(y_2\) are the solutions to the corresponding homogeneous equation, and \(y_0\) is a particular solution to the nonhomogeneous equation.missä \(y_1\) ja \(y_2\) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisut ja \(y_0\) on jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[[value]=x\]

given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla

\[y(0)=0 \text{ ja } y'(0)=0.\]

First form the characteristic equation of the corresponding homogeneous differential equation (\([value] = 0\)) and find its roots by solving \([value] = 0\). Then you can find the solutions corresponding these roots: Laske ensiksi vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön \[ [value] = 0 \] karakteristisen yhtälön \[ [value] = 0 \] juuret ja niitä vastaavat perusratkaisut:

\(\lambda_1 =\)

\(\lambda_2 =\)

\(y_1 = \)

\(y_2 = \)

To find the particular solution, use the substitution \(y_0 = A_0+A_1 x\) and determine the values of the constants: Käytä yksittäisratkaisulle yritettä \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja määritä vakioiden arvot:

\(A_0 = \)

\(A_1 =\)

Finally, using the given initial values, find the constants \(C_1\) and \(C_2\) and provide the solution for the differential equationMääritä vielä vakioiden \(C_1\) ja \(C_2\) arvot annettujen alkuarvojen avulla ja anna lopullinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

\(y(x)\) =
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=x\] given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla \(y(0)=0\) ja \(y'(0)=0\). Solving the characteristic equation of the corresponding homogeneous equation we get \(\lambda_1 = [value]\) and \(\lambda_2 = [value]\). Since the roots are distinct and real, the corresponding solutions are \(y_1 = [value]\) and \(y_2 = [value]\).Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisesta yhtälöstä \([value] = 0\) saadaan juuriksi \(\lambda_1 = [value]\) ja \(\lambda_2 = [value]\). Koska juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niitä vastaavat perusratkaisut ovat \(y_1 = [value]\) ja \(y_2 = [value]\). Substituting \(y_0 = A_0+A_1 x\) and its first and second order derivatives \(y_0' = A_1\) and \(y_0''=0\) in the differential equation, we getSijoitetaan yrite \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta \(y_0' = A_1\) ja \(y_0''=0\) differentiaaliyhtälöön. Näin saadaan yhtälö \[0-[value]A_1+[value]\cdot(A_0+A_1 x) = x,\] which holds when \(A_0 = [value]\) and \(A_1 = [value]\).joka pätee kun \(A_0 = [value]\) ja \(A_1 = [value]\). Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \[y(x)=C_1 [value] + C_2 [value] + [value] x + [value].\] For the initial value problem, we need to find \(y'(x)\).Alkuarvo-ongelmaa varten lasketaan vielä \(y'(x)\). \[y'(x) = [value],\] which takes us to the pair of equationsja saadaan yhtälöpari \[ \left\{\begin{aligned} y(0) &= 0 \\ y'(0) &= 0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} [value] &= 0\\ [value] &= 0 \end{aligned}\right. \] Solving for \(C_1\) and \(C_2\) we get \(C_1 = [value]\) and \(C_2 = [value]\). Therefore the solution for the initial value problem isRatkaisuiksi saadaan \(C_1 = [value]\) ja \(C_2 = [value]\). Alkuarvo-ongelman ratkaisu on siis \[y(x) = [value].\]

Find a solution to the separable differential equation \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).Määritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let us begin by separating \(x\) and \(y\). We neglect the specific points for now and return to them later in case we are unable to derive the particular solution from the general solution.Aloitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla \(x\) ja \(y\). Jätetään erityiset pisteet huomiotta ja palataan niihin, mikäli yleisestä ratkaisusta ei saada haluttua yksittäisratkaisua. \begin{align*} y' &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \frac{dy}{dx} &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \int \frac{1}{[value]+y} dy &= [value]\cdot \int \frac{1}{x} dx \end{align*} Integrating the previous equation gives us the general solution.Integroimalla saatu yhtälö saadaan yleinen ratkaisu. \begin{align*} \text{ln }|[value]+y| &= [value]\cdot \text{ln }|x| + \text{ln }|C| \\ \text{ln }|[value]+y| &= \text{ln }|x^{[value]}| + \text{ln }|C| \\ [value]+y &= Cx^{[value]} \\ y &= Cx^{[value]} - [value] \end{align*} The exercise is not over yet, since we wanted a particular solution that satisfies the condition \(y(1)=[value]\). Solving for \(C\), we getTehtävä ei lopu vielä tähän, sillä tehtävässä halutaan yksittäisratkaisu, joka toteuttaa ehdon \(y(1)=[value]\). Ratkaistaan siis integroimisvakio \(C\). \begin{align*} y(1) &= [value] \\ C(1)^{[value]} - [value] &= [value] \\ C - [value] &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} Therefore, the solution to the exercise isTehtävän ratkaisu on siten \[ y(x) = [value]x^{[value]} - [value]. \]

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[f(x)=[value]\]on jatkuva, positiivinen ja vähenevä, kun \(x\ge1\).

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. \(\infty\) merkitään inf.

Consider the convergence or divergence of the series \[\sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] with the help of the integral test.

The function \[f(x)=[value]\] is continuous, positive and decreasing when \(x\ge1\).

Find the exact value of the improper integral \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo onThe exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja suppenee.Claim: The series converges.
Feedback: Mallivastaus: Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. Model solution: The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] The series diverges by the integral test.

Osittaisintegrointikaava määrätylle integraalille on \[\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,dx = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Sovella kaavaa määrätyn integraalin \[\int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x\] laskemiseen. Miten valitset funktion \(u(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(v(x)\) sijoitusvaiheessa ja toisessa integraalissa?

Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2).

The integration by parts formula for the definite integral is \[\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Apply the formula for solving the definite integral \[\int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x.\] What is your choice for the function \(u(x)\) in the first integral? What is the function \(v(x)\) in the substitution and in the second integral?

The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3)

\(u(x)=\) , \(v(x)=\) .

Mikä on määrätyn integraalin arvo? Anna vastauksesi tarkkana arvona.

What is the value of the definite integral? Give your answer as exact value.

\( \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x=\) .
Feedback: Mallivastaus: The model solution: \(u(x)=\ln(x)\), \(v(x)=[value]\). \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\int\limits_1^{[value]} [value]\,dx =\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot \underbrace{[value]}_{v'}\,dx \stackrel{\text{os.int.}}{=}{\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot\underbrace{[value]}_{v} -\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\frac1x}_{u'}\cdot\underbrace{[value]}_{v}\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}[value]\ln(x)-\int\limits_1^{[value]\,} [value]\,dx ={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}([value]\ln(x)-[value]) =[value] \end{align*}

Tarkastellaan määrätyn integraalin \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] tarkan arvon laskemista.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integraalifunktio (integrointivakio \(C=0\)) ennen ylä- ja alarajasijoitusta. Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2). Itseisarvo merkitään abs, esim. abs(-2).

\(\textrm{b) }\) Mikä on määrätyn integraalin tarkka arvo?

Consider the evaluation of the exact value for the definite integral \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x. \]

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the integral function (the constant of integration C=0) depending on the variable \(x\) before substituting lower and upper limits of integration. The natural logarithm is written as ln, e.g. ln(3). The absolute value is written as abs, e.g. abs(-2).

\(\textrm{b) }\) What is the exact value of the definite integral?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integraalifunktio on \(\textrm{a) }\) The integral function depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Määrätyn integraalin tarkka arvo on \(\textrm{b) }\) The exact value of the definite integral is .
Feedback: Mallivastaus: \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] Osamurtokehitelmä: \[ \begin{align*} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2} &= [value]+[value] +[value]\\ &= \frac{[value]A+[value]B+([value])C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &= \frac{Ax^2+[value]Ax+[value]A+Bx^2+[value]Bx+[value]B+Cx+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &=\frac{(A+B)x^2+([value]A+[value]B+C)x+[value]A+[value]B+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2}. \end{align*} \] Osoittajia vertaamalla saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{\begin{array}{rrrllll} A&+B&&=0&|\,\cdot ([value])&&|\,\cdot ([value])\\ [value]A&+[value]B&+C&=1&|\,\cdot 1&&\\ [value]A&+[value]B&+[value]C&=0.&&&|\,\cdot 1\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(A\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. \[ \left\{\begin{array}{rrll} B&+C&=1&|\,\cdot ([value]) \\ [value]B&+[value]C&=0&|\,\cdot 1\\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(B\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. \[ C=[value], \] josta edelleen sijoittamalla saadaan \(B=[value]\) ja \(A=[value]\). Tällöin \[ \begin{align*} \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x &=\int\limits_{0}^{1}([value]+[value] -[value])\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\!0}^{1\,}([value]\ln\left|x+[value]\right|+[value]\ln\left|x+[value]\right|+\frac{[value]}{x+[value]})\\ &=[value]\ln([value])+[value]\ln([value])+\frac{[value]}{[value]}-([value]\ln([value])+[value]\ln([value])+1)\\ &=[value]\ln([value])-\frac{1}{[value]}. \end{align*} \] Model solution: \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] Partial fraction expansion: \[ \begin{align*} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2} &= [value]+[value] +[value]\\ &= \frac{[value]A+[value]B+([value])C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &= \frac{Ax^2+[value]Ax+[value]A+Bx^2+[value]Bx+[value]B+Cx+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &=\frac{(A+B)x^2+([value]A+[value]B+C)x+[value]A+[value]B+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2}. \end{align*} \] The system of equations follow by comparing the numerators: \[ \left\{\begin{array}{rrrllll} A&+B&&=0&|\,\cdot ([value])&&|\,\cdot ([value])\\ [value]A&+[value]B&+C&=1&|\,\cdot 1&&\\ [value]A&+[value]B&+[value]C&=0.&&&|\,\cdot 1\ \end{array}\right. \] Eliminate \(A\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ \left\{\begin{array}{rrll} B&+C&=1&|\,\cdot ([value]) \\ [value]B&+[value]C&=0&|\,\cdot 1\\ \end{array}\right. \] Eliminate \(B\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ C=[value], \] from which it follows by substituting \(B=[value]\) and \(A=[value]\). Hence \[ \begin{align*} \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x &=\int\limits_{0}^{1}([value]+[value] -[value])\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\!0}^{1\,}([value]\ln\left|x+[value]\right|+[value]\ln\left|x+[value]\right|+\frac{[value]}{x+[value]})\\ &=[value]\ln([value])+[value]\ln([value])+\frac{[value]}{[value]}-([value]\ln([value])+[value]\ln([value])+1)\\ &=[value]\ln([value])-\frac{1}{[value]}. \end{align*} \]

Tutkitaan potenssisarjan \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k \] suppenemista.

a) Määrää potenssisarjan suppenemissäde \(R\). (2/3 p)

b) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=1\)? (1/6 p)

c) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=[value]\)? (1/6 p)

Consider the convergence of the power series \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k. \]

a) Determine the radius of convergence \(R\) for the power series. (2/3 p)

b) Does the power series converge at the point \(x=1\)? (1/6 p)

c) Does the power series converge at the point \(x=[value]\)? (1/6 p)

a) Suppenemissäde on a) The radius of convergence is .

b) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). b) Claim: The power series converges at the point \(x=1\).

c) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=[value]\). c) Claim: The power series converges at the point \(x=[value]\).
Feedback: Mallivastaus: \(\textrm{a) }\) Lasketaan raja-arvo: Model solution: \(\textrm{a) }\) Evaluate the limit: \[ \begin{align*} L &= \lim\limits_{k\to\infty} \Big|\frac{[value]}{[value]}:\frac{ [value]}{[value]}\Big|\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]}\cdot\frac{[value]}{[value]}\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]} = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{e^[value]}=\frac{1}{e^[value]}. \end{align*} \] \(\hphantom{a) }\) Suppenemissäde \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\hphantom{a) }\) The radius of convergence \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\textrm{b) }\) Koska potenssisarjan suppenemissäde \(R=e^[value]\), potenssisarja suppenee varmasti, kun \( | x | < e^[value] \) eli \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=1\) kuuluu tähän väliin, joten potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). \(\textrm{b) }\) Because the radius of convergence \(R=e^[value]\) for the power series, the power series surely converges when \( | x | < e^[value] \) i.e. \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=1\) belongs to this interval and hence the power series converges at the point \(x=1\). \(\textrm{c) }\) Potenssisarja suppenee varmasti, kun \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=[value]\) ei kuulu tähän väliin, joten potenssisarja hajaantuu pisteessä \(x=[value]\). \(\textrm{c) }\) The power series surely converges when \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=[value]\) doesn't belong to this interval and hence the power series diverges at the point \(x=[value]\).