Title: IMA1 (viikko 4)

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a \quad = \quad \)
\(b \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä pisteessä täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{Vastaus:} \quad a = [value], \quad b=[value]. \)

Tämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

Tehtävässä tarvitaan laskinta.

Osoita Bolzanon merkinvaihtolauseen (eli jatkuvan funktion väliarvo-ominaisuuden) avulla, että yhtälöllä

\[ f(x) = [value] \]

on ainakin kolme nollakohtaa \(x_{1}\), \(x_{2}\) ja \(x_{3}\), kun \(x>0\).

Haarukoi nollakohdat laskimella avoimien välien sisään ja ilmoita saadut välit vastaukseksi. Tehtävän helpottamiseksi alla on annettu funktion \(f(x)\) kuvaaja. Ilmoita nollakohdille saadut rajat vähintään kolmen desimaalin tarkkuudella ja välin pituuden tulee olla pienempi kuin [value].

[value]

(a) \(x_{1}\in \Big( \), \( \Big) \)
(b) \(x_{2}\in \Big( \), \( \Big) \)
(c) \(x_{3}\in \Big( \), \( \Big) \)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävässä pyydetään ratkaisemaan funktion \( f(x) = [value] \) nollakohdat välillä \(x>0\) käyttäen haarukointimenetelmää. Haarukointimenetelmää voidaan soveltaa jatkuville funktioille, joilla jatkuvuudesta johtuen pätee Bolzanon lause. Jos funktio on jatkuva välillä \([a,b]\) ja funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, niin funktiolla on Bolzanon lauseen mukaan kyseisellä välillä nollakohta. Haarukointimenetelmässä etsitään edellisen kaltainen väli eli suljettu väli, jolla funktio on jatkuva ja funktion arvot välin päätepisteissä erimerkkiset. Kun kyseinen väli on löytynyt, rupeamme pienentämään väliä jokaisella iteraatiolla, kunnes olemme saavuttaneet halutun tarkkuuden. Yksi tapa on laskea funktion arvo välin keskipisteessä ja valita uusi väli siten, että toinen päätepisteistä on alkuperäisen välin keskipiste ja toinen päätepiste sopivasti valittu alkuperäisen välin päätepiste. Päätepiste halutaan tietysti valita siten, että funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, jotta voimme jälleen soveltaa Bolzanon lausetta.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \displaystyle \lim_{x\to2} \left([value]\right) \] | \(=~\) |
(b) | \[ \displaystyle \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän kohdassa (a) ratkaisu löydetään laventamalla molemmat termit samannimisiksi. Ensimmäinen termi tulee siis laventaa \((x+2)\):lla. \[ \displaystyle \lim_{x\to2} \left([value]\right) = \lim_{x\to2} \frac{[value](x+2)-[value]}{x^2-4} = \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \((x-2)\) supistuu pois ja jäljelle jäävästä lausekkeesta saadaan suoraan laskettua haluttu raja-arvo. \[ \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to2} \frac{[value]}{x+2} = \frac{[value]}{2+2} = [value] \] (b) Osoittajan termejä tarkastelemalla nähdään, että \(x^4\)-termit kumoutuvat ja jäljelle jää vain alempiasteisia termejä. Nimittäjässä oleva termi \(x^3\) pakottaa osoittajassa olevat astetta 3 pienemmät termit nollaksi, kun \(x \rightarrow \infty\). Periaatteessa siis tehtävän ratkaisemiseen riittäisi tarkastelella pelkästään astetta 3 olevien termien kertoimia. Ratkaistaan tehtävä nyt kuitenkin sulkulausekkeet kokonaan auki purkamalla. \begin{align} & \lim_{x\to\infty} [value] \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-([value])}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} \left([value]+[value]\right) \\ &= [value] \end{align}

Laske seuraava raja-arvo käyttämättä derivaattaa:

\[ \displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{[value]}{[value]-\sqrt{[value]}}. \]

Raja-arvo on .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{[value]x^2+[value]}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{x^2([value]+\frac{[value]}{x^2})}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\underbrace{|x|}_{=-x}\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x+x\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{x([value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}})} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]}{[value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =[value] \end{align*} \]

Laske seuraavat raja-arvot. Jos vastaus ei ole kokonaisluku, anna se murtolukuna, älä sekalukuna tai liukulukuna.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. Esitetään osoittaja ja nimittäjä nollakohtiensa avulla. Koska molemmilla on nollakohtana \(-[value]\), voidaan supistaa termillä \(x+[value]\). \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=\displaystyle{[value]} \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) Lukua \( [value] \) ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \). Lavennetaan osoittajassa olevat osamäärät samannimisiksi. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{[value]}}{x-[value]} &= \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{[value]}{[value]x}-\frac{x}{[value]x}}{x-[value]} = \lim_{x \to [value]}\frac{\frac{[value]-x}{[value]x}}{x-[value]} \\ &= \lim_{x \to [value]}\frac{-(x-[value])}{[value]x(x-[value])} \\ &= \lim_{x \to [value]}\frac{-1}{[value]x} = -\frac{1}{[value]^2} = -\frac{1}{[value]} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voi sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \). Lavennetaan termillä \([value]\), jotta päästään osoittajassa eroon neliöjuuresta. Kirjoitetaan sen jälkeen alkuperäinen nimittäjä nollakohtiensa avulla. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value] &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Q: Määritä seuraavat raja-arvot. (\(\infty = \verb+inf+\) ja \(-\infty = \verb+minf+\))

(a) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \)

(b) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \lim_{x \to 0} ([value]) = [value]\] (b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \lim_{x \to \infty} [value] = [value]\]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske raja-arvo käyttäen laskusääntöjä. Sen jälkeen täydennä raja-arvon määritelmään liittyvä epsilon-delta-todistus sille, että raja-arvo on se, mihin päädyit.

Vihje: Todistusta ei voi tehdä ennen kuin on saanut selville, millä tavalla luvut \(\epsilon\) ja \(\delta\) ovat yhteydessä toisiinsa. Aiheesta on videoesimerkki Moodlessa.

\(\displaystyle \lim_{x \to [value]} \left( [value]x- +[value] \right) =\) \( = L. \)

Todistus. Olkoon \(\epsilon>0\). Valitaan \(\delta=\frac{\epsilon}{c}\), missä

\(c=\)

Tällöin \(\delta>0\). Kun

\( 0< \big| \) \( \big| < \frac{\epsilon}{c} \),

niin

\( \big| \) \( \big| < \epsilon \),

jolloin

\( \big| \big( \) \( \big) -\) \( \big| < \epsilon \).

Näin ollen raja-arvo on \(L\).

Funktion jatkuvuuden määritelmän perusteella jatkuvuutta tutkitaan varsinaisesti vain funktion määrittelyjoukossa. Ajatellaan kuitenkin tässä tehtävässä ensisijaisesti funktion jatkuvuutta koko joukossa \(\mathbb{R}\), eli että nekin pisteet, joissa funktiota ei ole määritelty ovat tämän tehtävän osalta ensisijaisesti epäjatkuvuuspisteitä, ja mietitään, mistä epäjatkuvuus silloin johtuu.

Tunnista onko funktio jatkuva (koko \(\mathbb{R}\):ssä) vai epäjatkuva, ja jos epäjatkuva, onko kyseessä hyppäysepäjatkuvuus, poistuva epäjatkuvuus vai epäjatkuvuus äärettömän takia.

Hyppäysepäjatkuvuus = toispuoleiset raja-arvot ovat kaksi eri reaalilukua

Poistuva epäjatkuvuus = kaikissa epäjatkuvuuspisteissä on (äärellinen) raja-arvo, jolloin funktio voidaan "jatkaa" jatkuvaksi tekemällä funktion arvon lisämäärittely näissä pisteissä

Epäjatkuvuus äärettoman takia = vähintään yksi epäjatkuvuuspiste, jossa funktiota ei voi jatkaa jatkuvaksi, eli vähintään toinen pisteen toispuoleisista raja-arvoista ei ole äärellinen.

(a) | \(\displaystyle f(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
(b) | \(\displaystyle f(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
(c) | \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |

Laske raja-arvo käyttäen laskusääntöjä. Sen jälkeen täydennä epsilon-delta-todistus todistamaan, että raja-arvo on se, mihin päädyit.

\[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value]x+[value] =\] \[ = L. \]

Todistus. Olkoon \(\epsilon>0\). Valitaan \(\delta=\frac{\epsilon}{a}\), missä

\(a=\)

Tällöin \(\delta>0\). Kun

\( 0< \big| \) \( \big| < \frac{\epsilon}{a} \),

niin

\( \big| \) \( \big| < \epsilon \),

jolloin

\( \big| \big( \) \( \big) - L \big| < \epsilon \).

Näin ollen raja-arvo on \(L\).

Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään kolmioepäyhtälöä. Järjestä todistuksen rivit loogiseen järjestykseen. Kirjoita vastauskaatikoihin luvut 1-7.

Lause. Olkoot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä reaalilukujen joukkoja ja olkoon \(L \in \R\). Jos on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut \(x\) ja \(y\), että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\), niin

\[ | a - 4b | < x +2y + |L| \]

kaikille \(a \in A\) ja \(b \in B\).

Todistus. Oletetaan, että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\). Tällöin

\( | a - 4b | \)

\( = | a -2L +2L -4b | \)
\( \leq | a -2L | + | 2L -4b | \)
\( = | a -2L | + 2 | L -2b | \)
\( = | a -2L | + 2 | 2b - L | \)
\( = | \left( a -L \right) -L | + 2 | 2b - L | \)
\( \leq | a -L | + | L | + 2 | 2b - L | \)
\( < x + | L | + 2y \)

Tunnista onko funktio jatkuva vai epäjatkuva, ja jos epäjatkuva, onko kyseessä hyppäysepäjatkuvuus, poistuva epäjatkuvuus vai epäjatkuvuus äärettömän takia.

Hyppäysepäjatkuvuus = toispuoleiset raja-arvot ovat kaksi eri reaalilukua

Poistuva epäjatkuvuus = sievennetty/supistettu lauseke on jatkuva

Epäjatkuvuus äärettoman takia = funktio ei ole rajoitettu, eli vähintään toinen toispuoleisista raja-arvoista ei ole äärellinen.

a) | \(\displaystyle f(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
\(\displaystyle g(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
b) | \(\displaystyle f(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
\(\displaystyle g(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |

Q: Jos funktiolla on olemassa raja-arvo pisteessä \(x\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio on derivoituva pisteessä \(x\).
- Funktio on jatkuva pisteessä \(x\).
- Funktio on rajoitettu.
- Funktion arvo pisteessä \(x\) on äärellinen.
- Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
A: Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Laske raja-arvo käyttäen laskusääntöjä. Sen jälkeen täydennä epsilon-delta-todistus todistamaan, että raja-arvo on se, mihin päädyit.

Vihje: Todistusta ei voi tehdä ennen kuin on saanut selville, millä tavalla luvut \(\epsilon\) ja \(\delta\) ovat yhteydessä toisiinsa. Aiheesta on videoesimerkki Moodlessa.

\[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value]x- +[value] =\] \[ = L. \]

Todistus. Olkoon \(\epsilon>0\). Valitaan \(\delta=\frac{\epsilon}{c}\), missä

\(c=\)

Tällöin \(\delta>0\). Kun

\( 0< \big| \) \( \big| < \frac{\epsilon}{c} \),

niin

\( \big| \) \( \big| < \epsilon \),

jolloin

\( \big| \big( \) \( \big) -\) \( \big| < \epsilon \).

Näin ollen raja-arvo on \(L\).

Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään kolmioepäyhtälöä kahdesti. Tutustu kolmioepäyhtälön eri versioihin kurssimonisteen avulla. Järjestä todistuksen rivit loogiseen järjestykseen. Kirjoita vastauskaatikoihin luvut 1-7.

Kolmioepäyhtälöä käytetään tyypillisesti todistuksissa. On tavanomaista, että juuri ennen kolmioepäyhtälön käyttöä lauseketta muutetaan niin, että jokin sen termeistä kirjoitetaan toisessa muodossa, tai lisätään ja vähennetään jokin uusi termi (huomaa, että sama termi lisättynä ja vähennettynä tarkoittaa, että on lisätty käytännössä 0, ts. lausekkeen arvo ei ole muuttunut).

Lause. Olkoot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä reaalilukujen joukkoja ja olkoon \(L \in \mathbb{R}\). Jos on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut \(x\) ja \(y\), että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\), niin kaikille \(a \in A\) ja \(b \in B\) pätee

\[ | a - 4b | < x +2y + |L|. \]

Todistus. Oletetaan, että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\). Tällöin

\( | a - 4b | \)

\( = | a -2L +2L -4b | \)
\( \leq | a -2L | + | 2L -4b | \)
\( = | a -2L | + 2 | L -2b | \)
\( = | a -2L | + 2 | 2b - L | \)
\( = | \left( a -L \right) -L | + 2 | 2b - L | \)
\( \leq | a -L | + | L | + 2 | 2b - L | \)
\( < x + | L | + 2y \)

Q: Määritä seuraavat raja-arvot. (\(\infty = \verb+inf+\) ja \(-\infty = \verb+minf+\))

(a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \]

(b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \]
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \lim_{x \to 0} ([value]) = [value]\] (b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \lim_{x \to \infty} [value] = [value]\]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Tarkastellaan funktiota \( \displaystyle f(x) = [value]. \)
Määritä seuraavat toispuoleiset raja-arvot.

\(\displaystyle \lim_{x \to [value]^+} f(x) = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to [value]^-} f(x) = \)

Onko seuraava väite tosi vai epätosi?
Funktiolla \(f\) on raja-arvo kohdassa \(x = [value]\).

Vastaa kaikkiin kohtiin ennen vastauksen lukitsemista.
Feedback: Mallivastaus: Aluksi poistetaan itseisarvomerkit. Kun \(x > [value]\), pätee \(x - [value] > 0\). Tällöin \(|x - [value]| = x - [value]\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = [value]. \] Kun \(x < [value]\), pätee \(x - [value] < 0\). Tällöin \(|x - [value]| = [value] - x\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^-} [value] = \lim_{x \to [value]^-} \frac{[value]}{[value]} = \lim_{x \to [value]^-} [value] = [value]. \] Toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(x = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.