Title: IMA1 (viikko 6)

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)}\) ja \(\pi = \mathtt{pi}\).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \left( [value]\right) \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{ll} & \displaystyle{ \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x} \\ = & \displaystyle{ \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right)} \\ = & \displaystyle{ [value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] - \left([value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] \right)} \\ = &\displaystyle{ [value]} \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \displaystyle \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = &\displaystyle -[value]\cos\left([value]\right) - \left(-[value] \cos\left([value]\right)\right) \\ & = & \displaystyle [value] \end{array}\]

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right) \\ & = & [value] - \left([value]\right) \\ & = & [value] \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = & -[value]\cdot \cos([value]) - \left(-[value]\cdot \cos([value])\right) \\ & = & [value] \end{array}\]

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_1\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_2\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_3\)?
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali minimipiste. Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_1\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_2\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_3\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen minimipiste. Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla. Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Pienempi kriittisistä pisteistä on The smaller critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Suurempi kriittisistä pisteistä on The bigger critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Anna vastaus vähintään toiseen pisteistä sekä sen laatuun ennen vastauksen lukitsemista. Give an answer to at least one of the critical points and its nature before clicking the Check button.
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} \lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.