Title: Injektiot, surjektiot ja bijektiot

Q: Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kuvaus, jolle \(f(x)=6x+9\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) on injektio.

[...]

[...]

[...]

[...] saadaan yhtälö [...].

[...] saadaan yhtälö [...].

Näin on näytetty, että [...] \(a, b \in \mathbb{R}\) yhtälöstä [...] seuraa [...].

[...]
Also offered: joillakin
A: Oletetaan, että a, b ∈ ℝ.; Oletetaan lisäksi, että f(a) = f(b).; Tällöin 6a + 9 = 6b + 9.; Vähentämällä puolittain luku 9; 6a = 6b; Jakamalla puolittain luvulla 6; a = b; kaikilla; f(a) = f(b); a = b; Siis kuvaus f on injektio.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Oletetaan, että \(a,b \in \mathbb{R}\). Oletetaan lisäksi, että \(f(a)=f(b)\). Tällöin \(6a+9=6b+9\). Vähentämällä puolittain luku 9 saadaan yhtälö \(6a=6b\). Jakamalla puolittain luvulla 6 saadan yhtälö \(a=b\). Näin on näytetty, että kaikilla \(a,b \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(f(a)=f(b)\) seuraa \(a=b\). Siis kuvaus \(f\) on injektio.

Q: Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kuvaus, jolle \(f(x)=6x+9\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) on surjektio.

[...]

[...]

[...]

Näin on näytetty, että [...] \(y \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(x=\)[...]\(\in \mathbb{R}\), että \(f(x)=y\).

[...]
Also offered: erästä
A: Oletetaan, että y ∈ ℝ.; Valitaan (y - 9) / 6 ∈ ℝ.; Nyt f((y - 9) / 6) = 6 * (y - 9) / 6 + 9 = y.; jokaista; (y - 9) / 6; Siis kuvaus f on surjektio.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Oletetaan, että \(y \in \mathbb{R}\). Valitaan \( \frac{y-9}{6} \in \mathbb{R} \). Nyt \( f\left( \frac{y-9}{6} \right) = 6 \cdot \frac{y-9}{6}\ +9 = y.\) Näin on näytetty, että jokaista \(y \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(x = \frac{y-9}{6} \in \mathbb{R}\), että \(f(x)=y\). Siis kuvaus \(f\) on surjektio.

Q: Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}\), jolle pätee

\( f(x) = \frac{5}{x+2} \)

kaikilla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Kaverisi on saanut tehtäväkseen tutkia, onko kuvaus \(f\) surjektio. Kaverisi mielestä \(f\) on surjektio ja ohessa on hänen perustelunsa.

(1) Oletetaan, että \(y \in \mathbb{R}\).

(2) Tällöin \(\frac{5-2y}{y}=\frac{5}{y}-2 \neq -2\), koska \(\frac{5}{y} \neq 0\) kaikilla \(y \in \mathbb{R}\).

(3) Valitaan \( \frac{5-2y}{y} \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Nyt

\( f\left( \frac{5-2y}{y} \right) \overset{(4)} = \frac{5}{ \frac{5-2y}{y} + 2 } \overset{(5)} = \frac{5y}{5-2y+2y} \overset{(6)} = \frac{5y}{5} \overset{(7)} = y.\)

(8) Näin on näytetty, että kuvaus \(f\) on surjektio.

Missä kohdassa kaverisi perustelu alkaa mennä pieleen?

[...]

Onko kuvaus \(f\) surjektio?
[...]
A: 2; Ei
Gap 1 offers: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
Gap 2 offers: Kyllä; Ei
Feedback: Perustelu alkaa mennä pieleen kohdassa 2. Jos valitaan \(y=0\), niin lauseke \( \frac{5-2y}{y} \) ei ole määritelty. Jotta kuvaus olisi surjektio, sen pitäisi liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jokin lähtöjoukon alkio, eli erityisesti siis tässä tilanteessa myös alkioon \(0\). Etsitään sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}\), että \(f(x)=0\) eli \(\frac{5}{x+2} = 0\). Tästä seuraa \( 5 = 0 \), mikä on epätosi. Mikään lähtöjoukon alkio ei siis kuvaudu maalijoukon alkiolle \(0\), joten kuvaus \(f\) ei ole surjektio.

Q: Olkoon \(a \in \mathbb{R}\). Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) =4x^3-6x^2+ax+1\).

Oheisella sovelmalla näet, miltä kuvauksen \(f\) kuvaaja näyttää vakion \(a\) eri arvoilla.

Millä seuraavista vakion \(a\) arvolla kuvaus \(f\) on kuvaajan perusteella injektio?

[...]
A: \(a=4\)
Gap 1 offers: \(a=-4\); \(a=-2\); \(a=-1\); \(a=1\); \(a=2\); \(a=4\)
Feedback: [Image] Kun \(a=4\), funktio \(f\) on kuvaajan perusteella injektio. Tällöin jokainen vaakasuora suora leikkaa funktion kuvaajan korkeintaan kerran, eli funktio ei liitä yhteen maalijoukon alkioon useampaa kuin yhtä lähtöjoukon alkiota.

Q: Mitkä alla olevissa kuvissa esiintyvistä säännöistä ovat kuvauksia? Mitkä niistä ovat injektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Sääntö \(f\) [...] kuvaus. Sääntö \(f\) [...] injektio, koska se [...].

b)

[Image]

Sääntö \(g\) [...] kuvaus. Sääntö \(g\) [...] injektio, koska se [...].

c)

[Image]

Sääntö \(h\) [...] kuvaus. Sääntö \(h\) [...] injektio, koska se [...].

d)

[Image]

Sääntö \(\alpha\) [...] kuvaus. Sääntö \(\alpha\) [...] injektio, koska se [...].

e)

[Image]

Sääntö \(\beta\) [...] kuvaus. Sääntö \(\beta\) [...] injektio, koska se [...].

f)

[Image]

Sääntö \(\gamma\) [...] kuvaus. Sääntö \(\gamma\) [...] injektio, koska se [...].
A: on; on; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; on; on; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; on; ei ole; liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota; on; ei ole; liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: on; ei ole
Gap 3 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Gap 4 offers: on; ei ole
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä maalijoukon alkioon 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; ei ole kuvaus
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: on; ei ole
Gap 9 offers: ei ole kuvaus; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 10 offers: on; ei ole
Gap 11 offers: on; ei ole
Gap 12 offers: ei ole kuvaus; liittää maalijoukon alkioon 0 kaksi lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 13 offers: on; ei ole
Gap 14 offers: on; ei ole
Gap 15 offers: ei ole kuvaus; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota
Gap 16 offers: on; ei ole
Gap 17 offers: on; ei ole
Gap 18 offers: liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Feedback: Jos sääntö ei ole kuvaus, se ei voi olla injektio. Kaikki injektiot ovat tietyntyyppisiä kuvauksia. a) Sääntö \(f\) on kuvaus. Sääntö \(f\) on injektio, koska se ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota. b) Sääntö \(g\) on kuvaus. Sääntö \(g\) on injektio, koska se ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota. c) Sääntö \(h\) ei ole kuvaus. Sääntö \(h\) ei ole injektio, koska se ei ole kuvaus. d) Sääntö \(\alpha\) ei ole kuvaus. Sääntö \(\alpha\) ei ole injektio, koska se ei ole kuvaus. e) Sääntö \(\beta\) on kuvaus. Sääntö \(\beta\) ei ole injektio, koska se liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota. f) Sääntö \(\gamma\) on kuvaus. Sääntö \(\gamma\) ei ole injektio, koska se liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon.

Q: Injektiot ja surjektiot ovat kuvauksia, jotka toteuttavat tietyt ehdot. Tutustu injektion ja surjektion määritelmiin kurssimateriaalin lukujen 5.4 ja 5.5 sekä seuraavien tehtävien avulla.

Alla on näkyvissä joidenkin funktioiden kuvaajia. Funktioiden lähtö- ja maalijoukkoina on \( \mathbb{R} \). Mitkä näistä funktioista ovat injektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

b)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

c)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

d)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].
A: ei ole; liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion; on; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion; on; ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon; ei ole; liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion
Gap 3 offers: on; ei ole
Gap 4 offers: liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon; ei ole katkeamaton käyrä; liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion
Feedback: a) Funktio ei ole injektio, koska se liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion. b) Funktio on injektio, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion. c) Funktio on injektio, koska se ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon. d) Funktio ei ole injektio, koska se liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion.

Q: Mitkä alla olevissa kuvissa esiintyvistä säännöistä ovat kuvauksia? Mitkä niistä ovat surjektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Sääntö \(f\) [...] kuvaus. Sääntö \(f\) [...] surjektio, koska se [...].

b)

[Image]

Sääntö \(g\) [...] kuvaus. Sääntö \(g\) [...] surjektio, koska se [...].

c)

[Image]

Sääntö \(h\) [...] kuvaus. Sääntö \(h\) [...] surjektio, koska se [...].

d)

[Image]

Sääntö \(\alpha\) [...] kuvaus. Sääntö \(\alpha\) [...] surjektio, koska se [...].

e)

[Image]

Sääntö \(\beta\) [...] kuvaus. Sääntö \(\beta\) [...] surjektio, koska se [...].

f)

[Image]

Sääntö \(\gamma\) [...] kuvaus. Sääntö \(\gamma\) [...] surjektio, koska se [...].
A: on; on; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; on; ei ole; ei liitä maalijoukon alkioon 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; on; ei ole; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; on; on; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: on; ei ole
Gap 3 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Gap 4 offers: on; ei ole
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä maalijoukon alkioon 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; ei ole kuvaus
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: on; ei ole
Gap 9 offers: ei ole kuvaus; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 10 offers: on; ei ole
Gap 11 offers: on; ei ole
Gap 12 offers: ei ole kuvaus; liittää maalijoukon alkioon 0 kaksi lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 13 offers: on; ei ole
Gap 14 offers: on; ei ole
Gap 15 offers: ei ole kuvaus; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota
Gap 16 offers: on; ei ole
Gap 17 offers: on; ei ole
Gap 18 offers: liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Feedback: Jos sääntö ei ole kuvaus, se ei voi olla surjektio. Kaikki surjektiot ovat tietyntyyppisiä kuvauksia. a) Sääntö \(f\) on kuvaus. Sääntö \(f\) on surjektio, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion. b) Sääntö \(g\) on kuvaus. Sääntö \(g\) ei ole surjektio, koska se ei liitä maalijoukon alkioon 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota. c) Sääntö \(h\) ei ole kuvaus. Sääntö \(h\) ei ole surjektio, koska se ei ole kuvaus. d) Sääntö \(\alpha\) ei ole kuvaus. Sääntö \(\alpha\) ei ole surjektio, koska se ei ole kuvaus. e) Sääntö \(\beta\) on kuvaus. Sääntö \(\beta\) ei ole surjektio, koska se ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota. f) Sääntö \(\gamma\) on kuvaus. Sääntö \(\gamma\) on surjektio, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion.

Q: Alla on näkyvissä joidenkin funktioiden kuvaajia. Funktioiden lähtö- ja maalijoukkoina on \( \mathbb{R} \). Mitkä näistä funktioista ovat surjektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Funktio [...] surjektio, koska se [...].

b)

[Image]

Funktio [...] surjektio, koska se [...].

c)

[Image]

Funktio [...] surjektio, koska se [...].

d) Seuraavassa kuvassa on sinifunktion kuvaaja.

[Image]

Funktio [...] surjektio, koska se [...].
A: on; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; on; liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: liittää joihinkin välin [0,1] alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 3 offers: on; ei ole
Gap 4 offers: liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon; ei ole katkeamaton käyrä; liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Feedback: a) Funktio on surjektio, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion. b) Funktio ei ole surjektio, koska se ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota. c) Funktio on surjektio, koska se liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jonkin lähtöjoukon alkion. d) Funktio ei ole surjektio, koska se ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.

Tarkastellaan funktiota \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), jolla \(h(x) = x^2-[value]x\) kaikilla \(x \in \mathbb{R} \).

Osoitetaan, että kuvaus \(h\) ei ole injektio. Täydennä puuttuvat kohdat.

Tehdään , eli oletetaan, että kuvaus \(h\) on injektio. Tällöin  määritelmän nojalla  \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(h(x_1)=h(x_2)\) seuraa, että \(x_1=x_2\).

Huomataan kuitenkin, että esimerkiksi \(h([value])=h(\) \()\), vaikka \([value] \neq\). Tämä on ristiriita.

Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.
Feedback: Tehdään vastaoletus, eli oletetaan, että kuvaus \(h\) on injektio. Tällöin injektion määritelmän nojalla kaikilla \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(h(x_1)=h(x_2)\) seuraa, että \(x_1=x_2\). Huomataan kuitenkin, että esimerkiksi \(h([value])=h([value])\), vaikka \([value] \neq [value]\). Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.

Tarkastellaan funktiota \(h \colon \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R}\), jolla

\(h(x) = \frac{[value]x}{x-3} \)

kaikilla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) ei ole surjektio. Täydennä puuttuvat kohdat.

Tehdään , eli oletetaan, että \(f\) on surjektio.

Tällöin  määritelmän nojalla  \(y \in \mathbb{R} \) on olemassa sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(x)=\)  .
Erityisesti lukua  \(\in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(a \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\),
että \(h(a)=\)  eli \( \frac{[value]a}{a-3} =\)  .
Tästä seuraa, että \([value]a=\)  . Vähentämällä \([value]a\) puolittain saadaan edelleen \(0=\) . Tämä on ristiriita.
Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.
Feedback: Tehdään vastaoletus, eli oletetaan, että \(f\) on surjektio. Tällöin surjektion määritelmän nojalla kaikilla \(y \in \mathbb{R} \) on olemassa sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(x)=y\). Erityisesti lukua \([value] \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(a \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\), että \(h(a)=[value]\) eli \( \frac{[value]a}{a-3} =[value]\). Tästä seuraa, että \([value]a=[value]a-[value]\). Vähentämällä \([value]a\) puolittain saadaan edelleen \(0=-[value]\) . Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee.