Title: IMA1 (viikko 1)

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Esitä annettu joukko Vennin kaaviona. Kuvassa kolme joukkoa jakavat perusjoukon kahdeksaan erilliseen osaan, jotka on numeroitu.
Kirjoita vastauslaatikkoon, mitkä numeroiduista alueista väritetään Vennin kaavioon.
Anna väritettävien alueiden numerot kasvavaan järjestykseen kirjoitettuna listana hakasuluissa, esim. joukon \(A\) esitys on [2,3,5,6].
Käytä hakasulkuja myös silloin, kun väritetään vain yhden numeron alue.

\([value]\) |
\([value]\) |

Esitä lauselogiikan kielellä seuraavat lauseet. Käytä esityksessäsi loogisia konnektiiveja ja seuraavia nimiä atomilauseille.

\([value]\): Ruoka on hyvää.

\([value]\): Minulla on aikaa syödä.

\([value]\): Tuo [value] on [value].

\([value]\): Tuo [value] on [value].

Valitse oikea muoto pudotusvalikosta.

A: [value]

B: [value]

Seuraavat väitteet ovat epätosia. Etsi jokaiselle erikseen vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde. Tehtävissä on alleviivauksella korostettu asiaa, jolle vastaesimerkki on tarkoitus löytää.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3<n<20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n<10\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2+[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-(2[value]+1)n+[value]^2+[value]-1\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-10 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan vain itsellään ja ykkösellä. Muut luvut eli yhdistetyt luvut voidaan esittää alkulukujen tuloina.

Väite: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väitteen oletusosa: Tämä väite ei sisällä varsinaista oletusosaa.

Väitteen johtopäätösosa: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väite: Jos \(a\) on irrationaaliluku eli \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), niin \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen oletusosa: \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen johtopäätösosa: \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väite: Jos\(0a^2\).

Väitteen oletusosa: \(0

Väitteen johtopäätösosa: \(a>a^2\)

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta sivujanasta ja kolmesta kulmasta, jotka ovat kaikki suurempia kuin nollakulma.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Väitteen oletusosa: Tarkasteltava kuvio on kolmio.

Väitteen johtopäätösosa: Tarkasteltavalla kuviolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus.

Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa suurin alkuluku.
Merkitään suurinta alkulukua kirjaimella \(n\).
Jatkossa \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n\) tarkoittaa kaikkien alkulukujen tuloa.
Merkitään lisäksi \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1\).
Jos lukua \(m\) jaetaan millä tahansa alkuluvulla \(2,3,5,7,\ldots,n\), saadaan jakojäännökseksi 1.
Siis luvulla \(m\) ei ole alkulukutekijöitä.
Näin ollen \(m\) on alkuluku, jolloin oletuksen mukaan \(m\leq n\).
Kuitenkin \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1>n\), mikä on ristiriita.
Koska väitteen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska väitteen negaatio on epätosi, väite on tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\).
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(\frac{3a+1}{2a−3}\in \mathbb{Q}\).
Tällöin voi merkitä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\), missä \(m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). Huom. Myös \(m\neq 0\) tai muuten \(a\in \mathbb{Q}\).
Lisäksi voidaan olettaa, että \(\frac{m}{n}\) on supistettu muoto eli lukujen \(m\) ja \(n\) suurin yhteinen tekijä on 1.
Esityksestä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\) saadaan ristiin kertomalla \(3n\cdot a+n=2m\cdot a−3m\).
Jos \(3n=2m\) (eli \(n=\frac{2}{3}m\)), niin edellisestä yhtälöstä voidaan päätellä, että \(n=−3m\).
Siis \(\frac{2}{3}m=−3m\), joka on mahdollista vain kun \(m=0\), mikä on ristiriita.
Jos taas \(3n\neq 2m\), saadaan samasta yhtälöstä ratkaistua \(a=\frac{−3m−n}{3n−2m}\in \mathbb{Q}\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti molemmissa tapauksissa ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\) siten, että \(0
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(a\leq a^2\).
Koska \(a\leq a^2\), niin \(a−a^2\leq 0\).
Siis \(a(1−a)=a−a^2\leq 0\).
Koska oletuksen mukaan \(a<1\), niin \(1−a>0\).
Samanaikaisesti pätee siis \(a(1−a)\leq 0\) ja \(1−a>0\).
Tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että \(a\leq 0\).
Oletuksen mukaan \(a>0\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(ABC\) kolmio.
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että kolmiolla \(ABC\) on vähintään kaksi suoraa kulmaa.
Merkitään kolmion \(ABC\) kulmia kirjaimilla \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\).
Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia merkitsevät ainakin \(\alpha\) ja \(\beta\).
Koska kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat suoria kulmia, niiden suuruus on \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) (radiaania).
Tiedetään, että kolmion kulmien summa on \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) (radiaania).
Nyt siis pätee \(\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma =\pi+\gamma =\pi \).
Näin ollen kulman \(\gamma\) suuruus on \(\gamma=0\), joka on ristiriidassa sen kanssa, että \(ABC\) on kolmio.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.

Järjestä numeroimalla osajoukkotodistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{N} : x \text{ on parillinen}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{N} : x = 6s+10t, \text{ missä } s,t\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{Z} : x=4k+1 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{Z} : x = 4k-3 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja. Todista, että \(A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Todistus.

Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=2k\) jollekin \(k\in \mathbb{Z}\).
Luku \(2\) on parillinen ja voidaan kirjoittaa \(2=6\cdot 2+10(-1)\).
Tässä esityksessä \(s=2\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-1\in \mathbb{Z}\), joten \(2\in B\).
Sijoitetaan luvun \(2\) esitys yhtälöön \(x=2k\).
Tällöin \(x=2k = \big( 6\cdot 2+10(-1)\big) k = 6\cdot 2k+10(-k)\).
Tässä esityksessä \(s=2k\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-k\in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=4m+1\) jollekin \(m\in \mathbb{Z}\).
Olkoon \(n=m+1\).
Tällöin \(m=n-1\).
Sijoitetaan \(m=n-1\) yhtälöön \(x=4m+1\).
Tällöin \(x=4m+1 = 4(n-1)+1 = 4m-4+1 = 4n-3\).
Siis \(x = 4n-3\) luvulle \(n=m+1 \in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\cup (B\cap C)\).
Tällöin \(x\in A\) tai \(x\in B\cap C\) yhdisteen määritelmän mukaan.
Tapauksessa \(x \in A\) yhdisteen määritelmän mukaan \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Tapauksessa \(x \in B\cap C\) leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in B\) ja \(x\in C\).
Edelleen, koska \(x\in B\) ja \(x\in C\), niin \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Molemmissa tapauksissa \(x \in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Näin ollen leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Määritellään tämän muuttujan avulla \(x=2n+1\).
Tällöin \(x\) esittää mitä tahansa paritonta kokonaislukua.
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

Ovatko seuraavat lauseet tautologioita? Vihjeenä jokaisen lauseen totuustaulun alkuosa.

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value]\)
[value] |

/**/

Alla on todistettu kaksi eräs joukko-operaatioihin liittyvää laskulakia. Kerro, mitä todistuksissa todistuksessa tehdään valitsemalla pudotusvalikosta ekvivalenssin yhteydessä käytetty sääntö.

\((A^c)^c = A\) ja \(A\cup B = B\cup A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A^c)^c = A \) ja \(A\cap B = B\cap A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cup C)\)

\((A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cap C)\)

\((A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cup C)\)

\((A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cap C)\)

\(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cap C)\) |
\(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) ja \(x\in C)\) |
\(x\in A\cup B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in B\)

\(x\in A\cap B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in B\) \(\Leftrightarrow (x\in A \) tai \(x\in B)\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) tai \((x\in A\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) tai \(x\in B)\) ja \((x\in A\) tai \(x\in C)\)
\(\vphantom{A\cup B}\)

\(\vphantom{A\cap B}\)
\(\Leftrightarrow x\in B\) tai \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in B\) ja \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) tai \(x\in A\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\) |
\(\Leftrightarrow x\in B\cup A\) \(\Leftrightarrow x\in B\cap A\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\) |

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\)

\(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\)

\(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\)
\(\Rightarrow q \wedge r\)

\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow r\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]\) \((k+1)^[value]-(k+1)\) \(=[value]\)\(\Big(\)\(\Big)\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n-[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n-[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k - [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^k - [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} - [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n+[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n+[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k + [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^n + [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} + [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Täydennä lauseen \(A\) totuustaulukko. Kirjoita jokaiseen vastausruutuun joko 1 (tosi) tai 0 (epätosi).

\(A\colon [value]\)

\(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ A\ \)
1 | 1 |  |  |  |  |
1 | 0 |  |  |  |  |
0 | 1 |  |  |  |  |
0 | 0 |  |  |  |  |

Onko \(A\) tautologia?

Syötä jokaiseen vastausruutuun vastaus ja valitse viimeisen kysymyksen vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Alla on lainauksia lastenlauluista ja joululauluista. Mitkä niistä ovat lauselogiikan lauseita ja mitkä eivät?

Jos kyseessä on lauselogiikan lause, valitse pudotusvalikosta "Tosi" ja jos ei ole, valitse "Epätosi".

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Yhdistä merkki ja sen tarkoitus.

\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |

Valitse vastaus jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

Kirjoita kuvissa annetut välit käyttäen kurssin merkintöjä. Valitse välejä \(I_1\) ja \(I_2\) varten oikeat sulut ja päätepisteet. Jos välin toinen päätepiste ei ole kuvassa, väli on rajoittamaton. Valkoinen pallo: piste ei ole mukana joukossa. Punainen pallo: piste on mukana joukossa. Anna ei-kokonaisluvut murtolukuina, älä käytä desimaali- tai sekalukuja. Esim. ei \(5,5\) tai \(5\frac{1}{2} \), vaan \(11/2\). Ääretön annetaan kirjoittamalla inf.

\(I_1 = \,\) ,

\(I_2 = \,\) ,

Konjektuuriksi sanotaan väitettä, jota ei ole vielä todistettu todeksi eikä epätodeksi. Jos alla oleva konjektuuri olisi epätosi, mikä seuraavista olisi vastaesimerkki, joka kumoaa väitteen?

Legendren konjektuuri: Lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku, kun \(n>1\) on mikä tahansa kokonaisluku.

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \(n^2\) ja pienempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on pienempi kuin \(n^2\)

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku

[value] kokonaisluku \(n> 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

Goldbachin vahva konjektuuri: Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun summa.

[value] kakkosta pienempi pariton kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jota ei voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta pienempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

Riemannin hypoteesi: Kompleksimuuttujan \(s\) zeetafunktion \(\zeta (s)\) kaikki imaginääriset nollakohdat ovat kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on jonkun muun tason kuin kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason jollain muulla käyrällä kuin suoralla, mutta jolle pätee \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

Andrican konjektuuri: Kahden peräkkäisen alkuluvun neliöjuurten erotus on ykköstä pienempi.

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

Churchin-Turingin teesi: Mikä tahansa mekaanisesti ratkaistava ongelma voidaan ratkaista Turingin koneella.

[value] Turingin kone, joka ei pysty ratkaisemaan yhtään ongelmaa, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan yhden ongelman, joka ei ole mekaanisesti ratkaistava

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan kaikki ongelmat, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista Turingin koneella, mutta voidaan ratkaista mekaanisesti

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti eikä Turingin koneella

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti, mutta voidaan ratkaista Turingin koneella

Erdösin-Straussin konjektuuri: Yhtälöllä \(\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) on positiivisista kokonaisluvuista \(a, b\) ja \(c\) koostuva ratkaisu jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\).

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\)

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] positiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön jokainen ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n < 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

Collatzin konjektuuri: Aloitetaan mistä tahansa positiivisesta kokonaisluvusta. Jos luku on parillinen, jaetaan se kahdella ja jos pariton, kerrotaan kolmella ja lisätään yksi. Toistetaan lopputulokselle sama operaatio ja jatketaan operointia edellisen toistokerran lopputulokselle. Tämä prosessi saavuttaa aloitusluvun valinnasta riippumatta jossain vaiheessa arvon \(1\).

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi päättyy johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

Mitä joukkoa annettu Vennin kaavio esittää? Joukko on väritetty kaavioon harmaalla.

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\) \(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge (r \vee \neg p) )\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow( \neg q \vee p) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\) \(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\) \(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\) \(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\) \(\Rightarrow q \wedge r\) \(\Rightarrow r\) | \(\quad \)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Tällöin \(x=2n+1\) on pariton kokonaisluku.
Kaikki parittomat kokonaisluvut voidaan esittää muodossa \(x\).
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Seuraavat väitteet ovat epätosia. Etsi jokaiselle erikseen vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde. Tehtävissä on alleviivauksella korostettu asiaa, jolle vastaesimerkki on tarkoitus löytää.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3<n<20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n<10\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2- +[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio: