Title: Geometria

Avaruusalus on Maan ja Kuun keskipisteitä yhdistävällä suoralla pisteessä, josta Maa ja Kuu näyttävät yhtä suurilta eli ne näkyvät saman suuruisissa kulmissa.

Laske avaruusaluksen etäisyys Maan pinnalta. Maan säde on [value] km ja Kuun säde on [value] km ja niiden keskipisteiden väkinen etäisyys on [value] km.

\(d = \)

Huom. Syötä vastauksesi kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
Feedback: Mallivastaus: Merkitään aluksen etäisyyttä kuun keskipisteestä \(x_1\):llä ja etäisyyttä maan keskipisteestä \(x_2\):lla. Koska kuu ja maa näkyvät saman suuruisissa kulmissa, niin tästä seuraa että \(\frac{[value]}{x_1} = \frac{[value]}{x_2}\). Lisäksi tiedetään, että \(x_1+x_2 = [value]\). Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä \(x_1\). Saadaan \([value]x_1 = [value]x_2 \Rightarrow x_1 = \frac{[value]}{[value]}x_2\). Sijoitetaan tämä jälkimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan \(\frac{[value]}{[value]}x_2 + x_2 = [value] \Rightarrow x_2 \approx [value]\).

a) Laske neliön sisään piirretyn ympyrän säteen suhde neliön ympäri piirretyn ympyrän säteeseen.

\(s = \)

b) Puoliympyrän sisään on piirretty kaksi pienempää puoliympyrää. Laske varjostetun kuvion piiri ja pinta-ala, kun pienempien puoliympyröiden säteet ovat [value] ja [value].

\(p = \)

\(A = \)

Huom. Syötä kaikki vastaukset tarkkoina arvoina, esim. \(\pi = \) pi ja \(\sqrt{x} = \) sqrt(x).
Feedback: Mallivastaus: a) Merkitään pienemmän ympyrän sädettä \(r_1\):llä ja suuremman ympyrän sädettä \(r_2\):lla. Pythagoraan lauseen avulla saadaan \(r_2 = \sqrt{r_1^2+r_1^2}\). Näin ollen säteiden suhteeksi saadaan \(s = \frac{r_1}{\sqrt{2}\cdot r_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). b) Suuren puoliympyrän säteeksi saadaan \(r_3 = [value]+[value]\) Piiri saadaan laskemalla yhteen kaikkien puoliympyröiden piirit. Saadaan \(p = [value]\pi+ [value]\pi + [value]\pi = [value]\). Pinta-ala saadaan vähentämällä suuren puoliympyrän pinta-alasta pienempien puoliympyröiden pinta-alat. \(A = \frac{[value]^2\pi}{2}-\frac{[value]^2\pi}{2}-\frac{[value]^2\pi}{2} = [value]\).

a) Risteilyalus ajoi ensin [value] meripeninkulmaa pohjoiseen ja sen jälkeen [value] meripeninkulmaa luoteeseen. Kuinka kaus lähtöpisteestä alus päätyi?

\(d = \) mpk

b) Tasaisesti viettävän rinteen kaltevuuskulma on \([value]^{\circ}\). Rinteessä kasvanut pystysuora mänty katkesi [value] metrin korkeudelta ja latvaosa taittui ylärinteeseen osuen [value] metrin päähän tyvestä irtoamatta tyviosasta. Laske männyn pituus metreinä yhden desimaalin tarkkuudella.

\(l = \) m
Feedback: Mallivastaus: a) Kolmiosta tiedetään kahden sivun pituus sekä näiden sivujen välisen kulman suuruus. Tehtävänä on laskea kolmion kolmannen sivun pituus. Näin ollen vastaus saadaan hyödyntämällä kosinilausetta. Saadaan \(d = \sqrt{[value]^2+[value]^2-2\cdot [value]\cdot [value]\cdot \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)} \approx [value]\). b) Myös nyt voidaan hyödyntää kosinilausetta. Kaatunut puu muodostaa kolmion kaltevan rinteen kanssa. Kolmion sivujen pituudet ovat \(l_1 = [value]\) ja [value] ja näiden sivujen välinen kulma on \(90^{\circ}-[value]^{\circ} = [value]^{\circ}\). Kosinilauseen avulla saadaan selville taittuneen latvaosan pituus. \(l_2 = \sqrt{[value]^2+[value]^2-2\cdot [value]\cdot [value]\cdot \cos \left(\frac{[value]\pi}{180}\right)} \approx [value]\). Puun kokonaispituudeksi saadaan näin ollen \(l = l_1 + l_2 = [value]\).

a) Kolmion pinta-ala on [value] sekä kolmion kahden sivun pituudet [value] ja [value]. Laske näiden sivujen välinen kulma asteen kymmenyksen tarkkuudella.

\(\alpha = \) \(^{\circ}\) tai
\(\alpha = \) \(^{\circ}\)

b) Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan [value] cm ja [value] cm. Mikä on kolmion pinta-alan suurin mahdollinen arvo?

\(A = \) cm\(^2\)
Feedback: Mallivastaus: a) Valitaan kolmion kannaksi sivu, jonka pituus on [value]. Tällöin kolmion korkeudeksi saadaan \(h = \frac{2\cdot [value]}{[value]} = [value]\). Nyt kulman suuruus saadaan ratkaisemalla \(\alpha\) yhtälöstä \(\sin{\alpha} = \frac{h}{[value]}\). Saadaan \(\alpha = \arcsin{\frac{h}{[value]}} = [value]^{\circ}\). Edellä saatu kulma on terävä kulma. Kolmio voidaan muodostaa myös niin, että sivujen välinen kulma on tylppä, jolloin \(\alpha = 180^{\circ}-[value]^{\circ} = [value]^{\circ}\). b) Valitaan kolmion kannaksi [value]. Kolmion pinta-alan suuruus riippuu sen kannan ja korkeuden pituuksista. Nyt kun kannaksi on valittu [value], ja tiedetään että kolmiossa on sivu, jonka pituus on [value], niin kolmion maksimaalinen korkeus saadaan valitsemalla korkeudeksi [value]. Kolmion pinta-alan suurin mahdollinen arvo on näin ollen \(A = \frac{[value]\cdot[value]}{2}\).

a) Suorakulmion sivujen pituudet ovat [value] ja [value]. Laske suorakulmion lävistäjän pituus.

\(d = \)
Syötä vastaus pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun.

b) Tasamaalle pystytettävä sähkötolppa tuetaan [value] metrin pituisella vaijerilla, jonka yläpää kiinnitetään tolpan huippuun ja alapää [value] metrin päähän tolpan tyvestä. Kuinka suuren kulman vaijeri muodostaa maanpinnan kanssa?

\(\alpha = \) \(^{\circ}\)
Syötä vastaus pyöristettynä asteen tarkkuudelle.

c) Tasamaalle pystytetään tietoliikennemasto. Jotta masto kestää tuulet tulee se kiinnittää [value] metrin korkeudelta maanpinnasta vaijereilla, jotka ovat \([value]^{\circ}\) kulmassa maanpinnan kanssa. Kuinka pitkiä tulee vaijereiden olla, jotta masto ei kaadu myrskysäällä?

\(h = \) \(m\)
Syötä vastaus tarkkana arvona. Mikäli tarvitset vastauksessasi neliöjuurta voit kirjoittaa sen seuraavan esimerkin mukaisesti esim. \(\sqrt{3} = \) sqrt(3).
Feedback: a) \(d = \sqrt{[value]^2+[value]^2}\) = \(\approx\) [value] b) \(\alpha = \arccos \left(\frac{[value]}{[value]}\right) \frac{180}{\pi} \approx [value]\) c) \(\sin ([value]^{\circ}) = \frac{[value]}{x} \Rightarrow x = \frac{[value]}{\sin \left( [value] \right)} = \frac{[value]}{ \sqrt{3}}\)

Säilytyslaatikkosarjaan kuuluu kolme yhdenmuotoista kannetonta laatikkoa.

Pienimmän laatikon korkeus on [value] cm.

Keskimmäisen laatikon korkeus on [value] cm ja tilavuus [value] litraa.

Suurimman laatikon tilavuus on [value] litraa. Lakse

a) pienimmän laatikon tilavuus

\(V = \) litraa

b) suurimman laatikon korkeus

\(h = \) cm

Huom. Syötä vastauksesi pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun.
Feedback: Mallivastaus: \(V = \left(\frac{[value]}{[value]}\right)^3 \cdot [value] \approx [value]\) \(h = \sqrt[3]{\frac[value][value]} \cdot [value] \approx [value]\)

Määritä kulma \(\theta\) asteina.

\(\theta = \)

\(\theta = \)

\(\theta = \)
Feedback: Mallivastaus: a) \(5\theta+2\theta+\theta = 180^{\circ} \Rightarrow \theta = 20^{\circ}\). b) \(\theta = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}\). c) \(\theta = \frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-50^{\circ})}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ}\).

Omakotitalon tontti on puolisuunnikkaan muotoinen. Yhdensuuntaisten sivujen pituuksien erotus on [value] metriä ja tontin pinta-ala on [value] hehtaaria.

Määritä yhdensuuntaisten sivujen pituudet, kun puolisuunnikkaan korkeusjana on yhtä pitkä kuin pidempi yhdensuuntaisista sivuista.

\(x_1 = \) m

\(x_2 = \) m
Feedback: Mallivastaus: (Yksi hehtaari on 10 000 neliömetriä.) Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan laskemalla yhdensuuntaisten sivujen pituuksien keskiarvo ja kertomalla tämä korkeudella. Merkitään toisen sivun pituutta \(x\):llä, jolloin saadaan \([value] = \frac{x+(x-[value])}{2}\cdot x\). Ratkaistaan tästä yhtälöstä nyt \(x\). Saadaan \(x^2-[value]x-[value] = 0 \Rightarrow x=[value] \lor x=[value]\). Näin ollen sivujen pituuksiksi saadaan \(x_1 = [value]\) ja \(x_2 = [value]-[value]=[value]\).

Tasakylkisen kolmion huippukulman ja kantakulman suhde on \([value]:[value]\). Määritä kolmion kulmat.

\(\alpha_1 = \) \(^{\circ}\)

\(\alpha_2 = \) \(^{\circ}\)

\(\alpha_3 = \) \(^{\circ}\)
Feedback: Mallivastaus: Kolmion kulmien summa on \(180^{\circ}\). Huippukulman suhde kantakulmaan on \([value]:[value]\). Olkoon huippukulma \([value]\alpha\), missä \(\alpha\) on tuntematon. Tällöin kantakulman suuruus on \([value]\alpha\). Lasketaan kolmion kulmien summa ja saadaan yhtälö \([value]\alpha + [value]\alpha + [value]\alpha = 180^{\circ}\). Tämän yhtälön ratkaisuksi saadaan \(\alpha = [value]\). Näin ollen huippukulman suuruus on \([value]^{\circ}\) ja kantakulman suuruus on \([value]^{\circ}\).