Title: 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö

For which values of \(A,B\) does the function \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) satisfy the differential equationMillä vakioiden \(A,B\) arvoilla funktio \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön

\[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)? \]

Hint: Substitute the given expression in the equation and determine the multipliers. The answer should not contain the constant of the general solution.Vihje: Sijoita annettu lauseke yhtälöön ja päättele kertoimet. Vastauksessa ei saa esiintyä yleisen ratkaisun vakiota.

\(\displaystyle y\left(x\right)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Before the substitution, let us find \(y'\): Lasketaan \(y'\) ennen sijoittamista: \begin{align} y(x)&=A\cos([value]x)+B\sin([value]x) \\ \rightarrow y'(x)&=-[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x) \end{align} Substituting \(y' + y = [value]\sin([value]x)\) in the differential equation, we getTehdään sijoitus differentiaaliyhtälöön \(y' + y = [value]\sin([value]x)\). Saadaan \[ -[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x)+A\cos([value]x)+B\sin([value]x)=[value]\sin([value]x) \] For the equation to hold, the cosine terms have to cancel each other out and the sine terms have to sum up to \([value]\sin([value]x)\). We end up in the following system of equations: Jotta yhtälö olisi tosi täytyy kosini termien kumota toisensa ja sini termien summan olla \([value]\sin([value]x)\). Saadaan seuraava yhtälöryhmä: \[ \left\{\begin{array}{ll} -[value]A+B=[value] \\ [value]B+A=0 \end{array}\right. \] Solving for \(A\) and \(B\) we get \(A\) = [value] and \(B\) = [value].Ratkaisuksi saadaan \(A\) = [value] ja \(B\) = [value]. Therefore \(y(x)\) is\(y(x)\) on siis \[ y(x)=[value]\cdot\cos([value]x)+[value]\cdot\sin([value]x) \]

Let \(y_0\) be a solution for the differential equation \(y'=ky\) for which \(y_0(0)=1\).Olkoon \(y_0\) differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisu, jolle \(y_0(0)=1\).

Find the solution \(y_1\), when \(y_1(a)=b\).Mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu \(y_1\), kun \(y_1(a)=b\)?

Express \(y_1\) as a function of \(y_0\).Ilmaise funktio \(y_1\) funktion \(y_0\) avulla

\(y_1(x) =\)\(\cdot y_0(\)\()\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Theorem 6.1: The solutions to the differential equation \(y'=ky\) are of the form \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\)Differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\) Let us determine the value for \(C\), when \(y_0(0)=1\): Lasketaan \(C\):lle arvo, kun \(y_0(0)=1\): \begin{align*} &&y_0(0)&=1\\ \implies&&Ce^{k\cdot 0}&=1\\ \implies&&C&=1 \end{align*} Therefore \(y_0(x)=e^{kx}\).Siis \(y_0(x)=e^{kx}\). Similarly, we find the value for \(C\), when \(y_1(a)=b\).Lasketaan vastaavasti \(C\):lle arvo, kun \(y_1(a)=b\). \begin{align*} &&y_1(a)&=b\\ \implies&&Ce^{ka}&=b\\ \implies&&C&=\frac{b}{e^{ka}} \end{align*} Thus \(y_1(x)=\frac{b}{e^{ka}}e^{kx} = be^{k(x-a)} = by_0(x-a)\).Siis \(y_1(x)=\frac{b}{e^{ka}}e^{kx} = be^{k(x-a)} = by_0(x-a)\).

Find a solution to the differential equationMääritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle

\[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \]

that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

Hint: The answer can be simplified to a polynomial, but the software accepts at least some solutions in another form, as well.Vihje: Vastauksen voi sieventää polynomiksi, mutta ohjelma hyväksyy ainakin osan hankalammassa muodossa olevista ratkaisuista.

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: A separable DY is of the form \(y' = f(x)g(y)\)Separoituva DY on muotoa \(y' = f(x)g(y)\) \[ y'=[value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] Let us modify the equation and rewrite it in the form \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). We getMuokataan yhtälö muotoon \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). Eli: \[ \frac{y'}{[value]+y}=[value]\cdot \frac{1}{x} \] Next, we integrate both sides of the equation with respect to \(x\).Seuraavaksi integroidaan yhtälön molemmat puolet \(x\):n suhteen \[ \begin{eqnarray} \int \frac{y'}{[value]+y} \, \textrm{d}x&=&\int [value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad \int \frac{1}{[value]+y} \, \textrm{d}y&=&\int [value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad \ln([value]+y)+C&=&[value]\ln(x)+D &\\ \Rightarrow\quad \ln([value]+y)+\ln(x^{-[value]})&=&E &\quad\Vert~ E = D - C \\ \Rightarrow\quad \ln([value]x^{-[value]}+yx^{-[value]})&=&E &\\ \Rightarrow\quad [value]x^{-[value]}+yx^{-[value]}&=&\textrm{e}^E &\quad\Vert~\textrm{e}^E=A \\ \Rightarrow\quad y&=&Ax^[value]-[value] & \end{eqnarray} \] Then, we determine the value for \(A\) using the given initial value.Seuraavaksi ratkaistaan vakion \(A\) arvo annetun alkuarvon perusteella. \begin{align} y(1)&=[value] \\ \Rightarrow A\cdot1^{[value]}-[value]&=[value] \\ \Rightarrow A&=\frac{[value]+[value]}{1^{[value]}}\\ \\ A&=[value] \end{align} Therefore, the solution isLopullinen ratkaisu on siis \[ [value] \]

Solve the differential equationVapaaehtoinen (ei pisteitä): Ratkaise differentiaaliyhtälö

\[y'(t) = \frac{e^{-t}-8}{y(t)}.\]

Pick the correct answer from the following choices. Write the number corresponding to your pick of choice in the text box below.Valitse oikea yksittäisratkaisu seuraavista vaihtoehdoista. Kirjoita ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

(1) \(\quad [value]\)

(2) \(\quad [value]\)

(3) \(\quad [value]\)

(4) \(\quad [value]\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The equation is separable. Multiplying with the function \(y(t)\) we getYhtälö on separoituva. Kertomalla funktiolla \(y(t)\) saadaan \begin{equation*} y(t)y'(t) = \textrm{e}^{-t}-8 \quad\Rightarrow\quad \int y(t)y'(t) \,\textrm d t = \int \left( \textrm{e}^{-t}-8 \right) \,\textrm d t = -\textrm{e}^{-t} - 8t + c, \end{equation*} and since \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), we getja koska \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), saadaan \begin{equation*} \int y(t)y'(t) \,\textrm d t= \tfrac 12 y(t)^2. \end{equation*} ThereforeSiten \begin{equation*} y(t)^2 = 2c - 2\textrm{e}^{-t} - 16t \quad\Rightarrow\quad y(t) = \pm \sqrt{C - 2\textrm{e}^{-t} - 16t}. \end{equation*}

Function \(y\) that is of the form \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) satisfies the following differential equation: \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \] Find the expression for \(y\). Hint: Substitute the given expression in the equation and determine the multipliers \(A\) and \(B\). Vapaaehtoinen (ei pisteitä): Funktio \(y\), joka on muotoa \[ y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x), \] toteuttaa differentiaaliyhtälön \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x). \] Ratkaise kertoimet \(A\) ja \(B\). Vihje: Sijoita annettu lauseke yhtälöön ja päättele kertoimet \(A\) ja \(B\). Mikä tällöin on funktion \(y\) lauseke?

\(\displaystyle y(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In this exercise we solve the differential equation \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) using a sophisticated guess \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Substituting the guess in the given equation we can solve the equation for the constants \(A\) and \(B\).Tässä tehtävässä ratkaistaan differentiaaliyhtälö \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) sivistyneellä arvauksella \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Sijoittamalla arvaus annettuun yhtälöön voidaan ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). First we have find the first order derivative of the function \(y\), as it is needed in the substitution.Lasketaan ensin yritteen ensimmäinen derivaatta, jota tarvitaan sijoitukseen. \begin{align*} y(x) &= A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) \\ y'(x) &= -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) \end{align*} Substituting \(y\) and its derivative in the differential equation we getSijoitetaan yrite ja sen derivaatta differentiaaliyhtälöön. \begin{align*} y'+y &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \\ -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) + A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \end{align*} Now we can form a system of equations for \(A\) and \(B\).Nyt voidaan muodostaa yhtälöryhmä \(A\):lle ja \(B\):lle. \begin{equation*} \begin{cases} -A \cdot [value] + B &= [value] \\ B\cdot [value] +A &= 0 \end{cases} \end{equation*} For the solutions we getRatkaisuksi saadaan \begin{equation*} \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \end{cases}. \end{equation*} Thus the solution for the differential equation isKysytyn differentiaaliyhtälön ratkaiseva funktio \(y(x)\) on siis \[ y(x) = [value]. \]

Find the general solution for the differential equation Ratkaise yleisesti lineaarinen differentiaaliyhtälö

\[ y'+[value]y=[value]e^{[value]x} \]

using integrating factor.integroivaa tekijää käyttäen.

Integrating factor (do not include the constant of integration here): Integroiva tekijä (älä laita integrointivakiota tähän):

Solution (use C for the constant)Ratkaisu (käytä vakiona C:tä) \(\displaystyle y(x)=~\)

(Hint: Exponential function \(e^{5x}\) can be written in the form(Vinkki: Eksponenttifunktion \(e^{5x}\) voi kirjoittaa muodossa \({\tt exp(5*x)}\).)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(y'+[value]y=[value]e^{[value]x}\) The integrating factor is of the form \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), where \(p(x)\) is the multiplier preceding \(y\), which in this case is the constant [value]. The integrating factor is \(\textrm{e}^{[value]x}\).Integroiva tekijä on muotoa \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), jossa \(p(x)\) on \(y\):tä edeltävä kerroin eli tässä tapauksessa vakio [value]. Integroiva tekijä on siis \(\textrm{e}^{[value]x}\). Let us multiply both sides of the equation with the integrating factor: Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä: \begin{align*} \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x}\cdot\textrm{e}^{[value]x} \\ \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x} \\ \end{align*} The left side of the equation satisfies the conditions to apply the product rule. Yhtälön vasen puoli täyttää tulon derivointikaavan tunnusmerkit. \(\small{\textrm{D}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\) \[ \Rightarrow\textrm{D}(\textrm{e}^{[value]x}y)=[value]\textrm{e}^{[value]x} \] We integrate both sides with respect to \(x\).Integroidaan molemmat puolet \(x\):n suhteen \begin{align*} \Rightarrow \textrm{e}^{[value]x}y+A&=[value]+B \\ \\ \textrm{e}^{[value]x}y&=[value]+C,\quad\textrm{jossa }C=B-A \\ \end{align*} Solving for \(y\) we getFunktion \(y\) suhteen ratkaisemalla saadaan \[ y=[value]+\frac{C}{\textrm{e}^{[value]x}} \]

Ratkaise integroitavissa oleva differentiaaliyhtälö

\(y'-\sin([value]x) = 0,\quad\) kun \(y(0) = 1\).

Yhtälön yleinen ratkaisu on \(y(x) = \)

Alkuehdon toteuttava ratkaisu on \(y(x) = \)
Feedback: Malliratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon \(y'(x) = \sin([value]x)\), josta integroimalla \(y(x) = \int \sin([value]x) dx = [value]\). Integraalifunktioiden ominaisuuksien nojalla tämä on yhtälön yleinen ratkaisu. Alkuehdon \(y(0) = 1\) toteuttava ratkaisu määritetään asettamalla \(y(0) = [value] = 1\), joten \(C = [value]\) ja siten kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on \([value]\).

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[y' = [value]y\]

given that \[y([value])=[value]\]kun tiedetään, että \[y([value])=[value]\].

\(y(x) = \)

Give your answer in exact form! Käytä vastauksessasi tarkkoja arvoja!
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Theorem 6.1: The solutions to the differential equation \(y'=ky\) are of the form \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\).Lause 6.1: Differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\). Thus the solutions to the differential equation \(y'=[value]y\) are of the form \(y(x) = Ce^{[value]x}\).Siis differentiaaliyhtälön \(y'=[value]y\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x) = Ce^{[value]x}\). Solving for \(C\) we getRatkaisemalla yhtälö \(C\):n suhteen saadaan \begin{align*} &&y([value])&=[value]\\ \implies&&Ce^{[value]\cdot[value]}&=[value]\\ \implies&&C&=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}} \end{align*} ThereforeSiis \(y(x)=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}}e^{[value]x} = [value]e^{[value](x-[value])}.\)

Find a solution to the separable differential equation \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).Määritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let us begin by separating \(x\) and \(y\). We neglect the specific points for now and return to them later in case we are unable to derive the particular solution from the general solution.Aloitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla \(x\) ja \(y\). Jätetään erityiset pisteet huomiotta ja palataan niihin, mikäli yleisestä ratkaisusta ei saada haluttua yksittäisratkaisua. \begin{align*} y' &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \frac{dy}{dx} &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \int \frac{1}{[value]+y} dy &= [value]\cdot \int \frac{1}{x} dx \end{align*} Integrating the previous equation gives us the general solution.Integroimalla saatu yhtälö saadaan yleinen ratkaisu. \begin{align*} \text{ln }|[value]+y| &= [value]\cdot \text{ln }|x| + \text{ln }|C| \\ \text{ln }|[value]+y| &= \text{ln }|x^{[value]}| + \text{ln }|C| \\ [value]+y &= Cx^{[value]} \\ y &= Cx^{[value]} - [value] \end{align*} The exercise is not over yet, since we wanted a particular solution that satisfies the condition \(y(1)=[value]\). Solving for \(C\), we getTehtävä ei lopu vielä tähän, sillä tehtävässä halutaan yksittäisratkaisu, joka toteuttaa ehdon \(y(1)=[value]\). Ratkaistaan siis integroimisvakio \(C\). \begin{align*} y(1) &= [value] \\ C(1)^{[value]} - [value] &= [value] \\ C - [value] &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} Therefore, the solution to the exercise isTehtävän ratkaisu on siten \[ y(x) = [value]x^{[value]} - [value]. \]

Solve the differential equationMääritä alkuarvotehtävän \[ y'=-[value]\cdot \frac{[value]+y}{x}, \] given the initial value \(y(-1)=-[value]\).\(y(-1)=-[value]\), ratkaisu.

Hint: The solution can be simplified to the form \(a+b/x^c\).Vihje: Ratkaisu voidaan sieventää muotoon \(a+b/x^c\).

\(y\left(x\right)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: A separable DY is of the formSeparoituva DY on muotoa \(y' = f(x)g(y)\) \[ y'=-[value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] Let us modify the equation and rewrite it in the form \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). We getMuokataan yhtälö muotoon \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). Eli: \[ \frac{y'}{[value]+y}=-[value]\cdot \frac{1}{x} \] Next, we integrate both sides of the equation with respect to \(x\).Seuraavaksi integroidaan yhtälön molemmat puolet \(x\):n suhteen. \[ \begin{eqnarray} \int \frac{y'}{[value]+y} \, \textrm{d}x&=&\int -[value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x & \\ \Rightarrow\quad\int \frac{1}{[value]+y} \, \textrm{d}y&=&\int -[value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad\ln([value]+y)+C&=&-[value]\ln(x)+D &\\ \Rightarrow\quad\ln([value]+y)+\ln(x^[value])&=&E &\quad\Vert~ E = D - C \\ \Rightarrow\quad\ln([value]x^[value]+yx^[value])&=&E \\ \Rightarrow\quad [value]x^[value]+yx^[value]&=&\textrm{e}^E &\quad\Vert~\textrm{e}^E=A \\ \Rightarrow\quad y&=&\frac{A}{x^[value]}-[value] & \end{eqnarray} \] Then, we determine the value for \(A\) using the given initial value.Seuraavaksi ratkaistaan vakion \(A\) arvo annetun alkuarvon perusteella. \begin{align} y(-1)&=-[value] \\ \Rightarrow \frac{A}{(-1)^[value]}-[value]&=-[value] \\ \Rightarrow A&=(-[value]+[value])\cdot(-1)^[value] \\ A&=[value] \end{align} Therefore, the solution isLopullinen ratkaisu on siis \[ [value] \]

a) Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan esittää muodossa

Ratkaiseminen:

- Kirjoita \(y' = \frac{dy}{dx}\) ja ajattele kyseessä olevan jakolasku. Siispä \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\).
- Separoi \(x\) ja \(y\) yhtälön eri puolille, jolloin \(\frac{1}{g(y)}dy = \) \(dx\).
- Integroi puolittain ja lisää integrointivakio oikealle.
\(\displaystyle\int \frac{1}{g(y)} dy = \int\) \(\displaystyle dx + C\).
- Saatu ratkaisu on
- Huomaa, että oletimme \(g(y) \neq 0\).

b) Olkoon \(y' = 2xy^2\).

Nyt \(\frac{dy}{dx} = \).

Separoidaan, jolloin \(\frac{dy}{y^2} = \) \(dx\).

Integroidaan puolittain:

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dy = \int \) \(\displaystyle dx\).

Siispä \(-\frac{1}{y} = \) .

Lopullinen eksplisiittinen ratkaisu on \(y(x) = \) .

Q: Muodosta differentiaaliyhtälö, joka on matemaattinen malli ko. tilanteesta ja ratkaise se.

(a) Populaation koon \(P(t) \) muutos on suoraan verrannollinen populaation koon neliö kuutiojuureen. Merkitse populaation kokoa \(P\):llä, verrannollisuuskerrointa \(k\):lla ja integroitivakiota \(C\):llä.

Malli: \(P' = \)
Ratkaisu: \(P(t) = \) .

(b) Mopon kiihtyvyys \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \) on suoraan verrannollinen tuntinopeuden \([value]\) km/h ja mopon nopeuden väliseen erotukseen. Merkitse mopon nopeutta \(v\):llä, verrannollisuuskerrointa \(k\):lla ja integrointivakiota \(C\):llä. Älä käytä yksiköitä vastauksissasi.

Malli \(v' = \)
Ratkaisu \(v(t) = \) .
Feedback: Mallivastaus: (a) Populaation koon \(P(t)\) muutos on suoraan verrannollinen populaation koon neliö kuutiojuureen, mitä kuvaa malli \[ P' = [value]. \] Ratkaistaan malli: \[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\,t} = [value] & \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}P}{[value]} = k \, \mathrm{d}t \\ & \Leftrightarrow \int \frac{\mathrm{d}P}{[value]} = \int k \, \mathrm{d}t \\ & \Leftrightarrow [value] = kt + C \\ & \Leftrightarrow P = [value]. \end{aligned} \] (b) Mopon kiihtyvyys \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \) on suoraan verrannollinen tuntinopeuden \([value]\) km/h ja mopon nopeuden väliseen erotukseen, mitä vastaa malli \[ v' = [value]. \] Ratkaistaan malli: \[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = k([value] - v) & \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}v}{[value] - v} = k \, \mathrm{d}t \\ & \Leftrightarrow \int \frac{\mathrm{d}v}{[value] - v} = \int k \, \mathrm{d}t \\ & \Leftrightarrow [value] = kt + C \\ & \Leftrightarrow [value] = [value] \\ & \Leftrightarrow v = [value]. \end{aligned} \]
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ratkaise alkuarvoprobleemat.

\( \textbf{(a)} \quad \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = [value], \quad y(0) = [value] \)

\( y(x) = \) |

\( \textbf{(b)} \quad x \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+[value]y = 2x^[value], \quad y([value]) = [value]\)

\( y(x) = \) |
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = [value], \quad y(0) = [value] \). Separoidaan muuttujat ja integroidaan puolittain: \( \begin{align} & \Leftrightarrow \int \dfrac{1}{[value]} \textrm{d}y = \int dx \\ \\ & \Leftrightarrow [value] = x + C \\ & \text{Ratkaistaan } y. \\ & \Leftrightarrow y = [value] \quad (1) \\ & \text{Nyt halutaan, että } y(0) = [value]. \text{ Sijoitetaan yo. yhtälöön siis } x = 0 \text{ ja } y = [value], \text{ ja saadaan ratkaistua } C. (\text{Ratkaise itse.}) \\ & \text{Sijoitetaan saatu vakio } C \text{ yhtälöön } (1) \text{ ja saadaan} \\ & y(x) = [value] \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad x \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+[value]y = 2x^[value], \quad y([value]) = [value]\). Kyseessä on lineaarinen, 1. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muodossa \( \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} + P(x)y = Q(x) \), jonka ratkaisu on \(y(x) = e^{- \int P(x) \textrm{d}x} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \textrm{d}x} + C \right). \quad (2) \) Hieman muokattuna ratkaistava yhtälö saadaan muotoon \( \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} +[value]y = [value], \) missä \( P(x) = [value], \quad Q(x) = [value] \). Nyt \( \int P(x) \textrm{d}x = \int [value] \textrm{d}x = [value] \). Lisäksi \( e^{- \int P(x) \textrm{d}x} = e^{-[value]} = [value] \) ja \( e^{\int P(x) \textrm{d}x} = e^{[value]} = [value] \). Sijoittamalla nämä yhtälöön \( (2) \) saadaan \( \begin{align} y(x) &= [value] \left( \int [value] \cdot [value] \textrm{d}x + C \right) \\ &= [value] \left( \int [value] \textrm{d}x + C \right) \\ & = [value] \left( [value] + C\right) \end{align}\) Nyt halutaan \( y([value]) = [value]\). Sijoitetaan siis \( x = [value] \) ja \( y = [value] \) ja saadaan \( C \) ratkaistua. Sijoitetaan saatu vakio \( C \) ylläolevaan yhtälöön ja saadaan ratkaisu \( y(x) = \large [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kahvikuppi on huoneessa, jonka lämpötila on \(T_H=[value]\,^\circ \rm{C}\). Kahvin lämpötila on alussa [value]\(\,^\circ\rm{C}\) eli turhan kuumaa juotavaksi.
[value] minuutin kuluttua sen lämpötila on [value]\(\,^\circ\rm{C}\). Kahvi noudattaa Newtonin jäähtymislakia \(\frac{dT}{dt}=k(T-T_H),\) missä \(k\) on jokin vakio.

/* Muodostetaan taulukko, johon saa tehtävän eri kohdat ja syötteen tulkinnat sopiviin kohtiin*/

a) | Mikä on yleinen ratkaisu kahvin lämpötilalle ajan funktiona? Kirjoita \(T_H\) muodossa TH ja käytä tarvittaessa vakiona kirjainta \(C\). |
 | \(T(t)=\) |  |
b) | Kauanko vielä kestää, että kahvin lämpötila on \(45\,^\circ\)C? Anna vastauksesi yhden desimaalin tarkkuudella. |
 | Aika: | minuuttia |

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*)! Useamman merkin potenssi, esim. \(x^{2\cdot a}\) kirjoitetaan x^(2*a).
Feedback: Mallivastaus: a) Kahvi on lämpimämpää kuin huoneen ilma, joten \(T-T_H>0\). Yleinen ratkaisu kahvin lämpötilalle ajan funktiona saadaan Newtonin jäähtymislaista \( \begin{array}{ll} \frac{dT}{dt}& =k(T-T_H)\\ \Leftrightarrow& \int\frac{dT}{(T-T_H)} = \int kdt \\ \Leftrightarrow& \ln |T-T_H| =kt+C \\ \Leftrightarrow& T =T_H+e^{kt}e^C \end{array} \) Yleinen ratkaisu: \(T(t)= T_H+e^Ce^{k\cdot t}.\) b) Valitaan ajanhetkeksi \(t=0\) hetki, jolloin lämpötila mitattiin ensimmäisen kerran ja ajanyksiköksi minuutti. Tehtävänannosta saadaan alkuehdot, joiden avulla voidaan ratkaista \(e^C\) ja \(k\): \( \begin{array}{ll} T(0) = T_H+e^Ce^{k\cdot 0}= [value]\,^\circ \rm{C}+e^C=[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow e^C=[value]\,^\circ\rm{C}\\ T([value]) = T_H+e^Ce^{k\cdot [value]}= [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{k\cdot [value]} =[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow k=\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right) \end{array} \) /* Vakio k on kirjoitettu yhtälöihin auki, koska Maxima sieventää vaikealukuiseen muotoon */ Ratkaistaan, millä ajanhetkellä \(t\) kahvin lämpötila on \(45 \,^\circ \rm{C}\) sijoittamalla määritetyt arvot yleiseen ratkaisuun. \( \begin{array}{ll} &T(t) = [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)\cdot t}= 45\,^\circ \rm{C}\\ \Rightarrow &t = \frac{\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}\\ \Rightarrow &t = [value]\ \text{minuuttia} \end{array} \) Koska ajanhetkeksi \(t=0\) valittiin ensimmäisen lämpötilamittauksen hetki, niin siitä on jo kulunut [value] minuuttia. Kestää siis enää [value] minuuttia, että kahvin lämpötila on \( 45\,^\circ \rm{C}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: (a) Ratkaise alkuarvo-ongelma: \( y' = [value]\), \( y([value]) = [value] \).
\( y = \)

(b) Ratkaise alkuarvo-ongelma \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = [value], \quad y(0) = [value] \).
\( y = \)

(c) Ratkaise differentiaaliyhtälö \(2x\frac{dy}{dx} - 3y = [value] \). Käytä integroimisvakiona muuttujaa \(\verb+C+\).
\( y = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Ratkaistaan ensin \( y' \):n jokin integraalifunktio: \( y(x) = \int y' \, \textrm{d}x = \int [value] \, \textrm{d}x = [value] + C\). Integrointivakio saadaan seuraavasti. Nyt on annettu \( y([value]) = [value] \), joten \( \begin{align} \Leftrightarrow [value]^[value]+C &= [value] \\ \Leftrightarrow [value]+C &= [value] \\ \Leftrightarrow C &= [value] \end{align} \) Siten \( y = [value] \). (b) Kirjoitetaan yhtälö muotoon \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = [value] \), mistä nähdään, että yhtälö on separoituva, ja saadaan \[ \displaystyle \frac{dy}{y^2} = ([value])dx. \] Integroimalla puolittain saadaan \[ \begin{aligned} & \int \frac{dy}{y^2} = \int [value] dx. \\ \Leftrightarrow & - \frac{1}{y} = [value] \\ \Leftrightarrow & y = [value]. \end{aligned} \] Nyt alkuehdosta \(y(0) = [value] \) saadaan ratkaistua \(C = [value] \), ja alkuarvo-ongelman ratkaisu on siten \[ \displaystyle y = [value] \] (c) Jakamalla yhtälö puolittain termillä \(2x\) se saadaan muotoon \[ \displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{3}{2x}y = [value]. \] Nyt, kun yhtälö on muotoa \(\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), missä \(P(x) = [value]\) ja \(Q(x) = [value] \), differentiaaliyhtälölle saadaan ratkaisu käyttämällä kaavaa \[ \displaystyle y(x) = \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} \left( \int \mathrm{e}^{\int P(x) \, \mathrm{d}x} Q(x) \, \mathrm{d}x \right). \] Nyt \( \mathrm{e}^{-\int P(x) \, \mathrm{d}x} = \mathrm{e}^{-\int [value] \, \mathrm{d}x} = [value] \) ja vastaavasti \( \mathrm{e}^{\int P(x) \, \mathrm{d}x} = [value] \), ja siten ratkaisuksi saadaan \[ \begin{aligned} y & = [value] \left( \int [value] [value] \, \mathrm{d}x \right) \\ & = [value] \left( \int [value] \, \mathrm{d}x \right) \\ & = [value] \left( [value] + C \right) \\ & = [value]. \end{aligned} \]
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Sixpack [value] on ollut säilössä komerossa, jonka lämpötila on \(T_k=[value]\,^\circ \rm{C}\).
Vieraiden tullessa saunailtaan päätät laittaa juomat pikaisen jäähtymisen toivossa pakkaseen, jonka lämpötila on \( T_p= -18\,^\circ \rm{C}\).
Arvioidaan, että [value] noudattaa tölkistä huolimatta Newtonin jäähtymislakia \(\frac{dT}{dt}=k(T-T_Y),\) missä \(T_Y\) on ympäristön lämpötila ja \(k\) on jokin vakio.
[value] minuutin kuluttua otat yhden tölkin, mutta [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) eli turhan lämmintä juotavaksi.

/* Muodostetaan taulukko, johon saa tehtävän eri kohdat ja syötteen tulkinnat sopiviin kohtiin*/

a) | Mikä on yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona? Kirjoita alaindeksi normaalina merkkinä, esim. \(T_a\) muodossa Ta ja käytä tarvittaessa vakiona kirjainta \(C\). |
 | \(T(t)=\) |  |
b) | Kuinka kauan täytyy vielä odottaa, että [value] lämpötila on tarjoilusuositusten mukainen [value] \(\,^\circ \rm{C}\)? Anna vastauksesi minuutin tarkkuudella. |
 | Aika: | minuuttia |

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*)! Useamman merkin potenssi, esim. \(x^{2\cdot a}\) kirjoitetaan x^(2*a).
Feedback: Mallivastaus: a) Pakkaseen laitettaessa [value] on lämpimämpää kuin pakastimen ilma, joten \(T-T_p>0\). Yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona saadaan Newtonin jäähtymislaista, joka on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö. Lisäksi on syytä huomata, että lämpötilan termit voidaan erottaa yhtälön muista tekijöistä, joten diff.yhtälö on separoituva. Ratkaistaan siis Newtonin jäähtymislain yhtälö lämpötilan \(T\) suhteen: \( \begin{array}{ll} \frac{dT}{dt}& =k(T-T_p)\\ \Leftrightarrow& \int\frac{dT}{(T-T_p)} = \int kdt \\ \Leftrightarrow& \ln |T-T_p| =kt+C \\ \Leftrightarrow& T =T_p+e^{kt}e^C \end{array} \) Yleinen ratkaisu: \(T(t)= T_p+e^Ce^{k\cdot t}.\) b) Valitaan ajanhetkeksi \(t=0\) hetki, jolloin juomat laitettiin pakastimeen ja ajanyksiköksi minuutti. Tehtävänannosta saadaan alkuehdot, joiden avulla voidaan ratkaista \(e^C\) ja \(k\): \( \begin{array}{ll} T(0) = T_p+e^Ce^{k\cdot 0}= [value]\,^\circ \rm{C}+e^C=[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow e^C=[value]\,^\circ\rm{C}\\ T([value]) = T_p+e^Ce^{k\cdot [value]}= [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{k\cdot [value]} =[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow k=\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right) \end{array} \) /* Vakio k on kirjoitettu yhtälöihin auki, koska Maxima sieventää vaikealukuiseen muotoon */ Ratkaistaan, millä ajanhetkellä \(t\) [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) sijoittamalla määritetyt arvot yleiseen ratkaisuun. \( \begin{array}{ll} &T(t) = [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)\cdot t}= [value]\,^\circ \rm{C}\\ \Rightarrow &t = \frac{\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}\\ \Rightarrow &t = [value]\ \text{minuuttia} \end{array} \) Koska ajanhetkeksi \(t=0\) valittiin ensimmäisen lämpötilamittauksen hetki, niin siitä on jo kulunut [value] minuuttia. Täytyy siis odottaa vielä [value] minuuttia, että [value] lämpötila on [value]\(\,^\circ \rm{C}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.