Title: Aliavaruudet

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kaikki vektorijoukoista

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad L = \{ a,b,c,d \} \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Vastaus:

Anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka sopivat vastaukseksi ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan oikeista vektorijoukoista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). Näistä vektoreista muodostetut ortogonaaliset vektorijoukot ovat siis \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \text{ ja } \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \). Oikea syöte on siis [value]. \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Lisäksi tietenkin kaikista vektoreista muodostettu joukko \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \} \) on lineaarisesti riippuva. Oikea syöte on siis [value]. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Matriisin aste \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun matriisissa on korkeintaan kaksi lineaarisesti riippumatonta saraketta. Nähdään, että sarakkeet 1 ja 2 eivät ole yhdensuuntaiset, joten ainakin kaksi saraketta on lineaarisesti riippumattomia. Jos \(\textrm{det}(A) = 0\), matriisin kaikki kolme saraketta eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Määrätään siis vakio \( c \) siten, että \(\textrm{det}(A) = 0\). \[ \begin{align} \text{det }(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + c \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value]+[value]c = 0 \\ \Rightarrow c & = [value]. \end{align} \]

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kaikki vektorijoukoista

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad L = \{ a,b,c,d \} \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Vastaus:

Anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka sopivat vastaukseksi ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan oikeista vektorijoukoista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). Näistä vektoreista muodostetut ortogonaaliset vektorijoukot ovat siis \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \text{ ja } \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \). Näiden lisäksi vektorijoukko \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \) on ortogonaalinen, joten oikea syöte on [value]. \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Lisäksi tietenkin kaikista vektoreista muodostettu joukko \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \} \) on lineaarisesti riippuva. Oikea syöte on siis [value]. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Etsi yksi sellainen \( \mathbb{R}^3 \):n kanta, jossa yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} \) suuntainen. Esitä vektori \( \mathbf{x} \) näiden vektorien lineaarikombinaationa.

\( \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{x} = [value] \)
/* Tarkistus: \( [value]+[value]+[value] = [value] \).

*/

Vastaus: Ortonormaali kanta on \( \{ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 \} \), missä (HUOM! jos saman vektorin sisällä on murtolukuja, supista / lavenna ne samannimisiksi. Eli pyri siihen, että saman vektorin sisällä kaikilla murtolukualkioilla on sama nimittäjä)

\( \mathbf{q}_1 = \) , \( \mathbf{q}_2 = \) ja \( \mathbf{q}_3 = \) .

Anna alla vektoreille \( \mathbf{q}_1 \), \( \mathbf{q}_2 \) ja \( \mathbf{q}_3 \) kertoimet siten, että niiden summa on \( \mathbf{x} \):

\( \mathbf{q}_1 + \) \( \mathbf{q}_2 + \) \( \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \).

Syntaksivihjeitä: Neliöjuuren saat tarvittaessa funktion sqrt() avulla. Esimerkiksi luku \( \dfrac{2}{\sqrt{11}} \) kirjoitetaan 2/sqrt(11).
Feedback: Malliratkaisu Huom. Ratkaisuja on äärettömän monta. Tässä on vain yksi tapa. Kolme \( \mathbb{R}^3 \):n ortonormaalia vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska \( \mathbb{R}^3 \):n kannassa on kolme vektoria, riittää löytää jokin halutunlainen kolmen ortonormaalin vektorin joukko. Etsitään ensin ortogonaalinen joukko. Yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} = [value] \) suuntainen. Valitaan toinen vektori \( \mathbf{v} \), jolle \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \). Tällainen vektori on esimerkiksi vektori \( \mathbf{v} = [value] \), sillä \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = [value] \cdot [value] = 0 \). Kolmas saadaan ristitulona \( \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_1 - \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_2 + \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_3 = [value]. \) Näin on saatu 3 ortogonaalista vektoria, mikä voidaan tarkistaa laskemalla kaikkien parien pistetulot (näistä kaikista pitäisi tulla 0). Kun nämä vektorit jaetaan omilla pituuksillaan, saadaan ortonormaali joukko, joka on myös avaruuden \( \mathbb{R}^3 \) ortonormaali kanta: \( \left\{ \mathbf{q}_1 = [value][value], \quad \mathbf{q}_2 = [value][value], \quad \mathbf{q}_3 = [value][value] \right\}. \) Vektorin \( \mathbf{x} \) koordinaatit tässä kannassa ovat sellaiset luvut \( c_1, c_2, c_3 \), joilla \( c_1 \mathbf{q}_1 + c_2 \mathbf{q}_2 + c_3 \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \). Tämä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä. Merkitään \( Q = [\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_3] \). Tämä on ortogonaalinen matriisi, jolloin \( Q^T = Q^{-1} \) ja \( \begin{align} Q \mathbf{c} &= \mathbf{x} \\ \\ \Leftrightarrow \mathbf{c} &= Q^{-1} \mathbf{x} = Q^T \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_3 \cdot \mathbf{x} \\ \end{matrix} \right] = [value] \end{align} \) Vektorin \( \mathbf{x} \) lineaarikombinaatioesitys on siis \( \mathbf{x} = [value] \mathbf{q}_1 + \left( [value] \right)\mathbf{q}_2 + \left( [value] \right) \mathbf{q}_3 \).

Vectors \(\mathbf{v}_1 = [value]\) and \(\mathbf{v}_2 = [value]\) form a basis for \(\mathbb{R}^2\). Create an orthonormal basis \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 \right\}\) from the given basis using the Gram-Schmidt algorithm.

Vektorit \(\mathbf{v}_1 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_2 = [value]\) muodostavat kannan avaruudessa \(\mathbb{R}^2\). Muodosta annetuista vektoreista ortonormaali kanta \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 \right\}\) Gram-Schmidt-menetelmällä.

\(\mathrm{u}_1 =~\) |  |
\(\mathrm{u}_2 =~\) |  |
Feedback: Worked solution: The Gram-Schmidt algorithm can be used to transform any basis into an orthonormal basis. A set of vectors must be linearly independent if it forms a basis for a subspace. The exercise assignment gives the basis \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \right\} \) for \(\mathbb{R}^2\). Let's begin working on the set \(A\). The first vector for the new basis will be \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Next we compute the second vector that will be perpendicular to the first. let's name the vector \(\mathbf{u'}_2\) (we will have to scale it to a unit vector in the end). \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-\langle \mathbf{v}_2 , \mathbf{u}_1 \rangle \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Scaling the vector: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Now we have an orthonormal basis \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2 \right\} \) for \( \mathbb{R}^2 \). Mallivastaus: Gram-Schmidt-menetelmällä pystymme muuttamaan minkä tahansa kannan ortonormaaliksi kannaksi. Jos joukko vektoreita muodostaa vektoriavaruuden kannan täytyy määritelmän mukaan joukon olla lineaarisesti riippumaton. Tehtävänannossa on annettu avaruuden \(\mathbb{R}^2\) kanta \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \right\} \). Lähdetään siis operoimaan lineaarisesti riippumattomaan joukkoon \(A\). Uuden kannan ensimmäinen vektori on \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Muodostetaan nyt toinen vektori siten, että se on kohtisuorassa ensimmäistä uutta kantavektoria vastaan. Merkitään tässä vaiheessa vektoria \(\mathbf{u'}_2\), koska joudumme skaalaamaan sen vielä lopuksi yksikkövektoriksi. \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Skaalataan saatu vektori: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Nyt olemme tuottaneet ortonormaalin kannan \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2 \right\} \) avaruudelle \( \mathbb{R}^2 \).

Vectors \(\mathbf{v}_1 = [value]\), \(\mathbf{v}_2 = [value]\) and \(\mathbf{v}_3 = [value]\) form a basis for \(\mathbb{R}^3\). Create an orthonormal basis \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right\}\) from the given basis using the Gram-Schmidt algorithm.

Vektorit \(\mathbf{v}_1 = [value]\), \(\mathbf{v}_2 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_3 = [value]\) muodostavat kannan avaruudessa \(\mathbb{R}^3\). Muodosta annetuista vektoreista ortonormaali kanta \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right\}\) Gram-Schmidt-menetelmällä.

\(\mathrm{u}_1 =~\) |  |
\(\mathrm{u}_2 =~\) |  |
\(\mathrm{u}_3 =~\) |  |
Feedback: Mallivastaus: The Gram-Schmidt algorithm can be used to transform any basis into an orthonormal basis. A set of vectors must be linearly independent if it forms a basis for a subspace. The exercise assignment gives the basis \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \right\} \) for \(\mathbb{R}^3\). Let's begin working on the set \(A\). The first vector for the new basis will be \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Next we compute the second vector that will be perpendicular to the first. let's name the vector \(\mathbf{u'}_2\) (we will have to scale it to a unit vector in the end). \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-\langle \mathbf{v}_2 , \mathbf{u}_1 \rangle \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Scaling the vector: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Let's compute the third new vector such that it is perpendicular to both the first and the second new vectors: \[ \mathbf{u'}_3=\mathbf{v}_3-\langle \mathbf{v}_3 , \mathbf{u}_1 \rangle \mathbf{u}_1-\langle \mathbf{v}_3 , \mathbf{u}_2 \rangle \mathbf{u}_2 = [value]+[value] [value]+[value] [value] = [value] .\] And let's scale the third vector as well: \[ \mathbf{u}_3=\frac{\mathbf{u'}_3}{\Vert\mathbf{u'}_3\Vert} = [value][value] = [value] . \] Now we have an orthonormal basis \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \right\} \) for \( \mathbb{R}^3 \). Mallivastaus: Gram-Schmidt-menetelmällä pystymme muuttamaan minkä tahansa kannan ortonormaaliksi kannaksi. Jos joukko vektoreita muodostaa vektoriavaruuden kannan täytyy määritelmän mukaan joukon olla lineaarisesti riippumaton. Tehtävänannossa on annettu avaruuden \(\mathbb{R}^3\) kanta \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \right\} \). Lähdetään siis operoimaan lineaarisesti riippumattomaan joukkoon \(A\). Uuden kannan ensimmäinen vektori on \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Muodostetaan nyt toinen vektori siten, että se on kohtisuorassa ensimmäistä uutta kantavektoria vastaan. Merkitään tässä vaiheessa vektoria \(\mathbf{u'}_2\), koska joudumme skaalaamaan sen vielä lopuksi yksikkövektoriksi. \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Skaalataan saatu vektori: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Lasketaan kolmas ja viimeinen uusi kantavektori siten, että se on kohtisuorassa molempia jo laskettuja kantavektoreita vastaan: \[ \mathbf{u'}_3=\mathbf{v}_3-(\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1-(\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2) \mathbf{u}_2 = [value]+[value] [value]+[value] [value] = [value] .\] Skaalataan viimeinenkin vektori: \[ \mathbf{u}_3=\frac{\mathbf{u'}_3}{\Vert\mathbf{u'}_3\Vert} = [value][value] = [value] . \] Nyt olemme tuottaneet ortonormaalin kannan \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \right\} \) avaruudelle \( \mathbb{R}^3 \).

Vectors \(\mathbf{v}_1 = [value]\) and \(\mathbf{v}_2 = [value]\) form a basis for \(V\subset \mathbb{R}^4\). Create an orthonormal basis \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 \right\}\) from the given basis using the Gram-Schmidt algorithm.

Vektorit \(\mathbf{v}_1 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_2 = [value]\) muodostavat kannan avaruudessa \(V\subset \mathbb{R}^4\). Muodosta annetuista vektoreista ortonormaali kanta \(B=\left\{\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 \right\}\) Gram-Schmidt-menetelmällä.

\(\mathrm{u}_1 =~\) |  |
\(\mathrm{u}_2 =~\) |  |
Feedback: Worked solution: The Gram-Schmidt algorithm can be used to transform any basis into an orthonormal basis. A set of vectors must be linearly independent if it forms a basis for a subspace. The exercise assignment gives the basis \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \right\} \) for \(V \subset \mathbb{R}^4\). Let's begin working on the set \(A\). The first vector for the new basis will be \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Next we compute the second vector that will be perpendicular to the first. let's name the vector \(\mathbf{u'}_2\) (we will have to scale it to a unit vector in the end). \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-\langle \mathbf{v}_2 , \mathbf{u}_1 \rangle \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Scaling the vector: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Now we have an orthonormal basis \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2 \right\} \) for \( V \). Mallivastaus: Gram-Schmidt-menetelmällä pystymme muuttamaan minkä tahansa kannan ortonormaaliksi kannaksi. Jos joukko vektoreita muodostaa vektoriavaruuden kannan täytyy määritelmän mukaan joukon olla lineaarisesti riippumaton. Tehtävänannossa on annettu avaruuden \(V \subset \mathbb{R}^4\) kanta \( A=\left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \right\} \). Lähdetään siis operoimaan lineaarisesti riippumattomaan joukkoon \(A\). Uuden kannan ensimmäinen vektori on \[ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\Vert\mathbf{v}_1\Vert} = [value][value] = [value] .\] Muodostetaan nyt toinen vektori siten, että se on kohtisuorassa ensimmäistä uutta kantavektoria vastaan. Merkitään tässä vaiheessa vektoria \(\mathbf{u'}_2\), koska joudumme skaalaamaan sen vielä lopuksi yksikkövektoriksi. \[ \mathbf{u'}_2=\mathbf{v}_2-(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1 = [value]+[value] [value] = [value] .\] Skaalataan saatu vektori: \[ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{u'}_2}{\Vert\mathbf{u'}_2\Vert} = [value][value] = [value] . \] Nyt olemme tuottaneet ortonormaalin kannan \( \left\{ \mathbf{u}_1 , \mathbf{u}_2 \right\} \) avaruudelle \( V \).

Etsi yksi sellainen \( \mathbb{R}^3 \):n kanta, jossa yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} \) suuntainen. Esitä vektori \( \mathbf{x} \) näiden vektorien lineaarikombinaationa.(HUOM! Jos saman vektorin sisällä on murtolukuja, supista / lavenna ne samannimisiksi. Eli pyri siihen, että saman vektorin sisällä kaikilla murtolukualkioilla on sama nimittäjä.)

\( \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{x} = [value] \)
/* Tarkistus: \( [value]+[value]+[value] = [value] \).

*/

Vastaus: Ortonormaali kanta on \( \{ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 \} \), missä

\(\mathbf{q}_1 = \) ,

\( \mathbf{q}_2 = \) ja

\( \mathbf{q}_3 = \) .

 Anna alla vektoreille \( \mathbf{q}_1, \text{ }\mathbf{q}_2 \text{ ja } \mathbf{q}_3 \) kertoimet siten, että niiden summa on \( \mathbf{x} \):

\( \mathbf{q}_1 + \) \( \mathbf{q}_2 + \) \( \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \).

Syntaksivihjeitä: Neliöjuuren saat tarvittaessa funktion sqrt() avulla. Esimerkiksi luku \( \dfrac{2}{\sqrt{11}} \) kirjoitetaan 2/sqrt(11).
Feedback: Malliratkaisu Huom. Ratkaisuja on äärettömän monta. Tässä on vain yksi tapa. Kolme \( \mathbb{R}^3 \):n ortonormaalia vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska \( \mathbb{R}^3 \):n kannassa on kolme vektoria, riittää löytää jokin halutunlainen kolmen ortonormaalin vektorin joukko. Etsitään ensin ortogonaalinen joukko. Yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} = [value] \) suuntainen. Valitaan toinen vektori \( \mathbf{v} \), jolle \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \). Tällainen vektori on esimerkiksi vektori \( \mathbf{v} = [value] \), sillä \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = [value] \cdot [value] = 0 \). Kolmas saadaan ristitulona \( \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_1 - \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_2 + \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_3 = [value]. \) Näin on saatu 3 ortogonaalista vektoria, mikä voidaan tarkistaa laskemalla kaikkien parien pistetulot (näistä kaikista pitäisi tulla 0). Kun nämä vektorit jaetaan omilla pituuksillaan, saadaan ortonormaali joukko, joka on myös avaruuden \( \mathbb{R}^3 \) ortonormaali kanta: \( \left\{ \mathbf{q}_1 = [value][value], \quad \mathbf{q}_2 = [value][value], \quad \mathbf{q}_3 = [value][value] \right\}. \) Vektorin \( \mathbf{x} \) koordinaatit tässä kannassa ovat sellaiset luvut \( c_1, c_2, c_3 \), joilla \( c_1 \mathbf{q}_1 + c_2 \mathbf{q}_2 + c_3 \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \). Tämä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä. Merkitään \( Q = [\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_3] \). Tämä on ortogonaalinen matriisi, jolloin \( Q^T = Q^{-1} \) ja \( \begin{align} Q \mathbf{c} &= \mathbf{x} \\ \\ \Leftrightarrow \mathbf{c} &= Q^{-1} \mathbf{x} = Q^T \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_3 \cdot \mathbf{x} \\ \end{matrix} \right] = [value] \end{align} \) Vektorin \( \mathbf{x} \) lineaarikombinaatioesitys on siis \( \mathbf{x} = [value] \mathbf{q}_1 + \left( [value] \right)\mathbf{q}_2 + \left( [value] \right) \mathbf{q}_3 \).

Olkoon \(\vec{v}_1 = ([value],[value],[value]), \vec{v}_2 = ([value],[value],[value])\) ja \( \vec{v}_3 = ([value],[value],[value])\). Olkoon lisäksi \(\vec{w} = ([value],[value],[value])\).

a)

Muodosta matriisi, joka vastaa yhtälöä \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\).

Vastaus:

b)

Muunna matriisi joko porrasmatriisiksi tai redusoiduksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

c)

Kuinka monella tapaa voidaan vektori \(\vec{w}\) esittää vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \( \vec{v}_3\) lineaarikombinaationa? Jos tapoja on äärellinen lukumäärä, syötä laatikkoon tuo määrä. Jos vektoria ei voida esittää lineaarikombinaationa, syötä laatikkoon luku 0. Jos tapoja on ääretön määrä, syötä laatikkoon inf.

Vastaus:

d)

Vastaa onko seuraava väite tosi: Vektori \(\vec{w}\) kuuluu vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) virittämään aliavaruuteen \(\text{span}(v_1,v_2,v_3)\). Mieti, miten perustelisit vastauksesi.
Feedback: Ratkaisu a) Yhtälöryhmää vastaava matriisi muodostetaan kirjoittamalla vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) kertoimet, siten, että kukin vektori muodostaa aina oman sarakkeensa. Vektorin \(w\) kertoimet kirjoitetaan oikeimmanpuoleiseen sarakkeeseen. Matriisia käsin muodostettaessa on hyvä huomata, että matriisin rivien lukumäärä on siis sama kuin vektorin komponenttien lukumäärä ja matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin yhtälössä esiintyvien vektorien lukumäärä. Tässä tapauksessa yhtälöryhmää vastaava matriisi on: [value]. b) Matriisi muunnetaan porrasmuotoon tai redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Porrasmuodossa halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisin porrasmuoto ei ole yksikäsitteinen. Eräs mahdollinen vastaus porrasmuotoiseksi matriisiksi tehtävään on: [value]. Matriisi voidaan muokata edelleen myös redusoituun porrasmuotoon. Tämä matriisi on yksikäsitteinen ja tehtävän vektoreilla se on: [value]. c) Porrasmuodosta nähdään, että yhtälöllä \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\) ei ole lainkaan ratkaisuja, koska porrasmatriisin riviä [value] vastaa epätosi yhtälö. d) Väite on epätosi. Vektorien virittämä aliavaruus on joukko, joka sisältää jokaisen virittäjävektorien lineaarikombinaation. Osoitimme juuri, että vektoria \(\vec{w}\) ei voida esittää vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_1\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa, joten se ei kuulu niiden virittämään aliavaruuteen. Voidaan siis kirjoittaa \(\vec{w} \notin\) \(\text{span}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)\).