Title: Perustaitojen testi 20-21

Olkoon \(A\, 3\times 3\)-matriisi, jolle \(\text{rank}(A)=2\).

Olkoon \(A\, 3\times 3\)-matriisi, jolle \(\det(A)=2\).

• Laske \(\det(2A\cdot 2B)\), kun \(\det(B)=2\).
• Mikä on matriisin \(A\) nolla-avaruuden dimensio?
• Kuinka monta ratkaisua on matriisiyhtälöllä \(A\mathbf{x}=0\)?
• Voidaanko jokainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori lausua matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaationa?
• Onko nolla matriisin \(A\) ominaisarvo?
• Onko matriisi \(A\) kääntyvä?

Huom! Ääretön eli \(\infty\) saadaan kirjoittamalla vastauskenttään inf.

Ratkaise \(y\) yhtälöstä

\[e^{[value]}=[value]x^[value]- +[value].\]

Syöttöä varten esim. \(e^{x}=\mathtt{e}\)^\(\mathtt{x}\) ja \(\ln x=\mathtt{ln(x)}\).

Vastaus on \(y=\)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Onko väite tosi vai epätosi? Valitse vastaus pudotusvalikosta.

[value]

[value]

[value]

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Q: Ratkaise 3. asteen yhtälö \( [value]=0 \). Vastaukseksi tulee kolme muuttujan \( x \) arvoa. Anna ratkaisut tarkkoina arvoina!

Huom. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. \( \sqrt{2} \) kirjoitetaan sqrt(2).

\( x_1= \)

\( x_2= \)

\( x_3= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ or } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ or } & x=[value] \ \ \text{ or } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ tai } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ tai } & x=[value] \ \ \text{ tai } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ eller } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ eller } & x=[value] \ \ \text{ eller } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Olkoon \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ \\ (f \circ f)(x) & = & f([value]) = [value] \\ \\ (f\circ f)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*}\]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Sievennä seuraava lauseke:

\[ |[value]-\sqrt{[value]}| + |1 - \sqrt{[value]}| = \]

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
  Hint: \[ \, \]
  Hint: \[ \, \]

Q: Laske yhtälön \( \displaystyle \sin(x)=[value] \) ratkaisu, joka on ensimmäisessä neljänneksessä eli \( \displaystyle 0\le x \le \frac{\pi}{2} \). Anna vastaus radiaaneissa. Merkitse vastauksessa lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi. Esimerkiksi \( \displaystyle \frac{\pi}{4} \) kirjoitetaan pi/4.

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ or } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \]\[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ tai } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \]\[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ eller } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \] Considering these solutions, only \( x=[value] \) lies on the interval \([0, \pi/2]\).Näistä ratkaisuista ainoastaan \( x=[value] \) sijaitsee välillä \([0, \pi/2]\).Av dessa lösningar ligger endast \( x=[value] \) i intervallet \([0, \pi/2]\).
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ilmoita yhtälön \( [value]=[value] \) ratkaisuista pienin, joka on ensimmäisessä tai toisessa neljänneksessä, eli \( 0\le x \le \pi \). Anna vastaus radiaaneissa. Merkitse vastauksessa lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi.

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ or } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ or } x=[value]+n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ tai } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ tai } x=[value]+n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ eller } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ eller } x=[value]+n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen.
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Derivoi \( f(x)=[value] \).

Esimerkki: lauseke \( 3x^2+5x+1 \) kirjoitetaan 3*x^2+5*x+1.

\( f'(x)= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The derivative of the function \( f \) is \( f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] \). We apply four different rules when calculating the derivative, but you do not have to write the calculations this detailed: Funktion \( f \) derivaatta on \( f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] \). Derivoinnissa käytetään neljää erilaista derivointisääntöä, mutta laskuja ei ole tarpeen kirjoittaa näin yksityiskohtaisesti: Derivatan av funktionen \( f \) är \[ f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] .\] Vid deriveringen används fyra olika deriveringsregler, men uträkningen behöver inte skrivas så här detaljerat: \[\begin{array}{rcll} f'(x) &=& D([value]) & \Arrowvert D(f+g)=Df+Dg\\ &=& D([value])+D([value]) \qquad & \Arrowvert D(kf)=kDf,\ \ Dk=0\\ &=& [value]\cdot D([value]) + 0 & \Arrowvert Dx^n=n\cdot x^{n-1}\\ &=& [value]\cdot [value]\cdot x^[value]\\ &=& [value] \end{array}\]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske määrätty integraali \( \displaystyle \int_[value]^[value] ([value]) \, dx.\)

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.

\( \displaystyle \int_[value]^[value] ([value]) \, dx= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] ([value]) \, dx & = & \left[ [value] \right]_[value]^[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Luonnollinen logaritmi syötetään vastaukseen komennolla ln() kirjoittamalla logaritmin argumentti sulkujen sisään, esimerkiksi ln(32).

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Taking the logarithm of both sides of the equation, we getOtetaan lausekkeista puolittain logaritmit: Ta logaritmen på bägge sidor av ekvationen: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \ln([value]^x) & = & \ln([value]). \end{eqnarray*} \) Knowing that \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), the equation can be expressed in the formTiedetään, että \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), joten yhtälö saadaan muotoonUtnyttja egenskapen \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \): \( \begin{eqnarray*} x\cdot \ln([value]) & = & \ln([value]) \\ x & = & \frac{\ln([value])}{\ln([value])}. \end{eqnarray*} \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} \displaystyle{[value]}, &\text{ kun }x<[value],\\ ax^2-bx+ -[value], &\text{ kun }[value]\leq x\leq [value],\\ [value]x-a+b, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä vakioiden \(a\in\mathbb{R}\) ja \(b\in\mathbb{R}\) arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

Jos vastaus ei ole kokonaisluku, esitä se murtolukuna, älä käytä desimaalilukuja tai sekalukuja.

\(a\) | \( \, = \ \)
\(b\) | \( \, = \ \)

Tarkastellaan matriisia \(B\), joka saadaan vaakarivimuunnoksilla kääntyvästä matriisista \(C\).

Onko matriisi \(B\) kääntyvä? Onko matriisi \(B\) aina ykkösmatriisi (eli yksikkömatriisi eli identiteettimatriisi)? Voiko matriisin \(B\) saada vaakarivimuunnoksilla ykkösmatriisiksi (eli yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi)? Voidaanko joku matriisin \(B\) sarake lausua muiden sarakkeiden lineaarikombinaationa?

Onko matriisi \(B\) kääntyvä? Onko matriisi \(B\) aina ykkösmatriisi (eli yksikkömatriisi eli identiteettimatriisi)? Voiko matriisin \(B\) saada vaakarivimuunnoksilla ykkösmatriisiksi (eli yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi)? Voidaanko joku matriisin \(B\) sarake lausua muiden sarakkeiden lineaarikombinaationa?

Matriisin \(A\) ominaisarvot ovat \(\lambda_1 = [value]\) ja \(\lambda_2 = [value]\) ja näitä vastaavat ominaisvektorit \(\mathbf{v}_1 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_2 = [value]\).

Laske \(A^3 \mathbf{x}\), kun \(\mathbf{x} = [value]\).

\(A^3 \mathbf{x} = \) |

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Huom! Syötä vastauksesi tarkkoina arvoina.

Etsi funktion

\[f(x)= x{^[value]} \sqrt{ [value]x^[value][value][value] }\]

se integraalifunktio \(\displaystyle F(x)=\int f(x) \, dx\), jonka kuvaaja \(y=F(x)\) kulkee pisteen \((1,0)\) kautta.

Kyseinen integraalifunktio on \(F(x)=\)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Derivoi \(f(x)=\ln\left(\left([value]\right)^[value]\right)\)

Derivaatta on \(f'(x)=\)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun: