Title: Osamurto

Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) , \(x_4 = \) ,

joten \(x^4-2x^2+1 = \big( \) \(\big)^2\big( \) \(\big)^2\).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=0\)

\(=2\)

\(=0\)

\(=3\)

Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\big( \)+++\( \big)\).

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \big[ \) \(\big] + C\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 [value], x_4 = [value]\), joten \(x^4-2x^2+1 = \big( [value] \big)^2\big( [value] \big)^2\). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}\). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 2 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 3 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\left( [value]+[value]+[value]+[value] \right)\). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \left[ [value] \right] + C\).

Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) ,

joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( \) \(\big)^3 \).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=1\)

\(=0\)

\(=0\)

Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = \)++.

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = \) \( + C\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 = [value]\), joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( [value] \big)^3 \). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} + \frac{C}{(x+2)^3} \). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 1 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = [value][value]+[value] \). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = [value] + C\).