Title: Aiheviikko 1

MATLAB-tehtävä

Moodlesta aiheviikon 3 verkkotehtävien kohdalta löytyy esimerkki tätä tehtävää varten.

a) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=\sin(x)+1\) on integraalifunktio.

b) Funktiolla \(e^{x^2}\) ei ole ollenkaan olemassa integraalifunktiota.

c) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x) = \left\{\begin{align*} 2x &, \quad x\leq 1\\ 2 &, \quad x>1 \end{align*}\right.\) on olemassa integraalifunktio \(\textrm{F} = \left\{\begin{align*} x^2 &, \quad x\leq 1\\ 2x &, \quad x>1 \end{align*}\right.\)

d) Funktiolla \(f=\sin(2x)\) on olemassa yksikäsitteinen integraalifunktio.

e) Kuinka monta integraalifunktiota on funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=e^x+\cos(2x)\)?

f) Olkoon \(C\) mikä tahansa reaaliluku. Tällöin \(\displaystyle D\left(\int e^x \cos(x) \, \textrm{d}x \right) = e^x \cos(x) + \textrm{C}\).

g) Integraalifunktion \(\textrm{F}\) on oltava jatkuva.

h) Jos funktio \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\), niin funktio \(f\) on välttämättä jatkuva välillä \([a,b]\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. b) Epätosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. Aina ei voi integraalifunktiota esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. c) Epätosi. Saatu integraalifunktio ei ole jatkuva, kun \(x=1\). Tällöin se ei ole derivoituva. d) Epätosi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). e) Äärettömästi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). f) Epätosi. Yhtälö pätee ainoastaan, kun \(C=0\). g) Tosi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, joten integraalifunktion on oltava derivoituva. Jotta integraalifunktio on derivoituva, se on jatkuva. h) Epätosi. Integraalifunktion olemassaolo ei kuitenkaan edellytä jatkuvuutta integroitavalta funktiolta.

a) Jos funktiot \(f\) ja \(g\) ovat integroituvia välillä \([a,b]\), niin \(f+g\) on integroituva välillä \([a,b]\) ja lisäksi \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x)+g(x)\big) \, \textrm{d}x = \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x + \int_a^b g(x) \, \textrm{d}x\).

b) Olkoon funktio \(f(x)=h,\) missä \(h\in \mathbb{R}\). Tällöin \(\displaystyle \int_1^2 f(x)\, \textrm{d}x = h\).

c) Olkoon \(f(x) \geq 0\) välillä \([a,b]\), kun \(a < b\). Tällöin \(\displaystyle= \int_a^b f(x)\, \textrm{d}x \geq 0\).

d) Jos funktio on integroituva välillä \([0,2]\) ja \(0\leq f(x) \leq 3\) kaikille \(x\in [0,2]\), niin integraali \(\displaystyle \textrm{I} = \int_0^2 f(x) \, \textrm{d}x\) on olemassa ja \(0\leq \textrm{I} \leq 6\).

e) Mikä seuraavista luvuista on suurin?

1. \(\displaystyle \int_{100}^{100} 1000^x \, \textrm{d}x\)
2. \(5\)
3. \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 8 \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle \int_3^2 2x \, \textrm{d}x\)

Valitse suurinta lukua vastaava kirjain

f) Välillä \(\textrm{I}\) on voimassa \(\displaystyle \int af(x)\, \textrm{d}x = a\int f(x) \, \textrm{d}x\, \), kun \(a=x^2\).

g) Antiderivaatalla tarkoitetaan

h) Mikä seuraavista väitteistä ei ole totta
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio. b) Tosi. Vakiofunktion integrointi. c) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. d) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. e) 5. \(\int_a^a f(x) dx = 0\) ja \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\), kun \(a < b\). f) Epätosi. Et voi siirtää integraalin eteen muuttujasta \(x\) riippuvaa osaa! g) Integraalifunktio on antiderivaatta. h) Määrättyä integraalia käytetään kuvaamaan pinta-alaa tai tilavuutta. Analyysin peruslause linkittää integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteen.

Determine the following integral functions. For the constant of integration, you can use the letter C, for example. VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Tarkastellaan funktion \[ \displaystyle f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] integraalifunktioiden määräämistä sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Määrää funktion \(f(x)\) kaikki integraalifunktiot. Merkitse \(C\) yleiseksi integrointivakioksi.

\(\textrm{c) }\) Määrää sellainen funktion \(f(x)\) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta.

Consider finding integral functions of the function \[ f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] with the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{b) }\) Find all integral functions of the function \(f(x)\). Denote by \(C\) the general integration constant.

\(\textrm{c) }\) Find the integral function of the function \(f(x)\) the graph of which is passing through the origin \((0,0)\).

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Kaikki integraalifunktiot ovat \(\textrm{b) }\) All integral functions are .

\(\textrm{c) }\) Integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta, on \(\textrm{c) }\) The integral function the graph of which is passing through the origin \((0,0)\) is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} Integraalifunktion kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta: \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Siis \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \] Model solution: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} The graph of the integral function is passing through the origin \((0,0)\): \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Hence \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \]

Osamurtokehitelmä

Tällä sivulla perustehtäviä osamurtokehitelmään liittyen.

Osittaisintegrointi

Tämän sivun tehtävät ovat perustehtäviä osittaisintegrointiin liittyen.

Sijoitusmenetelmä

Tällä sivulla perustehtäviä sijoitusmenetelmään.

Osittaisintegrointikaava määrätylle integraalille on

\[\displaystyle \int\limits_a^b u(x)v'(x)\,dx = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Sovella kaavaa määrätyn integraalin

\[\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x\]

laskemiseen. Miten valitset funktion \(u(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(v(x)\) sijoitusvaiheessa ja toisessa integraalissa?

Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2).

The integration by parts formula for the definite integral is \[\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Apply the formula for solving the definite integral \[\int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x.\] What is your choice for the function \(u(x)\) in the first integral? What is the function \(v(x)\) in the substitution and in the second integral?

The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3)

\(u(x)=\) , \(v(x)=\) .

Mikä on määrätyn integraalin arvo? Anna vastauksesi tarkkana arvona.

What is the value of the definite integral? Give your answer as exact value.

\(\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x=\) .
Feedback: Malliratkaisu: The model solution: \(u(x)=\ln(x)\), \(v(x)=[value]\). \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\int\limits_1^{[value]} [value]\,dx =\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot \underbrace{[value]}_{v'}\,dx \stackrel{\text{os.int.}}{=}{\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot\underbrace{[value]}_{v} -\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\frac1x}_{u'}\cdot\underbrace{[value]}_{v}\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}[value]\ln(x)-\int\limits_1^{[value]\,} [value]\,dx ={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}([value]\ln(x)-[value]) =[value] \end{align*}

Osittaisintegrointikaava integraalifunktion määrittämiseksi on

\[\displaystyle \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \]

Sovella kaavaa integraalifunktion

\[\displaystyle \int x\, [value]\,\mathrm{d}x \]

määrittämiseen.

Miten valitset funktion \(v'(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(u'(x)\) toisessa integraalissa? Sini merkitään sin, esim. sin(0). Kosini merkitään cos, esim. cos(1).

The integration by parts formula for determining the integral function is \[ \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \] Apply the formula for determining the integral function \[ \int [value]\,\mathrm{d}x. \]

What is your choice for the function \(v'(x)\) in the first integral? What is the function \(u'(x)\) in the second integral? Sine is written as sin, e.g. sin(0). Cosine is written as cos, e.g. cos(1).

\(v'(x)=\) , \(u'(x)=\)

Mikä on integraalifunktion lauseke?

What is the expression of the integral function?

Integraalifunktio on

The integral function is

.
Feedback: Malliratkaisu: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{os.int.}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{os.int.}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \] Model solution: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{int. by parts}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{int. by parts}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \]

Riemannin summa

Tässä tehtävässä pohditaan hyvin ohjatusti Riemannin summaa.

Harjoittele lisää

Tämän sivun tehtäväsarjasta ei tule pisteitä

a) Perustele välivaiheet alasvetovalikosta. Tavoitteena on johtaa osittaisintegroinnin kaava.

 | \(\displaystyle D\big(f(x)g(x)\big) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \, f'(x)g(x) = D\big(f(x)g(x)\big) - f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = \int D\big(f(x)g(x)\big) dx - \int f(x)g'(x) dx\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx\) |

b) Kun derivoit \(f(x) = x^2\), saat \(f'(x) = \) . Toisaalta kun derivoit \(g(x) = x^2+1\), saat \(g'(x) = \) . Nyt \(f'(x) = g'(x)\), vaikka \(f(x) \neq g(x)\). Kun integroit \(f'(x)\):n tai \(g'(x)\):n, saat . Tämä on muistettava integroitaessa puolittain.

HUOM! Käytä vakiona \(C\):tä tässä tehtävässä.

Integroimistekniikkaa ja trigonometrinen sijoitus

Haastava, mutta hiukan erilainen ja monisssa tapauksissa näppärä menetelmä.

Integraaliin liittyviä ominaisuuksia

Tämän sivun tehtävät sisältävät haastavahkoa pohdintaa liittyen integraalin ominaisuuksiin. Ole tarkkana yksityiskohtien kanssa. Monessa kohdassa kuvan piirtäminen auttaa.

Integraalin geometriset sovellukset

Voit halutessasi käyttää laskuissa MATLAB:ia hyödyksi. Oleellisinta on keskittyä integroitavan lausekkeen muodostamiseen.

Kyseessä ovat kuitenkin perustehtävät!

Itseisarvon integroiminen

Tämä tehtävä on tärkeä perustehtävä, jotta osaat integroida itseisarvon!

Kertausta yhdistetyn funktion integroimisesta

Tee nämä kuusi tehtävää, jos tunnet yhtään epävarmuutta integroinnissa. Laske käsin, älä ohjelmistolla!

Find the arc length of the curve

Määritä käyrän

\[\displaystyle y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \]

on the interval \([value]\leq x\leq [value]\). Give an exact answer!

pituus välillä \([value]\leq x\leq [value]\). Anna vastaus tarkkana arvona!

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The length \(S\) of the arc \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) is given byKäyrän \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) pituus \(S\) saadaan laskettua kaavalla \[S= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \] The integral is taken from \([value]\) to \([value]\).Rajat ovat \([value]\) ja \([value]\), ja \[f'(x)=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x^{-2}. \] \begin{eqnarray*} S & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^2-x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^4-2x^0+x^{-4})} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{x^4+2+x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{(x^2+x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} (x^2+x^{-2}) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \bigg|_{[value]}^{[value]} \frac{1}{3} x^3-x^{-1} \\ & = & \frac{1}{2}((\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})-(\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})) \\ & = & \frac{1}{2}([value]-[value]) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

a) Täydennä puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\quad=\quad\) | \(\displaystyle \lim_{c \to a^*} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad +\) | \(\displaystyle \quad \lim_{e \to b^*} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\).
 | \(a = \) | \(b = \)
 | \(* = \) | \(* = \)

b) Haluat laskea \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx\).

Kuinka monen epäoleellisen integraalin summana integraali on vähintään laskettava eli kuinka moneen osaan integroimisväli jaetaan?

c) Onko seuraava väite tosi vai epätosi?

\(\displaystyle \int\limits_{-2}^3 \frac{1}{x^4}\,\textrm{d}x = {\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-19mu}-2}^{\mspace{19mu}3}} -\frac{1}{3x^3} = -\frac{1}{3\cdot 3^3}-\left(-\frac{1}{3\cdot (-2)^3}\right)\)?

d) Oletetaan, että \(f\) on määritelty välillä \([a,b]\) ja integroituva välillä \([c,b]\) kaikilla \(c\in (a,b]\). Jos raja-arvoa \(\displaystyle \lim\limits_{c\to a+} \int\limits_c^b f(x) \,\textrm{d}x\) ei ole olemassa, niin \(\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \,\textrm{d}x\) hajaantuu.
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx = \lim_{c \to [value]^-} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad + \lim_{e \to [value]^+} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\). b) Nimittäjällä on \(2\) nollakohtaa eli \(\pm \sqrt{[value]}\). Integraali tulee jakaa seuraavasti: \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx = \lim_{c \to -\sqrt{[value]}^-} \int_{[value]}^{c}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{e \to -\sqrt{[value]}^+} \int_{e}^{0}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{f \to \sqrt{[value]}^-} \int_{0}^{f}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{g \to \sqrt{[value]}^+} \int_{g}^{[value]}\frac{1}{x^2-[value]} dx\). Huomaa, että toisen termin yläraja ja kolmannen termin alaraja voi olla muutakin kuin \(0\). Mitä? c) Epätosi. Integroitava funktio ei ole määritetty, kun \(x = 0\). d) Tosi.

a) Mikä seuraavista ei kuvaa funktion \(f(x)=\sin(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa välillä \(0\leq x \leq 2\pi\)?

1. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} |\sin(x)| \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = 2\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle A = -2\int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain

b) Olkoot funktiot \(h\) ja \(g\colon [a,b] \to \mathbb{R}_{0}\) sekä \(a<c<b\).

Nyt \(\left\{\begin{align*} h(x) &\geq g(x) \quad \text{ välillä }[a,c] \text{ ja }\\ g(x) &\geq h(x) \quad \text{ välillä }[c,b]. \end{align*}\right.\)

Funktioiden \(h\) ja \(g\) väliin jäävä ala ei ole

1. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big|h(x)-g(x)\big| \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = \int_{a}^{c} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x + \int_{c}^{b} \big(g(x)-h(x)\big) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x = 0\), sillä pinta-alat x-akselin ylä- ja alapuolella kumoavat toisensa. b) \(\displaystyle \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\) ei huomioi, että \(g(x) \geq h(x)\) välillä \([c,b]\).

Määritä integroimalla käyrän \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) ja suoran \(y=[value]\) rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala. Käyrän ja suoran leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Anna vastauksesi tarkkana arvona.

Find by integration the finite area enclosed by the curve \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) and the line \(y=[value]\). The \(x\)-coordinates of the intersection points for the curve and the line are \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Give your answer as exact value.

Pinta-ala on The area is .
Feedback: Malliratkaisu: Koska \([value]x^3-[value]x\ge[value]\), kun \(-2\le x\le -1\), ja \([value]x^3-[value]x \le [value]\), kun \( -1 < x \le 3 \), niin \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Kuva: [value] Model solution: Because \([value]x^3-[value]x\ge[value]\) when \(-2\le x\le -1\), and \([value]x^3-[value]x \le [value]\) when \( -1 < x \le 3 \), it follows \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Integroi \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx\).

a) Ilman itseisarvoja integraali on

\(\displaystyle I = \int_a^b \) \(dx\) | \(+\) | \(\displaystyle \int_c^d \) \(dx\), missä
\(a = \) |  | \(c = \)
\(b = \) |  | \(d = \) .

b) Lopullinen tulos on \(I = \) .
Feedback: Malliratkaisu: \(|[value]| = \begin{cases} [value], & \text{ kun } x \geq [value] \\ [value], & \text{ kun } x \leq [value] \end{cases}\) \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx = \int_[value]^[value] [value] dx + \int_[value]^[value][value] dx = [value]\).

Käyrä

\[ \displaystyle y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}},\]

missä \( 0\le x\le1,\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}, 0\le x\le1, \] rotates around the \(x\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(x\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{b) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \] Model solution: The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \]

Käyrä

\[\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, \]

missä \(0\le x\le[value]\), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on muuttujan \(y\) yläraja kappaleen tilavuuden laskemisessa?

\(\textrm{c) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value], \] rotates around the \(y\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(y\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the upper limit of the variable \(y\) for calculating the volume of the solid?

\(\textrm{c) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(y\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(y\) yläraja on \(\textrm{b) }\) The upper limit of the variable \(y\) is .

\(\textrm{c) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{c) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \] Model solution: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \]

Epäoleellinen integraali

Perustehtäviä epäoleelliseen integraaliin!

HUOM! Tehtävä 10 on haastava!

a) Kappale lähtee levosta ajanhetkellä \(t=0\) liikkumaan pitkin \(x\)-akselia. Ajanhetkellä \(t\) kappaleen vauhdin tiedetään olevan \(v(t) = 4t^3\).

• Ajanhetkellä \(t\) kiihtyvyys voidaan selvittää

• \(a(t) = \)

b) Antilla on kännykässään sovellus, joka mittaa reaaliajassa Antin liikkumisnopeutta. Sovelluksen mukaan Antin nopeus kotoa opiskelupaikkaan tullessa aikaisin aamulla noudatti funktiota \(v(t) = \sin(\frac{t}{10})+10\), kun yksikkönä on \(m/s\). Aikaa matkaan kului \(12\) min. Kuinka pitkä matka oli?

• \(12\) min = \(s\).

• Matka voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

• Matka on noin

Määrää käyrien \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) ja \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\) kaikkien leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit. Määrää edelleen käyrien rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala integroimalla.

Find the \(x\)-coordinates of all intersection points for the curves \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) and \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\). Moreover, find by integration the finite area enclosed by the curves.

Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat pienimmästä suurimpaan

The \(x\)-coordinates of the intersection points are from the smallest value to the largest value

,,.

Pinta-ala on

The area is

.
Feedback: Malliratkaisu: Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatti: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ tai }\; x&=0\;\textrm{ tai }\; x=[value]. \end{align*} \] Koska \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\), kun \(-[value]\le x\le 0\), ja \(f(x)-g(x) \le 0\), kun \(0\lt x\le [value]\), niin \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Kuva: Model solution: The \(x\)-coordinates of the intersection point: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ or }\; x&=0\;\textrm{ or }\; x=[value]. \end{align*} \] Because \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\) when \(-[value]\le x\le 0\), and \(f(x)-g(x) \le 0\) when \(0\lt x\le [value]\), it follows \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Vapaaehtoiset tehtävät, joista ei pisteitä.

Täydennä seuraavan laskun puuttuvat osat.

Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\).

Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään eli

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

Siispä alasummaksi saadaan

\(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\).

Määritetään sitten yläsumma. Nyt

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan

\(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} + 4\).

Tihennetään jakoa. Tällöin

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \)

ja

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \)

Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L\) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).
Feedback: Malliratkaisu: Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \frac{2}{n}\) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\). Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli pienin arvo saavutetaan osavälin alarajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2(i-1)}{n}\). Sijoittamalla \(x_i^*\) annettuun funktioon alasummaksi saadaan \(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2(i-1)}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Määritetään sitten yläsumma. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli suurin arvo saavutetaan osavälin ylärajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2i}{n}\) eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan \(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2i}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Tihennetään jakoa. Tällöin \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3}\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3} \). Ylläolevat raja-arvot saadaan helposti laskettua ottamalla \(n^2\) osoittajassa yhteiseksi tekijäksi. Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).