Title: Kompleksiluvun juuret (neljännet ja kolmannet) satunnainen

a) Etsi kompleksiluvun \(z=1+0i\) neljännet juuret ja hahmottele kuva.

b) Etsi kompleksiluvun \(z=-2+2i\) kolmannet juuret ja hahmottele kuva.
Feedback: Ratkaisu a) Kompleksiluvun \(z=1+0i\) etäisyys on \(r=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\). Vaihekulma \(\theta=0\), sillä kompleksiluku \(z=1+0i\) sijaitsee reaaliakselilla. Näin ollen se voidaan kirjoittaa eksponenttimuodossa \(z=1e^{i\cdot 0}\). Neljännet juuret saadaan kaavalla \(w_k=\sqrt[4]{1}e^{i\frac{0+2\pi k}{4}}=1\cdot e^{i\frac{\pi k}{2}}=e^{i \frac{\pi k}{2}}\), kun \(k=0, 1, 2, 3\). Näin ollen \(w_0=e^{i\cdot 0}=1\) \(w_1=e^{i\frac{\pi }{2}}=i\) \(w_2=e^{i\frac{\pi \cdot 2}{2}}=e^{i\pi}=-1\) \(w_3=e^{i\frac{\pi \cdot 3}{2}}=-i\). Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun \(z=1+0i\) neljänsiä juuria. [Image] b) Kompleksiluvun \(z=-2+2i\) etäisyys on \(r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Muistikolmion avulla vaihekulmaksi saadaan \(\theta=\frac{3\pi }{4}\). Näin ollen eksponenttimuodossa voidaan kirjoittaa \(z=2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi }{4}}\). Kolmannet juuret saadaan kaavalla \(w_k=\sqrt[3]{2\sqrt{2}}e^{i\frac{\frac{3\pi }{4}+2\pi k}{3}}=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi k}{3})}\), kun \(k=0,1,2\). Näin ollen \(w_0=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\) \(w_1=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3})}=\sqrt{2}e^{i\frac{11\pi }{12}}\) \(w_2=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi \cdot 2}{3})}=\sqrt{2}e^{i\frac{19\pi }{12}}\). Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun \(z=-2+2i\) kolmansia juuria. [Image] Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on laskettu kompleksiluvun etäisyys, määritetty vaihekulma ja muodostettu eksponenttimuoto - 0,5 pistettä, jos on löydetty laskukaava neljänsien juurien laskemiselle - 0,5 pistettä, jos neljännet juuret on laskettu - 0,5 pistettä, jos on hahmoteltu kuva - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on laskettu kompleksiluvun etäisyys, määritetty vaihekulma ja muodostettu eksponenttimuoto - 0,5 pistettä, jos on löydetty laskukaava neljänsien juurien laskemiselle - 0,5 pistettä, jos neljännet juuret on laskettu - 0,5 pistettä, jos on hahmoteltu kuva - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa

a) Etsi kompleksiluvun \(z=1+0i\) neljännet juuret ja hahmottele kuva.

b) Etsi kompleksiluvun \(z=-3+3i\) kolmannet juuret ja hahmottele kuva.
Feedback: Ratkaisu a) Kompleksiluvun \(z=1+0i\) etäisyys on \(r=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1\). Vaihekulma \(\theta=0\), sillä kompleksiluku \(z=1+0i\) sijaitsee reaaliakselilla. Näin ollen se voidaan kirjoittaa eksponenttimuodossa \(z=1e^{i\cdot 0}\). Neljännet juuret saadaan kaavalla \(w_k=\sqrt[4]{1}e^{i\frac{0+2\pi k}{4}}=1\cdot e^{i\frac{\pi k}{2}}=e^{i \frac{\pi k}{2}}\), kun \(k=0, 1, 2, 3\). Näin ollen \(w_0=e^{i\cdot 0}=1\) \(w_1=e^{i\frac{\pi }{2}}=i\) \(w_2=e^{i\frac{\pi \cdot 2}{2}}=e^{i\pi}=-1\) \(w_3=e^{i\frac{\pi \cdot 3}{2}}=-i\). Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun \(z=1+0i\) neljänsiä juuria. [Image] b) Kompleksiluvun \(z=-3+3i\) etäisyys on \(r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Muistikolmion avulla vaihekulmaksi saadaan \(\theta=\frac{3\pi }{4}\). Näin ollen eksponenttimuodossa voidaan kirjoittaa \(z=3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi }{4}}\). Kolmannet juuret saadaan kaavalla \(w_k=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i\frac{\frac{3\pi }{4}+2\pi k}{3}}=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi k}{3})}\), kun \(k=0,1,2\). Näin ollen \(w_0=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi }{4}}\) \(w_1=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3})}=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i\frac{11\pi }{12}}\) \(w_2=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi \cdot 2}{3})}=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}e^{i\frac{19\pi }{12}}\). Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun \(z=-3+3i\) kolmansia juuria. [Image] Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on laskettu kompleksiluvun etäisyys, määritetty vaihekulma ja muodostettu eksponenttimuoto - 0,5 pistettä, jos on löydetty laskukaava neljänsien juurien laskemiselle - 0,5 pistettä, jos neljännet juuret on laskettu - 0,5 pistettä, jos on hahmoteltu kuva - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on laskettu kompleksiluvun etäisyys, määritetty vaihekulma ja muodostettu eksponenttimuoto - 0,5 pistettä, jos on löydetty laskukaava neljänsien juurien laskemiselle - 0,5 pistettä, jos neljännet juuret on laskettu - 0,5 pistettä, jos on hahmoteltu kuva - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa