Title: IMA1 (viikko 1)

Esitä annettu joukko Vennin kaaviona. Kuvassa kolme joukkoa jakavat perusjoukon kahdeksaan erilliseen osaan, jotka on numeroitu.
Kirjoita vastauslaatikkoon, mitkä numeroiduista alueista väritetään Vennin kaavioon.
Anna väritettävien alueiden numerot kasvavaan järjestykseen kirjoitettuna listana hakasuluissa, esim. joukon \(A\) esitys on [2,3,5,6].
Käytä hakasulkuja myös silloin, kun väritetään vain yhden numeron alue. HUOM! Joukkojen yhteydessä mahdollisesti esiintyvä "eksponentti" c tarkoittaa joukon komplementtia.

\([value]\) |
\([value]\) |

Mitä joukkoa annettu Vennin kaavio esittää? Joukko on väritetty kaavioon harmaalla.

Konjektuuriksi sanotaan väitettä, jota ei ole vielä todistettu todeksi eikä epätodeksi. Jos alla oleva konjektuuri olisi epätosi, mikä seuraavista olisi vastaesimerkki, joka kumoaa väitteen?

Legendren konjektuuri: Lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku, kun \(n>1\) on mikä tahansa kokonaisluku.

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \(n^2\) ja pienempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on pienempi kuin \(n^2\)

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku

[value] kokonaisluku \(n> 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

Goldbachin vahva konjektuuri: Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun summa.

[value] kakkosta pienempi pariton kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jota ei voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta pienempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

Riemannin hypoteesi: Kompleksimuuttujan \(s\) zeetafunktion \(\zeta (s)\) kaikki imaginääriset nollakohdat ovat kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on jonkun muun tason kuin kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason jollain muulla käyrällä kuin suoralla, mutta jolle pätee \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

Andrican konjektuuri: Kahden peräkkäisen alkuluvun neliöjuurten erotus on ykköstä pienempi.

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

Churchin-Turingin teesi: Mikä tahansa mekaanisesti ratkaistava ongelma voidaan ratkaista Turingin koneella.

[value] Turingin kone, joka ei pysty ratkaisemaan yhtään ongelmaa, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan yhden ongelman, joka ei ole mekaanisesti ratkaistava

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan kaikki ongelmat, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista Turingin koneella, mutta voidaan ratkaista mekaanisesti

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti eikä Turingin koneella

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti, mutta voidaan ratkaista Turingin koneella

Erdösin-Straussin konjektuuri: Yhtälöllä \(\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) on positiivisista kokonaisluvuista \(a, b\) ja \(c\) koostuva ratkaisu jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\).

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\)

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] positiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön jokainen ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n < 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

Collatzin konjektuuri: Aloitetaan mistä tahansa positiivisesta kokonaisluvusta. Jos luku on parillinen, jaetaan se kahdella ja jos pariton, kerrotaan kolmella ja lisätään yksi. Toistetaan lopputulokselle sama operaatio ja jatketaan operointia edellisen toistokerran lopputulokselle. Tämä prosessi saavuttaa aloitusluvun valinnasta riippumatta jossain vaiheessa arvon \(1\).

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi päättyy johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

Kirjoita kuvissa annetut välit käyttäen kurssin merkintöjä. Valitse välejä \(I_1\) ja \(I_2\) varten oikeat sulut ja päätepisteet. Jos välin toinen päätepiste ei ole kuvassa, väli on rajoittamaton. Valkoinen pallo: piste ei ole mukana joukossa. Punainen pallo: piste on mukana joukossa. Anna ei-kokonaisluvut murtolukuina, älä käytä desimaali- tai sekalukuja. Esim. ei \(5,5\) tai \(5\frac{1}{2} \), vaan \(11/2\). Ääretön annetaan kirjoittamalla inf.

\(I_1 = \,\) ,

\(I_2 = \,\) ,

Yhdistä merkki ja sen tarkoitus.

\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |

Valitse vastaus jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

Alla on lainauksia lastenlauluista ja joululauluista. Mitkä niistä ovat lauselogiikan lauseita ja mitkä eivät?

Jos kyseessä on lauselogiikan lause, valitse pudotusvalikosta "Tosi" ja jos ei ole, valitse "Epätosi".

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Täydennä lauseen \(A\) totuustaulukko. Kirjoita jokaiseen vastausruutuun joko 1 (tosi) tai 0 (epätosi).

\(A\colon [value]\)

\(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ A\ \)
1 | 1 |  |  |  |  |
1 | 0 |  |  |  |  |
0 | 1 |  |  |  |  |
0 | 0 |  |  |  |  |

Onko \(A\) tautologia?

Syötä jokaiseen vastausruutuun vastaus ja valitse viimeisen kysymyksen vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n-[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n-[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k - [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^k - [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} - [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\) \(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge (r \vee \neg p) )\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow( \neg q \vee p) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\) \(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\) \(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\) \(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\) \(\Rightarrow q \wedge r\) \(\Rightarrow r\) | \(\quad \)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Ovatko seuraavat lauseet tautologioita? Vihjeenä jokaisen lauseen totuustaulun alkuosa.

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value]\)
[value] |

/**/

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Määritellään tämän muuttujan avulla \(x=2n+1\).
Tällöin \(x\) esittää mitä tahansa paritonta kokonaislukua.
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Järjestä numeroimalla osajoukkotodistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{N} : x \text{ on parillinen}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{N} : x = 6s+10t, \text{ missä } s,t\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{Z} : x=4k+1 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{Z} : x = 4k-3 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja. Todista, että \(A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Todistus.

Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=2k\) jollekin \(k\in \mathbb{Z}\).
Luku \(2\) on parillinen ja voidaan kirjoittaa \(2=6\cdot 2+10(-1)\).
Tässä esityksessä \(s=2\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-1\in \mathbb{Z}\), joten \(2\in B\).
Sijoitetaan luvun \(2\) esitys yhtälöön \(x=2k\).
Tällöin \(x=2k = \big( 6\cdot 2+10(-1)\big) k = 6\cdot 2k+10(-k)\).
Tässä esityksessä \(s=2k\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-k\in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=4m+1\) jollekin \(m\in \mathbb{Z}\).
Olkoon \(n=m+1\).
Tällöin \(m=n-1\).
Sijoitetaan \(m=n-1\) yhtälöön \(x=4m+1\).
Tällöin \(x=4m+1 = 4(n-1)+1 = 4m-4+1 = 4n-3\).
Siis \(x = 4n-3\) luvulle \(n=m+1 \in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\cup (B\cap C)\).
Tällöin \(x\in A\) tai \(x\in B\cap C\) yhdisteen määritelmän mukaan.
Tapauksessa \(x \in A\) yhdisteen määritelmän mukaan \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Tapauksessa \(x \in B\cap C\) leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in B\) ja \(x\in C\).
Edelleen, koska \(x\in B\) ja \(x\in C\), niin \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Molemmissa tapauksissa \(x \in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Näin ollen leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Alla on todistettu kaksi eräs joukko-operaatioihin liittyvää laskulakia. Kerro, mitä todistuksissa todistuksessa tehdään valitsemalla pudotusvalikosta ekvivalenssin yhteydessä käytetty sääntö.

\((A^c)^c = A\) ja \(A\cup B = B\cup A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A^c)^c = A \) ja \(A\cap B = B\cap A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cup C)\)

\((A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cap C)\)

\((A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cup C)\)

\((A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cap C)\)

\(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cap C)\) |
\(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) ja \(x\in C)\) |
\(x\in A\cup B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in B\)

\(x\in A\cap B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in B\) \(\Leftrightarrow (x\in A \) tai \(x\in B)\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) tai \((x\in A\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) tai \(x\in B)\) ja \((x\in A\) tai \(x\in C)\)
\(\vphantom{A\cup B}\)

\(\vphantom{A\cap B}\)
\(\Leftrightarrow x\in B\) tai \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in B\) ja \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) tai \(x\in A\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\) |
\(\Leftrightarrow x\in B\cup A\) \(\Leftrightarrow x\in B\cap A\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\) |

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-10 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan vain itsellään ja ykkösellä. Muut luvut eli yhdistetyt luvut voidaan esittää alkulukujen tuloina.

Väite: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väitteen oletusosa: Tämä väite ei sisällä varsinaista oletusosaa.

Väitteen johtopäätösosa: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väite: Jos \(a\) on irrationaaliluku eli \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), niin \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen oletusosa: \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen johtopäätösosa: \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väite: Jos\(0a^2\).

Väitteen oletusosa: \(0

Väitteen johtopäätösosa: \(a>a^2\)

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta sivujanasta ja kolmesta kulmasta, jotka ovat kaikki suurempia kuin nollakulma.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Väitteen oletusosa: Tarkasteltava kuvio on kolmio.

Väitteen johtopäätösosa: Tarkasteltavalla kuviolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus.

Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa suurin alkuluku.
Merkitään suurinta alkulukua kirjaimella \(n\).
Jatkossa \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n\) tarkoittaa kaikkien alkulukujen tuloa.
Merkitään lisäksi \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1\).
Jos lukua \(m\) jaetaan millä tahansa alkuluvulla \(2,3,5,7,\ldots,n\), saadaan jakojäännökseksi 1.
Siis luvulla \(m\) ei ole alkulukutekijöitä.
Näin ollen \(m\) on alkuluku, jolloin oletuksen mukaan \(m\leq n\).
Kuitenkin \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1>n\), mikä on ristiriita.
Koska väitteen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska väitteen negaatio on epätosi, väite on tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\).
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(\frac{3a+1}{2a−3}\in \mathbb{Q}\).
Tällöin voi merkitä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\), missä \(m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). Huom. Myös \(m\neq 0\) tai muuten \(a\in \mathbb{Q}\).
Lisäksi voidaan olettaa, että \(\frac{m}{n}\) on supistettu muoto eli lukujen \(m\) ja \(n\) suurin yhteinen tekijä on 1.
Esityksestä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\) saadaan ristiin kertomalla \(3n\cdot a+n=2m\cdot a−3m\).
Jos \(3n=2m\) (eli \(n=\frac{2}{3}m\)), niin edellisestä yhtälöstä voidaan päätellä, että \(n=−3m\).
Siis \(\frac{2}{3}m=−3m\), joka on mahdollista vain kun \(m=0\), mikä on ristiriita.
Jos taas \(3n\neq 2m\), saadaan samasta yhtälöstä ratkaistua \(a=\frac{−3m−n}{3n−2m}\in \mathbb{Q}\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti molemmissa tapauksissa ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\) siten, että \(0
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(a\leq a^2\).
Koska \(a\leq a^2\), niin \(a−a^2\leq 0\).
Siis \(a(1−a)=a−a^2\leq 0\).
Koska oletuksen mukaan \(a<1\), niin \(1−a>0\).
Samanaikaisesti pätee siis \(a(1−a)\leq 0\) ja \(1−a>0\).
Tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että \(a\leq 0\).
Oletuksen mukaan \(a>0\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(ABC\) kolmio.
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että kolmiolla \(ABC\) on vähintään kaksi suoraa kulmaa.
Merkitään kolmion \(ABC\) kulmia kirjaimilla \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\).
Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia merkitsevät ainakin \(\alpha\) ja \(\beta\).
Koska kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat suoria kulmia, niiden suuruus on \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) (radiaania).
Tiedetään, että kolmion kulmien summa on \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) (radiaania).
Nyt siis pätee \(\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma =\pi+\gamma =\pi \).
Näin ollen kulman \(\gamma\) suuruus on \(\gamma=0\), joka on ristiriidassa sen kanssa, että \(ABC\) on kolmio.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.

Esitä lauselogiikan kielellä seuraavat lauseet. Käytä esityksessäsi loogisia konnektiiveja ja seuraavia nimiä atomilauseille.

\([value]\): Ruoka on hyvää.

\([value]\): Minulla on aikaa syödä.

\([value]\): Tuo [value] on [value].

\([value]\): Tuo [value] on [value].

Valitse oikea muoto pudotusvalikosta.

A: [value]

B: [value]

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

(a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

(b) Millä hetkellä \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) (b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla hetkellä \(t=[value]\, s\).

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

b) Milloin \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla ajanhetkellä \(t=[value]\, s\).

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Laske annetut integraalit käyttäen osittaisintegrointia. Huomaa, että arctan(\(x\)) = atan(\(x\)) = tan\(^{-1}(x)\). Käytä tässä tehtävässä merkintää atan(\(x\)).

(a) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on muotoa \[ \int f(x) g'(x)\mathrm{d}x = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \mathrm{d}x. \] Osittaisintegrointikaavan käyttämiseksi tulee valita integroitavasta funktiosta \(f(x)\), jota derivoidaan ja \(g'(x)\), jota integroidaan. (a) Integroitava funktio on muotoa \(x \cdot \cos(x)\). Valitaan \(f(x) = x\) ja \(g'(x) = \cos(x)\). Tällöin \(f'(x) = 1\) ja \(g(x) = \sin(x)\). Tällä valinnalla saadaan funktio integroitua. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C \] (b) Nyt integroitava funktio on \(1 \cdot \tan^{-1}(x)\). Valitaan \(f(x) = \tan^{-1}(x)\) ja \(g'(x) = 1\). Tällöin \(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) ja \(g(x) = x\). Etukertoimen 1 valitseminen toiseksi funktioksi on varsin yleinen ja toimiva temppu. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x \] Jäljelle jäävä integraali voidaan laskea, kun saadaan osoittajaan sisäfunktion \(1+x^2\) derivaatta \(2x\). \[ \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \text{ln} |1+x^2| \] Itseisarvomerkit voidaan poistaa, sillä \(1+x^2\) on aina positiivinen. Vastaukseksi saadaan \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \text{ln} (1+x^2) + C. \]

Laske osittaisintegroinnin avulla

(a) | \(\displaystyle\quad \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on \[\int f'(x)g(x) \, \mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \mathrm{d}x \] (a) \[ \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x\] Valitaan \(f'=\cos([value]x) \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}\sin([value]x) \ \ \ g=x \Rightarrow g'=1\) \begin{eqnarray*} \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} x\sin([value]x)-\int 1\cdot \frac{1}{[value]}\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}{[value]}\cdot \frac{1}{[value]}\int [value]\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}[value] (-\cos([value]x)+C) \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)+\frac{1}[value]\cos([value]x)+C'. \end{eqnarray*} (a) \[\int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x\] Valitaan \(f'=e^{[value]x} \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}e^{[value]x} \ \ \ g=x+[value] \Rightarrow g'=1\). \begin{eqnarray*} \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}{[value]} \int e^{[value]x} \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}[value]e^{[value]x}+C. \end{eqnarray*}

Laske integraali: \[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\pi\) merkitään pi, esim. 2*pi. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x =\)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on \[\int f'(x)g(x) \, \textrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \textrm{d}x. \] \[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] Lasketaan ensin integraali \(\int x^2 [value] \, \textrm{d}x\). Valitaan \(f'=[value] \Rightarrow f=[value] \ \ \ \ g=x^2 \Rightarrow g'=2x\). \[ \int x^2 [value] \, dx=[value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x. \] Nyt käytetään osittaisintegrointia uudestaan. Valitaan \(f'= \cos(x) \Rightarrow f= \sin(x) \ \ \ g=-2x \Rightarrow g'=-2\). \begin{eqnarray*} [value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x & = & [value]-([value])-\int ([value]) \, \textrm{d}x) \\ & = & [value]+C \\ & = & ( [value]) \cos(x) +2x\sin(x) + C \end{eqnarray*} Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} [([value]) \cos(x) +2x\sin(x) +C] \\ & = & (2-([value])^2)\cdot \cos([value])+2\cdot [value] \cdot \sin([value])+0-[(2-0^2)\cdot \cos(0)] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Q: Alla on viisi väitettä. Ovatko ne tosia vai ei?

1. Funktion \(f:f(x)=[value]\) jakoon \(D=[value]\) liittyvä yläsumma
\(\displaystyle \qquad S_D=\frac{\pi}{[value]}([value])\).
2. \(\displaystyle \int_0^1[value]\,\mathrm{d}x = \int_0^1 [value]\,\mathrm{d}t\).
3. Jos funktion \(f\) kuvaaja kulkee pisteiden \((0,0)\) ja \((1,1)\) kautta ja \(f'\) on jatkuva, niin
\( \qquad \displaystyle \int_0^1 f'(x)\,\mathrm{d}x=1\).
4. \(\displaystyle \int [value] \,\mathrm{d}x = \frac{1}{[value]} [value] + C.\)
5. \(\displaystyle \int_1^2 [value] \,\mathrm{d}x = \int_1^3 [value] \,\mathrm{d}x+\int_3^2 [value] \,\mathrm{d}x.\)
Feedback: Vastaukset: 1. Tosi - Tangenttifunktio on aidosti kasvava ja välin suurin arvo saavutetaan aina välin päätepisteessä. Näin ollen kyseiseen jakoon liittyvä yläsumma on \( \qquad \displaystyle S_D = \tan\left([value]\right)\left([value] - 0\right) + \tan\left([value]\right)\left([value] - [value]\right) = \frac{\pi}{[value]}([value]) \) 2. Tosi - Integrointimuuttujan nimi ei vaikuta integraalin arvoon. 3. Tosi - \( \displaystyle \int_0^1 f'(x)\,\mathrm{d}x = f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1. \) 4. Epätosi - Selvästi nähdään, että \(\qquad \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{[value]}[value]\right) \neq [value] \). 5. Tosi - Mille tahansa vakioille \(a,b,c\) ja integroituvalle funktiolle \(f\) on voimassa \( \qquad \displaystyle \int_a^c f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \, \mathrm{d}x. \) Tässä yhteydessä \(a = 1, b = 3, c = 2\) ja \(f(x) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Määritä sopivan sijoituksen avulla

\[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x \]

Huom. arctan merkitään atan, esim. atan(1).

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x=\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x \] Sijoitetaan \(u=x+[value] \Rightarrow x=u-[value]\) \(\textrm{d}x=\textrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=[value]\) \(x=1 \Rightarrow u=[value]\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x & = & \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{1+u^2} \, \textrm{d}u \\ & = & \bigg/_{\!\!\![value]}^{\,[value]} \arctan(u) \\ & = & \arctan([value])-\arctan([value]). \end{eqnarray*}

Laske seuraavat integraalit käyttämällä annettuja sijoituksia: (a)\[ \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{sij.} \ \ u=[value]. \] (b)\[ \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{sij.} \ \ x=[value]u. \] Vihje: b)-kohdassa voi lopuksi käyttää kaavaa \[ \int \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x= \frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin(x)}{2}+ \ \text{vakio} \]

(a) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[ \int_{0}^{1/2} [value] \] Sijoitetaan \(u=[value] \Rightarrow x=[value]\) \(\mathrm{d}x={[value]} \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=1/2 \Rightarrow u={[value]}\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} \sin(u)\cdot [value] \, \mathrm{d}u \cos(u)\cdot {[value]} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} -\cos(u) \sin(u) \\ & = & [value] ( -\cos([value])+\cos(0) )=[value] ([value]+1)=[value] \sin([value])-\sin(0) ) = [value]\cdot [value]=[value] . \end{array}\] (b) \[ \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \] Sijoitetaan \(x=[value]u \Rightarrow u=\frac{x}{[value]}\) \(\mathrm{d}x = [value] \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=[value] \Rightarrow u=1\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value]-([value]u)^2} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value](1-u^2)} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \int_{0}^{1} \sqrt{1-u^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,1} \frac{u\sqrt{1-u^2}+\arcsin(u)}{2} \\ & = & [value]\cdot \frac{\arcsin(1)-\arcsin(0)}{2}=\frac{[value]}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=[value]. \end{array}\]

Laske funktion \[f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \] integraali. Luvun a luonnollinen logaritmi merkitään ln(a), esim. ln(2). Itseisarvo x merkitään abs(x).

\(\displaystyle\int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, \mathrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int \frac{x+{[value]}}{x(x-{[value]})(x+{[value]})} \, \mathrm{d}x \] Osamurtokehitelmä \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} & = & \frac{A}{x}+\frac{B}{x-[value]}+\frac{C}{x+[value]} \\ & = & \frac{A(x-[value])(x+[value])+Bx(x+[value])+Cx(x-[value])}{x(x-[value])(x+[value])} \\ & = & \frac{(A+B+C)x^2+([value]+[value]B-[value]C)x-[value]A}{x(x-[value])(x+[value])}, \end{array}\] missä \[\begin{cases} A+B+C &= 0 \\ [value]+[value]B-[value]C &= 1 \\ -[value]A &= [value]. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B+C &= [value] \\ [value]B-[value]C &= [value] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value]. \end{cases} \] Siis \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, dx & = & \int \left( [value]\cdot \frac{1}{x}+[value]\cdot \frac{1}{x-[value]}+[value]\cdot \frac{1}{x+[value]} \right) \, \mathrm{d}x \\ & = & [value]. \end{array}\]

Määrää seuraavat integraalifunktiot. Luvun \(a\) luonnollinen logaritmi merkitään muodossa ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmi kantaluku \(\mathrm{e}\) merkitään muuttujalla e, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(c) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Funktiot saadaan integroitua soveltamalla yhdistetyn funktion integrointikaavaa: \[ \int g'(x)\cdot f'(g(x)) \mathrm{d}x = f(g(x)) + C\] (a) \[ \int \cos([value]+[value]) \mathrm{d}x =[value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\cos(\overbrace{[value]+[value]}^{g(x)})}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (b) \[ \int \mathrm{e}^{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\mathrm{e}^{\overbrace{[value]}^{g(x)}}}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (c) \[ \int \frac[value]{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace[value]_{g'(x)} \overbrace{(\underbrace{[value]}_{g(x)})^{-1}}^{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\]

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle f(x)= [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Laske seuraava integraali

\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Käyttämällä kohdan (a) tulosta saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] + \frac{[value]}{[value]} \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Q: Valitse oikea vaihtoehto a- ja b-kohdan väittämille.
\( \textbf{(a)} \) Funktio \(F(x) = [value] \) on funktion \( f(x) = [value] \) integraalifunktio.
\( \textbf{(b)} \) Funktio \(G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\( \textbf{(c)} \) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( H(x) = [value] \) on funktion \( h(x) = [value] \) integraalifunktio.
\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Laskemalla \( F'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(F(x)\) on ei ole funktion \(f(x) \) integraalifunktio. \( \textbf{(b)} \) Laskemalla \( G'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(G(x)\) ei ole funktion \(g(x) \) integraalifunktio. \( \textbf{(c)} \) Laskemalla \( H'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(H(x)\) on funktion \(h(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun \( [value] = [value]\) ja \( [value] = 0 \), mistä saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: (a) Etsi funktion \(f(x)=[value]\) se integraalifunktio \(F(x)\), jonka kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta.

\(F(x) = \)

(b) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Integroimalla \(f(x)\) saadaan \(F(x)= \displaystyle \int \left( [value] +C \right) \) Tämän funktion kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta silloin, kun \(F\left([value]\right)=\displaystyle [value]\cdot\left([value]\right)^2- +[value]\cdot\left([value]\right+C=[value].\) Siis \( C= \displaystyle [value]+ -[value]\cdot\left([value]\right)^2+ -[value]\cdot\left([value]\right = [value].\) Näin ollen kysytty integraalifunktio on \(F(x)=\displaystyle [value].\) (b) Lasketaan \( G'(x)\) ja merkitään se samaksi funktion \(g(x)\) kanssa. \( G'(x) = [value] = a\, x \ln{x} +\left( a+2b \right) x = [value]\) Havaitaan, että funktio \(G(x)\) on funktion \(g(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun termien \(x \ln(x)\) kertoimet ovat samat eli \( [value] = [value]\) ja kun lisäksi funktiossa \(G'(x)\) on toisen termin \(x\):n kerroin nolla eli \( [value] = 0 \). Yhtälöpari ratkaisemalla saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Määritä sellainen funktio \(y\), että kaikilla \(x\) pätee

\[y(x)=[value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]} y(t) \, \textrm{d}t. \]

Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella \(y\) on muotoa \(y(x)=[value]+Ax^{[value]}\), missä \(A\) on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten \(A\) täytyy valita.

\(y(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: \(y\colon [0,[value]]\to \mathbb{R} \ \ \ \ x\in [0,[value]]\) \[y(x)=[value]+x^{[value]}\underbrace{\int_{0}^{[value]}y(t) \, \textrm{d}t}_{A} \ \ \Vert y(x)=[value]+Ax^{[value]} \] \begin{eqnarray*} y(x) & = & [value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]}([value]+At^{[value]}) \, \textrm{d}t \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \int_{0}^{[value]}[value] \, \textrm{d}t + \int_{0}^{[value]}At^{[value]} \, \textrm{d}t\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}[value]t+\bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}\frac{1}{[value]}At^{[value]}\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}(([value]-0)+(\frac{1}{[value]}A\cdot [value]^{[value]}-\frac{1}{[value]}A\cdot 0^[value])) \\ & = & [value]+x^{[value]}([value]+[value]A) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow A & = & [value]+[value]A \\ [value]A & = & [value] \\ A & = & [value] \end{eqnarray*} \[\Rightarrow y(x)=[value] \]

Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x \]

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(c) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Mallivastaus: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Jänne tarkoittaa ympyrän kahden pisteen välistä janaa. Jos jänne kulkee ympyrän keskipisteen kautta, sitä sanotaan ympyrän halkaisijaksi. Oletetaan, että \(n \in \mathbb{N}\) ja \(n \geq 1\). Tarkastellaan tilannetta, jossa ympyrälle piirretään \(n\) jännettä.

Olkoon \(P(n)\) väite

"\(n\) jänteen rajaamat alueet voidaan värittää kahdella värillä niin, että mitkään kaksi vierekkäistä aluetta eivät ole samanväriset".

Alla olevassa on havainnoillistettu väitteitä \(P(1)\) ja \(P(2)\). Piirrä lisää kuvia ja tutki, päteekö väite \(P(n)\) mielestäsi pienillä luvun \(n\) arvoilla.

[Image]

Täydennä väitteen induktiotodistus.

Todistus

Alkuaskel: Näytetään, että väite pätee luvulla \(n=\) . Kun jänteitä piirretään  , ympyrä jakautuu alueisiin, joiden lukumäärä on . Kun alueita on  , ne voidaan värittää eri värillä. Tällöin kaikki syntyneet alueet ovat eri värisiä, joten väite pätee luvulla \(n=\) .

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \). Näytetään, että väite pätee tällöin myös siinä tapauksessa, että jänteiden lukumäärä on  .

Tarkastellaan jotakin ympyrää, johon on piirretty  jännettä. Poistetaan jänteistä yksi. Induktio-oletuksen perusteella näin syntyneet alueet voidaan värittää kahdella värillä siten, että mitkään vierekkäiset alueet eivät ole samanväriset. Palautetaan sitten poistettu jänne kuvaan. Tarkastellaan palautetun jänteen yhdellä puolella olevia alueita ja vaihdetaan näiden jokaisen väri.

Näytetään täsmällisesti, että kaikki vierekkäiset alueet ovat nyt eri väriset. Tarkastellaan joitakin vierekkäisiä alueita \(A\) ja \(B\). On kaksi tapausta.

1. Jos \(A\) ja \(B\) ovat palautetun jänteen samalla puolella, ne olivat alun perin eri värisiä. Tällöin joko niiden väriä ei vaihdettu tai molempien väri vaihdettiin. Ne ovat siis edelleen eri värisiä.

2. Jos \(A\) ja \(B\) ovat palautetun jänteen eri puolilla, niin ne olivat alun perin osa samaa aluetta ja siis samanväriset. Kun jänne palautettiin, vain toisella puolella olevan alueen väri vaihdettiin, joten lopulta alueet \(A\) ja \(B\) ovat eri väriset.

Näin ollen väritys voidaan tehdä vaaditulla tavalla, joten väite pätee myös luvulla  .

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Näytetään, että väite pätee luvulla \(n=1\). Kun jänteitä piirretään \(1\), ympyrä jakautuu alueisiin, joiden lukumäärä on \(2\). Kun alueita on \(2\), ne voidaan värittää eri värillä. Tällöin kaikki syntyneet alueet ovat eri värisiä, joten väite pätee luvulla \(n=1\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \). Näytetään, että väite pätee tällöin myös siinä tapauksessa, että jänteiden lukumäärä on \(k+1\). Tarkastellaan jotakin ympyrää, johon on piirretty \(k+1\) jännettä. Poistetaan jänteistä yksi. Induktio-oletuksen perusteella näin syntyneet alueet voidaan värittää kahdella värillä siten, että mitkään vierekkäiset alueet eivät ole samanväriset. Palautetaan sitten poistettu jänne kuvaan. Tarkastellaan palautetun jänteen yhdellä puolella olevia alueita ja vaihdetaan näiden jokaisen väri. Näytetään täsmällisesti, että kaikki vierekkäiset alueet ovat nyt eri väriset. Tarkastellaan joitakin vierekkäisiä alueita \(A\) ja \(B\). On kaksi tapausta. 1. Jos \(A\) ja \(B\) ovat palautetun jänteen samalla puolella, ne olivat alun perin eri värisiä. Tällöin joko niiden väriä ei vaihdettu tai molempien väri vaihdettiin. Ne ovat siis edelleen eri värisiä. 2. Jos \(A\) ja \(B\) ovat palautetun jänteen eri puolilla, niin ne olivat alun perin osa samaa aluetta ja siis samanväriset. Kun jänne palautettiin, vain toisella puolella olevan alueen väri vaihdettiin, joten lopulta alueet \(A\) ja \(B\) ovat eri väriset. Näin ollen väritys voidaan tehdä vaaditulla tavalla, joten väite pätee myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).

Oletetaan, että \(z \in \mathbb{C}\). Pyritään todistamaan, että \(|z^n|=|z|^n\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n \geq 1\). Todistuksessa käytetään apuna kurssimateriaalin tulosta 7.4.6.

Täydennä väitteen induktiotodistus.

Todistus

Alkuaskel: Väite pätee luvulla \(n= \) , koska \(|z^1|=|z| =|z|^1\).

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \). Tällöin \(|z^k|=|z|^k\).

Näytetään, että väite pätee tällöin myös luvulla :

\( |z^{k+1}|\overset{(1)}=|z^k \cdot z|\overset{(2)}= |z^k| \cdot |z| \overset{(3)}=|z|^k \cdot |z | \overset{(4)}=|z|^{k+1}.\)

Kohdassa (numero 1-4)  käytettiin lausetta 7.4.6 ja kohdassa (numero 1-4)  induktio-oletusta.

Väite pätee siis myös luvulla .

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa  nojalla, että väite pätee  \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).

Määritä vielä lopuksi kompleksiluvun \(z=([value]+[value]i)^{[value]}\) itseisarvo.

\(|z|= \)
Feedback: Todistus Alkuaskel: Väite pätee luvulla \(n=1\), koska \(|z^1|= |z| =|z|^1\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \). Tällöin \(|z^k|=|z|^k\). Näytetään, että väite pätee tällöin myös luvulla \(k+1\): \( |z^{k+1}|\overset{(1)}=|z^k \cdot z|\overset{(2)}=|z^k| \cdot |z| \overset{(3)}=|z|^k \cdot |z | \overset{(4)}=|z|^{k+1}.\) Kohdassa \(2\) käytettiin lausetta 7.4.6 ja kohdassa \(3\) induktio-oletusta. Väite pätee siis myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \). Käyttämällä äsken osoitettua tulosta saadaan \(|z|= |([value]+[value]i)^{[value]}|= |[value]+[value]i|^{[value]}=(\sqrt{[value]^2+[value]^2})^{[value]}=[value]\).

Osoitetaan, että \( [value]^n+[value]n-1 \) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n \geq 1\).
Täydennä väitteen induktiotodistus.

Todistus

Alkuaskel: Näytetään, että väite pätee luvulla \(n=\) . Tällöin \( [value]^n+[value]n-1 =\) , joka on jaollinen luvulla \([value]\). Näin ollen väite pätee luvulla \(n=\) .

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, eli oletetaan, että väite pätee  \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\). Induktio-oletuksen nojalla siis \( [value]^k+[value]k-1 = [value]q\) jollain \(q \in \mathbb{Z}\). Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että \( [value]^k= \) .

Näytetään, että väite pätee tällöin myös luvulla \(k+1\). Nyt

\([value]^{k+1}+[value](k+1)-1 = [value] \cdot [value]^k + [value]k+[value]-1 \)

                                          \(\overset{\text{IO}}= [value](\) \()+ [value]k+[value]\)

                                          \(= [value]q+[value]-[value]k+[value]k+[value] \)

                                          \(= [value]q-[value]k+[value] \)

                                          \(= [value](\) \(),\)

missä \(\in \mathbb{Z}\). Kohdassa \(\text{IO}\) käytettiin induktio-oletusta.

Näin ollen luku \([value]^{k+1}+[value](k+1)-1\) on jaollinen luvulla \([value]\), joten väite pätee myös luvulla \(k+1\).

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee  \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Näytetään, että väite pätee luvulla \(n=1\). Tällöin \( [value]^n+[value]n-1 =[value]\), joka on jaollinen luvulla \([value]\). Näin ollen väite pätee luvulla \(n=1\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, eli oletetaan, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\). Induktio-oletuksen nojalla siis \( [value]^k+[value]k-1 = [value]q\) jollain \(q \in \mathbb{Z}\). Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että \( [value]^k=[value]q+1-[value]k \). Näytetään, että väite pätee tällöin myös luvulla \(k+1\). Nyt \([value]^{k+1}+[value](k+1)-1 = [value] \cdot [value]^k + [value]k+[value]-1 \) \(\overset{\text{IO}}= [value]([value]q+1-[value]k)+ [value]k+[value]\) \(= [value]q+[value]-[value]k+[value]k+[value] \) \(= [value]q-[value]k+[value] \) \(= [value]([value]q-[value]k+[value]),\) missä \([value]q-[value]k+[value] \in \mathbb{Z}\). Kohdassa \(\text{IO}\) käytettiin induktio-oletusta. Näin ollen luku \([value]^{k+1}+[value](k+1)-1\) on jaollinen luvulla \([value]\), joten väite pätee myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).

Induktiotodistusta voi käyttää lukemattomien erilaisten väitteiden todistamiseen. Seuraavassa tehtävässä todistettava väite ei ole kaava tai epäyhtälö, mutta induktiota voi silti käyttää todistuksessa tavalliseen tapaan. Vähän samantapainen tilanne on kurssimateriaalin esimerkissä 4.1.6. Tutustu tuohon esimerkkiin ja matki sen rakennetta. Kiinnitä erityisesti huomiota siihen, miten induktioaskelta lähdetään todistamaan sen jälkeen, kun on tehty induktio-oletus.

Tarkastellaan kolmea pylvästä \(A, B\) ja \(C\), joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita. Lähtötilanteessa renkaat ovat pylväässä \(A\) suuruusjärjestyksessä suurin alla, pienin päällä kuten alla olevassa kuvassa.

[Image]

Renkaat on siirrettävä pylvääseen \(C\). Vain yhtä rengasta saa siirtää kerrallaan ja missään vaiheessa ei pienempi rengas saa olla suuremman alla. Pyrkimyksenä on osoittaa induktiolla, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\) pätee

"jos renkaiden lukumäärä on \(n\), niin \(2^n-1\) siirtoa riittää niiden siirtämiseen".

Täydennä induktiotodistuksen vaiheet.

Todistus

Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee pienimmällä renkaiden määrällä, siis kun \(n= \) . Tällöin \(2^n-1= \)  . Toisaalta jos renkaita on  , niin siirtoja tarvitaan  , jotta kaikki renkaat saadaan siirrettyä pylväästä \(A\) pylvääseen \(C\). Siis alkuaskel pätee.

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), eli jos renkaiden lukumäärä on \(k\), niin  siirtoa riittää niiden siirtämiseen. Näytetään, että tällöin väite pätee myös siinä tapauksessa, kun renkaiden lukumäärä on  .

Tarkastellaan väitettä luvun  tapauksessa: kuvitellaan  renkaasta muodostunut torni pylvääseen \(A\). Jaetaan tarkastelu kolmeen vaiheeseen:

1. Ensin induktio-oletuksen mukaisesti tornin ylimmät  rengasta voidaan siirtää pylvääseen \(B\) käyttämällä korkeintaan  siirtoa.

2. Seuraavaksi siirretään suurin rengas, jonka päällä ei enää ole renkaita, pylvääseen \(C\).

3. Lopuksi käyttämällä uudestaan induktio-oletusta saadaan \(k\) renkaasta muodostuva torni siirrettyä pylväästä \(B\) pylvääseen \(C\) suurimman renkaan päälle  siirrolla.

Yhteensä siirtoja tehtiin siis .

Näin ollen väite pätee myös luvulla .

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa  induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee pienimmällä renkaiden määrällä, siis kun \(n= 1\). Tällöin \(2^n-1= 1\) . Toisaalta jos renkaita on \(1\), niin siirtoja tarvitaan \(1\), jotta kaikki renkaat saadaan siirrettyä pylväästä \(A\) pylvääseen \(C\). SIis alkuaskel pätee. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), eli jos renkaiden lukumäärä on \(k\), niin \(2^k-1\) siirtoa riittää niiden siirtämiseen. Näytetään, että tällöin väite pätee myös siinä tapauksessa, kun renkaiden lukumäärä on \(k+1\). Tarkastellaan väitettä luvun \(k+1\) tapauksessa: kuvitellaan \(k+1\) renkaasta muodostunut torni pylvääseen \(A\). Jaetaan tarkastelu kolmeen vaiheeseen: 1. Ensin induktio-oletuksen mukaisesti tornin ylimmät \(k\) rengasta voidaan siirtää pylvääseen \(B\) käyttämällä korkeintaan \(2^k-1\) siirtoa. 2. Seuraavaksi siirretään suurin rengas, jonka päällä ei enää ole renkaita, pylvääseen \(C\). 3. Lopuksi käyttämällä uudestaan induktio-oletusta saadaan \(k\) renkaasta muodostuva torni siirrettyä pylväästä \(B\) pylvääseen \(C\) suurimman renkaan päälle \(2^k-1\) siirrolla. Yhteensä siirtoja tehtiin siis \(2^{k+1}-1\). Näin ollen väite pätee myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).

Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti asettamalla \( F_0=0, F_1=1 \) ja lisäksi

\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \geq 2 \).

Tarkastellaan väitettä

\( F_n \geq \left( \frac{3}{2} \right)^{n-2}\)

kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).

Täydennä väitteen induktiotodistuksen rakenne.

Todistus

Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvuilla \(n=\) ja \(n=\) .

Näissä tilanteissa epäyhtälön oikealle puolelle saadaan  ja  (anna pienempi luku ensin). Koska \(F_1=F_2=\) , alkuaskel pätee.

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan, että \(k \geq 1\) on luonnollinen luku ja väite pätee kaikilla \(j \in \{1, \ldots, k\}\).

Tarkastellaan väitettä luvulla  . Alkuaskeleessa tarkistettiin jo väite luvuilla  ja  , joten voidaan olettaa tässä, että \(k \geq 2\). Tällöin \(k+1 \geq 3\), joten voidaan käyttää Fibonaccin lukujonon määritelmän rekursiokaavaa. Lisäksi \(k \geq 2\) ja \(k-1 \geq 1\), joten induktio-oletusta voidaan soveltaa lukuihin \(k\) ja \(k-1\).

Induktio-oletuksen mukaan pätee siis \(F_k \geq\) ja \(F_{k-1} \geq\) , joten saadaan

\( F_{k+1} \overset{(1)} = F_k + F_{k-1} \overset{(2)} \geq \left( \frac{3}{2} \right)^{k-2} + \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3} \overset{(3)} \geq \left( \frac{3}{2} +1 \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3} \overset{(4)} \geq \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3}. \)

Rekursioyhtälöä käytettiin kohdassa (numero 1-4)  ja induktio-oletusta kohdassa (numero 1-4)  .

Toisaalta \( \left( \frac{3}{2} \right)^{(k+1)-2}= \) \(\cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{k-3}\).

Yllä olevista laskuista nähdään, että väite pätee myös luvulla .

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvuilla \(n=1\) ja \(n=2\). Näissä tilanteissa epäyhtälön oikealle puolelle saadaan \(\frac{2}{3}\) ja \(1\). Koska \(F_1=F_2=1\), väite alkuaskel pätee. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan, että \(k \geq 1\) on luonnollinen luku ja väite pätee kaikilla \(j \in \{1, \ldots, k\}\). Tarkastellaan väitettä luvulla \(k+1\). Alkuaskeleessa tarkistettiin jo väite luvuilla \(1\) ja \(2\), joten voidaan olettaa tässä, että \(k \geq 2\). Tällöin \(k+1 \geq 3\), joten voidaan käyttää Fibonaccin lukujonon määritelmän rekursiokaavaa. Lisäksi \(k \geq 2\) ja \(k-1 \geq 1\), joten induktio-oletusta voidaan soveltaa lukuihin \(k\) ja \(k-1\). Induktio-oletuksen mukaan pätee siis \(F_k \geq \left( \frac{3}{2} \right)^{k-2}\) ja \(F_{k-1} \geq \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3}\), joten saadaan \( F_{k+1} \overset{(1)} = F_k + F_{k-1} \overset{(2)} \geq \left( \frac{3}{2} \right)^{k-2} + \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3} \overset{(3)} \geq \left( \frac{3}{2} +1 \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3} \overset{(4)} \geq \frac{5}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{k-3}. \) Rekursioyhtälöä käytettiin kohdassa \(1\) ja induktio-oletusta kohdassa \(2\). Toisaalta \( \left( \frac{3}{2} \right)^{(k+1)-2}=\frac{9}{4}\cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{k-3}\). Yllä olevista laskuista nähdään, että väite pätee myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \).

Pyritään osoittamaan, että \(2^n > 4n\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n > 4\).

Täydennä väitteen induktiotodistus.

Todistus

Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvulla \(n= \) . Tällöin \(2^n= \)  ja \(4n= \)  , joten väite pätee, kun \(n= \) .

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N}\), \(k > 4\). Tällöin \(2^k > 4k\).

Näytetään sitten, että väite pätee tällöin myös luvulla  . Nyt

\( 2^{k+1} \overset{(1)} = 2 \cdot 2^k \overset{(2)} = 2^k+2^k \overset{(3)} > 4k+4k \overset{(4)} > 4k+4 \overset{(5)} = 4(k+1). \)

Kohdassa (numero 1-5)  käytettiin induktio-oletusta ja kohdassa (numero 1-5)  tietoa \(k>4\).

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 4\).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvulla \(n=5\). Tällöin \(2^n=32\) ja \(4n=20\), joten väite pätee, kun \(n=5\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N}\), \(k > 4\). Tällöin \(2^k > 4k\). Näytetään sitten, että väite pätee tällöin myös luvulla \(k+1\). Nyt \( 2^{k+1} \overset{(1)} = 2 \cdot 2^k \overset{(2)} = 2^k+2^k \overset{(3)} > 4k+4k \overset{(4)} > 4k+4 \overset{(5)} = 4(k+1). \) Kohdassa \(3\) käytettiin induktio-oletusta ja kohdassa \(4\) tietoa \(k>4\). Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 4\).

Tämä tehtävä on jatkoa binääripuita käsittelevälle tehtävälle.

Tarkastellaan sukupuuta, joka muodostuu seuraavasti:
1. Jos henkilön vanhemmat eivät ole tiedossa, henkilöstä ei lähde lainkaan nuolia.
2. Jos henkilön vanhemmat ovat tiedossa, henkilöstä vedetään nuoli kumpaankin vanhempaan.
3. Tämä sääntö toistetaan jokaisen henkilön kohdalla uudestaan.

[Image]

Osoita induktiolla, että \(n \geq 1\) sukupolvea näyttävä puu koostuu enintään \(2^n - 1\) ihmisestä.

Todistus. Alkuaskel. Osoitetaan, että väite pätee luvulla \(n = \) . Kun sukupolvia on , niin ihmisiä sukupuussa on . Toisaalta \(2^n - 1 = \) , joten väite pitää paikkansa.

Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin positiivisella kokonaisluvulla \(k\). Osoitetaan, että tällöin väite pätee myös luvulla . Induktio-oletuksen nojalla \(k\) nuorimmassa sukupolvessa on yhteensä enintään ihmistä. Vanhimmassa eli :nnessä sukupolvessa taas on enintään (Vihje: voit katsoa apua täydellisiä binääripuita koskevasta tehtävästä) ihmistä. Kaiken kaikkiaan sukupuussa on siis enintään ihmistä, mikä haluttiin osoittaa.

Induktioperiaatteen nojalla väite pätee nyt kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\).
Feedback: Todistus muutamalla lisähuomiolla varustettuna: Todistus. Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee luvulla \(1\). Kun sukupolvia on \(1\), on ihmisiä sukupuussa \(1\) (tehtävän kuvaa "luetaan" alhaalta ylöspäin; kyseessä on siis puun juurisolmu). Toisaalta \(2^1 - 1 = 2 - 1 = 1\), joten väite pätee luvulla \(1\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin positiivisella kokonaisluvulla \(k\). Osoitetaan, että tällöin väite pätee myös luvulla \(k + 1\). Induktio-oletuksen nojalla puun \(k\) nuorimmassa sukupolvessa on yhteensä enintään \(2^k - 1\) ihmistä. Vanhimmassa eli \(k + 1\):nnessä sukupolvessa ihmisiä on enintään \(2^k\). (Jos puun kaikki tasot ovat täynnä eli jokaisella henkilöllä on molemmat vanhemmat tiedossa, niin alhaalta laskettuna \(m\):nnellä tasolla on \(2^{m-1}\) solmua.) Yhteensä ihmisiä \(k + 1\) polvessa on siis enintään \(2^k - 1 + 2^k = 2 \cdot 2^k - 1 = 2^{k+1} - 1\), mikä haluttiin osoittaa. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\).

Todistetaan induktiolla Bernoullin epäyhtälö: jos \(x \in \mathbb{R}\) ja \(x > -1\), niin \((1+x)^n \geq 1+nx\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Alkuaskel: Tutkitaan, päteekö väite luvulla . Epäyhtälön vasen puoli saa tällöin arvon ja oikea puoli arvon . Siis väite pitää paikkansa luvulla .

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin luonnollisella luvulla \(n\). Halutaan näyttää, että väite pätee tällöin myös luvulla . Nyt

\((1+x)^{n+1} \overset{(1)}= \) \((1+x)\)
\( \overset{(2)}\geq (\) \() (1+x)\)
\( \overset{(3)}= 1+(n+1)x+nx^2\)
\( \overset{(4)}\geq \) ,

missä viimeinen epäyhtälö seuraa siitä, että \(nx^2 \geq 0\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Siten väite pätee myös luvulla . Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa (anna vastaukseksi numero 1–4) .

Induktioperiaatteen nojalla väite pätee nyt kaikilla luonnollisilla luvuilla.
Feedback: Alkuaskel: Tutkitaan, päteekö väite luvulla \(0\). Epäyhtälön vasen puoli saa tällöin arvon \(0\) ja oikea puoli arvon \(1\). Siis väite pitää paikkansa luvulla \(0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin luonnollisella luvulla \(n\). Halutaan näyttää, että väite pätee tällöin myös luvulla \(n+1\). Nyt \((1+x)^{n+1} \overset{(1)}= (1+x)^n (1+x)\) \( \overset{(2)}\geq (1+nx) (1+x)\) \( \overset{(3)}= 1+(n+1)x+nx^2\) \( \overset{(4)}\geq 1+(n+1)x\), missä viimeinen epäyhtälö seuraa siitä, että \(nx^2 \geq 0\). Siten väite pätee myös luvulla \(n+1\). Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa 2. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee nyt kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Funktioiden \(f,g\) kuvaajat rajaavat yhdessä \(x\)-akselin ja pystysuorien \(y=\) vakio kanssa tasojoukkoja. Määritä niiden pinta-alat, kun

(a) \[f(x)=1/x^{[value]},~~~0 < x \leq 1 \] (b) \[g(x)=1/x^{[value]}, \ \ \ x\geq 1. \]

Anna vastaukset tarkkoina arvoina. \(\infty\) merkitään \({\tt inf}\).

Vastaus (a):

Vastaus (b):
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{align*} A =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{x^[value]} \, dx \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} x^{[value]} \, dx \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} -\frac{x^{[value]}}{[value]} \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} [value] \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \left( -\frac{1}[value]+\underbrace{\frac{1}{[value] \varepsilon}}_{\infty} \right) \\ \\ \\ =&\infty \\ \end{align*} (b) \[\begin{align*} A =&\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{[value]}} \\ \\ =&\bigg/_{\!\!\!1}^{\,\infty} [value] \\ \\ \\ =&-\underbrace{\frac{1}{\infty}}_{0}+\frac{1}{[value]} \\ =&[value]. \\ \end{align*}\]

Olkoot \(a, b \in \mathbb{R}\). Osoita, että jos \(a < b\), niin \(\frac{a+b}{2} < b\).

Väitteelle tulee laatia .

Todistus. Oletetaan, että . Tästä seuraa, että
\(a + b < \) .
Jakamalla epäyhtälön molemmat puolet luvulla , saadaan epäyhtälö sievennettyä muotoon . Väite on todistettu.
Feedback: Todistus. Oletetaan, että \(a < b\). Tästä seuraa, että \(a + b < b + b\), mikä voidaan kirjoittaa myös muodossa \(a + b < 2b\). Jakamalla epäyhtälö puolittain luvulla \(2\), saadaan epäyhtälö muotoon \(\frac{a+b}{2} < b\). Väite on todistettu.

Tämä tehtävä liittyy geometrisiin sarjoihin, joista voit lukea kurssimateriaalin luvusta 8.2.

Tässä tehtävässä desimaalilukuja ei hyväksytä vastaukseksi vaan on käytettävä murtolukuja. Syötä murtoluvut muodossa 2/3. Voit myös syöttää vastauksen lukulausekkeena, esim. ((1-1/2)^3)/4.

Sinun on vastattava sekä a- että b-kohdassa kaikkiin alakohtiin ennen kuin saat kyseisestä kohdasta palautetta.

a) Laske seuraavien geometristen sarjojen \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k\) osasummat, kun

i) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

ii) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

iii) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

b) Suppenevatko edelliset sarjat, kun \(n\) päästetään kasvamaan rajatta? Jos sarja suppenee, laske sen summa. Vastaukseksi kelpaa joko sarjan summa, jos sarja suppenee, tai inf, mikäli sarja hajaantuu (eli \( \sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \infty \)).

i) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)

ii) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)

iii) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)
Feedback: a) Lasketaan summat materiaalin lauseen 8.2.8 avulla. Jokaisen summan kohdalla pätee \(a, q \in \mathbb{R}, q \neq 1\) ja \(n \in \mathbb{N}, n \neq 0\). Voimme siis käyttää lausetta osasummien laskemiseen. i) \begin{align*} S_[value] &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot [value]^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-[value]^[value]}{1-[value]}\\ &= [value] \end{align*} ii) \begin{align*} S_[value] &=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot \left([value]\right)^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-\left([value]\right)^[value]}{1-\left([value]\right)}\\ &= [value] \end{align*} iii) \begin{align*} S_[value] &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot \left([value]\right)^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-\left([value]\right)^[value]}{1-[value]}\\ &= [value] \end{align*} b) Materiaalin lauseen 8.2.12. mukaan geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos sen suhdeluvulle \(q\) pätee \(-1<q<1\). Tällöin saamme summan laskettua kaavalla \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \frac{a}{1-q}\). Näin ollen: i) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot [value]^k \) ei suppene, sillä \([value] < 1.\) Tällöin \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot [value]^k = \infty\), joten sarja hajaantuu. ii) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \) suppenee, sillä \(-1 < [value] < 0.\) Sarjan summa on \[ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \overset{L.8.2.12}{=} \frac[value]{1-\left([value]\right)} =\frac[value][value] = [value] \]. iii) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \) suppenee, sillä \(0 < [value] < 1.\) Sarjan summa on \[ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \overset{L.8.2.12}{=} \frac[value]{1-[value]} = \frac[value][value]= [value] \].

Eräässä yliopistossa irtisanottiin yt-neuvotteluissa joka kevät 10 % tutkijoista, ja kesäisin tilannetta yritettiin korjata rekrytoimalla \([value]\) uutta tutkijaa.

Tarkastellaan lukujonoa \((a_n)\), jossa jäsen \(a_n\) ilmaisee tutkijoiden määrän vuoden \(n\) syyslukukauden alussa (\(n = 0\) vastaa vuotta 2018).

a) Muodosta rekursioyhtälö, joka kertoo, miten \(a_{n+1}\) riippuu luvusta \(a_n\). Kirjoita luku \(a_n\) muodossa an.

\( a_{n+1} =\)

b) Tuntematon luku \(a_0\) ilmaisee tutkijoiden määrän syyslukukauden 2018 alussa. Kirjoita lausekkeet, joka kuvaavat tutkijoiden määrää yhden, kahden ja kolmen vuoden kuluttua riippuen alkuarvosta \(a_0\). Kirjoita luku \(a_0\) muodossa a0. Lausekkeet eivät saa riippua muista muuttujista.

\( a_1 =\)

\( a_2 =\)

\( a_3 =\)

c) Jatkamalla samaan tapaan voidaan päätellä yleinen kaava luvulle \(a_n\). Täytä alla olevaan kaavaan puuttuvat osat. Kirjoita jälleen luku \(a_0\) muodossa a0.

\(a_n = \) \( + \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \)

d) Oletetaan, että vuoden 2019 kevätlukukauden alussa yliopistossa oli \([value]\) tutkijaa. Jos tilanne jatkuu samankaltaisena, arvioi geometrisen sarjan summakaavan avulla tutkijoiden lukumäärää 20 vuoden kuluttua. Pyöristä lopputulos alaspäin kokonaisluvuksi.

\(a_{20} = \)
Feedback: Ratkaisu a) Koska keväisin 10 % tutkijoista irtisanotaan ja 90 % jää jäljelle, ja kesän jälkeen [value] uutta tutkijaa aloittaa työnsä, niin seuraavan syyslukukauden alussa tutkijoita on \(a_{n+1} = 0.9a_n + [value].\) b) Lasketaan rekursioyhtälöä käyttäen: \( a_1 = [value] \) \( a_2 = [value]\cdot([value])+[value] = [value] \) \( a_3 = [value]\cdot([value])+[value] = [value]. \) c) Edellisestä kohdasta huomataan, että alkuperäinen lukumäärä \(a_0\) tulee joka vuosi kerrottua luvulla 0.9. Tähän lisätään joka vuosi luku [value], joka tulee myös kerrottua luvulla 0.9 kaikkina lisäystä seuraavina vuosina. Näin ollen yhteismääräksi tulee \[ a_n=0.9^n \cdot a_0 + \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}0.9^j\cdot [value]. \] d) Käytetään geometrisen sarjan summakaavaa. Kahdenkymmenen vuoden kuluttua tutkijamäärä yliopistolla on \[ \begin{split} a_{20} &= 0.9^{20}\cdot a_0 + \sum_{j = 0}^{20-1} 0.9^j\cdot [value]= 0.9^{20}\cdot [value] + \sum_{j = 0}^{19} 0.90^j \cdot [value] \\ &= 0.90^{20}\cdot[value] +[value] \cdot \frac{1-0.90^{20}}{1-0.90} \approx [value].\end{split}\]

Tämä tehtävä liittyy geometrisiin lukujonoihin, joista voit lukea kurssimateriaalin luvusta 8.2.

Pohdi kohdissa a) ja b), voisiko lukujono olla geometrinen? Jos jono on geometrinen, laske myös jonon suhdeluku.

a) \([value], [value], [value], [value], \dots\)

Lukujono voi olla geometrinen?

Mikä on jonon suhdeluku? Jos jono ei ole geometrinen, vastaa 0.

b) \([value], [value], [value], [value], \dots\)

Lukujono voi olla geometrinen?

Mikä on jonon suhdeluku? Jos jono ei ole geometrinen, vastaa 0.

Kohdissa c) ja d) laske lukujonon \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) neljä ensimmäistä termiä ja kerro, onko lukujono geometrinen.

 c) \(a_0 = [value]\) ja \(a_n = na_{n-1}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus\{0\}\).

\( a_0 = \)
\( a_1 = \)
\( a_2 = \)
\( a_3 = \)

Onko lukujono geometrinen?

 d) \(a_n = 1+\sum_{i=0}^n 2^i\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

\( a_0 = \)
\( a_1 = \)
\( a_2 = \)
\( a_3 = \)

Onko lukujono geometrinen?
Feedback: a) Lukujono voi olla geometrinen, sillä sen ensimmäiset jäsenet kasvavat samassa suhteessa. Suhdeluku eli kahden perättäisen jäsenen välinen suhde on koko ajan [value]. Nimittäin: \([value]=[value]\cdot [value]\), \([value]=[value]\cdot [value]\) ja \([value]=[value]\cdot [value]\). b) Lukujono ei ole geometrinen, sillä esimerkiksi kahden ensimmäisen jäsenen suhde on \([value] / [value] = [value]\), mutta neljännen ja kolmannen jäsenen suhde on \([value] / [value] = [value]\). c) Lasketaan: \begin{align*} a_0 &= [value] \\ a_1 &= 1\cdot [value] = [value] \\ a_2 &= 2\cdot [value] = [value] \\ a_3 &= 3\cdot [value] = [value].\end{align*} Lukujono ei ole geometrinen. Esimerkiksi ensimmäisten kahden jäsenen suhde on \(a_1/a_0=[value]/[value]=[value]\), mutta seuraavien jäsenten suhde on \(a_2/a_1=[value]/[value]=[value]\). d) Lasketaan: \begin{align*} a_0 &= 1+2^0 = 1+1=[value] \\ a_1 &= 1+(2^0+2^1) = 1+(1+2)=[value] \\ a_2 &= 1+(2^0+2^1+2^2) = 1+(1+2+4)=[value] \\ a_3 &= 1+(2^0+2^1+2^2+2^3) = 1+(1+2+4+8)=[value]. \end{align*} Lukujono on geometrinen. Tämän voi arvata ensimmäisten jäsenten perusteella, mutta tarkkaan päättelyyn voidaan käyttää esimerkiksi geometrisen sarjan osasummien kaavaa. Sen mukaan \[\sum_{i=0}^n 2^i = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} = \frac{1-2^{n+1}}{-1} = 2^{n+1}-1,\] joten peräkkäisten jäsenten suhde on \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1+(2^{n+2}-1)}{1+(2^{n+1}-1)} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2.\] Jos olet pelannut peliä 1024 tai sen varianttia, saatat huomata tässä kohdassa yhtäläisyyden kyseisen pelin kanssa.

Tässä tehtävässä tutkitaan kompleksitasoa GeoGebra-sovelmien avulla. Sovelmat ovat vain havainnollistamisen apuna, eikä niitä arvioida.

a) Tarkastellaan kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)+(-4+2i)=-1+3i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua yhteenlaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen yhteenlaskusta sovelman avulla? Jos olet käynyt lineaarialgebran kurssin, osaatko verrata kompleksilukujen yhteenlaskua vektorien yhteenlaskuun? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Kun olet pohtinut kompleksilukujen yhteenlaskua, tutki seuraavan kuvan kompleksilukuja \(z\) ja \(w\).

Mikä kompleksiluvuista A–E on yhteenlaskun \(z+w\) tulos?

b) Tarkastellaan kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)\cdot(-1+2i)=-5+5i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua kertolaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen kertolaskusta sovelman avulla? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Tarkastellaan vielä kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)\cdot(-1-i)=-2-4i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua kertolaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen kertolaskusta sovelman avulla? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Kun olet pohtinut kompleksilukujen kertolaskua, tutki jälleen seuraavan kuvan kompleksilukuja \(z\) ja \(w\).

Mikä kompleksiluvuista A–E on kertolaskun \(z\cdot w\) tulos?
Feedback: a) Kompleksilukujen yhteenlasku muistuttaa vektorien yhteenlaskua. Asettamalla lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavat nuolet peräkkäin saadaan lukua A vastaava nuoli. b) Kompleksilukujen kertolaskussa lukuja vastaavat nuolet kiertyvät. Itse asiassa jos lasketaan lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavien nuolten kulmat reaaliakselin positiivisesta osasta, lukujen tuloa \(z\cdot w\) vastaavan nuolen kulma on näiden kulmien summa. Sillä tavoin nähdään, että etsitty luku voisi olla C. Lisäksi mitä pidempiä lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavat nuolet ovat, sitä pidempi on lukujen tuloa \(z\cdot w\) vastaava nuoli.

Tässä tehtävässä tutustutaan kompleksiluvun itseisarvon geometriseen tulkintaan.

a) Tutkitaan ensin GeoGebran avulla itseisarvolausekkeiden geometriaa. GeoGebra-sovelmat ovat vain havainnollistamista varten, eli niitä ei arvioida. Kuvan pisteitä ei siis tarvitse saada täsmälleen oikeaan paikkaan. Ne palautuvat alkuasemaan aina, kun sivu latautuu uudestaan.

i) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että jokaisen itseisarvo on 2, eli \(|z_i|=2\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen sijaintia kompleksitasossa, joiden itseisarvo on 2?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?
3. Mitä yhteistä havainnoillasi on reaalilukujen itseisarvon kanssa?

ii) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että \(|z_i - w|=2\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen \(z\) sijaintia kompleksitasossa, joille pätee \(|z - w|=2\)?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?
3. Mitä yhteistä havainnoillasi on reaalilukujen itseisarvon kanssa?

iii) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että \(|z_i - w_1|=|z_i-w_2|\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen \(z\) sijaintia kompleksitasossa, joille pätee \(|z - w_1|=|z-w_2|\)?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?

Oletko pohtinut kysymyksiä?

Selvitetään vielä täsmällisesti sen kuvion yhtälö, joka muodostui yllä olevassa kohdassa iii). Tutkitaan sitä varten kompleksimuuttujan \(z\) yhtälöä \(|z - (3+i)|=|z-(-1+3i)|\) ja etsitään ne pisteet \(z=x+yi\), joilla kyseinen yhtälö pätee.

b) Sijoita ensin \(z=x+yi\) yhtälön molemmille puolille. Itseisarvo sisältää neliöjuuren. Kirjoita alla oleviin kenttiin neliöjuuren alle tulevat lausekkeet. Lausekkeet saavat sisältää vain muuttujia \(x\) ja \(y\).

\(\sqrt{}\) \({}=\sqrt{}\)

c) Sievennä sitten saamasi yhtälö. Ratkaisuksi saat yhtälön, joka kuvaa reaalimuuttujien \(x\) ja  \(y\) riippuvuutta toisistaan. Kirjoita tämä yhtälö muodossa \(y=f(x)\), missä \(f(x)\) on muuttujan \(x\) lauseke:

y =
Feedback: Ratkaisu a) i) Kompleksiluvut, joiden itseisarvo on 2, sijaitsevat etäisyydellä 2 kompleksitason origosta. Ne muodostavat siis origokeskisen, 2-säteisen ympyrän. Reaaliluvut, joiden itseisarvo on 2, sijaitsevat myös etäisyydellä 2 reaalisuoran nollapisteestä, mutta reaalisuoralla tällaisia lukuja on vain kaksi: \(2\) ja \(-2\). ii) Kompleksiluvut \(z\), joille pätee \(|z-w|=2\), sijaitsevat etäisyydellä 2 luvusta \(w\). Ne muodostavat siis \(w\)-keskisen, 2-säteisen ympyrän. Sama pätee reaaliluvuille, mutta tällöin sopivia lukuja on jälleen vain kaksi. iii) Kompleksiluvut \(z\), joille pätee \(|z-w_1|=|z-w_2|\) sijaitsevat yhtä kaukana luvuista \(w_1\) ja \(w_2\). Ne muodostavat siis suoran, joka kulkee lukujen \(w_1\) ja \(w_2\) välistä. (Tarkemmin sanottuna on lukuja \(w_1\) ja \(w_2\) yhdistävän janan keskinormaali. b) Merkitään \(z=x+yi\). Lasketaan ensin auki yhtälön vasen puoli: \[ |(x+yi)-(3+i)| = |(x-3)+(y-1)i| = \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}. \] Lasketaan sitten auki yhtälön oikea puoli: \[ |(x+yi)-(-1+3i)| = |(x+1)+(y-3)i| = \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}. \] c) Nyt ratkaistavana on yhtälö \(\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}\). Neliöjuuret ovat samat, jos ja vain jos niiden juurrettavat ovat samat. Näin saadaan seuraava yhtäpitävien yhtälöiden ketju: \[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-1)^2 & =(x+1)^2+(y-3)^2 \\ x^2-6x+9+y^2-2y+1 & =x^2+2x+1+y^2-6y+9 \\ 4y & =8x \\ y & =2x.\end{align*} \] Etsityt kompleksiluvut sijaitsevat siis kompleksitason suoralla \(y=2x\).

Tämän tehtävän vastauksessa saattaa esiintyä neliöjuuria. Syöttöesimerkki: \(5\sqrt{8} = 5*\mathtt{sqrt(8)}\).

Jatkuvan funktion \(f\) keskiarvoksi välillä \(I = [a,b]\) sanotaan lukua
\( \displaystyle \qquad f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \).

Olkoon
\( \displaystyle \qquad f(x) = [value] \).

Funktion \(f\) keskiarvo välillä \(I = [[value], [value]]\) on .
Se saavutetaan kohdassa \(c = \) .
Feedback: Mallivastaus: Keskiarvon määritelmän mukaisesti saadaan laskettua \( \begin{align*} \qquad f(c) & = \displaystyle{ \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x} = \displaystyle{ [value]\int_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x } \\ & = \displaystyle{ [value] {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right)} = \displaystyle{[value] }. \end{align*} \) Keskiarvon kohta \(c\) saadaan ratkaistua yhtälöstä \( \qquad \displaystyle f(c) = [value] = [value] \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{c^2} = [value]\left([value] - [value] \right) = [value]. \) Siis \(c^2 = [value] \) eli \(c = \pm [value] \). Näistä kahdesta kuitenkin vain \([value] \in [[value], [value]] \), joten keskiarvon kohta on \(c = [value] \).

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The derivative of the function is \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), so all the possible extrema are \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) and \(x_3=[value]\). Since \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), then \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) and \(f''([value])=[value]>0\). That is, all the points are local extrema; the middle one is a local maximum and the other two are local minima.Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

Seuraavat väitteet ovat epätosia. Etsi jokaiselle erikseen vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde. Tehtävissä on alleviivauksella korostettu asiaa, jolle vastaesimerkki on tarkoitus löytää.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3<n<20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n<10\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2- +[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tässä tehtävässä tutkitaan kompleksitasoa GeoGebra-sovelmien avulla. Sovelmat ovat vain havainnollistamisen apuna, eikä niitä arvioida.

a) Alla olevassa GeoGebra-sovelmassa voit kokeilla, miten kompleksilukujen \(z\) ja \(w\) tulon itseisarvo käyttäytyy, kun kompleksilukuja \(z\) ja \(w\) liikutetaan tasossa.

Millä tavoin tulon \(zw\) itseisarvo riippuu lukujen \(z\) ja \(w\) itseisarvosta? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Oletetaan, että luvun \(z\) itseisarvo on [value] ja luvun \(w\) itseisarvo on [value]. Mikä on tulon \(zw\) itseisarvo?

b) Oletetaan edelleen, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on luvun \(z\cdot([value]+[value])\) itseisarvo? (Jos tarvitset neliöjuurta, kirjoita se muodossa sqrt(2).)

c) Alla olevassa GeoGebra-sovelmassa voit kokeilla, millä tavoin kompleksiluvun \(z\) konjugaatti \(\bar{z}\) ja käänteisluku \(z^{-1}\) suhtautuvat toisiinsa. Kuvaan on hahmottamisen helpottamiseksi piirretty yksikköympyrä.

Millä tavoin käänteisluvun \(z^{-1}\) sijainti kompleksitasossa riippuu luvun \(z\) sijainnista? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Mikä seuraavassa kuvassa on kompleksiluvun \(z\) käänteisluku?

Käänteisluku:

d) Tutustu kurssimateriaalin lauseeseen 7.5.7. Oletetaan, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on käänteisluvun \(z^{-1}\) itseisarvo?

e) Oletetaan edelleen, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on osamäärän \(\frac{[value]-[value]}{z}\) itseisarvo?
Feedback: Ratkaisu a) Tulon itseisarvo on suoraan riippuvainen tekijöiden itseisarvosta eli mitä suurempia ovat tekijöiden itseisarvot, sitä suurempi on tulon itseisarvo. Tarkemmin sanoen tulon itseisarvo on itseisarvojen tulo. Täten \(|zw|=[value]\cdot[value]=[value]\). b) Lasketaan ensin toisen kompleksiluvun itseisarvo: \[|[value]+[value]|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value].\] Nyt tulon moduli on \(|zw|=|z||w|=[value]\cdot[value]=[value]\). c) Kompleksiluvun \(z\) kompleksikonjugaatti \(\bar{z}\) saadaan koordinaatistossa peilaamalla luku \(z\) x-akselin suhteen. Tämän jälkeen käänteisluku \(z^{-1}\) saadaan peilaamalla konjugaatti \(\bar{z}\) yksikköympyrän suhteen. Ympyrän suhteen peilaaminen tarkoittaa sitä, että konjugaattia skaalataan niin, että se siirtyy yksikköympyrän toiselle puolelle ja konjugaatin ja käänteisluvun itseisarvojen tuloksi tulee 1. Tällä tavoin nähdään, että kuvan kompleksiluvun \(z\) konjugaatti on G ja käänteisluku E. d) Lauseen 7.5.7 mukaan kompleksiluvun \(z\) käänteisluvun itseisarvo on \(1/|z|\). Täten \(|z^{-1}|=[value]\). e) Käytetään hyväksi aiempien kohtien havaintoja: \[\left|\frac{[value]-[value]}{z}\right|=|([value]-[value])\cdot z^{-1}|=|[value]-[value]||z^{-1}|=[value]\cdot [value]=[value].\]

Jatketaan induktion harjoittelua. Induktio soveltuu hyvin tilanteisiin, joissa esimerkiksi lukujono on määritelty rekursiivisesti. Rekursiivinen määrittely tarkoittaa sitä, että jonon jäsenet riippuvat edellisistä jonkin annetun säännön mukaisesti. Tällöin induktioaskeleessa voi yleensä hyödyntää suoraan kyseistä riippuvuussääntöä.

Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti asettamalla \( F_0=0, F_1=1 \) ja lisäksi

\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \geq 2 \).

Tarkastellaan väitettä

\( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{n+2} - 1\)

kaikilla \(n \in \mathbb{N} \).

Täydennä väitteen induktiotodistuksen rakenne.

Todistus

Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvulla \(n= \) . Yhtälön vasemmalle puolelle saadaan  ja oikealle puolelle  .

Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö pätee, kun \(n=\) .

Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N}\). Tällöin

\( \sum \limits_{i=0}^k F_i = F_{k+2} - 1. \)

Näytetään sitten, että väite pätee tällöin myös luvulla  . Rekursioyhtälön ja induktio-oletuksen perusteella saadaan

\( \sum \limits_{i=0}^{k+1} F_i \overset{(1)} = \sum \limits_{i=0}^{k} F_i + F_{k+1}\overset{(2)} = F_{k+2}-1+F_{k+1} \overset{(3)} = F_{k+1}+F_{k+2}-1 \overset{(4)}= F_{k+3}-1.\)

Kohdassa  (vastaukseksi numero 1-4 ilman sulkumerkkejä) käytettiin rekursioyhtälöä ja kohdassa (vastaukseksi numero 1-4 ilman sulkumerkkejä) induktio-oletusta.

Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).
Feedback: Todistus Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvulla \(n=0\). Yhtälön vasemmalle puolelle saadaan \(0\) ja oikealle puolelle \(0\). Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö pätee, kun \(n=0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus. Oletetaan siis, että väite pätee jollain \(k \in \mathbb{N}\). Tällöin \( \sum \limits_{i=0}^k F_i = F_{k+2} - 1. \) Näytetään sitten, että väite pätee tällöin myös luvulla \(k+1\). Rekursioyhtälön ja induktio-oletuksen perusteella saadaan \( \sum \limits_{i=0}^{k+1} F_i \overset{(1)} = \sum \limits_{i=0}^{k} F_i + F_{k+1}\overset{(2)} = F_{k+2}-1+F_{k+1} \overset{(3)} = F_{k+1}+F_{k+2}-1 \overset{(4)}= F_{k+3}-1.\) Kohdassa \(4\) käytettiin rekursioyhtälöä ja kohdassa \(2\) induktio-oletusta. Johtopäätös: Alku- ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Laske epäoleellinen integraali

\[ \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x. \]

Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x. \] Osittaisintegroinnin kaava: \(\displaystyle\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\) \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x}\) \(v'(x)= [value] \Rightarrow v(x)= -\frac{1}{[value]} \cos({[value]}x)\) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} -\textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]} \cdot \cos([value]x)+\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]}\cos([value]x) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x \end{eqnarray*} Käytetään osittaisintegrointia uudestaan. Nyt \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x} \) \(v'(x)= \cos([value]x) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{[value]} \sin([value]x)\) \begin{eqnarray*} \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg(\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x)+\int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{[value]} \sin([value]x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg( 0+ \frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x} \sin({[value]}x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]}\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x. \end{eqnarray*} Alkuperäinen integroitava ilmestyi myös yhtälön toiselle puolelle! Siirretään se vasemmalle puolelle. \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ [value] \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}