Title: Integroimistekniikoita

Determine the given integrals using the method of integration by parts. Note that arctan(\(x\)) = atan(\(x\)) = tan\(^{-1}(x)\). On this exercise, use the notation atan(\(x\)).Laske annetut integraalit käyttäen osittaisintegrointia. Huomaa, että arctan(\(x\)) = atan(\(x\)) = tan\(^{-1}(x)\). Käytä tässä tehtävässä merkintää atan(\(x\)). Ja muista integroimisvakio.

(a) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The formula for integration by parts is of the formOsittaisintegrointikaava on muotoa \[ \int f(x) g'(x)\mathrm{d}x = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \mathrm{d}x. \] To apply the formula, we have to choose a function \(f\) to differentiate and a function \(g'\) to integrate.Osittaisintegrointikaavan käyttämiseksi tulee valita integroitavasta funktiosta \(f\), jota derivoidaan ja \(g'\), jota integroidaan. (a)The integrand is of the form \(x \cdot \cos(x)\). We choose \(f(x) = x\) and \(g'(x) = \cos(x)\). Now \(f'(x) = 1\) and \(g(x) = \sin(x)\). With these selections, we can integrate the given function.Integroitava funktio on muotoa \(x \cdot \cos(x)\). Valitaan \(f(x) = x\) ja \(g'(x) = \cos(x)\). Tällöin \(f'(x) = 1\) ja \(g(x) = \sin(x)\). Tällä valinnalla saadaan funktio integroitua. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C \] (b) Now the integrand is \(1 \cdot \tan^{-1}(x)\). We choose \(f(x) = \tan^{-1}(x)\) and \(g'(x) = 1\). Now \(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) and \(g(x) = x\). Choosing the constant 1 to represent the other function is quite common and often used trick.Nyt integroitava funktio on \(1 \cdot \tan^{-1}(x)\). Valitaan \(f(x) = \tan^{-1}(x)\) ja \(g'(x) = 1\). Tällöin \(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) ja \(g(x) = x\). Etukertoimen 1 valitseminen toiseksi funktioksi on varsin yleinen ja toimiva temppu. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x \] The remaining integral can be calculated after we introduce the derivative of the inner function \(1+x^2\), i.e. the term \(2x\), to the numerator.Jäljelle jäävä integraali voidaan laskea, kun saadaan osoittajaan sisäfunktion \(1+x^2\) derivaatta \(2x\). \[ \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \text{ln} |1+x^2| \] The absolute value bars can be removed as \(1+x^2\) is always positive. The answer isItseisarvomerkit voidaan poistaa, sillä \(1+x^2\) on aina positiivinen. Vastaukseksi saadaan \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \text{ln} (1+x^2) + C. \]

Tarkastellaan määrätyn integraalin \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] tarkan arvon laskemista.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integraalifunktio (integrointivakio \(C=0\)) ennen ylä- ja alarajasijoitusta. Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2). Itseisarvo merkitään abs, esim. abs(-2).

\(\textrm{b) }\) Mikä on määrätyn integraalin tarkka arvo?

Consider the evaluation of the exact value for the definite integral \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x. \]

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the integral function (the constant of integration C=0) depending on the variable \(x\) before substituting lower and upper limits of integration. The natural logarithm is written as ln, e.g. ln(3). The absolute value is written as abs, e.g. abs(-2).

\(\textrm{b) }\) What is the exact value of the definite integral?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integraalifunktio on \(\textrm{a) }\) The integral function depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Määrätyn integraalin tarkka arvo on \(\textrm{b) }\) The exact value of the definite integral is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] Osamurtokehitelmä: \[ \begin{align*} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2} &= [value]+[value] +[value]\\ &= \frac{[value]A+[value]B+([value])C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &= \frac{Ax^2+[value]Ax+[value]A+Bx^2+[value]Bx+[value]B+Cx+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &=\frac{(A+B)x^2+([value]A+[value]B+C)x+[value]A+[value]B+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2}. \end{align*} \] Osoittajia vertaamalla saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{\begin{array}{rrrllll} A&+B&&=0&|\,\cdot ([value])&&|\,\cdot ([value])\\ [value]A&+[value]B&+C&=1&|\,\cdot 1&&\\ [value]A&+[value]B&+[value]C&=0.&&&|\,\cdot 1\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(A\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. \[ \left\{\begin{array}{rrll} B&+C&=1&|\,\cdot ([value]) \\ [value]B&+[value]C&=0&|\,\cdot 1\\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(B\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. \[ C=[value], \] josta edelleen sijoittamalla saadaan \(B=[value]\) ja \(A=[value]\). Tällöin \[ \begin{align*} \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x &=\int\limits_{0}^{1}([value]+[value] -[value])\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\!0}^{1\,}([value]\ln\left|x+[value]\right|+[value]\ln\left|x+[value]\right|+\frac{[value]}{x+[value]})\\ &=[value]\ln([value])+[value]\ln([value])+\frac{[value]}{[value]}-([value]\ln([value])+[value]\ln([value])+1)\\ &=[value]\ln([value])-\frac{1}{[value]}. \end{align*} \] Model solution: \[ \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x \] Partial fraction expansion: \[ \begin{align*} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2} &= [value]+[value] +[value]\\ &= \frac{[value]A+[value]B+([value])C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &= \frac{Ax^2+[value]Ax+[value]A+Bx^2+[value]Bx+[value]B+Cx+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2} \\ &=\frac{(A+B)x^2+([value]A+[value]B+C)x+[value]A+[value]B+[value]C}{(x+[value])(x+[value])^2}. \end{align*} \] The system of equations follow by comparing the numerators: \[ \left\{\begin{array}{rrrllll} A&+B&&=0&|\,\cdot ([value])&&|\,\cdot ([value])\\ [value]A&+[value]B&+C&=1&|\,\cdot 1&&\\ [value]A&+[value]B&+[value]C&=0.&&&|\,\cdot 1\ \end{array}\right. \] Eliminate \(A\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ \left\{\begin{array}{rrll} B&+C&=1&|\,\cdot ([value]) \\ [value]B&+[value]C&=0&|\,\cdot 1\\ \end{array}\right. \] Eliminate \(B\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ C=[value], \] from which it follows by substituting \(B=[value]\) and \(A=[value]\). Hence \[ \begin{align*} \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{(x+[value])(x+[value])^2}\,\mathrm{d}x &=\int\limits_{0}^{1}([value]+[value] -[value])\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\!0}^{1\,}([value]\ln\left|x+[value]\right|+[value]\ln\left|x+[value]\right|+\frac{[value]}{x+[value]})\\ &=[value]\ln([value])+[value]\ln([value])+\frac{[value]}{[value]}-([value]\ln([value])+[value]\ln([value])+1)\\ &=[value]\ln([value])-\frac{1}{[value]}. \end{align*} \]

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio. Ilmoita integraalifunktio ilman integroimisvakiota.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Determine the following integral functions: Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(c) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, you may apply the following formula, for example: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Determine the following integral functions. For the constant of integration, you can use the letter C, for example.Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x \]

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Determine the following integral functions. For natural logarithm, use command ln(a), e.g. ln(2). The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e.Määrää seuraavat integraalifunktiot. Luvun \(a\) luonnollinen logaritmi merkitään muodossa ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmi kantaluku \(\mathrm{e}\) merkitään muuttujalla e, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(c) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, we apply the integration rule for composite functions: Funktiot saadaan integroitua soveltamalla yhdistetyn funktion integrointikaavaa: \[ \int g'(x)\cdot f'(g(x)) \mathrm{d}x = f(g(x)) + C\] (a) \[ \int \cos([value]+[value]) \mathrm{d}x =[value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\cos(\overbrace{[value]+[value]}^{g(x)})}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (b) \[ \int \mathrm{e}^{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\mathrm{e}^{\overbrace{[value]}^{g(x)}}}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (c) \[ \int \frac[value]{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace[value]_{g'(x)} \overbrace{(\underbrace{[value]}_{g(x)})^{-1}}^{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\]

Calculate the following integrals using the given substitutions: Laske seuraavat integraalit käyttämällä annettuja sijoituksia:

(a)\[ \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{subst.sij.} \ \ u=[value]. \] (b)\[ \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{subst.sij.} \ \ x=[value]u. \] Hint: At the end of part b) you may apply the formula \[ \int \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x= \frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin(x)}{2}+ \ \text{constant} \]Vihje: b)-kohdassa voi lopuksi käyttää kaavaa \[ \int \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x= \frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin(x)}{2}+ \ \text{vakio} \]

(a) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[ \int_{0}^{1/2} [value] \] Using the given substitutionSijoitetaan \(u=[value] \Rightarrow x=[value]\) \(\mathrm{d}x={[value]} \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=1/2 \Rightarrow u={[value]}\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} \sin(u)\cdot [value] \, \mathrm{d}u \cos(u)\cdot {[value]} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} -\cos(u) \sin(u) \\ & = & [value] ( -\cos([value])+\cos(0) )=[value] ([value]+1)=[value] \sin([value])-\sin(0) ) = [value]\cdot [value]=[value] . \end{array}\] (b) \[ \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \] Using the given substitutionSijoitetaan \(x=[value]u \Rightarrow u=\frac{x}{[value]}\) \(\mathrm{d}x = [value] \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=[value] \Rightarrow u=1\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value]-([value]u)^2} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value](1-u^2)} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \int_{0}^{1} \sqrt{1-u^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,1} \frac{u\sqrt{1-u^2}+\arcsin(u)}{2} \\ & = & [value]\cdot \frac{\arcsin(1)-\arcsin(0)}{2}=\frac{[value]}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=[value]. \end{array}\]

Using a suitable substitution, calculate the integral Määritä sopivan sijoituksen avulla

\[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x \]

Note: arctan should be typed as atan, e.g. atan(1).Huom. arctan merkitään atan, esim. atan(1).

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x \] Using the substitutionSijoitetaan \(u=x+[value] \Rightarrow x=u-[value]\) \(\textrm{d}x=\textrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=[value]\) \(x=1 \Rightarrow u=[value]\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x & = & \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{1+u^2} \, \textrm{d}u \\ & = & \bigg/_{\!\!\![value]}^{\,[value]} \arctan(u) \\ & = & \arctan([value])-\arctan([value]). \end{eqnarray*}

Calculate the integralLaske integraali

\[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] Give your answer in exact form! Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\pi\) should be written as pi, e.g. 2*pi. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2).\(\pi\) merkitään pi, esim. 2*pi. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x =\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Integration by parts: Osittaisintegrointi: \[\int f'(x)g(x) \, \textrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \textrm{d}x. \] \[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] First we determine the integral \(\int x^2 [value] \, \textrm{d}x\).Lasketaan ensin integraali \(\int x^2 [value] \, \textrm{d}x\). ChoosingValitaan \(f'=[value] \Rightarrow f=[value] \ \ \ \ g=x^2 \Rightarrow g'=2x\). \[ \int x^2 [value] \, dx=[value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x. \] Now we apply the integration by parts again. ChoosingNyt käytetään osittaisintegrointia uudestaan. Valitaan \(f'= \cos(x) \Rightarrow f= \sin(x) \ \ \ g=-2x \Rightarrow g'=-2\). \begin{eqnarray*} [value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x & = & [value]-([value])-\int ([value]) \, \textrm{d}x) \\ & = & [value]+C \\ & = & ( [value]) \cos(x) +2x\sin(x) + C \end{eqnarray*} We getNyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} [([value]) \cos(x) +2x\sin(x) +C] \\ & = & (2-([value])^2)\cdot \cos([value])+2\cdot [value] \cdot \sin([value])+0-[(2-0^2)\cdot \cos(0)] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Using the method of integration by parts, determineLaske osittaisintegroinnin avulla

(a) | \(\displaystyle\quad \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x=~\)\(~+C\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x=~\)\(~+C\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Integration by parts: Osittaisintegrointikaava: \[\int f'(x)g(x) \, \mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \mathrm{d}x \] (a) \[ \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x\] ChoosingValitaan \(f'=\cos([value]x) \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}\sin([value]x) \ \ \ g=x \Rightarrow g'=1\) \begin{eqnarray*} \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} x\sin([value]x)-\int 1\cdot \frac{1}{[value]}\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}{[value]}\cdot \frac{1}{[value]}\int [value]\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}[value] (-\cos([value]x)+C) \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)+\frac{1}[value]\cos([value]x)+C'. \end{eqnarray*} (a) \[\int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x\] ChoosingValitaan \(f'=e^{[value]x} \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}e^{[value]x} \ \ \ g=x+[value] \Rightarrow g'=1\). \begin{eqnarray*} \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}{[value]} \int e^{[value]x} \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}[value]e^{[value]x}+C. \end{eqnarray*}

Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä ( *). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa exp(a*x) tai e^(a*x).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f(x) = \) ja \( f'(x) = \)

\( g(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Calculate the indefinite integral of the function

\[\displaystyle f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \]

For natural logarithm, use the command ln(a), e.g. ln(2). For absolute value, use the command abs(x), respectively.

Laske funktion

\[\displaystyle f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \]

integraali. Luvun a luonnollinen logaritmi merkitään ln(a), esim. ln(2). Itseisarvo x merkitään abs(x).

\(\displaystyle\int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, \mathrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int \frac{x+{[value]}}{x(x-{[value]})(x+{[value]})} \, \mathrm{d}x \] The partial fraction decomposition of the integrand isIntegroitavan lausekkeen osamurtokehitelmä on \[\begin{array}{rll} \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} & = & \frac{A}{x}+\frac{B}{x-[value]}+\frac{C}{x+[value]} \\ & = & \frac{A(x-[value])(x+[value])+Bx(x+[value])+Cx(x-[value])}{x(x-[value])(x+[value])} \\ & = & \frac{(A+B+C)x^2+([value]+[value]B-[value]C)x-[value]A}{x(x-[value])(x+[value])}, \end{array}\] wheremissä \[\begin{cases} A+B+C &= 0 \\ [value]+[value]B-[value]C &= 1 \\ -[value]A &= [value]. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B+C &= [value] \\ [value]B-[value]C &= [value] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value]. \end{cases} \] ThereforeSiten \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, dx & = & \int \left( [value]\cdot \frac{1}{x}+[value]\cdot \frac{1}{x-[value]}+[value]\cdot \frac{1}{x+[value]} \right) \, \mathrm{d}x \\ & = & [value]. \end{array}\]

Tarkastellaan määrätyn integraalin \[ \displaystyle \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] tarkan arvon laskemista sijoituksen \(t=e^x\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=e^x\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Mitkä ovat muuttujan \(t\) integrointirajat?

\(\textrm{c) }\) Mikä on määrätyn integraalin tarkka arvo?

Consider the evaluation of the exact value for the definite integral \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] with the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{b) }\) What are the limits of the variable \(t\) for integration?

\(\textrm{c) }\) What is the exact value of the definite integral?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(t\) integrointirajat ovat \(\textrm{b) }\) The limits of the variable \(t\) for integration: \(\le t \le\).

\(\textrm{c) }\) Määrätyn integraalin tarkka arvo on \(\textrm{c) }\) The exact value of the definite integral is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Integroimisrajat: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*} Model solution: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Limits: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*}

Tarkastellaan funktion \[ \displaystyle f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] integraalifunktioiden määräämistä sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Määrää funktion \(f(x)\) kaikki integraalifunktiot. Merkitse \(C\) yleiseksi integrointivakioksi.

\(\textrm{c) }\) Määrää sellainen funktion \(f(x)\) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta.

Consider finding integral functions of the function \[ f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] with the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{b) }\) Find all integral functions of the function \(f(x)\). Denote by \(C\) the general integration constant.

\(\textrm{c) }\) Find the integral function of the function \(f(x)\) the graph of which is passing through the origin \((0,0)\).

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Kaikki integraalifunktiot ovat \(\textrm{b) }\) All integral functions are .

\(\textrm{c) }\) Integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta, on \(\textrm{c) }\) The integral function the graph of which is passing through the origin \((0,0)\) is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} Integraalifunktion kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta: \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Siis \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \] Model solution: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} The graph of the integral function is passing through the origin \((0,0)\): \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Hence \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \]

CalculateIntegroi

\[\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx\]

using the substitution \(u = [value]\).käyttäen sijoitusta \(u = [value]\).

\(\mathrm{d}u =\) | \(\mathrm{d}x\)
The new lower limit: Uusi alaraja: |
The new upper limit: Uusi yläraja: |
\(\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx =\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We notice that dismissing the constant \(\frac{1}{[value]}\) the integralHuomataan, että \[[value]\] is of the formon vakiokerrointa \(\frac{1}{[value]}\) vaille muotoa \[\int_{a}^{b} g'(x)\,f(g(x))\,\mathrm{d}x.\] Also, since \(u = g(x)\) and \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \).ja että \(u = g(x)\) ja \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \). For the new lower limit we get \(g(0) = [value]\) and for the upper limit \(g(1) = [value]\).Uudeksi alarajaksi saadaan \(g(0) = [value]\) ja ylärajaksi \(g(1) = [value]\). Now the integral can be expressed in the formNyt integraali voidaan kirjoittaa muodossa \begin{align*} \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u &= \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}u^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{[value]}\cdot\frac{2}{3}\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}u^{\frac{3}{2}}\\ &=[value]\left([value]^{\frac{3}{2}}-[value]^{\frac{3}{2}} \right) \end{align*}

Osittaisintegrointikaava määrätylle integraalille on

\[\displaystyle \int\limits_a^b u(x)v'(x)\,dx = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Sovella kaavaa määrätyn integraalin

\[\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x\]

laskemiseen. Miten valitset funktion \(u(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(v(x)\) sijoitusvaiheessa ja toisessa integraalissa?

Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2).

The integration by parts formula for the definite integral is \[\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Apply the formula for solving the definite integral \[\int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x.\] What is your choice for the function \(u(x)\) in the first integral? What is the function \(v(x)\) in the substitution and in the second integral?

The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3)

\(u(x)=\) , \(v(x)=\) .

Mikä on määrätyn integraalin arvo? Anna vastauksesi tarkkana arvona.

What is the value of the definite integral? Give your answer as exact value.

\(\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x=\) .
Feedback: Malliratkaisu: The model solution: \(u(x)=\ln(x)\), \(v(x)=[value]\). \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\int\limits_1^{[value]} [value]\,dx =\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot \underbrace{[value]}_{v'}\,dx \stackrel{\text{os.int.}}{=}{\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot\underbrace{[value]}_{v} -\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\frac1x}_{u'}\cdot\underbrace{[value]}_{v}\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}[value]\ln(x)-\int\limits_1^{[value]\,} [value]\,dx ={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}([value]\ln(x)-[value]) =[value] \end{align*}

Osittaisintegrointikaava integraalifunktion määrittämiseksi on

\[\displaystyle \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \]

Sovella kaavaa integraalifunktion

\[\displaystyle \int x\, [value]\,\mathrm{d}x \]

määrittämiseen.

Miten valitset funktion \(v'(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(u'(x)\) toisessa integraalissa? Sini merkitään sin, esim. sin(0). Kosini merkitään cos, esim. cos(1).

The integration by parts formula for determining the integral function is \[ \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \] Apply the formula for determining the integral function \[ \int [value]\,\mathrm{d}x. \]

What is your choice for the function \(v'(x)\) in the first integral? What is the function \(u'(x)\) in the second integral? Sine is written as sin, e.g. sin(0). Cosine is written as cos, e.g. cos(1).

\(v'(x)=\) , \(u'(x)=\)

Mikä on integraalifunktion lauseke?

What is the expression of the integral function?

Integraalifunktio on

The integral function is

.
Feedback: Malliratkaisu: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{os.int.}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{os.int.}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \] Model solution: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{int. by parts}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{int. by parts}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \]

a) Osamurtokehitelmä on esitys sellaiselle rationaalifunktiolle, jossa osoittajan aste on kuin nimittäjän aste.

b) Kun poimitaan integroitavasta funktiosta jokin \(x\):stä riippuva osa, jota merkitään uudella muuttujalla \(u(x)\), puhutaan

c) Kun integroitaessa jokaisen muuttujan \(x\) paikalle sijoitetaan jokin muuttujasta \(u\) riippuva lauseke, tarkoitetaan yleensä

d) Trigonometrinen sijoitus perustuu yhtälöön \(\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1\). Sijoituksen tavoitteena on päästä eroon esim. muodosta \(\sqrt{a-x^2}\) (\(a>0\) vakio), jolloin sijoitetaan \(x = \sqrt{a}\sin(u)\) tai \(x = \sqrt{a}\cos(u)\). Tällöin

\(\sqrt{a-x^2} = \sqrt{a-a\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{1-\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{\cos^2(u)} = \sqrt{a}\cos(u)\),

mikä on helppo integroida. Hyödynnetään edellä mainittua integraalin \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\) ratkaisussa. Täydennä puuttuvat kohdat.

Valitaan \(x = -\cos^2(u)\), jolloin \(\displaystyle \frac{dx}{du} = \) .

Siispä \(dx = \) \(du\).

Tällöin

 | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-\cos^2(u)}}2\cos(u)\sin(u) du \quad \big| \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{2\cos(u)\sin(u)}{1+\sqrt{\sin^2(u)}} du = 2\int \frac{\cos(u)\sin(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \frac{\cos(u)+\cos(u)\sin(u)-\cos(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\frac{\cos(u)(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}-\frac{\cos(u)}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\cos(u) - \frac{D(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\big(\sin(u)-\) \(\big)+C\)
 | takaisin sijoitus
\(=\) | \(2\) \(-2\log(|1+ \)\(|) + C\).

Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) , \(x_4 = \) ,

joten \(x^4-2x^2+1 = \big( \) \(\big)^2\big( \) \(\big)^2\).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=0\)

\(=2\)

\(=0\)

\(=3\)

Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\big( \)+++\( \big)\).

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \big[ \) \(\big] + C\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 [value], x_4 = [value]\), joten \(x^4-2x^2+1 = \big( [value] \big)^2\big( [value] \big)^2\). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}\). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 2 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 3 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\left( [value]+[value]+[value]+[value] \right)\). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \left[ [value] \right] + C\).

Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) ,

joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( \) \(\big)^3 \).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=1\)

\(=0\)

\(=0\)

Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = \)++.

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = \) \( + C\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 = [value]\), joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( [value] \big)^3 \). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} + \frac{C}{(x+2)^3} \). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 1 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = [value][value]+[value] \). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = [value] + C\).

a) Derivoinnin ketjusääntöön perustuen tiedämme, että \(\displaystyle \int f\big(g(x)\big)g'(x) dx = F\big(g(x)\big)+C\). Täydennä edellä mainittua kaavaa hyödyntäen puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int g'(x) e^{g(x)} dx = \)

\(\displaystyle \int \big(g(x)\big)^a\) \(\displaystyle dx = \frac{1}{a+1} \big(g(x)\big)^{a+1}+C, \quad a\neq -1\).

\(\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \) , \(\quad g(x)\neq 0\).

HUOM! Itseisarvon saat syöttämällä esim. |x|. Luonnollisen logaritmin saat esim. log(x). Funktion g(x) derivaatan kirjoittamalla g'(x). Käytä vakiona \(C\):tä.

b) Myös muuttujanvaihto (=sijoitusmenetelmä) perustuu ketjusääntöön.

Täydennä.

Suora sijoitus: \(u = u(x)\)

\(\displaystyle \int f \left( u(x) \right) u'(x) \,dx= \int \) \(du\)

Käänteinen sijoitus: \(x=x(u)\)

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dx = \int f \left( x(u) \right) x'(u) \, du\)

a) Perustele välivaiheet alasvetovalikosta.

 | \(\displaystyle D\big(f(x)g(x)\big) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \, f'(x)g(x) = D\big(f(x)g(x)\big) - f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = \int D\big(f(x)g(x)\big) dx - \int f(x)g'(x) dx\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx\) |

b) Kun derivoit \(f(x) = x^2\), saat \(f'(x) = \) . Toisaalta kun derivoit \(g(x) = x^2+1\), saat \(g'(x) = \) . Nyt \(f'(x) = g'(x)\), vaikka \(f(x) \neq g(x)\). Kun integroit \(f'(x)\):n tai \(g'(x)\):n, saat . Tämä on muistettava integroitaessa puolittain.

HUOM! Käytä vakiona \(C\):tä tässä tehtävässä.

Q: (a) Jaa jakokulmassa
\( \displaystyle [value] = \) \(\displaystyle + [value] \),
missä \(r = \) .

(b) Jaa a-kohdan jakojäännös \(\displaystyle [value] \) osamurtoihin.
\(\displaystyle [value] = \) \(+\) .

(c) Integroi
\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Jaettaessa jakojäännöstä tekijöihin lasketaan ensiksi nimittäjän nollakohdat, jotka ovat \(x = [value]\) ja \(x = [value] \), ja siten nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin \( [value] = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis muotoa \( \displaystyle [value] = \frac{A}{[value]} + \frac{B}{[value]} \). Laventamalla oikean puolen termit saman nimisiksi saadaan \( \displaystyle [value] = \frac{A([value]) + B([value])}{[value]} \) mistä saadaan \(A\):lle ja \(B\):lle yhtälöpari \( \begin{cases} (A + B)x = [value]x, \\ [value] = [value] \end{cases} \), jonka ratkaisuna saadaa \(A = [value] \) ja \( B = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). (c) Käyttämällä a- ja b-kohtien tuloksia saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_[value]^[value] [value] + [value] \, \mathrm{d}x \\ & = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \\ & = [value]. \end{split} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.