Title: Suppenemistestit

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value][value]+[value]>[value][value]\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida ylöspäin: \[ \dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}<\dfrac{[value][value]}{[value][value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]k^[value]+[value]>[value]k^[value] \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated upwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\le [value]k^[value] \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös alaspäin: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

By using the inequality \([value]\le [value]k^[value]\), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also downwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) hajaantuu.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) diverges.
Feedback: Malliratkaisu: Tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä alas- että ylöspäin: \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] sillä \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) ja \([value]\le [value]k^[value] \) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) hajaantuu (\(p=[value]\)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain ylöspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee (\(p=[value]>1\)), niin tutkittavakin sarja suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Model solution: The terms of the series under consideration can be estimated both downwards and upwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] because \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) and \([value]\le [value]k^[value] \) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) diverges (\(p=[value]\)) the series under consideration also diverges by the comparison test. For the series under consideration only the upward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges (\(p=[value]>1\)) the series under consideration also converges by the comparison test.

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida alaspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated downwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös ylöspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

By using the inequality \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also upwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) suppenee.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) converges.
Feedback: Malliratkaisu: Tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä ylös- että alaspäin: \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] sillä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) ja \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu (\( 0<p=\textstyle{[value]}\le1 \)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Model solution: The terms of the series under consideration can be estimated both upwards and downwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] because \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) and \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges (\(0<p=\textstyle{[value]}\le1\)) the series under consideration also diverges by the comparison test.

Applying root or ratio test, examine whether the following series converges: Tutki suhde- tai juuritestin avulla, suppeneeko seuraava sarja:

\[\sum_{n=1}^\infty [value] \]

The limit of the test isTestin raja-arvo on |  |

Does the series converge or diverge? Type the number corresponding to your answer: Hajaantuuko vai suppeneeko sarja? Valitse seuraavista vaihtoehdoista:

(1) | DivergesHajaantuu
(2) | ConvergesSuppenee
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Method ITapa I According to ratio test, the series \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converges, ifSuhdetestin mukaan sarja \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) suppenee, jos pätee \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1. \] \[[value]\cdot\frac{1}{[value]} = [value] \to [value] \text{, whenkun } n\to\infty\] Method IITapa II According to root test, the series converges, ifJuuritestin mukaan sama sarja suppenee, jos \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} <1. \] \[\sqrt[n][value] = \frac{[value]^{ [value] }}{[value]^{ [value] }}\sqrt[n][value] \to [value] \text{, whenkun } n\to\infty \]

Do the following series converge? Suppenevatko seuraavat sarjat?

(a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{[value]^n} \] (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)[value]^n}{n!} \] (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^[value]+[value]n+[value]} \]

"1" = Converges.Suppenee.

"0" = Does not converge.Ei suppene.

Write the number corresponding to your answer on the boxes below.Kirjoita oikeaa ratkaisua vastaava numero alla oleviin tekstikenttiin.

(a)

(b)

(c)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{[value]^n} \] Using the ratio test: Suhdetestillä: \begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} & = & \frac{ \frac{(n+1)^2}{[value]^{n+1}}}{ \frac{n^2}{[value]^n}} \\ & = & \frac{1}{[value]} \frac{n^2+2n+1}{n^2} \\ & = & \frac{1}{[value]} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} \\ \\ & \to & \frac{1}{[value]}, \ \text{whenkun} \ n\to \infty. \end{eqnarray*} Because \(\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{[value]} < 1\), the series converges.Koska \(\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{[value]} < 1\), sarja suppenee. (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)[value]^n}{n!} \] Using the ratio test: Suhdetestillä: \begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} & = & \frac{(n+2)[value]^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{(n+1)[value]^n} \\ & = & [value]\cdot \frac{(n+2)n!}{(n+1)n!(n+1)} \\ & = & [value]\cdot \frac{n+2}{n^2+2n+1} \\ & = & [value]\cdot \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} \\ & \to & [value]\cdot \frac{0}{1}=0, \ \text{whenkun} \ n\to \infty, \end{eqnarray*} so the series converges.joten sarja suppenee. (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{[value]}+[value]n+[value]} \] \[a_n=\frac{n}{n^{[value]}+[value]n+[value]}\leq \frac{n}{n^{[value]}}=\frac{1}{n^[value]}. \] Being over-harmonic, the series \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{[value]}}\) converges, so from the comparison test we can conclude that \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{[value]}+[value]n+[value]}\) converges.Sarja \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{[value]}}\) suppenee yliharmonisena sarjana, joten vertailuperiaatteen nojalla sarja \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{[value]}+[value]n+[value]}\) suppenee.

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[f(x)=[value]\]on jatkuva, positiivinen ja vähenevä, kun \(x\ge1\).

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. \(\infty\) merkitään inf.

Consider the convergence or divergence of the series \[\sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] with the help of the integral test.

The function \[f(x)=[value]\] is continuous, positive and decreasing when \(x\ge1\).

Find the exact value of the improper integral \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo onThe exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja suppenee.Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}(-[value]) =[value]<\infty.\] Sarja suppenee integraalitestin nojalla. Model solution: The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}(-[value]) =[value]<\infty.\] The series converges by the integral test.

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1}\frac{\ln(k+[value])}{k+[value]}\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[f(x)=\frac{\ln(x+[value])}{x+[value]}\] on jatkuva ja positiivinen, kun \(x\ge1\). Funktion vähenevyys voidaan osoittaa derivaattafunktion \(f'(x)\) avulla. Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2).

Consider the convergence or divergence of the series \[\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{\ln(k+[value])}{k+[value]}\] with the help of the integral test.

The function \[f(x)=\frac{\ln(x+[value])}{x+[value]}\] is continuous and positive when \(x\ge1\). The decreasing property of the function can be shown by the derivative function \(f'(x)\). The natural logarithm is written as ln, e.g. ln(3).

Derivaattafunktio \(f'(x)\) onThe derivative function \(f'(x)\) is .

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. \(\infty\) merkitään inf.

Find the exact value of the improper integral \[\int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo on The exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja hajaantuu. Claim: The series diverges.
Feedback: Malliratkaisu: \[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x+[value]}\cdot(x+[value])- \ln(x+[value])\cdot1}{(x+[value])^2}=\frac{1- \ln(x+[value])}{(x+[value])^2} \] Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\ln(x+[value])}{x+[value]} \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\frac12\ln^2\big|x+[value] \big| =\infty.\] Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. Model solution: \[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x+[value]}\cdot(x+[value])- \ln(x+[value])\cdot1}{(x+[value])^2}=\frac{1- \ln(x+[value])}{(x+[value])^2} \] The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\ln(x+[value])}{x+[value]} \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\frac12\ln^2\big|x+[value] \big| =\infty.\] The series diverges by the integral test.

Using ratio test, find outSelvitä suhdetestillä,

a) whether the series \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{[value]^n}{(n+1)\cdot[value]^n}\) convergesa) suppeneeko sarja \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{[value]^n}{(n+1)\cdot[value]^n}\).

The limit of the ratio test: Suhdetestin raja-arvo:

Interpretation of the ratio test: Suhdetestin tulkinta:

b) for which \(x\) does the series \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{[value]^{n}} x^n\) converge? b) millä muuttujan \(x\) arvoilla sarja \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{[value]^{n}} x^n\) suppenee.

\(x\in~\),
Feedback: Model solution: Mallivastaus: a) The convergence of the series \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{[value]^n}{(n+1)\cdot[value]^n}\)a) Sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{[value]^n}{(n+1)\cdot[value]^n}\) suppeneminen Applying the ratio test: Suhdetestillä: \[\left|\frac{\frac{[value]^{n+1}}{((n+1)+1)\cdot[value]^{n+1}}}{\frac{[value]^n}{(n+1)\cdot[value]^n}}\right| = \frac{[value](n+1)}{[value](n+2)} = \frac{[value](1+\frac{1}{n})}{[value](1+\frac{2}{n})} \to \frac{[value]}{[value]}\text{, whenkun }n\to\infty \] Since \(\frac{[value]}{[value]}<1\), the series converges.Koska \(\frac{[value]}{[value]}<1\), sarja suppenee. b) For which \(x\) does the series \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{[value]^{n}} x^n\) converge? b) Millä muuttujan \(x\) arvoilla \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{[value]^{n}} x^n\) suppenee? Applying the ratio test: Suhdetestillä: \[\left|\frac{\frac{(n+1)+1}{[value]^{n+1}} x^{n+1}}{\frac{n+1}{[value]^{n}} x^n}\right| =\left|\frac{n+2}{[value](n+1)}x\right| = \left|\frac{1+\frac{2}{n}}{[value](1+\frac{1}{n})}x\right| \to \frac{\left|x\right|}{[value]}\text{, whenkun } n\to\infty \] ThusTällöin \[\frac{\left|x\right|}{[value]}\leq 1 \Rightarrow \left|x\right| \leq [value]\] If \(x=\pm [value]\), we see that the series is of the form \(\pm\sum_{n=0}^{\infty}n+1\) and so does not converge. Therefore, the series converges if \(x\in ]-[value],[value][ \).Jos \(x=\pm [value]\), nähdään että sarja on muotoa \(\pm\sum_{n=0}^{\infty}n+1\), jolloin se ei suppene. Siis sarja suppenee kun \(x\in ]-[value],[value][ \).

When a tennis ball is dropped, it will bounce up to a height \([value]\) procent of the original. Calculate the total distance the ball will traverse, when it is dropped from a height of \([value]\) m.Kun tennispallo päästetään putoamaan, se pomppaa \([value]\) prosenttia pudotuskorkeudesta. Laske pallon pomppima kokonaismatka, kun se pudotetaan \([value]\) m korkeudesta.

Give your answer without the unit m.Anna vastaus tarkkana arvona ilman yksikköä m.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The ball traverses a distance ofPallon pomppima matka \[S=[value]+2\cdot [value]\cdot [value]+2\cdot [value]\cdot [value]\cdot [value]+\ldots =[value]+2\cdot [value] \sum_{n=1}^{\infty} [value]^n \\ =[value]+[value]\cdot \frac{[value]}{1-[value]}=[value]+[value]\cdot [value]=[value]. \]

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[(S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Määrää aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value]-[value])\\ &=([value]-[value])+([value]-[value])+([value]-[value])+ \cdots+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=[value]-[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =-\infty\). Sarja siis hajaantuu. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =-\infty\). Therefore the series diverges.

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[(S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Määrää aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value]-[value])\\ &=([value]-[value])+([value]-[value])+([value]-[value]) + \cdots+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=[value]-[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Sarja siis suppenee. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Therefore the series converges.

Tutkitaan sarjan \[\sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[(S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Määrää aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value])\\ &=([value]^[value]-[value]^[value])+([value]^[value]-[value]^[value])+([value]^[value]-[value]^[value])+([value]^[value]-[value]^[value])+ \cdots+([value]-[value])+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=-[value]^[value]+[value] = -[value]+[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}(-[value]+[value]) =\infty\). Sarja siis hajaantuu. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}(-[value]+[value]) =\infty\). Therefore the series diverges.

Using ratio test, examine whether the following series converges: Tutki seuraavan sarjan suppenemista suhdetestillä: \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{[value]^{n}}\]

The limit of the ratioSuhteen raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\):

Does the series converge? Suppeneeko sarja?
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\] \begin{align*} \lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\rvert &= \frac{\frac{(n+1)^{2}}{[value]^{n+1}}}{\frac{n^{2}}{[value]^{n}}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}/n^{2}+2n/n^{2}+1/n^{2}}{n^2/n^{2}}\\ &= \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+2/n+1/n^{2}}{1} \to \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+0+0}{1} = \frac{1}{[value]}, \text{kun } n\to\infty \end{align*} Since \(\frac{1}{[value]} < 1\), according to the ratio test the series converges.Koska \(\frac{1}{[value]} < 1\), suhdetestin perusteella sarja suppenee.

For what values of \(x\) does the following series converge?Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee? Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee?

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n} \]

Pick the correct answer from the following choices by typing the number corresponding to your choice on the box below.Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\(([value])\quad x<-[value]\) ortai \(x>[value]\)

\(([value])\quad\textrm{The series does not converge.Sarja ei suppene.}\)

\(([value])\quad-[value] < x < [value]\)

\(([value])\quad x<-\frac{1}{[value]}\) ortai \(x > \frac{1}{[value]}\)

\(([value])\quad-\frac{1}{[value]} < x < \frac{1}{[value]}\)

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{x} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} q^n, \ \text{wheremissä} \ q=\frac{-[value]}{x} \] Because the series is geometric, it converges when \(x\neq 0\) andSarja on geometrinen, joten se suppenee, kun \(x\neq 0\) ja \[|q|=\left| \frac{-[value]}{x} \right|=\frac{[value]}{|x|}<1 \Leftrightarrow |x|>[value] \Leftrightarrow x<-[value] \ \text{ortai} \ x>[value]. \]

Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[\displaystyle f(x)=[value]\]on jatkuva, positiivinen ja vähenevä, kun \(x\ge1\).

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. \(\infty\) merkitään inf.

Consider the convergence or divergence of the series \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] with the help of the integral test.

The function \[\displaystyle f(x)=[value]\] is continuous, positive and decreasing when \(x\ge1\).

Find the exact value of the improper integral \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo onThe exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja suppenee.Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. Model solution: The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] The series diverges by the integral test.

Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[\displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Kirjoita aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke sievennetyssä muodossa ilman sigmamerkkiä.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ \displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value])\\ &=([value]-[value])+([value]-[value])+([value]-[value]) + \cdots+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=[value]-[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Sarja siis suppenee. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Therefore the series converges.

Täydennä.

a) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k k}{3k+2}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \lim_{k\to \infty} \frac{k}{3k+2} = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .

Koska \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0, \, \lim_{k\to \infty}\frac{(-1)^k k}{3k+2}\) ei ole olemassa. Siis sarja |  | .

b) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k k^5\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Leibnizin testin perusteella |  | .

c) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .
Feedback: Malliratkaisu: Vuorottelevat sarjat tunnistaa kertoimesta \((-1)^{k+1}\) tai \((-1)^k\). Vuorotteleva sarja suppenee, jos molemmat Leibnizin testin ehdot täyttyvät eli \(a_k\geq a_{k+1}\) ja \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\). Jos ehdot eivät täyty, emme kuitenkaan voi suoraan sanoa sarjan hajaantuvan. Kuitenkin, jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0\), niin vastaavan vuorottelevan sarjan yleisen termin raja-arvoa ei ole olemassa eli sarja hajaantuu.

Q: Käytä vertailuperiaatetta ja arvioi (tilanteesta riippuen ylös- tai alaspäin) sarjaa niin pitkälle, etä saat yleisen termin \(a_n\) arvion muotoon \(\frac{b}{n^k}\), missä \(b \in \mathbb{R}_+\) ja \(k \in \mathbb{Q}_+\). Määritä lausekkeissa esiintyvät arvot \(b\) ja \(k\) sekä määritä suppeneeko vai hajaantuuko sarjat.

(a) \( \displaystyle a_n = [value] < \frac{b}{n^k} \), missä
\(b = \) ja \(k = \) .

Väite: Sarja \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty [value] \) suppenee hajaantuu.

(b) \( \displaystyle a_n = [value] \geq \frac{b}{n^k} \), missä
\(b = \) ja \(k = \) .

Väite: Sarja \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty [value] \) suppenee hajaantuu.
Feedback: Mallivastaus: (a) Koska \(n \in \mathbb{N} \), niin \([value] > [value] \). Vastaavasti \([value] < [value] \), ja siten saadaan arvioitua \( \displaystyle [value] < [value] < \frac{[value]}{[value]} = [value] \). Koska \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) on yliharmoninen sarja, ja siten se suppenee, niin majoranttiperiaatteen nojalla sarja \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) suppenee. (b) Koska \( n \in \mathbb{N} \), niin \(n \geq [value] \). Saadaan arvioitua \( \displaystyle [value] \geq \frac{1}{[value] + [value]} = [value] \). Koska \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) on harmoninen sarja, ja siten se hajaantuu, niin minorattiperiaatteen nojalla sarja \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) hajaantuu.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Käytä vertailuperiaatetta ja arvioi (tilanteesta riippuen ylös- tai alaspäin) sarjaa niin pitkälle, etä saat yleisen termin \(a_n\) arvion muotoon \(\frac{b}{n^k}\), missä \(b \in \mathbb{R}_+\) ja \(k \in \mathbb{Q}_+\). Tarkasta MathCheckillä, että arviosi jokainen välivaihe on oikein. Valitse lisäksi arviosi perusteella oikea vaihtoehto a- ja b-kohdan väittämille.

(a) \( \displaystyle a_n = [value] > \frac{b}{n^k} \), missä
\(b = \) ja \(k = \) .

Väite: Sarja \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty [value] \) suppenee hajaantuu.

(b) \( \displaystyle a_n = [value] \leq \frac{b}{n^k} \), missä
\(b = \) ja \(k = \) .

Väite: Sarja \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty [value] \) suppenee hajaantuu.
Feedback: Mallivastaus: (a) Koska \(n \in \mathbb{N} \), niin \([value] \leq [value] \). Lisäksi \( [value] > [value] \), ja siten saadaan arvioitua \( \displaystyle [value] > [value] \geq \frac{[value]}{[value] + [value]} = \frac{[value]}{[value]} = [value] \). Koska \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) on harmoninen sarja, ja siten se hajaantuu, niin minoranttiperiaatteen nojalla sarja \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) hajaantuu. (b) Koska \([value] \geq [value] \), niin saadaan arvioitua \( \displaystyle [value] \leq \frac{1}{\sqrt{[value]}} = [value] \). Koska \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) on yliharmoninen sarja, ja siten se suppenee, niin majorattiperiaatteen nojalla sarja \( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty [value] \) suppenee.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tehtävässä tarkastellaan sarjojen suppenemista suhdetestin avulla. Sievennä sarjan perättäisten termien suhde ja laske suhdeluku \(L\). Tämän jälkeen valitse oikeaa vertailuoperaatiota vastaata kirjain:
a: \(<\)
b: \(=\)
c: \(>\)
ja vastaa viimeiseen kohtaan \( \verb+suppenee+\), \(\verb+hajaantuu+\) tai \(\verb+undefined+\) suhdetestin perusteella.

(a) Tarkastellaan sarjaa \( \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n\left([value]\right)^n \), tällöin
\( \displaystyle L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \) \(=\) \(1\), joten sarja \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n\left([value]\right)^n\) suhdetestin perusteella.

(b) Tarkastellaan sarjaa \( \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty [value] \), tällöin
\( \displaystyle L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \) \(=\) \(1\), joten sarja \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty [value] \) suhdetestin perusteella.
Feedback: Mallivastaus: (a) Sarjan perättäisten termien suhdeluvuksi saadaan \( \displaystyle L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\left([value]\right)^{n+1}}{n\left([value]\right)^{n}} = \lim_{n \to \infty} [value]\frac{n\left([value]\right)^n + \left([value]\right)^n}{n\left([value]\right)^n} = \lim_{n \to \infty} [value]\frac{1 + 1/n}{1} = [value] \)\(> 1\) \(< 1\), joten suhdetestin perusteella sarja hajaantuu suppenee. (b) Sarjan perättäisten termien suhdeluvuksi saadaan \( \begin{aligned} L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{[value]}{[value]} \\ & = \lim_{n \to \infty} [value] \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2[value](n+1)([value]n + 1)}{(n+1)^2(n+1)} \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2(2n+1)}{(n+1)^2} \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3+2n^2}{n^2 + 2n + 1} \\ & = \lim_{n \to \infty} [value] = [value] > 1, \end{aligned} \) joten suhdetestin perusteella sarja hajaantuu.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: (a) Laske integraali (jos hajaantuu, vastaa \(\verb+hajaantuu+\))
\(\displaystyle [value] = \)

Valitse oikea vaihtoehto väittämälle: Sarja
\( \displaystyle [value] \) suppenee hajaantuu.

(b) Laske integraali (jos hajaantuu, vastaa \(\verb+hajaantuu+\))
\( \displaystyle [value] = \)

Valitse oikea vaihtoehto väittämälle: Sarja
\( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{[value]} \) suppenee hajaantuu.
Feedback: Mallivastaus: (a) Koska \( \displaystyle [value] = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}} [value] = \infty \), niin integraali hajaantuu. Koska sarjan \( \displaystyle [value] \) yleinen termi on sama kuin integroitava funktio, niin myös sarja hajaantuu. (b) \( \displaystyle [value] = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}}[value] = 0 - ([value]) = [value] \). Koska sarjan \( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{[value]} \) yleinen termi on sama kuin integroitava funktio, niin integraalin tavoin myös sarja suppenee.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: (a) Laske \( \displaystyle [value] = \) .

Valitse oikea vaihtoehto väittämälle: Sarja
\( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{[value]}} \) suppenee hajaantuu.

(b) Laske \( \displaystyle \lim_{n = \to \infty} [value] = \) .

Valitse oikea vaihtoehto väittämälle: Sarja
\( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} [value] \) suppenee hajaantuu.
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle [value] = \frac{1}{[value]^0} = \frac{1}{1} = 1 \). Koska sarjan \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{[value]}} \) yleisen termin raja-arvo äärettömyydessä ei ole nolla, sarja hajaantuu. (b) \( \displaystyle \lim_{n = \to \infty} [value] = 0\). Vaikka sarjan \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} [value] \) yleisen termin raja-arvo äärettömyydessä onkin nolla, siitä ei vielä voida päätellä, että sarjan suppenee. Koska kyseessä on harmoninen sarja kerottuna vakiolla \( [value] \), niin sarja hajaantuu.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.