Title: Joukko-oppi ja logiikka

Ratkaise yhtälö \( ([value])^2=([value])^2.\) Vastaukseksi tulee kolme \( x \):n arvoa (joista jotkut tai kaikki voivat olla yhtä suuria).

Huom! Esimerkiksi luku \( \frac{1+\sqrt{2}}{3} \) syötetään kirjoittamalla (1+sqrt(2))/3.

\( x_1 = \)

\( x_2 = \)

\( x_3 = \)

Määritä lausekkeen \( [value] \) nollakohdat. Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna X/Y.

Vastaus:

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-10 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan vain itsellään ja ykkösellä. Muut luvut eli yhdistetyt luvut voidaan esittää alkulukujen tuloina.

Väite: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väitteen oletusosa: Tämä väite ei sisällä varsinaista oletusosaa.

Väitteen johtopäätösosa: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väite: Jos \(a\) on irrationaaliluku eli \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), niin \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen oletusosa: \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen johtopäätösosa: \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väite: Jos\(0a^2\).

Väitteen oletusosa: \(0

Väitteen johtopäätösosa: \(a>a^2\)

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta sivujanasta ja kolmesta kulmasta, jotka ovat kaikki suurempia kuin nollakulma.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Väitteen oletusosa: Tarkasteltava kuvio on kolmio.

Väitteen johtopäätösosa: Tarkasteltavalla kuviolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus.

Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa suurin alkuluku.
Merkitään suurinta alkulukua kirjaimella \(n\).
Jatkossa \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n\) tarkoittaa kaikkien alkulukujen tuloa.
Merkitään lisäksi \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1\).
Jos lukua \(m\) jaetaan millä tahansa alkuluvulla \(2,3,5,7,\ldots,n\), saadaan jakojäännökseksi 1.
Siis luvulla \(m\) ei ole alkulukutekijöitä.
Näin ollen \(m\) on alkuluku, jolloin oletuksen mukaan \(m\leq n\).
Kuitenkin \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1>n\), mikä on ristiriita.
Koska väitteen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska väitteen negaatio on epätosi, väite on tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\).
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(\frac{3a+1}{2a−3}\in \mathbb{Q}\).
Tällöin voi merkitä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\), missä \(m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). Huom. Myös \(m\neq 0\) tai muuten \(a\in \mathbb{Q}\).
Lisäksi voidaan olettaa, että \(\frac{m}{n}\) on supistettu muoto eli lukujen \(m\) ja \(n\) suurin yhteinen tekijä on 1.
Esityksestä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\) saadaan ristiin kertomalla \(3n\cdot a+n=2m\cdot a−3m\).
Jos \(3n=2m\) (eli \(n=\frac{2}{3}m\)), niin edellisestä yhtälöstä voidaan päätellä, että \(n=−3m\).
Siis \(\frac{2}{3}m=−3m\), joka on mahdollista vain kun \(m=0\), mikä on ristiriita.
Jos taas \(3n\neq 2m\), saadaan samasta yhtälöstä ratkaistua \(a=\frac{−3m−n}{3n−2m}\in \mathbb{Q}\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti molemmissa tapauksissa ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\) siten, että \(0
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(a\leq a^2\).
Koska \(a\leq a^2\), niin \(a−a^2\leq 0\).
Siis \(a(1−a)=a−a^2\leq 0\).
Koska oletuksen mukaan \(a<1\), niin \(1−a>0\).
Samanaikaisesti pätee siis \(a(1−a)\leq 0\) ja \(1−a>0\).
Tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että \(a\leq 0\).
Oletuksen mukaan \(a>0\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(ABC\) kolmio.
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että kolmiolla \(ABC\) on vähintään kaksi suoraa kulmaa.
Merkitään kolmion \(ABC\) kulmia kirjaimilla \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\).
Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia merkitsevät ainakin \(\alpha\) ja \(\beta\).
Koska kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat suoria kulmia, niiden suuruus on \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) (radiaania).
Tiedetään, että kolmion kulmien summa on \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) (radiaania).
Nyt siis pätee \(\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma =\pi+\gamma =\pi \).
Näin ollen kulman \(\gamma\) suuruus on \(\gamma=0\), joka on ristiriidassa sen kanssa, että \(ABC\) on kolmio.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.

a) Määritä luvun \( [value] \) käänteisluku.

Anna vastaus tarkkana arvona, murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja!

Vastaus:

b) Määritä luvun \( [value] \) vastaluku. Anna vastaus tarkkana arvona!

Vastaus:

c) Määritä luvun \( [value] \) itseisarvo. Anna vastaus tarkkana arvona!

Vastaus:

d) Mikä on luvun \( [value] \) käänteisluvun vastaluku? Anna vastaus murtolukuna, ei desimaalilukuna!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: a) Luvun \( a \) käänteisluku on \( 1/a \), joten luvun \( [value] \) käänteisluku on \( \frac{1}[value] \). b) Luvun ja sen vastaluvun summa on 0, joten luvun \( [value] \) vastaluku on \( -[value] \), sillä \( [value]-[value]=0 \). c) Luvun \( a \) itseisarvo on \( a \), kun \( a\geq 0 \) ja \( -a \), kun \( a<0 \). Luvun \( [value] \) itseisarvo on siis \( [value] \). d) Luvun \( a \) käänteisluku on \( 1/a \), joten luvun \( [value] \) käänteisluku on \( \frac{1}[value] \). Luvun ja sen vastaluvun summa on 0, joten luvun \( [value] \) vastaluku on \( [value] \). Luvun \( [value] \) käänteisluvun vastaluku on siis \( [value] \).

Täydennä lauseen totuustaulukko. Kirjoita jokaiseen vastausruutuun joko 1 (tosi) tai 0 (epätosi).

\(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(p \lor q\) | \(p \wedge q\) | \(\lnot (p \wedge q)\)
1 | 1 |  |  |
1 | 0 |  |  |
0 | 1 |  |  |
0 | 0 |  |  |

Syötä jokaiseen vastausruutuun vastaus, muuten tarkastus ei toimi.
Feedback: Malliratkaisu: \(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(p \lor q\) | \(p \wedge q\) | \(\lnot (p \wedge q)\) 1 | 1 | 1 | 1 | 0 1 | 0 | 1 | 0 | 1 0 | 1 | 1 | 0 | 1 0 | 0 | 0 | 0 | 1

Q: Valitse väitelauseen negaatiota vastaava lause pudotusvalikosta.
- On juhannus. | Ei ole juhannus.
- Ulkona sataa rakeita tai on juhannus. | Ulkona ei sada rakeita ja ei ole juhannus.
- On juhannus ja ulkona sataa rakeita. | Ei ole juhannus tai ulkona ei sada rakeita.
- Kaikki suomalaiset viettävät juhannusta. | Joku suomalainen ei vietä juhannusta.
- Ulkona ei sada rakeita ja on juhannus. | Ulkona sataa rakeita tai ei ole juhannus.
- Kaikki suomalaiset eivät vietä juhannusta. | Joku suomalainen viettää juhannusta.
Also offered: Olisipa juhannus; Ulkona ei sada rakeita tai on juhannus.; Ei ole juhannus tai ulkona ei sada rakeita.; Kaikki suomalaiset eivät vietä juhannusta.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Mallivastaus: Olkoot väitelauseet \(p=\text{"on juhannus"}\) ja \(q=\text{"ulkona sataa rakeita"}\). Tehtävässä hyödynnetään de Morganin lakeja 1. \[\lnot (p \lor q) = \lnot p \wedge \lnot q\] 2. \[\lnot (p \wedge q) = \lnot p \lor \lnot q\] ja kaksoisnegaation lakia \[\lnot (\lnot p) = p.\] Siis lauseen \(p\) negaatio on \( \lnot p\) eli "Ei ole juhannus". Negaatiossa \( \lnot (q \lor p)\) hyödynnetään de Morganin lakia \(\lnot (q \lor p) = \lnot q \wedge \lnot p\), jolloin lauseen "Ulkona sataa rakeita tai on juhannus" negaatio on "Ulkona ei sada rakeita ja ei ole juhannus". Negaatiossa \( \lnot (p \wedge q)\) hyödynnetään toista de Morganin lakia \(\lnot (p \wedge q) = \lnot p \lor \lnot q\), jolloin lauseen "On juhannus ja ulkona sataa rakeita" negaatio on "Ei ole juhannus tai ulkona ei sada rakeita". Olkoot \(x = \text{"suomalaiset"}\) ja ominaisuus \(p = \text{"viettää juhannusta"}\), jolloin väitelause "Kaikki suomalaiset viettävät juhannusta" voidaan merkitä matemaattisesti \( \forall x : p(x)\). Koska seuraava looginen ekvivalenssi pätee \(\lnot(\forall x : p(x)) \leftrightarrow \exists x : \lnot p(x)\), on lauseen negaatio tällöin "Joku suomalainen ei vietä juhannusta". Negaatiossa \( \lnot (\lnot q \wedge p)\) hyödynnetään toista de Morganin lakia sekä kaksoisnegaation lakia, joilloin \(\lnot (\lnot q \wedge p) = \lnot(\lnot q) \lor \lnot p = q \lor \lnot p\). Siis lauseen "Ulkona ei sada rakeita ja on juhannus" negaatio on "Ulkona sataa rakeita tai ei ole juhannus". Olkoot \(x = \text{"suomalaiset"}\) ja ominaisuus \(p = \text{"viettää juhannusta"}\), jolloin väitelause "Kaikki suomalaiset eivät vietä juhannusta" voidaan merkitä matemaattisesti \( \forall x : \lnot p(x)\). Hyödyntämällä loogista ekvivalenssia \(\lnot(\forall x : p(x)) \leftrightarrow \exists x : \lnot p(x)\), saadaan lause muotoon \(\lnot(\forall x : \lnot p(x)) \leftrightarrow \exists x : \lnot (\lnot p(x))\), johon käyttämällä kaksoisnegaation lakia saadaan muoto \(\exists x : \lnot (\lnot p(x)) = \exists x : p(x)\) eli "Joku suomalainen viettää juhannusta".

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä joukot:

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A =\)

\(\textbf{(b)}\quad B =\)

\(\textbf{(c)}\quad C =\)

Määritä lisäksi seuraavat:

\(\textbf{(d)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(e)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(f)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(g)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \(\textbf{(a)}\) \[ \begin{align*} A = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) \[ \begin{align*} B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) \[ \begin{align*} C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(e)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(f)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(g)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]

Q: Joukkojen välisiä operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin kaavioiden avulla. Valitse kaavioita vastaavat joukko-operaatiot pudotusvalikosta.
- a) [Image] | A ∪ B
- b) [Image] | Ā
- c) [Image] | A ∩ B
- d) [Image] | A \ B
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]

Konjektuuriksi sanotaan väitettä, jota ei ole vielä todistettu todeksi eikä epätodeksi. Jos alla oleva konjektuuri olisi epätosi, mikä seuraavista olisi vastaesimerkki, joka kumoaa väitteen?

Legendren konjektuuri: Lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku, kun \(n>1\) on mikä tahansa kokonaisluku.

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \(n^2\) ja pienempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on pienempi kuin \(n^2\)

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku

[value] kokonaisluku \(n> 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

Goldbachin vahva konjektuuri: Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun summa.

[value] kakkosta pienempi pariton kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jota ei voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta pienempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

Riemannin hypoteesi: Kompleksimuuttujan \(s\) zeetafunktion \(\zeta (s)\) kaikki imaginääriset nollakohdat ovat kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on jonkun muun tason kuin kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason jollain muulla käyrällä kuin suoralla, mutta jolle pätee \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

Andrican konjektuuri: Kahden peräkkäisen alkuluvun neliöjuurten erotus on ykköstä pienempi.

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

Churchin-Turingin teesi: Mikä tahansa mekaanisesti ratkaistava ongelma voidaan ratkaista Turingin koneella.

[value] Turingin kone, joka ei pysty ratkaisemaan yhtään ongelmaa, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan yhden ongelman, joka ei ole mekaanisesti ratkaistava

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan kaikki ongelmat, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista Turingin koneella, mutta voidaan ratkaista mekaanisesti

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti eikä Turingin koneella

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti, mutta voidaan ratkaista Turingin koneella

Erdösin-Straussin konjektuuri: Yhtälöllä \(\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) on positiivisista kokonaisluvuista \(a, b\) ja \(c\) koostuva ratkaisu jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\).

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\)

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] positiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön jokainen ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n < 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

Collatzin konjektuuri: Aloitetaan mistä tahansa positiivisesta kokonaisluvusta. Jos luku on parillinen, jaetaan se kahdella ja jos pariton, kerrotaan kolmella ja lisätään yksi. Toistetaan lopputulokselle sama operaatio ja jatketaan operointia edellisen toistokerran lopputulokselle. Tämä prosessi saavuttaa aloitusluvun valinnasta riippumatta jossain vaiheessa arvon \(1\).

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi päättyy johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

Kirjoita kuvissa annetut välit käyttäen kurssin merkintöjä. Valitse välejä \(I_1\) ja \(I_2\) varten oikeat sulut ja päätepisteet. Jos välin toinen päätepiste ei ole kuvassa, väli on rajoittamaton. Valkoinen pallo: piste ei ole mukana joukossa. Punainen pallo: piste on mukana joukossa. Anna ei-kokonaisluvut murtolukuina, älä käytä desimaali- tai sekalukuja. Esim. ei \(5,5\) tai \(5\frac{1}{2} \), vaan \(11/2\). Ääretön annetaan kirjoittamalla inf.

\(I_1 = \,\) ,

\(I_2 = \,\) ,

Yhdistä merkki ja sen tarkoitus.

\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |

Valitse vastaus jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

Alla on lainauksia lastenlauluista ja joululauluista. Mitkä niistä ovat lauselogiikan lauseita ja mitkä eivät?

Jos kyseessä on lauselogiikan lause, valitse pudotusvalikosta "Tosi" ja jos ei ole, valitse "Epätosi".

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Osoita totuustaulutarkastelun avulla:

\(\textbf{(a)}\) Osittelulaki: \( p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \). Ts. osoita, että \(p \lor (q \land r)\) ja \((p \lor q) \land (p \lor r) \) ovat loogisesti ekvivalentteja.

\(\textbf{(b)}\) Suora todistus: \( p \land (p \to q) \Rightarrow q.\)

Vihje: Kannattaa ratkaista tehtävä ensin paperilla ja sijoittaa sitten puuttuvat alkiot STACKiin.

\(\textbf{(a)}\) Täytä allaolevaan totuustauluun puuttuvat alkiot (siis x:llä merkityt). Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (* & p \lor (q \land r) \leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (*** \\ \hline 1 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ \end{array}\)

Allaolevassa taulukossa on tilan puutteen vuoksi kaksi viimeistä saraketta merkitty yhdellä ja kolmella tähdellä. Katso ylläolevasta taulukosta, mitä niiden kohdalla kuuluu olla.

\(\quad p \quad | \quad q \quad | \quad r \quad\) | \( \quad q \land r \quad \, \) | \(p \lor q \) | \( p \lor r \) | \(p \lor (q \land r) \) | \( * \) | \(*** \)
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\) |
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)

\(\textbf{(b)}\) Täytä allaolevan totuustaulun puuttuvat alkiot. Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\quad p \quad | \quad q \quad\) | \(\quad \quad p \to q \quad \quad\) | \(p \land (p \to q) \quad \) | \(p \land (p \to q) \Rightarrow q \)
\(1 \quad | \quad 1\) |
\(1 \quad | \quad 0\)
\(0 \quad | \quad 1\)
\(0 \quad | \quad 0\)
Feedback: Mallivastaus: \(\textbf{(a)}\) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) & p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\) \( \textbf{(b)} \) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & p \land (p \to q) & p \land (p \to q) \Rightarrow q \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \)

Q: Täydennä totuustaulu

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\)
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Täydennä lauseen \(A\) totuustaulukko. Kirjoita jokaiseen vastausruutuun joko 1 (tosi) tai 0 (epätosi).

\(A\colon [value]\)

\(\ p\ \) | \(\ q\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ [value]\ \) | \(\ A\ \)
1 | 1 |  |  |  |  |
1 | 0 |  |  |  |  |
0 | 1 |  |  |  |  |
0 | 0 |  |  |  |  |

Onko \(A\) tautologia?

Syötä jokaiseen vastausruutuun vastaus ja valitse viimeisen kysymyksen vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n-[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n-[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k - [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^k - [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} - [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Pohdi seuraavia kysymyksiä ja vastaa sitten kysymyksiin. Valitse "tosi", jos vastauksesi on kyllä ja "epätosi", jos vastauksesi on ei.

Tarkastellaan joukkoja \( A = [value] \) ja \( B = [value] \).

(a) Onko \( A \subseteq B \)? Entä onko \( B \subseteq A \) ?
(b) Kuuluuko \( a \) joukkoon \( A \)? Entä kuuluuko \( a \) joukkoon \( B \)?
(c) Kuuluuko \( \{a\} \) joukkoon \( A \)? Entä kuuluuko \( \{a\} \) joukkoon \( B \)?
(d) Onko \( \{b,c\} \subseteq B \)? Entä onko \( \{b,c\} \subseteq A \)?
(e) Onko \( \{a\} \subseteq B \)? Entä onko \( \{a\} \subseteq A \)?

Mitkä seuraavista joukoista tyhjiä?

(a)

(b)

(c)

(d)

Tässä \(]a,b[\) on siis avoin väli \(\{x\in \mathbb R\,:\, a\lt x \lt b\}\) ja \([a,b]\) on suljettu väli \(\{x\in \mathbb R\,:\, a\leq x \leq b\}\).

Anna vastauksesi joukkona muodossa \(\{a,c,d\}\).

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu: (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] 0, \frac [value][value]\right [\) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin \(x>0\) ja silloin löytyy luku \([value]_0 \geq 1\) siten, että \( \frac [value]{[value]_0}< x\) mutta silloin \(x\notin \left ] 0, \frac [value]{[value]_0}\right [ \) joten \(x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty \left] 0, \frac [value][value]\right [\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left[ 0, \frac [value][value]\right ]\) ei ole tyhjä koska siihen kuuluu luku \(0\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] -\frac [value][value],0\right [\) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin \(x<0\) ja silloin löytyy luku \([value]_0 \geq 1\) siten, että \(x<- \frac [value]{[value]_0}\) mutta silloin \(x\notin \left( -\frac [value]{[value]_0},0\right ) \) joten \(x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] -\frac [value][value],0\right [\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left[ -\frac [value][value],0\right ]\) ei ole tyhjä koska siihen kuuluu luku \(0\). (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^3+[value]x^2 - [value] x+ [value]=0\}\) ei ole tyhjä koska funktio \(f(x)=x^3+[value]x^2 - [value] x+ [value]\) on jatkuva, \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ja \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) joten sillä on ainakin yksi nollakohta. (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^5-[value]x^4 + [value] x^2- [value]=0\}\) ei ole tyhjä koska funktio \(f(x)=x^5-[value]x^4 + [value] x^2- [value]\) on jatkuva, \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ja \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) joten sillä on ainakin yksi nollakohta. (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^2+[value]x + [value] =0\}\) on tyhjä koska \(x^2+[value]x + [value] = (x+[value])^2+ 1\geq 1 >0\) kaikilla \(x\in \mathbb R\). (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^2-[value]x + [value] =0\}\) on tyhjä koska \(x^2-[value]x + [value]= (x-[value])^2 +3 \geq 3 >0\) kaikilla \(x\in \mathbb R\). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ][value],\infty[ \) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin se olisi reaaliluku ja silloin on olemassa luku \([value]_0\geq 1\) siten että \([value]_0\geq x\) josta seuraa, että \( x\notin ][value]_0,\infty[\) joten \( x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty ][value],\infty[ \). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-\infty, [value][ \) ei ole tyhjä koska siihen kuuluvat kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin \( 1\). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-\infty, -[value][ \) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin se olisi reaaliluku ja silloin on olemassa luku \([value]_0\geq 1\) siten että \(-[value]_0\leq x\) josta seuraa, että \( x\notin ]-\infty, -[value]_0[\) joten \( x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty (-\infty, -[value]) \). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-[value],\infty[ \) ei ole tyhjä koska siihen kuuluvat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin \(-1\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \sin(x)=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\sin(x)\,:\, x\in \mathbb R\}= [-1,1]\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \cos(x)=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\cos(x)\,:\, x\in \mathbb R\}= [-1,1]\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \textrm{e}^x=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\textrm{e}^x\,:\, x\in \mathbb R\}= (0,\infty)\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \textrm{e}^{-x}=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\textrm{e}^{-x}\,:\, x\in \mathbb R\}= ]0,\infty[\).

The sets \(A\), \(B\), and \(C\) contains the points inside the corresponding circles below.Tasojoukkoihin \(A\), \(B\) ja \(C\) kuuluvat alla olevien vastaavien ympyröiden sisäpuolella olevat pisteet.

Now you should decide which of the sets below isNyt tehtävänäsi on on päätellä mikä alla olevista joukoista on \[ ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \] and which isja mikä on \[ ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]}. \]

\( ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \) is figureon kuviossa

\( ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \) is figureon kuviossa
Feedback: Mallivastaus:

(a) Olkoon perusjoukko \(E = \{1,2,\ldots,10\}\) ja joukot \( A = [value] \), \( B = [value] \), \( C = [value] \) ja \(D = [value]\).

Esitä alla olevat joukot kuten yllä luettelemalla niiden alkiot aaltosulkujen sisällä ja pilkuilla eroteltuna. Tyhjä joukko on {}.

\( A \cap B =\) \( (B \cup C) \cap D =\)
\( A \cap C \cap D =\)
\(E - (A \cup B) =\)

(b) [value] opiskelijan joukosta [value] opiskelee Python-ohjelmointikieltä, [value] opiskelee C++:aa ja [value] opiskelee näitä molempia. Kuinka monta sellaista opiskelijaa on, joka ei opiskele kumpaakaan ko. kielistä?

Vastaus:

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} &= \dfrac{6a^2}{a^6 a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^4 a^{3/2}} \\ & = \dfrac{6}{a^{8/2} a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^{11/2}} \\ & = \dfrac{6}{(\sqrt{a})^{11}}. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} &= \dfrac{2^{x-1}2^{3(x+1)}}{2^{2(2x+4)}} = \dfrac{2^{x-1}2^{3x+3}}{2^{4x+8)}} \\ \\ &= \dfrac{2^{4x+2}}{2^{4x+8}} = 2^{(4x+2)-(4x+8)} \\ \\ &= 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}. \end{align} \)

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\) \(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge (r \vee \neg p) )\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow( \neg q \vee p) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\) \(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\) \(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\) \(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\) \(\Rightarrow q \wedge r\) \(\Rightarrow r\) | \(\quad \)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Alla on todistettu kaksi eräs joukko-operaatioihin liittyvää laskulakia. Kerro, mitä todistuksissa todistuksessa tehdään valitsemalla pudotusvalikosta ekvivalenssin yhteydessä käytetty sääntö.

\((A^c)^c = A\) ja \(A\cup B = B\cup A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A^c)^c = A \) ja \(A\cap B = B\cap A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cup C)\)

\((A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cap C)\)

\((A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cup C)\)

\((A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cap C)\)

\(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cap C)\) |
\(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) ja \(x\in C)\) |
\(x\in A\cup B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in B\)

\(x\in A\cap B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in B\) \(\Leftrightarrow (x\in A \) tai \(x\in B)\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) tai \((x\in A\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) tai \(x\in B)\) ja \((x\in A\) tai \(x\in C)\)
\(\vphantom{A\cup B}\)

\(\vphantom{A\cap B}\)
\(\Leftrightarrow x\in B\) tai \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in B\) ja \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) tai \(x\in A\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\) |
\(\Leftrightarrow x\in B\cup A\) \(\Leftrightarrow x\in B\cap A\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\) |

Ovatko seuraavat lauseet tautologioita? Vihjeenä jokaisen lauseen totuustaulun alkuosa.

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value]\)
[value] |

/**/

Eräässä rantalomakohteessa lomakausi kestää 120 päivää. Aiempina lomakausina keskimäärin \([value] \%\) päivistä on ollut sateisia. Jäätelökauppias arvioi saavansa poutapäivinä \([value]\) euroa nettovoittoa ja tekevänsä sadepäivinä \([value]\) euroa tappiota. Miten paljon kauppias voi arvioida ansaitsevansa yhden päivän aikana keskimäärin eli mikä on päivittäisen voiton odotusarvo?

Käytä tarvittaessa desimaalierottimena pistettä.

\(E(X)=\)
Feedback: Mallivastaus: Odotusarvo saadaan, kun päivittäisen voiton mahdollisia arvoja \([value]\) ja \(-[value]\) painotetaan niitä vastaavilla todennäköisyyksillä: \([value] \cdot [value] + [value] \cdot (-[value]) = [value]\).

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Sievennä lauseke \( (ax^2-b)+(cx-d)^n (x^m+u)\) polynomiksi, kun \( a=[value] \), \( b=[value] \), \( c=[value] \), \( d=[value] \), \( u=[value] \), \( m=[value] \) ja \( n=[value] \).

Kirjoita polynomi seuraavaan tapaan, huomaa kerto- ja potenssimerkit. Esimerkiksi \( 2x^4-3x^2+5 \) kirjoitetaan 2*x^4-3*x^2+5.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Annetuilla arvoilla \( ax^2-b=[value] \), \( (cx-d)^n=[value] \) ja \( x^m+u=[value] \), jolloin \( (cx-d)^n (x^m+u)=[value] \). Yhdistämällä termit saadaan vastaus \( [value] \).

Arpakuutiota heitetään [value] kertaa. Millä todennäköisyydellä kuutosia saadaan

a) kolme

b) vähintään kolme?

Vastaus 3 desimaalin tarkkuudella.

a) Vastaus= |  |  |

Laske lausekkeen \(\frac[value][value]\colon \frac[value][value]\) arvo. Ilmoita luku murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} \frac[value][value]\colon \frac[value][value] & = & \frac[value][value]\cdot \frac[value][value] \\ & = & \frac{[value]\cdot [value]}{[value]\cdot [value]} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske lausekkeen \( [value]-\frac[value][value]+\frac[value][value] \) arvo.

Ilmoita luku tarvittaessa murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Murtoluku muodostetaan muuttamalla termit samannimisiksi (esim. laventamalla luvut niiden pienimmän yhteisen jaettavan \([value]\) suuruisiksi) ja summaamalla luvut yhteen. Yksinkertaisimmassa esitysmuodossaan vastaus on \([value]\).

Mikä on luvun \( [value] \) käänteisluvun vastaluku?

Anna vastaus murtolukuna, ei desimaalilukuna!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Luvun \( a \) käänteisluku on \( 1/a \), joten luvun \( [value] \) käänteisluku on \( \frac{1}[value] \). Luvun ja sen vastaluvun summa on 0, joten luvun \( [value] \) vastaluku on \( [value] \). Luvun \( [value] \) käänteisluvun vastaluku on siis \( [value] \).

Laske lausekkeen \( x^[value]+x^[value] \) arvo, kun \( x=[value] \).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Lausekkeen \( x^[value]+x^[value] \) arvo kohdassa \( x=[value] \) on \( [value]^[value]+[value]^[value]=[value] \).

Laske lausekkeen \( [value] \) arvo, kun \( d \) :llä on arvo \( 4 \).

Anna vastaus tarvittaessa murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Lausekkeen \( [value] \) arvo, kun \( x=4 \) on \( \frac[value]{4^[value]}+[value]=[value]. \) \( \frac{4^[value]}[value]+[value]=[value]. \)

Määritä luvun \( [value] \) itseisarvo.

Anna vastaus tarkkana arvona!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Luvun \( a \) itseisarvo on \( a \), kun \( a\geq 0 \) ja \( -a \), kun \( a<0 \). Luvun \( [value] \) itseisarvo on siis \( [value] \).

Määritä luvun \( [value] \) vastaluku.

Anna vastaus tarkkana arvona!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Luvun ja sen vastaluvun summa on 0, joten luvun \( [value] \) vastaluku on \( -[value] \), sillä \( [value]-[value]=0 \).

Määritä luvun \( [value] \) käänteisluku.

Anna vastaus tarkkana arvona, murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Luvun \( a \) käänteisluku on \( 1/a \), joten luvun \( [value] \) käänteisluku on \( \frac{1}[value] \).

Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja \(X\) on funktio, joka liittää jokaiseen alkeistapaukseen reaaliluvun. Tapahtumaa, joka liittää alkeistapaukseen \(e\) luvun \(x\), merkitään \(X(e)=x\) ja lyhyemin \(X=x\).

Esimerkki 1

Kolikonheitossa pelaaja voittaa kruunalla \(2\) euroa ja häviää klaavalla \(3\) euroa. Nyt voiton suuruutta kuvaava satunnaismuuttuja liittää alkeistapaukseen "kruuna" luvun \(2\) ja alkeistapaukseen "klaava" luvun \(-3\). Siis \(X(\text{kruuna})=2\) ja \(X(\text{klaava})=-3\).

Selvitä, onko lause tosi vai epätosi:

\( \begin{align*} & \textbf{(a) } \exists\, x\in[1,[value]]:\ [value] \qquad \textbf{(b) } \forall\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0\\ & \textbf{(c) } \exists\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0 \quad \textbf{(d) } \forall\, x\in\mathbb{N}\ \exists\,y\in\mathbb{R}:\ \frac{y}{x}=3 \end{align*} \)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

\( \textbf{(a)} \) \( \quad \) \( \textbf{(b)} \)

\( \textbf{(c)} \) \( \quad \) \( \textbf{(d)} \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) [value]. Suomeksi väite tarkoittaa: Väliltä \([1,[value]]\) löytyy reaaliluku, joka on aidosti [value] kuin [value]. Huomaamme, että tämä väite on [value] kaikilla \(x\in [1,[value]]\), eli väite on /* tosi */ [value]. \( \textbf{(b)} \) Epätosi. Väite ei ole tosi, valitsemalla esimerkiksi \(x=0\). \( \textbf{(c)} \) Tosi. Yhtälön ratkaisuiksi saadaan \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=1. \] Eli nähdään, että löytyy \(x=1\in\mathbb{R}\), jolla polynomi saa arvon \(0\). Näin ollen väite on tosi. \( \textbf{(d)} \) Tosi. Koska \(x\) on luonnollinen luku (eli \(1,2,3,....\)), niin erityisesti \(x\neq 0\) ja jakolasku \(y/x\) on aina hyvin määritelty. Jos \(x\):ää kohden valitaan \(y=3x\in\mathbb{R}\), nähdään, että yhtälö toteutuu \[ \frac{y}{x}=\frac{3x}{x}=3, \] ja väite on tosi.

Laske seuraavien lausekkeiden arvot, kun \( a=[value] \) ja \( b=[value] \).

Anna vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina X/Y!

\( \sqrt{a} \sqrt{b}=\)

\( \sqrt{a}+\sqrt{b}= \)

\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \)
Feedback: Mallivastaus: \( a=[value] \) ja \( b=[value] \). \( \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt[value] \sqrt[value] =[value]\cdot [value]=[value] \) \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt[value]+\sqrt[value]=[value]+[value] \) \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt[value]}{\sqrt[value]}=\frac[value][value] \)

Kirjoita ruutuun \(1\), jos väite on tosi ja \(0\), jos se on epätosi.

(1) \([value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q}\)

(2) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q} \)

(3) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{N} \)

(4) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
Feedback: Mallivastaus: (1) Kokonaisluvut voidaan kirjoittaa murtolukumuodossa \(\frac{[value]}{1}\) eli se kuuluu rationaalilukuihin \(\mathbb{Q}\) , joten oikea vastaus on [value]. (2) Murtoluku [value] kuuluu rationaalilukuihin \(\mathbb{Q}\), joten oikea vastaus on [value]. (3) Negatiiviset luvut eivät kuulu luonnollisiin lukuihin \(\mathbb{N}\), joten oikea vastaus on [value]. (4) Luonnollisten luvut \(\mathbb{N}\) ovat reaalilukujen \(\mathbb{R}\) osajoukko, sillä kaikki luonnolliset luvut kuuluvat reaalilukuihin eli oikea vastaus on [value].

Kirjoita ruutuun \(1\), jos väite on tosi ja \(0\), jos se on epätosi.

1) \([value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q}\)
2) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q} \)
3) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{N} \)
4) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
5) \( \forall A,B,C: (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C \)
6 \( \forall A,B,C: (A \subseteq C) \Rightarrow (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \)

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

Olkoot \(A=[value]\), \(B=[value]\) ja \(C=[value]\) . Määritä

\(A\cup (B \cap C)\)=

\(A\cap B \cap C\)=

\((A\cup B)\setminus C\)=

\(B\setminus (A\cap C)\)=

Joukko \(\{1,2,3\}\) kirjoitetaan vastauksessa muodossa \({\tt \{1,2,3\}}\) ja tyhjä joukko \(\emptyset\) kirjoitetaan muodossa \({\tt \{\}}\).
Feedback: Mallivastaus: \(A\cup (B \cap C)=A\cup[value]=[value]\) \(A\cap B \cap C=A\cap [value]=[value]\) \((A\cup B)\setminus C= [value]\setminus C= [value]\) \(B\setminus (A\cap C)=B\setminus [value]=[value]\)

Let \(A=[value]\) and \(B=[value]\). Determine \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\), and \(B\setminus A\).Olkoot \(A=[value]\) ja \(B=[value]\). Määritä \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\) ja \(B\setminus A\).

In the answer, set \(\{1,2,3\}\) should be written as \({\tt \{1,2,3\}}\) and empty set \(\emptyset\) should be written as \({\tt set()}\) or \({\tt \{\}}\).Joukko \(\{1,2,3\}\) kirjoitetaan vastauksessa muodossa \({\tt \{1,2,3\}}\) ja tyhjä joukko \(\emptyset\) kirjoitetaan muodossa \({\tt \{\}}\).

\(A\cup B\)=

\(A\cap B\)=

\(A\setminus B\)=

\(B\setminus A\)=
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The set \(A\cup B\) contains elements that belong either to set \(A\) or \(B\) (or both) so in this case \( A\cup B = [value]\).Joukkoon \(A\cup B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) tai joukkoon \(B\) (tai molempiin) joten tässä tapauksessa \( A\cup B = [value]\). The set \(A\cap B\) contains elements that belong both to set \(A\) and \(B\) so in this case \( A\cap B = [value]\).Joukkoon \(A\cap B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat sekä joukkoon \(A\) että joukkoon \(B\) joten tässä tapauksessa \( A\cap B = [value]\). The set \(A\setminus B\) contains elements that belong to set \(A\) but do not belong to set \(B\) so in this case \( A\setminus B = [value]\).Joukkoon \(A\setminus B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) mutta eivät kuulu joukkoon \(B\) joten tässä tapauksessa \( A\setminus B = [value]\). The set \(B\setminus A\) contains elements that belong to set \(B\) but do not belong to set \(A\) so in this case \( B\setminus A = [value]\).Joukkoon \(B\setminus A\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(B\) mutta eivät kuulu joukkoon \(A\) joten tässä tapauksessa \( B\setminus A = [value]\).

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Määritellään tämän muuttujan avulla \(x=2n+1\).
Tällöin \(x\) esittää mitä tahansa paritonta kokonaislukua.
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Järjestä numeroimalla osajoukkotodistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{N} : x \text{ on parillinen}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{N} : x = 6s+10t, \text{ missä } s,t\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{Z} : x=4k+1 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{Z} : x = 4k-3 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja. Todista, että \(A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Todistus.

Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=2k\) jollekin \(k\in \mathbb{Z}\).
Luku \(2\) on parillinen ja voidaan kirjoittaa \(2=6\cdot 2+10(-1)\).
Tässä esityksessä \(s=2\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-1\in \mathbb{Z}\), joten \(2\in B\).
Sijoitetaan luvun \(2\) esitys yhtälöön \(x=2k\).
Tällöin \(x=2k = \big( 6\cdot 2+10(-1)\big) k = 6\cdot 2k+10(-k)\).
Tässä esityksessä \(s=2k\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-k\in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=4m+1\) jollekin \(m\in \mathbb{Z}\).
Olkoon \(n=m+1\).
Tällöin \(m=n-1\).
Sijoitetaan \(m=n-1\) yhtälöön \(x=4m+1\).
Tällöin \(x=4m+1 = 4(n-1)+1 = 4m-4+1 = 4n-3\).
Siis \(x = 4n-3\) luvulle \(n=m+1 \in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\cup (B\cap C)\).
Tällöin \(x\in A\) tai \(x\in B\cap C\) yhdisteen määritelmän mukaan.
Tapauksessa \(x \in A\) yhdisteen määritelmän mukaan \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Tapauksessa \(x \in B\cap C\) leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in B\) ja \(x\in C\).
Edelleen, koska \(x\in B\) ja \(x\in C\), niin \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Molemmissa tapauksissa \(x \in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Näin ollen leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Seuraavat väitteet ovat epätosia. Etsi jokaiselle erikseen vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde. Tehtävissä on alleviivauksella korostettu asiaa, jolle vastaesimerkki on tarkoitus löytää.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3<n<20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n<10\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2- +[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Esitä lauselogiikan kielellä seuraavat lauseet. Käytä esityksessäsi loogisia konnektiiveja ja seuraavia nimiä atomilauseille.

\([value]\): Ruoka on hyvää.

\([value]\): Minulla on aikaa syödä.

\([value]\): Tuo [value] on [value].

\([value]\): Tuo [value] on [value].

Valitse oikea muoto pudotusvalikosta.

A: [value]

B: [value]

Toistokoe

Koesarjaa, jossa samaa koetta toistetaan useita kertoja ja halutaan tietää, millä todennäköisyydellä koe onnistuu tietyn määrän, kutsutaan toistokokeeksi.

Binomitodennäköisyys

Kun toistetaan riippumattomasti \(n\) kertaa koetta, joka onnistuu todennäköisyydellä \(p\), saadaan \(k\) onnistumista todennäköisyydellä

\( P ( \text{koe onnistuu }k\text{ kertaa})=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}.\)

Esimerkki 1

Vakioveikkauksessa veikataan \(13\) eri ottelun tulosta. Pelaaja veikkaa kustakin ottelusta, päättyykö se kotivoittoon, tasapeliin vai vierasvoittoon. Millä todennäköisyydellä sattumanvaraisesti tulokset veikannut pelaaja saa \(11\) oikein?

Ratkaisu
Oikean vastauksen todennäköisyys \(p=\frac{1}{3}\) pysyy samana ottelusta toiseen, joten kyse on toistokokeesta, jossa toistoja on \(n=13\). Todennäköisyys, että pelaaja veikkaa \(11\) ottelun tulokset oikein on
\(P(\text{pelaaja veikkaa }11\text{ oikein})=\dbinom{13}{11}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^{13-11}=\dbinom{13}{11}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\\ \approx0,000196.\)

Sievennä seuraavat lausekkeet, kun \( n=[value] \).

Kirjoita potenssit ^-merkin avulla. Esimerkiksi \( x^3 \) kirjoitetaan x^3.

\( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n= \)

\( \frac{x^n}{x^{n+1}} = \)
Feedback: Mallivastaus: 1. lauseke: \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^n x^{n+1} x^{2n^2} = x^{n+n+1+2n^2}=x^{2n(n+1)+1}. \) Kun \( n=[value] \), \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^{2\cdot [value]([value]+1)+1}=[value] \). 2. lauseke: \( \frac{x^n}{x^{n+1}} = x^{n-(n+1)}=x^{-1}=\frac{1}{x}. \) Toinen lauseke ei siis riipu \( n \):n arvosta.

Todennäköisyysjakaumat

Käydään läpi muutama yleisimmistä todennäköisyysjakaumista.

Normaalijakauma

Normaalijakauma on tärkein jatkuva jakauma todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen kannalta. Normaalijakaumaa käytetään esimerkiksi kuvaamaan luonnonilmiöissä esiintyviä vaihteluita. Jos satunnaismuuttuja \(X\) on normaalisti jakautunut, merkitään \(X\sim \text {N}(\mu,\sigma^2)\) [normaalijakauman kanssa kannattaa tarkistaa onko toinen parametri varianssi \(\sigma^2\) vai keskihajonta \(\sigma\) molempia käytetään kirjallisuudessa ja ohjelmistoissa, joskus hieman sekaisinkin]. Luku \(\mu\) on satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo ja \(\sigma\) keskihajonta.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus, jossa jakauman odotusarvo \(\mu=0\) ja keskihajonta \(\sigma=1\). Jos satunnaismuuttuja \(X\sim \text {N}(\mu,\sigma^2)\), niin normitettu satunnaismuuttuja \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) noudattaa standardinormaalijakaumaa.

Binomijakauma

Binomijakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joka liittyy edellisessä tentissä käsiteltyyn toistokokeeseen ja binomitodennäköisyyteen. Tarkastellaan tapahtuman \(A\) sattumista riippumattomien koetoistojen aikana. Binomijakauman satunnaismuuttuja \(X\) on tapahtuman \(A\) esiintymisten lukumäärä \(n\)-kertaisessa toistokokeessa, merkitään \(X\sim \text{Bin}(n,p)\). Parametri \(p\) on tapahtuman \(A\) todennäköisyys.

Geometrinen jakauma

Geometrinen jakauma menee helposti sekaisin binomijakauman kanssa, sillä myös siinä tarkastellaan tapahtuman \(A\) sattumista riippumattomien koetoistojen aikana. Toisin kuin binomijakaumassa, geometrisen jakauman satunnaismuuttuja \(X\) on tehtyjen toistokokeiden lukumäärä, kun \(A\) tapahtuu ensimmäisen kerran, merkitään \(X\sim \text{Geom}(p)\). Parametri \(p\) on tapahtuman \(A\) todennäköisyys.

Hypergeometrinen jakauma

Tarkastellaan \(N\)-alkioista joukkoa. Joukon alkioista \(m\):llä on ominaisuus \(A\) ja lopuilla ei ole. Poimitaan joukosta palauttamatta \(n\) alkion otos. Hypergeometrisen jakauman diskreetti satunnaismuuttuja \(X\) on niiden alkioiden lukumäärä otoksessa, joilla on ominaisuus \(A\). Merkitään \(X\sim \text{Hyperg}(N,m,n)\).

Huomaa hypergeometrisen jakauman ero binomijakaumasta: hypergeometrisella jakaumalla mallinnetaan otantaa ilman takaisinpanoa ja binomijakaumalla otantaa takaisinpanolla.

Tapahtumien riippumattomuus

Riippumattomat tapahtumat

Tarkastellaan kahta tapahtumaa \(A\) ja \(B\). Jos tapahtuman \(A\) toteutuminen ei vaikuta tapahtuman \(B\) todennäköisyyteen ja toisinpäin, sanotaan, että tapahtumat ovat toisistaan riippumattomat. Esimerkiksi nopanheitossa toisen nopan silmäluku ei riipu ensimmäisen heiton silmäluvusta.

Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö
Riippumattomilla tapahtumilla \(A\) ja \(B\) pätee
\[P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B).\]

Tapahtuman \(B\) tapahtumasta \(A\) riippuvaa todennäköisyyttä sanotaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi ja merkitään \(P(B\mid A)\).

Yleinen kertolaskusääntö
\[P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B\mid A).\]

Erilliset tapahtumat

Tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat erilliset, jos tapahtumilla ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta. Esimerkiksi noppaa heitettäessä tapahtumat "saada ykkönen" ja "saada kakkonen" ovat erillisiä tapahtumia.

Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö
Erillisille tapahtumille \(A\) ja \(B\) pätee
\[P(A \cup B)=P(A) + P(B).\]

Jos tapahtumat eivät ole erilliset, täytyy todennäköisyyttä laskettaessa huomioida yhteiset alkiot.

Yleinen yhteenlaskusääntö
\[P(A \cup B)=P(A) + P(B)-P(A \cap B).\]

Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Geometrinen sarja on sarja, jonka termeissä toistuu sama suhdeluku. Esimerkiksi sarja
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dots\)
on geometrinen, missä suhdeluku \( r=\frac{1}{2} \) ja skaalauskerroin \( a=\frac{1}{2} \).

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\end{align*}\)
Jokaisella \(r \neq 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\end{align*}\).
Jokaisella \(\mid r\mid < 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots&=\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\dfrac{a}{1-r}\end{align*}\)

Laske seuraavien lausekkeiden arvot, kun \( a=[value] \) ja \( b=[value] \).

Anna vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

\( (-a)^b= \)

\( -a^b= \)

\( a^{-b}= \)

\(-a^{-b}= \)
Feedback: Mallivastaus: \( (-a)^b = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^b = -([value])^[value] = [value] \) \( a^{-b} = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^{-b} = -([value])^[value] = [value] \)