Title: Aiheviikko 3

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}ki=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}ki=k\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{kn(n+1)}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Let \(f(x)=\ln(x)\). Determine the fourth order Taylor polynomial of the function \(f\) about the point \([value]\) Also determine the reminder term \(R_4 f(x)\).Olkoon \(f(x)=\ln(x)\). Laske funktion \(f\) Taylor-polynomi astetta neljä, kun kehityskeskuksena on \([value]\). Määritä myös jäännöstermi \(R_4 f(x)\). Teknisten syiden takia määritä jäännöstermi funktion ja Taylorin polynomin erotuksena.

\(T_4 f(x)=~\)

\(R_4 f(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(f(x)=\ln(x)\). Taylor polynomial of order 4 around the point \(x_0=[value]\): Taylorin polynomi astetta 4 pisteessä \(x_0=[value]\): \[T_{4}f(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \] \[f'(x)=\frac{1}{x}, \ \ \ f^{(2)}(x)=-x^{-2}, \ \ \ f^{(3)}(x)=2x^{-3}, \ \ \ f^{(4)}(x)=-6x^{-4} \] \[ T_4 f(x)= \frac{1}{0!}\ln([value])+\frac{1}{1!}[value]^{-1}(x-[value])-\frac{1}{2!}[value]^{-2}(x-[value])^{2}+\frac{1}{3!}\cdot 2\cdot[value]^{-3}(x-[value])^3-\frac{1}{4!}\cdot 6\cdot [value]^{-4}(x-[value])^4 \] \[= [value]. \] Jäännöstermi: \[R_{4}f(x)=f(x)-T_{4}f(x)\] \[R_{4}f(x)=\ln(x)-\frac{1}{0!}\ln([value])-\frac{1}{1!}[value]^{-1}(x-[value])+\frac{1}{2!}[value]^{-2}(x-[value])^{2}-\frac{1}{3!}\cdot 2\cdot[value]^{-3}(x-[value])^3+\frac{1}{4!}\cdot 6\cdot [value]^{-4}(x-[value])^4 \] \[= [value]. \]

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}ni=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] suppenemista/hajaantumista integraalitestin avulla.

Funktio \[\displaystyle f(x)=[value]\]on jatkuva, positiivinen ja vähenevä, kun \(x\ge1\).

Laske epäoleellisen integraalin tarkka arvo (tai 'inf' jos \(= \infty\)) \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Consider the convergence or divergence of the series \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1} [value]\] with the help of the integral test.

The function \[\displaystyle f(x)=[value]\] is continuous, positive and decreasing when \(x\ge1\).

Find the exact value of the improper integral (of 'inf' if \(= \infty\)) \[\displaystyle \int\limits_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\] and conclude, whether the series converges or diverges. \(\infty\) is written as inf.

Epäoleellisen integraalin tarkka arvo onThe exact value of the improper integral is .

Väite: Sarja suppenee.Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Epäoleellinen integraali \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. Model solution: The improper integral \[\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\, \mathrm{d}x=\int\limits_{1}^{\infty}[value] \, \mathrm{d}x ={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,\infty}\ln\big| [value] \big| =\infty.\] The series diverges by the integral test.

MATLAB-tehtävä

Moodlesta aiheviikon 6 verkkotehtävien kohdalta löytyy esimerkki tätä tehtävää varten.

Yleisohje

Jos summamerkintä \( \Sigma \) on sinulle tuntematon, katso tästä video ensiavuksi.

Ja sitten verkkotehtäviin:

- Tehtävä 1 on aiheviikon 5 itsearviointi.
- Tehtävät 2-3 käsittelevät lukujonoja. Tehtävä 2 on perustehtävä ja tehtävässä 3 joutuu jo pohtimaan.
- Tehtävä 4 liittyy geometriseen sarjaan.
- Tehtävissä 5-8 käsitellään positiivitermisiä sarjoja ja erilaisia suppenemistestejä.
- Tehtävät 9-10 ovat perustehtäviä vuorottelevista sarjoista.
- Tehtävissä 11-13 tarvitset yhdistellään useita tämän aiheviikon aiheitä. Tehtävä 11 on hyvä kokoava tehtävä. Tehtävät 12 ja 13 ovat haastavampia ja ne kannattaa hypätä yli, mikäli tavoitteena on arvosana 1.
- Tehtävä 14 on MATLAB-tehtävä.
- Tehtävä 15 on kirjallinen itsearviointi omasta osaamisesta näiden verkkotehtävien jälkeen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{4}(i-1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{4}(i-1)=(2-1)+(3-1)+(4-1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{10}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}1=\underset{\text{10 kpl}}{1+\dots+1}=10\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Polynomien summa- ja tuloesitys

Summa- ja tulonotaation hyödyllisyys tulee erityisesti ilmi, kun niitä sovelletaan polynomeihin. Näin voidaan esittää polynomit hyvin yksinkertaisessa muodossa. Sovella aiemmin oppimaasi näissä tehtävissä.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(i+1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(i+1)=(0+1)+(1+1)+(2+1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Työkaluja sarjoihin

Vuorottelevat sarjat

Potenssisarjat

Taylorin sarja

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^3}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

TÄMÄ OSIO ON VAPAAEHTOINEN (ei pisteitä tehtävistä 11-15):

Summa- ja tulonotaation tulkinta

Sigma \(\sum\) on kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään matematiikassa summan lyhennysmerkintänä. Pii \(\prod\) on niin ikään kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään vastaavasti tulon lyhennysmerkintänä. Molemmat ovat siis yksinkertaisesti lyhennysmerkintöjä.

Summalauseke \(1+2+3+4 \) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien summa on \( 10 \).

Tulolauseke \(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien tulo on \( 24\).

Ala- ja yläraja ilmaisevat summattavien tai kerrottavien termien lukumäärän, mutta erityisesti muuttujan \(i\) arvon. Muuttujana voidaan käyttää melkein mitä tahansa kirjainta, mutta yleisimpiä ovat kuitenkin kirjaimet \( i \), \( j \) ja \( k \). On erityisen tärkeää huomata, että mahdollisesti summassa esiintyvät muut kirjaimet luetaan vakioina (esim. ulomman summan tai funktion muuttujat). Lisäksi muuttujan sijaan puhutaan yleisesti summausindeksistä ja tuloindeksistä.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{n-1}+a_{n}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\prod_{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ \dots \ \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}\end{align*}\)

TÄMÄ OSIO ON VAPAAEHTOINEN (ei pisteitä tehtävistä 16-21):

Summausindeksin manipulointi

Yhdisteltäessä useampia eri summia usein manipuloidaan summattavaa lauseketta sellaiseksi, että siitä tulee samanlainen kuin muistakin.

Kaava:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)=\sum_{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\end{align*}\)

Vakion siirtosääntö ja summan jakaminen osiin

Summalausekkeessa vakio voidaan siirtää summan edelle ja summa voidaan jakaa osiin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot\sum_{n=s}^{t}f(n)\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)+\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)+g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)-\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)-g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)

Moninkertaiset summat

Summia voidaan asettaa sisäkkäin, jolloin laskujärjestys on sisältä ulospäin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=s}^{m}\sum_{j=t}^{n}a_{i}c_{j}=\sum_{i=s}^{m}a_{i}\cdot\sum_{j=t}^{n}c_{j}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}\)

Q: Laske summa (* on kertomerkki)
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}C= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}C=\sum_{i=1}^{n}\underset{\text{n kpl}}{C+\dots+C}=Cn\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=1}^{4}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i+1)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2+1=n+3\). Alaraja: \(3+1=4\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=4}^{10}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(10-3=7\). Summattava: \(i+3\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{3}4^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{3}4^k=4^0\cdot4^1\cdot 4^2\cdot 4^3=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{1\cdot\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^2}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}x^i&=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0+(x+1)^1+(x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value][value]+[value]>[value][value]\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida ylöspäin: \[ \dfrac{[value][value]}{[value][value]+[value]}<\dfrac{[value][value]}{[value][value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]k^[value]+[value]>[value]k^[value] \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated upwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\le [value]k^[value] \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös alaspäin: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\)?

By using the inequality \([value]\le [value]k^[value]\), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also downwards: \[ \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\ge \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}=[value]\cdot\dfrac{1}{[value]}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) hajaantuu.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}\) diverges.

Tutkitaan sarjan \[ \sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] suppenemista/hajaantumista vertailuperiaatteen avulla.

Tutkittavan sarjan termit \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

Käyttämällä epäyhtälöä \( [value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida alaspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1}\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

Consider the convergence or divergence of the series \[ \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \] with the help of the comparison test.

The terms of the series \(\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>0\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\).

By using the inequality \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated downwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Käyttämällä epäyhtälöä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), joka on voimassa kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), voidaan tutkittavan sarjan termejä arvioida myös ylöspäin: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Suppeneeko sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\)?

By using the inequality \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \), which is valid for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\), the terms of the series can be estimated also upwards: \[ \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\le\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}. \]

Does the series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) converge?

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges.

Kun vertailuperiaatetta sovelletaan sarjan \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) suppenemisen tutkimiseen, onko vertailusarjana \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) vai \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

When the comparison test is applied for the investigation of the convergence or divergence for the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) is the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) or \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\).

Väite: Sarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) on vertailusarja.Claim: The series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) is the comparison series.

Suppeneeko sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) vertailuperiaatteen nojalla?

Does the series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]} \) converge by the comparison test?

Väite: Sarja \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) suppenee.Claim: The series \( \sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}\) converges.
Feedback: Malliratkaisu: Tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä alas- että ylöspäin: \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] sillä \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) ja \([value]\le [value]k^[value] \) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) hajaantuu (\(p=[value]\)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain ylöspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) suppenee (\(p=[value]>1\)), niin tutkittavakin sarja suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Vastaavasti tutkittavan sarjan termejä voidaan kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) arvioida sekä ylös- että alaspäin: \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] sillä \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) ja \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) kaikilla \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). Tutkittavalle sarjalle vertailuperiaatteessa vain alaspäisellä arviolla on merkitystä. Koska vertailusarja \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) hajaantuu (\( 0<p=\textstyle{[value]}\le1 \)), niin tutkittavakin sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. Model solution: The terms of the series under consideration can be estimated both downwards and upwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ [value]\cdot\dfrac{1}{k^[value]}=\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]k^[value]}\le\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]+[value]}<\dfrac{[value]k^[value]}{[value]k^[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}, \] because \( [value]k^[value]+[value]>[value]k^[value]\) and \([value]\le [value]k^[value] \) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^[value]}\) diverges (\(p=[value]\)) the series under consideration also diverges by the comparison test. For the series under consideration only the upward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{[value]}\) converges (\(p=[value]>1\)) the series under consideration also converges by the comparison test. And the terms of the series under consideration can be estimated both upwards and downwards for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\): \[ \displaystyle{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}=\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}}=\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]\sqrt{k}}\ge\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}-[value]}>\dfrac{[value]\sqrt[[value]]{k}}{[value]\sqrt{k}} =\dfrac{[value]k^{\textstyle{[value]}}}{[value]k^{\textstyle{\frac12}}} =\dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}, \] because \([value]\ge -[value]\sqrt{k} \) and \([value]\sqrt{k}-[value]<[value]\sqrt{k}\) for all \(k=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\). For the series under consideration only the downward estimation has the meaning in the comparison test. Since the comparison series \(\sum\limits^\infty_{k=1} \dfrac{[value]}{[value]}\cdot\dfrac{1}{k^{\textstyle{[value]}}}\) diverges (\(0<p=\textstyle{[value]}\le1\)) the series under consideration also diverges by the comparison test.

Using ratio test, examine whether the following series converges: Tutki seuraavan sarjan suppenemista suhdetestillä: \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{[value]^{n}}\]

The limit of the ratioSuhteen raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\):

Does the series converge? Suppeneeko sarja?
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\] \begin{align*} \lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\rvert &= \frac{\frac{(n+1)^{2}}{[value]^{n+1}}}{\frac{n^{2}}{[value]^{n}}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}} = \frac{1}{[value]}\cdot\frac{n^{2}/n^{2}+2n/n^{2}+1/n^{2}}{n^2/n^{2}}\\ &= \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+2/n+1/n^{2}}{1} \to \frac{1}{[value]}\cdot\frac{1+0+0}{1} = \frac{1}{[value]}, \text{kun } n\to\infty \end{align*} Since \(\frac{1}{[value]} < 1\), according to the ratio test the series converges.Koska \(\frac{1}{[value]} < 1\), suhdetestin perusteella sarja suppenee.

HAASTAVA: Tutkitaan sarjan \[\displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value])\] suppenemista/hajaantumista osasummien jonon \[\displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots,\]avulla.

Kirjoita aluksi osasummien jonon yleisen termin \(S_n\) lauseke sievennetyssä muodossa ilman sigmamerkkiä.

Consider the convergence or divergence of the series \[ \displaystyle \sum\limits^\infty_{k=1}([value]) \] with the help of the sequence of partial sums \[ \displaystyle (S_n)^\infty_{n=1}, S_n=\sum\limits^n_{k=1}([value]), n=1, 2, 3, \ldots. \]

At first find the expression for the general term \(S_n\) of the sequence of partial sums.

\(S_n=\) , \(n=1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)

Laske \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) ja päättele, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja.

Calculate \(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}S_n\) and conclude, whether the series converges or diverges.

Väite: Sarja suppenee. Claim: The series converges.
Feedback: Malliratkaisu: Muodostetaan osasummien jonon yleisen termin lauseke: Model solution: Form the expression for the general term of the sequence of partial sums : \begin{align*} S_n &=\sum\limits_{k=1}^{n}([value])\\ &=([value]-[value])+([value]-[value])+([value]-[value]) + \cdots+ ([value]-[value])+([value]-[value])\\ &=[value]-[value],\, n=1,2,\ldots. \end{align*} Tällöin \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Sarja siis suppenee. Hence \( \lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}([value]-[value]) =[value]\). Therefore the series converges.

For what values of \(x\) does the following series converge?Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee? Millä muuttujan \(x\) arvoilla seuraava sarja suppenee?

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n} \]

Pick the correct answer from the following choices by typing the number corresponding to your choice on the box below.Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\(([value])\quad x<-[value]\) ortai \(x>[value]\)

\(([value])\quad\textrm{The series does not converge.Sarja ei suppene.}\)

\(([value])\quad-[value] < x < [value]\)

\(([value])\quad x<-\frac{1}{[value]}\) ortai \(x > \frac{1}{[value]}\)

\(([value])\quad-\frac{1}{[value]} < x < \frac{1}{[value]}\)

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{x^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{x} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} q^n, \ \text{wheremissä} \ q=\frac{-[value]}{x} \] Because the series is geometric, it converges when \(x\neq 0\) andSarja on geometrinen, joten se suppenee, kun \(x\neq 0\) ja \[|q|=\left| \frac{-[value]}{x} \right|=\frac{[value]}{|x|}<1 \Leftrightarrow |x|>[value] \Leftrightarrow x<-[value] \ \text{ortai} \ x>[value]. \]

Determine the sums of the following series: Vapaaehtoinen tehtävä (ei pisteitä): Määritä seuraavien sarjojen summat:

(a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n} \]

(b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n} \]

(c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n} \]

(d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}} \]

AnswerVastaus (a):

AnswerVastaus (b):

AnswerVastaus (c):

AnswerVastaus (d):
Feedback: Model solution: Mallivastaus: All the series in the exercise are geometric (of the form \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), where \(|r|<1\)) so the sum converges to \(\frac{a}{1-r}\).Kaikki tehtävän sarjat ovat geometrisiä (muotoa \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\), missä \(|r|<1\)) joten summa lähestyy arvoa \(\frac{a}{1-r}\). (a) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]} \right) ^n=\frac{\frac{[value]}{[value]}}{1-\frac{[value]}{[value]}}=[value]. \] (b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-[value])^n}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-[value]}{[value]} \right)^n=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}{1-(-\frac{[value]}{[value]})}=\frac{-\frac{[value]}{[value]}}[value]=[value]. \] (c) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^{n+1}}{[value]^n}=\sum_{n=1}^{\infty} [value]\cdot \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^n \stackrel{(a)}{=}[value]\cdot [value]=[value]. \] (d) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[value]^n}{[value]^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}{[value]^2} \right) ^n=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{[value]}[value] \right) ^n=\frac{[value]}{1-[value]}=[value]. \]

Determine the sum of the series \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] by using the equality \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]HAASTAVA: Määritä sarjan \[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] summa kirjoittamalla \[\displaystyle \frac{1}{(k-2)(k+1)}= \frac{A}{k-2}+ \frac{B}{k+1}.\]

\[\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac 1{(k-2)(k+1)}\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we find out the partial fraction decomposition. For this purpose, we write \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Now we can form a pair of equations and determine the constants \(A\) and \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} From the first equation we get \(B = -A\), which we can substitute for the latter and solve for \(A\): \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Therefore, \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} and \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Next, we will simplify the expression of the \(N\)th partial sum into a suitable form. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] In the first phase, we express the general sum term by using partial fraction decomposition. Then we separate some of the former terms in the first term of the summation and some of the latter terms in the second term, respectively. In the third phase, we apply a suitable substitution for the sums, after which we will notice that the sum expressions will cancel each other out. Now we have found the general expression for the \(N\)th partial sum and so we can take the limit \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\].Ratkaistaan ensimmäisenä osamurtohajotelma. Tätä varten kirjoitamme ensin \[\begin{array}{rll} \frac{1}{(k-2)(k+1)} & \equiv & \frac {A}{k-2} + \frac {B}{k+1}\\ & \equiv & \frac{A(k+1) + B(k-2)}{(k-2)(k+1)}\\ & \equiv & \frac{(A+B)k+A-2B}{(k-2)(k+1)}. \end{array}\] Nyt voimme muodostaa yhtälöparin ja ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). \begin{cases} A+B & = & 0 \\ A-2B & = & 1 \end{cases} Ylemmästä yhtälöstä saamme ratkaistua \(B = -A\), jonka voimme sijoittaa alempaan yhtälöön ja ratkaista sen \(A\):n suhteen. \[1 = A-2B = A-2(-A)=3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \] Täten siis \begin{cases} A & = & \frac{1}{3}\\ B & = & -\frac{1}{3} \end{cases} ja \[ \frac{1}{(k-2)(k+1)} = \frac {\frac{1}{3}}{k-2} + \frac {-\frac{1}{3}}{k+1}\] Seuraavaksi sievennämme \(N\):nnen osasumman lausekkeen sopivaan muotoon. \[\begin{array}{l} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^N \frac 1{k+1} \\ = \frac 13 \left(1+\frac 12 + \frac 13\right) + \frac 13 \sum_{k=6}^N \frac 1{k-2} - \frac 13 \sum_{k=3}^{N-3}\frac 1{k+1} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \\ \overset{n=k-2}{\underset{m=k+1}{=}} \frac {11}{18} + \frac 13 \sum_{n=4}^{N-2} \frac 1n - \frac 13 \sum_{m=4}^{N-2} \frac 1m - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N} + \frac 1{N+1}\right) \\ = \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right) \end{array}\] Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme summattavan osamurtohajotelman avulla ja seuraavassa vaiheessa erotamme ensimmäisestä summatermistä osan alkupään summattavista ja vastaavasti toisesta summatermistä erotamme osan loppupään summattavista. Kolmannessa vaiheessa teemme summalausekkeisiin sopivan muuttujanvaihdoksen, jolloin näämme, että summalausekkeet kumoavat nyt toisensa. Nyt olemme selvittäneet \(N\):nnen osasumman yleisen lausekkeen ja voimme ottaa raja-arvon. \[\begin{array}{l} \lim_{ N\to\infty} \sum_{k=3}^N \frac 1{(k-2)(k+1)} \\ = \lim_{ N\to\infty} \left( \frac {11}{18} - \frac 13\left(\frac 1{N-1} + \frac 1{N}+\frac 1{N+1}\right)\right) \\ = \frac {11}{18} \end{array}\]

a) Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{5^k}\) on geometrinen.
- Sarja, jolle \(a_1 = 100\) ja \(a_{k+1} = 10^{100} a_k\), on geometrinen.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 5\cdot 3^k = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}\).
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{2^k} = \frac{5}{1-\frac{1}{2}} = 10\).
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{3}{2^k} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = 6\).
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 0\) ja \(r = \frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r=\frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r = 1\). Tällöin osasumma \(S_6 = 6\cdot 2 = 12\).
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot (-1)^k\) hajaantuu.

b) Kun tennispallo päästetään putoamaan, se pomppaa \([value]\) prosenttia pudotuskorkeudesta. Laske pallon pomppima kokonaismatka, kun se pudotetaan \([value]\) m korkeudesta.

Anna vastaus tarkkana arvona ilman yksikköä m. HUOM! Laske mukaan alkupudotus 2 m.

Vastaus:
Feedback: Ratkaisut: a) - Tosi. \(a_{k+1} = \frac{1}{5}a_k\). - Tosi. Kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla \(10^{100}\). - Epätosi. \(r=3>1\) eli sarja hajaantuu. - Epätosi. Nyt \(a = \frac{5}{2}\), sillä indeksi lähtee \(k=1\). - Epätosi. Halutaan laskea osasumma \(S_{10}\). - Tosi. Kyseinen sarja on muotoa \(0+0+0+\ldots = 0\). - Epätosi. \(r = \frac{8}{7}>1\) eli sarja hajaantuu. - Tosi. Kun \(r = 1\), summa on \(S_5 = 2+2+2+2+2+2 = 12\). - Tosi. \(|r|=|-1|=1\geq1\) eli sarja hajaantuu. b) Pallon pomppima matka \[S=[value]+2\cdot [value]\cdot [value]+2\cdot [value]\cdot [value]\cdot [value]+\ldots =[value]+2\cdot [value] \sum_{n=1}^{\infty} [value]^n \\ =[value]+[value]\cdot \frac{[value]}{1-[value]}=[value]+[value]\cdot [value]=[value]. \]

a) Olkoon lukujono \(\left( (-1)^n(n+1) \right)_{n=[value]}^{\infty}\).

- Lukujonon ensimmäinen termi on .
- Yleinen termi on .
- Lukujonon kolmas termi on .

b) Olkoon lukujono \(\left( 1, 4, 9, 16, \ldots \right)\).

- Lukujonon termi \(a_5 = \) .
- Lukujonon yleinen termi \(a_n = \) , kun \(a_1 = 1\).
- Lukujonossa on termiä.

Huom! \(\infty = \) inf

c) Olkoon \(a_1 = 5\) ja \(a_{n+1} = 2a_n\)\([value]\) \(+[value]\).

- Lukujonon toinen termi on .
- Lukujonon neljäs termi on .

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Olkoon \(\big(n^2\big)_{n=3}^{\infty}\). Lukujonon toinen termi on 16.
- Olkoon lukujonot \(\big( n \big)_{n=1}^{\infty}\) ja \(\big( n-1 \big)_{n=2}^{\infty}\). Molemmat lukujonot voidaan kirjoittaa muodossa \((1,2,3,4,5,\ldots)\).
- Tiedetään, että lukujono \(\big(a_n\big)_{n=8}^{\infty}\) suppenee. Tällöin \(\big(a_n\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee.
- Lukujono \(\big((-1)^n\big)_{n=0}^{\infty}\) suppenee kohti lukuja \(1\) ja \(-1\).
- Lukujono \(\big(n^3\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee kohti \(\infty\).
- Olkoon \(a_n \leq b_n \leq c_n\) kaikilla \(n\in \mathbb{N}\). Tiedetään, että \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 5\). Nyt \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = 5\).
- Olkoon \(a_1 = 3\) ja \(a_{n+1} = 3n-1\), kun \(n>1\). Lukujono on kasvava.
- Vakiolukujono \((5,5,5,\ldots)\) on alhaalta rajoitettu.
- Alhaalta rajoitettu vähenevä lukujono suppenee.
- Neperin luku \(\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\).
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Lukujono on \((9,16,25,36,\ldots)\). - Tosi. Kyseessä on sama lukujono. - Tosi. Äärellinen määrä jonon alkupään termejä ei vaikuta suppenemiseen. - Epätosi. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = \lim_{n \to \infty}(-1) = -1\). Lukujono hajaantuu. - Epätosi. Lukujono hajaantuu, sillä \(L \notin \mathbb{R}\). - Epätosi. Kuristusperiaate ei toimi, sillä \(c_n \geq b_n\). Nyt emme tiedä \(c_n\):n suppenemisesta. - Tosi. Lukujono on \((3,8,23,68,\ldots)\). - Tosi. On olemassa luku m (esim. \(m=4\)), jolle \(a_n \geq m\) kaikilla \(n\) (nyt \(5 \geq 4\)). - Tosi. Piirrä kuva ja pohdi kuvan kautta. - Tosi. Neperin luvun määritelmä.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Lukujonon termien ääretöntä summaa kutsutaan sarjaksi.
- Summausindeksin tulee aina olla joko \(k\) tai \(n\) ja indeksointi alkaa aina ykkösestä.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a = na\), kun \(a\) on reaaliluku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(S_{10}\) on reaalinen.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=n+2}^{\infty}a_k\) suppenee. Nyt n on luonnollinen luku.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k\) suppenee.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(\frac{1}{3}\). Sarja hajaantuu.
- Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i\), jonka yleisen termin raja-arvo on \(0\). Sarja suppenee.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Määritelmä. - Epätosi. Summausindeksin nimi on valittavissa vapaasti ja indeksointi voi alkaa muustakin kuin 1. Esim. \(\displaystyle \sum_{j=2}^{\infty}j^3\). - Tosi. Summataan \(n\) kappaletta lukua a. - Epätosi. Sarja suppenee, jos \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\) on reaalinen. - Tosi. Jäännöstermi suppenee, joten koko sarja suppenee. Indeksointi voidaan hyvin aloittaa \(k+2\):sta \(k+1\):n sijaan. - Epätosi. Emme tiedä jäännöstermin suppenemista. - Tosi. Kun \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\), niin sarja hajaantuu. - Epätosi. Emme voi päätellä suppenemista, jos raja-arvo on \(0\).

a) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}(x-5)^n\).

- Sarjan kehityskeskus on .
- Kerroin \(a_n = \) .
- Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\) antaa tulokseksi , kun \(\displaystyle u_n = \frac{n!}{2^n}(x-5)^n\).
- Suppenemissäde \(R = \) .
- Milloin sarja suppenee? \(x = \) .

b) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k\cdot 10^k}(x-2)^k\).

- Kehityskeskus on .
- Suppenemissäde \(R = \) .
- Sarja suppenee, kun \(x \in \Big(\)\(,\)\(\Big]\).
(päätepisteet on tarkasteltu erikseen)

c) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}10^k}{k!}(x-10)^k\).

- Sarjan kehityskeskus on .
- Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\) antaa tulokseksi \(0\), kun \(\displaystyle u_n = \frac{(-1)^{k+1}10^k}{k!}(x-10)^k\).
- Tällöin \(R = \) .
- Sarja suppenee, kun \(x\in \Big(\)\(,\)\(\Big)\).

Huom! \(\infty = \) inf.
Feedback: Malliratkaisu: a) Sarjan kehityskeskus on \(5\) ja \(\displaystyle a_n = \frac{n!}{2^n}\). Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\cdot (x-5)^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}(x-5)^n}\right| = \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)!2^n}{n!2^{n+1}}\frac{|x-5|^{n+1}}{|x-5|^n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2}|x-5| = \infty\). \(\displaystyle R = \frac{"1"}{\infty} = 0\). Siispä sarja suppenee vain kehityskeskuksessa \(x = 5\). b) Kehityskeskus on \(2\). Suppenemissäde \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{1}{k\cdot 10^k}}{\frac{1}{(k+1)\cdot 10^{k+1}}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{(k+1)\cdot 10^{k+1}}{k\cdot 10^k} \right| = \lim_{k\to \infty} \frac{10(k+1)}{k} = \lim_{k\to \infty} 10+\frac{1}{k} = 10\). Sarja suppenee, kun \(|x-2|<10\) eli \(-8<x<12\). Päätepisteet tulee tutkia erikseen. c) Kehityskeskus on \(10\). Suppenemissäde \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{10^k}{k!}}{\frac{10^{k+1}}{(k+1)!}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{10^k(k+1)!}{10^{k+1}k!} \right| = \lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{10} = \infty\). Sarja suppenee kaikilla \(x\in \mathbb{R}\) eli \(x\in (-\infty, \infty)\).

Tutkitaan potenssisarjan \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k \] suppenemista.

a) Laske potenssisarjan suppenemissäde \(R\).

b) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=1\)?

c) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=[value]\)?

Consider the convergence of the power series \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k. \]

a) Determine the radius of convergence \(R\) for the power series. (2/3 p)

b) Does the power series converge at the point \(x=1\)? (1/6 p)

c) Does the power series converge at the point \(x=[value]\)? (1/6 p)

a) Suppenemissäde on a) The radius of convergence is .

b) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). b) Claim: The power series converges at the point \(x=1\).

c) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=[value]\). c) Claim: The power series converges at the point \(x=[value]\).
Feedback: Malliratkaisu: \(\textrm{a) }\) Lasketaan raja-arvo: Model solution: \(\textrm{a) }\) Evaluate the limit: \[ \begin{align*} L &= \lim\limits_{k\to\infty} \Big|\frac{[value]}{[value]}:\frac{ [value]}{[value]}\Big|\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]}\cdot\frac{[value]}{[value]}\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]} = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{e^[value]}=\frac{1}{e^[value]}. \end{align*} \] \(\hphantom{a) }\) Suppenemissäde \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\hphantom{a) }\) The radius of convergence \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\textrm{b) }\) Koska potenssisarjan suppenemissäde \(R=e^[value]\), potenssisarja suppenee varmasti, kun \( | x | < e^[value] \) eli \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=1\) kuuluu tähän väliin, joten potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). \(\textrm{b) }\) Because the radius of convergence \(R=e^[value]\) for the power series, the power series surely converges when \( | x | < e^[value] \) i.e. \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=1\) belongs to this interval and hence the power series converges at the point \(x=1\). \(\textrm{c) }\) Potenssisarja suppenee varmasti, kun \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=[value]\) ei kuulu tähän väliin, joten potenssisarja hajaantuu pisteessä \(x=[value]\). \(\textrm{c) }\) The power series surely converges when \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=[value]\) doesn't belong to this interval and hence the power series diverges at the point \(x=[value]\).

Täydennä.

a) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k k}{3k+2}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \lim_{k\to \infty} \frac{k}{3k+2} = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .

Koska \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0, \, \lim_{k\to \infty}\frac{(-1)^k k}{3k+2}\) ei ole olemassa. Siis sarja |  | .

b) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k k^5\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Leibnizin testin perusteella |  | .

c) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .
Feedback: Malliratkaisu: Vuorottelevat sarjat tunnistaa kertoimesta \((-1)^{k+1}\) tai \((-1)^k\). Vuorotteleva sarja suppenee, jos molemmat Leibnizin testin ehdot täyttyvät eli \(a_k\geq a_{k+1}\) ja \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\). Jos ehdot eivät täyty, emme kuitenkaan voi suoraan sanoa sarjan hajaantuvan. Kuitenkin, jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0\), niin vastaavan vuorottelevan sarjan yleisen termin raja-arvoa ei ole olemassa eli sarja hajaantuu.

Lukujonot

Positiivitermiset sarjat

Nämä ovat perustehtäviä eri testeihin liittyen!

Sekalaista sarjoista

Aiempien tehtävien aiheiden kokoamista sekä haastetta!

TÄMÄ OSIO ON VAPAAEHTOINEN (ei pisteitä tehtävistä 22-27):

Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Geometrinen sarja on sarja, jonka termeissä toistuu sama suhdeluku. Esimerkiksi sarja
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dots\)
on geometrinen, missä suhdeluku \( r=\frac{1}{2} \) ja skaalauskerroin \( a=\frac{1}{2} \).

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\end{align*}\)
Jokaisella \(r \neq 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\end{align*}\).
Jokaisella \(\mid r\mid < 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots&=\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\dfrac{a}{1-r}\end{align*}\)

Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Jos et sattuisi muistamaan, mistä geometrisessa sarjassa on kyse, Ville kertoo.

Let \(f(x) = e^{[value]x}\).Olkoon \(f(x) = e^{[value]x}\)

DetermineLaske

\(f(0)=\) |
\(f'(0)=\) |
\(f''(0)=\) |
\(f'''(0)=\) |

Using the previous results and the formula for Taylor polynomial \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] find the third degree Taylor polynomial of function \(f\): Edellisiä tuloksia ja Taylorin polynomin kaavaa \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] avuksi käyttäen, laske funktion \(f\) kolmannen asteen Taylor-polynomi:

\(P_{3}(x;0)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To differentiate the function \(f(x) = e^{[value]x}\), we apply the chain rule \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) for outer function \(e^{x}\) and inner function \([value]x\).Funktio \(f(x) = e^{[value]x}\) derivoidaan soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) ulkofunktiolle \(e^{x}\) ja sisäfunktiolle \([value]x\). We get: Näin saadaan: \(f'(x) =\) | [value] \(f''(x) =\) | [value] \(f'''(x) =\) | [value] Substituting x=0: Sijoittamalla x=0: \(f(0) =\) | [value] \(f'(0) =\) | [value] \(f''(0) =\) | [value] \(f'''(0) =\) | [value] Using the previous results and the Taylor polynomial \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},\] we can find the third degree Taylor polynomial of function \(f\): Edellisiä tuloksia ja Taylorin polynomin kaavaa \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] avuksi käyttäen, saadaan laskettua \(f(x)\):n kolmannen asteen Taylor-polynomi: \begin{align*} P_{3}(x;0) &= \sum_{k=0}^{3}\frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}\\ &= f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} \\ &= [value] \end{align*}