Title: IMA1 (viikko 2)

Piirrä itseäsi varten seuraavan funktion kuvaaja.

\[f(x)= \left\{\begin{alignat*}{3} [value] &, \text{ kun } &-3&\leq x < -1 \\ [value] &, \text{ kun } &-1&\leq x < 1 \\ [value] &, \text{ kun } &1&\leq x \leq 3 \end{alignat*}\right.\]

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

Funktio \(f\) on jatkuva.

Funktio \(f\) on monotoninen.

Funktio \(f\) on aidosti monotoninen.

Funktio \(f\) on kääntyvä (eli on olemassa käänteisfunktio).

Valitse lisäksi kaikki oikeat vaihtoehdot seuraaviin väitteisiin

Välillä \(x\in [-3,-1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [-1,1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [1,3]\) funktio \(f\) on

a) Origoa kierretään nollakulmasta lähtien kulman \([value]\pi\) verran. Ilmoita murtolukuna (ei sekalukuna!) puolikkaan tarkkuudella, kuinka monta kertaa ympyrä kierretään ja mihin suuntaan.

Vastaus: kertaa

b) Origokeskiseen \([value]\)-säteiseen ympyrään piirretään säde kulmassa \(\theta = [value]\pi\).
Anna säteen ympyränpuoleisen päätepisteen koordinaatit. Anna vastaus tarkkana arvona, esim. \(\frac{1}{\sqrt{5}} = \) 1/sqrt(5).

Vastaus: Päätepiste on \(\Big(\),\(\Big)\).

Yhdistä seuraavista kuvista toisiinsa funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat. Huomaa, että osa kuvaajista esittää sellaista funktiota, joka on itsensä käänteisfunktio.

Huom! Tehtävä kannattaa tehdä käyttäen jotain muuta kuin mobiililaitetta, tai ainakin yrittäen välttää kuvien kohdalle koskemista, joka voi ainakin puhelinten ruuduilla olla hankalaa. Mobiililaitteiden selaimissa kuvia voi kosketettaessa oletusarvoisesti liikutella ja skaalata, kun taas perinteisempien tietokoneiden selaimissa kuvat ovat oletusarvoisesti staattisia. Kuvien liikuttelu hankaloittaa tehtävää, sillä kuvissa esiintyvät funktioiden kuvaajat on tarkoituksellisesti piirretty vain siltä osalta, jolla kuva on suunniteltu näkymään.

\(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_4\)
\(f_5\) | \(f_6\) | \(f_7\) | \(f_8\)
\(f_9\) | \(f_{10}\) | \(f_{11}\) | \(f_{12}\)
\(f_{13}\) | \(f_{14}\) | \(f_{15}\) | \(f_{16}\)

Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_5\) |
\(f_6\) |
\(f_7\) |
\(f_8\) |
Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_9\) |
\(f_{10}\) |
\(f_{11}\) |
\(f_{12}\) |
\(f_{13}\) |
\(f_{14}\) |
\(f_{15}\) |
\(f_{16}\) |

Päättele, onko funktio parillinen, pariton vai ei kumpikaan. Huomaa, että monen tehtävässä esiintyvän funktion kuvaaja löytyy kurssimonisteesta, ja muiden piirtämiseen on internetissä tarjolla apukeinoja.

a) | \(f(x) = [value]\) |
b) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |
c) | \(f(x) = \arcsin(x) \arccos(x) \arctan(x) [value]\) |
d) | \(f(x) = \,\)\(e^x\) \(\ln(x)\) \([value]^x\) \(\log_{[value]}(x)\) |
e) | \(f(x) = \mathrm{arsinh}(x) \mathrm{arcosh}(x) \mathrm{artanh}(x) [value]\) |
f) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |

Lisää seuraavaan todistukseen perustelut jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Toisin sanoen päättele mitä tapahtuu siirryttäessä edelliseltä riviltä sille riville, jossa (sillä hetkellä vastattavana oleva) pudotusvalikko sijaitsee. Jokainen listan perusteluista käytetään täsmälleen kerran. Useimmat perusteluista viittaavat johonkin kaavaan tai määritelmään, jotka löytyvät kurssimonisteesta.

\(\sinh\left(\text{arsinh}(x)\right)\)
= | \(\displaystyle \sinh \left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x\sqrt{x^2+1}+x^2+1 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{2x\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(x\) |

Päättele seuraavasta rationaalifunktion \(f(x) = \frac{p(x)}{g(x)}\) kuvaajasta, mitkä kokonaisluvut ovat osoittajapolynomin \(p(x)\) ja mitkä nimittäjäpolynomin \(g(x)\) nollakohdat. Anna nollakohdat hakasulkujen sisällä pilkuilla erotettuna esim. [-1,0,1]. (Käytä sulkuja myös silloin, kun lukuja on vain yksi esim. [2].)

Huom! kuvan alareunassa on navigointipalkki, jonka avulla voit lähentää ja loitontaa kuvaa sekä liikkua eri suuntiin.

Funktion \(p(x)\) nollakohdat:

Funktion \(g(x)\) nollakohdat:

Alla on esitettynä todistus sille, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti kasvava, kun \(a>1\). Yleisesti funktiolle \(f\) aidon kasvavuuden määritelmä on \(y>x \Rightarrow f(y)>f(x)\). Todistuksessa on suurempi kuin -merkkien ja suurempi tai yhtäsuuri kuin -merkkien päällä numeroita. Tehtävänäsi on muuttaa todistusta alimpana esitetyllä tavalla ja numerointi on tehty vain sitä varten.

Tässä todistuksessa on kaksi osaa. Olkoon ensin \(x \in \mathbb{Q}\) siten, että \( x \overset{1}{>} 0\). Merkitään \(x=\frac{m}{n}\), missä \(m,n\in \mathbb{N}\).

Koska \(a^m \overset{2}{\geq} a \overset{3}{>} 1\) ja \(y^{\frac{1}{n}}\) on aidosti kasvava, niin

\[a^x = a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\overset{4}{>}1^{\frac{1}{n}} = 1\].

(Huom. Todistuksen ensimmäisen osan oleellinen osuus on, että jos \(a>1\) ja \(x>0\), niin \(a^x>1\). Tätä tietoa käytetään aputuloksena todistuksen toisessa osassa.)

Olkoon nyt \(x,y\in \mathbb{Q}\) siten, että \( y\overset{5}{>}x\). Silloin \(y-x\overset{6}{>}0\) ja edelleen todistuksen ensimmäisen osan perusteella \(a^{y-x}\overset{7}{>}1\). Näin ollen

\[a^y = a^{x+(y-x)} = a^xa^{y-x}\overset{8}{>}a^x.\]

(Todistuksen jälkimmäinen osa todistaa funktion \(a^x\) aidon kasvavuuden.)

Sinun tehtäväsi on nyt todistaa, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti vähenevä, kun \(0x \Rightarrow f(y)<f(x)\).

Huom. Se, että \(a>0\) ei varsinaisesti tällöin näy todistuksessa. Se vain varmistaa, että eksponenttifunktio on määritelty.

Jos vastaus olisi esimerkiksi, että käännetään suunta merkeille 1,2 ja 3, kirjoita vastausruutuun [1,2,3]. Hakasulut tarvitaan.

Vastaus:

Tarkasteellaan funktiota \(f\colon A\to B,\, f(x)=[value]\).

a) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on injektio, mutta ei surjektio.

\(B=\,\)

b) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on surjektio, mutta ei injektio.

\(B=\,\)

c) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on bijektio.

\(B=\,\)

Onko väite tosi vai epätosi?

Olkoon \(f\colon A\to B\). Oletetaan, että sinulla on tiedossa kaikki alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) ja kaikki alkiot joukosta \(B\), mutta et ole vielä nähnyt funktion lauseketta. Väite: Esityksestä \(f\colon A\to B\) pystyy heti näkemään,

mikä on määrittelyjoukko

mikä on arvojoukko

mikä on maalijoukko

mikä on alkukuvajoukko

Maalijoukko sisältää vähintään arvojoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Arvojoukko sisältää vähintään maalijoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa ulkofunktion arvoa ei saa sijoittaa sisäfunktioon

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa sisäfunktion arvoa ei saa sijoittaa ulkofunktioon

Valitse seuraaville funktioille laajin mahdollinen määrittelyjoukko.

a) | \(f_1(x) = \displaystyle [value]\) | \(D_{f_1} = \)
b) | \(f_2(x) = \displaystyle \sqrt[[value]]{[value]}\) | \(D_{f_2} = \)
c) | \(f_3(x) = \displaystyle \ln ([value])\) | \(D_{f_3} = \)

Esitä annettu 2. asteen polynomi neliöksi täydennettynä eli muodossa \(a(x+b)^2+c\), missä \(a,b,c\in \mathbb{R}\).

Päättele tämän esityksen mukaisesti, mikä on polynomin (reaalisten) nollakohtien lukumäärä.

\(p(x) = [value]\)

\(a=\,\)

\(b=\,\)

\(c=\,\)

nollakohtien lkm:

Valitse maalijoukko \(B\) niin, että funktio \(f\colon A \to B\) on bijektio. Määritä käänteisfunktion lauseke. Anna maalijoukko \(B\) hakasulkeissa muodossa \([x_1,x_2]\). Neliöjuuren saat komennolla \(\mathtt{sqrt(x)}\).

\(f(x) = [value],\quad A = [value]\)

\(B = \,\)

\(f^{-1}(x) = \,\)

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]\cdot [value]}} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]-[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]}}. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} &= \dfrac{2^{[value]}2^{[value]([value])}}{2^{[value]([value])}} = \dfrac{2^{[value]+[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} = \dfrac{2^{[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} \\ \\ &= 2^{[value]x+[value]-[value]x-[value]} =2^{[value]} = [value]. \end{align} \)

Ratkaise yhtälö \( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \) seuraavien ohjeiden avulla.

- Kirjoita aluksi yhtälössä esiintyvät hyperboliset funktiot määritelmiensä mukaisissa muodoissa eksponenttifunktion avulla.
- Korvaa jokainen \(e^x\) muuttujalla \(t\), jolloin vastaavasti \(e^{-x}\) on \(\frac{1}{t}\).
- Kerro yhtälö puolittain \(t\):llä. Tämän jälkeen pystyt esittämään yhtälön toisen asteen yhtälönä, jonka muuttujana on \(t\).
- Ratkaise toisen asteen yhtälö. Tiedät, että \(t=e^x\), joten pystyt tästä ratkaisemaan edelleen \(x\):n.

Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)? Anna tämä välivaihe muodossa \( at^2+bt+c = 0 \), muista kertomerkit. Sen jälkeen anna ratkaisu hyperboliselle yhtälölle, eli mitä on \(x\)? Jos ratkaisuja on useita, anna vastaukseksi niistä vain suurin luku.

\( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+ [value] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= [value]\\ \Rightarrow & \quad [value] (e^{x}+e^{-x})+ [value] (e^{x}-e^{-x}) = [value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}+[value]e^{-x}=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}-[value]+[value]e^{-x}=0\\ & \mathrm{kerrotaan} \ e^x\mathrm{:llä}\\ \Rightarrow & \quad [value](e^{x})^2-[value]e^x+[value]=0\\ & \mathrm{merkitään} \ t=e^x\\ \Rightarrow & \quad [value]t^2-[value]t+[value]=0\\ \Rightarrow & \quad t=\dfrac{[value]\pm\sqrt{[value]-4\cdot[value]\cdot[value]}}{2\cdot[value]}. \end{align*}\) Plusmiinusmerkistä valitaan vain plus-osuus, koska halutaan (mahdollisesta) kahdesta tuloksesta suurempi. Tällöin \( t=\dfrac{[value]+\sqrt{[value]}}{[value]}=\large[value]=e^x\), joten \(x=\ln([value])\).

Sievennä kohdat \( \textbf{(a)} \) ja \( \textbf{(b)} \) ja ratkaise kohdat \( \textbf{(c)} \) ja \( \textbf{(d)} \) ilman laskinta. Luonnollinen logaritmi \(=\mathtt{ln(x)}\) ja \(\pi=\mathtt{pi}\).

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\displaystyle \arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle \arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

Vastaa kysymyksiin. Syötä tehtävään vastaukset joukkoina kaarisulkeiden avulla, myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio. Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}.

\( \textbf{(a)}\) Etsi laajin joukko \( A \subset \mathbb{Z} \) ja sitä vastaava arvojoukko \( R_f\).

\( A =\)

\( R_f = \)

\( \textbf{(b)} \) Määritä alkioiden \( [value] \) ja \( [value] \) alkukuvajoukot.

Luvun \([value]\) alkukuvajoukko:

Luvun \( [value]\) alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Q: Kirjoita ruutuun \(1\), jos väite on tosi ja \(0\), jos se on epätosi.

1) \([value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q}\)
2) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q} \)
3) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{N} \)
4) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
5) \( \forall A,B,C: (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C \)
6) \( \forall A,B,C: (A \subseteq C) \Rightarrow (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \)
Feedback: Mallivastaus: 1) \( [value] \) on rationaaliluku, joten ensimmäinen väite on epätosi. 2) \( [value] \) on rationaaliluku, joten toinen väite on epätosi. 3) \( [value] \) ei ole luonnollinen luku, joten kolmas väite on epätosi. 4) Luonnollisten lukujen joukko on reaalilukujen (aito) osajoukko, joten väite on tosi. 5) Koska ehdon \( A \subseteq B\) perusteella jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(B\) alkio ja ehdon \( B \subseteq C\) perusteella jokainen joukon \(B\) alkio on joukon \(C\) alkio, niin jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(C\) alkio eli \(A \subseteq C\), eli viides väite on tosi. (osajoukkorelaation transitiivisuus) 6) Kuudes väite on epätosi, sillä esimerkiksi joukkojen \(A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{1,2\} \) tapauksessa \(A \subseteq C\) ja \(B \subseteq C\), mutta \(A \subsetneq B\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= [value]\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä seuraavat arvot kaavojen avulla (älä käytä laskinta).

Anna jokaiseen kysymykseen jokin arvo vastaukseksi ennen vastauksen lukitsemista. Neliöjuuret, esim. \(\sqrt{2}\) annetaan muodossa sqrt(2).

(a) \( \cos (\theta) = \)

(b) \( \tan (\theta) = \)

(c) \( \cos (2\theta) = \)

(d) \( \sin (2\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( [value] \right) ^2 } = \pm \large[value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \cos \theta= \displaystyle[value]\qquad\) ja \( \qquad \tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos\theta}=\dfrac{[value]}{[value]}=\large [value].\) Kaksinkertaiset kulmat saadaan kaavoilla \(\cos(2\theta)=\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta=\large[value]-\large[value]=\large[value],\) \(\sin(2\theta)=2\sin \theta \cos \theta=2\cdot\large[value]\left(\large[value]\right)=\large[value].\)

Päättele ilman laskinta.

Muista käyttää kaikissa tuloissa tähteä ( * ) kertolaskuoperaattorina. Jakolaskun saat vinoviivamerkillä ( / ). Neliöjuuren saat komennolla sqrt(x). Esimerkiksi luku \( \sqrt9 \) kirjoitetaan sqrt(9). Luku \( \pi \) kirjoitetaan muodossa pi.

Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( \textbf{(a)} \quad \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \)

\( \textbf{(d)} \quad \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(b)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \large [value]. \)

Ratkaise yhtälö \( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \). Jos ratkaisuja on useita, anna vastaukseksi niistä suurin. Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)?

Anna tämä välivaihe muodossa \( f(t) = 0 \).

\( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+ [value] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= [value]\\ \Rightarrow & \quad [value] (e^{x}+e^{-x})+ [value] (e^{x}-e^{-x}) = [value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}+[value]e^{-x}=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}-[value]+[value]e^{-x}=0\\ & \mathrm{kerrotaan} \ e^x\mathrm{:llä}\\ \Rightarrow & \quad [value](e^{x})^2-[value]e^x+[value]=0\\ & \mathrm{merkitään} \ t=e^x\\ \Rightarrow & \quad [value]t^2-[value]t+[value]=0\\ \Rightarrow & \quad t=\dfrac{[value]\pm\sqrt{[value]-4\cdot[value]\cdot[value]}}{2\cdot[value]}. \end{align*}\) Plusmiinusmerkistä valitaan vain plus-osuus, koska halutaan (mahdollisesta) kahdesta tuloksesta suurempi. Tällöin \( t=\dfrac{[value]+\sqrt{[value]}}{[value]}=\large[value]=e^x\), joten \(x=\ln([value])\).

Oletetaan, että \(x \in \mathbb{R}\). Halutaan osoittaa, että \((x^2-1)(3x+2) = 0\), jos ja vain jos \(x \in \{-1, - \frac{2}{3}, 1\}\). Kyseessä on ekvivalenssitodistus. Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) Ekvivalenssitodistus koostuu kahdesta implikaatiotodistuksesta.

b) Todistuksessa oletetaan, että \((x^2-1)(3x+2) = 0\).

c) Todistuksessa oletetaan, että \(x \in \{-1, - \frac{2}{3}, 1\}\).

d) Jos yhtälöstä \((x^2-1)(3x+2) = 0\) seuraa yhtälö \(x = 1\), niin tästä voidaan päätellä, että luku \(1\) toteuttaa yhtälön.

e) Jos tehtävän väite on tosi, niin \(x = 2\) on eräs yhtälön ratkaisuista.

f) Todistuksessa tulee näyttää, että \(x = -1\) on yhtälön ratkaisu.
Feedback: a) Oikein. Väite "P jos ja vain jos Q" todistetaan näyttämällä "jos P, niin Q" ja "jos Q, niin P". b) Oikein. Tämä on toisen implikaatiotodistuksen oletus. c) Oikein. Tämä on toisen implikaatiotodistuksen oletus. d) Väärin. Kyseinen päättely osoittaa, että \(x = 1\) on yksi mahdollinen ratkaisu yhtälölle. Tämän jälkeen tulee vielä sijoittaa se yhtälön vasemmalle puolelle ja tarkistaa, että vasen puoli on \(0\). e) Väärin. Väite sanoo, että yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun \(x = -1, x = - \frac{2}{3}\) tai \(x = 1\). f) Oikein. Tämä on osa implikaatiotodistusta "jos \(x \in \{-1, - \frac{2}{3}, 1\}\), niin \((x^2-1)(3x+2) = 0\)".

Tässä tehtävässä tutustutaan kompleksiluvun eksponenttiesitykseen, joka on hyvin samankaltainen kuin napaesitys. Kussakin kohdassa sinun on vastattava molempiin kysymyksiin, ennen kuin saat palautetta. Syötä \(\pi\) muodossa pi.

Merkitään \(z_1 = [value]e^{-i[value]}\) ja \(z_2 = [value]e^{i[value]}\).

a) Määritä luvun \(z_1\) reaaliosa ja imaginaariosa. Voit syöttää vastaukset lausekkeina.

\( \operatorname{Re} z_1 = \)

\( \operatorname{Im} z_1 = \)

b) Määritä tulon \( z_1 z_2 \) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|z_1 z_2| =\)

\(\varphi =\)

c) Määritä osamäärän \( \frac{z_1}{z_2} \) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|\frac{z_1}{z_2}| =\)

\(\varphi =\)

d) Määritä luvun \(-z_2\) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|-z_2| =\)

\(\varphi =\)
Feedback: a) Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). Luvun napaesitys on siis \(z_1=[value]\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)\). Napaesityksestä saadaan reaali- ja imaginaariosat: \begin{align*} & \begin{aligned} \operatorname{Re}z_1 &= [value]\cos\left([value]\right) = [value]\cdot [value] = [value],\end{aligned}\\ & \begin{aligned} \operatorname{Im}z_1 &= [value]\sin\left([value]\right) = [value]\cdot [value] = [value]. \end{aligned} \end{align*} b) Lasketaan ja sievennetään: \[ z_1 z_2 = [value]e^{-[value]i} \cdot [value]e^{i[value]} = [value]\cdot[value]e^{i([value]+[value])} = [value]e^{i([value])}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). c) Lasketaan ja sievennetään: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{[value]e^{-i[value]}}{[value]e^{i[value]}}= \frac[value][value] e^{i(-[value]-[value])} = [value] e^{i([value])}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1/z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). d) Miinusmerkki voidaan huomioida korvaamalla se luvulla \(-1=e^{i\pi}\): \[-z_2=(-1)\cdot [value]e^{i[value]} = e^{i\pi}\cdot [value]e^{i[value]} = [value] e^{i(\pi+[value])}= [value]e^{i[value]}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan nyt lukea luvun \(z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\).