Title: Todennäköisyysjakaumia

Henkilöt A, B ja C  aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A:n saapumistodennäköisyys on \([value]\), B:n \([value]\) ja C:n \([value]\). Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella

a)

Vastaus:

b)

Vastaus:

c)

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\)="A tulee paikalle", \(B\)="B tulee paikalle", \(C\)="C tulee paikalle", \(D\)="D tulee paikalle". Nyt \(P(A)=[value],\ P(B)=[value], P(C)=[value]\). a)

Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että [value]% paikan varanneista matkustajista jää saapumatta koneeseen. Siksi yhtiö myy [value] lippua koneeseen, johon mahtuu [value] matkustajaa. Millä todennäköisyydellä jokainen koneeseen saapuva saa paikan? Oletetaan, että henkilöiden saapumiset ovat toisistaan riippumattomia. Vastaus 3 desimaalin tarkkuudella.

a) Vastaus= |  |  |
Feedback: Olkoon tapahtuma \(A\)="matkustaja jää saapumatta" ja satunnaismuuttuja \(X\) = " poisjäävien matkustajien lukumäärä [value]:sta". Nyt \(P(A)=p=[value]\). Voidaan ajatella muodostuneen [value]\(=n\) henkilön toistokoe, jossa tutkitaan saapuuko henkilö koneeseen vai ei. Nyt \(X\sim \mathrm{Bin}([value], [value])\). Jokainen koneeseen saapuva saa paikan, jos poisjääviä on vähintään 5. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) & = & 1-P(X< 5) \overset{\ X\ diskreetti\ }{=} 1-P(X\leq 4)\\ & = & 1-\sum_{x=0}^4 \binom{[value]}{x}\cdot [value]^{x}\cdot [value]^{[value]-x} \\ & = & 1 - \binom{[value]}{0}\cdot [value]^{0}\cdot 0.95^{[value]} - \binom{[value]}{1}\cdot [value]^{1}\cdot [value]^{[value]}\\ & & - \binom{[value]}{2}\cdot [value]^{2}\cdot [value]^{[value]} - \binom{[value]}{3}\cdot [value]^{3}\cdot [value]^{[value]}\\ & & - \binom{[value]}{4}\cdot [value]^{4}\cdot [value]^{[value]}\\ & = & 1 - [value] - [value]- [value]- [value]- [value]\\ & = & [value]\end{eqnarray*} \]

Laske seuraavat todennäköisyydet ja luvut 4 desimaalin tarkkuudella. Käytä jotain ohjelmaa tai laskinta, normaalijakaumataulukoilla ei saa riittävän tarkkoja tuloksia. Voit käyttää esimerkiksi Matlabia (ohjeita tässä), Exceliä, laskinta, stattrek.com sivustoa. Siirrä vastaukset tämän tehtävän vastauskenttiin ja laita pdf-palautukseen komennot/kuvakaappaukset siitä, miten olet laskenut ratkaisut.

Oletetaan, että \(X\sim\mathrm{Bin}([value],[value])\).

a) \(P(X=[value])\) = |  |  |
b) \(P([value] \leq X\leq [value]) \) = |  |  |

Oletetaan, että \(X\sim\mathrm{Poi}([value])\).

c) \(P(X= [value])\) = |  |  |
d) \(P(X\geq[value])\) = |  |  |

Oletetaan, että \(X\sim\mathrm{N}([value],[value])\).

e) \(P([value]\leq X\leq [value])\) = |  |  |
f) \(P(X\leq c)=[value]\).  Luku \(c\) = |  |  |
Feedback: a) binopdf([value], [value], [value]) \(P(X=[value]) =[value]\) b) binocdf([value], [value], [value])-binocdf([value]-1, [value], [value]) \(P([value] \leq X\leq [value])=[value]\) c) poisspdf([value], [value]) \(P(X= [value])=[value]\) d) 1-poisscdf([value]-1, [value])\(P(X\geq[value])=[value]\) e) normcdf([value], [value], [value])-normcdf([value], [value], [value]) \(P([value]\leq X\leq [value])=[value]\) f) norminv([value],[value], [value]) \(P(X\leq c)=[value]\). Luku \(c =[value]\)

Henkilön tuli olla 60 minuutin päästä töissä. Hänellä on 3 eri matkustustapaa A, B ja C. Millä tavalla matkustaen henkilö ehtii suurimmalla todennäköisyydellä ajoissa töihin? Muut matkaan kuuluvat ajat (kävelyajat pysäkille ym.) sisältyvät ilmoitettuihin aikoihin. Vastaukset tarkkoina arvoina tai 3 desimaalin tarkkuudella.
Tapa A: Bussi kulkee säännöllisesti [value] minuutin välein, mutta henkilö ei tiedä aikataulua. Bussimatka kestää [value] minuuttia.
Tapa B: Taksiasemalle tulee keskimäärin [value] taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Taksimatka kestää [value] minuuttia.
Tapa C: Kävellen matka kestää keskimäärin [value] minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika vaihtelee, varianssin ollessa [value]. Kävelyaika oletetaan normaalisti jakautuneeksi.

A: Vastaus= |  |  |
B: Vastaus= |  |  |
C: Vastaus= |  |  |

(Syötä vastauksesi vähintään kolmen desimaalin tarkkuudella.)
Feedback: A: Bussi kulkee [value] minuutin välein, mutta hän ei tiedä aikataulua. Tällöin odotusaika \(X\sim\mathrm{Tas}(0,[value])\). Kun bussimatka kestää [value] minuuttia, henkilö ehtii ajoissa töihin, jos bussi tulee [value] minuutin kuluessa eli jos \(X\leq [value]\). \[P(X\leq [value]) = \frac{[value]}{[value]}=[value]=[value]\] B: Taksiasemalle tulee keskimäärin [value] taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Koska taksimatka kestää [value] minuuttia, pitäisi ainakin yhden taksin tulla [value] minuutin kuluessa. [value] minuutissa saapuu keskimäärin \([value]\cdot [value]/60 = [value]\) taksia. Kun \(X=\)"saapuvien taksien lukumäärä [value] minuutissa", \(X\sim\mathrm{Poi}([value])\) ja kysytty todennäköisyys on \[P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{[value]^0}{0!}e^{-[value]}=[value]\] C: Kävellen matka kestää keskimäärin [value] minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika vaihtelee, varianssin ollessa [value]. Nyt kävelyaika \(X\sim\mathrm{N}([value],[value])\) ja kysytty todennäköisyys on \[P(X\leq 60)=P\left(\frac{X-[value]}{\sqrt[value]}\leq \frac{60-[value]}{\sqrt[value]}\right)=\Phi([value])=[value]\] Varmin tapa ehtiä töihin ajoissa on mennä [value].

Satunnaismuuttujat \(X_1\sim\mathrm{N}([value], [value])\), \(X_2\sim\mathrm{N}([value],[value])\)/*ja \(X_3\sim\mathrm{N}([value],[value])\)*/ ovat riippumattomia. Määritä seuraavat odotusarvot ja varianssit. Anna vastaukset tarkkoina arvoina.

a) \(E(7X_1) =   \) |  |  |
b) \(Var(7X_1) = \) |  |  |
c) \(E([value]X_1+[value]X_2) = \) |  |  |
d) \(Var([value]X_1+[value]X_2) = \) |  |  |

 Laske todennäköisyydet kolmen desimaalin tarkkuudella.

e) \(P(7X_1\geq 7) =  \) |  |  |
f) \(P([value]X_1+[value]X_2 \geq 7) = \) |  |  |
Feedback: a) ja b) \[ 7X_1\sim\mathrm{N} ([value], [value]) \] c) ja d) \[ [value]X_1+[value]X_2\sim\mathrm{N} ( [value]\cdot[value] + [value]\cdot[value],[value]^2\cdot[value] + [value]^2\cdot[value]) = \mathrm{N} ([value], [value])\] e) \[P(7X_1\geq 7) = [value] (tarkka) = [value] (taulukot)\] f) \[P([value]X_1+[value]X_2 \geq 7) = [value] (tarkka) = [value] (taulukot)\]

A ferry travels crosses over the strait from shore A to shore B regularly every [value] minutes. The ferry has capacity for \([value]\) vehicles.Lautta kulkee salmen yli rannalta A rannalle B säännöllisesti [value] minuutin vuorovälein. Lautalla on tilaa \([value]\) autolle.En färja går över ett sund från strand A till strand B regelbundet med [value] minuters mellanrum. På färjan ryms \([value]\) bilar.

Assume that no cars are left behind once the ferry leaves shore A for the first time. Assume also that the number of cars that come to the shore in the next [value] minutes follows the Poisson distribution with the expected value \([value]\).Oletetaan, että lautan lähtiessä ensimmäisen kerran rannalta A paikalle ei jää vuoroaan odottavia autoja. Oletetaan edelleen, että rannalle saapuvien autojen lukumäärä seuraavan [value] minuutin aikana noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla \([value]\).Anta att det inte blir kvar några bilar då färjan lämnar strand A första gången. Anta vidare att antalet bilar som kommer till stranden under de följande [value] minuterna följer Poissonfördelningen med väntevärdet \([value]\).

What is the probability that the ferry becomes full the next time it comes to shore A? Millä todennäköisyydellä lautta tulee täyteen sen saapuessa seuraavan kerran rannalle A? Vad är sannolikheten för att färjan fylls helt nästa gång den kommer till strand A?

Give your answer with [value] decimals. Use point as the decimal separator.Anna vastauksesi [value] desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaret med [value] decimaler. Använd punkt som decimaltecken.

Answer: Vastaus: Svar: |  |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: Let \(X \in Po([value])\) denote the number of cars that come to the shore while the ferry is away. Then the probability mass function for \(X\) is \[ p_X(x)=\frac{[value]^x}{x!} e^{-[value]}. \]Merkitään lautan poissa ollessa rannalle saapuvien autojen määrää \(X \in Po([value])\). Satunnaismuuttujan \(X\) pistetodennäköisyysfunktio on tällöin \[ p_X(x)=\frac{[value]^x}{x!} e^{-[value]}. \]Låt \(X \in Po([value])\) beteckna antalet bilar som kommer till stranden medan färjan är borta. Sannolikhetsfunktionen för \(X\) är då \[ p_X(x)=\frac{[value]^x}{x!} e^{-[value]}. \] We want to find the probability that the ferry becomes full, i.e. \(p(X \geq [value])\).Haluamme laskea todennäköisyyden tapahtumalle, että lautta tulee täyteen, eli tehtävänämme on selvittää \(p(X \geq [value])\).Vi söker sannolikheten för att färjan fylls, d.v.s. \(p(X \geq [value])\). \[ p(X\geq [value])=\sum_{x=[value]}^{\infty} p_X(x). \] To avoid calculating the infinite sum we can find the probability using the complement event instead: Välttääksemme laskemasta ääretöntä summaa voimme sen sijaan käyttää apunamme komplementtitapahtumaa: För att slippa beräkna den oändliga summan kan vi istället använda oss av komplementhändelsen: \[\begin{split} p(X \geq [value]) &= 1-p(X< [value]) \\ &= 1-\sum_{x=0}^{[value]}p_X(x) \\ &= 1-\sum_{x=0}^{[value]} \frac{[value]^x}{x!} e^{-[value]} \\ &= 1-\left(\frac{[value]^0}{0!} e^{-[value]} + \frac{[value]^1}{1!} e^{-[value]} +\dots + \frac{[value]^{[value]}}{[value]!} e^{-[value]}\right) \\ &\approx [value] \end{split}\] Alternative solution (based on statistical tables instead of calculating the sum): Vaihtoehtoinen tapa (perustuen summan laskemisen sijaan taulukoiden käyttöön): Alternativ (tabeller istället för att räkna ut summan): Rather than calculating the sum at the end we can pick the value directly from the Poisson distribution table. That is, we want to find the probabilitySen sijaan, että laskisimme lopussa olevan summan, voimme poimia arvon suoraan Poisson-jakauman taulukosta. Haluamme siis laskea todennäköisyydenIstället för att räkna ut summan på slutet går det att få värdet direkt ur en tabell över Poisson-fördelningen. Vi vill alltså räkna ut sannolikheten \[\begin{split} p(X \geq [value]) &= 1-p(X< [value]) \\ &= 1-p(X \leq [value]). \end{split}\] Reading the table we directly obtain \(p(X \leq [value]) \approx [value]\), when \(X\in Po([value])\), and get the answer \(p(X \geq [value]) \approx [value]\).Taulukosta voidaan suoraan lukea \(p(X \leq [value]) \approx [value]\), kun \(X\in Po([value])\), eli vastaukseksi saadaan \(p(X \geq [value]) \approx [value]\).Ur tabellen kan vi direkt avläsa \(p(X \leq [value]) \approx [value]\) då \(X\in Po([value])\) och vi får svaret \(p(X \geq [value]) \approx [value]\).

Assume that \(X \in \mathrm{N}([value],[value])\) and \(Y \in \mathrm{N}([value],[value])\) and that \(\rho_{X,Y} = [value]\).Oletetaan, että \(X \in \mathrm{N}([value],[value]^2)\) ja \(Y \in \mathrm{N}([value],[value]^2)\) ja että \(\text{Cov}(X,Y) = [value]\).Anta att \(X \in \mathrm{N}([value],[value])\) och \(Y \in \mathrm{N}([value],[value])\) och att \(\rho_{X,Y} = [value]\).

Calculate the variance for the random variablesMääritä varianssi satunnaismuuttujilleBeräkna variansen för de stokastiska variablerna

a) \(X+[value]Y\) andjaoch

b) \(X-[value]Y\).

Give your answer exact or with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastauksesi tarkkana arvona tai [value] merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaren exakt eller med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

a) | \(\mathbb{D}^2(X+[value]Y)=\) |  |
b) | \(\mathbb{D}^2(X-[value]Y)=\) |  |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: a) \[ \begin{split} V(X+[value]Y) &= V(X) + V([value]Y) + 2\, C(X,[value]Y) \\ &= [value]+[value]^2 V(Y) + 2 \cdot [value]\, C(X,Y) \\ &= [value]+[value]^2 \cdot [value] + 2 \cdot [value]\cdot [value] \\ &=[value] \\ &\approx [value]. \end{split} \] b) \[ \begin{split} V(X-[value]Y) &= V(X) + V([value]Y)- 2\, C(X,[value]Y) \\ &= [value]+[value]^2 V(Y)-2 \cdot [value]\, C(X,Y) \\ &= [value]+[value]^2 \cdot [value] - 2 \cdot [value]\cdot [value] \\ &= [value] \\ &\approx [value]. \end{split} \]

Satunnaismuuttuja \( X \sim \text{Bin}([value],[value]) \). Laske \( P(|X-\mu| \leq \sigma) \). Anna vastauksesi kolmen desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu Kun \( X \sim \text{Bin}([value],[value]) \), niin \( n = [value] \) \( p = [value] \) \( \mu = np = [value]\cdot[value] = [value] \) ja \( \sigma^2 = np(1-p) = [value]\cdot[value]\cdot(1-[value]) = [value] \), eli \( \sigma = \sqrt{[value]} \approx [value] \). Nyt \( \begin{align} P(|X-\mu | \leq \sigma) &= P(|X-[value] | \leq [value]) = P([value] \leq X \leq [value]) \\ \\ &= P(X=[value])+ P(X=[value])+ P(X=[value]) \\ \\ &= \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] + \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] + \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] \\ \\ & = [value]. \end{align} \)

Tarkastellaan satunnaismuuttujaa \( X \sim \text{Bin}([value],[value]) \). Laske \( \mathbb{P}(|X-[value]| \leq [value]) \). Anna vastauksesi kolmen desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu Kun \( X \sim \text{Bin}([value],[value]) \), niin \( n = [value] \) \( p = [value] \) \( \mu = np = [value]\cdot[value] = [value] \) ja \( \sigma^2 = np(1-p) = [value]\cdot[value]\cdot(1-[value]) = [value] \), eli \( \sigma = \sqrt{[value]} \approx [value] \). Nyt \( \begin{align} \mathbb{P}(|X-\mu | \leq \sigma) &= \mathbb{P}(|X-[value] | \leq [value]) = \mathbb{P}([value] \leq X \leq [value]) \\ \\ &= \mathbb{P}(X=[value])+ \mathbb{P}(X=[value])+ \mathbb{P}(X=[value]) \\ \\ &= \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] + \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] + \binom{[value]}{[value]} \cdot [value]^[value] \cdot [value]^[value] \\ \\ & = [value]. \end{align} \)

a) Tietyllä alueella liikenneonnettomuustiheys on [value] onnettomuutta / neliökilometri / kuukausi. Millä todennäköisyydellä kyseiseltä alueelta valitulla [value] neliökilometrin suuruisella alalla tapahtuu [value] kuukauden aikana enintään kolme liikenneonnettomuutta?

b) Puhelinpalveluun soitetaan keskimäärin [value] kertaa tunnissa. Oletetaan, että soittojen lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Puhelinpalvelun työntekijä menee [value] minuutin kahvitauolle. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi soitto tulee kahvitauon aikana?

Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella.

a) Vastaus = |  |  |
b) Vastaus = |  |  |
Feedback: a) Olkoon \( X \)= Onnettomuuksien määrä valitulla [value] km^2 alueella [value] kuukaudessa. Koska yhdellä neliökilometrillä kuukaudessa tapahtuu [value] onnettomuutta, niitä tulee \( [value] \text{ km}^2 \) alueella [value] kuukaudessa keskimäärin \( [value] \cdot [value] \cdot [value] = [value]. \) Oletetaan todeksi Poisson -oletukset. Siis \( X \sim \text{ Poi}([value]) \). Kysytty todennäköisyys on \( P(X \leq 3) = e^{[value]} \left( \dfrac{[value]^0}{0!}+\dfrac{[value]^1}{1!}+\dfrac{[value]^2}{2!}+\dfrac{[value]^3}{3!} \right) \approx [value] \). b) Tauon aikana [value] minuutissa puheluita tulee keskimäärin \([value]\cdot[value]/60=[value]\) puhelua, joten \(X=\)'puheluiden määrä [value] minuutissa' noudattaa jakaumaa \(X\sim\mathrm{Poi}([value])\). Kysytty todennäköisyys on \[P(X>0)=1-P(X=0)=1-\frac{[value]^0}{0!}e^{-[value]}=1-e^{-[value]}=[value]\]

Tiedetään, että laitteen ikä \(T\) noudattaa normaalijakaumaa. 50 % laitteista kestää alle [value] vuotta ja [value] % alle [value] vuotta. Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

a)  Mikä on \( E(T) =\mu\) =
b) Mikä on keskihajonta \( D(T)  =\sigma\) =
c) Millä todennäköisyydellä laite kestää alle [value] vuotta?
Feedback: a) Olkoon \( T = \) "laitteen ikä" ja \( T \sim N(\mu,\sigma^2) \). Koska \( P(T < [value] ) = 0.50 \), on \( E(T)=\mu = [value] \). b) Edelleen \( \begin{align} P(T<[value]) &= P \left( \dfrac{T-[value]}{\sigma} < \dfrac{[value]-[value]}{\sigma} \right) = [value]0 \\ \\ & \Leftrightarrow \Phi \left( \dfrac{[value]}{\sigma} \right) = [value]0 = \Phi ([value]) \Rightarrow \sigma = \dfrac{[value]}{[value]} = [value]. \end{align} \) Näin siis \(Var(T)=\sigma^2=[value]\) ja \( T \sim N([value],[value]^2) \) c) \( \begin{align} P(T<[value]) &= P \left( \dfrac{T-[value]}{[value]} < \dfrac{[value]-[value]}{[value]} \right) = P(z < [value]) \\ \\ & = \Phi ([value]) = 1-\Phi ([value]) = 1-[value] \approx [value]. \end{align} \) Laite kestää korkeintaan [value] vuotta todennäköisyydellä[value] Huom! Ratkaisussa mahdollisesti esiintyvät epäloogisuudet pyöristyksissä johtuvat siitä, että todellisuudessa vastaus on laskettu tarkoilla arvoilla eikä ratkaisussa näkyvillä välituloksilla. Välituloksia käytettiin tässä vain luettavuuden parantamiseksi. Esim. todellisuudessa \( \Phi \left( \dfrac{[value]}{\sigma} \right) = [value]0 = \Phi ([value]) \) ja siten \( \sigma = \dfrac{[value]}{[value]} = [value]\) jne.

Tehtaan valmistamien akselitappien ja näitä vastaavien holkkien halkaisijat \( D_a \) ja \( D_h \) ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka ovat jakautuneet normaalisti

\( \quad D_a \sim \text{N}([value] \text{ cm}, \, [value]0 \cdot 10^{-6} \text{ cm}^2) \\ \quad D_h \sim \text{N}([value] \text{ cm}, \, [value]0 \cdot 10^{-6} \text{ cm}^2)\)

Otetaan satunnaisesti akseli ja holkki. Millä todennäköisyydellä akseli mahtuu holkkiin?

Vihje: Tutki muuttujaa \( D = D_h-D_a \). Anna vastauksesi kolmen desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu: Kun \( D_a \) ja \( D_h \) ovat riippumattomia normaalijakautuneita satunnaismuuttujia , niin näistä muodostettu uusi satunnaismuuttuja \( D = D_h-D_a=D_h+(-1) \cdot D_a \) on myös normaalisti jakautunut \( \begin{align} D & \sim \text{N} \left( [value]-[value] \text{ cm}, \, ([value]0+(-1)^2 \cdot [value]0) \cdot 10^{-6} \text{ cm}^2 \right) \\ & = \text{N} \left( [value] \text{ cm}, \, [value]0 \cdot 10^{-6} \text{ cm}^2 \right) \end{align} \) Akseli mahtuu holkkiin, kun \( D_h > D_a \) eli kun \( D > 0 \). Kysytty todennäköisyys on \( \begin{align} P(D > 0) & = P \left( \underbrace{\frac{D-[value]}{\sqrt{[value] \cdot 10^{-6}}}}_{\sim N(0,1)} > \frac{0-[value]}{\sqrt{[value] \cdot 10^{-6}}} \right) \\ &= P(Z > -[value]) = P(Z < [value]) \\ &=\Phi ([value]) \approx [value]. \end{align} \)

\( \textbf{(a)} \) Pakkauksen painoksi on ilmoitettu 100 g. Punnituksissa on painon \( X \) jakaumaksi N([value],[value]). Alle 100 g:n painoiset pakkaukset hylätään jo tuotannossa. Kuinka monta prosenttia pakkauksista hylätään?

\( \textbf{(b)} \) Hävikin pienentämiseksi kaksi \( \textbf{(a)} \)-kohdan pakkausta yhdistetään tuplapakkaukseksi, jonka painoksi ilmoitetaan 200 g. Kuinka monta prosenttia tuplapakkauksista hylätään eli mikä osuus näistä pakkauksista on alle 200 g painoisia? Eri pakkausten painot ovat riippumattomia.

Anna prosenttilukemat kahden desimaalin tarkkuudella.

\( \textbf{(a)} \) Vastaus: % |
\( \textbf{(b)} \) Vastaus: % |
Feedback: Malliratkaisu: \( \textbf{(a)} \) Kysytty todennäköisyys on \( \begin{align} P(X < 100) &= P \left( \dfrac{X-[value]}{[value]} < \dfrac{100-[value]}{[value]}\right) = \Phi ([value]) \\ &= 1-\Phi([value])=1-[value]=[value]=[value] \, \%. \end{align} \) Matlabilla: tna_prosentteina = normcdf(100,[value],sqrt([value]))*100 = [value] \( \textbf{(b)} \) Merkitään pakkauksen 1 painoa \( X_1 \):llä ja pakkauksen 2 painoa \( X_2 \):lla. Tuplapakkauksen paino on \( X = X_1 + X_2 \) ja \( X \) noudattaa jakaumaa N([value], [value]). Odotusarvo ja riippumattomien satunnaismuuttujien varianssi lasketaan kaavoilla \(E(X_1+X_2)=E(X_1)+ E(X_2)\) ja \(\mathrm{Var}(a X_1+ b X_2)=a^2\mathrm{Var}(X_1)+b^2\mathrm{Var}(X_2)\). Nyt \( \begin{align} P(X < 200) & = P \left( \dfrac{X-[value]}{[value]} < \dfrac{200-[value]}{[value]}\right)= \Phi([value])\\ &= 1-\Phi([value])=1-[value]=[value]=[value] \, \%. \end{align} \) Matlabilla: tnb_prosentteina=normcdf(200,[value],sqrt([value]+[value]))*100 = [value]

Moodle-sivun kansiossa  Harjoitus 5 tehtävä 1, datat  on 10 tiedostoa, joista jokaisessa on 1000 generoitua satunnaislukua. Valitse näistä data[value].csv ja laske siitä seuraavat asiat. Suositus on, että teet tehtävän Exam-tentissäkin käytössä olevien ohjelmien avulla. Ohjeet ovat Matlabin käyttöön, tehtävät pystyy tekemään myös Excelillä tai R:llä.

Lataa datatiedosto ja siirrä se Matlabin oletuskansioon. Tiedoston lukeminen Matlabin muuttujaksi tästä kansiosta onnistuu komennolla  csvread('data[value].csv');   Tee tehtävät ja siirrä saamasi vastaukset vastauskenttiin a), b) ja d).

a) Mikä on tiedoston lukujen otoskeskiarvo \(\overline{x}\),   (Matlab: mean). Vastaus 4 desimaalin tarkkuudella (Matlab oletus).
b)  Mikä on tiedoston lukujen otosvarianssi \(s^2\),   (Matlab: var). Vastaus 4 desimaalin tarkkuudella.
c) Piirrä luvuista histogrammi. Liitä tämä kuva pdf-palautukseesi. (Matlab: histogram)
d) Luvut on generoitu binomijakaumasta \(\mathrm{Bin}([value],p)\). Otoskeskiarvo on empiirisen jakauman keskikohtaa kuvaava luku ja sen teoreettinen vastine on odotusarvo. Arvioi otoskeskiarvon perusteella parametria  \(p\)  kahden desimaalin tarkkuudella.

a) \(\overline{x}\) = |  |  |
b) \(s^2\) = |  |  |
d) \(p\) = |  |  |
Feedback: Seuraavilla Matlabin komennoilla saat odotusarvon ja varianssin data=load('data[value].csv') mean(data) var(data) ja vastaukset ovat \(\overline{x}= [value], s^2=[value]\). Koska binomijakautuneen satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo \(E(X)=np\approx \overline{x}\) ja otoskeskiarvo on odotusarvon estimaatti, niin \(p\approx \dfrac{\overline{x}}{[value]}=[value]=[value].\)