Title: IMA1 Matlab (viikko 5)

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Tutustu kurssimateriaalin lukuun 1.6, jossa selitetään, miten kaksi joukkoa osoitetaan samaksi silloin, kun niiden alkioita ei välttämättä tunneta.

Osoitetaan, että \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

Todistus. Osoitetaan ensin, että  \((A \cup B) \setminus C \subset (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). [...] Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in A \cup B\), on tutkittava molemmat tapaukset erikseen.

1. [...] Koska lisäksi \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A \setminus C\). Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\).
2. [...] Koska lisäksi \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in B \setminus C\). Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\).

Molemmissa tapauksissa [...] Siis \((A \cup B) \setminus C \subset (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\).

Osoitetaan sitten, että  \((A \setminus C) \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C \). [...] Nyt yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \setminus C\) tai \(x \in B \setminus C\). Tarkastellaan tapaukset.

1. [...] Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in A\), yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\). Koska \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in (A \cup B) \setminus C\).
2. [...] Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in B\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in B\), yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\). Koska \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in (A \cup B) \setminus C\).

Molemmissa tapauksissa [...] Siis \((A \setminus C) \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\).

Olemme osoittaneet, että \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).
A: Oletetaan, että x ∈ (A∪B)\C.; Oletetaan, että x ∈ A.; Oletetaan, että x ∈ B.; x ∈ (A\C)∪(B\C).; Oletetaan, että x ∈ (A\C)∪(B\C).; Oletetaan, että x ∈ A\C.; Oletetaan, että x ∈ B\C.; x ∈ (A∪B)\C.
Gap 1 offers: Oletetaan, että x ∈ (A∪B)\C.; Oletetaan, että x ∈ (A\C)∪(B\C).
Gap 2 offers: Oletetaan, että x ∈ A.; Oletetaan, että x ∈ B.; Oletetaan, että x ∈ A∪B.
Gap 3 offers: Oletetaan, että x ∈ A.; Oletetaan, että x ∈ B.; Oletetaan, että x ∈ A∪B.
Gap 4 offers: x ∈ A∪B.; x ∈ (A∪B)\C.; x ∈ (A\C)∪(B\C).
Gap 5 offers: Oletetaan, että x ∈ (A∪B)\C.; Oletetaan, että x ∈ (A\C)∪(B\C).
Gap 6 offers: Oletetaan, että x ∈ A\C.; Oletetaan, että x ∈ B\C.; Oletetaan, että x ∈ (A∪B)\C.
Gap 7 offers: Oletetaan, että x ∈ A\C.; Oletetaan, että x ∈ B\C.; Oletetaan, että x ∈ (A∪B)\C.
Gap 8 offers: x ∈ A∪B.; x ∈ (A∪B)\C.; x ∈ (A\C)∪(B\C).
Feedback: Osoitetaan, että \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\). Todistus. Osoitetaan ensin, että \((A \cup B) \setminus C \subset (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). Oletetaan, että \(x \in (A \cup B) \setminus C\). Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in A \cup B\), on tutkittava molemmat tapaukset erikseen. 1. Oletetaan, että \(x \in A\). Koska lisäksi \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A \setminus C\). Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). 2. Oletetaan, että \(x \in B\). Koska lisäksi \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in B \setminus C\). Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). Molemmissa tapauksissa \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). Siis \((A \cup B) \setminus C \subset (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). Osoitetaan sitten, että \((A \setminus C) \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C \). Oletetaan, että \(x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\). Nyt yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \setminus C\) tai \(x \in B \setminus C\). Tarkastellaan tapaukset. 1. Oletetaan, että \(x \in A \setminus C\). Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in A\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in A\), yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\). Koska \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in (A \cup B) \setminus C\). 2. Oletetaan, että \(x \in B \setminus C\). Erotuksen määritelmän nojalla \(x \in B\) ja \(x \notin C\). Koska \(x \in B\), yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in A \cup B\). Koska \(x \in A \cup B\) ja \(x \notin C\), niin erotuksen määritelmän nojalla \(x \in (A \cup B) \setminus C\). Molemmissa tapauksissa \(x \in (A \cup B) \setminus C\). Siis \((A \setminus C) \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\). Olemme osoittaneet, että \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\). [Image] Yllä on havainnollistettu joukkoa \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) Vennin kaavion avulla; joukkoon kuuluvat alueet on merkitty symbolilla X.

Q: Tämä tehtävä liittyy itseselittämisen menetelmään:

https://moodle.helsinki.fi/pluginfile.php/2577026/mod_resource/content/2/ISSohje.pdf

Itseselittämisen menetelmä (Self-Explanation Training) on harjoitus, jonka avulla voi opetella lukemaan todistuksia. Ohjetekstissä on esimerkkejä metodeista, jotka poikkeavat itseselittämisestä. Näitä kutsutaan tekstissä ”esittämiseksi toisin sanoin” ja ”itsetarkkailuksi”.

Oletetaan, että \(n \in \mathbb{Z}\). Tarkastellaan väitettä "\(n\) on parillinen, jos ja vain jos \(n^3\) on parillinen".

Opiskelutoverisi harjoitteli itseselittämisen menetelmää lukiessaan seuraavaa todistusta äskeiselle väitteelle.

Todistus

Oletetaan ensin, että \(n\) on parillinen. Tällöin \(n=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt

\( n^3 = (2k)^3 = 8k^3 = 2 \cdot (4k^3) \).

Koska \(4k^3\) on kokonaisluku, luku \(n^3\) on parillinen. On siis näytetty, että jos \(n\) on parillinen, myös \(n^3\) on parillinen.

Osoitetaan sitten, että jos \(n^3\) on parillinen, myös \(n\) on parillinen. Käytetään kontrapositiotekniikkaa ja oletetaan, että \(n\) on pariton. Tällöin \(n=2k+1\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt

\(n^3 = (2k+1)^3 \)

      \(= (2k+1)(2k+1)(2k+1)\)

      \(= (2k+1)(4k^2+4k+1)\)

      \(=8k^3+8k^2+2k+4k^2+4k+1\)

      \(=8k^3+12k^2+6k+1\)

      \(=2(4k^3+6k^2+3k)+1.\)

Koska \(4k^3+6k^2+3k\) on kokonaisluku, nähdään, että \(n^3\) on pariton. Kontrapositioperiaatteen mukaan on näytetty, että jos \(n^3\) on parillinen, niin \(n\) on parillinen.

Hän tuotti oheisen selityksen. Toverisi on kuitenkin joissain kohdissa varsinaisen selityksen sijaan esittänyt virkkeen toisin sanoin tai suorittanut itsetarkkailua. Valitse kuhunkin kohtaan parhaiten sopiva kuvaus.

- (1) ”Jos ja vain jos”-tyyppinen väite todistetaan tarkistamalla implikaatiot molempiin suuntiin. Tässä aloitetaan ensimmäisen suunnan tarkistaminen olettamalla implikaation etujäsen. [...]
- (2) Kirjoitetaan virkkeen (1) oletus auki, jotta päästään käyttämään paremmin hyväksi luvun \(n\) parillisuutta. [...]
- (3) Pyöritellään lauseketta \(n^3\). [...]
- (4) Todetaan, että virkkeen (3) lopussa saatu lauseke on muotoa ”\(2\) kertaa kokonaisluku”, mistä voidaan päätellä, että \(n^3\) on parillinen. [...]
- (5) Kirjoitetaan ylös, mitä on tehty, jotta lukija näkisi, että ensimmäinen implikaatiosuunta on nyt todistettu. [...]
- (6) Aloitetaan toinen implikaatiosuunta kertomalla, mitä aiotaan todistaa. [...]
- (7) En hallitse vielä hyvin kontrapositiotekniikkaa, mutta edellisissä kohdissa puhutaan epäsuorasta todistamisesta, joten tehdään vastaoletus. [...]
- (8) Kirjoitetaan \(n\) toisessa muodossa. [...]
- (9) Samalla tavoin kuin virkkeessä (3) lähdetään laskemaan, mitä \(n^3\) on. Tavoitteena olisi saada jotain paritonta. [...]
- (10) Mietin pitkään, miksi siirrytään tarkastelemaan lauseketta \(4k^3+6k^2+3k\), kunnes huomasin sen esiintyvän edellisellä rivillä. Tämän olisi voinut kirjoittaa auki selvemmin. [...]
- (11) Tehdään loppupäätelmä, jossa vielä muistutetaan kontrapositioperiaatteesta ja todetaan, että toinenkin implikaatiosuunta on nyt todistettu. [...]
A: Itseselittämistä; Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itseselittämistä; Itseselittämistä; Itseselittämistä; Itsetarkkailua; Esittämistä toisin sanoin; Itseselittämistä; Itsetarkkailua; Itseselittämistä
Gap 1 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 2 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 3 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 4 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 5 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 6 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 7 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 8 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 9 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 10 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 11 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Feedback: Virkkeissä \((3)\) ja \((8)\) selityksessä on vain sanottu toisin sanoin, mitä todistuksessa tehdään, ilman, että on selitetty, miksi niin tehdään ja mihin se liittyy. Virkkeissä \((7)\) ja \((10)\) selityksessä on sanottu, mitä todistuksessa tehdään, sekä kuvailtu omia ajatuksia. Korjataan mainitut tekstinkohdat aidoiksi selityksiksi. \((3)\) Lähdetään tutkimaan lauseketta \(n^3\) sijoittamalla \(n\) virkkeessä \((2)\) mainitussa muodossa. Tavoitteena olisi saada jotain parillista. \((7)\) Käytetään vihjeen mukaisesti epäsuoraa todistamista. Kontrapositiotekniikassa oletetaan aluksi todistettavan väitteen negaatio (ns. vastaoletus). \((8)\) Kirjoitetaan virkkeen \((7)\) vastaoletus auki, jotta päästään paremmin käyttämään hyväksi luvun \(n\) parittomuutta. \((10)\) Todetaan virkkeen \((9)\) lopussa ilmenevä lauseke \(4k^3+6k^2+3k\) kokonaisluvuksi, jotta voidaan todeta, että virkkeen \((9)\) lopussa saatu koko lauseke on muotoa "\(2\) kertaa kokonaisluku plus \(1\)". Näin voidaan päätellä, että \(n^3\) on pariton.

Q: Injektiot ja surjektiot ovat kuvauksia, jotka toteuttavat tietyt ehdot. Tutustu injektion ja surjektion määritelmiin kurssimateriaalin lukujen 5.4 ja 5.5 sekä seuraavien tehtävien avulla.

Alla on näkyvissä joidenkin funktioiden kuvaajia. Funktioiden lähtö- ja maalijoukkoina on \( \mathbb{R} \). Mitkä näistä funktioista ovat injektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

b)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

c)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].

d)

[Image]

Funktio [...] injektio, koska se [...].
A: ei ole; liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion; on; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion; on; ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon; ei ole; liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion
Gap 3 offers: on; ei ole
Gap 4 offers: liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon; ei ole katkeamaton käyrä; liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion
Feedback: a) Funktio ei ole injektio, koska se liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion. b) Funktio on injektio, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon korkeintaan yhden lähtöjoukon alkion. c) Funktio on injektio, koska se ei liitä kahta lähtöjoukon alkiota samaan maalijoukon alkioon. d) Funktio ei ole injektio, koska se liittää joihinkin maalijoukon alkioihin useamman lähtöjoukon alkion.

Q: Mitkä alla olevissa kuvissa esiintyvistä säännöistä ovat kuvauksia? Mitkä niistä ovat injektioita? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Sääntö \(f\) [...] kuvaus. Sääntö \(f\) [...] injektio, koska se [...].

b)

[Image]

Sääntö \(g\) [...] kuvaus. Sääntö \(g\) [...] injektio, koska se [...].

c)

[Image]

Sääntö \(h\) [...] kuvaus. Sääntö \(h\) [...] injektio, koska se [...].

d)

[Image]

Sääntö \(\alpha\) [...] kuvaus. Sääntö \(\alpha\) [...] injektio, koska se [...].

e)

[Image]

Sääntö \(\beta\) [...] kuvaus. Sääntö \(\beta\) [...] injektio, koska se [...].

f)

[Image]

Sääntö \(\gamma\) [...] kuvaus. Sääntö \(\gamma\) [...] injektio, koska se [...].
A: on; on; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; on; on; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; ei ole; ei ole; ei ole kuvaus; on; ei ole; liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota; on; ei ole; liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon
Gap 1 offers: on; ei ole
Gap 2 offers: on; ei ole
Gap 3 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Gap 4 offers: on; ei ole
Gap 5 offers: on; ei ole
Gap 6 offers: ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; ei liitä maalijoukon alkioon 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; ei ole kuvaus
Gap 7 offers: on; ei ole
Gap 8 offers: on; ei ole
Gap 9 offers: ei ole kuvaus; ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 10 offers: on; ei ole
Gap 11 offers: on; ei ole
Gap 12 offers: ei ole kuvaus; liittää maalijoukon alkioon 0 kaksi lähtöjoukon alkiota; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion
Gap 13 offers: on; ei ole
Gap 14 offers: on; ei ole
Gap 15 offers: ei ole kuvaus; ei liitä kaikkiin maalijoukon alkioihin ainuttakaan lähtöjoukon alkiota; liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota
Gap 16 offers: on; ei ole
Gap 17 offers: on; ei ole
Gap 18 offers: liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon yksikäsitteisen maalijoukon alkion; liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon; liittää jokaiseen maalijoukon alkioon jonkin lähtöjoukon alkion; ei ole kuvaus
Feedback: Jos sääntö ei ole kuvaus, se ei voi olla injektio. Kaikki injektiot ovat tietyntyyppisiä kuvauksia. a) Sääntö \(f\) on kuvaus. Sääntö \(f\) on injektio, koska se ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota. b) Sääntö \(g\) on kuvaus. Sääntö \(g\) on injektio, koska se ei liitä yhteenkään maalijoukon alkioon kahta lähtöjoukon alkiota. c) Sääntö \(h\) ei ole kuvaus. Sääntö \(h\) ei ole injektio, koska se ei ole kuvaus. d) Sääntö \(\alpha\) ei ole kuvaus. Sääntö \(\alpha\) ei ole injektio, koska se ei ole kuvaus. e) Sääntö \(\beta\) on kuvaus. Sääntö \(\beta\) ei ole injektio, koska se liittää maalijoukon alkioon 1 kaksi lähtöjoukon alkiota. f) Sääntö \(\gamma\) on kuvaus. Sääntö \(\gamma\) ei ole injektio, koska se liittää lähtöjoukon alkiot 2 ja 3 samaan maalijoukon alkioon.

Q: Olkoon \(a \in \mathbb{R}\). Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) =4x^3-6x^2+ax+1\).

Oheisella sovelmalla näet, miltä kuvauksen \(f\) kuvaaja näyttää vakion \(a\) eri arvoilla.

Millä seuraavista vakion \(a\) arvolla kuvaus \(f\) on kuvaajan perusteella injektio?

[...]
A: \(a=4\)
Gap 1 offers: \(a=-4\); \(a=-2\); \(a=-1\); \(a=1\); \(a=2\); \(a=4\)
Feedback: [Image] Kun \(a=4\), funktio \(f\) on kuvaajan perusteella injektio. Tällöin jokainen vaakasuora suora leikkaa funktion kuvaajan korkeintaan kerran, eli funktio ei liitä yhteen maalijoukon alkioon useampaa kuin yhtä lähtöjoukon alkiota.

Q: Tässä tehtävässä mahdolliset lausekkeet tulee kirjoittaa aina yhteen. Tarkista, ettet lisää välilyöntejä vastauksiisi.

Osoitetaan induktiolla, että kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\) pätee

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

Todistus. [...]: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla [...]. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luku [...]

ja oikealle puolelle luku [...]. Siis väite [...] luvulla [...].

[...]: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee [...]. Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla [...]. Nyt

 \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\)

 \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) +\) [...]

 \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} +\) [...]

 \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

 \(\overset{(4)}= \) [...] / 3,

missä induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa [...].

Siis väite pätee luvulla [...]. Induktioperiaatteen nojalla

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\).
A: Alkuaskel; 0; 0; 0; pätee; 0; Induktioaskel; jollakin luonnollisella luvulla n; n+1; (n+1)(n+2); (n+1)(n+2); (n+1)(n+2)(n+3); 2; n+1
Gap 1 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 5 offers: pätee; ei päde
Gap 7 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 8 offers: luvulla 0; luvulla 1; kaikilla luonnollisilla luvuilla n; jollakin luonnollisella luvulla n
Gap 10 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 11 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 12 offers: (n+1)(n+2)(n+3); n(n+1)(n+2); (n+1)(n+2); 3(n+1)(n+2)
Gap 13 offers: 1; 2; 3; 4
Feedback: Todistus. Alkuaskel: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla \(0\). Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan \(0\) ja oikealle puolelle \(0\). Siis väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(n \in \mathbb{N}\). Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla \(n+1\). Nyt \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\) \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\) \(\overset{(4)}= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\) eli väite pätee luvulla \(n+1\). Olemme osoittaneet, että \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\). Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa 2.

Q: Tässä tehtävässä mahdolliset lausekkeet tulee kirjoittaa aina yhteen. Tarkista, ettet lisää välilyöntejä vastauksiisi.

Osoitetaan induktiolla, että kaikilla \(n \in \mathbb{N}\) pätee

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

Todistus. [...]: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla [...]. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luku [...]

ja oikealle puolelle luku [...]. Siis väite [...] luvulla [...].

[...]: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee [...]. Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla [...]. Nyt

 \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\)

 \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) +\) [...]

 \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} +\) [...]

 \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

 \(\overset{(4)}= \) [...] / 3,

missä induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa [...].

Siis väite pätee luvulla [...]. Induktioperiaatteen nojalla

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).
A: Alkuaskel; 0; 0; 0; pätee; 0; Induktioaskel; jollakin luonnollisella luvulla n; n+1; (n+1)(n+2); (n+1)(n+2); (n+1)(n+2)(n+3); 2; n+1
Gap 1 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 5 offers: pätee; ei päde
Gap 7 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 8 offers: luvulla 0; luvulla 1; kaikilla luonnollisilla luvuilla n; jollakin luonnollisella luvulla n
Gap 10 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 11 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 12 offers: (n+1)(n+2)(n+3); n(n+1)(n+2); (n+1)(n+2); 3(n+1)(n+2)
Gap 13 offers: 1; 2; 3; 4
Feedback: Todistus. Alkuaskel: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla \(0\). Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan \(0\) ja oikealle puolelle \(0\). Siis väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(n \in \mathbb{N}\). Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla \(n+1\). Nyt \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\) \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\) \(\overset{(4)}= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\) eli väite pätee luvulla \(n+1\). Olemme osoittaneet, että \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\). Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa 2.

Q: Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti asettamalla \( F_0=0, F_1=1 \) ja lisäksi

\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \geq 2 \).

Tarkastellaan väitettä

\( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{k+2} - 1. \)

Täydennä väitteen induktiotodistuksen rakenne.

Todistus

Alkuaskel: Tarkistetaan, että väite pätee luvulla [...].
A: 0
Gap 1 offers: 0; 1; 2

Q: Osajoukoksi todistaminen noudattaa niin kutsutun implikaatiotodistuksen, eli ”jos…niin…”-tyyppisen todistuksen kaavaa. Seuraavissa tehtävissä tähän todistustekniikkaan tutustutaan yleisemmässä muodossa. Kurssimateriaalin luku 3.2 on omistettu implikaatiotodistukselle. Tutustu siihen.

Olkoon \(m\) jokin kokonaisluku. Todista, että jos \(m\) on pariton, niin myös \(m^2\) on pariton.

Todistus. Oletetaan, että

[...]

Tällöin

[...]

Huomataan, että

[...]

Siten

[...]
A: \(m\) on pariton.; \(m = 2k + 1\) jollakin kokonaisluvulla \(k\).; \(m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\).; \(m^2\) on pariton.
Gap 1 offers: \(m\) on pariton.; \(m\) on parillinen.; \(m^2\) on pariton.; \(m^2\) on parillinen.
Gap 2 offers: \(m = 2k\) jollakin kokonaisluvulla \(k\).; \(m = 2k + 1\) jollakin kokonaisluvulla \(k\).; \(m^2 = 2k\) jollakin kokonaisluvulla \(k\).; \(m^2 = 2k + 1\) jollakin kokonaisluvulla \(k\).
Gap 3 offers: \(m = 2k/2 = k\).; \(m = 2k + 1\).; \(m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\).; \(m^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot 2k^2\).
Gap 4 offers: \(m\) on pariton.; \(m\) on parillinen.; \(m^2\) on pariton.; \(m^2\) on parillinen.
Feedback: Oletetaan, että \(m\) on pariton. Tällöin \(m = 2k + 1\) jollakin \(k \in \mathbb{Z}\). Huomataan, että \(m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). Siten \(m^2\) on pariton.

Q: Todistetaan seuraava implikaation sisältävä väite suoralla todistuksella.

Olkoot \(A\) ja \(B\) joukkoja. Halutaan osoittaa, että jos \(A \not\subset B\), niin \(A \setminus B \neq \emptyset\).

a) Mikä oletus tehdään todistuksen alussa?

[...]

b) Mihin johtopäätökseen todistuksessa halutaan päätyä?

[...]

c) Oletuksesta seuraa, että

[...]

d) Edellisestä kohdasta seuraa, että

[...]

e) Miksi väite on nyt todistettu?

[...]
A: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; \(A \setminus B \neq \emptyset\); on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).; \(x \in A \setminus B\).; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).
Gap 1 offers: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B \neq \emptyset\).; Oletetaan, että \(A \subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B = \emptyset\).
Gap 2 offers: \(A \not\subset B\); \(A \setminus B \neq \emptyset\); \(A \subset B\); \(A \setminus B = \emptyset\)
Gap 3 offers: \(x \notin B\) millään \(x \in A\).; \(B \subset A\).; \(A \cap B = \emptyset\).; on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).
Gap 4 offers: \(x \in A \setminus B\).; \(x \in B\).; \(x \notin A\).; \(x \in A \cap B\).
Gap 5 offers: Koska joukossa \(A \setminus B\) ei ollut yhtään alkiota.; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).; Koska \(x \in A\).; Koska löytettiin alkio joukosta \(A \cap B\).
Feedback: a) Oletetaan, että \(A \not\subset B\). b) Halutaan näyttää, että \(A \setminus B \neq \emptyset\). c) On olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\). d) Edellisestä seuraa, että \(x \in A \setminus B\). e) Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\) (kyseinen alkio on tietenkin todistuksessa esiintyvä \(x\)).

Q: Kerrataan ennestään tuttuja todistustekniikoita.

Olkoot \(A\) ja \(B\) joukkoja. Halutaan osoittaa, että jos \(A \not\subset B\), niin \(A \setminus B \neq \emptyset\).

a) Mikä oletus tehdään todistuksen alussa?

[...]

b) Mihin johtopäätökseen todistuksessa halutaan päätyä?

[...]

c) Oletuksesta seuraa, että

[...]

d) Edellisestä kohdasta seuraa, että

[...]

e) Miksi väite on nyt todistettu?

[...]
A: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; \(A \setminus B \neq \emptyset\); on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).; \(x \in A \setminus B\).; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).
Gap 1 offers: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B \neq \emptyset\).; Oletetaan, että \(A \subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B = \emptyset\).
Gap 2 offers: \(A \not\subset B\); \(A \setminus B \neq \emptyset\); \(A \subset B\); \(A \setminus B = \emptyset\)
Gap 3 offers: \(x \notin B\) millään \(x \in A\).; \(B \subset A\).; \(A \cap B = \emptyset\).; on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).
Gap 4 offers: \(x \in A \setminus B\).; \(x \in B\).; \(x \notin A\).; \(x \in A \cap B\).
Gap 5 offers: Koska joukossa \(A \setminus B\) ei ollut yhtään alkiota.; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).; Koska \(x \in A\).; Koska löytettiin alkio joukosta \(A \cap B\).
Feedback: a) Oletetaan, että \(A \not\subset B\). b) Halutaan näyttää, että \(A \setminus B \neq \emptyset\). c) On olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\). d) Edellisestä seuraa, että \(x \in A \setminus B\). e) Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\) (kyseinen alkio on tietenkin todistuksessa esiintyvä \(x\)).

Q: Alla on propositiolauseita, jotka koskevat erästä tuntematonta reaalilukua \(x\). Yhdistä kukin propositiolause sen negaatiota vastaavaan propositiolauseeseen, jossa ei esiinny negaatiosymbolia \(\neg\).
- a) \((x^2 = 1) \land (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋁ (x ≤ 0)
- b) \((x^2 = 1) \lor (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋀ (x ≤ 0)
- c) \((x^2 = 1) \rightarrow (x > 0)\) | (x² = 1) ⋀ (x ≤ 0)
- d) \((x^2 = 1) \leftrightarrow (x > 0)\) | ((x² ≠ 1) ⋀ (x > 0)) ⋁ ((x² = 1) ⋀ (x ≤ 0))
Feedback: a) \((x^2 \neq 1) \lor (x \leq 0)\) b) \((x^2 \neq 1) \land (x \leq 0)\) c) \((x^2 = 1) \land (x \leq 0)\) d) \(((x^2 \neq 1) \land (x > 0)) \lor ((x^2 = 1) \land (x \leq 0))\)

Q: Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}\), jolle pätee

\( f(x) = \frac{5}{x+2} \)

kaikilla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Kaverisi on saanut tehtäväkseen tutkia, onko kuvaus \(f\) surjektio. Kaverisi mielestä \(f\) on surjektio ja ohessa on hänen perustelunsa.

(1) Oletetaan, että \(y \in \mathbb{R}\).

(2) Tällöin \(\frac{5-2y}{y}=\frac{5}{y}-2 \neq -2\), koska \(\frac{5}{y} \neq 0\) kaikilla \(y \in \mathbb{R}\).

(3) Valitaan \( \frac{5-2y}{y} \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Nyt

\( f\left( \frac{5-2y}{y} \right) \overset{(4)} = \frac{5}{ \frac{5-2y}{y} + 2 } \overset{(5)} = \frac{5y}{5-2y+2y} \overset{(6)} = \frac{5y}{5} \overset{(7)} = y.\)

(8) Näin on näytetty, että kuvaus \(f\) on surjektio.

Missä kohdassa kaverisi perustelu alkaa mennä pieleen?

[...]

Onko kuvaus \(f\) surjektio?
[...]
A: 2; Ei
Gap 1 offers: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
Gap 2 offers: Kyllä; Ei
Feedback: Perustelu alkaa mennä pieleen kohdassa 2. Jos valitaan \(y=0\), niin lauseke \( \frac{5-2y}{y} \) ei ole määritelty. Jotta kuvaus olisi surjektio, sen pitäisi liittää kaikkiin maalijoukon alkioihin jokin lähtöjoukon alkio, eli erityisesti siis tässä tilanteessa myös alkioon \(0\). Etsitään sellainen \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}\), että \(f(x)=0\) eli \(\frac{5}{x+2} = 0\). Tästä seuraa \( 5 = 0 \), mikä on epätosi. Mikään lähtöjoukon alkio ei siis kuvaudu maalijoukon alkiolle \(0\), joten kuvaus \(f\) ei ole surjektio.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Olet nyt nähnyt käytettävän Matlab-komentoja. Toivottavasti tutustuit paitsi niiden tuottamiin tuloksiin, myös itse komentoihin. Voit myös hakea apua Matlabin help-sivuilta. Riippuen vähän siitä, minkä vuoden versio Matlabista on käytössäsi, tarpeeksi uusista versioista pitäisi oikeasta ylälaidasta löytyä laatikko "search documentation". Kirjoita siihen komennon nimi ja valitse esiin tulevasta listasta haluamasi vaihtoehto.

Joillakin komennoilla on useampi dokumentaatiosivu komennon erilaisille käsittelytavoille tai Matlabin erilaisissa lisäpaketeissa käytettäville versioille. Insinöörimatematiikan kursseilla tarvitset erityisesti Symbolic Math Toolboxiin liittyviä komentoja.

Tunnista kysymyksissä esiintyvät komennot. Mukana on myös muutama komento, joita ei näissä kysymyksissä etsitä. Ole tarkkana, jotkut komentojen nimet voivat olla hämääviä.
- Mikä on derivointikomento? | diff
- Millä komennolla piirretään kaksiulotteisia kuvaajia? | plot
- Mikä komento avaa uuden kuvaikkunan (ilman että kuvaan piirretään mitään)? | figure
- Millä komennolla tehdään sijoitus lausekkeessa olevan muuttujan paikalle? | subs
- Millä komennolla saa kuvan taustalle apuviivaristikon? | grid
Also offered: syms; hold; exp