Title: Kuva ja alkukuva

Q: Oletetaan, että \(f \colon X \to Y\) on kuvaus. Pyritään osoittamaan, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).

Mudosta väitteen todistus.

Todistus

[...]

Tämä tarkoittaa, että [...].

[...]

[...]

[...]

[...]

Näin on näytetty, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).
Also offered: Oletetaan, että y ∈ fA∩fB.; Oletetaan, että x ∈ A∩B.; y ∈ A∩B ja y=f(x) jollain x ∈ A∩B; Koska f(x) ∈ fA, niin x ∈ A.; Vastaavasti koska f(x) ∈ fB, niin x ∈ B.; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ A; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ B
A: Oletetaan, että y ∈ f[A∩B].; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ A∩B; Tällöin x ∈ A ja x ∈ B.; Koska x ∈ A, niin f(x) ∈ fA.; Vastaavasti koska x ∈ B, niin f(x) ∈ fB.; Koska y=f(x), niin y ∈ fA∩fB.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Todistus Oletetaan, että \(y \in f[A \cap B]\). Tämä tarkoittaa, että \(y \in Y\) ja \(y=f(x)\) jollain \(x \in A \cap B\). Tällöin \(x \in A\) ja \(x \in B\). Koska \(x \in A\), niin \(f(x) \in fA\). Vastaavasti koska \(x \in B\), niin \(f(x) \in fB\). Koska \(y=f(x)\), niin \(y \in fA \cap fB\). Näin on näytetty, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).

Q: Oletetaan, että \(f \colon X \to Y\) on surjektio ja \(B \subset Y\). Pyritään osoittamaan, että \(B \subset f[f^{\leftarrow}B]\).

Laita väitteen todistuksen vaiheet oikeaan järjestykseen.

Todistus

[...]

Koska [...], niin [...].

Koska [...], niin [...].

Tästä seuraa \(f(x) \in f[f^{\leftarrow}B]\).

Lisäksi \(b=f(x)\), joten \(b \in f[f^{\leftarrow}B]\).
Also offered: f on kuvaus
A: Oletetaan, että b ∈ B.; f on surjektio; on olemassa x ∈ X siten, että f(x)=b; f(x)=b ∈ B; x ∈ f^(←)B
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Määritellään funktio \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), jolle

\( h(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
      2-x, & \text{jos } x <2 \\
      \frac{1}{2}x+1, & \text{jos } x \geq 2. \\
\end{array}
\right. \)


Ohessa on funktion \(h\) kuvaaja.

[Image]

Olkoon \(V=[1,4]\). Mikä seuraavista joukoista on \(hV\) funktion \(h\) kuvaajan perusteella?

[...]
A: \(]0,1] \cup [2,3]\)
Gap 1 offers: \(]0,1] \cup [2,3]\); \([0,1] \cup [2,3]\); \([1,3]\); \(]1,3]\); \([1,2] \cup ]2,3]\)
Feedback: [Image] Kuvaajan perusteella \(hV=]0,1] \cup [2,3]\). Huomaa, että ensimmäinen väleistä on puoliavoin, koska mikään luku ei kuvaudu nollalle.

Kurssimateriaalin luvussa 5.3 määritellään osajoukon alkukuva, joka on tietyllä tavalla käänteinen aiemmin opitulle osajoukon kuvalle. Tutustu osajoukon alkukuvaan seuraavien tehtävien avulla. Voit käyttää kuvaajien piirtämisessä apuna esimerkiksi Wolfram|Alphaa, GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), jolle \( n \mapsto|n-2|-1\).
Merkitään \( A=[value] \) ja \( B=[value] \). Määritä seuraavat joukot.

a) \(f^{\leftarrow}A = \)

b) \(f^{\leftarrow}B = \)
Feedback: a) Alkukuvaa \(f^{\leftarrow}A\) varten etsitään kaikki mahdolliset \(z \in \mathbb{Z}\), joille pätee \(f(z) \in A\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1\) \( \iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1 \) \(\iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1\) \( \iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Kaiken kaikkiaan siis \(f^{\leftarrow}A = [value]\). b) Itseisarvolle pätee \(|z-2| \geq 0\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\), joten \(f(z) = |z-2|-1 \geq 0-1 =-1\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\). Siis \(f(z) \notin B\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\), mistä seuraa, että \(f^{\leftarrow}B = [value]\).

Määritellään funktio \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ja \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=5-(x-3)^2\).

Määritellään suljetut välit \(U = [-5,5]\) ja \(V = [1,6]\). Piirrä funktioiden \(f\) ja \(h\) kuvaajat ja määritä niiden avulla seuraavat joukot. Syötä suljettu väli muodossa [a,b]. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(f^{\leftarrow}U = \)

b) \(h^{\leftarrow}V = \)
Feedback: a) [Image] Kuvaajan perusteella \(f^{\leftarrow}U=[-1,4]\). b) [Image] Kuvaajan perusteella \(h^{\leftarrow}V=[1,5]\).

Kurssimateriaalin luvussa 5.2 määritellään osajoukon kuva. Lue tätä lukua ja tutustu osajoukon kuvaan seuraavien tehtävien avulla.

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), jolle \( n \mapsto|n-2|-1\).
Merkitään \( A=[value] \) ja \( B=[value] \). Määritä seuraavat joukot.

a) \(fA = \)

b) \(fB = \)
Feedback: a) Kuvaukselle \(f\) pätee \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\), \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\) ja \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\). Täten \(fA = [value] \). b) Vastaavasti kuvaukselle \(f\) pätee \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\) ja \( f([value]) = |[value]-2|-1 = [value]\). Täten \(fB = [value] \).

Palauta mieleen, miten funktion kuvaajan avulla voidaan päätellä lähtöjoukon osajoukon kuva, tai maalijoukon osajoukon alkukuva. Luentomateriaalin luvuissa 5.2 ja 5.3 käsitellään näitä asioita. Voit myös katsella luentokalvoja (kalvo juennot_jym_20191118.pdf) tai pyytää ohjaajilta apua. Tässä tehtävässä on monta käsitettä samaan aikaan, joten tarkkuutta! Myöskin, joukko \(A\) on kahdessa roolissa: kohdissa a) ja b) se ajatellaan \(f\):n lähtöjoukon osajoukkona. Kohdissa c) ja d) se ajatellaan maalijoukon osajoukkona. Muistele, kummassa tapauksessa se tulisi piirtää x-akselille, ja kummassa y-akselille.

Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) funktio, jolle \(x \mapsto|x-2|+2\). Olkoon lisäksi \(A = [0,3]\). Piirrä funktion \(f\) kuvaaja ja määritä sen avulla seuraavat joukot. Syötä suljettu väli muodossa [a,b]. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(fA= \)

b) \(f^{\leftarrow}[fA]= \)

c) \(f^{\leftarrow}A= \)

d) \(f[f^{\leftarrow}A]= \)
Feedback: a) [Image] b) [Image] c) [Image] d) [Image]

Määritellään funktio \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ja \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=5-(x-3)^2\).

Merkitään \(U = [-1,2]\) ja \(V = [1,4]\). Piirrä funktioiden \(f\) ja \(h\) kuvaajat ja määritä niiden avulla seuraavat joukot. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(fU = \)

b) \(hV = \)
Feedback: a) [Image] Kuvaajan perusteella \(fU=[-5,1]\). b) [Image] Kuvaajan perusteella \(hV=[1,5]\).