Title: Muut

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Olkoon \(f(x)\) funktio, joka toteuttaa pisteessä \(x=x_{0}\) ehdot \[f'(x_{0}) = f''(x_{0}) = \dots=f^{(2p-1)}(x_{0}) = 0\quad\mbox{ja}\quad f^{(2p)}(x_{0})\neq 0,\] jollain positiivisella kokonaisluvulla \(p\). Valitse listasta oikea vaihtoehto.
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})>0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) ei ole yhtään paikallista maksimia, jos \(f^{(2p)}(x_{0})=0.\)
- Funktion \(f(x)\) täytyy olla vakiofunktio.
- Funktio \(f(x)\) on parillinen funktio.
A: Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)

Q: Mitkä ovat riittävät ehdot funktion \(f\) derivaatan olemassaololle jossain mielivaltaisessa pisteessä \(x_{0}\).
- Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\) ja funktion raja-arvo pisteessä \(x_{0}\) ei ole nolla.
- Raja-arvo \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) on olemassa ja \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.
- \(\displaystyle\lim_{h\to x_{0}+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to x_{0}-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- Summa \(f+g\) on derivoituva, missä \(g\) on joku mielivaltainen funktio.
A: \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.

Q: Jos funktio \(f\) on derivoituva avoimella välillä \((a,b)\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio saavuttaa suurimman arvonsa välillä \((a,b)\) derivaatan nollakohdassa.
- Funktiolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta välillä \((a,b)\).
- Funktio on rajoitettu välillä \((a,b)\).
- Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).
- Funktio on injektio.
A: Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).

Q: Jos funktiolla on olemassa raja-arvo pisteessä \(x\), niin mitä siitä seuraa? Vain 1. vastaus otetaan huomioon. Mieti siis vastauksesi huolella ennen kuin lukitset vastauksesi.
- Funktio on derivoituva pisteessä \(x\).
- Funktio on jatkuva pisteessä \(x\).
- Funktio on rajoitettu.
- Funktion arvo pisteessä \(x\) on äärellinen.
- Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
A: Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.

Q: Missä tilanteessa l'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa?
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{\infty}\), ja muotoa\(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
A: L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

Q: Mikä on funktion \(e^{x}\) Taylorin sarja origossa?
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.\)
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(0\)
- \(1\)
A: \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)

Osoita Bolzanon merkinvaihtolauseen (eli jatkuvan funktion väliarvo-ominaisuuden) avulla, että yhtälöllä \[ f(x) = [value] \] on ainakin kolme nollakohtaa \(x_{1}\), \(x_{2}\) ja \(x_{3}\), kun \(x>0\). Haarukoi nollakohdat laskimella avoimien välien sisään ja ilmoita saadut välit vastaukseksi. Tehtävän helpottamiseksi alla on annettu funktion \(f(x)\) kuvaaja. Ilmoita nollakohdille saadut rajat vähintään kolmen desimaalin tarkkuudella ja välin pituuden tulee olla pienempi kuin [value]. [value]

(a) \(x_{1}\in \Big( \), \( \Big) \)
(b) \(x_{2}\in \Big( \), \( \Big) \)
(c) \(x_{3}\in \Big( \), \( \Big) \)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävässä pyydetään ratkaisemaan funktion \( f(x) = [value] \) nollakohdat välillä \(x>0\) käyttäen haarukointimenetelmää. Haarukointimenetelmää voidaan soveltaa jatkuville funktioille, joilla jatkuvuudesta johtuen pätee Bolzanon lause. Jos funktio on jatkuva välillä \([a,b]\) ja funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, niin funktiolla on Bolzanon lauseen mukaan kyseisellä välillä nollakohta. Haarukointimenetelmässä etsitään edellisen kaltainen väli eli suljettu väli, jolla funktio on jatkuva ja funktion arvot välin päätepisteissä erimerkkiset. Kun kyseinen väli on löytynyt, rupeamme pienentämään väliä jokaisella iteraatiolla, kunnes olemme saavuttaneet halutun tarkkuuden. Yksi tapa on laskea funktion arvo välin keskipisteessä ja valita uusi väli siten, että toinen päätepisteistä on alkuperäisen välin keskipiste ja toinen päätepiste sopivasti valittu alkuperäisen välin päätepiste. Päätepiste halutaan tietysti valita siten, että funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, jotta voimme jälleen soveltaa Bolzanon lausetta.

Määritä vakiot A,B,C,D seuraavissa osamurtohajotelmissa. (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}\] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}\]

\(A =~\) |
\(B =~\) |
\(C =~\) |
\(D =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}=\frac{A(x+[value])+B(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}. \] Eli \[(A+B)x+[value]A-[value]B=1 \Rightarrow \begin{cases} A+B &= 0 \\ [value]A-[value]B &= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value]. \end{cases} \] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}=\frac{C(x+[value])+D(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{(C+D)x+[value]C-[value]D}{(x-[value])(x+[value])} \] Eli \[(C+D)x+[value]C-[value]D=x \Rightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ [value]C-[value]D &= 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ D &= \frac{[value]}{[value]}C \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C &= [value] \\ D &= [value]. \end{cases} \]