Title: Perustaitoharjoittelu

Laske

\[ \frac{1}{[value]} - \frac{1}{[value]} = \]

Q: Laske murtolausekkeiden erotus \[ \frac{[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]}\]. Oikea vastaus on reaaliluku jaettuna polynomilla. Mitkä ovat nämä reaaliluku ja polynomi?

Osoittajan reaaliluku on

Nimittäjän polynomi on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
  Hint: \[\,\]
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin.
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin. Toinen lisävihje: Toisen asteen yhtälön ratkaisun jälkeen polynomin \[ax^2+bx+c\] voi kirjoittaa muotoon \[a\cdot(x-x_1) \cdot (x-x_2)\], missä \[x_1\] ja \[x_2\] ovat polynomin juuret. Huomaatko, miten tämä helpottaa samannimiseksi laventamista?

Ratkaise eksponenttiyhtälö \[[value]^x=[value].\] luonnollisen logaritmin avulla.

Huom! Luonnollinen logaritmi luvusta a annetaan muodossa ln(a), esimerkiksi ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku annetaan muodossa e, esimerkiksi 2*e.

\(x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske

\[ \ln(e^{[value]} \cdot e^{[value]})= \]

Laske

\([value]\cdot([value]-[value])+[value] = \)

Sievennä seuraava lauseke:

\[ |[value]-\sqrt{[value]}| + |1 - \sqrt{[value]}| = \]

Laske funktion \[ [value] \] ja \[x\]-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä \[ [0, [value]] \].

\[ A =\]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske määrätty integraali

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \,dx = \, \]

Ratkaise epäyhtälö \[ [value]x+[value] < \frac{1}[value]x. \]

Anna vastaus tarkkana arvona. Valitse myös pudotusvalikosta oikea merkkivaihtoehto.

\(x \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Olkoon annettu funktio \[ g(x)=[value]+[value]+[value]+[value].\] Laske funktion derivaatta.

Huom. Potenssilausekkeet annetaan muodossa a*x^(b), esim. 3*x^(1/5).

\( g'(x)= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske derivaatta \[ f'(x) \], kun \[ f(x) = x^2 + [value] \].

\(f'(x)= \)

Ratkaise 2. asteen yhtälö: \[ x^2-[value]x+[value]=0 \]

Anna yhtälön ratkaisut hakasulkeissa suuruusjärjestyksessä pilkulla erotettuna, esim. [4,5]. Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, anna se kahteen kertaan, esim. [2,2].

Juuret ovat

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Ratkaise seuraava 1. asteen yhtälö: \[[value]=[value].\]

Anna yhtälön ratkaisu tarkkana arvona (ainoastaan lukuarvo).

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Sievennä

\[ \frac{\frac{[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}} = \]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske ja sievennä

\(\left(\frac{[value]}{[value]}\right)^3 = \)

Laske vektorin \[ \overline{u} = [value]\overline{i} + [value]\overline{j} \] projektio vektorille \[ \overline{v} = [value]\overline{i} \, [value]\overline{j} \]. Anna vastaukseksi vektorin alkiot alla oleviin tekstikenttiin.

Muistutuksena, vektorin \[ \overline{u} \] projektio vektorille \[ \overline{v} \] lasketaan kaavalla \[ proj_v \overline{u} = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{\overline{v} \cdot \overline{v}}\overline{v}. \]

\[ proj_v \overline{u} \] = \[ \overline{i} + \] \[ \overline{j} \]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Anna jokin pisteiden \[A = ([value], [value], [value])\] ja \[B = ([value], [value], [value])\] kautta kulkevan suoran suuntainen vektori. Vastaus pyydetään muodossa \[ \overline{x} = a\overline{i} + b\overline{j} + c\overline{k}\].

\[ \overline{x} = \] \[\overline{i} +\] \[\overline{j} +\] \[\overline{k}\].

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Anna pienin positiivinen reaaliluku \[x\], joka toteuttaa yhtälön

\[\cos{(x)} = [value]\]

Huom! Vastaus pitää antaa radiaaneina.

\[x = \]

Laske

\[ \sin{(\frac{[value]}{2})} = \]

Anna funktion \[ \displaystyle f(x) = [value] \] suurin ja pienin arvo välillä \[ [[value],[value]] \]

Suurin arvo on

Pienin arvo on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun: