Title: IMA 3 TEHTÄVÄT

Antiderivaatalla tarkoitetaan

Mikä seuraavista väitteistä ei ole totta
Feedback: Vastaus: Integraalifunktio on antiderivaatta ja määrättyä integraalia käytetään kuvaamaan pinta-alaa tai tilavuutta. Analyysin peruslause linkittää integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteen.

Calculate the indefinite integral of the function

\[\displaystyle f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \]

For natural logarithm, use the command ln(a), e.g. ln(2). For absolute value, use the command abs(x), respectively.

Laske funktion

\[\displaystyle f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \]

integraali. Luvun a luonnollinen logaritmi merkitään ln(a), esim. ln(2). Itseisarvo x merkitään abs(x).

\(\displaystyle\int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, \mathrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int \frac{x+{[value]}}{x(x-{[value]})(x+{[value]})} \, \mathrm{d}x \] The partial fraction decomposition of the integrand isIntegroitavan lausekkeen osamurtokehitelmä on \[\begin{array}{rll} \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} & = & \frac{A}{x}+\frac{B}{x-[value]}+\frac{C}{x+[value]} \\ & = & \frac{A(x-[value])(x+[value])+Bx(x+[value])+Cx(x-[value])}{x(x-[value])(x+[value])} \\ & = & \frac{(A+B+C)x^2+([value]+[value]B-[value]C)x-[value]A}{x(x-[value])(x+[value])}, \end{array}\] wheremissä \[\begin{cases} A+B+C &= 0 \\ [value]+[value]B-[value]C &= 1 \\ -[value]A &= [value]. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B+C &= [value] \\ [value]B-[value]C &= [value] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value]. \end{cases} \] ThereforeSiten \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, dx & = & \int \left( [value]\cdot \frac{1}{x}+[value]\cdot \frac{1}{x-[value]}+[value]\cdot \frac{1}{x+[value]} \right) \, \mathrm{d}x \\ & = & [value]. \end{array}\]

Tarkastellaan määrätyn integraalin \[ \displaystyle \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] tarkan arvon laskemista sijoituksen \(t=e^x\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=e^x\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Mitkä ovat muuttujan \(t\) integrointirajat?

\(\textrm{c) }\) Mikä on määrätyn integraalin tarkka arvo?

Consider the evaluation of the exact value for the definite integral \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] with the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{b) }\) What are the limits of the variable \(t\) for integration?

\(\textrm{c) }\) What is the exact value of the definite integral?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(t\) integrointirajat ovat \(\textrm{b) }\) The limits of the variable \(t\) for integration: \(\le t \le\).

\(\textrm{c) }\) Määrätyn integraalin tarkka arvo on \(\textrm{c) }\) The exact value of the definite integral is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Integroimisrajat: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*} Model solution: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Limits: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*}

a) Integraalifunktion \(\textrm{F}\) on oltava jatkuva.

b) Jos funktio \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\), niin funktio \(f\) on välttämättä jatkuva välillä \([a,b]\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, joten integraalifunktion on oltava derivoituva. Jotta integraalifunktio on derivoituva, se on jatkuva. b) Epätosi. Integraalifunktion olemassaolo ei kuitenkaan edellytä jatkuvuutta integroitavalta funktiolta.

a) Kappale lähtee levosta ajanhetkellä \(t=0\) liikkumaan pitkin \(x\)-akselia. Ajanhetkellä \(t\) kappaleen vauhdin tiedetään olevan \(v(t) = 4t^3\).

• Ajanhetkellä \(t\) kiihtyvyys voidaan selvittää

• \(a(t) = \)

b) Antilla on kännykässään sovellus, joka mittaa reaaliajassa Antin liikkumisnopeutta. Sovelluksen mukaan Antin nopeus kotoa opiskelupaikkaan tullessa aikaisin aamulla noudatti funktiota \(v(t) = \sin(\frac{t}{10})+10\), kun yksikkönä on \(m/s\). Aikaa matkaan kului \(12\) min. Kuinka pitkä matka oli?

• \(12\) min = \(s\).

• Matka voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

• Matka on noin

Valitse oikeaa muotoa oleva osamurtokehitelmä kullekin rationaalifunktiolle.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{x(x+6)}\) | \(=\) |
b) | \(\displaystyle \frac{3}{x^2+6x+9}\) | \(=\) |
c) | \(\displaystyle \frac{5}{x^3+3x}\) | \(=\) |
d) | \(\displaystyle \frac{500}{(2x^2+4)^2}\) | \(=\) |
e) | \(\displaystyle \frac{3}{(x-2)^4}\) | \(=\) |

Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) ,

joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( \) \(\big)^3 \).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=1\)

\(=0\)

\(=0\)

Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = \)++.

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = \) \( + C\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 = [value]\), joten \(x^3+6x^2+12x+8 = \big( [value] \big)^3 \). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} + \frac{C}{(x+2)^3} \). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta polynomit ovat samat, osoittajien on oltava yhtä suuret ,kun nimittäjät ovat samat. Tällöin samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 1 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} = [value][value]+[value] \). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6x^2+12x+8} dx = [value] + C\).