Title: Muut

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Mitkä ovat riittävät ehdot funktion \(f\) derivaatan olemassaololle jossain mielivaltaisessa pisteessä \(x_{0}\).
- Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\) ja funktion raja-arvo pisteessä \(x_{0}\) ei ole nolla.
- Raja-arvo \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) on olemassa ja \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.
- \(\displaystyle\lim_{h\to x_{0}+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to x_{0}-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- Summa \(f+g\) on derivoituva, missä \(g\) on joku mielivaltainen funktio.
A: \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.

Q: Olkoon \(f(x)\) funktio, joka toteuttaa pisteessä \(x=x_{0}\) ehdot \[f'(x_{0}) = f''(x_{0}) = \dots=f^{(2p-1)}(x_{0}) = 0\quad\mbox{ja}\quad f^{(2p)}(x_{0})\neq 0,\] jollain positiivisella kokonaisluvulla \(p\). Valitse listasta oikea vaihtoehto.
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})>0.\)
- Funktiolla \(f(x)\) ei ole yhtään paikallista maksimia, jos \(f^{(2p)}(x_{0})=0.\)
- Funktion \(f(x)\) täytyy olla vakiofunktio.
- Funktio \(f(x)\) on parillinen funktio.
A: Funktiolla \(f(x)\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\) jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)

Q: Jos funktio \(f\) on derivoituva avoimella välillä \((a,b)\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio saavuttaa suurimman arvonsa välillä \((a,b)\) derivaatan nollakohdassa.
- Funktiolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta välillä \((a,b)\).
- Funktio on rajoitettu välillä \((a,b)\).
- Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).
- Funktio on injektio.
A: Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).

Q: Missä tilanteessa l'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa?
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{\infty}\), ja muotoa\(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
A: L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

Q: Mikä on funktion \(e^{x}\) Taylorin sarja origossa?
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.\)
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(0\)
- \(1\)
A: \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)

Määritä vakiot A,B,C,D seuraavissa osamurtohajotelmissa. (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}\] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}\]

\(A =~\) |
\(B =~\) |
\(C =~\) |
\(D =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\frac{1}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{A}{x-[value]}+\frac{B}{x+[value]}=\frac{A(x+[value])+B(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}. \] Eli \[(A+B)x+[value]A-[value]B=1 \Rightarrow \begin{cases} A+B &= 0 \\ [value]A-[value]B &= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value]. \end{cases} \] (b) \[\frac{x}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{C}{x-[value]}+\frac{D}{x+[value]}=\frac{C(x+[value])+D(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}=\frac{(C+D)x+[value]C-[value]D}{(x-[value])(x+[value])} \] Eli \[(C+D)x+[value]C-[value]D=x \Rightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ [value]C-[value]D &= 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C+D &= 1 \\ D &= \frac{[value]}{[value]}C \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C &= [value] \\ D &= [value]. \end{cases} \]