Title: Modulien tehtävät

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\sum_{i=1}^{n}n=n^2\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}ni=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+n=\dfrac{n^2+3n}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+k+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}k+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+kn+n=\dfrac{2n^2+2n+2kn^2+2kn+4n}{4}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

TÄMÄ OSIO ON VAPAAEHTOINEN (ei pisteitä tehtävistä 1-5):

Summa- ja tulonotaation tulkinta

Sigma \(\sum\) on kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään matematiikassa summan lyhennysmerkintänä. Pii \(\prod\) on niin ikään kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään vastaavasti tulon lyhennysmerkintänä. Molemmat ovat siis yksinkertaisesti lyhennysmerkintöjä.

Summalauseke \(1+2+3+4 \) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien summa on \( 10 \).

Tulolauseke \(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien tulo on \( 24\).

Ala- ja yläraja ilmaisevat summattavien tai kerrottavien termien lukumäärän, mutta erityisesti muuttujan \(i\) arvon. Muuttujana voidaan käyttää melkein mitä tahansa kirjainta, mutta yleisimpiä ovat kuitenkin kirjaimet \( i \), \( j \) ja \( k \). On erityisen tärkeää huomata, että mahdollisesti summassa esiintyvät muut kirjaimet luetaan vakioina (esim. ulomman summan tai funktion muuttujat). Lisäksi muuttujan sijaan puhutaan yleisesti summausindeksistä ja tuloindeksistä.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{n-1}+a_{n}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\prod_{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ \dots \ \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}\end{align*}\)

Summausindeksin manipulointi

Yhdisteltäessä useampia eri summia usein manipuloidaan summattavaa lauseketta sellaiseksi, että siitä tulee samanlainen kuin muistakin.

Kaava:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)=\sum_{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\end{align*}\)

Vakion siirtosääntö ja summan jakaminen osiin

Summalausekkeessa vakio voidaan siirtää summan edelle ja summa voidaan jakaa osiin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot\sum_{n=s}^{t}f(n)\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)+\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)+g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)-\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)-g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)

Moninkertaiset summat

Summia voidaan asettaa sisäkkäin, jolloin laskujärjestys on sisältä ulospäin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=s}^{m}\sum_{j=t}^{n}a_{i}c_{j}=\sum_{i=s}^{m}a_{i}\cdot\sum_{j=t}^{n}c_{j}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}\)

Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Geometrinen sarja on sarja, jonka termeissä toistuu sama suhdeluku. Esimerkiksi sarja
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dots\)
on geometrinen, missä suhdeluku \( r=\frac{1}{2} \) ja skaalauskerroin \( a=\frac{1}{2} \).

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\end{align*}\)
Jokaisella \(r \neq 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\end{align*}\).
Jokaisella \(\mid r\mid < 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots&=\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\dfrac{a}{1-r}\end{align*}\)

Polynomien summa- ja tuloesitys

Summa- ja tulonotaation hyödyllisyys tulee erityisesti ilmi, kun niitä sovelletaan polynomeihin. Näin voidaan esittää polynomit hyvin yksinkertaisessa muodossa. Sovella aiemmin oppimaasi näissä tehtävissä.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{6}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{6}i=2+3+4+5+6=20\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{100}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{100}i=0\cdot1\cdot\quad\dots \quad\cdot 99\cdot 100=0\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(i+1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(i+1)=(0+1)+(1+1)+(2+1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{4}(i-1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{4}(i-1)=(2-1)+(3-1)+(4-1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{10}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}1=\underset{\text{10 kpl}}{1+\dots+1}=10\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{2}2= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{2}2=2\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}1=\underset{\text{n kpl}}{1+\dots+1}=n\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa (* on kertomerkki)
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}C= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}C=\sum_{i=1}^{n}\underset{\text{n kpl}}{C+\dots+C}=Cn\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=1}^{4}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=7}^{7}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=7}^{7}i=7\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i+1)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2+1=n+3\). Alaraja: \(3+1=4\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i-2)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2-2=n\). Alaraja: \(3-2=1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{n+k}(i+k)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+k+k=n+2k\). Alaraja: \(k+k=2k\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=4}^{10}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(10-3=7\). Summattava: \(i+3\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{2k}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(2k-(k-1)=2k-k+1=k+1\). Summattava: \(i+(k-1)=i+k-1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}(i+1)\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+1\). Summattava: \(i+1-1=i\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus 1: Yläraja: \( n+1 \) Summattava: \( i-1 \) Mallivastaus 2: Yläraja: \( n \) Summattava: \( i \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}ki=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}ki=k\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{kn(n+1)}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}i^{2}+ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^3}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{3}4^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{3}4^k=4^0\cdot4^1\cdot 4^2\cdot 4^3=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^4}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{1\cdot\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^2}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^{11}}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Reaaliluvun desimaaliesitys ei aina ole yksikäsitteinen. Tarkastellaan päättymätöntä desimaalilukua \( 0,999\ldots \), jota vastaa sarja
\(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{{10}^2}+\dfrac{9}{{10}^3}\dots\end{align*} \)

Laske tämän sarjan summa
\(\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^1}{1-\dfrac{1}{10}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}x^i&=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0+(1+1)x^1+(2+1)x^2+(3+1)x^3+(4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0+(x+1)^1+(x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0+(x+1)^1+(x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}x^i&=x^0\cdot x^1\cdot x^2\cdot x^3\cdot x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0\cdot (1+1)x^1\cdot (2+1)x^2\cdot (3+1)x^3\cdot (4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.