Title: Yhtälö

Calculate the discriminant of the second order equation \( [value]=[value] \).Laske 2. asteen yhtälön \( [value]=[value] \) diskriminantin \( D \) arvo.Räkna ut diskriminantens värde för andragradsekvationen \( [value]=[value] \).

\( D= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The discriminant of the equation \( ax^2+bx +c = 0 \) is \( D=b^2-4\cdot a\cdot c \).Yhtälön \( ax^2+bx +c = 0 \) diskriminantti on \( D=b^2-4\cdot a\cdot c \).Diskriminanten för en andragradsekvation av formen \( ax^2+bx +c = 0 \) är \( D=b^2-4 a c \). In the given equation the constants are \( a=[value],\; b=[value]\) and \(c=[value] \), so for the discriminant we getTehtävän yhtälössä vakioiden arvot ovat \( a=[value],\; b=[value]\) ja \(c=[value] \), joten diskriminantiksi saadaanI uppgiftsekvationen är koefficienternas värden \( a=[value],\; b=[value]\) och \(c=[value] \), så diskriminanten blir \[ D=([value])^2-4\cdot([value])\cdot([value])=[value]. \]

Find the solutions to the absolute value equation \( [value]=[value] \).Määritä itseisarvoyhtälön \( [value]=[value] \) ratkaisut.Bestäm lösningarna till absolutbeloppsekvationen \( [value]=[value] \).

The answer is two values of \( x \). Give the exact values of the solutions.Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa. Anna vastaus tarkkoina arvoina! Ekvationen har två lösningar. Ge exakta värden som svar.

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Because the absolute value is always non-negative, it holds that \( [value]\geq 0 \). Therefore we require that \( [value]\geq 0 \), i.e. \( x \leq [value] \).Koska luvun itseisarvo on aina positiivinen, eli tässä \( [value]\geq 0 \), on asetettava ehto \( [value]\geq 0 \), eli \( x \leq [value] \).Eftersom absolutbelopp är icke-negativa så gäller här att \( [value]\geq 0 \). Vi ställer därför kravet att \( [value]\geq 0 \), det vill säga \( x \leq [value] \). The equation can be written as piecewise without the absolute value: \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{when} \ \ [value]\geq 0 \\ [value]=[value], & \text{when} \ \ [value]< 0 \end{cases}, \] \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{when} \ \ x \geq [value] \\ [value]=[value], & \text{when} \ \ x < [value] \end{cases}, \] \[ \begin{cases} x=[value], & \text{when} \ \ x\geq [value] \\ x=[value], & \text{when} \ \ x < [value]. \end{cases} \] Esitetään itseisarvoyhtälö paloittain määriteltynä funktiona: \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{kun} \ \ [value]\geq 0 \\ [value]=[value], & \text{kun} \ \ [value]< 0 \end{cases}, \] \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{kun} \ \ x \geq [value] \\ [value]=[value], & \text{kun} \ \ x < [value] \end{cases}, \] \[ \begin{cases} x=[value], & \text{kun} \ \ x\geq [value] \\ x=[value], & \text{kun} \ \ x < [value]. \end{cases} \] Ekvationen kan beskrivas styckvis utan absolutbelopp: \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{då} \ \ [value]\geq 0 \\ [value]=[value], & \text{då} \ \ [value]< 0 \end{cases}, \] \[ [value]=[value] \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} [value]=[value], & \text{då} \ \ x \geq [value] \\ [value]=[value], & \text{då} \ \ x < [value] \end{cases}, \] \[ \begin{cases} x=[value], & \text{då} \ \ x\geq [value] \\ x=[value], & \text{då} \ \ x < [value]. \end{cases} \] Both of the solutions lie in their respective domains (\( [value] \geq [value] \) and \( [value] < [value] \)), as well as satisfy the condition \( x \leq [value] \).Molemmat ratkaisut kuuluvat määrittelyalueeseensa (ylemmässä \( x\geq [value] \) ja alemmassa \( x < [value] \)) ja ovat sopusoinnussa myös alussa asetetun ehdon \( x\leq [value] \) kanssa.Bägge lösningarna hör till sina respektive definitionsområden (\( [value] \geq [value] \) och \( [value] < [value] \)) och uppfyller även kravet \( x \leq [value] \). \[ x=[value] \quad \text{or} \quad x=[value]. \]\[ x=[value] \quad \text{tai} \quad x=[value]. \]\[ x=[value] \quad \text{eller} \quad x=[value]. \]

Solve the equation \( [value]=[value] \).Ratkaise yhtälö \( [value]=[value] \).Lös ekvationen \( [value]=[value] \).

Give the answer in exact form.Anna vastaus tarkkana arvona! Svara med det exakta värdet.

\( x= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The expression under the root, \( [value]x+[value] \), is positive when \( x\geq[value] \). The right side of the equation is the positive constant \( [value] \). The equation can be squared (raised to the power of two): Juurrettava \( [value]x+[value] \) on positiivinen, kun \( x\geq[value] \). Yhtälön oikea puoli on positiivinen vakio \( [value] \). Yhtälö voidaan korottaa toiseen potenssiin: Uttrycket under roten, \( [value]x+[value] \), är positivt då \( x\geq[value] \). Ekvationens högerled är den positiva konstanten \( [value] \). Ekvationen kan kvadreras (bägge sidor upphöjs i två): \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \ \ \Arrowvert \ ()^2 \\ [value] & = & [value] \\ [value]\cdot x & = & [value] \\ x & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Let us make sure that \( x=[value] \) really satisfies the given equation: Tarkistetaan vielä, että \( x=[value] \) todella toteuttaa alkuperäisen yhtälön: Kontrollera ännu att \( x=[value] \) verkligen uppfyller den ursprungliga ekvationen: \[\sqrt{[value]\cdot ([value])+[value]}=\sqrt[value]=[value]\] Hence, \( x=[value] \) is the (only) solution to the equation.Siis \( x=[value] \) on yhtälön (ainoa) ratkaisu.\( x=[value] \) är ekvationens (enda) lösning.