Title: IMA1 (viikko 4)

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all
syms x
f(x)=x/(x+3)/(x-1)/(x^2+1)
g(x)=partfrac(f,x)
G(x)=int(g,x)
pretty(G)      % helpottaa vastauksen lukemista komentoikkunassa, mutta ei Live Editorissa


Lasketaan edellinen integraali tekemällä integrandista ensin ns. osamurtokehitelmä (käsitellään kurssilla Insinöörimatematiikka X3) komennolla \( \mathtt{partfrac}\). Vastaus näyttää nyt toisenlaiselta kuin edellisen kysymyksen yhteydessä. Mikä on tässä vastauksessa esiintyvän arkustangentin (=\( \mathtt{atan(x)}\)) kerroin?
- \(\displaystyle{\frac{1}{8}}\)
- \(\displaystyle{\frac{3}{40}}\)
- \(\displaystyle{\frac{1}{10}}\)
- \(\displaystyle{\frac{1}{20}}\)
- \(\displaystyle{\frac{19}{40}}\)
A: \(\displaystyle{\frac{1}{10}}\)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all
syms x
f(x)=x/(x+3)/(x-1)/(x^2+1)
F(x)=int(f,x)
pretty(F)      % helpottaa vastauksen lukemista komentoikkunassa, mutta ei Live Editorissa


Vaikka Matlabilla laskettaessa ei komentojen syöttäjän aina tarvitse välttämättä tietää, miten Matlab laskun suorittaa, joskus saattaa tulla vastaan tilanne, jossa annettu muoto integrandista ei ole paras mahdollinen. Mitä erikoista esiintyy yllä laskettavan integraalin vastauksessa?
- Vastaus sisältää Besselin funktion (\(\mathtt{besselj}\)).
- Matlab ei osaa laskea vastausta.
- Vastauksen muuttujana ei ole \(x\).
- Vastaus sisältää imaginääriyksikön.
- Vastaus on kokonaisluku.
A: Vastaus sisältää imaginääriyksikön.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
int(sqrt(1+x^3-x^5),x)


Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa.
- Sen komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Tyhjän rivin.
- Not computable.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Sen komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
int(sqrt(1+x^5),x)


Matlabiin on ohjelmoitu edellisessä kysymyksessä esiintyneiden lisäksi monia muita funktioita, joilla on erikoisnimet, ja joita saattaa saada integroinnin tuloksena. Mikä on funktion \( \sqrt{1+x^5} \) integraalin esityksessä esiintyvä funktionimi?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa, mutta kysymyksen vastaus näkyy paremmin komentoikkunassa ajettaessa.
- \(\mathtt{gamma}\)
- \(\mathtt{erf}\)
- \(\mathtt{beta}\)
- \(\mathtt{psi}\)
- \(\mathtt{hypergeom}\)
A: \(\mathtt{hypergeom}\)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all, close all
syms x
f=@(x)-exp(-x^2+2*x+2)*x^2
df2=@(x)diff(f,x,2)
p=solve(df2,x)
fplot(f,[-2,4])
hold on
plot(p,f(p),'r*')


Yllä on sama koodi kuin edellisessä kysymyksessä, mutta funktio \(f\) ja sen toinen derivaatta on annettu Matlabin ns. funktiokahvana (\(\mathtt{f=@(x)...}\)), joka on ohjelmallisesti eri tietorakenne kuin edellisen kysymyksen symbolinen funktio -rakenne (\(\mathtt{f(x)=...}\)). Nyt yksi myöhemmistä komennoista ei toimi, vaan tulostaa pelkän virheilmoituksen. Mikä komento?

Huom. Jos kirjoitat käsin etkä käytä kopioi-liimaa -toimintoja, varmistu ennen vastaamista siitä, että olet kirjoittanut komennot Matlabiin täysin samanlaisina.
- Komento \(\mathtt{fplot}\) ei piirrä kuvaajaa, koska \(f\) on annettu funktiokahvana.
- Komento \(\mathtt{plot}\) ei piirrä käännepisteitä, koska funktiokahvana annettu \(f\) ei osaa käsitellä vektoriarvoista syötettä p.
- Komento \(\mathtt{diff}\) ei laske derivaattaa, koska funktiokahvana annettu funktio pitäisi syöttää siihen muodossa \(\mathtt{f(x)}\) eikä vain \(\mathtt{f}\).
- Komento \(\mathtt{solve}\) ei ratkaise nollakohtia, koska funktiokahvana annettu toinen derivaatta pitäisi syöttää siihen muodossa \(\mathtt{df2(x)}\) eikä vain \(\mathtt{df2}\).
- Komento \(\mathtt{hold}\) ei toimi funktiokahvana annetun funktion kuvaajan piirtämisen jälkeen, jolloin funktion kuvaaja pyyhkiytyy pois ennen käännepisteiden piirtämistä.
A: Komento \(\mathtt{plot}\) ei piirrä käännepisteitä, koska funktiokahvana annettu \(f\) ei osaa käsitellä vektoriarvoista syötettä p.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot. Kopiointi-/liimaustoimintojen käytön pitäisi myös onnistua.

clear all, close all
syms x
f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2
df2(x)=diff(f,x,2)
p=solve(df2,x)
ezplot(f,[-2,4])
hold on
plot(p,f(p),'r*')


Yllä on laskettu funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1\)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
figure(6), fplot(f,[-3,3])
hold on, grid on
fplot(g,[-3,3])
hold off


Piirretään sama kuva kuin äsken, mutta toisella piirtokomennolla. Se muodostaa itse piirtopisteensä. Toinen ero on, että yhdellä komennolla voi piirtää vain yhden kuvaajan. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion ja derivaatan kuvaajat on piirretty täysin oikein välillä [-3,3].
- Funktio on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.
- Derivaatta ei ole määritelty välillä [-3,0), mutta se on piirretty siellä.
- Derivaatan nollakohdat eivät ole samoilla kohtaa kuin funktion lokaalit ääriarvopisteet.
- Derivaatalla ei ole nollakohtia.
A: Funktio on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
Xf = -3:.01:3;
Xg = .01:.01:3;
F = subs(f,x,Xf);
G1 = subs(g,x,Xg);
G2 = subs(g,x,-Xg);
figure(5), plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')
grid on


Muodostetaan edellisen tehtävän piirtopisteet tiheämmin ja vain välillä [-3,3]. Derivaatan kuvaa varten on myös otettu positiivisen ja negatiivisen osan pisteet erikseen, jolloin kuvassa näkyy nyt paremmin, ettei funktio ole derivoituva origossa. Valitse TASAN KAKSI vaihtoehtoa, joiden perusteella nähdään, että funktio ei ole derivoituva.
- Funktio on jatkuva kaikkialla, mutta sillä on origossa kärki.
- Funktiolla on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama)
- Derivaatalla on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama)
- Derivaatalla ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio on jatkuva kaikkialla, mutta sillä on origossa kärki.; Derivaatalla ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(4), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')


Vaihdetaan edelliseen tehtävään neliöjuuren tilalle kolmas juuri, ts. \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \). Funktio on piirretty sinisellä ja sen derivaatta punaisella. Vain yksi seuraavista väitteistä tosi. Mikä niistä?
- Funktio ja sen derivaatta ovat täysin oikein piirrettyjä.
- Funktion kuvaaja ei ole jatkuva origossa, vaikka sen pitäisi olla.
- Funktion kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaaja ei ole jatkuva origossa, vaikka sen pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.
A: Derivaatan kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*sqrt(x)
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(3), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')


Komennot piirtävät kuvan funktiosta \( f(x)= (x-1)^2 \sqrt{x} \) sinisellä ja sen derivaatasta punaisella. Matlabin piirtokomennot voivat kuitenkin joskus käyttäytyä vähän toisin kuin olettaisi. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion ja derivaatan kuvaajat leikkaavat, vaikka niiden ei pitäisi leikata.
- Funktion ja derivaatan kuvaajat eivät leikkaa, vaikka niiden pitäisi leikata.
- Funktion kuvaajassa on hyppäysepäjatkuvuus, jota siellä ei pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaajaa on piirretty myös alueelle, jossa derivaatta ei ole määritelty.
- Funktio ja sen derivaatta ovat täysin oikein piirrettyjä.
A: Derivaatan kuvaajaa on piirretty myös alueelle, jossa derivaatta ei ole määritelty.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x h
f = exp(sin(x))
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(2), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')
grid on


Kuvaan on piirretty kaksi käyrää. Mikä seuraavista on käyrien leikkauspiste?
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot. Jos kirjoitit jo edellisen kysymyksen yhteydessä Matlabiin "\( \mathtt{syms \ x \ h}\)", sitä ei välttämättä tarvita uudestaan.

syms x h
f = exp(sin(x))
m = (subs(f,x,x+h)-f)/h
g = limit(m,h,0)
X = -5:.06:5;
G = subs(g,x,X);
figure(1), plot(X, G)
grid on


Yllä oleva koodi piirtää kuvan käyrästä. Mikä on ko. käyrän lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? (Huom. kaikki vaihtoehdot eivät välttämättä ole piirretyn funktion kriittisiä pisteitä.)
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)

Q: Aikaisempien viikkojen Matlab-tehtävissä tuotit itse tiedoston Matlabin Live Editorilla, mutta nyt sinun on tarkoitus tulkita useammassa kysymyksessä annettuja Matlab-koodeja tai niiden tuottamia tuloksia ja valita oikea vastausvaihtoehto. Sinun pitäisi myös tuntea luentoviikolla käsiteltyjä termejä ja teoriaa, jotta voit päätellä, mitä jollakin kaavalla laskettu tulos käsittelee. Toisin kuin sähköisissä tehtävissä, näihin kysymyksiin voi yrittää vastata vain kerran.

Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot joko suoraan komentoikkunaan tai Live Editoriin. Kopiointi-/liimaustoimintojen käytön pitäisi myös onnistua.

syms x h
f=x^3+x^2+x+1
m=(subs(f,x,x+h)-f)/h
f1=limit(m,h,0)


Mitä yllä oleva koodi tekee? (valitse yksi vaihtoehto)
- Piirtää kuvan.
- Laskee integraalin.
- Laskee derivaatan.
- Etsii funktion minimiarvon.
- Etsii funktion maksimiarvon.
A: Laskee derivaatan.

Q: Missä tilanteessa l'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa?
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{\infty}\), ja muotoa\(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.
- L'Hopitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
A: L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

Q: Jos funktiolla on olemassa raja-arvo pisteessä \(x\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio on derivoituva pisteessä \(x\).
- Funktio on jatkuva pisteessä \(x\).
- Funktio on rajoitettu.
- Funktion arvo pisteessä \(x\) on äärellinen.
- Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
A: Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.

Q: Vastaa kyselyyn, joka koskee todistamiseen liittyviä ajatuksia. Kysely löytyy osoitteesta https://moodle.helsinki.fi/mod/feedback/view.php?id=1678092.

Kyselyyn vastaaminen kestää noin 10 minuuttia. Saat siitä yhden kurssipisteen. (Huomaa, että yhden kurssipisteen painoarvo on enemmän kuin yhden tehtäväpisteen.)
- Vastasin kyselyyn
- En vastannut kyselyyn
A: Vastasin kyselyyn

Q: Mikä on funktion \(e^{x}\) Taylorin sarja origossa?
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.\)
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(0\)
- \(1\)
A: \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

int(f,x)

int(f,x,0,5)

integral(f,0,5)



Komento \(\mathtt{int}\) on Symbolic Math Toolboxiin liittyvä symbolisen integroinnin komento. Komento \(\mathtt{integral}\) on Matlabin peruskomento numeeriseen laskentaan eli määrätyn integraalin arvon approksimointiin. Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\ln(x)^2\) integraalifunktiota Matlab ei osaa laskea. Lasketaan välillä \(\left(0,5\right)\) numeerinen approksimaatio.

Komento \(\mathtt{integral}\) tarvitsee toimiakseen funktion syöttämisen ns. funktiokahvan avulla eli muodossa \(\mathtt{f=@(x)...}\). Myös \(\mathtt{int}\) hyväksyy tämän syötteen. Funktiokahvassa on laskutoimitusten *, / ja ^ edessä piste, joka kertoo, että matriiseihin liittyvät laskut hoidetaan alkioittain eikä koko matriisi kerralla. Komento \(\mathtt{integral}\) muodostaa käytön aikana approksimaatiopisteiden vektorin, joka syötetään sisälle funktioon, ja vektorit Matlab käsittelee matriiseina, joten jos funktiokahva ei sisältäisi pisteitä, saataisiin virheilmoitus. Matriisilaskutoimituksista tarkemmin kurssilla Vektorit ja matriisit.

Mikä seuraavista on Matlabin antama approksimaatio?
- \(1.9475\)
- \(1.4723\)
- \(2.3151\)
- \(0.3289\)
- \(0.6824\)
A: \(1.9475\) / \(1.4723\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

int(sqrt(1+x^3-x^5),x)



Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa. Live Editor käynnistetään painamalla Home-välilehden painiketta New Live Script. Harmaa alue on komentojen kirjoitusta varten, ja komennot ajetaan Live Editor -välilehden Run-nappia painamalla.
- Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Not computable.
- The command you entered has failed.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2 \approx -0.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1 \approx 2.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

syms x h

f = exp(sin(x))

m = (subs(f,x,x+h)-f)/h

g = limit(m,h,0)

X = -5:.06:5;

G = subs(g,x,X);

figure(1), plot(X, G)

grid on



Komennot piirtävät erään funktion \(g\) kuvaajan. Alle on listattuna viisi pistettä, joiden väitetään olevan funktion kriittisiä pisteitä. Kaikki niistä eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on. Mikä on funktion \(g\) lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? Sinun kannattaa ensin tunnistaa, mitkä pisteet ovat oikeasti niitä, mitä väitetään ja valita niistä lähin pisteelle \(x=0\). Satulapisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, joka on kriittinen, mutta ei ole lokaali ääriarvopiste.

Vihje: (Pitäisi toimia myös Matlab Onlinessa.) Voit suurentaa kuvaikkunan. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit.
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

figure(4), fplot(f,[-3,3])

hold on, grid on

fplot(g,[-3,3])

hold off



Piirretään vielä kerran sama kuva kuin edellä, mutta toisella tavalla käytettävällä piirtokomennolla. Se muodostaa itse piirtopisteensä. Toinen ero on, että yhdellä komennolla voi piirtää vain yhden kuvaajan. Jos sinä tai julkisessa käytössä olevalla koneella mahdollisesti joku toinen opiskelija ei ole muuttanut oletuspiirtovärejä toisiksi, funktio \(f\) pitäisi olla piirrettynä sinisellä ja sen derivaatta \(g=f'\) punaisella. Taaskaan ei kuva piirry täysin oikein. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion \(f\) ja derivaatan \(g=f'\) kuvaajat on piirretty täysin oikein välillä [-3,3].
- Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.
- Derivaatta \(g=f'\) ei ole määritelty välillä [-3,0), mutta se on piirretty siellä.
- Derivaatan \(g=f'\) nollakohdat .
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole nollakohtia.
A: Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

Xf = -3:.01:3;

Xg = .01:.01:3;

F = subs(f,x,Xf);

G1 = subs(g,x,Xg);

G2 = subs(g,x,-Xg);

figure(3)

plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')

grid on



Komennot piirtävät saman funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) (sinisellä) ja sen derivaatan \(g=f'\) (punaisella) kuin edellisessä kysymyksessä, mutta piirtopisteitä on tiheämmin ja vain välillä [-3,3]. Yksi kuvaajista ei ole vieläkään täysin sen näköinen, kuin sen pitäisi olla, mutta sen esitys on jo selvästi parempi.

Kaikki seuraavat väitteet esittelevät tilanteita, joiden perusteella tiedetään, että jokin funktio ei ole kaikkialla derivoituva. Valitse TASAN KAKSI vaihtoehtoa, jotka pätevät nyt käsiteltävän funktion tapauksessa.
- Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.
- Funktiolla \(f\) on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.; Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(2)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')



Nämä komennot tuottavat funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) ja sen derivaatan kuvaajat samaan kuvaan. Funktio \(f\) on piirretty sinisellä ja derivaatta \(g=f'\) punaisella. Ennen viimeisenä olevan piirtokomennon käyttöä muodostetaan vektori piirtopisteiden \(x\)-koordinaateista sekä vektorit funktion \(f\) ja sen derivaatan \(g=f'\) arvoista. Nyt \(x\)-koordinaatit on tarkoituksella valittu niin, että yksi kuvaajista ei piirry ihan niinkuin sen pitäisi. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?

Huomaa, että sinun tarvitsee tutustua myös derivaatan lausekkeeseen, jotta voisit varmuudella vastata tähän kysymykseen. Voit halutessasi kirjoittaa yllä olevien lisäksi komentoikkunaan komennon \(\mathtt{pretty(g)}\), jolloin näet lasketun derivaatan ehkä hiukan helpommin luettavassa muodossa.
- Toinen kuvaajista leikkaa itseään eli tekee silmukan.
- Funktion \(f\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
- Funktion \(f\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
A: Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x h

f = exp(sin(x))

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(1)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')

grid on



Avautuvaan kuvaikkunaan on piirretty kaksi käyrää. Mikä seuraavista on käyrien leikkauspiste?
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä seuraavat komennot Matlab-ohjelman komentoikkunaan ja tulkitse näkemäsi tulos. Komennot käsittelevät funktiota \(f\) jollain tavalla. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x h

f=x^3+x^2+x+1

m=(subs(f,x,x+h)-f)/h;

vastaus=limit(m,h,0)



Kun yllä olevat komennot syötetään Matlabissa, mitä funktiolle \(f\) on tapahtunut siinä tulosteessa, jonka nimeksi on annettu "vastaus"?
- Funktiosta \(f\) on piirretty kuva.
- Funktiolle \(f\) on laskettu raja-arvo lähestyttäessä pistettä \(x=0\).
- Funktio \(f\) on derivoitu.
- Alkiolle \(0\) on etsitty alkukuva kuvauksessa \(f\).
- Funktiolle \(f\) on etsitty yksi tai useampi nollakohta.
A: Funktio \(f\) on derivoitu.