Title: Vastaesimerkin käyttö

Q: Tässä tehtävässä pohditaan, toteutuuko yhtälö \(\mathcal{P}(A \setminus B) = \mathcal{P}(A) \setminus \mathcal{P}(B)\) kaikilla joukoilla \(A\) ja \(B\).

Olkoot \(A = \{3,5\}\) ja \(B = \{2,3\}\). Vedä potenssijoukkojen \(\mathcal{P}(A)\), \(\mathcal{P}(B)\) ja \(\mathcal{P}(A \setminus B)\) alkiot oikeille paikoilleen ja tutki, toteutuuko yhtälö.
- Zone 1 | { }
- Zone 2 | {3}
- Zone 3 | {5}
- Zone 4 | {2}
- Zone 5 | {3,5}
- Zone 6 | {2,3}
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein. Tarkista, että joukoille yhteiset alkiot todella ovat kaikkien vastaavien ympyröiden sisällä.
If wrong: Vastauksesi on väärin. Kertaa potenssijoukon määritelmä.
Feedback: Pyydetyt potenssijoukot ovat \(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{3,5\}\}\), \(\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2,3\}\}\) ja \(\mathcal{P}(A \setminus B) = \{\emptyset, \{5\}\}\). Lisäksi kuvasta nähdään, että \(\mathcal{P}(A) \setminus \mathcal{P}(B) = \{\{5\}, \{3,5\}\}\). Yhtälö ei toteudu. Itse asiassa potenssijoukko \(\mathcal{P}(A \setminus B)\) sisältää aina tyhjän joukon \(\emptyset\), kun taas \(\mathcal{P}(A) \setminus \mathcal{P}(B)\) ei (miksi?).

Q: Oletetaan, että \(A, B\) ja \(C\) ovat joukkoja. Esimerkkikuvassa on merkitty Vennin kaavioon joukko \(A \cap B\) symbolilla X ja joukko \(A \cap C\) symbolilla O.

[Image]

Merkitse Vennin kaavioon joukkoon \((A \setminus B) \cap C\) kuuluvat alueet symbolilla O ja joukkoon \(A \setminus (B \cap C)\) kuuluvat alueet symbolilla X. Sijoita symbolit kunkin alueen keskelle.

Tutki kaavion avulla, päteekö yhtälö

\((A \setminus B) \cap C = A \setminus (B \cap C)\) kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).
- Zone 1 | O
- Zone 2 | X
- Zone 3 | X
- Zone 4 | X
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Yhtälö ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\). Yhtälön vasemman puolen joukkoon eli joukkoon \((A \setminus B) \cap C\) kuuluvat alueet: [Image] Yhtälön oikean puolen joukkoon eli joukkoon \(A \setminus (B \cap C)\) kuuluvat alueet: [Image]

Kun halutaan todistaa, että jokin väite ei päde kaikilla alkioilla tai joukoilla, käytetään vastaesimerkkiä. Vastaesimerkin esittäminen on kenties yksinkertaisin todistustekniikka. Siitä kerrotaan tarkemmin kurssimateriaalin luvussa 3.1.

Tarkastellaan väitettä "jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \not\subset C\)".

a) Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

b) Väitteen negaatio on

i. jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \subset C\)

ii. jos \(A \subset C\), niin \(A \not\subset B\) ja \(B \subset C\)

iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\)

c) Anna esimerkki, joka osoittaa, että myöskään väitteen negaatio ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B  = \)

\(C = \)
Feedback: a) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{1\}\). Nyt \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), mutta \(A \subset C\). Itse asiassa tässä esimerkissä \(A = C\), mutta se ei ole välttämätöntä. b) iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\). (Väitteen \(p_1 \rightarrow p_2\) negaatio on \(p_1 \land \neg p_2\).) c) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \(A \not\subset C\), koska \(1 \notin C\). Siis väitteen negaatio on epätosi.

Aloita kurssimateriaalin lukuun 1.6 tutustuminen. Palauta lisäksi mieleen vastaesimerkin käyttö todistuksissa.

Oletetaan, että \(A, B\) ja \(C\) ovat joukkoja.

Anna esimerkki joukoista \(A, B\) ja \(C\), joilla väite \( (A \setminus B) \cap C = A \setminus (B \cap C) \) ei päde.

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

Tällöin

a) \( (A \setminus B) \cap C = \)

ja

b) \( A \setminus (B \cap C) = \)
Feedback: Esimerkiksi seuraavat joukot käyvät vastaesimerkiksi: \(A = B = \{1\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \( (A \setminus B) \cap C = \emptyset \cap \{2\} = \emptyset \), mutta \(A \setminus (B \cap C) = \{1\} \setminus \emptyset = \{1\}\).

Osoita vastaesimerkillä, että väite "jos \(A \cup C = B \cup C\), niin \(A = B\)" ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)
Feedback: Esimerkiksi \(A = [value]\), \(B = [value]\) ja \(C = [value]\). Tällöin \(A \cup C = \{1,2\} = B \cup C\), mutta selvästi \(A \neq B\).

Oletetaan, että \(B \neq \emptyset\). Tarkastellaan väitettä "jos \(A \times B \subset B \times C\), niin \(A \subset C\)".

Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\) ilman oletusta \(B \neq \emptyset\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)
Feedback: Valitaan esimerkiksi \(A = \{1\}\), \(B = \emptyset\) ja \(C = \{2\}\). Tällöin \(A \times B \subset B \times C\) pätee muodossa \(\emptyset \subset \emptyset\), mutta selvästi \(A \subset C\) ei päde.