Title: MAT-01160 Matematiikka 1

Ratkaise kaikki reaaliluvut \(x\in \mathbb{R}\), jotka toteuttavat yhtälön:
\(\textbf{(a) } 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4, \quad \textbf{(b) } \text{arsinh}(0)=x, \quad \textbf{(c) } \text{artanh}([value])=x.\)

\(\textbf{(a) } x=\)
\(\textbf{(b) } x=\)
\(\textbf{(c) } x=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \textbf{(a)} \quad & 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4\\ \Leftrightarrow & 5\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & \frac{8e^{x}+2e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & 4(e^{x})^2+1=4e^{x}\\ \Leftrightarrow & (e^{x})^2-2\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & \left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & e^{x}=\frac{1}{2} \quad | \ln \\ \Leftrightarrow & x= \ln \left( \dfrac{1}{2} \right)=\ln(2^{-1}) =-\ln(2). \end{align*}\) \(\textbf{(b)}\) Tapa 1. \(\text{arsinh}(0)=\ln \left(0+\sqrt{0^2+1}\right)=\ln(1)=0.\) Tapa 2. Sovelletaan tietoa, että areafunktio on hyperbolisen funktion käänteisfunktio, eli \(\text{arsinh}(0)=x\ \Leftrightarrow \sinh(x)=0 \ \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}=0\ \Leftrightarrow \ e^x=e^{-x}\) jos ja vain jos \(x=0\) (mieti vaikkapa kuvaajien kautta). \( \begin{align*} \textbf{(c)} \quad \text{artanh}([value]) &= \frac{1}{2}\ln \left(1+ \left([value]\right) \right)-\frac{1}{2}\left(1- \left([value]\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( [value] \right) - \frac{1}{2} \ln \left([value] \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \left ([value] \right) - \ln \left([value] \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left(\frac{[value]}{[value]} \right) = \frac{1}{2} \ln \left ([value] \right). \end{align*} \)

On annettu funktio \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (f \circ f)(x) & = & f(f(x)) \\ (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f \circ f)([value]) & = & ([value]^[value]+1)^[value] + 1 = [value]^[value] + 1 \\ (f\circ f)([value]) & = & [value] \end{eqnarray*} \)

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) seuraavat:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Ratkaise toisen asteen yhtälö \(x^2 - [value] \mathrm{i} x - [value]- \mathrm{i}=0 \).

Ratkaise tehtävä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti \( D \) eli toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä oleva lauseke?

Anna kaikki vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( D =\)

Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa. Vastaukset ovat muotoa \([value] + z \), missä \( z \) on jokin kompleksiluku. Esitä nämä luvut \( z \) NAPAKOORDINAATTIMUODOSSA. Eli tyyliin \( [value] + r \exp(...) \).

N:nnet juuret voit kirjoittaa muodossa x^(1/n). Esimerkiksi luvun \(\sqrt[3]{3}\exp(i\frac{5\pi}{7})\) voi kirjoittaa 3^(1/3)*exp(i*5*pi/7).

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Polynomin \(p(x)=ax^2+bx+c\) diskriminantti D ratkaistaan seuraavasti: \( \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= ([value]\mathrm{i})^2 - 4 \cdot 1 \cdot ([value]- \mathrm{i}) \\ \\ &= [value]\mathrm{i}^2+[value]+4\mathrm{i} \\ \\ &= -[value]+[value]+4\mathrm{i} = [value]+[value] \, \mathrm{i}. \end{align} \) Yhtälön ratkaisut voi laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \[ \begin{align} x&=\frac{[value]\mathrm{i} \pm \sqrt{[value]+[value] \, \mathrm{i}}}{2}=[value] \pm \sqrt{[value]}= \Large [value] \pm [value] \\ \stackrel{-1=\exp(-\mathrm{i} \pi )}{\Rightarrow} x_{1}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i},\\ \quad x_{2}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i}. \end{align} \]

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N} \, |\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Sievennä \( \textbf{(a)-} \text{ ja } \textbf{(b)-} \)kohdat ja ratkaise \( \textbf{(c)-} \text{ ja } \textbf{(d)-} \)kohdat ilman laskinta.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= \frac{[value]}{5}\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä \(\cos (\theta)\) ja \(\tan (\theta)\). Huom! Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\(\cos (\theta) = \)

\(\tan (\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( \frac{[value]}{5} \right) ^2 } = \pm [value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \large \cos(\theta)= [value]\qquad\) ja \( \qquad \large \tan (\theta)=\frac{\sin (\theta)}{\cos\theta}=\frac{[value]/5}{[value]/5}=[value].\)

Olkoot \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x)=[value] \) ja \( \displaystyle g:M_g\to \mathbb{R}, \quad g(x)=[value] \) reaalifunktioita.

\( \textbf{(a)} \) Määritä \(f^{-1}([value]) \). \( \textbf{(b)} \) Määritä funktion \(g\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_g\subset \mathbb{R} \). \( \textbf{(c)} \) Määritä \(g^{-1}([value]) \).

Anna kaikkien kohtien vastaus JOUKKONA. Joukko kirjoitetaan aaltosulkeiden avulla. Esim. luvusta a muodostuva joukko kirjoitetaan {a} ja luvuista a,b ja c muodostuva joukko kirjoitetaan {a,b,c}. \( \textbf{(b)} \) -kohdassa anna vastaukseksi se joukko, jonka alkio(t) eivät kuulu funktion \(g\) määrittelyjoukkoon.

\( \textbf{(a)} =\) \( \textbf{(b)} = \mathbb{R} \setminus \) \( \textbf{(c)} =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{(a)} \) Pisteen [value] alkukuva on joukko \[ \begin{align} f^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : f(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\} =[value]. \end{align} \] \( \mathbf{(b)} \) Funktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa, eli pisteessä \(x=[value]\). Näin ollen \[ M_{g}=\mathbb{R} \backslash \{[value]\}. \] \( \mathbf{(c)} \) Pisteen \( [value] \) alkukuva on joukko \[ \begin{align} g^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : g(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]\}=[value]. \end{align} \]

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a \quad = \quad \)
\(b \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä pisteessä täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{Vastaus:} \quad a = [value], \quad b=[value]. \)

Laske seuraavat raja-arvot. (Äärettömät kirjoitetaan seuraavasti: \( \infty = \) inf ja \( -\infty = \) minf.)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \quad = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to a} [value], \quad = \) \( \, \textrm{ol. } \, a\neq 0 \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=[value] \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) \( a \):ta ei voida sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten muokataan hieman lauseketta ensin. \begin{align*} \lim_{x \to a}\frac{\frac{1}{x}^{ (a}-\frac{1}{a}^{ (x}}{x-a}&= \lim_{x \to a}\frac{\frac{a-x}{ax}}{x-a} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-(x-a)}{ax(x-a)} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-1}{ax}=-\frac{1}{a^2} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value]^{([value]} &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)

/* */
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Laske raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty} \large( [value] )^{\Large[value]} \).

Ohje: kirjoita ensin sulkulauseke muodossa \( (\cdots)=e^{\ln(\cdots)}\).

Syntaksivihje: Esimerkiksi \( \sqrt{x} \) kirjoitetaan muodossa sqrt(x) tai x^(1/2), \( \sqrt[7]{x} \) muodossa x^(1/7) ja \(e^x \) muodossa e^(x) tai exp(x).

\(\lim\limits_{x\to\infty}\large( [value] )^{\Large[value]}=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \large \left(e^x+x\right)^{ \Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\ln(e^x+x)\right)^{\Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) \). Soveltamalla l'Hospital'n sääntöä eksponentin sisäfunktioon kolmesti saadaan \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{[value](e^x+x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x+[value]} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x}=\frac{1}{[value]}, \] joten \[\lim\limits_{x\to\infty} \large \left(e^x+x\right)^{\Large [value]} \normalsize = \lim\limits_{x\to\infty} \exp \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) = \exp \left( \frac{1}{[value]} \right) = \large [value].\]

Selvitä, onko lause tosi vai epätosi:

\( \begin{align*} & \textbf{(a) } \exists\, x\in[1,[value]]:\ [value] \qquad \textbf{(b) } \forall\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0\\ & \textbf{(c) } \exists\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0 \quad \textbf{(d) } \forall\, x\in\mathbb{N}\ \exists\,y\in\mathbb{R}:\ \frac{y}{x}=3 \end{align*} \)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Huom! Väärästä vastauksesta tulee miinuspisteitä, joten älä jätä vastauksia arvauksen varaan.

\( \textbf{(a)} \) \( \quad \) \( \textbf{(b)} \)

\( \textbf{(c)} \) \( \quad \) \( \textbf{(d)} \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) [value]. Suomeksi väite tarkoittaa: Väliltä \([1,[value]]\) löytyy reaaliluku, joka on aidosti [value] kuin [value]. Huomaamme, että tämä väite on [value] kaikilla \(x\in [1,[value]]\), eli väite on /* tosi */ [value]. \( \textbf{(b)} \) Epätosi. Väite ei ole tosi, valitsemalla esimerkiksi \(x=0\). \( \textbf{(c)} \) Tosi. Yhtälön ratkaisuiksi saadaan \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=1. \] Eli nähdään, että löytyy \(x=1\in\mathbb{R}\), jolla polynomi saa arvon \(0\). Näin ollen väite on tosi. \( \textbf{(d)} \) Tosi. Koska \(x\) in luonnollinen luku (eli \(1,2,3,....\)), niin erityisesti \(x\neq 0\) ja jakolasku \(y/x\) on aina hyvin määritelty. Jos \(x\):ää kohden valitaan \(y=3x\in\mathbb{R}\), nähdään, että yhtälö toteutuu \[ \frac{y}{x}=\frac{3x}{x}=3, \] ja väite on tosi.

Puiston harvennuksen yhteydessä kaadetut puut kuivataan kasassa ja toimitetaan lämpövoimalaan poltettavaksi. Tuoreen pöllin painosta on vettä [value] % ja kasassa kuivatun pöllin painosta on vettä [value] %. Täysin vedettömän puuaineksen poltosta saadaan energiaa 5,3 kWh/kg. Kosteaa puuta polttaessa aiheuttaa vesi 0,7 kWh:n energiahävikin vesikiloa kohti.

\(\textbf{(a) }\) Montako kiloa alkuaan [value]\(\mathbf{,0}\) kg painoinen pölli keveni kasassa kuivattaessa?

\(\textbf{(b) }\) Montako prosenttia enemmän energiaa saadaan kuivatusta pöllistä verrattuna siihen, että sama pölli olisi poltettu tuoreena? Pöllin massaa ei tunneta.

Ilmoita molemmat vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä. Anna \(\textbf{(b) }\)-kohdan vastaus nimenomaan prosenttina desimaaliluvun sijasta - älä käytä prosenttimerkkiä. Esim. jos vastaus on mielestäsi 95,7 %, kirjoita vastauskenttään " 95.7 ".

\(\textbf{(a)}\) kg.

\(\textbf{(b)}\) %.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan aluksi pöllin puuaineksen paino, joka on \[(100\%-[value]\%)\cdot [value] \, \textrm{kg} =[value]\, \textrm{kg}\] Olkoon kasassa kuivatun puun massa \(m_{k1},\) jolloin \[ (100\%-[value]\%)m_{k1}=[value] \,\textrm{kg} \Longrightarrow m_{k1}=\frac{[value]}{[value]}\approx [value]\, \textrm{kg}. \] Pölli keveni \([value]-\frac{[value]}[value]\approx [value] \, \textrm{kg}\). \( \textbf{(b)} \) Olkoon pöllin massa \(m\). Tuoreesta pöllistä saadaan energiaa \[ E_t=[value]\cdot m\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}=([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)\, m \, \textrm{kWh/kg} \] Kuivatusta pöllistä saadaan energiaa (kuivatun pöllin massa on \(m_{k}=\frac{[value]}{[value]}m\)) \[ \begin{align} E_k&=[value]\cdot m_k\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m_k\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}\\ &=([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}\cdot m\, \textrm{kWh/kg} \end{align}\] Näin ollen prosentteina \[ \frac{E_k-E_t}{E_t}=\frac{([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}-([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)}{[value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7}=[value]\approx [value]\% \] Vastaus: \(\textbf{(a) } [value]\, \textrm{kg} \quad \textbf{(b) } [value]\% \)

\(\text{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat. Tee tehtävä vaihe kerrallaan kärsivällisesti edeten.} \)
\(\text{Tehtävää kannattaa yrittää, vaikkei sitä kokonaan osaisikaan, sillä jokaisesta oikein menneestä kohdasta saa 0,125 pistettä.} \)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \sum_{i=1}^{n}2i \) tarkoittaa summaa \( \sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \MATHCHECK!!!! \)

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret.
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i =\)
ja oikea puoli on , joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen
\( \sum_{i=1}^{k}2i =\) .

\( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) .

\( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \)
\( \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) \( + \sum_{i=1}^{k}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret. Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). \( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \) "Pilkotaan" summa ensin siten, että viimeinen alkio otetaan summalausekkeen ulkopuolelle: \( \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Käytetään sitten induktio-oletusta: \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1) \). \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} &= \dfrac{6a^2}{a^6 a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^4 a^{3/2}} \\ & = \dfrac{6}{a^{8/2} a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^{11/2}} \\ & = \dfrac{6}{(\sqrt{a})^{11}}. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} &= \dfrac{2^{x-1}2^{3(x+1)}}{2^{2(2x+4)}} = \dfrac{2^{x-1}2^{3x+3}}{2^{4x+8)}} \\ \\ &= \dfrac{2^{4x+2}}{2^{4x+8}} = 2^{(4x+2)-(4x+8)} \\ \\ &= 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}. \end{align} \)

Hae kaikki luvun \([value]+[value]i\) kolmannet juuret.

Kirjoita kolmas juuri luvun \( \frac{1}{3} \) potenssina. Eksponenttifunktion \( e^{x} \) voit kirjoittaa joko muodossa e^(x) (sulut tarvitaan, jos yhden merkin sijasta eksponenttina on pidempi lauseke) tai muodossa exp(x).

Esimerkki: Luku \( (9 \sqrt3 )^{1/7} e^{i \pi/15} \) kirjoitetaan (9*sqrt(3))^(1/7)*e^(i*pi/15) \( \textbf{TAI} \) (9*sqrt(3))^(1/7)*exp(i*pi/15).

Luvun \([value]+[value]i\) kaikki kolmannet juuret ovat

\( w_1 = \)
\( w_2 = \)
\( w_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: \([value]+[value]i=\sqrt{([value])^2+[value]^2} e^{\large[value]i}\normalsize=[value]e^{ \large [value]i}\). Nyt eräs kolmas juuri on \[w_1=([value])^{1/3}e^{ \large[value]i},\] sillä \(w_1^3=\left(([value])^{1/3}\right)^3e^{i \large([value]) \normalsize\cdot3}=[value]e^{ \large [value]i}\). Muut kolmannet juuret ovat kulman \(2\pi/3\) välein \(([value])^{1/3}\)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \begin{align*} w_2&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value]+2\pi/3)}= \normalsize ([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}\quad \normalsize \text{ja} \\ \\ w_3&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value] +2\cdot2\pi/3)} \normalsize =([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}. \end{align*}

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Ohut suora putki (halkaisija \(=0\)) kuljetetaan vaakatasossa kuvan mukaisesti \([value]~\textrm{m}\) leveältä käytävältä kulman ympäri \([value]~\textrm{m}\) leveälle käytävälle. Kuinka pitkä putki voi korkeintaan olla, jotta se mahtuu kulkemaan?

Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:

/* JSXGraph-kuva */ (function() { /* Maximaa ajetaan JSXGraph-ympäristössä [value]-syntaksilla */ /* luodaan piirtoalue sopivilla rajoilla (boundingbox:[xmin, ymax, xmax, ymin] */ var board = JXG.JSXGraph.initBoard('uniqueName', {boundingbox:[-3,[value],[value],-3]}); /* käytävien seinät */ var line1 = board.create('line',[[0,0],[0,[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line2 = board.create('line',[[[value], 0],[[value], 6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line3 = board.create('line',[[[value], 6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* katkoviiva, ohkaisemman käytävän leveys */ var line4 = board.create('line',[[0,6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2, dash: 1}); /* putki poikittain käytävillä */ var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* kaaret ja leveyksien merkintä */ var height = 0.5; // height of the curly brace var A = board.create('point', [0,0], {name:'A', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var B = board.create('point', [[value],0], {name:'B', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width1 */ var crl = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl.bezierDegree = 3; crl.updateDataArray = function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(A.X()+B.X())*0.5, (A.Y()+B.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ A.X(), A.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], B.X()-d[1], B.X() ]; this.dataY = [ A.Y(), A.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], B.Y()+d[0], B.Y() ]; }; /* Tehdään teksti käytävän sisään kertomaan käytävän leveys (width1) */ var txt1 = board.create('text', [ function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.X()+B.X())*0.4; d[1] *= height/dl; return mid-d[1]+0.3; }, function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.Y()+B.Y())*0.4; d[0] *= height/dl; return mid+d[0]+1.5; }, function() { return [value] + " m"; } ]); var C = board.create('point', [[value],[value]], {name:'C', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var D = board.create('point', [[value],6], {name:'D', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width2 */ var crl2 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl2.bezierDegree = 3; crl2.updateDataArray = function() { var d = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(C.X()+D.X())*0.5, (C.Y()+D.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ C.X(), C.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], D.X()-d[1], D.X() ]; this.dataY = [ C.Y(), C.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], D.Y()+d[0], D.Y() ]; }; /* ja taas teksti kertomaan käytävän leveys (width2) */ var txt2 = board.create('text', [ function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.X()+D.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]+1.5; }, function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.Y()+D.Y())*0.5; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+0.1; }, function() { return [value] + " m"; } ]); /* tehdään vielä pätkä, joka näyttää x:n pituuden */ var E = board.create('point', [-1,6], {name:'E', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var F = board.create('point', [-1,[value]], {name:'F', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var crl3 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl3.bezierDegree = 1; crl3.updateDataArray = function() { var d = [F.X()-E.X(), F.Y()-E.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(E.X()+F.X())*0.5, (E.Y()+F.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ E.X(), E.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], F.X()-d[1], F.X() ]; this.dataY = [ E.Y(), E.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], F.Y()+d[0], F.Y() ]; }; var txt3 = board.create('text', [ function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]-2; }, function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+[value]; }, function() { return "x"; } ]); board.update(); // This update is necessary to call updateDataArray the first time. })();
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan kaksi pientä kolmiota, jossa suora putki koostuu kahdesta hypotenuusasta, olkoot ne vaikkapa \( a\) ja \( b \). Olkoon \( a\) kapeammalle käytävälle muodostuvan kolmion hypotenuussa. Kateetit ovat tällöin \( x \) ja [value]. Pythagoraan lauseen nojalla \( a = \sqrt{x^2+[value]} \). Leveämmän käytävän kolmiossa hypotenuusa on \( b \). (Kuvan piirtäminen saattaa helpottaa ratkaisun hahmottamista!) Yhdenmuotoisuuden nojalla \[ \dfrac{b}{[value]} = \dfrac{a}{x} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{[value]a}{x} = \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} \]. Nyt on haettava pienin arvo putken pituudelle eli minimoitava \( a+b \): \[ a + b = \sqrt{x^2+[value]} + \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} = \sqrt{x^2+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{x} \right) = f(x). \] Kriittiset pisteet: \[ \begin{align} & f'(x) = 0 \\ & \Leftrightarrow [value]\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right)+[value]\left( [value] \right) = 0 \quad \Big| \cdot [value] \\ & \Leftrightarrow x\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right) - \dfrac{[value] ( [value])}{x^2} = 0 \quad \Big|\cdot x^2 \\ & \Leftrightarrow x^3 + [value]x^2 - [value]x^2 - [value] = 0 \\ & \Leftrightarrow x^3 = [value] \\ & \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{[value]} \end{align} \] Derivaatan merkki kriittisen pisteen \( x = \sqrt[3]{[value]} \approx [value] \) eri puolilla selvitetään vaikkapa laskimella: \( f′([value]) \approx [value] < 0 \) ja \(f ′([value])\approx [value] > 0\). \(f\) on siis vähenevä välillä \( \left( 0, \sqrt[3]{[value]} \right] \) ja kasvava välillä \( \left[ \sqrt[3]{[value]}, \infty \right) \), joten kriittinen piste on globaali minimipiste. Minimiarvo on \( f( \sqrt[3]{[value]}) = \sqrt{[value]^{2/3}+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{\sqrt[3]{[value]}} \right) \approx [value]. \) Vastaus: Putki voi olla korkeintaan \( [value] \, \textrm{m} \) pitkä.

Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tulossa kertolaskuoperaattorina tähteä ( *). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa exp(a*x) tai e^(a*x).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f(x) = \) ja \( f'(x) = \)

\( g(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Osoita totuustaulutarkastelun avulla:

\(\textbf{(a)}\) Osittelulaki: \( p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \). Ts. osoita, että \(p \lor (q \land r)\) ja \((p \lor q) \land (p \lor r) \) ovat loogisesti ekvivalentteja.

\(\textbf{(b)}\) Suora todistus: \( p \land (p \to q) \Rightarrow q.\)

Vihje: Kannattaa ratkaista tehtävä ensin paperilla ja sijoittaa sitten puuttuvat alkiot STACKiin.

\(\textbf{(a)}\) Täytä allaolevaan totuustauluun puuttuvat alkiot (siis x:llä merkityt). Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (* & p \lor (q \land r) \leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (*** \\ \hline 1 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ \end{array}\)

Allaolevassa taulukossa on tilan puutteen vuoksi kaksi viimeistä saraketta merkitty yhdellä ja kolmella tähdellä. Katso ylläolevasta taulukosta, mitä niiden kohdalla kuuluu olla.

\(\quad p \quad | \quad q \quad | \quad r \quad\) | \( \quad q \land r \quad \, \) | \(p \lor q \) | \( p \lor r \) | \(p \lor (q \land r) \) | \( * \) | \(*** \)
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\) |
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)

\(\textbf{(b)}\) Täytä allaolevan totuustaulun puuttuvat alkiot. Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\quad p \quad | \quad q \quad\) | \(\quad \quad p \to q \quad \quad\) | \(p \land (p \to q) \quad \) | \(p \land (p \to q) \Rightarrow q \)
\(1 \quad | \quad 1\) |
\(1 \quad | \quad 0\)
\(0 \quad | \quad 1\)
\(0 \quad | \quad 0\)
Feedback: Mallivastaus. \(\textbf{(a)}\) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) & p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\) \( \textbf{(b)} \) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & p \land (p \to q) & p \land (p \to q) \Rightarrow q \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \)

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]

Laske seuraavat raja-arvot l'Hopitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \). \( e^x \) kirjoitetaan muodossa \( \text{exp(x)} \)

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Derivoi seuraavat funktiot. Käytä funktioiden kanssa sulkeita,  \( \sin(x)\), \( \cos(x)\), \( \exp(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertomerkkiä *.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)
\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)
\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

\( \textbf{(a)} \) Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio.

\( \int f(x) \, \textrm{d}x= \) +\(C\)

\( \textbf{(b)} \) Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tulossa kertolaskuoperaattorina tähteä ( *). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa exp(a*x) tai e^(a*x).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f(x) = \) ja \( f'(x) = \)

\( g(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) \( \textbf{(b)} \) Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Laske seuraava integraali. Lopulliseen tulokseen ei tarvitse kirjoittaa integrointivakiota.

\( \Large \int \normalsize f(x) \textrm{d}x = \Large \int \normalsize \dfrac{[value]}{[value]} \textrm{d}x \).

Sievennä funktiota ensin jakokulmassa. Jakolaskun tulos on muotoa
\( f(x) = g(x)+\dfrac{c}{[value]} \),

missä \( g(x) \) on polynomi, joka on ratkaistava. \( c \) on jokin vakio - tämä on siis jakolaskun jakojäännös.

Tee termille \( \dfrac{c}{[value]} \) osamurtokehitelmä. Osamurtokehitelmän tulos on muotoa

\( \dfrac{c}{[value]} = \dfrac{A}{p(x)} + \dfrac{B}{q(x)} \),

missä \( p(x) \) ja \( q(x) \) ovat ensimmäisen asteen polynomeja eli muotoa \( x - t \), missä \( t \) on jokin vakio.

Anna tämän osamurtokehitelmän termit:
\( \dfrac{A}{p(x)} = \)
\( \dfrac{B}{q(x)} = \)

Nyt voit kirjoittaa integraalin muodossa \( \Large \int \normalsize f(x) \textrm{d}x = \Large \int \normalsize g(x)+ \dfrac{A}{p(x)} + \dfrac{B}{q(x)} \textrm{d}x \)
ja laskea tästä integraalin tuloksen.

Integraalin tulos on \( \Large \int \normalsize \dfrac{[value]}{[value]} \textrm{d}x \) = + \( C \).
HUOM! Syntaksivihje: itseisarvo kirjoitetaan abs()-funktion avulla. Esim. \( \ln(|x+77|) \) kirjoitetaan muodossa ln(abs(x+77)).
Feedback: Mallivastaus: Jakokulman avulla saadaan lauseketta ensin muokattua. \[ \begin{align} \Large \int \normalsize \dfrac{[value]}{[value]} \textrm{d}x & = \Large \int \normalsize x^2-[value]x+[value] + \dfrac{[value]}{[value]} \textrm{d}x \\ & \stackrel{*}{=} \Large \int \normalsize x^2-[value]x+[value] + \frac{[value]}{[value]} + \frac{ \left( [value] \right) }{[value]} \textrm{d}x \\ & = [value]+[value]-[value]+C. \end{align} \] *) Toisella rivillä on tehty osamurtokehitelmä: \( \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{([value])([value])} = \dfrac{A}{[value]} + \dfrac{B}{[value]}. \) Vakiot \( A \) ja \( B \) ratkeavat esimerkiksi seuraavalla tavalla. \[ \begin{align} \dfrac{[value]}{([value])([value])} &= \dfrac{A([value])+B([value])}{([value])([value])} = \dfrac{Ax+Bx+[value]A-[value]B}{([value])([value])} \\ \\ &\Rightarrow \begin{cases} A+B & = 0 \\ [value]A-[value]B & = [value] \end{cases} \\ &\Rightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \end{cases} \end{align}\]

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Anna vastaukset mahdollisimman sievennetyssä muodossa!

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac1z&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) seuraavat (a-c):

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N} \, |\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Etsintään ne kokonaisluvut \(x\), jotka toteuttavat kaksoisepäyhtälön \[\qquad 1 \leq x^2 + [value] \leq f(x). \] Nähdään heti, että vasen puoli toteutuu aina. Ratkaistaan oikea puoli \[ \qquad x^2 + [value] \leq [value] \] eli \[ \qquad x^2 \leq [value] \] eli \[ \qquad [value] \leq x \leq [value]. \] Täten laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(A = [value] \). Arvojoukko on [value] = [value]. \( \textbf{(b)} \) Funktion arvo [value] saatiin, kun \(x = \pm [value]\) ja arvo [value] kun \(x = \pm [value]\). Näin ollen alkion [value] alkukuvajoukko on [value] ja alkion [value] alkukuvajoukko on [value].

Sievennä \( \textbf{(a)-} \text{ ja } \textbf{(b)-} \)kohdat ja ratkaise \( \textbf{(c)-} \text{ ja } \textbf{(d)-} \)kohdat ilman laskinta.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a})+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

\( \textbf{(a)} \) Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<[value] \\ [value], & \text{kun} \ x\geq [value]. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)

\( \textbf{(b)} \) Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value]x-[value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot kohdassa \( x=[value] \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = b\cdot [value]-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to [value]+} \, ([value]) = [value]^2-[value] = [value] \). Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{(b)} \) Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot kohdassa \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä kohdassa täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \).

Olkoot \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x)=[value] \) ja \( \displaystyle g:M_g\to \mathbb{R}, \quad g(x)=[value] \) reaalifunktioita.

\( \textbf{(a)} \) Määritä \(f^{-1}([value]) \).

\( \textbf{(b)} \) Määritä funktion \(g\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_g\subset \mathbb{R} \).

\( \textbf{(c)} \) Määritä \(g^{-1}([value]) \).

Anna kaikkien kohtien vastaus JOUKKONA. Joukko kirjoitetaan kaarisulkeiden avulla. Esim. luvusta a muodostuva joukko kirjoitetaan {a} ja luvuista a,b ja c muodostuva joukko kirjoitetaan {a,b,c}. \( \textbf{(b)} \) -kohdassa anna vastaukseksi se joukko, jonka alkio(t) eivät kuulu funktion \(g\) määrittelyjoukkoon.

\( \textbf{(a)} =\)

\( \textbf{(b)} = \mathbb{R} \setminus \)

\( \textbf{(c)} =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{(a)} \) Pisteen [value] alkukuva on joukko \[ \begin{align} f^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : f(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\} =[value]. \end{align} \] \( \mathbf{(b)} \) Funktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa, eli pisteessä \(x=[value]\). Näin ollen \[ M_{g}=\mathbb{R} \backslash \{[value]\}. \] \( \mathbf{(c)} \) Pisteen \( [value] \) alkukuva on joukko \[ \begin{align} g^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : g(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]\}=[value]. \end{align} \]

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Perustele itsellesi.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<[value] \\ [value], & \text{kun} \ x\geq [value]. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot kohdassa \( x=[value] \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim\limits_{x\to [value]-} \, ([value]) = b\cdot [value]-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim\limits_{x\to [value]+} \, ([value]) = [value]^2-[value] = [value] \). Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \).

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0 \text{ ja raja-arvo } \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ on olemassa,} \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Laske raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty} \large( [value] )^{\Large[value]} \). Anna vastauksesi tarkkana arvona.

Ohje: kirjoita ensin sulkulauseke muodossa \( (\cdots)=e^{\ln(\cdots)}\).

Syntaksivihje: Esimerkiksi \( \sqrt{x} \) kirjoitetaan muodossa sqrt(x) tai x^(1/2), \( \sqrt[7]{x} \) muodossa x^(1/7) ja \(e^x \) muodossa e^(x) tai exp(x).

\(\lim\limits_{x\to\infty}\large( [value] )^{\Large[value]}=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \large \left(e^x+x\right)^{ \Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\ln(e^x+x) ^{\Large[value]} \right) \normalsize =\exp \large \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) \). Soveltamalla l'Hospital'n sääntöä eksponentin sisäfunktioon kolmesti saadaan \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{[value](e^x+x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x+[value]} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x}=\frac{1}{[value]}, \] joten \[\lim\limits_{x\to\infty} \large \left(e^x+x\right)^{\Large [value]} \normalsize = \lim\limits_{x\to\infty} \exp \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) = \exp \left( \frac{1}{[value]} \right) = \large [value].\]

Suorakulmion muotoisen puutarha-alueen pituus on [value] m ja leveys [value] m. Puutarhan läpi kulkee kaksi yhtä leveää hiekkakäytävää kummankin sivun suuntaisesti, katso mallia kuvasta.

Muodosta funktio \( A(x) \), joka ilmaisee hiekkakäytävien pinta-alan neliömetreinä. Käytävien leveys on \(x\) metriä. Käytä kertomerkkinä tähteä.

\( A(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Hiekkakäytävien pinta-ala voidaan laskea, kun tiedetään molempien käytävien leveys ja pituus. Nyt molempien käytävien leveys on \( x\). Pystysuuntaisen polun pituus on nyt [value] metriä, jolloin pystysuuntaisen polun pinta-ala on [value]. Vastaavasti vaakasuuntaisen polun ala on [value]. Lisäksi tulee huomata, että mikäli pinta-alat lasketaan yhteen, tulee polkujen risteyskohta laskettua kahteen kertaan. Tämän risteysalueen koko on \( x \cdot x = x^2 \) ja se tulee vähentää pinta-alan funktiosta. Siten oikea vastaus on \( A(x) = [value] + [value] - x^2 = [value] \).

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \)
\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)
\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \)
\( \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)
\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \)
\( \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Q: Seuraavassa esitetään raja-arvoja ja jatkuvuutta koskevia väitteitä. Tehtävissä vakiot \(a,b,c...\in\mathbb{R}\).
Merkitse rastilla ne väitteet, jotka ovat tosia.
Tehtävästä saa täydet pisteet vain jos kaikki todet väitteet on valittu ja vain ne. Väärä vastaus aiheuttaa 10%:n pistemenetyksen seuraavalla kerralla.
- Jos funktio on jatkuva pisteessä \(x=a\), niin sillä on myös aina raja-arvo tässä samassa pisteessä.
- Jos funktiolla on raja-arvo pisteessä \(x=a\), niin funktio on myös aina jatkuva tässä samassa pisteessä.
- Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =0 \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =\infty \), niin silloin aina \(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} =0 \).
- Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =\infty \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =0 \), niin silloin aina \(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} =\infty \).
- Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =\infty \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =-\infty \), niin silloin aina \(\lim\limits_{x\to a} (f(x)-g(x)) =0 \).
- Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =\infty \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =-\infty \), niin on mahdollista, että \(\lim\limits_{x\to a} (f(x)-g(x)) =0 \).
- Oletetaan, että jatkuva funktio \(f(x)\) on määritelty koko reaalilukujen joukossa ja \(a,b,c\in\mathbb{R}\). Jos \(f(b)=2+f(a)\), niin on olemassa ainakin yksi reaaliluku \(c\), jossa funktion arvo \(f(c)=1+f(a)\).
- Oletetaan, että jatkuva funktio \(f(x)\) on määritelty koko reaalilukujen joukossa. Jos funktio on aidosti kasvava, niin silloin aina \[\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty\].
- Raja-arvoa \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}\] ei ole olemassa.
- Oletetaan, että jatkuva funktio \(f(x)\) on määritelty koko reaalilukujen joukossa. Silloin aina yksi seuraavista väitteistä pitää paikkansa: \[\lim\limits_{x\to\infty} f(x)\] on jokin reaaliluku, \[\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty\] tai \[\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=-\infty\].
A: Jos funktio on jatkuva pisteessä \(x=a\), niin sillä on myös aina raja-arvo tässä samassa pisteessä.; Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =0 \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =\infty \), niin silloin aina \(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} =0 \).; Jos raja-arvot funktioille \(\lim\limits_{x\to a} f(x) =\infty \) ja \(\lim\limits_{x\to a} g(x) =-\infty \), niin on mahdollista, että \(\lim\limits_{x\to a} (f(x)-g(x)) =0 \).; Oletetaan, että jatkuva funktio \(f(x)\) on määritelty koko reaalilukujen joukossa ja \(a,b,c\in\mathbb{R}\). Jos \(f(b)=2+f(a)\), niin on olemassa ainakin yksi reaaliluku \(c\), jossa funktion arvo \(f(c)=1+f(a)\).; Raja-arvoa \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}\] ei ole olemassa.

Q: Seuraavassa esitetään derivaattaan liittyviä väitteitä. Tehtävissä vakiot \(a,b \in\mathbb{R}\).
Merkitse rastilla ne väitteet, jotka ovat tosia.
Tehtävästä saa täydet pisteet vain jos kaikki todet väitteet on valittu ja vain ne. Väärä vastaus aiheuttaa 10%:n pistemenetyksen seuraavalla kerralla.
- Oletetaan, että \(f(x)\) on derivoituva ja \(f'(x)<0\) \(\forall x\in\mathbb{R} \). Tällöin aina raja-arvo \[\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = -\infty\].
- On olemassa funktio, jolla \(f(x)=f'(x)\) koko määritelyjoukossa.
- Jos jatkuva funktio on kaikkialla aidosti kasvava, niin sen derivaatalla ei ole nollakohtia.
- \(D(\ln(-x))=\dfrac{1}{x}\).
- Tässä on käytetty l'Hopitalin sääntöä oikein: \[\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x)}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-\sin(x)}{1} = 0\].
- Funktion \(f(x)=ax+b\) linearisointi on sama kuin funktio itse.
- Jos funktio on jatkuva pisteessä \(x=a\), niin funktio on myös aina derivoituva tässä samassa pisteessä.
- Jos funktio on derivoituva pisteessä \(x=a\), niin funktio on myös aina jatkuva tässä samassa pisteessä.
- Oletetaan, että funktiot \(f(x)\) ja \(g(x)\) ovat derivoituvia \(\forall x\in\mathbb{R} \). Jos \(f(a)=g(a)\) ja \(f'(a)>g'(a)\), niin aina \(f(a+1)>g(a+1)\).
- Funktio \(f(x)=|x|\) on derivoituva pisteessä \(x=0\).
A: On olemassa funktio, jolla \(f(x)=f'(x)\) koko määritelyjoukossa.; Jos jatkuva funktio on kaikkialla aidosti kasvava, niin sen derivaatalla ei ole nollakohtia.; \(D(\ln(-x))=\dfrac{1}{x}\).; Funktion \(f(x)=ax+b\) linearisointi on sama kuin funktio itse.; Jos funktio on derivoituva pisteessä \(x=a\), niin funktio on myös aina jatkuva tässä samassa pisteessä.

Q: Seuraavassa esitetään ääriarvoihin ja integrointiin liittyviä väitteitä. Tehtävissä vakiot \(a,b,c \in\mathbb{R}\).
Merkitse rastilla ne väitteet, jotka ovat tosia.
- Funktion \(f(x)\) ääriarvopisteessä \(x=c\) aina \(f'(c)=0\).
- Funktiolla \(f(x)=|x|\) on suurin arvo joukossa \((-2,2)\).
- Jos \(f'(x)=g'(x)\), niin aina \(f(x)=g(x)\).
- Tämä on oikein: \[\displaystyle{\int\dfrac{1}{\ln(x)}\ dx = \int(\ln(x))^{-1}\ dx = \int-\ln(x)\ dx =-\dfrac{1}{x}+C}\]
- Funktion \(f(x)=1/x\) derivaatta \(f'(x)=-1/x^2<0\) koko määrittelyjoukossaan \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\). Siksi jos \(a<b\) , niin \(f(a)>f(b)\) kaikilla luvuilla \(a,b\in D_f\).
- Funktiolla \(f(x)=|x|\) on pienin arvo joukossa \((-2,2)\).
- Jos jatkuvasti derivoituvan ja jatkuvan funktion derivaatan arvot \(f'(a)>0\) ja \(f'(b)<0\) , niin välillä \((a,b)\) on ainakin yksi lokaali minimi- tai maksimikohta.
- Funktio \(f(x)=\sin(x)+\cos(x)+e^x\) toteuttaa yhtälön \(f^{(4)}(x)=f(x)\).
- Jos \(f^{(n)}(x)=0\) jollakin arvolla \(n\in\mathbb{N}\), niin funktion \(f(x)\) täytyy olla polynomi.
- Jos funktio \(f(x)\) ensin integroidaan ja sitten tulos derivoidaan, tulos on aina alkuperäinen funktio \(f(x)\). Oletetaan, että funktio on integroituva ja derivoituva.
A: Funktiolla \(f(x)=|x|\) on pienin arvo joukossa \((-2,2)\).; Jos jatkuvasti derivoituvan ja jatkuvan funktion derivaatan arvot \(f'(a)>0\) ja \(f'(b)<0\) , niin välillä \((a,b)\) on ainakin yksi lokaali minimi- tai maksimikohta.; Funktio \(f(x)=\sin(x)+\cos(x)+e^x\) toteuttaa yhtälön \(f^{(4)}(x)=f(x)\).; Jos \(f^{(n)}(x)=0\) jollakin arvolla \(n\in\mathbb{N}\), niin funktion \(f(x)\) täytyy olla polynomi.; Jos funktio \(f(x)\) ensin integroidaan ja sitten tulos derivoidaan, tulos on aina alkuperäinen funktio \(f(x)\). Oletetaan, että funktio on integroituva ja derivoituva.

Palauta tästä tehtävästä pdf-palautuksena  vastaukset perusteluineen. Jos käytät ohjelmia, laita vastaukseen käytetyt komennot. Arvostelu: vastauskenttien vastaukset = 15 p, pdf-palautus= 60 p, yhteensä 75 p.

\( \textbf{(a)} \) Tutkitaan funktiota \( f(x)=[value] \).

a) Mitkä ovat funktion nollakohdat. Anna saamasi luvut (reaaliset tai kompleksiset) aaltosuluissa tarkkoina arvoina pilkulla toisistaan erotettuna. Esim. jos vastauksesi olisi luvut \(-2, 1+2i,1-2i\) niin vastaa \(\verb|{-2, 1+2*i,1-2*i}|\) . Jos nollakohtia ei ole, niin vastaa \(\verb|{ }|\).

Nollakohdat ovat  =

b) Mitkä ovat funktion lokaalit ääriarvokohdat. Kerro pdf-vastauksessa myös ääriarvojen laatu (mimimi,maksimi,satulapiste). Anna vastauskenttään saamasi luvut aaltosuluissa 3 desimaalin tarkkuudella pilkulla toisistaan erotettuna. Esim. jos vastauksesi olisi luvut \(0,2,3.5\) niin vastaa \(\verb|{0.000,2.000,3.500}|\). Jos lokaaleja ääriarvokohtia ei ole, niin vastaa \(\verb|{ }|\).

Ääriarvokohdat ovat  =

c) Valitse funktiosta mahdollisimman laaja, aidosti [value] osa. Tällä välillä funktiolla on käänteisfunktio. Laske \(f^{-1}(0)\) ja myös \((f^{-1})'(0)\)

\(f^{-1}(0) = \)
\((f^{-1})'(0) = \)

d) Hahmottele funktion \(f(x)\) ja c)-kohdan käänteisfunktion kuvaajat. Kuvaajissa tulee näkyä funktioiden käyttäytyminen a)-, b)- ja c)-kohtien pisteissä. Selitä sanallisesti, miten a)-, b)- ja c)-kohtien vastaukset näkyvät kuvaajissa.
Feedback: Oikeat vastaukset: a) Nollakohdat \([value] \). b) Lokaalit ääriarvokohdat \([value] \). c) \(f^{-1}(0) = [value] \). d) \((f^{-1})'(0) = [value] \).

Tentti 12.10.2020

- Tenttiaikasi on 210 min = 3.5 h. Jäljellä olevan ajan näet tentin yläosassa/lopussa riippuen käyttämäsi laitteen näytön leveydestä. Ajan loputtua vastauskenttiin ei voi enää vastata ja tehtäviä ei enää saa näkyviin ennen kuin tentin suljettua klo 24.00.
- Voit muuttaa vastauksiasi tentin aikana ja viimeinen vastaus jää voimaan. Vastauksia ei erikseen lukita.
- Tentissä on 1 suorituskerta. Jos siis lopetat tentin, niin et voi enää avata tenttiä uudestaan. Tenttiä ei kuitenkaan tarvitse lopettaa. Ajan loputtua kaikki vastaukset tallennetaan ja tentti lopetetaan automaattisesti.
- Tehtävistä ei anneta vastauksia tai vihjeitä tentin aikana. Tentin suljettua klo 24.00 saat näkyviin pisteesi ja tehtävien oikeat vastaukset avaamalla tentin uudestaan.
- Vastaa vastauskenttiin lukuarvot pyydetyssä muodossa. Huomaa erityisesti ohjeet aaltosulkeiden tai hakasulkeiden käytöstä.
- Vastaa pdf-palautukseen tehtävien 2-4 täydelliset ratkaisut. Huomaa myös, että pdf-palautus tulee lähettää saman 3.5 tunnin aikana.
- muista kertomerkit
- imaginaariyksikkö: \(\verb|i|\)
- neliöjuuri \(\sqrt{x}: \ \verb|sqrt(x)|\)
- luonnollinen logaritmi :\(\ln(x): \ \verb|ln(x)|\)
- eksponenttifunktio \( e^x: \ \verb|exp(x)|\)

Palauta tästä tehtävästä pdf-palautuksena vastaukset perusteluineen.
Arvostelu: vastauskenttien vastaukset = 15 p, pdf-palautus= 60 p, yhteensä 75 p.

a) Ratkaise ilman tietokoneohjelmia kompleksimuuttujan \(z\) yhtälö

  \(4iz^2+4z+2-i=0\)

Esitä ratkaisut tarkkana arvona muodossa \(z=a+bi\). Esitä pdf-ratkaisussasi välivaiheet ja perustelut, miten olet päätynyt tulokseen. Anna myös ratkaisut aaltosulkeissa seuraavaan vastauskenttään, Jos esim. ratkaisusi olisivat \(2+i, -2+2i\), vastaa \(\verb|{2+i, -2+2*i}|\).

b) 5:n asteen reaalikertoimisella polynomilla \(p(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+[value]\)
on kompleksiset juuret \([value]+[value]i\)  ja \([value]+[value]i\). Mitkä ovat polynomin kertoimet \(a_4, a_3,a_2,a_1\)?
Vihje: 5. asteen polynomin juurien tulo on \((-1)^5 \dfrac{a_0}{a_5}\), missä \(a_0\) on polynomin vakiotermi  ja \(a_5\) on viidennen asteen termin kerroin. Annettujen tietojen perusteella saat tietää kaikki juuret.

\(a_4 = \) |  |
\(a_3 = \) |  |
\(a_2 = \) |  |
\(a_1 = \) |  |
Feedback: a) Ratkaistaan yhtälö \(4iz^2+4z+2-i=0\) toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. \begin{eqnarray*} z=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 4i\cdot(2-i)}}{8i}=\dfrac{-4\pm\sqrt{-32i}}{8i}=\dfrac{-1\pm\sqrt{-2i}}{2i} \end{eqnarray*} Kompleksiluku \(-2i=2e^{-i\pi/2}\), jolloin \(\sqrt{-2i}=\pm \sqrt2 e^{-i\pi/4}=\pm(1-i)\). Sijoitetaan tämä ratkaisukaavaan ja saadaan yhtälön ratkaisut \begin{eqnarray*} z_1&=&\dfrac{-1+\sqrt{-2i}}{2i}=\dfrac{-1+ (1-i)}{2i}=\dfrac{-i}{2i}=-\dfrac{1}{2}\\ z_2&=&\dfrac{-1-\sqrt{-2i}}{2i}=\dfrac{-1- (1-i)}{2i}=\dfrac{-2+i}{2i}=\dfrac{1}{2}+i \end{eqnarray*} b) Polynomilla on 5 juurta joukossa \(\mathbb{C}\). Kaksi eri suurta kompleksijuurta tunnetaan, jolloin reaalikertoimisella polynomilla myös niiden liittoluvut ovat juuria. Tästä saadaan 4 juurta \([value]+[value]i\), \([value]-[value]i\) , \([value]+[value]i\) ja \([value]-[value]i\). 5. asteen polynomin juurien tulo on tässä tapauksessa \((-1)^5 \dfrac{a_0}{a_5}=[value]\). Kun kerrotaan tunnetut 4 juurta saadaan \(([value]+[value]i)([value]-[value]i)([value]+[value]i)([value]-[value]i)=[value]\), josta päätellään, että yksi juuri on \(-2\). Näin on löydetty kaikki juuret \(r_i\), jolloin polynomin tekijöitä ovat 1. asteen polynomit \(x-r_i\). Polynomi on \(p(x)=1(x-2)(x-([value]+[value]i))(x-([value]-[value]i))(x-([value]+[value]i))(x-([value]-[value]i))\) \(=[value]\) Tulon edessä oleva luku 1 on 5.asteen termin kerroin, joka tiedetään tässä olevan \(1\).