Title: Alkeisfunktiot

a) Yhdensuuntaisille kolmioille

pätee \(\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Mitkä ovat seuraavassa kuvassa \(a,b\) ja \(d\), kun \(\displaystyle \theta = \displaystyle [value]\)?

Huom! Anna kaikki vastauksesi tarkkana arvona, ei liukulukuna. \(\sqrt{x}= \mathtt{sqrt(x)}\)

Mallikuvassa esiintyvä kulma ei ole sama, joka tehtävässä on käsittelyssä.

\(a = \,\) | \(b = \,\) | \(d = \,\)

b) Origokeskisen ympyrän säde on positiivisen \(x\)-akselin kanssa kulmassa \(\phi\), josta tiedetään, että

\([value]<0\) ja \([value]<0\).

Missä neljänneksessä säde sijaitsee?

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]>0?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Älä jätä kenttiä tyhjiksi.

For what real values of \(x\)

\[[value]>0?\]

Give your answer in the form \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Don't leave the text areas empty.

Vastaus: Kun The answer: When ja and .
Feedback: Mallivastaus: Epäyhtälön vasen puoli kuvaa alaspäin aukeavaa paraabelia. Käyvät \(x\):n arvot löytyvät siis kyseisen paraabelin nollakohtien välistä. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa \([value]\) ja \([value]\), joten epäyhtälön ratkaisu on \(x>[value]\) ja \(x<[value]\). The left hand side of the inequality describes a parabola opening downwards. The values of \(x\) satisfying the inequality are between the zero points of the parabola. The zero points are in this case \([value]\) and \([value]\). Therefore, the solution of the inequality is \(x>[value]\) and \(x<[value]\).

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]=0\mbox{?}\]

For what values of the real number \(x\)

\[[value]=0\mbox{?}\]

\(x=\) tai or \(x=\) tai or \(x=\).
Feedback: Mallivastaus: Kolmannen asteen polynomiyhtälön juuria haettaessa on ensimmäisenä tehtävänä selvittää yksi juurista. Tässä tapauksessa voidaan ottaa \(x\) yhteiseksi tekijäksi, joten tulon nollasäännön mukaan \(x=0\) on yksi juurista. Toiseksi tulon tekijäksi jääneestä toisen asteen polynomista saadaan ratkaistua loput kaksi juurta ratkaisukaavan mukaisesti: \[x = \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}.\] \[ \begin{align*} [value]&=0\\ x(x^2+([value])x+([value]))&=0\\ x=0\textrm{ or } x^2+([value])x+([value])&=0\\ x=0\textrm{ or } x &= \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}\\ x=0\textrm{ or } x &=[value]\textrm{ or } x=[value] \end{align*} \]

Sievennä \( \textbf{(a)-} \text{ ja } \textbf{(b)-} \)kohdat ja ratkaise \( \textbf{(c)-} \text{ ja } \textbf{(d)-} \)kohdat ilman laskinta.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Ratkaise kaikki reaaliluvut \(x\in \mathbb{R}\), jotka toteuttavat yhtälön:
\(\textbf{(a) } 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4, \quad \textbf{(b) } \text{arsinh}(0)=x, \quad \textbf{(c) } \text{artanh}([value])=x.\)

\(\textbf{(a) } x=\)
\(\textbf{(b) } x=\)
\(\textbf{(c) } x=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \textbf{(a)} \quad & 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4\\ \Leftrightarrow & 5\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & \frac{8e^{x}+2e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & 4(e^{x})^2+1=4e^{x}\\ \Leftrightarrow & (e^{x})^2-2\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & \left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & e^{x}=\frac{1}{2} \quad | \ln \\ \Leftrightarrow & x= \ln \left( \dfrac{1}{2} \right)=\ln(2^{-1}) =-\ln(2). \end{align*}\) \(\textbf{(b)}\) Tapa 1. \(\text{arsinh}(0)=\ln \left(0+\sqrt{0^2+1}\right)=\ln(1)=0.\) Tapa 2. Sovelletaan tietoa, että areafunktio on hyperbolisen funktion käänteisfunktio, eli \(\text{arsinh}(0)=x\ \Leftrightarrow \sinh(x)=0 \ \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}=0\ \Leftrightarrow \ e^x=e^{-x}\) jos ja vain jos \(x=0\) (mieti vaikkapa kuvaajien kautta). \( \begin{align*} \textbf{(c)} \quad \text{artanh}([value]) &= \frac{1}{2}\ln \left(1+ \left([value]\right) \right)-\frac{1}{2}\left(1- \left([value]\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( [value] \right) - \frac{1}{2} \ln \left([value] \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \left ([value] \right) - \ln \left([value] \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left(\frac{[value]}{[value]} \right) = \frac{1}{2} \ln \left ([value] \right). \end{align*} \)

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= \frac{[value]}{5}\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä \(\cos (\theta)\) ja \(\tan (\theta)\). Huom! Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\(\cos (\theta) = \)

\(\tan (\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( \frac{[value]}{5} \right) ^2 } = \pm [value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \large \cos(\theta)= [value]\qquad\) ja \( \qquad \large \tan (\theta)=\frac{\sin (\theta)}{\cos\theta}=\frac{[value]/5}{[value]/5}=[value].\)

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]=0\mbox{?}\]

For what values of the real number \(x\)

\[[value]=0\mbox{?}\]

\(x=\) tai or \(x=\) tai or \(x=\).
Feedback: Kolmannen asteen polynomiyhtälön juuria haettaessa on ensimmäisenä tehtävänä selvittää yksi juurista. Tässä tapauksessa voidaan ottaa \(x\) yhteiseksi tekijäksi, joten tulon nollasäännön mukaan \(x=0\) on yksi juurista. Toiseksi tulon tekijäksi jääneestä toisen asteen polynomista saadaan ratkaistua loput kaksi juurta ratkaisukaavan mukaisesti: \[x = \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}.\] \[ \begin{align*} [value]&=0\\ x(x^2+([value])x+([value]))&=0\\ x=0\textrm{ or } x^2+([value])x+([value])&=0\\ x=0\textrm{ or } x &= \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}\\ x=0\textrm{ or } x &=[value]\textrm{ or } x=[value] \end{align*} \]

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]>0?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Älä jätä kenttiä tyhjiksi.

For what real values of \(x\)

\[[value]>0?\]

Give your answer in the form \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Don't leave the text areas empty.

Vastaus: Kun The answer: When ja and .
Feedback: Epäyhtälön vasen puoli kuvaa alaspäin aukeavaa paraabelia. Käyvät \(x\):n arvot löytyvät siis kyseisen paraabelin nollakohtien välistä. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa \([value]\) ja \([value]\), joten epäyhtälön ratkaisu on \(x>[value]\) ja \(x<[value]\). The left hand side of the inequality describes a parabola opening downwards. The values of \(x\) satisfying the inequality are between the zero points of the parabola. The zero points are in this case \([value]\) and \([value]\). Therefore, the solution of the inequality is \(x>[value]\) and \(x<[value]\).

Sievennä \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \] Simplify \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \]

\(f(x)=\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]} =\frac{[value]x^3x^{[value]}}{[value]x^{-[value]}[value]x^[value]} =\frac{x^{[value]}}{[value]x^{[value]}} =\frac{1}{[value]x^{[value]}} \] Model solution: \[ \frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]} =\frac{[value]x^3x^{[value]}}{[value]x^{-[value]}[value]x^[value]} =\frac{x^{[value]}}{[value]x^{[value]}} =\frac{1}{[value]x^{[value]}} \]

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Vastaus:

For what real values of \(x\) \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Give your answer in the form \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Answer:

KunWhen ja and taior .
Feedback: Ratkaisu: Epäyhtälön ratkaisemisessa kannattaa molemmat termit siirtää ensin samalle puolelle: \[\frac{1}{x-[value]}-\frac{2}{x+[value]}>0.\] Tämän jälkeen termit lavennetaan samannimisiksi ja yhdistetään: \[\frac{x+[value]-2(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}>0.\] Tutkittava lauseke on positiivinen, kun osoittaja \(-x+[value] > 0\) ja nimittäjä \((x-[value])(x+[value])>0\). Tämä toteutuu, kun \([value]<x<[value]\). Lauseke on positiivinen myös silloin, kun sekä osoittaja että nimittäjä ovat negatiivisia. Tämä toteutuu, kun \(x<-[value]\). Solution: When solving the inequality it is worth to move first both terms to the same side: \[\frac{1}{x-[value]}-\frac{2}{x+[value]}>0.\] After finding the common denominator the terms can be combined: \[\frac{x+[value]-2(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}>0.\] The expression under consideration is positive when the numerator \(-x+[value] > 0\) and the denominator \((x-[value])(x+[value])>0\). This is fulfilled when \([value]<x<[value]\). The expression is also positive when both the numerator and the denominator are negative. This is fulfilled when \(x<-[value]\).

Olkoon \(p_1(x) = [value]\).

(a) Laske

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

Näiden kolmen laskun perusteella voi sanoa, että polynomi \(p_1(x)\) on jaollinen 1. asteen polynomilla \(q(x) = \) .

Polynomi \(p_1(x)\) voidaankin esittää muodossa

\(p_1(x) = q(x)([value])\).

Mitkä ovat polynomin \(p_1(x)\) kaikki nollakohdat? Anna nollakohdat joukkona aaltosulkeissa, esim. {[value],[value],[value]}.

Nollakohtien joukko on .

(b) Kokeillaanpa nyt samaa prosessia toiseen suuntaan. Koska tiedät, miten polynomi esitetään nollakohtiensa avulla, anna se 3. asteen polynomi \(p_2(x)\) jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja jonka nollakohdat ovat [value], [value] ja [value].

\(p_2(x) = \)

Ratkaise yhtälö \( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \) seuraavien ohjeiden avulla.

- Kirjoita aluksi yhtälössä esiintyvät hyperboliset funktiot määritelmiensä mukaisissa muodoissa eksponenttifunktion avulla.
- Korvaa jokainen \(e^x\) muuttujalla \(t\), jolloin vastaavasti \(e^{-x}\) on \(\frac{1}{t}\).
- Kerro yhtälö puolittain \(t\):llä. Tämän jälkeen pystyt esittämään yhtälön toisen asteen yhtälönä, jonka muuttujana on \(t\).
- Ratkaise toisen asteen yhtälö. Tiedät, että \(t=e^x\), joten pystyt tästä ratkaisemaan edelleen \(x\):n.

Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)? Anna tämä välivaihe muodossa \( at^2+bt+c = 0 \), muista kertomerkit. Sen jälkeen anna ratkaisu hyperboliselle yhtälölle, eli mitä on \(x\)? Jos ratkaisuja on useita, anna vastaukseksi niistä vain suurin luku.

\( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+ [value] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= [value]\\ \Rightarrow & \quad [value] (e^{x}+e^{-x})+ [value] (e^{x}-e^{-x}) = [value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}+[value]e^{-x}=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}-[value]+[value]e^{-x}=0\\ & \mathrm{kerrotaan} \ e^x\mathrm{:llä}\\ \Rightarrow & \quad [value](e^{x})^2-[value]e^x+[value]=0\\ & \mathrm{merkitään} \ t=e^x\\ \Rightarrow & \quad [value]t^2-[value]t+[value]=0\\ \Rightarrow & \quad t=\dfrac{[value]\pm\sqrt{[value]-4\cdot[value]\cdot[value]}}{2\cdot[value]}. \end{align*}\) Plusmiinusmerkistä valitaan vain plus-osuus, koska halutaan (mahdollisesta) kahdesta tuloksesta suurempi. Tällöin \( t=\dfrac{[value]+\sqrt{[value]}}{[value]}=\large[value]=e^x\), joten \(x=\ln([value])\).

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]\cdot [value]}} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]-[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]}}. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} &= \dfrac{2^{[value]}2^{[value]([value])}}{2^{[value]([value])}} = \dfrac{2^{[value]+[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} = \dfrac{2^{[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} \\ \\ &= 2^{[value]x+[value]-[value]x-[value]} =2^{[value]} = [value]. \end{align} \)

Esitä annettu 2. asteen polynomi neliöksi täydennettynä eli muodossa \(a(x+b)^2+c\), missä \(a,b,c\in \mathbb{R}\).

Päättele tämän esityksen mukaisesti, mikä on polynomin (reaalisten) nollakohtien lukumäärä.

\(p(x) = [value]\)

\(a=\,\)

\(b=\,\)

\(c=\,\)

nollakohtien lkm:

a) Origoa kierretään nollakulmasta lähtien kulman \([value]\pi\) verran. Ilmoita murtolukuna (ei sekalukuna!) puolikkaan tarkkuudella, kuinka monta kertaa ympyrä kierretään ja mihin suuntaan.

Vastaus: kertaa

b) Origokeskiseen \([value]\)-säteiseen ympyrään piirretään säde kulmassa \(\theta = [value]\pi\).
Anna säteen ympyränpuoleisen päätepisteen koordinaatit. Anna vastaus tarkkana arvona, esim. \(\frac{1}{\sqrt{5}} = \) 1/sqrt(5).

Vastaus: Päätepiste on \(\Big(\),\(\Big)\).

Kurssimonisteessa esitellään muistikolmio, joka on puolikas tasasivuisesta kolmiosta: Eräs versio siitä on piirrettynä alla:

Tämän muistikolmion avulla voidaan laskea kulmien \(\frac{\pi}{6}\) ja \(\frac{\pi}{3}\) sini, kosini ja tangentti. Esim. sini on kulman vastaisen sivun pituus jaettuna hypotenuusalla.

Piirrä itsellesi toinen muistikolmio seuraavilla ohjeilla

- Piirrä yksikköneliö (neliö, jonka sivu on 1)
- Piirrä neliön lävistäjä (vastakkaiset kulmat yhdistävä jana)
- Toinen muistikolmio on kumpi tahansa neliön puolikas

Merkitse nyt uuteen muistikolmioosi (ja samalla tähän tehtävään) neliön sivujen pituuksien lisäksi seuraavat tiedot. Anna tarkkoja arvoja, esim. \(\sqrt{x} = \) sqrt(x) ja \(\pi = \) pi.

Lävistäjän pituus on

Se kulma \(\alpha\) (radiaaneina), jossa lävistäjä ja viereinen sivu ovat.

\(\alpha = \)

Mitä ovat tällöin

\(\sin(\alpha) =\, \)

\(\cos(\alpha) =\, \)

\(\tan(\alpha) =\, \)

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

Esimerkiksi luvun \(-8\) voi esittää tulona muodoissa \(-8=-1\cdot 8=1\cdot\left(-8\right)=-2\cdot 4=2\cdot\left(-4\right)\), joten tekijät ovat \({1,-1,2,-2,4,-4,8,-8}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus:

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

[value]

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus: