Title: MAT-01120 IMAB1

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio f on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Kun tiedetään, että \( j^{\, 2} = -1 \), niin selvitä, mitä ovat seuraavat.

\( \textbf{(a)} \quad j^{ \large \,[value]} = \)

\( \textbf{(b)} \quad j^{ \large \, [value]} = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} j^{\, 2} &= -1 \\ j^{\, 3} &= j^{\, 2} \cdot j = -1 \cdot j = -j \\ j^{\, 4} &= j^{\, 2} \cdot j^{\, 2} = (-1) \cdot (-1) = 1 \\ j^{\, 5} &= j^{\, 4} \cdot j = 1 \cdot j = j \\ j^{\, 6} &= j^{\, 5} \cdot j = j \cdot j = j^{\, 2} = -1 \\ j^{\, 7} &= j^{\, 6} \cdot j = -1 \cdot j = -j \\ j^{\, 8} &= j^{\, 7} \cdot j = -j \cdot j = -(-1) = 1 \\ \end{align} \)

Ratkaise yhtälö \( 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4 \). Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)?

Anna tämä välivaihe muodossa \( f(t) = 0 \).

\( 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4 \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4\\ \Leftrightarrow & 5\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & \frac{8e^{x}+2e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & 4(e^{x})^2+1=4e^{x}\\ \Leftrightarrow & (e^{x})^2-2\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & \left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & e^{x}=\frac{1}{2} \quad | \ln \\ \Leftrightarrow & x= \ln \left( \dfrac{1}{2} \right)= \ln(2^{-1}) =-\ln(2). \end{align*}\)

Sievennä tai ratkaise ilman laskinta. Luonnollinen logaritmi merkitään ln(..) ja \( \pi \) merkitään pi.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)  Vihje: Esitä logartimi luonnollisen logaritmin avulla ja ilmoita myös vastaus käyttäen luonnollista logartimia.

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).

Etsi toisen asteen yhtälö, jolla ei ole yhtään reaalista juurta ja jonka kompleksijuuret ovat

\( x_1 = [value] \) ja \( x_2 = [value] \).

Anna vastauksesi muodossa \( f(x) = 0 \). Potenssin saat käyttämällä ^ -merkkiä. Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Älä käytä sulkeita tässä tehtävässä.

Yhtälö on .
Feedback: Mallivastaus: Jos toisen asteen yhtälön juuret ovat \( a \) ja \( b \), niin \( \begin{align} (x-a)(x-b) & = 0 \\ x^2 + (-ax) + (-bx) + (-a)(-b) & = 0 \\ x^2 + (-a-b)x + ab &= 0 \\ x^2 - (a+b)x + ab &= 0 \end{align} \) Nyt \( a = [value]\) ja \( b = [value] \), joten \( \begin{align} & ([value])([value]) = 0 \\ \Rightarrow &[value] \end{align} \).

Esitä \(z\) muodossa \(a+bj\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]j)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]-j}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]j\) ja \(z_2=1+[value]j\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2j\) kirjoitetaan 2*j.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}j \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*j/10 tai (2/10)+(3*j/10) tai (2/10)+(3/10)*j. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]j)^2=[value]+[value]j+[value]j^2=[value]+[value]j\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]-j}=\dfrac{(-[value]+[value]j)([value]+j)}{([value]-j)([value]+j)} =\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}j\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac1z&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]j}{[value]+[value]j}=[value]. \end{align}\)

Express \(z\) in the form \(a+bj\), when

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]j)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]-j}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

where \(z_1=2-[value]j\) and \(z_2=1+[value]j\).

Use * as a multiplication sign. Using the brackets is also recommendable.

/*

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2j\) kirjoitetaan 2*j.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}j \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*j/10 tai (2/10)+(3*j/10) tai (2/10)+(3/10)*j. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

*/

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]j)^2=[value]+[value]j+[value]j^2=[value]+[value]j\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]-j}=\dfrac{(-[value]+[value]j)([value]+j)}{([value]-j)([value]+j)} =\dfrac{-[value]+[value]j}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}j\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac1z&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]j}{[value]+[value]j}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat.

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Esimerkiksi luku \( 19 + 16j \) kirjoitetaan 19 + 16*j.

\( \textbf{(a)} \quad z_1 \cdot z_2 = \) , \( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \) , \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

\( \textbf{(c)} \quad z_1^2 = \) , \( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän kompleksikonjugaatilla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Lausu seuraavat kompleksiluvut polaarimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \). Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Käytä imaginääriyksikkönä \( \text{j} \):tä. Eksponenttifunktio \( e^y \) kirjoitetaan muodossa exp(y). Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(2). Muut juuret kirjoitetaan käänteisluvun potenssina.

\( \textbf{HUOM! Tärkeää on myös muistaa kirjoittaa eksponenttilauseke muodossa (kulma)*j} \) eli ensin suluissa kulma ja vasta sitten kerrotaan imaginääriyksiköllä - muuten vastaustasi ei välttämättä hyväksytä. Esimerkkejä:

\( 9 \sqrt5 e^{-(\pi/19)j} \) kirjoitetaan 9*sqrt(5)*exp(-(pi/19)*j) ja

\( 17 e^{(\pi / 17)j} \) kirjoitetaan 17*exp((pi/17)*j)

\( \textbf{(a)} \quad \large [value] \) =

\( \textbf{(b)} \quad \large [value] \) =
Feedback: Mallivastaus: Kompleksiluvun \( a + bj \) napakoordinaattimuoto saadaan seuraavasti. \[ z = |z| ( \cos \theta + j \sin \theta ) = |z| e^{j \theta}, \] missä \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Kulma saadaan piirtämällä kompleksiluku kompleksitasoon (eli lukupari (a,b) koordinaatistoon) tai yhtälöstä (huom! \( -\pi < \theta \le \pi \) ): \[ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \mbox{jos } a > 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b \ge 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b < 0. \end{cases} \] \( \begin{align} \textbf{(a)} & &\quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \\ \\ \textbf{(b)} & & \quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \\ \\ \end{align} \)

Lausu polaarimuodossa oleva kompleksiluku \( xy \)-koordinaatistossa (missä \( x \)-koordinaatti on siis luvun reaaliosa ja \( y \)-koordinaatti imaginääriosa).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(2). Muut juuret kirjoitetaan murtopotenssimuodossa.

Esim: \( \sqrt7 \) kirjoitetaan sqrt(7) ja \( 49 \sqrt[3]7 \) muodossa 49*7^(1/3).

/* Seuraava muoto siksi, että polarform laittaa eksponentin todella pieneksi, vaikka fontti suurentaisikin. */

\( \textbf{(a)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) \Rightarrow (x,y) = \Big( \) , \( \Big) \).

\( \textbf{(b)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) \Rightarrow (x,y) = \Big( \) , \( \Big) \).
Feedback: Mallivastaus: Polaarimuodossa \(|z| e^{j \theta} \) olevan kompleksiluvun saat muotoon \(a+bj\) seuraavasti. \[ z =|z| e^{j \theta} = |z| ( \cos \theta + j \sin \theta ) = |z|\cos \theta + j|z|\sin \theta, \] missä \( |z|\cos \theta \) on kysytty \( x \)-koordinaatti ja \( |z|\sin \theta \) on \( y \)-koordinaatti. Siten \( \begin{align} &\textbf{(a)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) = [value] \cos \left( [value] \right) + [value] \sin \left( [value] \right) = [value] & &\Rightarrow (x,y) = \left( [value],[value] \right). \\ & \textbf{(b)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) = [value] \cos \left( [value] \right) + [value] \sin \left( [value] \right) = [value] & &\Rightarrow (x,y) = \left( [value],[value] \right). \end{align} \) /* \( \textbf{(a)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) = [value] \cos \left( [value] \right) + [value] \sin \left( [value] \right) = [value] \Rightarrow (x,y) = \left( [value],[value] \right) \). \( \textbf{(b)} \quad [value] \exp \left( [value]j \right) = [value] \cos \left( [value] \right) + [value] \sin \left( [value] \right) = [value] \Rightarrow (x,y) = \left( [value],[value] \right) \). */

Laske seuraavien kompleksilukujen potenssilasku ja ilmoita tulos muodossa \( a + bj \). Tämän jälkeen lausu ne vielä polaarimuodossa.

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Käytä imaginääriyksikkönä \( \text{j} \):tä. Eksponenttifunktio \( e^y \) kirjoitetaan muodossa exp(y). Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(2). Muut juuret kirjoitetaan käänteisluvun potenssina.

\( \textbf{HUOM! Tärkeää on myös muistaa kirjoittaa eksponenttilauseke muodossa (kulma)*j} \) eli ensin suluissa kulma ja vasta sitten kerrotaan imaginääriyksiköllä - muuten vastaustasi ei välttämättä hyväksytä. Esimerkkejä:

\( 9 \sqrt5 e^{-(\pi/19)j} \) kirjoitetaan 9*sqrt(5)*exp(-(pi/19)*j) ja

\( 17 e^{(\pi / 17)j} \) kirjoitetaan 17*exp((pi/17)*j)

\( \textbf{(a)} \quad \left( [value] \right) ^{[value]} \) =

\( \quad \) ja sen polaarimuoto on: .

\( \textbf{(b)} \quad \left( [value] \right) ^{[value]} \) =

\( \quad \) ja sen polaarimuoto on: .
Feedback: Mallivastaus: Kompleksiluvun \( a + bj \) napakoordinaattimuoto saadaan seuraavasti. \[ z = r ( \cos \theta + j \sin \theta ) = r e^{j \theta}, \] missä \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \). Kulma saadaan piirtämällä kompleksiluku kompleksitasoon (eli lukupari (a,b) koordinaatistoon) tai yhtälöstä (huom! \( -\pi < \theta \le \pi \) ): \[ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \mbox{jos } a > 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b \ge 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b < 0. \end{cases} \] \( \textbf{(a)} \quad ([value])^{[value]} = [value] \) ja edelleen koska \( [value] = [value] \exp \left( j \left( [value] \right) \right) \), niin \[ ([value])^{[value]} = [value]^{[value]} \exp \left( j \cdot [value] \cdot \left( [value] \right) \right) = [value]. \] \( \textbf{(b)} \quad ([value])^{[value]} = [value] \) ja edelleen koska \( [value] = [value] \exp \left( j \left( [value] \right) \right) \), niin \[ ([value])^{[value]} = [value]^{[value]} \exp \left( j \cdot [value] \cdot \left( [value] \right) \right) = [value]. \]

Syntaksivihjeitä: Käytä kaikissa tuloissa kertomerkkinä tähteä ( * ). Käytä imaginääriyksikkönä \( j \):tä. Luku \( \pi \) kirjoitetaan muodossa pi. Neliöjuuren saat komennolla sqrt().
Esimerkkejä: \( 7 \sqrt{7}j + 7 \) kirjoitetaan 7*sqrt(7)*j+7 ja \( \quad \dfrac{2 \pi}{17} \) muodossa 2*pi/17.

\( \textbf{(a)} \quad \) Esitä kompleksiluku \( z_1 = [value] \exp \left( [value] j \right) \) muodossa \( a+bj\): .

\( \textbf{(b)} \quad \) Laske \(z_2 = \left( 1 + j \right)^{[value]} \) käyttämällä De Moivren kaavaa \[ z^n = r^n e^{ n \theta j}, \quad n \in \mathbb{N}. \] Mikä on kompleksiluvun \( z_2 \) argumentti eli kulma \( \theta \)?

\( \theta = \) \( \quad \) ja \( \quad z_2 = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Polaarimuodossa \(r e^{j \theta} \) olevan kompleksiluvun saat muotoon \(a+bj\) seuraavasti. \( z =r e^{j \theta} = r ( \cos \theta + j \sin \theta ) = r\cos \theta + jr\sin \theta. \) Siten \( z_1 = [value] \exp \left( [value] j \right) = [value] \cos \left( [value] \right) + j \sin \left( [value] \right) = [value] + \left( [value]j \right) = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Kompleksiluku \( 1+ j \) on polaarimuodossa \( 1 + j = \sqrt2 \exp \left( [value] \right) \), sillä \( r = \sqrt{a+b} = \sqrt{1+1} = \sqrt2 \quad \) ja \( \quad \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{1} \right) = [value] \). Siten De Moivren kaavan mukaan \( z_2 = (1+j)^[value] = ( \sqrt2 )^{[value]} \exp \left( [value] [value] j \right) = [value] \exp \left( [value] j \right) \), joten \( \theta = [value] \). Muutetaan vielä ylläoleva polaarimuoto takaisin muotoon \( a + bj \) muutettuna on \( z_2 = [value] \cos \left( [value] \right) + j [value] \sin \left( [value] \right) = [value] \left( [value] + j \left( [value] \right) \right) = [value] + \left( [value]j \right) = [value] \).

Lausu seuraavat kompleksiluvut polaarimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \). Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Käytä imaginääriyksikkönä \( \text{j} \):tä. Eksponenttifunktio \( e^y \) kirjoitetaan muodossa exp(y). Neliöjuuri kirjoitetaan muodossa sqrt(2). Muut juuret kirjoitetaan käänteisluvun potenssina.

\( \textbf{HUOM! Tärkeää on myös muistaa kirjoittaa eksponenttilauseke muodossa (kulma)*j} \) eli ensin suluissa kulma ja vasta sitten kerrotaan imaginääriyksiköllä - muuten vastaustasi ei välttämättä hyväksytä. Esimerkkejä:

\( 9 \sqrt5 e^{-(\pi/19)j} \) kirjoitetaan 9*sqrt(5)*exp(-(pi/19)*j) ja

\( 17 e^{(\pi / 17)j} \) kirjoitetaan 17*exp((pi/17)*j)

\( \textbf{(a)} \quad [value] \) =

\( \textbf{(b)} \quad [value] \) =

\( \textbf{(c)} \quad [value] \) =

\( \textbf{(d)} \quad [value] \) =
Feedback: Mallivastaus: Kompleksiluvun \( a + bj \) napakoordinaattimuoto saadaan seuraavasti. \[ z = |z| ( \cos \theta + j \sin \theta ) = |z| e^{j \theta}, \] missä \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Kulma saadaan piirtämällä kompleksiluku kompleksitasoon (eli lukupari (a,b) koordinaatistoon) tai yhtälöstä (huom! \( -\pi < \theta \le \pi \) ): \[ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \mbox{jos } a > 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b \ge 0\\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \mbox{jos } a < 0 \mbox{ ja } b < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } a = 0 \mbox{ ja } b < 0. \end{cases} \] \( \begin{align} \textbf{(a)} & &\quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \\ \\ \textbf{(b)} & & \quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \\ \\ \textbf{(c)} & & \quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \\ \\ \textbf{(d)} & & \quad [value] &= [value] \left( \cos \left ([value] \right) + j \sin \left( [value] \right) \right) & &= [value] \, \exp \left( \left( [value] \right)j \right) \end{align} \)

Olkoon \(z=[value]-[value]j\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,j\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(j [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-j\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yj\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-j \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-j*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(j [value]\right) + [value]\exp\left(-j\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+j\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]j} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+j\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]j} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+j\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] j} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+j\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]j} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(j[value]\right)+[value]\exp\left(-j\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+j\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+j\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+j[value]\right)+[value]\left(0+j(-1)\right) =[value]+([value]-[value])j. \end{align*}\)

Allaolevassa kuvassa on kompleksitaso, johon on piirretty kompleksilukua \( z \) vastaava punainen piste. Anna polaarimuodossa eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) kompleksiluku \( z \) ja laske sen neljännet juuret \( z_1, z_2, z_3 \) ja \( z_4 \). Pisteen koordinaatit kompleksitasossa saat viemällä osoittimen pisteen päälle. Voit zoomata ja liikuttaa halutessasi kuvaa oikean alakulman napeilla. /* TAI: Punaisen pisteen koordinaatit ovat \( ( [value],0) \). Voit zoomata ja liikuttaa halutessasi kuvaa oikean alakulman napeilla. */

/* JSXGraph-kuva */

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Eksponenttifunktion saat exp() tai e^() -komennoilla ja luvun \( \pi \) komennolla pi. Esimerkiksi \( \dfrac{6}{5} \exp (j \pi / 7) = \dfrac{6}{5} e^{j \pi / 7} \) kirjoitetaan (6/5)*exp(j*pi/7) tai (6/5)*e^(j*pi/7).

\( z = \)

Neljännet juuret ovat:

\( z_1 = \) \( \quad z_2 = \)

\( z_3 = \) \(\quad z_4 = \)
Feedback: Mallivastaus: Pisteen etäisyys origosta on [value] ja kompleksiluvun \( z \) argumentti eli positiivisen \( x \)-akselin ja vektorin \( Oz \) välinen suunnattu kulma on [value]. Siten kompleksiluku on (polaarimuodossa) \( [value] \exp(j [value]) = [value]. \) Kompleksiluvun \( z \) eräs neljäs juuri on \( z_1 = \sqrt[4]{[value]} \exp(j \cdot [value]) = [value] \exp(j \cdot [value]) = [value] \), sillä \( z_1^4 = [value] \exp \left( j \left( [value] \right) \cdot 4 \right) = [value] \exp (j [value] ) = [value] \). Muut neljännet juuret ovat kulman \( 2 \pi / 4 \) eli \( \pi / 2 \) välein \( [value] \)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \( \begin{align} z_2 & = [value] \exp \left( j \left( [value] + \frac{\pi}{2} \right) \right) & &= [value] \exp \left( j [value] \right) & & = [value] , \\ z_3 & = [value] \exp \left( j \left( [value] + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right) & &= [value] \exp \left( j [value] \right) & & = [value] \quad \text{ja} \\ z_4 & = [value] \exp \left( j \left( [value] + 3 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right) & &= [value] \exp \left( j [value] \right) & & = [value]. \end{align} \)

Allaolevassa kuvassa on kompleksitaso, johon on piirretty kompleksilukua \( z \) vastaava punainen piste. Anna \( \textbf{eksponenttimuodossa} \) eli muodossa \( r \exp (j \theta) \) kompleksiluku \( z \) ja laske sen kolmannet juuret \( z_1, z_2 \) ja \( z_3 \). Pisteen koordinaatit kompleksitasossa saat viemällä osoittimen pisteen päälle. Voit zoomata ja liikuttaa halutessasi kuvaa oikean alakulman napeilla. /* TAI: Punaisen pisteen koordinaatit ovat \( (0,[value]) \). Voit zoomata ja liikuttaa halutessasi kuvaa oikean alakulman napeilla. */

/* JSXGraph-kuva */

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Eksponenttifunktion saat exp() tai e^() -komennoilla ja luvun \( \pi \) komennolla pi. Esimerkiksi \( \dfrac{6}{5} \exp (j \pi / 7) = \dfrac{6}{5} e^{j \pi / 7} \) kirjoitetaan (6/5)*exp(j*pi/7) tai (6/5)*e^(j*pi/7).

\( z = \)

Kolmannet juuret ovat:

\( z_1 = \) \( \quad z_2 = \)

\( z_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: Pisteen etäisyys origosta on [value] ja kompleksiluvun \( z \) argumentti eli positiivisen \( x \)-akselin ja vektorin \( Oz \) välinen suunnattu kulma on [value]. Siten kompleksiluku on (polaarimuodossa) \( [value] \exp(j \cdot ([value])) = [value]. \) Kompleksiluvun \( z \) eräs kolmas juuri on \( z_1 = \sqrt[3]{[value]} \exp(j \cdot ([value])) = [value] \exp(j \cdot ([value])) = [value] \), sillä \( z_1^3 = [value] \exp \left( j \left( [value] \right) \cdot 3 \right) = [value] \exp (j ([value]) ) = [value] \). Muut kolmannet juuret ovat kulman \( 2 \pi / 3 \) välein \( [value] \)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \( \begin{align} z_2 & = [value] \exp \left( j \left( [value] + \frac{2\pi}{3} \right) \right) & &= [value] \exp \left( j [value] \right) & & = [value] \quad \text{ja} \\ z_3 & = [value] \exp \left( j \left( [value] + 2 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) \right) & &= [value] \exp \left( j [value] \right) & & = [value]. \\ \end{align} \)

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

\(\textbf{(a)} \quad \) Etsi laajin joukko \( A \subset \mathbb{Z}\)  ja sitä vastaava arvojoukko \( R_f.\)

\(\textbf{(b)} \quad \) Määritä alkioiden  [value] ja [value]  alkukuvajoukot.

Esitä joukot aaltosulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Päättele ilman laskinta.

Muista käyttää kaikissa tuloissa tähteä ( * ) kertolaskuoperaattorina. Jakolaskun saat vinoviivamerkillä ( / ). Neliöjuuren saat komennolla sqrt(x). Esimerkiksi luku \( \sqrt9 \) kirjoitetaan sqrt(9). Luku \( \pi \) kirjoitetaan muodossa pi.

Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)! Jos haluat antaa vastauksesi desimaalimuodossa, käytä desimaalierottimena pistettä.

\( \textbf{(a)} \quad \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \)

\( \textbf{(d)} \quad \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(b)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \large [value]. \)

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= \frac{[value]}{5}\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä \(\cos (\theta)\) ja \(\tan (\theta)\).

\(\cos (\theta) = \)

\(\tan (\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( \frac{[value]}{5} \right) ^2 } = \pm [value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \large \cos(\theta)= [value]\qquad\) ja \( \qquad \large \tan (\theta)=\frac{\sin (\theta)}{\cos\theta}=\frac{[value]/5}{[value]/5}=[value].\)

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä (kerran tai useammin).

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Ilmoita napakoordinaattien avulla seuraavat pisteet. Kulman tulee olla välillä \( - \pi \le \theta \le \pi \).

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Neliöjuuren saat komennolla sqrt(). Esim. \( 7 \sqrt7 \) kirjoitetaan 7*sqrt(7). Luvun \( \pi \) saat komennolla pi.

\( \textbf{(a)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)

\( \textbf{(b)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)

\( \textbf{(c)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)
Feedback: Mallivastaus: Etäisyys \( r \) saadaan yhtälöstä \( r^2 = \sqrt{x^2+y^2} \). Kulma saadaan piirtämällä piste koordinaatistoon tai yhtälöstä \[ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{jos } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y < 0. \end{cases} \] . Siten \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &r = \sqrt{[value]^2+[value]^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \textbf{(b)} \quad &r = \sqrt{([value])^2+([value])^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \textbf{(c)} \quad &r = \sqrt{[value]^2+[value]^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \end{align} \)

Ilmoita napakoordinaattien avulla seuraavat pisteet. Kulman tulee olla välillä \( - \pi \le \theta \le \pi \).

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Neliöjuuren saat komennolla sqrt(). Esim. \( 7 \sqrt7 \) kirjoitetaan 7*sqrt(7). Luvun \( \pi \) saat komennolla pi.

\( \textbf{(a)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)

\( \textbf{(b)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)

\( \textbf{(c)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)

\( \textbf{(d)} \quad ([value], [value]): r = \) , \( \quad \theta = \)
Feedback: Mallivastaus: Etäisyys \( r \) saadaan yhtälöstä \( r^2 = \sqrt{x^2+y^2} \). Kulma saadaan piirtämällä piste koordinaatistoon tai yhtälöstä \[ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{jos } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y < 0. \end{cases} \] . Siten \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &r = \sqrt{(-1)^2+([value])^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \textbf{(b)} \quad &r = \sqrt{1^2+([value])^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \textbf{(c)} \quad &r = \sqrt{(\sqrt3)^2+[value]^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \textbf{(d)} \quad &r = \sqrt{(-\sqrt3)^2+[value]^2} = [value] &\text{ja} \quad &\theta = [value]. \\ \end{align} \) .

Lausu \( xy \)-tason pisteinä seuraavat napakoordinaatiston pisteet:

\( \textbf{(a)} \quad (r, \theta) = \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) \)

\( \textbf{(b)} \quad (r, \theta) = \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) \)

\( \textbf{(c)} \quad (r, \theta) = \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) \)

Muista käyttää kaikissa tuloissa tähteä ( * ) kertolaskuoperaattorina. Luvun \( \pi \) saat komennolla pi. Neliöjuuren saat komennolla sqrt - muista käyttää juurrettavan ympärillä sulkeita. Muut juuret saat saat kirjoittamalla ne käänteisluvun potenssina. Esimerkkejä eri lukujen kirjoitustavasta:

\(3 \sqrt2 =\) 3*sqrt(2), \( \quad \left( \dfrac{4}{5} \right) ^{7/8} =\) (4/5)^(7/8) \( \quad \text{ja} \quad \sqrt[5]{9} =\) 9^(1/5).

\( \textbf{(a)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)

\( \textbf{(b)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)

\( \textbf{(c)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)
Feedback: Mallivastaus: \( (x,y) \)-koordinaatit saadaan piirtämällä origosta lähtevän \( r \):n pituisen suoran (säteen) kulmassa \( \theta \) tai vaihtoehtoisesti yhtälöistä: \( \begin{align} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \end{align} \) Siten \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right) \\ \textbf{(b)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right) \\ \textbf{(c)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], \dfrac{[value] \pi}{6} \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right). \end{align} \)

Lausu \( xy \)-tason pisteinä seuraavat napakoordinaatiston pisteet:

\( \textbf{(a)} \quad (r, \theta) = \left( [value], [value] \right) \)

\( \textbf{(b)} \quad (r, \theta) = \left( [value], [value] \right) \)

\( \textbf{(c)} \quad (r, \theta) = \left( [value], [value] \right) \)

Muista käyttää kaikissa tuloissa tähteä ( * ) kertolaskuoperaattorina. Luvun \( \pi \) saat komennolla pi. Neliöjuuren saat komennolla sqrt - muista käyttää juurrettavan ympärillä sulkeita. Muut juuret saat saat kirjoittamalla ne käänteisluvun potenssina. Esimerkkejä eri lukujen kirjoitustavasta:

\(3 \sqrt2 =\) 3*sqrt(2), \( \quad \left( \dfrac{4}{5} \right) ^{7/8} =\) (4/5)^(7/8) \( \quad \text{ja} \quad \sqrt[5]{9} =\) 9^(1/5).

\( \textbf{(a)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)

\( \textbf{(b)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)

\( \textbf{(c)} \quad (x,y) = \Big(\), \(\Big) \)
Feedback: Mallivastaus: \( (x,y) \)-koordinaatit saadaan piirtämällä origosta lähtevän \( r \):n pituisen suoran (säteen) kulmassa \( \theta \) tai vaihtoehtoisesti yhtälöistä: \( \begin{align} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \end{align} \) Siten \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], [value] \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right) \\ \textbf{(b)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], [value] \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right) \\ \textbf{(c)} \quad (r, \theta) &= \left( [value], [value] \right) & \Rightarrow (x,y) &= \left( [value], [value] \right). \end{align} \)

\( \text{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat.} \)

Todista induktiolla de Moivren kaava: \[ z^n = r^n e^{ n \theta j}, \quad n \in \mathbb{N}. \]

Käytä vastauksissasi \( \theta \):n sijasta merkkiä t. Esim. exp(n*t*j). Edellä on myös hyvä esimerkki, miten eksponenttifunktio kirjoitetaan. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta \( j \). Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) \( \textbf{kaikissa tuloissa} \)!

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Kun \( n = 1 \), niin yhtälö saa muodon ,

mikä on mielivaltaisen kompleksiluvun polaarimuodon kaava ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen (minkä muodon yhtälö nyt saa?)

\( \textbf{Induktioväite}: \) väite on tosi, kun \( n = k+1 \), toisin sanoen (minkä muodon yhtälö nyt saa?)

\( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \)

\( z^{k+1} = z^k z \). Nyt alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella

\( z^{k+1} = \) ja kun kerrotaan \( r \):t saadaan

\( \Large z^{k+1} = r^{a} e^{ (b \cdot \theta j)} e^{ \theta j} \), missä \( \text{a} = \) ja \( \text{b} = \) .

ja kun lasketaan vielä eksponenttifunktioiden tulo, saadaan

\( z^{k+1} = r^{a} \exp \large( \) \( \large) \), missä \( a \) on sama kuin yllä.

Näin on induktioväite todistettu ja siten induktioperiaatteen nojalla de Moivren kaava pätee kaikilla \( n \in \mathbb{N} \).
Feedback: Mallivastaus: Tehtävä: Todista induktiolla de Moivren kaava: \[ z^n = r^n e^{ n \theta j}, \quad n \in \mathbb{N}. \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Kun \( n = 1 \), niin yhtälö saa muodon \( z = r \exp(\theta j) \), mikä on mielivaltaisen kompleksiluvun polaarimuodon kaava ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen (minkä muodon yhtälö nyt saa?) \( z^k = r^k \exp (k \theta j) \) \( \textbf{Induktioväite}: \) väite on tosi, kun \( n = k+1 \), toisin sanoen (minkä muodon yhtälö nyt saa?) \( z^{k+1} = r^{k+1} \exp [(k+1) \theta j] \) \( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \) \( z^{k+1} = z^k z \). Nyt alkuaskeleen ja induktio-oletuksen perusteella \( z^{k+1} = r^k e^{ k \theta j} r e^{ \theta j} \) ja kun kerrotaan \( r \):t saadaan \( z^{k+1} = r^{k+1} e^{k \theta j} e^{ \theta j} \), eli \( \text{a} = \) [value] ja \( \text{b} = \) [value], ja kun lasketaan vielä eksponenttifunktioiden tulo, saadaan \( z^{k+1} = r^{k+1} \exp \large[ (k+1)\theta j \large] \), eli päädyttiin induktioväitteeseen. Näin on induktioväite todistettu ja siten induktioperiaatteen nojalla de Moivren kaava pätee kaikilla \( n \in \mathbb{N} \). Tehtävän oikeat syötteet: \begin{align} &\text{syöte 1: z = r*exp(t*j)} \\ &\text{syöte 2: z^k = (r^k)*exp(k*t*j)} \\ &\text{syöte 3: z^(k+1) = (r^(k+1))*exp((k+1)*t*j)} \\ &\text{syöte 4: ((r^k)*exp(k*t*j))*(r*exp(n*t*j))} \\ &\text{syöte 5: k+1} \\ &\text{syöte 6: k} \\ &\text{syöte 7: (k+1)*t*j} \\ \end{align}

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \dfrac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} &= \dfrac{6a^2}{a^6 a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^4 a^{3/2}} \\ & = \dfrac{6}{a^{8/2} a^{3/2}} = \dfrac{6}{a^{11/2}} \\ & = \dfrac{6}{(\sqrt{a})^{11}}. \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} &= \dfrac{2^{x-1}2^{3(x+1)}}{2^{2(2x+4)}} = \dfrac{2^{x-1}2^{3x+3}}{2^{4x+8)}} \\ \\ &= \dfrac{2^{4x+2}}{2^{4x+8}} = 2^{(4x+2)-(4x+8)} \\ \\ &= 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}. \end{align} \)

Differentiate the following functions.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Use brackets in the trigonometric and logarith functions, for example \(\sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Also, don't forget to use the star (*) as a multiplication sign. For example, \( 9x\) is written 9*x

/*

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

*/

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]