Title: MAT-01100 IMAX1

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot. Jos kirjoitit jo edellisen kysymyksen yhteydessä Matlabiin "\( \mathtt{syms \ x \ h}\)", sitä ei välttämättä tarvita uudestaan.

syms x h
f = exp(sin(x))
m = (subs(f,x,x+h)-f)/h
g = limit(m,h,0)
X = -5:.06:5;
G = subs(g,x,X);
figure(1), plot(X, G)
grid on


Yllä oleva koodi piirtää kuvan käyrästä. Mikä on ko. käyrän lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? (Huom. kaikki vaihtoehdot eivät välttämättä ole piirretyn funktion kriittisiä pisteitä.)
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x h
f = exp(sin(x))
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(2), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')
grid on


Kuvaan on piirretty kaksi käyrää. Mikä seuraavista on käyrien leikkauspiste?
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*sqrt(x)
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(3), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')


Komennot piirtävät kuvan funktiosta \( f(x)= (x-1)^2 \sqrt{x} \) sinisellä ja sen derivaatasta punaisella. Matlabin piirtokomennot voivat kuitenkin joskus käyttäytyä vähän toisin kuin olettaisi. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion ja derivaatan kuvaajat leikkaavat, vaikka niiden ei pitäisi leikata.
- Funktion ja derivaatan kuvaajat eivät leikkaa, vaikka niiden pitäisi leikata.
- Funktion kuvaajassa on hyppäysepäjatkuvuus, jota siellä ei pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaajaa on piirretty myös alueelle, jossa derivaatta ei ole määritelty.
- Funktio ja sen derivaatta ovat täysin oikein piirrettyjä.
A: Derivaatan kuvaajaa on piirretty myös alueelle, jossa derivaatta ei ole määritelty.

Q: Aikaisempien viikkojen Matlab-tehtävissä tuotit itse tiedoston Matlabin Live Editorilla, mutta nyt sinun on tarkoitus tulkita useammassa kysymyksessä annettuja Matlab-koodeja tai niiden tuottamia tuloksia ja valita oikea vastausvaihtoehto. Sinun pitäisi myös tuntea luentoviikolla käsiteltyjä termejä ja teoriaa, jotta voit päätellä, mitä jollakin kaavalla laskettu tulos käsittelee. Toisin kuin sähköisissä tehtävissä, näihin kysymyksiin voi yrittää vastata vain kerran.

Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot joko suoraan komentoikkunaan tai Live Editoriin. Kopiointi-/liimaustoimintojen käytön pitäisi myös onnistua.

syms x h
f=x^3+x^2+x+1
m=(subs(f,x,x+h)-f)/h
f1=limit(m,h,0)


Mitä yllä oleva koodi tekee? (valitse yksi vaihtoehto)
- Piirtää kuvan.
- Laskee integraalin.
- Laskee derivaatan.
- Etsii funktion minimiarvon.
- Etsii funktion maksimiarvon.
A: Laskee derivaatan.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all, close all
syms x
int(sin(x)/x,x)
int(1/log(x),x)
int(exp(x)/x,x)


Luentomonisteessa oli mainittu, että mm. funktioilla \( \displaystyle{\frac{\sin{x}}{x}}\), \( \displaystyle{\frac{1}{\ln{x}}}\) ja \( \displaystyle{\frac{e^{x}}{x}}\) ei ole esitystä äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Kuitenkin kyseisiä integraaleja tarvitaan tietyissä tilanteissa, josta syystä Matlabissa on niille erilliset nimet. Valitse alla jokaiselle kolmelle oikea tulos.

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sineint(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x)\(\:\); li(x)\(\,\); logint(x)\(\,\); lint(x)
Gap 3 offers: exint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\); expint(x)\(\:\); eint(x)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
X = -5:.06:5;
F = subs(f,x,X);
G = subs(g,x,X);
figure(4), plot(X, F, 'b', X, G, 'r')


Vaihdetaan edelliseen tehtävään neliöjuuren tilalle kolmas juuri, ts. \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \). Funktio on piirretty sinisellä ja sen derivaatta punaisella. Vain yksi seuraavista väitteistä tosi. Mikä niistä?
- Funktio ja sen derivaatta ovat täysin oikein piirrettyjä.
- Funktion kuvaaja ei ole jatkuva origossa, vaikka sen pitäisi olla.
- Funktion kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaaja ei ole jatkuva origossa, vaikka sen pitäisi olla.
- Derivaatan kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.
A: Derivaatan kuvaaja on jatkuva origossa, vaikka sen ei pitäisi olla.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
Xf = -3:.01:3;
Xg = .01:.01:3;
F = subs(f,x,Xf);
G1 = subs(g,x,Xg);
G2 = subs(g,x,-Xg);
figure(5), plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')
grid on


Muodostetaan edellisen tehtävän piirtopisteet tiheämmin ja vain välillä [-3,3]. Derivaatan kuvaa varten on myös otettu positiivisen ja negatiivisen osan pisteet erikseen, jolloin kuvassa näkyy nyt paremmin, ettei funktio ole derivoituva origossa. Valitse TASAN KAKSI vaihtoehtoa, joiden perusteella nähdään, että funktio ei ole derivoituva.
- Funktio on jatkuva kaikkialla, mutta sillä on origossa kärki.
- Funktiolla on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama)
- Derivaatalla on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama)
- Derivaatalla ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio on jatkuva kaikkialla, mutta sillä on origossa kärki.; Derivaatalla ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)
g = diff(f,x)
figure(6), fplot(f,[-3,3])
hold on, grid on
fplot(g,[-3,3])
hold off


Piirretään sama kuva kuin äsken, mutta toisella piirtokomennolla. Se muodostaa itse piirtopisteensä. Toinen ero on, että yhdellä komennolla voi piirtää vain yhden kuvaajan. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion ja derivaatan kuvaajat on piirretty täysin oikein välillä [-3,3].
- Funktio on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.
- Derivaatta ei ole määritelty välillä [-3,0), mutta se on piirretty siellä.
- Derivaatan nollakohdat eivät ole samoilla kohtaa kuin funktion lokaalit ääriarvopisteet.
- Derivaatalla ei ole nollakohtia.
A: Funktio on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot. Kopiointi-/liimaustoimintojen käytön pitäisi myös onnistua.

clear all, close all
syms x
f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2
df2(x)=diff(f,x,2)
p=solve(df2,x)
ezplot(f,[-2,4])
hold on
plot(p,f(p),'r*')


Yllä on laskettu funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1\)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all, close all
syms x
f=@(x)-exp(-x^2+2*x+2)*x^2
df2=@(x)diff(f,x,2)
p=solve(df2,x)
fplot(f,[-2,4])
hold on
plot(p,f(p),'r*')


Yllä on sama koodi kuin edellisessä kysymyksessä, mutta funktio \(f\) ja sen toinen derivaatta on annettu Matlabin ns. funktiokahvana (\(\mathtt{f=@(x)...}\)), joka on ohjelmallisesti eri tietorakenne kuin edellisen kysymyksen symbolinen funktio -rakenne (\(\mathtt{f(x)=...}\)). Nyt yksi myöhemmistä komennoista ei toimi, vaan tulostaa pelkän virheilmoituksen. Mikä komento?

Huom. Jos kirjoitat käsin etkä käytä kopioi-liimaa -toimintoja, varmistu ennen vastaamista siitä, että olet kirjoittanut komennot Matlabiin täysin samanlaisina.
- Komento \(\mathtt{fplot}\) ei piirrä kuvaajaa, koska \(f\) on annettu funktiokahvana.
- Komento \(\mathtt{plot}\) ei piirrä käännepisteitä, koska funktiokahvana annettu \(f\) ei osaa käsitellä vektoriarvoista syötettä p.
- Komento \(\mathtt{diff}\) ei laske derivaattaa, koska funktiokahvana annettu funktio pitäisi syöttää siihen muodossa \(\mathtt{f(x)}\) eikä vain \(\mathtt{f}\).
- Komento \(\mathtt{solve}\) ei ratkaise nollakohtia, koska funktiokahvana annettu toinen derivaatta pitäisi syöttää siihen muodossa \(\mathtt{df2(x)}\) eikä vain \(\mathtt{df2}\).
- Komento \(\mathtt{hold}\) ei toimi funktiokahvana annetun funktion kuvaajan piirtämisen jälkeen, jolloin funktion kuvaaja pyyhkiytyy pois ennen käännepisteiden piirtämistä.
A: Komento \(\mathtt{plot}\) ei piirrä käännepisteitä, koska funktiokahvana annettu \(f\) ei osaa käsitellä vektoriarvoista syötettä p.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
int(sqrt(1+x^5),x)


Matlabiin on ohjelmoitu edellisessä kysymyksessä esiintyneiden lisäksi monia muita funktioita, joilla on erikoisnimet, ja joita saattaa saada integroinnin tuloksena. Mikä on funktion \( \sqrt{1+x^5} \) integraalin esityksessä esiintyvä funktionimi?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa, mutta kysymyksen vastaus näkyy paremmin komentoikkunassa ajettaessa.
- \(\mathtt{gamma}\)
- \(\mathtt{erf}\)
- \(\mathtt{beta}\)
- \(\mathtt{psi}\)
- \(\mathtt{hypergeom}\)
A: \(\mathtt{hypergeom}\)

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

syms x
int(sqrt(1+x^3-x^5),x)


Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa.
- Sen komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Tyhjän rivin.
- Not computable.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Sen komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all
syms x
f(x)=x/(x+3)/(x-1)/(x^2+1)
F(x)=int(f,x)
pretty(F)      % helpottaa vastauksen lukemista komentoikkunassa, mutta ei Live Editorissa


Vaikka Matlabilla laskettaessa ei komentojen syöttäjän aina tarvitse välttämättä tietää, miten Matlab laskun suorittaa, joskus saattaa tulla vastaan tilanne, jossa annettu muoto integrandista ei ole paras mahdollinen. Mitä erikoista esiintyy yllä laskettavan integraalin vastauksessa?
- Vastaus sisältää Besselin funktion (\(\mathtt{besselj}\)).
- Matlab ei osaa laskea vastausta.
- Vastauksen muuttujana ei ole \(x\).
- Vastaus sisältää imaginääriyksikön.
- Vastaus on kokonaisluku.
A: Vastaus sisältää imaginääriyksikön.

Q: Kirjoita Matlabissa seuraavat komennot.

clear all
syms x
f(x)=x/(x+3)/(x-1)/(x^2+1)
g(x)=partfrac(f,x)
G(x)=int(g,x)
pretty(G)      % helpottaa vastauksen lukemista komentoikkunassa, mutta ei Live Editorissa


Lasketaan edellinen integraali tekemällä integrandista ensin ns. osamurtokehitelmä (käsitellään kurssilla Insinöörimatematiikka X3) komennolla \( \mathtt{partfrac}\). Vastaus näyttää nyt toisenlaiselta kuin edellisen kysymyksen yhteydessä. Mikä on tässä vastauksessa esiintyvän arkustangentin (=\( \mathtt{atan(x)}\)) kerroin?
- \(\displaystyle{\frac{1}{8}}\)
- \(\displaystyle{\frac{3}{40}}\)
- \(\displaystyle{\frac{1}{10}}\)
- \(\displaystyle{\frac{1}{20}}\)
- \(\displaystyle{\frac{19}{40}}\)
A: \(\displaystyle{\frac{1}{10}}\)

Luvulla \(z\) on 4 kpl neljänsiä juuria. Eräs niistä on \(w_0 = [value]\). Määritä loput kolme neljättä juurta sekä luku \(z\). Esitä juuret ja luku \(z\) muodossa \(a + [value]b\), ja anna ensimmäisessä kysymyksessä vastauksena kolmen muun juuren joukko, ts. juuret aaltosulkeiden sisällä: \(\{a_1 + [value]b_1, a_2 + [value]b_2, a_3 + [value]b_3\}\).

Luvun \(z\) muiden neljänsien juurten muodostama joukko on

Luku \(z = \)
Feedback: Mallivastaus: Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \] Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\).

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Esimerkiksi luku \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

\( \textbf{(a)} \quad z_1 \cdot z_2 = \) , \( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \) , \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

\( \textbf{(c)} \quad z_1^2 = \) , \( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Määrää kompleksiluvun \(z=\displaystyle{\frac{[value]}{[value]}}\)

moduli (eli itseisarvo) ja argumentti. Luvun \(x\) neliöjuuren voit syöttää muodossa sqrt(\(x\)) ja luvun \(\pi\) voit syöttää kirjottamalla pi. Imaginaariyksikkö on i.

\(|z|=\) ja \(\arg z=\)\(+n2\pi, \ n\in\mathbb{Z}\).
Feedback: Ratkaisu: Koska osamäärän itseisarvo on itseisarvojen osamäärä, \(|z|=\frac{|[value]|}{|[value]|}=\frac{\sqrt{([value])^2+([value])^2}}{\sqrt{([value])^2+([value])^2}}=\frac{[value]}{[value]}=[value]\). Koska kahden kompleksiluvun osamäärän argumentti on näiden lukujen argumenttien erotus, \(\arg z = \arg([value])-\arg([value])+n2\pi=[value]-[value]+n2\pi=[value]+n2\pi\).

Q: Olkoon \(f\) sellainen funktio, että \[\qquad f(0) = [value], \quad f(1) = [value], \quad f(2) = [value], \quad f(3) = [value], \] ja olkoon \(g\) sellainen funktio, että \[\qquad g(0) = [value], \quad g(1) = [value], \quad g(2) = [value], \quad g(3) = [value]. \] Lisäksi määritellään yhdistetyt funktiot \[\qquad h = f \circ g \mbox{ ja } k = g \circ f. \]

Täytä oikeat vastaukset.
1) \(h([value]) =\)
2) \(k([value]) =\)
3) \(f^{-1}([value]) =\)
4) \(g([value])^{-1} =\)
5) Jos \(h(x) = [value]\), niin \(x = \)
6) \(h^{-1}([value]) =\)
Feedback: Mallivastaus: 1) Funktion \(h\) arvo \(h(x) = f(g(x))\), joten \[ h([value]) = f(g([value])) = f([value]) = [value]. \] 2) Funktion \(k\) arvo \(k(x) = g(f(x)) \), joten \[ k([value]) = g(f([value])) = g([value]) = [value]. \] 3) Merkintä \(f^{-1}\) tarkoittaa funktion \(f\) käänteisfunktiota, eli jos \(f(x) = [value]\), niin silloin \(x = [value] \), joten \(f^{-1}([value]) = [value]\). 4) Merkintä \(g([value])^{-1}\) tarkoittaa funktion arvon \(g([value])\) käänteislukua, joten \[ g([value])^{-1} = \frac{1}{g([value])} = [value]. \] 5) Jos \(h(x) = [value]\), niin funktion \(h\) määritelmän mukaan \[ [value] = h(x) = f(g(x)). \] Koska \(f([value]) = [value]\), niin täytyy olla \(g(x) = [value]\), ja siten \(x = [value]\). 6) Merkintä \(h^{-1}([value])\) tarkoittaa samaa, kuin mitä edellisessä kohdassa kysyttiin, joten \(h^{-1}([value]) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske määrätyt integraalit
\( \textbf{(a)} \; \displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)
\( \textbf{(b)} \; \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)
\( \textbf{(c)} \; \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) \( \textbf{(b)} \) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) \( \textbf{(c)} \) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Q: Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Ratkaise yhtälö \( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \). Jos ratkaisuja on useita, anna vastaukseksi niistä suurin. Millaisen toisen asteen yhtälön saat välivaiheena, kun teet sijoituksen \( e^x = t \)?

Anna tämä välivaihe muodossa \( f(t) = 0 \).

\( [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value] \)

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Tehdään sijoitus \( e^x = t \).

Näin saadaan yhtälö:

\( \Leftrightarrow \ldots \)

Yhtälön ratkaisu on \(x=\) .
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \quad & [value]\cosh(x)+[value]\sinh(x)=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+ [value] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= [value]\\ \Rightarrow & \quad [value] (e^{x}+e^{-x})+ [value] (e^{x}-e^{-x}) = [value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}+[value]e^{-x}=[value]\\ \Rightarrow & \quad [value]e^{x}-[value]+[value]e^{-x}=0\\ & \mathrm{kerrotaan} \ e^x\mathrm{:llä}\\ \Rightarrow & \quad [value](e^{x})^2-[value]e^x+[value]=0\\ & \mathrm{merkitään} \ t=e^x\\ \Rightarrow & \quad [value]t^2-[value]t+[value]=0\\ \Rightarrow & \quad t=\dfrac{[value]\pm\sqrt{[value]-4\cdot[value]\cdot[value]}}{2\cdot[value]}. \end{align*}\) Plusmiinusmerkistä valitaan vain plus-osuus, koska halutaan (mahdollisesta) kahdesta tuloksesta suurempi. Tällöin \( t=\dfrac{[value]+\sqrt{[value]}}{[value]}=\large[value]=e^x\), joten \(x=\ln([value])\).

Päättele ilman laskinta.

Muista käyttää kaikissa tuloissa tähteä ( * ) kertolaskuoperaattorina. Jakolaskun saat vinoviivamerkillä ( / ). Neliöjuuren saat komennolla sqrt(x). Esimerkiksi luku \( \sqrt9 \) kirjoitetaan sqrt(9). Luku \( \pi \) kirjoitetaan muodossa pi.

Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( \textbf{(a)} \quad \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \)

\( \textbf{(d)} \quad \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \sin \left( \dfrac{[value]}{4} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(b)} \quad \) Yksikköympyrän avulla havaitaan, että \( \cos \left( \dfrac{[value]}{6} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arcsin \left( \dfrac{[value]}{2} \right) = \large [value]. \) \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla saadaan \( \arccos \left( \dfrac{[value]}{\sqrt2} \right) = \large [value]. \)

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= [value]\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä seuraavat arvot kaavojen avulla (älä käytä laskinta).

Anna jokaiseen kysymykseen jokin arvo vastaukseksi ennen vastauksen lukitsemista. Neliöjuuret, esim. \(\sqrt{2}\) annetaan muodossa sqrt(2).

(a) \( \cos (\theta) = \)

(b) \( \tan (\theta) = \)

(c) \( \cos (2\theta) = \)

(d) \( \sin (2\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( [value] \right) ^2 } = \pm \large[value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \cos \theta= \displaystyle[value]\qquad\) ja \( \qquad \tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos\theta}=\dfrac{[value]}{[value]}=\large [value].\) Kaksinkertaiset kulmat saadaan kaavoilla \(\cos(2\theta)=\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta=\large[value]-\large[value]=\large[value],\) \(\sin(2\theta)=2\sin \theta \cos \theta=2\cdot\large[value]\left(\large[value]\right)=\large[value].\)

Q: Kirjoita ruutuun \(1\), jos väite on tosi ja \(0\), jos se on epätosi.

1) \([value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q}\)
2) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q} \)
3) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{N} \)
4) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
5) \( \forall A,B,C: (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C \)
6) \( \forall A,B,C: (A \subseteq C) \Rightarrow (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \)
Feedback: Mallivastaus: 1) \( [value] \) on rationaaliluku, joten ensimmäinen väite on epätosi. 2) \( [value] \) on rationaaliluku, joten toinen väite on epätosi. 3) \( [value] \) ei ole luonnollinen luku, joten kolmas väite on epätosi. 4) Luonnollisten lukujen joukko on reaalilukujen (aito) osajoukko, joten väite on tosi. 5) Koska ehdon \( A \subseteq B\) perusteella jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(B\) alkio ja ehdon \( B \subseteq C\) perusteella jokainen joukon \(B\) alkio on joukon \(C\) alkio, niin jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(C\) alkio eli \(A \subseteq C\), eli viides väite on tosi. (osajoukkorelaation transitiivisuus) 6) Kuudes väite on epätosi, sillä esimerkiksi joukkojen \(A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{1,2\} \) tapauksessa \(A \subseteq C\) ja \(B \subseteq C\), mutta \(A \subsetneq B\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Tämän tehtävän vastauksessa saattaa esiintyä neliöjuuria. Syöttöesimerkki: \(5\sqrt{8} = 5*\mathtt{sqrt(8)}\).

Jatkuvan funktion \(f\) keskiarvoksi välillä \(I = [a,b]\) sanotaan lukua
\( \displaystyle \qquad f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \).

Olkoon
\( \displaystyle \qquad f(x) = [value] \).

Funktion \(f\) keskiarvo välillä \(I = [[value], [value]]\) on .
Se saavutetaan kohdassa \(c = \) .
Feedback: Mallivastaus: Keskiarvon määritelmän mukaisesti saadaan laskettua \( \begin{align*} \qquad f(c) & = \displaystyle{ \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x} = \displaystyle{ [value]\int_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x } \\ & = \displaystyle{ [value] {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right)} = \displaystyle{[value] }. \end{align*} \) Keskiarvon kohta \(c\) saadaan ratkaistua yhtälöstä \( \qquad \displaystyle f(c) = [value] = [value] \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{c^2} = [value]\left([value] - [value] \right) = [value]. \) Siis \(c^2 = [value] \) eli \(c = \pm [value] \). Näistä kahdesta kuitenkin vain \([value] \in [[value], [value]] \), joten keskiarvon kohta on \(c = [value] \).

Q: Valitse oikea vaihtoehto a- ja b-kohdan väittämille.
\( \textbf{(a)} \) Funktio \(F(x) = [value] \) on funktion \( f(x) = [value] \) integraalifunktio.
\( \textbf{(b)} \) Funktio \(G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\( \textbf{(c)} \) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( H(x) = [value] \) on funktion \( h(x) = [value] \) integraalifunktio.
\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Laskemalla \( F'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(F(x)\) on ei ole funktion \(f(x) \) integraalifunktio. \( \textbf{(b)} \) Laskemalla \( G'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(G(x)\) ei ole funktion \(g(x) \) integraalifunktio. \( \textbf{(c)} \) Laskemalla \( H'(x) = [value] \) nähdään, että funktio \(H(x)\) on funktion \(h(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun \( [value] = [value]\) ja \( [value] = 0 \), mistä saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Alla on viisi väitettä. Ovatko ne tosia vai ei?

1. Funktion \(f:f(x)=[value]\) jakoon \(D=[value]\) liittyvä yläsumma
\(\displaystyle \qquad S_D=\frac{\pi}{[value]}([value])\).
2. \(\displaystyle \int_0^1[value]\,\mathrm{d}x = \int_0^1 [value]\,\mathrm{d}t\).
3. Jos funktion \(f\) kuvaaja kulkee pisteiden \((0,0)\) ja \((1,1)\) kautta ja \(f'\) on jatkuva, niin
\( \qquad \displaystyle \int_0^1 f'(x)\,\mathrm{d}x=1\).
4. \(\displaystyle \int [value] \,\mathrm{d}x = \frac{1}{[value]} [value] + C.\)
5. \(\displaystyle \int_1^2 [value] \,\mathrm{d}x = \int_1^3 [value] \,\mathrm{d}x+\int_3^2 [value] \,\mathrm{d}x.\)
Feedback: Vastaukset: 1. Tosi - Tangenttifunktio on aidosti kasvava ja välin suurin arvo saavutetaan aina välin päätepisteessä. Näin ollen kyseiseen jakoon liittyvä yläsumma on \( \qquad \displaystyle S_D = \tan\left([value]\right)\left([value] - 0\right) + \tan\left([value]\right)\left([value] - [value]\right) = \frac{\pi}{[value]}([value]) \) 2. Tosi - Integrointimuuttujan nimi ei vaikuta integraalin arvoon. 3. Tosi - \( \displaystyle \int_0^1 f'(x)\,\mathrm{d}x = f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1. \) 4. Epätosi - Selvästi nähdään, että \(\qquad \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{[value]}[value]\right) \neq [value] \). 5. Tosi - Mille tahansa vakioille \(a,b,c\) ja integroituvalle funktiolle \(f\) on voimassa \( \qquad \displaystyle \int_a^c f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \, \mathrm{d}x. \) Tässä yhteydessä \(a = 1, b = 3, c = 2\) ja \(f(x) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

b) Milloin \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla ajanhetkellä \(t=[value]\, s\).

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Q: Tässä tehtävässä tarvitaan laskin likiarvojen määrittämiseen.
Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), jos funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(x = r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono
\( \displaystyle \qquad x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\)
jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono suppenee kohti haluttua juurta eli \( \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=r\).

Ideana menetelmässä on, että \(x_{n+1}\) on käyrän pisteeseen \( \big(x_n, f(x_n) \big) \) asetetun tangenttisuoran ja \(x\)-akselin leikkauskohta. Se avulla approksimoidaan \(x\)-koordinaattia sille pisteelle, jossa funktion kuvaaja leikkaa \(x\)-akselin. Kun \(x_{n+1}\) ja \(x_n\) ovat lähes samat, niin \(f(x_n) \approx 0\).

Sovella Newtonin menetelmää yhtälöön \[ [value]=0\] ja laske rekursiivisesti (anna edellisellä kierroksella saatu vastaus syötteeksi seuraavalle kierrokselle) neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Aloita arvauksella \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \( \qquad \displaystyle f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = [value] = [value] \) Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f(x)\): \[\qquad \begin{array}{rll} x_{n+1} & = &\displaystyle x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = &\displaystyle x_n - \frac{[value]}{[value]} \end{array}\] Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ \qquad x_1 = x_0 -\frac{[value]}{[value]} = ([value]) - \frac{[value]}{[value]}= [value] \approx [value] \] \[\qquad \begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_1 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_2 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_3 -\frac{[value]}{[value]} & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Jaa a-kohdan jakojäännös \(\displaystyle [value] \) osamurtoihin.

Huom. Älä kirjoita vastaukseksi pelkkää osamurtokehitelmän yritettä vaan kokonaan ratkaistu kehitelmä.

\(\displaystyle [value] = \) \(+\) .

(c) Integroi osamurtokehitelmän avulla. Itseisarvo merkitään \( |x|=\text{abs}(x) \).

\( \displaystyle [value] = \) \( +C \),

missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Jaettaessa jakojäännöstä tekijöihin lasketaan ensiksi nimittäjän nollakohdat, jotka ovat \(x = [value]\) ja \(x = [value] \), ja siten nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin \( [value] = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis muotoa \( \displaystyle [value] = \frac{A}{[value]} + \frac{B}{[value]} \). Laventamalla oikean puolen termit saman nimisiksi saadaan \( \displaystyle [value] = \frac{A([value]) + B([value])}{[value]} \) mistä saadaan \(A\):lle ja \(B\):lle yhtälöpari \( \begin{cases} (A + B)x = [value]x, \\ [value] = [value] \end{cases} \), jonka ratkaisuna saadaa \(A = [value] \) ja \( B = [value] \). Jakojäännöksen osamurtokehitelmä on siis \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). (c) Käyttämällä a- ja b-kohtien tuloksia saadaan \( \begin{split} [value] & = \int [value] + [value] \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Q: Määritellään Funktio \(f\) paloittain

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Määritä sellainen kolmannen asteen polynomi \(p(x)\), että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva. Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f\) että \(f'\) ovat jatkuvia funktioita.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_0=~\)

\(a_1=~\)

\(a_2=~\)

\(a_3=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \[ \qquad \begin{cases} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0 =f(1) \\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0= f(-1) \\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1=f'(1) \\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1= f'(-1) \end{cases}, \] jonka ratkaisuna saadaan \[ \qquad \begin{cases} a_3 = [value] \\ a_2 = [value] \\ a_1 = [value] \\ a_0 = [value] \end{cases} \]
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

\( \textbf{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat.}\)

\(\textbf{Vastauksissa kertolaskuihin on laitettava aina kertomerkit.}\)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i \) tarkoittaa summaa \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan yhtälön pätevän arvolla \( n = 1\).
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{1}}2i =\)
ja oikea puoli on , joten väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) Oletetaan, että jollekin \( n = k \) pätee
\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i =\) .

\( \textbf{Induktioaskel}: \) On todistettava, että pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = \) .

Todistetaan se seuraavasti:

\( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = \) \( + \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan yhtälön pätevän arvolla \( n = 1\). Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{1}}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) Oletetaan, että jollekin \( n = k \) pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioaskel}: \) On todistettava, että pätee \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). Todistetaan se seuraavasti: Otetaan summan viimeinen eli \((k+1).\) termi ulos summalausekkeesta: \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Jäljellä olevaan summaan käytetään induktio-oletusta \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = k(k+1) \), jolloin saadaan \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{k+1}}2i = 2(k+1) + \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Sievennä:

\( \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} \quad = \quad\)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} \quad = \quad \)

\( \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad \left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^{[value]/3} &= \left( \frac{\sqrt[3] [value]}{\sqrt[3] [value]} \right)^[value] = \left( \frac{[value]}{[value]} \right)^[value] \\ &= \frac{[value]^[value]}{[value]^[value]} = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \dfrac{[value]a^[value]}{(a^[value]\sqrt{a})^[value]} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]\cdot [value]}} = \dfrac{[value]a^[value]}{a^{[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]-[value]}} = \dfrac{[value]}{a^{[value]}}. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad \dfrac{2^{[value]}[value]^{[value]}}{[value]^{[value]}} &= \dfrac{2^{[value]}2^{[value]([value])}}{2^{[value]([value])}} = \dfrac{2^{[value]+[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} = \dfrac{2^{[value]x+[value]}}{2^{[value]x+[value]}} \\ \\ &= 2^{[value]x+[value]-[value]x-[value]} =2^{[value]} = [value]. \end{align} \)

Laske seuraavien funktioiden toiset derivaatat. Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f(x)=[value] \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g(x)=[value] \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h(x)=[value] \)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f''(x) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g''(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h''(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska \( f'(x) = [value]\), niin \( f''(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \) Käytetään ketjusääntöä. Merkitään \( (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = [value]\), missä \( f_1(x) = x^2 \) ja \( g_1(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) &= D(f_1 \circ g_1)(x) = D(f_1(g_1(x)) = f_1'(g(x))g_1'(x) \\ & = 2[value] \cdot ([value]) \end{align} \] Toinen derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä \[ \begin{align} g''(x) &= D([value][value][value]) = [value]([value][value] + [value]([value])) \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( f_2(x) = [value]\) ja \( g_2(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} h'(x) & = \dfrac{f_2'(x)g_2(x)-f_2(x)g_2'(x)}{(g_2(x))^2} = \dfrac{[value] \cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] Huomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ h''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]

Q: Olkoon perusjoukko \(X = \{1,2,3,\ldots,10\}\) ja joukot \( A = [value] \), \( B = [value] \), \( C = [value] \) ja \(D = [value]\).

Esitä alla olevat joukot kuten yllä luettelemalla niiden alkiot aaltosulkujen sisällä ja pilkuilla eroteltuna. Tyhjä joukko on {}.

\( A \cap B =\)
\( (B \cup C) \cap D =\)
\( B \cap C \cap A =\)
\( (A \cup B)^c =\)
\( (B \setminus D) \cup (D \setminus B) =\)
Feedback: Mallivastaus: \( A \cap B = [value] \). \( (B \cup C ) \cap D = [value] \). \( B \cap C \cap A= [value] \). \( ( A \cup B )^c = [value]\). \( (B \setminus D) \cup ( D \setminus B ) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tulossa kertolaskuoperaattorina tähteä (*). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa \( \text{exp(a*x)} \) tai \( \text{e}\)^\(\text{(a*x)} \).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f'(x) = \) ja \( g(x) = \)

\( f(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Q: Täydennä totuustaulu.

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \rightarrow (r \wedge \neg q)\) | \(\neg q \vee (r \leftrightarrow p)\) | \((q \vee \neg r) \rightarrow p\)
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \rightarrow (r \wedge \neg q)\) | \(\neg q \vee (r \leftrightarrow p)\) | \((q \vee \neg r) \rightarrow p\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Pallon halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske pallon tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{dr}\cdot\Delta r = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Pallon tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).