Title: IMP-tentti

Olkoon \(f(x)=e^{[value]x}\) ja \(M_f=[1,\infty)\) ja olkoon \(g(x)=\ln(x+[value])\) ja \(M_g=[[value],\infty) \).

Ohjeita vastausten kirjoittamiseen: Muista laittaa kertomerkki kaikkiin kohtiin, joissa kerrotaan. Jakoviiva on /, eksponenttifunktio \(e^x\) on joko \(\mathtt{e}\)^\(\mathtt{x}\) tai \(\mathtt{exp(x)}\), luonnollinen logaritmi \(\ln{x}\) on joko \(\mathtt{ln(x)}\) tai \(\mathtt{log(x)}\). Muista käyttää sulkuja ja huomaa erityisesti, että \(\mathtt{e}\)^\(\mathtt{k\!*\!x}=e^k x\). Määrittelyjoukoista kirjoitetaan vain välin alkupiste.

(a) Määritä funktion \(f^{-1}\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{f^{-1}}\) ottaen huomioon funktion \(f\) määrittelyjoukon \(M_f\). Käytä lausekkeessa muuttujaa \(x\).

\(f^{-1}(x)=\) ,
\(M_{f^{-1}}=[\) ,\(\infty ) \)

(b) Määritä funktion \(f\circ g\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{f\circ g}\) ottaen huomioon funktioiden \(f\) ja \(g\) määrittelyjoukot \(M_f\) ja \(M_g\). Kirjoita kohdan (b) lauseke sellaiseen muotoon, jossa ei esiinny logaritmia. Siis merkkijonot \(\mathtt{log}\) ja \(\mathtt{ln}\) ovat vastauksessa kiellettyjä.

\((f\circ g)(x)=\) ,
\(M_{f\circ g}=[\) ,\(\infty )\)

(c) Määritä funktion \(g\circ f\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{g\circ f}\) ottaen huomioon funktioiden \(f\) ja \(g\) määrittelyjoukot \(M_f\) ja \(M_g\).

\((g\circ f)(x)=\) ,
\(M_{g\circ f}=[\) ,\(\infty )\)

Paraabeli kulkee pisteen \((x,y)=([value],[value])\) kautta ja sen pisteeseen \((x,y)=([value],[value])\) piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin on \([value]\).

(a) Paraabeli on sen funktion

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

kuvaaja, jossa

\(a=\)

\(b=\)

\(c=\)

(b) Mikä on funktion \(f(x)\) kriittinen piste?

\(x_0=\) .

Mikä on tässä kriittisessä pisteessä saatava ääriarvo?

\(f(x_0)=\)

Oletetaan, että seuraava yhtälö pätee.

\[[value]e^{[value]x}+[value]e^{[value]y}=[value]e^{[value]x+[value]y}.\]

(a) Ratkaise \(y\) tästä yhtälöstä muuttujan \(x\) funktiona eli muodossa \(y=f(x)\).

(b) Laske edellisen kohdan vastaukselle derivaatta \(\frac{\partial}{\partial x}y\).

Kirjoita ratkaisu välivaiheineen vastaustiedostoon, jonka palautat alempana olevaan tiedostonpalautuskohtaan pdf-muodossa.

Huom. Satunnaistettua tehtävää ei Moodlessa voi tehdä ilman vastauskohtaa, joten se on tässä: . Ei tarvitse vastata mitään eikä painaa vastauksen lukitusnappia. Palautustiedosto välivaiheineen pisteytetään.

Määritellään funktio \(f(x)\) niin, että se on erotus niistä funktioista, joista ensimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\) ja jälkimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\). Määritä funktion \(f(x)\) integraali välillä \([[value],[value]]\).

Vastaus:

Sen lisäksi, että annat lopullisen vastauksen yllä olevaan vastausruutuun, kirjoita ratkaisu välivaiheineen vastaustiedostoon, jonka palautat alempana olevaan tiedostonpalautuskohtaan pdf-muodossa.

Palauta tähän yllä olevan tehtävän vastaus pdf-muodossa. Jos pdf-tiedosto sisältää useamman palautettavan tehtävän vastauksen, palauta sama tiedosto jokaisen kysymyksen kohtaan erikseen.

Palautetun tehtävän pitää olla itse kirjoitettuja joko käsin tai ohjelmallisesti, esim. Matlabin Live Editorilla (käytössä myös Matlab Onlinessa). Jos myöhemmässä tarkastuksessa havaitaan useammalla opiskelijalla palautettuna esim. valokuva täsmälleen samasta paperista, kukaan kyseisen kuvan lähettäneistä ei saa pisteitä tästä tehtävästä.

Palauttaa voi tarvittaessa useamman tiedoston. Esimerkiksi jos palautettuasi huomaat, että tiedosto ei avaudukaan, voit kokeilla palautusta uudestaan.

(a) Arvioi lukua \(\sqrt[4]{[value]}\) (huomaa neljäs juuri) lineaarisella approksimaatiolla

\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\)

missä \(a\) on luvun \([value]\) läheisyydessä sijaitseva luku, jolle neljäs juuri on laskettavissa tarkkana arvona ilman laskinta.

Voit antaa vastauksen tarkkana murtolukuna, ei sekalukuna. Myös desimaalilukuvastaus sallitaan pyöristettynä viiteen desimaaliin. Desimaalierotin on piste, ei pilkku. Vastaukseen ei ole tarkoitus kirjoittaa muuttujia, vaan pelkkä (sievennetty) lukuarvo.

Lineaarisen approksimaation mukaan

\(\sqrt[4]{[value]} \approx \)

(b) Laske kohdan (a) approksimaatiossa esiintyvä suhteellinen virhe.

Anna vastaus prosentteina kolmen desimaalin tarkkuudella. Desimaalierotin on piste, ei pilkku. Älä kirjoita prosenttimerkkiä, se on jo kirjoitettu vastauslaatikon perään. Esim. jos suhteellinen virhe on \(0.7777777\), niin syötettävä vastaus prosentteina kolmen desimaatin tarkkuudella olisi \(\mathtt{77.778}\).

Suhteellinen virhe on %.

Kokonaislukua \(a\) sanotaan jaolliseksi kokonaisluvulla \(b\), jos \(a=bc\), missä \(c\) on kokonaisluku.

Todista induktiolla, että kaikille \(n\in \mathbb{N}\) pätee, että \( [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\).

Kirjoita induktiotodistus vastaustiedostoon, jonka palautat alempana olevaan tiedostonpalautuskohtaan pdf-muodossa.

Huom. Satunnaistettua tehtävää ei Moodlessa voi tehdä ilman vastauskohtaa, joten se on tässä: . Ei tarvitse vastata mitään eikä painaa vastauksen lukitusnappia. Palautustiedosto välivaiheineen pisteytetään.

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} \displaystyle{[value]}, &\text{ kun }x< [value],\\ ax^2-bx+ -[value], &\text{ kun }[value]\leq x\leq [value],\\ [value]x-a+b, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä vakioiden \(a\in\mathbb{R}\) ja \(b\in\mathbb{R}\) arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

Jos vastaus ei ole kokonaisluku, esitä se murtolukuna, älä käytä desimaalilukuja tai sekalukuja.

\(a\) | \( \, = \ \)
\(b\) | \( \, = \ \)