Title: Kuvaukset

Q: Määritellään funktio \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), jolle

\( h(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
      2-x, & \text{jos } x <2 \\
      \frac{1}{2}x+1, & \text{jos } x \geq 2. \\
\end{array}
\right. \)


Ohessa on funktion \(h\) kuvaaja.

[Image]

Olkoon \(V=[1,4]\). Mikä seuraavista joukoista on \(hV\) funktion \(h\) kuvaajan perusteella?

[...]
A: \(]0,1] \cup [2,3]\)
Gap 1 offers: \(]0,1] \cup [2,3]\); \([0,1] \cup [2,3]\); \([1,3]\); \(]1,3]\); \([1,2] \cup ]2,3]\)
Feedback: [Image] Kuvaajan perusteella \(hV=]0,1] \cup [2,3]\). Huomaa, että ensimmäinen väleistä on puoliavoin, koska mikään luku ei kuvaudu nollalle.

Q: Merkitään \( X = \{0,1,2,3\} \). Määrittelevätkö seuraavat säännöt kuvauksia?

a) \(f \colon X \to X, f(n)=n^2+n · (-1)^{n+1} \)

Sääntö \(f\) [...]

b) \( g \colon X \to X, g(x)=3 \)

Sääntö \(g\) [...]

c) \( \sigma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \sigma(x)=\sqrt{x-3} \)

Sääntö \(\sigma\) [...]

d) \( \tau \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}, \tau \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{2a-b}{a^2+2b^2} \)

Sääntö \(\tau\) [...]
A: ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkioon 3 ainuttakaan maalijoukon alkiota.; on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota 1 yhteenkään maalijoukon alkioon.; ei ole kuvaus, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.
Gap 1 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioon 3 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkioon 3 ainuttakaan maalijoukon alkiota.
Gap 2 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioihin 0, 1 ja 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se liittää useamman lähtöjoukon alkion maalijoukon alkioon 3.
Gap 3 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioon -1 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota 1 yhteenkään maalijoukon alkioon.
Gap 4 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota √2 yhteenkään maalijoukon alkioon.; ei ole kuvaus, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.
Feedback: a) Koska \(f(3)=3^2+3\cdot(-1)^4=12 \notin X\), kyseessä ei ole kuvaus. b) Sääntö on kuvaus, vaikka se liittäisi kaikki lähtöjoukon alkiot yhteen ja samaan maalijoukon alkioon. c) Neliöjuurifunktio ei ole määritelty negatiivisille reaaliluvuille. Jos siis reaaliluvulle \(x\) pätee \(x-3<0\), eli \(x<3\), niin sääntö \(\sigma\) ei liitä kyseiseen \(x\) yhtään maalijoukon alkiota. d) Esimerkiksi \(\frac{1}{3}\) on sama rationaaliluku kuin \(\frac{2}{6}\), mutta \( \tau \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2-3}{1^2+2\cdot 3^2} = -\frac{1}{19} \) ja \( \tau \left( \frac{2}{6} \right) = \frac{4-6}{2^2+2\cdot 6^2} = -\frac{1}{38} \). Siispä \( \tau \) kuvaisi rationaaliluvun \(\frac{1}{3}\) (ainakin) kahdeksi eri luvuksi, minkä takia kyseessä ei ole kuvaus.

Q: Mitkä alla olevista koordinaatistoon piirretyistä kuvioista liittyvät johonkin kuvaukseen \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ja mitkä eivät? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Kuvio [...]

b)

[Image]

Kuvio [...]

c)

[Image]

Kuvio [...]
A: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.; ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota.
Gap 1 offers: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä kaikkiin välin [-1, 0] alkioihin lähtöjoukon alkiota.; ei liity kuvaukseen, koska se ei ole katkeamaton käyrä.
Gap 2 offers: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon lähtöjoukon alkion.
Gap 3 offers: ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota.; ei liity kuvaukseen, koska se ei ole katkeamaton käyrä.; liittyy kuvaukseen.
Feedback: a) Kuvio liittyy kuvaukseen. b) Kuvio ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion. c) Kuvio ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota. Tehtävän ratkaisussa voidaan käyttää apuna lähtöjoukon eri kohtiin piirrettyjä pystysuoria suoria: - Jos pystysuora suora leikkaa kuvion aina täsmälleen yhden kerran, kyseessä on kuvaus (ks. a-kohta). - Jos pystysuora suora leikkaa kuvion jossain kohdassa useammin kuin yhden kerran, kyseessä ei ole kuvaus, koska tällöin johonkin lähtöjoukon alkioon oltaisiin liittämässä useampia maalijoukon alkioita (ks. b-kohta). - Jos pystysuora suora ei leikkaa kuviota jossain kohdassa kertaakaan, kyseessä ei ole kuvaus, koska tällöin johonkin lähtöjoukon alkioon ei oltaisi liittämässä ainuttakaan maalijoukon alkiota (ks. c-kohta).

Q: Huom! Kurssin jälkimmäisessä periodissa ilmestyy joka viikko erikoisaluetehtäviä. Myös ne ovat tietokonetehtäviä, jotka löytyvät Moodle-alueelta. Erikoisaluetehtävien avulla opiskellaan oman valinnan mukaan joko kompleksilukuja tai  tietojenkäsittelytieteen matematiikkaa. Myös erikoisaluetehtävistä on saatava puolet pisteistä kurssin suorittamiseksi.

Tässä periodissa tutustutaan kuvauksiin. Kuvaukset ovat koulumatematiikasta tuttuja, joskin koulussa niitä kutsuttiin yleensä funktioiksi. Yliopistomatematiikassa esiintyy hyvin monenlaisia kuvauksia, ja niitä sovelletaan monilla sellaisilla tavoilla, joihin koulussa ei paneuduttu. Siksi aloitamme kuvauksiin tutustumisen hyvin yleisellä tasolla ja kiinnitämme huomiota yksityiskohtiin. Lue seuraavia tehtäviä varten kurssimateriaalin lukua 5.1.

Mitkä alla kuvatuista säännöistä \(f\), \(g\) ja \(h\) ovat kuvauksia \( A \to B \) ja mitkä eivät? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Sääntö \(f\) [...]

b)

[Image]

Sääntö \(g\) [...]

c)

[Image]

Sääntö \(h\) [...]
A: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.
Gap 1 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä ainuttakaan joukon A alkiota joukon B alkioon u.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon B alkioon v kolme eri joukon A alkiota.
Gap 2 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon B alkioon v kaksi joukon A alkiota.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota.
Gap 3 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon B alkioon w yhtään joukon A alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.
Feedback: a) Sääntö \(f\) on kuvaus. b) Sääntö \(g\) ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota. c) Sääntö \(h\) ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.

Q: Kontrapositiotodistus on esimerkki epäsuorasta todistustekniikasta. Sitä käytetään implikaatioväitteiden todistamiseen, kun implikaatiota on vaikea lähestyä suoraan. Tavallisesti näin käy silloin, kun ”jos”-väitettä on vaikea käyttää oletuksena. Kontrapositiotodistuksessa lähdetäänkin ”niin”-väitteen kieltämisestä. Tutustu kontrapositiotodistukseen kurssimateriaalin luvun 3.4 avulla ja tee sen jälkeen seuraava tehtävä.

Oletetaan, että \(n\) on jokin kokonaisluku. Tarkastellaan väitettä "jos \(5n+4\) on pariton, niin \(n\) on pariton". Täydennä väitteen kontrapositiotodistuksen rakenne. (Todistuksesta puuttuu tarkoituksella osa.)

Todistus
Oletetaan, että [...]  on [...].
Tällöin [...] jollain \(k \in \mathbb{Z} \).

                       \( \vdots \)

Siten [...]  on [...].
Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.

Pohdi lisäksi:
Miksi kontrapositiotodistus on pätevä keino todistaa alkuperäinen väite?
A: n; parillinen; n=2k; 5n+4; parillinen
Gap 1 offers: n; 5n+4
Gap 2 offers: parillinen; pariton
Gap 3 offers: 5n+4=2k; n=2k; 5n+4=2k+1; n=2k+1
Gap 4 offers: n; 5n+4
Gap 5 offers: parillinen; pariton
Feedback: Todistus Oletetaan, että n on parillinen. Tällöin n=2k jollain \(k \in \mathbb{Z} \). \( \vdots \) Siten 5n+4 on parillinen. Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee. Kontrapositio soveltuu vain implikaatioväitteiden (eli "jos..., niin..."-tyyppisten väitteiden) todistamiseen. Kontrapositiotodistus on loogisesti pätevä todistuskeino, koska alkuperäinen väite ja sen kontrapositio ovat keskenään loogisesti ekvivalentteja. Kontrapositiotodistusta on usein kannattavaa harkita muun muassa silloin, kun "jos"-osassa oleva lauseke on monimutkaisempi kuin "niin"-osassa oleva lauseke. Esimerkiksi tässä tilanteessa "jos"-osassa oleva lauseke on \(5n+4\), kun taas "niin"-osassa on pelkkä \(n\).

Q: Seuraavissa tehtävissä syvennetään kuvauksiin liittyvää osaamista. Kaksi kuvausta voivat olla samat, vaikka niitä määrittelevät ehdot näyttäisivät ensi silmäykseltä erilaisilta. Voit katsoa luentomonisteen määritelmää 5.5.7. Tärkeää on, että 1) kuvausten lähtöjoukot ovat samat, 2) kuvausten maalijoukot ovat samat, ja 3) molemmat kuvaukset antavat saman arvon jokaisella lähtöjoukon alkiolla. Lisäksi kuvausta voidaan yleistää laajentamalla sen lähtö- tai maalijoukkoa, sekä antamalla arvot uusille lähtöjoukon alkioille.

Olkoot \(X=\{0,1,2\}\) ja \(Y=\{4,9,12\}\). Mitkä seuraavista kuvauksista ovat keskenään samoja?

\(f_1 \colon X \to Y, 0 \mapsto 9, 1 \mapsto 4, 2 \mapsto12\)

\(f_2 \colon \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f_2(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_3 \colon X \to Y, f_3(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_4 \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f_4(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_5 \colon X \to Y, f_5(x)=x^3-4x^2+8x+4\)

\(f_6 \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f_6(x)=x^3-4x^2+8x+4\)

[...]
A: \(f_3=f_5\)
Gap 1 offers: \(f_3=f_5\); \(f_1=f_3=f_5, f_4=f_6\); \(f_2=f_3=f_4, f_5=f_6\); \(f_1=f_2=f_3=f_4=f_5=f_6\); \(f_1=f_3\); \(f_1=f_5\); \(f_4=f_6\)
Feedback: Kaksi kuvausta voivat olla samat ainoastaan siinä tilanteessa, että niiden lähtö- ja maalijoukot ovat samoja. Tämän lisäksi lähtöjoukon alkioiden on kuvauduttava samoille maalijoukon alkioille. Huomataan, että kuvaukselle \(f_5\) pätee \(f_5(0)=0^3-4 \cdot 0^2+8 \cdot 0+4=4,\) \(f_5(1)= 1^3-4 \cdot 1^2+8 \cdot 1+4=9,\) \(f_5(2)= 2^3-4 \cdot 2^2+8 \cdot 2+4=12,\) eli \(0 \mapsto 4\), \(1 \mapsto 9\) ja \(2 \mapsto 12\). Siis huomataan, että \(f_1 \neq f_5\). Huomataan sitten, että kuvaukselle \(f_3\) pätee \(f_3(0)=-0^2+6 \cdot 0+4=4,\) \(f_3(1)=-1^2+6 \cdot 1+4=9,\) \(f_3(2)=-2^2+6 \cdot 2+4=12,\) eli \(0 \mapsto 4\), \(1 \mapsto 9\) ja \(2 \mapsto 12\). Täten \(f_1 \neq f_3\). Huomataan kuitenkin, että kuvaukset \(f_3\) ja\(f_5\) kuvaavat kaikki lähtöjoukon alkiot samoille maalijoukon alkioille. Koska lisäksi kuvausten \(f_3\) ja \(f_5\) lähtö- ja maalijoukot ovat samat, voidaan todeta, että \(f_3=f_5\). Kuvaus \(f_4 \neq f_6\), sillä esimerkiksi lähtöjoukon alkio \(-1\) kuvautuu eri tavalla: \(f_4(-1)= -(-1)^2+6 \cdot (-1) +4 = -3,\) mutta \(f_6(-1)= (-1)^3-4 \cdot (-1)^2+8 \cdot (-1)+4=-9.\) Loput kuvaukset eivät voi olla samoja, sillä niillä on eri lähtö- ja maalijoukot.