Title: MAT-01130 IMAC1

Q: (a) Olkoon perusjoukko \(E = \{1,2,\ldots,10\}\) ja joukot \( A = [value] \), \( B = [value] \), \( C = [value] \) ja \(D = [value]\).

Esitä alla olevat joukot kuten yllä luettelemalla niiden alkiot aaltosulkujen sisällä ja pilkuilla eroteltuna. Tyhjä joukko on {}.

\( A \cap B =\) \( (B \cup C) \cap D =\)
\( A \cap C \cap D =\)
\(E - (A \cup B) =\)

(b) [value] opiskelijan joukosta [value] opiskelee Python-ohjelmointikieltä, [value] opiskelee C++:aa ja [value] opiskelee näitä molempia. Kuinka monta sellaista opiskelijaa on, joka ei opiskele kumpaakaan ko. kielistä?

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: (a) \( A \cap B = [value] \). \( (B \cup C ) \cap D = [value] \). \( A \cap C \cap D= [value] \). \( E - ( A \cup B ) = [value]\). (b) Olkoon \( E \) perusjoukko, \( P \) Pythonia opiskelevien joukko ja \( C \) C++:aa opiskelevien joukko. Merkitään \( |X| \) on joukon \( X \) alkioiden lukumäärä. Tällöin ohjelmointia opiskelevien lukumäärä on \( |P| + |C| - |P \cup C | = [value]+[value]-[value]\) Perusjoukossa on opiskelijoita kaikkiaan \([value]\), joten opiskelijoita, jotka eivät opiskele kumpaakaan kieltä, on \( [value]-[value]-[value]+[value]=[value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Täydennä totuustaulu

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\)
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Kirjoita ruutuun \(1\), jos väite on tosi ja \(0\), jos se on epätosi.

1) \([value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q}\)
2) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{Q} \)
3) \( [value]\) \(\notin\) \(\in\) \(\mathbb{N} \)
4) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \)
5) \( \forall A,B,C: (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C \)
6 \( \forall A,B,C: (A \subseteq C) \Rightarrow (A \subseteq B \wedge B \subseteq C) \)
Feedback: Mallivastaus: 1) \( [value] \) on rationaaliluku, joten ensimmäinen väite on epätosi. 2) \( [value] \) on rationaaliluku, joten toinen väite on epätosi. 3) \( [value] \) ei ole luonnollinen luku, joten kolmas väite on epätosi. 4) Luonnollisten lukujen joukko on reaalilukujen (aito) osajoukko, joten väite on tosi. 5) Koska ehdon \( A \subseteq B\) perusteella jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(B\) alkio ja ehdon \( B \subseteq C\) perusteella jokainen joukon \(B\) alkio on joukon \(C\) alkio, niin jokainen joukon \(A\) alkio on joukon \(C\) alkio eli \(A \subseteq C\), eli viides väite on tosi. (osajoukkorelaation transitiivisuus) 6) Kuudes väite on epätosi, sillä esimerkiksi joukkojen \(A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{1,2\} \) tapauksessa \(A \subseteq C\) ja \(B \subseteq C\), mutta \(A \subsetneq B\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].