Title: Yhtälön ratkaisu (Muuttuja z ja conj(z)) satunnainen

a) Ratkaise \(z\in\mathbb{C}\), kun \(3-2i=z(5-i)+2-3i\).

b) Ratkaise \(z\in\mathbb{C}\), kun \(2z-\overline{z}+2=iz+\operatorname{Re}(z)-3i\).
Feedback: Ratkaisu a) Siirretään ensin muuttujat yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle \(3-2i=z(5-i)+2-3i \Longleftrightarrow z(5-i)=1+i \Longleftrightarrow z=\frac{1+i}{5-i}\). Tämän jälkeen lavennetaan nimittäjän nimittäjän liittoluvulla \(5+i\) \(z=\frac{(5+i)(1+i)}{(5+i)(5-i)}=\frac{5+5i+i+i^2}{25-i^2}=\frac{5+6i-1}{25+1}=\frac{4+6i}{26}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i\). Yhtälön ratkaisu on siis \(z=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i\). b) Merkitään \(z=x+yi\). Yhtälö saadaan muotoon \(2(x+yi)-(x-yi)+2=i(x+yi)+x-3i\) ja sieventämällä edelleen \(2x+2yi-x+yi+2=ix+yi^2+x-3i \Longleftrightarrow (x+2)+3yi=(x-y)+(x-3)i\). Reaali- ja imaginääriosien on oltava yhtä suuret yhtälön molemmilla puolilla, joten saadaan yhtälöpari \( \begin{cases} &x+2=x-y\\ &3y=x-3 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} &x=-3\\ &y=-2 \end{cases} \). Näin ollen yhtälön ratkaisu on \(z=-3-2i\). Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos muuttujat on siirretty yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle - 1 piste, jos on lavennettu liittoluvulla ja sievennetty - 0,5 pistettä, jos on päädytty oikeaan vastaukseen - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on merkitty \(z=x+yi\) ja sievennetty - 1 piste, jos on merkitty reaaliosat ja imaginääriosat keskenään yhtä suuriksi - 0,5 pistettä, jos on päädytty oikeaan vastaukseen - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa

a) Ratkaise \(z\in\mathbb{C}\), kun \(-1+2i=-4-3i+z(2-i)\).

b) Ratkaise \(z\in\mathbb{C}\), kun \(3z-\overline{z}+3=iz+2\operatorname{Im}(z)-2i\).
Feedback: Ratkaisu a) Siirretään ensin muuttujat yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle \(-1+2i=-4-3i+z(2-i) \Longleftrightarrow z(2-i)=3+5i \Longleftrightarrow z=\frac{3+5i}{2-i}\). Tämän jälkeen lavennetaan nimittäjän nimittäjän liittoluvulla \(2+i\) \(z=\frac{(2+i)(3+5i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6+10i+3i+5i^2}{4-i^2}=\frac{6+13i-5}{4+1}=\frac{1+13i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{13}{5}i\). Yhtälön ratkaisu on siis \(z=\frac{1}{5}+\frac{13}{5}i\). b) Merkitään \(z=x+yi\). Yhtälö saadaan muotoon \(3(x+yi)-(x-yi)+3=i(x+yi)+2y-2i\) ja sieventämällä edelleen \(3x+3yi-x+yi+3=ix+yi^2+2y-2i \Longleftrightarrow (2x+3)+4yi=y+(x-2)i\). Reaali- ja imaginääriosien on oltava yhtä suuret yhtälön molemmilla puolilla, joten saadaan yhtälöpari \( \begin{cases} &2x+3=y\\ &4y=x-2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} &x=-2\\ &y=-1 \end{cases} \). Näin ollen yhtälön ratkaisu on \(z=-2-i\). Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos muuttujat on siirretty yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle - 1 piste, jos on lavennettu liittoluvulla ja sievennetty - 0,5 pistettä, jos on päädytty oikeaan vastaukseen - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 1 piste, jos on merkitty \(z=x+yi\) ja sievennetty - 1 piste, jos on merkitty reaaliosat ja imaginääriosat keskenään yhtä suuriksi - 0,5 pistettä, jos on päädytty oikeaan vastaukseen - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa