Title: 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö

For which values of \(A,B\) does the function \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) satisfy the differential equationMillä vakioiden \(A,B\) arvoilla funktio \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön

\[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)? \]

Hint: Substitute the given expression in the equation and determine the multipliers. The answer should not contain the constant of the general solution.Vihje: Sijoita annettu lauseke yhtälöön ja päättele kertoimet. Vastauksessa ei saa esiintyä yleisen ratkaisun vakiota.

\(\displaystyle y\left(x\right)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Before the substitution, let us find \(y'\): Lasketaan \(y'\) ennen sijoittamista: \begin{align} y(x)&=A\cos([value]x)+B\sin([value]x) \\ \rightarrow y'(x)&=-[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x) \end{align} Substituting \(y' + y = [value]\sin([value]x)\) in the differential equation, we getTehdään sijoitus differentiaaliyhtälöön \(y' + y = [value]\sin([value]x)\). Saadaan \[ -[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x)+A\cos([value]x)+B\sin([value]x)=[value]\sin([value]x) \] For the equation to hold, the cosine terms have to cancel each other out and the sine terms have to sum up to \([value]\sin([value]x)\). We end up in the following system of equations: Jotta yhtälö olisi tosi täytyy kosini termien kumota toisensa ja sini termien summan olla \([value]\sin([value]x)\). Saadaan seuraava yhtälöryhmä: \[ \left\{\begin{array}{ll} -[value]A+B=[value] \\ [value]B+A=0 \end{array}\right. \] Solving for \(A\) and \(B\) we get \(A\) = [value] and \(B\) = [value].Ratkaisuksi saadaan \(A\) = [value] ja \(B\) = [value]. Therefore \(y(x)\) is\(y(x)\) on siis \[ y(x)=[value]\cdot\cos([value]x)+[value]\cdot\sin([value]x) \]

Find the general solution for the differential equationRatkaise yleisesti lineaarinen differentiaaliyhtälö

\[ y'+[value]y=[value]e^{[value]x}. \]

For the constant use the symbol C. Exponential function should be written in a form similar to \({\tt exp(5*x)}\).Käytä vakiolle symbolia C. Eksponenttifunktio kirjoitetaan esim. muodossa \({\tt exp(5*x)}\).

\(\displaystyle y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(y'+[value]y=[value]e^{[value]x}\) The integrating factor is of the form \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), where \(p(x)\) is the multiplier preceding \(y\), which in this case is the constant [value]. The integrating factor is \(\textrm{e}^{[value]x}\).Integroiva tekijä on muotoa \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), jossa \(p(x)\) on \(y\):tä edeltävä kerroin eli tässä tapauksessa vakio [value]. Integroiva tekijä on siis \(\textrm{e}^{[value]x}\). Let us multiply both sides of the equation with the integrating factor: Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä: \begin{align*} \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x}\cdot\textrm{e}^{[value]x} \\ \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x} \\ \end{align*} The left side of the equation satisfies the conditions to apply the product rule. Yhtälön vasen puoli täyttää tulon derivointikaavan tunnusmerkit. \(\small{\textrm{D}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\) \[ \Rightarrow\textrm{D}(\textrm{e}^{[value]x}y)=[value]\textrm{e}^{[value]x} \] We integrate both sides with respect to \(x\).Integroidaan molemmat puolet \(x\):n suhteen \begin{align*} \Rightarrow \textrm{e}^{[value]x}y+A&=[value]+B \\ \\ \textrm{e}^{[value]x}y&=[value]+C,\quad\textrm{wherejossa }C=B-A \\ \end{align*} Solving for \(y\) we getFunktion \(y\) suhteen ratkaisemalla saadaan \[ y=[value]+\frac{C}{\textrm{e}^{[value]x}}. \]

Let \(y_0\) be a solution for the differential equation \(y'=ky\) for which \(y_0(0)=1\).Olkoon \(y_0\) differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisu, jolle \(y_0(0)=1\).

Find the solution \(y_1\), when \(y_1(a)=b\).Mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu \(y_1\), kun \(y_1(a)=b\)?

Express \(y_1\) as a function of \(y_0\).Ilmaise funktio \(y_1\) funktion \(y_0\) avulla

\(y_1(x) =\)\(\cdot y_0(\)\()\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Theorem 6.1: The solutions to the differential equation \(y'=ky\) are of the form \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\)Differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\) Let us determine the value for \(C\), when \(y_0(0)=1\): Lasketaan \(C\):lle arvo, kun \(y_0(0)=1\): \begin{align*} &&y_0(0)&=1\\ \implies&&Ce^{k\cdot 0}&=1\\ \implies&&C&=1 \end{align*} Therefore \(y_0(x)=e^{kx}\).Siis \(y_0(x)=e^{kx}\). Similarly, we find the value for \(C\), when \(y_1(a)=b\).Lasketaan vastaavasti \(C\):lle arvo, kun \(y_1(a)=b\). \begin{align*} &&y_1(a)&=b\\ \implies&&Ce^{ka}&=b\\ \implies&&C&=\frac{b}{e^{ka}} \end{align*} Thus \(y_1(x)=\frac{b}{e^{ka}}e^{kx} = be^{k(x-a)} = by_0(x-a)\).Siis \(y_1(x)=\frac{b}{e^{ka}}e^{kx} = be^{k(x-a)} = by_0(x-a)\).

Find a solution to the differential equationMääritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle

\[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \]

that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

Hint: The answer can be simplified to a polynomial, but the software accepts at least some solutions in another form, as well.Vihje: Vastauksen voi sieventää polynomiksi, mutta ohjelma hyväksyy ainakin osan hankalammassa muodossa olevista ratkaisuista.

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: A separable DY is of the form \(y' = f(x)g(y)\)Separoituva DY on muotoa \(y' = f(x)g(y)\) \[ y'=[value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] Let us modify the equation and rewrite it in the form \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). We getMuokataan yhtälö muotoon \(\frac{y'}{g(y)} = f(x)\). Eli: \[ \frac{y'}{[value]+y}=[value]\cdot \frac{1}{x} \] Next, we integrate both sides of the equation with respect to \(x\).Seuraavaksi integroidaan yhtälön molemmat puolet \(x\):n suhteen \[ \begin{eqnarray} \int \frac{y'}{[value]+y} \, \textrm{d}x&=&\int [value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad \int \frac{1}{[value]+y} \, \textrm{d}y&=&\int [value]\cdot \frac{1}{x} \, \textrm{d}x &\\ \Rightarrow\quad \ln([value]+y)+C&=&[value]\ln(x)+D &\\ \Rightarrow\quad \ln([value]+y)+\ln(x^{-[value]})&=&E &\quad\Vert~ E = D - C \\ \Rightarrow\quad \ln([value]x^{-[value]}+yx^{-[value]})&=&E &\\ \Rightarrow\quad [value]x^{-[value]}+yx^{-[value]}&=&\textrm{e}^E &\quad\Vert~\textrm{e}^E=A \\ \Rightarrow\quad y&=&Ax^[value]-[value] & \end{eqnarray} \] Then, we determine the value for \(A\) using the given initial value.Seuraavaksi ratkaistaan vakion \(A\) arvo annetun alkuarvon perusteella. \begin{align} y(1)&=[value] \\ \Rightarrow A\cdot1^{[value]}-[value]&=[value] \\ \Rightarrow A&=\frac{[value]+[value]}{1^{[value]}}\\ \\ A&=[value] \end{align} Therefore, the solution isLopullinen ratkaisu on siis \[ [value] \]