Title: APK Viikko 1

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

Esitä annettu joukko Vennin kaaviona. Kuvassa kolme joukkoa jakavat perusjoukon kahdeksaan erilliseen osaan, jotka on numeroitu.
Kirjoita vastauslaatikkoon, mitkä numeroiduista alueista väritetään Vennin kaavioon.
Anna väritettävien alueiden numerot kasvavaan järjestykseen kirjoitettuna listana hakasuluissa, esim. joukon \(A\) esitys on [2,3,5,6].
Käytä hakasulkuja myös silloin, kun väritetään vain yhden numeron alue.

\([value]\) |
\([value]\) |

Q: Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\). Tarkoitus on osoittaa, että \(a+b>c\).

Täydennä väitteen epäsuora todistus kuljettamalla alimpana olevista laatikoista sopivat sanat tai lausekkeet oikeille paikoilleen.

Todistus

Tehdään vastaoletus: [...].

Korottamalla epäyhtälö [...] potenssiin saadaan [...].

Koska [...], niin \(a^2+2ab+b^2 >a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2 >\)[...], mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan [...].

Koska [...] päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.
Also offered: a + b < c; kolmanteen; a² + b² ≤ c²; a² + b² < c²; Pythagoraan lauseesta; a² + b² ≠ c²; a² + 2ab + b² < c²; a² + 2ab + b²
A: a + b ≤ c; toiseen; a² + 2ab + b² ≤ c²; 2ab > 0; a² + b²; a² + b² = c²; vastaoletuksesta
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Todistus Tehdään vastaoletus: \(a+b \leq c\). Korottamalla epäyhtälö toiseen potenssiin saadaan \(a^2+2ab+b^2 \leq c^2\). Koska \(2ab>0\), niin \(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2>a^2+b^2\), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan \(a^2+b^2=c^2\). Koska vastaoletuksesta päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.

Q: Alla on lausekkeita, jotka koskevat erästä tuntematonta reaalilukua \(x\). Yhdistä kukin lauseke sen negaatiota vastaavaan lausekkeeseen, jossa ei esiinny negaatiosymbolia \(\neg\).
- a) \((x^2 = 1) \land (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋁ (x ≤ 0)
- b) \((x^2 = 1) \lor (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋀ (x ≤ 0)
- c) \((x^2 = 1) \rightarrow (x > 0)\) | (x² = 1) ⋀ (x ≤ 0)
- d) \((x^2 = 1) \leftrightarrow (x > 0)\) | ((x² ≠ 1) ⋀ (x > 0)) ⋁ ((x² = 1) ⋀ (x ≤ 0))
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: a) \((x^2 \neq 1) \lor (x \leq 0)\) b) \((x^2 \neq 1) \land (x \leq 0)\) c) \((x^2 = 1) \land (x \leq 0)\) d) \(((x^2 \neq 1) \land (x > 0)) \lor ((x^2 = 1) \land (x \leq 0))\)

Q: Todistetaan seuraava implikaation sisältävä väite suoralla todistuksella.

Olkoot \(A\) ja \(B\) joukkoja. Halutaan osoittaa, että jos \(A \not\subset B\), niin \(A \setminus B \neq \emptyset\).

a) Mikä oletus tehdään todistuksen alussa?

[...]

b) Mihin johtopäätökseen todistuksessa halutaan päätyä?

[...]

c) Oletuksesta seuraa, että

[...]

d) Edellisestä kohdasta seuraa, että

[...]

e) Miksi väite on nyt todistettu?

[...]
A: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; \(A \setminus B \neq \emptyset\); on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).; \(x \in A \setminus B\).; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).
Gap 1 offers: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B \neq \emptyset\).; Oletetaan, että \(A \subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B = \emptyset\).
Gap 2 offers: \(A \not\subset B\); \(A \setminus B \neq \emptyset\); \(A \subset B\); \(A \setminus B = \emptyset\)
Gap 3 offers: \(x \notin B\) millään \(x \in A\).; \(B \subset A\).; \(A \cap B = \emptyset\).; on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).
Gap 4 offers: \(x \in A \setminus B\).; \(x \in B\).; \(x \notin A\).; \(x \in A \cap B\).
Gap 5 offers: Koska joukossa \(A \setminus B\) ei ollut yhtään alkiota.; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).; Koska \(x \in A\).; Koska löytettiin alkio joukosta \(A \cap B\).
Feedback: a) Oletetaan, että \(A \not\subset B\). b) Halutaan näyttää, että \(A \setminus B \neq \emptyset\). c) On olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\). d) Edellisestä seuraa, että \(x \in A \setminus B\). e) Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\) (kyseinen alkio on tietenkin todistuksessa esiintyvä \(x\)).

Q: Tässä tehtävässä mahdolliset lausekkeet tulee kirjoittaa aina yhteen. Tarkista, ettet lisää välilyöntejä vastauksiisi.

Osoitetaan induktiolla, että kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\) pätee

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

Todistus. [...]: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla [...]. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luku [...]

ja oikealle puolelle luku [...]. Siis väite [...] luvulla [...].

[...]: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee [...]. Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla [...]. Nyt

 \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\)

 \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) +\) [...]

 \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} +\) [...]

 \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

 \(\overset{(4)}= \) [...] / 3,

missä induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa [...].

Siis väite pätee luvulla [...]. Induktioperiaatteen nojalla

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\).
A: Alkuaskel; 0; 0; 0; pätee; 0; Induktioaskel; jollakin luonnollisella luvulla n; n+1; (n+1)(n+2); (n+1)(n+2); (n+1)(n+2)(n+3); 2; n+1
Gap 1 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 5 offers: pätee; ei päde
Gap 7 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 8 offers: luvulla 0; luvulla 1; kaikilla luonnollisilla luvuilla n; jollakin luonnollisella luvulla n
Gap 10 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 11 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 12 offers: (n+1)(n+2)(n+3); n(n+1)(n+2); (n+1)(n+2); 3(n+1)(n+2)
Gap 13 offers: 1; 2; 3; 4
Feedback: Todistus. Alkuaskel: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla \(0\). Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan \(0\) ja oikealle puolelle \(0\). Siis väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(n \in \mathbb{N}\). Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla \(n+1\). Nyt \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\) \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\) \(\overset{(4)}= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\) eli väite pätee luvulla \(n+1\). Olemme osoittaneet, että \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\). Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa 2.

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A=\{ x \in \mathbb{N}\cup \{0\} \mid [value]x-[value] \leq [value] \} \)

\(A=\)

b) \( B=\{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = [value] \} \)

\(B= \)
Feedback: a) Koska \([value]x-[value] \leq [value] \iff x \leq [value]\), niin \(A = [value] \). b) Yhtälön \(x^2 = [value]\) ratkaisut ovat \(x=[value]\) ja \(x=-[value]\), joten \(B = [value] \).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\}\)

\(A = \)

b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\}\)

\(B = \)

c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\}\)

\(C = \)

d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\}\)

\(D = \)
Feedback: a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\} = \{[value], [value]\}\). b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä alkioiden toistaminen ei muuta joukkoa. c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\} = \{[value], [value]\}\), sillä \((n-[value])(n-[value]) = 0\) täsmälleen silloin, kun \(n = [value]\) tai \(n = [value]\). Huomataan, että kaikissa kohdissa joukko on sama.

Kun halutaan todistaa, että jokin väite ei päde kaikilla alkioilla tai joukoilla, käytetään vastaesimerkkiä. Anna tässä tehtävässä vastaesimerkkeinä joukkoja, joissa yksittäiset alkiot ovat pilkuilla eroteltuina aaltosuluissa, esim. {0,1,2}.

Tarkastellaan väitettä "jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \not\subset C\)".

a) Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

b) Väitteen negaatio on

i. jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \subset C\)

ii. jos \(A \subset C\), niin \(A \not\subset B\) ja \(B \subset C\)

iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\)

c) Anna esimerkki, joka osoittaa, että myöskään väitteen negaatio ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B  = \)

\(C = \)
Feedback: a) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{1\}\). Nyt \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), mutta \(A \subset C\). Itse asiassa tässä esimerkissä \(A = C\), mutta se ei ole välttämätöntä. b) iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\). (Väitteen \(p_1 \rightarrow p_2\) negaatio on \(p_1 \land \neg p_2\).) c) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \(A \not\subset C\), koska \(1 \notin C\). Siis väitteen negaatio on epätosi.