Title: Lausekkeet

Determine the constants \( A \), \( B \), \( C \) and \( D \) such that the expression
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
holds.

Give the exact values of the constants.Määritä vakioiden \( A \), \( B \), \( C \) ja \( D \) arvot siten, että lauseke
\[
[value] x+\dfrac[value]{x+[value]}-\dfrac[value]{x^2-[value]}=\dfrac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
on tosi.

Anna vakioiden arvot tarkkoina arvoina.Bestäm sådana värden på konstanterna \( A \), \( B \), \( C \) och \( D \) att ekvationen
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
är uppfylld.

Svara med de exakta värdena på konstanterna.

\( A= \)

\( B= \)

\( C= \)

\( D= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Note that \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \).Huomaa, että \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \).Notera att \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \). \begin{eqnarray*} [value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]} &=& \frac{[value] x (x^2-[value])+[value] (x-[value])-[value]}{x^2-[value]} \\ &=& \frac{[value] x^3-[value]\cdot [value] x+[value] x-[value]\cdot [value]-[value]}{x^2-[value]} \\ &=& \frac[value]{x^2-[value]} \end{eqnarray*} The sought values of the constants areKysytyt vakioiden arvot ovatDe efterfrågade konstanterna är \( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) and \( D=[value] \).\( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) ja \( D=[value] \).\( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) och \( D=[value] \).

Simplify \( \displaystyle [value] \) to a rational form \( \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\).Sievennä lauseke \( \displaystyle [value] \) muotoa \( \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) olevaksi murtolausekkeeksi.Skriv \( \displaystyle [value] \) som ett enda rationellt uttryck av formen \( \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\).

Give the numerator and denominator of the rational form separately. For example, \( \displaystyle \frac{2x-3}{4x^2-5} \) is submitted by typing 2*x-3 on the numerator and 4*x^2-5 on the denominator field.Vastauksena olevan murtolausekkeen osoittaja ja nimittäjä syötetään erikseen. Esimerkiksi lausekkeen \( \displaystyle \frac{2x-3}{4x^2-5} \) tapauksessa osoittajaksi kirjoitetaan 2*x-3 ja nimittäjäksi 4*x^2-5.Inmatningsexempel: Det rationella uttrycket \( \displaystyle \frac{2x-3}{4x^2-5} \) anges med täljaren 2*x-3 och nämnaren 4*x^2-5.

Numerator: Osoittaja \( [value]= \)Täljaren \( [value]= \)

Denominator: Nimittäjä \( [value]= \)Nämnaren \( [value]= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{eqnarray*} [value] & = & \frac{1\cdot (1+x)+[value]\cdot ([value]\cdot x+1)}{([value]\cdot x+1)(1+x)} \\ & = & \frac{1+x+[value]\cdot [value]\cdot x+[value]}{[value]\cdot x+[value]\cdot x^2+1+x} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\]

Determine the constants \( A \), \( B \), \( C \) and \( D \) such that the expression
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
holds.

Give the exact values of the constants.Määritä vakioiden \( A \), \( B \), \( C \) ja \( D \) arvot siten, että lauseke
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
on tosi.

Anna vakioiden arvot tarkkoina arvoina.Bestäm sådana värden på konstanterna \( A \), \( B \), \( C \) och \( D \) att ekvationen
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
är uppfylld.

Svara med de exakta värdena på konstanterna.

\( A= \)

\( B= \)

\( C= \)

\( D= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Note that \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \).Huomaa, että \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \).Notera att \( x^2-[value]=(x+[value])(x-[value]) \). \begin{eqnarray*} [value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]} &=& \frac{[value] x (x^2-[value])+[value] (x-[value])-[value]}{x^2-[value]} \\ &=& \frac{[value] x^3-[value]\cdot [value] x+[value] x-[value]\cdot [value]-[value]}{x^2-[value]} \\ &=& \frac[value]{x^2-[value]} \end{eqnarray*} The sought values of the constants areKysytyt vakioiden arvot ovatDe efterfrågade konstanterna är \( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) and \( D=[value] \).\( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) ja \( D=[value] \).\( A=[value],\ B=[value],\ C=[value]\) och \( D=[value] \).

Evaluate the function \( \displaystyle f(x)=[value] \) at \( x=[value] \).Laske funktion \( \displaystyle f(x)=[value] \) arvo kohdassa \( x=[value] \).Bestäm värdet på funktionen \( \displaystyle f(x)=[value] \) i punkten \( x=[value] \).

Give your answer in exact form, as a fraction, if needed.Anna vastaus tarvittaessa murtolukuna X/Y, jossa X ja Y ovat kokonaislukuja.Ge det exakta värdet som svar, i bråkform om det behövs.

\( f([value])= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ f([value]) & = & [value]\cdot [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \]

Determine the inverse of the function \( f(x)=[value] \). Submit the inverse function with respect to \( x \).Laske funktion \( f(x)=[value] \) käänteisfunktio. Anna ratkaisemasi funktio muuttujan \( x \) avulla esitettynä.Bestäm den inversa funktionen till \( f(x)=[value] \). Uttryck inversen med variabeln \( x \).

\( f^{-1}(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: To find the inverse function, we solve the equation \( f(x)=y \) with respect to \( x \): Käänteisfunktio saadaan selville ratkaisemalla yhtälö \( f(x)=y \) muuttujan \( x \) suhteen: Den inversa funktionen kan bestämmas genom att lösa ekvationen \( f(x)=y \) med avseende på \( x \): \begin{eqnarray*} f(x) & = & y \\ [value] & = & y \\ [value] x & = & y-[value] \qquad \Arrowvert \colon [value] \\ x & = & [value]. \end{eqnarray*} Therefore, the inverse function is \( f^{-1}(x)=[value] \).Käänteisfunktio on siis funktio \( f^{-1}(x)=[value] \).Den inversa funktionen är alltså \( f^{-1}(x)=[value] \).