Title: Sarjat 1

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^n\) | [...] | [...]
\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}\), missä \(a_n = n + 1\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan kyseinen sarja suppenee silloin, kun sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: yliharmoninen sarja; vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; suppenee; vain positiivitermisen; vain negatiivitermisen; minkä tahansa; hajaantumista, mutta ei suppenemista; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; termien itseisarvot suppenevat nollaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali suppenee; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on suurempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1; edellä päädytään ristiriitaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali hajaantuu
A: aliharmoninen sarja; hajaantuu; geometrinen sarja; hajaantuu; lukujono; hajaantuu; harmoninen sarja; hajaantuu; vain vuorottelevan; suppenemista, mutta ei hajaantumista; termien itseisarvot vähenevät ja suppenevat nollaan; edellinen ehto ei toteudu

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}\), missä \(a_n = \frac{1}{n + 1}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan kyseinen sarja suppenee silloin, kun sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: yliharmoninen sarja; vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; vain positiivitermisen; vain negatiivitermisen; minkä tahansa; hajaantumista, mutta ei suppenemista; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; termien itseisarvot suppenevat nollaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali suppenee; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on suurempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1; edellä päädytään ristiriitaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali hajaantuu
A: harmoninen sarja; hajaantuu; aliharmoninen sarja; hajaantuu; lukujono; suppenee; geometrinen sarja; suppenee; vain vuorottelevan; suppenemista, mutta ei hajaantumista; termien itseisarvot vähenevät ja suppenevat nollaan; edellinen ehto ei toteudu

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}\), missä \(a_n = n + 1\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{6}{7}\right)^n\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan kyseinen sarja suppenee silloin, kun sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: aliharmoninen sarja; vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; vain positiivitermisen; vain negatiivitermisen; minkä tahansa; hajaantumista, mutta ei suppenemista; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; termien itseisarvot suppenevat nollaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali suppenee; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on suurempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1; edellä päädytään ristiriitaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali hajaantuu
A: yliharmoninen sarja; suppenee; lukujono; hajaantuu; harmoninen sarja; hajaantuu; geometrinen sarja; suppenee; vain vuorottelevan; suppenemista, mutta ei hajaantumista; termien itseisarvot vähenevät ja suppenevat nollaan; edellinen ehto ei toteudu

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}\), missä \(a_n = n + 1\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan kyseinen sarja suppenee silloin, kun sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: yliharmoninen sarja; vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; vain positiivitermisen; vain negatiivitermisen; minkä tahansa; hajaantumista, mutta ei suppenemista; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; termien itseisarvot suppenevat nollaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali suppenee; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on suurempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1; edellä päädytään ristiriitaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali hajaantuu
A: geometrinen sarja; suppenee; aliharmoninen sarja; hajaantuu; lukujono; hajaantuu; harmoninen sarja; hajaantuu; vain vuorottelevan; suppenemista, mutta ei hajaantumista; termien itseisarvot vähenevät ja suppenevat nollaan; edellinen ehto ei toteudu

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{9}{7}\right)^n\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}\), missä \(a_n = \frac{1}{n + 1}\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan kyseinen sarja suppenee silloin, kun sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: aliharmoninen sarja; vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; vain positiivitermisen; vain negatiivitermisen; minkä tahansa; hajaantumista, mutta ei suppenemista; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; termien itseisarvot suppenevat nollaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali suppenee; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on suurempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1; edellä päädytään ristiriitaan; termejä vastaavan funktion epäoleellinen integraali hajaantuu
A: geometrinen sarja; hajaantuu; harmoninen sarja; hajaantuu; yliharmoninen sarja; suppenee; lukujono; suppenee; vain vuorottelevan; suppenemista, mutta ei hajaantumista; termien itseisarvot vähenevät ja suppenevat nollaan; edellinen ehto ei toteudu