Title: Raja-arvo

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\) -symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\) komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) Ratkaisua varten tulee huomata, että Neperin luvun määritelmän mukaan \[ \lim_{x\to\infty} [value] = e. \] Nyt kysytty raja-arvo on helppo laskea. \[ \lim_{x\to\infty} [value] = [value] \] (b) Ratkaisu saadaan supistamalla termillä \((x+1)!\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} \] Saadusta muodosta päästään eteenpäin hajottamalla termi \((x+1)!\) tekijöihin. \[ \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)(x)(x-1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)(x-1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{1}{(x+1)(x)}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)!}} = [value] \] Sekä osoittajassa että nimittäjässä esiintyvä termi \(1/(x(x+1))\) lähestyy nollaa, kun \(x \rightarrow \infty\). Tämän perusteella saadaan kysytty raja-arvo.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\) -symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\) komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to2} \left([value]\right) \] | \(=~\) |
(b) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) Tehtävän a-kohdassa ratkaisu löydetään laventamalla molemmat termit samannimisiksi. Ensimmäinen termi tulee siis laventaa \((x+2)\):lla. \[ \lim_{x\to2} \left([value]\right) = \lim_{x\to2} \frac{[value](x+2)-[value]}{x^2-4} = \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \((x-2)\) supistuu pois ja jäljelle jäävästä lausekkeesta saadaan suoraan laskettua haluttu raja-arvo. \[ \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to2} \frac{[value]}{x+2} = \frac{[value]}{2+2} = [value] \] (b) Osoittajan termejä tarkastelemalla nähdään, että \(x^4\)-termit kumoutuvat ja jäljelle jää vain alempiasteisia termejä. Nimittäjässä oleva termi \(x^3\) pakottaa osoittajassa olevat astetta 3 pienemmät termit nollaksi, kun \(x \rightarrow \infty\). Harjaantunut mieli voi siis ratkaista tehtävän tarkastelemalla pelkästään astetta 3 olevien termien kertoimia. Ratkaistaan tehtävä kuitenkin harjoituksen vuoksi raa'alla voimalla. \begin{align} \lim_{x\to\infty} [value] &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-([value])}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} ([value]) \\ &= [value] \end{align}

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\) -symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\) komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to[value]+} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[\lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) Tehtävän a-kohdassa tulee huomata, että tarkastelupistettä lähestytään positiivisesta suunnasta. Tämä tarkoittaa, että itseisarvo on aina ei-negatiivinen. Itseisarvomerkit voidaan siis suoraan jättää pois. \[ \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} \frac{-([value]-x)}{[value]-x} = \lim_{x\to[value]+} \frac{-1}{1} = -1 \] Kannattaa huomata, että tässä tehtävässä negatiiviselta puolelta lähestyminen muuttaisi vastauksen merkin positiiviseksi. Funktiolla on toispuoleiset raja-arvot pisteessä \(x=[value]\), mutta ne eivät ole samat. Siis raja-arvoa pisteessä \(x=[value]\) ei ole olemassa. (b) Ratkaisu voidaan nähdä suoraan katsomalla \(x\):n eksponentteja, mutta perustellaan vastaus tarkemmin. Supistetaan lauseke termillä \(x^2\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\frac[value]{x^2}}{1+\frac[value]{x^2}} = \infty \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \(x\) jää jäljelle osoittajaan, kun \(x \rightarrow \infty\). Sen seurauksena raja-arvo lähestyy ääretöntä.

Laske lukujonojen

(a) \[a_n=\frac{[value]}{[value]} \]

(b) \[b_n=\frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n} \]

raja-arvot. Huom. Anna vastaukseksi tarkat arvot.

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=\)

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} b_n=\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \(n^3\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\frac{[value]+0+0}{[value]+0+0}=[value].\] (b) Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \([value]^n\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n}=\lim_{n\to \infty} [value]\cdot \frac[value]{\frac{2}{[value]^n}+1}=[value]\cdot \frac{[value]}{0+1}=[value].\]

Laske l'Hôpitalin säännön avulla raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value].\] L'Hôpitalin sääntöä sovellettaessa derivoidaan murtolausekkeen osoittajaa ja nimittäjää erikseen. Kirjoita ensimmäiseen kenttään derivoinnin tulos.

\(\displaystyle \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |

Derivoinnin jälkeen voidaan ottaa raja-arvo, jos lauseke on saatu sopivaan muotoon. Kirjoita seuraavaan kenttään saatu raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac[value][value] =~ \) |
Feedback: Mallivastaus: L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää osamäärän raja-arvon laskemiseen tietyissä tilanteissa. Olkoon \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\] tutkittava raja-arvo. L'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa vain jos \[\begin{array}{rl} (1) & \lim_{x\to c} f(x) =\lim_{x\to c} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \\ (2) & \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ on olemassa ja} \\ (3) & g'(x)\neq 0. \end{array}\] Ensimmäinen ehto käytännössä tarkoittaa, että raja-arvon täytyy olla muotoa \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) tai \(\frac{-\infty}{-\infty}\). Jos edelliset ehdot pätevät, niin \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] Raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] \] on muotoa \(\frac{0}{0}\). Derivoidaan osamäärän osoittaja ja nimittäjä ja tutkitaan toteutuvatko l'Hôpitalin säännön ehdot. \[ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \frac{ [value]}{[value]} = [value] \underset{x\to 0}{\longrightarrow} [value] \] Edellisen perusteella ehto (2) siis pätee. Myös ehto (3) pätee, koska \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value] \neq 0\). Nyt siis l'Hôpitalin säännön perusteella \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] = \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \lim_{x\to 0} \left([value]\right) = [value]\]

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä sopivaa sijoitusta.

(a) | \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}[value]=~\) |
(b) | \( \displaystyle \lim_{x\to 81} [value]=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) Ratkaistaan tehtävä käyttämällä erittäin yleistä muuttujanvaihtoa \(x=t^{-1}\), joka osoittaa erinomaisuutensa erityisesti silloin, kun alkuperäinen raja-arvo lähestyy ääretöntä. Tällöin nimittäin \(t \rightarrow 0\). Muuttujanvaihdolla \(x=t^{-1}\) lauseke saadaan muotoon \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8x+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{8t^{-1}+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}}. \] Saatua muotoa täytyy vielä sieventää ennen sijoitusta. \[ \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[12]{t}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \frac{\sqrt[12]{0}+1}{\sqrt[3]{8+3 \cdot 0}} = \frac{1}{2} \] (b) Käytetään muuttujanvaihtoa \(t=[value] \Rightarrow x=t^4\). Näin saadaan lauseke muotoon \[ \lim_{x\to81} \frac{\sqrt{x}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{\sqrt{t^4}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3}. \] Osoittajan voi edelleen jakaa tekijöihin, jolloin saadaan raja-arvo laskettua. \[ \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3} = \lim_{t\to3} \frac{(t-3)(t+3)}{t-3} = \lim_{t\to3} (t+3) = 6 \]

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä L'Hopitalin sääntöä:

(a)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} \]

(b)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x} \]

Anna vastaukseksi tarkat arvot!

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x}=~\) |
Feedback: Mallivastaus: L'Hopitalin säännön mukaan, jos \(f,g\colon [0,\infty)\to \mathbb{R}\) ovat jatkuvasti derivoituvia ja \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\), niin \[\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}, \] jos oikean puolen raja-arvo on olemassa. (a) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}\] Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+\ln(x))=\infty=\lim_{x\to\infty}([value]+\ln(x))\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+\ln(x))}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]+\ln(x)} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1/x}{[value]+\ln(x)}}{1/x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]+\ln(x)} \\ & = & 0. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x}\] Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+e^{[value]x})=\infty=\lim_{x\to \infty} [value]x\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+e^{[value]x})}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{[value]e^{[value]x}}{[value]+e^{[value]x}}}{[value]} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]} \frac{[value]}{[value]e^{-[value]x}+1} \\ & = & \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*}

Laske l'Hopitalin säännön avulla raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}\]

Kirjoita ensimmäiseen kenttään lause, joka saadaan soveltamalla l'Hopitalin sääntöä kerran derivoimalla raja-arvolausetta ja toiseen kenttään itse raja-arvoksi saatava kokonaisluku.

\(\displaystyle\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=~\) |

Lisäksi valitse seuraavista vaihtoehdoista milloin l'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää kirjoittamalla oikeaa vastausta vastaava numero alla olevaan tekstikenttään.

\(([value])\quad\) | L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.

\(([value])\quad\) | L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{\infty}\), ja muotoa \(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) muotoa oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | L'Hopitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
Feedback: Mallivastaus: \[\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=\frac{[value]}{[value]}=[value]. \] \[\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=\lim_{x\to 0}[value]=[value](0-1)=[value]. \]

Laske L'Hôpitalin säännön avulla seuraavat raja-arvot. Anna vastaus tarkkana arvona!

\[ \begin{align*} \text{(a)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{\sin ([value]x)}{\sin ([value]x)} \\ \\ \\ \text{(b)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ([value]x)}{1-\cos ([value]x)} \end{align*} \]

Vastaukset

(a)

(b)
Feedback: Mallivastaus: L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\] (a) \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)}\] Nyt \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\cos([value]x)}{[value]\cos([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)}\] Nyt \[\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\sin([value]x)}{[value]\sin([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} \\ &\stackrel{(a)}{=}& \frac{[value]^2}{[value]^2} \\ &=& [value]. \end{eqnarray*}

Lasketaan raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]} \] Käyttämällä alla olevaa päättelyketjua. Vastaa päättelyketjua koskeviin kysymyksiin valitsemalla oikea vaihtoehto alla olevasta listasta. Huomaa, että rivit ovat numeroitu 1-4. Alla olevissa kysymyksissä viitataan numeroilla tähän numerointiin. Ensin lasketaan raja-arvo kysytyn funktion \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}\) logaritmifunktiolle: \[\begin{array}{rlllr} \lim_{x\to 0}\frac{\ln{\cos{[value]x} } }[value] &\overset{1}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos{[value]x}}\cdot(-\sin{[value]x})\cdot [value] }{[value]x} & \text{ }& (1)\\ &\overset{2}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\sin{[value]x}}{[value]x\cos{[value]x}} && (2)\\ &\overset{3}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\cos{[value]x}} {-[value]x\sin{[value]x} + [value]\cos{[value]x}} && (3)\\ &\overset{4}{=}&[value] && (4) \end{array}\] Nyt haluttu raja-arvo voidaan laskea kaavalla \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\).

Kysymys 1
Mihin periaatteeseen yllä oleva raja-arvon laskeminen perustuu? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{l'Hôpitalin säännön käyttöön}\\ (2) & \text{Trigonometristen funktioiden Taylorin sarjojen käyttöön}\\ (3) & \text{Bolzanon lauseen käyttöön}\\ (4) & \text{Väliarvolauseen käyttöön}\\ \end{array}
Vastaus:

Kysymys 2
Mitkä kaikki yhtäsuuruusmerkit (1-4) on saatu käyttämällä edellisessä kohdassa antamaasi menetelmää raja-arvon laskemiseksi? Syötä kenttää vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{Rivin 1}\\ (2) & \text{Rivin 2}\\ (3) & \text{Rivin 3}\\ (4) & \text{Rivin 4}\\ (5) & \text{Rivien 1 ja 2}\\ (6) & \text{Rivien 1 ja 3}\\ (7) & \text{Rivien 2 ja 3}\\ (8) & \text{Rivien 1, 2 ja 3}\\ \end{array}
Vastaus:

Kysymys 3
Laske tehtävä loppuun ja ilmoita kysytty raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}=~\) |

Kysymys 4
Miksi raja-arvo voitiin lopuksi laskea käyttämällä kaavaa \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\)? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\[\begin{array}{rl} (1) & \text{Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva injektio pisteen } [value] \text{ ympäristössä.}\\ (2) & \text{Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva pisteessä } x=[value] .\\ (3) & \text{Koska funktio } e^x \text{ ei ole nolla tai ääretön missään reaalipisteessä } x .\\ (4) & \text{Koska eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita.}\\ \end{array}\]
Vastaus:

Oletetaan tunnetuksi, että \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\). Määritä raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin([value]x)}{x} \]

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään \(y= [value]x\): \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin ([value]x)}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{\frac{y}{[value]}}=\lim_{y\to 0} [value]\frac{\sin(y)}{y}=[value]\cdot 1=[value]. \]