Title: Kompleksiluvut

Hae kaikki luvun \([value]+[value]i\) kolmannet juuret.

Kirjoita kolmas juuri luvun \( \frac{1}{3} \) potenssina. Eksponenttifunktion \( e^{x} \) voit kirjoittaa joko muodossa e^(x) (sulut tarvitaan, jos yhden merkin sijasta eksponenttina on pidempi lauseke) tai muodossa exp(x).

Esimerkki: Luku \( (9 \sqrt3 )^{1/7} e^{i \pi/15} \) kirjoitetaan (9*sqrt(3))^(1/7)*e^(i*pi/15) \( \textbf{TAI} \) (9*sqrt(3))^(1/7)*exp(i*pi/15).

Luvun \([value]+[value]i\) kaikki kolmannet juuret ovat

\( w_1 = \)
\( w_2 = \)
\( w_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: \([value]+[value]i=\sqrt{([value])^2+[value]^2} e^{\large[value]i}\normalsize=[value]e^{ \large [value]i}\). Nyt eräs kolmas juuri on \[w_1=([value])^{1/3}e^{ \large[value]i},\] sillä \(w_1^3=\left(([value])^{1/3}\right)^3e^{i \large([value]) \normalsize\cdot3}=[value]e^{ \large [value]i}\). Muut kolmannet juuret ovat kulman \(2\pi/3\) välein \(([value])^{1/3}\)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \begin{align*} w_2&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value]+2\pi/3)}= \normalsize ([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}\quad \normalsize \text{ja} \\ \\ w_3&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value] +2\cdot2\pi/3)} \normalsize =([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}. \end{align*}

Ratkaise toisen asteen yhtälö \(x^2 - [value] \mathrm{i} x - [value]- \mathrm{i}=0 \).

Ratkaise tehtävä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti \( D \) eli toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä oleva lauseke?

Anna kaikki vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\( D =\)

Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa. Vastaukset ovat muotoa \([value] + z \), missä \( z \) on jokin kompleksiluku. Esitä nämä luvut \( z \) NAPAKOORDINAATTIMUODOSSA. Eli tyyliin \( [value] + r \exp(...) \).

N:nnet juuret voit kirjoittaa muodossa x^(1/n). Esimerkiksi luvun \(\sqrt[3]{3}\exp(i\frac{5\pi}{7})\) voi kirjoittaa 3^(1/3)*exp(i*5*pi/7).

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Polynomin \(p(x)=ax^2+bx+c\) diskriminantti D ratkaistaan seuraavasti: \( \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= ([value]\mathrm{i})^2 - 4 \cdot 1 \cdot ([value]- \mathrm{i}) \\ \\ &= [value]\mathrm{i}^2+[value]+4\mathrm{i} \\ \\ &= -[value]+[value]+4\mathrm{i} = [value]+[value] \, \mathrm{i}. \end{align} \) Yhtälön ratkaisut voi laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \[ \begin{align} x&=\frac{[value]\mathrm{i} \pm \sqrt{[value]+[value] \, \mathrm{i}}}{2}=[value] \pm \sqrt{[value]}= \Large [value] \pm [value] \\ \stackrel{-1=\exp(-\mathrm{i} \pi )}{\Rightarrow} x_{1}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i},\\ \quad x_{2}&= \Large [value] \normalsize \approx [value] + [value] \, \mathrm{i}. \end{align} \]

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa eli muodossa \( r \exp (i \theta) \) seuraavat:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2\exp\left(i [value] \right)\) ja \(\displaystyle [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2\exp\left(i [value]\right) + [value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoon \(z=[value]+[value]\) kompleksiluku. Laske \(\left|z\right|\). Esitä lisäksi kompleksiluku \(\displaystyle{w=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}}\) muodossa \(w=a+b[value]\), missä \(a\), \(b\in\mathbb{R}\).

Let \(z=[value]+[value]\) be a complex number. Calculate \(\left|z\right|\). Moreover, express the complex number \(\displaystyle{w=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}}\) in the form \(w=a+b[value]\), where \(a\), \(b\in\mathbb{R}\).

\(\displaystyle{\left|z\right|}=\),
\(\displaystyle{w}=\)\(+\)\([value]\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} \left|z\right|&=[value]=[value],\\ w&=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}=\frac{-[value][value](\overline{[value]+[value]})}{\left|[value]+[value]\right|} =\frac{-[value][value]([value]-[value])}{\sqrt{([value])^2+[value]^2}}=\frac{[value]+[value][value]^2}{\sqrt[value]}=\frac{[value]+[value]}{[value]}=-[value]+[value] \end{align*} \] Model solution: \[ \begin{align*} \left|z\right|&=[value]=[value],\\ w&=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}=\frac{-[value][value](\overline{[value]+[value]})}{\left|[value]+[value]\right|} =\frac{-[value][value]([value]-[value])}{\sqrt{([value])^2+[value]^2}}=\frac{[value]+[value][value]^2}{\sqrt[value]}=\frac{[value]+[value]}{[value]}=-[value]+[value] \end{align*} \]

Olkoot \(z=[value]\) ja \(w=[value]\) kompleksilukuja. Laske \(\displaystyle{z\overline{w}}\) ja \(\displaystyle{\frac{z}{w}}\) (lavenna nimittäjän liittoluvulla).

Let \(z=[value]\) and \(w=[value]\) be complex numbers. Calculate \(\displaystyle{z\overline{w}}\) and \(\displaystyle{\frac{z}{w}}\) (multiply numerator and denominator with the complex conjugate of the denominator).

\(\displaystyle{z\overline{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\),

\(\displaystyle{\frac{z}{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\)
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \[ z\overline{w} = ([value])(\overline{[value]}) = ([value])([value])\\ = [value]-([value]){\textrm{i}}+([value]){\textrm{i}}-([value]){\textrm{i}}^2\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \] \[ \frac{z}{w}=\frac{\overline{w}z}{\overline{w}w} =\frac{z\overline{w}}{|w|^2}\\= \frac{[value]+([value]) {\textrm{i}}}{([value])^2+([value])^2}\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \]