Title: Matriisien peruslaskutoimitukset

Let \[ A = [value] \quad \textrm{and} \quad B = [value]. \]

Compute the sum \(C = A + B\).

Olkoot \[ A = [value] \quad \textrm{ja} \quad B = [value]. \]

Laske summa \(C = A + B\).

Vastaus:
Feedback: Worked solution: Matrix sum is calculated elementwise. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{A}+\mathrm{B} & = & [value] + [value] \\ & = & [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*}\] Mallivastaus: Matriisien summa lasketaan alkioittain: \[\begin{eqnarray*} \mathrm{A}+\mathrm{B} & = & [value] + [value] \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\]

Jaa matriisi

\[ A = [value] \]

summaksi \( A = S + N \) siten, että matriisi \( S \) on symmetrinen ja \( N \) antisymmetrinen.

\( S = \)

\( N = \) .
Feedback: Mallivastaus: Matriisi \( S \) on symmetrinen, jos sille pätee \( S^T = S \). Matriisi \( N \) on antisymmetrinen, jos sille pätee \( N^T = -N \). Nyt tulee löytää siis symmetrinen matriisi \( S \) ja antisymmetrinen matriisi \( N \) siten, että \( S+N = A \). Toisin sanoen kaikilla \( i, j \in \{ 1,2,3,4 \} \) pätee \[ \begin{cases} s_{ij} = s_{ji} \\ n_{ij} = -n_{ji} \\ s_{ij} + n_{ij} = a_{ij}. \end{cases} \] Matriisit \( S \) ja \( N \) löydetään kokeilemalla, mutta yllä olevista ehdoista huomataan ainakin heti, että kun \( i = j \), niin on oltava \( n_{ij} = 0 \), koska muuten ehto \( n_{ij} = -n_{ji} \) ei täyty. Toisin sanoen matriisin \( N \) diagonaalialkioiden tulee olla nollia. Tästä saadaankin kolmannen ehdon perusteella ratkaistua matriisin \( S \) diagonaalialkiot. Huomataan, että esimerkiksi matriiseilla \( S = [value] \quad \text{ja} \quad N = [value] \) ylläolevat ehdot pätevät, sillä \[ S^T = [value] = S \] \[ N^T = [value] = -N \] ja \[ S+N = [value] = A. \]

Laske \( A(\mathbf{b}^T \mathbf{b})^{-1}(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} A(\mathbf{b}^T \mathbf{b} )^{-1} (A^{-1})^T & = A ( \lVert \mathbf{b} \rVert^2 )^{-1} (A^{-1}) \\ & = A ( [value]^2 + ([value])^2 + [value]^2 )^{-1} A^{-1} \\ & = A \cdot [value]^{-1} \cdot A^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}AA^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}I \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Laske \( \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} = \mathbf{b}^T AA\mathbf{b} = \mathbf{b}^T A^T A\mathbf{b} = (A\mathbf{b})^T A\mathbf{b} = \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 \] Koska \[ A\mathbf{b}=[value][value]=[value], \] on \( \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 = ([value])^2 + ([value])^2 + ([value])^2 \) = [value].

Laske \( (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T & = I + A + A^2 - A^{-1} (I+A+A^2) +A^{-1} \\ & = I + A + A^2 - A^{-1} - I - A + A^{-1} \\ & = A^2 \\ & = [value][value] \\ & = [value]. \end{align}\]

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value].\)

Laske matriisitulot

\( \textbf{(a)} \quad AB \):

\( \textbf{(b)} \quad BA \):

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value], \quad C = [value] \)

/* \( [value] \quad [value] \quad [value] \quad [value] \)

*/ \( \textbf{(a)} \) Mitkä kaikista mahdollisista tuloista on määritelty, t.s. mitkä tuloista voidaan laskea? Valitse alta kaikki ne tulot, jotka on määritelty. Anna vastauksesi niiden joukkona pilkuin eroteltuna. Esim. jos mielestäsi tulot \( AB \) ja \( CB \) on määritelty ja muut eivät, niin vastauksesi olisi \( \{ 1,6 \} \).

\( \begin{align} &1: AB \quad 2: BA \quad 3: AC \\ &4: CA \quad 5: BC \quad 6: CB \end{align} \)
Vastaus: (vastauksessa tulee olla täsmälleen kaikki määritellyt tulot pisteitä saadaksesi)

\( \textbf{(b)} \) Päättele, minkä matriisien tulomatriisi on \( 4 \times 3 \)-matriisi. Eli mikä ylläluetelluista kuudesta tulosta tuottaa \( 4 \times 3 \)-matriisin. Laske tämä tulomatriisi.
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Matriisitulo on määritelty, jos tulon vasemmalla puolella olevassa matriisissa on yhtä monta pystyriviä kuin tulon oikean puolen matriisissa on vaakarivejä. Tulomatriisissa on yhtä monta vaakariviä kuin tulon vasemman puoleisessa matriisissa ja yhtä monta pystyriviä kuin tulon oikeanpuoleisessa matriisissa. Siis esimerkiksi \( (2 \times 4) \)- ja \( (4 \times 2) \)-matriisien tulo on määritelty ja tuloksena on \( (2 \times 2) \)-matriisi. Nyt \( A \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi, \( B \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi ja \( C \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi, joten tulot [value], [value], [value] ja [value] on määritelty, mutta [value] ja [value] ei. Siten oikea vastaus on [value]. \( \textbf{(b)} \) Nyt \( 4 \times 3 \)-matriisi saadaan matriisien [value] ja [value] tulosta: \( [value][value]=[value][value] = [value] \).

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value].\)

Päättele ensin, mikä matriisitulo (AB vai BA) on määritelty, ja laske sen jälkeen tämä tulo. Anna vastauksesi matrix()-funktion avulla. Jokainen rivi kirjoitetaan hakasulkeiden sisään ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin jokainen hakasulkeisiin kirjoitettu rivi erotellaan pilkulla.
Esim. matriisi [value] kirjoitetaan matrix([1,2],[3,4],[5,6]).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus Nyt ainoastaan tulo \( [value][value] \) on määritelty. Nyt matriisissa [value] on neljä pystyriviä ja matriisissa [value] kolme vaakariviä, joten tulo \( [value][value] \) ei ole määritelty. \( [value][value] = [value] \)

Let Olkoon | \(\mathrm{A}=\) | \([value]\quad\) | and ja | \(\quad\mathrm{B}=\) | [value].

Calculate \(\mathrm{A}+\mathrm{B}, [value]\mathrm{B}\) and \(\mathrm{AB}\). Määritä \(\mathrm{A}+\mathrm{B}, [value]\mathrm{B}\) ja \(\mathrm{AB}\).

\(\mathrm{A}+\mathrm{B}=~\) |  |
\([value]\mathrm{B}=~\) |  |
\(\mathrm{AB}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[ \mathrm{A}+\mathrm{B}=[value]=[value]. \] \[ [value]\mathrm{B}=[value][value]=[value]=[value]. \] \[ \mathrm{AB}=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) & [value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) +[value]\cdot ([value]) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value]\\ [value] & [value] & [value]\\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \]

Let Olkoon \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Compute \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Compute [value]\((\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}\).
Note that multiplying by [value] in the right place may simplify the calculations. Laske matriisien tulomatriisin käänteismatriisi \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Laske tulo \[[value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}.\]
Mieti, missä vaiheessa on hyvä kertoa annetulla vakiolla [value], koska osa murtolukutermeistä voi supistua pois.

Answer: Vastaus:

\( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} =~\) [value]\((\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: We know that \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{and}\quad\quad \mathrm{B}=[value]\] and we are to compute \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} \] holds if both of the matrices are invertible. The matrix \( \mathrm{A}^{-1} \) is given so we know that \(\mathrm{A}\) is invertible. Let's investigate if \( \mathrm{B} \) is invertible. Form the matrix \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Next we calculate the rref form of \(\mathrm{C}\). Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is \( \mathrm{B}^{-1} \). \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Now we can compute \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} = [value][value] = [value] \] \( [value](\mathrm{AB})^{-1} \). \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} \] holds if both of the matrices are invertible. The matrix \( \mathrm{A}^{-1} \) is given so we know that \(\mathrm{A}\) is invertible. Let's investigate if \( \mathrm{B} \) is invertible. Form the matrix \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Next we calculate the rref form of \(\mathrm{C}\). Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is \( \mathrm{B}^{-1} \). \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Now we can compute \[\begin{array}{rll} [value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = [value]\cdot \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} & = & [value]\cdot [value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\] . Mallivastaus: Tiedämme, että \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]\] ja tehtävämme on laskea \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Jos molemmat matriisit \(\mathrm{A}\) ja \(\mathrm{B}\) ovat kääntyviä, pätee \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} .\] Tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n, joten tutkitaan mikä \( \mathrm{B}^{-1} \) on tai onko \( \mathrm{B} \) ylipäätään kääntyvä. Muodostetaan matriisi \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Viedään seuraavaksi matriisi \(\mathrm{C}\) rref-muotoon käyttämällä rivioperaatioita. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Voisi vielä tarkistaa, että kyseisen matriisi on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{B}^{-1}\mathrm{B}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{B}\mathrm{B}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tunnemme matriisit \( \mathrm{A}^{-1} \) ja \(\mathrm{B}^{-1}\) voimme laskea \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} = [value][value] = [value] \] \( [value](AB)^{-1} \). Jos molemmat matriisit \(\mathrm{A}\) ja \(\mathrm{B}\) ovat kääntyviä, pätee \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} .\] Tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n, joten tutkitaan mikä \( \mathrm{B}^{-1} \) on tai onko \( \mathrm{B} \) ylipäätään kääntyvä. Muodostetaan matriisi \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Viedään seuraavaksi matriisi \(\mathrm{C}\) rref-muotoon käyttämällä rivioperaatioita. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Voisi vielä tarkistaa, että kyseisen matriisi on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{B}^{-1}\mathrm{B}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{B}\mathrm{B}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tunnemme matriisit \( \mathrm{A}^{-1} \) ja \(\mathrm{B}^{-1}\) voimme laskea \[\begin{array}{rll} [value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = [value]\cdot \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} & = & [value]\cdot [value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\] .

Määritä tulo \(Ax\), kun
\[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array} \right] \ \text{ja} \ x=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T. \]

\( Ax = \bigg [ \) \( \bigg ]^T. \)
Feedback: Mallivastaus: \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \] ja \[ x=\left[\begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right].\] \begin{eqnarray*} Ax & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value]\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ ([value])\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right]. \end{eqnarray*}

Olkoot matriisit
\[
A = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad B = [value].
\]

Määritä parametri \(k\) siten, että \(AB = BA\).

\(k= \)
Feedback: Mallivastaus: Aloitetaan laskemalla matriisitulot \(AB\) ja \(BA\). \( \begin{align*} AB & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value], \\ BA & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value]. \end{align*} \) Jotta matriisitulot olisivat yhtä suuret, matriisien vastaavat alkiot pitää olla yhtä suuret. Huomataan, että matriisituloista kaksi alkiota ovat identtiset, joten määritellään parametri \(k\) esim. merkitsemällä yhtä suuriksi alkiot \((AB)_{21} = (BA)_{21}\). \(\begin{align*} (AB)_{21} & = (BA)_{21} \\ [value] & = [value] \\ [value] & = [value] \\ k & = [value]. \end{align*} \) Tarkistetaan vielä lopuksi, että viimeinen alkio on tuloissa yhtä suuret. \(\begin{align*} (BA)_{12} & = [value] \qquad || \textrm{ } k=[value] \\ & {} = [value], \end{align*} \) joka on yhtä suuri kuin alkio \((AB)_{12} = [value]\).

Olkoon
\[ A^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske matriisien tulomatriisin käänteismatriisi \( (AB)^{-1} \).
Laske tulo [value]\((AB)^{-1}\).
Mieti, missä vaiheessa on hyvä kertoa annetulla vakiolla [value], koska osa murtolukutermeistä voivat supistua pois.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} B^{-1} &= [value] \\ \\ [value]B^{-1} &= [value]\\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] (B^{-1} A^{-1}) \\ &= ([value] B^{-1}) A^{-1} \\ &= [value][value] = [value] \end{align} \). TOINEN TAPA (työläämpi): \( \begin{align} A = (A^{-1})^{-1} &= [value] \\ \\ AB & = [value][value] = [value] \\ \\ (AB)^{-1} &= [value] \\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] \end{align} \).

Olkoon

\[
A = [value].
\]

Matriisin \(A\) transpoosi on

.
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \(M\) transpoosi \(M^{\mathsf{T}}\) määritellään seuraavasti. \[ M_{ij}^{\mathsf{T}} = M_{ji}. \] Näin ollen matriisin \[ A = [value] \] transpoosiksi saadaan \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \]

Olkoon

\[ A =[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske \(A^{\mathsf{T}}B\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \( A \) transpoosi on \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \] Siten \[ A^{\mathsf{T}}B = [value][value] = [value]. \]

Let \(\mathrm{A}=[value]\), \(\mathrm{B}=[value]\), \(k=[value]\), \(\alpha=[value]\) and \(\beta=[value]\).

Solve the equations for \(\mathrm{X}\).

Olkoon \(\mathrm{A}=[value]\), \(\mathrm{B}=[value]\), \(k=[value]\), \(\alpha=[value]\) sekä \(\beta=[value]\).

Ratkaise seuraavista yhtälöistä matriisi \(\mathrm{X}\).

\(\mathrm{a)}\quad k\mathrm{X}+\mathrm{A}=\mathrm{B}\)
\(\mathrm{b)}\quad \dfrac{\mathrm{B}-\mathrm{X}}[value]=\dfrac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}[value] \)
\(\mathrm{c)}\quad \alpha\mathrm{X}=\mathrm{A}- \beta\left( \mathrm{X}-\mathrm{A} \right) \)

Answers: Vastaukset:

\(\mathrm{a)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
\(\mathrm{b)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
\(\mathrm{c)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: \(\mathbf{(a)}\) Simplify the equations and subtitute the values: Mallivastaus: \(\mathbf{(a)}\) Sievennetään yhtälö ja sijoitetaan arvot: \[\begin{eqnarray} k\mathrm{X}+\mathrm{A}&=&\mathrm{B} \\ k\mathrm{X}&=&\mathrm{B}-\mathrm{A} \\ \mathrm{X}&=&\frac{1}{k}\left(\mathrm{B}-\mathrm{A}\right) \\ \mathrm{X}&=&\frac{1}[value]\left([value]-[value]\right) \\ \mathrm{X}&=&[value][value] \\ \mathrm{X}&=& [value] \end{eqnarray}\] \(\mathbf{(b)}\) \[\begin{eqnarray} \dfrac{\mathrm{B}-\mathrm{X}}[value]&=&\dfrac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}[value] \\ [value]\left( \mathrm{B}-\mathrm{X} \right) &=& [value]\left( \mathrm{X}-\mathrm{A} \right) \\ [value]\mathrm{B}+[value]\mathrm{X} &=& [value]\mathrm{X}+[value]\mathrm{A} \\ [value]\mathrm{X}&=&[value]\mathrm{A} +[value]\mathrm{B} \\ [value]\mathrm{X}&=&[value][value] +[value][value] \\ [value]\mathrm{X}&=&[value] + -[value] \\ [value]\mathrm{X}&=&[value] \\ \mathrm{X}&=&[value] \\ \end{eqnarray}\] \(\mathbf{(c)}\) \[\begin{eqnarray} \alpha\mathrm{X} &=& \mathrm{A}- \beta\left( \mathrm{X}-\mathrm{A} \right) \\ \alpha\mathrm{X} &=& \mathrm{A}- \beta \mathrm{X}+\beta\mathrm{A} \\ \left( \alpha+\beta \right)\mathrm{X} &=& \left(1+\beta\right)\mathrm{A} \\ \mathrm{X} &=& \frac{1+\beta}{\alpha+\beta}\mathrm{A} \\ \mathrm{X} &=& [value][value] \\ \mathrm{X} &=& [value] \end{eqnarray}\]

Let \(\mathrm{A}=[value]\), \(\mathrm{B}^{-1}=[value]\) and \(\mathrm{C}=[value]\). We can also assume that \(\mathrm{A}\) and \(\mathrm{B}\) are invertible.

Solve the following equations for \(\mathrm{X}\).

Olkoon \(\mathrm{A}=[value]\), \(\mathrm{B}^{-1}=[value]\) ja \(\mathrm{C}=[value]\). Voidaan lisäksi olettaa tunnetuksi, että matriisit \(\mathrm{A}\) ja \(\mathrm{B}\) ovat kääntyviä.

Ratkaise seuraavista yhtälöistä matriisi \(\mathrm{X}\).

\(\mathrm{a)}\quad \mathrm{A}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{0}\)
\(\mathrm{b)}\quad \mathrm{C}\mathrm{X}=[value]\mathrm{X}+\mathrm{I}\)
\(\mathrm{c)}\quad \mathrm{A}\mathrm{X}^{-1}=\mathrm{B}\mathrm{X}^{-1}+\mathrm{I} \)

Answers: Vastaukset:

\(\mathrm{a)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
\(\mathrm{b)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
\(\mathrm{c)}\)
\(\mathrm{X}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: \(\mathbf{(a)}\) First solve the equation for \(\mathrm{X}\) symbolically and after that substitute the correct values. When simplifying a matrix equation, we may multiply the equation from the right or the left with matrices of compatible dimensions. \[\begin{eqnarray} \mathrm{A}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{B}-\mathrm{C} &=& \mathrm{0} \\ \Rightarrow \mathrm{A}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{B} &=& \mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{X}\mathrm{B} &=& \mathrm{A}\mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{X} &=& \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}^{-1} \\ \end{eqnarray}\] Subtitute the numeric values and compute the matrix products \[ \mathrm{X} = \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}^{-1} = [value][value][value] = [value] \] \(\mathbf{(b)}\) \[\begin{eqnarray} \mathrm{C}\mathrm{X} &=& [value]\mathrm{X}+\mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{X}-[value]\mathrm{X} &=& \mathrm{I} \\ \Rightarrow (\mathrm{C}-[value]\mathrm{I})\mathrm{X} &=& \mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{X} &=& (\mathrm{C}-[value]\mathrm{I})^{-1} \\ \end{eqnarray}\] The last part of the simplification is valid only if \(\mathrm{C}-[value]\mathrm{I}\) is indeed invertible. Let's compute the matrix and try to invert it. Let \(\mathrm{D}:= \mathrm{C}-[value]\mathrm{I}\). Now \[\mathrm{D} = [value]-[value][value] = [value] \] Let's compute the determinant. \[ \operatorname{det}(\mathrm{D}) = \begin{vmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{vmatrix} = [value] \neq 0 \] The determinant is nonzero so the matrix is indeed invertible. Let's compute the inverse: \[ \mathrm{X} = \mathrm{D}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{D})} \begin{bmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] \] \(\mathbf{(c)}\) This part includes an implicit assumption that \( \mathrm{X} \) is invertible since \( \mathrm{X}^{-1} \) would otherwise not exist. Let's simplify the equation. \[\begin{eqnarray} \mathrm{A}\mathrm{X}^{-1} &=& \mathrm{B}\mathrm{X}^{-1}+\mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{A} &=& \mathrm{B}+\mathrm{X} \\ \Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{B} &=& \mathrm{X} \\ \end{eqnarray}\] We know \(\mathrm{A}\) but not \(\mathrm{B}\). Let's compute \(\mathrm{B}\) using its inverse. \[ \operatorname{det}(\mathrm{B}^{-1}) = \begin{vmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{vmatrix} = [value] \] \[ \mathrm{B} = \left(\mathrm{B}^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{B}^{-1})} \begin{bmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] . \] Now we may calculate \(\mathrm{X}\). \[ \mathrm{X} = \mathrm{A}-\mathrm{B} = [value]-[value] = [value] \] Mallivastaus: \(\mathbf{(a)}\) Ratkaistaan ensin \(\mathrm{X}\) yhtälöstä ja sijoitetaan vasta sen jälkeen lukuarvot. Sievennettäessä matriisiyhtälöä, voimme kertoa yhtälön molemmat puolet joko vasemmalta tai oikealta matriiseilla, joiden dimensiot ovat sopivat. \[\begin{eqnarray} \mathrm{A}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{B}-\mathrm{C} &=& \mathrm{0} \\ \Rightarrow \mathrm{A}^{-1}\mathrm{X}\mathrm{B} &=& \mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{X}\mathrm{B} &=& \mathrm{A}\mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{X} &=& \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}^{-1} \\ \end{eqnarray}\] Sijoitetaan lopuksi lukuarvot ja lasketaan matriisitulot auki. \[ \mathrm{X} = \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}^{-1} = [value][value][value] = [value] \] \(\mathbf{(b)}\) \[\begin{eqnarray} \mathrm{C}\mathrm{X} &=& [value]\mathrm{X}+\mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{X}-[value]\mathrm{X} &=& \mathrm{I} \\ \Rightarrow (\mathrm{C}-[value]\mathrm{I})\mathrm{X} &=& \mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{X} &=& (\mathrm{C}-[value]\mathrm{I})^{-1} \\ \end{eqnarray}\] Sievennyksen viimeinen vaihe pätee vain jos \(\mathrm{C}-[value]\mathrm{I}\) tosiaan on kääntyvä. Ratkaistaan kyseinen matriisi ja yritetään kääntää se. Merkataan \(\mathrm{D}:= \mathrm{C}-[value]\mathrm{I}\). Nyt \[\mathrm{D} = [value]-[value][value] = [value] \] Lasketaan ensin determinantti. \[ \operatorname{det}(\mathrm{D}) = \begin{vmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{vmatrix} = [value] \neq 0 \] Determinantti on muuta kuin nolla, joten matriisi on kääntyvä. Lasketaan nyt käänteismatriisi suoraan kaavan avulla. \[ \mathrm{X} = \mathrm{D}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{D})} \begin{bmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] \] \(\mathbf{(c)}\) Tässä alakohdassa tehtävänantoon sisältyy implisiittinen oletus siitä, että \( \mathrm{X} \) on kääntyvä, sillä matriisia \( \mathrm{X}^{-1} \) ei muutoin olisi olemassakaan. Lähdetään sieventämään yhtälöä. \[\begin{eqnarray} \mathrm{A}\mathrm{X}^{-1} &=& \mathrm{B}\mathrm{X}^{-1}+\mathrm{I} \\ \Rightarrow \mathrm{A} &=& \mathrm{B}+\mathrm{X} \\ \Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{B} &=& \mathrm{X} \\ \end{eqnarray}\] Me tiedämme matriisin \(\mathrm{A}\), mutta \(\mathrm{B}\):tä emme. Lasketaan \(\mathrm{B}\) sen inverssin avulla. Lasketaan ensin determinantti. \[ \operatorname{det}(\mathrm{B}^{-1}) = \begin{vmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{vmatrix} = [value] \] Lasketaan sitten \(\mathrm{B}\): \[ \mathrm{B} = \left(\mathrm{B}^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{B}^{-1})} \begin{bmatrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] . \] Nyt voimme laskea \(\mathrm{X}\):n. \[ \mathrm{X} = \mathrm{A}-\mathrm{B} = [value]-[value] = [value] \]

Let \(\mathrm{A} = [value]\) and \(\mathrm{B} = [value]\). Calculate \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}\). What can we deduce if \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}=\mathrm{0}\)? Olkoon \(\mathrm{A} = [value]\) ja \(\mathrm{B} = [value]\). Laske \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}\). Mieti lisäksi mitä voimme päätellä, jos \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}=\mathrm{0}\).

Answer: Vastaus: |  |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[ \begin{eqnarray*} \mathrm{A}\mathrm{B} & = & [value] \cdot [value] \\ & = & \begin{bmatrix} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{bmatrix} \\ & = & [value] \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mathrm{B}\mathrm{A} & = & [value] \cdot [value] \\ & = & \begin{bmatrix} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{bmatrix} \\ & = & [value] \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{B}\mathrm{A} & = & [value]-[value] \\ & = & \begin{bmatrix} [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \\ [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \\ [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \end{bmatrix} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \] Matrix \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}\) is called the commutator of \(\mathrm{A}\) and \(\mathrm{B}\). If the commutator equals zero the product of the matrices commutes and if it is nonzero the matrices do not commute. In other words \( \mathrm{AB}=\mathrm{BA} \) iff \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}=\mathrm{0}\). Matriisia \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}\) kutsutaan kommutaattoriksi. Jos se on nollamatriisi, voimme kyseisillä matriiseilla \( \mathrm{A} \) ja \( \mathrm{B} \) vaihtaa järjestystä laskettaessa niiden välistä matriisituloa. Toisin sanoin \( \mathrm{AB}=\mathrm{BA} \), jos ja vain jos \(\mathrm{AB} - \mathrm{BA}=\mathrm{0}\).

Let

\[
\mathrm{A} = [value].
\]

The transpose of \(\mathrm{A}\) is:

Olkoon

\[
\mathrm{A} = [value].
\]

Matriisin \(\mathrm{A}\) transpoosi on

.
Feedback: Worked solution: The transpose of \(\mathrm{M}\), denoted \(\mathrm{M}^{\intercal}\), is defined by the following equation. \[ \mathrm{M}_{ij}^{\intercal} = \mathrm{M}_{ji}. \] Therefore the transpose of \[ \mathrm{A} = [value] \] is \[ \mathrm{A}^{\intercal} = [value]. \] Mallivastaus: Matriisin \(\mathrm{M}\) transpoosi \(\mathrm{M}^{\intercal}\) määritellään seuraavasti. \[ \mathrm{M}_{ij}^{\intercal} = \mathrm{M}_{ji}. \] Näin ollen matriisin \[ \mathrm{A} = [value] \] transpoosiksi saadaan \[ \mathrm{A}^{\intercal} = [value]. \]

Let

\[ \mathrm{A} =[value]\quad\quad\mbox{and}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Calculate the product \(\mathrm{A}^{\mathsf{T}}\mathrm{B}\).

Olkoon matriisit

\[ \mathrm{A} =[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Laske tulo \(\mathrm{A}^{\mathsf{T}}\mathrm{B}\).

\(\mathrm{A}^{\mathsf{T}}\mathrm{B}=~\) |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: The transpose of matrix \(\mathrm{A}\) can be formed by switching the rows and columns of the matrix together. Matriisin \(\mathrm{A}\) transpoosi saadaan muuttamalla alkuperäisen matriisin rivit sarakkeiksi ja päinvastoin: \[ \mathrm{A}^{\mathsf{T}} = [value]. \] Note that the product would not be defined without the transpose. The left matrix must have the same amount of columns as the right matrix has rows Huomaa, että ilman transpoosia tuloa ei voitaisi laskea. Vasemmanpuoleisella matriisilla täytyy olla yhtä monta saraketta, kuin oikeanpuoleisella on rivejä. Example: Esimerkkitapaus: \[ \mathrm{A} = \left[\begin{array}{ccc} \mathrm{A}_{11} & \mathrm{A}_{12} & \mathrm{A}_{13} \\ \mathrm{A}_{21} & \mathrm{A}_{22} & \mathrm{A}_{23} \end{array}\right],\quad \mathrm{B} = \left[\begin{array}{cc} \mathrm{B}_{11} & \mathrm{B}_{12} \\ \mathrm{B}_{21} & \mathrm{B}_{22} \\ \mathrm{B}_{31} & \mathrm{B}_{32} \end{array}\right] \] \(\mathrm{A}\) is a \(2\times 3\) matrix and \(\mathrm{B}\) is a \(3\times 2\) matrix. The product will then be the following \(2\times 2\) matrix: \(\mathrm{A}\) on 2x3 matriisi ja \(\mathrm{B}\) on 3x2 matriisi. Näiden tulosta saadaan 2x2 matriisi seuraavasti: \[ \mathrm{AB} = \left[\begin{array}{ccc} \mathrm{A}_{11}\cdot \mathrm{B}_{11}+\mathrm{A}_{12}\cdot \mathrm{B}_{21}+\mathrm{A}_{13}\cdot \mathrm{B}_{31} & \hphantom{'} & \mathrm{A}_{11}\cdot \mathrm{B}_{12}+\mathrm{A}_{12}\cdot \mathrm{B}_{22}+\mathrm{A}_{13}\cdot \mathrm{B}_{32} \\ \mathrm{A}_{21}\cdot \mathrm{B}_{11}+\mathrm{A}_{22}\cdot \mathrm{B}_{21}+\mathrm{A}_{23}\cdot \mathrm{B}_{31} & \hphantom{'} & \mathrm{A}_{21}\cdot \mathrm{B}_{12}+\mathrm{A}_{22}\cdot \mathrm{B}_{22}+\mathrm{A}_{23}\cdot \mathrm{B}_{32} \end{array}\right]. \]

Let

\[ \mathrm{A} = [value] \qquad \textrm{and} \qquad \mathrm{B} = [value]. \]

Calculate the products \(\mathrm{C_1} = \mathrm{AB}\) and \(\mathrm{C_2} = \mathrm{BA}\).

Olkoon

\[ \mathrm{A} = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad \mathrm{B} = [value]. \]

Laske matriisitulot \(\mathrm{C_1} = \mathrm{AB}\) ja \(\mathrm{C_2} = \mathrm{BA}\).

\(\mathrm{C_1}=~\) |

\(\mathrm{C_2}=~\) |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{eqnarray*} \mathrm{C_1} & = & \mathrm{AB} \\ & = & [value]\cdot[value] \\ \\ & = & \begin{bmatrix} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{bmatrix} \\ \\ & = & \begin{bmatrix} [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \\ [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \\ [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \end{bmatrix} \\ \\ & = & \underline{\underline[value]}. \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mathrm{C_2} & = & \mathrm{BA} \\ & = & [value]\cdot[value] \\ \\ & = & \begin{bmatrix} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{bmatrix} \\ \\ & = & \begin{bmatrix} [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \\ [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \\ [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] & [value] + [value] + [value] \end{bmatrix} \\ \\ & = & \underline{\underline[value]}. \end{eqnarray*}\]

Let

\[ \mathrm{A} = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad \mathrm{B} = [value]. \]

Calculate the matrix products \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BA}\) and the difference \(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}\).

Olkoot

\[ \mathrm{A} = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad \mathrm{B} = [value]. \]

Laske matriisitulot \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BA}\) ja erotus \(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}\).

\(\mathrm{AB}=~\) |

\(\mathrm{BA}=~\) |

\(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}=~\) |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{eqnarray*} \mathrm{AB} & = & [value] \cdot [value] \\ \\ & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{array} \right] \\ \\ & = & \underline{\underline[value]} \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mathrm{BA} & = & [value] \cdot [value] \\ \\ & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] \end{array} \right] \\ \\ & = & \underline{\underline[value]} \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \mathrm{AB} - \mathrm{BA} & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \\ [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \\ [value] - [value] & [value] - [value] & [value] - [value] \end{array} \right] \\ \\ & = & \underline{\underline[value]} \end{eqnarray*} \]

Calculate the products \(\mathrm{A}\mathrm{B}\) and \(\mathrm{B}\mathrm{A}\) when the matrices are Laske matriisitulot \(\mathrm{A}\mathrm{B}\) ja \(\mathrm{B}\mathrm{A}\), kun matriisit ovat \[ \mathrm{A} = [value] \text{ ja } \mathrm{B} = [value] .\]

\(\mathrm{A}\mathrm{B}=~\) |
\(\mathrm{B}\mathrm{A}=\) |  |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[ \mathrm{A}\mathrm{B} = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] . \] \[ \mathrm{B}\mathrm{A} = \begin{bmatrix} [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] \\ [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] & [value]\cdot [value] \\ \end{bmatrix} = [value]. \]

Let

\[ \mathrm{A} =[value]\quad\quad\mbox{and}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Calculate \(\mathrm{A}^{\intercal}\mathrm{B}\).

Olkoon

\[ \mathrm{A} =[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Laske \(\mathrm{A}^{\intercal}\mathrm{B}\).
Feedback: Worked solution: The transpose of \(\mathrm{A}\) is \[ \mathrm{A}^\intercal = [value] .\] Let's compute the elements of the product next. The element on the ith row and jth column of \( \mathrm{A}^\intercal \mathrm{B} \) can be calculated by taking the dot product of the ith row of \( \mathrm{A}^\intercal \)and the jth column of \( \mathrm{B} \). The element in the first row and first column is then \[ \left(\mathrm{A}^\intercal \mathrm{B}\right)_{11} = ([value],[value]) \cdot ([value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] ([value],[value],[value]) \cdot ([value],[value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] \] and the element in the first row and second column is \[ \left(\mathrm{A}^\intercal \mathrm{B}\right)_{12} = ([value],[value]) \cdot ([value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] ([value],[value],[value]) \cdot ([value],[value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] . \] The rest of the elements can be similarly calculated. The answer is \[ \mathrm{A}^\intercal \mathrm{B} = [value] .\] Mallivastaus: Tiedämme, että \[ \mathrm{A} = [value] \] ja \[ \mathrm{B} = [value] .\] Tehtävänämme on laskea \( \mathrm{A}^\intercal \mathrm{B} \). Muodostetaan ensin \( \mathrm{A} \):n transpoosi: \[ \mathrm{A}^\intercal = [value] .\] Lasketaan seuraavaksi tulomatriisin alkiot. Tulomatriisin \( \mathrm{A}^\intercal \mathrm{B} \) rivillä \( i \) ja sarakkeessa \( j \) oleva alkio saadaan ottamalla pistetulo \( \mathrm{A}^\intercal \):n \( i \):nnen rivin ja \( \mathrm{B} \):n \( j \):nnen sarakkeen kanssa. Tulomatriisin ensimmäisen rivin ensimmäinen alkio on siis \[ \left(\mathrm{A}^\intercal \mathrm{B}\right)_{11} = ([value],[value]) \cdot ([value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] ([value],[value],[value]) \cdot ([value],[value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] \] ja ensimmäisen rivin toinen alkio \[ \left(\mathrm{A}^\intercal \mathrm{B}\right)_{12} = ([value],[value]) \cdot ([value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] ([value],[value],[value]) \cdot ([value],[value],[value]) = [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] = [value] . \] Muutkin tulomatriisin alkiot saamme laskettua samalla tavalla. Vastaukseksi saamme \[ \mathrm{A}^\intercal \mathrm{B} = [value] .\]

Let
\[
A = [value] \qquad \textrm{and} \qquad B = [value].
\]

Determine the parameter \(k\) such that \(AB = BA\). Olkoot matriisit
\[
A = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad B = [value].
\]

Määritä parametri \(k\) siten, että \(AB = BA\).

\(k= \)
Feedback: Worked solution: Let's begin by computing the products \(AB\) and \(BA\). \( \begin{align*} AB & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value], \\ BA & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value]. \end{align*} \) For the matrices to be equal their corresponding elements must be equal. We note that two elements in the products are identical. Let's therefore use for example the elements \((AB)_{21}\) and \( (BA)_{21}\) to calculate \(k\). \(\begin{align*} (AB)_{21} & = (BA)_{21} \\ [value] & = [value] \\ [value] & = [value] \\ k & = [value]. \end{align*} \) Finally let's check that equality holds for the element in the first row and last column. \(\begin{align*} (BA)_{12} & = [value] \qquad || \textrm{ } k=[value] \\ & {} = [value] \end{align*} \) Mallivastaus: Aloitetaan laskemalla matriisitulot \(AB\) ja \(BA\). \( \begin{align*} AB & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value], \\ BA & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value]. \end{align*} \) Jotta matriisitulot olisivat yhtä suuret, matriisien vastaavat alkiot pitää olla yhtä suuret. Huomataan, että matriisituloista kaksi alkiota ovat identtiset, joten määritellään parametri \(k\) esim. merkitsemällä yhtä suuriksi alkiot \((AB)_{21} = (BA)_{21}\). \(\begin{align*} (AB)_{21} & = (BA)_{21} \\ [value] & = [value] \\ [value] & = [value] \\ k & = [value]. \end{align*} \) Tarkistetaan vielä lopuksi, että viimeinen alkio on tuloissa yhtä suuret. \(\begin{align*} (BA)_{12} & = [value] \qquad || \textrm{ } k=[value] \\ & {} = [value], \end{align*} \) joka on yhtä suuri kuin alkio \((AB)_{12} = [value]\).

Calculate the product \(Ax\) when
\[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array} \right] \ \text{and} \ x=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T. \]

Määritä tulo \(Ax\), kun
\[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array} \right] \ \text{ja} \ x=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T. \]

\(Ax = \bigg[\) \(\bigg]^T.\)
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{eqnarray*} Ax & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value]\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ ([value])\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right]. \end{eqnarray*} \]

Calculate the product \( \mathrm{A}\mathbf{x} \) when \[ \mathrm{A}=[value] \ \text{and} \ \mathbf{x}= [value]^\intercal. \] Määritä tulo \( \mathrm{A}\mathbf{x} \), kun \[ \mathrm{A}=[value] \ \text{ja} \ \mathbf{x}= [value]^\intercal. \]

\( \mathrm{A}\mathbf{x} =~\) |  |
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{eqnarray*} \mathrm{A}\mathbf{x} & = & [value] [value] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value]\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ ([value])\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \end{array} \right] \\ & = & [value] . \end{eqnarray*}\]

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Olkoon \( A = [value]\).

\( \textbf{(a)} \) Muodosta \( \text{rref}(A) \) eli matriisin redusoitu riviporrasmuoto.

\( \text{rref}(A) = \) .

\( \textbf{(b)} \) Mitä on \( \text{rank}(A) \)?

\( \text{rank}(A) = \) .
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Vaakarivimuunnoksilla päästään matriisiin \( \text{rref}(A) = \) [value]. Kertaa tarvittaessa rref-muodon hakeminen luentomonisteesta. \( \textbf{(b)} \) Matriisin aste \( \text{rank}(A) \) nähdään \( \text{rref}(A) \):sta. Se on nollasta eroavien rivien lukumäärä eli siis johtavien ykkösten lukumäärä. Tässä tapauksessa siis \( \text{rank}(A) = 2 \).

Tietokonehuollon varastoa täytyy täydentää ja omistaja Kalle on vertaillut kolmen eri kaupan hintoja. Kalle tarvitsee [value] pakettia kiintolevyruuveja, [value] tuubia jäähdytystahnaa ja [value] pakettia kovalevyruuveja. Kilpailevan huollon omistaja Sanna puolestaan tarvitsee 7 pakettia kiintolevyruuveja, 5 tuubia jäähdytystahnaa ja 2 pakettia kovalevyruuveja.

Kauppojen A, B ja C hinnat tuotteiden osalta ovat:

Kauppa | Kiintolevyruuvi (4kpl/pkt) | Jäähdytystahna (0,30g) | Kovalevyruuvit (20kpl/pkt)
A | 0,80 e | 4,60 e | 6,80 e
B | 1,20 e | 4,40 e | 6,60 e
C | 1,10 e | 4,00 e | 7,20 e

Muodosta matriisi Kallen ja Sannan ostoksista ja toinen matriisi tarvikkeiden hinnoista ja laske näiden avulla kustannusmatriisi, jonka ylärivillä on Kallen kustannukset ja alarivillä Sannan kustannukset kauppakohtaisesti. Käytä desimaalierottimena pistettä.

Ostomatriisi \(O= \) |  | Hintamatriisi \(H= \) |
Kustannusmatriisi \(K= \) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: Koska lopullinen kustannusmatriisi halutaan muodossa, jossa Kallen kustannukset ovat ylärivillä ja Sannan alarivillä, niin kirjoitetaan ostomatriisi samassa muodossa: \(O=\)[value]. Hintamatriisi täytyy nyt muodostaa niin, että ostomatriisin kertoimet osuvat oikeiden tuotteiden kohdalle ja lopulliseen kustannusmatriisiin saadaan kauppakohtaiset kustannukset. Tällöin \(H=\)[value]. Lopullinen kustannusmatriisi saadaan näiden kahden matriisitulona eli \(K=O\cdot H =\) [value], missä ylemmällä rivillä on Kallen kustannukset ostettaessa tarvikkeita kaupasta A, B tai C ja alemmalla rivillä Sannan kustannukset vastaavasti.