Title: Derivaatta ja ääriarvo

Feedback shared by this category's questions, if right: Your answer is correct. Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Your answer is partially correct. Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Your answer is incorrect. Vastauksesi on väärin.

Valitse pudotusvalikoista oikeat vaihtoehdot.

Kuvaaja 1: | Kuvaaja 2:
Kuvaaja 3: | Kuvaaja 4:

(a) Kuvaajan 1 funktio on

(b) Kuvaajan 2 funktio on

(c) Kuvaajan 3 funktio on

(d) Kuvaajan 4 funktio on
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktio on aidosti kasvava, sillä sen derivaatta aina positiivista paitsi yksittäisessä pisteessä (0,1), jossa se on määrittelemätön ja ehto \(f(x_1)<f(x_2)\), kun \(x_1<x_2\) on voimassa. (b) Funktion derivaatta on nolla välillä \([2,5]\), joten funktio ei voi olla aidosti kasvava. Funktion derivaatta on kuitenkin aina epänegatiivista, joten se on kasvava. (c) Funktio on aidosti vähenevä, sillä \(f(x_1)>f(x_2)\), kun \(x_1 (d) Funktio on vähenevä, sillä funktion derivaatta on aina epäpositiivista paitsi välillä \([0,\pi/2]\), jolloin sen derivaatta on nolla.

Millä väleillä seuraavat funktiot ovat kasvavia? Anna vastauksena ehto. Esim. ehto \(x\leq9\) annettaisiin muodossa "x<=9" ja ehto \(x\geq9\) muodossa "x>=9". Jos vastauksesi on koko reaalilukujen joukko, niin laita vastauskenttään vain kirjain R.

\(\textbf{(a)}\) \(f_a(x)=\)[value]:
\(\textbf{(b)}\) \(f_b(x)=\)[value]:
\(\textbf{(c)}\) \(f_c(x)=\)[value]:
\(\textbf{(d)}\) \(f_d(x)=\)[value]:
\(\textbf{(e)}\) \(f_e(x)=\)[value]: tai
\(\textbf{(f)}\) \(f_f(x)=\)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) R, sillä (a)-kohdan eksponenttifunktion kanta luku on [value] ja eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on suurempi kuin 1. (b) [value], sillä funktion derivaatta on \(2x\), joka on epänegatiivista, kun \(x\geq0\). (c) [value], sillä logaritmifunktio on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, jos sen kanta on suurempi kuin 1. (d) [value]. Funktion [value] derivaatta on [value]. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla nähdään, että derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia. Koska [value] on ylöspäin aukeava paraabeli on derivaatta aina positiivista. (e) [value] ja [value], sillä funktion [value] derivaattafunktio on [value], joka on positiivista määrittelyjoukossaan (\(x\neq0\)). (f) R, sillä vakiofunktio on kasvava, koska sen derivaatta on aina nolla.

Laske \(f'([value])\) erotusosamäärän raja-arvona, kun \(f(x)=[value]\).
Feedback: Mallivastaus: Funktion derivaatta pisteessä 1, saadaan laskettua erotusosamäärän raja-arvona seuraavasti: \[ \begin{align*} f'(1)&=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{[value]-[value]}{h} \\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{[value](1+3h+3h^2+h^3)+([value])}{h} \\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{[value](1+3h+3h^2+h^3+{([value]))}}{h} \\ &=\lim\limits_{h\rightarrow 0}[value]+[value]h+[value]h^2 \\ &=[value] \end{align*} \]

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_1\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_2\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_3\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

/*Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).*/

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x=\), \(x=\).

Mikä on pienimmän kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the smallest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on suurimman kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1(=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the largest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1(=a local maximum point).
Feedback: Mallivastaus: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Millä väleillä seuraavat funktiot ovat väheneviä? Anna vastauksena ehto. Esim. ehto \(x\leq9\) annettaisiin muodossa "x<=9" ja ehto \(x\geq9\) muodossa "x>=9". Jos vastauksesi on koko reaalilukujen joukko, niin laita vastauskenttään vain kirjain R.

\(\textbf{(a)}\) \(f_a(x)=\)[value]:
\(\textbf{(b)}\) \(f_b(x)=\)[value]:
\(\textbf{(c)}\) \(f_c(x)=\)[value]:
\(\textbf{(d)}\) \(f_d(x)=\)[value]: ja
\(\textbf{(e)}\) \(f_e(x)=\)[value]: tai
\(\textbf{(f)}\) \(f_f(x)=\)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) [value], sillä funktio on aidosti vähenevä, koska sen derivaatta on -1. (b) [value], sillä funktion derivaatta \(2x\) on epäpositiivista, kun \(x\leq0\). (c) [value]. Neliöjuurifunktio on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, joten [value] on aidosti vähenevä, kun \(x\geq0\). (d) [value] ja [value]. Funktion [value] derivaatta on [value], jolla on kaksi nollakohtaa [value] ja [value]. Koska [value] on ylöspäin aukeava paraabeli, on derivaatta epäpositiivista nollakohtien välissä, joten [value] ja [value]. (e) [value] ja [value], sillä funktion [value] derivaattafunktio on [value], joka on negatiivista määrittelyjoukossaan (\(x\neq0\)). (f)[value], sillä vakiofunktio on vähenevä, koska sen derivaatta on aina nolla.

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)

DifferentiateDerivoi

a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)

Determine the derivative of the function \[f(x)=\frac[value][value] \] Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)

Find the derivative of the function Laske funktion

\[f(x)= [value]\]

derivaatta.

\(f'(x)=~\)

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |

Find the derivatives of the following functions:

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)

Find the derivatives of the following functions: Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[f(x)=[value]\]

(b) \[g(x)=\displaystyle [value]\]

(c) \[h(x)=[value]\]

(a)\(\quad f'\left(x\right)=\)

(b)\(\quad g'\left(x\right)=\)

(c)\(\quad h'\left(x\right)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) \] \[\begin{align}f(x) &=([value]-[value])^{[value]} \\ f'(x) &=[value]([value]-[value])^{[value]}([value]x^{[value]}-[value]x^{[value]}) \\ &=[value]([value])^{[value]}(1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \\ &=[value](1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \\ & =[value]x^{[value]}(1-[value])^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}).\end{align}\] (b) Quotient rule: Osamäärän derivaatta: \[\displaystyle \Big( \frac{f}{g}\Big) '(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \] \[\begin{align} g(x) & =\frac{x^3+1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x^3+1}{(1+x^2)^{1/2}} \\ g'(x) &=\frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-(x^3+1)\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x}{[(1+x^2)^{1/2}]^2 } \\ & =\frac{3x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x(x^3+1)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \\ & =\frac{3x^2+3x^4-x^4-x}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{2x^4+3x^2-x}{(1+x^2)^{3/2}}.\end{align} \] (c) Product rule: Tulon derivaatta: \[(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \] \[\begin{align}h(x)&=\cos([value]x)\sin([value]x)\\ h'(x) &=-\sin([value]x)\cdot [value]\cdot \sin([value]x)+\cos([value]x)\cdot \cos([value]x)\cdot [value]\\ &=-[value] \sin([value]x) \sin([value]x)+[value] \cos([value]x) \cos([value]x).\end{align} \]

Derivoi \( f(x)=[value] \).

\( f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f'(x) & = & \frac{1}[value]\cdot ([value])^{1/[value]-1}\cdot [value]x^[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Derivoi \( f(x)=\displaystyle [value] \).

\( f'(x)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( f(x)=[value]=x^{-[value]} \). \( \begin{eqnarray*} f'(x) & = & -[value] x^{-[value]-1} \\ & = & -[value] x^[value] \\ & = & -\frac[value]{x^[value]}. \end{eqnarray*} \)

Derivoi \( f(x)=[value] \).

Luku \( e \) kirjoitetaan e.

\( f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( f'(x)=\frac{1}{ [value]x}\cdot [value] +[value]\cdot [value] \, e^{[value]x}=[value] \).

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Laske funktion \( f(x)=[value] \) pienin arvo välillä \( [0,5] \).

Funktion pienin arvo on
Feedback: Mallivastaus: Lasketaan ensin funktion \( f(x) \) derivaatta potenssifunktion derivointisäännön \( Dx^n=n\cdot x^{n-1} \) avulla. \( f'(x)=[value] \). Funktion arvo on suurin sen derivaatan nollakohdissa tai määrittelyvälin päätepisteissä. Lasketaan ensin derivaattafunktion \( f'(x) \) nollakohdat. \( \begin{eqnarray*} 3x^2-[value] & = & 0 \\ 3x^2 & = & [value] \\ x^2 & = & [value] \\ x=[value] & \text{ tai} & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Näistä kahdesta juuresta vain juuri \( x=[value] \) kuuluu määrittelyalueeseen \( x\in [0,5] \). Tehdään kulkukaavio: \( \begin{array}{cccccc} &0&&[value]&&5 \\ \hline f'(x)&|&-&|&+&| \\ f(x)&|&\searrow&|&\nearrow&|\\ \hline &&&\text{minimi}&&\\ \end{array} \) \( f'(1)=3\cdot 1^2-[value]=[value]<0 \) eli derivaatan merkki on välillä \( ]0,[value][ \) negatiivinen ja funktio on vähenevä. \( f'(4.5)=3\cdot 4.5^2-[value]=[value]>0 \) eli derivaatan merkki on välillä \( ][value],5[ \) positiivinen ja funktio on kasvava. Funktiolla on siis minimikohta \( x=[value] \) ja funktion pienin arvo välillä \( [0,5] \) on \( f([value])=[value]^3-[value]\cdot [value]=[value] \).

Derivoi \( f(x)=[value] \).

\( f'(x)= \)
Feedback: \( f'(x)=[value]([value]-[value]x)^[value]\cdot (-[value])=[value] \).

Derivoi \( f(x)=[value] \).

Esimerkki: lauseke \( 4(5x-2)^3 \) kirjoitetaan vastaukseen 4*(5*x-2)^3.

\( f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( f'(x)=[value]([value]-x)^[value]\cdot (-1)=-[value]([value]-x)^[value] \).

Derivoi \( f(x)=[value] \).

Esimerkki: lauseke \( 3x^2+5x+1 \) kirjoitetettaisiin 3*x^2+5*x+1.

\( f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( f(x)=[value] \) derivaatta \( f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] \).

Laske funktion \( f(x)=[value] \) derivaatta.

Esimerkki: lauseke \( 3x^2+5x+1 \) kirjoitetettaisiin 3*x^2+5*x+1.

\( f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( f(x)=[value] \) derivaatta \( f'(x)=[value] \).

Valitse pudotusvalikoista oikeat vaihtoehdot.

Kuvaaja 1: | Kuvaaja 2:
Kuvaaja 3: | Kuvaaja 4:

(a) Kuvaajan 1 funktio on

(b) Kuvaajan 2 funktio on

(c) Kuvaajan 3 funktio on

(d) Kuvaajan 4 funktio on
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktio on aidosti kasvava, sillä sen derivaatta aina positiivista paitsi yksittäisessä pisteessä (0,1), jossa se on nolla. (b) Funktion derivaatta on nolla välillä \([2,5]\), joten funktio ei voi olla aidosti kasvava. Funktion derivaatta on kuitenkin aina epänegatiivista, joten se on kasvava. (c) Funktio on aidosti vähenevä, sillä \(f(x_1)>f(x_2)\), kun \(x_1 (d) Funktio on vähenevä, sillä funktion derivaatta on aina epäpositiivista paitsi välillä \([0,\pi/2]\), jolloin sen derivaatta on nolla.

Millä reaaliluvun \(c\) arvoilla funktio \(f(x)=[value]\) on kasvava välillä \([[value],\infty[\)? Anna vastauksena ehto, esim. \(c<0\).
Feedback: Mallivastaus: Funktio \(f(x)=[value]\) on kasvava, kun funktion derivaatta on epänegatiivista. Lasketaan derivaattafunktio \(f'(x)=[value]\) ja ratkaistaan yhtälö \(f'(x)\geq0\). \([value]\geq0 \quad |\textrm{sijoitetaan } x=[value]\) \(c\leq[value]\)

Millä väleillä seuraavat funktiot ovat väheneviä? Anna vastauksena ehto, esim. "x<9". Jos vastauksesi on koko reaalilukujen joukko, niin laita vastauskenttään vain kirjain R.

\(\textbf{(a)}\) \(f_a(x)=\)[value]:
\(\textbf{(b)}\) \(f_b(x)=\)[value]:
\(\textbf{(c)}\) \(f_c(x)=\)[value]:
\(\textbf{(d)}\) \(f_d(x)=\)[value]: ja
\(\textbf{(e)}\) \(f_e(x)=\)[value]: ja
\(\textbf{(f)}\) \(f_f(x)=\)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) [value], sillä funktio on aidosti vähenevä, koska sen derivaatta on -1. (b) [value], sillä funktion derivaatta \(2x\) on epäpositiivista, kun \(x\leq0\). (c) [value]. Neliöjuurifunktio on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, joten [value] on aidosti vähenevä, kun \(x\geq0\). (d) [value] ja [value]. Funktion [value] derivaatta on [value], jolla on kaksi nollakohtaa [value] ja [value]. Koska [value] on ylöspäin aukeava paraabeli, on derivaatta epäpositiivista nollakohtien välissä, joten [value] ja [value]. (e) [value] ja [value], sillä funktion [value] derivaattafunktio on [value], joka on negatiivista määrittelyjoukossaan (\(x\neq0\)). (f)[value], sillä vakiofunktio on vähenevä, koska sen derivaatta on aina nolla.

Millä väleillä seuraavat funktiot ovat kasvavia? Anna vastauksena ehto, esim. "x<9". Jos vastauksesi on koko reaalilukujen joukko, niin laita vastauskenttään vain kirjain R.

\(\textbf{(a)}\) \(f_a(x)=\)[value]:
\(\textbf{(b)}\) \(f_b(x)=\)[value]:
\(\textbf{(c)}\) \(f_c(x)=\)[value]:
\(\textbf{(d)}\) \(f_d(x)=\)[value]:
\(\textbf{(e)}\) \(f_e(x)=\)[value]: ja
\(\textbf{(f)}\) \(f_f(x)=\)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) R, sillä (a)-kohdan eksponenttifunktion kanta luku on [value] ja eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on suurempi kuin 1. (b) [value], sillä funktion derivaatta on \(2x\), joka on epänegatiivista, kun \(x\geq0\). (c) [value], sillä logaritmifunktio on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, jos sen kanta on suurempi kuin 1. (d) [value]. Funktion [value] derivaatta on [value]. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla nähdään, että derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia. Koska [value] on ylöspäin aukeava paraabeli on derivaatta aina positiivista. (e) [value] ja [value], sillä funktion [value] derivaattafunktio on [value], joka on positiivista määrittelyjoukossaan (\(x\neq0\)). (f) R, sillä vakiofunktio on kasvava, koska sen derivaatta on aina nolla.

Q: Consider a function \(f\) that is differentiable on an open interval \((a,b)\). Which of the following statements holds? Oletetaan, että funktio \(f\) on derivoituva avoimella välillä \((a,b)\). Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa?
- The function reaches its greatest value on the interval \((a,b)\) at a point where its derivative equals zero. Funktio saavuttaa suurimman arvonsa välillä \((a,b)\) derivaatan nollakohdassa.
- The function has at least one singularity on the interval \((a,b)\). Funktiolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta välillä \((a,b)\).
- The function is restricted on the interval \((a,b)\). Funktio on rajoitettu välillä \((a,b)\).
- It is possible for the function to equal \(\frac{1}{x}\), if \((a,b)=(0,1)\). Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).
- The function is injective. Funktio on injektio.
A: It is possible for the function to equal \(\frac{1}{x}\), if \((a,b)=(0,1)\). Funktio voi olla \(\frac{1}{x}\), jos \((a,b)=(0,1)\).

Q: Which of the following conditions is sufficient for the derivative of a function \(f\) to exist at an arbitrary point \(x_{0}\)? Mikä seuraavista ehdoista on riittävä funktion \(f\) derivaatan olemassaololle mielivaltaisessa pisteessä \(x_{0}\)?
- Function \(f\) is continuous at the point \(x_{0}\) and the limit of the function at \(x_{0}\) is non-zero. Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\) ja funktion raja-arvo pisteessä \(x_{0}\) ei ole nolla.
- The limit \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) exists and \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\). Raja-arvo \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) on olemassa ja \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) and the limit is finite. \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.
- \(\displaystyle\lim_{h\to x_{0}+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to x_{0}-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).
- The sum \(f+g\) is differentiable, where \(g\) is an arbitrary function. Summa \(f+g\) on derivoituva, missä \(g\) on jokin mielivaltainen funktio.
A: \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) and the limit is finite. \(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ja raja-arvo on äärellinen.

Q: Let \(f\) be a function such that at \(x=x_{0}\) it satisfies \[f'(x_{0}) = f''(x_{0}) = \dots=f^{(2p-1)}(x_{0}) = 0\quad\mbox{and}\quad f^{(2p)}(x_{0})\neq 0,\] for some positive integer \(p\). Pick the correct choice from the list below. Olkoon \(f\) funktio, joka toteuttaa pisteessä \(x=x_{0}\) ehdot \[f'(x_{0}) = f''(x_{0}) = \dots=f^{(2p-1)}(x_{0}) = 0\quad\mbox{ja}\quad f^{(2p)}(x_{0})\neq 0,\] jollain positiivisella kokonaisluvulla \(p\). Valitse listasta oikea vaihtoehto.
- The function \(f\) has a local maximum at \(x=x_{0}\), if \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)Funktiolla \(f\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\), jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)
- The function \(f\) has a local maximum at \(x=x_{0}\), if \(f^{(2p)}(x_{0})>0.\)Funktiolla \(f\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\), jos \(f^{(2p)}(x_{0})>0.\)
- The function \(f\) does not have any local maxima, if \(f^{(2p)}(x_{0})=0.\)Funktiolla \(f\) ei ole yhtään paikallista maksimia, jos \(f^{(2p)}(x_{0})=0.\)
- The function \(f\) has to be a constant function.Funktion \(f\) täytyy olla vakiofunktio.
- The function \(f\) is an even function.Funktio \(f\) on parillinen funktio.
A: The function \(f\) has a local maximum at \(x=x_{0}\), if \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)Funktiolla \(f\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x=x_{0}\), jos \(f^{(2p)}(x_{0})<0.\)

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The derivative of the function is \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), so all the possible extrema are \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) and \(x_3=[value]\). Since \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), then \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) and \(f''([value])=[value]>0\). That is, all the points are local extrema; the middle one is a local maximum and the other two are local minima.Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.