Title: Derivaatta

Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä, \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

DifferentiateDerivoi

a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{whenkun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{b, c}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, b}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{a, b}}{=} [value]\)

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N}|\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Q: Eräässä testitilanteessa mitattiin muuttujan \(x\) funktioille \(f(x)\) ja \(g(x)\) sekä niiden derivaatoille muutamia arvoja, jotka koottiin alla olevaan taulukkoon. Selvitä taulukon perusteella funktion \(h(x)\) derivaatan arvot.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

(a) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
(b) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

(c) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

(d) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Anna jokaiseen vastauslaatikkoon jokin arvo ennen vastauksen lukitsemista.
Feedback: Mallivastaus: (a) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) (b) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) (c) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) (d) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Luvut voit antaa muodossa \(\verb:a/(b+c) + d*(r/a):\) ts. ei tarvitse laskea laskimella. Käytä sulkeita varmistamaan laskujärjestys.
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta on negatiivinen kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \displaystyle \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettavana on \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) eli \[f(x_0) = [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value],\] joka toteutuu selvästi, kun \(x_0 = 0\). Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \displaystyle \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta \(f'(x)<0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä, ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\).

Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettava \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) ja \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Determine the derivative of the function \[f(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle[value]}{\displaystyle[value]} \] Laske funktion \[f(x)=\displaystyle \frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

Determine the derivative of the function \[f(x)=\frac[value][value] \] Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

Laske funktion \[f(x)= [value]\] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän funktio \(f\) on yhdistetty funktio, joten voimme soveltaa ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan \[ D(u \circ s) (x) = s'(x) \cdot u'(s(x)). \] Ketjusääntöä täytyy soveltaa tehtävän funktioon moneen kertaan. \[\begin{array}{rll} D f(x) & = & D \text{ln}\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \\ & = & D\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left(D\sin([value]x)+D\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)+D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \frac{[value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x) \cos([value]x)}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \end{array}\] Ensimmäisenä ketjusääntöä sovellettiin valinnoilla \( u(x) = \text{ln}(x) \) ja \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). Ulkofunktion derivaatta on \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) ja seuraavassa vaiheessa lähdettiin tutkimaan sisäfunktion \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \) derivaattaa. Ensimmäinen termi, \(\sin([value]x)\), saadaan derivoitua soveltamalla ketjusääntöä kerran valinnoilla \( u(x) = \sin(x) \) ja \( s(x) = [value]x \). Toisen termin kohdalla sovelletaan ketjusääntöä valinnoilla \( u(x) = x^2 \) ja \( s(x) = \cos([value]x) \). Tästä päädymme muotoon \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), josta täytyy enää derivoida \(\cos([value]x)\).

DifferentiateDerivoi

(a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

(b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{whenkun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{b, c}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, b}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{a, b}}{=} [value]\)

Find the derivative of the function Laske funktion

\[f(x)= [value]\]

derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Since the function \(f\) is a compound function, we can apply the chain rule. According to the chain ruleTehtävän funktio \(f\) on yhdistetty funktio, joten voimme soveltaa ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan \[ D(u \circ s) (x) = s'(x) \cdot u'(s(x)). \] To find the derivative, we need to use the chain rule several times.Ketjusääntöä täytyy soveltaa tehtävän funktioon moneen kertaan. \[\begin{array}{rll} D f(x) & = & D \text{ln}\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \\ & = & D\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left(D\sin([value]x)+D\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)+D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \frac{[value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x) \cos([value]x)}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \end{array}\] First we applied the chain rule to functions \( u(x) = \text{ln}(x) \) and \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). The derivative of the outer function is \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) and in the next phase we examine the derivative of the inner function \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). To differentiate the first term \(\sin([value]x)\), we use the chain rule for the functions \( u(x) = \sin(x) \) and \( s(x) = [value]x \). For the second term, the rule is applied to functions \( u(x) = x^2 \) and \( s(x) = \cos([value]x) \). This leaves us \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), where we only need to differentiate \(\cos([value]x)\) anymore.Ensimmäisenä ketjusääntöä sovellettiin valinnoilla \( u(x) = \text{ln}(x) \) ja \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). Ulkofunktion derivaatta on \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) ja seuraavassa vaiheessa lähdettiin tutkimaan sisäfunktion \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \) derivaattaa. Ensimmäinen termi, \(\sin([value]x)\), saadaan derivoitua soveltamalla ketjusääntöä kerran valinnoilla \( u(x) = \sin(x) \) ja \( s(x) = [value]x \). Toisen termin kohdalla sovelletaan ketjusääntöä valinnoilla \( u(x) = x^2 \) ja \( s(x) = \cos([value]x) \). Tästä päädymme muotoon \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), josta täytyy enää derivoida \(\cos([value]x)\).

Laske funktioiden \[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\] derivaatat.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\) ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Ketjusääntö \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] Koska \(D\ln (x)=1/x\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Vastaavasti \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Koska \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), niin \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja jos tuloksesi sisältää sinin ja kosinin osamäärän, sievennä se toisenlaiseen muotoon.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö eli ketjusääntö on seuraava. \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Koska \(D\ln (x)=\displaystyle \frac{1}{x}\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=\displaystyle ([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Vastaavasti \[g'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\), niin \[h'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\]Koska \(D\ln (x)=1/x\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\]Vastaavasti \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), niin \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). \] (a) \[f(x)= \cos(x^{[value]}) \] \[f'(x)=-\sin(x^{[value]})\cdot [value][value]=-[value][value]\cdot \sin(x^{[value]}). \] (b) \[g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]}=(x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \] \[g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{-1/2}\cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \] (c) \[h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2})\] \[h'(x)=-\sin((x^{[value]}+x^{[value]})^{3/2})\cdot \frac{3}{2} \cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \]

Find the derivatives of the following functions:

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). \] (a) \[f(x)= \cos(x^{[value]}) \] \[f'(x)=-\sin(x^{[value]})\cdot [value][value]=-[value][value]\cdot \sin(x^{[value]}). \] (b) \[g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]}=(x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \] \[g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{-1/2}\cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \] (c) \[h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2})\] \[h'(x)=-\sin((x^{[value]}+x^{[value]})^{3/2})\cdot \frac{3}{2} \cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \]

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[f(x)=[value]\]

(b) \[g(x)=[value]\]

(c) \[h(x)=[value]\]

(a)\(\quad f'\left(x\right)=\)

(b)\(\quad g'\left(x\right)=\)

(c)\(\quad h'\left(x\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Ketjusääntö \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] \[f(x)=([value]-[value])^{[value]} \] \[ f'(x) =[value]([value]-[value])^{[value]}([value]x^{[value]}-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]([value])^{[value]}(1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value](1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]x^{[value]}(1-[value])^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}).\] (b) Osamäärän derivaatta \[\Big( \frac{f}{g}\Big) '(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}: \] \[g(x)=\frac{x^3+1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x^3+1}{(1+x^2)^{1/2}} \] \[g'(x)=\frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-(x^3+1)\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} 2x}{[(1+x^2)^{1/2}]^2 } \] \[=\frac{3x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x(x^3+1)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \] \[=\frac{3x^2+3x^4-x^4-x}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{2x^4+3x^2-x}{(1+x^2)^{3/2}}. \] (c) Tulon derivaatta \[(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \] \[h(x)=\cos([value]x)\sin([value]x) \] \[h'(x)=-\sin([value]x)\cdot [value]\cdot \sin([value]x)+\cos([value]x)\cdot \cos([value]x)\cdot [value] \] \[=-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot \sin([value]x)+[value]\cdot \cos([value]x)\cdot \cos([value]x). \]