Title: Kompleksilukujen ominaisuudet ja laskutoimitukset

Olkoon \(z_1=3+3i\) ja \(z_2=4+4i\).

Laske seuraavat laskutoimitukset. Ilmoita vastaus tarkkana arvona muodossa \(x+yi\).

\(\operatorname{Re}(z_1)=\,\)

\(\operatorname{Im}(z_1)=\,\)

Yhdistä kuva ja matemaattinen ilmaisu toisiinsa. Kirjoita vastauslaatikkoon kuvaa vastaava kirjain.

a [Image] | b [Image] | c [Image] | d [Image]

\(\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)\in[0,3],\, \mathrm{Im}(z)\in [0,2]\}\)

\(\{z\in\mathbb{C}: |z-i|=2\}\)

\(\{z\in\mathbb{C}: |z+1|> 1\}\)

\(\{z\in\mathbb{C}: |z+i|\leq 2\}\)

Olkoon \(z=[value]\).

Laske seuraavat laskutoimitukset. Anna vastaus tarkkana arvona.

Voit tehdä yhden laskun kerralla ja painaa "Lukitsen vastaukseni". Vaihtoehtoisesti voit laskea kaikki ja syöttää vastaukset kerralla. Tehtävä antaa palautteen vastauksen lukitsemisen jälkeen.

Neliöjuuren saat tarvittaessa merkinnällä \(sqrt(x)\).

\(\overline{z}=\,\)

\(|z| = \,\)

\(z \cdot \overline{z}=\,\)

\(|z|^2=\,\)
Feedback: Ratkaisu \(\overline{z}=[value]\) \(|z| = \sqrt{([value])^2+([value])^2}=[value]\) \(z \cdot \overline{z}=([value])([value])=[value]\) \(|z|^2=([value])^2=[value] \) tai \(|z|^2=z \cdot \overline{z}=[value] \)

Olkoon \(z_1=[value]\) ja \(z_2=[value]\).

Laske seuraavat laskutoimitukset. Anna vastaus tarkkana arvona muodossa \(a+bi\).

Voit tehdä yhden laskun kerralla ja painaa "Lukitsen vastaukseni". Vaihtoehtoisesti voit laskea kaikki ja syöttää vastaukset kerralla. Tehtävä antaa palautteen vastauksen lukitsemisen jälkeen.

Syöttäessäsi vastausta imaginääriyksikkönä toimii pieni \(\text{i}\)-kirjain. Murtoluvun saat käyttämällä kenoviivaa esimerkiksi murtoluku \(\frac{1}{2}\) kirjoitetaan muodossa \(1/2\).

\(\operatorname{Re}(z_1) = \,\)

\(\operatorname{Im}(z_1) = \,\)

\(z_1+z_2 = \,\)

\(z_1-z_2 = \,\)

\(z_1\cdot z_2= \,\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \,\)
Feedback: Ratkaisu \(\operatorname{Re}(z_1) = [value]\) \(\operatorname{Im}(z_1) = [value]\) \(z_1+z_2 = ([value]+[value])+([value]+[value])i=[value]\) \(z_1-z_2 = ([value]-[value])+([value]-[value])i=[value] \) \(z_1\cdot z_2= ([value])([value])=[value]\) \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{[value]}{[value]}=[value]\) (liittoluku, jolla lavennetaan on \([value]\))

Q: Yhdistä kuva ja matemaattinen ilmaisu toisiinsa.

a [Image] | b [Image] | c [Image] | d [Image]

\(\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)\in[0,3],\, \mathrm{Im}(z)\in [0,2]\}\) [...]

\(\{z\in\mathbb{C}: |z-i|=2\}\) [...]

\(\{z\in\mathbb{C}: |z+1|> 1\}\) [...]

\(\{z\in\mathbb{C}: |z+i|\leq 2\}\) [...]
A: d; a; c; b
Gap 1 offers: a; b; c; d
Gap 2 offers: a; b; c; d
Gap 3 offers: a; b; c; d
Gap 4 offers: a; b; c; d
Feedback: Ratkaisu Joukkoa \(\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)\in[0,3],\, \mathrm{Im}(z)\in [0,2]\}\) vastaa kuva d, sillä Reaaliosa vaihtelee välillä \([0,3]\) ja imaginääriosa välillä \([0,2]\). Myös välien päätepisteet kuuluvat joukkoon. Joukkoa \(\{z\in\mathbb{C}: |z-i|=2\}\) vastaa kuva a, sillä itseisarvoyhtälön \(|z-i|=2\) ratkaisuna ovat pisteet, joiden etäisyys pisteestä \(i\) on \(2\). Pisteestä \(i\) etäisyydellä \(2\) olevat pisteet muodostavat ympyrän, jonka säde on \(2\) ja keskipiste \(i\). Joukkoa \(\{z\in\mathbb{C}: |z+1|> 1\}\) vastaa kuva c, sillä itseisarvoepäyhtälön \(|z+1|> 1\) ratkaisuna ovat pisteet, joiden etäisyys pisteestä \(-1\) on suurempi kuin \(1\) (Piste, joka on etäisyydellä \(1\) ei siis kelpaa). Pisteestä \(-1\) etäisyydellä \(1\) olevat pisteet muodostavat ympyrän, jonka säde on \(1\) ja keskipiste \(-1\). Ratkaisujoukko on tämän ympyrän ulkopuolella oleva alue (Ympyrän kaari (katkoviiva) ei siis sisälly alueeseen). Joukkoa \(\{z\in\mathbb{C}: |z+i|\leq 2\}\) vastaa kuva b, sillä itseisarvoepäyhtälön \(|z+i|\leq 2\) ratkaisuna ovat pisteet, joiden etäisyys pisteestä \(-i\) on pienempi tai yhtä suuri kuin \(2\) (Piste, joka on etäisyydellä \(2\) kelpaa ratkaisuksi). Pisteestä \(-i\) etäisyydellä \(2\) olevat pisteet muodostavat ympyrän, jonka säde on \(2\) ja keskipiste \(-i\). Ratkaisujoukko on tämän ympyrän sisäpuolella oleva alue (Ympyrän kaari (yhtenäinen viiva) sisältyy alueeseen).

Q: Pisteet tehtävästä 2 sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista yhteensä

(Tehtävästä maksimissaan 5 pistettä sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista 1 piste)
- 0 pistettä (tehtävä tekemättä ja malliratkaisu lukematta)
- 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu)
- 2 pistettä
- 3 pistettä
- 4 pistettä
- 5 pistettä
- 6 pistettä
A: 6 pistettä
Partly right: 5 pistettä (83%); 4 pistettä (67%); 3 pistettä (50%); 2 pistettä (33%); 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu) (17%)

Q: Pisteet tehtävästä 1 sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista yhteensä

(Tehtävästä maksimissaan 5 pistettä sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista 1 piste)
- 0 pistettä (tehtävä tekemättä ja malliratkaisu lukematta)
- 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu)
- 2 pistettä
- 3 pistettä
- 4 pistettä
- 5 pistettä
- 6 pistettä
A: 6 pistettä
Partly right: 5 pistettä (83%); 4 pistettä (67%); 3 pistettä (50%); 2 pistettä (33%); 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu) (17%)