Title: Funktiot ja alkeisfunktiot

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja toisiinsa. Vastauslaatikkoon riittää laittaa vain kuvaajan numero. Jos esimerkiksi "kuvaaja2" vastaa funktiota \(f(x)\), niin vastauslaatikkoon kirjoitetaan vain numero 2.

(a)[value]:
(b)[value]:
(c)\(\log_2{x}\):
(d)\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\):
Feedback: Mallivastaus: (a) Eksponenttifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku on \(0 (b) Eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on \(a>1\). Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, mutta se saa vain positiivisia arvoja. Oikea vastaus on siis kuvaaja2. (c) Logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on \(a>1\).Logaritmifunktion arvojoukko on koko reaalilukujen joukko, mutta se on määritelty vain positiivisilla muuttujan \(x\) arvoilla. Oikea vastaus on siis kuvaaja3. (d) Logaritmifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku on \(0

Olkoot \( f(x)=[value] \) ja \( g(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ g)(x) \) arvo pisteessä \( x = \frac{1}{2} \). Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

\( (f\circ g)(\frac{1}{2})= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}(f \circ g)(x) & = & [value] \\ (f\circ g)(\frac{1}{2}) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoot \( f(x)=[value] \) ja \( g(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (g\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = \frac{3\pi}{2} \). Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

\( (g\circ f)(\frac{3\pi}{2})= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}(g \circ f)(x) & = & [value] \\ (g\circ f)( \frac{3\pi}{2}) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoot \( f(x)=[value] \) ja \( g(x)=[value] \). Laske

(a) yhdistetyn funktion \( (g\circ f)(x) \) ja

(b) yhdistetyn funktion \( (f\circ g)(x) \) arvo pisteessä \( x = 2 \).

Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

(a) \( (g\circ f)(2)= \)

(b) \( (f\circ g)(2)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}a.) (g \circ f)(x) & = & [value] \\ (g\circ f)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*} \) \( \begin{eqnarray*}b.) (f \circ g)(x) & = & [value] \\ (f\circ g)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoot \( f(x)=[value] \) ja \( g(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (g\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = 3 \). Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

\( (g\circ f)(3)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (g \circ f)(x) & = & [value] \\ (g\circ f)(3) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Missä pisteessä \((x,y)\) funktioiden \(f(x)=[value]\) ja \(g(x)=[value]\) kuvaajat leikkaavat toisensa? Anna piste muodossa \(\{x,y\}\).
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan aluksi \(x\) yhtälöstä \(f(x)=g(x)\) ja sijoitetaan ratkaistu \(x\) toiseen funktioista. \[\begin{align*} f(x)&=g(x) \\ [value]&=[value] \quad |)^2 \\ [value]&=[value] \\ x&=[value] \end{align*} \] Ratkaisu kuuluu funktioiden määrittelyjoukkoon. Ratkaistaan \(y\). \[y=f([value])=[value]\] Näin ollen ratkaisu on [value].

Määritä sellainen luku \(c\), että funktiolla \(f(x)=cx^3+2x^2+(2c-1)x+5\) on juuri kohdassa \(x=[value]\).
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan \(c\) yhtälöstä \(f([value])=0\). \[ f([value])=[value]=0 \\ c=[value] \]

Määritä sellainen luku \(c\), että funktiolla \(f(x)=[value]+c\) on täsmälleen yksi nollakohta.
Feedback: Mallivastaus: Funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta, kun sen diskriminantti on nolla. Ratkaistaan siis seuraava yhtälö \[D=\sqrt{8^2-4\cdot[value]c}=0 \\ c=\frac{64}{[value]}=[value] \]

Olkoot \(f(x)=[value], g(x)=[value]\) ja \(h(x)=[value]\). Kirjoita sievennettynä seuraavat funktiot. Älä käytä vastauksissa sulkeita.

\(f(x)+g(x)=\)

\(h(x)-f(x)-g(x)=\)

\(g(x)h(x)=\)

\(\frac{f(x)}{h(x)}=\)
Feedback: Mallivastaus: (a) \(f(x)+g(x)=[value]+[value]=[value]\) (b) Hyödynnetään (a)-kohtaa. \(h(x)-(f(x)+g(x))=[value]-([value])=[value]\) (c) \(g(x)h(x)=([value])([value])=[value]\) (d) \(\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{([value])([value])}{[value]}=[value]\)

Jaa polynomi \(p=[value]\) tekijöihin.

Syötä polynomi vastauskenttään muodossa ((x-a)*(x-b)*(x-c))

\(p=\)

Sievennä \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \] Simplify \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \]

\(f(x)=\)
Feedback: Mallivastaus: \[f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}=\frac{x^3}{[value]^[value]\cdot x^{[value]+[value]^2}}=[value] \]

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja toisiinsa. Vastauslaatikkoon riittää laittaa vain kuvaajan numero, esimerkiksi jos "kuvaaja2" vastaa funktiota \(f(x)\), niin vastauslaatikkoon kirjoitetaan vain numero 2.

(a)[value]:
(b)[value]:
(c)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) Neliöjuurifunktio on määritelty vain kun juuren sisältö on positiivista ja neliöjuurifunktio saa vain positiivisia arvoja. Näin ollen oikea vastaus on kuvaaja 1. (b) Eksponenttifunktio, jolla on positiivinen kantaluku ei voi saada negatiivisia arvoja. Tällainen funktio on määritelty kaikilla x. Vastaus on siis kuvaaja 2. (c) Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Täten se on määritelty vain positiivisilla x:n arvoilla, mutta arvojoukko on koko reaalilukujen joukko, joten oikea vastaus on kuvaaja 3.

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]>0?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Älä jätä kenttiä tyhjiksi.

Vastaus: Kun ja .

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja toisiinsa. Vastauslaatikkoon riittää laittaa vain kuvaajan numero, esimerkiksi jos "kuvaaja2" vastaa funktiota \(f(x)\), niin vastauslaatikkoon kirjoitetaan vain numero 2.

(a) \(\ \displaystyle [value]\ \ \)
(b) \(\ \displaystyle [value]\ \ \)
(c)\(\ \displaystyle [value]\ \ \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Tämän rationaalifunktion kuvaaja ei ole yhtenäinen eli "sitä ei voida piirtää nostamatta kynää". Vastaus on siis kuvaaja 1. (b) Toista astetta olevan polynomifunktion kuvaaja on paraabelin muotoinen. Näin ollen oikea vastaus on kuvaaja 2. (c) Itseisarvofunktion kuvaaja näyttää muuten samalta, mutta x-akselin alapuolella oleva osuus peilataan x-akselin yläpuolelle, joten oikea vastaus on kuvaaja 3.

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Vastaus:

For what real values of \(x\) \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Give your answer in the form \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Answer:

KunWhen ja and taior .

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]=0\mbox{?}\]

For what values of the real number \(x\)

\[[value]=0\mbox{?}\]

\(x=\) tai or \(x=\) tai or \(x=\).

Sievennä.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a})+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \)

Ratkaise murtoyhtälö \( [value]=[value] \).

Vastaukseksi tulee kaksi \( x \):n arvoa.

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Nimittäjä ei saa olla nolla, joten yhtälön määrittelyjoukko on \( x\neq [value] \). Aloitetaan sieventämällä yhtälöä. \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \frac{x^2}[value]+\frac{[value]\cdot ([value])}[value] & = & 0 \\ \frac[value][value] & = & 0 \end{eqnarray*} \) Tutkitaan, milloin osoittaja on nolla: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot ([value])}}{2} \\ x & = & \frac{[value]\pm [value]}{2} \\ x=[value] & \text{tai} & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Molemmat ratkaisut kuuluvat määrittelyjoukkoon (\( x\neq [value] \)).

Ratkaise 3. asteen yhtälö \( [value]=0 \). Vastaukseksi tulee kolme \( x \):n arvoa. Anna vastaus tarkkoina arvoina!

Huom. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. \( \sqrt{2} \) kirjoitetaan sqrt(2).

\( x_1= \)

\( x_2= \)

\( x_3= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \text{tai} & x^2=[value] \\ x=0 & \text{tai} & x=[value] \ \ \text{tai} \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)

Laske 2. asteen yhtälön \( [value]=[value] \) diskriminantin \( D \) arvo.

\( D= \)
Feedback: Mallivastaus: Yhtälön \( ax^2+bx +c = 0 \) diskriminantti on \( D=b^2-4\cdot a\cdot c \). Tehtävän yhtälössä \( a=[value],\; b=[value] \text{ ja } c=[value] \), eli \[ D=([value])^2-4\cdot([value])\cdot([value])=[value]. \]

Ratkaise 1. asteen yhtälö \( [value]=0 \).

Anna vastaus tarkkana arvona murtolukumuodossa!

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow [value]\cdot x & = & [value] \\ \Leftrightarrow x & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Ratkaise yhtälö \( \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value])=[value] \).

Anna vastaus tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(), esim. sqrt(2). Mieti, miksi vain yksi x:n arvo toteuttaa yhtälön.

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Logaritmilausekkeet ovat määriteltyjä, kun \( x>[value] \) ja \( x>[value] \), eli kun \( x>[value] \). Logaritmin laskusääntöä \( \log_{k}(a)+\log_{k}(b)=\log_{k}(ab) \) ja tietoa \( \log_{k} k^c=c \) käyttämällä saadaan yhtälö muotoon \( \begin{eqnarray*} \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value]) & = & [value] \\ \Leftrightarrow \log_[value]((x-[value])(x-[value])) & = & \log_[value] [value]^[value] \\ \Leftrightarrow (x-[value])(x-[value]) & = & [value] \\ \Leftrightarrow x^2-[value]x-[value]x+[value]\cdot [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow x=[value] & \text{tai} & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Näistä juurista vain \( x=[value] \) kuuluu määrittelyalueeseen \( x>[value] \).

Määritä muuttujan \( x \) arvo, kun \( \log_[value](x)=[value] \).

Voit antaa vastauksen myös potenssimuodossa.

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Määritelmän mukaan \( \log_k(x)=a \) jos ja vain jos \( x=k^a \), joten \( \begin{eqnarray*} \log_[value](x) & = & [value] \\ \Leftrightarrow x & = & [value]^[value]=[value]. \end{eqnarray*} \)

Mistä muuttujan x arvosta alkaen lauseke \( \log_[value](x) \) on positiivinen?

Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on muuttujan tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Määritelmän mukaan \( \log_{k}(x)=a \) jos ja vain jos \( x=k^a \), joten \( \begin{eqnarray*} \log_[value](x) & > & 0 \\ \Leftrightarrow x & > & [value]^0=1. \end{eqnarray*} \)

Ratkaise epäyhtälö \( [value]^x>[value] \).

Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) kirjoitetaan e.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Otetaan lausekkeista puolittain logaritmit: \( \ln([value]^x)>\ln([value]) \). Tiedetään, että \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), joten epäyhtälö saadaan muotoon \( \begin{eqnarray*} x\cdot \ln([value]) & > & \ln([value]) \\ \Leftrightarrow x & > & \frac{\ln([value])}{\ln([value])}. \end{eqnarray*} \)

Ratkaise epäyhtälö \( \ln(x) < [value] \).

Anna vastauksesi muodossa \(x<a \) tai \( x>a \) missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >. Pohdii myös, mistä valmiiksi annettu ehto \(x>0\) johtuu (syytä ei tarvitse kirjoittaa vastaukseen).

Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e.

Vastaus: ja \(x>0\).
Feedback: Mallivastaus: Logaritmi voidaan ottaa vain positiivisesta luvusta, joten alkuehto on \( x>0 \). Logaritmin määritelmän \( (\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x) \) nojalla \( \begin{eqnarray*} \ln(x) & < & [value] \\ \Leftrightarrow x & < & e^[value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoot \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value]\).

Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

\( (f\circ f)([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f\circ f)([value]) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Sievennä lauseke \( [value] \). (Olettaen, että nimittäjä ei ole 0.)

\( [value]= \)

Ratkaise eksponenttiyhtälö. \([value]^{x-[value]}=[value]^{x^2-[value]}\).

Ratkaise logaritmiyhtälö \( \ln(x)=[value] \).

Huom! Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( 5e^2 \) syötetään kirjoittamalla 5*e^2.

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Logaritmi voidaan ottaa vain positiivisesta luvusta, joten alkuehto on \( x>0 \). Logaritmin määritelmän \( (\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x) \) avulla saadaan \( x=e^[value] \). Tämä kuuluu määrittelyjoukkoon \( (x>0) \).

Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Huom! Vastauksessasi ln() merkitsee luonnollista logaritmia, esimerkiksi ln(32).

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Otetaan lausekkeista puolittain logaritmit: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \ln([value]^x) & = & \ln([value]). \end{eqnarray*} \) Tiedetään, että \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), joten yhtälö saadaan muotoon \( \begin{eqnarray*} x\cdot \ln([value]) & = & \ln([value]) \\ x & = & \frac{\ln([value])}{\ln([value])}. \end{eqnarray*} \)

Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Huom! Luonnollisen logaritmin kantaluku \(e\) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( \frac{2e+1}{3e-4} \) kirjoitetaan (2*e+1)/(3*e-4).

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \ln([value]-x) = 1+\ln([value]+x) \) \( \ln([value]-x)-\ln([value]+x) = 1 \) Tiedetään, että \( \ln(a)-\ln(b)=\ln \left( \frac{a}{b} \right) \), joten yhtälö saadaan muokattua muotoon \( \ln \left( \frac{[value]-x}{[value]+x} \right) =1 \). \( \ln(e)=1 \), joten saadaan edelleen \( \begin{eqnarray*} \frac{[value]-x}{[value]+x} & = & e \\ [value]-x & = & e([value]+x) \\ [value]-x & = & [value]e+ex \\ (e+1)x & = & [value]-[value]e \\ x & = & \frac{[value]-[value]e}{e+1} \end{eqnarray*} \)

Määritä vakioiden A,B,C ja D arvot siten, että lauseke
\[
[value] x+\frac[value]{x+[value]}-\frac[value]{x^2-[value]}=\frac{A x^3+B x^2+C x+D}{x^2-[value]}
\]
on tosi.

Anna vakioiden \( A,B,C \) ja \( D \) arvot tarkkoina arvoina.

\( A= \)

\( B= \)

\( C= \)

\( D= \)

Sievennä lauseke \( [value] \) murtolausekkeeksi. Anna saamasi lauseke kokonaisuudessaan.

Esimerkiksi murtolauseke \( \frac{2x-3}{4x^2-5} \) syötetään kirjoittamalla (2*x-3)/(4*x^2-5).

\( [value]= \)

Olkoon \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = 2 \).

\( (f\circ f)(2)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f\circ f)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske funktion \( f(x)=[value] \) arvo kohdassa \( x=[value] \).

Anna vastaus tarvittaessa murtolukuna X/Y, jossa X ja Y ovat kokonaislukuja.

\( f([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ f([value]) & = & [value]\cdot [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Laske funktion \( f(x)=[value] \) arvo, kun muuttuja \( x \) saa arvon \( x=[value] \). Anna vastaus tarkkana arvona!

\( f([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ f([value]) & = & \sqrt[value]+\frac{1}[value]-[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoon funktio \( f(x)=[value] \). Funktio f on positiivinen välillä \( ]-\infty,c[ \). Mikä on c:n arvo?

\( c= \)
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin epäyhtälö \([value]>0 \). Tutkitaan funktion \( f(x)=[value] \) nollakohtia: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \text{tai} & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Tehdään merkkikaavio \( f([value])=[value]>0 \) \( f([value])=[value]<0 \) \( f([value])=[value]>0 \) \( \begin{array}{cccccc} & & [value] & & [value] & \\ \hline f(x) & + & | & - & | & + \end{array} \) Merkkikaavion nojalla funktio \( f(x) \) on positiivinen väleillä \( ]-\infty,[value][ \) ja \( ][value],\infty[ \). Tehtävässä kysytty \( c \):n arvo on siis \( [value] \).

Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälö \( [value]>0 \).

Anna vastauksesi muodossa ''x<a'' tai ''x>a'', missä a on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Vastaus:

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja toisiinsa. Vastauslaatikkoon riittää laittaa vain kuvaajan numero, esimerkiksi jos "kuvaaja2" vastaa funktiota \(f(x)\), niin vastauslaatikkoon kirjoitetaan vain numero 2.

(a)[value]:
(b)[value]:
(c)\(\log_2{x}\):
(d)\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\):
Feedback: Mallivastaus: (a) Eksponenttifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku on \(0 (b) Eksponenttifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on \(a>1\). Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, mutta se saa vain positiivisia arvoja. Oikea vastaus on siis kuvaaja2. (c) Logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on \(a>1\).Logaritmifunktion arvojoukko on koko reaalilukujen joukko, mutta se on määritelty vain positiivisilla muuttujan \(x\) arvoilla. Oikea vastaus on siis kuvaaja3. (c) Logaritmifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku on \(0

Olkoot \( f(x)=[value] \) ja \( g(x)=[value] \). Laske

\(a.)\) yhdistetyn funktion \( (g\circ f)(x) \) ja

\(b.)\) yhdistetyn funktion \( (f\circ g)(x) \) arvo pisteessä \( x = 2 \).

Syötä vastauksesi tarkkana arvona.

\(a.)\) \( (g\circ f)(2)= \)

\(b.)\) \( (f\circ g)(2)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*}a.) (g \circ f)(x) & = & [value] \\ (g\circ f)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*} \) \( \begin{eqnarray*}b.) (f \circ g)(x) & = & [value] \\ (f\circ g)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Ratkaise 2. asteen epäyhtälö \( [value]>0 \) ja täydennä ratkaisu alle.

Epäyhtälö on tosi, kun \( x<[value] \) tai \( x > \)

Määrittelevätkö seuraavat yhtälöt \(y\):n \(x\):n funktiona?

Check if the following equations define \(y\) as the function of \(x\).

a) \([value]x^2-y=[value]\),

b) \([value]y^2-x=1\),

c) \([value]y=|x+[value]|\),

d) \([value]=x+[value]\).

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja toisiinsa. Vastauslaatikkoon riittää laittaa vain kuvaajan numero, esimerkiksi jos "kuvaaja2" vastaa funktiota \(f(x)\), niin vastauslaatikkoon kirjoitetaan vain numero 2.

(a)[value]:
(b)[value]:
(c)[value]:
Feedback: Mallivastaus: (a) Tämän rationaalifunktion kuvaaja ei ole yhtenäinen eli "sitä ei voida piirtää nostamatta kynää". Vastaus on siis kuvaaja 1. (b) Toista astetta olevan polynomifunktion kuvaaja on paraabelin muotoinen. Näin ollen oikea vastaus on kuvaaja 2. (c) Itseisarvofunktion kuvaaja näyttää muuten samalta, mutta x-akselin alapuolella oleva osuus peilataan x-akselin yläpuolelle, joten oikea vastaus on kuvaaja 3.

Ratkaise eksponenttiyhtälö \(\bigg([value]\bigg)^{x-[value]}=\bigg([value]\bigg)^{x^2-[value]}\). \([value]^{x-[value]}=[value]^{x^2-[value]}\). Anna vastauksena kaikki mahdolliset ratkaisut aaltosulkeissa{} pilkuin erotettuina.
Feedback: Mallivastaus: \[ \begin{align*} \bigg([value]\bigg)^{x-[value]}&=\bigg([value]\bigg)^{x^2-[value]} \\ \bigg([value]\bigg)^{x-[value]}&=\bigg([value]\bigg)^{[value](x^2-[value])} \\ x-[value]&=[value](x^2-[value]) \\ x-[value]&=[value]x^2-[value] \\ [value]x^2-x&=0 \\ x([value]x-1)&=0 \\ x=0 \quad &\textrm{tai} \quad x=[value] [value]^{x-[value]}&=[value]^{x^2-[value]} \\ [value]^{x-[value]}&=[value]^{[value](x^2-[value])} \\ x-[value]&=[value](x^2-[value]) \\ x-[value]&=[value]x^2-[value] \\ [value]x^2-x&=0 \\ x([value]x-1)&=0 \\ x=0 \quad &\textrm{tai} \quad x=[value] \end{align*} \]

Määritä seuraavien funktioiden määrittelyjoukko M ja arvojoukko A. Anna kohdissa \(\mathbb{R} \setminus\) vastaukseksi joukko \(\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\). Jos vastauksesi on koko reaalilukujen joukko \(\mathbb{R}\), niin syötä vastauslaatikkoon tyhjäjoukko \(\{\}\). Anna kohdissa \(\{x \in \mathbb{R} : \}\) ehto, joka määrittää halutun joukon, esimerkiksi joukko \(\{x \in \mathbb{R} : x<0\}\) tarkoittaa negatiivisia reaalilukuja.

\( \textbf{(a)} \quad f_a(x)={\Large [value]} \)

\( \quad M_a= \mathbb{R} \setminus \) \( \quad A_a=\{x \in \mathbb{R} : \) \(\}\)

\( \textbf{(b)} \quad f_b(x)=\Large{\frac{[value]}{[value]}} \)

\( \quad M_b= \mathbb{R} \setminus \) \( \quad A_b= \mathbb{R} \setminus \)

\( \textbf{(c)} \quad f_c(x)={\Large [value]} \)

\( \quad M_c=\{x \in \mathbb{R} : \) \(\}\) \( \quad A_c=\{x \in \mathbb{R} : \) \(\}\)

\( \textbf{(d)} \quad f_d(x)={\Large [value]} \)

\( \quad M_d=\{x \in \mathbb{R} : \) \(\}\) \( \quad A_d=\mathbb{R} \setminus \)

\( \textbf{(e)} \quad f_e(x)={\Large [value]} \)

\( \quad M_e= \mathbb{R} \setminus \) \( \quad A_e=\{x \in \mathbb{R} : \) \(\}\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Polynomifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Ylöspäin aukeavan paraabelin huippu on pisteessä \(x=0\) ja täten arvojoukon ehto on [value]. (b) Rationaalifunktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa eli kun \(x=[value]\). Funktion kuvaaja muistuttaa suoran yhtälöä \(y=x-[value]\). Tämä nähdään sieventemällä funktiota. Suoran arvojoukko on koko reaalilukujen joukko, mutta koska alkuperäistä funktiota ei oltu määritelty pisteessä \(x=[value]\), niin arvojoukkoon ei kuulu pistettä \(f_b([value])\). (c) Juurifunktio on määritelty, kun juuren \(\sqrt{g(x)}\) sisällä oleva funktio \(g(x)\) on epänegatiivista. Arvojoukko riippuu funktiosta \(g(x)\). Koska tässä tapauksessa \(g(x)\) saa arvoja väliltä \([0,\infty)\), niin arvojoukon ehto on [value]. (d) ln(x) on määritelty, kun \(x>0\) ja sen arvojoukko on koko reaalilukujen joukko. (e) Eksponenttifunktio on logaritmin käänteisfunktio, joten sen määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko ja arvojoukon ehto on [value]

Ratkaise yhtälö \( [value]=[value] \).

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Juurrettava \( [value]x+[value] \) on positiivinen, kun \( x\geq[value] \). Yhtälön oikea puoli on positiivinen vakio \( [value] \). Yhtälö voidaan korottaa toiseen potenssiin: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \ \ \Arrowvert \ ()^2 \\ [value] & = & [value] \\ [value]\cdot x & = & [value] \\ x & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Tarkistetaan vielä, että \( x=[value] \) todella toteuttaa alkuperäisen yhtälön: \[ \sqrt{[value]\cdot ([value])+[value]}=\sqrt[value]=[value], \] eli \( x=[value] \) on yhtälön (ainoa) ratkaisu.

Määritä itseisarvoyhtälön \( [value]=[value] \) ratkaisut.

Vastaukseksi tulee kaksi x:n arvoa. Anna vastaus tarkkoina arvoina!

\( x_1= \)

\( x_2= \)
Feedback: Mallivastaus: Koska luvun itseisarvo on aina positiivinen, eli tässä \( [value]\geq 0 \), on asetettava ehto \( [value]\geq 0 \), eli \( x \leq [value] \). Esitetään itseisarvoyhtälö paloittain määriteltynä funktiona \[ [value]=[value] \Leftrightarrow \begin{cases} [value]=[value], & \text{jos} \ \ [value]\geq 0 \\ [value]=[value], & \text{jos} \ \ [value]< 0 \end{cases}, \] eli \[ [value]=[value] \Leftrightarrow \begin{cases} [value]=[value], & \text{jos} \ \ x \geq [value] \\ [value]=[value], & \text{jos} \ \ x < [value] \end{cases}, \] eli \[ \begin{cases} x=[value], & \text{jos} \ \ x\geq [value] \\ x=[value], & \text{jos} \ \ x < [value]. \end{cases} \] Molemmat ratkaisut kuuluvat määrittelyalueeseensa (ylemmässä \( x\geq [value] \) ja alemmassa \( x < [value] \)) ja ovat sopusoinnussa myös alussa asetetun ehdon \( x\leq [value] \) kanssa, joten yhtälön ratkaisu on \[ x=[value] \ \ \text{tai} \ \ x=[value]. \]

Laske funktion \( f(x)=[value] \) käänteisfunktio. Anna ratkaisemasi funktio muuttujan \( x \) avulla esitettynä.

\( f^{-1}(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: Käänteisfunktio saadaan selville ratkaisemalla yhtälö \( f(x)=y \) muuttujan \( y \) suhteen: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & y \\ [value] & = & y \\ [value]\cdot x & = & y-[value] \ \ \Arrowvert \colon [value] \\ x & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Käänteisfunktio on siis funktio \( f^{-1}(x)=[value] \).

Ratkaise itseisarvoepäyhtälö \( \left| [value] \right|<[value] \).

Vastaus on muotoa  "x < a tai  x > b". Anna luvut a ja b tarkkoina arvoina.

\( x < \)

\( x > \)

Ratkaise epäyhtälö \( [value]<[value] \).

Vastaus on muotoa  "x < a tai b < x < c". Anna luvut a,b ja c tarkkoina arvoina. Neliöjuuri annetaan muodossa sqrt(), esim. \( \sqrt{3} \) kirjoitetaan vastaukseen sqrt(3).

\( x< \)

\( <x< \)

Ratkaise itseisarvoepäyhtälö \( |[value]|<[value] \).

Epäyhtälö on voimassa eräällä välillä \( ]a,b[ \).  Määrää välin alaraja \( a \). Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

\( a= \)

Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälö \( [value]<0 \).

Anna vastauksesi muodossa ''x<a'' tai ''x>a'', missä a on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään <,>.

Vastaus: