Title: Kuvaukset

Q: Seuraavissa tehtävissä syvennetään kuvauksiin liittyvää osaamista. Kaksi kuvausta voivat olla samat, vaikka niitä määrittelevät ehdot näyttäisivät ensi silmäykseltä erilaisilta. Voit katsoa luentomonisteen määritelmää 5.5.7. Tärkeää on, että 1) kuvausten lähtöjoukot ovat samat, 2) kuvausten maalijoukot ovat samat, ja 3) molemmat kuvaukset antavat saman arvon jokaisella lähtöjoukon alkiolla. Lisäksi kuvausta voidaan yleistää laajentamalla sen lähtö- tai maalijoukkoa, sekä antamalla arvot uusille lähtöjoukon alkioille.

Olkoot \(X=\{0,1,2\}\) ja \(Y=\{4,9,12\}\). Mitkä seuraavista kuvauksista ovat keskenään samoja?

\(f_1 \colon X \to Y, 0 \mapsto 9, 1 \mapsto 4, 2 \mapsto12\)

\(f_2 \colon \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f_2(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_3 \colon X \to Y, f_3(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_4 \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f_4(x)=-x^2+6x+4\)

\(f_5 \colon X \to Y, f_5(x)=x^3-4x^2+8x+4\)

\(f_6 \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f_6(x)=x^3-4x^2+8x+4\)

[...]
A: \(f_3=f_5\)
Gap 1 offers: \(f_3=f_5\); \(f_1=f_3=f_5, f_4=f_6\); \(f_2=f_3=f_4, f_5=f_6\); \(f_1=f_2=f_3=f_4=f_5=f_6\); \(f_1=f_3\); \(f_1=f_5\); \(f_4=f_6\)
Feedback: Kaksi kuvausta voivat olla samat ainoastaan siinä tilanteessa, että niiden lähtö- ja maalijoukot ovat samoja. Tämän lisäksi lähtöjoukon alkioiden on kuvauduttava samoille maalijoukon alkioille. Huomataan, että kuvaukselle \(f_5\) pätee \(f_5(0)=0^3-4 \cdot 0^2+8 \cdot 0+4=4,\) \(f_5(1)= 1^3-4 \cdot 1^2+8 \cdot 1+4=9,\) \(f_5(2)= 2^3-4 \cdot 2^2+8 \cdot 2+4=12,\) eli \(0 \mapsto 4\), \(1 \mapsto 9\) ja \(2 \mapsto 12\). Siis huomataan, että \(f_1 \neq f_5\). Huomataan sitten, että kuvaukselle \(f_3\) pätee \(f_3(0)=-0^2+6 \cdot 0+4=4,\) \(f_3(1)=-1^2+6 \cdot 1+4=9,\) \(f_3(2)=-2^2+6 \cdot 2+4=12,\) eli \(0 \mapsto 4\), \(1 \mapsto 9\) ja \(2 \mapsto 12\). Täten \(f_1 \neq f_3\). Huomataan kuitenkin, että kuvaukset \(f_3\) ja\(f_5\) kuvaavat kaikki lähtöjoukon alkiot samoille maalijoukon alkioille. Koska lisäksi kuvausten \(f_3\) ja \(f_5\) lähtö- ja maalijoukot ovat samat, voidaan todeta, että \(f_3=f_5\). Kuvaus \(f_4 \neq f_6\), sillä esimerkiksi lähtöjoukon alkio \(-1\) kuvautuu eri tavalla: \(f_4(-1)= -(-1)^2+6 \cdot (-1) +4 = -3,\) mutta \(f_6(-1)= (-1)^3-4 \cdot (-1)^2+8 \cdot (-1)+4=-9.\) Loput kuvaukset eivät voi olla samoja, sillä niillä on eri lähtö- ja maalijoukot.

Q: Mitkä alla olevista koordinaatistoon piirretyistä kuvioista liittyvät johonkin kuvaukseen \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ja mitkä eivät? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Kuvio [...]

b)

[Image]

Kuvio [...]

c)

[Image]

Kuvio [...]
A: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.; ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota.
Gap 1 offers: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä kaikkiin välin [-1, 0] alkioihin lähtöjoukon alkiota.; ei liity kuvaukseen, koska se ei ole katkeamaton käyrä.
Gap 2 offers: liittyy kuvaukseen.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.; ei liity kuvaukseen, koska se liittää jokaiseen maalijoukon alkioon lähtöjoukon alkion.
Gap 3 offers: ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota.; ei liity kuvaukseen, koska se ei ole katkeamaton käyrä.; liittyy kuvaukseen.
Feedback: a) Kuvio liittyy kuvaukseen. b) Kuvio ei liity kuvaukseen, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion. c) Kuvio ei liity kuvaukseen, koska se ei liitä jokaiseen lähtöjoukon alkioon mitään maalijoukon alkiota. Tehtävän ratkaisussa voidaan käyttää apuna lähtöjoukon eri kohtiin piirrettyjä pystysuoria suoria: - Jos pystysuora suora leikkaa kuvion aina täsmälleen yhden kerran, kyseessä on kuvaus (ks. a-kohta). - Jos pystysuora suora leikkaa kuvion jossain kohdassa useammin kuin yhden kerran, kyseessä ei ole kuvaus, koska tällöin johonkin lähtöjoukon alkioon oltaisiin liittämässä useampia maalijoukon alkioita (ks. b-kohta). - Jos pystysuora suora ei leikkaa kuviota jossain kohdassa kertaakaan, kyseessä ei ole kuvaus, koska tällöin johonkin lähtöjoukon alkioon ei oltaisi liittämässä ainuttakaan maalijoukon alkiota (ks. c-kohta).

Q: Huom! Kurssin jälkimmäisessä periodissa ilmestyy joka viikko erikoisaluetehtäviä. Myös ne ovat tietokonetehtäviä, jotka löytyvät Moodle-alueelta. Erikoisaluetehtävien avulla opiskellaan oman valinnan mukaan joko kompleksilukuja tai  tietojenkäsittelytieteen matematiikkaa. Myös erikoisaluetehtävistä on saatava puolet pisteistä kurssin suorittamiseksi.

Tässä periodissa tutustutaan kuvauksiin. Kuvaukset ovat koulumatematiikasta tuttuja, joskin koulussa niitä kutsuttiin yleensä funktioiksi. Yliopistomatematiikassa esiintyy hyvin monenlaisia kuvauksia, ja niitä sovelletaan monilla sellaisilla tavoilla, joihin koulussa ei paneuduttu. Siksi aloitamme kuvauksiin tutustumisen hyvin yleisellä tasolla ja kiinnitämme huomiota yksityiskohtiin. Lue seuraavia tehtäviä varten kurssimateriaalin lukua 5.1.

Mitkä alla kuvatuista säännöistä \(f\), \(g\) ja \(h\) ovat kuvauksia \( A \to B \) ja mitkä eivät? Valitse jokaisessa kohdassa parhaiten sopiva perustelu.

a)

[Image]

Sääntö \(f\) [...]

b)

[Image]

Sääntö \(g\) [...]

c)

[Image]

Sääntö \(h\) [...]
A: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.
Gap 1 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä ainuttakaan joukon A alkiota joukon B alkioon u.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon B alkioon v kolme eri joukon A alkiota.
Gap 2 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon B alkioon v kaksi joukon A alkiota.; ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota.
Gap 3 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon B alkioon w yhtään joukon A alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.
Feedback: a) Sääntö \(f\) on kuvaus. b) Sääntö \(g\) ei ole kuvaus, koska se liittää joukon A alkioon n kaksi joukon B alkiota. c) Sääntö \(h\) ei ole kuvaus, koska se ei liitä joukon A alkioon s yhtään joukon B alkiota.

Q: Merkitään \( X = \{0,1,2,3\} \). Määrittelevätkö seuraavat säännöt kuvauksia?

a) \(f \colon X \to X, f(n)=n^2+n · (-1)^{n+1} \)

Sääntö \(f\) [...]

b) \( g \colon X \to X, g(x)=3 \)

Sääntö \(g\) [...]

c) \( \sigma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \sigma(x)=\sqrt{x-3} \)

Sääntö \(\sigma\) [...]

d) \( \tau \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}, \tau \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{2a-b}{a^2+2b^2} \)

Sääntö \(\tau\) [...]
A: ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkioon 3 ainuttakaan maalijoukon alkiota.; on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota 1 yhteenkään maalijoukon alkioon.; ei ole kuvaus, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.
Gap 1 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioon 3 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkioon 3 ainuttakaan maalijoukon alkiota.
Gap 2 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioihin 0, 1 ja 2 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se liittää useamman lähtöjoukon alkion maalijoukon alkioon 3.
Gap 3 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä maalijoukon alkioon -1 ainuttakaan lähtöjoukon alkiota.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota 1 yhteenkään maalijoukon alkioon.
Gap 4 offers: on kuvaus.; ei ole kuvaus, koska se ei liitä lähtöjoukon alkiota √2 yhteenkään maalijoukon alkioon.; ei ole kuvaus, koska se liittää joihinkin lähtöjoukon alkioihin useamman maalijoukon alkion.
Feedback: a) Koska \(f(3)=3^2+3\cdot(-1)^4=12 \notin X\), kyseessä ei ole kuvaus. b) Sääntö on kuvaus, vaikka se liittäisi kaikki lähtöjoukon alkiot yhteen ja samaan maalijoukon alkioon. c) Neliöjuurifunktio ei ole määritelty negatiivisille reaaliluvuille. Jos siis reaaliluvulle \(x\) pätee \(x-3<0\), eli \(x<3\), niin sääntö \(\sigma\) ei liitä kyseiseen \(x\) yhtään maalijoukon alkiota. d) Esimerkiksi \(\frac{1}{3}\) on sama rationaaliluku kuin \(\frac{2}{6}\), mutta \( \tau \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2-3}{1^2+2\cdot 3^2} = -\frac{1}{19} \) ja \( \tau \left( \frac{2}{6} \right) = \frac{4-6}{2^2+2\cdot 6^2} = -\frac{1}{38} \). Siispä \( \tau \) kuvaisi rationaaliluvun \(\frac{1}{3}\) (ainakin) kahdeksi eri luvuksi, minkä takia kyseessä ei ole kuvaus.

Muodosta kuvaus \(X \to Y\) siirtämällä oikealla olevat nuolet vasemmalla olevaan kaaviokuvaan.

Täydennä.

\(a \mapsto \)

\(b \mapsto \)

\(c \mapsto r\)

\(d \mapsto \)
Feedback: [Image]

a) Olkoon \(X = \{1,2\}\). Tehtävänä on määrittää, kuinka monta kuvausta \(X \to X\) on olemassa. Kaverisi on tehnyt oheisen kuvan mukaiset kuvaukset. Hänen mukaansa nämä ovat ainoat mahdolliset kuvaukset, koska aluksi lähtöjoukon alkio \(1\) voidaan liittää joko maalijoukon alkioon \(1\) tai \(2\). Tämän jälkeen lähtöjoukon alkiolle \(2\) on jäljellä enää yksi maalijoukon alkio, johon se voidaan liittää.

[Image]

Pohdi kaverisi päättelyä kuvauksen määritelmän avulla. Kuinka monta erilaista kuvausta \(X \to X\) on olemassa?

b) Olkoon \(Y = \{1,2,3\}\). Määritetään, kuinka monta kuvausta \(Y \to Y\) on olemassa.

Alkion \(1\) kuva-alkioksi on  vaihtoehtoa, alkion \(2\) kuva-alkioksi vaihtoehtoa ja alkion \(3\) kuva-alkioksi  vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen nojalla erilaisia kuvauksia on siis yhteensä  .

c) Olkoon \(Z = \{1,2, \ldots, n\}\). Erilaisia kuvauksia \(Z \to Z\) on olemassa yhteensä  .

LIsätehtävä:

Olkoon \(A=\{1,2,\ldots, n\}\) ja \(B=\{1,2, \ldots, m\}\). Kuinka monta erilaista kuvausta \(A \to B\) on olemassa? (Tätä vastausta ei arvostella.)
Feedback: a) Kaverisi on unohtanut, että sääntö on kuvaus, vaikka se liittäisi useamman kuin yhden lähtöjoukon alkion samaan maalijoukon alkioon. Näin ollen kuvauksia \(X \to X\) on yhteensä 4. b) Olkoon \(Y = \{1,2,3\}\). Määritetään, kuinka monta kuvausta \(Y \to Y\) on olemassa. Alkion \(1\) kuva-alkioksi on 3 vaihtoehtoa, alkion \(2\) kuva-alkioksi 3 vaihtoehtoa ja alkion \(3\) kuva-alkioksi 3 vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen nojalla erilaisia kuvauksia on siis yhteensä \(3 \cdot 3 \cdot 3 =27\). c) Olkoon \(Z = \{1,2, \ldots, n\}\). Erilaisia kuvauksia \(Z \to Z\) on olemassa yhteensä \(n^n\). Lisätehtävä: Olkoon \(A=\{1,2,\ldots, n\}\) ja \(B=\{1,2, \ldots, m\}\). Erilaisia kuvauksia \(A \to B\) on yhteensä \(m^n\).

Olkoon \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\). Tarkastellaan seuraavaa kuvausta \(g \colon A \to \mathbb{Z}\), jolle

\( g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
      \frac{x}{2}, & \text{jos } x=2n \text{ jollain } n \in \mathbb{Z} \\
      \frac{x-1}{2}, & \text{jos } x=2n+1 \text{ jollain } n \in \mathbb{Z}. \\
\end{array}
\right. \)

Laske.

a) \(g(0)=\)

b) \(g(1)=\)

c) \(g(2)=\)

d) \(g(3)=\)

e) \(g(4)=\)

f) \(g(5)=\)

g) Voiko samalla säännöllä määritellä kuvauksen \( \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)?

h) Voiko samalla säännöllä määritellä kuvauksen \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)?
Feedback: Kuvauksen \(g\) määritelmän mukaan parilliset alkiot kuvautuvat eri tavoin kuin parittomat. a) Alkio \(0 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(0)=\frac{0}{2}=0\). b) Alkio \(1 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(1)=\frac{1-1}{2}=0\). c) Alkio \(2 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(2)=\frac{2}{2}=1\). d) Alkio \(3 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(3)=\frac{3-1}{2}=1\). e) Alkio \(4 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(4)=\frac{4}{2}=2\). f) Alkio \(5 \in A\) kuvautuu alkiolle \(g(5)=\frac{5-1}{2}=2\). g) Olkoon \(a \in \mathbb{Z}\). Jos \(a\) on parillinen eli \(a=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\), niin se kuvautuu alkiolle \(g(a)=\frac{a}{2}=\frac{2k}{2}=k \in \mathbb{Z}\). Jos taas \(a\) on pariton eli \(a=2k+1\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\), niin se kuvautuu alkiolle \(g(a)=\frac{a-1}{2}=\frac{2k+1-1}{2}=k \in \mathbb{Z} \). Siten sääntö \(g\) on kuvaus \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), sillä se liittää jokaiseen joukon \(\mathbb{Z}\) alkioon täsmälleen yhden joukon \(\mathbb{Z}\) alkion. h) Sääntö \(g\) ei ole kuvaus \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), koska se ei liitä esimerkiksi lukuun \( \pi \in \mathbb{R}\) yhtään joukon \(\mathbb{R}\) alkiota.

Merkintä "\(\circ\)" tarkoittaa funktioiden yhdistettä. Esimerkiksi \(f\circ g\) on funktio, joka on funktioiden \(g\) ja \(f\) yhdiste. Täsmällinen määritelmä löytyy kurssimateriaalin luvun 5.6 alusta.

Tarkastellaan funktioita \(f \colon \mathbb{R} \to [[value], \infty [ \) ja \( g \colon [[value], \infty [ \to \mathbb{R} \), joilla \( f(x) = [value]x^2 + [value] \) ja \( g(x) = \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \). Laske.

a) \( (g \circ f)(-3) = \)

b) \( (f \circ g)([value]) =\)

Määritä yhdistettyjen funktioiden \( f \circ g \) ja \( g \circ f \) lausekkeet. Itseisarvon saat komennolla abs(). Esimerkiksi \(|a|\) kirjoitettaisiin muodossa abs(a).

c) \( (f \circ g)(x) =\)

d) \( (g \circ f)(x) =\)

Lue käänteiskuvauksen määritelmä luvusta 5.7. Ovatko \( f \) ja \( g \) toistensa käänteiskuvauksia?

e)
Feedback: a) \( (g \circ f)(-3) =g(f(-3))= 3 \) b) \( (f \circ g)([value]) =f(g([value]))= [value]\) Sievennettäessä yhdistettyjen funktioiden lausekkeita on syytä muistaa, että \( (\sqrt{x})^2= x \), mutta \( \sqrt{x^2} =|x|\). c) \( (f \circ g)(x) =f(g(x))=f\left( \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \right) = [value]\left( \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \right)^2+ [value]=[value] \cdot \frac{x-[value]}{[value]}+ [value]=x\) d) \( (g \circ f)(x) =g(f(x))=g([value]x^2 + [value])=\sqrt{ \frac{[value]x^2 + [value] -[value]}{[value]}}=\sqrt{x^2} =|x|\) e) Funktiot \(f\) ja \(g\) eivät ole toistensa käänteisfunktioita, koska \(g \circ f \neq \text{id}_{\mathbb{R}}\).