Title: PTH

Q: Laske murtolausekkeiden erotus \[ \frac{[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]}\]. Oikea vastaus on reaaliluku jaettuna polynomilla. Mitkä ovat nämä reaaliluku ja polynomi?

Osoittajan reaaliluku on

Nimittäjän polynomi on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
  Hint: \[\,\]
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin.
  Hint: Lisävihje: Ratkaisitko toisen asteen yhtälön? Muistele polynomin jakamista tekijöihin. Toinen lisävihje: Toisen asteen yhtälön ratkaisun jälkeen polynomin \[ax^2+bx+c\] voi kirjoittaa muotoon \[a\cdot(x-x_1) \cdot (x-x_2)\], missä \[x_1\] ja \[x_2\] ovat polynomin juuret. Huomaatko, miten tämä helpottaa samannimiseksi laventamista?

Anna pienin positiivinen reaaliluku \(x\), joka toteuttaa yhtälön

\[\cos{(x)} = [value]\]

Huom! Vastaus pitää antaa radiaaneina.

\(x = \)

Ratkaise seuraava 1. asteen yhtälö: \[[value]=[value].\]

Anna yhtälön ratkaisu tarkkana arvona (ainoastaan lukuarvo).

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Ratkaise 2. asteen yhtälö: \[ x^2-[value]x+[value]=0 \]

Anna yhtälön ratkaisut hakasulkeissa suuruusjärjestyksessä pilkulla erotettuna, esim. [4,5]. Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, anna se kahteen kertaan, esim. [2,2].

Juuret ovat

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan toisen asteen yhtälö \[ x^2-[value]x+[value]=0 \] käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{[value] \pm \sqrt{([value])^2 - 4\cdot1\cdot[value]}}{2\cdot1} =\frac{[value] \pm [value]}{2} = [value] \] tai \[[value]\].

Sievennä

\[ \frac{\frac{[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}} = \]

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Ratkaise eksponenttiyhtälö \[[value]^x=[value].\] luonnollisen logaritmin avulla.

Huom! Luonnollinen logaritmi luvusta a annetaan muodossa ln(a), esimerkiksi ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku annetaan muodossa e, esimerkiksi 2*e.

\(x= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Olkoon annettu funktio \[ g(x)=[value]+[value]+[value]+[value].\] Laske funktion derivaatta.

Huom. Potenssilausekkeet annetaan muodossa a*x^(b), esim. 3*x^(1/5).

\( g'(x)= \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske derivaatta \( f'(x) \), kun \[ f(x) = x^2 + [value] \].

\(f'(x)= \)

Laske

\[ \dfrac{1}{[value]} - \dfrac{1}{[value]}  \]

Vastaus:

Laske

\[ \sin{\left(\dfrac{[value]}{2}\right)} \]

Vastaus:

Laske funktion \[ f(x)= [value] \] ja \(x\)-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä \( [0, [value]] \).

\( A =\)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Anna jokin pisteiden \[A = ([value], [value], [value])\] ja \[B = ([value], [value], [value])\] kautta kulkevan suoran suuntainen vektori. Vastaus pyydetään muodossa \[ \overline{x} = a\overline{i} + b\overline{j} + c\overline{k}\].

\( \overline{x} = \) \( \overline{i} +\) \( \overline{j} +\) \( \overline{k}\).

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske vektorin \[ \overline{u} = [value]\overline{i} + [value]\overline{j} \] projektio vektorille \[ \overline{v} = [value]\overline{i} \, [value]\overline{j}. \] Anna vastaukseksi vektorin alkiot alla oleviin tekstikenttiin.

Muistutuksena, vektorin \( \overline{u} \) projektio vektorille \( \overline{v} \) lasketaan kaavalla \[ proj_v \overline{u} = \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{\overline{v} \cdot \overline{v}}\overline{v}. \]

\( proj_v \overline{u} \) = \( \overline{i} + \) \( \overline{j} \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Anna funktion \[ \displaystyle f(x) = [value] \] suurin ja pienin arvo välillä \( [[value],[value]] \).

Suurin arvo on

Pienin arvo on

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:

Laske

\[ \ln(e^{[value]} \cdot e^{[value]}) \]

Vastaus:

Sievennä seuraava lauseke:

\[ |[value]-\sqrt{[value]}| + |1 - \sqrt{[value]}| \]

Vastaus:

Laske määrätty integraali

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \,dx \, \]

Vastaus:

Laske

\[[value]\cdot([value]-[value])+[value] \]

Vastaus:

Laske ja sievennä

\[\left(\dfrac{[value]}{[value]}\right)^3 \]

Vastaus:

Ratkaise epäyhtälö \[ [value]x+[value] < \frac{1}[value]x. \]

Anna vastaus tarkkana arvona. Valitse myös pudotusvalikosta oikea merkkivaihtoehto.

\(x \)

Voit käyttää alla olevaa tekstilaatikkoa välivaiheiden hahmotteluun: