Title: Differentiaaliyhtälöt 1

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = 3xy\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 0.; 2.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä
A: 1.; lineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = 3xy\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.
Also offered: 0.; 2.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
A: 1.; lineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; integroidaan (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(2xy'' + 5y' - x^3y = 0, \qquad y(0) = -1, \ y'(0) = 5\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 0.; 1.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; yleinen differentiaaliyhtälö; nolla; kaksi; äärettömän monta; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä
A: 2.; lineaarinen; alkuarvotehtävä; yksi; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = \dfrac{5x}{y}\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 0.; 2.; 3.; lineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä
A: 1.; epälineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = \dfrac{5x}{y}\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.
Also offered: 0.; 2.; 3.; lineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
A: 1.; epälineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(2xy'' + 5y' - x^3y = 0, \qquad y(0) = -1, \ y'(0) = 5\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.
Also offered: 0.; 1.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; yleinen differentiaaliyhtälö; nolla; kaksi; äärettömän monta; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
A: 2.; lineaarinen; alkuarvotehtävä; yksi; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(yy' + 5x^2y'' = 3x + \sin(x^2)\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.
Also offered: 0.; 1.; 3.; lineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
A: 2.; epälineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(yy' + 5x^2y'' = 3x + \sin(x^2)\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 0.; 1.; 3.; lineaarinen; separoituva; ei-separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; yksi; kaksi; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä
A: 2.; epälineaarinen; yleinen differentiaaliyhtälö; äärettömän monta; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = 3x - \ln(x)y, \qquad y(2) = 3\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 0.; 2.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; yleinen differentiaaliyhtälö; nolla; kaksi; äärettömän monta; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan normaalimuotoisen yhtälön vakiotermillä; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä
A: 1.; lineaarinen; alkuarvotehtävä; yksi; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö

\(y' = 3x - \ln(x)y, \qquad y(2) = 3\)

on [...] kertaluvun [...] [...], jolla on [...] erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.
Also offered: 0.; 2.; 3.; epälineaarinen; separoituva; ei-separoituva; yleinen differentiaaliyhtälö; nolla; kaksi; äärettömän monta; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
A: 1.; lineaarinen; alkuarvotehtävä; yksi; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä