Title: Todistaminen

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Osoita vastaesimerkillä, että väite "jos \(A \cup C = B \cup C\), niin \(A = B\)" ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)
Feedback: Esimerkiksi \(A = [value]\), \(B = [value]\) ja \(C = [value]\). Tällöin \(A \cup C = \{1,2\} = B \cup C\), mutta selvästi \(A \neq B\).

Olkoot \(a, b \in \mathbb{R}\). Osoita, että jos \(a < b\), niin \(\frac{a+b}{2} < b\).

Väitteelle tulee laatia .

Todistus. Oletetaan, että . Tästä seuraa, että
\(a + b < \) .
Jakamalla epäyhtälön molemmat puolet luvulla , saadaan epäyhtälö sievennettyä muotoon . Väite on todistettu.
Feedback: Todistus. Oletetaan, että \(a < b\). Tästä seuraa, että \(a + b < b + b\), mikä voidaan kirjoittaa myös muodossa \(a + b < 2b\). Jakamalla epäyhtälö puolittain luvulla \(2\), saadaan epäyhtälö muotoon \(\frac{a+b}{2} < b\). Väite on todistettu.

Q: Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\). Tarkoitus on osoittaa, että \(a+b>c\).

Täydennä väitteen ristiriitatodistus.

Todistus

Tehdään vastaoletus: [...].

Korottamalla epäyhtälö [...] potenssiin saadaan [...].

Koska [...], niin \(a^2+2ab+b^2 >a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2 >\)[...], mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan [...].

Koska [...] päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.
Also offered: a + b < c; kolmanteen; a² + b² ≤ c²; a² + b² < c²; Pythagoraan lauseesta; a² + b² ≠ c²; a² + 2ab + b² < c²; a² + 2ab + b²
A: a + b ≤ c; toiseen; a² + 2ab + b² ≤ c²; 2ab > 0; a² + b²; a² + b² = c²; vastaoletuksesta
Feedback: Todistus Tehdään vastaoletus: \(a+b \leq c\). Korottamalla epäyhtälö toiseen potenssiin saadaan \(a^2+2ab+b^2 \leq c^2\). Koska \(2ab>0\), niin \(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2>a^2+b^2\), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan \(a^2+b^2=c^2\). Koska vastaoletuksesta päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.

Q: Induktiotodistus on keskeinen työväline matematiikassa. Sen avulla voidaan todistaa väitteitä kaikille luonnollisille luvuille. Hieman muunnellen sitä voi käyttää lukujen sijaan todistamaan asioita myös esimerkiksi kaikille propositiolauseille (logiikassa) tai vaikkapa kaikille binääripuille (tietojenkäsittelytieteessä). Aloitetaan induktiotodistuksen harjoittelu summakaavan todistamisella. Voit ottaa mallia esimerkistä 4.1.2.

Tarkoituksena on todistaa induktiolla, että

\( \sum \limits_{i=0}^{n} (3i-2) = \frac{(n+1)(3n-4)}{2} \)

kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\).

Laita induktiotodistuksen vaiheet oikeaan järjestykseen.

[...] Tässä vaiheessa näytettäisiin, että väite pätee luvulla \(n=0\).

[...] Tässä vaiheessa tehtäisiin ensin [...], eli oletettaisiin väitteen pätevän jollain \(k \in \mathbb{N}\). Tämän jälkeen näytettäisiin, että tällöin väite pätee myös luvulla \(k+1\).

[...] Lopuksi todettaisiin, että edellisen perusteella väite pätee [...] nojalla kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).
A: Alkuaskel:; Induktioaskel:; induktio-oletus; Johtopäätös:; induktioperiaatteen
Feedback: Alkuaskel: Tässä vaiheessa näytettäisiin, että väite pätee luvulla \(n=0\). Induktioaskel: Tässä vaiheessa tehtäisiin ensin induktio-oletus, eli oletettaisiin väitteen pätevän jollain \(k \in \mathbb{N}\). Tämän jälkeen näytettäisiin, että tällöin väite pätee myös luvulla \(k+1\). Johtopäätös: Lopuksi todettaisiin, että edellisen perusteella väite pätee induktioperiaatteen nojalla kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Q: Seuraavissa tehtävissä jatketaan induktiotodistukseen tutustumista.

Tarkastellaan väitettä, jonka mukaan

\( \sum \limits_{i=0}^n (4i+1) = (n+1)(2n+1)+1 \)

kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \). Kaverisi on laatinut väitteelle seuraavanlaisen todistuksen.

Todistus ei kuitenkaan ole oikein, vaan siinä on yksi virhe. Etsi virhe ja vedä sen kohdalle oikea selitys.
- Zone 1 | Vaihe puuttuu.
Also offered: Summan indeksöinti on väärin.; Todistus on oikein.; Sulut on avattu väärin.; Induktio-oletusta on käytetty väärin.
Feedback: Todistuksessa ei tarkisteta, päteekö väite luvulla nolla.