Title: Derivaatta

Derivate \( f(x)=[value] \).Derivoi \( f(x)=[value] \).Derivera \( \displaystyle f(x)=[value] \).

\( f'(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Using the chain rule, we getKetjusäännölläKedjeregeln ger \( \begin{eqnarray*} f'(x) & = & \frac{1}[value]\cdot ([value])^{1/[value]-1}\cdot [value]x^[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Calculate the derivative of the function \( f(x)=[value] \).Laske funktion \( f(x)=[value] \) derivaatta.Bestäm derivatan av funktionen \( f(x)=[value] \).

Example: Expression \( 3x^2+5x+1 \) is written as 3*x^2+5*x+1.Esimerkki: lauseke \( 3x^2+5x+1 \) kirjoitetaan 3*x^2+5*x+1.Inmatningsexempel: uttrycket \( 3x^2+5x+1 \) skrivs 3*x^2+5*x+1.

\( f'(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The function \( f(x)=[value] \) can be derivated by applying the power rule. The derivative of the function is \( f'(x)=[value] \).Funktio \( f(x)=[value] \) voidaan derivoida käyttämällä potenssifunktion derivointisääntöä. Funktion derivaatta on \( f'(x)=[value] \).Funktionen \( f(x)=[value] \) kan deriveras med deriveringsregeln för potensfunktioner, \( Dx^n=n\cdot x^{n-1}. \) Derivatan av funktionen är \[ f'(x)=[value]. \]

Derivate \( f(x)=[value] \).Derivoi \( f(x)=[value] \).Derivera \( f(x)=[value] \).

Example: Expression \( 4(5x-2)^3 \) is written as 4*(5*x-2)^3.Esimerkki: lauseke \( 4(5x-2)^3 \) kirjoitetaan vastaukseen 4*(5*x-2)^3.Inmatningsexempel: uttrycket \( 4(5x-2)^3 \) skrivs 4*(5*x-2)^3.

\( f'(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: We apply the chain rule to the outer function \(x\mapsto x^[value]\) and inner function \(x\mapsto [value]-x\).Sovelletaan yhdistetyn funktion ketjusääntöä ulkofunktioon \(x\mapsto x^[value]\) ja sisäfunktioon \(x\mapsto [value]-x\).Här används kedjeregeln med den yttre funktionen \(x\mapsto x^[value]\) och den inre funktionen \(x\mapsto [value]-x\). \( f'(x)=[value]([value]-x)^[value]\cdot (-1)=-[value]([value]-x)^[value] \).

Derivate \( f(x)=[value] \).Derivoi \( f(x)=[value] \).Derivera \( f(x)=[value] \).

\( f'(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( f'(x)=[value]([value]-[value]x)^[value]\cdot (-[value])=[value] \).

Find the minimum value of the function \( f(x)=[value] \) on the interval \( [0,5] \).Laske funktion \( f(x)=[value] \) pienin arvo välillä \( [0,5] \).Bestäm det minsta värdet av funktionen \( f(x)=[value] \) på intervallet \( [0,5] \).

The minimum value of the function is Funktion pienin arvo on Funktionens minsta värde är
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: First we calculate the derivative of the function \( f(x) \) using the power rule \( Dx^n=n\cdot x^{n-1} \).Lasketaan ensin funktion \( f(x) \) derivaatta potenssifunktion derivointisäännön \( Dx^n=n\cdot x^{n-1} \) avulla.Bestäm först derivatan av funktionen \( f(x) \) med deriveringsregeln för potensfunktioner, \( Dx^n=n\cdot x^{n-1} \). \( f'(x)=[value] \). The function reaches its greatest value at the zeros of its derivative or at the endpoints of its domain.Funktion arvo on suurin sen derivaatan nollakohdissa tai määrittelyvälin päätepisteissä. Lasketaan ensin derivaattafunktion \( f'(x) \) nollakohdat.Funktionens värde är störst i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter. Bestäm derivatans nollställen. \( \begin{eqnarray*} 3x^2-[value] & = & 0 \\ 3x^2 & = & [value] \\ x^2 & = & [value] \\ x=[value] & \text{ or } & x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} 3x^2-[value] & = & 0 \\ 3x^2 & = & [value] \\ x^2 & = & [value] \\ x=[value] & \text{ tai } & x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} 3x^2-[value] & = & 0 \\ 3x^2 & = & [value] \\ x^2 & = & [value] \\ x=[value] & \text{ eller } & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Considering these two roots, only the root \( x=[value] \) is on the interval \( x\in [0,5] \). We make a sign chart: Näistä kahdesta juuresta vain juuri \( x=[value] \) kuuluu määrittelyalueeseen \( x\in [0,5] \). Tehdään kulkukaavio: Av dessa två rötter hör endast roten \( x=[value] \) till intervallet \( x\in [0,5] \). Gör ett teckenschema: \( \begin{array}{cccccc} &0&&[value]&&5 \\ \hline f'(x)&|&-&|&+&| \\ f(x)&|&\searrow&|&\nearrow&|\\ \hline &&&\text{minima}&&\\ \end{array} \)\( \begin{array}{cccccc} &0&&[value]&&5 \\ \hline f'(x)&|&-&|&+&| \\ f(x)&|&\searrow&|&\nearrow&|\\ \hline &&&\text{minimi}&&\\ \end{array} \)\( \begin{array}{cccccc} &0&&[value]&&5 \\ \hline f'(x)&|&-&|&+&| \\ f(x)&|&\searrow&|&\nearrow&|\\ \hline &&&\text{minimum}&&\\ \end{array} \) \( f'(1)=3\cdot 1^2-[value]=[value]<0 \) Thus, the sign of the derivative is negative and the function is decreasing on the interval \( ]0,[value][ \).\( f'(1)=3\cdot 1^2-[value]=[value]<0 \) eli derivaatan merkki on välillä \( ]0,[value][ \) negatiivinen ja funktio on vähenevä.\( f'(1)=3\cdot 1^2-[value]=[value]<0 \) Derivatans förtecken är alltså negativt och funktionen är avtagande på intervallet \( ]0,[value][ \). \( f'(4.5)=3\cdot 4.5^2-[value]=[value]>0 \) Thus, the sign of the derivative is positive and the function is increasing on the interval \( ][value],5[ \).\( f'(4.5)=3\cdot 4.5^2-[value]=[value]>0 \) eli derivaatan merkki on välillä \( ][value],5[ \) positiivinen ja funktio on kasvava.\( f'(4.5)=3\cdot 4.5^2-[value]=[value]>0 \) Derivatans förtecken är alltså positivt och funktionen är växande på intervallet \( ][value],5[ \). Therefore, the function has a minima at \( x=[value] \) and its smallest value on the interval \( [0,5] \) is \( f([value])=[value]^3-[value]\cdot [value]=[value] \).Funktiolla on siis minimikohta \( x=[value] \) ja funktion pienin arvo välillä \( [0,5] \) on \( f([value])=[value]^3-[value]\cdot [value]=[value] \).Funktionen har alltså minimipunkten \( x=[value] \) och funktionens minsta värde på intervallet \( [0,5] \) är \( f([value])=[value]^3-[value]\cdot [value]=[value] \).

Derivate \( f(x)=[value] \).Derivoi \( f(x)=[value] \).Derivera \( f(x)=[value] \).

The number \( e \) is written as e.Luku \( e \) kirjoitetaan e.Talet \( e \) matas in som e.

\( f'(x)= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellsvar: \( f'(x)=\frac{1}{x}+[value]\cdot [value]e^{[value]x}=[value] \).

Derivate \( f(x)=[value] \).Derivoi \( f(x)=[value] \).Derivera \( \displaystyle f(x)=[value] \).

\( f'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( f(x)=[value]=x^{-[value]} \). \( \begin{eqnarray*} f'(x) & = & -[value]\cdot x^{-[value]-1} \\ & = & -[value]\cdot x^[value] \\ & = & -\frac[value]{x^[value]}. \end{eqnarray*} \)