Title: 1: MAY1

Q: Ratkaise yhtälö \( [value]=[value] \).

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Yhtälön oikea puoli voidaan esittää luvun 2 potenssina, jolloin molemmille puolille saadaan samat kantaluvut. Koska [value] \( = 2^[value] \), on yhtälön ratkaisu \( x= [value] \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Laske ja sievennä:

\( [value] [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] - [value] = \frac{[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Laske funktion \( f(x)=[value] \) arvo, kun muuttuja \( x \) saa arvon \( x=[value] \). Anna vastaus tarkkana arvona!

\( f([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f([value]) & = & \sqrt[value]+\frac{1}[value]-[value] \\ &=& [value] + [value] - [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Laske funktion \( f(x)=[value] \) arvo kohdassa \( x=[value] \).

Anna vastaus tarvittaessa murtolukuna.

\( f([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ f([value]) & = & [value]\cdot [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise yhtälö \( [value] = 27^[value] \).

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Yhtälön molemmat puolet voidaan esittää luvun 3 potenssina, jolloin molemmille puolille saadaan samat kantaluvut: \( \begin{array}{crcl} \Leftrightarrow &[value] &=& 27^[value] \\ \Leftrightarrow &(3^2)^x &=& (3^3)^[value] \\ \Leftrightarrow &3^{2x} &=& 3^[value] \\ \Leftrightarrow &2x &=& [value] \\ \Leftrightarrow &x &=& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Yhtälön molemmat puolet voidaan esittää luvun [value] potenssina, jolloin molemmille puolille saadaan samat kantaluvut: \( \begin{array}{crcl} \Leftrightarrow &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value]^2 \\ \Leftrightarrow &[value] &=& 2 \\ \Leftrightarrow &x &=& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \) neljän merkitsevän numeron tarkkuudella.

\( x \approx \)
Feedback: Mallivastaus: Otetaan yhtälön molemmilta puolilta [value]-kantainen logaritmi. \( \begin{array}{crcl} &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &x &=& \log_[value] [value] \\ \Leftrightarrow &x &=& [value] \\ \Leftrightarrow &x &\approx& [value] \\ \end{array} \) Muista, että jos laskimellasi ei voi laskea suoraan [value]-kantaista logaritmia, voit hyödyntää kaavaa \( \log_a (b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \) neljän merkitsevän numeron tarkkuudella.

\( x \approx \)
Feedback: Mallivastaus: Otetaan yhtälön molemmilta puolilta [value]-kantainen logaritmi. \( \begin{array}{crcl} &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& \log_[value] [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value]... \\ \Leftrightarrow &x &=& [value]... \\ \Leftrightarrow &x &\approx& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Bakteeriviljelmässä on tarkastelujakson alussa [value] bakteeria. Määrä kasvaa joka tunti [value]-kertaiseksi, eli \( t \) tunnin kuluttua bakteereja on \( [value] \cdot [value]^t \). Ilmoita vastaukset neljän merkitsevän numeron tarkkuudella ja tarvittaessa kymmenpotenssimuodossa. Kymmenpotenssimuodon voit kirjoittaa merkillä e, esimerkiksi siis \( 2.5 \cdot 10^3 \) kirjoitetaan 2.5e3.

Kuinka paljon bakteereja on [value] tunnin kuluttua? Vastaus:

Kuinka monen tunnin kuluttua bakteerien määrä on [value]? Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Ensimmäisessä kohdassa sijoitetaan annettu aika [value] yhtälöön: \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value]^[value] = [value] = [value] \approx [value] \end{eqnarray} \) Toisessa kohdassa ratkaistaan yhtälöstä aika \( t \): \( \begin{array}{crcll} &[value] \cdot [value]^t &=& [value] & \Arrowvert \colon [value] \\ \Leftrightarrow & [value]^t &=& \frac{[value]}{[value]} & \\ \Leftrightarrow & t &=& \log_[value] \frac{[value]}{[value]} & \\ \Leftrightarrow & t &=& [value] & \\ \Leftrightarrow & t & \approx & [value] & \\ \end{array} \) Jos laskimella ei voi laskea suoraan [value]-kantaista logaritmia, voi laskun laskea myös kaavan \( \log_a n = \frac{\log_x n}{\log_x a} \), missä \( x \) voi olla mikä tahansa luku. Laskimesta yleensä löytyy ainakin 10-kantainen ja luonnollinen logaritmi, joiden avulla lasku voidaan suorittaa.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Erään yrityksen palkkakulut ovat [value] euroa vuodessa. Yrityksellä menee hyvin, ja se rekrytoi jatkuvasti uusia työntekijöitä, vuosittain [value] prosenttia enemmän kuin edellisenä vuonna. Mitkä ovat yrityksen palkkakulut [value] vuoden kuluttua? Ilmoita vastaus yhden euron tarkkuudella.

Vastaus:

Yrityksen nousukiito hidastuu pikkuhiljaa ja kääntyy muutaman vuoden kuluttua laskuun. Yrityksen johto päättää pyrkiä vähentämään palkkakuluja vuosittain [value] prosenttia. Kuinka monen vuoden kuluttua palkkakulut ovat pienentyneet [value] prosenttia?

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Ensimmäisessä kohdassa muutetaan ensin annettu kasvuprosentti sopivaksi desimaaliluvuksi. Koska kyse on kasvusta, on desimaaliluvun oltava suurempaa kuin yksi. Siten kasvuprosentti on nyt \( 1+ \frac{[value]}{100} = [value] \). Sijoitetaan annettu aika [value] yhtälöön ja lasketaan palkkakulujen määrä: \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value]^[value] = [value] \approx [value] \end{eqnarray} \) Palkkoihin kuluu siis [value] euroa. Palkkakuluja ei muutaman tasaisemman vuoden jälkeen tiedetä, joten merkitään niitä \( a \):lla. Kulut pienenevät vuodessa \( [value] \% \), jolloin palkkakuluja on vuoden lopussa jäljellä \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \). Siten vuoden kuluttua palkkakulut ovat \( [value] a \) ja \( t \) vuoden kuluttua palkkakulut ovat \( [value]^t \cdot a \). Kun palkkakulut ovat vähentyneet \( [value] \% \), niitä on jäljellä \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \), eli palkkakulujen määrä tällöin on \( [value] a \). Saadaan yhtälö \( [value]^t \cdot a = [value] a \), josta voidaan ratkaista kysytty aika \( t \). \( \begin{array}{crcll} & [value]^t \cdot a &=& [value] a & \Arrowvert \colon a \\ \Leftrightarrow & [value]^t &=& [value] & \\ \Leftrightarrow & t &=& \log_[value] [value]& \\ \Leftrightarrow & t &=& [value] & \\ \end{array} \) Koska palkkakulut lasketaan vain kerran vuodessa, tulee vastaus pyöristää ylöspäin seuraavaan vuoteen. Siis palkkakulut ovat laskeneet \( [value] \% \) \( [value] \) vuoden päästä. Jos laskimella ei voi laskea suoraan [value]-kantaista logaritmia, voi laskun laskea myös kaavan \( \log_a n = \frac{\log_x n}{\log_x a} \), missä \( x \) voi olla mikä tahansa luku. Laskimesta yleensä löytyy ainakin 10-kantainen ja luonnollinen logaritmi, joiden avulla lasku voidaan suorittaa.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise epäyhtälö \( [value]>0 \).

Anna vastauksesi muodossa \( x \gt a \) tai \( x \lt a \), missä a on juuren tarkka arvo murtolukumuodossa. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray} [value] & > & 0 \\ [value] & > & -[value] \ \ \Arrowvert \colon [value] \\ x & > & [value]. \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise epäyhtälö \( [value] > [value] \).

Anna vastaus muodossa \(x \lt a\) tai \(x \gt a\), missä \( a \) on tarkkana arvona murtolukumuodossa!
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{array}{crcll} &[value] &\gt & [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &\gt& [value] & \\ \Leftrightarrow &[value] &\gt& [value] & \Arrowvert \colon [value] \\ \Leftrightarrow & [value] & &\\ \end{array} \) Muista, että jakajan tai kertojan ollessa negatiivinen luku epäyhtälömerkin suunta vaihtuu!
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise yhtälö \( [value] > [value] \).

Anna vastaus muodossa \(x \lt a\) tai \(x \gt a\), missä \( a \) on tarkkana arvona murtolukumuodossa!
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{array}{crcll} &[value] &\gt & [value] & \Arrowvert \cdot [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &\gt& [value] & \Arrowvert \cdot [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &\gt& [value] & \Arrowvert \cdot [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &\gt& [value] & \\ \Leftrightarrow &[value] &\lt& [value] & \Arrowvert \colon [value] \\ \Leftrightarrow & [value] & &\\ \end{array} \) Muista, että jakajan tai kertojan ollessa negatiivinen luku epäyhtälömerkin suunta vaihtuu!
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Mitkä ovat funktioiden \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) nollakohdat?

Funktion \( f \) nollakohta: \( x = \)

Funktion \( g \) nollakohta: \( x = \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla, eli nyt \( \begin{eqnarray} [value] = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{[value]}{[value]} = [value] \end{eqnarray} \) ja \( \begin{eqnarray} [value] = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{[value]}{[value]} = [value] \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Mikä on funktion \( f(x) \) arvo kohdassa \( x = [value] \)? Entä funktion \( g(x) \) arvo kohdassa \( x = [value] \)?

\( f([value]) = \)

\( g([value]) = \)
Feedback: Funktion \(f\) arvo kohdassa \( x = [value] \) on [value]. Funktion \(g\) arvo kohdassa \( x = [value] \) on [value]. Kohdat on merkitty kuvaan.
  Hint: Luithan akseleita varmasti oikein? Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Mitkä ovat funktioiden \( f(x) \) ja \( g(x) \) nollakohdat? Jos vastauskenttiä on mielestäsi liikaa, kirjoita ylimääräisiin kenttiin \(n\).

Funktion \( f \) nollakohta / nollakohdat: \( x = \) ja \( x = \)

Funktion \( g \) nollakohta / nollakohdat: \( x = \) ja \( x = \)
Feedback: Mallivastaus: Funktiolla \( f \) on yksi nollakohta, joka on \( x = \) [value]. Nollakohta on merkitty myös kuvaan. Funktio \( g \) on muotoa \( g(x) = x^2 - a \) ja sillä on kaksi nollakohtaa, \( x = \pm \sqrt{a} \). Nyt funktion \( g(x) \) nollakohdat ovat \( x = \) [value] ja \( x = \) [value]. Funktion \( g \) nollakohdat on merkitty myös kuvaan.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Suorakulmion muotoisen puutarha-alueen pituus on [value] m ja leveys [value] m. Puutarhan läpi kulkee kaksi yhtä leveää hiekkakäytävää kummankin sivun suuntaisesti, katso mallia kuvasta.

Muodosta funktio \( A(x) \), joka ilmaisee hiekkakäytävien pinta-alan neliömetreinä. Käytävien leveys on \(x\) metriä.

\( A(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Hiekkakäytävien pinta-ala voidaan laskea, kun tiedetään molempien käytävien leveys ja pituus. Nyt molempien käytävien leveys on \( x\). Pystysuuntaisen polun pituus on nyt [value] metriä, jolloin pystysuuntaisen polun pinta-ala on [value]. Vastaavasti vaakasuuntaisen polun ala on [value]. Lisäksi tulee huomata, että mikäli pinta-alat lasketaan yhteen, tulee polkujen risteyskohta laskettua kahteen kertaan. Tämän risteysalueen koko on \( x \cdot x = x^2 \) ja se tulee vähentää pinta-alan funktiosta. Siten oikea vastaus on \( A(x) = [value] + [value] - x^2 = [value] \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä: \( \frac{\left( [value] \right)^[value] }{[value]} \) =
Feedback: Mallivastaus: \( \dfrac{\left( [value] \right)^[value] }{[value]} = \dfrac{ a^{[value] \cdot [value]} }{[value]} = a^{[value]-[value]} = a^[value]. \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise yhtälö \( [value]=[value] \).

Anna vastaus tarkkana arvona murtolukumuodossa!

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{array}{crcl} &[value] &= & [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &x &=& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Tarkastellaan funktiota \( f(x)=[value] \).

a) Laske funktion arvo \( f([value]) \).

\( f([value])= \)

b) Millä muuttujan \(x\) arvolla funktio saa arvon \( [value] \)?

\( x = \)
Feedback: Mallivastaus: a) \( f([value]) = [value] \cdot [value] + [value] = [value]. \) b) \( \begin{array}{crcl} & f(x) &=& [value] \\ \Leftrightarrow & [value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow & [value] x &=& [value] - [value] \\ \Leftrightarrow & [value] x &=& [value] \\ \Leftrightarrow & x &=& \frac{[value]}{[value]} \\ \Leftrightarrow & x &=& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Määritä muuttujan \( x \) arvo, kun \( \log_[value](x)=[value] \).

Voit antaa vastauksen myös potenssimuodossa.

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: Määritelmän mukaan \( \log_k(x)=a \) jos ja vain jos \( x=k^a \), joten \( \begin{eqnarray*} \log_[value](x) & = & [value] \\ \Leftrightarrow x & = & [value]^[value]=[value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Tarkastellaan funktion \( g(x) \) kuvaajaa. Jos vastauskenttiä on mielestäsi liikaa, kirjoita ylimääräisiin kenttiin 0. Ole todella tarkkana kuvaajan lukemisessa. Viivoja on hieman korostettu viiden välein, mikä saattaa helpottaa lukemista hieman.

a) Määritä kuvaajasta \( g([value]) \).

\( g([value]) = \)

b) Määritä kuvaajasta, millä \(x\):n arvoilla \(g(x) = [value] \).

\(x = \) ja \(x = \)

c) Määritä kuvaajasta funktion nollakohdat.

\(x = \) ja \(x = \)
Feedback: a) Tehtävässä kysyttiin funktion arvoa, kun \( x = [value] \). Oikea vastaus on \( g([value]) = [value] \), katso kuvaajaa alla. b) Funktio \( g \) saa arvon [value] kahdella muuttujan \(x\) arvolla, \( x = [value] \) ja \( x = [value] \). c) Funktiolla \( g \) on kaksi nollakohtaa. Funktion nollakohta on se kohta, missä funktio saa arvon nolla. Nyt funktion \( g(x) \) nollakohdat ovat \( x = \) [value] ja \( x = \) [value]. Funktion \( g \) nollakohdat on merkitty myös kuvaan.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Määritä lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ja [value]. jäsen, kun yleinen jäsen \( a_n = [value] \)

\( a_1 = \)

\( a_2 = \)

\( a_3 = \)

\( a_[value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( a_1 = \frac{[value] \cdot (-1)^1 }{1} = [value] \) \( a_2 = \frac{[value] \cdot (-1)^2 }{2} = [value] \) \( a_3 = \frac{[value] \cdot (-1)^3 }{3} = [value] \) \( a_[value] = \frac{[value] \cdot (-1)^[value] }{[value]} = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Mira innostuu kuntosaliharjoittelusta ja päättää opetella jalkakyykyn. Ensimmäisellä viikolla Mira kyykkää varovaisesti harjoitellen [value] kiloa. Miran kyykkyohjelmassa kasvatetaan joka viikko painoa saman verran ja [value]. viikolla Mira kyykkää jo [value] kiloa.

a) Kuinka paljon Mira kyykkää toisella viikolla?

kiloa

b) Mira haaveilee, että jonain päivänä kyykkäisi [value] kiloa. Milloin Mira saavuttaa tavoitteensa, jos hän pystyy jatkamaan painojen lisäämistä koko ajan samalla tahdilla?

Viikolla
Feedback: a) Miran kyykkytreeneistä muodostuu aritmeettinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value], minkä lisäksi tiedetään [value]. termi, joka on [value]. Tietojen avulla voidaan ratkaista lukujonon yleinen jäsen: \( \begin{array}{crcl} &[value] + ([value]-1) \cdot d &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] + [value] d &=& [value] \\ \Leftrightarrow &d &=& \frac{[value]-[value]}{[value]} \\ \Leftrightarrow &d &=& [value] \end{array} \) Jonon differenssi on siis [value], jolloin jonon yleinen jäsen on \( a_n = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] \). Tästä voidaan ratkaista kyykkypainot toisella viikolla, \( a_2 = [value] \cdot 2 + [value] = [value] \). b) Nyt tuli vielä selvittää, kuinka mones lukujonon termi saa arvon [value]. Ratkaistaan siis yhtälö \( a_n = [value] \). \( \begin{array}{crcl} &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] \cdot n &=& [value] \\ \Leftrightarrow &n &=& \frac{[value]}{[value]} \\ \Leftrightarrow &n &=& [value] \end{array} \) [value] Mira kyykkää [value] kiloa viikolla [value].
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Älypuhelimen hinta on [value] €. Uudemman mallin ilmestyttyä hintaa alennetaan [value] \( \% \). Muuttomyynnin myötä kauppa antaa kaikille tuotteille vielä [value] \( \% \) lisäalennuksen. Mikä on puhelimen hinta alennusten jälkeen?

\( \text{€} \)

Kuinka suuri on alennusprosentti molempien alennusten jälkeen? Anna vastaus \( 0.1 \) prosentin tarkkuudella.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Muutetaan ensin alennusprosentit sopiviksi desimaaliluvuiksi. Koska kyseessä on alennus, ensimmäisen alennuksen jälkeen puhelimen hinta on \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Muuttoalennuksen jälkeen tuotteen hinta puolestaan on \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Puhelimen hinta molempien alennusten jälkeen on siis \( [value] \cdot [value] \cdot [value] € = [value] \cdot [value] € = [value] € \approx [value] € \). Alennusprosentti molempien alennusten jälkeen on \( 1- [value] \cdot [value] = 1 - [value] = [value] \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Eläintarhan sisäänpääsylipun hintaa nostetaan [value] \( \% \). Hinnan nousun seurauksena kävijämäärät laskevat [value] \( \% \). Miten lippumyynnistä saatavat tulot muuttuivat? Ilmoita vastaus \( 0.01 \% \) tarkkuudella ja mahdollinen tulojen lasku miinusmerkillä.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Alkuperäistä hintaa ja myyntituloja ei tiedetä, joten niitä voidaan merkitä esimerkiksi \( a \):lla ja \( b \):llä. \( \begin{array}{l | l | l | l } \text{Tilanne} & \text{Pääsylipun hinta (€)} & \text{Myynti (kpl)} & \text{Myyntitulot (€)} \\ \hline \text{Alussa} & a & b & ab \\ \hline \text{Lopussa} & [value] a & [value] b & [value] a \cdot [value] b \\ \end{array} \) Myynnistä saatavat tulot ovat muutosten jälkeen \( [value] a \cdot [value] b = [value] ab \). Tämä on [value] \( \% \) alkuperäisestä myyntitulosta \( ab \). Tulot siis [value] [value] \(\%\) [value] \(\%\) \( = [value] \% \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ensimmäisellä kesäviikolla jäätelökioskin myynti on [value] euroa. Kesän säät eivät kuitenkaan suosi, ja kahvilan myynti pienenee joka viikko [value] prosenttia.

a) Millä viikolla tulot ovat ensimmäisen kerran alle [value] euroa?

Viikolla

b) Kioski laittaa kyseisen viikon lopussa lapun luukulle huonon myynnin vuoksi. Kuinka suuret ovat koko kesän myyntitulot? Pyöristä vastaus yhden euron tarkkuudelle.

€
Feedback: a) Myyntituloista muodostuu geometrinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value] ja suhdeluku on [value], koska tulot vähenevät viikottain. Lukujonon yleinen jäsen on siis \( [value] \cdot [value]^{n-1} \). Tästä voidaan ratkaista, kuinka monennella viikolla myyntitulot alittavat [value] euroa: \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value]^{n-1} &=& [value] \\ [value]^{n-1} &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n-1 &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ n &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) + 1 \\ n &=& [value] \\ n & \approx & [value] \end{eqnarray} \) Vastaus pyöristetään ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun, sillä vasta [value]. viikolla tulot ovat alle [value] euroa. Viikolla [value] myyntitulot ovat hieman yli [value] euroa (tarkasta laskemalla!). b) Nyt tuli vielä selvittää, kuinka suuret myyntitulot ovat [value] viikon aikana. Tämä saadaan geometrisena summana: \( \begin{eqnarray} S_[value] &=& \frac{[value] \cdot \left( 1-[value]^{[value]} \right) }{1-[value]} \\ &=& [value] \\ &\approx & [value] \\ \end{eqnarray} \) Myyntitulot ovat siis yhteensä [value] euroa.
  Hint: Yritä vielä!
  Hint: Yritä vielä!

Q: Määritä lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ja [value]. jäsen, kun yleinen jäsen \( a_n = [value] \)

\( a_1 = \)

\( a_2 = \)

\( a_3 = \)

\( a_[value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( a_1 = [value] \cdot 1 + [value] = [value] \) \( a_2 = [value] \cdot 2 + [value] = [value] \) \( a_3 = [value] \cdot 3 + [value] = [value] \) \( a_[value] = [value] \cdot [value] + [value] = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Määritä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun

\( \left\{ \begin{array}{ll} a_1 = [value] & \\ a_n = 2 a_{n-1}+[value], & n = 2, 3, 4, ... \end{array} \right. \)

\( a_2 = \)

\( a_3 = \)

\( a_4 = \)

\( a_5= \)
Feedback: Mallivastaus: \( a_2 = 2a_{1} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_3 = 2a_{2} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_4 = 2a_{3} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_5 = 2a_{4} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value]
  Hint: Rekursiivisen jonon jäsenet lasketaan aina edellisen jäsenen avulla. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Määritä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun

\( \left\{ \begin{array}{ll} a_1 = [value] & \\ a_n = -2 a_{n-1} + [value], & n = 2, 3, 4, ... \end{array} \right. \)

\( a_2 = \)

\( a_3 = \)

\( a_4 = \)

\( a_5= \)
Feedback: Mallivastaus: \( a_2 = 2a_{1} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_3 = 2a_{2} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_4 = 2a_{3} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value] \( a_5 = 2a_{4} +[value] = 2 \cdot [value] +[value] \) = [value]
  Hint: Rekursiivisen jonon jäsenet lasketaan aina edellisen jäsenen avulla. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Määritä lukujonon 2., 3., 4. ja 5. jäsen, kun yleinen jäsen \( a_n = [value] \)

\( a_2 = \)

\( a_3 = \)

\( a_4 = \)

\( a_5 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( a_2 = [value] \cdot [value]^{2-1} = [value] \cdot [value]^{1} = [value] \) \( a_3 = [value] \cdot [value]^{3-1} = [value] \cdot [value]^{2} = [value] \) \( a_4 = [value] \cdot [value]^{4-1} = [value] \cdot [value]^{3} = [value] \) \( a_5 = [value] \cdot [value]^{5-1} = [value] \cdot [value]^{4} = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on aritmeettinen. Mikä on jonon yleinen jäsen? Mikä on jonon [value]. jäsen?

\( a_n = \)

\( a_[value] = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon differenssi on \( [value] - [value] = [value]\), jolloin yleinen jäsen \( a_n = a_1+(n-1) \cdot d = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] + [value] n - [value] = [value] \) ja \( a_[value] = [value] \cdot [value] + [value] = [value] \).
  Hint: Jonon kahden peräkkäisen jäsenen avulla voidaan selvittää jonon differenssi, mitä tarvitaan yleistä jäsentä varten. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Jonon kahden peräkkäisen jäsenen avulla voidaan selvittää jonon differenssi, mitä tarvitaan yleistä jäsentä varten. Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on aritmeettinen. Mikä on jonon yleinen jäsen?

\( a_n = \)

Onko luku [value] jonon jäsen? Jos luku on jonon jäsen, vastaa 1, jos ei, vastaa 0.
Feedback: Mallivastaus: Jonon differenssi on \( [value] - [value] = [value]\), jolloin yleinen jäsen \( a_n = a_1+(n-1) \cdot d = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] + [value] n - [value] = [value] \). Jos luku on jonon jäsen, on olemassa jokin positiivinen kokonaisluku \( n \) siten, että \( a_n = [value] \). Voidaan muodostaa yhtälö \( \begin{eqnarray} a_n &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ n &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n &=& [value] \end{eqnarray} \) Jos yhtälön ratkaisu on positiivinen kokonaisluku, on [value] annetun lukujonon jäsen. Jos ratkaisu ei ole kokonaisluku, ei [value] ole lukujonon jäsen.
  Hint: Kahden peräkkäisen termin avulla voidaan selvittää jonon differenssi, mitä tarvitaan yleisen jäsenen selvittämiseksi. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Kahden peräkkäisen termin avulla voidaan selvittää jonon differenssi, mitä tarvitaan yleisen jäsenen selvittämiseksi. Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on aritmeettinen. Mikä on jonon yleinen jäsen?

\( a_n = \)

Onko luku [value] jonon jäsen? Jos luku on jonon jäsen, vastaa 1, jos ei, vastaa 0.
Feedback: Mallivastaus: Jonon differenssi on \( [value] - [value] = [value]\), jolloin yleinen jäsen \( a_n = a_1+(n-1) \cdot d = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] + [value] n - [value] = [value] \). Jos luku on jonon jäsen, on olemassa jokin positiivinen kokonaisluku \( n \) siten, että \( a_n = [value] \). Voidaan muodostaa yhtälö \( \begin{eqnarray} a_n &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ n &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n &=& [value] \end{eqnarray} \) Jos yhtälön ratkaisu on positiivinen kokonaisluku, on [value] annetun lukujonon jäsen. Jos ratkaisu ei ole kokonaisluku, ei [value] ole lukujonon jäsen.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Anniina päättää opetella uimaan. Ensimmäisellä viikolla Anniina ui [value] metriä. Anniina kasvattaa joka viikko uintimatkaansa saman verran, ja [value]. viikolla hän ui jo [value] metriä.

a) Kuinka paljon Anniina ui toisella viikolla?

metriä

b) Anniina haaveilee, että jonain päivänä uisi [value] kilometriä. Milloin Anniina saavuttaa tavoitteensa?

Viikolla
Feedback: Mallivastaus: a) Anniinan uintimatkoista muodostuu aritmeettinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value], minkä lisäksi tiedetään [value]. termi, joka on [value]. Tietojen avulla voidaan ratkaista lukujonon yleinen jäsen: \( \begin{eqnarray} [value] + ([value]-1) \cdot d &=& [value] \\ [value] + [value] d &=& [value] \\ d &=& \frac{[value]-[value]}{[value]} \\ d &=& [value] \end{eqnarray} \) Jonon differenssi on siis [value], jolloin jonon yleinen jäsen on \( a_n = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] \). Tästä voidaan ratkaista uintimatka toisella viikolla, \( a_2 = [value] \cdot 2 + [value] = [value] \). b) Nyt tuli vielä selvittää, kuinka mones lukujonon termi saa arvon [value]. Ratkaistaan siis yhtälö \( a_n = [value] \). \( \begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] \cdot n &=& [value] \\ n &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n &=& [value] \end{eqnarray} \) Jos vastaus on kokonaisluku, ui Anniina [value] kilometriä viikolla [value]. Jos vastaus ei ole kokonaisluku, tulee vastaus pyöristää ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Aritmeettisessa summassa on [value] yhteenlaskettavaa termiä. Viimeinen termi on [value] ja summan arvo [value]. Mikä on jonon ensimmäinen jäsen?

\( a_1 = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon ensimmäinen termi voidaan ratkaista summan yhtälöstä \( \begin{eqnarray} S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \Leftrightarrow a_1 = \frac{2 \cdot S_n}{n} - a_n, \end{eqnarray} \) jolloin \( \begin{eqnarray} a_1 = \frac{2 \cdot [value]}{[value]} - [value] = [value], \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on geometrinen. Mikä on jonon yleinen jäsen? Mikä on jonon [value]. jäsen?

\( a_n = \)

\( a_[value] = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon suhdetermi on \( \frac{[value]}{[value]} = \frac{1}{[value]} \). Yleinen jäsen on siis \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = [value] \cdot \left( \frac{1}{[value]} \right)^{n-1} \). Siten \( a_[value] = [value] \cdot \left( \frac{1}{[value]} \right)^{[value]-1} = [value] \). Koska \( \frac{1}{n} = n^{-1} \), taustalla pyörivä laskentaohjelma sieventää mallivastauksen \( a_n = a_1 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^{n-1} \) muotoon \( a_n = a_1 \cdot x^{-(n-1)} = a_1 \cdot x^{1-n} \). Tapana on kuitenkin ilmoittaa vastaus niin, että potenssissa on \( n-1 \).
  Hint: Geometrisen jonon kahden peräkkäisen jäsenen avulla voidaan selvittää jonon suhdeluku. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Anniina on ottanut tavoitteekseen osallistua triathlonille, ja alkaa harjoitella juoksemista määrätietoisesti. Anniina juoksee ensimmäisen viikon lenkeillä [value] kilometriä. Anniina asettaa kunnianhimoisen tavoitteen kasvattaa juoksumatkaansa joka viikko [value] \( \% \).

a) Kuinka pitkiä lenkkejä Anniina juoksee [value]. viikolla? Anna vastaus sadan metrin tarkkuudella.

kilometriä

b) Anniina haaveilee, että juoksukautensa lopuksi juoksisi maratonin, [value] kilometriä. Milloin Anniina saavuttaa tavoitteensa?

Viikolla
Feedback: Mallivastaus: a) Anniinan lenkkimatkoista muodostuu geometrinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value], minkä lisäksi tiedetään, että matka pitenee joka viikko [value] \( \% \). Siten geometrisen jonon suhdeluku on \( 1+ \frac{[value]}{100} = [value] \). Näin voidaan ratkaista Anniinan lenkin pituus viikolla [value]: \( \begin{eqnarray} a_[value] = [value] \cdot [value]^{[value]-1} = [value] \approx [value]. \end{eqnarray} \) Viikolla [value] Anniina juoksee [value] kilometriä. b) Nyt tulee vielä selvittää, kuinka mones lukujonon termi saa arvon [value]. Ratkaistaan siis yhtälö \( a_n = [value] \). \( \begin{array}{crcll} & [value] \cdot [value]^{n-1} &=& [value] & \Arrowvert \colon [value] \\ \Leftrightarrow & [value]^{n-1} &=& \frac{[value]}{[value]} & \\ \Leftrightarrow & n-1 &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) & \\ \Leftrightarrow & n &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) + 1 & \\ \Leftrightarrow & n &=& [value] & \\ \end{array} \) Koska vastaus ei kokonaisluku, tulee vastaus pyöristää ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun. Siten Anniina juoksee [value] kilometriä viikolla [value]. Muistathan, että jos laskimella ei voi laskea suoraan [value]-kantaista logaritmia, voit hyödyntää kaavaa \( \begin{eqnarray} \log_n a = \frac{\log_x a}{\log_x n}. \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Jesse sai vuonna 2006 viikkorahaa [value] €. [value] vuotta myöhemmin hän sai [value] €. Jessen isä korotti viikkorahaa joka vuosi yhtä monella prosentilla.

a) Kuinka monella prosentilla viikkoraha nousee vuosittain? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

\( \% \)

b) Kuinka paljon Jesse saa viikkorahaa vuonna [value]? Anna vastaus kymmenen sentin tarkkuudella ja käytä edellisen kohdan pyöristettyä arvoa.

€
Feedback: Mallivastaus: a) Jessen viikkorahoista muodostuu geometrinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value]\( 0 \) €, minkä lisäksi tiedetään, että [value] vuoden päästä viikkorahaa saadaan [value]\( 0 \) €. Tietojen avulla voidaan ratkaista geometrisen jonon suhdeluku, mikä on myös kysytty prosentuaalinen kasvu. \( \begin{array}{crcl} &[value] \cdot q^{[value]} &=& {[value]} \\ \Leftrightarrow & q^{[value]} &=& \frac{{[value]}}{[value]} \\ \Leftrightarrow & q &=& \sqrt[[value]]{\frac{{[value]}}{[value]}} \\ \Leftrightarrow & q &=& [value] \\ \end{array} \) Kysyttiin montako prosenttia viikkoraha kasvaa vuosittain, joten oikea vastaus on [value] \( \% \approx \) [value] \( \% \). b) Nyt tuli vielä selvittää, kuinka paljon Jesse saa viikkorahaa vuonna [value]. Vuosia on kulunut ensimmäisestä [value] kappaletta. Sijoitetaan arvot yhtälöön: \( \begin{eqnarray} & [value] \cdot [value]^[value] = [value] \approx [value]. \end{eqnarray} \) Vuonna [value] Jesse saa viikkorahaa \( [value] 0 \) €.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Mikä on luvun [value] itseisarvo? Entä luvun [value]? Anna vastaukset tarkkoina arvoina.

\( |[value]| = \)

\( \left| [value] \right| = \)
Feedback: Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta lukusuoralla. Siten itseisarvo on aina positiivinen luku. Luvun ja sen vastaluvun itseisarvot ovat yhtä suuret. \( |[value]| = |[value]| = [value] \). \( \left| [value] \right| = \left| -[value] \right| = [value] \)
  Hint: Muistele, mitä itseisarvo tarkoittaa.
  Hint: Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta lukusuoralla. Siten itseisarvo on aina positiivinen luku.

Q: Mikä on luvun [value] vastaluku?
Feedback: Luvut ovat vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Siten luvun [value] vastaluku on \( -\left( [value] \right) = [value] \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan! Muistele mitä vastaluku tarkoittaa.
  Hint: Kaksi lukua ovat vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Yleisesti luvun \( a \) vastalukua merkitään \( -a \). Mikä siis on annetun luvun vastaluku?

Q: Mikä on luvun [value] käänteisluku?
Feedback: Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1. Yleisesti luvun \( a \) käänteislukua merkitään \( \frac{1}{a} \). Luvun [value] käänteisluku on \( \frac{1}{[value]} = \) [value].
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Laske ja sievennä:

a) \( [value] [value] = \)

b) \( [value] \cdot ([value]) = \)

c) \( [value] : ([value]) = \)
Feedback: a) \( [value] [value] = \frac{[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} = [value] \) b) \( [value] \cdot ([value]) = - \frac{[value] \cdot [value]}{[value] \cdot [value]} = [value] \) c) \( [value] : ([value]) = [value] \cdot ([value]) = - \frac{[value] \cdot [value]}{[value] \cdot [value]} = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Laske ja sievennä. Anna vastaus murtolukuna.

a) \( 1[value] + [value] = \)

b) \( [value] \cdot (-2[value]) = \)

c) \( 2[value] : [value] = \)
Feedback: a) \( 1[value] + [value] = \frac{[value]}{[value]}+ [value] = \frac{[value]}{[value]} + \frac{[value]}{[value]} = [value] \) b) \( [value] \cdot (-2[value]) = [value] \cdot (-\frac{[value]}[value]) = - \frac{[value] \cdot [value]}{[value] \cdot [value]} = [value] \) c) \( 2[value] : [value] = \frac{[value]}{[value]} : [value] = \frac{[value]}{[value]} \cdot [value] = \frac{[value] \cdot [value]}{[value] \cdot [value]} = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä: [value] \( \cdot a^[value] \) =
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray} a^[value] \cdot a^[value] = a^{[value] + [value]} = [value] \end{eqnarray} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä: \( \frac{[value]}{[value]} \) =
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray} \frac{[value]}{[value]} = a^{[value]-[value]} = [value] \end{eqnarray} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä: \( ([value])^[value] =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray} ([value])^[value] = a^{[value]\cdot ([value]}) = a^[value] = [value] \end{eqnarray} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä: \( \left( [value] \right)^[value] = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray} \left( [value] \right)^[value] = \frac{b^[value]}{[value]^[value]} = [value] \end{eqnarray} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Googol on luku, jossa on ykkönen ja sen jälkeen sata nollaa. Googolplex on luku, jossa on ykkönen ja sen jälkeen googol nollaa. Ilmaise luvun 10 potenssina seuraavat luvut. Sievennä mahdollisimman pitkälle, ja kirjoita lopulliseen vastaukseen luvun / lukujen 10 tilalle \( a \). Esimerkiksi siis googol, \( 10^{100} \), kirjoitetaan \( a^{100} \). Huomaa, että jos tarvitsee kirjoittaa \( a^a \), tulee se kirjoittaa muodossa a^_a, missä _ on välilyönti. Muuten vastaus näkyy muodossa \( aâ \).

\( \text{googol} \cdot \text{googol} \) :

\( \text{googolplex} \) :

\( \text{googol}^{10} \):

\( \text{googol}^\text{googol} \):
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Auringon säde on \( 6.960 \cdot 10^8 \) metriä. Maan säde puolestaan on [value] kilometriä. Jos rakennetaan malli, jossa Auringon säde on [value] metriä, niin mikä on Maan säde tässä mallissa? Anna vastaus yhden millimetrin tarkkuudella. Huomioi kuitenkin pyydetty yksikkö!

Vastaus: metriä

Jos haluttaisiin rakentaa malli, jossa Auringon ja Maan välinen etäisyys olisi oikeassa suhteessa kappaleiden kokoon nähden, niin kuinka kaukana Maa olisi Auringosta? Anna vastaus kymmenen senttimetrin tarkkuudella. Huomioi pyydetty yksikkö!

Vastaus: metriä
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Googol on luku, jossa on ykkönen ja sen jälkeen sata nollaa. Googolplex on luku, jossa on ykkönen ja sen jälkeen googol nollaa. Ilmaise luvun 10 potenssina seuraavat luvut. Sievennä mahdollisimman pitkälle, ja kirjoita lopulliseen vastaukseen pelkkä potenssi.

Esimerkiksi siis luvun googol, \( 10^{100} \), potenssi on \( 100 \). Vastaukseen tulisi siis tässä tapauksessa kirjoittaa 100.

a) \( \text{googol} \cdot \text{googol} = 10\) ^

b) \( \text{googolplex} = 10 \) ^

c) \( \text{googol}^{10} = 10 \) ^

d) \( \text{googol}^\text{googol} = 10 \) ^
Feedback: Mallivastaus: a) \( 10^{100} \cdot 10^{100} = 10^{100+100} = 10^{200} \) b) \( 10^{10^{100}} \) c) \( \left( 10^{100} \right)^{10} = 10^{10 \cdot 100} = 10^{1000}. \) d) \( \left( 10^{100} \right)^{10^{100}} = 10^{100 \cdot 10^{100}} = 10^{10^2 \cdot 10^{100} } = 10^{10^{2+100}} = 10^{10^{102}}. \) Alla oleva oikea vastaus näyttää luvun laskettuna auki, mutta sitä en kenellekään suosittele.
  Hint: Muista antaa vastauksena pelkkä potenssi ja kokeile uudestaan!
  Hint: Yritä vielä. Vihje: \( \text{googol} \cdot \text{googol} = 10^{100} \cdot 10^{100} = 10^{100+100} = 10^{200} \), eli vastaus a-kohtaan on \( 200 \).

Q: Laske seuraavien lausekkeiden arvot, kun \( a=[value] \) ja \( b=[value] \).

Anna vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina.

\( (-a)^b= \)

\( -a^b= \)

\( a^{-b}= \)

\(-a^{-b}= \)
Feedback: Mallivastaus: \( (-a)^b = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^b = -([value])^[value] = [value] \) \( a^{-b} = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^{-b} = -([value])^[value] = [value] \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Yksinkertaista seuraavat lausekkeet, kun \( n=[value] \).

\( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n= \)

\( \frac{x^n}{x^{n+1}} = \)
Feedback: Mallivastaus: 1. lauseke: \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^n x^{n+1} x^{2n^2} = x^{n+n+1+2n^2}=x^{2n(n+1)+1}. \) Kun \( n=[value] \), \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^{2\cdot [value]([value]+1)+1}=[value] \). 2. lauseke: \( \frac{x^n}{x^{n+1}} = x^{n-(n+1)}=x^{-1}=\frac{1}{x}. \) Toinen lauseke ei siis riipu \( n \):n arvosta.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Geometrisessa summassa on [value] yhteenlaskettavaa termiä. Jonon suhdeluku on [value] ja summan arvo on [value]. Mikä on jonon ensimmäinen jäsen?

\( a_1 = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon ensimmäinen termi voidaan ratkaista summan yhtälöstä \( \begin{eqnarray} S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \Leftrightarrow a_1 = \frac{(1-q) \cdot S_n}{1-q^n}, \end{eqnarray} \) jolloin \( \begin{eqnarray} a_1 = \frac{(1-[value]) \cdot [value]}{1-[value]^[value]} = [value], \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sievennä lauseke \( (ax^2-b)+(cx-d)^n (x^m+u)\) polynomiksi, kun \( a=[value] \), \( b=[value] \), \( c=[value] \), \( d=[value] \), \( u=[value] \), \( m=[value] \) ja \( n=[value] \).

Kirjoita polynomi seuraavaan tapaan, huomaa kerto- ja potenssimerkit. Esimerkiksi \( 2x^4-3x^2+5 \) kirjoitetaan 2*x^4-3*x^2+5.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Annetuilla arvoilla \( ax^2-b=[value] \), \( (cx-d)^n=[value] \) ja \( x^m+u=[value] \), jolloin \( (cx-d)^n (x^m+u)=[value] \). Yhdistämällä termit saadaan vastaus \( [value] \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ruohometsän kaniperheen koko [value]-kertaistuu vuosittain. Kaniperheessä on nyt [value] kania. Jos kanit lisääntyvät samaa tahtia, mikä on kaniperheen koko

a) [value] vuoden kuluttua?

Vastaus:

b) \(n\) vuoden kuluttua?

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: a) Kaniperhe kasvaa vuosittain [value]-kertaiseksi. Jos perheen koko alussa on \(a\), on ensimmäisen vuoden jälkeen perheen koko \( [value] \cdot a \). Toisen vuoden jälkeen perheen koko on \( [value] \cdot [value] \cdot a = [value]^2 \cdot a \). Siten [value] vuoden jälkeen kaniperheen koko on: \( \begin{eqnarray} [value]^[value] \cdot [value] = [value] \approx [value]. \end{eqnarray} \) Vastaus pyöristetään alaspäin kokonaislukuihin, sillä kaniperheen koko ei voi olla muuta kuin kokonaisia kaneja. Alaspäin, koska [value] vuoden jälkeen kokonaisia kaneja on vasta [value]. b) Kaniperheen koko \(n\) vuoden kuluttua saadaan samalla tavalla kuin edellä. Jos kaniperheen koko alussa on \(a\) ja koko [value]-kertaistuu joka vuosi, niin \(n\) vuoden kuluttua perheen koko on \( a \cdot [value]^n \). Nyt siis koko on \( [value] \cdot [value]^n \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Selvitä, mitkä ovat Auringon ja Maan säteet metreissä ja kirjaa vastauksesi alla oleviin kenttiin. Tarkista tehtävä ennen kuin vastaat seuraaviin kysymyksiin.

\( R_{\odot} \): m

\( R_{\text{Maa}} \): m

Jos rakennetaan malli, jossa Auringon säde on [value] metriä, niin mikä on Maan säde tässä mallissa?

Vastaus: metriä

Koulun pihalle rakennetussa mallissa Maa sijoitetaan [value] metrin etäisyydelle Auringosta. Mikä on Maan etäisyys Auringosta todellisuudessa?

Vastaus: kilometriä
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Luokassa on [value] opiskelijaa, joista [value] on tyttöjä. Montako prosenttia opiskelijoista on tyttöjä? Anna vastaus \( 0.1 \) prosentin tarkkuudella.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Luokan opiskelijoista on tyttöjä \( \begin{eqnarray} \frac{[value]}{[value]} = [value] \approx [value] \% \end{eqnarray} \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Suklaapatukan massasta [value] \( \% \) on rasvaa. Suklaapatukka painaa [value] grammaa. Montako grammaa rasvaa saa yhdestä suklaapatukasta? Ilmoita vastaus \( 0.1 \) gramman tarkkuudella.

\( \text{g} \)
Feedback: Mallivastaus: Suklaapatukassa on rasvaa \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value] = [value] \approx [value] \end{eqnarray} \) grammaa.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Pillimehun sokeripitoisuus oli [value] %. Yhtiö halusi vähentää sokerin määrää ja laski pitoisuutta [value] prosenttiin.

a) Kuinka monta prosenttiyksikköä pitoisuus laski?

b) Kuinka monta prosenttia pitoisuus laski? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

%
Feedback: Mallivastaus: a) Muutos prosenttiyksiköinä on \( [value] - [value] = [value]. \) b) Prosentuaalinen muutos on \( \begin{align} 1 - \frac{[value]}{[value]} = [value] \approx [value] \%. \end{align} \) Toisaalta tiedetään, että pitoisuus laski [value] prosenttiyksikköä (jos a-kohta on oikein). Siten prosentuaalinen muutos voidaan laskea myös tämän avulla suoraan, eli \( \begin{align} \frac{[value]}{[value]} = [value] \approx [value] \%. \end{align} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Shortsien hinta on [value] €. Hintaa alennetaan [value] \( \% \). Mikä on shortsien hinta alennuksen jälkeen?

\( \text{€} \)
Feedback: Mallivastaus: Muutetaan ensin alennusprosentti sopivaksi desimaaliluvuksi. Koska kyseessä on alennus, ensimmäisen alennuksen jälkeen shortsien hinta on \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Shortsien hinta alennuksen jälkeen on siis \( [value] \cdot [value] € = [value] € \approx [value] € \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Sämpyläpussin hinta on [value] €. Leipomoon ostetaan uusia laitteita ja hintaa nostetaan [value] \( \% \) kulujen kattamiseksi. Mikä on sämpyläpussin hinta korotuksen jälkeen?

\( \text{€} \)
Feedback: Mallivastaus: Muutetaan ensin hinnan korotusprosentti sopivaksi desimaaliluvuksi. Koska kyseessä on korotus, ensimmäisen alennuksen jälkeen sämpyläpussin hinta on \( 100 \% + [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Sämpyläpussin hinta korotuksen jälkeen on siis \( [value] \cdot [value] € = [value] € \approx [value] € \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Paidan hinta on [value] €. Hintaa alennetaan [value] \( \% \). Juhlapäivän kunniaksi kauppa antaa kaikille tuotteille vielä [value] \( \% \) lisäalennuksen. Mikä on paidan hinta alennusten jälkeen?

\( \text{€} \)

Kuinka suuri on alennusprosentti molempien alennusten jälkeen? Anna vastaus \( 0.1 \) prosentin tarkkuudella.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Muutetaan ensin alennusprosentit sopiviksi desimaaliluvuiksi. Koska kyseessä on alennus, ensimmäisen alennuksen jälkeen paidan hinta on \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Juhlavuoden alennuksen jälkeen tuotteen hinta puolestaan on \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Paidan hinta molempien alennusten jälkeen on siis \( [value] \cdot [value] \cdot [value] € = [value] \cdot [value] € = [value] € \approx [value] € \). Alennusprosentti molempien alennusten voidaan ratkaista yhtälöstä \( 1 - \text{alennusprosentti} = [value] \cdot [value] = [value] \). Alennusprosentti on siis \( 1 - [value] = [value] \approx [value] \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Lähikaupan kauppias päätti laskea ruisleipäpussin hintaa [value] \( \% \). Hinnan laskun seurauksena ruisleivän myynti nousi [value] \( \% \). Miten ruisleivän myynnistä saatavat tulot muuttuivat? Ilmoita vastaus \( 0.01 \% \) tarkkuudella ja mahdollinen tulojen lasku miinusmerkillä.

\( \% \)
Feedback: Hyvä! Mallivastaus: Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Alkuperäistä hintaa ja myyntituloja ei tiedetä, joten niitä voidaan merkitä esimerkiksi \( a \):lla ja \( b \):llä. \( \begin{array}{l | l | l | l } \text{Tilanne} & \text{Leipäpussin hinta (€)} & \text{Myynti (kpl)} & \text{Myyntitulot (€)} \\ \hline \text{Alussa} & a & b & ab \\ \hline \text{Lopussa} & [value] a & [value] b & [value] a \cdot [value] b \\ \end{array} \) Myynnistä saatavat tulot ovat muutosten jälkeen \( [value] a \cdot [value] b = [value] ab \). Tämä on [value] \( \% \) alkuperäisestä myyntitulosta \( ab \). Tulot siis [value] [value] \(\%\) [value] \(\%\) \( = [value] \% \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on geometrinen. Mikä on jonon yleinen jäsen? Mikä on jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa?

\( a_n = \)

\( S_5 = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon suhdeluku on kahden peräkkäisen termin suhde, nyt \( q = \frac{[value]}{[value]} = [value] \). Yleinen jäsen on siis \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = [value] \cdot [value]^{n-1} \). Kun tiedetään jonon suhdeluku, summakaavan \( S_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q} \) avulla saadaan \( S_5 = \frac{[value] \cdot (1-[value]^5)}{1-[value]} = [value] \).
  Hint: Geometrisen jonon suhdeluku voidaan laskea kahden peräkkäisen termin avulla. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Pekka kauppasi asuntoaan, mutta asuntojen menekki Pekan asuinalueella oli huono. Epätoivoisena Pekka päätti laskea asunnon hintaa [value] \( \% \). Asunto ei vieläkään mennyt kaupaksi, mutta pian ilmoitettiin, että asuinalueelle rakennettaisiin uusi koulu. Fiksuna miehenä Pekka ennakoi asuntojen kysynnän nousun ja nosti asuntonsa hintaa [value] \( \% \). Miten asunnon hintapyyntö muuttui alkuperäisestä? Ilmoita vastaus \( 0.01 \% \) tarkkuudella ja hinnan mahdollinen pieneneminen miinusmerkillä.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Alkuperäistä asunnon hintaa ei tiedetä, joten merkitään sitä \(a\):lla. Koska asunnon hintaa ensin lasketaan, on asunnon hinta laskun jälkeen \( 100 \% - [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Kun hintaa taas nostetaan, on uusi hinta \( 100 \% + [value] \% = [value] \% \) edellisestä hinnasta. Siten kokonaismuutos on \( [value] \cdot [value] \cdot a = [value] a \). Asunnon hinta on siis \( [value] = [value] \% \) alkuperäisestä, eli hinta [value] [value] \(\%\) [value] \(\%\) \( = [value] \% \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Jouluisen pöytäliinan hinta on [value] €. Joulumyyntiin hintaa korotetaan [value] \( \% \). Joulun jälkeen tuotteen hinta lasketaan takaisin alkuperäiseksi.

Mikä on pöytäliinan hinta korotuksen jälkeen?

\( \text{€} \)

Kuinka monta prosenttia hinta muuttui joulun jälkeen? Anna vastaus \( 0.1 \) prosentin tarkkuudella.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Muutetaan ensin hinnan korotusprosentti sopivaksi desimaaliluvuksi. Koska kyseessä on korotus, pöytäliinan hinta korotuksen jälkeen on \( 100 \% + [value] \% = [value] \% \) alkuperäisestä. Pöytäliinan hinta korotuksen jälkeen on siis \( [value] \cdot [value] € = [value] € \approx [value] € \). Prosentuaalinen muutos joulun jälkeen voidaan ratkaista yhtälöstä \( 1 - \text{alennusprosentti} = \frac{[value]}[value] \). Alennusprosentti on siis \( 1 - \frac{[value]}[value] = [value] \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Jäätelökioskin myyjä nosti jäätelötötterön hintaa [value] \( \% \). Hinnan nousun seurauksena tötteröiden myynti laski [value] \( \% \). Miten tötteröiden myynnistä saatavat tulot muuttuivat? Ilmoita vastaus \( 0.01 \% \) tarkkuudella ja mahdollinen tulojen lasku miinusmerkillä.

\( \% \)
Feedback: Mallivastaus: Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Alkuperäistä hintaa ja myyntituloja ei tiedetä, joten niitä voidaan merkitä esimerkiksi \( a \):lla ja \( b \):llä. \( \begin{array}{l | l | l | l } \text{Tilanne} & \text{Tötterön hinta (€)} & \text{Myynti (kpl)} & \text{Myyntitulot (€)} \\ \hline \text{Alussa} & a & b & ab \\ \hline \text{Lopussa} & [value] a & [value] b & [value] a \cdot [value] b \\ \end{array} \) Myynnistä saatavat tulot ovat muutosten jälkeen \( [value] a \cdot [value] b = [value] ab \). Tämä on [value] \( \% \) alkuperäisestä myyntitulosta \( ab \). Tulot siis [value] [value] \(\%\) [value] \(\%\) \( = [value] \% \approx [value] \% \).
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Lukujono [value], [value], [value] on aritmeettinen. Mikä on jonon yleinen jäsen? Mikä on jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa?

\( a_n = \)

\( S_5 = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon differenssi on kahden peräkkäisen termin erotus, nyt \( d = [value] - [value] = [value] \). Yleinen jäsen on siis \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] + [value]n - [value] = [value]n + [value] \). Yleisen jäsenen avulla voidaan selvittää jonon viides jäsen, jolloin summakaavan \( S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \) avulla saadaan \( S_5 = 5 \cdot \frac{[value]+[value]}{2} = [value]. \)
  Hint: Aritmeettisen jonon differenssi voidaan laskea kahden peräkkäisen jäsenen avulla. Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Anniina haluaa osallistua triathlonille ja alkaa pyöräillä joka viikko. Ensimmäisellä viikolla Anniina pyöräilee [value] kilometriä. Anniina kasvattaa joka viikko pyöräilymatkaansa [value] kilometriä.

a) Millä viikolla Anniina pyöräilee [value] kilometriä?

Viikolla

b) Montako kilometriä Anniina on tällöin pyöräillyt yhteensä?

km
Feedback: Mallivastaus: a) Anniinan pyöräilymatkoista muodostuu aritmeettinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value] ja differenssi on [value]. Lukujonon yleinen jäsen on siis \( [value] + (n-1) \cdot [value] = [value] \). Tästä voidaan ratkaista, kuinka monennella viikolla pyöräilymatka on [value] kilometriä: \( \begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] \cdot n &=& [value] \\ n &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n &=& [value] . \end{eqnarray} \) b) Nyt tulee vielä selvittää, kuinka paljon Anniina on pyöräillyt yhteensä [value] viikon aikana. Tämä saadaan aritmeettisena summana: \( \begin{eqnarray} S_[value] &=& n \cdot \frac{a_1 + a_[value]}{2} \\ &=& [value] \cdot \frac{[value] + [value]}{2} \\ &=& [value]. \\ \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Joonas rakentaa mökille rantapolun varteen aidan. Rantapolku viettää loivasti alamäkeen, mutta Joonas haluaa, että aidan yläreuna on tasainen. Mäen alla pisin aidan tolppa on [value] metriä, polku on [value] metriä pitkä ja tolppia halutaan [value] metrin välein. Joonaksella on käytettävissään [value] metriä puuta ja hän haluaa, että jokainen tolppa on saman verran lyhyempi kuin edellinen. Mikä on tolppien välinen pituusero? Pyöristä vastaus \( 0.1 \) millimetrin tarkkuudelle. Muista olla pyöristämisen kanssa tarkkana ja mieti tarkkaan, mihin suuntaan pyöristät!

cm
Feedback: Mallivastaus: Tolppien pituuksista muodostuu aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen termi on [value]. Koska tolppia halutaan [value] metrin matkalle [value] metrin välein, tarvitaan tolppia \( n = \frac{[value]}{[value]} +1 = [value] \) kappaletta. Näin polun molemmissa päissä on tolppa. Näiden lisäksi tiedetään, että puuta on käytettävissä [value] metriä. Voidaan siis muodostaa aritmeettinen summa, missä viimeinen summattava termi on viimeisen tolpan pituus \( a_[value] \): \( \begin{eqnarray} S_[value] = [value] \cdot \frac{[value]+a_[value]}{2} = [value]\\ \end{eqnarray} \) Toisaalta tiedetään, että termi \( a_[value] \) voidaan esittää yleisesti muodossa \( a_[value] = [value] + ([value]-1) \cdot d \). Tehtävässä kysytään differenssiä, joten sijoitetaan lauseke yhtälöön ja ratkaistaan differenssi. \( \begin{array}{crcl} & [value] \cdot \frac{[value]+([value] + ([value]-1) \cdot d)}{2} &=& [value]\\ \Leftrightarrow & [value] \cdot (2 \cdot [value]+[value]\cdot d) &=& 2 \cdot [value] \\ \Leftrightarrow & [value]+[value]\cdot d &=& \frac{[value]}{[value]} \\ \Leftrightarrow & [value]\cdot d &=& \frac{[value]}{[value]} - [value] \\ \Leftrightarrow & d &=& \frac{\frac{[value]}{[value]} - [value]}{[value]} \\ \Leftrightarrow & d &=& [value] \\ \end{array} \) Jokainen tolppa on siis edellistä lyhyempi. Jotta puu varmasti riittää kaikkiin tolppiin, pyöristetään vastaus niin, että tolppien pituusero on suurempi kuin varsinainen vastaus. Tolppien pituusero pyydettiin senttimetreinä, joten \( d = [value] \text{ cm} \approx [value] \text{ cm} \). Differenssi pyöristyy aina alaspäin, eli tolppien välinen pituusero pyöristyy aina ylöspäin, jotta tolpat varmasti lyhenevät tarpeeksi ja puu riittää kaikkiin tolppiin (huomaa siis, että differenssi on negatiivinen!). Alaspäin pyöristettäessä tolpat tarvitsisivat \( \begin{eqnarray} S_[value] = [value] \cdot \frac{[value]+([value]+([value]-1) \cdot ([value]))}{2} = [value]\\ \end{eqnarray} \) metriä puuta, mikä on liikaa.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Anniina jatkaa triathlonharjoitteluaan ja alkaa lisätä pyöräilymääriään joka viikko. Ensimmäisellä viikolla Anniina pyöräilee [value] kilometriä. Anniina kasvattaa joka viikko pyöräilymatkaansa [value] \( \% \).

a) Millä viikolla Anniina pyöräilee [value] kilometriä?

Viikolla

b) Montako kilometriä Anniina on tällöin pyöräillyt yhteensä? Pyöristä vastaus yhden kilometrin tarkkuudelle.

km
Feedback: Mallivastaus: a) Anniinan pyöräilymatkoista muodostuu geometrinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value] ja suhdeluku on [value]. Lukujonon yleinen jäsen on siis \( [value] \cdot [value]^{n-1} \). Tästä voidaan ratkaista, kuinka monennella viikolla pyöräilymatka on [value] kilometriä: \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value]^{n-1} &=& [value] \\ [value]^{n-1} &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n-1 &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ n &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) + 1 \\ n &=& [value] \\ n & \approx & [value] \end{eqnarray} \) Vastaus pyöristetään ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun, sillä vasta [value]. viikolla pyöräilymatka ylittää [value] kilometriä. b) Nyt tulee vielä selvittää, kuinka paljon Anniina on pyöräillyt yhteensä [value] viikon aikana. Tämä saadaan geometrisena summana: \( \begin{eqnarray} S_[value] &=& \frac{[value] \cdot (1-[value]^[value])}{1-[value]} \\ &=& [value] \\ &\approx & [value] \\ \end{eqnarray} \) Anniina on siis pyöräillyt yhteensä [value] kilometriä.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Heikki on innokas television katselija ja katseleekin televisiota viikottain [value] tuntia. Eräänä päivänä Heikki huomaa, että ahkera television tuijottelu on alkanut vaikuttaa matematiikan arvosanoihin. Heikki päättääkin vähentää katseluaan [value] prosenttia viikossa.

a) Millä viikolla Heikki katsoo televisiota ensimmäisen kerran alle [value] tuntia?

Viikolla

b) Montako tuntia Heikki on tällöin katsonut televisiota? Pyöristä vastaus tunnin tarkkuudelle.

h
Feedback: Mallivastaus: a) Heikin televisionkatselusta muodostuu geometrinen lukujono. Lukujonon ensimmäinen termi on [value] ja suhdeluku on [value], koska Heikki vähentää katseluaan viikottain. Lukujonon yleinen jäsen on siis \( [value] \cdot [value]^{n-1} \). Tästä voidaan ratkaista, kuinka monennella viikolla Heikki katsoo televisiota [value] tuntia: \( \begin{eqnarray} [value] \cdot [value]^{n-1} &=& [value] \\ [value]^{n-1} &=& \frac{[value]}{[value]} \\ n-1 &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ n &=& \log_[value] \left( \frac{[value]}{[value]} \right) + 1 \\ n &=& [value] \\ n & \approx & [value] \end{eqnarray} \) Vastaus pyöristetään ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun, sillä vasta [value]. viikolla Heikki katselee televisiota alle [value] tuntia. b) Nyt tulee vielä selvittää, kuinka paljon Heikki on yhteensä katsellut televisiota [value] viikon aikana. Tämä saadaan geometrisena summana: \( \begin{eqnarray} S_[value] &=& \frac{[value] \cdot \left( 1-[value]^[value] \right) }{1-[value]} \\ &=& [value] \\ &\approx & [value] \\ \end{eqnarray} \) Heikki on siis katsellut televisiota yhteensä [value] tuntia.
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Geometrisessa summassa on ensimmäinen termi on [value]. Jonon suhdeluku on [value] ja summan arvo on [value]. Kuinka monta yhteenlaskettavaa termiä summassa on?

\( n = \)
Feedback: Mallivastaus: Jonon termien lukumäärä voidaan ratkaista summan yhtälöstä \( \begin{array}{crcl} &S_n &=& a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\ \Leftrightarrow &\frac{(1-q) \cdot S_n}{a_1} &=& 1-q^n \\ \Leftrightarrow & q^n &=& 1-\frac{(1-q) \cdot S_n}{a_1} \\ \Leftrightarrow & n &=& \log_q \left( 1-\frac{(1-q) \cdot S_n}{a_1} \right) \\ \end{array} \) jolloin \( \begin{eqnarray} n = \log_[value] \left( 1-\frac{(1-[value]) \cdot [value]}{[value]} \right) = [value]. \\ \end{eqnarray} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise yhtälö \( [value]=0 \).

Anna vastaus tarkkana arvona murtolukumuodossa!

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{array}{crcl} &[value] & = & 0 & \\ \Leftrightarrow &[value]\cdot x & = & [value] \\ \Leftrightarrow &x & = & [value]. \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.

Q: Ratkaise yhtälö \( [value]=[value] \).

Anna vastaus tarkkana arvona murtolukumuodossa!

\( x= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{array}{crcll} &[value] &= & [value] & \Arrowvert \cdot [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value] & \Arrowvert \cdot [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow &[value] &=& [value] & \Arrowvert \colon [value] \\ \Leftrightarrow &x &=& [value] \\ \end{array} \)
  Hint: Kokeilepa uudestaan!
  Hint: Yritä vielä.