Title: Kakkostentin uudet kysymykset

Mikä seuraavista on funktion \(f(x)= 4\sqrt{2} \, [value]\) linearisointi pisteen \(x=-\frac{[value]\pi}{4}\) ympäristössä?

Mikä seuraavista on funktion \(f(x)= [value] \, [value]\) linearisointi pisteessä \(x=- [value] \frac{\pi}{2} \frac{3\pi}{2}\)?

(a) Kokonaislukua \(a\) sanotaan jaolliseksi kokonaisluvulla \(b\), jos \(a=bc\), missä \(c\) on kokonaisluku.

Todista induktiolla, että kaikille \(n\in \mathbb{N}\) pätee, että \( [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\).

(b) Ratkaise epäyhtälö

\[\left| \frac{[value]}{[value]-[value]x} \right|\ge [value].\]

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=[value]\).

(a) Derivoi funktio \(f\) määritelmän mukaan eli laskemalla erotusosamäärän raja-arvo.

(b) Etsi ne pisteet \(x\), joissa funktion \(f\) hetkellinen kasvunopeus on \([value]\).

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Kuinka moni satunnaisesti valitun kompleksiluvun kolmansista viidensistä seitsemänsistä yhdeksänsistä juurista voi sijaita kompleksitason ensimmäisessä neljänneksessä eli siinä neljänneksessä, joka on reaaliakselin yläpuolella ja imaginaariakselin oikealla puolella?

Huom. Vain yksi vastausvaihtoehdoista on oikein. Oletetaan, että eräs tenttiin osallistuja antaa vastauksen 0 - 3 kpl. Jos hänelle arvotussa tehtävässä kysyttyjä asioita voikin oikeasti olla joko 0, 1 tai 2 kappaletta mutta ei kolmea, niin vastaus on väärin.

Vastaus: Ensimmäisessä neljänneksessä voi sijaita kompleksiluvun kolmansista viidensistä seitsemänsistä yhdeksänsistä juurista

Alla olevaan kuvaan on hahmoteltu funktion \(g(x)\) kuvaaja. Kuvassa esiintyvät alat ovat seuraavat:

\(A_1=[value],\ \) | \(A_2=[value],\ \) | \(A_3=[value],\ \) | \(A_4=[value],\ \) | \(A_5=[value]\) |

[Image] [Image] [Image] [Image]

Laske funktion \(g(x)\) määrätty integraali välillä \(\left[ a b, e f \right]\).

\(\displaystyle \int\limits_{a b}^{e f} g(x) \; dx=\)

Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota

\[f(x,y)=[value] x y e^{xy} + - [value] y x.\]

(a) Selvitä funktion \(f(x,y)\) muutosnopeus pisteessä \(([value],0)\) \((0,[value])\) suuntaan \((a,b)\), kun tiedetään, että suuntavektorin \((a,b)\) kulma positiivisen \(x\)-akselin kanssa on \(\displaystyle \theta= [value]\).

(b) Anna jokin suunta \((c,d)\), jota kohti pisteestä \(([value],0)\) \((0,[value])\) lähdettäessä funktion \(f(x,y)\) arvo ei tunnu muuttuvan.

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.