Title: Napakoordinaattimuoto ja eksponenttimuoto

Olkoon \(z=[value]\).

a) Ilmoita napakoordinaattimuodossa \(z=r(\cos(\theta)+i\,  \sin(\theta))\), missä \(r\) on kompleksiluvun etäisyys origosta ja \(\theta\) on vaihekulma. Valitse vaihekulma \(\theta\) väliltä \([-\pi,\pi]\).

Neliöjuuren saat tarvittaessa komennolla \(sqrt(x)\) ja luvun \(\pi\) kirjoittamalla \(\text{pi}\). Muista käyttää tuloissa kertomerkkinä tähteä ( * ).

\(z=\)   \(\cdot (\cos\)   \(+i \cdot \sin\)   \()\)

b) Laske \(z^[value]\).

\(z^[value]=\)  \(\cdot (\cos\)   \(+i \cdot \sin\)   \()\)
Feedback: Ratkaisu a) Etäisyys voidaan laskea kaavalla \(r=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value]\). Kompleksiluku sijaitsee kompleksitason toisessa neljänneksessä ja muistikolmion avulla kulmaksi saadaan \([value]\). Näin ollen napakoordinaattimuodossa kompleksiluku \(z=[value](\cos([value])+i\, \sin([value]))\). b) Kompleksiluvun \(z\) \([value]\). potenssi \(z^[value]\) voidaan laskea hyödyntämällä De Moivren kaavaa \(z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\, \sin(n\theta))\) eli etäisyys korotetaan potenssiin \([value]\) ja vaihekulmat kerrotaan luvulla \([value]\). Näin ollen \(z^[value]=[value](\cos([value])+i\, \sin([value]))\).

a) Olkoon \(z_1=[value]\).

Ilmoita eksponenttimuodossa \(z=re^{i\theta}\), missä \(r\) on kompleksiluvun etäisyys origosta ja \(\theta\) vaihekulma. Valitse vaihekulma \(\theta\) väliltä \([-\pi,\pi]\).

Neliöjuuren saat tarvittaessa komennolla \(sqrt(x)\) ja luvun \(\pi\) kirjoittamalla \(\text{pi}\). Muista käyttää tuloissa kertomerkkinä tähteä ( * ).

\(z_1=\) \(\cdot \exp(i\cdot \) \()\)

b) Olkoon \(z_2=2e^{[value]i}\).

Ilmoita muodossa \(z_2=a+bi\).

\(z_2=\) \(+\) \(i\)

c) Väite: Jos eksponenttimuodossa \(z=re^{i\theta}\), niin yleisessä tapauksessa kompleksiluvun \(z\) voi saattaa muotoon \(z=a+bi\) napakoordinaattimuodon \(z=r \cos(\theta )+i \, r \sin(\theta )\) avulla.
Feedback: Ratkaisu a) Etäisyys \(r\) voidaan laskea kaavalla \(r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+([value])^2}=[value]\). Kompleksiluku sijaitsee negatiivisella reaaliakselilla ja muistikolmion avulla vaihekulmaksi saadaan \([value]\). Näin ollen eksponenttimuodossa kompleksiluku \(z=[value]e^{i[value]}\). b) Kompleksiluvun eksponenttiesityksestä \(z_2=2e^{[value]i}\) saadan kompleksiluvun etäisyys origosta \(r=2\) ja vaihekulma \([value]\). Hahmottelemalla kuva saadaan muistikolmion avulla reaali- ja imaginääriosa ratkaistua. Saadaan, että \(z_2=[value]+[value]i\). c) Eksponenttimuoto \(z=re^{i\theta}\) on lyhyt merkintä napakoordinaattimuodosta \(z=r(cos(\theta )+i sin(\theta))=r cos(\theta )+i r sin(\theta )\). Kun itseisarvo \(r\) ja vaihekulma \(\theta \) tunnetaan, niin sieventämällä kompleksiluku \(z\) saadaan lopulta muotoon \(z=a+bi\).