Title: Determinantti

Laske seuraavan matriisin determinantti

\[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right |\]

Determinantin arvo on .
Feedback: Mallivastaus: Determinantti kannattaa lähteä kehittämään siitä vaaka- tai pystyrivistä, jossa on mahdollisimman paljon nollia (miksi?). Kertaa determinantin kehittäminen esim. opintomonisteesta. \[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right | = [value].\]

Määritä \( a \in \mathbb{R} \) siten, että

\[ \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value]. \]

Vastaus: \( a = \)
Feedback: Mallivastaus: Kehitetään determinanttia ensimmäisen vaakarivin suhteen. Tällöin \[ \begin{align} & \left| \begin{matrix} [value] & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - a \left| \begin{matrix} 1 & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| + 0 \left| \begin{matrix} 1 & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \big[ \normalsize ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) \big] \normalsize - a [ ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) ] + 0 = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value]-([value])a = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &a = [value] \end{align} \] Determinanttia voidaan kehittää minkä vain vaaka- tai pystyrivin suhteen. Kannattaa valita sellainen rivi, jossa on mahdollisimman paljon nollia, koska tällöin jää vähemmän laskettavaa. Esimerkiksi tässä ei tarvinnut laskea kolmatta \( (2x2) \)-determinanttia ollenkaan, koska se kerrotaan nollalla. Tässä tehtävässä siis yhtä nopeasti päästään ratkaisuun, jos kehitettäisiin determinantti alimman vaakarivin, vasemman pystyrivin tai oikean pystyrivin suhteen.

Tarkastellaan matriisia

\( A = [value] \),

missä \( a \in \mathbb{R} \). Millä parametrin \( a \) valinnalla

\( \text{det}(A) = 0 \)?

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina!

Ratkaisuja on kaksi: \( a_1 = \) tai \( a_2 = \) .

Syntaksivihje: Neliöjuuren saat sqrt()-funktion avulla. Esim. \( \sqrt{11} \) kirjoitetaan sqrt(11). Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) ja jakolaskuoperaattorina /-merkkiä.
Feedback: Mallivastaus: Determinanttia kannattaa kehittää viimeiseltä pystyriviltä (tai toiselta vaakariviltä), koska siellä on nolla. Tässä ratkaisussa on kehitetty viimeisen pystyrivin suhteen. Näin saadaan \( \begin{align} \text{det}(A) & = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value]\\ \end{matrix} \right| - 0 \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value]) \right) - 0 + [value] \left( [value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \) Nyt haluttiin, että \( \text{det}(A) = 0 \), eli \[ [value] = 0 \]. Ratkaistaan, millä \( a \):n arvoilla yhtälö toteutuu. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \( a \):n arvoiksi \( a_1 = [value] \) tai \( a_2 = [value] \).

Laske \( \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) \), kun

\[ A = [value], \quad B = [value], \quad C = [value]. \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Sievennetään ensin lauseketta käyttäen determinantin laskusääntöjä: \[ \begin{align} \textrm{det}(A^T) &= \textrm{det}(A) \\ \textrm{det}(cA) & = c^n \textrm{det}(A), \quad \text{(missä n on } (n \, x \, n) -\text{matriisin koko. Tässä siis } n = 3.) \\ \textrm{det}(AB) & = \textrm{det}(A)\textrm{det}(B) \\ \textrm{det}(A^{-1}) & = \frac{1}{\textrm{det}(A)} \end{align} \] /* Huomaa että constant2/constant1 on AINA 2, joten se voidaan kirjoittaa suoraan mallivastaukseenkin. Kerroin on aina 2^3 = 8. */ Nyt siis \[ \begin{align} \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) & = \textrm{det} \left( \frac{1}{[value]}A^{-1} [value]CB^T A \right) \\ & = \textrm{det}(2A^{-1}) \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 2^3 \frac{1}{\textrm{det}(A)} \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 8 \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \\ & = 8 \cdot ([value]) \cdot ([value]) = [value]. \end{align} \]

Laske \(\begin{vmatrix}[value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix}\) = .

Laske matriisin \(\mathrm{A}\) determinantti.

\(\mathrm{A} = [value]\)

\(\det(\mathrm{A}) = \) .
Feedback: Mallivastaus \(\begin{vmatrix}[value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix}\) = [value] \(\det(\mathrm{A}) = ([value]*[value]*[value]) + ([value]*[value]*[value]) + ([value]*[value]*[value]) - ([value]*[value]*[value]) - ([value]*[value]*[value]) - ([value]*[value]*[value]) = [value]\)

Compute the determinants of \[ \mathrm{A}=\begin{bmatrix}[value]&[value]&[value]\\ [value]&[value]&[value]\\ [value]&[value]&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ and } \ \mathrm{B}=\begin{bmatrix}[value]&0&0&[value]\\ [value]&0&0&[value]\\ [value]&0&[value]&0\\ 0&[value]&[value]&[value]\\ \end{bmatrix} . \] Laske matriisien \[ \mathrm{A}=\begin{bmatrix}[value]&[value]&[value]\\ [value]&[value]&[value]\\ [value]&[value]&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja } \ \mathrm{B}=\begin{bmatrix}[value]&0&0&[value]\\ [value]&0&0&[value]\\ [value]&0&[value]&0\\ 0&[value]&[value]&[value]\\ \end{bmatrix} \] determinantit.

\(\operatorname{det}(\mathrm{A})=~\)

\(\operatorname{det}(\mathrm{B})=~\)
Feedback: Worked solution: Determinants can be calculated for example by reducing the matrix to an upper triangle matrix or developing the determinant with respect to some row or column. Let's compute \(\det(\mathrm{A})\) by developing it with respect to the first row: \begin{eqnarray} \det(\mathrm{A})&=&[value]\left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| -[value] \left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| +([value]) \left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| \nonumber \\ &=& [value]([value]\cdot ([value])-[value]\cdot [value])-[value]([value]\cdot ([value])-[value]^2)+([value])([value]\cdot [value]-[value]\cdot [value])\nonumber \\ &=& [value]. \nonumber \end{eqnarray} The column of \(\mathrm{B}\) with the most zeros is the second column, so let's develop the determinant with respect to that: \[ \det(\mathrm{B}) = ([value])\left| \begin{matrix} [value]&0&[value]\\ [value]&0&[value]\\ [value]&[value]&0\\ \end{matrix}\right| . \] Here the \(3\times 3\)-determinant reduces to a \(2\times 2\)-determinant when developed with respect to the second column: \[ \det(\mathrm{B})=([value])\cdot (-([value]))\left| \begin{matrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{matrix}\right| = -[value]^2([value]^2-([value])^2)=[value]. \] Mallivastaus: Determinantti voidaan laskea joko muuntamalla se yläkolmiomuotoon tai kehittämällä sopivan rivin tai sarakkeen mukaan. Lasketaan \(\det(\mathrm{A})\) kehittämällä 1. rivin mukaan: \begin{eqnarray} \det(\mathrm{A})&=&[value]\left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| -[value] \left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| +([value]) \left| \begin{matrix}[value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix}\right| \nonumber \\ &=& [value]([value]\cdot ([value])-[value]\cdot [value])-[value]([value]\cdot ([value])-[value]^2)+([value])([value]\cdot [value]-[value]\cdot [value])\nonumber \\ &=& [value]. \nonumber \end{eqnarray} Matriisissa \(\mathrm{B}\) on paljon nollia, eniten niitä on 2. sarakkeessa, joten kehitetään determinantti sen mukaan: \[ \det(\mathrm{B}) = ([value])\left| \begin{matrix} [value]&0&[value]\\ [value]&0&[value]\\ [value]&[value]&0\\ \end{matrix}\right| . \] Tässä \(3\times 3\)-determinantti kannattaa kehittää 2. sarakkeen mukaan, jolloin saadaan \[ \det(\mathrm{B})=([value])\cdot (-([value]))\left| \begin{matrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{matrix}\right| = -[value]^2([value]^2-([value])^2)=[value]. \]

Compute the determinant of \( \mathrm{A} \).

Laske matriisin \( \mathrm{A} \) determinantti.

\[ \mathrm{A}=[value]\]

\(\det(\mathrm{A})=\) .
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{array}{rll} \det(\mathrm{A}) & = & \begin{vmatrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{vmatrix}\ \\ & = & [value]\cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} -[value]\cdot\begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} +[value]\cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} \\ & = & [value]\cdot ([value]\cdot [value]-[value]\cdot [value])-[value]\cdot ([value]\cdot [value]-[value]\cdot [value])+[value]\cdot ([value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]) \\ & = & [value] \end{array}\]

Let
\[
\mathrm{A} = [value].
\]
Compute the determinant of \(\mathrm{A}\)

Olkoon matriisi
\[
\mathrm{A} = [value].
\]
Laske determinantti.

\( \det(\mathrm{A}) = \)
Feedback: Worked solution: Mallivastaus: \[\begin{array}{rll} \det(\mathrm{A}) & = & \begin{vmatrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{vmatrix}\ \\ & = & [value]\cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} -[value]\cdot\begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} +[value]\cdot \begin{vmatrix} [value] & [value] \\[value] & [value] \end{vmatrix} \\ & = & [value]\cdot ([value]\cdot ([value]) [value]-([value]) [value]\cdot ([value]) [value])-([value]) [value]\cdot ([value]\cdot ([value]) [value]-([value]) [value]\cdot ([value]) [value])+([value]) [value]\cdot ([value]\cdot ([value]) [value]-([value]) [value]\cdot ([value]) [value]) \\ & = & [value] \end{array}\]

Olkoot

\[ \mathbf{x}_1 = [value], \quad \mathbf{x}_2 = [value], \quad \mathbf{x}_3 = [value]. \]

\( \textbf{(a)} \) Vektorien \( \{ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \} \) kaikki lineaarikombinaatiot \( \mathbf{y} \) voidaan ilmaista matriisimuodossa \( \mathbf{y} = X \mathbf{\alpha} \). Mikä on tähän soveltuva matriisi \( X \)?

\( X = \)

\( \textbf{(b)} \) Laske matriisin \( X \) determinantti.

\( \textrm{det}(X) = \)

\( \textbf{(c)} \) Vastaa determinantin arvon perusteella: Ovatko vektorit \( \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \mathbf{x_3} \} \) lineaarisesti riippumattomia? Jos mielestäsi ovat, vastaa "tosi".
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Merkitään \[ X = \left[ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \right] = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{\alpha} = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{matrix} \right]. \] Tällöin \[ \mathbf{y} = \alpha_1 \mathbf{x}_1 + \alpha_2 \mathbf{x}_2 + \alpha_3 \mathbf{x}_3 = \left[ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{matrix} \right] = X \mathbf{\alpha}. \] Matriisissa \( X \) tulee olla vektorit \( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \) ja \( \mathbf{x}_3 \), mutta nämä vektorit voidaan sijoittaa matriisiin mielivaltaisessa järjestyksessä. Vastaukseksi kävisi siis myös esim. \[ X = \left[ \mathbf{x}_3, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_1 \right] = [value], \] mutta tällöin \( \textbf{(b)} \)-kohdan determinantin merkki saattaisi muuttua. Nimittäin, jos matriisi \( X_1 \) saadaan vaihtamalla matriisista \( X \) kaksi (pysty)riviä keskenään, niin \[ \textrm{det}(X_1) = -\textrm{det}(X). \] \( \textbf{(b)} \) \[ \begin{align} \textrm{det}(X) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right | \\ & = [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right | - [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right | + [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right | \\ \\ & = [value] \cdot ([value]) - [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value]) \\ \\ & = [value]. \end{align} \] \( \textbf{(c)} \) Opintomonisteen mukaan vektorit \( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \) ja \( \mathbf{x}_3 \) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos \( \textbf{(a)} \)-kohdan matriisi \( X \) on kääntyvä. Koska \( \textrm{det}(X) = [value] \), niin taas opintomonisteen nojalla \( X \)[value][value] kääntyvä. Siis vektorijoukko \( \{ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \} \) on lineaarisesti [value].

Investigate the linear dependence of vectors

\[\begin{align*} \mathbf{a} &= [value] \\ \mathbf{b} &= [value] \\ \mathbf{c} &= [value] \end{align*}\]

by choosing the correct alternative. Also compute the determinant of the matrix constructed from the row vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{c} \) and \( \mathbf{d}=[value] \).

Hint: Can the result from the first part be used in the second part?

([value]) | \(\quad\)The vectors are linearly dependent.

([value]) | \(\quad\)The vectors are linearly independent.

([value]) | \(\quad\)In this case it cannot be determined.

([value]) | \(\quad\)I'm in no mood for another Gauss-Jordan exercise.

Tutki vektoreiden

\[\begin{align*} \mathbf{a} &= [value] \\ \mathbf{b} &= [value] \\ \mathbf{c} &= [value] \end{align*}\]

lineaarista riippuvuutta valitsemalla oikeaa vaihtoehtoa vastaava numero alla olevasta listasta. Lisäksi laske sen matriisin determinantti, joka saadaan yllä olevista vaakavektoreista ja vektorista \( \mathbf{d}=[value] \).

Vinkki: Mieti voisiko ensimmäisen kohdan tulosta käyttää hyödyksi determinanttia laskettaessa.

([value]) | \(\quad\)Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.

([value]) | \(\quad\)Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

([value]) | \(\quad\)Tässä tapauksessa ei voida sanoa mitään.

([value]) | \(\quad\)Ei yhtään huvittaisi pyörittää taas jotain Gauss‑Jordan‑yhtälöryhmäjumppaa tämän asian selvittämiseksi.

Answer:

Vastaus:
Determinant:

Determinantti:
Feedback: Worked solution: Let's first investigate whether the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \) are linearly independent. Vectors \( \mathbf{v}_1 , \ \dots \ , \mathbf{v}_n \) are linearly independent if equation \[ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i \mathbf{v}_i = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \ \dots \ \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \quad \quad \alpha_i \in \mathbb{R} \] has no other solution except the trivial solution \( \alpha_1=\alpha_2=\dots =\alpha_n=0 \). Let's write up the equation for the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \): \[\begin{eqnarray*} \alpha_1 \mathbf{a} + \alpha_2 \mathbf{b} + \alpha_3 \mathbf{c} & = & \mathbf{0} \\ \Longleftrightarrow \alpha_1 [value]^\intercal + \alpha_2 [value]^\intercal + \alpha_3 [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal + [value]^\intercal + [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \end{eqnarray*}\] So now we have the system \[\left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ \end{array}\right. .\] The coefficient matrix, variable vector and parameter vector corresponding to this system are \[ \mathrm{A}=[value] \quad \mathbf{x}=[value] \quad \mathbf{b}=[value] \] and in matrix form the system is \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{A}} \underbrace[value]_{=\mathbf{x}} = \underbrace[value]_{= \mathbf{b}}. \] Now let's form the augmented matrix \( \mathrm{B}=[\mathrm{A} \vert \mathbf{b}] \) and calculate its rref. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{B} & = & [value] \\ \mathrm{rref} (\mathrm{B}) & = & [value] \\ \end{eqnarray*}\] Interpreting the rref back to a system of equations we have \[\begin{array}{rl} & \left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{r} \alpha_1 = [value] \\ \alpha_2 = [value] \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{l} \alpha_1 = [value] t \\ \alpha_2 = [value] t \\ \alpha_3 = t \end{array}\right. , \ t \in \mathbb{R} \\ \end{array}\] From this we see that there are infinitely many solutions which means the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \) are linearly dependent. Now we also know that the set \(\{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \}\) is also linearly dependent because a set of linearly dependent vectors will stay linearly dependent when any vector is added. Let's investigate the determinent next. The matrix in question is \[ \left[\begin{array}{c} \mathbf{a} \\ \hline \mathbf{b} \\ \hline \mathbf{c} \\ \hline \mathbf{d} \\ \end{array}\right] = [value].\] We also know that the rows of the matrix are linearly dependent. We could compute the determinant mechanically but there is also an easier way in this case. If either the rows or columns of a matrix form a linearly dependent set the determinant of the matrix must be zero. Therefore the determinant of the matrix in question is zero. Mallivastaus: Tutkitaan ensin ovatko vektorit \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) ja \( \mathbf{c} \) lineaarisesti riippumattomia. Vektorit \( \mathbf{v}_1 , \ \dots \ , \mathbf{v}_n \) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälöllä \[ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i \mathbf{v}_i = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \ \dots \ \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \quad \quad \alpha_i \in \mathbb{R} \] on vain triviaaliratkaisu \( \alpha_1=\alpha_2=\dots =\alpha_n=0 \). Kirjoitetaan yhtälö vektoreille \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) sekä \( \mathbf{c} \) ja ratkaistaan se. Yhtälö on \[\begin{eqnarray*} \alpha_1 \mathbf{a} + \alpha_2 \mathbf{b} + \alpha_3 \mathbf{c} & = & \mathbf{0} \\ \Longleftrightarrow \alpha_1 [value]^\intercal + \alpha_2 [value]^\intercal + \alpha_3 [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal + [value]^\intercal + [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \end{eqnarray*}\] Nyt tutkittavana on siis yhtälöryhmä \[\left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ \end{array}\right. .\] Tätä yhtälöryhmää vastaava kerroinmatriisi sekä muuttuja- ja parametrivektori ovat \[ \mathrm{A}=[value] \quad \mathbf{x}=[value] \quad \mathbf{b}=[value] \] ja vastaava matriisiyhtälö on \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{A}} \underbrace[value]_{=\mathbf{x}} = \underbrace[value]_{= \mathbf{b}}. \] Muodostetaan nyt laajennettu matriisi \( \mathrm{B}=[\mathrm{A} \vert \mathbf{b}] \) ja lasketaan sen rref-muoto. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{B} & = & [value] \\ \mathrm{rref} (\mathrm{B}) & = & [value] \\ \end{eqnarray*}\] Tulkitaan rref-muotoinen matriisi takaisin yhtälöryhmäksi. \[\begin{array}{rl} & \left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{r} \alpha_1 = [value] \\ \alpha_2 = [value] \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{l} \alpha_1 = [value] t \\ \alpha_2 = [value] t \\ \alpha_3 = t \end{array}\right. , \ t \in \mathbb{R} \\ \end{array}\] Edellisestä huomaamme, että ratkaisuja on ääretön määrä eli vektorit \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) ja \( \mathbf{c} \) ovat lineaarisesti riippuvia. Nyt tiedämme, että joukko \(\{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \}\) on myös lineaarisesti riippuva, koska lineaarisesti riippuvasta joukosta ei saa lineaarisesti riippumatonta lisäämällä siihen vektoreita. Tutkitaan nyt rivivektoreista muodostetun matriisin determinanttia. Matriisi on \[ \left[\begin{array}{c} \mathbf{a} \\ \hline \mathbf{b} \\ \hline \mathbf{c} \\ \hline \mathbf{d} \\ \end{array}\right] = [value].\] Tiedämme lisäksi, että matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvia. Determinantin voisi laskea suoraan, mutta helpommin se saadaan ratkaistua, kun muistetaan eräs determinanttiin liittyvä tulos; nimittäin se, että matriisin determinantti on nolla, jos sen rivit tai sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippuvan joukon vektoreita. Koska tutkittavan matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvia, on sen determinantti nolla.

Olkoon matriisi
\[
A = [value].
\]
Laske determinantti.

\( \det(A) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \det(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| +([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ &= [value] \end{align} \) (2x2 matriisien [value] determinantti saadaan kaavalla \(ad-bc\).)

Laske determinantti.

\[ A=\left[\begin{array}{ccc}
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array}
\right]\]

\(\det(A)=\) .
Feedback: Mallivastaus: \[ \begin{align} \det(A)&=\left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ &= [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ & = [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) - [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) + [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \]

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Matriisin aste \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun matriisissa on korkeintaan kaksi lineaarisesti riippumatonta saraketta. Nähdään, että sarakkeet 1 ja 2 eivät ole yhdensuuntaiset, joten ainakin kaksi saraketta on lineaarisesti riippumattomia. Jos \(\textrm{det}(A) = 0\), matriisin kaikki kolme saraketta eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Määrätään siis vakio \( c \) siten, että \(\textrm{det}(A) = 0\). \[ \begin{align} \text{det }(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + c \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value]+[value]c = 0 \\ \Rightarrow c & = [value]. \end{align} \]