Title: Käänteiskuvaukset

Q: Onko seuraavilla kuvauksilla olemassa käänteiskuvausta? Valitse kuhunkin kohtaan sopiva vaihtoehto.

a) \(f \colon [4, \infty[ \to [1, \infty[, x \mapsto \sqrt{x-3}\)

[...]

b) \(g \colon \mathbb{R} \setminus \{5\} \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{3}{x-5} \)

[...]

c) \(h \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}, x \mapsto \frac{8}{x+2} \)

[...]
A: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.; Käänteiskuvaus on olemassa.
Gap 1 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.
Gap 2 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.
Gap 3 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole surjektio.
Feedback: a) Käänteiskuvaus on olemassa. b) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio. c) Käänteiskuvaus on olemassa.

Q: Lue kurssimateriaalin luvun 5.7 muutama ensimmäinen sivu, jossa esitellään, mitä funktion käänteiskuvaus tarkoittaa. Kiinnitä huomiota kuvausten lähtö- ja maalijoukkoihin! Ne eivät aina ole kaikki reaaliluvut...

Onko seuraavilla kuvauksilla olemassa käänteiskuvausta? Valitse kuhunkin kohtaan sopiva vaihtoehto.

a) \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, z \mapsto 3-5z\)

[...]

b) \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 3-5x\)

[...]

c) \(h \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto |n-2|\)

[...]
A: Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.; Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.
Gap 1 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio.
Gap 2 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(g\) ei ole surjektio.
Gap 3 offers: Käänteiskuvaus on olemassa.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.; Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole surjektio.
Feedback: a) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(f\) ei ole surjektio. b) Käänteiskuvaus on olemassa. c) Käänteiskuvausta ei ole olemassa, koska kuvaus \(h\) ei ole injektio.