Title: Lineaarinen yhtälöryhmä

Olkoon \( A = [value]\).

\( \textbf{(a)} \) Muodosta \( \text{rref}(A) \) eli matriisin redusoitu riviporrasmuoto.

\( \text{rref}(A) = \) .

\( \textbf{(b)} \) Mitä on \( \text{rank}(A) \)?

\( \text{rank}(A) = \) .
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Vaakarivimuunnoksilla päästään matriisiin \( \text{rref}(A) = \) [value]. Kertaa tarvittaessa RREF-muodon hakeminen luentomonisteesta. \( \textbf{(b)} \) Matriisin aste \( \text{rank}(A) \) nähdään \( \text{rref}(A) \):sta. Se on nollasta eroavien rivien lukumäärä eli siis johtavien ykkösten lukumäärä. Tässä tapauksessa siis \( \text{rank}(A) = 2 \).

On olemassa kolmea lajia uushopeaa, joiden pitoisuudet ovat

\[ \begin{array}{c|ccc} & \text{Cu} & \text{Zn} & \text{Ni} \\\hline \text{I} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \text{II} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \text{III} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \end{array} \]

Kuinka paljon näitä seoksia on sulatettava yhteen, jotta saataisiin 10 kg uushopeaa, joka sisältää [value] \(\%\) kuparia, [value] \(\%\) sinkkiä ja [value] \(\%\) nikkeliä? Voit käyttää apuna Matlabia.

Anna vastauksesi sadan gramman tarkkuudella.

Seosta I: kg
Seosta II: kg
Seosta III: kg
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tarvittavaa seoksen I massaa \(x\):llä, seoksen II massaa \(y\):llä ja seoksen III massaa \(z\):lla. Muodostetaan kolme yhtälöä näille massoille, sillä ratkaistavana on kolme tuntematonta. Ensimmäinen yhtälö saadaan massojen summasta, toinen kuparin massoista ja kolmas sinkin massoista. Saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{ \begin{array}{llll} x &+ y &+ z &= 10\ \rm{kg}\\ [value] x &+ [value]y &+ [value]z &= [value]\ \rm{kg}\\ [value]x &+ [value]y &+ [value]z &= [value]\ \rm{kg}, \end{array} \right. \] Yhtälöryhmä voidaan ratkaista Gaussin eliminointimenetelmällä rivioperaatioilla matriisista \(M=\)[value], jolloin saadaan \(\text{rref}(M)=\) [value]. Redusoidusta riviporrasmuodosta voidaan lukea seosten tarvittava määrä riveittäin eli Seosta I: [value] kg Seosta II: [value] kg Seosta III: [value] kg.

Tietokonehuollon varastoa täytyy täydentää ja omistaja Kalle on vertaillut kolmen eri kaupan hintoja. Kalle tarvitsee [value] pakettia kiintolevyruuveja, [value] tuubia jäähdytystahnaa ja [value] pakettia kovalevyruuveja. Kilpailevan huollon omistaja Sanna puolestaan tarvitsee 7 pakettia kiintolevyruuveja, 5 tuubia jäähdytystahnaa ja 2 pakettia kovalevyruuveja.

Kauppojen A, B ja C hinnat tuotteiden osalta ovat:

Kauppa | Kiintolevyruuvi (4kpl/pkt) | Jäähdytystahna (0,30g) | Kovalevyruuvit (20kpl/pkt)
A | 0,80 e | 4,60 e | 6,80 e
B | 1,20 e | 4,40 e | 6,60 e
C | 1,10 e | 4,00 e | 7,20 e

Muodosta matriisi Kallen ja Sannan ostoksista ja toinen matriisi tarvikkeiden hinnoista ja laske näiden avulla kustannusmatriisi, jonka ylärivillä on Kallen kustannukset ja alarivillä Sannan kustannukset kauppakohtaisesti.

Ostomatriisi \(O= \) |  | Hintamatriisi \(H= \) |
Kustannusmatriisi \(K= \) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: Koska lopullinen kustannusmatriisi halutaan muodossa, jossa Kallen kustannukset ovat ylärivillä ja Sannan alarivillä, niin kirjoitetaan ostomatriisi samassa muodossa: \(O=\)[value]. Hintamatriisi täytyy nyt muodostaa niin, että ostomatriisin kertoimet osuvat oikeiden tuotteiden kohdalle ja lopulliseen kustannusmatriisiin saadaan kauppakohtaiset kustannukset. Tällöin \(H=\)[value]. Lopullinen kustannusmatriisi saadaan näiden kahden matriisitulona eli \(K=O\cdot H =\) [value], missä ylemmällä rivillä on Kallen kustannukset ostettaessa tarvikkeita kaupasta A, B tai C ja alemmalla rivillä Sannan kustannukset vastaavasti.

Tarkastellaan seuraavaa yhtälöryhmää:

\(\begin{cases}
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value].
\end{cases}\)

a) Esitä yhtälöryhmä matriisimuodossa.

Vastaus:

b) Muunna muodostamasi matriisi riviekvivalentiksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

c) Vastaa seuraaviin väitteisiin muodostamasi porrasmatriisin perusteella. Mieti jokaisen vastauksen kohdalla osaisitko perustella vastauksesi

Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja.

d) Mikä on yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä edellisten vastaustesi perusteella? Jos vastausten lukumäärä on ääretön, kirjoita laatikkoon inf.

Vastaus:

e) Muunna matriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

f) Onko matriisista muodostettu redusoitu porrasmatriisimuoto yksikäsitteinen? Mieti, osaisitko perustella vastauksesi.
Feedback: Ratkaisu a) Tehtävässä merkitään matriisin kullekin riville muuttujien \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) kertoimia vastaavat arvot yhtälöryhmässä. Matriisin rivin oikeimmanpuoleiseen kohtaan merkitään riviä vastaava numero yhtälöryhmän oikealta puolelta. Tässä tapauksessa yhtälöryhmä voidaan siis kirjoittaa: [value]. b) Tässä on tarkoitus muuntaa matriisi porrasmuotoon. Lopputulokseksi halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Eräs mahdollinen ratkaisu on: [value]. On hyvä huomata erityisesti se, että porrasmuodon mukaan viimeistä riviä vastaa yhtälö \(0=[value]\). c) Käsitellään kysymykset yksi kerrallaan. "Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen" on aina epätosi väite. Vaikka jokin porrasmuodon rivi kerrottaisiin nollasta eroavalla reaaliluvulla olisi matriisi edelleen porrasmuotoinen ja lisäksi riviekvivalentti aiemman matriisin kanssa. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö" on tässä tapauksessa tosi väite. Porrasmuodosta nähdään, että viimeiselle riville saadaan epätotta yhtälöä vastaavaa riviä, missä reaalilukuja \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) vastaavat kertoimet ovat nollia, mutta oikeimmanpuoleinen alkio eroaa nollasta. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja" on tässä tapauksessa epätosi väite. Jos porrasmuodossa olevan matriisin jotakin muuttujaa \(x_1, x_2\) tai \(x_3\) vastaavalla sarakkeelle ei olisi johtavaa alkiota, niin tällöin yhtälöryhmällä olisi vapaa muuttuja. d) Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä on nähtävissä suoraan porrasmuodosta. Yleisesti ottaen lineaarisen yhtälöryhmän vastausten lukumäärälle on kolme vaihtoehtoa: nolla, yksi tai ääretön. Tehtävässä muodostetussa porrasmuotoisesta matriisista huomataan, että viimeinen rivi vastaa epätotta yhtälöä. Yhtälöryhmällä ei siis ole vastauksia. e) Lopputulokseksi halutaan sellainen porrasmatriisi, missä jokaisen sarakkeen johtava alkio on 1. Tämän lisäksi johtavan alkion tulee olla sarakkeen ainoa nollasta eroava alkio. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia samaan tapaan kuin matriisin muuntamisessa porrasmuotoon. Tässä tehtävässä redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi on: [value]. Tämän \(4 \times 4\)-matriisin tapauksessa jo porrasmuodosta voitiin nähdä, että matriisin redusoidusta porrasmuodosta muodostuu niinsanottu ykkösmatriisi. f) Redusoidussa porramuodossa oleva matriisi on todellakin yksikäsitteinen erotuksena porrasmuodosta. Jos redusoidussa porrasmuodossa olevalle matriisille tehdään mikä tahansa alkeisrivioperaatio, joka muuttaa matriisia, niin tällöin se ei enää ole redusoidussa porrasmuodossa.

Tarkastellaan seuraavaa yhtälöryhmää:

\(\begin{cases}
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value].
\end{cases}\)

a) Esitä yhtälöryhmä matriisimuodossa.

Vastaus:

b) Muunna muodostamasi matriisi riviekvivalentiksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

c) Vastaa seuraaviin väitteisiin muodostamasi porrasmatriisin perusteella. Mieti jokaisen vastauksen kohdalla osaisitko perustella vastauksesi

Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja.

d) Mikä on yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä edellisten vastaustesi perusteella? Jos vastausten lukumäärä on ääretön, kirjoita laatikkoon inf.

Vastaus:

e) Muunna matriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

f) Onko matriisista muodostettu redusoitu porrasmatriisimuoto yksikäsitteinen? Mieti, osaisitko perustella vastauksesi.
Feedback: Ratkaisu a) Tehtävässä merkitään matriisin kullekin riville muuttujien \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) kertoimia vastaavat arvot yhtälöryhmässä. Matriisin rivin oikeimmanpuoleiseen kohtaan merkitään riviä vastaava numero yhtälöryhmän oikealta puolelta. Tässä tapauksessa yhtälöryhmä voidaan siis kirjoittaa: [value]. b) Tässä on tarkoitus muuntaa matriisi porrasmuotoon. Lopputulokseksi halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Eräs mahdollinen ratkaisu on: [value]. c) "Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen" on aina epätosi väite. Vaikka jokin porrasmuodon rivi kerrottaisiin nollasta eroavalla reaaliluvulla olisi matriisi edelleen porrasmuotoinen ja lisäksi riviekvivalentti aiemman matriisin kanssa. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö" on tässä tapauksessa epätosi väite. Porrasmuodosta nähdään, että yhtälöryhmässä ei ole yhtään epätotta yhtälöä vastaavaa riviä, missä reaalilukuja \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) vastaavat kertoimet ovat nollia, mutta oikeimmanpuoleinen alkio eroaisi nollasta. Viimeinen rivi vastaa yhtälöä 0=0, joka on aina tosi. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja" on tässä tapauksessa epätosi väite. Porrasmuodosta nähdään, että jokaisella matriisin sarakkeella, joka vastaa jotakin muuttujista \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) on johtava alkio. Näin ollen yhtälöryhmässä ei ole vapaita muuttujia. d) Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä on nähtävissä suoraan porrasmuodosta. Yleisesti ottaen lineaarisen yhtälöryhmän vastausten lukumäärälle on kolme vaihtoehtoa: nolla, yksi tai ääretön. Tehtävässä muodostetussa porrasmuotoisesta matriisista huomataan, että yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. e) Lopputulokseksi halutaan sellainen porrasmatriisi, missä jokaisen sarakkeen johtava alkio on 1. Tämän lisäksi johtavan alkion tulee olla sarakkeen ainoa nollasta eroava alkio. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia samaan tapaan kuin matriisin muuntamisessa porrasmuotoon. Tässä tehtävässä redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi on: [value]. Yhtälöryhmän ratkaisut ovat luettavissa suoraan redusoidusta porrasmuodosta. f) Redusoidussa porramuodossa oleva matriisi on todellakin yksikäsitteinen erotuksena porrasmuodosta. Jos redusoidussa porrasmuodossa olevalle matriisille tehdään mikä tahansa alkeisrivioperaatio, joka muuttaa matriisia, niin tällöin se ei enää ole redusoidussa porrasmuodossa.

Tarkastellaan seuraavaa yhtälöryhmää:

\(\begin{cases}
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value]\\
[value]\: [value] x_1 \:[value]\: [value] x_2 \:[value]\: [value] x_3 &= [value] [value].
\end{cases}\)

a) Esitä yhtälöryhmä matriisimuodossa.

Vastaus:

b) Muunna muodostamasi matriisi riviekvivalentiksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

c) Vastaa seuraaviin väitteisiin muodostamasi porrasmatriisin perusteella. Mieti jokaisen vastauksen kohdalla osaisitko perustella vastauksesi

Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö.

Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja.

d) Mikä on yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä edellisten vastaustesi perusteella? Jos vastausten lukumäärä on ääretön, kirjoita laatikkoon inf.

Vastaus:

e) Muunna matriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi.

Vastaus:

f) Onko matriisista muodostettu redusoitu porrasmatriisimuoto yksikäsitteinen? Mieti, osaisitko perustella vastauksesi.
Feedback: Ratkaisu a) Tehtävässä merkitään matriisin kullekin riville muuttujien \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) kertoimia vastaavat arvot yhtälöryhmässä. Matriisin rivin oikeimmanpuoleiseen kohtaan merkitään riviä vastaava numero yhtälöryhmän oikealta puolelta. Tässä tapauksessa yhtälöryhmä voidaan siis kirjoittaa: [value]. b) Tässä on tarkoitus muuntaa matriisi porrasmuotoon. Lopputulokseksi halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Eräs mahdollinen ratkaisu on: [value]. c) Käsitellään väitteet yksi kerrallaan. "Matriisista muodostettu porrasmatriisimuoto on yksikäsitteinen" on aina epätosi väite. Vaikka jokin porrasmuodon rivi kerrottaisiin nollasta eroavalla reaaliluvulla olisi matriisi edelleen porrasmuotoinen ja lisäksi riviekvivalentti aiemman matriisin kanssa. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi epätosi yhtälö" on tässä tapauksessa epätosi väite. Porrasmuodosta nähdään, että yhtälöryhmässä ei ole yhtään epätotta yhtälöä vastaavaa riviä, missä reaalilukuja \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) vastaavat kertoimet ovat nollia, mutta oikeimmanpuoleinen alkio eroaisi nollasta. "Yhtälöryhmässä on ainakin yksi vapaa muuttuja" on tässä tapauksessa tosi väite. Porrasmuodosta nähdään, että olevan matriisin sarakkeella [value] ei ole johtavaa alkiota. Tällöin saraketta vastaava muuttuja \(x_[value]\) on siis vapaa muuttuja. d) Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä on nähtävissä suoraan porrasmuodosta. Yleisesti ottaen lineaarisen yhtälöryhmän vastausten lukumäärälle on kolme vaihtoehtoa: nolla, yksi tai ääretön. Tehtävässä muodostetusta porrasmuotoisesta matriisista nähtiin, että yhtälöryhmän muuttuja \(x_[value]\) on vapaa muuttuja. Näin ollen yhtälöryhmällä on ääretön määrä ratkaisuja. e) Lopputulokseksi halutaan sellainen porrasmatriisi, missä jokaisen sarakkeen johtava alkio on 1. Tämän lisäksi johtavan alkion tulee olla sarakkeen ainoa nollasta eroava alkio. Matriisi muunnetaan redusoituun porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia samaan tapaan kuin matriisin muuntamisessa porrasmuotoon. Tässä tehtävässä redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi on: [value]. f) Redusoidussa porramuodossa oleva matriisi on todellakin yksikäsitteinen erotuksena porrasmuodosta. Jos redusoidussa porrasmuodossa olevalle matriisille tehdään mikä tahansa alkeisrivioperaatio, joka muuttaa matriisia, niin tällöin se ei enää ole redusoidussa porrasmuodossa.

Solve the system of equations for variable \(c\) using Cramer's rule.

\begin{eqnarray} [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value] \end{eqnarray}

Input only the value of \(c\).

Ratkaise yhtälöryhmästä muuttuja \(c\) käyttämällä Cramerin sääntöä.

\begin{eqnarray} [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value]\\ [value]&=&[value] \end{eqnarray}

Anna ainostaan muuttujan \(c\) arvo vastaukseksi.

\(c=\) |  |
Feedback: Worked solution: The system can be represented as the product of matrices in the following way: \(\mathrm{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), where \(n \times n\) matrix \(\mathrm{A}\) has a nonzero determinant, and vector \( \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathsf{T} \) is a column vector consisting of the variables. Cramer's rule states the the values of indeterminates can be calculated using the following formula (under the assumption that the system has a unique solution). \(x_i = \frac{\det(\mathrm{A}_i)}{\det(\mathrm{A})} \qquad i = 1, \ldots, n \, \) where \( \mathrm{A}_i \) is the matrix formed by replacing the ith column of \( \mathrm{A} \) with the column vector \( \mathbf{b} \). In this exercise \(\mathrm{A}\) and \(\mathbf{b}\) are \[ \mathrm{A} = [value]\quad \mathbf{b} = [value] \] Now in order to solve the system for variable \(c\) we must replace the third column of \(\mathrm{A}\) with \(\mathbf{b}\) \[ \begin{align*} \Rightarrow& \mathrm{A}_i = [value] \\ \\ \Rightarrow& c = \frac{\det{(\mathrm{A}_i)}}{\det{(\mathrm{A})}} = [value] \end{align*} \] Mallivastaus: Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisien tulona seuraavasti: \(\mathrm{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), missä \(n \times n\) matriisilla \(\mathrm{A}\) on nollasta poikkeava determinantti, ja vektori \( \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathsf{T} \) on muuttujien muodostama sarakevektori. Cramerin säännön mukaan jos tällä lineaarisella yhtälöryhmällä on yksittäinen ratkaisu, niin tuntemattomien arvot saadaan kaavasta: \(x_i = \frac{\det(\mathrm{A}_i)}{\det(\mathrm{A})} \qquad i = 1, \ldots, n \, \) missä \( \mathrm{A}_i \) on matriisi joka muodostetaan korvaamalla matriisin \( \mathrm{A} \) ''i'':s sarake sarakevektorilla \( \mathbf{b} \). Tässä tehtävässä \(\mathrm{A}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat \[ \mathrm{A} = [value]\quad \mathbf{b} = [value] \] Eli ratkaistaksemme muuttujan \(c\) arvo yhtälöryhmästä korvaamme sitä vastaavaan sarakkeen (3. sarake) matriisista \(\mathrm{A}\) sarakevektorilla \(\mathbf{b}\) \[ \begin{align*} \Rightarrow& \mathrm{A}_i = [value] \\ \\ \Rightarrow& c = \frac{\det{(\mathrm{A}_i)}}{\det{(\mathrm{A})}} = [value] \end{align*} \]

Olkoot matriisi

\[ A = [value] \]

ja vektori

\[ b = [value].\]

Ratkaise yhtälöryhmä \(Ax=b\).

\(x= \)
Feedback: Ratkaisu: Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava yhtälöryhmä eli \[ \begin{cases} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{cases}\] Toinen tapa: Ratkaisu saadaan kertomalla yhtälöä vasemmalta matriisin \(A\) inverssillä: \( \begin{align} Ax&=b \\ A^{-1}Ax&=A^{-1}b \\ x&=A^{-1}b \\ x&=[value][value] \\ x&= [value]. \end{align} \)

Let

\[ \mathrm{A} = [value] \]

and

\[ \mathbf{b} = [value].\]

Solve the equation \(\mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Answer:

Olkoot matriisi

\[ \mathrm{A} = [value] \]

ja vektori

\[ \mathbf{b} = [value].\]

Ratkaise yhtälö \(\mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Vastaus:

\(\mathbf{x}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: We know that \[ \mathrm{A}=[value] \] and \[ \mathbf{b}=[value] .\] Our job here is to solve \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). We can solve the equation by multiplying it from the left with the inverse of \( \mathrm{A} \) if it exists: \[\begin{array}{rrll} & \mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{I}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \end{array}\] Let's try to calculate the inverse using the Gauss-Jordan method. First form the matrix \( \mathrm{B}= ( \mathrm{A} \vert \mathrm{I} ) \). \[ \mathrm{B} = [value] \] Next compute the rref form of the matrix. Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is the inverse. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{B}) = [value] = ( \mathrm{I} \vert \mathrm{A}^{-1} ) \] Now we can compute \( \mathbf{x} \): \[ \mathbf{x} = \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} = [value][value] = [value] .\] Mallivastaus: Tiedämme, että \[ \mathrm{A}=[value] \] ja \[ \mathbf{b}=[value] .\] Tehtävänämme on ratkaista matriisiyhtälö \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). Jos matriisi \( \mathrm{A} \) on kääntyvä, saamme ratkaistua yhtälön kertomalla sitä \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisilla vasemmalta: \[\begin{array}{rrll} & \mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{I}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \end{array}\] Selvitetään siis onko \( \mathrm{A} \) kääntyvä ja mikä \( \mathrm{A}^{-1} \) on. Muodostetaan ensin matriisi \( \mathrm{B}= ( \mathrm{A} \vert \mathrm{I} ) \). \[ \mathrm{B} = [value] \] Sovelletaan seuraavaksi rivioperaatioita \( \mathrm{B} \):hen ja viedään se rref-muotoon. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{B}) = [value] = ( \mathrm{I} \vert \mathrm{A}^{-1} ) \] Tarvittaessa voidaan vielä tarkistaa kyseisen matriisin olevan oikeasti \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{A}\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n voimme laskea \( \mathbf{x} \):n. \[ \mathbf{x} = \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} = [value][value] = [value] \]

Olkoon \( A = [value]\).

\( \textbf{(a)} \) Muodosta \( \text{rref}(A) \) eli matriisin redusoitu riviporrasmuoto.

\( \text{rref}(A) = \) .

\( \textbf{(b)} \) Mikä on \( \text{rank}(A) \)?

\( \text{rank}(A) = \) .
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Vaakarivimuunnoksilla päästään matriisiin \( \text{rref}(A) = \) [value]. Kertaa tarvittaessa RREF-muodon hakeminen luentomonisteesta. \( \textbf{(b)} \) Matriisin aste \( \text{rank}(A) \) nähdään \( \text{rref}(A) \):sta. Se on nollasta eroavien rivien lukumäärä eli siis johtavien ykkösten lukumäärä. Tässä tapauksessa siis \( \text{rank}(A) = 2 \).

Solve the pair of equations using any method.

Ratkaise yhtälöpari jollakin osaamallasi menetelmällä.

\[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\]

\(x=~\) |
\(y=~\) |
Feedback: Worked solution: \[\left\{\begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ [value]x+[value]y&=& [value] \end{eqnarray}\right.\] Let's begin by solving for \(y\) in the first equation. \[ \begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]y&=& [value]-[value]x \\ \Leftrightarrow y&=& [value]-[value]x \end{eqnarray} \] Next we substitute the value into the second equation: \[ \begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x+[value]\left([value]-[value]x \right)&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x+[value]-[value]x &=& [value] \\ \Leftrightarrow \left([value]\right)x+[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x &=& [value] \\ \Leftrightarrow x &=& [value] \end{eqnarray} \] Finally we calculate the value of \(y\): \[ y=[value]-[value]x = [value] = [value] \] The solution is \[ (x,y) = \left( [value], [value] \right) .\] Mallivastaus: Ratkaistaan yhtälöparin \[\left\{\begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ [value]x+[value]y&=& [value] \end{eqnarray}\right.\] ensimmäisestä yhtälöstä muuttuja \(y\): \[ \begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]y&=& [value]-[value]x \\ \Leftrightarrow y&=& [value]-[value]x \end{eqnarray} \] Sijoitetaan seuraavaksi ratkaistu \(y\):n arvo toiseen yhtälöön: \[ \begin{eqnarray} [value]x+[value]y&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x+[value]\left([value]-[value]x \right)&=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x+[value]-[value]x &=& [value] \\ \Leftrightarrow \left([value]\right)x+[value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow [value]x &=& [value] \\ \Leftrightarrow x &=& [value] \end{eqnarray} \] Lopuksi sijoittamalla \(x\):n arvon \(y\):n lausekkeeseen saamme: \[ y=[value]-[value]x = [value] = [value] \] Yhtälöparin ratkaisu on siis \[ (x,y) = \left( [value], [value] \right) .\]

Solve the system using any method.

Ratkaise yhtälöryhmä jollakin osaamallasi menetelmällä.

\[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\]

\(x=~\) |
\(y=~\) |
\(z=~\) |
Feedback: Worked solution: Let's solve the system \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\] using the substitution method. Let's begin by solving the variable \(z\) in the first equation. \[\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow z &=& [value]. \end{eqnarray}\] Then we substitute this into the remaining equations. \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\] Simplifying a little we have \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] . \end{eqnarray}\right.\] Now we solve the first equation of this pair of equations for the variable \(y\). \[\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow y &=& [value]. \end{eqnarray}\] From the second equation in the pair we immediately get \[ x = [value] = [value]. \] Now we can calculate the value of \(y\). \[ y = [value] = [value] = [value]. \] And finally we can also compute the value of \(z\). \[ z = [value] = [value] = [value]. \] The solution to the system is \[\left\{\begin{eqnarray} x &=& [value] \\ y &=& [value] \\ z &=& [value]. \end{eqnarray}\right.\] Mallivastaus: Ratkaistaan yhtälöryhmä \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\] sijoitusmenetelmällä. Aloitetaan ensin ratkaisemalla ensimmäisestä yhtälöstä muuttuja \(z\). \[\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow z &=& [value]. \end{eqnarray}\] Sijoitetaan tämä yhtälöryhmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön. \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\] Sieventämällä päädymme yhtälöpariin \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] . \end{eqnarray}\right.\] Yhtälöparin ensimmäisestä yhtälöstä saadaan ratkaistua muuttuja \(y\). \[\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ \Leftrightarrow y &=& [value]. \end{eqnarray}\] Yhtälöparin toisesta yhtälöstä taasen nähdään suoraan, että \[ x = [value] = [value]. \] Nyt voimme ratkaista \(y\):n. \[ y = [value] = [value] = [value]. \] Ja lopuksi vielä ratkaistaan \(z\). \[ z = [value] = [value] = [value]. \] Ratkaisu on siis \[\left\{\begin{eqnarray} x &=& [value] \\ y &=& [value] \\ z &=& [value]. \end{eqnarray}\right.\]

Solve the system \[\left\{\begin{eqnarray} [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\ \nonumber \end{eqnarray}\right. .\]

Ratkaise yhtälöryhmä \[\left\{\begin{eqnarray} [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\ \nonumber \end{eqnarray}\right. .\]

\( x_1=~\) |
\( x_2=~\) |
\( x_3=~\) |
Feedback: Worked solution: Our job is to solve the system \[\left\{\begin{eqnarray} [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\ \nonumber \end{eqnarray}\right. .\] First transform the system of linear equations into matrix form by computing the coefficient matrix \( \mathrm{A} \), variable vector \( \mathbf{x} \) and constant vector \( \mathbf{b} \) such that \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). In matrix form the system is \[ \underbrace{[value]}_{=\mathrm{A}}\underbrace{[value]}_{=\mathbf{x}}=\underbrace{[value]}_{=\mathbf{b}} .\] Next create the augmented matrix \( \mathrm{B} = \left[\mathrm{A}\vert \mathbf{b}\right] \). \[ \mathrm{B}=[value] \] Now transform \( \mathrm{B} \) to reduced row echelon form by using row operations. \[\begin{array}{rl} &[value]\\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{[value] R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ & \vdots \\ & \vdots \\ \longrightarrow & [value] \end{array}\] Finally we interpret the row reduced matrix back into a system of equations. \[\left\{\begin{eqnarray*} 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3&=& {-1}\\ 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3&=& {6}\\ 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3&=& {1} \end{eqnarray*}\right.\] \[\Rightarrow \left\{\begin{eqnarray*} x_1&=& {-1}\\ x_2&=& {6}\\ x_3&=& {1} \ . \end{eqnarray*}\right.\] Mallivastaus: Tehtävänä on ratkaista yhtälöryhmä \[\left\{\begin{eqnarray} [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\nonumber\\ [value]&=& [value]\ \nonumber \end{eqnarray}\right. .\] Muunnetaan yhtälöryhmä ensin matriisimuotoon, eli selvitetään kerroinmatriisi \( \mathrm{A} \), muuttujavektori \( \mathbf{x} \) ja parametrivektori \( \mathbf{b} \) siten, että \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). Yhtälöryhmä on matriisimuodossa \[ \underbrace{[value]}_{=\mathrm{A}}\underbrace{[value]}_{=\mathbf{x}}=\underbrace{[value]}_{=\mathbf{b}} .\] Muodostetaan seuraavaksi laajennettu matriisi \( \mathrm{B} = \left[\mathrm{A}\vert \mathbf{b}\right] \). \[ \mathrm{B}=[value] \] Viedään matriisi \( \mathrm{B} \) seuraavaksi rref-muotoon käyttämällä rivioperaatioita. \[\begin{array}{rl} &[value]\\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{[value] R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+ [value] ([value]) \cdot R_1} & [value] \\ & \vdots \\ & \vdots \\ \longrightarrow & [value] \end{array}\] Tulkitsemalla riviredusoidun matriisin takaisin yhtälöryhmämuotoon näemme, että \[\left\{\begin{eqnarray*} 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3&=& {-1}\\ 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3&=& {6}\\ 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3&=& {1} \end{eqnarray*}\right.\] eli \[\left\{\begin{eqnarray*} x_1&=& {-1}\\ x_2&=& {6}\\ x_3&=& {1} \ . \end{eqnarray*}\right.\]

Solve the pair of equations using Gaussian elimination. \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\]

Give the matrix in reduced row echelon form (rref) and the solution to the pair of equations.

Ratkaise yhtälöpari Gaussin eliminoinnilla. \[\left\{\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray}\right.\]

Syötä vastaukseksi riviporrasmuotoon muutettu laajennettu matriisi sekä itse ratkaisu.

\(x=~\) |
\(y=~\) |
Feedback: Worked solution: First form the matrix \(\mathrm{A}\) and vector \(\mathbf{b}\) from the coefficients of the equations. \[ \mathrm{A} = [value] \text{ ja } \mathbf{b} = [value] \] Next create the augmented matrix \( \left[ \mathrm{A} \vert \mathbf{b} \right] \) and apply Gaussian elimination to the augmented matrix. \[\begin{eqnarray*} \left[ \mathrm{A} \vert \mathbf{b} \right] = [value] &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray*}\] Now we can interpret the system back into a pair of equations and read the solution. \[\left\{\begin{eqnarray*} 1\cdot x +0\cdot y &=& [value] \\ 0\cdot x +1\cdot y &=& [value] \end{eqnarray*}\right.\] Mallivastaus: Kootaan ensin yhtälöryhmän muuttujien kertoimet matriisiin \(\mathrm{A}\) ja yhtälöiden vakiotermit pystyvektoriin \(\mathbf{b}\). \[ \mathrm{A} = [value] \text{ ja } \mathbf{b} = [value] \] Muodostetaan seuraavaksi yhdistetty matriisi \( \left[ \mathrm{A} \vert \mathbf{b} \right] \) ja viedään se riviporrasmuotoon. \[\begin{eqnarray*} \left[ \mathrm{A} \vert \mathbf{b} \right] = [value] &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ &\overset{[value]}{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray*}\] Nyt voimme kääntää matriisin takaisin yhtälöryhmäksi ja lukea ratkaisun. \[\left\{\begin{eqnarray*} 1\cdot x +0\cdot y &=& [value] \\ 0\cdot x +1\cdot y &=& [value] \end{eqnarray*}\right.\]

Let's solve the system of linear equations \[ \left\{\begin{eqnarray*} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray*}\right. \] using Gaussian elimination. First transform the system into matrix form \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \) where \(\mathrm{A}\) is the coefficient matrix, \(\mathbf{x} = \left[ \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \end{smallmatrix} \right] \) and \(\mathbf{b}\) contains the constant terms on the right side of the equations.

Input the augmented matrix \(\left[\mathrm{A}\vert\mathbf{b}\right]\) as the first intermediate step:

Ratkaistaan yhtälöryhmä \[ \left\{\begin{eqnarray*} [value] &=& [value] \\ [value] &=& [value] \end{eqnarray*}\right. \] Gaussin eliminointimenetelmällä. Muutetaan yhtälöpari ensin matriisimuotoon \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \), jossa \(\mathrm{A}\) on kerroinmatriisi, \(\mathbf{x} = \left[ \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \end{smallmatrix} \right] \) ja \(\mathbf{b}\) sisältää yhtälöiden oikealla puolella olevat vakiot.

Syötä ensimmäisenä välivaiheena yhdistetty matriisi \(\left[\mathrm{A}\vert\mathbf{b}\right]\):

Next compute the reduced row echelon form of the augmented matrix using row operations. Input the resulting matrix \(\mathrm{rref}\left[\mathrm{A}\vert\mathbf{b}\right]\):

Seuraavaksi vie saatu matriisi riviporrasmuotoon (\(\mathrm{rref}\)-muotoon) soveltamalla rivioperaatioita. Syötä saamasi matriisi \(\mathrm{rref}\left[\mathrm{A}\vert\mathbf{b}\right]\):

From this matrix we can deduce the amount the solutions to the system and the solutions themselves. Input the number of solutions to the system. If there are an infinite number of solutions, input \(\mathsf{inf}\).

Nyt voimme päätellä laajennetun matriisin riviporrasmuodosta tutkittavan yhtälöparin ratkaisujen lukumäärän sekä itse ratkaisut. Syötä vastauksena yhtälöparin ratkaisujen lukumäärä. Jos ratkaisuja on ääretön määrä, syötä \(\mathsf{inf}\).
Feedback: Worked solution: First collect the coefficients into matrix \(\mathrm{A}\). In the left column we will have the coefficients of variable \(x_1\) and in the right column we will similarly have the coefficients of variable \(x_2\). On the first row we will have the coefficients from the first equation and on the second row we will have the coefficients from the second equation. The resulting matrix is \[ \mathrm{A} = [value] .\] Now collect the constant terms into the column vector \(\mathbf{b}\). The resulting vector is \[ \mathbf{b} = [value] .\] Now the augmented matrix must be \[ \left[\mathrm{A}|\mathbf{b}\right] = [value] .\] Next we compute the \(\mathrm{rref}\) form of the matrix. \[\begin{eqnarray} \left[\mathrm{A}|\mathbf{b}\right] = [value] &\overset[value]{\longrightarrow}& &\overset[value]{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray}\] Interpreting the matrix form back into a system of equations we see that the second equations is \( 0=1 \). This means that the system can have no solutions. Interpreting the matrix back into a system of equations we immediately see the unique solution: \[\left\{ \begin{eqnarray*} x_1 &=& [value] \\ x_2 &=& [value] \end{eqnarray*} \right.\] Let's interpret the augmented matrix back into a system of equations. \[\left\{ \begin{eqnarray*} [value] &=& [value] \\ 0 &=& 0 \end{eqnarray*} \right.\] Now we see that there are an infinite number of pairs \( (x_1, x_2) \) that satisfy \([value] = [value]\) which means that the system has an infinite number of solutions. Mallivastaus: Kerätään ensimmäisenä yhtälöparin yhtälöiden kertoimet matriisiin \(\mathrm{A}\). Matriisin vasempaan sarakkeeseen tulee muuttujan \(x_1\) kertoimet ja oikeaan sarakkeeseen \(x_2\):sen kertoimet. Matriisin yläriville taasen tulee ylemmän yhtälön kertoimet ja alariville alemman. Matriisi on siis: \[ \mathrm{A} = [value] \] Kerätään samaan tapaan sarakevektori \(\mathbf{b}\):hen yhtälöiden oikealla puolella olevat vakiot samassa järjestyksessä. Sarakevektori on siis: \[ \mathbf{b} = [value] \] Nyt voimme muodostaa yhdistetyn matriisin: \[ \left[\mathrm{A}|\mathbf{b}\right] = [value] \] Lasketaan seuraavaksi matriisin riviporrasmuoto. \[\begin{eqnarray} \left[\mathrm{A}|\mathbf{b}\right] = [value] &\overset[value]{\longrightarrow}& &\overset[value]{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray}\] Tulkitsemalla matriisin takaisin yhtälöpariksi huomaamme, että toinen yhtälöistä on \( 0=1 \). Yhtälöparilla ei siis ole yhtäkään ratkaisua. Tulkitsemalla matriisin takaisin yhtälöpariksi saamme suoraan ratkaisun. \[\left\{ \begin{eqnarray*} x_1 &=& [value] \\ x_2 &=& [value] \end{eqnarray*} \right.\] Yhtälöparilla on siis tasan yksi ratkaisu. Tulkitaan matriisi takaisin yhtälöpariksi.\[\left\{ \begin{eqnarray*} [value] &=& [value] \\ 0 &=& 0 \end{eqnarray*} \right.\] Lukupareja \( (x_1, x_2) \), jotka toteuttavat ehdon \([value] = [value]\) löytyy ääretön määrä, joten yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja.

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Ratkaise yhtälöryhmä

\[ \begin{cases}
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\ .\nonumber
\end{cases} \]

\( x_1= \)
\( x_2= \)
\( x_3= \)
Feedback: Mallivastaus Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava yhtälöryhmä eli \[ \begin{cases} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{cases}\]

Tarkastellaan kokonaismatriisia \([A|\mathbf{b}]\)

\([value]\),

jos yhtälöryhmän muuttujat ovat \(x,y,z,w\), vastaavassa järjestyksessä, niin mitkä ovat vapaat muuttujat?

ja
Feedback: Mallivastaus: Matriisin ensimmäisellä sarakkeella kaikki alkiot ovat nollia, joten \(x\) on vapaa muuttuja. Rivillä yksi johtava alkio löytyy sarakkeesta kaksi. Rivillä kaksi johtava alkio löytyy sarakeesta 4. Näin ollen vapaita muuttujia ovat muuttujat \(x\) ja \(z\).

Näytä, että \([value]\) on yhtälöryhmän

\[ \left\{\begin{align*} 2x - 3y + 6z &= 14\\ x + y - 2z &= -3 \end{align*}\right. \]

ratkaisu eli

\(2\cdot\) |  | \(-3\cdot\) |  | +\(6\cdot\) |  | = |
 |  | + |  | -\(2\cdot\) |  | = |

ja että \([value]\) on yhtälöryhmän

\[ \left\{\begin{align*} 2x - 3y + 6z &= 0\\ x + y - 2z &= 0 \end{align*}\right. \]

ratkaisu eli

\(2\cdot\) |  | \(-3\cdot\) |  | +\(6\cdot\) |  | = |
 |  | + |  | -\(2\cdot\) |  | = |

Lineaarisen yhtälöryhmän matriisi elementaarisessa vaakariviporrasmuodossa on seuraava. Anna ratkaisuvektori

\(\left[ \begin{array}{ccc|c}{1} & {0} & {0} & {[value]} \\ {0} & {1} & {0} & {[value]} \\ {0} & {0} & {1} & {[value]}\end{array}\right] \) | \(\quad\) | \(\mathbf{x}=\) |
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}{1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {1} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \) | \(\quad\) | \(\mathbf{x}=\) |  | \(\, + \,\) |  | \(\, t\)
Feedback: Mallivastaus: \(\left[ \begin{array}{ccc|c}{1} & {0} & {0} & {[value]} \\ {0} & {1} & {0} & {[value]} \\ {0} & {0} & {1} & {[value]}\end{array}\right] \quad \mathbf{x} = [value] \) \(\left[ \begin{array}{ccc|c}{1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {1} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \quad \mathbf{x}=[value]\, + \, [value]\, t\) Yksittäisratkaisu saadaan asettamalla vapaan muuttujan arvoksi nolla. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan asettamalla vapaan muuttujan arvoksi yksi ja muuttamalla lukujen \(1\) ja \(2\) etumerkit.

Tarkastellaan yhtälöryhmää \[\left\{\begin{align*} x-2y+z &= 0 \\ 2y-8z &= 8 \\ -4x+5y+9z &= -9 \end{align*}\right.\]

Tee samat operaatiot kuin lineaarista yhtälöryhmää ratkaistaessa ja täytä matriisit.

Mieti mitä teet, miksi teet ja miksi saat tehdä.

 | \(\large [value]\)
\(\large \xrightarrow{R_3+4R_1}\) |
\(\large \xrightarrow{\frac{1}{2}R_2}\) |
\(\large \xrightarrow{R_3+3R_2}\) |
\(\large \xrightarrow{R_1-R_3 \text{ ja } R_2+4R_3}\) |
\(\large \xrightarrow{R_1+2R_2}\) |

Jolloin alkuperäinen yhtälöryhmä on ekvivalentti yhtälöryhmän \[\left\{\begin{align*} x &= [value] \\ y &= [value] \\ z &= [value] \end{align*}\right.\] kanssa,

ja yhtälöryhmän ratkaisu on

\(\mathbf{x}=\) |  | .
Feedback: Malliratkaisu: | \([value]\) \(\large \xrightarrow{R_3+4R_1}\) | [value] \(\large \xrightarrow{\frac{1}{2}R_2}\) | [value] \(\large \xrightarrow{R_3+3R_2}\) | [value] \(\large \xrightarrow{R_1-R_3 \text{ ja } R_2+4R_3}\) | [value] \(\large \xrightarrow{R_1+2R_2}\) | [value] Jolloin alkuperäinen yhtälöryhmä on ekvivalentti yhtälöryhmän \[\left\{\begin{align*} x &= [value] \\ y &= [value] \\ z &= [value] \end{align*}\right.\] kanssa, ja yhtälöryhmän ratkaisu on \(\mathbf{x}=\) | [value] | .

Olkoon \(\vec{v}_1 = ([value],[value],[value]), \vec{v}_2 = ([value],[value],[value])\) ja \( \vec{v}_3 = ([value],[value],[value])\). Olkoon lisäksi \(\vec{w} = ([value],[value],[value])\).

Esitä vektori \(\vec{w}\) vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa.

Vihje: Muodosta ensin yhtälö kuvaamaan tehtävänannon tilannetta. Vastaako yhtälöä yhtälöryhmä? Pystytkö ratkaisemaan yhtälön skalaarikertoimien arvot?

Ohje: Kirjoita vastauksessa esimerkiksi skalaariluvulla 2 kerrottu vektori \(\vec{v}_1\) muodossa 2*v1, skalaariluvulla 3 kerrottu vektori \(\vec{v}_2\) muodossa 3*v2, jne. Näiden summa kirjoitettaisiin kenttään 2*v1+3*v2, jne.

Vastaus: \(\vec{w}=\)
Feedback: Ratkaisu Tässä tehtävässä on lopulta kyse lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta. Noudatetaan vihjettä, ja muodostetaan yhtälö. Halutaan että joillakin reaaliluvuilla \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) pätee \(x_1 \cdot \vec{v}_1 + x_2 \cdot \vec{v}_2 + x_3 \cdot \vec{v}_3 = \vec{w}\). Vektoriyhtälöstä voidaan muodostaa yhtälöryhmä, jota vastaa seuraava matriisi: [value]. Saamme vastauksen yhtälöryhmällä muuntamalla ja redusoituun porrasmuotoon Gaussin-Jordainin eliminointimenetelmällä: [value]. Vastaukset voidaan lukea redusoidun matriisin oikeimmanpuolisesta sarakkeesta. Saadaan siis \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 = [value]\). Näin ollen vektori \(\vec{w}\) voidaan esittää muiden vektorien lineaarikombinaationa seuraavasti \(\vec{w} = [value] \cdot \vec{v_1} + [value] \cdot \vec{v_2} + [value] \cdot \vec{v_3}\). Tämä syötettäisiin tehtävän vastausruutuun näin: \([value]*v1+[value]*v2+[value]*v3\)