Title: Murtopotenssin derivaatta

Absurdistanin pankki antaa Liisa-Petterin talletukselle [value] % koron. Liisa-Petteri sijoittaa sinne [value] €. Tohmajärven sikasijoitukset lupaa talletukselle [value] % tuoton. Sinne Liisa-Petteri sijoittaa [value] €. Kuinka kauan kestää, että molemmissa paikoissa on saman verran rahaa? Anna vastaus vuoden tarkkuudella.
Feedback: Absurdistan +[value] % vastaava kerroin [value] Tohmajärvi +[value] % vastaava kerroin [value] Saadaan yhtälö \([value]^x\cdot[value]=[value]^x\cdot[value]\qquad||ln()\) \(ln([value]^x\cdot[value])=ln([value]^x\cdot[value])\) \(ln([value]^x)+ln([value])=ln([value]^x)+ln([value])\) \(x\cdot ln([value])+ln([value])=x\cdot ln([value])+ln([value])\) \(x\cdot ln([value])-x\cdot ln([value])=ln([value])-ln([value])\) \(x(ln([value])-ln([value]))=ln([value])-ln([value])\qquad||:(ln([value])-ln([value]))\) \(x=\dfrac{ln([value])-ln([value])}{ln([value])-ln([value])}\) \(x\approx[value]\approx[value]\)

Derivoi

\(\dfrac{[value]^[value]}{[value]^[value]}\)=
Feedback: Sievennetään lauseke \(\dfrac{[value]^[value]}{[value]^[value]}=[value]^{[value]-[value]}=[value]\) Derivoidaan \(D([value])=[value]\) VAKION DERIVAATTA ON AINA 0

Derivoi

\([value](x^[value])^[value]\)=
Feedback: Sievennetään lauseke \([value](x^[value])^[value]=[value]x^{[value]\cdot[value]}=[value]\) Derivoidaan \(D([value])=[value]\)

Puoliympyrän sisälle piirretään pinta-alaltaan mahdollisimman suuri suorakulmio. Mikä on suorakulmion pinta-ala, kun puoliympyrän säde on [value]?
Feedback: [Image] Kuvion merkinnöillä \(A=2xh\) ja \(h=\sqrt{[value]^2-x^2}\) Saadaan funktio pinta-alalle \(A(x)=2x\sqrt{[value]^2-x^2}\) Derivoidaan \(A'(x)=2\cdot\sqrt{[value]^2-x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-2x\cdot2x}{\sqrt{[value]^2-x^2}}\) \(A'(x)=\dfrac{2([value]^2-x^2)-2x^2}{\sqrt{[value]^2-x^2}}\) Nollakohdat osoittajasta \(2([value]^2-x^2)-2x^2=0\) \(-4x^2+[value]=0\) \(\rightarrow\) \(x=\pm[value]\), kelpaa vain \(x=[value]\) Derivaatan nimittäjä on aina positiivinen, joten merkin määrää osoittaja, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta positiivinen ennen nollakohtaa \(x=[value]\) ja negatiivinen sen jälkeen. Kyseessä on siis maksimikohta. Pinta-ala \(A([value])=2\cdot[value]\cdot\sqrt{[value]^2-[value]^2}=[value]\)

Sievennä

\(([value]^[value])^[value]\)=
Feedback: Potenssin potenssi, eksponentit kerrotaan keskenään \(([value]^[value])^[value]=[value]^{[value]\cdot[value]}=[value]\)

Laske

\(([value]^[value])^[value]\)=
Feedback: Potenssin potenssi, eksponentit kerrotaan keskenään \(([value]^[value])^[value]=[value]^{[value]\cdot[value]}=[value]\)

Laske

\(\dfrac{[value]^[value]}{[value]^[value]}\)=
Feedback: Samankantaisten potenssien 0samäärässä eksponentit vähennetään toisistaan \(\dfrac{[value]^[value]}{[value]^[value]}=[value]^{[value]-[value]}=[value]\)

Laske

\([value]^[value]\cdot[value]^[value]\)=
Feedback: Samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen \([value]^[value]\cdot[value]^[value]=[value]^{[value]+[value]}=[value]\)

Liisa-Petteri oli lenkillä, kun hänelle tuli hirveä vessahätä. Vessan lyhin etäisyys tiestä on [value] metriä ja tähän kohtaan tietä pitkin Liisa-Petterillä on matkaa [value] metriä. Tietä pitkin Liisa-Petteri juoksee [value] km/h ja metsässä [value] km/h. Kuinka hänen tulisi valita reitti, että hän pääsisi mahdollisimman nopeasti vessaan? Anna vastaus kymmenen metrin tarkkuudella kilometreissä.

[Image]

Tietä pitkin kilometriä
Feedback: Muutetaan matkat kilometreiksi. Talon etäisyys tiestä [value] km ja tietä pitkin [value] km Merkitään tietä pitkin kuljettua matkaa kirjaimella \(x\), jolloin metsässä kuljettu matka on \(\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}\) Määrittelyehto \(0<x<[value]\) \(aika=\dfrac{matka}{nopeus}\) Saadaan funktio \(t(x)=[value]\) Derivoidaan \(t'(x)=\dfrac{1}[value]+\dfrac{2x-[value]}{[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}}\) \(t'(x)=\dfrac{[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}}{[value]\cdot[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}}+\dfrac{[value](2x-[value])}{[value]\cdot[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}}\) \(t'(x)=\dfrac{[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}+[value](2x-[value])}{[value]\cdot[value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}}\) Nollakohta saadaan osoittajan nollakohdasta \([value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}+[value](2x-[value])=0\) \([value]\cdot\sqrt{([value]-x)^2+[value]^2}=-[value](2x-[value])\qquad||()^2\) Molemmat puolet positiivisia, koska \(0<x<[value]\) \([value]\cdot(([value]-x)^2+[value]^2)=([value]-[value]x)^2\) \([value]=0\) Josta ratkaistuna \([value]\) \(x\approx[value]\) tai \(x\approx[value]\) Näistä kelpaa vain \(x\approx[value]\) Derivaatassa nimittäjä on aina positiivinen, joten osoittaja määrää merkin. Ennen nollakohtaa \(x=[value]\), osoittaja on negatiivinen ja nollakohdan jälkeen positiivinen. Tässä kohdassa on siis minimikohta. Liisa-Petterin kannattaa juosta siis [value] kilometriä tietä pitkin ja sitten loput metsässä.

Derivoi

\(\dfrac{x^[value]}{x^[value]}\)=
Feedback: Sievennetään lauseke \(\dfrac{x^[value]}{x^[value]}=x^{[value]-[value]}=[value]\) Derivoidaan \(D([value])=[value]\)

Derivoi

\([value]x^[value]\cdot x^[value]\)=
Feedback: Sievennetään lauseke \([value]x^[value]\cdot x^[value]=[value]x^{[value]+[value]}=[value]\) Derivoidaan \(D([value])=[value]\)

Derivoi

\(x^[value]\cdot x^[value]\)=
Feedback: Sievennetään lauseke \(x^[value]\cdot x^[value]=x^{[value]+[value]}=[value]\) Derivoidaan \(D([value])=[value]\)