Title: Kolmostentin uudet kysymykset

Etsi alla olevan luvun \(z\) kaikki kolmannet neljännet kuudennet juuret kompleksilukujen joukossa ja esitä ne muodossa \( a+bi\).

\[\qquad z=[value]\]

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Olkoon \(f(x)=e^{[value]x}\) ja \(M_f=[1,\infty)\) ja olkoon \(g(x)=\ln(x+[value])\) ja \(M_g=[[value],\infty) \).

Ohjeita vastausten kirjoittamiseen: Muista laittaa kertomerkki kaikkiin kohtiin, joissa kerrotaan. Jakoviiva on /, eksponenttifunktio \(e^x\) on joko \(\mathtt{e}\)^\(\mathtt{x}\) tai \(\mathtt{exp(x)}\), luonnollinen logaritmi \(\ln{x}\) on joko \(\mathtt{ln(x)}\) tai \(\mathtt{log(x)}\). Muista käyttää sulkuja ja huomaa erityisesti, että \(\mathtt{e}\)^\(\mathtt{k\!*\!x}=e^k x\). Määrittelyjoukoista kirjoitetaan vain välin alkupiste.

(a) Määritä funktion \(f^{-1}\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{f^{-1}}\) ottaen huomioon funktion \(f\) määrittelyjoukon \(M_f\). Käytä lausekkeessa muuttujaa \(x\).

\(f^{-1}(x)=\) ,
\(M_{f^{-1}}=[\) ,\(\infty ) \)

(b) Määritä funktion \(f\circ g\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{f\circ g}\) ottaen huomioon funktioiden \(f\) ja \(g\) määrittelyjoukot \(M_f\) ja \(M_g\). Kirjoita kohdan (b) lauseke sellaiseen muotoon, jossa ei esiinny logaritmia. Siis merkkijonot \(\mathtt{log}\) ja \(\mathtt{ln}\) ovat vastauksessa kiellettyjä.

\((f\circ g)(x)=\) ,
\(M_{f\circ g}=[\) ,\(\infty )\)

(c) Määritä funktion \(g\circ f\) lauseke sekä laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_{g\circ f}\) ottaen huomioon funktioiden \(f\) ja \(g\) määrittelyjoukot \(M_f\) ja \(M_g\).

\((g\circ f)(x)=\) ,
\(M_{g\circ f}=[\) ,\(\infty )\)

(a) Tarkastellaan joukkoja

\[A=\{a \in \mathbb{Z} \ | \ a+[value]=[value]n \ \text{jollakin} \ n\in\mathbb{Z} \} \]

ja

\[ B=\{[value]k \ | \ k\in\mathbb{Z}\}\]

Osoita, että \(A\subseteq B\).

(b) Derivoi funktio \(f(x)=[value]\) määritelmän mukaan eli laskemalla erotusosamäärän raja-arvo.

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Valitse seuraavista väli, jolla funktio

\[\displaystyle f(x)=[value] \]

on vähenevä.

Valitse lisäksi väli, jolla \(f\) on aidosti kasvava.