Title: Kompleksilukujen kokonaisuus

Kysymysteksti

Aiemmissa opinnoissa olet todennäköisesti suorittanut laskutoimituksia reaaliluvuilla ja sitä pienemmillä lukujoukoilla. Kyseiset lukujoukot eivät vielä riitä ratkaisemaan kaikkia matematiikan sovelluksia. Laskennalliseksi apuvälineeksi tarvitaan siis kompleksilukuja.

Kompleksilukuja hyödynnetään esimerkiksi sähkötekniikassa vaihtovirtapiirien mallintamisessa, signaalinkäsittelyssä ja säätötekniikassa. Lisäksi fluidien virtausta,  sähkömagneettisia aaltoja ja lämmön siirtymista voidaan mallintaa kompleksilukujen avulla. Myös fysiikan luonnonlakien mukaisissa yhtälöissä voi esiintyä kompleksilukuja.

Mallinnettavat suureet muuttuvat jonkin suureen, esimerkiksi ajan, funktiona kyseisellä tarkasteluvälillä. Tällöin apuna käytetään differentiaaliyhtälöitä (yhtälöitä, joissa esiintyy tuntemattomana funktio ja sen derivaattoja). Kaikille differentiaaliyhtälöille ei löydetä ratkaisua reaalilukujen joukosta, mutta kompleksiluvuilla ratkaisu on olemassa.

Samaan ongelmaan törmätään jo toisen asteen yhtälöillä. Reaaliluvuilla toisen asteen yhtälölle voidaan löytää joko 0, 1 tai 2 ratkaisua.

Edellä huomattiin, että yhtälöllä \( x^2+1=0 \) on kaksi kompleksilukuratkaisua \( i \) ja \( -i \).

Siirry materiaalin seuraavaan osaan ja ota selvää kompleksilukujen ominaisuuksista!

Klikkaa ensin "Lopeta tentti".

Ratkaise yhtälö \( x^2-2x-3=0 \) käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Anna ratkaisut suuruusjärjestyksessä alla oleviin vastauslaatikoihin.

\(x=\) tai \(x=\)
Feedback: Ratkaisu Ratkaistaan yhtälö \( x^2-2x-3=0 \) käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa \(x^2-2x-3=0 \Longleftrightarrow x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}=\begin{cases} -1\\ 3 \end{cases} \).

Q: Yhtälöllä \( x^2+1=0\) ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa samasta syystä kuin edellisen tehtävän yhtälöllä. Onko kompleksiluku \( i \) yhtälön ratkaisu, jos sille on voimassa, että \(i^2=-1\) ?

Testaa sijoittamalla \( i \) muuttujan \( x \) paikalle ja sieventämällä normaalisti.
- Kyllä, sillä \( -1+1=0 \).
- Ei, sillä \( 1+1=0 \).
A: Kyllä, sillä \( -1+1=0 \).
If right: Hienoa! Sijoittamalla imaginääriyksikön \( i \) muuttujan \( x \) paikalle yhtälö \( x^2+1=0\) saadaan muotoon \( i^2+1=0\). Koska \( i^2=-1\), niin yhtälö saa muodon \( -1+1=0\) eli \( 0=0\), mikä pitää paikkansa. Näin ollen kompleksiluku \( i \) on yhtälön ratkaisu.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Mieti etumerkkiä uudelleen. Arvoa \( i^2=-1\) ei tule enää korottaa toiseen potenssiin yhtälöön sijoitettaessa.
Feedback: Ratkaisu Sijoittamalla imaginääriyksikön \( i \) muuttujan \( x \) paikalle yhtälö \( x^2+1=0\) saadaan muotoon \( i^2+1=0\). Koska \( i^2=-1\), niin yhtälö saa muodon \( -1+1=0\) eli \( 0=0\), mikä pitää paikkansa. Näin ollen kompleksiluku \( i \) on yhtälön ratkaisu.

Q: Yritä ratkaista yhtälöä \( x^2-2x+2=0 \) käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Miksi yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa?
- Neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku.
- Diskriminantti on negatiivinen.
- Neliöjuuri on määritelty vain ei-negatiivisilla luvuilla.
A: Neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku.; Diskriminantti on negatiivinen.; Neliöjuuri on määritelty vain ei-negatiivisilla luvuilla.
If right: Hienoa! Neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku, jolloin se ei ole määritelty. Neliöjuuren alla olevaa osaa kutsutaan diskriminantiksi.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein. Yritä uudelleen.
If wrong: Vastauksesi on väärin. Yritä uudelleen.
Feedback: Ratkaisu Kun yhtälöä \( x^2-2x+2=0 \) yrittää ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, diskriminantiksi juuren alle tulee negatiivinen luku, joten yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua, sillä neliöjuuri on määritelty vain ei-negatiivisilla luvuilla. \( x^2-2x+2=0 \Longleftarrow x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\)

Laajennettaessa lukujoukkoa kompleksilukuihin toisen asteen yhtälölle löytyy aina 2 ratkaisua. Näin käy myös yhtälölle \( x^2-2x+2=0 \). Palataan tämän yhtälön ratkaisuun uudelleen myöhemmin, kun kompleksilukujen ominaisuudet ovat hallussa.

Tarkastetaan vielä seuraavassa tehtävässä, että kompleksiluvuista on hyötyä yhtälön ratkaisun löytämisessä.

Q: Pisteet tehtävästä 1 sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista yhteensä

(Tehtävästä maksimissaan 5 pistettä sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista 1 piste)
- 0 pistettä (tehtävä tekemättä ja malliratkaisu lukematta)
- 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu)
- 2 pistettä
- 3 pistettä
- 4 pistettä
- 5 pistettä
- 6 pistettä
A: 6 pistettä
Partly right: 5 pistettä (83%); 4 pistettä (67%); 3 pistettä (50%); 2 pistettä (33%); 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu) (17%)

Itsearviointiohjeet

Kun olet palauttanut syventävät tehtävät, saat näkyville tehtävien malliratkaisut ja pisteytysohjeet.

Lue malliratkaisu huolellisesti läpi. Vertaa malliratkaisua omaan tehtävääsi ja pohdi ratkaisun oikeellisuutta. Huomaa, että jotkin tehtävät voi ratkaista myös eri tavoin kuin malliratkaisussa on esitetty. Tämän jälkeen pisteytä tehtävän pisteytysohjeen mukaisesti.

- Malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnin tekemisestä saat 1 pisteen.
- Jokainen tehtävä arvioidaan asteikolla 0-5 pistettä. Jos jonkin tehtävän kokonaispistemäärä ei ole kokonaisluku, pyöristetään se ylöspäin seuraavaan kokonaislukuun.
- Yhdestä tehtävästä voi siis saada yhteensä 6 pistettä, kun lukee malliratkaisun ja tekee itsearvioinnin.
- Pisteytysohjeet eivät paneudu yksityiskohtiin, joten käytä omaa harkintaasi tulkinnanvaraisissa tilanteissa. Anna pisteitä sen mukaan, mikä tuntuu oikeudenmukaiselta.
- Voit kysyä ohjeita pisteytykseen myös opettajalta.

Tässä tehtävässä riittää, että syötät vastauksen vastauskenttään.

Tee kuitenkin välivaiheita jollakin ohjelmistolla virheiden välttämiseksi.

a) Laske seuraavat kompleksilukujen laskutoimitukset, kun \(z_1= [value]\) ja \(z_2=[value]\).

\(z_1+\overline{z_2}=\,\)

\(z_1z_2=\, \)

b) Muunna kompleksiluku \(z_3=[value]\) napakoordinaattiesityksen eksponenttimuotoon \(z_3=r e^{i\theta}\).

Valitse vaihekulma väliltä \([-\pi,\pi ]\). Neliöjuuren saat tarvittaessa komennolla \(sqrt(x)\) ja luvun \(\pi\) kirjoittamalla \(\text{pi}\).

\(z_3=\,\) \(\cdot \exp(i\cdot \) \()\)

c) Ratkaise kompleksiluku \(z\) ja sen kaikki kolmannet juuret, kun yksi kolmas juuri on \(w_0=\sqrt[3]{[value]}e^{i[value]}\).

Juuren \(\sqrt[n]{x}\) voit kirjoittaa vastaukseen potenssimuodossa \(\text{x^(1/n)}\). Käytä vain positiivisia vaihekulman arvoja.

\(z=\,\) \(\cdot \exp(i\cdot \) \()\)

\(w_0=\sqrt[3]{[value]}e^{i[value]}\)

\(w_1=\,\) \(\cdot \exp(i\cdot \) \()\)

\(w_2=\,\) \(\cdot \exp(i\cdot \) \()\)
Feedback: Tehtävän pisteytys, kun tehtävän kokonaispistemäärä on 6 p: a) Summa 0,75 p ja tulo 0,75 p b) Napakoordinaattiesityksen itseisarvo 1 p ja vaihekulma 1p c) Alkuperäisen kompleksiluvun itseisarvo 0,5 p ja vaihekulma 0,5 p. Juurien itseisarvot 2*0,25 p ja vaihekulmat 2*0,5 p