Title: IMA1 (viikko 2) muut

Merkintä "\(\circ\)" tarkoittaa funktioiden yhdistettä. Esimerkiksi \(f\circ g\) on funktio, joka on funktioiden \(g\) ja \(f\) yhdiste. Täsmällinen määritelmä löytyy kurssimateriaalin luvun 5.6 alusta.

Tarkastellaan funktioita \(f \colon \mathbb{R} \to [[value], \infty [ \) ja \( g \colon [[value], \infty [ \to \mathbb{R} \), joilla \( f(x) = [value]x^2 + [value] \) ja \( g(x) = \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \). Laske.

a) \( (g \circ f)(-3) = \)

b) \( (f \circ g)([value]) =\)

Määritä yhdistettyjen funktioiden \( f \circ g \) ja \( g \circ f \) lausekkeet. Itseisarvon saat komennolla abs(). Esimerkiksi \(|a|\) kirjoitettaisiin muodossa abs(a).

c) \( (f \circ g)(x) =\)

d) \( (g \circ f)(x) =\)

Lue käänteiskuvauksen määritelmä luvusta 5.7. Ovatko \( f \) ja \( g \) toistensa käänteiskuvauksia?

e)
Feedback: a) \( (g \circ f)(-3) =g(f(-3))= 3 \) b) \( (f \circ g)([value]) =f(g([value]))= [value]\) Sievennettäessä yhdistettyjen funktioiden lausekkeita on syytä muistaa, että \( (\sqrt{x})^2= x \), mutta \( \sqrt{x^2} =|x|\). c) \( (f \circ g)(x) =f(g(x))=f\left( \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \right) = [value]\left( \sqrt{ \frac{x-[value]}{[value]}} \right)^2+ [value]=[value] \cdot \frac{x-[value]}{[value]}+ [value]=x\) d) \( (g \circ f)(x) =g(f(x))=g([value]x^2 + [value])=\sqrt{ \frac{[value]x^2 + [value] -[value]}{[value]}}=\sqrt{x^2} =|x|\) e) Funktiot \(f\) ja \(g\) eivät ole toistensa käänteisfunktioita, koska \(g \circ f \neq \text{id}_{\mathbb{R}}\).

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Kuulan halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske kuulan tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{dr}\cdot\Delta r = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Kuulan tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Pallon halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske pallon tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{dr}\cdot\Delta r = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Pallon tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).

Osoita vastaesimerkillä, että väite "jos \(A \cup C = B \cup C\), niin \(A = B\)" ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)
Feedback: Esimerkiksi \(A = [value]\), \(B = [value]\) ja \(C = [value]\). Tällöin \(A \cup C = \{1,2\} = B \cup C\), mutta selvästi \(A \neq B\).

Aloita kurssimateriaalin lukuun 1.6 tutustuminen. Palauta lisäksi mieleen vastaesimerkin käyttö todistuksissa.

Oletetaan, että \(A, B\) ja \(C\) ovat joukkoja.

Anna esimerkki joukoista \(A, B\) ja \(C\), joilla väite \( (A \setminus B) \cap C = A \setminus (B \cap C) \) ei päde.

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

Tällöin

a) \( (A \setminus B) \cap C = \)

ja

b) \( A \setminus (B \cap C) = \)
Feedback: Esimerkiksi seuraavat joukot käyvät vastaesimerkiksi: \(A = B = \{1\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \( (A \setminus B) \cap C = \emptyset \cap \{2\} = \emptyset \), mutta \(A \setminus (B \cap C) = \{1\} \setminus \emptyset = \{1\}\).

Kun halutaan todistaa, että jokin väite ei päde kaikilla alkioilla tai joukoilla, käytetään vastaesimerkkiä. Anna tässä tehtävässä vastaesimerkkeinä joukkoja, joissa yksittäiset alkiot ovat pilkuilla eroteltuina aaltosuluissa, esim. {0,1,2}.

Tarkastellaan väitettä "jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \not\subset C\)".

a) Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

b) Väitteen negaatio on

i. jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \subset C\)

ii. jos \(A \subset C\), niin \(A \not\subset B\) ja \(B \subset C\)

iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\)

c) Anna esimerkki, joka osoittaa, että myöskään väitteen negaatio ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B  = \)

\(C = \)
Feedback: a) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{1\}\). Nyt \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), mutta \(A \subset C\). Itse asiassa tässä esimerkissä \(A = C\), mutta se ei ole välttämätöntä. b) iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\). (Väitteen \(p_1 \rightarrow p_2\) negaatio on \(p_1 \land \neg p_2\).) c) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \(A \not\subset C\), koska \(1 \notin C\). Siis väitteen negaatio on epätosi.

Kun halutaan todistaa, että jokin väite ei päde kaikilla alkioilla tai joukoilla, käytetään vastaesimerkkiä. Vastaesimerkin esittäminen on kenties yksinkertaisin todistustekniikka. Siitä kerrotaan tarkemmin kurssimateriaalin luvussa 3.1.

Tarkastellaan väitettä "jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \not\subset C\)".

a) Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

b) Väitteen negaatio on

i. jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \subset C\)

ii. jos \(A \subset C\), niin \(A \not\subset B\) ja \(B \subset C\)

iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\)

c) Anna esimerkki, joka osoittaa, että myöskään väitteen negaatio ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B  = \)

\(C = \)
Feedback: a) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{1\}\). Nyt \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), mutta \(A \subset C\). Itse asiassa tässä esimerkissä \(A = C\), mutta se ei ole välttämätöntä. b) iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\). (Väitteen \(p_1 \rightarrow p_2\) negaatio on \(p_1 \land \neg p_2\).) c) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \(A \not\subset C\), koska \(1 \notin C\). Siis väitteen negaatio on epätosi.

Esitä annettu joukko Vennin kaaviona. Kuvassa kolme joukkoa jakavat perusjoukon kahdeksaan erilliseen osaan, jotka on numeroitu.
Kirjoita vastauslaatikkoon, mitkä numeroiduista alueista väritetään Vennin kaavioon.
Anna väritettävien alueiden numerot kasvavaan järjestykseen kirjoitettuna listana hakasuluissa, esim. joukon \(A\) esitys on [2,3,5,6].
Käytä hakasulkuja myös silloin, kun väritetään vain yhden numeron alue.

\([value]\) |
\([value]\) |

Olkoon \(z = re^{i\theta}\) (napakoordinaattiesityksen) eksponenttimuodossa oleva kompleksiluku. Vastaa kysymyksiin. Vain kahdessa kohdassa vastaus on pelkkä lukuarvo, muut vastaukset sisältävät vähintään yhden muuttujista \(r\) ja \(\theta\). Huom. \(\pi = \) pi, \(\theta = \) theta.

(a) Kuinka monta (oleellisesti) erilaista [value]:ttä :tta juurta on luvulla \(z\)?
Niitä on kpl.

(b) Millä etäisyydellä origosta sijaitsevat kaikki luvun \(z\) [value]:nnet juuret?
Etäisyydellä

(c) Missä kulmassa ovat toisiinsa nähden mitkä tahansa kaksi vierekkäistä (kierrettäessä origoa joko myötä- tai vastapäivään) luvun \(z\) [value]:ttä :tta juurta?
Kulmassa

(d) Kompleksiluvulle \(z=re^{i\theta}\) saa yhden [value]:nnen juuren samoin kuin reaaliluvuille eli potenssiin \(\frac{1}{[value]}\) korotuksen avulla. Mikä on tällä tavalla saadun [value]:nnen juuren argumentti?
Argumentti on

(e) Mikä on kohdan d) argumenttiasi vastaava \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

(f) Mikä on kohdan e) vastaukseksi antamasi [value]:nnen juuren vieressä vastapäivään seuraavana sijaitseva \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

a) Yhdensuuntaisille kolmioille

pätee \(\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Mitkä ovat seuraavassa kuvassa \(a,b\) ja \(d\), kun \(\displaystyle \theta = \displaystyle [value]\)?

Huom! Anna kaikki vastauksesi tarkkana arvona, ei liukulukuna. \(\sqrt{x}= \mathtt{sqrt(x)}\)

Mallikuvassa esiintyvä kulma ei ole sama, joka tehtävässä on käsittelyssä.

\(a = \,\) | \(b = \,\) | \(d = \,\)

b) Origokeskisen ympyrän säde on positiivisen \(x\)-akselin kanssa kulmassa \(\phi\), josta tiedetään, että

\([value]<0\) ja \([value]<0\).

Missä neljänneksessä säde sijaitsee?

Piirrä itseäsi varten seuraavan funktion kuvaaja.

\[f(x)= \left\{\begin{alignat*}{3} [value] &, \text{ kun } &-3&\leq x < -1 \\ [value] &, \text{ kun } &-1&\leq x < 1 \\ [value] &, \text{ kun } &1&\leq x \leq 3 \end{alignat*}\right.\]

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

Funktio \(f\) on jatkuva.

Funktio \(f\) on monotoninen.

Funktio \(f\) on aidosti monotoninen.

Funktio \(f\) on kääntyvä (eli on olemassa käänteisfunktio).

Valitse lisäksi kaikki oikeat vaihtoehdot seuraaviin väitteisiin

Välillä \(x\in [-3,-1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [-1,1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [1,3]\) funktio \(f\) on

Yhdistä seuraavista kuvista toisiinsa funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat. Huomaa, että osa kuvaajista esittää sellaista funktiota, joka on itsensä käänteisfunktio.

Huom! Tehtävä kannattaa tehdä käyttäen jotain muuta kuin mobiililaitetta, tai ainakin yrittäen välttää kuvien kohdalle koskemista, joka voi ainakin puhelinten ruuduilla olla hankalaa. Mobiililaitteiden selaimissa kuvia voi kosketettaessa oletusarvoisesti liikutella ja skaalata, kun taas perinteisempien tietokoneiden selaimissa kuvat ovat oletusarvoisesti staattisia. Kuvien liikuttelu hankaloittaa tehtävää, sillä kuvissa esiintyvät funktioiden kuvaajat on tarkoituksellisesti piirretty vain siltä osalta, jolla kuva on suunniteltu näkymään.

\(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_4\)
\(f_5\) | \(f_6\) | \(f_7\) | \(f_8\)
\(f_9\) | \(f_{10}\) | \(f_{11}\) | \(f_{12}\)
\(f_{13}\) | \(f_{14}\) | \(f_{15}\) | \(f_{16}\)

Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_5\) |
\(f_6\) |
\(f_7\) |
\(f_8\) |
Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_9\) |
\(f_{10}\) |
\(f_{11}\) |
\(f_{12}\) |
\(f_{13}\) |
\(f_{14}\) |
\(f_{15}\) |
\(f_{16}\) |

Päättele, onko funktio parillinen, pariton vai ei kumpikaan. Huomaa, että monen tehtävässä esiintyvän funktion kuvaaja löytyy kurssimonisteesta, ja muiden piirtämiseen on internetissä tarjolla apukeinoja.

a) | \(f(x) = [value]\) |
b) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |
c) | \(f(x) = \arcsin(x) \arccos(x) \arctan(x) [value]\) |
d) | \(f(x) = \,\)\(e^x\) \(\ln(x)\) \([value]^x\) \(\log_{[value]}(x)\) |
e) | \(f(x) = \mathrm{arsinh}(x) \mathrm{arcosh}(x) \mathrm{artanh}(x) [value]\) |
f) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |

Tunnista onko funktio jatkuva (koko \(\mathbb{R}\):ssä) vai epäjatkuva, ja jos epäjatkuva, onko kyseessä hyppäysepäjatkuvuus, poistuva epäjatkuvuus vai epäjatkuvuus äärettömän takia.

Hyppäysepäjatkuvuus = toispuoleiset raja-arvot ovat kaksi eri reaalilukua

Poistuva epäjatkuvuus = sievennetty/supistettu lauseke on jatkuva

Epäjatkuvuus äärettoman takia = yhdessä tai useammassa pisteessä vähintään toinen pisteen toispuoleisista raja-arvoista ei ole äärellinen, silloin kun ei ole kyseessä poistuva epäjatkuvuus.

(a) | \(\displaystyle f(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
(b) | \(\displaystyle f(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
(c) | \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |

Laske raja-arvo käyttäen laskusääntöjä. Sen jälkeen täydennä epsilon-delta-todistus todistamaan, että raja-arvo on se, mihin päädyit.

Vihje: Todistusta ei voi tehdä ennen kuin on saanut selville, millä tavalla luvut \(\epsilon\) ja \(\delta\) ovat yhteydessä toisiinsa. Aiheesta on videoesimerkki Moodlessa.

\[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value]x- +[value] =\] \[ = L. \]

Todistus. Olkoon \(\epsilon>0\). Valitaan \(\delta=\frac{\epsilon}{c}\), missä

\(c=\)

Tällöin \(\delta>0\). Kun

\( 0< \big| \) \( \big| < \frac{\epsilon}{c} \),

niin

\( \big| \) \( \big| < \epsilon \),

jolloin

\( \big| \big( \) \( \big) -\) \( \big| < \epsilon \).

Näin ollen raja-arvo on \(L\).

(a) Täydennä todistus. Merkitse \(z\):n reaaliosaa \(a\):lla ja imaginääriosaa \(b\):llä. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta \(i\).

\(|z|\) | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{\Big(}\)\(\Big)\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{a^2+(-b)^2}\)
 | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(|\overline{z}|\)

(b) Miten voit tulkita moduleihin liittyvän tiedon \(|z|=|\overline{z}|\)? Valitse vastauksista se, joka on voimassa kaikille \(z\in\mathbb{C}\) eikä vain osalle niistä.

Siten, että kompleksiluku ja sen liittoluku

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kompleksilukujen joukossa. Anna kaikki ratkaisut joukkona aaltosuluissa, esim. {-1,1}. Anna ratkaisu joukkosulkeissa myös siinä tapauksessa, että kyseessä on kaksoisjuuri. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta i.

(a) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut:

(b) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut:

Lisää seuraavaan todistukseen perustelut jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Toisin sanoen päättele mitä tapahtuu siirryttäessä edelliseltä riviltä sille riville, jossa (sillä hetkellä vastattavana oleva) pudotusvalikko sijaitsee. Jokainen listan perusteluista käytetään täsmälleen kerran. Useimmat perusteluista viittaavat johonkin kaavaan tai määritelmään, jotka löytyvät kurssimonisteesta.

\(\sinh\left(\text{arsinh}(x)\right)\)
= | \(\displaystyle \sinh \left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x\sqrt{x^2+1}+x^2+1 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{2x\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(x\) |

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Jokaista perustelua käytetään yhden kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause Jos \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + \sin \theta_1)\) ja \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + \sin \theta_2)\), niin

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Todistus.

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\) | = | \(\displaystyle \frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2+i\sin\theta_2}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2-i(-\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1\cos(-\theta_2)-\sin\theta_1\sin(-\theta_2)) + i(\sin\theta_1\cos(-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)+\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot (\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen niiden yhtäsuuruusmerkkien yhteyteen, joiden kohdalla on vastauslaatikko. Kaksi muuta eli ensimmäinen ja viimeinen yhtäsuuruus johtuvat kompleksiluvun esittämisestä reaali- ja imaginääriosansa avulla. Yhtä perustelua käytetään kahteen kertaan, muita kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause \(e^{-z}=\displaystyle\frac{1}{e^z}\) kaikille \(z\in\mathbb{C}\).

Todistus

\(e^{-z}\) | = | \(e^{-(x+iy)}\) |
 | = | \(e^{-x+i(-y)}\) |
 | = | \(e^{-x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos y -i\sin y)\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y-i\sin y)(\cos y + i\sin y)}{\cos y+ i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y)^2 + (\sin y)^2}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{1}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x(\cos y + i\sin y)}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^{x+iy}}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^z}\) |

Päättele seuraavasta rationaalifunktion \(f(x) = \frac{p(x)}{g(x)}\) kuvaajasta, mitkä kokonaisluvut ovat osoittajapolynomin \(p(x)\) ja mitkä nimittäjäpolynomin \(g(x)\) nollakohdat. Anna nollakohdat hakasulkujen sisällä pilkuilla erotettuna esim. [-1,0,1]. (Käytä sulkuja myös silloin, kun lukuja on vain yksi esim. [2].)

Huom! kuvan alareunassa on navigointipalkki, jonka avulla voit lähentää ja loitontaa kuvaa sekä liikkua eri suuntiin.

Funktion \(p(x)\) nollakohdat:

Funktion \(g(x)\) nollakohdat:

Alla on esitettynä todistus sille, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti kasvava, kun \(a>1\). Yleisesti funktiolle \(f\) aidon kasvavuuden määritelmä on \(y>x \Rightarrow f(y)>f(x)\). Todistuksessa on suurempi kuin -merkkien ja suurempi tai yhtäsuuri kuin -merkkien päällä numeroita. Tehtävänäsi on muuttaa todistusta alimpana esitetyllä tavalla ja numerointi on tehty vain sitä varten.

Tässä todistuksessa on kaksi osaa. Olkoon ensin \(x \in \mathbb{Q}\) siten, että \( x \overset{1}{>} 0\). Merkitään \(x=\frac{m}{n}\), missä \(m,n\in \mathbb{N}\).

Koska \(a^m \overset{2}{\geq} a \overset{3}{>} 1\) ja \(y^{\frac{1}{n}}\) on aidosti kasvava, niin

\[a^x = a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\overset{4}{>}1^{\frac{1}{n}} = 1\].

(Huom. Todistuksen ensimmäisen osan oleellinen osuus on, että jos \(a>1\) ja \(x>0\), niin \(a^x>1\). Tätä tietoa käytetään aputuloksena todistuksen toisessa osassa.)

Olkoon nyt \(x,y\in \mathbb{Q}\) siten, että \( y\overset{5}{>}x\). Silloin \(y-x\overset{6}{>}0\) ja edelleen todistuksen ensimmäisen osan perusteella \(a^{y-x}\overset{7}{>}1\). Näin ollen

\[a^y = a^{x+(y-x)} = a^xa^{y-x}\overset{8}{>}a^x.\]

(Todistuksen jälkimmäinen osa todistaa funktion \(a^x\) aidon kasvavuuden.)

Sinun tehtäväsi on nyt todistaa, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti vähenevä, kun \(0x \Rightarrow f(y)<f(x)\).

Huom. Se, että \(a>0\) ei varsinaisesti tällöin näy todistuksessa. Se vain varmistaa, että eksponenttifunktio on määritelty.

Jos vastaus olisi esimerkiksi, että käännetään suunta merkeille 1,2 ja 3, kirjoita vastausruutuun [1,2,3]. Hakasulut tarvitaan.

Vastaus:

Kurssimonisteessa esitellään muistikolmio, joka on puolikas tasasivuisesta kolmiosta: Eräs versio siitä on piirrettynä alla:

Tämän muistikolmion avulla voidaan laskea kulmien \(\frac{\pi}{6}\) ja \(\frac{\pi}{3}\) sini, kosini ja tangentti. Esim. sini on kulman vastaisen sivun pituus jaettuna hypotenuusalla.

Piirrä itsellesi toinen muistikolmio seuraavilla ohjeilla

- Piirrä yksikköneliö (neliö, jonka sivu on 1)
- Piirrä neliön lävistäjä (vastakkaiset kulmat yhdistävä jana)
- Toinen muistikolmio on kumpi tahansa neliön puolikas

Merkitse nyt uuteen muistikolmioosi (ja samalla tähän tehtävään) neliön sivujen pituuksien lisäksi seuraavat tiedot. Anna tarkkoja arvoja, esim. \(\sqrt{x} = \) sqrt(x) ja \(\pi = \) pi.

Lävistäjän pituus on

Se kulma \(\alpha\) (radiaaneina), jossa lävistäjä ja viereinen sivu ovat.

\(\alpha = \)

Mitä ovat tällöin

\(\sin(\alpha) =\, \)

\(\cos(\alpha) =\, \)

\(\tan(\alpha) =\, \)

Oletetaan, että \(B \neq \emptyset\). Tarkastellaan väitettä "jos \(A \times B \subset B \times C\), niin \(A \subset C\)".

Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\) ilman oletusta \(B \neq \emptyset\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)
Feedback: Valitaan esimerkiksi \(A = \{1\}\), \(B = \emptyset\) ja \(C = \{2\}\). Tällöin \(A \times B \subset B \times C\) pätee muodossa \(\emptyset \subset \emptyset\), mutta selvästi \(A \subset C\) ei päde.