Title: Käänteismatriisi

Olkoon matriisi

\[ \mathrm{A} = [value]. \]

Laske \([value] \cdot \mathrm{A}^{-1}\).

Vihje: Lopputuloksena on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat kokonaislukuja.

\([value] \cdot \mathrm{A}^{-1} =~\) |
Feedback: Mallivastaus: Lasketaan \(\mathrm{A}\):n käänteismatriisi kahdella eri tavalla. Tapa I Lasketaan \(\mathrm{A}\):n käänteismatriisi laskusäännöllä \[ \mathrm{A}^{-1} = \mathrm{B}^{\mathsf{T}}, \] missä matriisin \(\mathrm{B}\) alkiot ovat muotoa \[ b_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot\frac{\det(\mathrm{A}_{ij})}{\det(\mathrm{A})}. \] \begin{eqnarray*} \mathrm{B} & = & \frac{1}{\det(\mathrm{A})} \cdot \left( \begin{array}{ccc} \det(\mathrm{A}_{11}) & -\det(\mathrm{A}_{12}) & \det(\mathrm{A}_{13}) \\ -\det(\mathrm{A}_{21}) & \det(\mathrm{A}_{22}) & -\det(\mathrm{A}_{23}) \\ \det(\mathrm{A}_{31}) & -\det(\mathrm{A}_{32}) & \det(\mathrm{A}_{33}) \end{array} \right) \\ \\ \\ & = & \frac{1}{\det[value]} \cdot \left( \begin{array}{ccc} \det[value] & -\det[value] & \det[value] \\ -\det[value] & \det[value] & -\det[value] \\ \det[value] & -\det[value] & \det[value] \end{array} \right) \\ \\ \\ & = & \frac{1}{[value] \cdot \det[value] - [value] ([value]) \cdot \det[value] + [value] ([value]) \cdot \det[value]} \cdot \left( \begin{array}{ccc} \det[value] & -\det[value] & \det[value] \\ -\det[value] & \det[value] & -\det[value] \\ \det[value] & -\det[value] & \det[value] \end{array} \right) \\ \\ \\ & = & \frac{1}{[value] \cdot ([value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) - [value] + [value] \cdot ([value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) + [value] [value] \cdot ( [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) )} \cdot \left( \begin{array}{ccc} [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) & -( [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) & [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) \\ -( [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) & [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) & -( [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) \\ [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) & -([value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) ) & [value] \cdot [value] ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value]) \end{array} \right) \\ & = & \frac{1}[value] \cdot \left( \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right) \\ \end{eqnarray*} Laskusäännön nojalla \(\mathrm{A}\):n käänteismatriisiksi saadaan \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}[value]\cdot [value]. \] Tehtävän vastaukseksi saadaan \[ [value] \cdot \mathrm{A}^{-1} = \underline{\underline[value]}. \] Tapa II Lasketaan \(\mathrm{A}\):n käänteismatriisi Cayley-Hamiltonin lauseen avulla. Määritelmä: Matriisin \(\mathrm{M}\) karakteristinen polynomi \[ p_M(\lambda) = \det(\lambda \cdot I - \mathrm{M}) = 0. \] Lause: (Cayley-Hamilton) Jokainen neliömatriisi \(\mathrm{M}\) toteuttaa oman karakteristisen polynominsa. \[ p_M(\mathrm{M}) = 0. \] Matriisin \(\mathrm{A}\) karakteristinen yhtälö on \begin{eqnarray*} p_A(\lambda) = \det(\lambda \cdot I - \mathrm{A}) & = & \det[value] \\ & = & [value] \\ \stackrel{\textrm{C-H}}{\Rightarrow} p_A(\mathrm{A}) & = & 0 \\ \Rightarrow [value] \cdot I& = & [value] \qquad || \cdot \mathrm{A}^{-1} \\ [value] \cdot \mathrm{A}^{-1} & = & [value] + [value] - [value] \\ \end{eqnarray*}Sijoitetaan viimeiseen yhtälöön \(\mathrm{A}\). \begin{eqnarray*} [value] \cdot \mathrm{A}^{-1} & = & [value]^2 - [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \\ & = & [value] - [value] + [value] + [value] - [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}Matriisin \(\mathrm{A}\):n käänteismatriisiksi saadaan \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}[value]\cdot [value]. \] Tehtävän ratkaisuksi saadaan \[ [value] \cdot \mathrm{A}^{-1} = \underline{\underline[value]}. \]

Määritä matriisin \( A \) käänteismatriisi Gaussin eliminointimenetelmällä. Huom! Anna matriisin alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \) - älä käytä likiarvoja.

\[ A = [value] \]

Vastaus:
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:}\] Liitetään matriisin \( A \) oikealle puolelle yksikkömatriisi \( I \) ja määritetään näin saadun matriisin redusoitu vaakariviporrasmuoto. Seuraavissa operaatioissa \( R_i \) viittaa \(i\):nteen riviin sen hetkisessä matriisissa. Kertaa Gaussin eliminointimenetelmä eli riviporrasmuodon muodostaminen tarvittaessa luentomonisteesta. Tässä esimerkiksi ensimmäisessä vaiheessa vähennetään matriisin toisesta rivistä \( [value] \cdot [value] \) eli kerrotaan ensimmäinen rivi toisen rivin ensimmäisellä alkiolla ja sitten toisesta rivistä vähennetään tämä rivi \( [value] \cdot [value] \). \[ \begin{align} [A \, | \, I \, ] = &[value] \quad \Large \stackrel{R_2-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize \quad [value] \\ \\ \Large \stackrel{R_3-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{R_3-([value]/[value])R_2}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] \\ \\ \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_2}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_3}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] = [ I \, | \, A^{-1}]. \end{align} \] Käänteismatriisi on siis \[ [value]. \]

Compute the inverse of \[\mathrm{A} = [value]\] using the following formula.

If matrix \(\mathrm{X} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), its inverse \(\mathrm{X}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(\operatorname{X})}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. \)

First compute the determinant of \(\mathrm{A}\).

Lasketaan matriisin \[\mathrm{A} = [value]\] käänteismatriisi suoraan kaavan avulla.

Jos matriisi \(\mathrm{X} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), niin sen käänteismatriisi on \(\mathrm{X}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(\operatorname{X})}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. \)

Laske ensin matriisin \(\mathrm{A}\) determinantti.

\(\mathrm{det}(\mathrm{A})=~\)

Next compute the inverse \(\mathrm{A}^{-1}\).

Laske sitten käänteismatriisi \(\mathrm{A}^{-1}\).
Feedback: Worked solution: First we need to calculate the determinant of \( \mathrm{A} \). The formula for the determinant of a \(2\times 2\) matrix is \[ \operatorname{det}\left( \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \right) = ad-bc .\] Determinant is sometimes also denoted \[ \operatorname{det}\left( \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \right) = \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} .\] Now \[ \operatorname{det}\left(\mathrm{A} \right) = \begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value] \end{vmatrix} = [value] = [value] .\] The determinant is nonzero so the matrix is invertible and we can compute the inverse using the given formula: \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{A})}\begin{bmatrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value]\begin{bmatrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] \] Mallivastaus: Kaavan käyttämistä varten meidän täytyy ensin laskea matriisin \( \mathrm{A} \) determinantti. Determinantti lasketaan 2x2-matriisille kaavalla \[ \operatorname{det}\left( \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \right) = ad-bc .\] Determinanttia merkataan toisinaan myös \[ \operatorname{det}\left( \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \right) = \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} .\] Nyt siis \[ \operatorname{det}\left(\mathrm{A} \right) = \begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value] \end{vmatrix} = [value] = [value] .\] Determinantti on erisuuri kuin nolla, joten tiedämme varmuudella, että matriisi on kääntyvä. Käytettyä kaavaakaan ei olisi määritelty, jos determinantti olisi nolla. Lasketaan nyt käänteismatriisi kaavalla: \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{A})}\begin{bmatrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value]\begin{bmatrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{bmatrix} = [value] \]

Olkoon matriisi

\[
A = [value].
\]

Laske \((s\cdot I - A)^{-1}\), kun \( s\in\mathbb{R}\setminus\{[value],[value]\} \). Anna kaikki polynomit aukilasketussa muodossa eli muodossa \( as^2+bs+c \) muodon \( (s-s_1)(s-s_2) \) sijasta.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Kääntyville \(2\textrm{x}2\) matriiseille pätee \( A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \) Näin ollen \( \begin{eqnarray*} (s\cdot I - A)^{-1} & = & [value]^{-1} \\ & = & \frac{1}[value] \cdot \left( \begin{array}{cc} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{array} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Let Olkoon \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]. \]

Compute \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Compute [value]\((\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}\).
Note that multiplying by [value] in the right place may simplify the calculations. Laske matriisien tulomatriisin käänteismatriisi \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Laske tulo \[[value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}.\]
Mieti, missä vaiheessa on hyvä kertoa annetulla vakiolla [value], koska osa murtolukutermeistä voi supistua pois.

Answer: Vastaus:

\( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} =~\) [value]\((\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: We know that \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{and}\quad\quad \mathrm{B}=[value]\] and we are to compute \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} \] holds if both of the matrices are invertible. The matrix \( \mathrm{A}^{-1} \) is given so we know that \(\mathrm{A}\) is invertible. Let's investigate if \( \mathrm{B} \) is invertible. Form the matrix \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Next we calculate the rref form of \(\mathrm{C}\). Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is \( \mathrm{B}^{-1} \). \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Now we can compute \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} = [value][value] = [value] \] \( [value](\mathrm{AB})^{-1} \). \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} \] holds if both of the matrices are invertible. The matrix \( \mathrm{A}^{-1} \) is given so we know that \(\mathrm{A}\) is invertible. Let's investigate if \( \mathrm{B} \) is invertible. Form the matrix \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Next we calculate the rref form of \(\mathrm{C}\). Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is \( \mathrm{B}^{-1} \). \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Now we can compute \[\begin{array}{rll} [value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = [value]\cdot \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} & = & [value]\cdot [value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\] . Mallivastaus: Tiedämme, että \[ \mathrm{A}^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad \mathrm{B}=[value]\] ja tehtävämme on laskea \( (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} \). Jos molemmat matriisit \(\mathrm{A}\) ja \(\mathrm{B}\) ovat kääntyviä, pätee \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} .\] Tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n, joten tutkitaan mikä \( \mathrm{B}^{-1} \) on tai onko \( \mathrm{B} \) ylipäätään kääntyvä. Muodostetaan matriisi \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Viedään seuraavaksi matriisi \(\mathrm{C}\) rref-muotoon käyttämällä rivioperaatioita. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Voisi vielä tarkistaa, että kyseisen matriisi on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{B}^{-1}\mathrm{B}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{B}\mathrm{B}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tunnemme matriisit \( \mathrm{A}^{-1} \) ja \(\mathrm{B}^{-1}\) voimme laskea \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} = [value][value] = [value] \] \( [value](AB)^{-1} \). Jos molemmat matriisit \(\mathrm{A}\) ja \(\mathrm{B}\) ovat kääntyviä, pätee \[ (\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} .\] Tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n, joten tutkitaan mikä \( \mathrm{B}^{-1} \) on tai onko \( \mathrm{B} \) ylipäätään kääntyvä. Muodostetaan matriisi \( \mathrm{C}=[\mathrm{B}\vert \mathrm{I}] \). \[ \mathrm{C} = [value] \] Viedään seuraavaksi matriisi \(\mathrm{C}\) rref-muotoon käyttämällä rivioperaatioita. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{C}) = [value] = [\mathrm{I}\vert \mathrm{B}^{-1}] \] Voisi vielä tarkistaa, että kyseisen matriisi on \( \mathrm{B} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{B}^{-1}\mathrm{B}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{B}\mathrm{B}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tunnemme matriisit \( \mathrm{A}^{-1} \) ja \(\mathrm{B}^{-1}\) voimme laskea \[\begin{array}{rll} [value](\mathrm{A}\mathrm{B})^{-1} = [value]\cdot \mathrm{B}^{-1}\mathrm{A}^{-1} & = & [value]\cdot [value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\] .

Olkoot matriisi

\[ A = [value] \]

ja vektori

\[ b = [value].\]

Ratkaise yhtälöryhmä \(Ax=b\).

\(x= \)
Feedback: Ratkaisu: Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava yhtälöryhmä eli \[ \begin{cases} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{cases}\] Toinen tapa: Ratkaisu saadaan kertomalla yhtälöä vasemmalta matriisin \(A\) inverssillä: \( \begin{align} Ax&=b \\ A^{-1}Ax&=A^{-1}b \\ x&=A^{-1}b \\ x&=[value][value] \\ x&= [value]. \end{align} \)

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Let

\[ \mathrm{A} = [value] \]

and

\[ \mathbf{b} = [value].\]

Solve the equation \(\mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Answer:

Olkoot matriisi

\[ \mathrm{A} = [value] \]

ja vektori

\[ \mathbf{b} = [value].\]

Ratkaise yhtälö \(\mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Vastaus:

\(\mathbf{x}=~\) |  |
Feedback: Worked solution: We know that \[ \mathrm{A}=[value] \] and \[ \mathbf{b}=[value] .\] Our job here is to solve \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). We can solve the equation by multiplying it from the left with the inverse of \( \mathrm{A} \) if it exists: \[\begin{array}{rrll} & \mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{I}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \end{array}\] Let's try to calculate the inverse using the Gauss-Jordan method. First form the matrix \( \mathrm{B}= ( \mathrm{A} \vert \mathrm{I} ) \). \[ \mathrm{B} = [value] \] Next compute the rref form of the matrix. Now the left side of the matrix is the identity matrix and the right side is the inverse. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{B}) = [value] = ( \mathrm{I} \vert \mathrm{A}^{-1} ) \] Now we can compute \( \mathbf{x} \): \[ \mathbf{x} = \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} = [value][value] = [value] .\] Mallivastaus: Tiedämme, että \[ \mathrm{A}=[value] \] ja \[ \mathbf{b}=[value] .\] Tehtävänämme on ratkaista matriisiyhtälö \( \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} \). Jos matriisi \( \mathrm{A} \) on kääntyvä, saamme ratkaistua yhtälön kertomalla sitä \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisilla vasemmalta: \[\begin{array}{rrll} & \mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathrm{I}\mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \Leftrightarrow & \mathbf{x} & = & \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} \\ \end{array}\] Selvitetään siis onko \( \mathrm{A} \) kääntyvä ja mikä \( \mathrm{A}^{-1} \) on. Muodostetaan ensin matriisi \( \mathrm{B}= ( \mathrm{A} \vert \mathrm{I} ) \). \[ \mathrm{B} = [value] \] Sovelletaan seuraavaksi rivioperaatioita \( \mathrm{B} \):hen ja viedään se rref-muotoon. Nyt matriisin vasen puoli on identiteettimatriisi ja oikea puoli on \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisi. \[ \mathrm{rref}(\mathrm{B}) = [value] = ( \mathrm{I} \vert \mathrm{A}^{-1} ) \] Tarvittaessa voidaan vielä tarkistaa kyseisen matriisin olevan oikeasti \( \mathrm{A} \):n käänteismatriisi laskemalla \( \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}=\mathrm{I} \) ja \( \mathrm{A}\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{I} \). Nyt kun tiedämme \( \mathrm{A}^{-1} \):n voimme laskea \( \mathbf{x} \):n. \[ \mathbf{x} = \mathrm{A}^{-1}\mathbf{b} = [value][value] = [value] \]

Compute the inverse of \[\mathrm{A} = [value]\] using Gauss-Jordan elimination.

Input the augmented matrix \(\left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right]\):

Lasketaan matriisin \[\mathrm{A} = [value]\] käänteismatriisi Gauss-Jordan menetelmällä.

Syötä ensimmäisenä välivaiheena kokonaismatriisi \(\left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right]\):

Next compute the reduced row echelon (\(\mathrm{rref}\)) of the matrix. Input the matrix \(\mathrm{rref}\ \left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right]\):

Seuraavaksi vie saatu matriisi redusoituun riviporrasmuotoon (\(\mathrm{rref}\)-muotoon) soveltamalla rivioperaatioita. Syötä saamasi matriisi \(\mathrm{rref}\ \left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right]\):

From the previous matrix we may extract the inverse of \(\mathrm{A}\). Input the sought \( \mathrm{A}^{-1} \).

Edellisestä matriisista voimme nyt päätellä matriisin \(\mathrm{A}\) käänteismatriisin. Syötä vielä kyseinen käänteismatriisi \( \mathrm{A}^{-1} \).
Feedback: Worked solution: First form a matrix where the left half is the matrix whose inverse we wish to calculate and the right half is an identity matrix of the same dimensions. \[ \left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right] = [value] \] Next we apply row operations of the matrix until the left half is an identity matrix. \[\begin{eqnarray} [value] &\overset[value]{\longrightarrow}& &\overset[value]{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray}\] Now the matrix is in reduced row echelon form (\(\mathrm{rref}\)) and its left block is \(\mathrm{I}_2\). The right block must now be the sought inverse: \[ \mathrm{A}^{-1} = [value] .\] Mallivastaus: Gauss-Jordan menetelmässä käytettävä yhdistetty matriisi muodostetaan siten, että sen vasen puoli on matriisi, joka halutaan kääntää ja oikea puoli saman kokoinen identiteettimatriisi. \[ \left[\mathrm{A}\vert\mathrm{I}_2\right] = [value] \] Seuraavaksi suoritetaan yhdistettyyn matriisiin rivioperaatioita, kunnes sen vasemmalle puolelle saadaan muodostettua identiteettimatriisi. \[\begin{eqnarray} [value] &\overset[value]{\longrightarrow}& &\overset[value]{\longrightarrow}& [value] \\ \end{eqnarray}\] Nyt saatu matriisi on redusoidussa riviporrasmuodossa (\(\mathrm{rref}\)) ja sen vasen blokki on \(\mathrm{I}_2\). Nyt matriisin oikea blokki on siis etsitty käänteismatriisi eli \[ \mathrm{A}^{-1} = [value] .\]

Olkoon \(A = [value]\) ja \(B = [value]\).

Laske

\(A^{-1}B^{-1} = \) |  | \(\quad (AB)^{-1} = \) |

Onko \(A^{-1}B^{-1}=(AB)^{-1}\)

Laske lisäksi

\(B^{-1}A^{-1} = \) |  | \(\quad ABA^{-1}B^{-1} = \) |
\(AB(AB)^{-1} = \) |  | \(\quad ABB^{-1}A^{-1} = \) |

Onko matriisi \((AB)^{-1}\) matriisin \(AB\) käänteismatriisi

Onko matriisi \(B^{-1}A^{-1}\) matriisin \(AB\) käänteismatriisi
Feedback: Mallivastaus: Jos \(A = [value]\), niin \(A\) on kääntyvä, jos \(ad-bc\neq 0\) ja tällöin \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}[value]\). Tämän avulla saadaan laskettua: \(A^{-1} = [value]\) ja \(B^{-1} = [value]\) \(A^{-1}B^{-1} = [value]\) ja \((AB)^{-1} = [value]\). Jos \(A\) ja \(B\) ovat kääntyviä, niin tällöin myös \(AB\) on kääntyvä. \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\). \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = AIA^{-1} = AA^{-1} = I\). \(B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} = [value]\) \(ABA^{−1}B^{−1} = [value]\) \(AB(AB)^{−1} = ABB^{-1}A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I = [value]\) \(ABB^{-1}A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I = [value]\) Matriisin \(AB\) käänteismatriisi on \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).

Seuraavassa muodostetaan käänteismatriisi matriisille \(A\) Gaussin eliminoinnilla.

Täytä vastauskenttiin, mitä rivioperaatiota kulloinkin on käytetty.

Ohjeet rivioperaatioiden merkitsemiseen:

vaakarivien \(R_1\) ja \(R_2\) paikkoja vaihdetaan R1<->R2,

vaakarivi \(R_1\) kerrotaan kokonaisluvulla 5R1,

vaakarivi \(R_1\) kerrotaan murtoluvulla (1/4)R1,

vaakariviin \(R_1\) lisätään vaakarivi \(R_2\), joka on kerrottu vakiolla R1+(1/4)R2,

vaakarivistä \(R_1\) vähennetään vaakarivi \(R_2\), joka on kerrottu vakiolla R1-3R2.

Syötä vielä tehtävän lopussa matriisin \(A\) käänteismatriisi \(A^{-1}\).

\(\left[ A | I \right] = \) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)
\(\large \rightarrow\) | \([value]\)

\(A^{-1} = \,\) |
Feedback: Malliratkaisu: \(\left[ A | I \right] = \) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) [value]\(\large \rightarrow\) | \([value]\) \(A^{-1} = \,\) | [value]