Title: DIL Osaamistesti 1

Integraalilaskennan osaamistesti

Vastaa kaikkiin kohtiin. Voit käyttää Matlabia vapaasti apunasi. Aikaa suoritukseen on 55 minuuttia. Muista pitää silmällä jäljellä olevaa aikaa. Vastauksia ei lukita erikseen, ja viimeiseksi antamasi vastaus jää voimaan. Vastaukset palautetaan automaattisesti suoritusajan lopussa.

Muista kirjoittaa kaikki kertomerkit paikalleen, sekä käytä sulkuja tarpeen mukaan. Hyödynnä myös seuraavia syöttöohjeita.

- peruslaskutoimitukset: +, -, *, /, ^
- luku \(\pi\): pi
- ääretön \(\infty\): inf
- itseisarvo: abs(x)
- trigonometriset funktiot: sin(x), cos(x)
- eksponenttifunktio: e^x tai exp(x)
- luonnollinen logaritmifunktio: ln(x)

Kaavoja:

\[\int f'(x)g(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \, dx \]

\[\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]

\[\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\]

\[2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\]

\[\pi \int_a^b f(x)^2 \, dx\]

Tutkitaan funktion

\(\displaystyle f : [[value], \infty) \to \mathbb{R}, \qquad f(x) = \dfrac{\ln(x)^{[value]}}{x}\)

kuvaajan ja \(x\)-akselin rajaamaa pinta-alaa \(A\), sekä kuvaajan määrittämän pyörähdyskappaleen tilavuutta \(V\).

(a) Täydennä alla esitettyihin kaavoihin oikeat integrointirajat ja integroitavat lausekkeet (älä käytä symbolia \(f(x)\)).

\(\displaystyle A = \int_{a}^{b}\) \(\,\mathrm{d}x\), missä \(a =\) ja \(b =\)

\(\displaystyle V = \int_{c}^{d}\) \(\,\mathrm{d}x\), missä \(c =\) ja \(d =\)

(b) Kun edellisen kohdan pinta-alan integraaliin tehdään sijoitus \(u = \ln(x)\), saadaan tulokseksi

\(\displaystyle A = \int_{a^{*}}^{b^{*}}g(u)\,\mathrm{d}u.\)

Kuvaile alle, mitä ovat \(\mathrm{d}x\), luvut \(a^{*}\) ja \(b^{*}\), sekä funktio \(g(u)\).

\(\mathrm{d}x =\) \(\mathrm{d}u\)

\(a^{*} =\) , \(b^{*} =\) ja \(g(u) =\)

Määritä kuvaajan alle jäävä pinta-ala \(A\) hyödyntämällä edellä kirjoitettua uutta integraalia.

\(A =\)

(c) Ensimmäisen kohdan pyörähdyskappaleen tilavuus on työlästä määrittää käsin, joten tyydytään tutkimaan kyseisen integraalin suppenemista vertailuperiaatteen avulla. Tiedetään, että

\(\ln(x) \leq x^{1/[value]},\) kunhan \(x\) on riittävän suuri.

Tästä seuraa, että

\(\dfrac{\ln(x)^{[value]}}{x^2}\) \(\dfrac{1}{x^p}\),

missä \(p =\) \(> 0\) ja \(x\) on edelleen riittävän suuri.

Koska integraali \(\displaystyle \int_c^d\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\)

, integraali \(V\) nojalla.