Title: Logic

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Valitse seuraavista proposioista ne, jotka ovat tautologioita.
- \( \neg(p \wedge \neg p) \)
- \( \neg p \vee (p \wedge \neg q) \)
- \( p \vee (\neg p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q) \)
- \( (p \vee q)\wedge(\neg p \vee \neg q) \)
- \( (p \wedge (p \rightarrow q))\rightarrow q \)
- \( (p \wedge \neg q)\rightarrow(p \vee \neg q) \)
- \( (p \rightarrow q) \rightarrow p \)
- \( (p \rightarrow ((p \vee q)\wedge \neg q) \)
A: \( \neg(p \wedge \neg p) \); \( p \vee (\neg p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q) \); \( (p \wedge (p \rightarrow q))\rightarrow q \); \( (p \wedge \neg q)\rightarrow(p \vee \neg q) \)
Feedback: Vaihtoehtojen joukossa on muutama tunnettu tautologia: \(\neg (p \wedge \neg p)\) (ristiriidan laki) ja \( (p \wedge (p \rightarrow q))\rightarrow q \) (modus ponens). Tautologioiden löytämiseksi varmin tapa on tehdä propositioista totuustaulut ja etsiä sieltä totuusarvotusta, jossa propositio ei ole tosi. Jos yksikin proposition epätodeksi tekevä propositiomuuttujien totuusarvotus löytyy, niin kyseinen propositio ei ole tautologia.

Täydennä totuustaulu

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\)
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \rightarrow q) \wedge r\) | \(\neg p \wedge (q \leftrightarrow r)\) | \((p \vee \neg q) \rightarrow r\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\)

Onko olemassa tulkintaa, jossa kaava \(p \vee (q \rightarrow r) \leftrightarrow r \wedge q\) on tosi? Jos on, niin kuinka monta toteuttavaa tulkintaa on? (\(0\) = ei toteuttavaa tulkintaa)

Vastaus:
Feedback: Muodostetaan proposition totuustaulu: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(q \rightarrow r\) | \(p \vee (q \rightarrow r)\) | \(r \wedge q\) | \(p \vee (q \rightarrow r) \leftrightarrow r \wedge q\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) Totuustaulusta nähdään, että toteutuvia tulkintoja on kolme.

Q: Mikä seuraavista on proposition \(P= (p\leftrightarrow q) \wedge r\) kanoninen disjunktiivinen normaalimuoto (KDN)?
- \( (\neg p \wedge \neg q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge r) \)
- \( (\neg p \wedge q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge r) \)
- \( (\neg p \wedge q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge \neg r) \)
- \( (\neg p \wedge \neg q \wedge \neg r) \vee ( p \wedge q \wedge \neg r) \)
- \( ( p \wedge q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge \neg r) \)
A: \( (\neg p \wedge \neg q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge r) \)
Feedback: KDN-muodon etsimiseksi ensin muodostetaan proposition totuustaulu: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \leftrightarrow q\) | \((p \leftrightarrow q) \wedge r\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) KDN-muotoon poimitaan ne vaakarivit, joissa \(P\) saa arvon 1, eli toinen ja kahdeksas rivi. Nyt siis \(P \equiv m_2 \vee m_8 \equiv ( \neg p \wedge \neg q \wedge r) \vee ( p \wedge q \wedge r) \)

Q: Olkoon \(\alpha\) tulkinta, jossa \(\alpha(p)=0\), \(\alpha(q)=1\) ja \(\alpha(r)=1\). Mitkä seuraavista propositioista ovat tosia tulkinnassa \(\alpha\)?
- \((p \rightarrow q) \vee \neg (r \wedge q)\)
- \((\neg p \vee \neg q) \rightarrow (p \vee \neg r)\)
- \(\neg(\neg p \rightarrow q \wedge \neg r)\)
- \(\neg(\neg p \rightarrow \neg q) \wedge r \)
A: \((p \rightarrow q) \vee \neg (r \wedge q)\); \(\neg(\neg p \rightarrow q \wedge \neg r)\); \(\neg(\neg p \rightarrow \neg q) \wedge r \)

Q: Mitkä seuraavista väittämistä ovat tosia?
- Matemaattisen lauseen todistamiseksi riittää löytää riittävä määrä esimerkkitapauksia, joissa lause pitää paikkansa.
- Todistettaessa väitettä vääräksi, yhden vastaesimerkin löytäminen riittää.
- Kontradiktio on propositio, jonka totuusarvo riippuu siinä esiintyvien propositiomuuttujien totuusarvoista.
- Toteutuvan proposition propositiomuuttujilla voi olla olemassa sellainen totuusarvotus, että propositio on epätosi.
- Jokaista propositiota kohtaan on olemassa sekä disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva propositio, että konjunktiivisessa normaalimuodossa oleva propositio, jotka ovat ekvivalentteja alkuperäisen proposition kanssa.
- Proposition disjunktiivinen normaalimuoto on yksikäsitteinen.
A: Todistettaessa väitettä vääräksi, yhden vastaesimerkin löytäminen riittää.; Toteutuvan proposition propositiomuuttujilla voi olla olemassa sellainen totuusarvotus, että propositio on epätosi.; Jokaista propositiota kohtaan on olemassa sekä disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva propositio, että konjunktiivisessa normaalimuodossa oleva propositio, jotka ovat ekvivalentteja alkuperäisen proposition kanssa.

Onko olemassa tulkintaa, jossa kaava \((p \leftrightarrow q) \wedge r \wedge (p \wedge \neg q)\) on tosi? Jos on, niin kuinka monta toteuttavaa tulkintaa on? (\(0\) = ei toteuttavaa tulkintaa)

Vastaus:
Feedback: Muodostetaan proposition totuustaulu: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \leftrightarrow q\) | \((p \leftrightarrow q) \wedge r\) | \(p \wedge \neg q\) | \((p \leftrightarrow q) \wedge r \wedge (p \wedge \neg q)\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) Totuustaulusta nähdään, että toteutuvia tulkintoja ei ole.

Onko olemassa tulkintaa, jossa kaava \(\neg (p \rightarrow q) \wedge q\) on tosi? Jos on, niin kuinka monta toteuttavaa tulkintaa on? (\(0\) = ei toteuttavaa tulkintaa)

Vastaus:
Feedback: Muodostetaan proposition totuustaulu: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \rightarrow q\) | \(\neg (p \rightarrow q)\) | \(\neg (p \rightarrow q)\wedge q\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) Totuustaulusta nähdään, että toteutuvia tulkintoja ei ole.

Onko olemassa tulkintaa, jossa kaava \((p \leftrightarrow q) \wedge (p \wedge r)\) on tosi? Jos on, niin kuinka monta toteuttavaa tulkintaa on? (\(0\) = ei toteuttavaa tulkintaa)

Vastaus:
Feedback: Muodostetaan proposition totuustaulu: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \leftrightarrow q\) | \(p \wedge r\) | \((p \leftrightarrow q) \wedge (p \wedge r)\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) Totuustaulusta nähdään, että toteutuvia tulkintoja on yksi.

Täydennä totuustaulu

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \vee r\) | \((\neg p \wedge \neg q) \vee \neg r\) | \((p \vee \neg r) \wedge (p \vee \neg q)\)
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \vee r\) | \((\neg p \wedge \neg q) \vee \neg r\) | \((p \vee \neg r) \wedge (p \vee \neg q)\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\)

Q: Onko propositio \((q \vee \neg r) \rightarrow p\) proposition \(p \vee (\neg q \wedge r)\) looginen seuraus?
- Tosi
- Epätosi
A: Tosi
Feedback: Propositioista voidaan tehdä totuustaulu, josta nähdään, että aina proposition \(p \vee (\neg q \wedge r)\) ollessa tosi myös propositio \((q \vee \neg r) \rightarrow p\) on tosi. Siispä \(p \vee (\neg q \wedge r) \models (q \vee \neg r) \rightarrow p\). Itse asiassa jopa \(p \vee (\neg q \wedge r) \equiv (q \vee \neg r) \rightarrow p\).

Q: Onko propositio \(\neg p\) proposition \((p \rightarrow q) \wedge \neg q\) looginen seuraus?
- Tosi
- Epätosi
A: Tosi
Feedback: Propositio \((p \rightarrow q) \wedge \neg q\) on tosi ainoastaan totuusarvotuksessa \(\alpha\), jossa \(\alpha(p)=0\) ja \(\alpha(q)=0\). Tällöin myös \(\alpha(\neg p) = 1\), joten propositio \(\neg p\) on tosi aina kun propositio \((p \rightarrow q) \wedge \neg q\) on tosi. Siispä \((p \rightarrow q) \wedge \neg q \models \neg p\).

Q: Onko propositio \((p \rightarrow q) \rightarrow r\) proposition \(p \rightarrow (q \wedge r)\) looginen seuraus?
- Tosi
- Epätosi
A: Epätosi
Feedback: Totuusarvotuksessa \(\alpha\), jossa \(\alpha(p)=0,\ \alpha(q)=0\) ja \(\alpha(r)=0\) on \(\alpha(p \rightarrow (q \wedge r))=1\) mutta \(\alpha((p \rightarrow q) \rightarrow r)=0\). Siispä propositio \((p \rightarrow q) \rightarrow r\) ei ole tosi aina kun propositio \(p \rightarrow (q \wedge r)\) on tosi, eli \(p \rightarrow (q \wedge r) \not\models (p \rightarrow q) \rightarrow r\).

Q: Mikä seuraavista propositioisa vastaa lausetta "Aatami ja Eeva tulevat juhliin, jos ja vain jos kun Bertta ei tule juhliin ja Eeva tulee, niin Doris tulee", kun lauseita merkitään seuraavin symbolein:

- A = "Aatami tulee juhliin"
- B = "Bertta tulee juhliin"
- D = "Doris tulee juhliin"
- E = "Eeva tulee juhliin"

Huom. 1. vastauskerta oikein=1 piste, vasta 2. vastauskerta oikein= 0.5 pistettä, 3.- vastaukerrasta eteenpäin = 0 pistettä. Mieti siis vastauksesi huolellisesti ennenkuin lukitset vastauksen,
- \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \wedge E \rightarrow D)\)
- \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \rightarrow E \wedge D)\)
- \((A \wedge E \rightarrow \neg B) \rightarrow D\)
- \(A \wedge E \leftrightarrow \neg B \wedge D\)
- \(A \wedge E \rightarrow \neg (B \wedge D)\)
A: \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \wedge E \rightarrow D)\)
Feedback: Lausetta "Aatami ja Eeva tulevat juhliin, jos ja vain jos kun Bertta ei tule juhliin ja Eeva tulee, niin Doris tulee" vastaava propositio on \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \wedge E \rightarrow D)\). Muille vaihtoehdoille on seuraavat luonnollisen kielen tulkinnat: \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \rightarrow E \wedge D)\) = "Aatami ja Eeva tulevat juhliin, jos ja vain jos kun Bertta ei tule juhliin, niin Eeva ja Doris tulevat." \((A \wedge E \rightarrow \neg B) \rightarrow D\) = "Doris tulee juhliin jos Bertta ei tule silloin kun Aatami ja Eeva tulevat." \(A \wedge E \rightarrow \neg (B \wedge D)\) = "Jos Aatami ja Eeva tulevat juhliin, niin Bertta ja Doris eivät kummatkin tule juhliin." \(A \wedge E \leftrightarrow \neg B \wedge D\) = "Aatami ja Eeva tulevat juhliin, jos ja vain jos Bertta ei tule juhliin ja Doris tulee juhliin." Erityisesti propositiot \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \wedge E \rightarrow D)\) ja \(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \rightarrow E \wedge D)\) saattavat ensin vaikuttaa ekvivalenteilta, mutta tulkinnassa \(\alpha\), jossa \(\alpha(A) = 1, \alpha(B)=0, \alpha(D)=1\) ja \(\alpha(E) = 0\) on \(\alpha(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \wedge E \rightarrow D)) = 0\) kun taas \(\alpha(A \wedge E \leftrightarrow (\neg B \rightarrow E \wedge D)) = 1\).

Q: Ovatko propositiot \((p \wedge q)\vee r\) ja \((p \rightarrow \neg q) \rightarrow r\) loogisesti ekvivalentteja?
- Tosi
- Epätosi
A: Tosi
Feedback: Propositioille voidaan tehdä totuustaulu, josta nähdään, että propositioiden totuusarvot ovat samat kaikissa propositiomuuttujien totuusarvotuksissa, eli \((p \vee q)\wedge r \equiv (p \rightarrow \neg q) \rightarrow r\).

Q: Ovatko propositiot \((p \vee q)\wedge (\neg p \rightarrow \neg q)\) ja \(q\) loogisesti ekvivalentteja?
- Tosi
- Epätosi
A: Epätosi
Feedback: Propositioille voidaan tehdä totuustaulu, josta nähdään, että propositioiden totuusarvot eivät ole samat kaikissa propositiomuuttujien totuusarvotuksissa. Esimerkiksi totuusarvotuksessa \(\alpha\), jolle \(\alpha(p)=1\) ja \(\alpha(q)=0\) on \(\alpha((p \vee q)\wedge (\neg p \rightarrow \neg q))=1\) eli \((p \vee q)\wedge (\neg p \rightarrow \neg q) \not\equiv q\).

Q: Ovatko propositiot \(p \rightarrow q\) ja \(((p \rightarrow q) \rightarrow q) \rightarrow q\) loogisesti ekvivalentteja?
- Tosi
- Epätosi
A: Tosi
Feedback: Propositioille voidaan tehdä totuustaulu, josta nähdään, että propositioiden totuusarvot ovat samat kaikissa propositiomuuttujien totuusarvotuksissa, eli \(p \rightarrow q \equiv ((p \rightarrow q) \rightarrow q) \rightarrow q\).

Q: Mitkä seuraavista argumenteista ovat loogisesti sitovia?
- "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Olen syyllinen. Minua pitää siis rangaista."
- "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. En ole syyllinen. Minua ei siis pidä rangaista."
- "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Minua ei pidä rangaista. Olen siis syytön."
- "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Minua pitää rangaista. Olen siis syyllinen."
A: "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Olen syyllinen. Minua pitää siis rangaista."; "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Minua ei pidä rangaista. Olen siis syytön."
Feedback: Argumentit voidaan muuntaa vastaaviksi propositioiksi käyttämällä symboleita \(p = \) "olen syyllinen" ja \(q =\) "minua on rankaistava" seuraavasti: Argumenttia "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Olen syyllinen. Minua pitää siis rangaista." vastaa propositio \((p \rightarrow q \wedge p) \rightarrow p\) (modus ponens), joka on tautologia eli loogisesti sitova. "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. En ole syyllinen. Minua ei siis pidä rangaista." argumenttia vastaa propositio \((p \rightarrow q) \wedge \neg p \rightarrow \neg p\), joka ei ole tautologia vaan saa arvon nolla tulkinnassa \(\alpha(p)=0\) ja \(\alpha(q)=1\). "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Minua ei pidä rangaista. Olen siis syytön." muuntuu propositioksi \((p \rightarrow q) \wedge \neg q \rightarrow \neg p\), joka on tautologiana loogisesti sitova (tarkasta totuustaulusta!). Argumenttia "Jos olen syyllinen, minua pitää rangaista. Minua pitää rangaista. Olen siis syyllinen." vastaava propositio on \((p \rightarrow q) \wedge q \rightarrow p\), joka ei ole tosi totuusarvotuksessa \(\alpha(p)=0\) ja \(\alpha(q)=1\), eikä siis myöskään loogisesti sitova.

Q: Mikä seuraavista propositioisa vastaa lausetta "Eeva tulee juhliin, jos Aatami ei tule, mutta jos Aatami tulee juhliin, niin Bertta ei tule", kun lauseita merkitään seuraavin symbolein:

- A = "Aatami tulee juhliin"
- B = "Bertta tulee juhliin"
- E = "Eeva tulee juhliin"
- \((\neg A \rightarrow E) \wedge (A \rightarrow \neg B)\)
- \((E \rightarrow \neg A) \wedge (A \rightarrow \neg B)\)
- \((E \vee \neg A) \rightarrow (A \vee \neg B)\)
- \(E \rightarrow (A \rightarrow \neg B)\)
- \(A \rightarrow (E \wedge \neg B)\)
A: \((\neg A \rightarrow E) \wedge (A \rightarrow \neg B)\)
Feedback: Lausetta "Eeva tulee juhliin, jos Aatami ei tule, mutta jos Aatami tulee juhliin, niin Bertta ei tule" vastaava propositio on \((\neg A \rightarrow E) \wedge (A \rightarrow \neg B)\). Muille vaihtoehdoille on seuraavat luonnollisen kielen tulkinnat: \((E \rightarrow \neg A) \wedge (A \rightarrow \neg B)\) = "Aatami ei tule juhliin jos Eeva tulee, mutta jos Aatami tulee juhliin niin Bertta ei tule." \((E \vee \neg A) \rightarrow (A \vee \neg B)\) = "Jos joko Eeva tulee juhliin tai Aatami ei tule juhliin, niin silloin joko Aatami tulee tai Bertta ei tule." \(E \rightarrow (A \rightarrow \neg B)\) = "Jos Eeva tulee juhliin, niin Bertta ei tule juhliin jos Aatami tulee." \(A \rightarrow (E \wedge \neg B)\) = "Jos Aatami tulee juhliin, niin joko Eeva tulee juhliin tai Bertta ei tule."