Title: Lähtötasotesti

Q: Derivoi \( f(x)=[value] \).

Esimerkki: lauseke \( 3x^2+5x+1 \) kirjoitetaan 3*x^2+5*x+1.

\( f'(x)= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The derivative of the function \( f \) is \( f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] \). We apply four different rules when calculating the derivative, but you do not have to write the calculations this detailed: Funktion \( f \) derivaatta on \( f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] \). Derivoinnissa käytetään neljää erilaista derivointisääntöä, mutta laskuja ei ole tarpeen kirjoittaa näin yksityiskohtaisesti: Derivatan av funktionen \( f \) är \[ f'(x)=[value]\cdot [value]\cdot x^[value]+0=[value] .\] Vid deriveringen används fyra olika deriveringsregler, men uträkningen behöver inte skrivas så här detaljerat: \[\begin{array}{rcll} f'(x) &=& D([value]) & \Arrowvert D(f+g)=Df+Dg\\ &=& D([value])+D([value]) \qquad & \Arrowvert D(kf)=kDf,\ \ Dk=0\\ &=& [value]\cdot D([value]) + 0 & \Arrowvert Dx^n=n\cdot x^{n-1}\\ &=& [value]\cdot [value]\cdot x^[value]\\ &=& [value] \end{array}\]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälö \( [value]<0 \).

Anna vastauksesi muodossa ''x < a'' tai ''x > a'', missä a on juuren tarkka arvo.

Vastaus:

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{array}{rcll} [value] & < & 0 \\ [value] & < & [value] & \Arrowvert\ \colon [value] \\ x & < & [value]. \end{array}\]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske määrätty integraali \( \displaystyle \int_[value]^[value] ([value]) \, dx.\)

Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.

\( \displaystyle \int_[value]^[value] ([value]) \, dx= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] ([value]) \, dx & = & \left[ [value] \right]_[value]^[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske funktion \( \displaystyle f(x)=[value] \) arvo, kun muuttuja \( x \) saa arvon \( x=[value] \). Anna vastaus tarkkana arvona!

\( f([value])= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ f([value]) & = & \sqrt[value]+\frac{1}[value]-[value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Sievennä lauseke \( \displaystyle [value] \). (Olettaen, että nimittäjä ei ole 0.)

\(\displaystyle [value] = \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Factorizing the difference of two squares, the numerator can be written as \( \displaystyle a^2-[value]=(a-[value])(a+[value]) \).Osoittaja voidaan muistikaavaa soveltamalla jakaa tekijöihin ja esittää muodossa \( \displaystyle a^2-[value]=(a-[value])(a+[value]) \).Täljaren kan faktoriseras enligt konjugatregeln, \( \displaystyle a^2-[value]=(a-[value])(a+[value]) \). \[ [value] = \frac{(a-[value])(a+[value])}{a-[value]} = a+[value]. \]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Olkoon \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ \\ (f \circ f)(x) & = & f([value]) = [value] \\ \\ (f\circ f)(2) & = & [value]. \end{eqnarray*}\]
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Luonnollinen logaritmi syötetään vastaukseen komennolla ln() kirjoittamalla logaritmin argumentti sulkujen sisään, esimerkiksi ln(32).

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Taking the logarithm of both sides of the equation, we getOtetaan lausekkeista puolittain logaritmit: Ta logaritmen på bägge sidor av ekvationen: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \ln([value]^x) & = & \ln([value]). \end{eqnarray*} \) Knowing that \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), the equation can be expressed in the formTiedetään, että \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), joten yhtälö saadaan muotoonUtnyttja egenskapen \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \): \( \begin{eqnarray*} x\cdot \ln([value]) & = & \ln([value]) \\ x & = & \frac{\ln([value])}{\ln([value])}. \end{eqnarray*} \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske lausekkeen \( x^[value]+x^[value] \) arvo, kun \( x=[value] \).

Vastaus:

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Mikä on luvun \( [value] \) käänteisluvun vastaluku?

Anna vastaus murtolukuna, ei desimaalilukuna!

Vastaus:

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Since the inverse of \( a \) is \( 1/a \), then the inverse of \( [value] \) is \( \frac{1}[value] \).Koska luvun \( a \) käänteisluku on \( 1/a \), niin luvun \( [value] \) käänteisluku on \( \frac{1}[value] \).Det inverterade talet till \( a \) är \( 1/a \), så det inverterade talet till \( [value] \) är \( \frac{1}[value] \). Since the additive inverse of \( a \) is \( -a \), then the additive inverse of \( [value] \) is \( [value] \).Edelleen, koska luvun \( a \) vastaluku on \( -a \), niin luvun \( [value] \) vastaluku on \( [value] \).Det motsatta talet till \( a \) är \( -a \), så det motsatta talet till \( [value] \) är \( [value] \).
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske seuraavien lausekkeiden arvot, kun \( a=[value] \) ja \( b=[value] \).

Anna vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.

\( \displaystyle (-a)^b= \)

\( \displaystyle -a^b= \)

\( \displaystyle a^{-b}= \)

\( \displaystyle -a^{-b}= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( (-a)^b = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^b = -([value])^[value] = [value] \) \( a^{-b} = ([value])^[value] = [value] \) \( -a^{-b} = -([value])^[value] = [value] \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Laske yhtälön \( \displaystyle \sin(x)=[value] \) ratkaisu, joka on ensimmäisessä neljänneksessä eli \( \displaystyle 0\le x \le \frac{\pi}{2} \). Anna vastaus radiaaneissa. Merkitse vastauksessa lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi. Esimerkiksi \( \displaystyle \frac{\pi}{4} \) kirjoitetaan pi/4.

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ or } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \]\[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ tai } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \]\[ \sin(x)=[value] \Leftrightarrow x=[value]+n\cdot 2\pi \text{ eller } x=[value]+n\cdot 2\pi, \ n\in\mathbf Z. \] Considering these solutions, only \( x=[value] \) lies on the interval \([0, \pi/2]\).Näistä ratkaisuista ainoastaan \( x=[value] \) sijaitsee välillä \([0, \pi/2]\).Av dessa lösningar ligger endast \( x=[value] \) i intervallet \([0, \pi/2]\).
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ilmoita yhtälön \( [value]=[value] \) ratkaisuista pienin, joka on ensimmäisessä neljänneksessä eli \( 0\le x \le \pi \). Anna vastaus radiaaneissa. Merkitse vastauksessa lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi.

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot \pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ or } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ or } x=[value]+n\cdot [value], \text{ where } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (with \( n=0 \)) is the sought solution. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ tai } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ tai } x=[value]+n\cdot [value], \text{ missä } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} Näistä \( x=[value] \) (kun \( n=0 \)) on kysytty ratkaisu. \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow [value]x & = & [value] + n\cdot 2\pi \text{ eller } [value]x = -[value] + n\cdot 2\pi \\ \Leftrightarrow x & = & [value] + n\cdot [value] \text{ eller } x=[value]+n\cdot [value], \text{ där } n\in\mathbf Z \\ \end{eqnarray*} \( x=[value] \) (med \( n=0 \)) är den efterfrågade lösningen.
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise 1. asteen yhtälö \( [value]=0 \).

Anna vastaus tarkkana arvona murtolukumuodossa!

\( x= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( \begin{eqnarray*} [value] &=& 0 \\ \Leftrightarrow \quad [value] x &=& [value] \\ \Leftrightarrow \quad x &=& [value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise 3. asteen yhtälö \( [value]=0 \). Vastaukseksi tulee kolme muuttujan \( x \) arvoa. Anna ratkaisut tarkkoina arvoina!

Huom. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. \( \sqrt{2} \) kirjoitetaan sqrt(2).

\( x_1= \)

\( x_2= \)

\( x_3= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ or } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ or } & x=[value] \ \ \text{ or } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ tai } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ tai } & x=[value] \ \ \text{ tai } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ [value] \cdot ([value]) & = & 0 \\ x=0 & \ \text{ eller } & x^2=[value] \\ x=0 & \ \text{ eller } & x=[value] \ \ \text{ eller } \ \ x=[value]. \end{eqnarray*} \)
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Ratkaise murtoyhtälö \( [value]=[value] \).

Vastaukseksi tulee kaksi muuttujan \( x \) arvoa. Anna vastaukset tarkkoina arvoina.

\( x_1= \)

\( x_2= \)

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Since the denominator cannot be zero, the equation is defined for \( x\neq [value] \).Nimittäjä ei saa olla nolla, joten yhtälö on määritelty silloin, kun \( x\neq [value] \).Nämnaren kan inte vara noll, ekvationen är definierad då \( x\neq [value] \). We begin by simplifying the equation: Aloitetaan sieventämällä yhtälöä: Förenkla först ekvationen: \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ \frac{x^2}[value]+\frac{[value]\cdot ([value])}[value] & = & 0 \\ \frac[value][value] & = & 0 \end{eqnarray*} \] Let us examine when the numerator is zero: Tutkitaan, milloin osoittaja on nolla: Undersök när täljaren är noll: \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot ([value])}}{2} \\ x & = & \frac{[value]\pm [value]}{2} \\ x=[value] & \ \text{or}\ & x=[value]. \end{eqnarray*} \]\[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot ([value])}}{2} \\ x & = & \frac{[value]\pm [value]}{2} \\ x=[value] & \ \text{tai}\ & x=[value]. \end{eqnarray*} \]\[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot ([value])}}{2} \\ x & = & \frac{[value]\pm [value]}{2} \\ x=[value] & \ \text{eller}\ & x=[value]. \end{eqnarray*} \] Both solutions satisfy the given equation.Molemmat ratkaisut toteuttavat annetun yhtälön.Bägge värdena löser den ursprungliga ekvationen.
  Hint: \[\,\]
  Hint: \[\,\]

Q: Sievennä seuraava lauseke:

\[ |[value]-\sqrt{[value]}| + |1 - \sqrt{[value]}| = \]

Voit käyttää alla olevaa laatikkoa välivaiheiden hahmotteluun:
  Hint: \[ \, \]
  Hint: \[ \, \]