Title: Raja-arvo

Determine the following limit. Give your answer in exact form.Määritä seuraava raja-arvo. Anna vastaus tarkkana arvona! Bestäm följande gränsvärde. Ge det exakta värdet som svar.

\( \displaystyle \lim_{x\to [value]}\ \frac[value]{x-[value]}= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The expression is not defined at \( x=[value] \) as there the denominator equals zero.Lauseke ei ole määritelty pisteessä \( x=[value] \), sillä siinä pisteessä nimittäjä saa arvon nolla.Uttrycket är inte definierat i \( x=[value] \), för i denna punkt får nämnaren värdet noll. We need to find the zeros of the numerator: Lasketaan osoittajan nollakohdat: Vi bestämmer täljarens nollställen: \[ \begin{array}{lrcl} & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{(-[value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x = [value] & \ \text{ or }\ & x=[value] \end{array} \]\[ \begin{array}{lrcl} & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{(-[value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x = [value] & \ \text{ tai }\ & x=[value] \end{array} \]\[ \begin{array}{lrcl} & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{(-[value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x = [value] & \ \text{ eller }\ & x=[value] \end{array} \] Therefore \( \displaystyle [value]=(x-[value])(x-[value]) \).Siten \( \displaystyle [value]=(x-[value])(x-[value]) \).Därmed är \( \displaystyle [value]=(x-[value])(x-[value]) \). Now we can rewrite the expression to find the limit: Nyt voimme muokata alkuperäistä raja-arvolauseketta: Nu kan vi skriva om uttrycket i gränsvärdet: \[ \begin{eqnarray*} \lim_{x\to [value]} \frac[value]{x-[value]} & = & \lim_{x\to [value]} \frac{(x-[value])(x-[value])}{x-[value]} \\ & = & \lim_{x\to [value]} x-[value] \\ & = & [value]-[value] = [value]. \end{eqnarray*} \]

Determine the following limit. Give your answer in exact form.Määritä seuraava raja-arvo. Anna vastaus tarkkana arvona! Bestäm följande gränsvärde. Ge det exakta värdet som svar.

\( \displaystyle \lim_{x\to [value]}\ [value] = \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \lim_{x\to [value]}\ [value]=[value]^2+[value]\cdot [value]+1=[value] \]

Determine the following limit. Give your answer in exact form.Määritä seuraava raja-arvo. Anna vastaus tarkkana arvona! Bestäm följande gränsvärde. Ge det exakta värdet som svar.

\( \displaystyle \lim_{x\to [value]}\ [value]=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Note that the expression is not defined at \( x=[value] \) as there the denominator equals zero. We rewrite the expression in a form where the limit can be calculated. For this, we use the difference of two squares, \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \).Huomataan, että lauseke ei ole määritelty pisteessä \( x=[value] \), sillä kyseisessä pisteessä nimittäjä on nolla. Muokataan lauseketta muotoon, josta raja-arvo voidaan laskea. Käytetään tietoa \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \).Notera att uttrycket inte är definierat i \( x=[value] \), för i denna punkt är nämnaren noll. Skriv uttrycket i en sådan form att gränsvärdet kan bestämmas. Använd konjugatregeln \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \). \[ \begin{eqnarray*} \lim_{x\to [value]} [value] & = & \lim_{x\to [value]} \frac{(x-[value])(x+[value])}{x-[value]} \\ & = & \lim_{x\to [value]} \, (x+[value]) \\ & = & [value]+[value] = [value]. \end{eqnarray*} \]

Determine the following limit.Määritä seuraava raja-arvo.Bestäm följande gränsvärde.

\( \displaystyle \lim_{x\to 0}\ [value]= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The expression is not defined at \( x=0 \), since \( \cos(0)=1 \), which makes the denominator zero at that point.Lauseke ei ole määritelty pisteessä \( x=0 \), sillä \( \cos(0)=1 \), eli nimittäjä on nolla kyseisessä pisteessä.Uttrycket är inte definierat i \( x=0 \), för \( \cos(0)=1 \) och nämnaren är därmed noll i denna punkt. However, knowing that \( \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \) and \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \), we can rewrite the expression and calculate the limit.Tiedetään kuitenkin, että \( \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \) ja \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \), joten raja-arvolauseketta saadaan muokattua.Vi kan använda den trigonometriska identiteten \( \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \) och konjugatregeln \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \) för att skriva om uttrycket i gränsvärdet. \[ \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} [value] & = & \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2([value])}{1-\cos([value])} \\ & = & \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos([value]))(1+\cos([value]))}{1-\cos([value])} \\ & = & \lim_{x\to 0} 1+\cos([value]) \\ & = & 1+\cos(0) \\ & = & 1+1 = 2. \end{eqnarray*} \]

Find the value of \( b \) such that the equation \[ [value] = \lim_{x\to [value]} \, ([value]) \] holds. Give your answer in exact form.Määritä \( b \) siten, että yhtälö \( [value] = \lim_{x\to [value]} \, ([value]) \) toteutuu. Anna vastaus tarkkana arvona! Bestäm värdet på \( b \) som uppfyller ekvationen \[ [value] = \lim_{x\to [value]} \, ([value]). \] Ge det exakta värdet som svar.

\( b= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: First we calculate the limit: \[ \lim_{x\to [value]}\ ([value]) = [value]\cdot [value]^3-3\cdot [value]^2+b = [value] \]Lasketaan ensin raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]}\ ([value]) = [value]\cdot [value]^3-3\cdot [value]^2+b = [value] \]Beräkna först gränsvärdet: \[ \lim_{x\to [value]}\ ([value]) = [value]\cdot [value]^3-3\cdot [value]^2+b = [value] \] Hence, for the equation to hold, the limit must equal \( [value] \): Jotta yhtälö olisi voimassa, tämän raja-arvon tulee siis olla \( [value] \): Gränsvärdet är lika med \( [value] \) enligt ekvationen: \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & [value] \\ b & = & [value]. \end{eqnarray*} \]

Find the value of \( b \) such that the function \( f \) is continuous everywhere.Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.Bestäm ett sådant värde på konstanten \( b \) att funktionen \( f \) är kontinuerlig överallt.

The function \( f \) is defined piecewise as follows: Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti: Funktionen \( f \) är styckvis definierad på följande vis:

\(
f(x)=
\begin{cases}
[value], & \text{when} \ x<3 \\
[value], & \text{when} \ x\geq 3.
\end{cases}
\)\(
f(x)=
\begin{cases}
[value], & \text{kun} \ x<3 \\
[value], & \text{kun} \ x\geq 3.
\end{cases}
\)\[
f(x)=
\begin{cases}
[value], & \text{då} \ x<3 \\
[value], & \text{då} \ x\geq 3.
\end{cases}
\]

Give your answer in exact form.Anna vastaus tarkkana arvona.Ge det exakta värdet som svar.

\( b= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: For the function \( f \) to be continuous everywhere, the left- and right-hand side limits must equal at \( x=3 \).Jotta funktio \( f \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat.Om funktionen \( f \) är kontinuerlig så måste dess vänstergränsvärde och högergränsvärde i punkten \( x=3 \) vara lika. Let us calculate the one-sided limits: Lasketaan toispuoliset raja-arvot: Beräkna de ensidiga gränsvärdena: \[ \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \] \[ \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \] This gives us the equation \( [value]=6 \) having the solution \( b=[value] \).Nyt tulee siis olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).Detta ger ekvationen \( [value]=6 \) med lösningen \( b=[value] \).