Title: Lukujonot ja sarjat

Find the sum of the following series: Laske sarjan summa:

\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]^{2n+1}}{[value]^{2n-1}}}=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: For geometric sum it holds that Geometriselle sarjalle pätee \(\sum_{n=0}^{\infty}aq^k = \frac{a}{1-q}\). \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]^{2n+1}}{[value]^{2n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{[value]\cdot[value]^{2n}}{[value]^{-1}\cdot[value]^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left(\frac[value][value]\right)^{2n} \\= \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left[\left(\frac[value][value]\right)^{2}\right]^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}[value]\cdot\left([value]\right)^n = \frac{[value]}{1-[value]} = [value]\]

Determine the sum of the following series. Do not use approximations.Laske seuraavien sarjojen summa. Älä käytä likiarvoja.

(a) | \[ \sum_{n=0}^\infty [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[ \sum_{n=0}^\infty [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: An infinite geometric series \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\) converges to \(\frac{a}{1-r}\), if \(|r|<1\).Ääretön geometrinen sarja \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\) suppenee kohti arvoa \(\frac{a}{1-r}\), jos \(|r|<1\). (a) By change of variables, substituting \(n=k-1\) we can express the function in the formTehtävän funktio voidaan muuttaa edellä esitettyä geometrista sarjaa vastaavaksi tekemällä muuttujanvaihto \(n=k-1\): \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{[value]}{e^n} = \sum_{n=0}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^n = \sum_{k-1=0}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} = \sum_{k=1}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} \] Comparing this form to the general expression of the geometric sum, we see that \(a=1\) and \(r=1/e\). The series converges, since \(1/e < 1\). The sum of the series is given by the expression \(\frac{a}{1-r}\).Vertaamalla saatua muotoa yleiseen geometrisen summan lausekkeeseen nähdään, että \(a=1\) ja \(r=1/e\). Sarja suppenee, sillä \(1/e < 1\). Sarjan summa saadaan lausekkeesta \(\frac{a}{1-r}\). \[ \sum_{k=1}^\infty [value]\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1} = \frac{[value]}{1-\frac{1}{e}} = \frac{[value]e}{e-1} \] (b) We apply the same strategy as in the (a) part. First, we alter the expression to a form where we can easily see \(a\) and \(r\). Then, we use the substitution \(n=k-1\).Käytetään vastaavaa ideaa kuin a-kohdassa. Muutetaan lauseke ensin muotoon, josta nähdään \(a\) ja \(r\) selvästi. Käytetään muuttujanvaihtoa \(n=k-1\). \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n+[value]}}{e^{n-[value]}} = \sum_{n=0}^\infty 2^[value] e^[value] \frac{2^n}{e^n} = \sum_{n=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^n = \sum_{k-1=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^{k-1} \] Comparing this form to the general expression of the geometric sum, we see that \(a = 2^[value]e^[value]\) and \(r = 2/e\). Thus, we getVerrataan lauseketta edellä esitettyyn äärettömään geometriseen sarjaan. Nyt \(a = 2^[value]e^[value]\) ja \(r = 2/e\). Tulokseksi saadaan siten \[ \sum_{k-1=0}^\infty 2^[value] e^[value] \left(\frac{2}{e}\right)^{k-1} = \frac{2^[value] e^[value]}{1-\frac{2}{e}} = \frac{2^[value] e^{[value]+1}} {e-2}. \]

Determine the sum of the series \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value].\] If the series diverges, answer either \(\infty\) or \(-\infty\) depending on which way the divergence occurs. The symbol \(\pi\) should be denoted as pi. For \(\infty\) and \(-\infty\), use commands inf and minf, respectively.Laske sarjan \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] summa. Jos sarja mielestäsi hajaantuu, merkitse joko \(\infty\) (komento inf) tai \(-\infty\) (komento minf) riippuen sarjan hajaantumissuunnasta. Symboli \(\pi\) kirjoitetaan muodossa pi.

\[\sum_{n=1}^{\infty} [value]\] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The series \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] is geometric, because it is of the form \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n , \] which can be seen by simplifying \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n} \] Therefore, \[a=\frac{-[value]}{[value]^[value]}=q.\] Since the sum of the series of the form \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n \] is \[ \frac{a}{1-q}, \] then the sum of the given series is \[ \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{-[value]}{[value]^[value]}}{1-\frac{-[value]}{[value]^[value]}} = [value] \]Sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] \] on geometrinen, koska se on muotoa \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n , \] mikä nähdään sieventämällä sarjaa: \[ \sum_{n=1}^{\infty} [value] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-[value]}{[value]^[value]} \cdot \left(\frac{-[value]}{[value]^[value]}\right) ^{n} \] Nyt siis \[a=\frac{-[value]}{[value]^[value]}=q.\] Muotoa \[ \sum_{n=0}^{\infty} a q^n \] olevan sarjan summa on \[ \frac{a}{1-q}, \] joten tehtävän sarjan summa on \[ \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{-[value]}{[value]^[value]}}{1-\frac{-[value]}{[value]^[value]}} = [value] \]

Ratkaise epäyhtälö \[ \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}<2. \]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\)

Solve the inequality \[ \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}<2. \]

Give your answer in the form \(x < a, \ x>a,\ldots .\)

Vastaus: Kun The answer: When ja and .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}&<2\\ -4x+\frac{5x^2}{2} &< 2 \\ \frac{-8x+5x^2-4}{2} &< 0\,\,|\cdot 2>0\\ 5x^2-8x-4 &< 0 \end{align*} Epäyhtälön vasen puoli kuvaa ylöspäin aukeavaa paraabelia. Käyvät \(x\):n arvot löytyvät siis kyseisen paraabelin nollakohtien välistä. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa \(-\tfrac25\) ja \(2\), joten epäyhtälön ratkaisu on \(x\gt -\tfrac25\) ja \(x\lt 2\). \begin{align*} \sum\limits_{k=[value]}^{[value]}(-1)^{k}\dfrac{([value])x^{[value]}}{[value]}&<2\\ -4x+\frac{5x^2}{2} &< 2 \\ \frac{-8x+5x^2-4}{2} &< 0\,\,|\cdot 2>0\\ 5x^2-8x-4 &< 0 \end{align*} The left hand side of the inequality describes a parabola opening upwards. The values of \(x\) satisfying the inequality are between the zero points of the parabola. The zero points are in this case \(-\tfrac25\) and \(2\). Therefore, the solution of the inequality is \(x\gt -\tfrac25\) and \(x\lt 2\).