Title: MAT-01460 Matematiikka 4

Hae funktion \(f(x,y) = [value]\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa { [x1, y1], [x2, y2], ..., [xn, yn] }
Feedback: Mallivastaus: Koska funktion \(f\) molemmat osittaisderivaatat ovat olemassa kaikkialla, sen kriittisiä pisteitä ovat kaikki ne pisteet, joissa funktion molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. Lasketaan ensin osittaisderivaatat: \[ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial x} & = [value] = [value], \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = [value] = [value]. \end{split} \] Osittaisderivaatoista nähdään heti, että yksi funktion \(f\) kriittisistä pisteistä on \( (0,0) \). Lisäksi jos \(x=0\) ja \(y \neq 0\), saadaan \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0\) ja \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = [value]\), mistä saadaan toiseksi kriittiseksi pisteeksi \(\left(0,[value]\right)\). Vastaavasti jos \(y=0\) ja \(x \neq 0\), saadaan \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0\) ja \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = [value]\), mistä saadaan kolmanneksi kriittiseksi pisteeksi \(\left([value], 0\right)\). Funktiolla on vielä neljäs kriittinen piste muotoa \( x \neq 0\) ja \(y \neq 0 \), mistä saadaan \(x\):lle ja \(y\):lle yhtälöpari \[ \begin{cases} [value] = 0 \\ [value] = 0 \end{cases}, \] josta saadaan ratkaistua funktion neljänneksi kriittiseksi pisteeksi \(\left([value], [value]\right)\). Funktion \(f\) kriittiset pisteet ovat siis \[ \left\{ (0,0), \left(0, [value]\right), \left( [value], 0 \right), \left( [value], [value]\right) \right\}. \]

Olkoon \[\mathbf{r}(t)=\left( [value] t^2,\sin(\pi t),\frac{1}{t- [value] }\right).\]

a) Laske derivaattavektori \(\mathbf{r}'(t)\).
b) Millä \(t\):n arvolla ollaan käyrän pisteessä \(\left( [value], [value], \displaystyle \frac{1}{ [value] } \right) \)?
c) Laske derivaattavektori ko. pisteessä.

Huom1: Syötä vektorit muodossa [x, y, z]

a) \(\mathbf{r}'(t) = \)
b) \(t = \)
c)
Feedback: Mallivastaus: a) Derivaattavektori \(\mathbf{r}'(t)\) saadaan derivoimalla vektoria \(\mathbf{r}(t)\) komponenteittain \(t\):n suhteen: \[ \mathbf{r}'(t) = \left([value], \; [value], \; [value] \right). \] b) Vektorin \(\mathbf{r}(t)\) kolmas komponentti on ainoa, josta \(t\):n arvo voidaan yksikäsitteisesti määrittää. Ratkaistaan \(t\):n arvo sen perusteella: \[ \frac{1}{t - [value]} = \frac{1}{[value]} \; \Leftrightarrow \; t - [value] = [value] \; \Leftrightarrow \; t = [value]. \] c) Sijoitetaan a-kohdassa laskettuun derivaattavektorin lausekkeeseen \(t=[value]\): \[\mathbf{r}'([value]) = \left([value] \cdot [value], \; \pi \cdot \cos(\pi \cdot [value]), \; -\frac{1}{([value] - [value])^2} \right) = \left([value], \; [value], \; [value]\right)\].

Laske funktion \(F(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1^2x_2, -x_3e^{x_4}, x_1\sin(x_4)+x_2^2)\) derivaattamatriisi pisteessä \(([value],-1,-3,0)\).

Matriisin voit konstruoida matrix()-funktion avulla. Esimerkiksi

\( [value] \) kirjoitetaan matrix([100,200],[300,400])

eli jokainen rivi laitetaan hakasulkeisiin ja rivit erotellaan pilkulla. Lisäksi rivin alkiot erotellaan toisistaan pilkulla.

\(F\):n derivaattamatriisi on
Feedback: Mallivastaus: Derivaattamatriisia laskettaessa funktion \(F\) koordinaattifunktioita \(f_j\) käsitellään riveittäin: \[ F'(x_1,x_2,x_3,x_4) = \left[ \begin{array}{rrrr} 2x_1x_2 & x_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\mathrm{e}^{x_4} & -x_3\mathrm{e}^{x_4} \\ \sin(x_4) & 2x_2 & 0 & x_1\cos(x_4) \end{array} \right] \] ja nyt saadaan \[ F'([value],-1,-3,0) = \left[ \begin{array}{rrrr} [value] & [value] & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & [value] \end{array} \right] \].

Olkoon \[ f(x,y,z) = [value]. \]

a) Laske funktion \(f\) gradientti.

\(\nabla f = \)

Vektori syötetään käyttäen hakasulkuja, alkiot pilkulla toisistaan eroteltuna.

b) Laske funktion \(f\) suunnattu derivaatta pisteessä \(([value],[value],[value])\) vektorin \(\mathbf{u} = ([value],[value],[value])\) suuntaan.

Huom: Syötä vastauksesi murtolukumuodossa.

\(\mathrm{D}_{\mathbf{e}}f([value],[value],[value]) =\)
Feedback: Mallivastaus: a) Gradientti \( \nabla f \) saadaan laskemalla funktion \(f\) osittaisderivaatat \(x\):n, \(y\):n ja \(z\):n suhteen: \[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \; \frac{\partial f}{\partial y}, \; \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \left([value], \; [value], \; [value]\right). \] b) Normeerataan ensin suuntavektori \(\mathbf{u}\). Määritellään \[ \mathbf{e} = \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||} = \left([value],[value],[value] \right). \] Suunnattu derivaatta saadaan nyt \(f\):n gradientin ja normeeratun suuntavektorin \(\mathbf{e}\) pistetulona: \[ \mathrm{D}_{\mathbf{e}} f([value],[value],[value]) = \nabla f([value],[value],[value]) \bullet \mathbf{e} = \left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) +\left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) + \left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) = [value]. \]

Olkoon \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) määritelty seuraavasti:
\[ f(x,y) = [value]. \]

Valtse oikea vaihtoehto väittämälle: funktio \(f(x,y)\) on määritelty pisteessä
a) \(([value], [value])\).
b) \(([value], [value])\).
c) \(([value], [value])\).
d) \(([value], [value])\).
e) \(([value], [value])\).
Feedback: Mallivastaus: Funktio on määritelty niissä pisteissä, joissa juurrettava \([value]\) on ei-negatiivinen ja jakaja \([value]\) on erisuuri kuin nolla. Täten funktio on määritelty niissä pisteissä, joissa pätee \([value] > 0\). Lasketaan lausekkeen \([value]\) arvo kysytyissä pisteissä: \[ \begin{split} ([value],[value]): & [value] - [value] \cdot [value] - [value] = [value], \\ ([value],[value]): & [value] - [value] \cdot [value] - [value] = [value], \\ ([value],[value]): & [value] - [value] \cdot [value] - [value] = [value], \\ ([value],[value]): & [value] - [value] \cdot [value] - [value] = [value], \\ ([value],[value]): & [value] - [value] \cdot [value] - [value] = [value]. \end{split} \] Näin ollen funktio on määritelty pisteissä \( ([value], [value]) \), \( ([value], [value]) \) ja \( ([value], [value]) \), ja se ei ole määritelty pisteissä \( ([value], [value]) \) ja \( ([value], [value]) \).

Täydennä integroinnin välilvaiheet. Syötä \(e^{5x}\) muodossa exp(5*x). Ei pistevähennyksiä, tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus.

\(\displaystyle\int_0^1\int_0^1[value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y=\int_0^1\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^1\)  \(\displaystyle\mathrm{d}y\)

\(=\displaystyle\int_0^1\)  \(\displaystyle\mathrm{d}y\)

\(=\displaystyle\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^1\)

\(=\)
Feedback: Mallivastaus: \[\displaystyle\int_0^1\int_0^1[value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y=\int_0^1\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^1[value]\mathrm{d}y=\int_0^1\left([value]\right)\mathrm{d}y=\bigg/_{\mspace{-15mu}0}^1\left([value]\right)=[value]\]

Laske funktion \(f(x,y) = [value]\) integraali yli oheisen kuvan kolmiojoukon.

a) Määritä kuvan mukaisesti \(x\):n ja \(y\):n rajat.
\( \displaystyle \int\limits_{a_1}^{a_2} \int\limits_{b_1}^{b_2} ([value]) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \), missä
\(a_1 = \) , \(a_2 =\) , \(b_1 = \) ja \(b_2 = \)

b) Täydennä pyydetyt välivaiheet, kun \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\) ja \(b_2\) ovat a-kohdassa määrätyt rajat.
\( \displaystyle \int\limits_{a_1}^{a_2} \int\limits_{b_1}^{b_2} (x + 2y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \)
\(= \displaystyle \int\limits_{a_1}^{a_2} \)\(\, \mathrm{d}y\)
\( =\)
Feedback: Mallivastaus: a) Huomataan aluksi, että integroimisjärjestys on \(\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\), eli \(x\):n rajat pitää esittää \(y\):n funktioina ja siten \(y\):lle tulee vakiorajat. Integraali voitaisiin toki laskea myös toisessa järjestyksessä, mutta silloin se pitäisi jakaa kahteen osaan kohdasta \(x = [value]\), jossa \(y\):n alaraja vaihtuu. Määritetään siis ensin \(x\):n rajat \(y\):n funktioina. Koska \(x\):n kasvusuunta on kuvassa vasemmalta oikealle, nähdään, että suora \(y = [value]\) rajoittaa \(x\):ää ylhäältä ja suora \(y = [value]\) alhaalta. Näiden suorien yhtälöistä saadaan ratkaistua \(x\):lle \(x = [value]\) ja \(x = [value]\), ja siten \(b_1 = [value]\) ja \(b_2 = [value] \). Rajat \(y\):lle saadaan yksinkertaisesti hakemalla \(y\):n pienin ja suurin arvo kuvan kolmiojoukossa. Pienimmän arvonsa \(y\) saa suorien \(y = [value]\) ja \(y = [value]\) leikkauspisteessä, jossa \(y = [value]\), ja suurimman arvonsa \(y\) saa suoralla \(y = [value]\). Siten \(a_1 = [value]\) ja \(a_2 = [value] \). b) Ensimmäisessä välivaiheessa lasketaan integraali \[ \int\limits_{b_1}^{b_2}([value]) \, \mathrm{d}x, \] missä a-kohdan mukaisesti \(b_1 = [value]\) ja \(b-2 = [value]\). Saadaan \[ \begin{split} \int\limits_{[value]}^{[value]}([value]) \, \mathrm{d}x = & {\bigg/_{\mspace{-15mu}{[value]}}^{\,[value]}}\left( \frac{x^2}{2} + [value] \right) \\ = & \frac{([value])^2}{2} + 2 \cdot ([value]) \cdot y^2 - \frac{([value])^2}{2} - 2 \cdot ([value]) \cdot y^2. \end{split} \] Edellisen välivaiheen tulos sievenee kolmannen asteen polynomiksi, eli lasketaan integraalia \[ \int\limits_{a_1}^{a_2} ([value]) \, \mathrm{d}y, \] missä a-kohdan mukaisesti \(a_1 = [value]\) ja \(a_2 = [value]\). Saadaan \[ \int\limits_{[value]}^{[value]} ([value]) \, \mathrm{d}y = {\bigg/_{\mspace{-15mu}{[value]}}^{\,[value]}} \left( [value] \right)= [value]. \]

Q: Seuraavat funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty. Kysymys on joka kohdassa funktion \( f \) jatkuvuudessa määrittelyjoukossa \( D \).

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \), kun \( x\neq 0\) ja \( f(x,y)=0 \) muulloin sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\leq x, y\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2} \), kun \( (x,y)\neq (0,0) \) ja \( f(0,0)=1 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y)=x+2y+3 \) sekä \(D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0< x < 1, 0< y < 2 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( d) \) \( f(x,y)=x^2 + y^2 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x> 0, y>0 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( e) \) \( f(x,y)=\sin(\pi\sqrt{x^2 + y^2}) \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \dfrac{1}{2} \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( f) \) \( f(x,y)=xy \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=4x \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Olkoon \(T\subset\mathbb{R}^3\) tetraedri, jonka kärjet ovat origossa ja koordinaattiakseleilla pisteissä \(([value],0,0)\), \((0,[value],0)\) ja \((0,0,[value])\), ja olkoon \(f\colon T\to\mathbb{R}\) integroituva funktio. Kirjoita \(f\):n integraali yli \(T\):n oheisessa integroimisjärjestyksessä.  Ei pistevähennyksiä, tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. (Tekninen rajoite: kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.)
\begin{align*} \iiint_T f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\int_{c_1}^{c_2}f(x,y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z, \end{align*}

\(a_1 = \) , \(a_2 = \) , \(b_1 = \) , \(b_2 = \) , \(c_1 = \) , \(c_2 = \)
Feedback: Mallivastaus: Pisteiden \(([value],0,0)\), \((0, [value],0)\) ja \((0,0,[value])\) kautta kulkevan tason yhtälö on \[ \frac{x}{[value]} + \frac{y}{[value]} + \frac{z}{[value]} = 1, \] mistä voidaan ratkaista \(y\):lle yläraja \(x\):n ja \(z\):n funktiona. Saadaan \[ y = [value]. \] Seuraavaksi haetaan \(x\):lle yläraja \(z\):n funktiona. Asetetaan tason yhtälössä \(y = 0\) ja ratkaistaan \(x\): \[ x = [value]. \] Lopuksi \(z\):n rajat saadaan suoraan kärkipisteiden koordinaateista, eli \(z\):n yläraja on pisteen \((0,0,[value])\) mukaisesti \([value]\). Alaraja on \(0\) kaikissa integraaleissa, koska koordinaattitasot muodostavat tetraedrin muut tahkot.

Laske funktion \(f(x,y) = [value]\) integraali yli suorakulmion \[ R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \; [value] \leq x \leq [value], \, [value] \leq y \leq [value] \}. \]

Merkitse oheisen integraalilausekkeen perusteella oikeat arvot muuttujille \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\) ja \(b_2\), täydennä d\(x\) ja d\(y\) oikeaan järjestykseen, laske integraali ja kirjoita vastaus.

Huomaa, että mahdollisia integroimisjärjestyksiä on kaksi. Valitse niistä jompi kumpi.

\( \displaystyle \int\limits_{a_1}^{a_2} \int\limits_{b_1}^{b_2} x^2y \, \mathrm{d}\)\(\mathrm{d}\) \(=\) , missä

\(a_1 = \) ,
\(a_2 = \) ,
\(b_1 = \) ,
\(b_2 = \) .
Feedback: Mallivastaus: Integroimisjärjestyksiä on tosiaan kaksi ja siten rajat voidaan syöttää kahdella eri tapaa. Tässä pitää huomata, että sisemmät rajat \(b_1\), \(b_2\) vastaavat sitä muuttujaa, jonka suhteen integroidaan ensin, ja ulommat rajat \(a_1\), \(a_2\) vastaavat siten jälkimmäistä integraalimuuttujaa. Joukon \(R\) määritelmästä nähdään, että \([value] \leq x \leq [value]\) ja \([value] \leq y \leq [value]\), joten integroimisrajat voidaan kirjiottaa joko \[ \int\limits_{[value]}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x \quad \mbox{tai} \quad \int\limits_{[value]}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \] Koska integroimisalue on suorakulmio ja integraaleilla on siten vakiorajat, funktio \(f(x,y) = [value]\) kannattaa separoida laskemisen helpottamiseksi. Saadaan \[ \begin{split} \int\limits_{[value]}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x & = \left( \int\limits_{[value]}^{[value]} x^2 \, \mathrm{d}x \right) \left( \int\limits_{[value]}^{[value]} y \, \mathrm{d}y \right) \\ & = \left( {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \frac{x^3}{3} \right) \left( {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \frac{y^2}{2} \right)\\ & = \left(\frac{[value]^3}{3} - \frac{([value])^3}{3} \right) \left(\frac{[value]^2}{2} - \frac{([value])^2}{2} \right) \\ & = [value]. \end{split} \]

Selvitä funktion \( f \) määrittelyjoukko \( M_f\subset \mathbb{R}^2 \) ja merkitse laatikkoon \(M_f\):n kuvan numero 1-8. Vastaa pelkkä numero 1-8. Tehtävästä saa pisteitä vain jos kaikki kohdat ovat oikein.

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

[Image: kuvat]

Merkitse laatikkoon funktion \( f \) kuvaajan numero 1-6. Ohjeita: Selvitä esimerkiksi, miten \(f\) käyttäytyy, kun \(y\) pidetään vakiona ja \(x\) muuttuu (tai päinvastoin). Huomaa, että \(x^2+y^2\) on pisteen \((x,y)\) etäisyyden neliö origosta. Vastaa pelkkä numero 1-6. Tehtävästä saa pisteitä vain, jos kaikki kohdat ovat oikein.

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

\( f(x,y) = [value] \, \):

[Image: kuvat]

Oheisissa kuvissa on kohtien a-f funktioiden kuvaajat satunnaisessa järjestyksessä. Yhdistä oikea kuvaaja kuhunkin funktioon. (Vastaa pienin kirjaimin a-f.)

Ohje: näissä funktio on summa \(x\):n ja \(y\):n funktiosta. Kiinnitä \(x\) ja tutki, mitä tapahtuu \(y\)-suunnassa (ja päinvastoin).

\( \textbf{(a)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(b)} \; [value]: \)
\(\textbf{(c)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(d)} \; [value]: \)
\( \textbf{(e)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(f)} \; [value]: \)

[Image: fig4752]
Feedback: Mallivastaus: Oikeat kirjain-funktioparit ovat: \(\textbf{(a)}: \; [value], \quad \textbf{(b)}: \; [value] ,\) \(\textbf{(c)}: \; [value], \quad \textbf{(d)}: \; [value], \) \(\textbf{(e)}: \; [value], \quad \textbf{(f)}: \; [value]\).

Kuvassa 1 (ylempi kuva) on kohtien a-f funktioiden kuvaajat, ja Kuvassa 2 (alempi kuva) on vastaavien funktioiden tasa-arvokäyrät satunnaisessa järjestyksessä. Yhdistä kuhunkin kohtaan oikea kuva tasa-arvokäyrästä. (Vastaa pienin kirjaimin a-f.)

\( \textbf{(a)} \; \displaystyle z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2}, \quad |x| \leq 2, \; |y| \leq 2: \)
\( \textbf{(b)} \; \displaystyle z = r^2 \mathrm{e}^{-r^2}\cos^2\left(\frac{3}{2}\theta\right), \quad |x| \leq 3, \; |y| \leq 3: \)
\( \left(r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \verb+atan2(x,y)+\right) \)
\( \textbf{(c)} \; \displaystyle z = \cos\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right), \quad |x| \leq 10, \; |y| \leq 10: \)
\( \textbf{(d)} \; \displaystyle z = x \mathrm{e}^{-x^2 - y^2}, \quad |x| \leq 2, \; |y| \leq 2: \)
\( \textbf{(e)} \; \displaystyle z = 3(x^2 + 3y^2)\mathrm{e}^{-x^2 - y^2}, \quad |x| \leq 2.5, \; |y| \leq 2.5: \)
\( \textbf{(f)} \; \displaystyle z = xy\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)}, \quad |x| \leq 3.5, \; |y| \leq 3.5: \)

[Image: fig5358surf]
Kuva 1: Funktioiden kuvaajat.

[Image: fig5358contour]
Kuva 2: Funktioiden tasokäyrät satunnaisessa järjestyksessä.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \; \displaystyle z = \frac{1}{1 + x^2 + y^2}, \quad |x| \leq 2, \; |y| \leq 2: \; \textbf{c} \) \( \textbf{(b)} \; \displaystyle z = r^2 \mathrm{e}^{-r^2}\cos^2\left(\frac{3}{2}\theta\right), \quad |x| \leq 3, \; |y| \leq 3: \; \textbf{d}\) \( \textbf{(c)} \; \displaystyle z = \cos\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right), \quad |x| \leq 10, \; |y| \leq 10: \; \textbf{e} \) \( \textbf{(d)} \; \displaystyle z = x \mathrm{e}^{-x^2 - y^2}, \quad |x| \leq 2, \; |y| \leq 2: \; \textbf{f} \) \( \textbf{(e)} \; \displaystyle z = 3(x^2 + 3y^2)\mathrm{e}^{-x^2 - y^2}, \quad |x| \leq 2.5, \; |y| \leq 2.5: \; \textbf{a} \) \( \textbf{(f)} \; \displaystyle z = xy\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)}, \quad |x| \leq 3.5, \; |y| \leq 3.5: \; \textbf{b} \)

Olkoon \(T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon4\le x^2+y^2+z^2\le9,\ x\le0,\ z\le0\}\). Muunna pallokoordinaatteihin.  Ei pistevähennyksiä, tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. (Tekninen rajoite: kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.)

Huom1: käytä vastauksissasi \(\rho =\) rho, \(\phi =\) phi ja \(\theta =\) th
Huom2: \(\pi\) = pi

\( \displaystyle \iiint_Txyz\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2}\)\(\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta\), missä
\(\theta_1=\) , \(\theta_2=\) , \(\phi_1=\) , \(\phi_2=\) , \(\rho_1=\) ja \(\rho_2=\) .

[Image: t2]
Feedback: Pallokoordinaatistoon siirryttäessä \( \displaystyle x=\rho sin(\phi) cos(\theta),\ \ y=\rho sin(\phi) sin(\theta), \ \ z=\rho cos(\phi)\) ja tilavuuden suurennussuhde on \(\rho^2 sin(\phi) \). Kappale on onton pallon neljännes ja integraalin rajat ja muunnettu funktio on \( \displaystyle \iiint_Txyz\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{2}^{3}\rho sin(\phi) cos(\theta)\cdot\rho sin(\phi) sin(\theta)\cdot\rho cos(\phi)\cdot\rho^2 sin(\phi)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta = \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{2}^{3} \rho^5 sin^3(\phi) cos(\theta) sin(\theta) cos(\phi)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta = 0\)

\( \textbf{(a)} \) Parametrisoi vasemmalle aukeava paraabeli \(x = [value] \) välillä \(-3 \leq y \leq 4\).
\(\mathbf{r}(t) = \) \(, \quad \) \(\leq t \leq\)

\( \textbf{(b)} \) Laske derivaattavektori \( \mathbf{r}'(t) = \) .
\( \textbf{(c)} \) Millä \(t\):n arvolla \(T\) ollaan käyrän pisteessä \( ( [value], [value] ) \)?
\(T = \)
\( \textbf{(d)} \) Laske parametrisointisi antama derivaattavektori (eli tangenttivektori \( \mathbf{t}\)) ko. pisteeseen:
\( \mathbf{t} = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska paraabelin yhtälö on muotoa \(x = [value] \), helpoin tapa parametrisoida se on valita \(y(t) = t\) ja siten \(x(t) = [value] = [value]\). Parametrisoinniksi saadaan siis \(\mathbf{r}(t) = ([value], [value]) \), ja koska \(y(t) = t\), niin rajoista \([value] \leq y \leq [value] \) saadaan suoraan \(t\):lle rajat \([value] \leq t \leq [value] \). \( \textbf{(b)} \) Derivaattavektori saadaan derivoimalla a-kohdan vastausta komponenteittain \(t\):n suhteen: \( \mathbf{r}'(t) = ([value], [value] ) \). \( \textbf{(c)} \) Koska parametrisoinniksi valittiin \(\mathbf{r}(t) = ([value], [value]) \), niin nähdään suoraan, että pisteessä \( ([value], [value] ) \) ollaan \(t\) arvolla \(T = [value] \). \( \textbf{(d)} \) Tangenttivektori pisteeseen \( ([value], [value] ) \) saadaan yksinkertaisesti laskemalla derivaattavektorin arvo ko. pisteessä, eli \( \mathbf{t} = \mathbf{r}'([value]) = ( [value], [value] ) \).

Olkoon \(f(x,y,z) = [value] \). Laske seuraavat osittaisderivaatat:

a) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial [value]} = \)

b) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial [value]} = \)

c) \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value]\, \partial [value]} = \)

d) \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value]^2} = \)
Feedback: Mallivastaus: a) Laskettaessa osittaisderivaattaa \( [value] \):n suhteen muita muuttujia käsitellään vakioina: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value] = [value]. \] b) Laskettaessa osittaisderivaattaa \( [value] \):n suhteen muita muuttujia käsitellään vakioina: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value] \]. c) Vaihtosäännön (Lause 1.57) mukaan \( \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} = \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} \), joten kysytty osittaisderivaatta saadaan derivoimalla edellisessä kohdassa saatua tulosta edelleen \( [value] \):n suhteen: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} = \frac{\partial}{\partial [value]} \left( \frac{\partial f}{\partial [value]} \right) = [value]. \] d) Toisen kertaluvun osittaisderivaatan laskemiseksi \([value] \):n suhteen lasketaan ensin ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatta \([value] \):n suhteen: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value]. \] Nyt toisen kertaluvun osittaisderivaataksi \([value] \):n suhteen saadaan \[ \frac{\partial^2 f}{\partial [value]^2} = [value]. \]

Olkoon \(A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \, 1 \leq x^2 + y^2 \leq [value]^2, \, y \;\)\(\leq [value] \} \) \(\geq [value] \} \). Muunna napakoordinaatteihin ja laske integraali. Käytä tarvittaessa negatiivisia \(\theta\):n arvoja \( (-\pi \leq \theta \leq 2 \pi) \). Ei pistevähennyksiä, tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. (Tekninen rajoite: kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.)
Huom1: \(\sqrt{2}\) syötetään sqrt(2).
Huom2: käytä vastauksissasi \(r = \) r ja \(\theta =\) th.
Huom3. \(\pi = \) pi.

\(\displaystyle \iint\limits_A [value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2}\) \(\mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \) , missä

\(\theta_1 = \) , \(\theta_2 = \) , \(r_1 = \) ja \(r_2 = \) .
Feedback: Mallivastaus: Napakoordinaattimuutoksessa \(x=r\cos(\theta)\) ja \(y=r\sin(\theta)\). Lisäksi funktio pitää kertoa suurennussuhteella \(r\). Integrointirajat saadaan joukon \(A\) mukaan piirretystä kuvasta. Nähdään, että \(r_1 = [value]\) ja \(r_2 = [value]\), ja että \(\displaystyle \theta_1 = [value]\) ja \(\displaystyle \theta_2 = [value]\). Saadaan (voidaan separoida) \[ \int\int\limits_A^{} [value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int\limits_{[value]}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{[value]} r^2\cos(\theta) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta= \left( \int\limits_{[value]}^{[value]} r^2\, \mathrm{d}r \right)\left(\int\limits_{[value]}^{[value]}\cos(\theta) \,\mathrm{d}\theta\right)= {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \frac{r^3}{3} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \sin(\theta) = [value]\sqrt{2} \] \[ \int\int\limits_A^{} [value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int\limits_{[value]}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{[value]} r^2\sin(\theta) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \left( \int\limits_{[value]}^{[value]} r^2\, \mathrm{d}r \right)\left(\int\limits_{[value]}^{[value]}\sin(\theta) \,\mathrm{d}\theta\right)= {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \frac{r^3}{3} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} -\cos(\theta) = [value]\sqrt{2} \]

Olkoon \(T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon x^2+y^2\le1,\ x\le0,\ y\le0,\ -2\le z\le 4-x-y\}\). Muunna sylinterikoordinaatteihin.  Tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. Kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.

Huom1: käytä vastauksissasi \(\theta =\) th.
Huom2: \(\pi =\) pi

\( \displaystyle \iiint_Txyz\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}\)\(\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\), missä
\(\theta_1=\) , \(\theta_2=\) , \(r_1=\) , \(r_2=\) , \(z_1=\) ja \(z_2=\) .

[Image: t1]
Feedback: Sylinterikoordinaatistoon siirryttäessä \(z-\)muuttuja pysyy ennallaan ja \(x,y-\) koordinaatit muutetaan napakoordinaatteihin \(x=rcos(\theta),\ y=rsin(\theta)\). Lisätään pinta-alamuuntosuhde \(r\). Kappaleen projektio \(xy-\)tasossa on yksikköympyrän neljännes 3. neljänneksessä. Integraalin rajoiksi ja muunnetuksi funktioksi saadaan \( \displaystyle \iiint_Txyz\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{\pi}^{3\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{-2}^{4 - r(cos(\theta) + sin(\theta))}rcos(\theta)\cdot rsin(\theta)\cdot z \cdot r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\int_{\pi}^{3\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{-2}^{4 - r*(cos(\theta) + sin(\theta))}r^3cos(\theta)sin(\theta) z \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{96}-\frac{53}{40}\) Tässä annettiin myös integraalin arvo, mutta sitä ei tehtävässä pyydetty ratkaisemaan.

Tutkitaan ellipsiä \( x^2 + x \cdot y + y^2 = 7 \).

a) Laske gradientin avulla normaalivektori \( \mathbf{n} \) ellipsin pisteeseen \( \mathbf{p} = ([value], [value]) \). Anna vastaus vektorina muodossa [x,y].

\( \mathbf{n} = \)

/*Ei pistevähennyksiä, tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus.*/

b) Laske pisteeseen \( \mathbf{p} \) piirretyn tangenttisuoran yhtälö muodossa \( y = ax + b \).

\( y = \)
Feedback: Mallivastaus: a) Normaalivektorin \(\mathbf{n}\) laskemiseksi ellipsin pisteeseen \( \mathbf{p} \) tulkitaan ellipsi funktion \( f(x,y) = x^2 + x \cdot y + y^2 \) tasa-arvokäyräksi \( f(x,y) = 7 \). Nyt \( \nabla f(x,y) = (2 \cdot x + y, \; 2 \cdot y + x) \), joten ellipsin eräs normaalivektori pisteessä \(\mathbf{p} \) on \( \mathbf{n} = \nabla f([value],[value]) = ([value], [value]) \). b) Tangenttisuoran yhtälö on \((\mathbf{x} - \mathbf{p}) \bullet \mathbf{n} = 0\), missä \(\mathbf{x} = (x,y)\). Sijoittamalla yhtälöön \(\mathbf{p} = ([value],[value])\) ja a-kohdan perusteella \(\mathbf{n} = ([value], [value]) \) saadaan \([value] = 0\), mistä saadaan \[ y = \displaystyle [value]. \]

Laske funktion \(f(x,y) = [value]\) kuvaajan pisteeseen \(([value],[value],[value])\) piirretyn tangenttitason yhtälö. Pistevähennys 0,1/väärä vastaus. Paina Lukitsen vastaukseni ennen palauttamista, niin voit korjata mahdolliset virheet. Huomaa, että voit helposti tarkastaa vastauksesi varmistamalla, että  \(x\):n ja \(y\):n kertoimina ovat osittaisderivaatat ko. pisteessä ja että taso kulkee halutun pisteen kautta.

\(z=\)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \(f(x,y) \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value], [value]) \) piirretyn tangettitason yhtälö on \[ z = f([value],[value]) + \frac{\partial f}{\partial x}([value],[value])([value])) + \frac{\partial f}{\partial y}([value],[value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) osittaisderivaatat: \[ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial x} = [value], \\ \frac{\partial f}{\partial x} = [value]. \end{split} \] Nyt tangenttitason yhtälöksi saadaan \[ z = [value] + [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value]). \]

[value]

Mikä on funktion \(f(x,y) = [value]x^2 +[value]xy + [value]y  \) tangenttitaso pisteessä \(  x=[value], y=[value]  \). Tangenttitaso on  muotoa \( z=ax+by+c \). Anna vastauksessasi vakioiden \(a,b,c\) arvot.

 \(\displaystyle z = \) \(\displaystyle x + \) \(\displaystyle y + \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \(f(x,y)=[value]x^2 +[value]xy + [value]y \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value], [value]) \) piirretyn tangettitason yhtälö on \[ z = f([value],[value]) + \frac{\partial f}{\partial x}([value],[value])([value])) + \frac{\partial f}{\partial y}([value],[value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) ja sen osittaisderivaattojen arvot pisteessä \(([value], [value])\) \[ \begin{split} f(x,y)=[value]x^2 +[value]xy + [value]y, \ \ f([value],[value])=[value] \\ \frac{\partial f}{\partial x} = [value] x+[value]y, \ \ \frac{\partial f}{\partial x}([value],[value]) = [value] \\ \frac{\partial f}{\partial y} = [value]x+[value],\ \ \frac{\partial f}{\partial y}([value],[value])= [value]\end{split} \] Nyt tangenttitason yhtälöksi saadaan \[ z = [value] + [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value])=[value]x+[value]y+[value]. \]

Q: Seuraavat kolmen muuttujan funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty. Kysymys on funktion \( f \) jatkuvuudesta määrittelyjoukossa \( D \). Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \), kun \( (x,y,z)\neq (0,0,0) \) ja \( f(0,0,0)=10 \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} } \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0 < \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}<1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\geq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value] \) maksimi- ja minimiarvot suoralta \(y=2x\), jossa \(x\in [1,[value]] \).

Huom: anna vastaukset likiarvoina muodossa \(\{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n} \} \) ja kahden desimaalin tarkkuudella!

Minimit:

Maksimit:
Feedback: Mallivastaus: Sijoitetaan suoran yhtälö \(y=2x \) funktioon \( f(x,y) \) ja saadaan yhden muuttujan funktio \( f(x)=[value]\). Koska \( x \) on rajoitettu suljetulle välille \( [1,[value]] \), niin funktio \( f(x)=[value] \) saa pienimmän ja suurimman arvonsa tuolla välillä tai sen päätepisteissä. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \) ja saadaan \( f'(x)=[value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat ja saadaan vastaukseksi \( [value] \). Voidaan heti hylätä nollakohta \([value] \), koska se ei ole suljetulla välillä \( [1,[value]] \). Huomataan, että toinen nollakohta on tuolla välillä. Tällöin voidaan tarkistaa, että mikä arvo funktiolla \(f(x) \) on, kun \( x \) saa arvon \([value] \). Sijoitetaan tämä funktioon \( f(x)=[value] \) ja saadaan \( f\bigg([value]\bigg)=[value] \). Seuraavaksi sijoitetaan suljetun välin \( [1,[value]] \) päätepisteet funktioon \( f(x) \) ja selvitetään, että mitkä ovat funktion \( f(x) \) arvot päätepisteissä, jolloin saadaan \( f(1)=[value] \) ja \( f([value])=[value] \). Havaitaan, että maksimin tilanne on selvä, mutta täytyy vielä tarkistaa minimin tilanne. Tätä varten tarvitaan likiarvo luvusta \( f\bigg([value]\bigg)=[value] \), joka on viiden desimaalin tarkkuudella \( [value] \) ja huomataan, että se on minimi.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value] \) maksimi- ja minimiarvot käyrältä \(r(t)=([value],[value]) \), missä \([value]\leq t \leq [value] \).

Huom: anna vastaukset muodossa \(\{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n} \} \).

Minimit:

Maksimit:
Feedback: Mallivastaus: Ensin muunnamme käyrän \( r(t) \) muotoon \( y=x \) ja sijoitamme sen funktioon \( f(x,y)=[value] \), josta saamme yhden muuttujan funktion \( h(x)=[value]\). Derivoimme funktion \( h(x) \) ja saamme derivaataksi \( h'(x)=([value]) \). Seuraavaksi ratkaisemme sen nollakohdat ja saamme nollakohdiksi \( [value] \). Sitten selvitämme suljetun välin, jolla muuttuja \( x \) saa suurimman ja pienimmän arvonsa, jotka saamme käyrän \( r(t)\) avulla ja se on \( \bigg[[value] , [value]\bigg] \). Lopuksi selvitämme kokeilemalla minimin ja maksimin: \( \begin{align*} &f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\end{align*} \) joten saamme minimiksi [value] ja maksimiksi [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value]\) maksimi ja minimi arvot ellipsin \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid [value]\leq 1 \} \) alueelta.

Vinkki: muista osan yksi sijoitusmenetelmä.

Huom: anna vastaus muodossa \( \{x_{0},\ldots,x_{n}\} \).

Maksimit:

Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan aluksi funktion \( f(x,y)=x^{2}+y^{2} \) osittaisderivaatat, joiksi saadaan \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=2y.\end{align*} \) Funktiolla \( f \) on siis kriittinen piste pisteessä \( (0,0) \). Tarkastellaan seuraavaksi ellipsin yhtälöä \( [value] = 1 \) ja ratkaistaan siitä \( y^{2} \): \( \begin{align*}y^{2}=[value]-\dfrac{[value]x^{2}}{[value]}. \end{align*} \) Sijoitetaan \( y^2 \) funktioon \( f \), josta saadaan yhden muuttujan funktio \( \begin{align*}g(x)=[value].\end{align*} \) Derivoidaan funktio \( g \), jolloin derivaataksi saadaan \( \begin{align*}g'(x)=[value],\end{align*} \) joten funktiolla \( g \) on ääriarvo pisteessä \( 0 \) ja se on \( g(0)=[value]\). Ratkaisemalla ellipsin yhtälöstä \( x^2 \) saadaan funktio \( h(y)=[value] \) ja sille ääriarvo pisteessä \( 0 \), joka on \( h(0)=[value]\). Näin ollen funktiolla \( f \) on minimi pisteessä \( (0,0) \) ja se on \( f(0,0)=0 \). Lisäksi maksimit pisteissä \( (0,-9) \) ja \( (0,9) \), jotka molemmat ovat \( f(0,-9)=f(0,9)=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske funktion \( f(x,y)=[value]\) minimi ja maksimi arvot käyrien \(a(t)=([value],[value]) \), \( b(t)=([value],[value]) \) ja \( c(t)=([value],[value]) \), missä \(0\leq t \leq 1 \), rajaaman kolmion alueella.

Huom: anna vastaus kahden desimaalin (käytä pilkun sijaan pistettä) tarkkuudella muodossa \( \{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n}\} \).

Maksimit:

Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Aluksi muodostetaan funktion \( f(x,y)=[value]\) osittaisderivaatat, joiksi saadaan \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x-1,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=2y+1.\end{align*}\) Ratkaistaan pisteet, joissa osittaisderivaatat ovat nollia muodostamalla yhtälöpari: \(\begin{cases}2x-1&=0\\ 2y+1&=0.\end{cases}\) Nähdään heti, että osittaisderivaatat ovat nolla pisteessä \( \bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg) \), joka on kriittinen piste. Funktion arvo pisteessä \( \bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg) \) on \( f\bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg)=[value] \). Seuraavaksi sijoitetaan käyrät funktioon \( f \), josta saadaan yhden muuttujan funktio. Derivoidaan tämä uusi yhden muuttujan funktio ja ratkaistaan sen nollakohdat. Uudet funktiot ovat muuttujan \( t \) funktioita missä \( t\in[0,1] \). \(\begin{align*}a_{2}(t)&=[value]\\ b_{2}(t)&=[value]\\ c_{2}(t)&=[value]\end{align*} \) Sitten derivoidaan uudet funktiot. \(\begin{align*}a'_{2}(t)&=[value]\\ b'_{2}(t)&=[value]\\ c'_{2}(t)&=[value]\end{align*}\) Ratkaistaan derivaattojen nollakohdat. \(\begin{align*}t_{a_{2}}&=[value]\\ t_{b_{2}}&=[value]\\t_{c_{2}}&=[value]\end{align*}\) Sijoitetaan derivaattojen nollakohdat funktiohin \( a_{2}, b_{2}, c_{2} \) ja saadaan pisteissä \(([value],[value]),([value],[value]),([value],[value]) \) funktion \( f \) arvoiksi vastaavasti \( a_{2}([value])=[value]\approx [value], b_{2}([value])=[value]\approx[value], c_{2}([value])=[value]\approx[value] \). Sitten lasketaan funktion \( f \) arvot kolmion kärkipisteissä \( (3,4), (2,-4), (3,2) \) ja saadaan \(f(3,4)=[value], f(2,-4)=[value], f(-3,2)=[value]. \) Lopuksi verrataan saatuja funktion \( f \) arvoja ja saadaan maksimiksi \( f(3,4)=[value] \) ja minimiksi \( f\bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg)=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=x^{2}-xy-y^{3}+1 \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}],\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \(f(x,y)=x^{2}-xy-y^{3} +1\) osittaisderivaatat \(\begin{align*}&\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2x-y,\\ &\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)=-x-3y^{2}.\end{align*} \) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}2x-y&=0\\-x-3y^{2}&=0\end{cases} \) Yhtälöpari toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( -6y-1=0 \), joten tästä saadaan kaksi yhtälöparia \(\begin{cases}y&=0\\ -x-3y^{2}&=0\end{cases} \) ja \(\begin{cases}-6y-1&=0\\ -x-3y^{2}&=0.\end{cases} \) Ylemmästä yhtälöparista saadaan \( x=0 \), kun \( y=0 \) sijoitetaan alempaan yhtälöön. Alemmasta yhtälöparin ylemmästä yhtälöstä saadaan \( y=-\dfrac{1}{6} \) ja edelleen sijoittamalla se alempaan yhtälöön \( x=-\dfrac{1}{12} \). Joten funktion \( f \) kriittiset pisteet sijaitsevat pisteissä \( \bigg\{ \bigg[0,0\bigg],\bigg[-\dfrac{1}{12},-\dfrac{1}{6}\bigg]\bigg\}. \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=x^{2}(x-y)^{4} \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\dots,a_{n}x+b_{n}y=c_{n} \} \).
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \( f(x,y)=x^{2}(x-y)^{4} \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x(x-y)^{4}+4x^{2}(x-y)^{3},\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-4x^{2}(x-y)^{3}.\end{align*}\) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}2x(x-y)^{4}+4x^{2}(x-y)^{3}&=0\\ -4x^{2}(x-y)^{3}&=0\end{cases}\) Välittömästi havaitaan, että yhtälöpari toteutuu, kun \( x=0 \) ja \( y=x \). Näin ollen suorat \( x=0 \) ja \( y=x \) muodostavat funktion \( f \) kriittisten pisteiden joukon.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=xy^{2}-4xy+3y \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}],\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin funktion \( f \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=y^{2}-4y,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-2x+3.\end{align*}\) Muodostetaan sitten yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat derivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}y^{2}-4y&=0\\ -2x+3&=0\end{cases} \) Ylempi yhtälö toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( y=4 \), ja alempi, kun \( x=\frac{3}{4} \) tai \( x=-\frac{3}{4} \), joten kriittiset pisteet ovat \(\bigg( \dfrac{3}{4},0 \bigg) \) ja \( \bigg(-\dfrac{3}{4},4 \bigg) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=xy+\dfrac{18}{x}+\dfrac{12}{y} \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}]\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \( f \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=y-\dfrac{18}{x^2},\\ \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=x-\dfrac{12}{y^2}.\end{align*} \) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan sijoittamalla pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}y-\dfrac{18}{x^2}&=0\\x-\dfrac{12}{y^2}&=0\end{cases} \) Helposti nähdään, että yhtälöparin ainoa ratkaisu on \( (3,2) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Mikä on funktion \(f(x,y) = [value]x+ [value]y - 5xy+[value] \) suurin ja pienin arvo suljetussa kolmiojoukossa, jonka kärkipisteet ovat \( (0,0), (0,[value]), ([value],0)  \)

Suurin arvo on   ja se saavutetaan pisteessä   Anna piste muodossa  [x, y] ja luvut murtolukuina.

Pienin arvo on   ja se saavutetaan pisteessä   Anna piste muodossa  [x, y] ja luvut murtolukuina.
Feedback: Mallivastaus: Suljetussa ja rajoitetussa joukossa jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Ääriarvopisteet löytyvät kohdista, joissa 1) osittaisderivaatat = 0 2) osittaisderivaattoja ei ole määritelty tai 3) joukon reunapisteiden joukosta Koska funktion \(f\) molemmat osittaisderivaatat ovat olemassa kaikkialla, sen kriittisiä pisteitä ovat kaikki ne pisteet, joissa funktion molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \[ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial x} & = [value] - 5*y=0 , \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = [value] - 5*x=0 \end{split} \] josta saadaan kriittinen piste \( ([value], [value] ) \). Tämä piste kuuluu kolmiojoukkoon ja funktion arvo tässä pisteessä on \( f([value], [value]) =[value] \). Kolmion reunalla \( x=0 \) funktio saa arvon \( f(0,y)=[value]y + [value] \), jolla on pienin arvo \( f(0,0)=[value] \) ja suurin arvo \( f(0,[value])= [value] \). Kolmion reunalla \( y=0 \) funktio saa arvon \( f(x,0)=[value]x + [value] \), jolla on pienin arvo \( f(0,0)= [value]\) ja suurin arvo \( f([value], 0)= [value] \). Kolmion hypotenuusalla \(y=[value] \). Kun tämä sijoitetaan funktioon, saadaan \( f(x,[value])=[value]*x+[value] -5*[value] = [value]\) Derivoidaan tämä x:n suhteen ja saadaan derivaatan nollakohdaksi \( x=[value] \), joka sijaitsee välillä \( [0,[value]] \) Yksi ääriarvopiste-ehdokas on siis \( ([value], [value]) \) ja funktion arvo tässä pisteessä on \(f ([value], [value]) = [value] \) Valitaan lopuksi ehdokkaista suurin ja pienin arvo.

Etsi ja luokittele kaikki funktion \(f(x,y) = [value]x^3+ xy^2+ [value]x^2+y^2 \) kriittiset pisteet.
Anna vastaukset muodossa {[x1,y1],[x2,y2],...} eli  luettele aaltosulkeiden välissä kaikki minimi/maksimi/satulapisteet hakasuluissa. Jos pisteitä on vain yksi, niin ilmoita sekin muodossa {[x,y]}. Ilmoita muut kuin kokonaisluvut murtolukuina.

a) Lokaaleja minimipisteitä ovat
b) Lokaaleja maksimipisteitä ovat
c) Satulapisteitä ovat
Feedback: Mallivastaus: Etsitään ensin funktion \(f(x,y) = [value]x^3+ xy^2+ [value]x^2+y^2 \) kriittiset pisteet osittaisderivaattojen nollakohdista \[ \left\{\begin{split} \frac{\partial f}{\partial x} &=[value]=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=[value]=0 \end{split} \right. \] Jälkimmäisestä yhtälöstä \(y^2+2xy=y(2x+2)=0\) saadaan ratkaisut \(y=0,\ x=-1\). Kun \(y=0\), ensimmäisestä yhtälöstä saadaan ratkaisut \(x=0\) ja \(x=[value]\). Kun \(x=-1\), ensimmäisestä yhtälöstä saadaan ratkaisut \(y=[value]\) ja \(y=[value]\). Näin on saatu yhteensä 4 kriittistä pistettä \[ [0,0], [[value],0], [-1,[value]],[-1,[value]] \] Muodostetaan Hessen matriisi \[ H(x,y)=[value] =[value]\] Kriittinen piste \([0,0] \) on minimipiste, sillä \[ H(0,0)=[value],\ \ A=[value]>0\ \ ja \ \ \Delta=AC-B^2=[value]>0,\] Kriittinen piste \([[value],0] \) on maksimipiste, sillä \[ H([value],0)=[value],\ \ A=[value]<0\ \ ja \ \ \Delta=AC-B^2=[value]>0\] Kriittinen piste \([-1,[value]] \) on satulapiste, sillä \[ H(-1,[value])=[value],\ \ \Delta=[value]<0\] Kriittinen piste \([-1,[value]] \) on satulapiste, sillä \[ H(-1,[value])=[value],\ \ \Delta=[value]<0\]

Määritellään funktiot \(F(x,y,z) = ([value]x^2-[value]y, [value]xy + z) \)  \(G(u,v) = ([value]u+v^2, -[value]uv, [value]v ) \). Laske yhdistetyn funktion \(F\circ G\) derivaattamatriisi pisteessä \( ([value],  [value] )\) .

Vastausmatriisi ilmoitetaan matrix()-funktion avulla. Esimerkiksi

\( [value] \) kirjoitetaan matrix([1,2],[3,4])

eli jokainen rivi laitetaan hakasulkeisiin ja rivit erotellaan pilkulla. Lisäksi rivin alkiot erotellaan toisistaan pilkulla.

\( (F\circ G)'([value],  [value])\) =
Feedback: Mallivastaus: \(F(x,y,z) = ([value]x^2-[value]y, [value]xy + z) \) \(G(u,v) = ([value]u+v^2, -[value]uv, [value]v ) \). Näiden derivaatat ovat \[ F'(x,y,z)=[value] , \ G'(u,v)=[value] \] Ketjusäännöllä \( (F\circ G)'([value], [value]) = F'(G([value], [value])) G'([value], [value] ) \) . Lasketaan \[G([value],[value])=([value],[value],[value]), F'([value],[value],[value])= [value], G'([value],[value])=[value]\] Näistä saadaan yhdistetyn funktion derivaatta \[ (F\circ G)'([value], [value]) = F'(G([value], [value]) G'([value], [value]))= [value][value]=[value]\]

Täydennä integroinnin välilvaiheet.

\(\displaystyle\int_[value]^[value]\int_[value]^[value][value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y=\int_[value]^[value]\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^[value]\)  \(\displaystyle\mathrm{d}y\)

\(=\displaystyle\int_[value]^[value]\)  \(\displaystyle\mathrm{d}y\)

\(=\displaystyle\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^[value]\)

\(=\)
Feedback: Mallivastaus: \[\displaystyle\int_[value]^[value]\int_[value]^[value][value] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y=\int_[value]^[value]\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^[value][value]\mathrm{d}y=\int_[value]^[value]\left([value]\right)\mathrm{d}y=\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^[value]\left([value]\right)=[value]\]

Olkoon \(T\subset\mathbb{R}^3\) tetraedri, jonka kärjet ovat origossa ja koordinaattiakseleilla pisteissä \(([value],0,0)\), \((0,[value],0)\) ja \((0,0,[value])\). Laske tetraedrin tilavuus avaruusintegraalina integroimalla vakiofunktiota \(f(x,y,z)=1\). Ilmoita integraalin rajat yli \(T\):n oheisessa integroimisjärjestyksessä ja laske integraalin arvo.  Tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. Kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.)
\(\displaystyle \iiint_T 1\,\mathrm{d}V =\int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\int_{c_1}^{c_2} 1 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\)=, missä
\(a_1 = \) , \(a_2 = \) , \(b_1 = \) , \(b_2 = \) , \(c_1 = \) , \(c_2 = \)
Feedback: Mallivastaus: Pisteiden \(([value],0,0)\), \((0, [value],0)\) ja \((0,0,[value])\) kautta kulkevan tason yhtälö on \[ \frac{x}{[value]} + \frac{y}{[value]} + \frac{z}{[value]} = 1, \] mistä voidaan ratkaista \(y\):lle yläraja \(x\):n ja \(z\):n funktiona. Saadaan \[ y = [value]. \] Seuraavaksi haetaan \(x\):lle yläraja \(z\):n funktiona. Asetetaan tason yhtälössä \(y = 0\) ja ratkaistaan \(x\): \[ x = [value]. \] Lopuksi \(z\):n rajat saadaan suoraan kärkipisteiden koordinaateista, eli \(z\):n yläraja on pisteen \((0,0,[value])\) mukaisesti \([value]\). Alaraja on \(0\) kaikissa integraaleissa, koska koordinaattitasot muodostavat tetraedrin muut tahkot. Lasketaan lopuksi integraali \[\displaystyle \iiint_T1\,\mathrm{d}V = \int_{[value]}^{[value]}\int_{[value]}^{[value]}\int_{[value]}^{[value]} 1\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z = \int_{[value]}^{[value]}\int_{[value]}^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z = \int_{[value]}^{[value]}[value]\,\mathrm{d}z = [value] \]

Olkoon joukko \(A\subset R^2\) se suorien \(y=-[value]x\) ja \(y=[value]x\) väliin jäävä alue positiivisen y-akselin suunnassa suoran  \(y= [value]\) yläpuolella. Integraali yli joukon A on ns. epäoleellinen integraali, jonka arvo lasketaan raja-arvona

\[\displaystyle \iint_A f(x,y) dxdy=\lim_{k\to \infty} \iint\limits_{A_k} f(x,y) \ dxdy \]

missä joukot \(A_k\) ovat kasvava jono joukkoja, jotka ns. tyhjentävät joukon \(A\) (lisätietoja moniste s. 128).

Täydennä allaolevan integraalin rajat ja integraalin arvo. Käytä joukkojonon indeksinä merkintää k eli jossakin/joissakin rajassa/rajoissa tulee esiintyä muuttuja k. Integraalin hajaantuessa käytä vastauksessasi tarvittessa äärettömälle \(\infty \) merkintää: inf

Tarkasta välivaiheet lukitsemalla vastaus. Kaikkiin kenttiin täytyy antaa jokin vastaus, jotta tehtävästä saa palautetta.

\( \displaystyle \iint_A\frac{1}{y^4}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty}\int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\frac{1}{y^4}\)\(\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) = , missä
\(a_1=\) , \(a_2=\) , \(b_1=\) , \(b_2=\) .
Feedback: Valitaan joukoksi \(A_k=\{(x,y):[value]\leq y\leq k,\ -y/[value]\leq x\leq y/[value]\}\). Oleellista on, että y:n yläraja lähestyy ääretöntä, kun \(k\to\infty\). Tällöin joukkojono \(A_k\) tyhjentää joukon \(A\). Integraalin rajat ja arvo ovat tällöin \(\displaystyle \iint_A\frac{1}{y^4}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty}\int_{[value]}^{k}\int_{-y/[value]}^{y/[value]}\frac{1}{y^4}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty}\int_{[value]}^{k}\frac{2}{[value]y^3}\,\mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty}-\frac{1}{[value]k^2}+\frac{1}{[value]\cdot[value]^2}=\frac{1}{[value]}\)