Title: Kompleksiluvut

Laske seuraavat kohdat, kun \( {z_1} = {[value](\cos([value])+i\sin([value]))}\) ja \( { z_2} = {[value](\cos([value])+i\sin([value]))}\).

a.) \({z_1+z_2 =}\)

b.) \({z_1z_2 =}\)

Seuraavat tehtävät liittyvät napakoordinaatti eli polaariesitykseen.

Oheisissa kuvissa on yksikköympyrään piirretty kulmat \(\alpha\), \(\beta\) ja \(\gamma\). Jokaisen kulman yksi kylki on x-akselilla. Tutkitaan kohtia, joissa toinen kylki leikkaa yksikköympyrän.

[Image]

Kompleksiluku \(z= a+bi\) , joka sijaitsee yksikköympyrän ja kulmaa \(\alpha\) vastaavan vasemman kyljen leikkauspisteessä, voidaan ilmaista muodossa
\(
z=\cos(\alpha)+i \sin(\alpha)={\rm{exp}}(i\alpha)
\)
Jos kompleksiluku \(z\) sijaitsee yksikköympyrän sijaan \(r\) säteisellä origokeskeisellä ympyrällä, niin
\(
z=r\left(\cos(\alpha)+i \sin(\alpha)\right)=r {\rm{exp}}(i\alpha)
\)

Selvittäessäsi kulmaa tai pistettä voit hyödyntää alla olevia muistikolmioita:

[Image] [Image]

Etsi toisen asteen yhtälö, jolla ei ole yhtään reaalista juurta ja jonka kompleksijuuret ovat

\( x_1 = [value] \) ja \( x_2 = [value] \).

Anna vastauksesi muodossa \( f(x) = 0 \). Potenssin saat käyttämällä ^ -merkkiä. Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa! Älä käytä sulkeita tässä tehtävässä.

Yhtälö on .
Feedback: Mallivastaus: Jos toisen asteen yhtälön juuret ovat \( a \) ja \( b \), niin \( \begin{align} (x-a)(x-b) & = 0 \\ x^2 + (-ax) + (-bx) + (-a)(-b) & = 0 \\ x^2 + (-a-b)x + ab &= 0 \\ x^2 - (a+b)x + ab &= 0 \end{align} \) Nyt \( a = [value]\) ja \( b = [value] \), joten \( \begin{align} & ([value])([value]) = 0 \\ \Leftrightarrow &[value] \end{align} \). Huom. Minkä tahansa muotoa \(c(x - a)(x - b) = 0\), missä \(c\neq 0\), olevan yhtälön juuret ovat \(a\) ja \(b\), joten tehtävään on itse asiassa äärettömän monta oikeaa vastausta.

Hae kaikki luvun \([value]+[value]i\) kolmannet juuret.

Kirjoita kolmas juuri luvun \( \frac{1}{3} \) potenssina. Eksponenttifunktion \( e^{x} \) voit kirjoittaa joko muodossa e^(x) (sulut tarvitaan, jos yhden merkin sijasta eksponenttina on pidempi lauseke) tai muodossa exp(x).

Esimerkki: Luku \( (9 \sqrt3 )^{1/7} e^{i \pi/15} \) kirjoitetaan (9*sqrt(3))^(1/7)*e^(i*pi/15) \( \textbf{TAI} \) (9*sqrt(3))^(1/7)*exp(i*pi/15).

Luvun \([value]+[value]i\) kaikki kolmannet juuret ovat

\( w_1 = \)
\( w_2 = \)
\( w_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: \([value]+[value]i=\sqrt{([value])^2+[value]^2} e^{\large[value]i}\normalsize=[value]e^{ \large [value]i}\). Nyt eräs kolmas juuri on \[w_1=([value])^{1/3}e^{ \large[value]i},\] sillä \(w_1^3=\left(([value])^{1/3}\right)^3e^{i \large([value]) \normalsize\cdot3}=[value]e^{ \large [value]i}\). Muut kolmannet juuret ovat kulman \(2\pi/3\) välein \(([value])^{1/3}\)-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat \begin{align*} w_2&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value]+2\pi/3)}= \normalsize ([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}\quad \normalsize \text{ja} \\ \\ w_3&=([value])^{1/3}e^{i \large( [value] +2\cdot2\pi/3)} \normalsize =([value])^{1/3}e^{ \large [value]i}. \end{align*}

Q: Olkoon \(z=[value]\) ja \(w=[value]\). Laske (luvun \(a\) neliöjuuren voit syöttää muodossa \(\verb+sqrt(a)+\))

\(zw=\), |
\(\mathrm{j}w=\), |
\(\overline{w}=\), |
\(|z|=\). |
Feedback: Ratkaisut: \(zw = ([value])([value])=[value]\) \([value]w=[value]([value])=[value]\) \(\overline{w}=[value]\) \(|z|=\sqrt{(\mbox{Re }z)^2+(\mbox{Im }z)^2}=\sqrt{([value])^2+([value])^2}=[value]\)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Luvun \(z\) eräs neljännesjuurista on \(w_0 = [value]\). Määritä loput juurista ja luku \(z\). Anna juuret ja luku \(z\) muodossa \(a + [value]b\), ja anna kolme muuta juurta joukkona eli aaltosulkeiden sisällä: \(\{a_1 + [value]b_1, a_2 + [value]b_2, a_3 + [value]b_3\}\).

Joukko, jonka alkioita ovat luvun \(z\) kolme muuta neljännesjuurta, on

Luku \(z = \)
Feedback: Mallivastaus: Neljännesjuuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = j\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, jw_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \] Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Esitä kompleksiluku \(z=\frac{[value]}{[value]}\) muodossa \(x+y[value]\) ja laske \(z\):n itseisarvo. Luvun \(a\) neliöjuuren voit syöttää muodossa sqrt(\(a\)).

\(z=\)\(+\)\([value]\),  \(|z|=\)

Millä kompleksiluvulla \(w\) laventaminen johtaa kysyttyyn esitystapaan?

\(w=\) |

Mikä alla olevan kuvan pisteistä (A, B, C vai D) vastaa kompleksilukua \(z\)?

\(z=\). |
Feedback: Tehtävän ratkaisu: \(\frac{[value]}{[value]}=\frac{([value])([value])}{([value])([value])}=\frac{[value]-([value])}{[value]}=\frac{[value]}{[value]}-\frac{[value]}{[value]}\) \(|z| = \sqrt{(\frac{[value]}{[value]})^2+(\frac{[value]}{[value]})^2}\)=[value]. Laventava termi on siis \([value]\). Oikea piste on [value].
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Olkoon \(z=[value]+[value]\) kompleksiluku. Laske \(\left|z\right|\). Esitä lisäksi kompleksiluku \(\displaystyle{w=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}}\) muodossa \(w=a+b[value]\), missä \(a\), \(b\in\mathbb{R}\).

\(\displaystyle{\left|z\right|}=\),
\(\displaystyle{w}=\)\(+\)\([value]\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} \left|z\right|&=[value]=[value],\\ w&=\frac{-[value][value]\overline{z}}{\left|z\right|}=\frac{-[value][value](\overline{[value]+[value]})}{\left|[value]+[value]\right|} =\frac{-[value][value]([value]-[value])}{\sqrt{([value])^2+[value]^2}}=\frac{[value]+[value][value]^2}{\sqrt[value]}=\frac{[value]+[value]}{[value]}=-[value]+[value] \end{align*} \]

Olkoon \(z=[value]-[value]i\) ja \(w=[value]-\sqrt3\,i\). Ilmoita napakoordinaattimuodossa eli muodossa \( r e^{i \theta} \) seuraavat:

\( \textbf{(a)} \) \(z\) ja \(w \quad \) \( \textbf{(b)} \) \(zw \quad \) \( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}\)

\( \textbf{(d)} \) Määritä kompleksilukujen \(\displaystyle 2e^{\left(i [value] \right)}\) ja \(\displaystyle [value]e^{\left(-i\frac{\pi}{2}\right)}\) summa muuttamalla ne ensin muotoon \(x+yi\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7) tai 100*e^(-i*pi/7) .

\( \textbf{(a)} \) \(z=\) \( \quad w=\)

\( \textbf{(b)} \) \(zw=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\frac{z}{w}=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\displaystyle 2e^{\left(i [value]\right)} + [value]e^{\left(-i\frac{\pi}{2}\right)}=\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \textbf{(a)} \quad & z=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ & w=[value]\Big(\cos\Big([value]\Big)+i\sin\Big([value]\Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(b)} \quad & zw=[value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value] i} \\ \\ \textbf{(c)} \quad & \frac{z}{w}= [value]\Big(\cos\Big( [value] \Big)+i\sin\Big( [value] \Big)\Big)=[value]e^{\large[value]i} \\ \\ \textbf{(d)} \quad & 2\exp\left(i[value]\right)+[value]\exp\left(-i\frac{\pi}{2}\right) \\ = & 2\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)+ [value]\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ = & 2\left([value]+i[value]\right)+[value]\left(0+i(-1)\right) =[value]+([value]-[value])i. \end{align*}\)

Esitä \(z\) muodossa \(a+bi\), kun

\( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2\)

\( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}\)

\( \textbf{(c)} \) \(\dfrac1z=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1z_2}\),

missä \(z_1=2-[value]i\) ja \(z_2=1+[value]i\).

Ohje \( \textbf{(c)} \)-kohtaan: ratkaise \(z\) ja muokkaa lauseketta ennen sijoituksia. Käytä kertolaskuissa aina * -merkkiä. Esimerkiksi \(2i\) kirjoitetaan 2*i.

Ole tarkkana syntaksin kanssa. Sulkeiden käyttö saattaa helpottaa ratkaisun kirjoittamista. Esimerkiksi luvun \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}i \) voi kirjoittaa monella tavalla: 2/10+3*i/10 tai (2/10)+(3*i/10) tai (2/10)+(3/10)*i. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) KAIKISSA tuloissa!

\( \textbf{(a)} \quad z=\)

\( \textbf{(b)} \quad z=\)

\( \textbf{(c)} \quad z=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) \(z=([value]+[value]i)^2=[value]+[value]i+[value]i^2=[value]+[value]i\) \( \textbf{(b)} \) \(z=\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]-i}=\dfrac{(-[value]+[value]i)([value]+i)}{([value]-i)([value]+i)} =\dfrac{-[value]+[value]i}{[value]}=-\dfrac{[value]}{[value]}+\dfrac{[value]}{[value]}i\) \( \begin{align} \textbf{(c)} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_1}^{(z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2}{z_1z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2} = \dfrac{z_2 + 1}{z_1z_2} \\ \\ \Rightarrow z&=\dfrac{z_1z_2}{z_2+1}=\dfrac{[value]+[value]i}{[value]+[value]i}=[value]. \end{align}\)

Olkoot \(z=[value]\) ja \(w=[value]\) kompleksilukuja. Laske \(\displaystyle{z\overline{w}}\) ja \(\displaystyle{\frac{z}{w}}\) (lavenna nimittäjän liittoluvulla).

\(\displaystyle{z\overline{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\),

\(\displaystyle{\frac{z}{w}}=\)\(+(\)\()\mathrm{i}\)
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \[ z\overline{w} = ([value])(\overline{[value]}) = ([value])([value])\\ = [value]-([value]){\textrm{i}}+([value]){\textrm{i}}-([value]){\textrm{i}}^2\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \] \[ \frac{z}{w}=\frac{\overline{w}z}{\overline{w}w} =\frac{z\overline{w}}{|w|^2}\\= \frac{[value]+([value]) {\textrm{i}}}{([value])^2+([value])^2}\\ = [value]+([value]) {\textrm{i}} \]

Muuta muotoon \(z=e^{x+yi}\)

a.) \(z_1=e^[value](\cos([value])+i\sin([value]))\)

\({z_1 =}\)

b.) \(z_1=e^[value](\cos([value])+i\sin([value]))\)

\({z_2 =}\)

Muuta muotoon \({z=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))}\).

a.) \({z_1=e^{[value]+[value]i}}\)

\({z_1 =}\)

b.) \({z_2 =e^{[value]+[value]i}}\)

\({z_2=}\)

Esitä napakoordinaattimuodossa \(z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)))\)

a.) \({z_1 =} \sqrt{12}+2i\)

\({z_1 =}\) \((\cos(\)\()+i\sin(\)\())\)

b.) \({z_2 =}[value]+[value]i\)

\({z_2 =}\) \((\cos(\)\()+i\sin(\)\())\)

a) Olkoon kompleksiluku \(\mathbf{z} =[value]+[value]i\).

Se voidaan esittää napakoordinaattimuodossa

 \(\mathbf{z}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) \)

Määritä kompleksiluvulle \(\mathbf{z}\) napakoordinaatit \(\mathbf{r}\) ja \(\mathbf{\theta}\)

\(r\) = , \(\theta\) =

b) Olkoon kompleksiluku napakoordinaattimuodossa

\(\mathbf{z}=[value]\cdot(\cos([value])+i\sin([value])) \)

Esitä luku normaalimuodossa \(a+bi\).

\(\mathbf{z}\)= +\(i\)

Huom! Neliöjuuren saat syötettyä vastauskenttään kirjoittamalla sqrt() ja tangentin käänteisfunktion kirjoittamalla atan().

Laske seuraavat kohdat, kun \( { z_1} = [value]\) ja \( { z_2} = [value]\).

a.) \({z_1+z_2 =}\)

b.) \({z_1-z_2 =}\)

c.) \({z_1z_2 =}\)

d.) \({\frac{z_1}{z_2}=}\)