Title: IMA1 (viikko 5)

DifferentiateDerivoi

(a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

(b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{whenkun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{b, c}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, b}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{a, b}}{=} [value]\)

Määritellään funktio \(f\) paloittain seuraavasti.

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f\) että \(f'\) ovat jatkuvia funktioita. Määritä sellainen kolmannen asteen polynomi \(p(x)\), että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_3=~\)

\(a_2=~\)

\(a_1=~\)

\(a_0=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \[ \qquad \begin{cases} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0 =f(1) \\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0= f(-1) \\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1=f'(1) \\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1= f'(-1) \end{cases}, \] jonka ratkaisuna saadaan \[ \qquad \begin{cases} a_3 = [value] \\ a_2 = [value] \\ a_1 = [value] \\ a_0 = [value] \end{cases} \]

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja jos tuloksesi sisältää sinin ja kosinin osamäärän, sievennä se toisenlaiseen muotoon.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö eli ketjusääntö on seuraava. \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Koska \(D\ln (x)=\displaystyle \frac{1}{x}\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=\displaystyle ([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Vastaavasti \[g'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\), niin \[h'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Determine the derivative of the function \[f(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle[value]}{\displaystyle[value]} \] Laske funktion \[f(x)=\displaystyle \frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta on negatiivinen kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \displaystyle \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettavana on \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) eli \[f(x_0) = [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value],\] joka toteutuu selvästi, kun \(x_0 = 0\). Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \displaystyle \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Q: Eräässä testitilanteessa mitattiin muuttujan \(x\) funktioille \(f(x)\) ja \(g(x)\) sekä niiden derivaatoille muutamia arvoja, jotka koottiin alla olevaan taulukkoon. Selvitä taulukon perusteella funktion \(h(x)\) derivaatan arvot.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

(a) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
(b) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

(c) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

(d) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Anna jokaiseen vastauslaatikkoon jokin arvo ennen vastauksen lukitsemista.
Feedback: Mallivastaus: (a) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) (b) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) (c) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) (d) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

(a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

(b) Millä hetkellä \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) (b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla hetkellä \(t=[value]\, s\).

Laske seuraavat raja-arvot l'Hopitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se viimeinen lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä, yhden tai useamman kerran.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \). Eksponenttifunktio muodossa \( \text{exp(x)}.\)

(a) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

(b) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

(c) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. (a) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) (b) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) (c) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

The volume of a ball having a radius \(r\) is given by \(V=4\pi r^3/3\). Express the radius as a function of the volume \(V\mapsto r(V)\), and applying the linear approximation Kuulan, jonka säde on \(r\), tilavuus on \(V=\displaystyle\frac{4\pi r^3}{3}\). Esitä säde tilavuuden funktiona \(r=r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

find out by how many percents does the radius increase as the volume of the ball increases by \([value]\) percents. Give your answer as an integer without the % sign. avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaisluvuksi pyöristettynä ilman %-merkkiä.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{wheremissä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=AV_0^{1/3} + \frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] The relative change isSuhteellinen muutos on \[\displaystyle \frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] When the volume is increased by \([value]\) percents, i.e. \(V=[value]\cdot V_0\), the relative change of the radius isKun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = [value]\).

(a) Määritä funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \(([value],[value])\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö.

\(y=\)

(b) Funktiota \(f\) approksimoidaan pisteen \(a=[value]\) ympäristössä lineaarisella approksimaatiolla. Mikä on tämän linearisoinnin antama likiarvo funktion arvolle \( f\left([value]\right)\)? Anna vastauksesi murtolukuna, älä liukulukuna tai sekalukuna.

\(f\left([value]\right)\approx\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktion \(f(x) \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value]) \) piirretyn tangetin yhtälö on \[ y = f([value]) + f'([value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) derivaatta. \[ f'(x) = \displaystyle [value].\] Tangentin yhtälöksi saadaan \[y = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] (b) Lineaarinen approksimaatio pisteen \(a\) ympäristössä on se ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on funktion tangenttisuora siinä pisteessä, missä \(x=a\). Siis nyt \[T(x) = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] Näin ollen \(\displaystyle f\left([value]\right)\approx [value] - + [value] \left([value] + -[value]\right) = [value] - + [value] \cdot \frac{1}{2} =[value].\)

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Kuulan halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske kuulan tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{dr}\cdot\Delta r = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Kuulan tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).