Title: MAT-01220 IMAB2

Mikä on se matriisi, jonka ominaisarvot ja eräät ominaisvektorit ovat \[ \lambda _1 = [value], \quad \mathbf{x_1} = [value] \quad \lambda _2 = [value], \quad \mathbf{x_2} = [value] \quad ? \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Koska \( 2 \times 2 \)-matriisilla on kaksi eri suurta ominaisarvoa [value] ja [value], on se diagonalisoituva. Siksi kysytty matriisi \( A \) voidaan esittää muodossa \( A = VDV^{-1} \), missä matriisin \( V \) sarakkeet ovat ominaisvektorit ja diagonaalimatrisiin \( D \) diagonaalialkiot ovat ominaisarvot vastaavassa järjestyksessä. Näin saadaan \[ \begin{align} A &= [value] [value] [value]^{-1} \\ \\ & = [value] [value] [value] \\ \\ & = [value][value] \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), missä \( \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) \) ja \( \mathbf{v_2} \) on kohtisuoraan tätä vastaan oleva vektori. Mitkä ovat \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \), kun \[ \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{v}=[value]. \]

Anna vektorien alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \). Jos alkio ei ole kokonaisluku, on suositeltavaa antaa se murtolukumuodossa \( m / n \). Esimerkiksi luku \( \frac{125}{4} \) kirjoitetaan 125/4.

\( \textbf{Ratkaisu:} \)

\( \quad v_1 = \)
ja \( v_2 = \)
Feedback: /* Mallivastaus on kirjoitettu vähän vaikeasti, koska vektoreita on epämiellyttävä lukea, jos alkiot ovat murtolukuja. Tällä tavalla saadaan pidettyä murtoluvutkin yhdellä rivillä. */ \[ \textbf{Mallivastaus:} \] \[ \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})= \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = \left( \dfrac{[value]+([value])+([value])}{[value]+[value]+[value]} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Koska \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), on \[ \mathbf{v_2} = \mathbf{v} - \mathbf{v_1} = [value]- \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Tarkistuksena lasketaan vielä kohtisuoruus: \[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] /* = \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) */ = \frac{1}{[value]^2} \Bigg[ \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) \Bigg] = [value]. \] Vektorien = \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \) pistetulo on nolla, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suoran kaksi pistettä ovat ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]). Mikä on pisteen ([value],[value],[value]) etäisyys tästä suorasta? Huomaa, että avaruuden \( \mathbb{R}^3\) suoralla ei ole normaalimuotoa.

Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Pisteiden ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatit ovat samat eli \( z = [value] \). Siten suoran on oltava tasolla \( z = [value] \). Pisteen ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatti puolestaan on \( z=[value] \). Siten se on eri tasolla kuin suora, joten tämä piste ei sijaitse suoralla. Lasketaan pisteen etäisyys suorasta. Muodostetaan vektori suoran pisteestä ([value], [value], [value]) pisteeseen ([value],[value],[value]). Näin saadaan vektori \[ \mathbf{v}=[value]-[value]=[value]. \] Olkoon vektori \( \mathbf{d} = [value]-[value]=[value] \) ko. suoran suuntavektori. Nyt vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}\), missä \[ \begin{align} \mathbf{v_1}&=\text{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{v}) =\left( \dfrac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \right) \mathbf{d} = \left( \dfrac{[value]+[value]+0}{[value]+[value]+0} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ 0 \end{matrix} \right] \\ /* = [value] \\ */ & \Rightarrow \mathbf{v_2}=\mathbf{v}-\mathbf{v_1}= \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value] \end{matrix} \right] /* = [value] */ \end{align}\] ja kysytty etäisyys on \[ \lVert \mathbf{v_2} \rVert = \sqrt{ \left( [value] \right)^2 + \left( [value] \right) ^2 + [value] ^2 } = [value]. \]

Kolmion kärkipisteet ovat ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]). Laske kolmion pinta-ala.
\(\textbf{Vihje:} \) Vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) virittämän suunnikkaan pinta-ala on \( \lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert \).

\( \mathbf{HUOM!} \) Vastaukseksi hyväksytään vain pinta-alan TARKKA ARVO! Älä anna likiarvoja. Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Merkitään kolmion kärkipisteitä vektoreina \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value]. \] Näin kolmion sivuina ovat esimerkiksi vektorit \[ \mathbf{u}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=[value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{v}=\mathbf{c}-\mathbf{a}=[value]. \] Lasketaan ensin \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_1} + \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_2} +\left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_3} = [value] \] Vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) virittämän suunnikkaan pinta-ala on tämän ristitulovektorin pituus \( \lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert \). Kysytty kolmion pinta-ala on puolet tästä: \[ A = \dfrac{1}{2}\lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert=\dfrac{\sqrt{([value])^2+([value])^2+([value])^2}}{2} = [value] \approx [value]. \]

Määritä matriisin \( A \) käänteismatriisi Gaussin eliminointimenetelmällä. Huom! Anna matriisin alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \) - älä käytä likiarvoja.

\[ A = [value] \]

Vastaus:
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:}\] Liitetään matriisin \( A \) oikealle puolelle yksikkömatriisi \( I \) ja määritetään näin saadun matriisin redusoitu vaakariviporrasmuoto. Seuraavissa operaatioissa \( R_i \) viittaa \(i\):nteen riviin sen hetkisessä matriisissa. Kertaa Gaussin eliminointimenetelmä eli riviporrasmuodon muodostaminen tarvittaessa luentomonisteesta. Tässä esimerkiksi ensimmäisessä vaiheessa vähennetään matriisin toisesta rivistä \( [value] \cdot [value] \) eli kerrotaan ensimmäinen rivi toisen rivin ensimmäisellä alkiolla ja sitten toisesta rivistä vähennetään tämä rivi \( [value] \cdot [value] \). \[ \begin{align} [A \, | \, I \, ] = &[value] \quad \Large \stackrel{R_2-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize \quad [value] \\ \\ \Large \stackrel{R_3-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{R_3-([value]/[value])R_2}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] \\ \\ \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_2}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_3}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] = [ I \, | \, A^{-1}]. \end{align} \] Käänteismatriisi on siis \[ [value]. \]

Laske \( A(\mathbf{b}^T \mathbf{b})^{-1}(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} A(\mathbf{b}^T \mathbf{b} )^{-1} (A^{-1})^T & = A ( \lVert \mathbf{b} \rVert^2 )^{-1} (A^{-1}) \\ & = A ( [value]^2 + ([value])^2 + [value]^2 )^{-1} A^{-1} \\ & = A \cdot [value]^{-1} \cdot A^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}AA^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}I \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Laske \( \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} = \mathbf{b}^T AA\mathbf{b} = \mathbf{b}^T A^T A\mathbf{b} = (A\mathbf{b})^T A\mathbf{b} = \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 \] Koska \[ A\mathbf{b}=[value][value]=[value] \] on \( \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 = ([value])^2 + ([value])^2 + ([value])^2 \) = [value].

Laske \( (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T & = I + A + A^2 - A^{-1} (I+A+A^2) +A^{-1} \\ & = I + A + A^2 - A^{-1} - I - A + A^{-1} \\ & = A^2 \\ & = [value][value] \\ & = [value]. \end{align}\]

Laske \( \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) \), kun

\[ A = [value], \quad B = [value], \quad C = [value]. \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Sievennetään ensin lauseketta käyttäen determinantin laskusääntöjä: \[ \begin{align} \textrm{det}(A^T) &= \textrm{det}(A) \\ \textrm{det}(cA) & = c^n \textrm{det}(A), \quad \text{(missä n on } (n \, x \, n) -\text{matriisin koko. Tässä siis } n = 3.) \\ \textrm{det}(AB) & = \textrm{det}(A)\textrm{det}(B) \\ \textrm{det}(A^{-1}) & = \frac{1}{\textrm{det}(A)} \end{align} \] /* Huomaa että constant2/constant1 on AINA 2, joten se voidaan kirjoittaa suoraan mallivastaukseenkin. Kerroin on aina 2^3 = 8. */ Nyt siis \[ \begin{align} \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) & = \textrm{det} \left( \frac{1}{[value]}A^{-1} [value]CB^T A \right) \\ & = \textrm{det}(2A^{-1}) \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 2^3 \frac{1}{\textrm{det}(A)} \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 8 \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \\ & = 8 \cdot ([value]) \cdot ([value]) = [value]. \end{align} \]

Jousen kappaleeseen kohdistama voima on \( F = -kx \), missä \( k \) on jousivakio (N / m) ja \( x \) on jousen venymä (m). Jousivakion määrittämiseksi on tehty seuraavat mittaukset. Määritä pienimmän neliösumman menetelmällä jousivakion arvo.

F | 2 | 3 | 5 | 7
x | [value] | [value] | [value] | [value]

\( \textbf{HUOM!} \) Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena PISTETTÄ! Esim. 1.11 - ei 1,11.

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Kun sijoitetaan annetut mittaustulokset yhtälöön \( F = -kx \), saadaan seuraava yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{matrix} 2 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 3 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 5 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 7 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \end{matrix} \right. \] Tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Lasketaan pienimmän neliösumman ratkaisu (PNS-ratkaisu). Merkitään yhtälöryhmää muodossa \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), missä \[ A = [value], \quad \mathbf{x} = k \quad \text{ja } \mathbf{b} = [value]. \] Pienimmän neliösumman ratkaisu saadaan yhtälöryhmän \( A^T A\mathbf{x} = A^T \mathbf{b} \) ratkaisusta. Siten \[ \begin{align} & [value][value]k = [value][value] \\ \Rightarrow & [value]k = [value] \\ \Rightarrow & k = [value] \end{align} \]

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Matriisin aste \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun matriisissa on korkeintaan kaksi lineaarisesti riippumatonta saraketta. Nähdään, että sarakkeet 1 ja 2 eivät ole yhdensuuntaiset, joten ainakin kaksi saraketta on lineaarisesti riippumattomia. Jos \(\textrm{det}(A) = 0\), matriisin kaikki kolme saraketta eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Määrätään siis vakio \( c \) siten, että \(\textrm{det}(A) = 0\). \[ \begin{align} \text{det }(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + c \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value]+[value]c = 0 \\ \Rightarrow c & = [value]. \end{align} \]

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että yksi ominaisarvo on \( [value] \).
\[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:} \] Kun \( \lambda = [value] \) on yksi ominaisarvo, on \(\textrm{det} (A-([value])I) = \textrm{det} (A+[value]I) = 0 \). Tästä saadaan seuraava tulos. Tässä matriisia on kehitetty Gaussin eliminoinnilla siten, että determinantti on helppo laskea (determinantin tulos ei tietenkään muutu, vaikka eliminointi tehdään - kunhan se tehdään oikein). \[ \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \] Yllä on vasemmalla \( \textrm{det} (A+[value]I) \). Keskimmäiseen determinanttiin päästään, kun toiselle riville lasketaan 1. ja 2. rivi yhteen ja kolmannelle riville puolestaan lasketaan 3. rivin ja 1. rivin erotus. Lopuksi on vielä kolmannesta rivistä vähennetty toinen rivi, ja päästään oikeanpuoleiseen determinanttiin. Nyt kannattaa kehittää determinanttia kolmannen rivin suhteen, koska sen kaksi alkiota ovat nollia. \[ 0 = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = 0 - 0 + ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value], \] mistä nähdään, että \(c = [value]\).

Olkoon matriisin

\[ A = [value] \]

erään ominaisarvon algebrallinen kertaluku \( = 1 \) ja tämän ominaisarvon yksi ominaisvektori [value]. Lisäksi tiedetään, että \( \textrm{det} (A) < 0 \) ja kaikki ominaisarvot ovat reaaliset.

Mikä on \( c \) ja onko matriisi \( A \) diagonalisoituva?

\( c = \)

Onko väite '\( A \text{ on diagonalisoituva} \)' tosi vai epätosi?

(Tämä tarkistetaan vain, jos \( c \) on oikein.)
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Yksi ominaisvektori on [value]. Yhtälöstä \( A \mathbf{x}_1 = \lambda_1 \mathbf{x}_1 \) saadaan \[ \begin{align} [value][value] & = \lambda_1 [value] \\ \Rightarrow [value] & = \lambda_1 [value], \end{align} \] josta voidaan ratkaista \( \lambda_1 = [value] \), koska esim. \[ [value] = [value] \lambda_1 \Rightarrow \lambda_1 = [value] / [value] = [value]. \] Koska nyt \( \lambda_1 = [value]\), niin \[ \begin{align} [value] &= [value] \cdot ([value]) \\ \Rightarrow c & = [value] \end{align} \] Koska nyt \( \textrm{alg}([value]) = 1 \), kumpikaan muista ominaisarvoista ei siis ole [value]. Koska \( \textrm{det}(A)=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = [value] \lambda_2 \lambda_3 < 0 \), ovat \( \lambda_2 \) ja \( \lambda_3 \) erimerkkiset. Siten matriisilla on 3 eri suurta ominaisarvoa ja se on siksi diagonalisoituva.

Tason kolme pistettä ovat ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]) ja ([value],[value],[value]). Esitä tason yhtälö muodossa \( ax+by+cz+d=0\).

Vastaus: Yhtälö on \(x+\)\(y+\)\(z+\) \(=0\).
Tässä ei tarvitse käyttää sulkeita, vaikka jokin luvuista \(\{ a,b,c,d \}\) olisi negatiivinen.
Feedback: Mallivastaus Taso tulee määrätyksi, jos sen normaali \( \mathbf{n} \) tunnetaan ja samoin jokin sen piste \( \mathbf{r}_0 \) . Silloin tason normaaliyhtälöksi saadaan \( \mathbf{n} \cdot ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 ) = 0 \). Yhtälö saadaan yleiseen muotoon kirjoittamalla se "auki": \( ax+by+cz+d=0 \), kun \( \mathbf{r} = (x,y,z), \quad \mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0), \quad \mathbf{n} = \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \). Tällöin vakiolla \( d \) on arvo \( d = -ax_0-by_0-cz_0 \). Selvitetään normaalivektori \( \mathbf{n} \). Ratkaistaan ensin vektorit \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) tason yhtälön vektorimuodosta. Valitaan \( \begin{align} \mathbf{r}_0 &= (x_0, y_0, z_0) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{u} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{v} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]). \end{align} \) Normaalivektori \( n \) on nyt (kertaa ristitulon laskeminen tarvittaessa opintomonisteesta tai vaikkapa Wikipediasta). \( \begin{align} \mathbf{n} &= \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ & = ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{i} - ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{j} + ([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value])) \mathbf{k} \\ & = [value] \mathbf{i} + [value] \mathbf{j} + [value] \mathbf{k} \\ & = [value]. \end{align} \) Siten \( a = [value], \quad b = [value], \quad c = [value]\) ja \( d = -ax_0-by_0-cz_0 = -[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value]\). Suoran yhtälö on siis \( [value]x+[value]y+[value]z-[value] = 0 \).

Olkoon \( A = [value]\).

\( \textbf{(a)} \) Muodosta \( \text{rref}(A) \) eli matriisin redusoitu riviporrasmuoto.

\( \text{rref}(A) = \) .

\( \textbf{(b)} \) Mitä on \( \text{rank}(A) \)?

\( \text{rank}(A) = \) .
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Vaakarivimuunnoksilla päästään matriisiin \( \text{rref}(A) = \) [value]. Kertaa tarvittaessa RREF-muodon hakeminen luentomonisteesta. \( \textbf{(b)} \) Matriisin aste \( \text{rank}(A) \) nähdään \( \text{rref}(A) \):sta. Se on nollasta eroavien rivien lukumäärä eli siis johtavien ykkösten lukumäärä. Tässä tapauksessa siis \( \text{rank}(A) = 2 \).

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kaikki vektorijoukoista

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad L = \{ a,b,c,d \} \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Vastaus:

Anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka sopivat vastaukseksi ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan oikeista vektorijoukoista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). Näistä vektoreista muodostetut ortogonaaliset vektorijoukot ovat siis \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \text{ ja } \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \). Näiden lisäksi vektorijoukko \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \) on ortogonaalinen, joten oikea syöte on [value]. \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Lisäksi tietenkin kaikista vektoreista muodostettu joukko \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \} \) on lineaarisesti riippuva. Oikea syöte on siis [value]. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Katso lisää opintomonisteen sivuilta 55-56. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Lue lisää opintomonisteesta sivulta 56. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Etsi yksi sellainen \( \mathbb{R}^3 \):n kanta, jossa yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} \) suuntainen. Esitä vektori \( \mathbf{x} \) näiden vektorien lineaarikombinaationa.

\( \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{x} = [value] \)
/* Tarkistus: \( [value]+[value]+[value] = [value] \).

*/

Vastaus: Ortonormaali kanta on \( \{ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 \} \), missä (HUOM! jos saman vektorin sisällä on murtolukuja, supista / lavenna ne samannimisiksi. Eli pyri siihen, että saman vektorin sisällä kaikilla murtolukualkioilla on sama nimittäjä)

\( \mathbf{q}_1 = \) , \( \mathbf{q}_2 = \) ja \( \mathbf{q}_3 = \) .

Anna alla vektoreille \( \mathbf{q}_1 \), \( \mathbf{q}_2 \) ja \( \mathbf{q}_3 \) kertoimet siten, että niiden summa on \( \mathbf{x} \):

\( \mathbf{q}_1 + \) \( \mathbf{q}_2 + \) \( \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \).

Syntaksivihjeitä: Neliöjuuren saat tarvittaessa funktion sqrt() avulla. Esimerkiksi luku \( \dfrac{2}{\sqrt{11}} \) kirjoitetaan 2/sqrt(11).
Feedback: Malliratkaisu Huom. Ratkaisuja on äärettömän monta. Tässä on vain yksi tapa. Kolme \( \mathbb{R}^3 \):n ortonormaalia vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska \( \mathbb{R}^3 \):n kannassa on kolme vektoria, riittää löytää jokin halutunlainen kolmen ortonormaalin vektorin joukko. Etsitään ensin ortogonaalinen joukko. Yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} = [value] \) suuntainen. Valitaan toinen vektori \( \mathbf{v} \), jolle \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \). Tällainen vektori on esimerkiksi vektori \( \mathbf{v} = [value] \), sillä \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = [value] \cdot [value] = 0 \). Kolmas saadaan ristitulona \( \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_1 - \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_2 + \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_3 = [value]. \) Näin on saatu 3 ortogonaalista vektoria, mikä voidaan tarkistaa laskemalla kaikkien parien pistetulot (näistä kaikista pitäisi tulla 0). Kun nämä vektorit jaetaan omilla pituuksillaan, saadaan ortonormaali joukko, joka on myös avaruuden \( \mathbb{R}^3 \) ortonormaali kanta: \( \left\{ \mathbf{q}_1 = [value][value], \quad \mathbf{q}_2 = [value][value], \quad \mathbf{q}_3 = [value][value] \right\}. \) Vektorin \( \mathbf{x} \) koordinaatit tässä kannassa ovat sellaiset luvut \( c_1, c_2, c_3 \), joilla \( c_1 \mathbf{q}_1 + c_2 \mathbf{q}_2 + c_3 \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \). Tämä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä. Merkitään \( Q = [\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_3] \). Tämä on ortogonaalinen matriisi, jolloin \( Q^T = Q^{-1} \) ja \( \begin{align} Q \mathbf{c} &= \mathbf{x} \\ \\ \Leftrightarrow \mathbf{c} &= Q^{-1} \mathbf{x} = Q^T \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_3 \cdot \mathbf{x} \\ \end{matrix} \right] = [value] \end{align} \) Vektorin \( \mathbf{x} \) lineaarikombinaatioesitys on siis \( \mathbf{x} = [value] \mathbf{q}_1 + \left( [value] \right)\mathbf{q}_2 + \left( [value] \right) \mathbf{q}_3 \).

On olemassa kolmea lajia uushopeaa, joiden pitoisuudet ovat

\[ \begin{array}{c|ccc} & \text{Cu} & \text{Zn} & \text{Ni} \\\hline \text{I} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \text{II} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \text{III} & [value]\ \% & [value]\ \% & [value]\ \% \\ \end{array} \]

Kuinka paljon näitä seoksia on sulatettava yhteen, jotta saataisiin 10 kg uushopeaa, joka sisältää [value] \(\%\) kuparia, [value] \(\%\) sinkkiä ja [value] \(\%\) nikkeliä? Voit käyttää apuna Matlabia.

Anna vastauksesi sadan gramman tarkkuudella.

Seosta I: kg
Seosta II: kg
Seosta III: kg
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tarvittavaa seoksen I massaa \(x\):llä, seoksen II massaa \(y\):llä ja seoksen III massaa \(z\):lla. Muodostetaan kolme yhtälöä näille massoille, sillä ratkaistavana on kolme tuntematonta. Ensimmäinen yhtälö saadaan massojen summasta, toinen kuparin massoista ja kolmas sinkin massoista. Saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{ \begin{array}{llll} x &+ y &+ z &= 10\ \rm{kg}\\ [value] x &+ [value]y &+ [value]z &= [value]\ \rm{kg}\\ [value]x &+ [value]y &+ [value]z &= [value]\ \rm{kg}, \end{array} \right. \] Yhtälöryhmä voidaan ratkaista Gaussin eliminointimenetelmällä rivioperaatioilla matriisista \(M=\)[value], jolloin saadaan \(\text{rref}(M)=\) [value]. Redusoidusta riviporrasmuodosta voidaan lukea seosten tarvittava määrä riveittäin eli Seosta I: [value] kg Seosta II: [value] kg Seosta III: [value] kg.

Siirrä vektoria \(r=\)[value] vektorin \(x=\)[value] verran ja kierrä [value]\(^\circ\) \(z\)-akselin suhteen.

a) | Mikä on siirron jälkeinen vektori? |
 | \(r_s=\) | &nbsp |
b) | Mikä on lopullinen vektori? |
 | \(r_l=\) | &nbsp |
Feedback: Mallivastaus: a) Muodostetaan laajennetut vektorit siirtoa ja kiertoa varten, jolloin saadaan \( r_{laaja} = [value]\) ja \( x_{laaja} = [value].\) Siirtomatriisiksi saadaan nyt \(T= \) [value] ja siirretyksi laajaksi vektoriksi saadaan \( r_{s,laaja}=T\cdot r_{laaja} = \) [value]\(\cdot\)[value]=[value]. Siirretty vektori on siis \(r_s=\) [value]. b) Vektoria \(r_s\) kierretään [value]\(^\circ\) \(z\)-akselin suhteen, jolloin rotaatiomatriisiksi saadaan \(R=\) [value]=[value]. Laaja kierretty vektori \(r_{l,laaja}\) on \( r_{l,laaja} = R\cdot T\cdot r_{laaja} = R\cdot r_{s,laaja}=\) [value]\(\cdot\)[value]=[value] ja lopullinen vektori on siis \(r_l= \) [value].

Kaupungissa neljä yksisuuntaista katua risteää kuvan mukaisesti. Keskimääräinen liikenteen määrä tunnissa tällä alueella ruuhka-aikana on merkitty kuvaan nuolien yhteyteen.

a) | Määritä yhtälöt jokaisen risteyksen \(A,B,C\) ja \(D\) liikenteen määrille. Kirjoita yhtälöt niin, että tuntemattomat ovat vasemmalla puolella ja vakio oikealla puolella on positiivinen. Huom! Kirjoita \(x_1\) muodossa x1. |  |
 | \(A:\) = |  |
 | \(B:\) = |  |
 | \(C:\) = |  |
 | \(D:\) = |  |
b) | Määritä tuntemattomien liikennemäärien suuruusjärjestys |  |
 | > > > |  |

c) | Kirjoita yhtälöt matriisimuotoon ja määritä matriisin rref-muoto. |  |
 | M= |  | rref(M)= |  |  |  |
d) | Mitkä ovat liikennemäärät, kun tiedetään, että liikenteen määrä risteyksien \(C\) ja \(D\) välillä on [value] ajoneuvoa? |  |
 | \(x_1\)= , \(x_2\)= , \(x_3\) = ja \(x_4\)= |  |
Feedback: Mallivastaus: a) Jokaisessa risteyksessä tulevien ja lähtevien ajoneuvojen määrä tulee olla sama. Kirjoitetaan jokaiselle risteykselle yhtälö ja kirjoitetaan pyydettyyn muotoon \( \begin{array}{llll} A: & x_1 + 450 &=& x_2 + 610 \\ B: & x_2 + 520 &=& x_3 + 480 \\ C: & x_3 + 390 &=& x_4 + 600 \\ D: & x_4 + 640 &=& x_1 + 310 \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{llr} x_1-x_2 &=& 160\\ x_2-x_3 &=& -40 \\ x_3-x_4 &=& 210 \\ x_4-x_1 &=& -330 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{llr} x_1-x_2 &=& 160\\ x_3-x_2 &=& 40 \\ x_3-x_4 &=& 210 \\ x_1-x_4 &=& 330 \end{array} \right. \) b) Yhtälöistä nähdään suuruussuhteet ja muuttujien väliset erotukset, joista voidaan päätellä suuruudet. Esim. \(x_3>x_2\) ja \(x_3>x_4\) ja erotuksista nähdään, että on oltava \(x_2>x_4\). c) Kirjoitetaan muodostetuista yhtälöistä matriisi \(M\), jossa ensimmäisellä rivillä ovat ensimmäisen yhtälön kertoimet, toisella rivillä toisen jne, ensimmäisessä sarakkeessa \(x_1\):n kertoimet, toisessa \(x_2\):n kertoimet jne ja viimeisessä sarakkeessa vakiot. Saadaan \( M= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 40 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix}. \) Muodostetaan rref-muoto rivioperaatioiden avulla käsin tai lasketaan Matlabilla komennolla \( \texttt{rref(M)} \) \( M = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 40 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{\ -R_2+R_3\ } \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix} \) \( \xrightarrow[]{\ R_1\longleftrightarrow R_4\ } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 330\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\1 & -1 & 0 & 0 & 160 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{\ R_4+R_2-R_1\ } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 330\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \text{rref} (M) \) d) Risteyksien \( C \) ja \( D \) välinen liikennemäärä tunnetaan eli saadaan \( x_4=\) [value]. Matriisin rref-muodosta saadaan yhtälöt, joista voidaan ratkaista tuntemattomat liikennemäärät \( \left\{ \begin{array}{lll} x_1-x_4 &=& 330\\ x_2-x_4 &=& 170 \\ x_3-x_4 &=& 210 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{lllll} x_1 &=& 330+[value] &=& [value]\\ x_2 &=& 170+[value] &=& [value] \\ x_3 &=& 210+[value] &=& [value] \end{array} \right. \)

Eräs matriisien kertolaskun sovellus on atomien kiderakenteessa olevien mahdollisten polkujen listaaminen. Kiteissä atomien sijainnit muodostavat hilarakenteen. Atomi voi siirtyä sijainnista, jossa se on, mihin tahansa viereiseen sijaintiin, joka on vapaana.

Jos useampi kuin yksi viereisistä sijainneista on vapaana, niin atomi "valitsee" kohdesijaintinsa satunnaisesti. Polkua, jonka atomi muodostaa kulkiessaan kiderakenteessa, kutsutaan satunnaiskävelyksi.

Kiderakenne voidaan esittää suuntaamattoman graafin muodossa, jossa pisteet esittävät atomien sijainteja ja viivat atomien mahdollisia polkuja. Atomi voi kulkea pisteestä toiseen vain silloin, kun pisteiden välillä on viiva. Alla olevassa kuvassa on eräs tälläinen graafi.

[Image]

Yllä olevassa graafissa atomi voi esimerkiksi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{2} \) tai \( v_{3} \), koska pisteen \( v_{1} \) ja pisteiden \( v_{2} \), \( v_{3} \) välillä on viiva. Toisaalta taas atomi ei voi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{6} \), koska pisteiden \( v_{1} \) ja \( v_{6} \) välillä ei ole viivaa.

Graafin kaksi pistettä ovat vierekkäiset, jos niiden välillä on viiva. Piste ei voi olla vierekkäinen itsensä kanssa, joten silmukoita ei sallita.

Polku, jonka pituus on \( n \) on jono \( t_{1},\dots,t_{n+1}\) siten, että jokainen piste \( t_{j} \) on pisteen \( v_{j+1} \) vieressä. Tälläinen polku esittää atomin mahdollista kulkureittiä kiteen eri sijaintien kautta. Samojen pisteiden kautta voidaan kulkea useasti. Polku \( v_{i}-v_{j}\) on polku, joka alkaa pisteestä \( v_{i} \) ja loppuu pisteeseen \( v_{j} \).

Fyysikot ja materiaali-insinöörit tutkivat kiteitä ja ovat kiinnostuneita seuraavasta kysymyksestä: Jos kiteessä on \( n \) sijaintia atomeille, jotka ovat pisteet \( v_{1},\dots,v_{n} \), niin kuinka monta \( k \) pitkää polkua on minkä tahansa kahden sijainnin eli pisteen välillä?

Matriisit tulevat tässä vaiheessa kuvaan. Määritellään vieruspistematriisi \( A \) siten, että se on \( n\times n \) matriisi, jossa jokainen \( i,i \) alkio on nolla, ja alkioilla \( i\neq j \) pätee, että alkio \( i,j \) on 1, jos on olemassa viiva pisteiden \( v_{i} \) ja \( v_{j} \) välillä, ja 0, jos viivaa ei ole.

Esimerkiksi ylläolevan graafin vieruspistematriisi on

\(A=\)[value]

Matriisin \( A \) alkio \( 1,2 \) on 1, koska pisteiden \( v_{1} \) ja \( v_{2} \) välillä on viiva, kun taas alkio \( 1,5 \) on 0, koska pisteiden \( v_{1} \) ja \( v_{5} \) välillä ei ole viivaa.

Seuraava väite voidaan todistaa, mutta todistus sivuutetaan tässä esityksessä. Sen avulla voidaan ratkaista edellä mainittu kaikkien eri polkujen listaamisongelma.

Olkoon \( A=[a_{ij}] \) graafin \( G \), jossa on pisteet \( v_{1},\dots,v_{n} \), vieruspistematriisi. Olkoon \( k \) mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Tällöin erillisten \( v_{i}-v_{j} \) polkujen, joiden pituus on \( k \), lukumäärä on yhtä kuin matriisin \( A^{k} \) alkio \(i,j \).

Tehtävänä on alla olevan graafin vieruspistematriisin muodostaminen ja kaikkien kolmen mittaisten polkujen pisteestä \( v_{4} \) pisteeseen \( v_{7} \) lukumäärän selvittäminen.

[Image]

\(A^{3}=\) |

Polkujen lukumäärä: |
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin graafille vieruspistematriisi esimerkin mukaisesti: \[ \qquad A = [value]. \] Suoraan laskemalla saadaan \[ \qquad A^3 = [value]. \] Nyt erillisten polkujen lukumäärä pisteiden \(v_4\) ja \(v_7\) välillä nähdään suoraan matriisin \(A^3\) alkiosta \(4, 7\), joka on \([value]\).