Title: MAT-01260 Matematiikka 2

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value]\)

Laske matriisitulot

\( \textbf{(a)} \quad AB \):

\( \textbf{(b)} \quad BA \):

Tarkastellaan matriisia

\( A = [value] \),

missä \( a \in \mathbb{R} \). Millä parametrin \( a \) valinnalla

\( \text{det}(A) = 0 \)?

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina!

Ratkaisuja on kaksi: \( a_1 = \) tai \( a_2 = \) .

Syntaksivihje: Neliöjuuren saat sqrt()-funktion avulla. Esim. \( \sqrt{11} \) kirjoitetaan sqrt(11). Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) ja jakolaskuoperaattorina /-merkkiä.
Feedback: Mallivastaus: Determinanttia kannattaa kehittää viimeiseltä pystyriviltä (tai toiselta vaakariviltä), koska siellä on nolla. Tässä ratkaisussa on kehitetty viimeisen pystyrivin suhteen. Näin saadaan \( \begin{align} \text{det}(A) & = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value]\\ \end{matrix} \right| - 0 \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value]) \right) - 0 + [value] \left( [value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \) Nyt haluttiin, että \( \text{det}(A) = 0 \), eli \[ [value] = 0 \]. Ratkaistaan, millä \( a \):n arvoilla yhtälö toteutuu. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \( a \):n arvoiksi \( a_1 = [value] \) tai \( a_2 = [value] \).

Olkoon
\[ A^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske matriisien tulomatriisin käänteismatriisi \( (AB)^{-1} \).
Laske tulo [value]\((AB)^{-1}\).
Mieti, missä vaiheessa on hyvä kertoa annetulla vakiolla [value], koska osa murtolukutermeistä voivat supistua pois.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} B^{-1} &= [value] \\ \\ [value]B^{-1} &= [value]\\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] (B^{-1} A^{-1}) \\ &= ([value] B^{-1}) A^{-1} \\ &= [value][value] = [value] \end{align} \). TOINEN TAPA (työläämpi): \( \begin{align} A = (A^{-1})^{-1} &= [value] \\ \\ AB & = [value][value] = [value] \\ \\ (AB)^{-1} &= [value] \\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] \end{align} \).

Matriisin \(A\) ominaisparit = (ominaisarvo, ominaisvektori) ovat \(([value], [[value],[value]]^T)\) ja \(([value],[[value],[value]]^T)\).

Matriisi \(A\) on tällöin:
Feedback: Mallivastaus: Ominaisarvoista ja -vektoreista saadaan matriisit \[ D=\begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja }\ P=[{\bf v}_1|{\bf v}_2]= \begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Kääntämällä matriisi \(P\) saadaan \[ P^{-1} = \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\end{bmatrix}. \] Matriisi \(A\) on näiden kolmen matriisin tulo. \[ A=PDP^{-1}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \]

Jaa vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen (vastaus 1) ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin (vastaus 2), kun

\( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = [value], \\ \textbf{(b)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = \left[ \begin{matrix} [value]/3 \\ [value]/3 \\ [value]/6 \end{matrix} \right] \end{align} \)

\( \textbf{(a)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .

\( \textbf{(b)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .
Feedback: Mallivastaus: Jaetaan vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Toisin sanoen lasketaan \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \) ja tätä vastaan kohtisuora osa on \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \). Piirrä kuva! \( \textbf{(a)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \). \( \textbf{(b)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \).

Määritä \( a \in \mathbb{R} \) siten, että

\[ \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value]. \]

Vastaus: \( a = \)
Feedback: Mallivastaus: Kehitetään determinanttia ensimmäisen vaakarivin suhteen. Tällöin \[ \begin{align} & \left| \begin{matrix} [value] & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - a \left| \begin{matrix} 1 & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| + 0 \left| \begin{matrix} 1 & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \big[ \normalsize ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) \big] \normalsize - a [ ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) ] + 0 = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value]-([value])a = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &a = [value] \end{align} \] Determinanttia voidaan kehittää minkä vain vaaka- tai pystyrivin suhteen. Kannattaa valita sellainen rivi, jossa on mahdollisimman paljon nollia, koska tällöin jää vähemmän laskettavaa. Esimerkiksi tässä ei tarvinnut laskea kolmatta \( (2x2) \)-determinanttia ollenkaan, koska se kerrotaan nollalla. Tässä tehtävässä siis yhtä nopeasti päästään ratkaisuun, jos kehitettäisiin determinantti alimman vaakarivin, vasemman pystyrivin tai oikean pystyrivin suhteen.

Olkoot \( \mathbf{x} = [value], \quad \mathbf{y} = [value], \quad \mathbf{v} = [value], \)

\( \textbf{(a)} \) Miten pitää \( t \) valita, että \( \mathbf{v} \) voidaan esittää vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaationa?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(b)} \) Miten pitää \( t \) valita, jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(c)} \) Miten pitää \( t \) valita, että vektori \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori?
Vastaus: \( t = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) olisi vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaatio, on joillakin vakioilla \( c_1, c_2 \) oltava \[ \begin{align} c_1 \mathbf{x} + c_2 \mathbf{y} &= \mathbf{v} \\ c_1 [value] + c_2 [value] &= [value]. \end{align} \] Vektorien ylimmistä alkioista saadaan yhtälö \( c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 = 1 \Leftrightarrow c_1 = 1. \) Toiselta riviltä saadaan \( c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 = [value] \Leftrightarrow c_2 = [value] \). Nyt ollaan ratkaistu vakiot \( c_1 \) ja \( c_2 \) ja siten \[ \begin{align} c_1 &[value] + c_2 [value] = [value] \\ \Leftrightarrow 1 &[value]+[value] [value] = [value] \\ \Leftrightarrow &[value] + [value] = [value] \\ \\ \Leftrightarrow & [value]+[value] \cdot t = [value] \\ \Leftrightarrow & t = [value]. \end{align} \] \( \textbf{(b)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset, on niiden pistetulon oltava \( 0 \). Siten \[ \begin{align} [value] \cdot [value] &= 0\\ \\ \Leftrightarrow (0 \cdot 1) + ([value] \cdot [value]) + t \cdot [value] &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= [value]. \end{align} \] \( \textbf{(c)} \) Jotta \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori, on vektorin pituuden eli normin oltava \( 1 \) eli \[ \begin{align} \| \mathbf{y} \| &= 1 \\ \Leftrightarrow \sqrt{0^2 + 1^2 + t^2} &= 1 \quad \big| ()^2 \\ \Leftrightarrow 1+t^2 &= 1 \\ \Leftrightarrow t^2 &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= 0. \end{align} \]

Olkoot \( \mathbf{u} = [value]\mathbf{e}_1 + [value]\mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{v} = -\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \text{ sekä} \quad \mathbf{w} = \mathbf{e}_1 + [value]\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \).

Tarkista seuraavat kohdat ensin Matlabilla ja kirjoita vastaukset STACKiin vasta sen jälkeen.

\( \textbf{(a)} \) Laske \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \).
Vastaus: \( \mathbf{e}_1 + \) \( \mathbf{e}_2 + \) \( \mathbf{e}_3 \).

\( \textbf{(b)} \) Laske vektorikolmitulo \( \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \).
Vastaus: \( \mathbf{e}_1 + \) \( \mathbf{e}_2 + \) \( \mathbf{e}_3 \).
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Karteesisessa koordinaatistossa x- ,y- ja z-akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla \( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \text{ ja } \mathbf{e}_3 \) määriteltyjen vektoreiden \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) ristitulo voidaan laskea determinantin avulla: \[ \begin{align} \mathbf{u} \times \mathbf{v} & = \text{det} \left[ \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right] \\ & = [value]\mathbf{e}_1 - ([value]) \mathbf{e}_1 + [value] \mathbf{e}_2 - [value] \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3 - [value]\mathbf{e}_3 \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + [value] \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3. \end{align} \] \( \textbf{(b)} \) Vektorikolmitulo on vektori, joka voidaan laskea kaavalla \[ \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \mathbf{v}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - \mathbf{w}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}). \] Nyt \[ \begin{align} \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value] + [value] \cdot ([value]) \\ & = [value] \\ \\ & \text{ja} \\ \\ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value]) \\ & = [value]. \end{align} \] Siten \[ \begin{align} \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) & = \mathbf{v}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - \mathbf{w}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \\ & = [value] \mathbf{v} - ([value]) \mathbf{w} \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + ([value]) \mathbf{e}_3 - ( [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3 ) \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + ([value]) \mathbf{e}_3. \end{align} \]

Jaa matriisi

\[ A = [value] \]

summaksi \( A = S + N \) siten, että matriisi \( S \) on symmetrinen ja \( N \) antisymmetrinen.

\( S = \)

\( N = \) .
Feedback: Mallivastaus: Matriisi \( S \) on symmetrinen, jos sille pätee \( S^T = S \). Matriisi \( N \) on symmetrinen, jos sille pätee \( N^T = -N \). Nyt tulee löytää siis symmetrinen matriisi \( S \) ja antisymmetrinen matriisi \( N \) siten, että \( S+N = A \). Toisin sanoen kaikilla \( i, j \in \{ 1,2,3,4 \} \) pätee \[ \begin{cases} s_{ij} = s_{ji} \\ n_{ij} = -n_{ji} \\ s_{ij} + n_{ij} = a_{ij}. \end{cases} \] Matriisit \( S \) ja \( N \) löydetään kokeilemalla, mutta yllä olevista ehdoista huomataan ainakin heti, että kun \( i = j \), niin on oltava \( n_{ij} = 0 \), koska muuten ehto \( n_{ij} = -n_{ji} \) ei täyty. Toisin sanoen matriisin \( N \) diagonaalialkioiden tulee olla nollia. Tästä saadaankin kolmannen ehdon perusteella ratkaistua matriisin \( S \) diagonaalialkiot. Huomataan, että esimerkiksi matriiseilla \( S = [value] \quad \text{ja} \quad N = [value] \) ylläolevat ehdot pätevät, sillä \[ S^T = [value] = S \] \[ N^T = [value] = -N \] ja \[ S+N = [value] = A. \]

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value], \quad C = [value] \)

/* \( [value] \quad [value] \quad [value] \quad [value] \)

*/ \( \textbf{(a)} \) Mitkä kaikista mahdollisista tuloista on määritelty, t.s. mitkä tuloista voidaan laskea? Valitse alta kaikki ne tulot, jotka on määritelty. Anna vastauksesi niiden joukkona pilkuin eroteltuna. Esim. jos mielestäsi tulot \( AB \) ja \( CB \) on määritelty ja muut eivät, niin vastauksesi olisi \( \{ 1,6 \} \).

\( \begin{align} &1: AB \quad 2: BA \quad 3: AC \\ &4: CA \quad 5: BC \quad 6: CB \end{align} \)
Vastaus: (vastauksessa tulee olla täsmälleen kaikki määritellyt tulot pisteitä saadaksesi)

\( \textbf{(b)} \) Päättele, minkä matriisien tulomatriisi on \( 4 \times 3 \)-matriisi. Eli mikä ylläluetelluista kuudesta tulosta tuottaa \( 4 \times 3 \)-matriisin. Laske tämä tulomatriisi.
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Matriisitulo on määritelty, jos tulon vasemmalla puolella olevassa matriisissa on yhtä monta pystyriviä kuin tulon oikean puolen matriisissa on vaakarivejä. Tulomatriisissa on yhtä monta vaakariviä kuin tulon vasemman puoleisessa matriisissa ja yhtä monta pystyriviä kuin tulon oikeanpuoleisessa matriisissa. Siis esimerkiksi \( (2 \times 4) \)- ja \( (4 \times 2) \)-matriisien tulo on määritelty ja tuloksena on \( (2 \times 2) \)-matriisi. Nyt \( A \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi, \( B \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi ja \( C \) on \( ([value] \times [value]) \)-matriisi, joten tulot [value], [value], [value] ja [value] on määritelty, mutta [value] ja [value] ei. Siten oikea vastaus on [value]. \( \textbf{(b)} \) Nyt \( 4 \times 3 \)-matriisi saadaan matriisien [value] ja [value] tulosta: \( [value][value]=[value][value] = [value] \).

Olkoot

\( A = [value], \quad B = [value]\)

Päättele ensin, mikä matriisitulo (AB vai BA) on määritelty ja laske sen jälkeen tämä tulo. Anna vastauksesi matrix()-funktion avulla. Jokainen rivi kirjoitetaan hakasulkeiden sisään ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin jokainen hakasulkeisiin kirjoitettu rivi erotellaan pilkulla.
Esim. matriisi [value] kirjoitetaan matrix([1,2],[3,4],[5,6]).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus Nyt ainoastaan tulo \( [value][value] \) on määritelty. Nyt matriisissa [value] on neljä pystyriviä ja matriisissa [value] kolme vaakariviä, joten tulo \( [value][value] \) ei ole määritelty. \( [value][value] = [value] \)

Olkoon \(x=([value],[value]), y=([value],[value]), z=([value],[value])\). Määritä

\(\|x-y\|+\|y-z\|=\)

\(\|x-z\|=\)

Mieti, ovatko pisteet \(x,y,z\) samalla suoralla? Miten tämän voi päätellä edellisten laskujen perusteella?

Anna vastaukseksi likiarvo kolmen (3) desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \|x-y\|+\|y-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\|+\|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\|+\|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2}+\sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*} \) \(\begin{align*} \|x-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*}\) Pisteet ovat samalla suoralla jos ja vain jos \[ \|x-z\|=\|x-y\|+\|y-z\|. \]

Sovita pienimmän neliösumman menetelmällä suora pistejoukolle

\( ([value],[value]), ([value],[value]), ([value],[value]) \text{ ja } ([value],[value]). \)

Vastaus: Ratkaisu on suora \(y = ax+b \), missä

\( a = \)

\( b = \)

Voit antaa vastauksen joko tarkkana arvona tai desimaalilukuna. Jos annat desimaalilukuna, anna arvo kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä.
Feedback: Malliratkaisu: Kirjoitetaan pisteiden avulla yhtälöryhmä \[ \begin{cases} y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value], \\ \end{cases} \] joka matriisimuodossa \( V \mathbf{c} = \mathbf{y} \) on \( V = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \text{ja} \quad \mathbf{y} = [value] \). Etsitään tälle pienimmän neliösumman ratkaisu, eli \( V^T V \mathbf{c} = V^T \mathbf{y} \Leftrightarrow [value] \mathbf{c} = [value] \), jonka ratkaisuksi saadaan Gaußin eliminoinnilla \( [V^T V | V^T \mathbf{y}] = [value] \rightarrow \text{rref}([V^T V | V^T \mathbf{y}]) = [value]\), eli \( \begin{cases} a = [value] &= [value], \\ b = [value] &= [value]. \end{cases} \) Sovitteeksi saadaan siis \( y = [value] \).

laskettu rref - alkup. rref = [value] ja koko matriisi on: [value]

A = [value] ja b = [value]

Matlab-koodi: A = [1 1 0; 1 1 0; 1 0 1; 1 0 1] AT = transpose(A) b = transpose([1 3 8 2]) Ab = [A b] rref(Ab) eka = AT*A toka = AT*b koko = [eka toka] rref(koko)

Jos tehdään kuten prujun esimerkissä, ja lasketaan se Matlabilla kuten yllä, niin saadaan PNS-ratkaisu, jossa on ääretön määrä ratkaisuja, kuten rref(koko):sta nähdään. Katso: pruju s.103-104 esimerkki ja http://www.math.cmu.edu/~xiaohuil/21241/exam3_sol.pdf

Esitä vektori \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2} \) vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) lineaarikombinaationa, eli määritä kertoimet \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) siten, että \( {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \).

\( c_1 = \)
\( c_2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2}, {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2}, {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \). Sijoittamalla \( {\bf u }\) ja \( {\bf v }\) vektoriin \[{\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v}, \] saadaan yhtälöryhmä \[\left\{ \begin{split} [value]c_1+[value]c_2 & = 1, \\ [value]c_1+[value]c_2 & = 1. \end{split} \right.\] Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1-[value]c_2}[value] \). Kun tämä sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan \( \displaystyle c_2=-\frac{1}{[value]} \). Sijoittamalla saatu arvo saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1+[value]}[value]=[value] \). Eli \( \displaystyle {\bf a}=[value]{\bf u}-[value]{\bf v} \).

Olkoon \( {\bf u}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \). Laske

\( {\bf u}\cdot {\bf v} = \) , ja

vektoreiden välisen kulman \(\theta\) kosinin tarkka arvo: \(\cos\theta=\)

Neliöjuuri kirjoitetaan esim. muodossa sqrt(5), kertolasku esim. 3*5 ja jakolasku esim. 4/9.
Feedback: Mallivastaus: Vektoreiden \({\bf u}=u_1{\bf e_1}+u_2{\bf e_2}+u_3{\bf e_3}+u_4{\bf e_4}\) ja \({\bf v}=v_1{\bf e_1}+v_2{\bf e_2}+v_3{\bf e_3}+v_4{\bf e_4}\) pistetulo on \[{\bf u}\cdot {\bf v} = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+u_4v_4,\] joten annettujen vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) pistetulo on \[{\bf u}\cdot {\bf v}= [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot [value] +[value]\cdot[value]=[value].\] Jos \(\theta\) on vektoreiden \({\bf u}\) ja \({\bf v}\) välinen kulma, niin silloin \[{\bf u}\cdot {\bf v}=|{\bf u}|\,|{\bf v}|\cos \theta,\] eli vektoreiden \({\bf u} \) ja \({\bf v}\) välisen kulman kosini on \[\cos\theta =\frac{{\bf u}\cdot {\bf v}}{|{\bf u}| |{\bf v}|}.\] Nyt \[|{\bf u}|=\sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2+[value]^2}=[value], \] ja \[|{\bf v}|=\sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2+[value]^2}=[value],\] eli \[\cos \theta=\frac[value]{[value]\cdot [value]}=[value].\]

Olkoon \( u=([value],[value]), v=([value],[value]) \). Määritä

Pistetulo \( u\cdot v = \)

Vektoreiden \( u \) ja \( v \) välinen kulma \( \theta \) (radiaaneina): \( \theta \approx \)

Anna kulman likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.
Feedback: Mallivastaus: Vektoreiden \( u=(u_1,u_2) \) ja \( v=(v_1,v_2) \) pistetulo on \[ u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2, \] joten annettujen vektoreiden \( u=([value],[value]) \) ja \( v=([value],[value]) \) pistetulo on \[u\cdot v = [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]=[value]. \] Jos \( \theta \) on vektoreiden \( u \) ja \( v \) välinen kulma, niin silloin \[u\cdot v=|u|\,|v|\cos \theta, \] eli vektoreiden \( u=([value],[value]) \) ja \(v=([value],[value]) \) välinen kulma on \[\theta = \cos^{-1} \frac{u\cdot v}{|u|\,|v|}.\] Nyt \[|u|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value],\] ja \[|v|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value],\] eli \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac[value]{[value]\cdot [value]} \right) \approx [value] \ \text{(rad)}.\]

Määritä tulo \(Ax\), kun
\[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array} \right] \ \text{ja} \ x=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T. \]

\( Ax = \bigg [ \) \( \bigg ]^T. \)
Feedback: Mallivastaus: \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \] ja \[ x=\left[\begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right].\] \begin{eqnarray*} Ax & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value]\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ ([value])\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right]. \end{eqnarray*}

Ratkaise yhtälöryhmä

\[ \begin{eqnarray}
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\ .\nonumber
\end{eqnarray} \]

\( x_1= \)
\( x_2= \)
\( x_3= \)

Huom! Vältä välilyöntejä syötteissäsi.
Feedback: Mallivastaus Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava "yhtälöryhmä", siis \[ \begin{align} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{align}\]

Olkoon matriisi
\[
A = [value].
\]
Laske determinantti.

\( \det(A) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \det(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| +([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ &= [value] \end{align} \) (2x2 matriisien [value] determinantti saadaan kaavalla \(ad-bc\).)

Olkoot matriisit
\[
A = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad B = [value].
\]

Määritä parametri \(k\) siten, että \(AB = BA\).

\(k= \)
Feedback: Mallivastaus: Aloitetaan laskemalla matriisitulot \(AB\) ja \(BA\). \( \begin{align*} AB & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value], \\ BA & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value]. \end{align*} \) Jotta matriisitulot olisivat yhtä suuret, matriisien vastaavat alkiot pitää olla yhtä suuret. Huomataan, että matriisituloista kaksi alkiota ovat identtiset, joten määritellään parametri \(k\) esim. merkitsemällä yhtä suuriksi alkiot \((AB)_{21} = (BA)_{21}\). \(\begin{align*} (AB)_{21} & = (BA)_{21} \\ [value] & = [value] \\ [value] & = [value] \\ k & = [value]. \end{align*} \) Tarkistetaan vielä lopuksi, että viimeinen alkio on tuloissa yhtä suuret. \(\begin{align*} (BA)_{12} & = [value] \qquad || \textrm{ } k=[value] \\ & {} = [value], \end{align*} \) joka on yhtä suuri kuin alkio \((AB)_{12} = [value]\).

Olkoon matriisi

\[
A = [value].
\]

Laske \((s\cdot I - A)^{-1}\), kun \( s\in\mathbb{R}\setminus\{[value],[value]\} \). Anna kaikki polynomit aukilasketussa muodossa eli muodossa \( as^2+bs+c \) muodon \( (s-s_1)(s-s_2) \) sijasta.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Kääntyville \(2\textrm{x}2\) matriiseille pätee \( A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \) Näin ollen \( \begin{eqnarray*} (s\cdot I - A)^{-1} & = & [value]^{-1} \\ & = & \frac{1}[value] \cdot \left( \begin{array}{cc} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{array} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoot matriisi

\[ A = [value] \]

ja vektori

\[ b = [value].\]

Ratkaise yhtälöryhmä \(Ax=b\).

\(x= \)

/* [value] ja \[ \begin{align} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{align}\] TULEEKO AINA YKSIKÄSITTEINEN RATKAISU. */
Feedback: Ratkaisu: Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = [value] /* \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] */ \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava "yhtälöryhmä", siis \[ \begin{align} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{align}\] /* Toinen tapa: Ratkaisu saadaan kertomalla yhtälöä vasemmalta matriisin \(A\) inverssillä: \( \begin{align} Ax&=b \\ A^{-1}Ax&=A^{-1}b \\ x&=A^{-1}b \\ x&=[value][value] \\ x&= [value] \end{align} \) */

Tee matriisille \(A=[value]\) LU-hajotelma. Etsi siis alakolmiomatriisi \(L\) ja yläkolmiomatriisi \(U\) siten, että \(A=LU\).

Alakolmiomatriisi \(L\):

Yläkolmiomatriisi \(U\):
Feedback: Mallivastaus: (Tarkista LU-hajotelma tarvittaessa esimerkiksi kurssin opintomonisteesta) 1. vaihe: \( l_1 = [value], \quad L_1 = [value], \quad L_1 A = [value] \) 2. vaihe: \( l_2 = [value], \quad L_2 = [value], \quad L_2 L_1 A = [value] \) Valmis hajotelma: \( L = [value], \quad U = [value] \) Tarkistus: \( LU = [value][value] = [value] = A \)

Olkoon

\[
A = [value].
\]

Matriisin \(A\) transpoosi on:
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \(M\) transpoosi \(M^{\mathsf{T}}\) määritellään seuraavasti. \[ M_{ij}^{\mathsf{T}} = M_{ji}. \] Näin ollen matriisin \[ A = [value] \] transpoosiksi saadaan \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \]

Olkoon

\[ A =[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske \(A^{\mathsf{T}}B\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \( A \) transpoosi on \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \] Siten \[ A^{\mathsf{T}}B = [value][value] = [value]. \]

Laske determinantti.

\[ A=\left[\begin{array}{ccc}
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array}
\right]\]

\(\det(A)=\) .
Feedback: Mallivastaus: \[ \begin{align} \det(A)&=\left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ &= [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ & = [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) - [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) + [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \]

Laske seuraavan matriisin determinantti

\[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right |\]

Determinantin arvo on .
Feedback: Vastaus: Determinantti kannattaa lähteä kehittämään siitä vaaka- tai pystyrivistä, jossa on mahdollisimman paljon nollia (miksi?). Kertaa determinantin kehittäminen esim. opintomonisteesta. \[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right | = [value].\]

Olkoon matriisi

\[ A = [value]. \]

Laske matriisin karakteristinen polynomi. Käytä muuttujana \(s\)-kirjainta.

\( p_A(s) = \)

Matriisin ominaisarvot ovat:

\( \lambda_1 = \)

\( \lambda_2 = \)

\( \lambda_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: Matriisin karakteristinen polynomi on (käytetään tässä muuttujana nyt \( \lambda \):aa, vaikka vastauksessa piti käyttää \( s \):ää) \[ \begin{align} \textrm{det}(\lambda I - A) &= \textrm{det} \left( [value] \right) \\ &= ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| + ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \end{align} \] Matriisin ominaisarvot saadaan ratkaisemalla karakteristisen polynomin juuret: \[ \begin{align} [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \\ \\ \\ \lambda_1 &= [value] \\ \lambda_2 &= [value] \\ \lambda_3 &= [value] \\ \end{align} \]

Laske \(A^5\) diagonalisoinnin \(A=PDP^{-1}\) avulla, kun \[A = [value].\] Anna myös matriisin ominaisarvot \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\).

Ominaisarvot:

\(\lambda_1 = \)

\(\lambda_2 = \)

\(A^5=\)
Feedback: Mallivastaus: Diagonalisointi tehdään siten, että lasketaan ominaisarvot ja muodostetaan tästä diagonaalimatriisi \( D \). Matriisi \( P \) muodostuu ominaisvektoreista. Nyt \( \lambda_1 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Lisäksi \( \lambda_2 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Näin saadaan \[ \begin{align} D & = [value], \\ P & = [value] \quad \text{ja} \\ P^{-1} & = \frac{1}{([value]) \cdot ([value])-([value]) \cdot ([value])}[value] = \frac{1}{[value]}[value]. \end{align} \] Nyt \( A = PDP^{-1} \) ja siten \[ \begin{align} A^5 &= PD^5 P^{-1} \\ &= [value] [value]^5 \left( [value][value] \right) \\ &\stackrel{***}{=} [value][value] \left[ \begin{matrix} ([value])^5 & 0 \\ 0 & ([value])^5 \end{matrix} \right] [value] \\ &= [value][value][value][value] \\ &= [value] \end{align} \]. \( *** \) Diagonaalimatriisille pätee \[ \left[ \begin{matrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{matrix} \right]^n = \left[ \begin{matrix} (a_{11})^n & 0 \\ 0 & (a_{22})^n \end{matrix} \right]. \]