Title: APK Viikko 6

(a) Ilmoita napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodossa kompleksiluvut \(z_1 = [value]-[value]i\) ja \(w_1=[value]-\sqrt3\,i\).

Esim. syntaksista: Luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\(z_1\) | = |  |
\(w_1\) | = |  |

Ohje: (1) Piirrä summittainen kuva luvusta vektorina. (2) Laske luvun moduli. (3) Kirjoita luku niin, että moduli on otettu tekijäksi reaali- ja imaginääriosista. Tällöin toisen tekijän pitäisi esittää yksikköympyrän pistettä. (4) Yksikköympyrän pisteen reaali- ja imaginääriosan itseisarvojen perusteella saat muistikolmiosta kulman, merkitään sitä esim. \(\phi\). (5) Päättele, miten kulma \(\phi\) liittyy napakoordinaattien kulmaan \(\theta\), jonka tarvitset vastaukseesi. Käytä kuvaasi apuna tässä päättelyssä.

(b) Muunna kompleksiluvut \(\displaystyle z_2 = 2 e^{i [value]}\) ja \(\displaystyle w_2 = [value]e^{-i\frac{\pi}{2}}\) muotoon \(x+yi\) ja laske niiden summa.

\(z_2+w_2 = \)

Tämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

Luvun \(z\) eräs neljäs juuri on \(w_0 = [value]\). Määritä luku \(z\) ja loput sen neljänsistä juurista. Kirjoita luku \(z\) ja juuret vastauslaatikoihin muodossa \(a+b[value]\).

Luku \(z = \)

Anna loput neljännet juuret joukkona aaltosulkeissa, esim. \(\{a_1 +b_1 [value], a_2 + b_2 [value], a_3 + b_3 [value]\}\).

Luvun \(z\) muiden juurten muodostama joukko on

Ohje: Sinun ei tarvitse selvittää luvun \(w_0\) vaihekulmaa missään vaiheessa ratkaisua. Selvitä sen sijaan kahden peräkkäisen (vastapäivään mentäessä) neljännen juuren välinen kulma, piirrä juuret ympyrälle ja mieti sen perusteella niiden koordinaatteja.
Feedback: Mallivastaus: Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\). Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \]

Olkoon \(z = re^{i\theta}\) (napakoordinaattiesityksen) eksponenttimuodossa oleva kompleksiluku. Vastaa kysymyksiin. Vain kahdessa kohdassa vastaus on pelkkä lukuarvo, muut vastaukset sisältävät vähintään yhden muuttujista \(r\) ja \(\theta\). Huom. \(\pi = \) pi, \(\theta = \) theta.

(a) Kuinka monta (oleellisesti) erilaista [value]:ttä :tta juurta on luvulla \(z\)?
Niitä on kpl.

(b) Millä etäisyydellä origosta sijaitsevat kaikki luvun \(z\) [value]:nnet juuret?
Etäisyydellä

(c) Missä kulmassa ovat toisiinsa nähden mitkä tahansa kaksi vierekkäistä (kierrettäessä origoa joko myötä- tai vastapäivään) luvun \(z\) [value]:ttä :tta juurta?
Kulmassa

(d) Kompleksiluvulle \(z=re^{i\theta}\) saa yhden [value]:nnen juuren samoin kuin reaaliluvuille eli potenssiin \(\frac{1}{[value]}\) korotuksen avulla. Mikä on tällä tavalla saadun [value]:nnen juuren argumentti?
Argumentti on

(e) Mikä on kohdan d) argumenttiasi vastaava \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

(f) Mikä on kohdan e) vastaukseksi antamasi [value]:nnen juuren vieressä vastapäivään seuraavana sijaitseva \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

Olkoon \(p_1(x) = [value]\).

(a) Laske

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

Näiden kolmen laskun perusteella voi sanoa, että polynomi \(p_1(x)\) on jaollinen 1. asteen polynomilla \(q(x) = \) .

Polynomi \(p_1(x)\) voidaankin esittää muodossa

\(p_1(x) = q(x)([value])\).

Mitkä ovat polynomin \(p_1(x)\) kaikki nollakohdat? Anna nollakohdat joukkona aaltosulkeissa, esim. {[value],[value],[value]}.

Nollakohtien joukko on .

(b) Kokeillaanpa nyt samaa prosessia toiseen suuntaan. Koska tiedät, miten polynomi esitetään nollakohtiensa avulla, anna se 3. asteen polynomi \(p_2(x)\) jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja jonka nollakohdat ovat [value], [value] ja [value]. Vastauksessa ei voi käyttää sulkeita, koska polynomin voi esittää ilman niitä.

\(p_2(x) = \)

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

Esimerkiksi luvun \(-8\) voi esittää tulona muodoissa \(-8=-1\cdot 8=1\cdot\left(-8\right)=-2\cdot 4=2\cdot\left(-4\right)\), joten tekijät ovat \({1,-1,2,-2,4,-4,8,-8}\).

(a) Anna kaikki positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. (Vastaavat negatiiviset luvut ovat myös tekijöitä, mutta kirjoitustyön helpottamiseksi tähän tarvitsee antaa vain positiiviset.) Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,7}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki positiiviset luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta. Muista lukuja kokeillessasi, että kohdan (c) lukujen negatiiviset versiot ovat myös mahdollisia nollakohtia.
Vastaus:

Kirjoita jotain jokaiseen vastauslaatikkoon ennen vastauksen lukitsemista.

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kompleksilukujen joukossa. Anna kaikki ratkaisut joukkona aaltosuluissa, esim. {-1,1}. Anna ratkaisu joukkosulkeissa myös siinä tapauksessa, että kyseessä on kaksoisjuuri. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta i.

(a) \([value] = 0 \quad\)

Ratkaisut:

(b) \([value] = 0 \quad\)

Ratkaisut:

Olkoon \(z_1 = [value]\) ja \(z_2 = [value]\). Mitä ovat seuraavat? Anna vastaukset tarkkoina arvoina, älä liukulukuina. \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)} \) .

\(\operatorname{Re}(z_1) = \,\) |  |
\(\operatorname{Im}(z_1) = \,\) |  |
\(z_1+z_2 = \,\) |  |
\(z_2-z_1 = \,\) |  |
\(\overline{z_1} = \,\) |  |
\(|z_2| = \,\) |  |

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Käytä kertomerkkiä imaginääriyksikköä kirjoittaessasi. Esim. \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

(a) | \(z_1z_2\) | \(= \)
 | \(z_2z_1\) | \(= \)
(b) | \(\dfrac{z_1}{z_2}\) | \(= \)
 | \(\dfrac{z_2}{z_1}\) | \(= \)
(c) | \(z_1^2\) | \(= \)
 | \(z_2^2\) | \(= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ & z_2 z_1 = z_1 z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 \bar{z}_1}{z_1 \bar{z}_1} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)