Title: Integraali

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Laske määrätyt integraalit.

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)

(b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)

(c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) (b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) (c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle f(x)= [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Laske seuraava integraali

\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Käyttämällä kohdan (a) tulosta saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] + \frac{[value]}{[value]} \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Q: (a) Etsi funktion \(f(x)=[value]\) se integraalifunktio \(F(x)\), jonka kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta.

\(F(x) = \)

(b) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Integroimalla \(f(x)\) saadaan \(F(x)= \displaystyle \int \left( [value] +C \right) \) Tämän funktion kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta silloin, kun \(F\left([value]\right)=\displaystyle [value]\cdot\left([value]\right)^2- +[value]\cdot\left([value]\right+C=[value].\) Siis \( C= \displaystyle [value]+ -[value]\cdot\left([value]\right)^2+ -[value]\cdot\left([value]\right = [value].\) Näin ollen kysytty integraalifunktio on \(F(x)=\displaystyle [value].\) (b) Lasketaan \( G'(x)\) ja merkitään se samaksi funktion \(g(x)\) kanssa. \( G'(x) = [value] = a\, x \ln{x} +\left( a+2b \right) x = [value]\) Havaitaan, että funktio \(G(x)\) on funktion \(g(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun termien \(x \ln(x)\) kertoimet ovat samat eli \( [value] = [value]\) ja kun lisäksi funktiossa \(G'(x)\) on toisen termin \(x\):n kerroin nolla eli \( [value] = 0 \). Yhtälöpari ratkaisemalla saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske määrätyt integraalit.

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)

(b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)

(c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) (b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) (c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Calculate the integral of the function \( f(x)=[value] \) (without the constant of integration).Laske funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio (ilman integrointivakiota).Bestäm en primitiv funktion till \( f(x)=[value] \) (du kan utelämna integrationskonstanten).

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Using the power rule for integrals, \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \), we getKäytetään potenssifunktion integrointikaavaa \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \).Använd integrationsformeln för potensfunktioner, \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \). \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+\, \text{constant of integration } C) \).\( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+\, \text{integroimisvakio } C) \).\( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+\, \text{integrationskonstant } C) \).

Calculate the integral of the function \( f(x)=[value] \) (without the constant of integration).Määritä funktion \( f(x)=[value] \) integraalifunktio (ilman integrointivakiota).Bestäm en primitiv funktion till \( f(x)=[value] \) (du kan utelämna integrationskonstanten).

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Using the power rule for integrals \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \), we get \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+ \text{ constant of integration } C) \).Käyttämällä potenssifunktion integrointikaavaa \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \), saadaan \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+ \text{ integroimisvakio } C) \).Med integrationsformeln för potensfunktioner, \( \int x^n \, dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \), fås \( \int ([value]) \, dx=[value] \; (+ \text{ integrationskonstant } C) \).

Calculate the integral of the function \( f(x)=[value] \) (without the constant of integration).Määritä funktion \( f(x)=[value] \) jokin integraalifunktio (ilman integrointivakiota).Bestäm en primitiv funktion till \( f(x)=[value] \) (du kan utelämna integrationskonstanten).

\( \int f(x) \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The function \( (x+b)^n \) has a primitive function \( \frac{1}{n+1}\cdot(x+b)^{n+1} \) (verify by derivating the primitive function).Funktion \( (x+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot(x+b)^{n+1} \) (tarkista derivoimalla integraalifunktio).\( \frac{1}{n+1}\cdot(x+b)^{n+1} \) är en primitiv funktion till \( (x+b)^n \) (kontrollera genom att derivera den primitiva funktionen). Applied to the given problem, we getSiisTillämpat på denna uppgift: \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} + C \\ & = & [value] + C. \end{eqnarray*}

Let \( f(x) = [value] \).Olkoon \( f(x) = [value] \).Låt \( f(x) = [value] \).

Calculate the definite integral \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.\)Laske määrätty integraali \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.\)Räkna ut värdet på den bestämda integralen \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.\]

First simplify the integrand \(f(x)\), for example using trigonometric identities. In a few steps the integrand can be written in a form that is easy to integrate.Sievennä ensin integroitavaa funktiota yksinkertaisemmaksi. Muokkaa sen jälkeen funktiota trigonometristen funktioiden muunnoskaavoilla helpommin integroitavaksi.Förenkla först integranden \(f(x)\), t.ex. med trigonometriska identiteter. Integranden kan i några steg skrivas i en form som är lätt att integrera.

Give the exact value in your answer, a fraction, if needed.Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna. Merkitse lukua \( \pi \) kirjoittamalla pi.Ge den exakta lösningen som svar, i bråkform om det behövs. Talet \( \pi \) matas in som pi.

\( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: We manipulate the integrand by applying the following trigonometric identities: Muokataan integroitavaa lauseketta käyttämällä seuraavia trigonometrisia identiteettejä: Vid förenklingen används följande trigonometriska identiteter: \(\qquad \cos(x)^2+\sin(x)^2=1 \) \(\qquad \cos(x)^2-\sin(x)^2=\cos2x \) \(\qquad \cos(x)^2=(1+\cos2x)/2 \). The third identity is also a direct consequence of the first two.Kolmas identiteetti on myös kahden ensimmäisen välitön seuraus.Den tredje identiteten är också en direkt följd av de två första. \begin{eqnarray*} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \sqrt{[value]\cdot (1-\sin(x)^2)} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value] \cdot \cos(x) \cdot [value]\cdot \sqrt{\cos(x)^2} \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)\cdot \cos(x) \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot \cos(x)^2 \, dx \\ & = & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [value]\cdot(1+\cos(2x))/2 \\ & = & [value] \cdot \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{-\pi/2}}^{\>\,{\pi/2}} (x+\frac{1}{2}\sin(2x)) \\ & = & [value]\cdot \left( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0-(\frac{-\pi}{2}+\frac{1}{2} \cdot 0) \right)=[value]. \end{eqnarray*}

Calculate the definite integral Laske määrätty integraali Räkna ut värdet på den bestämda integralen \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\)

Give the exact value in your answer. The number \( e\) is written as e. For example, \( \frac{1}{2}(e^3-1) \) is typed 1/2*(e^3-1).Anna vastaus tarkkana arvona. Luku \( e\) kirjoitetaan vastaukseen e. Esimerkiksi luku \( \frac{1}{2}(e^3-1) \) kirjoitetaan 1/2*(e^3-1).Ge den exakta lösningen som svar. Talet \( e\) matas in som e. Till exempel \( \frac{1}{2}(e^3-1) \) skrivs 1/2*(e^3-1).

\( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \]

Calculate the definite integral \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\)Laske määrätty integraali \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\)Räkna ut värdet på den bestämda integralen \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\)

First examine when the function inside the absolute value is positive and when negative. If the function has negative values on the interval of integration, you need to calculate the integral piecewise. If the function is negative, you need to add a minus sign when taking the absolute value. Be extra careful about sign errors in this exercise.Mieti ensin, milloin itseisarvojen sisällä oleva funktio on positiivinen ja milloin negatiivinen. Jos negatiivisia arvoja osuu integrointirajojen sisälle, pitää integrointi tehdä paloissa. Kun funktio on negatiivinen, tulee integroitavan funktion eteen miinus. Tässä tehtävässä on oltava erityisen tarkkana merkkivirheiden kanssa.Undersök först när uttrycket innanför absolutbeloppet är positivt och när det är negativt. Om uttrycket växlar tecken på integrationsintervallet så bör integreringen göras styckvis. På delar av intervallet där uttrycket är negativt får integranden ett minustecken då absolutbeloppstecknen avlägsnas. Var extra uppmärksam mot teckenfel i den här uppgiften.

Give your answer in exact form, as a fraction, if needed.Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna.Ge den exakta lösningen som svar, i bråkform om det behövs.

\( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: We begin by examining when the function inside the absolute value, \( x+x^2 \), is positive and when negative. The expression has the zeros \(x = 0,\ x=-1\).Tarkastellaan ensin, milloin itseisarvomerkkien sisällä oleva funktio \( x+x^2 \) saa positiivisia ja milloin negatiivisia arvoja. Lausekkeen nollakohdat ovat \(x = 0,\ x=-1\).Vi studerar först när uttrycket innanför absolutbeloppet, \( x+x^2 \), är positivt eller negativt. Uttryckets nollställen är \(x = 0,\ x=-1\). Because \( x+x^2 \) is an upward opening parabola, then the expression is negative, when \( -1<x<0 \) and positive, when \(x < -1\) or \(x > 0\).Koska \( x+x^2 \) on ylöspäin aukeava paraabeli, niin lauseke saa negatiivisia arvoja, kun \( -1<x<0 \) ja positiivisia arvoja, kun \(x < -1\) tai \(x > 0\).Eftersom \( x+x^2 \) är en parabel som öppnar sig uppåt, så är uttrycket negativt då \( -1<x<0 \) och positivt då \(x < -1\) eller \(x > 0\). We can now express the integral piecewise without the absolute value: Integraali voidaan nyt esittää paloittain ilman itseisarvomerkkejä: Nu kan den bestämda integralen skrivas om styckvis utan absolutbelopp: \begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] [value] \, dx &=& [value]\cdot \left( \int_[value]^{-1} (x+x^2)\, dx+\int_{-1}^{0} (-x-x^2) \, dx+\int_{0}^[value] (x+x^2) \, dx \right) \\ &=& [value]\cdot \left( \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,{-1}} \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{-1}}^{\>\,{0}} -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3+ \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{0}}^{\>\,[value]} \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 \right) \\ &=& [value]\left( [value]+[value]+[value] \right) \\ &=& [value]. \end{eqnarray*}

Calculate the definite integral \( \displaystyle \int_{0}^[value] [value] \, dx.\)Laske määrätty integraali \( \displaystyle \int_{0}^[value] [value] \, dx.\)Beräkna den bestämda integralen \( \displaystyle \int_{0}^[value] [value] \, dx.\)

Input example: the number \( 2e^3-5 \) is typed 2*e^3-5.Esimerkiksi luku \( 2e^3-5 \) kirjoitetaan vastaukseen 2*e^3-5.Inmatningsexempel: talet \( 2e^3-5 \) skrivs 2*e^3-5.

\( \displaystyle \int_{0}^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{eqnarray*} \int_{0}^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\!{0}}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\]

Calculate the definite integral \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\) Give your answer in exact form.Laske määrätty integraali \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\) Anna vastaus tarkkana arvona! Räkna ut värdet på den bestämda integralen \( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx.\) Ge det exakta värdet som svar, i bråkform om det behövs.

\( \displaystyle \int_[value]^[value] [value] \, dx= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{eqnarray*} \int_[value]^[value] [value] \, dx & = & \mathop{\Big/}\limits_{\!\!\![value]}^{\>\,[value]} [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}\]

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)}\) ja \(\pi = \mathtt{pi}\).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \left( [value]\right) \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{ll} & \displaystyle{ \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x} \\ = & \displaystyle{ \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right)} \\ = & \displaystyle{ [value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] - \left([value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] \right)} \\ = &\displaystyle{ [value]} \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \displaystyle \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = &\displaystyle -[value]\cos\left([value]\right) - \left(-[value] \cos\left([value]\right)\right) \\ & = & \displaystyle [value] \end{array}\]

Q: VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä):

(a) Etsi funktion \(f(x)=[value]\) se integraalifunktio \(F(x)\), jonka kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta.

\(F(x) = \)

(b) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Integroimalla \(f(x)\) saadaan \(F(x)= \displaystyle \int \left( [value] +C \right) \) Tämän funktion kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta silloin, kun \(F\left([value]\right)=\displaystyle [value]\cdot\left([value]\right)^2- +[value]\cdot\left([value]\right+C=[value].\) Siis \( C= \displaystyle [value]+ -[value]\cdot\left([value]\right)^2+ -[value]\cdot\left([value]\right = [value].\) Näin ollen kysytty integraalifunktio on \(F(x)=\displaystyle [value].\) (b) Lasketaan \( G'(x)\) ja merkitään se samaksi funktion \(g(x)\) kanssa. \( G'(x) = [value] = a\, x \ln{x} +\left( a+2b \right) x = [value]\) Havaitaan, että funktio \(G(x)\) on funktion \(g(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun termien \(x \ln(x)\) kertoimet ovat samat eli \( [value] = [value]\) ja kun lisäksi funktiossa \(G'(x)\) on toisen termin \(x\):n kerroin nolla eli \( [value] = 0 \). Yhtälöpari ratkaisemalla saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle f(x)= [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Laske seuraava integraali

\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Käyttämällä kohdan (a) tulosta saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] + \frac{[value]}{[value]} \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)