Title: Kompleksiluvut

a) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa. Ruudukon neliöiden sivun pituus on 1. Kirjoita pyydetyt kompleksiluvut muodossa \(a + bi\), missä \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja. Voit syöttää kompleksiluvun kirjoittamalla esimerkiksi 2+3*i (muista kertomerkki).

[Image: Pisteitä kompeksitasossa]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Laske seuraavat kompleksiluvut. Kerro ensin sulut auki ja sievennä sitten lopputulos. Välivaihe saa olla missä muodossa vain, mutta lopputuloksen on oltava muotoa \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\).

b) \(([value]-[value]i)([value]+[value]i) =\) \(=\)

c) \(([value]-[value]i)^2-[value]i =\) \(=\)
Feedback: a) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) b) \begin{align*} ([value]-[value]i)([value]+[value]i) & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value]i - [value] \cdot [value]i - [value] \cdot [value]i^2 \\ & = [value] +[value]i - [value]i + [value] = [value] \end{align*} c) \begin{align*} ([value]-[value]i)^{2}-[value]i & = [value]^{2} - 2 \cdot [value] \cdot [value]i+([value]i)^{2}-[value]i \\ & = [value] - [value]i-[value]-[value]i = [value] \end{align*}

Seuraavat tehtävät liittyvät napaesitykseen, joka esitellään kurssimateriaalin luvussa 7.7.

Ennen kuin voit lukita vastauksesi ja saada palautetta a)- tai b)-kohdasta, sinun on vastattava kyseisen kohdan kaikkiin kysymyksiin.

a) Oheisissa kuvissa on yksikköympyrään piirretty kulmat \(\alpha\), \(\beta\) ja \(\gamma\). Jokaisen kulman yksi kylki on x-akselilla. Tutkitaan kohtia, joissa toinen kylki leikkaa yksikköympyrän. Anna vastauksesi yhden desimaalin tarkkuudella (esim. 0.2).

[Image] [Image]

Mikä on sen kohdan [value]-koordinaatti, jossa kulman \(\alpha\) vasen kylki leikkaa yksikköympyrän?
Mitä lukua tämä koordinaatin arvo vastaa? \(\alpha\)

Mikä on sen kohdan [value]-koordinaatti, jossa kulman \(\beta\) oikea kylki leikkaa yksikköympyrän?
Mitä lukua tämä koordinaatin arvo vastaa? \(\beta\)

Määritä samalla tavoin: \(\operatorname[value]\gamma \approx{}\)

b) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa (ruudun sivun pituus on 1). Lisäksi tiedetään, että \(z_7 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i\) ja \(z_8 = -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\). Kirjoita pyydettyjen kompleksilukujen napaesitykset. Kirjoita vastauksesi muodossa 2*(cos(pi)+i*sin(pi)) käyttäen tarkkoja arvoja ja radiaaneja (materiaalista ja alta löytyvistä muistikolmioista on tässä apua). Kirjoita pii muodossa pi ja neliöjuuri muodossa sqrt(2).

[Image]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Voit hyödyntää tehtävässä alla olevia muistikolmioita:

[Image] [Image]
Feedback: Ratkaisu a) Kulman ja yksikköympyrän leikkauspisteen x-koordinaattia vastaa kulman kosini ja y-koordinaattia kulman sini. \(\[value]\alpha \approx [value]\) \(\[value]\beta \approx [value]\) \(\[value]\gamma \approx [value]\) b) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\) \(z_[value] = [value]\left(\cos \left([value]\right) + i\sin \left([value]\right)\right)\)

Tässä tehtävässä sovelletaan kompleksiluvun eksponenttimuotoa yhtälöiden ratkaisemiseen. Aiheesta kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 7.9.

a) Ratkaise kompleksilukujen joukossa seuraava yhtälö: \[ z^3 = [value]. \]

Erilaisia ratkaisuja on 3 kappaletta. Kirjoita ratkaisut eksponenttimuodossa seuraaviin kenttiin vaihekulman mukaan. Merkitse reaaliluvun juurta murtopotenssilla, esimerkiksi kakkosen kuutiojuuri on 2^(1/3). Merkitse luku \(\pi\) muodossa pi.

vaihekulma \(0\):

vaihekulma välillä \(\left]0,\pi\right[\):

vaihekulma välillä \(\left]\pi,2\pi\right[\):

b) Olkoon luvun [value] eksponenttiesitys \(se^{\theta i}\). Mitä ovat luvut

\(s\):

\(\theta\):

c) Ratkaise kompleksilukujen joukossa seuraava yhtälö: \[ z^4 = [value]. \] Kirjoita ratkaisujoukko aaltosulkeissa pilkuin eroteltuna, esimerkiksi: {1, 2*e^(pi*i), sqrt(2)*e^(pi/2*i)}.

d) Mieti, miten tehtävän yhtälöiden ratkaisut sijaitsevat kompleksitasossa. (Tätä tehtävää ei arvioida.)
Feedback: a) Merkitään \(z = re^{i\varphi}\), missä \(r,\varphi\in\mathbb{R}\) ja \(r\geq 0\). Luvun \([value]\) eksponenttiesitys on \([value]e^{[value]i}\). Näin ollen tutkittava yhtälö saadaan muotoon \((re^{i\varphi})^3 = [value]e^{[value]i}\) ja edelleen muotoon \(r^3 e^{3i\varphi} = [value]e^{[value]i}\). Tämän yhtälön kanssa ekvivalentti yhtälöpari on \[\left\{ \begin{array}{ll} r^3 &= [value] \\ 3 \varphi &= [value] + k \cdot 2\pi, \quad \text{missä } k \in \mathbb{Z}.\end{array}\right. \] Koska \(r\) on positiivinen reaaliluku, ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \(r=[value]\). Toisesta yhtälöstä puolestaan saadaan \[ \varphi = k \cdot \frac{2\pi}{3} \] Ratkaisuja saadaan kolme erilaista: \([value]\), \([value]e^{2\pi/3}\) ja \([value]e^{4\pi/3}\). Ratkaisut sijaitsevat kompleksitasossa tasasivuisen kolmion kärjissä, jonka keskipiste on origossa ja yksi kärki positiivisella reaaliakselilla. b) Luvun \([value]\) eksponenttiesitys on \([value]e^{[value]i}\) tai yleisemmin \([value]e^{[value]i+k\cdot 2\pi i}\) millä tahansa kokonaisluvulla \(k\). c) Merkitään \(z = re^{i\varphi}\), missä \(r,\varphi\in\mathbb{R}\) ja \(r\geq 0\). Luvun \([value]\) eksponenttiesitys on \([value]e^{[value]i}\). Näin tutkittava yhtälö saadaan muotoon \((re^{i\varphi})^4 = [value]e^{[value]i}\) ja edelleen muotoon \(r^4e^{4i\varphi} = [value]e^{[value]i}\). Tämän yhtälön kanssa ekvivalentti yhtälöpari on \[ \left\{ \begin{array}{ll} r^4 &= [value] \\ 4\varphi &= [value] + k\cdot 2\pi, \quad \text{missä } k \in \mathbb{Z}.\end{array}\right.\] Koska \(r\) on positiivinen reaaliluku, ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \(r=[value]\). Toisesta yhtälöstä puolestaan saadaan \[ \varphi = \frac{3\pi}{8} + k\cdot\frac{\pi}{2}. \] Ratkaisujoukoksi saadaan \( \left\{[value], [value], [value], [value]\right\}\). Ratkaisut sijaitsevat kompleksitasossa neliön kärjissä, jonka keskipiste on origossa ja joka on kulman \(3\pi/8\) verran kallellaan vasemmalle.

Tässä tehtävässä tutustutaan kompleksiluvun eksponenttiesitykseen, joka on hyvin samankaltainen kuin napaesitys. Kussakin kohdassa sinun on vastattava molempiin kysymyksiin, ennen kuin saat palautetta. Syötä \(\pi\) muodossa pi.

Merkitään \(z_1 = [value]e^{-i[value]}\) ja \(z_2 = [value]e^{i[value]}\).

a) Määritä luvun \(z_1\) reaaliosa ja imaginaariosa. Voit syöttää vastaukset lausekkeina.

\( \operatorname{Re} z_1 = \)

\( \operatorname{Im} z_1 = \)

b) Määritä tulon \( z_1 z_2 \) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|z_1 z_2| =\)

\(\varphi =\)

c) Määritä osamäärän \( \frac{z_1}{z_2} \) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|\frac{z_1}{z_2}| =\)

\(\varphi =\)

d) Määritä luvun \(-z_2\) itseisarvo ja vaihekulma \(\varphi\).

\(|-z_2| =\)

\(\varphi =\)
Feedback: a) Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). Luvun napaesitys on siis \(z_1=[value]\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right)\). Napaesityksestä saadaan reaali- ja imaginaariosat: \begin{align*} & \begin{aligned} \operatorname{Re}z_1 &= [value]\cos\left([value]\right) = [value]\cdot [value] = [value],\end{aligned}\\ & \begin{aligned} \operatorname{Im}z_1 &= [value]\sin\left([value]\right) = [value]\cdot [value] = [value]. \end{aligned} \end{align*} b) Lasketaan ja sievennetään: \[ z_1 z_2 = [value]e^{-[value]i} \cdot [value]e^{i[value]} = [value]\cdot[value]e^{i([value]+[value])} = [value]e^{i([value])}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). c) Lasketaan ja sievennetään: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{[value]e^{-i[value]}}{[value]e^{i[value]}}= \frac[value][value] e^{i(-[value]-[value])} = [value] e^{i([value])}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan lukea luvun \(z_1/z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\). d) Miinusmerkki voidaan huomioida korvaamalla se luvulla \(-1=e^{i\pi}\): \[-z_2=(-1)\cdot [value]e^{i[value]} = e^{i\pi}\cdot [value]e^{i[value]} = [value] e^{i(\pi+[value])}= [value]e^{i[value]}.\] Eksponenttiesityksestä voidaan nyt lukea luvun \(z_2\) itseisarvon olevan \([value]\) ja vaihekulman \([value]\).

Tässä tehtävässä tutustutaan kompleksiluvun itseisarvon geometriseen tulkintaan.

a) Tutkitaan ensin GeoGebran avulla itseisarvolausekkeiden geometriaa. GeoGebra-sovelmat ovat vain havainnollistamista varten, eli niitä ei arvioida. Kuvan pisteitä ei siis tarvitse saada täsmälleen oikeaan paikkaan. Ne palautuvat alkuasemaan aina, kun sivu latautuu uudestaan.

i) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että jokaisen itseisarvo on 2, eli \(|z_i|=2\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen sijaintia kompleksitasossa, joiden itseisarvo on 2?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?
3. Mitä yhteistä havainnoillasi on reaalilukujen itseisarvon kanssa?

ii) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että \(|z_i - w|=2\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen \(z\) sijaintia kompleksitasossa, joille pätee \(|z - w|=2\)?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?
3. Mitä yhteistä havainnoillasi on reaalilukujen itseisarvon kanssa?

iii) Aseta seuraavassa GeoGebra-sovelmassa kompleksiluvut \(z_1,\dots,z_5\) siten, että \(|z_i - w_1|=|z_i-w_2|\) kaikilla \(i\in\{1,2,\dots,5\}\). Osaa pisteistä voit liikutella vapaasti, osa liikkuu vain tietyllä radalla.

Pohdi nyt seuraavia kysymyksiä (tätä vastausta ei arvioida):

1. Millä tavalla kuvailisit niiden lukujen \(z\) sijaintia kompleksitasossa, joille pätee \(|z - w_1|=|z-w_2|\)?
2. Minkä kuvion kyseiset pisteet muodostavat?

Oletko pohtinut kysymyksiä?

Selvitetään vielä täsmällisesti sen kuvion yhtälö, joka muodostui yllä olevassa kohdassa iii). Tutkitaan sitä varten kompleksimuuttujan \(z\) yhtälöä \(|z - (3+i)|=|z-(-1+3i)|\) ja etsitään ne pisteet \(z=x+yi\), joilla kyseinen yhtälö pätee.

b) Sijoita ensin \(z=x+yi\) yhtälön molemmille puolille. Itseisarvo sisältää neliöjuuren. Kirjoita alla oleviin kenttiin neliöjuuren alle tulevat lausekkeet. Lausekkeet saavat sisältää vain muuttujia \(x\) ja \(y\).

\(\sqrt{}\) \({}=\sqrt{}\)

c) Sievennä sitten saamasi yhtälö. Ratkaisuksi saat yhtälön, joka kuvaa reaalimuuttujien \(x\) ja  \(y\) riippuvuutta toisistaan. Kirjoita tämä yhtälö muodossa \(y=f(x)\), missä \(f(x)\) on muuttujan \(x\) lauseke:

y =
Feedback: Ratkaisu a) i) Kompleksiluvut, joiden itseisarvo on 2, sijaitsevat etäisyydellä 2 kompleksitason origosta. Ne muodostavat siis origokeskisen, 2-säteisen ympyrän. Reaaliluvut, joiden itseisarvo on 2, sijaitsevat myös etäisyydellä 2 reaalisuoran nollapisteestä, mutta reaalisuoralla tällaisia lukuja on vain kaksi: \(2\) ja \(-2\). ii) Kompleksiluvut \(z\), joille pätee \(|z-w|=2\), sijaitsevat etäisyydellä 2 luvusta \(w\). Ne muodostavat siis \(w\)-keskisen, 2-säteisen ympyrän. Sama pätee reaaliluvuille, mutta tällöin sopivia lukuja on jälleen vain kaksi. iii) Kompleksiluvut \(z\), joille pätee \(|z-w_1|=|z-w_2|\) sijaitsevat yhtä kaukana luvuista \(w_1\) ja \(w_2\). Ne muodostavat siis suoran, joka kulkee lukujen \(w_1\) ja \(w_2\) välistä. (Tarkemmin sanottuna on lukuja \(w_1\) ja \(w_2\) yhdistävän janan keskinormaali. b) Merkitään \(z=x+yi\). Lasketaan ensin auki yhtälön vasen puoli: \[ |(x+yi)-(3+i)| = |(x-3)+(y-1)i| = \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}. \] Lasketaan sitten auki yhtälön oikea puoli: \[ |(x+yi)-(-1+3i)| = |(x+1)+(y-3)i| = \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}. \] c) Nyt ratkaistavana on yhtälö \(\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}\). Neliöjuuret ovat samat, jos ja vain jos niiden juurrettavat ovat samat. Näin saadaan seuraava yhtäpitävien yhtälöiden ketju: \[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-1)^2 & =(x+1)^2+(y-3)^2 \\ x^2-6x+9+y^2-2y+1 & =x^2+2x+1+y^2-6y+9 \\ 4y & =8x \\ y & =2x.\end{align*} \] Etsityt kompleksiluvut sijaitsevat siis kompleksitason suoralla \(y=2x\).

Tässä tehtävässä tutkitaan kompleksitasoa GeoGebra-sovelmien avulla. Sovelmat ovat vain havainnollistamisen apuna, eikä niitä arvioida.

a) Alla olevassa GeoGebra-sovelmassa voit kokeilla, miten kompleksilukujen \(z\) ja \(w\) tulon itseisarvo käyttäytyy, kun kompleksilukuja \(z\) ja \(w\) liikutetaan tasossa.

Millä tavoin tulon \(zw\) itseisarvo riippuu lukujen \(z\) ja \(w\) itseisarvosta? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Oletetaan, että luvun \(z\) itseisarvo on [value] ja luvun \(w\) itseisarvo on [value]. Mikä on tulon \(zw\) itseisarvo?

b) Oletetaan edelleen, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on luvun \(z\cdot([value]+[value])\) itseisarvo? (Jos tarvitset neliöjuurta, kirjoita se muodossa sqrt(2).)

c) Alla olevassa GeoGebra-sovelmassa voit kokeilla, millä tavoin kompleksiluvun \(z\) konjugaatti \(\bar{z}\) ja käänteisluku \(z^{-1}\) suhtautuvat toisiinsa. Kuvaan on hahmottamisen helpottamiseksi piirretty yksikköympyrä.

Millä tavoin käänteisluvun \(z^{-1}\) sijainti kompleksitasossa riippuu luvun \(z\) sijainnista? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Mikä seuraavassa kuvassa on kompleksiluvun \(z\) käänteisluku?

Käänteisluku:

d) Tutustu kurssimateriaalin lauseeseen 7.5.7. Oletetaan, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on käänteisluvun \(z^{-1}\) itseisarvo?

e) Oletetaan edelleen, että luvun \(z\) itseisarvo on [value]. Mikä on osamäärän \(\frac{[value]-[value]}{z}\) itseisarvo?
Feedback: Ratkaisu a) Tulon itseisarvo on suoraan riippuvainen tekijöiden itseisarvosta eli mitä suurempia ovat tekijöiden itseisarvot, sitä suurempi on tulon itseisarvo. Tarkemmin sanoen tulon itseisarvo on itseisarvojen tulo. Täten \(|zw|=[value]\cdot[value]=[value]\). b) Lasketaan ensin toisen kompleksiluvun itseisarvo: \[|[value]+[value]|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value].\] Nyt tulon moduli on \(|zw|=|z||w|=[value]\cdot[value]=[value]\). c) Kompleksiluvun \(z\) kompleksikonjugaatti \(\bar{z}\) saadaan koordinaatistossa peilaamalla luku \(z\) x-akselin suhteen. Tämän jälkeen käänteisluku \(z^{-1}\) saadaan peilaamalla konjugaatti \(\bar{z}\) yksikköympyrän suhteen. Ympyrän suhteen peilaaminen tarkoittaa sitä, että konjugaattia skaalataan niin, että se siirtyy yksikköympyrän toiselle puolelle ja konjugaatin ja käänteisluvun itseisarvojen tuloksi tulee 1. Tällä tavoin nähdään, että kuvan kompleksiluvun \(z\) konjugaatti on G ja käänteisluku E. d) Lauseen 7.5.7 mukaan kompleksiluvun \(z\) käänteisluvun itseisarvo on \(1/|z|\). Täten \(|z^{-1}|=[value]\). e) Käytetään hyväksi aiempien kohtien havaintoja: \[\left|\frac{[value]-[value]}{z}\right|=|([value]-[value])\cdot z^{-1}|=|[value]-[value]||z^{-1}|=[value]\cdot [value]=[value].\]

Tässä tehtävässä tutkitaan kompleksitasoa GeoGebra-sovelmien avulla. Sovelmat ovat vain havainnollistamisen apuna, eikä niitä arvioida.

a) Tarkastellaan kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)+(-4+2i)=-1+3i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua yhteenlaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen yhteenlaskusta sovelman avulla? Jos olet käynyt lineaarialgebran kurssin, osaatko verrata kompleksilukujen yhteenlaskua vektorien yhteenlaskuun? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Kun olet pohtinut kompleksilukujen yhteenlaskua, tutki seuraavan kuvan kompleksilukuja \(z\) ja \(w\).

Mikä kompleksiluvuista A–E on yhteenlaskun \(z+w\) tulos?

b) Tarkastellaan kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)\cdot(-1+2i)=-5+5i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua kertolaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen kertolaskusta sovelman avulla? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Tarkastellaan vielä kompleksilukujen laskutoimitusta

\[(3+i)\cdot(-1-i)=-2-4i\]

Siirrä alla olevassa sovelmassa sinistä kompleksilukupistettä niin, että kuva esittää yllä mainittua kertolaskua.

Mitä havaintoja voit tehdä kompleksilukujen kertolaskusta sovelman avulla? (Tätä vastausta ei arvioida.)

Kun olet pohtinut kompleksilukujen kertolaskua, tutki jälleen seuraavan kuvan kompleksilukuja \(z\) ja \(w\).

Mikä kompleksiluvuista A–E on kertolaskun \(z\cdot w\) tulos?
Feedback: a) Kompleksilukujen yhteenlasku muistuttaa vektorien yhteenlaskua. Asettamalla lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavat nuolet peräkkäin saadaan lukua A vastaava nuoli. b) Kompleksilukujen kertolaskussa lukuja vastaavat nuolet kiertyvät. Itse asiassa jos lasketaan lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavien nuolten kulmat reaaliakselin positiivisesta osasta, lukujen tuloa \(z\cdot w\) vastaavan nuolen kulma on näiden kulmien summa. Sillä tavoin nähdään, että etsitty luku voisi olla C. Lisäksi mitä pidempiä lukuja \(z\) ja \(w\) vastaavat nuolet ovat, sitä pidempi on lukujen tuloa \(z\cdot w\) vastaava nuoli.

a) Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa. Ruudukon neliöiden sivun pituus on 1. Selvitä pyydettyjen kompleksilukujen itseisarvo eli moduli. Syötä neliöjuuri kirjoittamalla esimerkiksi sqrt(2).

[Image]

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

\(z_[value] = \)

Merkitään \(z = [value]i([value]-[value]i)-([value]-[value]i)^2\).

b) Määritä luvun \(z\) reaaliosa ja imaginaariosa.

\( \operatorname{Re} z =\)

\( \operatorname{Im} z =\)

c) Määritä vielä luvun \(z\) itseisarvo ja liittoluku.

\( |z|= \)

\( \bar{z} = \)
Feedback: a) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) \(z_[value]=[value]\) b) Muunnetaan \(z\) ensin muotoon \(x+yi\): \begin{align*} z &= [value]i([value]-[value]i)-([value]-[value]i)^2 \\ & =[value]i \cdot[value] + ([value])i\cdot ([value])i - ([value]\cdot [value] - 2\cdot[value]\cdot [value]i + [value]i\cdot[value]i) \\ &=[value]i-[value]-[value]+[value]i+[value] \\ &=[value]+[value]i \end{align*} Tästä saadaan \(\operatorname{Re} z = [value]\) ja \(\operatorname{Im} z=[value]\). c) Lisäksi \(|z|=\sqrt{([value])^{2}+([value])^{2}}=[value]\) ja \(\bar{z}=[value]\).

Tässä tehtävässä harjoitellaan napaesityksessä ilmoitettujen kompleksilukujen laskutoimituksia. Kussakin kohdassa on vastattava molempiin kysymyksiin, ennen kuin saat palautetta. Tehtävässä kannattaa hyödyntää luvun 7.7 lauseita.

a) Määritä luvun \(z = [value]\left(\cos [value] + i\sin [value]\right)\) reaaliosa ja imaginaariosa. Anna vastaukset lausekkeina, esim. 2*cos(3*pi/5).

\(\operatorname{Re}z=\)

\(\operatorname{Im}z=\)

b) Määritä luvun \(w = [value]\left(\cos [value] + i\sin [value]\right)\) liittoluku ja käänteisluku napaesitysmuodossa. Anna vastaukset lukuina, esim. 4 tai pi/2.

\(\bar{w} = \) \((\cos{}\)\(+i\sin{}\)\()\)

\(w^{-1} = \) \((\cos{}\)\(+i\sin{}\)\()\)

c) Määritä kompleksiluvun \(u\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(u = [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\cdot [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\)

\(|u| =\)

\(\theta = \)

d) Määritä kompleksiluvun \(v\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(v = \frac{[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)}{[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)}\)

\(|v| =\)

\(\theta = \)

e) Olkoon \(y = [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin [value]\Bigr)\). Laske kompleksiluvun \(y^{[value]}\) itseisarvo ja vaihekulma \(\theta\).

\(|y^{[value]}|=\)

\(\theta = \)
Feedback: a) Kompleksilukujen reaali- ja imaginaariosat saadaan kertomalla itseisarvolla napaesityksen kosini- ja sinilausekkeet: \(\operatorname{Re} z = [value] \cdot \cos [value] = [value]\) \(\operatorname{Im} z = [value] \cdot \sin [value] = [value]\). b) Ratkaistaan liittoluku ja käänteisluku lauseen 7.7.6 avulla: \(\bar{w} = |w|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)) = [value](\cos([value])+i\sin([value]))\), \(w^{-1} = |w|^{-1}(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)) = [value](\cos([value])+i\sin([value]))\). c) Tulon tekijät ovat napaesityksessä, joten lauseen 7.7.8 avulla saadaan suoraan \begin{align*} & [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr)\cdot [value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr) \\ &= ([value]\cdot [value])\Bigl(\cos \Bigl([value]+[value]\Bigr) + i\sin\Bigl([value]+[value]\Bigr)\Bigr) \\ & =[value]\Bigl(\cos [value] + i\sin[value]\Bigr).\end{align*} Tästä nähdään, että tulon itseisarvo on [value] ja vaihekulma \([value]\) d) Lauseen 7.7.8 avulla saadaan \begin{align*} & \frac{[value]\Bigl(\cos [value]+ i\sin[value]\Bigr)}{[value]\Bigl(\cos [value]+ i\sin[value]\Bigr)} \\ &= \frac{[value]}{[value]}\Bigl(\cos\Bigl([value]-[value]\Bigr) + i\sin \Bigl([value]-[value]\Bigr)\Bigr) \\ &=\frac{[value]}{[value]}\Bigl(\cos[value]+ i\sin[value]\Bigr).\end{align*} Tästä nähdään, että tulon itseisarvo on \([value]\) ja vaihekulma \([value]\). e) De Moivren kaavalla saadaan \begin{align*} y^{[value]} & = [value]^{[value]}\left(\cos\left([value]\cdot[value]\right)+i\sin\left([value]\cdot[value]\right)\right) \\ & = [value]\left(\cos\left([value]\right)+i\sin\left([value]\right)\right).\end{align*} Itseisarvoksi saadaan täten \([value]\) ja vaihekulmaksi \([value]\).

Oletetaan, että \(a\in\mathbb{R}\), ja tarkastellaan lauseketta \(([value]-ai)^2+[value]a(ai-[value])\).

a) Mikä on kyseisen lausekkeen arvo, jos \(a = [value]\)? Anna vastaus muodossa \(x+yi\), missä \(x,y\in\mathbb{R}\).

b) Kirjoita koko lauseke muodossa \((\dots)+(\dots)i\). Osat \((\dots)\) eivät saa sisältää imaginaariyksikköä, mutta ne saavat sisältää tuntemattoman vakion \(a\).

\((\)\() + (\)\()i\)

c) Määritä ne reaaliluvut \(a\), joilla lauseke on reaalinen. Vastaukseksi tulee kaksi eri arvoa.

\(a = \) tai \(a = \)
Feedback: a) Kun \(a=[value]\), lausekkeen arvoksi tulee \begin{align*} & ([value]-([value])i)^2+[value]\cdot([value])\cdot(([value])i-[value]) \\ & = [value]^2-2\cdot[value]\cdot([value])i-([value])^2+[value]\cdot([value])\cdot([value]) i-[value]\cdot([value])\cdot[value] \\ & =[value]-([value])i-[value]+[value]i-([value]) \\ & =[value].\end{align*} b) Sievennetään lauseke: \begin{align*} & ([value]-ai)^2+[value]a(ai-[value]) \\ & =[value]-[value]ai-a^2+[value]a^2i-[value]a \\ & =[value]. \end{align*} c) Luku \(z\) on reaalinen, jos ja vain jos sen imaginaariosa on nolla. Ratkaistaan: \begin{align*} & [value]a^2-[value]a=0 \\ \iff & a([value]a-[value])=0 \\ \iff & a = 0 \ \text{tai} \ a = [value].\end{align*} Siis lauseke on reaalinen, jos ja vain jos \(a=0\) tai \(a= [value]\).

Tässä tehtävässä lasketaan kompleksilukujen osamääriä. Osamääristä löytyy tietoa kurssimateriaalin luvusta 7.5.

Laske osamäärät. Muuta osamäärä ensin muotoon, jossa nimittäjä on reaalinen. Sievennä vastaus sen jälkeen muotoon \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\) ja murtoluvut ovat supistetussa muodossa (esim. \(10/26\) on kirjoitettu muodossa \(5/13\)).

a) \(\dfrac{([value]+i)([value]-[value]i)}{[value]+i}\)

\(=\) \(\Big / \)

\(=\)

Anna seuraavissa kohdissa osamäärät suoraan muodossa \(a + bi\), missä \(a, b \in \mathbb{R}\). Kirjoita murtoluvut muodossa x/y.

b) \(\dfrac{([value]-i)^3}{([value]+i)^2} = \)

c) \(\dfrac{1}{[value]+i}- \dfrac{1}{[value]-i} = \)
Feedback: Ratkaisu a) Lavennetaan lauseke nimittäjän liittoluvulla, jotta nimittäjästä tulee reaalinen: \[ \begin{align*}\frac{([value])([value])}{[value]} &= \frac{([value])([value])([value])}{([value])({[value])}} \\ &= \frac{([value])([value])}{[value]^2-i^2}\\ &= \frac{([value])}{[value]}\\ &= [value]. \end{align*} \] b) Lasketaan osoittaja ja nimittäjä ensin auki ja lavennetaan sitten nimittäjän liittoluvulla: \[\begin{align*}\frac{[value]}{[value]} &= \frac{([value]^2-2\cdot[value]i+i^2)([value]-i)}{[value]^2+2\cdot[value]i+i^2} \\ & = \frac{([value]-[value]i-1)([value]-i)}{[value]+[value]i-1}\\ &= \frac{([value]-[value]i)([value]-i)}{[value]+[value]i} \\ &= \frac{[value]\cdot[value]-[value]i-[value]i\cdot[value]+[value]i^2}{[value]+[value]i} \\ &= \frac{[value]-[value]i-[value]i-[value]}{[value]+[value]i}\\ &= \frac{[value]}{[value]} \\ &=\frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &=\frac{[value]\cdot[value]-[value]\cdot([value]i)-[value]i\cdot[value]+[value]\cdot([value])i^2}{[value]^2+[value]^2}\\ &=\frac{[value]+([value])i+[value]i+[value]}{[value]} \\ &=\frac{[value]}{[value]} \\ &=[value].\end{align*}\] c) Lavennetaan nimittäjät samannimisiksi ja lasketaan: \[\begin{align*}\frac{1}{[value]+i}- \frac{1}{[value]-i} & =\frac{[value]-i}{([value]+i)([value]-i)}- \frac{[value]+i}{([value]+i)([value]-i)} \\ &=\frac{[value]-i-[value]-i}{([value]+i)([value]-i)} \\ & = \frac{-2i}{[value]^2-i^2} \\ &= \frac{-2i}{[value]+1} \\ &=[value].\end{align*} \]

Nämä tehtävät liittyvät toisen asteen yhtälöihin, joista kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 7.10.

Tarkastellaan aluksi yhtälöä \([value]x^2 = [value]x - [value]\).

a) Määritä yhtälön diskriminantti: \(D = \)

b) Ratkaise yhtälö.

\(x = \) tai  \(x = \)

Oletetaan sitten, että \(a\in\mathbb{R}\), ja tarkastellaan funktiota \(f_a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=[value]\).

c) Määritä yhtälön \(f(x)=0\) diskriminantin lauseke (jossa esiintyy muuttuja \(a\)):

\(D = \)

d) Määritä sellaiset luvut \(a\), joilla funktion \(f_a\) kuvaaja ei kohtaa vaaka-akselia.

\(a \)

Oletetaan lopuksi, että reaalikertoimisella toisen asteen yhtälöllä on eräänä ratkaisuna \(x=[value]\).

e) Mikä on yhtälön toinen ratkaisu? \(x = \)

f) Mistä yhtälöstä on kyse? Anna vastaus auki kerrotun polynomiyhtälön muodossa, esimerkiksi x^2+2*x+1=0.

g) Vapaaehtoinen lisätehtävä. Selitä tämä vitsi jollekulle tutullesi: https://xkcd.com/849/
Feedback: a) Yhtälön diskriminantti on \(([value])^2-4\cdot[value]\cdot[value]=[value]-[value]=[value]\). b) Yhtälö \([value]x^2 = [value] - [value]\) on yhtäpitävä yhtälön \([value]x^{2}-[value]x+[value]=0\) kanssa. Koska diskriminantti on \([value]<0\), yhtälön ratkaisut ovat \begin{align*} x=\frac{[value]\pm i \sqrt{|([value])^{2}-4\cdot [value]\cdot [value]|}}{2\cdot [value]}=\frac{[value]\pm [value]}[value]=\frac[value][value]\pm \frac[value][value]. \end{align*} Siis yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \(x=[value]\) tai \(x=[value]\). c) Diskriminantti on \(D=([value])^2-4\cdot a\cdot([value])=[value]\). d) Funktion \(f_a\) kuvaaja ei kohtaa vaaka-akselia täsmälleen silloin, kun yhtälöllä \(f_a=0\) ei ole reaalilukuratkaisuja. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Ratkaistaan epäyhtälö \(D<0\): \[ [value] < 0 \iff a [value] [value]. \] e) Jos reaalikertoimisella toisen asteen yhtälöllä on epäreaalinen juuri, yhtälön juuret ovat toistensa kompleksikonjugaatteja. Siispä toinen juuri on \(\overline{[value]}=[value]\). f) Edellisen kohdan perusteella tiedetään, että yhtälön juuret ovat [value] ja [value]. Haluttu toisen asteen yhtälö saadaan kirjoittamalla \(\bigl(x-([value])\bigr)\bigl(x-([value])\bigr) = 0\), sillä tulon nollasäännön perusteella tällä yhtälöllä on ratkaisu, jos ja vain jos \(x=[value]\) tai \(x=[value]\). Kertomalla sulut auki saadaan \begin{align*} \bigl(x-([value])\bigr)\bigl(x-([value])\bigr) & = 0 \\ \bigl((x-([value]))-([value]i)\bigr)\bigl((x-([value]))+([value]i)\bigr) & = 0 \\ (x-([value]))^2+([value])^2 & = 0 \\ x^2-([value])x+([value])+([value]) & = 0\\ [value]& = 0.\end{align*}