Title: Muut

Q: Täydennä käsitekartta.
- Zone 1 | z = a + bi
- Zone 2 | Re z = a
- Zone 3 | Im z = b
- Zone 4 | z* = a - bi
- Zone 5 | |z| = √( a² + b² )
- Zone 6 | z = |z|e^(iθ)
- Zone 7 | z = |z|( cos θ + i sin θ )
- Zone 8 | x^n = w
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Mitkä kurssin käsitteistä liittyvät joukkoihin, mitkä kuvauksiin ja mitkä molempiin? Vedä käsitteet kuvaan oikeille paikoilleen.
- Zone 1 | yhdiste
- Zone 2 | leikkaus
- Zone 3 | erotus
- Zone 4 | komplementti
- Zone 5 | injektio
- Zone 6 | surjektio
- Zone 7 | kuva
- Zone 8 | alkukuva
- Zone 9 | bijektio
- Zone 10 | karteesinen tulo
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein. Mitkä käsitteistä liittyvät sekä joukkoihin että kuvauksiin? Sijoitithan nämä ympyröiden leikkaukseen.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: [Image]

Q: Tämä tehtävä liittyy itseselittämisen menetelmään:

https://moodle.helsinki.fi/pluginfile.php/2577026/mod_resource/content/2/ISSohje.pdf

Itseselittämisen menetelmä (Self-Explanation Training) on harjoitus, jonka avulla voi opetella lukemaan todistuksia. Ohjetekstissä on esimerkkejä metodeista, jotka poikkeavat itseselittämisestä. Näitä kutsutaan tekstissä ”esittämiseksi toisin sanoin” ja ”itsetarkkailuksi”.

Oletetaan, että \(n \in \mathbb{Z}\). Tarkastellaan väitettä "\(n\) on parillinen, jos ja vain jos \(n^3\) on parillinen".

Opiskelutoverisi harjoitteli itseselittämisen menetelmää lukiessaan seuraavaa todistusta äskeiselle väitteelle.

Todistus

Oletetaan ensin, että \(n\) on parillinen. Tällöin \(n=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt

\( n^3 = (2k)^3 = 8k^3 = 2 \cdot (4k^3) \).

Koska \(4k^3\) on kokonaisluku, luku \(n^3\) on parillinen. On siis näytetty, että jos \(n\) on parillinen, myös \(n^3\) on parillinen.

Osoitetaan sitten, että jos \(n^3\) on parillinen, myös \(n\) on parillinen. Käytetään kontrapositiotekniikkaa ja oletetaan, että \(n\) on pariton. Tällöin \(n=2k+1\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt

\(n^3 = (2k+1)^3 \)

      \(= (2k+1)(2k+1)(2k+1)\)

      \(= (2k+1)(4k^2+4k+1)\)

      \(=8k^3+8k^2+2k+4k^2+4k+1\)

      \(=8k^3+12k^2+6k+1\)

      \(=2(4k^3+6k^2+3k)+1.\)

Koska \(4k^3+6k^2+3k\) on kokonaisluku, nähdään, että \(n^3\) on pariton. Kontrapositioperiaatteen mukaan on näytetty, että jos \(n^3\) on parillinen, niin \(n\) on parillinen.

Hän tuotti oheisen selityksen. Toverisi on kuitenkin joissain kohdissa varsinaisen selityksen sijaan esittänyt virkkeen toisin sanoin tai suorittanut itsetarkkailua. Valitse kuhunkin kohtaan parhaiten sopiva kuvaus.

- (1) ”Jos ja vain jos”-tyyppinen väite todistetaan tarkistamalla implikaatiot molempiin suuntiin. Tässä aloitetaan ensimmäisen suunnan tarkistaminen olettamalla implikaation etujäsen. [...]
- (2) Kirjoitetaan virkkeen (1) oletus auki, jotta päästään käyttämään paremmin hyväksi luvun \(n\) parillisuutta. [...]
- (3) Pyöritellään lauseketta \(n^3\). [...]
- (4) Todetaan, että virkkeen (3) lopussa saatu lauseke on muotoa ”\(2\) kertaa kokonaisluku”, mistä voidaan päätellä, että \(n^3\) on parillinen. [...]
- (5) Kirjoitetaan ylös, mitä on tehty, jotta lukija näkisi, että ensimmäinen implikaatiosuunta on nyt todistettu. [...]
- (6) Aloitetaan toinen implikaatiosuunta kertomalla, mitä aiotaan todistaa. [...]
- (7) En hallitse vielä hyvin kontrapositiotekniikkaa, mutta edellisissä kohdissa puhutaan epäsuorasta todistamisesta, joten tehdään vastaoletus. [...]
- (8) Kirjoitetaan \(n\) toisessa muodossa. [...]
- (9) Samalla tavoin kuin virkkeessä (3) lähdetään laskemaan, mitä \(n^3\) on. Tavoitteena olisi saada jotain paritonta. [...]
- (10) Mietin pitkään, miksi siirrytään tarkastelemaan lauseketta \(4k^3+6k^2+3k\), kunnes huomasin sen esiintyvän edellisellä rivillä. Tämän olisi voinut kirjoittaa auki selvemmin. [...]
- (11) Tehdään loppupäätelmä, jossa vielä muistutetaan kontrapositioperiaatteesta ja todetaan, että toinenkin implikaatiosuunta on nyt todistettu. [...]
A: Itseselittämistä; Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itseselittämistä; Itseselittämistä; Itseselittämistä; Itsetarkkailua; Esittämistä toisin sanoin; Itseselittämistä; Itsetarkkailua; Itseselittämistä
Gap 1 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 2 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 3 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 4 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 5 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 6 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 7 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 8 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 9 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 10 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Gap 11 offers: Itseselittämistä; Esittämistä toisin sanoin; Itsetarkkailua
Feedback: Virkkeissä \((3)\) ja \((8)\) selityksessä on vain sanottu toisin sanoin, mitä todistuksessa tehdään, ilman, että on selitetty, miksi niin tehdään ja mihin se liittyy. Virkkeissä \((7)\) ja \((10)\) selityksessä on sanottu, mitä todistuksessa tehdään, sekä kuvailtu omia ajatuksia. Korjataan mainitut tekstinkohdat aidoiksi selityksiksi. \((3)\) Lähdetään tutkimaan lauseketta \(n^3\) sijoittamalla \(n\) virkkeessä \((2)\) mainitussa muodossa. Tavoitteena olisi saada jotain parillista. \((7)\) Käytetään vihjeen mukaisesti epäsuoraa todistamista. Kontrapositiotekniikassa oletetaan aluksi todistettavan väitteen negaatio (ns. vastaoletus). \((8)\) Kirjoitetaan virkkeen \((7)\) vastaoletus auki, jotta päästään paremmin käyttämään hyväksi luvun \(n\) parittomuutta. \((10)\) Todetaan virkkeen \((9)\) lopussa ilmenevä lauseke \(4k^3+6k^2+3k\) kokonaisluvuksi, jotta voidaan todeta, että virkkeen \((9)\) lopussa saatu koko lauseke on muotoa "\(2\) kertaa kokonaisluku plus \(1\)". Näin voidaan päätellä, että \(n^3\) on pariton.

Oletetaan, että \(a,b\) ja \(c\) ovat kokonaislukuja.

a) Luku \(n=[value]a^2+[value]a+1\) on pariton, koska

se voidaan esittää muodossa \(n=2(\) \()+1\), missä on kokonaisluku.

b) Luku \(m=[value]a+[value]b^2-[value]c\) on parillinen, koska

se voidaan esittää muodossa \(m=2(\) \()\), missä on kokonaisluku.

c) Luku \(p=[value]a^2+3b+9c\) on jaollinen kolmella, koska

se voidaan esittää muodossa \(p=3(\) \()\), missä  on kokonaisluku.
Feedback: a) Luku \(n = [value]a^2+[value]a+1\) on pariton, koska se voidaan esittää muodossa \(n=2([value]a^2+[value]a)+1\), missä \([value]a^2+[value]a\) on kokonaisluku. b) Luku \(m = [value]a+[value]b^2-[value]c\) on parillinen, koska se voidaan esittää muodossa \(m=2([value]a+[value]b^2-[value]c)\), missä \([value]a+[value]b^2-[value]c\) on kokonaisluku. c) Luku \(p=[value]a^2+3b+9c\) on jaollinen kolmella, koska se voidaan esittää muodossa \(p=3([value]a^2+b+3c)\), missä \([value]a^2+b+3c\) on kokonaisluku.

Seuraavissa tehtävissä tutustutaan niin kutsuttuihin rekursiivisiin lukujonoihin. Niiden jäsenet määräytyvät edellisten jäsenten perusteella.

Määritellään lukujono \(a_n \) rekursiivisesti asettamalla \(a_0=1\), \(a_1=[value]\) ja

\( a_n = [value]a_{n-1} - [value]a_{n-2} \) kaikilla \(  n \geq 2  \).

Laske.

a) \( a_2 = \)

b) \( a_3 = \)

c) \( a_4 = \)

Muodosta tämän perusteella arvaus jonon jäsenelle \( a_n \). Se ei saa riippua jonon aiemmista jäsenistä.

d) \( a_n = \)
Feedback: a) \( a_2 = [value]a_1- [value]a_0 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot 1 = [value] \) b) \( a_3 = [value]a_2- [value]a_1 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value] \) c) \( a_4 = [value]a_3- [value]a_2 = [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value] \) d) Koska \(a_0=[value]^0, a_1=[value]^1, a_2=[value]^2, a_3=[value]^3\) ja \( a_4=[value]^4\), niin arvataan, että \( a_n = [value]^n \).

Määritellään lukujono \(a_n \) rekursiivisesti asettamalla \(a_1=[value]\), \(a_2=[value]\) ja

\( a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2} \) kaikilla \(  n \geq 3  \).

Laske.

a) \( a_3 = \)

b) \( a_4 = \)

c) \( a_5 = \)

Muodosta tämän perusteella arvaus jonon jäsenelle \( a_n \). Se ei saa riippua jonon aiemmista jäsenistä.

d) \( a_n = \)
Feedback: a) \( a_3 = 2a_2 - a_1 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) b) \( a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) c) \( a_5 = 2a_4 - a_3 = 2 \cdot [value] - [value] = [value] \) d) Koska \(a_1= [value]+[value] \cdot 1, a_2= [value]+[value] \cdot 2, a_3= [value]+[value] \cdot 3, a_4= [value]+[value] \cdot 4\) ja \( a_5= [value]+[value] \cdot 5\), niin arvataan, että \( a_n =[value]+[value]n\).

Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti asettamalla \( F_0=0, F_1=1 \) ja lisäksi

\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) kaikilla luonnollisilla luvuilla \( n \geq 2 \). Laske.

a) \(F_2= \)

b) \(F_3= \)

c) \(F_4= \)

d) \(F_5= \)

e) \(F_6= \)

f) \(F_7= \)

g) \(F_8= \)

h) \(F_9= \)

i) \(F_{10}= \)

Tarkastele peräkkäisten Fibonaccin lukujen summia alusta lähtien, eli summia \( \sum \limits_{i=0}^n F_i \), missä \( n \in \mathbb{N} \). Vertaa tällaisia summia muihin Fibonaccin lukuihin.
Täydennä oheinen yhtälö.

\( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{n+2}-\)
Feedback: \( F_0, \ldots, F_{10} = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 \) \( \sum \limits_{i=0}^0 F_i = 0 \) \( \sum \limits_{i=0}^1 F_i = 0+1=1 \) \( \sum \limits_{i=0}^2 F_i =0+1+1=2 \) \( \sum \limits_{i=0}^3 F_i =0+1+1+2=4 \) \( \sum \limits_{i=0}^4 F_i =0+1+1+2+3=7 \) \( \sum \limits_{i=0}^5 F_i =0+1+1+2+3+5=12 \) \( \sum \limits_{i=0}^6 F_i =0+1+1+2+3+5+8=20 \) \( \sum \limits_{i=0}^7 F_i =0+1+1+2+3+5+8+13=33 \) \( \sum \limits_{i=0}^8 F_i =0+1+1+2+3+5+8+13+21=54 \) Vertailemalla Fibonaccin lukuja ja summia keskenään huomataan, että summat ovat hyvin lähellä itse Fibonaccin lukuja. Itse asiassa, kun lasketaan yhteen ensimmäiset \(n\) Fibonaccin lukua, on saatava summa yhtä pienempi kuin luku \(F_{n+2}\), eli \( \sum \limits_{i=0}^n F_i = F_{n+2}-1. \)

Tutustutaan vielä summamerkintään. Summamerkintä on hyödyllinen lyhennysmerkintä monessa yhteydessä, erityisesti sarjojen teoriassa. Tällä kurssilla summamerkintöjä käytetään erityisesti induktiotodistuksia harjoiteltaessa. Jos summamerkintä ei ole sinulle entuudestaan tuttu, voit tutustua siihen tutkimalla kurssimateriaalin esimerkkiä 4.1.2.

a) Laske seuraavat summat.

i. \(\sum \limits_{k=2}^6 (k+[value]) = \)

ii. \(\sum \limits_{j=0}^4 (-[value])^j = \)

iii.\(\sum \limits_{n=1}^7 [value] = \)

b) Esimerkissä 4.1.2 on merkitty

\begin{align*}\sum \limits_{j=0}^n 2j = 0 + 2 + 4 + \cdots + 2n.\end{align*}

Kirjoita seuraavat summat samaan tapaan auki ilman summamerkintää. Korvaa esimerkin kolme pistettä kirjaimin kp, esimerkiksi 0+2+4+kp+2*n. Kirjoita kolme ensimmäistä summattavaa näkyviin ennen kolmea pistettä.

i. \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \)

ii. \(\sum \limits_{j=0}^n (-2)^j = \)
Feedback: a) i. \(\sum \limits_{k=2}^6 (k+[value]) = (2+[value]) + (3+[value]) + (4+[value]) + (5+[value]) + (6+[value]) = [value].\) ii. \(\sum \limits_{j=0}^4 (-[value])^j = (-[value])^0 + (-[value])^1 + (-[value])^2 + (-[value])^3 + (-[value])^4 = [value].\) iii. \(\sum \limits_{n=1}^7 [value] = 7 \cdot [value] = [value].\) b) i. \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = 0 + 2 + 6 + \ldots + n(n+1).\) ii. \(\sum \limits_{j=0}^n (-2)^j = 1 - 2 + 4+ \ldots + (-2)^n.\)