Title: Muuntoa eksponenttimuotoon ja laskutoimituksia satunnainen

a) Olkoon \(z_1=2\) ja \(z_2=2i\). Muunna eksponenttimuotoon ja laske \(z_1z_2\) ja \(\frac{z_1}{z_2}\) eksponenttimuotojen avulla.

b) Olkoon \(z_1=-3-3i\) ja \(z_2=2-2\sqrt{3}i\). Muunna eksponenttimuotoon ja laske \(z_1z_2\) ja \(\frac{z_1}{z_2}\) eksponenttimuotojen avulla.
Feedback: Ratkaisu a) Etäisyydet kompleksiluvuille \(z_1\) ja \(z_2\) ovat \(r_1=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2\) ja \(r_2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2\). Kompleksiluku \(z_1\) sijaitsee reaaliakselilla, joten vaihekulma \(\theta_1=0\). Kompleksiluku \(z_2\) sijaitsee imaginääriakselilla, joten vaihekulma \(\theta_2=\frac{\pi}{2}\). Näin ollen eksponenttimuodossa \(z_1=2e^{i\cdot 0}=2\) ja \(z_2=2e^{i\frac{\pi}{2}}\). Tällöin \(z_1z_2=2\cdot 2e^{i(0+\frac{\pi}{2})}=4e^{i\frac{\pi}{2}}=4i\) ja \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{2}e^{i(0-\frac{\pi}{2})}=e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i\). b) Etäisyydet kompleksiluvuille \(z_1\) ja \(z_2\) ovat \(r_1=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) ja \(r_2=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4\). Muistikolmion avulla kompleksiluvun \(z_1\) vaihekulmaksi saadaan \(\theta_1=-\frac{3\pi }{4}\) tai \(\theta_1=\frac{5\pi }{4}\). Vastaavasti kompleksiluvun \(z_2\) vaihekulma on \(\theta_2=-\frac{\pi }{3}\). Näin ollen eksponenttimuodossa \(z_1=3\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi }{4}}\) ja \(z_2=4e^{-i\frac{\pi }{3}}\). Tällöin \(z_1z_2=3\sqrt{2}\cdot 4\cdot e^{i(-\frac{3\pi }{4}+(-\frac{\pi }{3}))}=12\sqrt{2}e^{-i\frac{13\pi }{12}}\) ja \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}e^{i(-\frac{3\pi }{4}-(-\frac{\pi }{3}))}=\frac{3}{4}\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi }{12}}\). Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen etäisyydet on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen vaihekulmat on määritetty - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen eksponenttimuodot on muodostettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen tulo on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen osamäärä on laskettu - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen etäisyydet on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen vaihekulmat on määritetty - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen eksponenttimuodot on muodostettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen tulo on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen osamäärä on laskettu - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa

a) Olkoon \(z_1=3\) ja \(z_2=3i\). Muunna eksponenttimuotoon ja laske \(z_1z_2\) ja \(\frac{z_1}{z_2}\) eksponenttimuotojen avulla.

b) Olkoon \(z_1=-5-5i\) ja \(z_2=\sqrt{3}-i\). Muunna eksponenttimuotoon ja laske \(z_1z_2\) ja \(\frac{z_1}{z_2}\) eksponenttimuotojen avulla.
Feedback: Ratkaisu a) Etäisyydet kompleksiluvuille \(z_1\) ja \(z_2\) ovat \(r_1=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3\) ja \(r_2=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3\). Kompleksiluku \(z_1\) sijaitsee reaaliakselilla, joten vaihekulma \(\theta_1=0\). Kompleksiluku \(z_2\) sijaitsee imaginääriakselilla, joten vaihekulma \(\theta_2=\frac{\pi}{2}\). Näin ollen eksponenttimuodossa \(z_1=3e^{i\cdot 0}=3\) ja \(z_2=3e^{i\frac{\pi}{2}}\). Tällöin \(z_1z_2=3\cdot 3e^{i(0+\frac{\pi}{2})}=9e^{i\frac{\pi}{2}}=9i\) ja \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{3}e^{i(0-\frac{\pi}{2})}=e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i\). b) Etäisyydet kompleksiluvuille \(z_1\) ja \(z_2\) ovat \(r_1=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) ja \(r_2=\sqrt{(\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2\). Muistikolmion avulla kompleksiluvun \(z_1\) vaihekulmaksi saadaan \(\theta_1=-\frac{3\pi }{4}\) tai \(\theta_1=\frac{5\pi }{4}\). Vastaavasti kompleksiluvun \(z_2\) vaihekulma on \(\theta_2=-\frac{\pi }{6}\). Näin ollen eksponenttimuodossa \(z_1=5\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi }{4}}\) ja \(z_2=2e^{-i\frac{\pi }{6}}\). Tällöin \(z_1z_2=5\sqrt{2}\cdot 2\cdot e^{i(-\frac{3\pi }{4}+(-\frac{\pi }{6}))}=10\sqrt{2}e^{-i\frac{11\pi }{12}}\) ja \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}e^{i(-\frac{3\pi }{4}-(-\frac{\pi }{6}))}=\frac{5}{2}\sqrt{2}e^{-i\frac{7\pi }{12}}\). Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. a) Voit antaa a-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen etäisyydet on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen vaihekulmat on määritetty - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen eksponenttimuodot on muodostettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen tulo on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen osamäärä on laskettu - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa b) Voit antaa b-kohdasta pisteitä seuraavasti (yhteensä 2,5 pistettä) - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen etäisyydet on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen vaihekulmat on määritetty - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen eksponenttimuodot on muodostettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen tulo on laskettu - 0,5 pistettä, jos kompleksilukujen osamäärä on laskettu - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa