Title: APK Viikko 5

Oheisissa kuvissa on kohtien a-f funktioiden kuvaajat satunnaisessa järjestyksessä. Yhdistä oikea kuvaaja kuhunkin funktioon. (Vastaa pienin kirjaimin a-f.)

Ohje: näissä funktio on summa \(x\):n ja \(y\):n funktiosta. Kiinnitä \(x\) ja tutki, mitä tapahtuu \(y\)-suunnassa (ja päinvastoin). Jos tämä tuntuu liian hankalalta, piirrä pinnat Matlabilla ja vertaa kuviin. Matlab-esimerkkitiedosto on lisämateriaalien joukossa.

\( \textbf{(1)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(2)} \; [value]: \)
\(\textbf{(3)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(4)} \; [value]: \)
\( \textbf{(5)} \; [value]: \) \(\quad \textbf{(6)} \; [value]: \)

[Image: fig4752]
Feedback: Mallivastaus: Oikeat kirjain-funktioparit ovat: \(\textbf{(a)}: \; [value], \quad \textbf{(b)}: \; [value] ,\) \(\textbf{(c)}: \; [value], \quad \textbf{(d)}: \; [value], \) \(\textbf{(e)}: \; [value], \quad \textbf{(f)}: \; [value]\).

Olkoon \[ f(x,y,z) = [value]. \]

a) Laske funktion \(f\) gradientti.

\(\nabla f = \)

Vektori syötetään käyttäen hakasulkuja, alkiot pilkulla toisistaan eroteltuna.

b) Laske funktion \(f\) suunnattu derivaatta pisteessä \(([value],[value],[value])\) vektorin \(\mathbf{u} = ([value],[value],[value])\) suuntaan.

Huom: Syötä muut kuin kokonaisluvut murtolukumuodossa, ei desimaalilukuina.

\(\mathrm{D}_{\mathbf{e}}f([value],[value],[value]) =\)
Feedback: Mallivastaus: a) Gradientti \( \nabla f \) saadaan laskemalla funktion \(f\) osittaisderivaatat \(x\):n, \(y\):n ja \(z\):n suhteen: \[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \; \frac{\partial f}{\partial y}, \; \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \left([value], \; [value], \; [value]\right). \] b) Normeerataan ensin suuntavektori \(\mathbf{u}\). Määritellään \[ \mathbf{e} = \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||} = \left([value],[value],[value] \right). \] Suunnattu derivaatta saadaan nyt \(f\):n gradientin ja normeeratun suuntavektorin \(\mathbf{e}\) pistetulona: \[ \begin{align} \mathrm{D}_{\mathbf{e}} f([value],[value],[value]) & = \nabla f([value],[value],[value]) \bullet \mathbf{e} \\ & = \left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) +\left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) + \left([value] \cdot \frac{[value]}{[value]} \right) \\ & = [value]. \end{align} \]

Olkoon \(f(x,y,z) = [value] \). Laske seuraavat osittaisderivaatat:

a) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial [value]} = \)

b) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial [value]} = \)

c) \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value]\, \partial [value]} = \)

d) \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value]^2} = \)
Feedback: Mallivastaus: a) Laskettaessa osittaisderivaattaa \( [value] \):n suhteen muita muuttujia käsitellään vakioina: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value] = [value]. \] b) Laskettaessa osittaisderivaattaa \( [value] \):n suhteen muita muuttujia käsitellään vakioina: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value] \]. c) Vaihtosäännön mukaan \( \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} = \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} \), joten kysytty osittaisderivaatta saadaan derivoimalla edellisessä kohdassa saatua tulosta edelleen \( [value] \):n suhteen: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial [value] \, \partial [value]} = \frac{\partial}{\partial [value]} \left( \frac{\partial f}{\partial [value]} \right) = [value]. \] d) Toisen kertaluvun osittaisderivaatan laskemiseksi \([value] \):n suhteen lasketaan ensin ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatta \([value] \):n suhteen: \[ \frac{\partial f}{\partial [value]} = [value]. \] Nyt toisen kertaluvun osittaisderivaataksi \([value] \):n suhteen saadaan \[ \frac{\partial^2 f}{\partial [value]^2} = [value]. \]

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle f(x)= [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Laske seuraava integraali

\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Käyttämällä kohdan (a) tulosta saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] + \frac{[value]}{[value]} \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Q: (a) Etsi funktion \(f(x)=[value]\) se integraalifunktio \(F(x)\), jonka kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta.

\(F(x) = \)

(b) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Integroimalla \(f(x)\) saadaan \(F(x)= \displaystyle \int \left( [value] +C \right) \) Tämän funktion kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta silloin, kun \(F\left([value]\right)=\displaystyle [value]\cdot\left([value]\right)^2- +[value]\cdot\left([value]\right+C=[value].\) Siis \( C= \displaystyle [value]+ -[value]\cdot\left([value]\right)^2+ -[value]\cdot\left([value]\right = [value].\) Näin ollen kysytty integraalifunktio on \(F(x)=\displaystyle [value].\) (b) Lasketaan \( G'(x)\) ja merkitään se samaksi funktion \(g(x)\) kanssa. \( G'(x) = [value] = a\, x \ln{x} +\left( a+2b \right) x = [value]\) Havaitaan, että funktio \(G(x)\) on funktion \(g(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun termien \(x \ln(x)\) kertoimet ovat samat eli \( [value] = [value]\) ja kun lisäksi funktiossa \(G'(x)\) on toisen termin \(x\):n kerroin nolla eli \( [value] = 0 \). Yhtälöpari ratkaisemalla saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske määrätyt integraalit.

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)

(b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)

(c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) (b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) (c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)