Title: Aiheviikko 6

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) kuvaa funktiota \(f(x)\) pisteen \(a\) läheisyydessä paremmin kuin mikään muu \(1.\) asteen polynomi.
- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(\displaystyle P_n(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) approksimoi funktiota \(f(x)\) pisteen \(x=a\) ympäristössä paremmin kuin muu \(n\) asteen polynomi.
- Taylorin sarja suppenee kohti funktiota vain niissä suppenemisvälin pisteissä, joissa virhetermin raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to 0} R_n = 0\).
- Taylorin sarja on potenssisarja.
- Jos funktio on jatkuvasti derivoituva, niin Taylorin sarja on mahdollista muodostaa.
- Taylorin sarja suppenee aina kohti vastaavaa funktiota.
- \(\displaystyle \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\) kaikilla \(x\in \mathbb{R}\).
- \(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{k+1}}{k+1}\), kun \(x=2\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. \(P_1(a)=f(a)\) ja \(P_1'(a) = f'(a)\). - Tosi. \(P_n(a) = f(a), P_n'(a) = f'(a), \ldots, P_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)\). - Tosi. Näin on! - Tosi. Taylorin sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\). - Tosi. Näin on! - Epätosi. Vain jos virhetermin raja-arvo on nolla. - Tosi. Kyseessä on sinifunktion sarjakehitelmä, jonka suppenemisväli on \(\mathbb{R}\). - Epätosi. Suppenemisväli sarjakehitelmälle on \(-1<x\leq 1\).

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^3-1}} < \sqrt{2}\cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) |
b) | \(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{n}} \geq \frac{1}{2\sqrt{n}}\) |
c) | \(\displaystyle n! < n^n\) |
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^3-1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{2}n^3 - 1}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}n^3}} = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{n^3}} = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\), kun \(\displaystyle \frac{1}{2}n^3-1>0\) eli \(n>\sqrt[3]{2}\).

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

Olkoon \(R>0\) potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde. Merkitään \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\).

- Funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \(\left( -R,R \right)\).
- Funktio \(f(x)\) on integroituva välillä \([a,b]\), jos \([a,b]\subset \left( -R,R \right)\).
- \(f'\):n suppenemissäde on \(R\).
- \(\displaystyle f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1}\).
- \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_kx^{k+1}}{k+1}\).
Feedback: Malliratkaisu: Lause 172. Olkoon \(R > 0\) potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde. Tällöin funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \(\left( −R, R \right)\) ja integroituva jokaisella välillä \([a, b] \subseteq \left( −R, R \right)\). Kun \(|x|<R\), niin \(\displaystyle f'(x) = \sum_{k=0}^{\infty}D(a_kx^k) = \sum_{k=1}^{\infty}ka_kx^{k-1} = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\) \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^x a_kt^k dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_kx^{k+1}}{k+1} = a_0x + \frac{1}{2}a_1x^2+\frac{1}{3}a_2x^3+\cdots\). Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde \(R\). - Tosi. - Tosi. - Tosi. - Tosi. - Tosi.

a) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}(x-5)^n\).

- Sarjan kehityskeskus on .
- Kerroin \(a_n = \) .
- Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\) antaa tulokseksi , kun \(\displaystyle u_n = \frac{n!}{2^n}(x-5)^n\).
- Suppenemissäde \(R = \) .
- Milloin sarja suppenee? \(x = \) .

b) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k\cdot 10^k}(x-2)^k\).

- Kehityskeskus on .
- Suppenemissäde \(R = \) .
- Sarja suppenee, kun \(x \in \Big(\)\(,\)\(\Big]\).
(päätepisteet on tarkasteltu erikseen)

c) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}10^k}{k!}(x-10)^k\).

- Sarjan kehityskeskus on .
- Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\) antaa tulokseksi \(0\), kun \(\displaystyle u_n = \frac{(-1)^{k+1}10^k}{k!}(x-10)^k\).
- Tällöin \(R = \) .
- Sarja suppenee, kun \(x\in \Big(\)\(,\)\(\Big)\).

Huom! \(\infty = \) inf.
Feedback: Malliratkaisu: a) Sarjan kehityskeskus on \(5\) ja \(\displaystyle a_n = \frac{n!}{2^n}\). Suhdetesti \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\cdot (x-5)^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}(x-5)^n}\right| = \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)!2^n}{n!2^{n+1}}\frac{|x-5|^{n+1}}{|x-5|^n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2}|x-5| = \infty\). \(\displaystyle R = \frac{"1"}{\infty} = 0\). Siispä sarja suppenee vain kehityskeskuksessa \(x = 5\). b) Kehityskeskus on \(2\). Suppenemissäde \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{1}{k\cdot 10^k}}{\frac{1}{(k+1)\cdot 10^{k+1}}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{(k+1)\cdot 10^{k+1}}{k\cdot 10^k} \right| = \lim_{k\to \infty} \frac{10(k+1)}{k} = \lim_{k\to \infty} 10+\frac{1}{k} = 10\). Sarja suppenee, kun \(|x-2|<10\) eli \(-8<x<12\). Päätepisteet tulee tutkia erikseen. c) Kehityskeskus on \(10\). Suppenemissäde \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{10^k}{k!}}{\frac{10^{k+1}}{(k+1)!}} \right| = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{10^k(k+1)!}{10^{k+1}k!} \right| = \lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{10} = \infty\). Sarja suppenee kaikilla \(x\in \mathbb{R}\) eli \(x\in (-\infty, \infty)\).

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+3)^k\cdot 2k}{k!}\) on potenssisarja.
- Sarja \(\displaystyle 1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\ldots\) voidaan tulkita potenssisarjaksi.
- Potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\) suppenee aina jollain muuttujan \(x\) arvolla.
- Olkoon potenssisarjan suppenemissäde \(R\). Kyseinen sarja suppenee siis aina välillä \([c-R,c+R]\).
- Potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenee itseisesti, jos \(|x|\leq R\) ja hajaantuu, jos \(|x|>R\). Tiedämme, että \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) suppenemissäde \(R = \infty\), niin sarja suppenee itseisesti kaikilla reaaliluvuilla \(x\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde \(R = 0\), niin sarja hajaantuu kaikilla reaalisilla arvoilla \(x\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\). - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}(x-0)^{2k}\). - Tosi. Sarja suppenee vähintään arvolla \(x = c\). - Epätosi. Emme tiedä tutkimatta, mitä tapahtuu välin päätepisteissä. - Epätosi. Päätepisteet on tutkittava erikseen. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Sarja suppenee, kun \(x=0\).

Järjestä taulukon kahden viimeisen sarakkeen sisällöt vastaamaan taulukon toisen sarakkeen tietoja käyttäen taulukon ensimmäisen sarakkeen numeroita.

([value]) | Taylorin polynomi | Taylorin kaava | Taylorin sarja | Maclaurenin sarja | \(\displaystyle P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = P_n(x)+R_n(x)\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) | Taylorin sarjan n:s osasumma. | Funktio esitetään Taylorin polynomin ja jäännöstermin/virhetermin summana. | Esittää funktiota itseään, kun jäännöstermin/virhetermin raja-arvo on nolla. | Taylorin sarja, jolle \(c=0\).

Sarakkeiden kolme ja neljä oikeat järjestykset: |

Täydennä

a) Potenssin laskusäännöt

- \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = \)
- \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\)
- \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\)

Siispä

- \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot \)
- \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = \)

b) Kertoma

- \(\displaystyle n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot \)
- \(\displaystyle 8! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \)
- \(\displaystyle \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k\cdot (k-1) \cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1} = \frac{k!}{(k+1)k!} = \)

c) Taylorin kaavan virhetermin arviointi

Olkoon \(c>0\). Silloin

- \(\displaystyle \frac{c^n}{n!}\) on |  | , kun \(n\geq c-1\)

- \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{c^n}{n!} = \)

d) Binomikerrointa merkitään

\(\displaystyle \binom{k}{n} = \frac{k(k-1)\cdots (k-n+1)}{n!}\), kun \(n\geq 1\) ja \(\displaystyle \binom{k}{0} = 1\).

Siispä

\(\displaystyle \binom{5}{3} = \) ja \(\displaystyle \binom{8}{2} = \) .
Feedback: Malliratkaisu: a) Potenssin laskusäännöt - \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = [value]\) - \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\) - \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\) Siispä - \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot [value]\) - \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = [value]\) b) Kertoma - \(\displaystyle n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot [value]\) - \(\displaystyle 8! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot [value]\) - \(\displaystyle \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{k\cdot (k-1) \cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1} = \frac{k!}{(k+1)k!} = [value]\) c) Taylorin kaavan virhetermin arviointi Olkoon \(c>0\). Silloin 1. \(\displaystyle \frac{c^n}{n!}\) on vähenevä, kun \(n\geq c-1\) ja 2. \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{c^n}{n!} = [value]\). Todistus. Kumpikin osa erikseen. 1. Havaitaan, että \(\displaystyle \frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^n}{n!}} = \frac{c}{n+1} \leq 1\), kun \(n\geq c-1\). 2. Olkoon \(m = \lfloor c \rfloor\) luvun \(c\) desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun \(n > m\), \(\displaystyle \frac{c^n}{n!} = \frac{c}{1}\frac{c}{2}\cdots \frac{c}{m}\frac{c}{m+1}\frac{c}{m+2}\cdots \frac{c}{n-1}\frac{c}{n} \leq A\frac{c}{n}\to 0\), kun \(n\to \infty\). d) \(\displaystyle \binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{60}{6} = 10\) ja \(\displaystyle \binom{8}{2} = \frac{8\cdot 7}{2!} = \frac{56}{2} = 28\).

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja on aina joko positiiviterminen tai vuorotteleva.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{2k}\cdot 3k\) on vuorotteleva sarja.
- Leibnizin testillä testataan vuorottelevan sarjan suppenemista.
- Jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\), niin vastaava vuorotteleva sarja välttämättä suppenee.
- Itseisesti suppeneva sarja aina suppenee.
- Suppeneva sarja suppenee aina myös itseisesti.
- Jos sarja ei suppene itseisesti, se automaattisesti hajaantuu.
- Tiedämme sarjan \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenevan. Sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee myös.
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Sarjan kaikki termit voivat olla myös esim. negatiivisia. - Epätosi. Potenssi on aina positiivinen eli kyse on positiivitermisestä sarjasta. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Oltava myös \(a_k\geq a_{k+1}\) (Leibnizin testi) - Tosi. Lause 164 opintomonisteessa. - Epätosi. Esim. harmoninen sarja ja vuorotteleva harmoninen sarja. - Epätosi. Jos sarja ei suppene itseisesti, emme voi päätellä sarjan suppenemista suoraan tästä. - Tosi. Jos \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenee, niin sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee itseisesti. Tällöin \(\displaystyle \sum a_k\) myös suppenee.

Tarkastellaan raja-arvon \[ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{[value]\sin(x^3)-x^2\sinh([value]x)}{x^4\ln(1+[value]x)} \] laskemista potenssisarjojen avulla.

a) Määrää funktion \( x^4\ln(1+[value]x)\) astetta seitsemän oleva Maclaurinin polynomi.

b) Laske potenssisarjojen avulla raja-arvo.

Consider the evaluation of the limit \[ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{[value]\sin(x^3)-x^2\sinh([value]x)}{x^4\ln(1+[value]x)} \] with power series.

a) Find the degree seven Maclaurin polynomial for the function \( x^4\ln(1+[value]x)\).

b) Use power series and evaluate the limit.

a) Polynomi on a) The polynomial is .

b) Raja-arvo on b) The limit is .
Feedback: Malliratkaisu: \(\textrm{a) }\) Potenssisarjan \( \ln(1+x) = x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3}-\cdots\), \(\left|x\right|<1\), avulla saadaan Model solution: \(\textrm{a) }\) By using the series \( \ln(1+x) = x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\cdots\), \(\left|x\right|<1\), we get \begin{align*} x^4\ln(1+[value]x)&=x^4([value]x -\dfrac{([value]x)^2}{2} + \dfrac{([value]x)^3}{3}-\cdots)\\ &=x^4([value]x -\dfrac{[value]^2x^2}{2} + \dfrac{[value]^3x^3}{3}- \cdots)\\ &=[value]x^5 -[value]x^6 + [value]x^7- \cdots. \end{align*} \(\textrm{b) }\) Tunnetaan potenssisarjat \(\textrm{b) }\) By using the known Maclaurin series \[ \begin{align*} x^4\ln(1+[value]x)&=[value]x^5 -[value]x^6 + [value]x^7- \cdots,\\ \sin(x)&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots,\\ \sinh(x)&=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots, \end{align*} \] joten saadaan it follows \[ \begin{align*} &\hphantom{=}\,\, \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{[value]\sin(x^3)-x^2\sinh([value]x)}{x^4\ln(1+[value]x)}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{[value](x^3-\dfrac{(x^3)^3}{3!}+\dfrac{(x^3)^5}{5!}-\dfrac{(x^3)^7}{7!}+\cdots)-x^2([value]x+\dfrac{([value]x)^3}{3!}+\dfrac{([value]x)^5}{5!}+\dfrac{([value]x)^7}{7!}+\cdots)} {\displaystyle{[value]x^5 -[value]x^6 + [value]x^7- \cdots}}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{ [value]x^3-\dfrac{[value]x^9}{3!}+\dfrac{[value]x^{15}}{5!}-\dfrac{[value]x^{21}}{7!}+\cdots-([value]x^3+\dfrac{[value]^3x^5}{3!}+\dfrac{[value]^5x^7}{5!}+\dfrac{[value]^7x^9}{7!}+\cdots)} {\displaystyle{[value]x^5 -[value]x^6 + [value]x^7- \cdots}}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{ (-\dfrac{[value]^3x^5}{3!}-\dfrac{[value]^5x^7}{5!}-\dfrac{[value]^7x^9}{7!}-\dfrac{[value]x^9}{3!}+\dfrac{[value]x^{15}}{5!}-\dfrac{[value]x^{21}}{7!}+\cdots):x^5} {(\displaystyle{[value]x^5 -[value]x^6 + [value]x^7- \cdots}):x^5}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{ -\dfrac{[value]^3}{3!}-\dfrac{[value]^5x^2}{5!}-\dfrac{[value]^7x^4}{7!}-\dfrac{[value]x^4}{3!}+\dfrac{[value]x^{10}}{5!}-\dfrac{[value]x^{16}}{7!}+\cdots} {\displaystyle{[value] -[value]x + [value]x^2- \cdots}}\\ &=-\dfrac{[value]}{3![value]}=-[value]. \end{align*} \]

Laske potenssisarjan \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} [value] x^k \] suppenemissäde \(R\).

Determine the radius of convergence \(R\) for the power series \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} [value] x^k. \]

Suppenemissäde \(R\) on The radius of convergence \(R\) is .
Feedback: Malliratkaisu: Lasketaan raja-arvo: Model solution: Evaluate the limit: \begin{align*} L &= \lim\limits_{k\to\infty} \Big|[value]:[value]\Big|\\ &= \lim\limits_{k\to\infty} [value]\cdot[value]\\ &= \lim\limits_{k\to\infty} [value] = \lim\limits_{k\to\infty}[value]\\ &=1. \end{align*} Suppenemissäde \(R=\frac{1}{L} =1\). The radius of convergence \(R=\frac{1}{L} =1\).

Tutkitaan potenssisarjan \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k \] suppenemista.

a) Laske potenssisarjan suppenemissäde \(R\).

b) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=1\)?

c) Suppeneeko potenssisarja pisteessä \(x=[value]\)?

Consider the convergence of the power series \[ \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{[value]}{[value]} x^k. \]

a) Determine the radius of convergence \(R\) for the power series. (2/3 p)

b) Does the power series converge at the point \(x=1\)? (1/6 p)

c) Does the power series converge at the point \(x=[value]\)? (1/6 p)

a) Suppenemissäde on a) The radius of convergence is .

b) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). b) Claim: The power series converges at the point \(x=1\).

c) Väite: Potenssisarja suppenee pisteessä \(x=[value]\). c) Claim: The power series converges at the point \(x=[value]\).
Feedback: Malliratkaisu: \(\textrm{a) }\) Lasketaan raja-arvo: Model solution: \(\textrm{a) }\) Evaluate the limit: \[ \begin{align*} L &= \lim\limits_{k\to\infty} \Big|\frac{[value]}{[value]}:\frac{ [value]}{[value]}\Big|\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]}\cdot\frac{[value]}{[value]}\\ &= \lim\limits_{k\to\infty}\frac{[value]}{[value]} = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{e^[value]}=\frac{1}{e^[value]}. \end{align*} \] \(\hphantom{a) }\) Suppenemissäde \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\hphantom{a) }\) The radius of convergence \(R=\frac{1}{L} =e^[value]\). \(\textrm{b) }\) Koska potenssisarjan suppenemissäde \(R=e^[value]\), potenssisarja suppenee varmasti, kun \( | x | < e^[value] \) eli \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=1\) kuuluu tähän väliin, joten potenssisarja suppenee pisteessä \(x=1\). \(\textrm{b) }\) Because the radius of convergence \(R=e^[value]\) for the power series, the power series surely converges when \( | x | < e^[value] \) i.e. \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=1\) belongs to this interval and hence the power series converges at the point \(x=1\). \(\textrm{c) }\) Potenssisarja suppenee varmasti, kun \( -e^[value] < x < e^[value] \). Piste \(x=[value]\) ei kuulu tähän väliin, joten potenssisarja hajaantuu pisteessä \(x=[value]\). \(\textrm{c) }\) The power series surely converges when \( -e^[value] < x < e^[value] \). The point \(x=[value]\) doesn't belong to this interval and hence the power series diverges at the point \(x=[value]\).

Given the function \(f(x) = \frac{[value]}{[value]-[value]x}\), find the constant multipliers \(a_k\) of its second degree Taylor polynomial \(P_2(x;0) = \sum_{k=0}^{2} a_k x^k\).Määritä funktion \(f(x) = \frac{[value]}{[value]-[value]x}\) toisen asteen Taylor-polynomin \(P_2(x;0) = \sum_{k=0}^{2} a_k x^k\) kertoimet \(a_k\).

\(a_0 =~\)

\(a_1 =~\)

\(a_2 =~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Find the constant multipliers \(a_k\) of the second degree Taylor polynomial of the function \(f(x) = \frac{[value]}{[value]-[value]x}\).Määritä funktion \(f(x) = \frac{[value]}{[value]-[value]x}\) toisen asteen Taylorin polynomin \(P_2(x;0) = \sum_{k=0}^{2} a_k x^k\) kertoimet \(a_k\). The constants in the Taylor polynomial are of the form \(a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\).Taylorin polynomin kertoimet ovat muotoa \(a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\). The first constant can be found by a simple substitution.Ensimmäinen kerroin saadaan suoraan sijoittamalla \(a_0 = \frac{f(0)}{0!} = \frac{\frac{[value]}{[value]-[value]\cdot 0}}{1} = [value]\). For the remaining constants, we need to determine the first and second derivatives of the function \(f\). These can found by applying the chain rule.Lasketaan jäljellä olevia kertoimia varten funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta käyttämällä yhdistetyn funktion derivointikaavaa \(f'(x) = [value]\) (Outer function: \(\frac{[value]}{x} = [value]x^{-1}\), inner function: \([value]-[value]x\)Ulkofunktio: \(\frac{[value]}{x} = [value]x^{-1}\), sisäfunktio: \([value]-[value]x\)) \(f''(x) = [value]\) (Outer function: \(\frac{[value]}{x^2} = [value]x^{-2}\), inner function: \([value]-[value]x\)Ulkofunktio: \(\frac{[value]}{x^2} = [value]x^{-2}\), sisäfunktio: \([value]-[value]x\)). Now substituting these we getNyt sijoittamalla saadaan \(a_1 = \frac{f'(0)}{1!} = [value]\) \(a_2 = \frac{f''(0)}{2!} = [value]\).

Let \(f(x)=\ln(x)\). Determine the fourth order Taylor polynomial of the function \(f\) about the point \([value]\).Olkoon \(f(x)=\ln(x)\). Laske funktion \(f\) Taylor-polynomi astetta neljä, kun kehityskeskuksena on \([value]\).

\(T_4 f(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(f(x)=\ln(x)\). Taylor polynomial of order 4 around the point \(x_0=[value]\): Taylorin polynomi astetta 4 pisteessä \(x_0=[value]\): \[T_{4}f(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \] \[f'(x)=\frac{1}{x}, \ \ \ f^{(2)}(x)=-x^{-2}, \ \ \ f^{(3)}(x)=2x^{-3}, \ \ \ f^{(4)}(x)=-6x^{-4} \] \[ T_4 f(x)= \frac{1}{0!}\ln([value])+\frac{1}{1!}[value]^{-1}(x-[value])-\frac{1}{2!}[value]^{-2}(x-[value])^{2}+\frac{1}{3!}\cdot 2\cdot[value]^{-3}(x-[value])^3-\frac{1}{4!}\cdot 6\cdot [value]^{-4}(x-[value])^4 \] \[= [value]. \]

Let \(f(x) = e^{[value]x}\).Olkoon \(f(x) = e^{[value]x}\)

DetermineLaske

\(f(0)\): |
\(f'(0)\): |
\(f''(0)\): |
\(f'''(0)\): |

Using the previous results and the formula for Taylor polynomial \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] find the third degree Taylor polynomial of function \(f\): Edellisiä tuloksia ja Taylorin polynomin kaavaa \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] avuksi käyttäen, laske \(f\):n kolmannen asteen Taylor-polynomi:

\(P_{3}(x;0)\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To differentiate the function \(f(x) = e^{[value]x}\), we apply the chain rule \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) for outer function \(e^{x}\) and inner function \([value]x\).Funktio \(f(x) = e^{[value]x}\) derivoidaan soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) ulkofunktiolle \(e^{x}\) ja sisäfunktiolle \([value]x\). We get: Näin saadaan: \(f'(x) =\) | [value] \(f''(x) =\) | [value] \(f'''(x) =\) | [value] Substituting x=0: Sijoittamalla x=0: \(f(0) =\) | [value] \(f'(0) =\) | [value] \(f''(0) =\) | [value] \(f'''(0) =\) | [value] Using the previous results and the Taylor polynomial \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},\] we can find the third degree Taylor polynomial of function \(f\): Edellisiä tuloksia ja Taylorin polynomin kaavaa \[P_{n}(x;x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\] avuksi käyttäen, saadaan laskettua \(f(x)\):n kolmannen asteen Taylor-polynomi: \begin{align*} P_{3}(x;0) &= \sum_{k=0}^{3}\frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}\\ &= f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} \\ &= [value] \end{align*}

Täydennä.

a) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k k}{3k+2}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \lim_{k\to \infty} \frac{k}{3k+2} = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .

Koska \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0, \, \lim_{k\to \infty}\frac{(-1)^k k}{3k+2}\) ei ole olemassa. Siis sarja |  | .

b) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k k^5\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Leibnizin testin perusteella |  | .

c) Tarkastellaan sarjaa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\).

Kyseessä on |  | sarja.

Kyseiselle sarjalle \(a_k\) |  | \(a_{k+1}\).

Nyt \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = \) .

Leibnizin testin perusteella |  | .
Feedback: Malliratkaisu: Vuorottelevat sarjat tunnistaa kertoimesta \((-1)^{k+1}\) tai \((-1)^k\). Vuorotteleva sarja suppenee, jos molemmat Leibnizin testin ehdot täyttyvät eli \(a_k\geq a_{k+1}\) ja \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\). Jos ehdot eivät täyty, emme kuitenkaan voi suoraan sanoa sarjan hajaantuvan. Kuitenkin, jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k \neq 0\), niin vastaavan vuorottelevan sarjan yleisen termin raja-arvoa ei ole olemassa eli sarja hajaantuu.