Title: IMP Matlab (viikko 4)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Olet nyt nähnyt Matlab-komentoja käytössä. Toivottavasti tutustuit paitsi niiden tuottamiin tuloksiin, myös itse komentoihin. Jos et, voit hakea apua tässä kysyttyihin kysymyksiin Matlabin dokumentaatiosivuilta. Matlabin yläpalkin oikeasta laidasta pitäisi löytyä laatikko "search documentation". Kirjoita siihen komennon nimi ja valitse esiin tulevasta listasta haluamasi vaihtoehto.

Joillakin komennoilla on useampi dokumentaatiosivu komennon erilaisille käsittelytavoille tai Matlabin erilaisissa lisäpaketeissa käytettäville versioille. Tämän kurssin yhteydessä tarvitset erityisesti Symbolic Math Toolboxiin liittyviä komentoja.

Tehtävä: Tunnista kysymyksissä esiintyvät komennot. Mukana on myös muutama komento, joita ei näissä kysymyksissä etsitä. Ole tarkkana, joidenkin komentojen nimet voivat olla hämääviä.
- Millä komennolla saadaan laskettua raja-arvo? | limit
- Millä komennolla piirretään kaksiulotteisia kuvaajia? | plot
- Mikä komento avaa uuden kuvaikkunan (ilman että kuvaan piirretään mitään)? | figure
- Millä komennolla saadaan paloittain määritelty funktio? | piecewise
- Millä komennolla saa kuvan taustalle apuviivaristikon? | grid
Also offered: linspace; abs; axis
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x

f(x) = piecewise(0~=x, x*sin(1/x), 0 == x , 0)

g(x) = piecewise(0~=x, x, 0 == x, -1)

h(x) = piecewise(0<=x, x^2+3, 0 > x, -x^2)

x1 = linspace(-1,1,500);

x2 = -2:0.001:2;

figure(1)

plot(x1, f(x1))

axis equal, grid on

figure(2)

plot(x2, g(x2),'*','MarkerSize',10)

axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2])

figure(3)

plot(x2, h(x2),'.')

grid on


Tämä koodi avaa kolme kuvaikkunaa. Ikkunat voivat olla toistensa päällä, joten saatat joutua siirtelemään ikkunoita, jotta näet kaikki kuvat.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Miten syötetään paloittain määritellyissä funktioissa palojen ehtoihin liittyvät yhtälöt ja epäyhtälöt? Vihje: Jos etsit dokumentaatiosta, epäyhtälö on englanniksi inequality. Dokumentaatiosivujen lopussa on linkkejä muihin komentoihin, jotka jotenkin liittyvät sivulla käsiteltyyn komentoon.
- Voiko johonkin muuttujaan tallettaa yhtälön tai epäyhtälön?
- Minkälaisen vektorin muodostaa komento linspace? Voiko vastaavan vektorin tehdä toisin?
- Mitä jos muuttujaan x2 olisi talletettu vain -2:2, ts. miten asiaa muuttaa muodossa -2:0.001:2 kaksoispisteiden välissä oleva luku?
- Mitä tehdään komennolla figure?
- Miksi kuvan 2 viiva on niin paksu?
- Muuttuisivatko kuvat 2 ja 3 jotenkin, jos piirtokomennoista jätettäisiin pois piirtomerkin määrittely, jota ei ole kuvan 1 piirtävässä komennossa?
- Jos kuvat piirrettäisiin käytetyn komennon sijaan komennolla fplot, mitä parametreja komentoon tarvittaisiin ja mitä tässä käytetyistä ei voisi käyttää?

Kysymys: Mitkä seuraavista väitteistä kuvaavat parhaiten funktioita \(f\), \(g\) ja \(h\) kuvien perusteella? Valitse jokaiselle funktiolle yksi väite.

Funktio \(f\)[...]

Funktio \(g\)[...]

Funktio \(h\)[...]
A: Piste 0 on funktion poistuva epäjatkuvuuspiste.; Piste 0 on funktion poistuva epäjatkuvuuspiste.; Piste 0 on funktion hyppäysepäjatkuvuuspiste.
Gap 1 offers: Piste 0 on funktion poistuva epäjatkuvuuspiste.; Piste 0 on funktion hyppäysepäjatkuvuuspiste.; Funktio on kaikkialla jatkuva.
Gap 2 offers: Piste 0 on funktion poistuva epäjatkuvuuspiste.; Piste 0 on funktion hyppäysepäjatkuvuuspiste.; Funktio on kaikkialla jatkuva.
Gap 3 offers: Piste 0 on funktion poistuva epäjatkuvuuspiste.; Piste 0 on funktion hyppäysepäjatkuvuuspiste.; Funktio on kaikkialla jatkuva.

Q: Tässä tehtävässä mahdolliset lausekkeet tulee kirjoittaa aina yhteen. Tarkista, ettet lisää välilyöntejä vastauksiisi. HUOM! Toisin kuin luennoilla, tehtävässä käytetään induktioaskeleessa lukuja n ja n+1 (eikä siis k ja k+1).

Osoitetaan induktiolla, että kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\) pätee

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

Todistus. [...]: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla [...]. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luku [...]

ja oikealle puolelle luku [...]. Siis väite [...] luvulla [...].

[...]: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee [...]. Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla [...]. Nyt

 \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\)

 \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) +\) [...]

 \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} +\) [...]

 \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

 \(\overset{(4)}= \) [...] / 3,

missä induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa [...].

Siis väite pätee luvulla [...]. Induktioperiaatteen nojalla

\(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\cup\{0\}\).
A: Alkuaskel; 0; 0; 0; pätee; 0; Induktioaskel; jollakin luonnollisella luvulla n; n+1; (n+1)(n+2); (n+1)(n+2); (n+1)(n+2)(n+3); 2; n+1
Gap 1 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 5 offers: pätee; ei päde
Gap 7 offers: Alkuaskel; Induktioaskel; Induktio-oletus
Gap 8 offers: luvulla 0; luvulla 1; kaikilla luonnollisilla luvuilla n; jollakin luonnollisella luvulla n
Gap 10 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 11 offers: n(n+1); (n+1)(n+2); n(n+1)(n+2)
Gap 12 offers: (n+1)(n+2)(n+3); n(n+1)(n+2); (n+1)(n+2); 3(n+1)(n+2)
Gap 13 offers: 1; 2; 3; 4
Feedback: Todistus. Alkuaskel: Tarkastellaan, päteekö väite luvulla \(0\). Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle saadaan \(0\) ja oikealle puolelle \(0\). Siis väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(n \in \mathbb{N}\). Pyritään osoittamaan, että tällöin väite pätee myös luvulla \(n+1\). Nyt \(\sum \limits_{i=0}^{n+1} i(i+1)\) \(\overset{(1)}= \sum \limits_{i=0}^n i(i+1) + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(2)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)\) \(\overset{(3)}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\) \(\overset{(4)}= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\) eli väite pätee luvulla \(n+1\). Olemme osoittaneet, että \(\sum \limits_{i=0}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\). Induktio-oletusta käytettiin välivaiheessa 2.

Q: Todistetaan seuraava implikaation sisältävä väite suoralla todistuksella.

Olkoot \(A\) ja \(B\) joukkoja. Halutaan osoittaa, että jos \(A \not\subset B\), niin \(A \setminus B \neq \emptyset\).

a) Mikä oletus tehdään todistuksen alussa?

[...]

b) Mihin johtopäätökseen todistuksessa halutaan päätyä?

[...]

c) Oletuksesta seuraa, että

[...]

d) Edellisestä kohdasta seuraa, että

[...]

e) Miksi väite on nyt todistettu?

[...]
A: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; \(A \setminus B \neq \emptyset\); on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).; \(x \in A \setminus B\).; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).
Gap 1 offers: Oletetaan, että \(A \not\subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B \neq \emptyset\).; Oletetaan, että \(A \subset B\).; Oletetaan, että \(A \setminus B = \emptyset\).
Gap 2 offers: \(A \not\subset B\); \(A \setminus B \neq \emptyset\); \(A \subset B\); \(A \setminus B = \emptyset\)
Gap 3 offers: \(x \notin B\) millään \(x \in A\).; \(B \subset A\).; \(A \cap B = \emptyset\).; on olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\).
Gap 4 offers: \(x \in A \setminus B\).; \(x \in B\).; \(x \notin A\).; \(x \in A \cap B\).
Gap 5 offers: Koska joukossa \(A \setminus B\) ei ollut yhtään alkiota.; Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\).; Koska \(x \in A\).; Koska löytettiin alkio joukosta \(A \cap B\).
Feedback: a) Oletetaan, että \(A \not\subset B\). b) Halutaan näyttää, että \(A \setminus B \neq \emptyset\). c) On olemassa \(x \in A\) siten, että \(x \notin B\). d) Edellisestä seuraa, että \(x \in A \setminus B\). e) Koska löydettiin alkio joukosta \(A \setminus B\) (kyseinen alkio on tietenkin todistuksessa esiintyvä \(x\)).