Title: Pienimmän neliösumman menetelmä

Sovita pienimmän neliösumman menetelmällä suora pistejoukolle

\( ([value],[value]), ([value],[value]), ([value],[value]) \text{ ja } ([value],[value]). \)

Vastaus: Ratkaisu on suora \(y = ax+b \), missä

\( a = \)

\( b = \)

Voit antaa vastauksen joko tarkkana arvona tai desimaalilukuna. Jos annat desimaalilukuna, anna arvo kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä.
Feedback: Malliratkaisu: Kirjoitetaan pisteiden avulla yhtälöryhmä \[ \begin{cases} y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value] \\ y([value]) & = [value]+b = [value], \\ \end{cases} \] joka matriisimuodossa \( V \mathbf{c} = \mathbf{y} \) on \( V = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \text{ja} \quad \mathbf{y} = [value] \). Etsitään tälle pienimmän neliösumman ratkaisu, eli \( V^T V \mathbf{c} = V^T \mathbf{y} \Leftrightarrow [value] \mathbf{c} = [value] \), jonka ratkaisuksi saadaan Gaußin eliminoinnilla \( [V^T V | V^T \mathbf{y}] = [value] \rightarrow \text{rref}([V^T V | V^T \mathbf{y}]) = [value]\), eli \( \begin{cases} a = [value] &= [value], \\ b = [value] &= [value]. \end{cases} \) Sovitteeksi saadaan siis \( y = [value] \).

Jousen kappaleeseen kohdistama voima on \( F = -kx \), missä \( k \) on jousivakio (N / m) ja \( x \) on jousen venymä (m). Jousivakion määrittämiseksi on tehty seuraavat mittaukset. Määritä pienimmän neliösumman menetelmällä jousivakion arvo.

F | 2 | 3 | 5 | 7
x | [value] | [value] | [value] | [value]

\( \textbf{HUOM!} \) Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena PISTETTÄ! Esim. 1.11 - ei 1,11.

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Kun sijoitetaan annetut mittaustulokset yhtälöön \( F = -kx \), saadaan seuraava yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{matrix} 2 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 3 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 5 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 7 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \end{matrix} \right. \] Tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Lasketaan pienimmän neliösumman ratkaisu (PNS-ratkaisu). Merkitään yhtälöryhmää muodossa \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), missä \[ A = [value], \quad \mathbf{x} = k \quad \text{ja } \mathbf{b} = [value]. \] Pienimmän neliösumman ratkaisu saadaan yhtälöryhmän \( A^T A\mathbf{x} = A^T \mathbf{b} \) ratkaisusta. Siten \[ \begin{align} & [value][value]k = [value][value] \\ \Rightarrow & [value]k = [value] \\ \Rightarrow & k = [value] \end{align} \]

Sovita alla olevan datamatriisin aineistoon suora pienimmän neliösumman menetelmällä.

\(X = [value]\)

Syötä vastauksena suoran yhtälön parametrit \(a\) ja \(b\),

kun suora on muotoa \(y = bx + a\).

Huom! Syötä vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella. Mikäli vastauskenttään tulee ylimääräisiä nollia tai muita numeroita syöttämiesi arvojen perään niin älä välitä niistä. Mikäli ylimääräiset nollat estävät syöttämästä oikeita arvoja klikkaa yhden kerran vastauskentän ulkopuolelta, jonka jälkeen pääset taas lisäämään desimaaleja haluamaasi kohtaan.

\(y = \,\)\(\, x\, + \,\)

Virheen arvoksi tulee tällöin \(e =\,\) .
Feedback: Mallivastaus: \(b = [value]\) \(a = [value]\) \(y = [value]x + [value]\) \(e = [value]\)

Mittausdatan avulla saadaan
yhtälöryhmä

\(y(x)=ax+b\)
\[\left\{\begin{align*} y([value]) &= [value]a+b = [value] \\ y([value]) &= [value]a+b = [value] \\ y([value]) &= [value]a+b = [value] \\ y([value]) &= [value]a+b = [value] \\ \end{align*}\right.\]

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa \(A\mathbf{c} = \mathbf{y}\), missä

\(A = \) |  | \(,\,\mathbf{c}=\) |  | \(\,\) ja \(\mathbf{y}=\) |  | .

Etsitään tälle pienimmän neliösumman ratkaisu.

\(A^{\text{T}}A\mathbf{c} = A^{\text{T}}\mathbf{y}\) | \(\,\iff\,\) |  | \(\mathbf{c} = \) |

\(\text{rref}\left[ A^{\text{T}}A \vert A^{\text{T}}\mathbf{y} \right]\) | = |

Nyt pienimmän neliösumman ratkaisu on

\(\mathbf{\hat{x}}\) | = |  | ,

ja suoran yhtälö \(y = \)\(x + \).
Feedback: Mallivastaus: Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa \(A\mathbf{c} = \mathbf{y}\), missä \(A = \) | [value] | \(,\,\mathbf{c}=\) | [value] | \(\,\) ja \(\mathbf{y}=\) | [value] | . Etsitään tälle pienimmän neliösumman ratkaisu. \(A^{\text{T}}A\mathbf{c} = A^{\text{T}}\mathbf{y}\) | \(\,\iff\,\) | [value] | \(\mathbf{c} = \) | [value] \(\text{rref}\left[ A^{\text{T}}A \vert A^{\text{T}}\mathbf{y} \right]\) | = | [value] Nyt pienimmän neliösumman ratkaisu on \(\mathbf{\hat{x}}\) | = | [value] | , ja suoran yhtälö \(y = \)[value]\(x + \)[value].