Title: Logiikka

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Täydennä totuustaulu.
- Zone 1 | 1
- Zone 2 | 1
- Zone 3 | 1
- Zone 4 | 0
If right: Vastauksesi on oikein. [Image]
Feedback: [Image]

Q: Täydennä totuustaulu.

Huomaa, että raahattavan kohteen vasemmassa yläkulmassa oleva pallonsymboli on se, jonka pitää osua oikealle alueelle.
- Zone 1 | 1
- Zone 2 | 1
- Zone 3 | 0
- Zone 4 | 0
- Zone 5 | 1
- Zone 6 | 1
- Zone 7 | 0
- Zone 8 | 0
- Zone 9 | 1
- Zone 10 | 0
- Zone 11 | 1
- Zone 12 | 1
If right: Vastauksesi on oikein. [Image]
Feedback: [Image]

Q: Täydennä totuustaulu.
- Zone 1 | 1
- Zone 2 | 1
- Zone 3 | 0
- Zone 4 | 0
- Zone 5 | 1
- Zone 6 | 0
- Zone 7 | 0
- Zone 8 | 0
If right: Vastauksesi on oikein. [Image]
Feedback: [Image]

Q: Täydennä totuustaulu.
- Zone 1 | 1
- Zone 2 | 1
- Zone 3 | 0
- Zone 4 | 0
- Zone 5 | 1
- Zone 6 | 1
- Zone 7 | 0
- Zone 8 | 0
- Zone 9 | 1
- Zone 10 | 1
- Zone 11 | 0
- Zone 12 | 1
If right: Vastauksesi on oikein. [Image]
Feedback: [Image]

Q: Joukko-opilliset todistukset perustuvat yleensä alkiotarkasteluun. Tällöin joukko-operaatiot muuntuvat alkioita koskeviksi väitteiksi, joita yhdistellään loogisilla konnektiiveilla. Todistuksissa käytetään luonnollista kieltä, mutta niitä voi mallintaa symbolisella logiikalla. Tässä tehtävässä tutkitaan joukko-operaatioiden ja alkioväitteiden välistä yhteyttä.

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja ja \(x\) jokin alkio. Merkitään propositiosymbolilla \(p_1\) lausetta \(x \in A\), propositiosymbolilla \(p_2\) lausetta \(x \in B\) ja propositiosymbolilla \(p_3\) lausetta \(x \in C\).

Ilmaise seuraavat propositiolauseet alkiota \(x\) koskevina väitteinä ilman loogisia konnektiiveja.

a) \(p_1 \land p_2\)

[...][...]

b) \((p_1 \land \neg p_2) \lor p_3\)

[...]\((\) [...] \()\)[...][...]

c) \((p_1 \lor p_2) \land \neg (p_2 \lor p_3)\)

[...]\((\) [...] \()\)[...]\((\) [...] \()\)

d) \(\neg p_1 \lor p_2\)

[...][...]
Also offered: ∩
A: x ∈; A ∩ B; x ∈; A \ B; ∪; C; x ∈; A ∪ B; \; B ∪ C; x ∉; A \ B
Feedback: a) \(x \in A \cap B\) b) \(x \in (A \setminus B) \cup C\) c) \(x \in (A \cup B) \setminus (B \cup C)\) d) \(x \notin A \setminus B\). Huomaa, että propositiolause \(\neg p_1 \lor p_2\) on ekvivalentti propositiolauseen \(\neg (p_1 \land \neg p_2)\) kanssa.

Q: Viime viikolla aloitettiin kvanttoreihin tutustuminen. Tässä tehtävässä jatketaan kvanttorien opiskelua.

Muotoile seuraavat kvanttoreita sisältävät väitteet logiikan symbolikielellä.

a) Jos \(c > -4\), niin yhtälöllä \(x^2 + 5x = c\) on ratkaisu.

[...][...][...][...]

b) Jos luku on negatiivinen, se ei ole minkään luvun toinen potenssi.

[...]\((\)[...][...][...][...]\()\)

c) Joukot \(A\) ja \(B\) eivät ole erilliset eli ne kohtaavat.

(Laita tässä tehtävässä joukkoa \(A\) koskeva väite ensin.)

[...]\((\)[...][...][...]\()\)
Also offered: ⋁
A: c > -4; →; ∃x; (x² + 5x = c); ∀x; x < 0; →; ∀y; (x ≠ y²); ∃x; x ∈ A; ⋀; x ∈ B
Feedback: a) \(c > -4 \rightarrow \exists x(x^2 + 5x = c)\) b) \(\forall x (x < 0 \rightarrow \forall y(x \neq y^2)\) c) \(\exists x(x \in A \land x \in B)\)

Q: Seuraavan tehtävän avulla tutustutaan negaation vaikutukseen kvanttoreita sisältävissä lauseissa. Tästä kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 2.4.

Muodosta seuraaville lauseille niiden negaation kanssa ekvivalentti propositiolause, jossa ei esiinny negaatiosymbolia \(\neg\). Ovatko muodostamasi väitteet tosia, kun \(n\) on kokonaisluku?

a) \(\exists n (n = - n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n\) [...] \(-n)\).

Tämä väite on [...].

b) \(\exists n (n^2 = 2)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n^2\) [...] \(2)\).

Tämä väite on [...].

c) \(\forall n (3n \leq 4n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((3n\) [...] \(4n)\).

Tämä väite on [...].

d) \(\forall n (n^2 \geq n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n^2\) [...] \(n)\).

Tämä väite on [...].
Also offered: ≤; ≥; =
A: ∀n; ≠; epätosi; ∀n; ≠; tosi; ∃n; >; tosi; ∃n; <; epätosi
Feedback: a) \(\forall n(n \neq -n)\) Väite on epätosi, sillä \(0 = -0\) (ts. nolla on itsensä vastaluku). b) \(\forall n(n^2 \neq 2)\) Väite on tosi. Yhtälöstä \(n^2 = 2\) saadaan \(n = \sqrt{2}\) tai \(n = - \sqrt{2}\). Nämä eivät kuitenkaan ole kokonaislukuja. c) \(\exists n(3n > 4n)\) Väite on tosi, sillä esimerkiksi \(3 \cdot (-1) = -3 > -4 = 4 \cdot (-1)\). d) \(\exists n(n^2 < n)\) Väite on epätosi.

Q: Tutustutaan vielä lyhyesti loogisiin konnektiiveihin. Tarvittavat tiedot löydät kurssimateriaalin luvusta 2.1. Tässä kohdassa siis hypätään hetkeksi seuraavaan lukuun; matemaattisia tekstejä luetaankin harvoin alusta loppuun, vaan tyypillisemmin tietoa etsitään eri kohdista tekstiä tarpeen mukaan.

Tässä tehtävässä \(p\) tarkoittaa "ajattelen" ja \(q\) tarkoittaa "olen olemassa". Ilmaise seuraavat propositiolauseet suomen kielellä.

a) \(p \rightarrow q\)

[...][...][...][...][...]

b) \(\neg q \rightarrow \neg p\)

[...][...][...][...][...][...][...]

c) \(p \land \neg q\)

[...][...][...][...][...]

d) \(\neg p \rightarrow \neg q\)

[...][...][...][...][...][...][...]
Also offered: tai; vain
A: jos; ajattelen; niin; olen; olemassa; jos; en; ole; olemassa; niin; en; ajattele; ajattelen; mutta; en; ole; olemassa; jos; en; ajattele; niin; en; ole; olemassa
Feedback: a) Jos ajattelen, niin olen olemassa. b) Jos en ole olemassa, niin en ajattele. c) Ajattelen, mutta en ole olemassa. d) Jos en ajattele, niin en ole olemassa.

Q: Alla on propositiolauseita, jotka koskevat erästä tuntematonta reaalilukua \(x\). Yhdistä kukin propositiolause sen negaatiota vastaavaan propositiolauseeseen, jossa ei esiinny negaatiosymbolia \(\neg\).
- a) \((x^2 = 1) \land (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋁ (x ≤ 0)
- b) \((x^2 = 1) \lor (x > 0)\) | (x² ≠ 1) ⋀ (x ≤ 0)
- c) \((x^2 = 1) \rightarrow (x > 0)\) | (x² = 1) ⋀ (x ≤ 0)
- d) \((x^2 = 1) \leftrightarrow (x > 0)\) | ((x² ≠ 1) ⋀ (x > 0)) ⋁ ((x² = 1) ⋀ (x ≤ 0))
Feedback: a) \((x^2 \neq 1) \lor (x \leq 0)\) b) \((x^2 \neq 1) \land (x \leq 0)\) c) \((x^2 = 1) \land (x \leq 0)\) d) \(((x^2 \neq 1) \land (x > 0)) \lor ((x^2 = 1) \land (x \leq 0))\)