Title: Vaatii muokkausta

Eräs matriisien kertolaskun sovellus on atomien kiderakenteessa olevien mahdollisten polkujen listaaminen. Kiteissä atomien sijainnit muodostavat hilarakenteen. Atomi voi siirtyä sijainnista, jossa se on, mihin tahansa viereiseen sijaintiin, joka on vapaana.

Jos useampi kuin yksi viereisistä sijainneista on vapaana, niin atomi "valitsee" kohdesijaintinsa satunnaisesti. Polkua, jonka atomi muodostaa kulkiessaan kiderakenteessa, kutsutaan satunnaiskävelyksi.

Kiderakenne voidaan esittää suuntaamattoman graafin muodossa, jossa solmut esittävät atomien sijainteja ja särmät atomien mahdollisia polkuja. Atomi voi kulkea solmusta toiseen vain silloin, kun solmujen välillä on särmä. Alla olevassa kuvassa on eräs tälläinen graafi.

[Image]

Yllä olevassa graafissa atomi voi esimerkiksi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{2} \) tai \( v_{3} \), koska solmun \( v_{1} \) ja solmujen \( v_{2} \), \( v_{3} \) välillä on särmä. Toisaalta taas atomi ei voi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{6} \), koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{6} \) välillä ei ole särmää.

Graafin kaksi solmua ovat vierekkäiset, jos niiden välillä on särmä. Piste ei voi olla vierekkäinen itsensä kanssa, joten looppeja ei sallita.

Polku, jonka pituus on \( n \) on solmujono \( t_{1},\dots,t_{n+1}\) siten, että jokainen solmu \( t_{j} \) on solmun \( v_{j+1} \) vieressä. Tälläinen polku esittää atomin mahdollista kulkureittiä kiteen eri sijaintien kautta. Samojen solmujen kautta voidaan kulkea useasti. Polku \( v_{i}-v_{j}\) on polku, joka alkaa solmusta \( v_{i} \) ja loppuu solmuun \( v_{j} \).

Fyysikot ja materiaali-insinöörit tutkivat kiteitä ja ovat kiinnostuneita seuraavasta kysymyksestä: Jos kiteessä on \( n \) sijaintia atomeille, jotka ovat solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), niin kuinka monta \( k \) pitkää polkua on minkä tahansa kahden sijainnin eli solmun välillä?

Matriisit tulevat tässä vaiheessa kuvaan. Määritellään adjungoitu matriisi \( A \) siten, että se on \( n\times n \) matriisi, jossa jokainen \( i,i \) alkio on nolla, ja alkioilla \( i\neq j \) pätee, että alkio \( i,j \) on 1, jos on olemassa särmä solmujen \( v_{i} \) ja \( v_{j} \) välillä, ja 0, jos särmää ei ole.

Esimerkiksi ylläolevan graafin adjungoitu matriisi on

\(A=\)[value]

Matriisin \( A \) alkio \( 1,2 \) on 1, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{2} \) välillä on särmä, kun taas alkio \( 1,5 \) on 0, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{5} \) välillä ei ole särmää.

Seuraava väite voidaan todistaa, mutta todistus sivuutetaan tässä esityksessä. Sen avulla voidaan ratkaista edellä mainittu ongelma kaikkien eri polkujen listaamisongelma.

Olkoon \( A=[a_{ij}] \) graafin \( G \), jossa on solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), adjungoitu matriisi. Olkoon \( k \) mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Tällöin erillisten \( v_{i}-v_{j} \) polkujen, joiden pituus on \( k \), lukumäärä on yhtä kuin matriisin \( A^{k} \) alkio \(i,j \).

Tehtävänä on alla olevan graafin adjungoidun matriisin muodostaminen ja kaikkien kolmen mittaisten polkujen solmusta \( v_{4} \) solmuun \( v_{7} \) selvittäminen.

[Image]

\(A^{3}=\) |

Polkujen lukumäärä: |

Kaupungissa neljä yksisuuntaista katua risteää kuvan mukaisesti. Keskimääräinen liikenteen määrä tunnissa tällä alueella ruuhka-aikana on merkitty kuvaan nuolien yhteyteen.

a) | Määritä yhtälöt jokaisen risteyksen \(A,B,C\) ja \(D\) liikenteen määrille. Kirjoita yhtälöt niin, että tuntemattomat ovat vasemmalla puolella ja vakio oikealla puolella on positiivinen. Huom! Kirjoita \(x_1\) muodossa x1. |  |
 | \(A:\) = |  |
 | \(B:\) = |  |
 | \(C:\) = |  |
 | \(D:\) = |  |
b) | Määritä tuntemattomien liikennemäärien suuruusjärjestys |  |
 | > > > |  |

c) | Kirjoita yhtälöt matriisimuotoon ja määritä matriisin rref-muoto. |  |
 | M= |  | rref(M)= |  |  |  |
d) | Mitkä ovat liikennemäärät, kun tiedetään, että liikenteen määrä risteyksien \(C\) ja \(D\) välillä on [value] ajoneuvoa? |  |
 | \(x_1\)= , \(x_2\)= , \(x_3\) = ja \(x_4\)= |  |
Feedback: Mallivastaus: a) Jokaisessa risteyksessä tulevien ja lähtevien ajoneuvojen määrä tulee olla sama. Kirjoitetaan jokaiselle risteykselle yhtälö ja kirjoitetaan pyydettyyn muotoon \( \begin{array}{llll} A: & x_1 + 450 &=& x_2 + 610 \\ B: & x_2 + 520 &=& x_3 + 480 \\ C: & x_3 + 390 &=& x_4 + 600 \\ D: & x_4 + 640 &=& x_1 + 310 \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{llr} x_1-x_2 &=& 160\\ x_2-x_3 &=& -40 \\ x_3-x_4 &=& 210 \\ x_4-x_1 &=& -330 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{llr} x_1-x_2 &=& 160\\ x_3-x_2 &=& 40 \\ x_3-x_4 &=& 210 \\ x_1-x_4 &=& 330 \end{array} \right. \) b) Yhtälöistä nähdään suuruussuhteet ja muuttujien väliset erotukset, joista voidaan päätellä suuruudet. Esim. \(x_3>x_2\) ja \(x_3>x_4\) ja erotuksista nähdään, että on oltava \(x_2>x_4\). c) Kirjoitetaan muodostetuista yhtälöistä matriisi \(M\), jossa ensimmäisellä rivillä ovat ensimmäisen yhtälön kertoimet, toisella rivillä toisen jne, ensimmäisessä sarakkeessa \(x_1\):n kertoimet, toisessa \(x_2\):n kertoimet jne ja viimeisessä sarakkeessa vakiot. Saadaan \( M= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 40 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix}. \) Muodostetaan rref-muoto rivioperaatioiden avulla käsin tai lasketaan Matlabilla komennolla \( \texttt{rref(M)} \) \( M = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 40 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{\ -R_2+R_3\ } \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 160\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 330 \end{bmatrix} \) \( \xrightarrow[]{\ R_1\longleftrightarrow R_4\ } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 330\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\1 & -1 & 0 & 0 & 160 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{\ R_4+R_2-R_1\ } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 330\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 210 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \text{rref} (M) \) d) Risteyksien \( C \) ja \( D \) välinen liikennemäärä tunnetaan eli saadaan \( x_4=\) [value]. Matriisin rref-muodosta saadaan yhtälöt, joista voidaan ratkaista tuntemattomat liikennemäärät \( \left\{ \begin{array}{lll} x_1-x_4 &=& 330\\ x_2-x_4 &=& 170 \\ x_3-x_4 &=& 210 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{lllll} x_1 &=& 330+[value] &=& [value]\\ x_2 &=& 170+[value] &=& [value] \\ x_3 &=& 210+[value] &=& [value] \end{array} \right. \)

laskettu rref - alkup. rref = [value] ja koko matriisi on: [value]

A = [value] ja b = [value]

Matlab-koodi: A = [1 1 0; 1 1 0; 1 0 1; 1 0 1] AT = transpose(A) b = transpose([1 3 8 2]) Ab = [A b] rref(Ab) eka = AT*A toka = AT*b koko = [eka toka] rref(koko)

Jos tehdään kuten prujun esimerkissä, ja lasketaan se Matlabilla kuten yllä, niin saadaan PNS-ratkaisu, jossa on ääretön määrä ratkaisuja, kuten rref(koko):sta nähdään. Katso: pruju s.103-104 esimerkki ja http://www.math.cmu.edu/~xiaohuil/21241/exam3_sol.pdf

Calculate \(\mathrm{A}^5\) using the eigenvalue decomposition (diagonalization) \(\mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}\) when \[\mathrm{A} = [value].\] Also give the eigenvalues \(\lambda_1\) and \(\lambda_2\).

Eigenvalues:

Laske \(\mathrm{A}^5\) diagonalisoinnin \(\mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}\) avulla, kun \[\mathrm{A} = [value].\] Anna myös matriisin ominaisarvot \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\).

Ominaisarvot:

\(\lambda_1 =~\) |  |
\(\lambda_2 =~\) |  |

The matrix: Matriisi:

\(\mathrm{A}^5 =~\) |  |
Feedback: Worked solution: Letäs begin by calculating the eigenvalues of \( \mathrm{A} \). The eigenvalue equation is \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} ,\] which can be simplified to \[ \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) \mathbf{x} = \mathbf{0} .\] The characteristic polynomial of \( \mathrm{A} \) is the determinant of matrix \( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \). This matrix is \[ \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} = [value] \] And its determinant is \[\begin{array}{rl} &\begin{vmatrix} [value]& [value]\\ [value]& [value] \end{vmatrix} \\ =& ([value])\cdot ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value])\\ =& [value] \end{array}\] The characteristic equation is \( [value]=0 \) and its roots are \( \lambda_1 = [value]\) and \( \lambda_2 = [value]\). These are the eigenvalues of the matrix. The diagonal matrix \( \mathrm{D} \) for the eigenvalue decomposition is then \[ \mathrm{D} = [value] .\] Next we find out what the eigenvectors are by solving equations \( \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) for both values of \( \lambda \). First we do \( \lambda = \lambda_1 = [value] \). The matrix is \[ \mathrm{B} = \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) = [value] .\] And now we have the equation \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{B}} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix}}_{=\mathbf{x}} = [value] .\] We form the augmented matrix and solve it using row operations \[\begin{array}{rl} & [value] \\ \underrightarrow{[value]R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+([value]) [value]R_1} & [value] \end{array}\] By interpreting the augmented matrix we have \[ x_1 [value]x_2 +[value]x_2 = 0\] and \[\left\{\begin{array}{l} x_1 = [value]t \\ x_2 = t . \end{array}\right.\] One eigenvector corresponding to \( \lambda_1 = [value] \) is then \[ \mathbf{x}_1 = [value] .\] Similarly we discover one eigenvector corresponding to \( \lambda_2 = [value] \): \[ \mathbf{x}_2 = [value] .\] Now we are able to form matrix \( \mathrm{P} \) for the diagonalization. \[ \mathrm{P} = [\mathbf{x}_1 \ \mathbf{x}_2] = [value] \] The only thing left is to compute the inverse of \( \mathrm{P} \). The inverse can be computed for example using Gauss-Jordan elimination. \[ \mathrm{P}^{-1} = [value] \] Let's check that we have the correct matrices for the diagonalization: \[\begin{array}{rll} \mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1} & = & [value][value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \\ & = & \mathrm{A} \end{array}\] Lastly we compute \( \mathrm{A}^5 \). \[\begin{array}{rll} \mathrm{A}^5 & = & \left(\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}\right)^5 \\ & = & \mathrm{P}\mathrm{D}^5\mathrm{P}^{-1} \\ & = & [value][value]^5[value] \\ & = & [value]\begin{bmatrix} ([value]) [value]^5 & 0 \\ 0 & ([value]) [value]^5 \end{bmatrix}[value] \\ & = & [value][value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\] Mallivastaus: Lasketaan ensin matriisin \( \mathrm{A} \) diagonalisointia varten sen ominaisarvot ja niitä vastaavat vektorit. Matriisin ominaisarvoyhtälö on \[ \mathrm{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} ,\] joka saadaan sieventämällä muotoon \[ \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) \mathbf{x} = \mathbf{0} .\] Matriisin \( \mathrm{A} \) karakteristinen polynomi on matriisin \( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \) determinantti. Lasketaan matriisi \[ \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} = [value]. \] Lasketaan sitten determinantti \[\begin{array}{rl} &\begin{vmatrix} [value]& [value]\\ [value]& [value] \end{vmatrix} \\ =& ([value])\cdot ([value]) - [value] ([value]) \cdot [value] ([value])\\ =& [value] \end{array}\] Karakteristinen yhtälö on siis \( [value]=0 \) ja sen juuret ovat \( \lambda_1 = [value]\) ja \( \lambda_2 = [value]\). Nämä ovat matriisin \( \mathrm{ominaisarvot} \). Diagonalisoinnin matriisi \( \mathrm{D} \) on nyt siis \[ \mathrm{D} = [value] .\] selvitetään seuraavaksi ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ratkaisemalla yhtälö \( \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) molemmilla \( \lambda \):n arvoilla. Sijoitetaan ensin \( \lambda = \lambda_1 = [value] \). Matriisi on nyt \[ \mathrm{B} = \left( \lambda \mathrm{I} - \mathrm{A} \right) = [value] .\] Nyt yhtälö on \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{B}} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \end{bmatrix}}_{=\mathbf{x}} = [value] .\] Muodostetaan yhdistetty matriisi ja ratkaistaan se rivioperaatioilla. \[\begin{array}{rl} & [value] \\ \underrightarrow{[value]R_1} & [value] \\ \underrightarrow{R_2+([value]) [value]R_1} & [value] \end{array}\] Tulkitsemalla laajennettua matriisia saadaan \[ x_1 [value]x_2 +[value]x_2 = 0\] eli \[\left\{\begin{array}{l} x_1 = [value]t \\ x_2 = t \end{array}\right.\] Eräs ominaisarvoa \( \lambda_1 = [value] \) vastaava ominaisvektori on siis \[ \mathbf{x}_1 = [value] .\] Vastaavalla tavalla saadaan selville ominaisarvoa \( \lambda_2 = [value] \) vastaava ominaisvektori \[ \mathbf{x}_2 = [value] .\] Nyt saamme muodostettua diagonalisoinnin matriisin \( \mathrm{P} \). \[ \mathrm{P} = [\mathbf{x}_1 \ \mathbf{x}_2] = [value] \] Tarvitsemme vielä \( \mathrm{P} \):n käänteismatriisin diagonalisointia varten. Käänteismatriisi saadaan laskettua esimerkiksi Gauss-Jordanin eliminoinnilla. \[ \mathrm{P}^{-1} = [value] \] Tarkistetaan vielä, että diagonalisointi on laskettu oikein. \[\begin{array}{rll} \mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1} & = & [value][value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \\ & = & \mathrm{A} \end{array}\] Nyt voimme laskea \( \mathrm{A}^5 \). \[\begin{array}{rll} \mathrm{A}^5 & = & \left(\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}^{-1}\right)^5 \\ & = & \mathrm{P}\mathrm{D}^5\mathrm{P}^{-1} \\ & = & [value][value]^5[value] \\ & = & [value]\begin{bmatrix} ([value]) [value]^5 & 0 \\ 0 & ([value]) [value]^5 \end{bmatrix}[value] \\ & = & [value][value][value] \\ & = & [value][value] \\ & = & [value] \end{array}\]

Suoran kaksi pistettä ovat ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]). Mikä on pisteen ([value],[value],[value]) etäisyys tästä suorasta? Huomaa, että avaruuden \( \mathbb{R}^3\) suoralla ei ole normaalimuotoa.

Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

/* JSXGraph-kuva */

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Pisteiden ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatit ovat samat eli \( z = [value] \). Siten suoran on oltava tasolla \( z = [value] \). Pisteen ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatti puolestaan on \( z=[value] \). Siten se on eri tasolla kuin suora, joten tämä piste ei sijaitse suoralla. Lasketaan pisteen etäisyys suorasta. Muodostetaan vektori suoran pisteestä ([value], [value], [value]) pisteeseen ([value],[value],[value]). Näin saadaan vektori \[ \mathbf{v}=[value]-[value]=[value]. \] Olkoon vektori \( \mathbf{d} = [value]-[value]=[value] \) ko. suoran suuntavektori. Nyt vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}\), missä \[ \begin{align} \mathbf{v_1}&=\text{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{v}) =\left( \dfrac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \right) \mathbf{d} = \left( \dfrac{[value]+[value]+0}{[value]+[value]+0} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ 0 \end{matrix} \right] \\ /* = [value] \\ */ & \Rightarrow \mathbf{v_2}=\mathbf{v}-\mathbf{v_1}= \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value] \end{matrix} \right] /* = [value] */ \end{align}\] ja kysytty etäisyys on \[ \lVert \mathbf{v_2} \rVert = \sqrt{ \left( [value] \right)^2 + \left( [value] \right) ^2 + [value] ^2 } = [value]. \]

Avaruussukkula kulkee suoraa rataa, jonka kaksi pistettä ovat ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]) avaruudellisessa tarkastelussa. Vieraan tukiaseman sijainti samassa tarkastelukoordinaatistossa on ([value],[value],[value]). Sukkulan miehistö voi kommunikoida tukiaseman kanssa, jos etäisyys on alle [value] tarkastelun pituusyksikköä.

Mikä on sukkulan ja tukiaseman välinen lyhin etäisyys?
Eli saako sukkula yhteyden tukiasemaan..?

Huomaa, että avaruuden \( \mathbb{R}^3\) suoralla ei ole normaalimuotoa.

Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

/* JSXGraph-kuva */
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Pisteiden ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatit ovat samat eli \( z = [value] \). Siten suoran on oltava tasolla \( z = [value] \). Pisteen ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatti puolestaan on \( z=[value] \). Siten se on eri tasolla kuin suora, joten tämä piste ei sijaitse suoralla. Lasketaan tukiaseman etäisyys sukkulan radasta. Muodostetaan vektori suoran pisteestä ([value], [value], [value]) pisteeseen ([value],[value],[value]). Näin saadaan vektori \[ \mathbf{v}=[value]-[value]=[value]. \] Olkoon vektori \( \mathbf{d} = [value]-[value]=[value] \) ko. suoran suuntavektori. Nyt vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}\), missä \[ \begin{align} \mathbf{v_1}&=\text{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{v}) =\left( \dfrac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \right) \mathbf{d} = \left( \dfrac{[value]+[value]+0}{[value]+[value]+0} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ 0 \end{matrix} \right] \\ /* = [value] \\ */ & \Rightarrow \mathbf{v_2}=\mathbf{v}-\mathbf{v_1}= \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value] \end{matrix} \right] /* = [value] */ \end{align}\] ja kysytty etäisyys on \[ \lVert \mathbf{v_2} \rVert = \sqrt{ \left( [value] \right)^2 + \left( [value] \right) ^2 + [value] ^2 } = [value]. \] Koska kantama on suurempi kuin sukkulan ja tukiaseman välinen etäisyys, niin ne pystyvät kommunikoimaan.

Jaa vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen (vastaus 1) ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin (vastaus 2), kun

\( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = [value], \\ \textbf{(b)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = \left[ \begin{matrix} [value]/3 \\ [value]/3 \\ [value]/6 \end{matrix} \right] \end{align} \)

\( \textbf{(a)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .

\( \textbf{(b)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .
Feedback: Mallivastaus: Jaetaan vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Toisin sanoen lasketaan \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \) ja tätä vastaan kohtisuora osa on \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \). Piirrä kuva! \( \textbf{(a)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \). \( \textbf{(b)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \).

[value] [value] [value] [value] [value] [value] [value] [value]

Laske seuraava determinantti \[\begin{vmatrix} [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \end{vmatrix}\]

Determinantin arvo on .

Solve the differential equation \(y'+[value]y = [value]\) using the initial value \(y(0) = 1\).Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'+[value]y = [value]\) alkuehdolla \(y(0) = 1\).

\(y = ~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The integrating factor of the differential equation is \(e^{\int [value] \mathrm{d}x} = e^{[value]x}\). Multiplying both sides of the equation by the integrating factor we get Differentiaaliyhtälön \(y'+[value]y = [value]\) integroiva tekijä on \(e^{\int [value] \mathrm{d}x} = e^{[value]x}\). Kertomalla DY:n molemmat puolet integroivalla tekijällä saadaan \begin{align*} &&y'e^{[value]x} + [value]ye^{[value]x} &= [value]e^{[value]x} & \\ &\implies&\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \left( ye^{[value]x} \right) &= [value]e^{[value]x} & \| \int \Big( ~ \Big)\,\mathrm{d}x \\ &\implies&ye^{[value]x} & = [value]e^{[value]x} + C & \\ &\implies&y &= [value] + Ce^{-[value]x}&\\ \end{align*} Using the initial value \(y(0)=1\) we get \([value]+Ce^{-[value]\cdot 0} = 1 \implies C = [value]\). Therefore \(y = [value]\).Alkuehdosta \(y(0)=1\) saadaan \([value]+Ce^{-[value]\cdot 0} = 1 \implies C = [value]\). Siis \(y = [value]\).

Let us define the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) as follows: Määritellään funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) seuraavasti:

\[f(x) = \begin{cases} -[value], &\text{when } -\pi \leq x < 0 \\ [value], &\text{when } 0 \leq x < \pi \end{cases} \] \[f(x) = \begin{cases} -[value], &\text{kun } -\pi \leq x < 0 \\ [value], &\text{kun } 0 \leq x < \pi \end{cases} \]

Also, \(f(x+2k\pi) = f(x) \text{ for all } k\in\mathbb{Z}\), i.e. \(f\) is \(2\pi\)-periodic.Lisäksi \(f(x+2k\pi) = f(x) \text{ kaikilla } k\in\mathbb{Z}\), eli \(f\) on \(2\pi\)-jaksollinen.

This kind of function is also called a square wave, and it can be written as a Fourier seriesTällaista funktiota kutsutaan myös kanttiaalloksi, ja se on mahdollista esittää Fourier-sarjana

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\sin(nx) \text{,}\]

where the Fourier sine multipliers \(b_{n}\) are given byjossa Fourier-sinikertoimet \(b_{n}\) lasketaan kaavalla

\[b_{n} = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\mathrm{d}x\text{.}\]

Below you can see the function \(f\) in blue and the Fourier series up to the \(n\)th term in red. Try changing the value of \(n\)!*Alla on piirrettynä sinisellä funktio \(f\) ja punaisella Fourier-sarja \(n\):nteen termiin asti. Kokeile muuttaa \(n\):n arvoa!*

Determine the multipliers \(b_{n} =~\)Laske kertoimet \(b_{n} =~\)

*) Can you see the "spikes" around the discontinuities? They do not get much smaller even if you increase the number of terms in the Fourier series. This is generally known as the Gibbs phenomenon. However, taking the limit of the sum will still yield us the original function.Huomaatko "piikit" epäjatkuvuuskohdissa? Ne eivät juuri pienene, vaikka Fourier-sarjan termejä lisättäisiin paljon. Tämä tunnetaan Gibbsin ilmiönä. Summan raja-arvona saadaan kuitenkin siitä huolimatta alkuperäinen funktio.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(\) \begin{align*} b_{n} &= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_{-\pi}^{0} -[value]\sin(nx)\mathrm{d}x + \int\limits_{0}^{\pi} [value]\sin(nx)\mathrm{d}x\right]\\ &=\frac{[value]}{\pi}\left[-\bigg/_{\!\!\!\!-\pi}^{\,0} -\frac{\cos(nx)}{n} + \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\pi} -\frac{\cos(nx)}{n} \right]\\ &=\frac{[value]}{\pi}\left[\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\pi} \frac{\cos(nx)}{n} - \bigg/_{\!\!\!\!-\pi}^{\,0} \frac{\cos(nx)}{n}\right]\\ &=\frac{[value]}{\pi}\left[\left(\frac{\cos(n\cdot 0)}{n} - \frac{\cos(n\cdot(-\pi))}{n}\right) - \left(\frac{\cos(n\pi)}{n} - \frac{\cos(n\cdot 0)}{n}\right) \right]\\ &=\frac{[value]}{\pi}\left[\frac{1-\cos(-n\pi)}{n} - \frac{\cos(n\pi)-1}{n}\right]\\ &\stackrel{*}{=}\frac{[value]}{n\pi}(1-\cos(n\pi))\\ &\stackrel{**}{=}\frac{[value]}{n\pi}(1-(-1)^n) \end{align*} *) \(\cos(a)=\cos(-a)\) **) \(\cos(n\pi)\) fluctuates between \(1\) and \(-1\)\(\cos(n\pi)\) vuorottelee \(1\):n ja \(-1\):n välillä

Laske seuraavat raja-arvot l'Hospitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

\( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

\( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

\( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \quad = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)

/* */
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. \( \textbf{(a)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) \( \textbf{(b)} \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) \( \textbf{(c)} \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Let \(\mathbf{a} = \left( [value], \alpha, [value] \right) \) and \(\mathbf{b} = \left( \beta, [value], [value] \right) \) where \(\alpha\) and \(\beta\) are unknown real constants. We know that the vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) are linearly independent.

What can we say about the solutions to equation \[ x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}=\mathbf{0} \] based on the given information?

\(\mathbf{1}\) | The equation has no solution.
\(\mathbf{2}\) | There are no real solutions but at least one complex solution can be found.
\(\mathbf{3}\) | The only solution to the equation is \((x_1,x_2)=(0,0)\).
\(\mathbf{4}\) | The equation has infinitely many solutions.
\(\mathbf{5}\) | One solution to the equation is \(x_1 = \mathbf{a}^{-1}\), \(x_2 = -\mathbf{b}^{-1}\).

Give the number corresponding to the correct statement.

Olkoon vektorit \(\mathbf{a} = \left( [value], \alpha, [value] \right) \) ja \(\mathbf{b} = \left( \beta, [value], [value] \right) \), joissa \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat reaalilukuvakioita. Tiedämme, että vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Mitä voimme annettujen tietojen perusteella sanoa yhtälön \[ x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}=\mathbf{0} \] ratkaisuista?

\(\mathbf{1}\) | Yhtälöllä ei ole yhtäkään ratkaisua.
\(\mathbf{2}\) | Reaalilukuratkaisua ei yhtälöllä ole, mutta kompleksitasosta sille löytyy ainakin yksi ratkaisu.
\(\mathbf{3}\) | Yhtälön ainoa ratkaisu on \((x_1,x_2)=(0,0)\).
\(\mathbf{4}\) | Yhtälöllä on rajattoman monta eri ratkaisua.
\(\mathbf{5}\) | Eräs yhtälön ratkaisu on \(x_1 = \mathbf{a}^{-1}\), \(x_2 = -\mathbf{b}^{-1}\).

Anna vastaukseksi oikean väitteen numero.

Answer: Vastaus:

Also give values to the constants \(\alpha\) and \(\beta\) such that the vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) truly are linearly independent. Anna lisäksi jotkin vakioiden \(\alpha\) ja \(\beta\) arvot, joilla vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) todellakin ovat lineaarisesti riippumattomia.

\(\alpha =~\) |
\(\beta =~\) |
Feedback: Worked solution: According to the definition vectors \( \mathbf{v}_1,\ \ldots \ , \mathbf{v}_n \) are linearly independent if and only if equation \[ x_1\mathbf{v}_1+\ldots+x_n\mathbf{v}_n = \sum_{i=1}^{n} x_i\mathbf{v}_i = \mathbf{o} \] has no other solution except for the trivial solution \(x_1=x_2=\ldots=x_n=0\). Let's write the definition for the vectors in question. There are only two vectors so the equation is \[ x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}=\mathbf{0} .\] It was mentioned in the assignment that vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) are known to be linearly independent. Now according to the definition the equation has only the trivial solution \(x_1=x_2=0\). In the case of two vectors linear independence means that the vectors are not parallel ergo they are not scalar multiples of each other. So now we should pick values for \(\alpha\) and \(\beta\) such that the vectors are not parallel. Let's try to pick such values that the vectors are perpendicular to each other because in that case we know that they are not parallel. Two vectors are perpendicular if their dot product is zero so let's investigate the dot product of the given vectors. \[\begin{eqnarray} \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} &=& 0\\ \Leftrightarrow [value] &=& 0\\ \end{eqnarray}\] Solving this equation for \(\alpha\) we get \[ \alpha = [value]. \] Now let's pick \(\beta=0\). Now we see that \( \alpha = [value] \). Now we may also check that the dot product is indeed zero: \[ \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = [value] = 0. \] Mallivastaus: Määritelmän mukaan vektorit \( \mathbf{v}_1,\ \ldots \ , \mathbf{v}_n \) ovat lineaarisesti riippumattomat, jos ja vain jos, yhtälöllä \[ x_1\mathbf{v}_1+\ldots+x_n\mathbf{v}_n = \sum_{i=1}^{n} x_i\mathbf{v}_i = \mathbf{o} \] on ainoastaan triviaaliratkaisu \(x_1=x_2=\ldots=x_n=0\). Sovelletaan nyt määritelmää tehtävänannon vektoreihin. Vektoreita on vain kaksi, joten tutkittava yhtälö on \[ x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}=\mathbf{0} .\] Tehtävänannossa mainittiin, että vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) tiedetään olevan lineaarisesti riippumattomia. Nyt määritelmän perusteella nähdään, että tutkittavalla yhtälöllä täytyy olla vain yksi ratkaisu, joka on \(x_1=x_2=0\). Kahden vektorin tapauksessa lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, että vektorit eivät ole yhdensuuntaisia eli ne eivät ole toistensa skalaarimonikertoja. Nyt täytyisi siis valita vakiot \(\alpha\) ja \(\beta\) siten, että vektorit eivät ole yhdensuuntaisia. Kokeillaan, jos saisimme valittua kertoimet siten, että vektorit ovat toisiaan vasten kohtisuorassa, koska tällöin ne eivät ainakaan ole yhdensuuntaisia. Kaksi vektoria on toisiaan vasten kohtisuorassa, jos ja vain jos niiden pistetulo on nolla. Tutkitaan siis vektoreiden pistetuloa. \[\begin{eqnarray} \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} &=& 0\\ \Leftrightarrow [value] &=& 0\\ \end{eqnarray}\] Ratkaisemalla tämä esimerkiksi muuttujan \(\alpha\) suhteen saadaan \[ \alpha = [value]. \] Valitaan nyt \(\beta=0\), jolloin \( \alpha = [value] \). Nyt siis \[ \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = [value] = 0. \]

Function \(f\) is defined piecewise as follows: Funktio \(f\) määritellään paloittain seuraavasti:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Find a third degree polynomial \(p(x)\) such that the function \(f\) is continuously differentiable. A function is said to be continuously differentiable, when both \(f(x)\) and \(f'(x)\) are continuous functions.Määritä kolmannen asteen polynomi \(p(x)\) siten, että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva. Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f(x)\) että \(f'(x)\) ovat jatkuvia funktioita.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_0=~\)

\(a_1=~\)

\(a_2=~\)

\(a_3=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The function can be extended to be continuously differentiable with a polynomial by requiring it to satisfy the following conditions: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Now it holds thatNyt pätee \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} In order to determine the multipliers of the polynomial, we form a system of equations.Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \begin{eqnarray} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0&=&f(1)\nonumber\\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0&=&f(-1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1&=&f'(1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1&=&f'(-1)\nonumber \end{eqnarray} Finally, we express the system of equations in matrix form and solve the constants.Esitetään yhtälöryhmä matriisimuodossa ja ratkaistaan kertoimet. \[ [value] \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \] \[ \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \]

Määritä kuvan monikulmion pinta-ala determinantin avulla.

\(A= \frac{1}{2}\Bigg| \sum\limits_{\substack{i=1\\n+1=1}}^{n}\begin{vmatrix} x_i & y_i \\ x_{i+1} & y_{i+1}\end{vmatrix}\Bigg|\)

\(A=\) ruutua
Feedback: Mallivastaus: Pinta-alan määrittämiseksi kuvio tulee kiertää ulkoreunoja pitkin ja muodostaa koordinaattivektorit \(x\) ja \(y\). Valitaan aloituspisteeksi piste \( (-3,4) \) ja kierretään myötäpäivään, jolloin koordinaattivektoreiksi saadaan \( x=[[value],[value],[value],[value],[value],[value],[value],[value]]\) \(y=[[value],[value],[value],[value],[value],[value],[value],[value]].\) Nyt voidaan hyödyntää determinanttiyhtälöä pinta-alan määrittämiseksi, jolloin summalausekkeesta saadaan \(\begin{array}{ll} A&=\frac{1}{2}\Bigg | \left(\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 &y_2\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}x_2 & y_2\\ x_3 &y_3\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_3 & y_3\\ x_4 &y_4\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_4 & y_4\\ x_5 &y_5\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_5 & y_5\\ x_6 &y_6\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_6 & y_6\\ x_7 &y_7\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_7 & y_7\\ x_8 &y_8\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_8 & y_8\\ x_1 &y_1\end{vmatrix} \right)\Bigg | \\ &=\frac{1}{2}\Bigg | \left( \begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} [value]&[value]\\[value]&[value]\end{vmatrix} \right)\Bigg | \\ &=\frac{1}{2}\Bigg |[value]+[value]+([value])+([value])+([value])+([value])+([value])+([value]) \Bigg | \\ &=[value] \end{array}\)

A container has 20 liters of salt water. At time \(t=0\) the salinity is 6 g salt per liter. Liquid containing 2 g salt per liter is added in the container at the speed of \(4\) liters per minute. The liquid is stirred and the evenly blended liquid is removed at the speed of \(4\) liters per minute. Let \(y(t)\) be the amount of salt at the time \(t\). Derive an expression for \(y(t)\) and determine \(\lim_{t\to\infty} y(t)\). Choose the correct answer from the following choices by writing the number corresponding to your pick of choice in the text box below.Säiliössä on 20 litraa suolaista vettä. Hetkellä \(t=0\) suolapitoisuus on 6 g suolaa litraa kohti ja säiliöön aletaan lisätä nopeudella \(4\) litraa minuutissa liuosta, jossa on 2 g suolaa litraa kohti. Säiliössä olevaa nestettä sekoitetaan ja säiliöstä poistetaan tasaiseksi sekoitettua nestettä nopeudella \(4\) litraa minuutissa. Olkoon säiliössä hetkellä \(t\) olevan suolan määrä \(y(t)\). Johda lauseke \(y(t)\):lle ja määritä \(\lim_{t\to\infty} y(t)\). Valitse oikea ratkaisu annettujen vaihtoehtojen joukosta kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

([value]) \(\quad y(t) = 80 \textrm{e}^{-\frac t5} + 40~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=40\)

([value]) \(\quad y(t) = 80 \textrm{e}^{-\frac t{10}} + 50~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=50\)

([value]) \(\quad y(t) = 60 \textrm{e}^{-\frac t{20}} + 40~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=60\)

([value]) \(\quad y(t) = 60 \textrm{e}^{-\frac t{10}} + 20~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=20\)

([value]) \(\quad y(t) = 80 \textrm{e}^{-\frac t5} + 40~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=80\)

([value]) \(\quad y(t) = 40 \textrm{e}^{-\frac t{20}} + 60~\textrm{andja}~\lim_{t\to\infty} y(t)=60\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: At time \(t=0\) the container has a total of \(6\cdot 20 = 120\) g salt, so \(y(0) = 120\) (leaving the unit g out). If we choose minute for the unit of time, salt is added at the speed of \(4\cdot 2=8\) and it is removed at the speed of \(4\cdot\frac {y(t)}{20}\). ThereforeHetkellä \(t=0\) säiliössä on kaiken kaikkiaan \(6\cdot 20 = 120\) g suolaa, eli \(y(0) = 120\) (jätetään g:t pois). Jos aikayksiköksi valitaan minuutti, niin säiliöön tulee suolaa nopeudella \(4\cdot 2=8\) ja poistuu nopeudella \(4\cdot\frac {y(t)}{20}\). Siis \[ y'(t) = 8-\frac 1{5} y(t),\quad y(0) = 120. \] The general solution for the corresponding homogeneous equation isVastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on \[ y_h(t) = c \textrm{e}^{-\frac t5}, \] and a particular solution to the nonhomogeneous equation can be found by applying the substitution \(y_p = A\), from which we can see that \(A=40\). Thus the general solution to the differential equation isja epähomogeenisen yhtälön jokin erikoisratkaisu voidaan hakea muodossa \(y_p = A\), josta nähdään, että \(A=40\). Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c \textrm{e}^{-\frac t5} + 40. \] Substituting the initial condition \(y(0)=120\) we get \(c=80\). Thus the solution to the problem isSijoittamalla alkuehto \(y(0)=120\) saadaan \(c=80\). Haettu ratkaisu on siis \[ y(t) = 80 \textrm{e}^{-\frac t5} + 40. \] From this expression we see thatTästä nähdään, että \[ \lim_{t\to\infty} y(t) = 40. \]

\(\text{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat. Tee tehtävä vaihe kerrallaan kärsivällisesti edeten.} \)
\(\text{Tehtävää kannattaa yrittää, vaikkei sitä kokonaan osaisikaan, sillä jokaisesta oikein menneestä kohdasta saa 0,125 pistettä.} \)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \sum_{i=1}^{n}2i \) tarkoittaa summaa \( \sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \MATHCHECK!!!! \)

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret.
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i =\)
ja oikea puoli on , joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen
\( \sum_{i=1}^{k}2i =\) .

\( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) .

\( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \)
\( \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) \( + \sum_{i=1}^{k}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret. Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). \( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \) "Pilkotaan" summa ensin siten, että viimeinen alkio otetaan summalausekkeen ulkopuolelle: \( \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Käytetään sitten induktio-oletusta: \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1) \). \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.

Let us consider a function \([value]\), whose Taylor polynomial at the origin is \(T(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \). Using this fact determine \(f^{([value])}(0)\).Tarkastellaan funktiota \([value]\), jonka Taylorin polynomi origossa on muotoa \(T(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \). Laske tämän tiedon avulla \(f^{([value])}(0)\).

\( f^{([value])}(0) \) | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We consider a Taylor polynomial of the function \(f(x) = [value]\): \[ T(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots, \] which contains also the general term. It is worth to note that here \(n\) does not refer to the order of the Taylor polynomial which is \(2n\). Tarkastellaan funktion \(f(x) = [value]\) Taylorin polynomia \[ T(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots, \] jossa on mukana yleisen termin lauseke. On syytä huomata, että tässä lausekkeessa \(n\) ei tarkoita Taylorin polynomin astelukua, joka on \(2n\). For the multipliers \(C_n\) in the Taylor polynomial, it holds that \[ C_n = \frac{f^n(0)}{n!}. \]Taylorin polynomin kertoimille \(C_n\) pätee \[ C_n = \frac{f^n(0)}{n!}. \] We want to determine \(f^{[value]}(0)\). The solution can be derived from the \([value]\)th order term in the Taylor polynomial. The multiplier of this term is \[ C_{[value]} = \frac{f^{[value]}(0)}{[value]!}. \]Halutaan laskea \(f^{[value]}(0)\). Vastaus saadaan Taylorin polynomin termistä, jonka asteluku on \([value]\). Tämän termin kerroin on \[ C_{[value]} = \frac{f^{[value]}(0)}{[value]!}. \] The multiplier in the general expression corresponding to \(C_{[value]}\) is the term where \(n=[value]\). Thus, we get \[ (-1)^{[value]} \cdot \frac{1}{[value]!} = \frac{f^{[value]}(0)}{[value]!}, \] from which we can conclude \[ f^{[value]}(0) = (-1)^{[value]} = [value]. \]Kerrointa \(C_{[value]}\) vastaava yleisen lausekkeen kerroin saadaan arvolla \(n=[value]\). Näin saadaan yhteys \[ (-1)^{[value]} \cdot \frac{1}{[value]!} = \frac{f^{[value]}(0)}{[value]!}, \] josta saadaan vastaus \[ f^{[value]}(0) = (-1)^{[value]} = [value]. \]

Determine the Taylor polynomial \(T_n(x)\) for the function \(f(x) = [value]\) about the origin, when \(n = [value]\). Provide the necessary derivatives, their evaluated values at the origin and the complete expression for the Taylor polynomial.Etsi Taylorin polynomi \(T_n(x)\) origon ympäristössä funktiolle \(f(x) = [value]\), kun \(n = [value]\). Anna tarvittavat derivaatat, niiden arvot origossa ja lopullinen lauseke.

\(f'(x)=~\) |
\(f''(x)=~\) |
\(f'''(x)=~\) |
\(f'(0)=~\) |
\(f''(0)=~\) |
\(f'''(0)=~\) |
\(T_[value](x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The general Taylor polynomial \(T_n\) is defined by \[ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k, \] where \(n\) is the order of the polynomial and \(c\) is the point about which the polynomial is constructed. Here \(n=[value]\) and \(c=0\).Yleinen Taylorin polynomi \(T_n\) määritellään siten, että \[ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k, \] jossa \(n\) on asteluku ja \(c\) on kehityskeskus. Tässä tehtävässä \(n=[value]\) ja \(c=0\). First we will determine the necessary derivatives.Lasketaan ensin tarvittavat derivaatat. \begin{align*} f'(x) &= [value] \\ f''(x) &= [value] \\ f'''(x) &= [value] \end{align*} Since the polynomial is constructed about the origin, we will evaluate the derivatives at the origin.Kehityskeskuksena on origo, joten lasketaan derivaattojen arvot origossa. \begin{align*} f'(0) &= {[value] = [value]} \\ f''(0) &= {[value] = [value]} \\ f'''(0) &= {[value] = [value]} \end{align*} Furthermore, we will need the value of the function at the origin.Näiden lisäksi tarvitaan vielä funktion arvo origossa. \[ f(0) = \sqrt{1+0} = 1 \] The third order Taylor polynomial at the origin is of the formKolmannen asteen Taylorin sarja origossa on muotoa \[ T_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3. \] Substituting the values of the evaluated derivatives we getSijoittamalla lasketut derivaattojen arvot saadaan lauseke muotoon \[ T_3(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3. \]

Let us consider the function \([value]\). We know that the Taylor polynomial of the function [value] at the origin is \(P(t) = [value] \). Using this fact determine \(f^{([value])}(0)\).Tarkastellaan funktiota \([value]\). Tiedetään, että funktion [value] Taylorin polynomi origossa on muotoa \(P(t) = [value] \). Laske tämän tiedon avulla \(f^{([value])}(0)\).

\( f^{([value])}(0) \) | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We know that the Taylor polynomial of the function \( [value] \) is of the form \[ P(t) = [value] \] where the general term is included in the expression. Substituting \( t=[value]x \) in the general term, we find the general term of the Taylor polynomial of the function [value], \[ [value] .\] When the Taylor polynomial is formed about the origin, the constant multiplier of the term having degree \(i\) is \[ C_i = \frac{f^{(i)}(0)}{i!}, \] which we can solve for \[ f^{(i)}(0) = i!\cdot C_i. \] We notice that the multiplier of the term having degree \(i\) is zero for even values of \(i\) and when \(i\) is even the multiplier can be derived from the expression of the general term by substituting \(n=i/2\) We notice that the multiplier of the term having degree \(i\) is zero for even values of \(i\) and when \(i\) is odd the multiplier can be derived from the expression of the general term by substituting \(n=(i-1)/2\) We notice that the multiplier of the term having degree \(i\) can be derived from the expression of the general term by substituting \(n=i\). Now we can find the value of the derivative we were tasked with. Tiedämme, että funktion \( [value] \) Taylorin polynomi on muotoa \[ P(t) = [value] \] jossa on mukana yleisen termin lauseke. Sijoittamalla yleisen termin lausekkeeseen \( t=[value]x \) saamme funktion [value] Taylorin polynomin yleisen termin, \[ [value] .\] Origossa kehitetyn Taylorin polynomin asteluvun \(i\) termin kerroin on \[ C_i = \frac{f^{(i)}(0)}{i!}, \] josta saamme ratkaistua \[ f^{(i)}(0) = i!\cdot C_i. \] Huomataan, että asteluvun \(i\) termin kerroin on nolla parittomilla \(i\) ja parillisella \(i\) se saadaan yleisen termin kaavasta, kun sijoitetaan \(n=i/2\) Huomataan, että asteluvun \(i\) termin kerroin on nolla parillisilla \(i\) ja parittomalla \(i\) se saadaan yleisen termin kaavasta, kun sijoitetaan \(n=(i-1)/2\) Huomataan, että asteluvun \(i\) termin kerroin saadaan yleisen termin kaavasta arvolla \(n=i\). Nyt voimme laskea pyydetyn derivaatan arvon. \[ f^{([value])}(0) = [value]!\cdot C_[value] = [value]!\cdot [value] = [value] \]

Ohut suora putki (halkaisija \(=0\)) kuljetetaan vaakatasossa kuvan mukaisesti \([value]~\textrm{m}\) leveältä käytävältä kulman ympäri \([value]~\textrm{m}\) leveälle käytävälle. Kuinka pitkä putki voi korkeintaan olla, jotta se mahtuu kulkemaan?

Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

Vastaus:

/* JSXGraph-kuva */ (function() { /* Maximaa ajetaan JSXGraph-ympäristössä [value]-syntaksilla */ /* luodaan piirtoalue sopivilla rajoilla (boundingbox:[xmin, ymax, xmax, ymin] */ var board = JXG.JSXGraph.initBoard('uniqueName', {boundingbox:[-3,[value],[value],-3]}); /* käytävien seinät */ var line1 = board.create('line',[[0,0],[0,[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line2 = board.create('line',[[[value], 0],[[value], 6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line3 = board.create('line',[[[value], 6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* katkoviiva, ohkaisemman käytävän leveys */ var line4 = board.create('line',[[0,6],[[value],6]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2, dash: 1}); /* putki poikittain käytävillä */ var line4 = board.create('line',[[0,[value]],[[value],[value]]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'black', strokeWidth:2}); /* kaaret ja leveyksien merkintä */ var height = 0.5; // height of the curly brace var A = board.create('point', [0,0], {name:'A', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var B = board.create('point', [[value],0], {name:'B', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width1 */ var crl = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl.bezierDegree = 3; crl.updateDataArray = function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(A.X()+B.X())*0.5, (A.Y()+B.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ A.X(), A.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], B.X()-d[1], B.X() ]; this.dataY = [ A.Y(), A.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], B.Y()+d[0], B.Y() ]; }; /* Tehdään teksti käytävän sisään kertomaan käytävän leveys (width1) */ var txt1 = board.create('text', [ function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.X()+B.X())*0.4; d[1] *= height/dl; return mid-d[1]+0.3; }, function() { var d = [B.X()-A.X(), B.Y()-A.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = (A.Y()+B.Y())*0.4; d[0] *= height/dl; return mid+d[0]+1.5; }, function() { return [value] + " m"; } ]); var C = board.create('point', [[value],[value]], {name:'C', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var D = board.create('point', [[value],6], {name:'D', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); /* Seuraava tekee "aaltosulkeen" käytävän sisään. width2 */ var crl2 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl2.bezierDegree = 3; crl2.updateDataArray = function() { var d = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(C.X()+D.X())*0.5, (C.Y()+D.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ C.X(), C.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], D.X()-d[1], D.X() ]; this.dataY = [ C.Y(), C.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], D.Y()+d[0], D.Y() ]; }; /* ja taas teksti kertomaan käytävän leveys (width2) */ var txt2 = board.create('text', [ function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.X()+D.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]+1.5; }, function() { var d2 = [D.X()-C.X(), D.Y()-C.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (C.Y()+D.Y())*0.5; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+0.1; }, function() { return [value] + " m"; } ]); /* tehdään vielä pätkä, joka näyttää x:n pituuden */ var E = board.create('point', [-1,6], {name:'E', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var F = board.create('point', [-1,[value]], {name:'F', fillColor: 'black', strokeColor: 'black', size: 1, face: '.', visible: false}); var crl3 = board.create('curve', [[0],[0]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black'}); crl3.bezierDegree = 1; crl3.updateDataArray = function() { var d = [F.X()-E.X(), F.Y()-E.Y()], dl = Math.sqrt(d[0]*d[0]+d[1]*d[1]), mid = [(E.X()+F.X())*0.5, (E.Y()+F.Y())*0.5]; d[0] *= height/dl; d[1] *= height/dl; this.dataX = [ E.X(), E.X()-d[1], mid[0], mid[0]-d[1], mid[0], F.X()-d[1], F.X() ]; this.dataY = [ E.Y(), E.Y()+d[0], mid[1], mid[1]+d[0], mid[1], F.Y()+d[0], F.Y() ]; }; var txt3 = board.create('text', [ function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[1] *= height/dl2; return mid2-d2[1]-2; }, function() { var d2 = [F.X()-F.X(), F.Y()-E.Y()], dl2 = Math.sqrt(d2[0]*d2[0]+d2[1]*d2[1]), mid2 = (E.X()+F.X())*0.4; d2[0] *= height/dl2; return mid2+d2[0]+[value]; }, function() { return "x"; } ]); board.update(); // This update is necessary to call updateDataArray the first time. })();
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan kaksi pientä kolmiota, jossa suora putki koostuu kahdesta hypotenuusasta, olkoot ne vaikkapa \( a\) ja \( b \). Olkoon \( a\) kapeammalle käytävälle muodostuvan kolmion hypotenuussa. Kateetit ovat tällöin \( x \) ja [value]. Pythagoraan lauseen nojalla \( a = \sqrt{x^2+[value]} \). Leveämmän käytävän kolmiossa hypotenuusa on \( b \). (Kuvan piirtäminen saattaa helpottaa ratkaisun hahmottamista!) Yhdenmuotoisuuden nojalla \[ \dfrac{b}{[value]} = \dfrac{a}{x} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{[value]a}{x} = \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} \]. Nyt on haettava pienin arvo putken pituudelle eli minimoitava \( a+b \): \[ a + b = \sqrt{x^2+[value]} + \dfrac{[value] \sqrt{x^2+[value]}}{x} = \sqrt{x^2+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{x} \right) = f(x). \] Kriittiset pisteet: \[ \begin{align} & f'(x) = 0 \\ & \Leftrightarrow [value]\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right)+[value]\left( [value] \right) = 0 \quad \Big| \cdot [value] \\ & \Leftrightarrow x\left(1 + \dfrac{[value]}{x} \right) - \dfrac{[value] ( [value])}{x^2} = 0 \quad \Big|\cdot x^2 \\ & \Leftrightarrow x^3 + [value]x^2 - [value]x^2 - [value] = 0 \\ & \Leftrightarrow x^3 = [value] \\ & \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{[value]} \end{align} \] Derivaatan merkki kriittisen pisteen \( x = \sqrt[3]{[value]} \approx [value] \) eri puolilla selvitetään vaikkapa laskimella: \( f′([value]) \approx [value] < 0 \) ja \(f ′([value])\approx [value] > 0\). \(f\) on siis vähenevä välillä \( \left( 0, \sqrt[3]{[value]} \right] \) ja kasvava välillä \( \left[ \sqrt[3]{[value]}, \infty \right) \), joten kriittinen piste on globaali minimipiste. Minimiarvo on \( f( \sqrt[3]{[value]}) = \sqrt{[value]^{2/3}+[value]} \left( 1 + \dfrac{[value]}{\sqrt[3]{[value]}} \right) \approx [value]. \) Vastaus: Putki voi olla korkeintaan \( [value] \, \textrm{m} \) pitkä.