Title: Modulien tehtävät

Työmuistissa on seuraavanlainen matriisi: \(Y = [value]\) Tutki kuinka monta johtavaa ykköstä sen rref-muodossa on.

Johtavien ykkösten lukumäärä:

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{4}(i-1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{4}(i-1)=(2-1)+(3-1)+(4-1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ratkaise polynomin \( p(x)=[value] \) nollakohdat.

\(x_{1} = \)

\(x_{2} = \)

\(x_{3} = \)

\(x_{4} = \)
Feedback: Mallivastaus: Kokeilemalla havaitaan, että \( p([value])=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Maximan:
[value]
Oma:
\( [value]+[value] \cdot [value]\)
\( [value]-[value] \cdot [value]\)

Q: Derivoi funktio:

\( f(x)=[value] \)

\(f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}ni=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Derivoi funktio:

\( g(x)=[value] \)

\(g'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}i^{2}+ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Derivoi funktio:

\( h(x)=[value] \)

\(h'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Selvitä piirtämäsi kuvaajan "kahvan" avulla asetuksen FaceAlpha arvo. Anna vastauksesi MATLABin vastaustarkkuuden mukaisesti.
A: 0.5678
Feedback ("0.5678"): Hienoa, oikein meni!
Feedback ("0.9000"): Olit kenties määritellyt handlen johonkin muuhun muuttujaan, kuin muuttujaan \(\texttt{h}\). Vastauksesi saattaa pitää paikkansa kyseiseen kuvaajaan, mutta nyt pyydettiin etsimään arvoa muuttujasta h. Olehan tarkkaavainen tehtävänantojen suhteen!
Feedback (any other answer): Nyt meni vikaan. Oikean vastauksen olisit saanut komennon \(\texttt{get}\) avulla.
Feedback: Kuvaajien kanssa voi kikkailla, kun vain hieman perehtyy asiaan. FaceAlpha on luku välillä [0,1] ja se kuvaa pinnan läpinäkyvyyttä. Asetuksen sait selville komennolla \(\texttt{get}\) ja sen saa muutettua komennolla \(\texttt{set}\).

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Ratkaistaan separoituva differentiaaliyhtälö \( y'=xy+3x \). Määritetään myös yhtälön tietty ratkaisu, jonka käyrä kulkee pisteen \( (0,2) \) kautta.

\(\begin{align*}y'&=xy+3x\\y'&=x(y+3)\quad\mid : (y+3)\neq0\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}y'&=x\quad\mid y'=\frac{dy}{dx}\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}\frac{dy}{dx}&=x\quad\mid\cdot\ dx\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}dy&=x\ dx\\ \Rightarrow\quad \int \frac{1}{y+3} dy&=\int x\ dx\\ \Rightarrow\quad \ln\mid y+3\mid&=\frac{1}{2}x^2+C\\ \Rightarrow\quad \mid y+3 \mid&=e^{\frac{1}{2}x^2+C}\\ \Rightarrow\quad \mid y+3 \mid&=e^{\frac{1}{2}x^2}e^C\end{align*}\)

Viimeisestä lausekkeesta saadaan \(y+3=e^{\frac{1}{2}x^2}e^C\) tai \(y+3=-e^{\frac{1}{2}x^2}e^C \).

Edellisessä muodossa on \( e^C>0 \) ja vastaavasti \( -e^C<0 \). Yhtälöt voidaan yhdistää muotoon

\(y+3=C'e^{\frac{1}{2}x^2}\),

missä \( C'\neq 0 \). Siispä

\( y=C'e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \),

missä \( C'\neq 0 \).

Yhtälö jaettiin alkuvaiheessa lausekkeella \( y+3 \), jonka nollakohta on \( y=-3 \). Yhtälön muodosta \( y'=x(y+3) \) nähdään, että vakiofunktio \( y=-3 \) toteuttaa yhtälön, sillä \( y' \) on vakiofunktio \( 0 \).

Kun sallitaan \( C'=0 \), myös erikoisratkaisu \( y=-3 \) sisältyy ratkaisuun. Yhtälön yleinen ratkaisu on

\( y=C'e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \),

missä \( C' \) on reaaliluku.

Määritetään lopuksi differentiaaliyhtälön \( y'=xy+3x \) tietty ratkaisu, jolle pätee \( y(0)=2 \). Koska

\( y(0)=C'e^{\frac{1}{2}0^2}-3=C'\cdot 1 -3 = C'-3 \),

niin tulee olla

\( \begin{align*}C'-3&=2\\ \Rightarrow\quad C'&=5.\end{align*} \)

Siis kysytty yksittäisratkaisu on \( y=5e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \).

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Kun jäälohkare, jonka lämpötila on \( 0 \) °C, tuodaan lämpimään, se alkaa heti sulaa. Jos ympäristön lämpötila ja ilmanpaine pysyvät samana ja jos ei tuule, niin kappaleen sulamisnopeus hetkellä \( t \) on likimain suoraan verrannollinen kappaleen pinnan alaan hetkellä \( t \). Alussa kuution muotoisen jääpalan tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja viiden tunnin kuluttua enää \( 8,0 \) dm^3

Missä ajassa kuutio sulaa kokonaan?

Olkoon \( V(t) \) jääkuution tilavuus \( t \) tuntia sulamisen alkamisen jälkeen. Tilavuuden pienenemisnopeus hetkellä \( t \) on funktion \( V(t) \) derivaatta \( V'(t) \). Muodostetaan differentiaaliyhtälö, josta voidaan ratkaista funktio \( V(t) \).

Ilmaistaan kuution pinnan ala kuution tilavuuden avulla. Hetkellä \( t \) kuution särmä on

\( a(t)=\sqrt[3]{V(t)}=V(t)^{\frac{1}{3}} \)

ja kuution pinnan ala on

\( 6a(t)^2=6\Bigg(V(t)^\frac{1}{3} \Bigg)^2 =6V(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Koska tilavuuden muutosnopeus on suoraan verrannollinen pinnan alaan, niin

\( V'(t)=k\cdot 6V(t)^{\frac{2}{3}}, \)

missä \( k \) on verrannollisuuskerroin. Yhdistetään differentiaaliyhtälön oikean puolen vakiokertoimet merkitsemällä \( k\cdot 6=m \) ja ratkaistaan differentiaaliyhtälö

\( V'(t)=mV(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Merkitään \( V(t)=V \), jolloin differentiaaliyhtälö tulee muotoon \( V'=mV^{\frac{2}{3}} \), missä siis \( V \) on muuttujan \( t \) funktio ja \( m \) on vakio.

Separoidaan yhtälö.

\(\begin{align*}V'&=mV^{\frac{2}{3}}\quad\mid : V^{\frac{2}{3}}\neq 0\\ \Rightarrow\quad \frac{V'}{V^{\frac{2}{3}}}&=m\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}V'&=m\quad\mid V'=\frac{dV}{dt}\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}\frac{dV}{dt}&=m\quad\mid\cdot\ dt\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}dV&=m\ dt\\ \Rightarrow\quad \int V^{-\frac{2}{3}} dV&=\int m\ dt\\ \Rightarrow\quad 3V^{\frac{1}{3}}&= mt+C\\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=\frac{m}{3}t+\frac{C}{3}\quad\Biggl\lvert\frac{m}{3}=n,\quad\frac{C}{3}=C'\\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=nt+C'\\ \Rightarrow\quad V&=(nt+C')^3 \end{align*}\)

Kuution tilavuuden \( t \) tunnin kuluttua ilmaisee funktio, joka on muotoa \( V(t)=(nt+C')^3 \). Ratkaistaan vakiot \( n \) ja \( C' \).

Hetkellä \( t=0 \) kappaleen tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja hetkellä \( t=5 \) kappaleen tilavuus oli \( 8,0 \) dm^3.

\( \begin{align*}&\begin{cases}(n\cdot 0 + C')^3 &= 10\\ (n\cdot 5 + C')^3 &= 8,0\end{cases}\\&\begin{cases}C'^3 &= 10\\ (5n+C')^3 &= 8,0\end{cases}\end{align*} \)

Ensimäisestä yhtälöstä saadaan \( C'=\sqrt[3]{10}\approx 2,15 \). Toisesta yhtälöstä saadaan

\(\begin{align*} 5n+C'&=\sqrt[3]{8,0}\\ \Rightarrow\quad n&= \frac{1}{5}\bigg(\sqrt[3]{8,0}-C'\bigg)\\ \Rightarrow\quad n&=\frac{1}{5}\bigg(\sqrt[3]{8,0}-\sqrt[3]{10}\bigg)\\ \Rightarrow\quad n&\approx -0,0309.\end{align*} \)

Siis \( t \) tunnin kuluttua kappaleen tilavuus on

\( V(t)=(-0,0309t+2,15)^{3}. \)

Tilavuus on nolla, kun

\( \begin{align*}-0,0309t + 2,15 &= 0\\ \Rightarrow\quad t&=\frac{2,15}{0,0309}\\ \Rightarrow\quad t&\approx 70. \end{align*} \)

Jääkuutio sulaa kokonaan eli tilavuus on nolla noin \( 70 \) tunnissa.

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

\( \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),\)

missä \( P(x) \) ja \( Q(x) \) ovat muuttujan \( x \) funktioita. Jos kertoimet \( P \) ja \( Q \) ovat vakioita, niin differentiaaliyhtälö on separoituva ja voidaan ratkaista kuten separoituva differentiaaliyhtälö.

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

\(\begin{align*}\frac{dy}{dx}-y=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}},\quad y(0)=0.\end{align*}\)

Havaitaan, että \(P(x)= -1 \) ja \( Q(x)=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}} \), joten integroiva tekijä on

\(\rho(x)=e^{\int (-1) dx}=e^{-x}. \)

Kerrotaan ratkaistava yhtälö molemmin puolin integroivalla tekijällä \( e^{-x} \), jolloin

\(e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}, \)

joka huomataan yhtälöksi

\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y)=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}.\)

Siten integroimalla muuttujan \( x \) suhteen saadaan

\( e^{-x}y=\int\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}dx=-\frac{33}{32}e^{-\frac{4x}{3}}+C, \)

ja edelleen kertomalla puolittain integroivalla tekijällä \( e^x \) päädytään muotoon \( y(x)=Ce^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}. \)

Sijoittamalla \( y(0)=0 \) saadaan \( C=\frac{33}{32} \), joten alkuarvotehtävän ratkaisu on

\( y(x)=\frac{33}{32}e^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}=\frac{33}{32}\Big(e^{x}-e^{-\frac{x}{3}}\Big). \)

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Suonensisäinen tiputus on prosessi, jossa ainetta annostellaan tasaisesti verisuonistoon. Oletetaan, että sairaalassa olevalle potilaalle annostellaan lääkeainetta tipalla, joka annostelee lääkeainetta tasaisella \( I \) milligrammaa (mg) per minuutti nopeudella. Lisäksi oletetaan, että lääkitys leviää tasaisesti vartalon läpi ja eliminoituu nopeudella, joka on verrannollinen lääkeaineen pitoisuuteen ajan suhteen.

Tässä ongelmassa pitoisuuden määritellään olevan

\(\dfrac{\text{lääkeaineen määrä}}{\text{veren ja lääkeaineen tilavuus}}, \)

missä oletetaan, että veren ja lääkeaineen tilavuus \( V \) pysyy vakiona. Ongelmana on selvittää lääkeaineen pitoisuus ajan hetkellä \( t \). Tämän selvittämiseksi tarkastellaan verisuonistoa yksittäisenä säiliönä ja tutkitaan differentiaaliyhtälöä, joka mallintaa prosessia.

Jos merkitään lääkeaineen pitoisuutta \( C=C(t) \) ajan hetkellä \( t \) (mg/cm^3), niin tämän tyyppisen ongelman ehdot johtavat relaatioon

nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus

tai

\(V\dfrac{dC}{dt}=I-kC, \)

missä \( k \) on positiivinen vakio, joka riippuu lääkeaineesta ja potilaan fysiologisista ominaisuuksista.

Huomaa, että differentiaaliyhtälön vasen puoli on yksiköinä

\(cm^3\cdot\dfrac{\dfrac{mg}{cm^3}}{min}=\dfrac{mg}{min}. \)

ja että oikean puoleinen termi \( I \) on myöskin \(\frac{mg}{min}\). Koska \( C \) on ilmaistu muodossa \( \frac{mg}{cm^3} \), nähdään, että vakion \( k \) yksikön, joka ilmaisee ulosvirtausnopeutta, on oltava \( \frac{cm^3}{min} \).

Tämä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muodossa

\(\dfrac{dC}{dt}+\bigg(\dfrac{k}{V}\bigg)C=\dfrac{I}{V}.\)

Tämän yhtälön integroiva tekijä on

\(\begin{align*}\mu=e^{\int\frac{k}{V}dt}=e^{\frac{kt}{V}}.\end{align*}\)

Kun edellinen differentiaaliyhtälö kerrotaan puolittain integroivalla tekijällä \( \mu \), niin saadaan

\(e^{\frac{kt}{V}}\dfrac{dC}{dt}+\dfrac{k}{V}e^{\frac{kt}{V}}C=\bigg(\dfrac{I}{V}\bigg)e^{\frac{kt}{V}}.\)

Täten saadaan

\( \dfrac{d}{dt}\bigg(e^{\frac{kt}{V}}C \bigg)=\bigg(\dfrac{I}{V}\bigg)e^{\frac{kt}{V}} \)

joten integroimalla puolittain saadaan

\( e^{\frac{kt}{V}}C=\int\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}dt \)

ja

\(C(t)=e^{-\frac{kt}{V}}\int\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}dt=e^{-\frac{kt}{V}}\bigg(\dfrac{V}{k}\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}+\alpha\bigg)=\frac{I}{k}+\alpha e^{-\frac{kt}{V}}\).

Käyttäen alkuarvoehtoa \( C(0)=0 \), havaitaan, että \(\alpha=-\frac{I}{k} \), joten voimme kirjoittaa ratkaisun muodossa

\( C(t)=\frac{I}{k}-\frac{I}{k}e^{-\frac{kt}{V}}=\frac{I}{k}\bigg(1-e^{-\frac{kt}{V}}\bigg), \)

missä \( \alpha \) on integrointivakio.

Tarkastellaan lopuksi vielä, että mitä tapahtuu, kun aika kuluu. Tällöin \(\lim_{t\to\infty}C(t)=\frac{I}{k}\). Toisin sanoen potilaan kehossa olevan lääkeaineen pitoisuus saavuttaa kyllästyspisteen, joka on \( \frac{I}{k} \).

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Osoitetaan, että \( y_{1}(x)=x^{2} \) ja \( y_{2}(x)=x^{-3} \) ovat toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön

\( x^{2}y''+2xy'-6y=0\),

ratkaisut, kun \( x>0 \). Lopuksi etsitään vielä ratkaisu alkuarvo-ongelmalle \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \).

Sijoittamalla ratkaisu \( y_{1}(x)=x^{2} \) annettuun yhtälöön havaitaan, että

\(x^{2}y_{1}''+2xy_{1}'-6y_{1}=x^{2}\cdot 2+2x\cdot 2x -6\cdot x^{2}=(2+4-6)x^{2}=0\)

ja vastaavasti sijoittamalla ratkaisu \( y_{2}(x)=x^{-3} \) saadaan

\(x^{2}y_{2}''+2xy_{2}'-6y_{2}=x^{2}\cdot 12x^{-5}+2x\cdot (-3x^{-4})-6\cdot x^{-3}=(12-6-6)x^{-3}=0. \)

Molemmat ovat siis ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \).

Koska kumpikaan \( \frac{y_{1}}{y_{2}}=x^5 \) tai \( \frac{y_{2}}{y_{1}}=x^{-5} \) ei ole vakio, niin ratkaisut \( y_{1}(x) \) ja \( y_{2}(x) \) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Ratkaistaan sitten alkuarvo-ongelma \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \). Koska \( y_{1}(x) \) ja \( y_{2}(x) \) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin näiden avulla voidaan löytää uusi ratkaisu aiemmin esitetylle differentiaaliyhtälölle asettamalla

\( y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x), \)

missä \(c_{1}, c_{2}\in\mathbb{R} \) ovat vakioita.

Täten edellisen nojalla

\( y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{-3} \)

on myös differentiaaliyhtälön \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \) ratkaisu. Derivoimalla saadaan

\( y'(x)=2c_{1}x-3c_{2}x^{-4} \),

josta edelleen saadaan yhtälöpari

\(\begin{cases}c_{1}+c_{2}&=10\\2c_{1}-3c_{2}&=5.\end{cases}\)

Ratkaistaan yhtälöpari helposti sijoittamalla \( c_{1}=10-c_{2} \) ensimmäisestä yhtälöstä toiseen ja saadaan

\( c_{1}=7\quad\text{ ja }\quad c_{2}=3. \)

Nyt ratkaisu alkuarvo-ongelmaan \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \), \( y(1)=10 \), \( y'(1)=5 \) on

\( y(x)=7x^{2}+3x^{-3}. \)

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\)

Jokainen on varmasti havainnut korkin, puun palasen tai jonkin muun kappaleen keinuvan ylös ja alas jossakin nesteessä, kuten vesi. Miten tämä keinuva liike voidaan mallintaa matemaattisesti?

Kun kelluva kappale on tasapainotilassa tai levossa, niin siihen vaikuttaa kaksi vastakkaista ja yhtäsuurta voimaa. Kappaleen massa painaa kappaletta alaspäin ja nesteen aiheuttama noste nostaa kappaletta ylöspäin.

Jos häiritsemme kappaleen tasapainotilaa painamalla tai nostamalla kappaletta, ja sitten vapauttamalla sen, niin kappale alkaa keinua ylös ja alas.

Kappaleen liikkeen fysikaalisena periaatteena on Newtonin toinen laki: \( F=ma \), massan ja kiihtyvyyden tulo on yhtäkuin kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.

Tarkastellaan esimerkiksi sylinterin muotoista kappaletta, jonka massa on jakautunut tasaisesti, tiheys on \( \rho \), poikkipinta-ala on \( A \) ja korkeus on \( L \).

Oletetaan, että kappale kelluu nesteessä, jonka tiheys on \( \rho_{\mathcal{l}} \), missä \( \rho < \rho_{\mathcal{l}} \). Tasapainotilassa tai levossa, kappale uppoaa nesteeseen kunnes kappaleen syrjäyttämän nesteen massa saavuttaa kappaleen massan. Olkoon kappaleen uppouma \( Y \).

Voidaan osoittaa, että

\( Y=\frac{\rho}{\rho_{\mathcal{l}}} L \).

Oletetaan, että kappaletta painetaan alaspäin. Merkitään syvyyttä, minkä verran kappaleesta on pinnan alapuolella ajan hetkellä \( t \), lausekkeella \( Y+y(t) \). Siten, \( y(t) \) ilmaisee kappaleen ajan kuluessa tapahtuvan muutoksen tasapainotilasta. Oletetaan, että \( y(t) \) on positiivinen, kun kappale painuu alaspäin.

Tasapainotilasta poikkeavassa tilassa kappaleeseen vaikuttava nettovoima on tyypillisesti nollasta eroava. Newtonin toinen laki, \( F=ma \), johtaa yhtälöön

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad\omega^{2}=\frac{\rho_\mathcal{l}}{\rho L} \),

missä \( g \) on gravitaatiovakio. Kappaleen poikkeama tasapainotilasta, \( y(t) \), voidaan siten löytää ratkaisemalla edellä mainittu toisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen yhtälö.

Pelkkä differentiaaliyhtälö ei riitä karakterisoimaan kappaleen liikettä yksikäsitteisesti. Tarvitaan kappaleen syvyys ja nopeus jollain tietyllä ajan hetkellä. Tämä onnistuu asettamalla alkuehdot \( y(t_{0})=y_{0} \) ja \( y'(t_{0})=y'_{0} \).

Näin ollen saadaan muodostettua alkuarvo-ongelma

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad y(0)=y_{0},\quad y'(0)=y'_{0} \),

jolla on yksikäsitteinen ratkaisu millä tahansa halutulla ajanjaksolla. Tarkastellaan kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi tapausta, jossa \( t_{0}=0 \).

Funktiot \( y_{1}(t)=\sin (\omega t) \) ja \( y_{2}(t)=\cos (\omega{2} t) \) ovat molemmat ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \). Tarkastetaan asia vielä sijoittamalla funktiot edellä mainittuun differentiaaliyhtälöön \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \) , josta saadaan

\( y(t)=C_{1}\sin (\omega t) + C_{2}\cos (\omega t)\), missä \(C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}, \)

joka on itseasiassa yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \).

Täten aiemmin esitetty alkuarvo-ongelma voidaan ratkaista sijoittamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun, josta saadaan yhtälöt

\(\begin{align*}y(0)&=C_{1}\sin(0)+C_{2}\cos(0)=y_{0},\\y'(0)&=C_{1}\omega\cos(0)-C_{2}\omega\sin(0)=y'_{0}.\end{align*} \)

Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan, että \( C_{1}=\frac{y'_{0}}{\omega} \) ja \( C_{2}=y_{0} \). Yksittäisratkaisu alkuarvo-ongelmaan on täten

\( y(t)=\frac{y'_{0} }{\omega }\sin(\omega t)+y_{0} \cos (\omega t) \).

Jos joko \( y_{0}=0 \) tai \( y'_{0}=0 \), on selvää, että ratkaisu ilmaisee sinimuotoista oskilloivaa käyttäytymistä, joka vastaa reaalimaailman havaintoja.

Opetusvideo harjoitusten aiheisiin

Muuttujat ja peruslaskutoimitukset

MATLABissa muuttujaan voidaan määritellä arvo yhtäsuuruusmerkin avulla, esim. \(\texttt{a = 2}\) MATLAB tulostaa suoritettujen komentojen tulokset ellei sitä kielletä erikseen. Jos komennon perään lisätään puolipiste (;), komento suoritetaan, mutta tulosta ei tulosteta, esim. \(\texttt{b = 5;}\) Peruslaskutoimituksia voi suorittaa esimerkiksi komennoilla +, -, * ja / ja tuloksia voidaan asettaa uuden muuttujan arvoksi, esim. \(\texttt{c = a*b}\)

Vektorit

Vektoreita voidaan syöttää hakasulkeiden avulla ja alkiot erotetaan toisistaan pilkulla tai välilyönnillä, esim. \(\texttt{d = [1 2 3]}\) \(\texttt{e = [1,2,3]}\) Edellä esitetyllä tavalla määritelty vektori on vaakavektori. Rivi saadaan vaihdettua puolipisteellä, minkä avulla voidaan muodostaa pystyvektoreita \(\texttt{f = [1; 2; 3]}\) Vektorin transpoosi saadaan myös merkeillä \(\texttt{.'}\) \(\texttt{f.'} \) Jos haluat poimia vektorista tietyn alkion, voit viitata siihen sulkeiden avulla. Esimerkiksi jos halutaan poimia edellä määritellyn vektorin \(\texttt{f}\) kolmas alkio, se saadaan näin: \(\texttt{f(3)}\) Jos halutaan poimia vektorista \(\texttt{g=[6 5 4 3 2 1]}\) toinen, kolmas ja neljäs alkio, se saadaan näin: \(\texttt{h = g(2:4)}\) Vektori voidaan kertoa skalaarilla *-merkillä \(\texttt{2*f}\) \(\texttt{f*2}\) Samanmittaisten vektoreiden alkiot voidaan pisteittäin kertoa, jakaa tai korottaa potenssiin lisäämällä laskutoimitusmerkin eteen piste, esim .* \(\texttt{f.*h}\)

Laskujen järjestäminen sulkein sekä yksinkertaisten funktioiden käyttö

Jos laskutoimituksessa yhtenä terminä on useasta muuttujasta muodostuva termi, syötetään termi sulkeisiin samalla tavalla kuin laskimella \((a+b)^2\) Joillekin laskutoimituksille on olemassa erillisiä funktioita. Tällaisia ovat esimerkiksi neliöjuuri \(\texttt{sqrt}\) ja normi \(\texttt{norm}\). Näiden syntaksi toimii yksinkertaisesti: \(\texttt{sqrt(4)}\) Lisää funktioiden käytöstä ja kirjoittamisesta MATLABilla tulossa myöhemmin kurssin aikana.

Apua ongelmatilanteissa

Jos et tiedä, mitä jonkin komento tekee, voit kirjoittaa komentoikkunaan \(\texttt{help}\) sekä etsimäsi komennon, esim. \(\texttt{help dot}\) Laajemman vastauksen saat etsimällä tietoa MATLABin dokumentaatiosta, jonka saat avattua MATLAB-ikkunan oikeassa yläkulmassa olevasta ?-painikkeesta. Myös Google on ystävä hädän hetkellä. Esimerkiksi hakusanoilla "Matlab dot product" löydät varmasti helposti tietoa pistetulon laskemisesta MATLABilla.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB1.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Risuja ja ruusuja
Anna palautetta tämän viikon sekä halutessasi menneistä MATLAB-harjoituksista.
Mikä oli hyvää? Mikä oli huonoa?
Kaikki palaute on tervetullutta, sillä palautteen avulla voidaan kehittää tehtäviä tulevaisuudessa.

Risuja ja ruusuja Anna tämän viikon MATLAB-harjoituksista palautetta. Mikä oli hyvää? Mikä oli huonoa? Kaikki palaute on tervetullutta, sillä palautteen avulla voidaan kehittää tehtäviä tämän kurssin aikana sekä tulevaisuudessa.

Q: Kuinka monta ratkaisua tehtävän 2 matriisia \(Y\) vastaavalla yhtälöryhmällä on?
- yksi
- äärettömän monta
- ei yhtäkään
A: äärettömän monta
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Rref-matriisista nähdään, että johtavia ykkösiä on kaksi ja kolmas muuttuja on vapaa. Näin ollen yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Q: Tarkastellaan pohjoiseen virtaavaa jokea, jonka leveys on \( w=2a \). Suorat \( x=\pm a \) kuvaavat joen rantoja ja y-akseli joen keskikohtaa. Oletetaan, että nopeus \( v_{R} \), jolla joki virtaa, kasvaa kun siirrytään kohti joen keskikohtaa, ja se saadaan pisteen \( x \) etäisyytenä keskikohdasta yhtälöllä

\(\begin{align*}v_{R}=v_{0}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg)\end{align*}\),

missä \( v_{0} \) on keskivirran virtausnopeus.

Voit tarkastaa edellisestä yhtälöstä, että keskellä virtaus on nopein eli \( v_{R}=v_{0} \) ja hitain reunoilla eli \( v_{R}=0 \).

Oletetaan, että uimari aloittaa uintinsa joen länsirannalta pisteestä \( (-a,0) \) ja ui itään tasaisella nopeudella \( v_{S} \). Uimarin nopeusvektorissa on horisontaalinen komponentti \( v_{S} \) ja vertikaalinen komponentti \( v_{R} \). Siten uimarin suuntakulma \( \alpha \) saadaan yhtälöstä

\(\begin{align*}\tan{(\alpha)}=\dfrac{v_{R}}{v_{S}}.\end{align*}\)

Koska nyt \( \tan{(\alpha)}=dy/dx \), niin sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan differentiaaliyhtälö

\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg),\end{align*}\)

josta saadaan uimarin reitti \( y=y(x) \), kun hän ylittää joen.

Tehtävä:

Ohje: Älä lisää yksiköitä vastauksiisi! Viisi yritystä sallitaan.

Oletetaan, että joki virtaa pohjoiseen, sen leveys on [value] km ja sen virtausnopeus keskivirrassa on [value] km/h. Uimari aikoo ylittää joen uimalla tasaista nopeutta [value] km/h ja aloittaa uintinsa länsirannalta.

a) Mihin muotoon uimarin reitin ilmaiseva differentiaaliyhtälö kirjoitetaan?

\(\dfrac{dy}{dx}=\)

b) Mitä saadaan, kun a-kohdan yhtälö integroidaan puolittain? Käytä integrointivakiona kirjainta \( C \).

\(y(x)=\)

c) Mikä on alkuehto?

\(y\bigg(\) \(\bigg)=\)

d) Mitä saadaan integrointivakion \( C \) arvoksi? Tarkka arvo, ei desimaalilukua.

\(C=\)

e) Mikä on tällöin uimarin reitin ilmaiseva tietty funktio?

\(y(x)=\)

f) Kuinka pitkän matkan (km) uimari ajelehtii pohjoiseen uidessaan joen yli? Anna vastaus desimaalilukuna, kahden desimaalin tarkkuudella.

Matka=
Feedback: Mallivastaus: Uimarin nopeus on \( v_{S}=\) [value] km/h, joen leveys on \(w=\) [value] km ja keskivirran nopeus on \(v_{0}=\) [value] km/h, joten sijoitetaan nämä arvot yhtälöön \(\begin{align*}\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg),\end{align*}\) josta saadaan \(\begin{align*}\dfrac{dx}{dy}=[value]\end{align*}\). Integroidaan [value], josta saadaan [value]. Alkuehto on \( y([value])=[value] \), koska uidaan länsirannalta itärannalle. Integrointivakion \( C \) arvo on [value]. Uimarin reitin ilmaiseva funktio on \( y(x)=[value] \). Uimari ajelehtii pohjoiseen [value] km.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\sum_{i=1}^{n}n=n^2\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Funktion derivoiminen on tärkeimpiä työkaluja, joita tarvitaan tarkastellessa optimointiin liittyviä ongelmia. Kannattaa jakaa derivointi osiin ja lopuksi yhdistää ne.

Kaavat:

\(\textbf{1.}\dfrac{d}{dx}(c)=0\) | \(\textbf{2.}\dfrac{d}{dx}[cf(x)]=cf'(x) \)
\(\textbf{3.}\dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\) | \(\textbf{4.}\dfrac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=f'(x)-g'(x)\)
\( \textbf{5.}\dfrac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\) | \(\textbf{6.}\dfrac{d}{dx}\bigg[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \bigg]=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}} \)
\(\textbf{7.}\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\) | \(\textbf{8.}\dfrac{d}{dx}(x^{n})= nx^{n-1}\)

Exponentti- ja logaritmifunktiot:

\(\textbf{9.}\dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x} \) | \(\textbf{10.}\dfrac{d}{dx}(a^{x})=a^{x}\ln{a} \)
\(\textbf{11.}\dfrac{d}{dx}\ln\vert x\vert =\dfrac{1}{x} \) | \(\textbf{12.}\dfrac{d}{dx}(\log_{a}{x})=\dfrac{1}{x\ln{a}} \)

Trigonometriset funktiot:

\(\textbf{13.}\dfrac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x} \) | \(\textbf{14.}\dfrac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x} \)
\(\textbf{15.}\dfrac{d}{dx}(\tan{x})=1+\tan^{2}{x}=\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}=\sec^{2}{x} \) |

Huom: teknisistä syistä, kannattaa käyttää tangentin derivoinnissa sekanttimuotoa.

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos{t},\sin{t}), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \).

[Image]

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos{2t},\sin{2t}), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos{-t},\sin{-t})=(\cos{t},-\sin{t}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t+\pi /2},\sin{t+\pi /2}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t},\sin{t}), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r'(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image] [Image]

Yllä olevissaa kuvaajissa on molemmissa parametrisoinneissa vielä kolmaskin komponentti, jotka molemmat ovat nollia. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ympyrä on piirretty \( z=0 \) tasolle ja sitä katsotaan (vasen kuva) ylhäältä päin. Tässä tasokäyrä on siis piirretty avaruuskäyräksi (oikea kuva)!

Ylläolevan kuvan voi piirtää myös suoraan tasokäyräksi, mutta tällöin kolmas komponentti jätetään pois.

On erittäin tärkeää huomata, että funktioita ja avaruuskäyriä voidaan piirtää samaan kuvaajaan, ja erityisesti tasokäyriä voidaan piirtää avaruudessa oleville tasoille.

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

\( \textbf{Esimerkki 1.1.}\) Tarkastellaan kappaletta, joka liikkuu vaakasuunnassa (x-akseli). Kappaleen nopeus ajanhetkellä \( t \) saadaan funktiosta \( v(t)=12-t^2 \). Aluksi etsitään kappaleen sijainti \( x \) missä tahansa positiivisessa ajassa \( t \).

Koska funktio \( v(t) \) on sijaintifunktion derivaatta, voidaan muodostaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
\(\begin{align*}\dfrac{dx}{dt}=12-t^2\end{align*} \)
kuvaamaan tarkasteltavaa ongelmaa.

Täten integroimalla molemmin puolin saadaan
\(\begin{align*}x(t)=\int dx=\int\dfrac{dx}{dt}dt=\int 12-t^2 dt=12t-\dfrac{t^3}{3}+C.\end{align*}\)
Nyt \( x(t) \) kertoo kappaleen sijainnin positiivisella ajan hetkellä \( t \). Ts. mikä tahansa funktioparven \( x(t)=12t-\dfrac{t^3}{3}+C \) funktio sopii ratkaisuksi. Mutta, jos meillä on hiukan lisätietoa, niin saadaan ratkaistua arvo integrointivakiolle \( C \).

Oletetaan, että tiedetään, että kappale on kohdassa \( x=-5 \) kun \( t=1 \). Tällöin voimme käyttää tätä alkuarvoehtona, josta saadaan
\(\begin{align*}-5=x(1)=12\cdot1-\dfrac{1^3}{3}+C\end{align*}\) tai \(\begin{align*}-5=\frac{35}{3}+C.\end{align*}\)

Jälkimmäisestä saadaan \( C=\dfrac{-50}{3} \), joten kappaleen sijainti ajan hetkellä \( t \) saadaan tietyllä funktiolla, joka on
\(\begin{align*}x(t)=12t-\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{50}{3}=12t-\dfrac{(t^3+50)}{3}.\end{align*}\)

Alkuarvoehto \( x(1)=-5 \) valittiin satunnaisesti. Mikä tahansa \( x(t_{0})=x_{0} \) olisi johtanut integrointivakion \( C \) arvon määrittämiseen ja tarkasteltavan ongelman tietyn ratkaisun löytämiseen.

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

Matriisin syöttäminen ja alkioihin viittaaminen

Matriisit syötetään vektorien tapaan käyttäen hakasulkeita. Puolipiste (;) vaihtaa riviä. Saman rivin alkiot erotetaan pilkuin tai välilyönnein. A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Matriisin alkioita indeksoidaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. Edellä määritellyn matriisin A kolmas alkio on 7 ja neljäs alkio on 2. Alkioihin voidaan viitata käyttäen rivin ja sarakkeen indeksejä. Matriisin A toisen rivin kolmas alkio: A(2,3) Kaksoispisteellä viitataan dimension kaikkiin alkioihin. Matriisin A ensimmäinen rivi: A(1,:) Useaan riviin/sarakkeeseen viitataan merkitsemällä indeksit vektoriksi. Matriisin A toisen ja kolmannen rivin ensimmäinen ja kolmas alkio: A([2 3],[1 3])

repmat ja reshape

Samaa matriisia voidaan monistaa komennolla repmat. Funktio repmat ottaa kolme argumenttia: - Monistettavan matriisin - Montako kertaa monistetaan allekkain - Montako kertaa monistetaan vierekkäin Matriisi A saadaan monistettua kaksi kertaa allekkain ja kolme kertaa rinnakkain näin. repmat(A,2,3) Äskeinen komento vastaa määrittelyä [1 2 3 1 2 3 1 2 3; 4 5 6 4 5 6 4 5 6; 7 8 9 7 8 9 7 8 9; 1 2 3 1 2 3 1 2 3; 4 5 6 4 5 6 4 5 6; 7 8 9 7 8 9 7 8 9] Komennolla reshape saadaan muutettua matriisin dimensioita säilyttäen alkuperäiset alkiot. Funktio reshape ottaa kolme argumenttia: - Muokattava matriisi - Rivien lukumäärä uudessa matriisissa - Sarakkeiden lukumäärä uudessa matriisissa Merkitsemällä toisen tai kolmannen argumentin paikalle hakasulkeet [], MATLAB laskee itse tämän dimension arvon matriisin alkioiden määrän mukaisesti. HUOM! Matriisien alkioiden määrä pitää olla jaollinen syötetyillä rivien ja sarakkeiden lukumäärällä. Lisätietoa komennosta saat helpistä tai dokumentaatiosta.

Matriisin koko

Matriisin koko saadaan selville komennolla size. Komentoon voi syöttää vain matriisin tai toisena argumenttina sen dimension, josta ollaan kiinnostuneita. Esimerkiksi matriisin A sarakkeiden lukumäärä saadaan komennolla size(A,2) Komento size(A) antaa vektorin, jossa on ensin rivien lukumäärä ja sitten sarakkeiden lukumäärä. Komento length antaa paluuarvona matriisin suurimman dimension arvon.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB2.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkki tehtäviin:

help rref

Q: Derivoi funktio:

\( i(x)=[value] \)

\(i'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.

div>

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

ones, zeros, eye

Funktio \(\texttt{ones}\) tuottaa matriisin, jossa on vain ykkösiä. Funktio tuottaa neliömatriisin, jos siinä käyttää yhtä argumenttia. Kahdella argumentilla voi määritellä sarakkeiden ja rivien lukumäärän erikseen. Vastaavalla tavalla pelkkiä nollia sisältävän matriisin tuottaa komento \(\texttt{zeros}\). Yksikkö- eli identiteettimatriisin tuottaa komento \(\texttt{eye}\).

Matriisien laskutoimitukset

Matriisien laskutoimitukset toimivat komennoilla \(\texttt{*}\), \(\texttt{-}\) ja \(\texttt{*}\). Tällöin tulee huolehtia, että dimensiot ovat matriisilaskusääntöjen mukaiset. Pisteittäin matriisit voidaan kertoa, kun lisätään kertomerkin eteen piste (\(\texttt{.*}\)). Matriisin alkiot voidaan korottaa pisteittäin potenssiin myös lisäämällä piste eksponenttimerkin eteen (\(\texttt{.^}\)). Matriisin korotus potenssiin (ilman pistettä edessä) tarkoittaa matriisilaskennan teorian mukaista matriisipotenssia.

Satunnaismatriisit

Erilaisia satunnaismatriiseja voidaan tuottaa usealla eri komennolla. \(\texttt{rand}\) tuottaa satunnaislukuja tasaisesta jakaumasta [0,1]. \(\texttt{randn}\) tuottaa satunnaislukuja normitetusta normaalijakaumasta. Dokumentaatiosta ja googlaamalla löydät lisää satunnaislukujen generoimisesta.

\(\texttt{for}\)-silmukka

\(\texttt{for}\)-silmukka käy läpi vektorin avulla määritellyn kierrosmäärän verran koodia, joka on rajattu sanojen \(\texttt{for}\) ja \(\texttt{end}\) väliin. Kierroksia käydään yhtä monta, kuin määrittelyyn syötetyssä vektorissa on alkioita. Kyseistä kierrosta vastaavaa vektorin alkiota voidaan käyttää muuttujana haluttaessa. Hyviä esimerkkejä \(\texttt{for}\)-silmukan käytöstä löydät MATLABin dokumentaatiosta.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB3.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkki tehtäviin:

Teht2: Mihin alkioon summa tallennetaan kullakin toisen for-silmukan kierroksella.

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

Käänteismatriisi

MATLAB muodostaa matriisin A käänteismatriisin komennolla \(\texttt{inv(A)}\) Jos matriisi A on singulaarinen tai "lähes singulaarinen", MATLAB antaa varoitusilmoituksen. Käänteismatriisi voidaan muodostaa myös Gaussin eliminointimenetelmällä. Eri funktiot (tai itse rakennetut tavat) käyttävät eri algoritmeja käänteismatriisin muodostamiseen, minkä vuoksi saadut käänteismatriisit eivät ole välttämättä täysin identtiset.

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu

Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla, mutta MATLABissa se ei ole laskennallisesti tehokasta. Seuraavat funktiot ja komennot ovat huomattavasti tehokkaampia. Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisu \(\mathbf{x}\) saadaan komennolla \(\texttt{mldivide(A,b)}\) tai \(\texttt{A\\b}\). Yhtälöryhmän \(\mathbf{x}A=\mathbf{b}\) ratkaisu saadaan komennolla \(\texttt{mrdivide(A,b)}\) tai \(\texttt{A/b}\). Jos yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, vastaukseksi saadaan pienimmän neliösumman ratkaisu. PNS-menetelmään palataan viimeisellä viikolla.

meshgrid ja surf

3D-pintoja voidaan piirtää komennolla \(\texttt{surf}\) (sanasta surface). Komento luo koordinaattipisteiden välille pinnan. Ensin kuitenkin pitää luoda pisteikkö. Ensin määritellään vektorit, esim. \(\texttt{x}\) ja \(\texttt{y}\), jotka sisältävät halutun ruudukon pisteiden x- ja y koodrinaatit. Komento \(\texttt{[X Y]=meshgrid(x,y)}\) luo matriisit \(\texttt{X}\) ja \(\texttt{Y}\) siten, että \(\texttt{X}\) sisältää jokaista pistettä vastaavat x-koordinaatit ja \(\texttt{Y}\) sisältää pisteitä vastaavat y-koordinaatit. Tämän jälkeen luodaan matriisi (esim. \(\texttt{Z}\)), joka sisältää haluttujen pisteiden z-koordinaatit. 3D-pinta voidaan nyt muodostaa komennolla \(\texttt{surf(X,Y,Z)}\). \(\texttt{surf}\)-funktion ensimmäinen argumentti on matriisi, joka sisältää siis pisteiden x-koordinaatit, toinen argumentti sisältää y-koordinaatit ja kolmas z-koordinaatit. Näin ollen argumenttina toimivien matriisien dimensioiden tulee täsmätä. Palauta mieleesi MATLABin alkeista, miten voit tallentaa kuvaajan "handlen" ja miten saat sen asetuksia muutettua.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB4.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Harjoitus 5

Tällä kerralla ei ole annettu valmiiksi komentoja ja niihin syntaksiohjeita eikä aiheesta ole opetusvideota. Muutaman komennon saat etsiä itse, mutta ne löydät helposti dokumentaatiosta.

Harjoitustehtävät

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB5.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkkejä

nolla-avaruus = null space Kertaa matriisiyhtälön ratkaisu MATLABilla viime harkoista.

Harjoitus 6

Osaat jo etsiä itse tietoa MATLABin komennoista niin jouhevasti, ettei opetusvideoita tarvita eikä valmiita komentoja enää tarvitse opettaa. Kertaa kuitenkin MATLABin alkeista sovitteen tekeminen pistejoukkoon polyfit-komennolla sekä alkeiden samalta kerralta Curve Fitting -työkalun käyttö. Jotkut MATLABin funktiot on rakennettu niin, että ne voivat antaa yhden tai useamman paluuarvon riippuen määrittelystä. Määrittely menisi kutakuinkin tähän tapaan eri tapauksissa: Yksi paluuarvo: \(\texttt{x=omafunktioni(n,s)}\) Kaksi paluuarvoa: \(\texttt{[x y]=omafunktioni(n,s)}\)

Harjoitustehtävät

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB6.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkkejä

ominaisarvo = eigenvalue, ominaisvektori = eigenvector

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^3}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Funktiot

Funktiot, joita tutkitaan optimointi -modulissa, ovat muotoa \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R} \) olevia funktioita, missä \( n\in\{1,2,3\} \). Toisin sanoen funktioita, jotka ovat reaaliarvoisia yhden- tai useamman muuttujan funktioita.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.} \) Käydään läpi muutamia esimerkkejä edellä mainituista funktioista.

- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=x^3 \) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y)=x^3-2y+1 \) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y,z)=x^2+3y-z \) on kolmen muuttujan reaaliarvoinen funktio.

Q: Derivoi funktio:

\( j(x)=[value] \)

\(j'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Derivoi funktio:

\( k(x)=[value] \)

\(k'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

1. Usean muuttujan funktion kriittiset pisteet

Määritelmä kriittiselle pisteelle säilyy periaatteessa ennallaan, kun tarkastellaan yhden muuttujan funktioiden sijasta usean muuttujan funktioita.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Funktion \( f \) kriittinen piste on funktion \( f\) määrittelyjoukon \( D \) piste \( c \), jossa kaikki osittaisderivaatat ovat nollia.

On kuitenkin hyvä huomata, että siinä missä yhden muuttujan funktiolla on yleensä kriittisiä pisteitä vain yksittäisissä pisteissä (pois lukien vakiofunktio), niin usean muuttujan funktioilla voi olla kokonaisia kriittisten pisteiden muodostamia joukkoja, kuten janoja tai suoria.

\( \textbf{Esimerkki 1.2.}\) Funktion \( f(x,y)=x^2 \) kriittiset pisteet sijaitsevat suoralla \( x=0 \), joten kriittisten pisteiden joukko on \( A=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=0 \} \).

[Image]

2. Käyrät ja parametrisointi

Tarkastellaan yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota

\( \begin{align*}r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n},  r(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)) \end{align*}\).

Funktioita \( x_{i}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kutsutaan funktion \( r \) koordinaattifunktioiksi tai komponenttifunktioiksi.

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Vektoriarvoisen funktion raja-arvo pisteessä \(t_{0}\in[a,b] \), merkitään \( \lim_{t\rightarrow t_{0}} r(t)\), on vektori

\(\begin{align*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=\bigg(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\ldots ,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t) \bigg), \end{align*}\)

mikäli koordinaattifunktioiden raja-arvot ovat olemassa. Edelleen \( r \) on jatkuva pisteessä \(t_{0} \), jos

\(\begin{align*} r(t_{0})=\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t) \end{align*}\)

ja jatkuva, jos \( r \) on jatkuva jokaisella \( t\in[a,b]. \)

\( \textbf{Lause 2.2.}\) Vektoriarvoinen funktio on jatkuva jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \( x_{i}(t) \) ovat jatkuvia.

Geometrisesti jatkuvuus tapauksessa \( n=2 \) tarkoittaa sitä, että "kuva voidaan piirtää kynää nostamatta".

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Jos funktio \( r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) on jatkuva, niin sitä kutsutaan parametrisoiduksi käyräksi. Kuvajoukko \( C=r([a,b])=\{ r(t)\mid t\in[a,b] \} \) on käyrän jälki tai lyhyesti käyrä. Kun \( n=2 \), puhutaan tasokäyrästä ja kun \( n=3 \), puhutaan avaruuskäyrästä. Pistettä \( r(a) \) kutsutaan käyrän alkupisteeksi ja pistettä \( r(b) \) loppupisteeksi.

Käyrän jälki \( C \) voidaan ilmoittaa myös muulla tavoin kuin antamalla lauseke \( r(t) \), jolloin tarvittaessa muodostetaan parametrisointi.

Varoituksena todettakoon, että käyrällä \( C \) on aina äärettömän monta erilaista parametrisointia.

\( \textbf{Huomautus 2.4.}\) Jatkuvan funktion \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kuvaajalle \( y=f(x) \) voidaan aina ottaa parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=(t,f(t)), \ t\in [a,b]. \end{align*}\)

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos(t),\sin(t)), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

[Image]

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos(t) \) ja \( y=\sin(t) \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos(t) \) ja \( y=\sin(t) \).

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos(2t),\sin(2t)), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos(-t),\sin(-t))=(\cos(t),-\sin(t)), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos(t+\pi /2),\sin(t+\pi /2)), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos(t),\sin(t)), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r_{1}(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r_{2}(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image]

\( \textbf{Huomautus 2.6.}\) Olkoot \( a \) ja \( b \) tason pisteitä. Pisteiden \( a \) ja \( b \) kautta kulkevan suoran virittäjävektoriksi voidaan valita \( d=b-a \), jolloin piste \( x \) on suoralla, jos ja vain jos \( x=a+td \) jollakin \( t\in\mathbb{R}. \) Pistettä \( a \) kutsutaan kauttakulkupisteeksi.

\( \textbf{Esimerkki 2.7.}\) Alla olevaan kuvaan on piirretty pisteet \( x \) parametrin \( t \) arvoilla \( t=-\frac{1}{2} \) ja \( t=0 \) (piste \( a \)), \( t=1 \) (piste \( b \)) ja \( t=\frac{3}{2} \). Suoran parametrisoinniksi siis käy

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in\mathbb{R}, \end{align*} \)

ja pisteitä \( a \) ja \( b \) yhdistävän janan parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in[0,1].\end{align*} \)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.8.}\) Parametrisoidaan käyrä, jonka alkupiste on \( a=(-2,-3) \) ja loppupiste \( b=(3,1) \).

Parametrisoidaan jana \( ab \)

\(\begin{align*}r(t)&=a+t(b-a)\\&=(-2,-3)+t((3,1)-(-2,-3))\\ &=(-2,-3)+t(5,4)\\&=(-2,-3)+(5t,4t)\\&=(5t-2,4t-3), \end{align*}\)

missä \(t\in[0,1] \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( r(0)=(-2,-3) \) ja \( r(1)=(3,1) \).

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.9.}\) Etsitään parametrisointi sellaisen kolmion reunajanoille, jonka kärkipisteet ovat \( a=(-2,-2) \), \( b=(-1,2) \) ja \(c=(3,1) \). Ensiksi parametrisoidaan janat \( ab \), \( bc \) ja \( ca \).

Janan \( ab \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( u \)

\(\begin{align*}u(t)&=a+t(b-a)\\&=(-2,-2)+t((-1,2)-(-2,-2))\\&=(-2,-2)+t(1,4)\\&=(-2,-2)+(t,4t)\\&=(t-2,4t-2),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( u(0)=(-2,-2) \) ja \( u(1)=(-1,2) \).

Sitten janan \( bc \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( v \)

\(\begin{align*}v(t)&=b+t(c-b)\\&=(-1,2)+t((3,-1)-(-1,2))\\&=(-1,2)+t(4,-3)\\&=(-1,2)+(4t,-3t)\\&=(4t-1,3t+2),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan  alku- ja päätepisteet: \( v(0)=(-1,2) \) ja \( v(1)=(3,-1) \).

Lopuksi janan \( ca \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( w \)

\(\begin{align*}w(t)&=c+t(a-c)\\&=(3,-1)+t((-2,-2)-(3,-1))\\&=(3,-1)+t(-5,-1)\\&=(3,-1)+(-5t,-t)\\&=(-5t+3,-t-1),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan  alku- ja päätepisteet: \( w(0)=(3,-1) \) ja \( w(1)=(-2,-2) \).

[Image]

Nyt on hyvä kerrata, että tässäkin tapauksessa erilaisia parametrisointeja on ääretön määrä. Kuitenkin janojen ja suorien ollessa kyseessä on tämän ja edellisen esimerkin kaltainen parametrisointi, jossa \( t\in[0,1] \), sovelluksissa useimmiten suotavaa.

2. Epälineaarisen yhtälöparin ratkaisu sijoittamalla

Kriittisten pisteiden etsiminen usean muuttujan funktioille palautuu homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen, joka ei aina ole lineaarinen. Ratkaiseminen saattaa kuitenkin onnistua käyttämällä sijoitusmenetelmää ja tulon nollasääntöä.

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=-x^{2}y^{2}+xy^{2}+y \) kriittiset pisteet. Muodostetaan ensin funktion \( f \) osittaisderivaatat

\(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=-2xy^{2}+y^{2},\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-2x^{2}y+2xy+1.\end{align*} \)

Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat derivaatat ovat nollia.

\(\begin{cases}-2xy^{2}+y^{2}&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases} \)

\(\begin{cases}y^{2}(-2x+1)&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases} \)

Ensimmäinen yhtälö toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( -2x+1=0 \). Yhtälöpari jakautuu kahdeksi yhtälöpariksi

\(\begin{cases}y&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases} \)

ja

\(\begin{cases}-2x+1&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0.\end{cases} \)

Ensimmäisellä yhtälöparilla ei ole ratkaisua, sillä kun \( y=0 \) sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan epätosi yhtälö \( 1=0 \).

Jälkimmäisen yhtälöparin ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \( x=\dfrac{1}{2} \), joka sijoitetaan toiseen yhtälöön

\(\begin{align*}-2\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{2}y+2\dfrac{1}{2}+1&=0,\\y&=-2. \end{align*} \)

Näin ollen funktion \( f \) ainoa kriittinen piste on \(\bigg( \dfrac{1}{2},-2\bigg) \).

3. Yhden muuttujan funktion ääriarvot

Tarkastellaan seuraavaksi miten etsitään yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet ja määritetään ääriarvot. Optimoitavaa ongelmaa voidaan usein mallintaa jollakin funktiolla, jolloin optimoitava ongelma voidaan ratkaista etsimällä tämän funktion ääriarvot.

\( \textbf{Määritelmä 3.1.}\) Funktion \( f \) kriittinen piste on funktion \( f\) määrittelyjoukon \( D \) piste \( c \), jolla pätee joko \( f'(c)=0 \) tai \( f'(c) \) ei ole määritelty.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^2 \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x, \end{align*} \)

josta voidaan ratkaista derivaatan \( f'(x)=2x \) nollakohta

\(\begin{align*}f'(x)&=0,\\2x&=0,\\x&=0, \end{align*} \)

joten kriittinen piste on \( x=0 \).

[Image]

\(\textbf{Esimerkki 3.3.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^3+2x-8x  \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^3+2x-8x)=3x^2+4x-8. \end{align*} \)

Koska funktion \( f \) derivaatta \( f'(x)=3x^2+4x-8 \) on toisen asteen polynomi, niin sen nollakohdat ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

\(\begin{align*}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}. \end{align*} \)

Sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa derivaattaan \( f' \) ja etsitään sen nollakohdat

\(\begin{align*}x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 3 \cdot (-8)}}{2\cdot 3},\\&=\dfrac{-4\pm\sqrt{112}}{6},\\&=\dfrac{-4\pm 4 \sqrt{7}}{6},\\&=\dfrac{-2\pm 2 \sqrt{7}}{3}, \end{align*} \)

josta saadaan nollakohdiksi \( \Bigg\{\dfrac{2\sqrt{7}-2}{3},\dfrac{-2\sqrt{7}-2}{3}\Bigg\}  \), jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet.

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.4.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi.

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Aiemmassa esimerkissä 3.2 tutkittiin funktiota \( f(x)=x^2 \). Funktion \( f \) globaali minimi on pisteessä \( x=0 \) ja globaalia maksimia ei ole olemassa.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Funktiolla \( f(x)=x^3 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on kriittinen piste \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.7.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos on olemassa avoin väli \( ]a,b[ \) siten, että \( c\in ]a,b[ \) ja \( f(c)\geq f(x) \) jokaisella \( x\in ]a,b[ \).

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos on olemassa avoin väli \( ]a,b[ \) siten, että \( c\in ]a,b[ \) ja \( f(c)\leq f(x) \) jokaisella \( x\in ]a,b[ \).

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Tarkastellaan funktiota \( f(x)=\dfrac{x^6}{6}-2x^5+\dfrac{35x^4}{4}-\dfrac{50x^3}{3}+12x^2 \).

[Image]

Funktion \( f \) kuvaajasta näemme, että funktiolla \( f \) on kaksi globaalia minimiä, yksi lokaali minimi ja kaksi lokaalia maksimia, mutta ei yhtään globaalia maksimia. Funktiolla \( f \) ei ole yhtään globaalia maksimia, koska derivaattaa \( f' \) tutkimalla voidaan selvittää, että \( f(x) \longrightarrow \infty \), kun \( x \longrightarrow -\infty \) ja \( f(x) \longrightarrow \infty \), kun \( x \longrightarrow \infty \).

Jos funktion määrittelyjoukko olisi rajoitettu vaikkapa välille \( [0,4] \), niin tällöin funktiolla \( f \) olisi kaksi globaalia maksimia, kaksi globaalia minimiä ja yksi lokaali minimi.

\( \textbf{Lause 3.9.}\) Jos funktio \( f \) on jatkuva suljetulla välillä \( [a,b] \), niin funktio \( f \) saavuttaa globaalin maksiminsa ja miniminsä joissakin suljetun välin \( [a,b] \) pisteissä.

\( \textbf{Lause 3.10.}\) Jos funktiolla \( f \) on lokaali maksimi tai minimi pisteessä \( c\), ja jos \( f'(c) \) on olemassa, niin \( f'(c)=0 \).

\( \textbf{Huomautus 3.11.}\) Jos \( f'(c)=0 \), jossakin pisteessä \( c \), niin siitä ei seuraa, että tässä pisteessä olisi maksimi tai minimi! Esimerkissä 3.6 tarkasteltiin funktiota \( f(x)=x^3 \) ja sillä pätee \( f'(0)=0 \) pisteessä \( x=0 \), mutta kuitenkaan funktiolla \( f \) ei ole maksimia tai minimiä.

\( \textbf{Huomautus 3.12.}\) Funktion \( f \) ääriarvojen eli maksimien tai minimien etsinnässä suljetulla välillä \( [a,b] \) on seuraavat vaiheet: etsi funktion \( f \) kriittiset pisteet avoimelta väliltä \( ]a,b[ \), laske funktion \( f\) arvot kriittisissä pisteissä, laske funktion \( f \) arvot suljetun välin \( [a,b] \) päätepisteissä ja lopuksi määritä ääriarvojen laatu vertaamalla arvoja keskenään.

4. Sijoitus

Joskus on tarpeen löytää usean muuttujan funktion suurin ja pienin arvo tasossa tai avaruudessa kulkevan käyrän pisteiden joukosta. Mikäli käyrän parametrisointi tunnetaan, voidaan sen avulla palauttaa ääriarvotarkastelu yhden muuttujan funktion ääriarvojen tutkimiseksi. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tätä prosessia.

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=x^2 + y \) maksimit ja minimit suoran siltä osalta, jossa \( 0 \leq x \leq 1 \) eli janalta, jonka päätepisteet ovat \( (0,-2) \) ja \( (1,-1) \).

Suoran pisteille pätee \( y=x-2 \), joten voidaan määritellä \( f(x,y)=f(x,x-2)=x^{2}+x-2:=h(x) \), missä \( 0 \leq x \leq 1 \). Derivoidaan funktio \( h(x) \), joksi saadaan \( h'(x)=2x+1 \). Funktio \( h(x) \) saavuttaa maksiminsa ja miniminsä joko välin päätepisteissä tai sen derivaatan nollakohdassa. Funktion \( h(x) \) derivaatan nollakohta on \( x=-\frac{1}{2} \). Derivaatan nollakohta ei ole välillä \( 0\leq x \leq 1 \), joten se hylätään.

Määritetään funktion \( h(x) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja: \( h(0)=-2 \) ja \( h(1)=0 \).

Näin ollen maksimiksi saadaan \( 0 \) pisteessä \( x=1 \) ja minimiksi \( -2 \) pisteessä \( x=1\).

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=x^{4} +(y-2)^{2} \) maksimit ja minimit paraabelin siltä osalta, missä \( -2 \leq x \leq 2 \).

Paraabelin pisteille pätee \( y=x^2 \), joten voidaan määritellä \( f(x,y)=f(x,x^2)=x^{4}+(x^{2} - 2)^{2}=2x^{4}-4x^{2}+4:=h(x) \), missä \( -2 \leq x \leq 2 \). Derivoidaan funktio \( h(x) \) ja saadaan derivaataksi \( h'(x)=8x^3-8x \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joiksi saadaan \( x=0, x=-1 \) ja \( x=1 \). Kaikki derivaatan nollakohdat ovat määrittelyvälillä \( [-2,2] \), joten ne kaikki huomioidaan.

Määritetään funktion \( h(x) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja: \( h(-2)=20, h(2)=20, h(0)=4, h(-1)=2 \) ja \( h(1)=2 \).

Näin maksimiksi saadaan \( 20 \) paraabelin päätepisteissä \( x=-2 \) ja \( x=2 \) ja minimiksi \( 2 \) paraabelin pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \).

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Etsitään funktion \( f(x,y,z)=\dfrac{xy}{z} \) maksimit ja minimit käyrältä \( r(t)=(1+t,t,-3) \), missä \( -1 \leq t \leq 1 \).

Sijoitetaan käyrän komponenttifunktiot funktioon \( f \) ja määritetään, että \( f(x,y,z)=\frac{xy}{z}=\frac{(1+t)t}{-3}=\frac{t^{2}+t}{-3}:=h(t) \). Derivoidaan funktio \( h(t) \) ja saadaan derivaataksi \( h'(t)=\frac{-6t-3}{9}\). Ratkaistaan derivaatan \( h'(t) \) nollakohdat, joita on vain yksi ja joksi saadaan \( t=-\frac{1}{2} \).

Määritetään funktion \( h(t) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja. Koska \( h(-1)=0 \), \( h\big(-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{12} \), ja \( h(1)=-\frac{2}{3} \), niin maksimi on \( \frac{1}{12} \) ja minimi \( -\frac{2}{3} \).

Q: Anna komento, jolla saat määriteltyä 3x5 matriisin M, jonka alkiot ovat satunnaisia kokonaislukuja väliltä -10..10. Täydennä alla olevan määrittelyn yhtäsuuruusmerkin oikea puoli siten, että siinä ei ole yhtään välilyöntiä ja kaikki argumentit ovat vektoreita. Vektorien alkiot on erotettu toisistaan pilkuin. Älä merkitse puolipistettä rivin perään. Kaikki tästä poikkeavat vastaukset merkitään virheellisiksi. Esimerkkinä syntaksista täysin fiktiivinen funktio \(\texttt{rajat([xmin,ymin],[xmax,ymax])}\)

\(\texttt{M = }\)
A: randi([-10,10],[3,5])
Feedback: Komento \(\texttt{randi}\) tuottaa satunnaisia kokonaislukuja. Oletusarvoisesti funktio tuottaa kokonaislukuja ykkösestä ylöspäin, mutta sille voidaan syöttää myös muut rajat. Lisäargumenteilla voidaan määritellä matriisin koko. Lisätietoa löydät dokumentaatiosta.

Q: Ratkaise polynomin \( p(x)=[value] \) juuret.

\(x_{1}= \)

\(x_{2}= \)
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan polynomi \( [value] \) toiseen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nyt, \( \begin{align*} x&=\dfrac{-(-([value]+[value]\cdot i))\pm\sqrt{(-([value]+[value]\cdot i))^{2}-[value]}}{2\cdot 1},\\ &=\frac{[value]+[value]\cdot i\pm\sqrt{([value]+[value]\cdot i)^{2}-[value]}}{2},\\ &=\dfrac{[value]+[value]\cdot i\pm\sqrt{([value]-[value])^{2}}}{2},\\ &=\dfrac{[value]+[value]\cdot i\pm [value]-[value]}{2}, \end{align*} \) josta saadaan juuriksi \( x_{1} = [value]\) ja \( x_{2}=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Maksimi ja minimi usean muuttujan funktioille

Usean muuttujan funktion maksimin ja minimin käsitteet ovat samankaltaiset kuin yhden muuttujan funktioiden vastaavat. Kerrataan kuitenkin vielä määritelmät.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi.

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Määritelmä 1.2.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on jossakin pisteen \( x \) ympäristössä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on jossakin pisteen \( x \) ympäristössä, joka sisältää pisteen \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 1.3}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2-y^2 \) on yksi globaali maksimi, eikä yhtään globaalia minimiä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.4}\) Funktiolla \(f(x,y)=-x^4+20x^2-y^4+20y^2 \) on neljä globaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.5}\) Funktiolla \( f(x,y)= -{{y}^{4}}+6{{y}^{3}}+13{{y}^{2}}-90y-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}-90x+144 \) on yksi globaali maksimi, kolme lokaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.6}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2+y^2 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on yksi satulapiste. Satulapiste sijaitsee kriittisessä pisteessä, mutta se ei täytä määritelmien ehtoja maksimille tai minimille. Montako satulapistettä on aiemmissa esimerkeissä?

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.7}\) Funktiolla \( f(x,y)=\sin(2x)+\sin(2y) \) on äärettömästi maksimeja ja minimejä.

[Image]

2. Funktion jatkuvuus

Usean muuttujan funktion jatkuvuus on analoginen yhden muuttujan funktion tapauksen kanssa.

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Olkoon \( f:D\rightarrow \mathbb{R} \), missä \( D\subseteq\mathbb{R}^n \) ja \( n\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan jatkuva määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos jokaisella \( \varepsilon >0 \) on olemassa sellainen \( \delta >0 \), että \( \mid f(x)-f(c)\mid<\varepsilon\) aina, kun \(\| x-c\|<\delta \).

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Todistetaan esimerkin vuoksi, että funktio \( f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{2}+x_{3} \) on jatkuva pisteessä \( c=(1,2,3) \).

Olkoon \( \varepsilon > 0 \). Nyt, kolmioepäyhtälön nojalla

\(\begin{align*}\mid f(x)-f(c)\mid &= \mid x_{1}+x_{2}+x_{3} - 6 \mid\\&= \mid x_{1}-1 + x_{2}-2 + x_{3}-3 \mid\\ &\leq\mid x_{1}-1\mid + \mid x_{2}-2 \mid + \mid x_{3}-3 \mid\\&<\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}\\&=\varepsilon\end{align*}\)

aina, kun

\(\begin{align*}&\mid x_{1}-1 \mid=\sqrt{(x_{1}-1)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta,\\&\mid x_{2}-2 \mid=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta,\\&\mid x_{3}-3 \mid=\sqrt{(x_{3}-3)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta. \end{align*}\)

Tämä on kuitenkin kömpelöä ja delta-epsilon ehdolle on olemassa ekvivalentti ehto: jos funktiolla on raja-arvo tarkasteltavassa pisteessä, niin se on jatkuva siinä pisteessä. Täytyy muistaa, että tämä onnistuu vain siinä tapauksessa, että funktiolla tiedetään olevan raja-arvo kyseessä olevassa pisteessä, muuten joudutaan delta-epsilon tarkasteluun.

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Olkoon \( f:D\rightarrow \mathbb{R} \), missä \( D\subseteq\mathbb{R}^n \) ja \( n\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan jatkuva määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos

\(\begin{align*}\lim_{x \to c} f(x) = f(c). \end{align*}\)

Funktion on siis jatkuva pisteessä \( c \), jos se on määritelty pisteessä \( c \), sillä on raja-arvo pisteessä \( c \) ja funktion arvo on yhtä kuin raja-arvo pisteessä \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 2.4.}\) Funktio \( f(x,y)=\cos(y) + x^{2} -x + 2 \) on jatkuva.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Funktio \( f(x,y)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}+y \) ei ole jatkuva eikä epäjatkuva pisteissä \( (x,y) \), missä \( x=1 \) ja \( x=-2 \), jokaisella \( y \), koska se ei ole määritelty noissa pisteissä. Samasta syystä funktiolla \( f \) ei myöskään ole raja-arvoa noissa pisteissä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.6.}\) Funktio \( f(x,y)=-200x^2 + \dfrac{200}{y} \) ei ole jatkuva eikä epäjatkuva pisteissä \( (x,y) \), missä \( y=0 \), jokaisella \( x \), koska se ei ole määritelty noissa pisteissä. Samasta syystä funktiolla \( f \) ei myöskään ole raja-arvoa noissa pisteissä.

[Image]

3. Määrittelyjoukko suljettu

Tarkastellaan esimerkkien kautta, että milloin määrittelyjoukko on avoin, suljettu, ei avoin eikä suljettu ja lopuksi avoin ja suljettu. Suljetun joukon tärkein tunnusmerkki on, että jokainen sen reunapiste kuuluu joukkoon.

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Kolmio.

[Image] | [Image] | [Image]
Suljettu. | Avoin. | Ei avoin eikä suljettu.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Neliö.

[Image] | [Image] | [Image]
Suljettu. | Avoin. | Ei avoin eikä suljettu.

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Taso on suljettu avaruudessa.

\( \textbf{Esimerkki 3.4.}\) Suora on suljettu avaruudessa.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Jana, jossa on päätepisteet on suljettu. Jana, jossa ei ole päätepisteitä on avoin. Jana, jolla on toinen päätepiste ei ole avoin eikä suljettu.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Puolitaso, johon koordinaattiakseli kuuluu, on suljettu. Puolitaso, johon koordinaattiakseli ei kuulu, on avoin. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on suljettu, jos koordinaattiakselien positiiviset osat kuuluvat siihen. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on avoin, jos koordinaattiakselien positiiviset osat eivät kuulu siihen. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on ei ole avoin eikä suljettu, jos koordinaattiakselien positiivisista osista jompi kumpi ei kuulu siihen.

\( \textbf{Esimerkki 3.7.}\) Yksikköympyrä on suljettu.

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Reaalisuora \( \mathbb{R} \) on avoin ja suljettu. Reaalitaso \( \mathbb{R}^{2} \) on avoin ja suljettu. Reaaliavaruus \( \mathbb{R}^{3} \) on avoin ja suljettu.

4. Määrittelyjoukko rajoitettu

\( \textbf{Määritelmä 4.1.}\) Joukko \( D \) on rajoitettu jos ja vain jos on olemassa luku \( M>0 \) siten, että \( || x-y ||\leq M \) jokaisella \( x,y\in D \). Toisin sanoen joukosta \( D \) ei löydy kahta sellaista pistettä \( x \) ja \( y \), joiden välinen etäisyys on suurempi kuin \( M \).

Tarkastellaan esimerkkien kautta, että milloin määrittelyjoukkon rajoitettu ja milloin ei.

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Yksikköympyrä.

[Image]
Yksikköympyrä on rajoitettu.

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Suora ei ole rajoitettu tasossa tai avaruudessa.

\( \textbf{Esimerkki 4.4.}\) Jana on rajoitettu tasossa ja avaruudessa.

\( \textbf{Esimerkki 4.5.}\) Reaalisuora \( \mathbb{R} \) ei ole rajoitettu, reaalitaso \( \mathbb{R}^2 \) ei ole rajoitettu, eikä reaaliavaruus \( \mathbb{R}^3 \) ole rajoitettu.

\( \textbf{Esimerkki 4.6.}\) Reaalisuoran \( \mathbb{R} \) positiivinen osa (\(x\geq 0\)) ei ole rajoitettu, reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen osa (\(x\geq 0, y\geq 0\)) ei ole rajoitettu, eikä reaaliavaruuden \( \mathbb{R}^3\) positiivinen osa (\(x\geq0, y\geq 0, z\geq 0\)) ole rajoitettu.

1. Usean muuttujan funktion ääriarvot

Tässä osiossa on kaksi tehtävää, joissa tarvitaan aiemmin esitettyjä käsitteitä. Käytä aiempia osioita apuna, jos olet unohtanut jonkin asian. Muista, että ääriarvopisteet voivat sijaita osittaisderivaattojen nollakohdassa, määrittelyalueen reunoilla tai määrittelyalueen päätepisteissä (janan päätepisteet, neliön kärkipisteet jne.).

Linkin takaa löytyy opetusvideo tämän viikon aiheista: TÄHÄN LINKKI

Muuttujat ja peruslaskutoimitukset

MATLABissa muuttujaan voidaan määritellä arvo yhtäsuuruusmerkin avulla, esim. \(\texttt{a = 2}\) MATLAB tulostaa suoritettujen komentojen tulokset ellei sitä kielletä erikseen. Jos komennon perään lisätään puolipiste (;), komento suoritetaan, mutta tulosta ei tulosteta, esim. \(\texttt{b = 5;}\) Peruslaskutoimituksia voi suorittaa esimerkiksi komennoilla +, -, * ja / ja tuloksia voidaan asettaa uuden muuttujan arvoksi, esim. \(\texttt{c = a*b}\)

Vektorit

Vektoreita voidaan syöttää hakasulkeiden avulla ja alkiot erotetaan toisistaan pilkulla tai välilyönnillä, esim. \(\texttt{d = [1 2 3]}\) \(\texttt{e = [1,2,3]}\) Edellä esitetyllä tavalla määritelty vektori on vaakavektori. Rivi saadaan vaihdettua puolipisteellä, minkä avulla voidaan muodostaa pystyvektoreita \(\texttt{f = [1; 2; 3]}\) Vektorin transpoosi saadaan myös merkeillä \(\texttt{.'}\) \(\texttt{f.'} \) Jos haluat poimia vektorista tietyn alkion, voit viitata siihen sulkeiden avulla. Esimerkiksi jos halutaan poimia edellä määritellyn vektorin \(\texttt{f}\) kolmas alkio, se saadaan näin: \(\texttt{f(3)}\) Jos halutaan poimia vektorista \(\texttt{g=[6 5 4 3 2 1]}\) toinen, kolmas ja neljäs alkio, se saadaan näin: \(\texttt{h = g(2:4)}\) Vektori voidaan kertoa skalaarilla *-merkillä \(\texttt{2*f}\) \(\texttt{f*2}\) Samanmittaisten vektoreiden alkiot voidaan pisteittäin kertoa, jakaa tai korottaa potenssiin lisäämällä laskutoimitusmerkin eteen piste, esim .* \(\texttt{f.*h}\)

Laskujen järjestäminen sulkein sekä yksinkertaisten funktioiden käyttö

Jos laskutoimituksessa yhtenä terminä on useasta muuttujasta muodostuva termi, syötetään termi sulkeisiin samalla tavalla kuin laskimella \((a+b)^2\) Joillekin laskutoimituksille on olemassa erillisiä funktioita. Tällaisia ovat esimerkiksi neliöjuuri \(\texttt{sqrt}\) ja normi \(\texttt{norm}\). Näiden syntaksi toimii yksinkertaisesti: \(\texttt{sqrt(4)}\) Lisää funktioiden käytöstä ja kirjoittamisesta MATLABilla tulossa myöhemmin kurssin aikana.

Apua ongelmatilanteissa

Jos et tiedä, mitä jonkin komento tekee, voit kirjoittaa komentoikkunaan \(\texttt{help}\) sekä etsimäsi komennon, esim. \(\texttt{help dot}\) Laajemman vastauksen saat etsimällä tietoa MATLABin dokumentaatiosta, jonka saat avattua MATLAB-ikkunan oikeassa yläkulmassa olevasta ?-painikkeesta. Myös Google on ystävä hädän hetkellä. Esimerkiksi hakusanoilla "Matlab dot product" löydät varmasti helposti tietoa pistetulon laskemisesta MATLABilla.

1. Summa- ja tulonotaation tulkinta

Sigma \(\sum\) on kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään matematiikassa summan lyhennysmerkintänä. Pii \(\prod\) on niin ikään kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään vastaavasti tulon lyhennysmerkintänä. Molemmat ovat siis yksinkertaisesti lyhennysmerkintöjä.

Summalauseke \(1+2+3+4 \) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien summa on \( 10 \).

Tulolauseke \(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien tulo on \( 24\).

Ala- ja yläraja ilmaisevat summattavien tai kerrottavien termien lukumäärän, mutta erityisesti muuttujan \(i\) arvon. Muuttujana voidaan käyttää melkein mitä tahansa kirjainta, mutta yleisimpiä ovat kuitenkin kirjaimet \( i \), \( j \) ja \( k \). On erityisen tärkeää huomata, että mahdollisesti summassa esiintyvät muut kirjaimet luetaan vakioina (esim. ulomman summan tai funktion muuttujat). Lisäksi muuttujan sijaan puhutaan yleisesti summausindeksistä ja tuloindeksistä.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{n-1}+a_{n}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\prod_{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ \dots \ \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}\end{align*}\)

2. Summausindeksin manipulointi

Yhdisteltäessä useampia eri summia usein manipuloidaan summattavaa lauseketta sellaiseksi, että siitä tulee samanlainen kuin muistakin.

Kaava:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)=\sum_{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\end{align*}\)

3. Vakion siirtosääntö ja summan jakaminen osiin

Summalausekkeessa vakio voidaan siirtää summan edelle ja summa voidaan jakaa osiin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot\sum_{n=s}^{t}f(n)\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)+\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)+g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)-\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)-g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)

4. Moninkertaiset summat

Summia voidaan asettaa sisäkkäin, jolloin laskujärjestys on sisältä ulospäin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=s}^{m}\sum_{j=t}^{n}a_{i}c_{j}=\sum_{i=s}^{m}a_{i}\cdot\sum_{j=t}^{n}c_{j}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}\)

5. Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Geometrinen sarja on sarja, jonka termeissä toistuu sama suhdeluku. Esimerkiksi sarja
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dots\)
on geometrinen, missä suhdeluku \( a=\frac{1}{2} \) ja skaalauskerroin \( r=\frac{1}{2} \).

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\end{align*}\)
Jokaisella \(r \neq 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\end{align*}\).
Jokaisella \(\mid r\mid < 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots&=\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\dfrac{a}{1-r}\end{align*}\)

6. Polynomien summa- ja tuloesitys

Summa- ja tulonotaation hyödyllisyys tulee erityisesti ilmi, kun niitä sovelletaan polynomeihin. Näin voidaan esittää polynomit hyvin yksinkertaisessa muodossa. Sovella aiemmin oppimaasi näissä tehtävissä.

Katsotaanpas, miltä tämä näyttää

Q: Olkoot \( z=[value]+[value]\cdot[value] \) ja \( w=[value]-[value] \).
Ratkaise seuraavat tehtävät.
Imaginaariyksikkö syötetään muodossa %i eli esimerkiksi a+b*%i, kun halutaan syöttää kompleksiluku \(a + b\cdot i \).

a)

\( \mathrm{Re}(z)= \)
\( \mathrm{Im}(w)= \)

b)

\( 2z-3w = \)

c)

\( z\cdot w = \)

d)

\( z\cdot w^{-1} = \)

e)

\( \overline{z} = \)

f)

\( \mid z\mid = \)
Feedback: Mallivastaus: a) \( \mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}([value]+[value]\cdot[value])=[value] \) \( \mathrm{Im}(w)=\mathrm{Im}([value][value])=[value] \) b) \( \begin{align*} 2z-3w &= 2([value]+[value]) -3([value][value])\\ &= [value]+[value]\cdot [value]-[value]+[value]\cdot[value]\\ &=[value]+[value]\cdot[value] \end{align*} \) c) \( \begin{align*} z\cdot w &=([value]+[value]\cdot[value])\cdot([value][value])\\ &=([value]\cdot[value]-[value]\cdot([value]))+(([value])\cdot ([value])+[value]\cdot[value])\cdot[value]\\ &=[value]+[value]\cdot[value] \end{align*} \) d) Lasketaan aluksi \( w^{-1} \). \( \begin{align*} w^{-1}&=\frac{4}{4^{2}+(-1)^{2}}-\frac{(-1)}{4^{2}+(-1)^{2}}\cdot [value]\\ &=\frac{4}{16 + 1} + \frac{1}{16 + 1}\cdot [value]\\ &=\frac{4}{17} + \frac{[value]}{17} \end{align*} \) Nyt voidaan laskea \( z\cdot w^{-1} \). \( \begin{align*} z\cdot w^{-1}&= (-5+7\cdot [value])+\bigg(\frac{4}{17}+\frac{[value]}{17}\bigg)\\ &= \bigg(\frac{(-5)\cdot 4 - 7\cdot 1}{17}\bigg) + \bigg(\frac{(-5)\cdot 1 + 7\cdot 4}{17} \bigg)\cdot [value]\\ &= \bigg(\frac{-20-7}{17}\bigg)+\bigg(\frac{-5+28}{17}\bigg)\cdot [value]\\ &= -\frac{27}{17}+\frac{23}{17}\cdot[value]. \end{align*} \) e) \( \overline{z}=-5-7\cdot [value] \). f) \( \begin{align*} \mid z \mid &= \sqrt{(-5)^{2}+7^{2}}\\ &=\sqrt{25+49}\\ &= \sqrt{74}\\ &= \sqrt{2}\sqrt{37} \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Esitä \( x \) muodossa \( a + b\cdot i \), kun

a) \( z = (1 - 2\cdot i)^{2} \)

b) \( z=\dfrac{5 - 8\cdot i}{3 - 4\cdot i} \)

c) \( \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z_{1}} + \dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}} \), missä \( z_{1} = 3 - 4\cdot i \) ja \( z_{2} = 5 + 2\cdot i \).

a) \( z= \)

b) \( z= \)

c) \( z= \)
Feedback: Mallivastaus: a) \( \begin{align*} z &= (1-2\cdot i)^{2}\\ &=(1-2\cdot i)\cdot (1-2\cdot i)\\ &=(1\cdot 1 -(-2)\cdot (-2) )+(1\cdot (-2)-2\cdot 1)\cdot i\\ &=1-4 -2\cdot i - 2\cdot i\\ &=-3-4i \end{align*} \) b) Määritetään aluksi kompleksiluvun \( (3-4\cdot i) \) käänteisalkio \( (3-4\cdot i)^{-1} \). Nyt, \( \begin{align*} (3-4\cdot i)^{-1}&=\dfrac{3}{3^{2}+(-4)^{2}}-\dfrac{3}{3^{2}+(-4)^{2}}\\ &=\dfrac{3}{9+16}+\dfrac{4}{9+16}\cdot i\\ &=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\cdot i. \end{align*} \) Sievennetään sitten \( z \) oikeaan muotoon: \( \begin{align*} z&=\dfrac{5-8\cdot i}{3-4\cdot i}\\ &=(5-8\cdot i)\cdot \bigg(\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\bigg)\cdot i\\ &=\bigg(5\cdot\dfrac{3}{25}-(-8)\cdot\dfrac{4}{25}\bigg)+\bigg(5\cdot\dfrac{4}{25}+(-8)\cdot\dfrac{3}{25}\bigg)\cdot i\\ &=\bigg(\dfrac{15}{25}+\dfrac{32}{25} \bigg)+\bigg(\dfrac{20}{25}-\dfrac{24}{25} \bigg)\cdot i\\ &=\dfrac{47}{25}-\dfrac{4}{25}\cdot i. \end{align*} \) c) Ratkaistaan aluksi \( z \) yhtälöstä \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}} \) \( \begin{align*} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ \dfrac{z}{z}&=\dfrac{z}{z_{1}}+\dfrac{z}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ 1&=\dfrac{z}{z_{1}}+\dfrac{z}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ 1&=z\bigg(\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)\\ z&=\dfrac{1}{\bigg(\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{1}{\bigg(\dfrac{z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}}{z_{1}^{2}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{1}{\dfrac{z_{1}}{z_{1}}\bigg(\dfrac{z_{2}+1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{z_{1}\cdot z_{2}}{z_{2}+1}. \end{align*} \) Sijoitetaan tähän viimeiseen yhtälöön \( z_{1}=3-4\cdot i \) ja \( z_{2}=5+2\cdot i \): \( \begin{align*} z&=\dfrac{(3-4\cdot i)\dot (5+2\cdot i)}{(5+2\cdot i)+1}\\ &=\dfrac{15+6\cdot i -20\cdot i -8 i^{2}}{5+1+2\cdot i + 0\cdot i}\\ &=\dfrac{15+8-14\cdot i}{6+2\cdot i}\\ &=\dfrac{23-14\cdot i}{6+2\cdot i}\\ &=\dfrac{(23-14\cdot i)(6-2\cdot i)}{(6+2\cdot i)(6-2\cdot i)}\\ &=\dfrac{138-46\cdot i -84\cdot +28\cdot i^{2}}{36-12\cdot i +12\cdot i -4\cdot i^{2}}\\ &=\dfrac{138-130\cdot i -28}{36+4}\\ &=\dfrac{110-130\cdot i}{40}\\ &=\dfrac{11}{4}-\dfrac{13}{4}\cdot i. \end{align*} \)
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.

Q: Määritä moduli, argumentti ja muodosta napakoordinaattimuoto kompleksiluvuille \( z=[value] \) ja \( w=[value] \).

a) \( \mid z\mid= \)

b) \( \mathrm{arg} z= \)

c) \( z= \)

d) \( \mid w\mid= \)

e) \( \mathrm{arg} w= \)

f) \( w= \)
Feedback: Mallivastaus: a) \(\mid z\mid=\sqrt{[value]^2 + ([value])^2} \). b) Kulma on nyt välillä \(-\dfrac{-\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \), joten \( \theta = \arctan{\dfrac{[value]}{[value]}}=[value] \). Siis \(\mathrm{arg}z=[value] \) c) \( z = [value] (\cos{[value]}+i\cdot \sin{[value]} ) \). d) \(\mid w\mid =\sqrt{[value]^2 + [value]^2}\). e) Kulma on nyt välillä \(-\dfrac{-\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \), joten \( \theta = \arctan{\dfrac{[value]}{[value]}}=[value] \). Siis \(\mathrm{arg}z=[value] \) f) \(w=[value] (\cos{[value]}+i\cdot \sin{[value]} ) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ilmoita seuraavat kompleksiluvut muodossa \(re^{i\cdot\theta} \):

a) \( z = (1+\sqrt{3}\cdot i)^2 \)

z = \( e^{i} \)

b) \( w = \dfrac{2+2\cdot i}{1-i} \)

w= \( e^{i} \)
Feedback: Mallivastaus: a) Merkitään aluksi \( z'=1+\sqrt{3}\cdot i \), ja lasketaan kompleksiluvun \( z' \) moduli ja argumentti, joiksi saadaan \( \mid z' \mid = \sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}} = 2 \) ja \( \mathrm{arg} z = \mathrm{arctan}(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3} \). Sen jälkeen muodostetaan luvun \( z' \) exponenttimuoto \( z'=2e^{\dfrac{i\cdot\pi}{3}} \). Näin ollen \( (z')^{2} = z = 4e^{\dfrac{2\cdot i \pi}{3}} \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Määritä kompleksiluvun \( [value] \) neljännet juuret. Anna juuret järjestyksessä, joka on ensimmäisestä neljänneksestä vastapäivään.

a)
\( w_{0} = \)

b)
\( w_{1} = \)

c)
\( w_{2} = \)

d)
\( w_{3} = \)
Feedback: Mallivastaus: Täytyy siis ratkaista yhtälö \( w^{4} = [value] \), missä \( w\in\mathbb{C} \). Tätä varten kompleksiluku \( [value] \) muokataan napakoordinaattimuotoon \( [value] \). Nyt \( \begin{align*} w^{4} = [value] \Rightarrow w = [value], \end{align*} \) josta ensimmäinen juuri saadaan. Koska etsitään neljää juurta, ja juuret sijaitsevat tasaisesti yksikköympyrällä, niin loput juuret ovat \( [value] \) välein. Näin ollen loput juuret ovat [value], [value] ja [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske määrätty integraali
\( \int_{[value]}^{[value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: Ensiksi täytyy integroida integroitava funktio. Kyseessä on polynomi, jolloin saadaan määräämättömäksi integraaliksi \( [value] + C \), missä \( C \) on integrointivakio. Sen jälkeen voidaan laskea integraali. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]} [value] &= {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \\ &= [value] \end{align*} \)
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Laske käyrien \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) ja suorien \( x = [value]\) ja \( x = [value] \) väliin jäävä pinta-ala \( A \) neljän desimaalin tarkkuudella.

Huom! Käytä pistettä desimaalierottimena.

\( A \) =
Feedback: Mallivastaus: Tutkittava ongelma voidaan ratkaista määrätyn integraalin avulla asettamalla alarajaksi [value] ja ylärajaksi [value]. Muodostetaan integrandi käyristä \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) laskemalla ensin niiden erotus ja integroimalla se muuttujan \( x \) suhteen. Muodostetaan määrätty integraali ja integroidaan se. Lopuksi pyöristetään neljän desimaalin tarkkuuteen. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] - [value] \bigg) \ dx &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx\\ &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx \\ &= [value]\\ &\approx [value] \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Oletetaan, että olet Thaimaan Phuketissa lomalla ja kello on 22:00 kuuman kosteana perjantai-iltana paikallista aikaa. Menet juhlimaan yökerhoon, joka juuri avautui, ja jonka sisämitoiksi mittaat nopealla silmäyksellä; leveys [value] m, pituus [value] m ja korkeus [value] m.

Yökerho on täynnä asiakkaita, mutta pahaksi onneksesi suurin osa heistä on tupakoitsijoita. Havaitset, että tupakansavua, josta 0,04 g/litra on häkää, virtaa yökerhoon [value] litraa minuutissa. On ilmeistä, että asiakkaat aikovat olla yökerhossa valomerkkiin saakka, joten tupakansavua virtaa sisään tasaisesti koko illan.

Ilahdut, kun havaiset yökerhossa olevan ilmastointijärjestelmän, joka sekoittaa tupakansavun tasaiseksi pitoisuudeksi huoneilmaan. Sen ulosvirtausnopeus näyttää olevan [value] litraa minuutissa, joka on kymmenkertainen tupakansavun sisäänvirtaukseen verrattuna.

Haluat tanssia ja seurustella, mutta haluat myös säilyttää terveytesi. Muistat, että pitkittynyt altistuminen yli 0,012 % häkäpitoisuudelle on kotimaasi terveysviraston mukaan terveydelle vaarallista. Huomaat, että yökerho sulkee kello 03:00 paikallista aikaa, joten alat valmistella hätäsuunnitelmaa.

Tehtävä:
Ohje: Älä lisää yksiköitä vastauksiisi! Viisi yritystä sallitaan.

a) Mikä on yökerhon tilavuus \( V \) (litroina)?

\(V=\) l

b) Millä nopeudella \( I \) häkää kertyy yökerhoon (gramma per minuutti)?

\(I=\) \(\frac{\text{g}}{\text{min}}\)

c) Millä nopeudella \( U\) häkää virtaa yökerhosta (gramma per minuutti)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta.

\(U=\) \(\frac{\text{g}}{\text{min}}\)

d) Mikä on hään määrän ilmaiseva funktio (gramma)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta.

\(Q(t)=\) \( g \)

e) Miten kirjoitetaan differentiaaliyhtälö, josta saadaan ratkaistua kuinka kauan kestää, että häkäpitoisuus kasvaa kriittiselle 0,012 % tasolle?

\(\frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)=

f) Sievennä edellinen differentiaaliyhtälö lineaariseen muotoon.

\(\frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)+=

g) Mikä on integroiva tekijä?
Ei integraalina!

\(\mu (t) =\)

h) Sovella integroivan tekijän menetelmää edelliseen differentiaaliyhtälöön.
Käytä integrointivakiona muuttujaa \( k \).

\(C(t) =\)

i) Monenko minuutin kuluttua häkäpitoisuus saavuttaa kriittisen 0,012 % rajan?
Anna vastaus minuutin tarkkuudella ja pyöristä alaspäin kokonaiseen minuuttiin. Esim. 232,89 \( \approx \) 232.

\( t= \) \( \text{min} \)

j) Voitko siis olla yökerhossa valomerkkiin saakka?
Tosi/kyllä voit, epätosi/et voi olla, valitse jompi kumpi.
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} = [value] \text{ litraa} \). Tupakansavua virtaa yökerhoon nopeudella [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Tupakansavun häkäpitoisuus on 4 % ja yksikkö on \(\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten, \(\begin{align*}\bigg([value] \frac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg(\frac{4}{100}\frac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=[value]\frac{\text{g}}{\text{min}}\end{align*} \). Tuulettimien ulosvirtausnopeus on [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Funktio [value] ilmaisee häkäpitoisuuden. Joten, \(\bigg([value]\frac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg([value]\frac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=\bigg([value]\frac{\text{g}}{\text{min}}\bigg)\). Tilavuus on \( V=[value] \text{ l} \). Hään määrän ilmoittava funktio on [value] \(\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten, \( Q(t)=V\cdot[value]=([value]\text{ l})\cdot [value] \frac{\text{g}}{\text{l}}=[value]\cdot [value]\text{ g} \). \(\dfrac{d}{dt}([value]\cdot [value])\) nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus \(\frac{d Q(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}([value]\cdot [value])=[value]-[value] \) \( [value]-[value] \) [value]+[value] [value] [value] Termistä [value][value], saadaan integroiva tekijä [value]. Merkitään aluksi \(A\):=[value] ja \(B\):=[value]. Nyt, \(\begin{align*}\frac{d}{dt}e^{At}C(t)&=Be^{At}\\ e^{At}C(t)&=B\int e^{At\ dt}\\C(t)&=\frac{B}{e^{At}}\bigg(\frac{e^{At}}{A}+k \bigg)\\C(t)&=Be^{-At}\bigg(A^{-1}e^{At}+k \bigg)\\C(t)&=\frac{B}{A}+kBe^{-At}, \end{align*}\) joten, \(\begin{align*}[value]+k\cdot [value]\cdot e^{-[value]t}\end{align*}\) Yökerhossa ei ole alkuhetkellä kello 22:00 yhtään asiakasta ja siten \( C(0)=0 \), joten havaitaan, että \(\begin{align*}C(0)&=[value]+\underset{=-[value]}{\underbrace{k\cdot [value]}}\cdot \underset{=1}{\underbrace{e^{-[value]\cdot0}}}=0\end{align*}\) Näin ollen \( C(t) \) voidaan muotoilla uudelleen \(\begin{align*}C(t)=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg).\end{align*} \) Kriittinen raja on 0,012 %, joten ratkaistaan yhtälö \( C(t)=0,000012 \), \(\begin{align*}\dfrac{12}{100000}&=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg)\\ \frac{3}{100}&=1-e^{-[value]\cdot t}\\t&=\frac{\ln\bigg(\frac{97}{100}\bigg)}{-\frac{1}{11250}}\\ &\approx [value]. \end{align*}\) Joten, kriittinen raja on minuutin tarkkuudella [value] minuuttia yökerhon avaamisen jälkeen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastellaan sylinterin muotoista poijua, jonka säde on \( r \), korkeus on \( h \) ja tasaisesti jakautunut tiheys \( \rho\leq 0.5 \frac{g}{cm^3} \) \( \bigg( \) veden tiheys on \( 1\frac{g}{cm^3} \) \( \bigg) \).

Alkutilanteessa poijua riiputetaan veden yllä siten, että sen pohja koskettaa veden pintaa ja sitten se vapautetaan veteen ajan hetkellä \(t=0\).

Tämän jälkeen siihen vaikuttaa kaksi voimaa: alaspäin suuntautuva painovoima \( F_{G} \), joka on yhtäkuin poijun massa eli \( mg=\rho\pi r^{2}hg \) ja ylöspäin suuntautuva noste \( F_{N} \), joka on yhtäkuin poijun syrjäyttämän veden massa eli \( \pi r^{2} xg \), missä \( x=x(t) \) on poijun pohjan syvyys ajan hetkellä \( t \).

Tehtävä:
Olkoon \( \rho \) = [value] \( \frac{g}{cm^{3}} \), \( r \) = [value] \( cm \), \( h \) = [value] \( cm \) ja \( g \) = [value] \( \frac{cm}{s^2} \).
Ohje: älä lisää yksiköitä vastauksiisi! Viisi yritystä sallitaan.

a) Minkä muodon Newtonin toinen liikelaki \( F=ma \) tällöin saa? Käytä muuttujaa \( t \).

x'' = - x

b) Sievennä edellinen yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön muotoon.

x'' + x =

c) Liitetään edelliseen differentiaaliyhtälöön alkuehto \( x(0)=x'(0)=0 \). Ratkaise tämä alkuarvo-ongelma.

\( x(t)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( F = \rho\pi r^{2} h x'' = [value] x''\) \( F_{G}=\rho\pi r^{2}hg = [value] \) \( F_{N}=\rho\pi r^{2}gx = [value] x \) \( [value] x \) [value] Epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yhtäkuin homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu. Ratkaistaan siis aluksi homogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = 0 \). Muodostetaan karakteristinen yhtälö \( \lambda^{2} + [value] = 0 \). Ratkaistaan lambda, josta saadaan \( \begin{align*} \lambda=\pm i \sqrt{ [value] } \end{align*} \). Näin ollen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \( x_{HG}(t)= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) \). Ratkaistaan seuraavaksi epähomogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = [value] \). Vakio \( [value] \) on 0-asteen polynomi, joten kokeillaan yritteenä 1-asteen polynomia \( at+b \). \( \begin{align*}x_{p}(t)&=at+b\\ x_{p}'(t)&=a\\x_{p}''(t)&=0. \end{align*} \) Sijotetaan \( x_{p}(t) \) yhtälöön \( \begin{align*}0+\frac{[value]}{[value]}\bigg(at+b\bigg)&=[value]\\ \frac{[value]at}{[value]}+\frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ \frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ b=[value]. \end{align*} \) Siispä epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu \( x_{EHG}(t)=[value] \). Joten epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan \(\begin{align*}x(t)&=x_{HG}(t)+x_{EHG}(t)\\ &= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\end{align*}\) Lopuksi ratkaistaan alkuarvo-ongelma \( x(0)=x'(0)=0 \). \(\begin{align*}x(0)&= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\\ C_{1}&=-[value]\end{align*}\) Lisäksi selvästi nähdään, että \( C_{2}= 0 \). Siispä alkuarvo-ongelman ratkaisu on [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Määritä vektorin \(T1\) 313. ja 345. alkion summa.

\(T1_{313}+T1_{345} = \)

MATLABin oma funktio log ottaa logaritmin siihen syötetystä luvusta. Etsi helpin avulla tai MATLABin documentaatiosta, onko log-funktion logaritmin kantaluku 10 vai Neperin luku e.

MATLABin log-funktion kantaluku on .

Kirjoita editorilla oma funktio, joka laskee kahden funktiollesi syötetyn vektorin välisen kulman. Funktio voi olettaa, että syötetyissä vektoreissa on kolme reaalista alkiota. Nimeä funktiosi nimellä kulma. Syötä sitten komentoikkunaan seuraava rivi: rng(1); eka=randi([0,10],1,3);rng(2); toka=randi([11,20],1,3); kulma(eka,toka)

Vektorien välinen kulma on rad.

Työmuistiin on määritelty matriisi M. Muuta matriisi sellaiseksi, että siinä on 100 saraketta. Anna vastaukseksi uudelleen järjestämäsi matriisin alkio viimeiseltä riviltä sarakkeesta 50.

Kysytty alkio on:

Anna komento, jolla saat määriteltyä 3x5 matriisin M, jonka alkiot ovat satunnaisia kokonaislukuja väliltä -10..10. Täydennä alla olevan määrittelyn yhtäsuuruusmerkin oikea puoli siten, että siinä ei ole yhtään välilyöntiä ja kaikki argumentit ovat vektoreita. Vektorien alkiot on erotettu toisistaan pilkuin. Älä merkitse puolipistettä rivin perään. Kaikki tästä poikkeavat syntaksit merkitään virheellisiksi. Esimerkkinä syntaksista täysin fiktiivinen funktio \(\texttt{rajat([xmin,ymin],[xmax,ymax])}\)

\(\texttt{M = }\)

Täydennä seuraavan MATLAB-funktion puuttuvat kohdat kirjaimilla A tai B siten, että funktio laskee matriisikertolaskun.

function AB = matriisitulo(A,B)

dim1 = size(,1);
dim2 = size(,2);
dim3 = size(,2);
for i=1:dim1
for j=1:dim3
summa=0;
for k=1:dim2
summa=summa+A(i,k)*B(k,j);
end
AB(i,j)=summa;
end
end

end
Feedback: Matriisikertolaskussa tulomatriisin yhtä alkiota määrittäessä siirrytään ensimmäisessä matriisissa rivillä oikealle ja toisessa matriisissa sarakkeessa ylhäältä alas. Uloin for-silmukka käy läpi matriisin A rivejä. Tulomatriisissa AB on yhtä monta riviä kuin matriisissa A. Ensimmäiseen kohtaan oikea vastaus on A. Sisimmäinen silmukka laskee yhteen matriisin A i:nnen rivin ja matriisin B k:nnen sarakkeen alkioiden tuloja. Näin ollen dim2 pitää olla yhtä suuri kuin on matriisin A sarakkeiden lukumäärä. Yhtälailla se on matriisin B rivien lukumäärä. Tässä tapauksessa kuitenkin oikea vastaus toiseen kohtaan oli A, sillä size-komennolla etsittiin sarakkeiden lukumäärää toisen argumentin ollessa 2. Keskimmäinen for-silmukka tallettaa tulomatriisiin sisimmän silmukan laskemia lukuja. Keskimmäisessä silmukassa nähdään, että tulomatriisiin AB tule j saraketta. Matriisitulon laskusääntöjen mukaan tulomatriisissa on yhtä monta saraketta kuin matriisitulon oikeanpuoleisessa matriisissa, joten toisen kohdan vastaus on B. OIKEAT VASTAUKSET: A, A, B

Anna matriisiyhtalön \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisu.
Syötä vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(\mathbb{x}=\)
Feedback: Kenoviivalla ( \ ) saadaan ratkaistua matriisiyhtälö \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Syntaksi on seuraava: \(\texttt{x=A\b}\) Kenoviivaa vastaa funktio \(\texttt{mldivide(A,b)}\). Matriisiyhtälön \(\mathbf{x}A=\mathbf{b}\) ratkaisu saadaan vinoviivalla ( / ), jota vastaa funktio \(\texttt{mrdivide(A,b)}\). Yhtälöryhmän ratkaiseminen voidaan suorittaa toki käänteismatriisin avulla. MATLABissa tämä on kuitenkin hitaampaa kuin kenoviivan/vinoviivan (tai mldivide/mrdivide) käyttö. Tämän seikan merkitys kasvaa, kun käsitellään esimerkiksi mittausdatasta saatuja suuria matriiseja.

Minkä vastauksen MATLAB antoi, kun kerroit matriisin \(A\) vektorilla \(\mathbf{c}\), joka kuuluu matriisin \(A\) nolla-avaruuteen.

\(A*c=\)\(*10\hat{ }\)
Feedback: Vektori \(\mathbf{c}\) tosiaan on muodostettu MATLABin luoman nolla-avaruuden kantavektorien lineaarikombinaationa. Vaikka vastaukseksi ei tullutkaan aivan nollavektori, voidaan vastausta pitää tässä tapauksessa oikeana. Kun otetaan huomioon, että MATLAB muodostaa nolla-avaruuden kantavektorit numeerisesti, voidaan approksimoida nollavektoriksi vektori, jonka alkioiden 15. desimaali on nollasta poikkeava.

Mikä on työmuistiin määritellyn matriisin \(X\) determinantti? Anna vastaus siinä muodossa, kuin MATLAB sen ilmoitti.

Onko matriisi \(X\) determinantin perusteella kääntyvä? (Vastaus yksittäinen merkki: k/e)
Feedback: Matriisi \(X\) on 6x6-matriisi, joten sen determinantin laskeminen käsin on jo melko työlästä. Komento \(\texttt{det(A)}\) laskee determinantin onneksi puolestasi. Tässä tapauksessa \(det(X))=[value]\). Koska determinantti on nollasta poikkeava, matriisi on kääntyvä.

Anna matriisin \(B\) ominaisarvoa \(3.4269\) vastaava ominaisvektori.
Feedback: Komento \(\texttt{[vektorit arvot]=eig(B)}\) tuottaa matriisin \(\texttt{vektorit}=\)[value] ja matriisin \(\texttt{arvot}=\)[value]. Ominaisarvo \(3.4269\) on \(\texttt{arvot}\)-matriisin toisessa sarakkeessa, joten sitä vastaava ominaisvektori löytyy matriisin \(\texttt{vektorit}\) toisesta sarakkeesta.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{10}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}1=\underset{\text{10 kpl}}{1+\dots+1}=10\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Anna saamasi polynomisovitteen kertoimet. Sovitefunktion polynomi on muotoa

\(s(t)=\)\(*t^3+\)\(*t^2+\)\(*t+\).
Feedback: MATLABin helppi kertoo seuraavaa: \(\texttt{ P = polyfit(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of}\) \(\texttt{ degree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is a}\) \(\texttt{ row vector of length N+1 containing the polynomial coefficients in}\) \(\texttt{ descending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).}\) Siis komennon \(\texttt{polyfit(t,s,3)}\) tulosteen ensimmäinen alkio on kolmannen asteen termin kerroin, toinen on toisen asteen termin kerroin, kolmas alkio on ensimmäisen asteen kerroin ja neljäs alkio on vakiotermi.

Tee piirtämääsi pisteikköön Curve Fitting -työkalulla Sum of Sine -sovite ja valitse termien määräksi 2. Anna parametrin \(\texttt{a1}\) suuruus.

\(\texttt{a1}=\)
Feedback: Välilehdeltä Apps löytyvän Curve Fitting -työkalun luoma Sum of Sine -sovite, kun on valittu termien määräksi kaksi, antaa sovitteen muotoa \(a1*sin(b1*x+c1)+a2*sin(b2*x+c2)\). Vasemmalla näkyy parametrien arvot sovitteessa, mistä voidaan lukea että piirtämässäsi sovitteessa parametrin \(\texttt{a1}\) tulee olla [value]

1. Funktiot

Funktiot, joita tutkitaan optimointi -modulissa, ovat muotoa \(f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \) olevia funktiota, missä \(n,m\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan

- yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio (reaalifunktio), jos \( n=m=1 \),
- yhden muuttujan funktio, jos \( n=1 \),
- usean muuttujan funktio, jos \( m=1 \),
- reaaliarvoinen funktio, jos \( m=1 \), ja
- vektoriarvoinen funktio, jos \( m>1 \).

Tässä \( \mathbb{R}^{n} \) on määrittelyjoukko ja \( \mathbb{R}^{m} \) on maalijoukko.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.} \) Käydään läpi muutamia esimerkkejä edellä mainituista funktioista.

- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=x^3 \) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2} \), \( f(x)=(x,3x-1) \) on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y)=x^3-2y+1 \) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3} \), \( f(x,y)=(x^3,2xy,-4y) \) on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio.

2. Käyrät ja parametrisointi

Tarkastellaan yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota

\( \begin{align*}r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n},  r(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)) \end{align*}\).

Funktioita \( x_{i}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kutsutaan funktion \( r \) koordinaattifunktioiksi tai komponenttifunktioiksi. Tapauksessa \( n=2 \) merkitään usein

\( \begin{align*}r(t)=(x(t),y(t))=x(t)i+y(t)j \end{align*} \)

ja tapauksessa \( n=3 \)

\( \begin{align*}r(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)i+y(t)j+z(t)k. \end{align*}\)

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Vektoriarvoisen funktion raja-arvo pisteessä \(t_{0}\in[a,b] \), merkitään \( \lim_{t\rightarrow t_{0}} r(t)\), on vektori

\(\begin{align*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=\bigg(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\ldots ,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t) \bigg), \end{align*}\)

mikäli koordinaattifunktioiden raja-arvot ovat olemassa. Edelleen \( r \) on jatkuva pisteessä \(t_{0} \), jos

\(\begin{align*} r(t_{0})=\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t) \end{align*}\)

ja jatkuva, jos \( r \) on jatkuva jokaisella \( t\in[a,b]. \)

\( \textbf{Lause 2.2.}\) Vektoriarvoinen funktio on jatkuva, jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \( x_{i}(t) \) ovat jatkuvia.

Geometrisesti jatkuvuus tapauksessa \( n=2 \) tarkoittaa sitä, että "kuva voidaan piirtää kynää nostamatta".

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Jos funktio \( r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) on jatkuva, niin sitä kutsutaan parametrisoiduksi käyräksi. Kuvajoukko \( C=r([a,b])=\{ r(t)\mid t\in[a,b] \} \) on käyrän jälki tai lyhyesti käyrä. Kun \( n=2 \), puhutaan tasokäyrästä ja kun \( n=3 \), puhutaan avaruuskäyrästä. Pistettä \( r(a) \) kutsutaan käyrän alkupisteeksi ja pistettä \( r(b) \) loppupisteeksi.

Käyrän jälki \( C \) voidaan ilmoittaa myös muulla tavoin kuin antamalla lauseke \( r(t) \), jolloin tarvittaessa muodostetaan parametrisointi. Varoituksena todettakoon, että käyrällä \( C \) on aina äärettömän monta erilaista parametrisointia.

\( \textbf{Huomautus 2.4.}\) Jatkuvan funktion \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kuvaajalle \( y=f(x) \) voidaan aina ottaa parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=(t,f(t)), \ t\in [a,b]. \end{align*}\)

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos{t},\sin{t}), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \).

[Image]

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos{2t},\sin{2t}), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos{-t},\sin{-t})=(\cos{t},-\sin{t}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t+\pi /2},\sin{t+\pi /2}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t},\sin{t}), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r'(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image] [Image]

Yllä olevissaa kuvaajissa on molemmissa parametrisoinneissa vielä kolmaskin komponentti, jotka molemmat ovat nollia. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ympyrä on piirretty \( z=0 \) tasolle ja sitä katsotaan (vasen kuva) ylhäältä päin. Tässä tasokäyrä on siis piirretty avaruuskäyräksi (oikea kuva)!

Ylläolevan kuvan voi piirtää myös suoraan tasokäyräksi, mutta tällöin kolmas komponentti jätetään pois.

On erittäin tärkeää huomata, että funktioita ja avaruuskäyriä voidaan piirtää samaan kuvaajaan, ja erityisesti tasokäyriä voidaan piirtää avaruudessa oleville tasoille.

\( \textbf{Määritelmä 2.6.}\) Olkoot \( a \) ja \( b \) tason pisteitä. Pisteiden \( a \) ja \( b \) kautta kulkevan suoran virittäjävektoriksi voidaan valita \( d=b-a \), jolloin piste \( x \) on suoralla, jos ja vain jos \( x=a+td \) jollakin \( t\in\mathbb{R}. \) Pistettä \( a \) kutsutaan kauttakulkupisteeksi.

\( \textbf{Esimerkki 2.7.}\) Alla olevaan kuvaan on piirretty pisteet \( x \) parametrin \( t \) arvoilla \( t=-\dfrac{1}{2} \) ja \( t=0 \) (piste \( a \)), \( t=1 \) (piste \( b \)) ja \( t=\dfrac{3}{2} \) . Suoran parametrisoinniksi siis käy

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in\mathbb{R}, \end{align*} \)

ja pisteitä \( a \) ja \( b \) yhdistävän janan parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ 0\leq t \leq 1.\end{align*} \)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.8.}\) Parametrisoidaan yksikkövektoreita \( i \) ja \( j \) vastaavat janat. Yksikkövektori on siis koordinaattiakselin suuntainen ja yhden mittainen vektori.

Yksikkövektorin \( i \) alkupiste on origo, joten \( a=(0,0) \) ja loppupiste on \( (1,0) \), joten \( b=(1,0) \).

Nyt voimme parametrisoida yksikkövektoria \( i \) vastaavan janan käytäen määritelmää \( 2.6 \):

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a)=(0,0)-t((1,0)-(0,0))=(t,0), \ 0\leq t \leq 1. \end{align*}\)

Vastaavasti voimme parametrisoida yksikkövektoria \( j \) vastaavan janan:

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a)=(0,0)-t((0,1)-(0,0))=(0,t), \ 0\leq t \leq 1. \end{align*}\)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.9.}\) Parametrisoidaan käyrä, joka kulkee pisteestä \( a \) pisteen \( b \) kautta pisteeseen \( c \), missä \( a=(1,2) \), \( b=(4,4) \) ja \(c=(5,-1) \). Ensiksi parametrisoidaan jana \( ab \) ja sitten jana \( bc\).

Janan \( ab \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( u \)

\(\begin{align*}u(t)&=a+t(b-a)\\&=(1,2)+t((4,4)-(1,2))\\&=(1,2)+t(3,2)\\&=(1,2)+(3t,2t)\\&=(3t+1,2t+2),\end{align*}\)

missä \( 0\leq t\leq 1 \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( u(0)=(1,2) \) ja \( u(1)=(4,4) \).

Sitten janan \( bc \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( v \)

\(\begin{align*}v(t)&=b+t(c-b)\\&=(4,4)+t((5,-1)-(4,4))\\&=(4,4)+t(1,-5)\\&=(4,4)+(t,-5t)\\&=(t+4,-5t+4),\end{align*}\)

missä \( 0\leq t\leq 1 \).

Tarkistetaan tästäkin alku- ja päätepisteet: \( v(0)=(4,4) \) ja \( v(1)=(5,-1) \).

[Image]

Nyt on hyvä kerrata, että tässäkin tapauksessa erilaisia parametrisointeja on ääretön määrä. Kuitenkin janojen ja suorien ollessa kyseessä on tämän ja edellisen esimerkin parametrisointi sovelluksissa useimmiten suotavaa.

Tehtävä 1:

Parametrisoi suora \(y=[value]\), joka on määritelty välillä \( [0,[value]] \) huomautuksen 2.4 menetelmällä.

Käytä parametrina muuttujaa \( t \).

\( r(t)=(\) |  | , |  | \( ) \), missä |  | \(\leq t \leq \) | .

3. Yhden muuttujan funktion ääriarvot

Tarkastellaan seuraavaksi miten etsitään yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet ja määritetään ääriarvot. Optimoitava ongelma voidaan useimmiten redusoida funktion ääriarvojen eli minimien ja maksimien etsimiseen.

\( \textbf{Määritelmä 3.1.}\) Funktion \( f \) kriittinen piste on funktion \( f\) määrittelyjoukon \( D \) piste \( c \), jolla pätee joko \( f'(c)=0 \) tai \( f'(c) \) ei ole määritelty.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^2 \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x, \end{align*} \)

josta voidaan ratkaista derivaatan \( f'(x)=2x \) nollakohta

\(\begin{align*}f'(x)&=0,\\2x&=0,\\x&=0, \end{align*} \)

joten kriittinen piste on \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^3+2x-8x  \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^3+2x-8x)=3x^2+4x-8. \end{align*} \)

Koska funktion \( f \) derivaatta \( f'(x)=3x^2+4x-8 \) on toisen asteen polynomi, niin sen nollakohdat ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

\(\begin{align*}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}. \end{align*} \)

Sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa derivaattaan \( f' \) ja etsitään sen nollakohdat

\(\begin{align*}x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 3 \cdot (-8)}}{2\cdot 3},\\&=\dfrac{-4\pm\sqrt{112}}{6},\\&=\dfrac{-4\pm 4 \sqrt{7}}{6},\\&=\dfrac{-2\pm 2 \sqrt{7}}{3}, \end{align*} \)

josta saadaan nollakohdiksi \( \Bigg\{\dfrac{2\sqrt{7}-2}{3},\dfrac{-2\sqrt{7}-2}{3}\Bigg\}  \), jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet.

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.4.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi. Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Aiemmassa esimerkissä 3.2 tutkittiin funktiota \( f(x)=x^2 \). Funktion \( f \) globaali minimi on pisteessä \( x=0 \) ja globaalia maksimia ei ole olemassa.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Funktiolla \( f(x)=x^3 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on kriittinen piste \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.7.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Tarkastellaan funktiota \( f(x)=\dfrac{x^6}{6}-2x^5+\dfrac{35x^4}{4}-\dfrac{50x^3}{3}+12x^2 \).

[Image]

Funktion \( f \) kuvaajasta näemme, että funktiolla \( f \) on kaksi globaalia minimiä, yksi lokaali minimi ja kaksi lokaalia maksimia, mutta ei yhtään globaalia maksimia. Jos funktion määrittelyjoukko olisi rajoitettu vaikkapa välille \( [0,4] \), niin tällöin funktiolla \( f \) olisi kaksi globaalia maksimia, kaksi globaalia minimiä ja yksi lokaali minimi.

\( \textbf{Lause 3.8.}\) Jos funktio \( f \) on jatkuva suljetulla välillä \( [a,b] \), niin funktio \( f \) saavuttaa globaalin maksiminsa ja miniminsä joissakin suljetun välin \( [a,b] \) pisteissä.

\( \textbf{Lause 3.9.}\) Jos funktiolla \( f \) on lokaali maksimi tai minimi pisteessä \( c\), ja jos \( f'(c) \) on olemassa, niin \( f'(c)=0 \).

\( \textbf{Huomautus 3.10.}\) Jos \( f'(c)=0 \), jossakin pisteessä \( c \), niin siitä ei seuraa, että tässä pisteessä olisi maksimi tai minimi! Esimerkissä 3.6 tarkasteltiin funktiota \( f(x)=x^3 \) ja sillä pätee \( f'(0)=0 \) pisteessä \( x=0 \), mutta kuitenkaan funktiolla \( f \) ei ole maksimia tai minimiä.

\( \textbf{Huomautus 3.11.}\) Funktion \( f \) ääriarvojen eli maksimien tai minimien etsinnässä suljetulla välillä \( [a,b] \) on seuraavat vaiheet: etsi funktion \( f \) kriittiset pisteet avoimelta väliltä \( ]a,b[ \), laske funktion \( f\) arvot kriittisissä pisteissä, laske funktion \( f \) arvot suljetun välin \( [a,b] \) päätepisteissä ja lopuksi määritä ääriarvojen laatu vertaamalla arvoja keskenään.

Tehtävä 2

Etsi funktion \(f(x) = [value]\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Tehtävä 3

Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Tehtävä 4

Etsi funktion \( f(x)=[value] \) pisteet, joissa mahdolliset minimit sijaitsevat suljetulla välillä \( [value] \).

Huom. Syötä vastaus muodossa \( \big\{  f(x_{0}),f(x_{1}),...,f(x_{n})  \big\} \).

Tehtävä 5

Etsi funktion \(f(x) = [value]\) maksimit ja minimit suljetulla välillä \( \Big[-\dfrac{1}{2},4\Big] \).

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Maksimit: | Minimit:

Tehtävä 6

Mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \(f(x) = [value]\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \)?

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

1. Maksimi ja minimi usean muuttujan funktioille

Usean muuttujan funktion maksimin ja minimin käsitteet ovat samankaltaiset kuin yhden muuttujan funktioiden vastaavat. Kerrataan kuitenkin vielä määritelmät.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi. Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Määritelmä 1.2.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 1.3}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2-y^2 \) on yksi globaali maksimi, eikä yhtään globaalia minimiä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.4}\) Funktiolla \(f(x,y)=-x^4+20x^2-y^4+20y^2 \) on neljä globaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.5}\) Funktiolla \( f(x,y)= -x^4 -2x^3 + \dfrac{13x^{2}}{4} + \dfrac{x}{2} - y^4 - 2y^3 + \dfrac{13y^{2}}{4} + \dfrac{y}{2} - \dfrac{3}{2} \) on yksi globaali maksimi, kolme lokaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

2. Funktion jatkuvuus

3. Määrittelyjoukko suljettu

4. Määrittelyjoukko rajoitettu

Tehtävä 1

Seuraavat funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty.

Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \), kun \( x\neq 0\) ja \( f(x,y)=0 \) muulloin sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\leq x, y\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2} \), kun \( (x,y)\neq (0,0) \) ja \( f((0,0)=1 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y)=x+2y+3 \) sekä \(D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0< x < 1, 0< y < 2 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( d) \) \( f(x,y)=x^2 + y^2 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\geq 0, y\geq 0 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( e) \) \( f(x,y)=\sin{\pi\sqrt{x^2 + y^2}} \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \dfrac{1}{2} \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( f) \) \( f(x,y)=xy \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=4x \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

Tehtävä 2

Seuraavat kolmen muuttujan funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty.

Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \), kun \( (x,y,z)\neq (0,0,0) \) ja \( f(0,0,0)=10 \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} } \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}<1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\geq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

Q: Parametrisoi suoran \(y=[value]\) kohtien \( x=0 \) ja \( x=[value]\) väliin jäävä osa huomautuksen 2.4 menetelmällä.

Käytä parametrina muuttujaa \( t \).

\( r(t)=(\) |  | , |  | \( ) \), missä |  | \(\leq t \leq \) | .
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan parametrisointi \( y=t \) ja sijoitetaan \( t \) suoran yhtälöön, jolloin saadaan käyräksi \(r(t)=[value] \). Koska \( x \) on määritelty välillä \( [0,[value]] \), niin sama väli käy parametrin \( t \) määrittelyväliksi.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Eräs matriisien kertolaskun sovellus on atomien kiderakenteessa olevien mahdollisten polkujen listaaminen. Kiteissä atomien sijainnit muodostavat hilarakenteen. Atomi voi siirtyä sijainnista, jossa se on, mihin tahansa viereiseen sijaintiin, joka on vapaana.

Jos useampi kuin yksi viereisistä sijainneista on vapaana, niin atomi "valitsee" kohdesijaintinsa satunnaisesti. Polkua, jonka atomi muodostaa kulkiessaan kiderakenteessa, kutsutaan satunnaiskävelyksi.

Kiderakenne voidaan esittää suuntaamattoman graafin muodossa, jossa solmut esittävät atomien sijainteja ja särmät atomien mahdollisia polkuja. Atomi voi kulkea solmusta toiseen vain silloin, kun solmujen välillä on särmä. Alla olevassa kuvassa on eräs tälläinen graafi.

[Image]

Yllä olevassa graafissa atomi voi esimerkiksi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{2} \) tai \( v_{3} \), koska solmun \( v_{1} \) ja solmujen \( v_{2} \), \( v_{3} \) välillä on särmä. Toisaalta taas atomi ei voi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{6} \), koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{6} \) välillä ei ole särmää.

Graafin kaksi solmua ovat vierekkäiset, jos niiden välillä on särmä. Piste ei voi olla vierekkäinen itsensä kanssa, joten looppeja ei sallita.

Polku, jonka pituus on \( n \) on solmujono \( t_{1},\dots,t_{n+1}\) siten, että jokainen solmu \( t_{j} \) on solmun \( v_{j+1} \) vieressä. Tälläinen polku esittää atomin mahdollista kulkureittiä kiteen eri sijaintien kautta. Samojen solmujen kautta voidaan kulkea useasti. Polku \( v_{i}-v_{j}\) on polku, joka alkaa solmusta \( v_{i} \) ja loppuu solmuun \( v_{j} \).

Fyysikot ja materiaali-insinöörit tutkivat kiteitä ja ovat kiinnostuneita seuraavasta kysymyksestä: Jos kiteessä on \( n \) sijaintia atomeille, jotka ovat solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), niin kuinka monta \( k \) pitkää polkua on minkä tahansa kahden sijainnin eli solmun välillä?

Matriisit tulevat tässä vaiheessa kuvaan. Määritellään adjungaatti matriisi \( A \) siten, että se on \( n\times n \) matriisi, jossa jokainen \( i,i \) alkio on nolla, ja alkioilla \( i\neq j \) pätee, että alkio \( i,j \) on 1, jos on olemassa särmä solmujen \( v_{i} \) ja \( v_{j} \) välillä, ja 0, jos särmää ei ole.

Esimerkiksi ylläolevan graafin adjugaatti matriisi on

\(A=\)[value]

Matriisin \( A \) alkio \( 1,2 \) on 1, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{2} \) välillä on särmä, kun taas alkio \( 1,5 \) on 0, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{5} \) välillä ei ole särmää.

Seuraava väite voidaan todistaa, mutta todistus sivuutetaan tässä esityksessä. Sen avulla voidaan ratkaista edellä mainittu ongelma kaikkien eri polkujen listaamisongelma.

Olkoon \( A=[a_{ij}] \) graafin \( G \), jossa on solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), adjungaatti matriisi. Olkoon \( k \) mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Tällöin erillisten \( v_{i}-v_{j} \) polkujen, joiden pituus on \( k \), lukumäärä on yhtä kuin matriisin \( A^{k} \) alkio \(i,j \).

Tehtävänä on alla olevan graafin adjungaatti matriisin muodostaminen ja kaikkien kolmen mittaisten polkujen solmusta \( v_{4} \) solmuun \( v_{7} \) selvittäminen.

[Image]

\(A^{3}=\) |

Polkujen lukumäärä: |

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{3}4^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{3}4^k=4^0\cdot4^1\cdot 4^2\cdot 4^3=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Sixpack [value] on ollut säilössä komerossa, jonka lämpötila on \(T_k=[value]\,^\circ \rm{C}\).
Vieraiden tullessa saunailtaan päätät laittaa juomat pikaisen jäähtymisen toivossa pakkaseen, jonka lämpötila on \( T_p= -18\,^\circ \rm{C}\).
Arvioidaan, että [value] noudattaa tölkistä huolimatta Newtonin jäähtymislakia \(\frac{dT}{dt}=k(T-T_Y),\) missä \(T_Y\) on ympäristön lämpötila ja \(k\) on jokin vakio.
[value] minuutin kuluttua otat yhden tölkin, mutta [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) eli turhan lämmintä juotavaksi.

Ohje: viisi yritystä sallitaan. Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*)! Useamman merkin potenssi, esim. \(x^{2\cdot a}\) kirjoitetaan x^(2*a).

a) Mikä on yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona?
Kirjoita alaindeksi normaalina merkkinä, esim. \(T_a\) muodossa Ta ja käytä tarvittaessa vakiona kirjainta \(C\).

\(T(t)=\)

b) Kuinka kauan täytyy vielä odottaa, että [value] lämpötila on tarjoilusuositusten mukainen [value] \(\,^\circ \rm{C}\)?
Anna vastauksesi minuutin tarkkuudella.

Aika: minuuttia
Feedback: Mallivastaus: a) Pakkaseen laitettaessa [value] on lämpimämpää kuin pakastimen ilma, joten \(T-T_p>0\). Yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona saadaan Newtonin jäähtymislaista, joka on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö. Lisäksi on syytä huomata, että lämpötilan termit voidaan erottaa yhtälön muista tekijöistä, joten diff.yhtälö on separoituva. Ratkaistaan siis Newtonin jäähtymislain yhtälö lämpötilan \(T\) suhteen: \( \begin{array}{ll} \frac{dT}{dt}& =k(T-T_p)\\ \Leftrightarrow& \int\frac{dT}{(T-T_p)} = \int kdt \\ \Leftrightarrow& \ln |T-T_p| =kt+C \\ \Leftrightarrow& T =T_p+e^{kt}e^C \end{array} \) Yleinen ratkaisu: \(T(t)= T_p+e^Ce^{k\cdot t}.\) b) Valitaan ajanhetkeksi \(t=0\) hetki, jolloin juomat laitettiin pakastimeen ja ajanyksiköksi minuutti. Tehtävänannosta saadaan alkuehdot, joiden avulla voidaan ratkaista \(e^C\) ja \(k\): \( \begin{array}{ll} T(0) = T_p+e^Ce^{k\cdot 0}= [value]\,^\circ \rm{C}+e^C=[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow e^C=[value]\,^\circ\rm{C}\\ T([value]) = T_p+e^Ce^{k\cdot [value]}= [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{k\cdot [value]} =[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow k=\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right) \end{array} \) /* Vakio k on kirjoitettu yhtälöihin auki, koska Maxima sieventää vaikealukuiseen muotoon */ Ratkaistaan, millä ajanhetkellä \(t\) [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) sijoittamalla määritetyt arvot yleiseen ratkaisuun. \( \begin{array}{ll} &T(t) = [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)\cdot t}= [value]\,^\circ \rm{C}\\ \Rightarrow &t = \frac{\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}\\ \Rightarrow &t = [value]\ \text{minuuttia} \end{array} \) Koska ajanhetkeksi \(t=0\) valittiin ensimmäisen lämpötilamittauksen hetki, niin siitä on jo kulunut [value] minuuttia. Täytyy siis odottaa vielä [value] minuuttia, että [value] lämpötila on [value]\(\,^\circ \rm{C}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{6}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{6}i=2+3+4+5+6=20\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{100}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{100}i=0\cdot1\cdot\quad\dots \quad\cdot 99\cdot 100=0\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(i+1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(i+1)=(0+1)+(1+1)+(2+1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{2}2= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{2}2=2\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}1=\underset{\text{n kpl}}{1+\dots+1}=n\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa (* on kertomerkki)
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}C= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}C=\sum_{i=1}^{n}\underset{\text{n kpl}}{C+\dots+C}=Cn\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=1}^{4}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=7}^{7}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=7}^{7}i=7\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i+1)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2+1=n+3\). Alaraja: \(3+1=4\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i-2)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2-2=n\). Alaraja: \(3-2=1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{n+k}(i+k)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+k+k=n+2k\). Alaraja: \(k+k=2k\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=4}^{10}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(10-3=7\). Summattava: \(i+3\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{2k}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(2k-(k-1)=2k-k+1=k+1\). Summattava: \(i+(k-1)=i+k-1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}(i+1)\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+1\). Summattava: \(i+1-1=i\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus 1: Yläraja: \( n+1 \) Summattava: \( i-1 \) Mallivastaus 2: Yläraja: \( n \) Summattava: \( i \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}ki=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}ki=k\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{kn(n+1)}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+n=\dfrac{n^2+3n}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+k+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}k+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+kn+n=\dfrac{2n^2+2n+2kn^2+2kn+4n}{4}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^4}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{1\cdot\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^2}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^{11}}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Reaaliluvun desimaaliesitys ei aina ole yksikäsitteinen. Tarkastellaan päättymätöntä desimaalilukua \( 0,999\ldots \), jota vastaa sarja
\(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{{10}^2}+\dfrac{9}{{10}^3}\dots\end{align*} \)

Laske tämän sarjan summa
\(\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^1}{1-\dfrac{1}{10}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}x^i&=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0+(1+1)x^1+(2+1)x^2+(3+1)x^3+(4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0+(x+1)^1+(x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0+(x+1)^1+(x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}x^i&=x^0\cdot x^1\cdot x^2\cdot x^3\cdot x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0\cdot (1+1)x^1\cdot (2+1)x^2\cdot (3+1)x^3\cdot (4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \(f(x) = [value]\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet sijaitsevat funktion derivaatan nollakohdissa. Derivoimme funktion \(f(x) = [value]\) ja saamme derivaataksi \( [value] \), joten saamme kriittiseksi pisteeksi ratkaisemalla derivaatan nollakohdat \([value]\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet löydetään derivoimalla funktio ja ratkaisemalla sen nollakohdat. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \), jolloin saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Nyt, koska derivaatan nimittäjä on toisen asteen funktio, niin voidaan ratkaista sen nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Vastaukseksi saadaan \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet löydetään derivoimalla funktio ja ratkaisemalla sen nollakohdat. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \), jolloin saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Koska derivaatan nimittäjä on toisen asteen funktio, niin voidaan ratkaista sen nollakohdat toisen asteen funktion ratkaisukaavalla. Vastaukseksi saadaan \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Määritä se piste tai ne pisteet, jossa funktio \( f(x)=[value] \) saa pienimmän arvonsa välillä \( [value] \).

Huom. Syötä vastaus muodossa \( \big\{  x_{0},x_{1},...,x_{n}  \big\} \).
Feedback: Mallivastaus: Jos yhden muuttujan funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sen määrittelyjoukko on rajoitettu ja suljettu, jolloin, mahdolliset ääriarvot sijaitsevat määrittelyjoukon reunapisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Aluksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Määrittelyjoukon reunapisteet ovat \( [value] \) ja \( [value] \), jolloin huomataan, että \( \cos([value]) =\) \( [value] \neq 0 \) ja \( \cos([value]) =\) \( [value] \neq 0 \), joten reunapisteissä ei ole kriittisiä pisteitä. Reunapisteissä voi silti olla ääriarvo, joten se täytyy lopuksi varmistaa, mutta tässä tapauksessa on selvää ettei näin ole. Koska kosinifunktion nollakohdissa derivaatta \( f'(x)=[value] \) saa arvon nolla, ovat kriittiset pisteet \( [value]\). Lopuksi selvitetään minimipisteiden sijainnit kokeilemalla eri arvoja derivaatalle, joten saamme vastaukseksi \( [value]\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \(f(x) = [value]\) maksimit ja minimit suljetulta väliltä \( \Big[ -\dfrac{1}{2},4 \Big] \).

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Kriittiset pisteet: | Maksimit: | Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Ensiksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joten kriittiset pisteet ovat \( [value] \). Molemmat kuuluvat funktion \( f \) määrittelyvälille \( [-\dfrac{1}{2},4] \), joten ne huomioidaan. Lasketaan arvot funktion \( f \) määrittelyvälin päätepisteissä: \( f(-\dfrac{1}{2})=[value] \) ja \( f(4)=[value] \). Lasketaan arvot funktion \( f \) kriittisissä pisteissä: \( f([value])=[value] \) ja \( f([value])=[value] \). Lopuksi määritetään maksimit ja minimit vertailemalla edellä laskettuja arvoja. Maksimit: \( [value] \). Minimit: \( [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \(f(x) = [value]\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \)?

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Aluksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( [value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joiksi saadaan \( [value] \) ja jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet. Seuraavaksi täytyy määrittää, että mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \( f\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \). Ensiksi hylätään piste \( 0 \), koska siinä ei esiinny lukua \( a \). Toiseksi havaitaan, että funktio \( f \) on symmetrinen ja siten riittää tarkastella jompaa kumpaa jäljellä olevaa kriittistä pistettä. Tarkastellaan yhtälöä \( \sqrt{\dfrac{a}{2}}=1 \). Korottamalla neliöön molemmin puolin ja kertomalla kahdella saadaan vastaukseksi \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.