Title: 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö

Q: Solve the equationRatkaise yhtälö

\[ \begin{align*} &\textrm{(a)}\quad t^2 y''(t) + 4ty'(t) + 2y(t) = 0,\\ &\textrm{(b)}\quad t^2y''(t) +3ty'(t) + y(t)=0,\\ &\textrm{(c)}\quad t^2y''(t) - 3ty'(t)+ 5y(t)=0. \end{align*} \]
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-1} + c_2|t|^{-1} \ln|t|, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2 \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 e^{(-2+\sqrt 2)t} + c_2 e^{(-2-\sqrt 2)t}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1 e^{(-\frac 32 +\sqrt 2)t} + c_2 e^{(-\frac 32-\sqrt 2)t}, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 e^{2t} \cos(t) + c_2 e^{2t}\sin(t) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} + c_2|t|^{-1}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} \cos(\ln|t|) + c_2|t|^{-2} \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
- \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-2} + c_2|t|^{-3}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-2} + c_2|t|^{-2} \ln(|t|), \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1|t|^2 \cos|t| + c_2|t|^2 \sin|t| \end{align*}\)
A: \(\begin{align*} &\textrm{(a)}~y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}, \\ &\textrm{(b)}~y(t) = c_1|t|^{-1} + c_2|t|^{-1} \ln|t|, \\ &\textrm{(c)}~y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2 \sin(\ln|t|) \end{align*}\)
If right: You got it right, hooray! Good job! Oikea vastaus, hienosti tehty!
If partly right: Your answer is partially correct. Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Your answer is incorrect. Vastauksesi on väärin.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) The characteristic equation of the differential equation isDifferentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r(r-1)+4r+2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad r^2+3r+2=0. \] The solutions of this characteristic equation areTämän karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat \[ r = -\frac 32 \pm \sqrt {\frac{9-8}4} = \frac 32 \pm \frac 12 = \begin{cases} -1,&\\ -2.\end{cases} \] Thus the general solution isNäin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2|t|^{-2}. \] (b) In this case for the characteristic equation we getTässä tapauksessa saadaan karakteristiseksi yhtälöksi \[ r(r-1)+3r+1=0 \quad \Longleftrightarrow\quad r^2+2r+1=(r+1)^2=0, \] i.e. the only root is \(r=-1\). Thus the general solution isjoten ainoa juuri on \(r=-1\). Näin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(t) = c_1 |t|^{-1} + c_2 |t|^{-1} \ln|t|. \] (c) The characteristic equation of this differential equation isTämän differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r(r-1)-3r+5=0 \quad \Longleftrightarrow\quad r^2-4r+5= 0, \] For the solutions we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r= 2 \pm\sqrt{4-5} = \begin{cases}2+i\, ,&\\ 2-i\, .&\end{cases} \] Thus the general solution of the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 |t|^2 \cos(\ln|t|) + c_2|t|^2\sin(\ln|t|). \]

Q: Consider the following initial value problem: \[y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0,\] \(y(0)=1\), \(y'(0)=2.\) How does the solution \(y(x)\) of this differential equation behave, when \(x \rightarrow \infty\)? Miten käyttäytyy alkuarvotehtävän \[y''(x) + 2y'(x) + 4y(x) = 0,\] \(y(0)=1\), \(y'(0)=2\), ratkaisu \(y(x)\), kun \(x \rightarrow \infty\)?
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = 0\).
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = \infty\).
- \(\lim_{x\to\infty} y(x) = a\) (constantvakio, \(\neq 0\)).
- none of the above.ei mikään annetuista.
A: \(\lim_{x\to\infty} y(x) = 0\).
If right: You got it right, hooray! Good job! Oikea vastaus, hienosti tehty!
If partly right: Your answer is partially correct. Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Your answer is incorrect. Vastauksesi on väärin.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Based on the known facts, we can form the characteristic equationTehtävälle saadaan karakteristinen yhtälö \[ r^{2}+2r+4=0, \] from which we getjosta \[ r=\frac{-2\pm \sqrt{4-16}}{2}=-1\pm i\sqrt{3} \] and considering the initial conditions, we end up with the solutionja tehtävän ratkaisu on alkuehdot huomioiden \[ y(x) = e^{-x} (\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})). \] This converges to zero, since \(e^{-x}\to 0\), when \(x\to\infty\), and \(\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})\) is restricted.Tämä suppenee nollaan, sillä \(e^{-x}\to 0\), kun \(x\to\infty\), ja \(\sqrt{3}\sin(x\sqrt{3}) + \cos(x\sqrt{3})\) on rajoitettu.

Find the general solution for the differential equationMääritä differentiaaliyhtälön

(a) | \(\quad y''(t)-7y'(t)+10y(t)= 0\),
(b) | \(\quad y''(t)+12y'(t)+36y(t)= 0\),
(c) | \(\quad y''(t) + 4y'(t)+8y(t)= 0\),

Choose the correct answer from the following by writing the number corresponding to your pick of choice in the box below.yleinen ratkaisu. Valitse oikea vaihtoehto seuraavista ratkaisuista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

\[\begin{array}{ll} ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{-6t}+c_2 t\textrm{e}^{-6t}, \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1\textrm{e}^{-2t}\cos(2t)+c_2\textrm{e}^{-2t}\sin(2t). \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(5t) + c_2 \sin(2t), \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2 \textrm{e}^{-6t}, \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(2t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(-6t) + c_2 \sin(-6t), & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2t \textrm{e}^{-6t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t} + c_2 \textrm{e}^{2t}. & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(-6t) + c_2 \sin(-6t), & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-6t} + c_2 \textrm{e}^{-6t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(2t) + c_2 e^{-2t}\sin(2t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-5t} + c_2 \textrm{e}^{-2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-12t} + c_2 \textrm{e}^{-12t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-2t}\cos(3t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(3t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{5t} + c_2 \textrm{e}^{2t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-12t} + c_2 t \textrm{e}^{-12t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{2t}\cos(2t) + c_2 \textrm{e}^{-2t}\sin(3t). & \\ \\ ([value])\quad &\textrm{(a)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{-7t} + c_2 \textrm{e}^{10t}, & \\ &\textrm{(b)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{12t} + c_2 \textrm{e}^{36t}, & \\ &\textrm{(c)}~y\left(t\right)=c_1 \textrm{e}^{2t}\cos(3t) + c_2 \textrm{e}^{2t}\sin(3t).& \\ \\ \end{array}\]

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) The characteristic equation isKarakteristinen yhtälö on \[ r^2-7r+10= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r = \frac{7}{2} \pm\sqrt{\frac{49}{4}-10} = \begin{cases} 5,& \\ 2.&\end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t)=c_1 e^{5t}+ c_2 e^{2t}. \] (b) In this case the characteristic equation isTässä tapauksessa karakteristinen yhtälö on \[ r^2+12r+36= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r= -6 \pm\sqrt{36-36} = \begin{cases} -6,& \\ -6.& \end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 e^{-6t} + c_2 t e^{-6t}. \] (c) The characteristic equation isKarakteristinen yhtälö on \[ r^2+4r+8= 0, \] Solving for \(r\) we getTästä saadaan ratkaisuiksi \[ r = -2 \pm\sqrt{4-8} = \begin{cases} -2+i\, 2,& \\ -2-i\, 2.& \end{cases} \] Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis \[ y(t) = c_1 e^{-2t}\cos(2t) + c_2 e^{-2t}\sin(2t). \]

Find a particular solution for the differential equation \[ y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x) \] using the substitution \(Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\). Provide the values of the constants \(A\) and \(B\) in your answer (integers). Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x) \] yksittäisratkaisu yritteen \[ Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x) \] avulla. Anna vastauksena vakioiden \(A\) ja \(B\) arvot (jotka ovat kokonaislukuja).

\(A=~\) |
\(B=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find a particular solution for the differential equation \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) using the substitution \(y(x) = Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\), we need to find the second derivative of the function \(y\).Differentiaaliyhtälön \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) yksittäisratkaisun määrittämiseksi yritteellä \(y(x) = Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x)\), tulee laskea yritteen toinen derivaatta. \begin{align*} y(x) &= Ax\cos([value]\cdot x)+Bx\sin([value]\cdot x) \\ y'(x) &= [value] \\ y''(x) &= [value] \end{align*} Substituting \(y\) in the differential equation \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\) and simplifying the expression, we get \[ [value] = [value]\cos([value]\cdot x). \] From this form we are able to see the values of the constants right away: \(A=[value]\) and \(B=[value]\).Sijoitetaan yrite differentiaaliyhtälöön \(y''+[value]y=[value]\cos([value]\cdot x)\). Sieventämällä saadaan tulokseksi \[ [value] = [value]\cos([value]\cdot x). \] Tästä muodosta nähdään suoraan kertoimet \(A=[value]\) ja \(B=[value]\).

Find the general solution \(y(t)\) for the differential equation \[ [value]=0\] Note that you need to include constants in your answer.Etsi differentiaaliyhtälön \[ [value]=0\] yleinen ratkaisu \(y(t)\). Huomaa, että vastauksessasi täytyy olla vakiotermejä.

\( y(t)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Homogeneous, linear, second order differential equation containing constant multipliers is of the form \( a y''+b y' + c y = 0 \). The characteristic equation for this kind of differential equation is \( a r^2+b r + c = 0 \). In this exercise, we have to solve the differential equation \[ [value]=0, \] so here the characteristic equation is \[ [value]=0 \] To find the solutions for the characteristic equation, we apply the quadratic equation. The zeros are \( r_1=[value] \) and \( r_2=[value] \). Since the characteristic equation has two distinct roots, the general solution for the differential equation is of the form \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{r_1 t} + C_2 \textrm{e}^{r_2 t}, \] where \( r_1 \) and \( r_2 \) are the roots of the characteristic equation. Therefore, the solution for the differential equation is \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{[value] t} + C_2 \textrm{e}^{[value] t} .\]Homogeeninen, lineaarinen, vakiokertoiminen, toisen asteen differentiaaliyhtälö on muotoa \( a y''+b y' + c y = 0 \). Tällaisen differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \( a r^2+b r + c = 0 \). Tässä tehtävässä ratkaistava differentiaaliyhtälö on \[ [value]=0, \] joten sen karakteristinen yhtälö on \[ [value]=0 \] Karakteristisen yhtälön nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \( r_1=[value] \) ja \( r_2=[value] \). Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri juurta, joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{r_1 t} + C_2 \textrm{e}^{r_2 t}, \] jossa \( r_1 \) ja \( r_2 \) ovat karakteristisen yhtälön juuret. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \[ y(t)=C_1 \textrm{e}^{[value] t} + C_2 \textrm{e}^{[value] t} .\]

Find the general solution \(y(t)\) to the differential equation \[ [value]=[value].\] Note that you have to include constants in your answer. For constants you may use any symbols you like, e.g. \(A\) and \(B\).Etsi differentiaaliyhtälön \[ [value]=[value]\] yleinen ratkaisu \(y(t)\). Huomaa, että vastauksessasi täytyy olla vakiotermejä. Voit käyttää vakioina mitä tahansa symbolia esimerkiksi \(A\) ja \(B\).

\(y(t)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[ [value]=[value] \] First we solve the homogeneous differential equation \(\small{(\textrm{subst. }y(t)=\textrm{e}^{rt})}\)Ratkaistaan ensin homogeeninen differentiaaliyhtälö \(\small{(\textrm{yrite: }y(t)=\textrm{e}^{rt})}\) \[ [value]=0 \] For the characteristic equation we getKarakteristiseksi yhtälöksi saadaan \[ [value] \\ \Rightarrow r_1=[value]\textrm{ ja }r_2=[value] \] The solution for the homogeneous equation isHomogeenisen yhtälön ratkaisu on \[ y_c (t)=C\textrm{e}^{[value]} + D\textrm{e}^{[value]} \] To find the particular solution of the nonhomogeneous equation, we use the substitutionRatkaistaan epähomogeenisen yhtälön erikoisratkaisu yritteellä \[ y_p (t)=A\cos([value])+B\sin([value]) \\ \Rightarrow y_p~'(t)=-[value]\sin([value])+[value]\cos([value]) \\ \Rightarrow y_p~''(t)=-[value]\cos([value])-[value]\sin([value]) \\ \] Substituting these in the original differential equation, we getSijoitetaan nämä tehtävässä annettuun differentiaaliyhtälöön \[ \Rightarrow[value]=[value] \] Solving for \(A\) and \(B\) we getRatkaistaan \(A\):n ja \(B\):n arvot \[ \left\{\begin{array}{ll} [value]&=[value] \\ [value]&=[value] \end{array}\right. \] The solutions are \(A=[value]\) and \(B=[value].\)Ratkaisuiksi saadaan \(A=[value]\) ja \(B=[value].\) The solution for the exercise is the sum of two expressions: the particular solution to the nonhomogeneous system of equations and the general solution to the homogeneous equation.Tehtävän ratkaisu on epähomogeenisen yhtälöryhmän erikoisratkaisu ja homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun summa. \[ y(t)=y_c (t)+y_p (t) \\ \\ y(t)=[value] \]

Find the general solution for the differential equation \[ y''+[value] y'-[value]y=0. \] Use \(x\) for the variable and symbols \(A\) and \(B\) for the constants. The exponential function should be given in the form exp(5*x). Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value] y'-[value]y=0 \] yleinen ratkaisu. Käytä muuttujaa \(x\) ja vakioille symboleja \(A\) ja \(B\). Eksponenttifunktio annetaan esim. muodossa exp(5*x).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Substitution: Yrite: \(y=\textrm{e}^{rx} \Rightarrow y'=r\textrm{e}^{rx},~y''=r^2\textrm{e}^{rx}\) Substituting these in the equation we getSijoittamalla nämä yhtälöön saadaan \[ \textrm{e}^{rx}(r^2+[value]r-[value])=0, \] so the characteristic equation of the differential equation iseli differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on \[ r^2+[value]r-[value]=0. \] Solving for \(r\) we get \(r_1=[value]\textrm{ and }r_2=[value]\).Ratkaisuiksi saadaan \(r_1=[value]\textrm{ ja }r_2=[value]\). Therefore the general solution isNäin ollen yleinen ratkaisu on \[ y(x)=A\textrm{e}^{[value]x}+B\textrm{e}^{[value]x}. \]

Given the Euler differential equationMääritä Eulerin differentiaaliyhtälöön

\[ x^2 y''-[value] x y'+[value] y=0 \]

find the solution for the initial value problem \(y(1)=[value]\), \(y'(1)=0\). For your answer, provide the exponents of the functions \(x^r\) appearing in the solution in increasing order (\(r_1 < r_2\)) and the actual solution which is a polynomial having integer coefficients.liittyvän alkuarvotehtävän \[y(1)=[value]\text{ ja } y'(1)=0\] ratkaisu. Anna vastauksena ratkaisussa esiintyvien funktioiden \(x^r\) eksponentit suuruusjärjestyksessä (\(r_1 < r_2\)) ja varsinainen ratkaisu, joka on kokonaislukukertoiminen polynomi.

\(r_1 =~\)
\(r_2 =~\)
\(y(x) =~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Substitution: \(y(x)=x^r~\Rightarrow y'(x)=rx^{r-1}\textrm{ and }y''(x)=r(r-1)x^{r-2}\)Yrite: \(y(x)=x^r~\Rightarrow y'(x)=rx^{r-1}\textrm{ ja }y''(x)=r(r-1)x^{r-2}\) Substituting in the given differential equation, we getSijoitetaan annettuun differentiaaliyhtälöön \begin{align*} x^2y''-[value]xy'+[value]y&=0 \\ x^2\cdot r(r-1)x^{r-2}-[value]x\cdot rx^{r-1}+[value]x^r&=0 \\ =r(r-1)x^r-[value]rx^r+[value]x^r&=0 \\ =x^r(r(r-1)-[value]r+[value])&=0 \end{align*} Assuming \(x>0\) we can solve the equationOletuksella \(x>0\) voidaan yhtälö ratkaista \[ r(r-1)-[value]r+[value]=0. \] For the solutions we get \(r_1 = [value]\textrm{ and }r_2 = [value]\).Ratkaisuiksi saadaan \(r_1 = [value]\textrm{ ja }r_2 = [value]\). Therefore the general solution isEli yleinen ratkaisu on \[ y(x)=C_1 x+C_2 x^{[value]} \\ \] and its derivative isja sen derivaatta on \[ \Rightarrow y'(x)=C_1+[value]C_2 x^{[value]}. \] Using the initial conditions provided in the exercise, we can find the constants \(C_1\) and \(C_2\).Tehtävässä annettujen alkuarvojen perusteella ratkaisemme vielä vakiot \(C_1\) ja \(C_2\). \begin{align*} y(1)&=[value] \\ = C_1 +C_2 &= [value] \\ \Rightarrow C_1 &= [value]-C_2 \\ \\ \\ y'(1)&=0 \\ C_1+[value]C_2&=0 \\ [value]-C_2+[value]C_2&=0 \\ \Rightarrow C_2 &= -[value] \\ \Rightarrow C_1 &= [value] \\ \end{align*} The solution isVarsinainen ratkaisu: \[ y(x)=[value] \]

Let \(y(t)\) be the solution for the initial value problemOlkoon \(y(t)\) alkuarvo-ongelman

\[ 4 y''(t) + y(t) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y'(\pi) = -1 \]

Find \(y(2 \pi)\). Choose the correct answer from the following choices by writing the number corresponding to your pick of choice in the text box below.ratkaisu. Etsi \(y(2 \pi)\). Valitse oikea ratkaisu seuraavista vaihtoehdoista kirjoittamalla ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

([value]) \(\quad y(2\pi)=-2\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=-1\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=1\)

([value]) \(\quad y(2\pi)=2\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The characteristic equation is \(4 r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm \frac{i}{2}\). Thus the general solution is \(y(t) = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}\) and its derivative is \(y'(t) = - \frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2}\). From the initial values we get the conditionsKarakteristiseksi yhtälöksi saadaan \(4 r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm \frac{i}{2}\). Yleinen ratkaisu on tällöin \(y(t) = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}\) ja derivaatta on \(y'(t) = - \frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2}\). Alkuarvoista saadaan ehdot \begin{align*} B & = 1 \\ \\ - \frac{A}{2} & = -1, \end{align*} i.e. \(A = 2\) and \(B = 1\). Therefore \(y(t) = 2 \cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}\) and \(y(2 \pi) = 2 \cos \pi + \sin \pi = -2\).eli \(A = 2\) ja \(B = 1\). Tällöin \(y(t) = 2 \cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}\) ja \(y(2 \pi) = 2 \cos \pi + \sin \pi = -2\).