Title: IMA1 (viikko 3)

Olkoon \(z = re^{i\theta}\) (napakoordinaattiesityksen) eksponenttimuodossa oleva kompleksiluku. Vastaa kysymyksiin. Vain kahdessa kohdassa vastaus on pelkkä lukuarvo, muut vastaukset sisältävät vähintään yhden muuttujista \(r\) ja \(\theta\). Huom. \(\pi = \) pi, \(\theta = \) theta.

(a) Kuinka monta (oleellisesti) erilaista [value]:ttä :tta juurta on luvulla \(z\)?
Niitä on kpl.

(b) Millä etäisyydellä origosta sijaitsevat kaikki luvun \(z\) [value]:nnet juuret?
Etäisyydellä

(c) Missä kulmassa ovat toisiinsa nähden mitkä tahansa kaksi vierekkäistä (kierrettäessä origoa joko myötä- tai vastapäivään) luvun \(z\) [value]:ttä :tta juurta?
Kulmassa

(d) Kompleksiluvulle \(z=re^{i\theta}\) saa yhden [value]:nnen juuren samoin kuin reaaliluvuille eli potenssiin \(\frac{1}{[value]}\) korotuksen avulla. Mikä on tällä tavalla saadun [value]:nnen juuren argumentti?
Argumentti on

(e) Mikä on kohdan d) argumenttiasi vastaava \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

(f) Mikä on kohdan e) vastaukseksi antamasi [value]:nnen juuren vieressä vastapäivään seuraavana sijaitseva \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kompleksilukujen joukossa. Anna kaikki ratkaisut joukkona aaltosuluissa, esim. {-1,1}. Anna ratkaisu joukkosulkeissa myös siinä tapauksessa, että kyseessä on kaksoisjuuri. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta i.

(a) \([value] = 0 \quad\)

Ratkaisut:

(b) \([value] = 0 \quad\)

Ratkaisut:

Olkoon \(z_1 = [value]\) ja \(z_2 = [value]\). Mitä ovat seuraavat? Anna vastaukset tarkkoina arvoina, älä liukulukuina. \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)} \) .

\(\operatorname{Re}(z_1) = \,\) |  |
\(\operatorname{Im}(z_1) = \,\) |  |
\(z_1+z_2 = \,\) |  |
\(z_2-z_1 = \,\) |  |
\(\overline{z_1} = \,\) |  |
\(|z_2| = \,\) |  |

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

Esimerkiksi luvun \(-8\) voi esittää tulona muodoissa \(-8=-1\cdot 8=1\cdot\left(-8\right)=-2\cdot 4=2\cdot\left(-4\right)\), joten tekijät ovat \({1,-1,2,-2,4,-4,8,-8}\).

(a) Anna kaikki positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. (Vastaavat negatiiviset luvut ovat myös tekijöitä, mutta kirjoitustyön helpottamiseksi tähän tarvitsee antaa vain positiiviset.) Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,7}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki positiiviset luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta. Muista lukuja kokeillessasi, että kohdan (c) lukujen negatiiviset versiot ovat myös mahdollisia nollakohtia.
Vastaus:

Kirjoita jotain jokaiseen vastauslaatikkoon ennen vastauksen lukitsemista.

Olkoon \(p_1(x) = [value]\).

(a) Laske

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

Näiden kolmen laskun perusteella voi sanoa, että polynomi \(p_1(x)\) on jaollinen 1. asteen polynomilla \(q(x) = \) .

Polynomi \(p_1(x)\) voidaankin esittää muodossa

\(p_1(x) = q(x)([value])\).

Mitkä ovat polynomin \(p_1(x)\) kaikki nollakohdat? Anna nollakohdat joukkona aaltosulkeissa, esim. {[value],[value],[value]}.

Nollakohtien joukko on .

(b) Kokeillaanpa nyt samaa prosessia toiseen suuntaan. Koska tiedät, miten polynomi esitetään nollakohtiensa avulla, anna se 3. asteen polynomi \(p_2(x)\) jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja jonka nollakohdat ovat [value], [value] ja [value]. Vastauksessa ei voi käyttää sulkeita, koska polynomin voi esittää ilman niitä.

\(p_2(x) = \)

(a) Ilmoita napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodossa kompleksiluvut \(z_1 = [value]-[value]i\) ja \(w_1=[value]-\sqrt3\,i\).

Esim. syntaksista: Luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

\(z_1\) | = |  |
\(w_1\) | = |  |

Ohje: (1) Piirrä summittainen kuva luvusta vektorina. (2) Laske luvun moduli. (3) Kirjoita luku niin, että moduli on otettu tekijäksi reaali- ja imaginääriosista. Tällöin toisen tekijän pitäisi esittää yksikköympyrän pistettä. (4) Yksikköympyrän pisteen reaali- ja imaginääriosan itseisarvojen perusteella saat muistikolmiosta kulman, merkitään sitä esim. \(\phi\). (5) Päättele, miten kulma \(\phi\) liittyy napakoordinaattien kulmaan \(\theta\), jonka tarvitset vastaukseesi. Käytä kuvaasi apuna tässä päättelyssä.

(b) Muunna kompleksiluvut \(\displaystyle z_2 = 2 e^{i [value]}\) ja \(\displaystyle w_2 = [value]e^{-i\frac{\pi}{2}}\) muotoon \(x+yi\) ja laske niiden summa.

\(z_2+w_2 = \)

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Käytä kertomerkkiä imaginääriyksikköä kirjoittaessasi. Esim. \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

(a) | \(z_1z_2\) | \(= \)
 | \(z_2z_1\) | \(= \)
(b) | \(\dfrac{z_1}{z_2}\) | \(= \)
 | \(\dfrac{z_2}{z_1}\) | \(= \)
(c) | \(z_1^2\) | \(= \)
 | \(z_2^2\) | \(= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ & z_2 z_1 = z_1 z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 \bar{z}_1}{z_1 \bar{z}_1} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Tämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

Luvun \(z\) eräs neljäs juuri on \(w_0 = [value]\). Määritä luku \(z\) ja loput sen neljänsistä juurista. Kirjoita luku \(z\) ja juuret vastauslaatikoihin muodossa \(a+b[value]\).

Luku \(z = \)

Anna loput neljännet juuret joukkona aaltosulkeissa, esim. \(\{a_1 +b_1 [value], a_2 + b_2 [value], a_3 + b_3 [value]\}\).

Luvun \(z\) muiden juurten muodostama joukko on

Ohje: Sinun ei tarvitse selvittää luvun \(w_0\) vaihekulmaa missään vaiheessa ratkaisua. Selvitä sen sijaan kahden peräkkäisen (vastapäivään mentäessä) neljännen juuren välinen kulma, piirrä juuret ympyrälle ja mieti sen perusteella niiden koordinaatteja.
Feedback: Mallivastaus: Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\). Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \]

Luvun \(z\) eräs neljäs juuri on \(w_0 = [value]\). Määritä luku \(z\) ja loput sen neljänsistä juurista. Kirjoita luku \(z\) ja juuret vastauslaatikoihin muodossa \(a+b[value]\) siinäkin tapauksessa, että laskisit juuret käyttäen apuna napakoordinaatteja. Anna jälkimmäiseen vastauslaatikkoon vastauksena muiden neljänsien juurten joukko aaltosulkeiden sisällä eli \(\{a_1 +b_1 [value], a_2 + b_2 [value], a_3 + b_3 [value]\}\).

Huom. Tehtävässä esiintyvän \(w_0\):n kulmaa ei tarvitse osata tentissä. Toisaalta tämän tehtävän ratkaistaksesi sinun ei välttämättä tarvitse missään vaiheessa kyseistä kulmaa selvittää. Selvitä sen sijaan kahden peräkkäisen (vastapäivään mentäessä) neljännen juuren välinen kulma, piirrä juuret ympyrälle ja mieti sen perusteella niiden koordinaatteja.

Luku \(z = \)

Luvun \(z\) muiden juurten muodostama joukko on
Feedback: Mallivastaus: Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\). Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \]

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Käytä tässä tehtävässä kertomerkkiä imaginääriyksikköä kirjoittaessasi. Esimerkiksi luku \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

(a) \( \ z_1 \cdot z_2 = \)
\( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

(b) \( \ \dfrac{z_1}{z_2} = \)
\( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

(c) \( \ z_1^2 = \)
\( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Vastaa kysymyksiin. Muista käyttää tähteä kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

(a) Ilmoita napakoordinaateissa kompleksiluvut \(z_1 = [value]-[value]i\) ja \(w_1=[value]-\sqrt3\,i\).

Vihje: Piirrä summittainen kuva siitä, missä neljänneksessä ja suurin piirtein missä kohtaa neljännestä luku sijaitsee. Laske moduli. Kirjoita sen laskettuasi kompleksiluku niin, että moduli on yhteisenä tekijänä. Tällöin toisen tekijän pitäisi siinä vaiheessa olla yksikköympyrällä sijaitseva piste. Sen jälkeen mieti tätä pistettä ilman etumerkkejä, jolloin se on muotoa \(\cos{\phi} +i\sin{\phi}\), jossa oleva kulma \(\phi\) löytyy muistikolmioiden avulla. Päättele kuvasi perusteella, missä kohtaa kuviota kulma \(\phi\) sijaitsee ja kuinka saat sen avulla pääteltyä positiiviselta \(x\)-akselista lähtevän kulman, jonka tarvitset vastaukseesi.

\(z_1\) | = |  |
\(w_1\) | = |  |

(b) Muunna kompleksiluvut \(\displaystyle z_2 = 2 e^{i [value]}\) ja \(\displaystyle w_2 = [value]e^{-i\frac{\pi}{2}}\) muotoon \(x+yi\) ja laske niiden summa.

\(z_2+w_2 = \)

Olkoon \(p_1(x) = [value]\).

(a) Laske

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

\(p_1([value]) = \)

Näiden kolmen laskun perusteella voi sanoa, että polynomi \(p_1(x)\) on jaollinen 1. asteen polynomilla \(q(x) = \) .

Polynomi \(p_1(x)\) voidaankin esittää muodossa

\(p_1(x) = q(x)([value])\).

Mitkä ovat polynomin \(p_1(x)\) kaikki nollakohdat? Anna nollakohdat joukkona aaltosulkeissa, esim. {[value],[value],[value]}.

Nollakohtien joukko on .

(b) Kokeillaanpa nyt samaa prosessia toiseen suuntaan. Koska tiedät, miten polynomi esitetään nollakohtiensa avulla, anna se 3. asteen polynomi \(p_2(x)\) jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja jonka nollakohdat ovat [value], [value] ja [value].

\(p_2(x) = \)

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

Esimerkiksi luvun \(-8\) voi esittää tulona muodoissa \(-8=-1\cdot 8=1\cdot\left(-8\right)=-2\cdot 4=2\cdot\left(-4\right)\), joten tekijät ovat \({1,-1,2,-2,4,-4,8,-8}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus:

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kompleksilukujen joukossa. Anna kaikki ratkaisut joukkona aaltosuluissa, esim. {-1,1}. Anna ratkaisu joukkosulkeissa myös siinä tapauksessa, että kyseessä on kaksoisjuuri. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta i.

(a) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut:

(b) \([value] = 0 \quad\) Ratkaisut:

Järjestä kompleksilukujen osamäärän liittoluvun todistuksen osat loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(\frac{z}{w}\) reaali- ja imaginääriosat, jotta saat otettua liittoluvun.

\(\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(\displaystyle \frac{\overline z}{\overline w} \)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{a+bi}{c+di}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd-adi+bci}{c^2+d^2}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd}{c^2+d^2}-\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd+adi-bci}{c^2+d^2}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{a-bi}{c-di}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\)

Järjestä kompleksilukujen osittelulain todistuksen rivit loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(y+z\) reaali- ja imaginääriosat ennen kuin otat tulon \(x\):n kanssa.

\(x(y+z)\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(xy+xz\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i+z_1+z_2i)\)
[value]) | \((x_1+x_2i)((y_1+z_1)+(y_2+z_2)i)\)
[value]) | \(x_1(y_1+z_1)+x_2(y_1+z_1)i+x_1(y_2+z_2)i+x_2(y_2+z_2)i^2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_1z_1+x_2y_1i+x_2z_1i+x_1y_2i+x_1z_2i-x_2y_2-x_2z_2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_2y_1i+x_1y_2i-x_2y_2+x_1z_1+x_2z_1i+x_1z_2i-x_2z_2\)
[value]) | \((x_1+x_2i)y_1+(x_1+x_2i)y_2i+(x_1+x_2i)z_1+(x_1+x_2i)z_2i\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i)+(x_1+x_2i)(z_1+z_2i)\)

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Jokaista perustelua käytetään yhden kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause Jos \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + \sin \theta_1)\) ja \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + \sin \theta_2)\), niin

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Todistus.

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\) | = | \(\displaystyle \frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2+i\sin\theta_2}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2-i(-\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1\cos(-\theta_2)-\sin\theta_1\sin(-\theta_2)) + i(\sin\theta_1\cos(-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)+\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot (\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen niiden yhtäsuuruusmerkkien yhteyteen, joiden kohdalla on vastauslaatikko. Kaksi muuta eli ensimmäinen ja viimeinen yhtäsuuruus johtuvat kompleksiluvun esittämisestä reaali- ja imaginääriosansa avulla. Yhtä perustelua käytetään kahteen kertaan, muita kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause \(e^{-z}=\displaystyle\frac{1}{e^z}\) kaikille \(z\in\mathbb{C}\).

Todistus

\(e^{-z}\) | = | \(e^{-(x+iy)}\) |
 | = | \(e^{-x+i(-y)}\) |
 | = | \(e^{-x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos y -i\sin y)\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y-i\sin y)(\cos y + i\sin y)}{\cos y+ i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y)^2 + (\sin y)^2}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{1}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x(\cos y + i\sin y)}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^{x+iy}}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^z}\) |

(a) Täydennä todistus. Merkitse \(z\):n reaaliosaa \(a\):lla ja imaginääriosaa \(b\):llä. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta \(i\).

\(|z|\) | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{\Big(}\)\(\Big)\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{a^2+(-b)^2}\)
 | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(|\overline{z}|\)

(b) Miten voit tulkita moduleihin liittyvän tiedon \(|z|=|\overline{z}|\)? Valitse vastauksista se, joka on voimassa kaikille \(z\in\mathbb{C}\) eikä vain osalle niistä.

Siten, että kompleksiluku ja sen liittoluku

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

[value]

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus: