Title: IMP käsitteenmuodostustehtävät

Lisää seuraavaan todistukseen perustelut jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Toisin sanoen päättele mitä tapahtuu siirryttäessä edelliseltä riviltä sille riville, jossa (sillä hetkellä vastattavana oleva) pudotusvalikko sijaitsee. Jokainen listan perusteluista käytetään täsmälleen kerran. Useimmat perusteluista viittaavat johonkin kaavaan tai määritelmään, jotka löytyvät kurssimonisteesta.

\(\sinh\left(\text{arsinh}(x)\right)\)
= | \(\displaystyle \sinh \left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} - e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{-1}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x\sqrt{x^2+1}+x^2+1 - 1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{2x\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\) |
= | \(x\) |

Järjestä kompleksilukujen osamäärän liittoluvun todistuksen osat loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(\frac{z}{w}\) reaali- ja imaginääriosat, jotta saat otettua liittoluvun.

\(\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(\displaystyle \frac{\overline z}{\overline w} \)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{a+bi}{c+di}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd-adi+bci}{c^2+d^2}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd}{c^2+d^2}-\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd+adi-bci}{c^2+d^2}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{a-bi}{c-di}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\)

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen niiden yhtäsuuruusmerkkien yhteyteen, joiden kohdalla on vastauslaatikko. Kaksi muuta eli ensimmäinen ja viimeinen yhtäsuuruus johtuvat kompleksiluvun esittämisestä reaali- ja imaginääriosansa avulla. Yhtä perustelua käytetään kahteen kertaan, muita kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause \(e^{-z}=\displaystyle\frac{1}{e^z}\) kaikille \(z\in\mathbb{C}\).

Todistus

\(e^{-z}\) | = | \(e^{-(x+iy)}\) |
 | = | \(e^{-x+i(-y)}\) |
 | = | \(e^{-x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos(-y)+i\sin(-y))\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}(\cos y -i\sin y)\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y-i\sin y)(\cos y + i\sin y)}{\cos y+ i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{(\cos y)^2 + (\sin y)^2}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x}\frac{1}{\cos y + i\sin y}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^x(\cos y + i\sin y)}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^{x+iy}}\) |
 | = | \(\displaystyle \frac{1}{e^z}\) |

Esitä lauselogiikan kielellä seuraavat lauseet. Käytä esityksessäsi loogisia konnektiiveja ja seuraavia nimiä atomilauseille.

\([value]\): Ruoka on hyvää.

\([value]\): Minulla on aikaa syödä.

\([value]\): Tuo [value] on [value].

\([value]\): Tuo [value] on [value].

Valitse oikea muoto pudotusvalikosta.

A: [value]

B: [value]

Päättele seuraavasta rationaalifunktion \(f(x) = \frac{p(x)}{g(x)}\) kuvaajasta, mitkä kokonaisluvut ovat osoittajapolynomin \(p(x)\) ja mitkä nimittäjäpolynomin \(g(x)\) nollakohdat. Anna nollakohdat hakasulkujen sisällä pilkuilla erotettuna esim. [-1,0,1]. (Käytä sulkuja myös silloin, kun lukuja on vain yksi esim. [2].)

Huom! kuvan alareunassa on navigointipalkki, jonka avulla voit lähentää ja loitontaa kuvaa sekä liikkua eri suuntiin.

Funktion \(p(x)\) nollakohdat:

Funktion \(g(x)\) nollakohdat:

Seuraavat väitteet ovat epätosia. Etsi jokaiselle erikseen vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde. Tehtävissä on alleviivauksella korostettu asiaa, jolle vastaesimerkki on tarkoitus löytää.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n<10\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3<n<20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n<10\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2- +[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Tämän väitteen kumoava alkio:

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-10 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan vain itsellään ja ykkösellä. Muut luvut eli yhdistetyt luvut voidaan esittää alkulukujen tuloina.

Väite: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väitteen oletusosa: Tämä väite ei sisällä varsinaista oletusosaa.

Väitteen johtopäätösosa: Ei ole olemassa suurinta alkulukua.

Väite: Jos \(a\) on irrationaaliluku eli \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), niin \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen oletusosa: \(a\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väitteen johtopäätösosa: \(\frac{3a+1}{2a-3}\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Väite: Jos\(0a^2\).

Väitteen oletusosa: \(0

Väitteen johtopäätösosa: \(a>a^2\)

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta sivujanasta ja kolmesta kulmasta, jotka ovat kaikki suurempia kuin nollakulma.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Väitteen oletusosa: Tarkasteltava kuvio on kolmio.

Väitteen johtopäätösosa: Tarkasteltavalla kuviolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus.

Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa suurin alkuluku.
Merkitään suurinta alkulukua kirjaimella \(n\).
Jatkossa \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n\) tarkoittaa kaikkien alkulukujen tuloa.
Merkitään lisäksi \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1\).
Jos lukua \(m\) jaetaan millä tahansa alkuluvulla \(2,3,5,7,\ldots,n\), saadaan jakojäännökseksi 1.
Siis luvulla \(m\) ei ole alkulukutekijöitä.
Näin ollen \(m\) on alkuluku, jolloin oletuksen mukaan \(m\leq n\).
Kuitenkin \(m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots n+1>n\), mikä on ristiriita.
Koska väitteen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska väitteen negaatio on epätosi, väite on tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\).
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(\frac{3a+1}{2a−3}\in \mathbb{Q}\).
Tällöin voi merkitä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\), missä \(m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). Huom. Myös \(m\neq 0\) tai muuten \(a\in \mathbb{Q}\).
Lisäksi voidaan olettaa, että \(\frac{m}{n}\) on supistettu muoto eli lukujen \(m\) ja \(n\) suurin yhteinen tekijä on 1.
Esityksestä \(\frac{3a+1}{2a−3}=\frac{m}{n}\) saadaan ristiin kertomalla \(3n\cdot a+n=2m\cdot a−3m\).
Jos \(3n=2m\) (eli \(n=\frac{2}{3}m\)), niin edellisestä yhtälöstä voidaan päätellä, että \(n=−3m\).
Siis \(\frac{2}{3}m=−3m\), joka on mahdollista vain kun \(m=0\), mikä on ristiriita.
Jos taas \(3n\neq 2m\), saadaan samasta yhtälöstä ratkaistua \(a=\frac{−3m−n}{3n−2m}\in \mathbb{Q}\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti molemmissa tapauksissa ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(a\in \mathbb{R}\) siten, että \(0
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että \(a\leq a^2\).
Koska \(a\leq a^2\), niin \(a−a^2\leq 0\).
Siis \(a(1−a)=a−a^2\leq 0\).
Koska oletuksen mukaan \(a<1\), niin \(1−a>0\).
Samanaikaisesti pätee siis \(a(1−a)\leq 0\) ja \(1−a>0\).
Tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että \(a\leq 0\).
Oletuksen mukaan \(a>0\), mikä on ristiriita.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.
Olkoon \(ABC\) kolmio.
Oletetaan vastoin väitteen johtopäätöstä, että kolmiolla \(ABC\) on vähintään kaksi suoraa kulmaa.
Merkitään kolmion \(ABC\) kulmia kirjaimilla \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\).
Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia merkitsevät ainakin \(\alpha\) ja \(\beta\).
Koska kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat suoria kulmia, niiden suuruus on \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) (radiaania).
Tiedetään, että kolmion kulmien summa on \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) (radiaania).
Nyt siis pätee \(\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma =\pi+\gamma =\pi \).
Näin ollen kulman \(\gamma\) suuruus on \(\gamma=0\), joka on ristiriidassa sen kanssa, että \(ABC\) on kolmio.
Koska johtopäätöksen negaatio johti ristiriitaan, negaatio on epätosi.
Koska johtopäätöksen negaatio on epätosi, on johtopäätös tosi.

Järjestä numeroimalla osajoukkotodistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{N} : x \text{ on parillinen}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{N} : x = 6s+10t, \text{ missä } s,t\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoon \(A=\{x\in \mathbb{Z} : x=4k+1 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\) ja \(B=\{x\in \mathbb{Z} : x = 4k-3 \text{ jollekin } k\in \mathbb{Z}\}\). Osoita, että \(A \subset B\).

Olkoot \(A, B\) ja \(C\) joukkoja. Todista, että \(A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Todistus.

Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=2k\) jollekin \(k\in \mathbb{Z}\).
Luku \(2\) on parillinen ja voidaan kirjoittaa \(2=6\cdot 2+10(-1)\).
Tässä esityksessä \(s=2\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-1\in \mathbb{Z}\), joten \(2\in B\).
Sijoitetaan luvun \(2\) esitys yhtälöön \(x=2k\).
Tällöin \(x=2k = \big( 6\cdot 2+10(-1)\big) k = 6\cdot 2k+10(-k)\).
Tässä esityksessä \(s=2k\in \mathbb{Z}\) ja \(t=-k\in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\).
Tällöin \(x=4m+1\) jollekin \(m\in \mathbb{Z}\).
Olkoon \(n=m+1\).
Tällöin \(m=n-1\).
Sijoitetaan \(m=n-1\) yhtälöön \(x=4m+1\).
Tällöin \(x=4m+1 = 4(n-1)+1 = 4m-4+1 = 4n-3\).
Siis \(x = 4n-3\) luvulle \(n=m+1 \in \mathbb{Z}\), joten \(x\in B\).
Olkoon \(x\in A\cup (B\cap C)\).
Tällöin \(x\in A\) tai \(x\in B\cap C\) yhdisteen määritelmän mukaan.
Tapauksessa \(x \in A\) yhdisteen määritelmän mukaan \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Tapauksessa \(x \in B\cap C\) leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in B\) ja \(x\in C\).
Edelleen, koska \(x\in B\) ja \(x\in C\), niin \(x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Molemmissa tapauksissa \(x \in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\).
Näin ollen leikkauksen määritelmän mukaan \(x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Määritellään tämän muuttujan avulla \(x=2n+1\).
Tällöin \(x\) esittää mitä tahansa paritonta kokonaislukua.
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |
\([value] x \in [value] : x\, [value]\, [value]\) |

Päättele seuraavien neljän lausekkeen totuusarvot.

\(\exists x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \exists y \in [value] : [value]\) |
\(\exists x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |
\(\forall x \in [value]\, \forall y \in [value] : [value]\) |

Anna negaatio seuraavalle väitteelle. Valitse oikea negaatio pudotusvalikosta.

\([value] x \in [value]\, [value] y \in [value] : [value]\) |

Tarkastellaan joukkoa \(A=\{[value],[value],[value],[value],[value],[value]\}\).

Kuinka monta alkiota joukko \(A\) sisältää?

Mitkä seuraavista joukkoon \(A\) liittyvistä väittämistä ovat tosia?

\([value]\in A\) |
\([value]\notin A\) |
\(\{[value],[value]\}\subset A\) |
\(\{[value],[value]\}\not\subset A\) |

Ovatko seuraavat lauseet tautologioita? Vihjeenä jokaisen lauseen totuustaulun alkuosa.

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value] \quad\)

\([value]\)
[value] |

/**/

Alla on todistettu kaksi eräs joukko-operaatioihin liittyvää laskulakia. Kerro, mitä todistuksissa todistuksessa tehdään valitsemalla pudotusvalikosta ekvivalenssin yhteydessä käytetty sääntö.

\((A^c)^c = A\) ja \(A\cup B = B\cup A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A^c)^c = A \) ja \(A\cap B = B\cap A\)

Todistus.

\(x \in (A^c)^c\)

\((A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cup C)\)

\((A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cap C)\)

\((A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Todistus.

\(x \in A\cap (B\cup C)\)

\((A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Todistus.

\(x \in A\cup (B\cap C)\)

\(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\notin A^c\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in (B\cup C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in (B\cap C)\) |
\(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) ja \((x\in B\) tai \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow x\in A\) tai \((x\in B\) ja \(x\in C)\) |
\(x\in A\cup B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) tai \(x\in B\)

\(x\in A\cap B\)

\(\Leftrightarrow x\in A\) ja \(x\in B\) \(\Leftrightarrow (x\in A \) tai \(x\in B)\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) ja \(x\in B)\) tai \((x\in A\) ja \(x\in C)\) \(\Leftrightarrow (x\in A\) tai \(x\in B)\) ja \((x\in A\) tai \(x\in C)\)
\(\vphantom{A\cup B}\)

\(\vphantom{A\cap B}\)
\(\Leftrightarrow x\in B\) tai \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in B\) ja \(x\in A\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) tai \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) ja \(x\in C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cap B\) tai \(x\in A\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in A\cup B\) ja \(x\in A\cup C\) |
\(\Leftrightarrow x\in B\cup A\) \(\Leftrightarrow x\in B\cap A\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cap C\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\) \(\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\) |

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\) \(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\) \(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge (r \vee \neg p) )\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow( \neg q \vee p) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\) \(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\) \(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\) \(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\) \(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\) \(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\) \(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\) \(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\) | \(\quad \)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\) \(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\) \(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\) \(\Rightarrow q \wedge r\) \(\Rightarrow r\) | \(\quad \)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n-[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n-[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k - [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^k - [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} - [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Alla on lainauksia lastenlauluista ja joululauluista. Mitkä niistä ovat lauselogiikan lauseita ja mitkä eivät?

Jos kyseessä on lauselogiikan lause, valitse pudotusvalikosta "Tosi" ja jos ei ole, valitse "Epätosi".

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Yhdistä merkki ja sen tarkoitus.

\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |

Valitse vastaus jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

Kirjoita kuvissa annetut välit käyttäen kurssin merkintöjä. Valitse välejä \(I_1\) ja \(I_2\) varten oikeat sulut ja päätepisteet. Jos välin toinen päätepiste ei ole kuvassa, väli on rajoittamaton. Valkoinen pallo: piste ei ole mukana joukossa. Punainen pallo: piste on mukana joukossa. Anna ei-kokonaisluvut murtolukuina, älä käytä desimaali- tai sekalukuja. Esim. ei \(5,5\) tai \(5\frac{1}{2} \), vaan \(11/2\). Ääretön annetaan kirjoittamalla inf.

\(I_1 = \,\) ,

\(I_2 = \,\) ,

Konjektuuriksi sanotaan väitettä, jota ei ole vielä todistettu todeksi eikä epätodeksi. Jos alla oleva konjektuuri olisi epätosi, mikä seuraavista olisi vastaesimerkki, joka kumoaa väitteen?

Legendren konjektuuri: Lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku, kun \(n>1\) on mikä tahansa kokonaisluku.

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \(n^2\) ja pienempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on suurempi kuin \((n+1)^2\)

[value] alkuluku, joka on pienempi kuin \(n^2\)

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

[value] kokonaisluku \(n\leq 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä on alkuluku

[value] kokonaisluku \(n> 1\), jolla lukujen \(n^2\) ja \((n+1)^2\) välissä ei ole alkulukua

Goldbachin vahva konjektuuri: Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun summa.

[value] kakkosta pienempi pariton kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi pariton kokonaisluku, jota ei voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

[value] kakkosta pienempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka jokainen esitys kahden luvun summana sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole alkuluku

[value] kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku, jonka voi kirjoittaa kahden alkuluvun summana

Riemannin hypoteesi: Kompleksimuuttujan \(s\) zeetafunktion \(\zeta (s)\) kaikki imaginääriset nollakohdat ovat kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka ei ole kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) imaginäärinen nollakohta, joka on jonkun muun tason kuin kompleksitason suoralla \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

[value] funktion \(\zeta (s)\) ei-imaginäärinen nollakohta, joka on kompleksitason jollain muulla käyrällä kuin suoralla, mutta jolle pätee \(\text{Re}(s)=\frac{1}{2}\).

Andrican konjektuuri: Kahden peräkkäisen alkuluvun neliöjuurten erotus on ykköstä pienempi.

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on vähintään yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi ei-peräkkäistä alkulukua, joiden toisten potenssien erotus on pienempi kuin yksi

[value] kaksi peräkkäistä alkulukua, joiden neliöjuurten erotus on pienempi kuin yksi

Churchin-Turingin teesi: Mikä tahansa mekaanisesti ratkaistava ongelma voidaan ratkaista Turingin koneella.

[value] Turingin kone, joka ei pysty ratkaisemaan yhtään ongelmaa, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan yhden ongelman, joka ei ole mekaanisesti ratkaistava

[value] Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan kaikki ongelmat, jotka eivät ole mekaanisesti ratkaistavia

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista Turingin koneella, mutta voidaan ratkaista mekaanisesti

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti eikä Turingin koneella

[value] ongelma, jota ei voida ratkaista mekaanisesti, mutta voidaan ratkaista Turingin koneella

Erdösin-Straussin konjektuuri: Yhtälöllä \(\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) on positiivisista kokonaisluvuista \(a, b\) ja \(c\) koostuva ratkaisu jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\).

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n\geq 2\)

[value] negatiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] positiiviset kokonaisluvut \(a, b\) ja \(c\), jotka ratkaisevat yo. yhtälön jokaiselle kokonaisluvulle \(n<2\)

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön jokainen ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n\geq 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

[value] kokonaisluku \(n < 2\), jolla yo. yhtälön yksi ratkaisu sisältää vähintään yhden luvun, joka ei ole positiivinen kokonaisluku

Collatzin konjektuuri: Aloitetaan mistä tahansa positiivisesta kokonaisluvusta. Jos luku on parillinen, jaetaan se kahdella ja jos pariton, kerrotaan kolmella ja lisätään yksi. Toistetaan lopputulokselle sama operaatio ja jatketaan operointia edellisen toistokerran lopputulokselle. Tämä prosessi saavuttaa aloitusluvun valinnasta riippumatta jossain vaiheessa arvon \(1\).

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi päättyy johonkin muuhun arvoon kuin \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi johtaa arvoon \(1\)

[value] positiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

[value] negatiivinen kokonaisluku, josta aloittamalla tämä prosessi ei pääty koskaan

Mitä joukkoa annettu Vennin kaavio esittää? Joukko on väritetty kaavioon harmaalla.

Esitä annettu joukko Vennin kaaviona. Kuvassa kolme joukkoa jakavat perusjoukon kahdeksaan erilliseen osaan, jotka on numeroitu.
Kirjoita vastauslaatikkoon, mitkä numeroiduista alueista väritetään Vennin kaavioon.
Anna väritettävien alueiden numerot kasvavaan järjestykseen kirjoitettuna listana hakasuluissa, esim. joukon \(A\) esitys on [2,3,5,6].
Käytä hakasulkuja myös silloin, kun väritetään vain yhden numeron alue.

\([value]\) |
\([value]\) |

Järjestä suoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen.

Sijoita luvut 1-7 vastauslaatikoihin ilmaisemaan järjestystä.

Neliö tarkoittaa tulosta, joka saadaan, kun luku kerrotaan itsellään.

Väite: Mikä tahansa pariton kokonaisluku on kahden kokonaisluvun neliön erotus.

Luku \(a\in \mathbb{N}\) on luvun \(b\in \mathbb{N}\) tekijä, jos \(b=ak\) jollekin \(k\in \mathbb{N}\).

Väite: Jos \(a\) on \(b\):n tekijä ja \(b\) on \(c\):n tekijä, niin \(a\) on \(c\):n tekijä.

Yhdistetty luku on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa tasan muillakin luvuilla kuin ykkösellä ja itsellään (ts. ei ole alkuluku). Jako menee tasan, jos jakolaskun tulos eli osamäärä on kokonaisluku.

Väite: Luonnollinen luku, jossa on kahden ykkösen välissä \(3n-1\) nollaa (missä \(n\in \mathbb{N}\)), esim. \(1001\), on yhdistetty luku.

Todistus.

Olkoon \(n\in \mathbb{Z}\).
Tällöin \(x=2n+1\) on pariton kokonaisluku.
Kaikki parittomat kokonaisluvut voidaan esittää muodossa \(x\).
Lisäksi, koska \(n\in \mathbb{Z}\), niin \(n+1\in \mathbb{Z}\).
Luvun \(n+1\) neliö on \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
Ratkaistaan tästä yhtälöstä \(2n+1= (n+1)^2-n^2\).
Näin ollen pariton kokonaisluku \(x\) on kahden kokonaisluvun neliön erotus.
Olkoon \(a,b,c \in \mathbb{N}\).
Olkoon lisäksi \(a\) luvun \(b\) tekijä ja \(b\) luvun \(c\) tekijä.
Koska \(a\) on \(b\):n tekijä, on olemassa \(k_1\in \mathbb{N}\) siten, että \(b=ak_1\).
Koska \(b\) on \(c\):n tekijä, on olemassa \(k_2\in \mathbb{N}\) siten, että \(c=bk_2\).
Tällöin \(c=bk_2=(ak_1)k_2=a(k_1 k_2)\).
Tässä esityksessä \(k_1\in \mathbb{N}\) ja \(k_2 \in \mathbb{N}\), joten myös \(k=k_1k_2\in \mathbb{N}\).
Näin ollen \(a\) on \(c\):n tekijä.
Olkoon \(n\in \mathbb{N}\) ja \(k=100\cdots 01\in \mathbb{N}\), missä esiintyvien nollien määrä on \(3n-1\).
Kirjoitetaan \(k\) muodossa \(k=10^{3n}+1=(10^n)^3+1^3\).
Käytetään kaavaa \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Saadaan \(k=10^{3n}+1^3=(10^n+1)(10^{2n}-10^n+1^2)\).
Tässä \(10^n+1\in \mathbb{N}\) ja \(10^{2n}-10^n+1^2\in \mathbb{N}\).
Lisäksi, koska \(n\in\mathbb{N}\), niin \(10^n+1\neq 1\) ja \(10^n+1\neq 10^{3n}+1=k\).
Siis luvulla \(k\) on tekijänä luku \(10^n+1\), joka ei ole \(k\) eikä ykkönen, joten \(k\) on yhdistetty luku.

Täydennä seuraavassa päättelyssä jokaisen ekvivalenssin kohdalle käytetty päättelysääntö.

\((\neg p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \leftrightarrow \neg q)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg p \leftrightarrow q\)

\(\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(q \wedge \neg p)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \leftrightarrow q)\)

\((p \rightarrow(q \rightarrow r)) \Leftrightarrow((q \wedge p) \rightarrow r)\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} p \rightarrow(q \rightarrow r)\)

\((\neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)) \Rightarrow q \vee r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} \neg(p \vee(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)

\(((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q \Rightarrow r\)

Todistus.

\(\hphantom{\leftrightarrow} ((p \vee \neg q) \wedge(r \vee \neg p)) \wedge q\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee q) \wedge(\neg q \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow(q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg \neg q \vee p) \wedge(\neg p \vee \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \rightarrow p) \wedge(p \rightarrow \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(p \rightarrow \neg q) \wedge(\neg q \rightarrow p)\)
\(\Leftrightarrow p \leftrightarrow \neg q\)

\(\Leftrightarrow \neg((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg q \rightarrow \neg p) \wedge(\neg p \rightarrow \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((\neg \neg q \vee \neg p) \wedge(\neg \neg p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow \neg((q \vee \neg p) \wedge(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg(q \vee \neg p)) \vee(\neg(p \vee \neg q))\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge \neg \neg p) \vee(\neg p \wedge \neg \neg q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \wedge p) \vee(\neg p \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge q) \vee(\neg q \wedge p)\)

\(\Leftrightarrow \neg p \vee(q \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee r) \vee \neg p\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(r \vee \neg p)\)
\(\Leftrightarrow \neg q \vee(\neg p \vee r)\)
\(\Leftrightarrow(\neg q \vee \neg p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow \neg(q \wedge p) \vee r\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge p) \rightarrow r\)

\(\Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg(\neg p \wedge \neg q)) \wedge(\neg p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg(\neg p \wedge \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge((\neg \neg p \vee \neg \neg q) \wedge(\neg \neg p \vee r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg \neg p \vee(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(\neg \neg q \wedge r))\)
\(\Leftrightarrow \neg p \wedge(\neg p \rightarrow(q \wedge r))\)
\(\Rightarrow q \wedge r\)

\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge((r \vee \neg p) \wedge q)\)
\(\Leftrightarrow(p \vee \neg q) \wedge(q \wedge(r \vee \neg p))\)
\(\Leftrightarrow(q \rightarrow p) \wedge(q \wedge(p \rightarrow r))\)
\(\Leftrightarrow((q \rightarrow p) \wedge q) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Leftrightarrow(q \wedge(q \rightarrow p)) \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow p \wedge(p \rightarrow r)\)
\(\Rightarrow r\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia.

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]\) \((k+1)^[value]-(k+1)\) \(=[value]\)\(\Big(\)\(\Big)\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Todista seuraava väite induktiotodistuksella:

\([value]^n+[value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), kun \(n\geq [value]\).

Huom. Väite saattaa päteä pienemmilläkin \(n\):n arvoilla, mutta todistetaan se niin kuin pienin pätevä arvo olisi \(n=[value]\).

Alkuaskel:

Kun \(n=[value]\), on \([value]^n+[value] =\)
joka jaollinen luvulla \([value]\).

Induktio-oletus:

Oletetaan, että on olemassa sellainen \(k\in \mathbb{N}\) , jolle \([value]^k + [value]\) on jaollinen luvulla \([value]\) eli \([value]^n + [value] =\)
(Kirjoita \([value]\):lla jaollisen luvun esitys käyttäen muuttujaa \(m\).)

Induktioaskel:

Kun \(n=k+1\), niin eli \([value]^{k+1} + [value] = [value](\)\()\), missä oikealla puolella suluissa oleva lauseke esittää luonnollista lukua.
(Anna sulkujen sisään muuttujista \(k\) ja \(m\) riippuva mahdollisimman sievennetty muoto. Huomaa, että luvulla \([value]\) kertominen on jo huomioitu sulkujen edessä.)

Valitse seuraaville funktioille laajin mahdollinen määrittelyjoukko.

a) | \(f_1(x) = \displaystyle [value]\) | \(D_{f_1} = \)
b) | \(f_2(x) = \displaystyle \sqrt[[value]]{[value]}\) | \(D_{f_2} = \)
c) | \(f_3(x) = \displaystyle \ln ([value])\) | \(D_{f_3} = \)

Onko väite tosi vai epätosi?

Olkoon \(f\colon A\to B\). Oletetaan, että sinulla on tiedossa kaikki alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) ja kaikki alkiot joukosta \(B\), mutta et ole vielä nähnyt funktion lauseketta. Väite: Esityksestä \(f\colon A\to B\) pystyy heti näkemään,

mikä on määrittelyjoukko

mikä on arvojoukko

mikä on maalijoukko

mikä on alkukuvajoukko

Maalijoukko sisältää vähintään arvojoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Arvojoukko sisältää vähintään maalijoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa ulkofunktion arvoa ei saa sijoittaa sisäfunktioon

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa sisäfunktion arvoa ei saa sijoittaa ulkofunktioon

Tarkasteellaan funktiota \(f\colon A\to B,\, f(x)=[value]\).

a) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on injektio, mutta ei surjektio.

\(B=\,\)

b) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on surjektio, mutta ei injektio.

\(B=\,\)

c) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on bijektio.

\(B=\,\)

Alla on esitettynä todistus sille, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti kasvava, kun \(a>1\). Yleisesti funktiolle \(f\) aidon kasvavuuden määritelmä on \(y>x \Rightarrow f(y)>f(x)\). Todistuksessa on suurempi kuin -merkkien ja suurempi tai yhtäsuuri kuin -merkkien päällä numeroita. Tehtävänäsi on muuttaa todistusta alimpana esitetyllä tavalla ja numerointi on tehty vain sitä varten.

Tässä todistuksessa on kaksi osaa. Olkoon ensin \(x \in \mathbb{Q}\) siten, että \( x \overset{1}{>} 0\). Merkitään \(x=\frac{m}{n}\), missä \(m,n\in \mathbb{N}\).

Koska \(a^m \overset{2}{\geq} a \overset{3}{>} 1\) ja \(y^{\frac{1}{n}}\) on aidosti kasvava, niin

\[a^x = a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\overset{4}{>}1^{\frac{1}{n}} = 1\].

(Huom. Todistuksen ensimmäisen osan oleellinen osuus on, että jos \(a>1\) ja \(x>0\), niin \(a^x>1\). Tätä tietoa käytetään aputuloksena todistuksen toisessa osassa.)

Olkoon nyt \(x,y\in \mathbb{Q}\) siten, että \( y\overset{5}{>}x\). Silloin \(y-x\overset{6}{>}0\) ja edelleen todistuksen ensimmäisen osan perusteella \(a^{y-x}\overset{7}{>}1\). Näin ollen

\[a^y = a^{x+(y-x)} = a^xa^{y-x}\overset{8}{>}a^x.\]

(Todistuksen jälkimmäinen osa todistaa funktion \(a^x\) aidon kasvavuuden.)

Sinun tehtäväsi on nyt todistaa, että rationaaliluvuilla \(x\in \mathbb{Q}\) määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) on aidosti vähenevä, kun \(0x \Rightarrow f(y)<f(x)\).

Huom. Se, että \(a>0\) ei varsinaisesti tällöin näy todistuksessa. Se vain varmistaa, että eksponenttifunktio on määritelty.

Jos vastaus olisi esimerkiksi, että käännetään suunta merkeille 1,2 ja 3, kirjoita vastausruutuun [1,2,3]. Hakasulut tarvitaan.

Vastaus:

Päättele, onko funktio parillinen, pariton vai ei kumpikaan. Huomaa, että monen tehtävässä esiintyvän funktion kuvaaja löytyy kurssimonisteesta, ja muiden piirtämiseen on internetissä tarjolla apukeinoja.

a) | \(f(x) = [value]\) |
b) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |
c) | \(f(x) = \arcsin(x) \arccos(x) \arctan(x) [value]\) |
d) | \(f(x) = \,\)\(e^x\) \(\ln(x)\) \([value]^x\) \(\log_{[value]}(x)\) |
e) | \(f(x) = \mathrm{arsinh}(x) \mathrm{arcosh}(x) \mathrm{artanh}(x) [value]\) |
f) | \(\displaystyle f(x) = [value]\) |

Yhdistä seuraavista kuvista toisiinsa funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat. Huomaa, että osa kuvaajista esittää sellaista funktiota, joka on itsensä käänteisfunktio.

Huom! Tehtävä kannattaa tehdä käyttäen jotain muuta kuin mobiililaitetta, tai ainakin yrittäen välttää kuvien kohdalle koskemista, joka voi ainakin puhelinten ruuduilla olla hankalaa. Mobiililaitteiden selaimissa kuvia voi kosketettaessa oletusarvoisesti liikutella ja skaalata, kun taas perinteisempien tietokoneiden selaimissa kuvat ovat oletusarvoisesti staattisia. Kuvien liikuttelu hankaloittaa tehtävää, sillä kuvissa esiintyvät funktioiden kuvaajat on tarkoituksellisesti piirretty vain siltä osalta, jolla kuva on suunniteltu näkymään.

\(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(f_4\)
\(f_5\) | \(f_6\) | \(f_7\) | \(f_8\)
\(f_9\) | \(f_{10}\) | \(f_{11}\) | \(f_{12}\)
\(f_{13}\) | \(f_{14}\) | \(f_{15}\) | \(f_{16}\)

Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_5\) |
\(f_6\) |
\(f_7\) |
\(f_8\) |
Funktio \(f_i\) | Käänteisfunktion \(f_i^{-1}\) indeksi
\(f_9\) |
\(f_{10}\) |
\(f_{11}\) |
\(f_{12}\) |
\(f_{13}\) |
\(f_{14}\) |
\(f_{15}\) |
\(f_{16}\) |

Piirrä itseäsi varten seuraavan funktion kuvaaja.

\[f(x)= \left\{\begin{alignat*}{3} [value] &, \text{ kun } &-3&\leq x < -1 \\ [value] &, \text{ kun } &-1&\leq x < 1 \\ [value] &, \text{ kun } &1&\leq x \leq 3 \end{alignat*}\right.\]

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

Funktio \(f\) on jatkuva.

Funktio \(f\) on monotoninen.

Funktio \(f\) on aidosti monotoninen.

Funktio \(f\) on kääntyvä (eli on olemassa käänteisfunktio).

Valitse lisäksi kaikki oikeat vaihtoehdot seuraaviin väitteisiin

Välillä \(x\in [-3,-1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [-1,1)\) funktio \(f\) on | Välillä \(x\in [1,3]\) funktio \(f\) on

Järjestä kompleksilukujen osittelulain todistuksen rivit loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(y+z\) reaali- ja imaginääriosat ennen kuin otat tulon \(x\):n kanssa.

\(x(y+z)\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(xy+xz\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i+z_1+z_2i)\)
[value]) | \((x_1+x_2i)((y_1+z_1)+(y_2+z_2)i)\)
[value]) | \(x_1(y_1+z_1)+x_2(y_1+z_1)i+x_1(y_2+z_2)i+x_2(y_2+z_2)i^2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_1z_1+x_2y_1i+x_2z_1i+x_1y_2i+x_1z_2i-x_2y_2-x_2z_2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_2y_1i+x_1y_2i-x_2y_2+x_1z_1+x_2z_1i+x_1z_2i-x_2z_2\)
[value]) | \((x_1+x_2i)y_1+(x_1+x_2i)y_2i+(x_1+x_2i)z_1+(x_1+x_2i)z_2i\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i)+(x_1+x_2i)(z_1+z_2i)\)

(a) Täydennä todistus. Merkitse \(z\):n reaaliosaa \(a\):lla ja imaginääriosaa \(b\):llä. Käytä imaginääriyksikkönä kirjainta \(i\).

\(|z|\) | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{\Big(}\)\(\Big)\) |
 | \(=\) | \(\sqrt{a^2+(-b)^2}\)
 | \(=\) | \(\Big|\)\(\Big|\) |
 | \(=\) | \(|\overline{z}|\)

(b) Miten voit tulkita moduleihin liittyvän tiedon \(|z|=|\overline{z}|\)? Valitse vastauksista se, joka on voimassa kaikille \(z\in\mathbb{C}\) eikä vain osalle niistä.

Siten, että kompleksiluku ja sen liittoluku

Olkoon \(z = re^{i\theta}\) (napakoordinaattiesityksen) eksponenttimuodossa oleva kompleksiluku. Vastaa kysymyksiin. Vain kahdessa kohdassa vastaus on pelkkä lukuarvo, muut vastaukset sisältävät vähintään yhden muuttujista \(r\) ja \(\theta\). Huom. \(\pi = \) pi, \(\theta = \) theta.

(a) Kuinka monta (oleellisesti) erilaista [value]:ttä :tta juurta on luvulla \(z\)?
Niitä on kpl.

(b) Millä etäisyydellä origosta sijaitsevat kaikki luvun \(z\) [value]:nnet juuret?
Etäisyydellä

(c) Missä kulmassa ovat toisiinsa nähden mitkä tahansa kaksi vierekkäistä (kierrettäessä origoa joko myötä- tai vastapäivään) luvun \(z\) [value]:ttä :tta juurta?
Kulmassa

(d) Kompleksiluvulle \(z=re^{i\theta}\) saa yhden [value]:nnen juuren samoin kuin reaaliluvuille eli potenssiin \(\frac{1}{[value]}\) korotuksen avulla. Mikä on tällä tavalla saadun [value]:nnen juuren argumentti?
Argumentti on

(e) Mikä on kohdan d) argumenttiasi vastaava \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

(f) Mikä on kohdan e) vastaukseksi antamasi [value]:nnen juuren vieressä vastapäivään seuraavana sijaitseva \(z\):n [value]:s juuri?
Se on

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Jokaista perustelua käytetään yhden kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause Jos \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + \sin \theta_1)\) ja \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + \sin \theta_2)\), niin

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Todistus.

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\) | = | \(\displaystyle \frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2+i\sin\theta_2}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2-i(-\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1\cos(-\theta_2)-\sin\theta_1\sin(-\theta_2)) + i(\sin\theta_1\cos(-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)+\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot (\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Q: Jos funktiolla on olemassa raja-arvo pisteessä \(x\), niin mitä siitä seuraa?
- Funktio on derivoituva pisteessä \(x\).
- Funktio on jatkuva pisteessä \(x\).
- Funktio on rajoitettu.
- Funktion arvo pisteessä \(x\) on äärellinen.
- Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
A: Kaikki yllä esitetyt väitteet ovat väärin.
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään kolmioepäyhtälöä kahdesti. Tutustu kolmioepäyhtälön eri versioihin kurssimonisteen avulla. Järjestä todistuksen rivit loogiseen järjestykseen. Kirjoita vastauskaatikoihin luvut 1-7.

Kolmioepäyhtälöä käytetään tyypillisesti todistuksissa. On tavanomaista, että juuri ennen kolmioepäyhtälön käyttöä lauseketta muutetaan niin, että jokin sen termeistä kirjoitetaan toisessa muodossa, tai lisätään ja vähennetään jokin uusi termi (huomaa, että sama termi lisättynä ja vähennettynä tarkoittaa, että on lisätty käytännössä 0, ts. lausekkeen arvo ei ole muuttunut).

Lause. Olkoot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä reaalilukujen joukkoja ja olkoon \(L \in \mathbb{R}\). Jos on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut \(x\) ja \(y\), että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\), niin kaikille \(a \in A\) ja \(b \in B\) pätee

\[ | a - 4b | < x +2y + |L|. \]

Todistus. Oletetaan, että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\). Tällöin

\( | a - 4b | \)

\( = | a -2L +2L -4b | \)
\( \leq | a -2L | + | 2L -4b | \)
\( = | a -2L | + 2 | L -2b | \)
\( = | a -2L | + 2 | 2b - L | \)
\( = | \left( a -L \right) -L | + 2 | 2b - L | \)
\( \leq | a -L | + | L | + 2 | 2b - L | \)
\( < x + | L | + 2y \)

Laske raja-arvo käyttäen laskusääntöjä. Sen jälkeen täydennä epsilon-delta-todistus todistamaan, että raja-arvo on se, mihin päädyit.

Vihje: Todistusta ei voi tehdä ennen kuin on saanut selville, millä tavalla luvut \(\epsilon\) ja \(\delta\) ovat yhteydessä toisiinsa. Aiheesta on videoesimerkki Moodlessa.

\[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value]x- +[value] =\] \[ = L. \]

Todistus. Olkoon \(\epsilon>0\). Valitaan \(\delta=\frac{\epsilon}{c}\), missä

\(c=\)

Tällöin \(\delta>0\). Kun

\( 0< \big| \) \( \big| < \frac{\epsilon}{c} \),

niin

\( \big| \) \( \big| < \epsilon \),

jolloin

\( \big| \big( \) \( \big) -\) \( \big| < \epsilon \).

Näin ollen raja-arvo on \(L\).

Tunnista onko funktio jatkuva (koko \(\mathbb{R}\):ssä) vai epäjatkuva, ja jos epäjatkuva, onko kyseessä hyppäysepäjatkuvuus, poistuva epäjatkuvuus vai epäjatkuvuus äärettömän takia.

Hyppäysepäjatkuvuus = toispuoleiset raja-arvot ovat kaksi eri reaalilukua

Poistuva epäjatkuvuus = sievennetty/supistettu lauseke on jatkuva

Epäjatkuvuus äärettoman takia = yhdessä tai useammassa pisteessä vähintään toinen pisteen toispuoleisista raja-arvoista ei ole äärellinen, silloin kun ei ole kyseessä poistuva epäjatkuvuus.

(a) | \(\displaystyle f(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x)= \frac{[value]}{[value]}\) |
(b) | \(\displaystyle f(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \frac{[value]}{[value]}\) |
(c) | \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |
 | \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x\geq[value] \\ \displaystyle{[value]}, & \text{kun } x<[value]\\ \end{cases}\) |