Title: DIL Osaamistesti 2

Differentiaaliyhtälöiden osaamistesti

Vastaa kaikkiin kohtiin. Voit käyttää Matlabia vapaasti apunasi. Aikaa suoritukseen on 55 minuuttia. Muista pitää silmällä jäljellä olevaa aikaa. Vastauksia ei lukita erikseen, ja viimeiseksi antamasi vastaus jää voimaan. Vastaukset palautetaan automaattisesti suoritusajan lopussa.

Muista kirjoittaa kaikki kertomerkit paikalleen, sekä käytä sulkuja tarpeen mukaan. Hyödynnä myös seuraavia syöttöohjeita.

- peruslaskutoimitukset: +, -, *, /, ^
- eksponenttifunktio: e^x tai exp(x)
- lausekkeiden a ja b yhtäsuuruus: a = b
- indeksit omissa vakioissa ja tuntemattomissa: c1 on \(c_1\)

Ratkaistaan 2. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö

\(\displaystyle [value].\)

Aloitetaan ratkaisun \(y_h\) etsimisestä. Tässä vaiheessa ratkaistavana on yhtälö

\(\displaystyle [value] =\) .

Sitä vastaava on

(käytä muuttujana esimerkiksi symbolia \(r\)),

ja sillä on juuret

\(r_1 =\) ja \(r_2 =\) .

Koska \(r_1\) \(r_2\), niihin liittyvät yksittäisratkaisut \(e^{r_1x}\) ja \(e^{r_2x}\) ovat , ja tämän vuoksi

\(y_h =\)
(käytä vakioina esimerkiksi symboleita \(c_1, c_2, c_3, \ldots\) tarpeen mukaan).

Siirrytään sitten ratkaisun etsimiseen. Tässä vaiheessa ratkaistavana on yhtälö

\(\displaystyle [value] =\) .

Sille sopiva on

\(y_p =\)
(käytä vakioina esimerkiksi symboleita \(A, B, C, \ldots\) tarpeen mukaan ja varmista, että vastauksesi on kolmen termin summa).

Tuntemattomien kertoimien määrittämiseksi sijoitetaan tämä alkuperäiseen yhtälöön. Nyt

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y_p =\) ja

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}y_p =\) , joten sijoittamalla päätellään, että

\(\displaystyle [value] =\) .

Jotta tämä \(y_p\) voisi olla ratkaisu, on siis oltava

\(\displaystyle [value] =\) .

Vertailemalla kertoimia saadaan yhtälöryhmä (yhtälöiden järjestyksellä ei ole väliä)

Gaussin-Jordanin eliminoinnin tai takaisinsijoituksen avulla yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan

, ja
(anna vastauksesi kuhunkin kenttään muodossa \(\text{kerroin} = \text{arvo}\), esimerkiksi \(A = 7\), järjestyksellä ei ole merkitystä),

joten

\(y_p =\) .

Nyt epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on

\(y =\) .

Q: Täydennä seuraaviin teksteihin puuttuvat kohdat.

(a) Yhtälö \[\text{tähän tulee differentiaaliyhtälö}\] on [...] (1-4) kertaluvun [...] (5-6), [...] (7-8) [...] (9-10), jolla on [...] (11-14) erilaista yksittäisratkaisua.

(b) Yleisen ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...]. Näin löytyy tuntematonta funktiota \(y\) kertova funktio \(a(x)\), joka [...] ja [...]. Tuloksena muodostuva lauseke on nimeltään integroiva tekijä. Ratkaisun seuraavassa vaiheessa [...] ja saatu tulos [...] ja tulos [...]. Lopuksi [...], ja yleinen ratkaisu on löydetty.

TAI

(b) Toisen kertaluvun vakiokertoimisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen alkaa siitä, että [...] ja [...]. Seuraavaksi [...]. Jos [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2e^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Jos taas [...], niin yleinen ratkaisu on muotoa \(y = c_1e^{\text{1. nollakohta} \cdot x} + c_2xe^{\text{2. nollakohta} \cdot x}\). Lopulta jos [...], niin yleiseen ratkaisuun liittyy trigonometrisia funktioita.
Also offered: 1.; 2.; 3.; epälineaarinen; ei-separoituva; yleinen differentiaaliyhtälö; yksi; kaksi; äärettömän monta
A: 0.; lineaarinen; separoituva; alkuarvotehtävä; nolla; viedään yhtälö normaalimuotoon; integroidaan (integroimisvakio valitaan esim. nollaksi); tulos sijoitetaan eksponenttifunktioon; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; integroiva tekijä kerrotaan yhtälön sillä termillä, joka ei sisällä funktiota y; integroidaan (integroimisvakio täytyy lisätä tulokseen); tulos jaetaan integroivalla tekijällä; muodostetaan karakteristinen yhtälö; ratkaistaan karakteristisen yhtälön juuret; päätellään ratkaisun muoto juurten laadun perusteella; juuret ovat reaalisia ja erillisiä; yhtälöllä on kaksinkertainen reaalinen juuri; juuret ovat kompleksinen liittolukupari
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.