Title: Alkeisfunktiot

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Vastaus:

For what real values of \(x\) \[\frac{1}{x-[value]}>\frac{2}{x+[value]}?\]

Give your answer in the form \(x>a,\ x<a,\ ...\)

Answer:

KunWhen ja and taior .
Feedback: Ratkaisu: Epäyhtälön ratkaisemisessa kannattaa molemmat termit siirtää ensin samalle puolelle: \[\frac{1}{x-[value]}-\frac{2}{x+[value]}>0.\] Tämän jälkeen termit lavennetaan samannimisiksi ja yhdistetään: \[\frac{x+[value]-2(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}>0.\] Tutkittava lauseke on positiivinen, kun osoittaja \(-x+[value] > 0\) ja nimittäjä \((x-[value])(x+[value])>0\). Tämä toteutuu, kun \([value]<x<[value]\). Lauseke on positiivinen myös silloin, kun sekä osoittaja että nimittäjä ovat negatiivisia. Tämä toteutuu, kun \(x<-[value]\). Solution: When solving the inequality it is worth to move first both terms to the same side: \[\frac{1}{x-[value]}-\frac{2}{x+[value]}>0.\] After finding the common denominator the terms can be combined: \[\frac{x+[value]-2(x-[value])}{(x-[value])(x+[value])}>0.\] The expression under consideration is positive when the numerator \(-x+[value] > 0\) and the denominator \((x-[value])(x+[value])>0\). This is fulfilled when \([value]<x<[value]\). The expression is also positive when both the numerator and the denominator are negative. This is fulfilled when \(x<-[value]\).

Sievennä \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \] Simplify \[ f(x)=\frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]}. \]

\(f(x)=\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]} =\frac{[value]x^3x^{[value]}}{[value]x^{-[value]}[value]x^[value]} =\frac{x^{[value]}}{[value]x^{[value]}} =\frac{1}{[value]x^{[value]}} \] Model solution: \[ \frac{([value]x)^3(x^[value])^{-[value]}}{[value](x^{-[value]})^[value]([value]x^[value])^[value]} =\frac{[value]x^3x^{[value]}}{[value]x^{-[value]}[value]x^[value]} =\frac{x^{[value]}}{[value]x^{[value]}} =\frac{1}{[value]x^{[value]}} \]

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]>0?\]

Anna vastauksesi muodossa \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Älä jätä kenttiä tyhjiksi.

For what real values of \(x\)

\[[value]>0?\]

Give your answer in the form \(x < a, \ x>a,\ldots .\) Don't leave the text areas empty.

Vastaus: Kun The answer: When ja and .
Feedback: Epäyhtälön vasen puoli kuvaa alaspäin aukeavaa paraabelia. Käyvät \(x\):n arvot löytyvät siis kyseisen paraabelin nollakohtien välistä. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa \([value]\) ja \([value]\), joten epäyhtälön ratkaisu on \(x>[value]\) ja \(x<[value]\). The left hand side of the inequality describes a parabola opening downwards. The values of \(x\) satisfying the inequality are between the zero points of the parabola. The zero points are in this case \([value]\) and \([value]\). Therefore, the solution of the inequality is \(x>[value]\) and \(x<[value]\).

Millä reaaliluvun \(x\) arvoilla

\[[value]=0\mbox{?}\]

For what values of the real number \(x\)

\[[value]=0\mbox{?}\]

\(x=\) tai or \(x=\) tai or \(x=\).
Feedback: Kolmannen asteen polynomiyhtälön juuria haettaessa on ensimmäisenä tehtävänä selvittää yksi juurista. Tässä tapauksessa voidaan ottaa \(x\) yhteiseksi tekijäksi, joten tulon nollasäännön mukaan \(x=0\) on yksi juurista. Toiseksi tulon tekijäksi jääneestä toisen asteen polynomista saadaan ratkaistua loput kaksi juurta ratkaisukaavan mukaisesti: \[x = \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}.\] \[ \begin{align*} [value]&=0\\ x(x^2+([value])x+([value]))&=0\\ x=0\textrm{ or } x^2+([value])x+([value])&=0\\ x=0\textrm{ or } x &= \frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2+[value]}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}\\ x=0\textrm{ or } x &=[value]\textrm{ or } x=[value] \end{align*} \]

Tiedetään, että \(\displaystyle \sin(\theta)= \frac{[value]}{5}\) ja \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\). Määritä \(\cos (\theta)\) ja \(\tan (\theta)\). Huom! Anna vastauksesi \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

\(\cos (\theta) = \)

\(\tan (\theta) = \)
Feedback: Mallivastaus: Koska \(\sin ^2(\theta) + \cos ^2 (\theta)=1\), niin saadaan \(\cos (\theta) = \pm \sqrt{1-\sin^2 (\theta)} = \sqrt{1- \left( \frac{[value]}{5} \right) ^2 } = \pm [value] \) . Tehtävässä vaadittiin, että \(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\), joka on yksikköympyrän toisessa neljänneksessä. Tällöin kosini on negatiivinen. Siis \( \large \cos(\theta)= [value]\qquad\) ja \( \qquad \large \tan (\theta)=\frac{\sin (\theta)}{\cos\theta}=\frac{[value]/5}{[value]/5}=[value].\)

Ratkaise kaikki reaaliluvut \(x\in \mathbb{R}\), jotka toteuttavat yhtälön:
\(\textbf{(a) } 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4, \quad \textbf{(b) } \text{arsinh}(0)=x, \quad \textbf{(c) } \text{artanh}([value])=x.\)

\(\textbf{(a) } x=\)
\(\textbf{(b) } x=\)
\(\textbf{(c) } x=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align*} \textbf{(a)} \quad & 5\cosh(x)+3\sinh(x)=4\\ \Leftrightarrow & 5\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & \frac{8e^{x}+2e^{-x}}{2}=4\\ \Leftrightarrow & 4(e^{x})^2+1=4e^{x}\\ \Leftrightarrow & (e^{x})^2-2\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & \left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow & e^{x}=\frac{1}{2} \quad | \ln \\ \Leftrightarrow & x= \ln \left( \dfrac{1}{2} \right)=\ln(2^{-1}) =-\ln(2). \end{align*}\) \(\textbf{(b)}\) Tapa 1. \(\text{arsinh}(0)=\ln \left(0+\sqrt{0^2+1}\right)=\ln(1)=0.\) Tapa 2. Sovelletaan tietoa, että areafunktio on hyperbolisen funktion käänteisfunktio, eli \(\text{arsinh}(0)=x\ \Leftrightarrow \sinh(x)=0 \ \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}=0\ \Leftrightarrow \ e^x=e^{-x}\) jos ja vain jos \(x=0\) (mieti vaikkapa kuvaajien kautta). \( \begin{align*} \textbf{(c)} \quad \text{artanh}([value]) &= \frac{1}{2}\ln \left(1+ \left([value]\right) \right)-\frac{1}{2}\left(1- \left([value]\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( [value] \right) - \frac{1}{2} \ln \left([value] \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \left ([value] \right) - \ln \left([value] \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left(\frac{[value]}{[value]} \right) = \frac{1}{2} \ln \left ([value] \right). \end{align*} \)

Sievennä \( \textbf{(a)-} \text{ ja } \textbf{(b)-} \)kohdat ja ratkaise \( \textbf{(c)-} \text{ ja } \textbf{(d)-} \)kohdat ilman laskinta.

\( \textbf{(a)} \) \(\log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value]=\)

\( \textbf{(b)} \) \(\log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})=\)

\( \textbf{(c)} \) \(\arcsin \left( [value] \right)=\)

\( \textbf{(d)} \) \(\arccos \left([value] \right)=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align}\textbf{(a)} \quad \log_2 [value]+\log_2 [value]-\log_2 [value] &= \log_2 [value] +\log_2 2^[value] -\log_2 [value] \\ &= \log_2 [value] + [value] -\log_2 [value] \\ &= [value] + \log_2 \left( \frac{[value]}{[value]} \right) \\ &= [value] + \log_2 2^[value] \\ &= [value] + [value] = [value] \end{align} \) \( \begin{align} \textbf{(b)} \quad \log_{e^2} (e^{4a}+ae^{4a}) &= \frac{\ln (e^{4a}+ae^{4a})}{\ln e^2} \quad \text{|| tässä tehtiin kantaluvun vaihto:} \log_a (x) = \frac{\log_b (x)}{\log_b (a)} \\ &= \frac{\ln \left( e^{4a}(1+a) \right)}{2} \quad || \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln(e^{4a}+\ln(1+a) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4a + \ln(1+a) \right) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arcsin \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \sin \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large -\frac{\pi}{2} < [value] < \frac{\pi}{2} \). \( \textbf{(d)} \quad \) Muistikolmion avulla: \( \arccos \large \left( [value] \right) = [value] \), sillä \( \cos \large \left( [value] \right) \normalsize = \large [value] \) ja \( \large 0 < [value] < \pi\).