Title: Epäyhtälö

Solve the inequality \( \displaystyle [value]<[value] \).Ratkaise epäyhtälö \( \displaystyle [value]<[value] \).Lös olikheten \( \displaystyle [value]<[value] \).

The answer is of the form "x < a or b < x < c". Give the exact values of a, b and c. Square root is written as sqrt(), e.g. \( \sqrt{3} \) is typed sqrt(3).Vastaus on muotoa  "x < a tai b < x < c". Anna luvut a,b ja c tarkkoina arvoina. Neliöjuuri annetaan muodossa sqrt(), esim. \( \sqrt{3} \) kirjoitetaan vastaukseen sqrt(3).Svaret kan skrivas i formen  "x < a eller b < x < c". Ange de exakta värdena på talen a, b och c. Kvadratroten skrivs med sqrt(), till exempel \( \sqrt{3} \) matas in som sqrt(3).

\( x< \)

\( <x< \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The inequality is defined for \( x\neq [value] \). We move all the terms in the inequality to the left side and proceed as follows: Epäyhtälö on määritelty, kun \( x\neq [value] \). Siirretään kaikki epäyhtälön termit vasemmalle puolelle, jotta epäyhtälö saadaan haluttuun muotoon: Olikheten är definierad då \( x\neq [value] \). Flytta alla termer i olikheten till vänstra ledet och gör dem liknämniga: \[ \begin{eqnarray*} [value] & < & [value] \\ [value]-[value] & < & 0 \\ \frac{[value]x(x-[value])-1+[value]x}{x-[value]} & < & 0 \\ \frac[value]{x-[value]} & < & 0 \end{eqnarray*} \] Let us find the zeros of the numerator: Lasketaan osoittajan nollakohdat: Bestäm täljarens nollställen: \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{\left([value]\right)^2-4\cdot [value] \cdot (-1)}}{2\cdot [value]} \\ x = [value] & \ \text{or}\ & x = [value]\\ x = [value] & \ \text{or}\ & x = [value]. \end{eqnarray*}\] \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{\left([value]\right)^2-4\cdot [value] \cdot (-1)}}{2\cdot [value]} \\ x = [value] & \ \text{tai}\ & x = [value]\\ x = [value] & \ \text{tai}\ & x = [value]. \end{eqnarray*}\] \[ \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{\left([value]\right)^2-4\cdot [value] \cdot (-1)}}{2\cdot [value]} \\ x = [value] & \ \text{eller}\ & x = [value]\\ x = [value] & \ \text{eller}\ & x = [value]. \end{eqnarray*}\] The denominator has the zero \( x=[value] \).Nimittäjän nollakohta on \( x=[value] \).Nämnarens nollställe är \( x=[value] \). We make a sign chart to examine the sign of the numerator and denominator: Laaditaan merkkikaavio, jossa tutkitaan osoittajan ja nimittäjän merkkiä: Gör ett teckenschema över täljarens och nämnarens tecken: \[ \begin{array}{cccccccc} & & [value] & & [value] & & [value] & \\ \hline [value] & + & | & - & | & + & | & + \\ \hline x-[value] & - & | & - & | & - & | & + \\ \hline \text{quotient} & - & | & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{cccccccc} & & [value] & & [value] & & [value] & \\ \hline [value] & + & | & - & | & + & | & + \\ \hline x-[value] & - & | & - & | & - & | & + \\ \hline \text{osamäärä} & - & | & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{cccccccc} & & [value] & & [value] & & [value] & \\ \hline [value] & + & | & - & | & + & | & + \\ \hline x-[value] & - & | & - & | & - & | & + \\ \hline \text{kvoten} & - & | & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \] According to the sign chart, the inequality \( [value]-[value]<0 \) holds, when \( x<[value] \) or \( [value]<x<[value] \).Merkkikaaviosta luetaan, että annettu epäyhtälö \( [value]-[value]<0 \) toteutuu, kun \( x<[value] \) tai \( [value]<x<[value] \).Enligt teckenschemat är olikheten \( [value]-[value]<0 \) uppfylld då \( x<[value] \) eller \( [value]<x<[value] \).

Solve the first order inequality \( [value]>0 \).Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälö \( [value]>0 \).Lös olikheten \( [value]>0 \).

Give your answer in the form ''x<a'' or ''x>a'', where a is the exact value.Anna vastauksesi muodossa ''x<a'' tai ''x>a'', missä a on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.Ge ditt svar i formen ''x<a'' eller ''x>a'', där a är ett exakt värde.

Answer: Vastaus: Svar:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[\begin{array}{rcll} [value] & > & 0 & \ \Arrowvert -4\\ [value] & > & -[value] & \ \Arrowvert\ \colon [value] \\ x & > & [value] \end{array}\]

Solve the second degree inequality \( [value]>0 \) and complete the answer below.Ratkaise 2. asteen epäyhtälö \( [value]>0 \) ja täydennä ratkaisu alle.Lös olikheten (av andra graden) \( [value]>0 \) och komplettera svaret nedan.

The inequality holds, when \( x<[value] \) or \( x > \)Epäyhtälö on tosi, kun \( x<[value] \) tai \( x > \) Olikheten är uppfylld, då \( x<[value] \) eller \( x > \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: To solve a second degree inequality, first we solve the corresponding equation, \( [value]=0 \).Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen aloitetaan ratkaisemalla ensin funktion \( f(x)=[value] \) nollakohdat: För att lösa en olikhet av andra graden bestämmer vi först rötterna till motsvarande ekvation, \( [value]=0 \). \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \ \text{or}\ & x=[value]. \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \ \text{tai}\ & x=[value]. \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \ \text{eller}\ & x=[value]. \end{eqnarray*} \( f([value])=[value]>0 \) \( f([value])=[value]<0 \) \( f([value])=[value]>0 \) We make a sign chart: Tehdään merkkikaavio: Vi gör ett teckenschema: \( \begin{array}{cccccc} & & [value] & & [value] & \\ \hline f(x) & + & | & - & | & + \end{array} \) According to the sign chart, the inequality \( [value]>0 \) holds, when \( x<[value] \) or \( x>[value] \).Merkkikaavion nojalla epäyhtälö \( [value]>0 \) toteutuu, kun \( x<[value] \) tai \( x>[value] \).Enligt teckenschemat uppfylls olikheten \( [value]>0 \) då \( x<[value] \) eller \( x>[value] \).

Solve the absolute value inequality \( \left| [value] \right|<[value] \).Ratkaise itseisarvoepäyhtälö \( \left| [value] \right|<[value] \).Lös olikheten \( \displaystyle \left| [value] \right|<[value] \).

The answer is of the form  "x < a or  x > b". Give the exact values of a and b.Vastaus on muotoa  "x < a tai  x > b". Anna luvut a ja b tarkkoina arvoina.Svaret är av formen  "x < a eller  x > b". Bestäm de exakta värdena på a och b.

\( x < \)

\( x > \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The inequality is defined for \( x\neq 1 \).Epäyhtälö on määritelty, kun \( x\neq 1 \).Olikheten är definierad då \( x\neq 1 \). \[ \begin{eqnarray*} & [value] & < [value] \\ -[value] < & [value] & < [value] \\ \end{eqnarray*} \] Let us examine the two inequalities separately.Tutkitaan nyt erikseen molempia epäyhtälöitä.Vi studerar de två olikheterna var för sig. The left inequality: Vasen epäyhtälö: Vänstra olikheten: \[ \begin{eqnarray*} [value] & > & -[value] \\ [value]+[value] & > & 0 \\ \frac{x+[value]+[value](x-1)}{x-1} & > & 0 \\ \frac[value]{x-1} & > & 0 \end{eqnarray*} \] The numerator \( [value] \) is zero, when \( x=[value] \). The denominator \( x-1 \) is zero, when \( x=1 \). We make a sign chart: Nyt osoittaja \( [value] \) on nolla, kun \( x=[value] \). Nimittäjä \( x-1 \) on nolla, kun \( x=1 \). Laaditaan merkkikaavio: Täljaren \( [value] \) är noll då \( x=[value] \). Nämnaren \( x-1 \) är noll då \( x=1 \). Vi gör ett teckenschema: \[ \begin{array}{ccccccc} & & & [value] & & 1 & \\ \hline [value] & & - & | & + & | & + \\ \hline x-1 & & - & | & - & | & + \\ \hline \text{quotient} & & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \]\[ \begin{array}{ccccccc} & & & [value] & & 1 & \\ \hline [value] & & - & | & + & | & + \\ \hline x-1 & & - & | & - & | & + \\ \hline \text{osamäärä} & & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \]\[ \begin{array}{ccccccc} & & & [value] & & 1 & \\ \hline [value] & & - & | & + & | & + \\ \hline x-1 & & - & | & - & | & + \\ \hline \text{kvoten} & & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array} \] Hence the inequality \( [value]>-[value] \) holds, when \( x<[value] \) or \( x>1 \).Nyt siis \( [value]>-[value] \), kun \( x<[value] \) tai \( x>1 \).Olikheten \( [value]>-[value] \) är alltså uppfylld då \( x<[value] \) eller \( x>1 \). The right inequality: Oikea epäyhtälö: Högra olikheten: \[ \begin{eqnarray*} [value] & < & [value] \\ [value]-[value] & < & 0 \\ \frac{x+[value]-[value](x-1)}{x-1} & < & 0 \\ \frac[value]{x-1} & < & 0 \end{eqnarray*} \] The numerator \( [value] \) is zero, when \( x=[value] \). The denominator \( x-1 \) is zero, when \( x=1 \). We make a sign chart: Osoittaja \( [value] \) on nolla, kun \( x=[value] \). Nimittäjä \( x-1 \) on nolla, kun \( x=1 \). Laaditaan merkkikaavio: Täljaren \( [value] \) är noll då \( x=[value] \). Nämnaren \( x-1 \) är noll då \( x=1 \). Vi gör ett teckenschema: \[ \begin{array}{ccccccc} & & & 1 & & [value] & \\ \hline [value] & & + & | & + & | & - \\ \hline x-1 & & - & | & + & | & + \\ \hline \text{quotient} & & - & | & + & | & - \\ \hline \end{array} \]\[ \begin{array}{ccccccc} & & & 1 & & [value] & \\ \hline [value] & & + & | & + & | & - \\ \hline x-1 & & - & | & + & | & + \\ \hline \text{osamäärä} & & - & | & + & | & - \\ \hline \end{array} \]\[ \begin{array}{ccccccc} & & & 1 & & [value] & \\ \hline [value] & & + & | & + & | & - \\ \hline x-1 & & - & | & + & | & + \\ \hline \text{kvoten} & & - & | & + & | & - \\ \hline \end{array} \] Hence, the inequality \( [value]<[value] \) holds, when \( x<1 \) or \( x>[value] \).Merkkikaaviosta nähdään, että \( [value]<[value] \), kun \( x<1 \) tai \( x>[value] \).Olikheten \( [value]<[value] \) är alltså uppfylld då \( x<1 \) eller \( x>[value] \). Result: Tulos: Resultat: Combining the domains of the two inequalities, we can conclude that the both inequalities hold, when \( x<[value] \) or \( x>[value] \).Kun edellä saadut tulokset yhdistetään, saadaan \( x<[value] \) tai \( x>[value] \).Genom att jämföra de två olikheternas lösningsmängder märker vi att bägge olikheterna är uppfyllda då \( x<[value] \) eller \( x>[value] \).

Let \( f(x)=[value] \). The function \( f \) is positive on the interval \( ]-\infty,c[ \). What is the greatest possible value for \( c \)? Olkoon \( f(x)=[value] \). Funktio \( f \) on positiivinen välillä \( ]-\infty,c[ \). Mikä on luvun \( c \) suurin mahdollinen arvo? Låt \( f(x)=[value] \). Funktionen \( f \) är positiv på intervallet \( ]-\infty, c[ \). Vilket är det största möjliga värdet på \( c \)?

\( c= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: First we form the inequality \([value]>0 \).Muodostetaan ensin epäyhtälö \([value]>0 \).Forma först olikheten \([value]>0 \). We need to find the zeros of \( f(x)=[value] \): Tutkitaan funktion \( f(x)=[value] \) nollakohtia: Bestäm nollställena till \( f(x)=[value] \): \( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \text{ or } & x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \text{ tai } & x=[value]. \end{eqnarray*} \)\( \begin{eqnarray*} [value] & = & 0 \\ x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{[value]-4\cdot [value]\cdot [value]}}{2\cdot [value]} \\ x= [value] & \ \text{ eller }\ & x=[value]. \end{eqnarray*} \) Sign chart: Merkkikaavio: Teckenschema: \( f([value])=[value]>0 \) \( f([value])=[value]<0 \) \( f([value])=[value]>0 \) \( \begin{array}{cccccc} & & [value] & & [value] & \\ \hline f(x) & + & | & - & | & + \end{array} \) According to the sign chart, the function \( f \) is positive on the intervals \( ]-\infty,[value][ \) and \( ][value],\infty[ \). Therefore, \( c \) equals \( [value] \).Merkkikaavion nojalla funktio \( f \) on positiivinen väleillä \( ]-\infty,[value][ \) ja \( ][value],\infty[ \). Tehtävässä kysytty \( c \):n arvo on siis \( [value] \).Enligt teckenschemat är funktionen \( f \) positiv på intervallen \( ]-\infty,[value][ \) och \( ][value],\infty[ \). Det efterfrågade värdet på \( c \) är alltså \( [value] \).

Solve the absolute value inequality \( |[value]|<[value] \).Ratkaise itseisarvoepäyhtälö \( |[value]|<[value] \).Lös olikheten \( |[value]|<[value] \).

The inequality holds on an interval \( ]a,b[ \). Determine the lower limit \( a \). Give the exact value in your answer (do not convert a fraction to a decimal).Epäyhtälö on voimassa eräällä välillä \( ]a,b[ \). Määrää välin alaraja \( a \). Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna X/Y, missä X ja Y ovat kokonaislukuja.Lösningarna till olikheten bildar ett intervall \( ]a,b[ \). Bestäm intervallets nedre gräns \( a \). Ge det exakta värdet som svar (omvandla inte bråk till decimalform).

\( a= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \[ \begin{array}{crcl} && |[value]| & < [value] \\ \Leftrightarrow\quad& -[value] < & [value] & < [value] \\ \Leftrightarrow\quad& [value] < & -[value] & < [value] \qquad \Arrowvert \colon -[value] \\ \Leftrightarrow\quad& [value] > & x & > [value] \end{array} \] Note: In the last step the direction of the inequality changes as we divide both sides by a negative number.Huom. Viimeisessä vaiheessa epäyhtälön merkki vaihtuu negatiivisella luvulla jaettaessa.Obs: Olikhetstecknen byter riktning då vi dividerar med ett negativt tal i det sista steget. Therefore, the sought lower limit of the interval is \( [value] \).Tehtävässä kysytty välin alaraja on siis \( [value] \).Den efterfrågade nedre intervallgränsen är alltså \( [value] \).