Title: Derivaatta ja funktion kulku

Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Luvut voit antaa muodossa \(\verb:a/(b+c) + d*(r/a):\) ts. ei tarvitse laskea laskimella. Käytä sulkeita varmistamaan laskujärjestys.
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_1\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_2\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_3\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen minimipiste. Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x=\), \(x=\).

Mikä on pienimmän kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the smallest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on suurimman kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1(=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the largest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1(=a local maximum point).
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Find the derivatives of the following functions: Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[f(x)=[value]\]

(b) \[g(x)=[value]\]

(c) \[h(x)=[value]\]

(a)\(\quad f'\left(x\right)=\)

(b)\(\quad g'\left(x\right)=\)

(c)\(\quad h'\left(x\right)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] \[f(x)=([value]-[value])^{[value]} \] \[ f'(x) =[value]([value]-[value])^{[value]}([value]x^{[value]}-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]([value])^{[value]}(1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value](1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]x^{[value]}(1-[value])^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}).\] (b) Quotient rule: Osamäärän derivaatta: \[\Big( \frac{f}{g}\Big) '(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}: \] \[g(x)=\frac{x^3+1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x^3+1}{(1+x^2)^{1/2}} \] \[g'(x)=\frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-(x^3+1)\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} 2x}{[(1+x^2)^{1/2}]^2 } \] \[=\frac{3x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x(x^3+1)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \] \[=\frac{3x^2+3x^4-x^4-x}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{2x^4+3x^2-x}{(1+x^2)^{3/2}}. \] (c) Product rule: Tulon derivaatta: \[(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \] \[h(x)=\cos([value]x)\sin([value]x) \] \[h'(x)=-\sin([value]x)\cdot [value]\cdot \sin([value]x)+\cos([value]x)\cdot \cos([value]x)\cdot [value] \] \[=-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot \sin([value]x)+[value]\cdot \cos([value]x)\cdot \cos([value]x). \]

Find the derivatives of the following functions:

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). \] (a) \[f(x)= \cos(x^{[value]}) \] \[f'(x)=-\sin(x^{[value]})\cdot [value][value]=-[value][value]\cdot \sin(x^{[value]}). \] (b) \[g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]}=(x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \] \[g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{-1/2}\cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \] (c) \[h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2})\] \[h'(x)=-\sin((x^{[value]}+x^{[value]})^{3/2})\cdot \frac{3}{2} \cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \]

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\]Koska \(D\ln (x)=1/x\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\]Vastaavasti \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), niin \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Find the derivative of the function Laske funktion

\[f(x)= [value]\]

derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Since the function \(f\) is a compound function, we can apply the chain rule. According to the chain ruleTehtävän funktio \(f\) on yhdistetty funktio, joten voimme soveltaa ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan \[ D(u \circ s) (x) = s'(x) \cdot u'(s(x)). \] To find the derivative, we need to use the chain rule several times.Ketjusääntöä täytyy soveltaa tehtävän funktioon moneen kertaan. \[\begin{array}{rll} D f(x) & = & D \text{ln}\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \\ & = & D\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left(D\sin([value]x)+D\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)+D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \frac{[value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x) \cos([value]x)}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \end{array}\] First we applied the chain rule to functions \( u(x) = \text{ln}(x) \) and \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). The derivative of the outer function is \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) and in the next phase we examine the derivative of the inner function \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). To differentiate the first term \(\sin([value]x)\), we use the chain rule for the functions \( u(x) = \sin(x) \) and \( s(x) = [value]x \). For the second term, the rule is applied to functions \( u(x) = x^2 \) and \( s(x) = \cos([value]x) \). This leaves us \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), where we only need to differentiate \(\cos([value]x)\) anymore.Ensimmäisenä ketjusääntöä sovellettiin valinnoilla \( u(x) = \text{ln}(x) \) ja \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). Ulkofunktion derivaatta on \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) ja seuraavassa vaiheessa lähdettiin tutkimaan sisäfunktion \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \) derivaattaa. Ensimmäinen termi, \(\sin([value]x)\), saadaan derivoitua soveltamalla ketjusääntöä kerran valinnoilla \( u(x) = \sin(x) \) ja \( s(x) = [value]x \). Toisen termin kohdalla sovelletaan ketjusääntöä valinnoilla \( u(x) = x^2 \) ja \( s(x) = \cos([value]x) \). Tästä päädymme muotoon \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), josta täytyy enää derivoida \(\cos([value]x)\).

Calculate the estimate of \(\sin([value])\) by hand. Make use of the facts \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) and \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). You should also use the approximations \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) and \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Note that the approximation of \(\pi\) effects only the length of the interval \(h\)). Solve the problem by linearizing the function \(f(x)=\sin{(x)}\). Advice: The approximation should be based on the following formula which stems from the definition of the derivative: \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Using the approximations given above, the solution will result in a fraction. You can either provide the exact value or an estimate with at least five decimals as your answer. Laske käsin luvun \(\sin([value])\) likiarvo. Käytä hyväksi tietoja, että \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) ja \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Lisäksi käytä approksimaatioita \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) ja \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Huomaa, että \(\pi\):n approksimaatio vaikuttaa ainoastaan välin pituuteen \(h\)). Tee tehtävä linearisoimalla funktiota \(f(x)=\sin{(x)}\). Ohje: Approksimaation tulee perustua derivaatan määritelmästä saatavan seuraavan kaavan käyttöön \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Käyttämällä yllä annettuja approksimaatteja, vastaukseksi tulee murtoluku. Vastauksen voi antaa, joko tarkkana arvona tai likiarvona vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\(\sin([value])\approx~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we form a linearization for the function \(\sin(x)\) about the point \(\frac{\pi}{6}\). For this we need the derivative of the function: Muodostetaan ensin funktiolle \(\sin(x)\) linearisointi pisteen \(\frac{\pi}{6}\) ympäristössä. Linearisointia varten tarvitsemme funktion derivaatan: \[ \sin ' (x) = \cos(x) \] The linearization is given by the formulaLinearisoinnin saamme laskettua kaavalla \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h,\] where \(x\) is the center of expansion and \(h\) is the distance from this point. In this case, \(x=\frac{\pi}{6}\) and \(f(x)=\sin(x)\). Therefore the linearization isjossa \(x\) on kehityskeskus ja \(h\) on siirtymä kehityskeskuksesta. Nyt \(x=\frac{\pi}{6}\) ja \(f(x)=\sin(x)\). Linearisointi on siten \[\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{6}+h\right) &\approx& \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\frac{173}{100}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot h \\ \end{eqnarray}\] We want to estimate the value of the sine function at [value], so we need to find its distance from the point \(\frac{\pi}{6}\).Haluamme arvioida sinifunktion arvoa pisteessä [value], joten meidän täytyy laskea sen etäisyys pisteestä \(\frac{\pi}{6}\). \[\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6}+h &=& [value] \\ h &=& [value]-\frac{\pi}{6} \\ h &=& [value]-\frac{\frac{314}{100}}{6} \\ h &=& [value]-\frac{314}{600} \\ h &=& [value] \\ \end{eqnarray}\] Now we can substitute the value for \(h\) in the linearization.Nyt voimme sijoittaa \(h\):n arvon saatuun linearisaatioon. \[\begin{eqnarray} \sin\left([value]\right) &=& \sin\left(\frac{\pi}{6}+[value]\right) \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot [value] \\ &=& [value] \\ &\approx& [value] \end{eqnarray}\]

Determine the derivative of the function \[f(x)=\frac[value][value] \] Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

DifferentiateDerivoi

a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{whenkun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{b, c}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, b}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{a, b}}{=} [value]\)

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta \(f'(x)<0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä, ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\).

Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettava \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) ja \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Q: Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Luvut voit antaa muodossa \(\verb:a/(b+c) + d*(r/a):\) ts. ei tarvitse laskea laskimella. Käytä sulkeita varmistamaan laskujärjestys.
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The derivative of the function is \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), so all the possible extrema are \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) and \(x_3=[value]\). Since \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), then \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) and \(f''([value])=[value]>0\). That is, all the points are local extrema; the middle one is a local maximum and the other two are local minima.Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

The volume of a ball having a radius \(r\) is given by \(V=4\pi r^3/3\). Express the radius as a function of the volume \(V\mapsto r(V)\), and applying the linear approximation \(r\)-säteisen kuulan tilavuus on \(V=4\pi r^3/3\). Kirjoita kuulan säde tilavuuden funktiona \(V\mapsto r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

find out by how many percents does the radius increase as the volume of the ball increases by \([value]\) percents. Give your answer as an integer without the % sign.avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{wheremissä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] The relative change isSuhteellinen muutos on \[\frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] When the volume is increased by \([value]\) percents, i.e. \(V=[value]\cdot V_0\), the relative change of the radius isKun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

With Newton's method, we can find solutions for an equation of the form \(f(x)=0\), if the function \(f\) is "smooth" near the zero \(r\). We can then form a recursive sequence \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] where the first element \(x_{0}\) is chosen near the seeked zero \(r\). It can be shown that if the initial estimate \(x_{0}\) is sufficiently near this zero, then for the sequence \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\). That is, the sequence converges to the point \(r\).Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), mikäli funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono toteuttaa \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\) eli suppenee kohti haluttua juurta.

Apply Newton's iteration for the equation \([value]=0\) and calculate the first four values \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) and \(x_{4}\). For the initial guess, use \(x_{0}=[value]\). Provide your answer in the precision of at least five decimals.Sovella Newtonin iteraatiota yhtälöön \([value]=0\) ja laske iteraation neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Alkuarvauksena käytä \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In order to apply Newton's method to find the zeros of the function \(f(x)=[value]\), first we have to find its derivative: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \[ f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = \frac[value][value] \] Now we can form the recursive formula for \(f\): Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f\): \[\begin{array}{rll} x_{n+1} & = & x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = & x_{n} -([value])\cdot \frac[value][value]\\ & = & x_{n} -\frac[value][value]\\ \end{array}\] Next, starting from the initial guess \(x_0=[value]\) we keep iterating the recursive formula: Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ x_1 = x_{0} -\frac[value][value] = ([value]) -\frac{([value])^[value]+2 e^{[value]\cdot ([value])}}{[value]\cdot ([value])^[value]-[value]\cdot ([value])^[value]} = [value] \approx [value] \] \[\begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_{1} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_{2} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_{3} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]

Find the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn.

Etsi lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen ([value],[value]).

[value]

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) is \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Koska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). From calculus we remember that a function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the function \(D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\). The derivative of the function \(D^2(x)\) is \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value] \approx [value] \) and \(x_2 = [value] \approx [value] \). Next, we will examine the values of the function \(D^2\) at the zeros of its derivative.Nyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Tavoitteenamme on etsiä lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä, joten riittää etsiä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Differentiaalilaskennasta tiedämme, että funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[ D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]. \] Funktion \(D^2(x)\) derivaatta, \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \approx [value] \) ja \(x_2 = [value] \approx [value] \). Tutkitaan seuraavaksi funktion arvoja derivaatan nollakohdissa. \[\begin{array}{rll} D^2(x_1) & = & \left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] \[\begin{array}{rll} D^2(x_2) & = & \left( x_2-[value] \right)^2+x_2^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] At \(x=x_1\) the value of the function \(D^2(x)\) is smaller than at \(x=x_2\), so the function has a minimum at \(x=x_1\). Therefore, the shortest distance between the point ([value],[value]) and the curve \(C\) is Kohdassa \(x=x_1\) funktio \(D^2(x)\) saa pienemmän arvon kuin kohdassa \(x=x_2\), joten sillä on kohdassa \(x=x_1\) minimi. Pisteen ([value],[value]) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} D(x_1) & = & \sqrt{\left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3} \\ & = & \sqrt{[value]} \\ & = & [value]\\ & \approx & [value] \end{array}\]

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

(a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

(b) Millä hetkellä \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) (b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla hetkellä \(t=[value]\, s\).

Laske seuraavat raja-arvot l'Hopitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

(a) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

(b) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

(c) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. (a) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) (b) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) (c) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = [value]\).

(a) Määritä funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \(([value],[value])\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö.

\(y=\)

(b) Funktiota \(f\) approksimoidaan pisteen \(a=[value]\) ympäristössä lineaarisella approksimaatiolla. Mikä on tämän linearisoinnin antama likiarvo funktion arvolle \( f\left([value]\right)\)? Anna vastauksesi murtolukuna, älä liukulukuna tai sekalukuna.

\(f\left([value]\right)\approx\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktion \(f(x) \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value]) \) piirretyn tangetin yhtälö on \[ y = f([value]) + f'([value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) derivaatta. \[ f'(x) = \displaystyle [value].\] Tangentin yhtälöksi saadaan \[y = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] (b) Lineaarinen approksimaatio pisteen \(a\) ympäristössä on se ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on funktion tangenttisuora siinä pisteessä, missä \(x=a\). Siis nyt \[T(x) = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] Näin ollen \(\displaystyle f\left([value]\right)\approx [value] - + [value] \left([value] + -[value]\right) = [value] - + [value] \cdot \frac{1}{2} =[value].\)

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Kuulan halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske kuulan tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{dr}\cdot\Delta r = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Kuulan tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla. Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Pienempi kriittisistä pisteistä on The smaller critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Suurempi kriittisistä pisteistä on The bigger critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Anna vastaus vähintään toiseen pisteistä sekä sen laatuun ennen vastauksen lukitsemista. Give an answer to at least one of the critical points and its nature before clicking the Check button.
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} \lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_1\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_2\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_3\)?
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali minimipiste. Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Laske seuraavien funktioiden toiset derivaatat. Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f(x)=[value] \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g(x)=[value] \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h(x)=[value] \)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f''(x) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g''(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h''(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska \( f'(x) = [value]\), niin \( f''(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \) Käytetään ketjusääntöä. Merkitään \( (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = [value]\), missä \( f_1(x) = x^2 \) ja \( g_1(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) &= D(f_1 \circ g_1)(x) = D(f_1(g_1(x)) = f_1'(g(x))g_1'(x) \\ & = 2[value] \cdot ([value]) \end{align} \] Toinen derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä \[ \begin{align} g''(x) &= D([value][value][value]) = [value]([value][value] + [value]([value])) \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( f_2(x) = [value]\) ja \( g_2(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} h'(x) & = \dfrac{f_2'(x)g_2(x)-f_2(x)g_2'(x)}{(g_2(x))^2} = \dfrac{[value] \cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] Huomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ h''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]

Tämän tehtävän vastauksessa saattaa esiintyä neliöjuuria. Syöttöesimerkki: \(5\sqrt{8} = 5*\mathtt{sqrt(8)}\).

Jatkuvan funktion \(f\) keskiarvoksi välillä \(I = [a,b]\) sanotaan lukua
\( \displaystyle \qquad f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \).

Olkoon
\( \displaystyle \qquad f(x) = [value] \).

Funktion \(f\) keskiarvo välillä \(I = [[value], [value]]\) on .
Se saavutetaan kohdassa \(c = \) .
Feedback: Mallivastaus: Keskiarvon määritelmän mukaisesti saadaan laskettua \( \begin{align*} \qquad f(c) & = \displaystyle{ \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x} = \displaystyle{ [value]\int_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x } \\ & = \displaystyle{ [value] {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right)} = \displaystyle{[value] }. \end{align*} \) Keskiarvon kohta \(c\) saadaan ratkaistua yhtälöstä \( \qquad \displaystyle f(c) = [value] = [value] \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{c^2} = [value]\left([value] - [value] \right) = [value]. \) Siis \(c^2 = [value] \) eli \(c = \pm [value] \). Näistä kahdesta kuitenkin vain \([value] \in [[value], [value]] \), joten keskiarvon kohta on \(c = [value] \).