Title: APK Viikko 4

This is a voluntary extra problem, no points givenTämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

The distance between the points \((x,y)\) and \((x_0,y_0)\) is given byPisteiden \((x,y)\) ja \((x_0,y_0)\) välinen etäisyys saadaan laskettua lausekkeella

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.\]

Find the shortest distance from the point \((x_0,y_0)=([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn. Etsi lyhin etäisyys pisteestä \((x_0,y_0)=([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen \(\left([value],[value]\right)\).

[value]

What is the distance function \(D(x)\) for which you should find the minimum? Mikä on etäisyysfunktio \(D(x)\), jolle etsit minimiä?

\(D(x)=\)

What is the point on \(C\) where the distance to \(([value],[value])\) is at its shortest? Mikä käyrän \(C\) piste on lähinnä pistettä \(([value],[value])\) ?

\((x,y)=\)(,).

What is the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C\)? Mikä on lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C\)?

\(D(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) isOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaKoska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). A function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the functionNyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Etsitään lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä etsimällä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\]. The derivative of the function \(D^2(x)\) is Funktion \(D^2(x)\) derivaatta on \[ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value]\) and \(x_2 = [value]\). Out of these numbers, the only one on \(C\) is \(x=[value]\geq0\). Then \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Therefore, the shortest distance between the point \(\left([value],[value]\right)\) and the curve \(C\) isjoka on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \) ja \(x_2 = [value] \). Näistä arvoista käyrällä \(C\) voi olla vain \(x=[value]\geq0\). Tällöin \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Pisteen \(\left([value],[value]\right)\) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} \displaystyle{D\left([value]\right)} & = & \displaystyle{\sqrt{\left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3}} \\ & = & \displaystyle{\sqrt{[value]} = 2\sqrt{11} \frac{16}{3\sqrt{3}}} \end{array}\]

Laske seuraavien funktioiden toiset derivaatat. Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f(x)=[value] \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g(x)=[value] \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h(x)=[value] \)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f''(x) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g''(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h''(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska \( f'(x) = [value]\), niin \( f''(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \) Käytetään ketjusääntöä. Merkitään \( (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = [value]\), missä \( f_1(x) = x^2 \) ja \( g_1(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) &= D(f_1 \circ g_1)(x) = D(f_1(g_1(x)) = f_1'(g(x))g_1'(x) \\ & = 2[value] \cdot ([value]) \end{align} \] Toinen derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä \[ \begin{align} g''(x) &= D([value][value][value]) = [value]([value][value] + [value]([value])) \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( f_2(x) = [value]\) ja \( g_2(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} h'(x) & = \dfrac{f_2'(x)g_2(x)-f_2(x)g_2'(x)}{(g_2(x))^2} = \dfrac{[value] \cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] Huomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ h''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_1\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_2\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_3\)?
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali minimipiste. Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = [value]\).

(a) Määritä funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \(([value],[value])\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö.

\(y=\)

(b) Funktiota \(f\) approksimoidaan pisteen \(a=[value]\) ympäristössä lineaarisella approksimaatiolla. Mikä on tämän linearisoinnin antama likiarvo funktion arvolle \( f\left([value]\right)\)? Anna vastauksesi murtolukuna, älä liukulukuna tai sekalukuna.

\(f\left([value]\right)\approx\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Funktion \(f(x) \) kuvaajan pisteeseen \(([value], [value]) \) piirretyn tangetin yhtälö on \[ y = f([value]) + f'([value])([value]). \] Lasketaan funktion \(f\) derivaatta. \[ f'(x) = \displaystyle [value].\] Tangentin yhtälöksi saadaan \[y = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] (b) Lineaarinen approksimaatio pisteen \(a\) ympäristössä on se ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on funktion tangenttisuora siinä pisteessä, missä \(x=a\). Siis nyt \[T(x) = \displaystyle [value] - + [value] ([value]).\] Näin ollen \(\displaystyle f\left([value]\right)\approx [value] - + [value] \left([value] + -[value]\right) = [value] - + [value] \cdot \frac{1}{2} =[value].\)

DifferentiateDerivoi

(a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

(b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)

(c) \(h(x) = [value]\arctan([value]x)\)

\(h'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{when kun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) 4. \(\mathrm{D}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{5, 6}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, 5}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{1, 4, 5}}{=} [value]\) c) \(h(x)= [value]\arctan([value]x)\) \(h'(x)\displaystyle \stackrel{\text{1, 3, 7}}{=} [value]\cdot\frac{1}{1+([value]x)^2}\cdot D([value]x) \stackrel{\text{5}}{=} [value]\)

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja jos tuloksesi sisältää sinin ja kosinin osamäärän, sievennä se toisenlaiseen muotoon.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö eli ketjusääntö on seuraava. \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Koska \(D\ln (x)=\displaystyle \frac{1}{x}\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=\displaystyle ([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Vastaavasti \[g'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\), niin \[h'(x)=\displaystyle \frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta on negatiivinen kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \displaystyle \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettavana on \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) eli \[f(x_0) = [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value],\] joka toteutuu selvästi, kun \(x_0 = 0\). Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \displaystyle \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Tämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Johdinsilmukka on magneettikentässä, jonka vuo \(\Phi\) ajan \(t\) funktiona on

\( \Phi= \left( [value] t-\displaystyle{\frac{[value]}{s}t^2}\right)V.\)

Kaavassa esiintyvä \(s\) viittaa sekuntiin, \(V\) volttiin (yksiköitä) ja \(t\) aikaan (suure). Silmukkaan indusoituu jännite \(U\), jonka arvo on vuon negatiivinen aikaderivaatta.

(a) Määritä \(U\) hetkellä \(t= [value]\,s\).

\(U([value])=\) \(\,V\)

(b) Millä hetkellä \(U=0\, V\)?

\(t=\) \(\,s\)

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, älä pilkkua.
Feedback: Mallivastaus: (a) Jännite on vuon negatiivinen aikaderivaatta eli \(U(t)=-\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}},\) jolle nyt saadaan lauseke \( U(t) = \left( -[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}}t\right)V\). Sijoitetaan \(t=[value]\,s\) muodostettuun yhtälöön, jolloin jännitteen arvoksi saadaan \(U([value])= [value]\, V \) (b) Ratkaistaan \(t\) yhtälöstä \(\left(-[value]+\displaystyle{\frac{[value]}{s}} t\right)V =0\), jolloin jännitteen arvo on nolla hetkellä \(t=[value]\, s\).

Määritellään funktio \(f\) paloittain seuraavasti.

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f\) että \(f'\) ovat jatkuvia funktioita. Määritä sellainen kolmannen asteen polynomi \(p(x)\), että funktio \(f\) on jatkuvasti derivoituva.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_3=~\)

\(a_2=~\)

\(a_1=~\)

\(a_0=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \[ \qquad \begin{cases} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0 =f(1) \\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0= f(-1) \\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1=f'(1) \\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1= f'(-1) \end{cases}, \] jonka ratkaisuna saadaan \[ \qquad \begin{cases} a_3 = [value] \\ a_2 = [value] \\ a_1 = [value] \\ a_0 = [value] \end{cases} \]

Tämä on vapaaehtoinen tehtävä, josta ei saa pisteitä.

Tarvitset tehtävässä laskinta.

Kuulan halkaisija mitattiin työntömittaa käyttäen ja tulokseksi saatiin \(a=[value]\) mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin \(\Delta a= [value]\) mm. Laske kuulan tilavuus ja arvioi tilavuuden virhettä.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(V= (\) \( \pm \) \( )\ \rm{mm}^3\) .
Feedback: Mallivastaus: Tilavuudeksi saadaan suoralla laskulla (säde \(r=\frac{a}{2}\)) \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^3=[value]\ \rm{mm}^3 \approx[value]\ \rm{mm}^3\) ja virheen maksimiksi \( | \Delta V | \leq \frac{dV}{da}\cdot\Delta a = \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot a^2\cdot\delta=[value]\ \rm{mm}^3\approx [value]\ \rm{mm}^3\). Kuulan tilavuus virherajoineen on siis \(V= \left( [value] \pm [value]\right)\ \rm{mm}^3 \).

Laske seuraavat raja-arvot l'Hopitalin sääntöä käyttäen. Anna myös välivaiheena se lauseke, johon voidaan sijoittaa se arvo, jota \( x \) lähestyy, kun olet käyttänyt l'Hopitalin sääntöä.

\( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) kirjoitetaan \( \text{minf} \).

(a) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0}\) \( = \)

(b) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to 0} \) \( = \)

(c) \( \displaystyle \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{x\to \infty}\) \( = \)
Feedback: Mallivastaus: Ylläolevia raja-arvoja ei voi suoraan laskea halutuissa kohdissa, sillä ne tuottaisivat joko \( \frac{0}{0} \) tai \( \frac{\infty}{\infty} \). L'Hopitalin säännön avulla raja-arvot voidaan kuitenkin laskea. Sen mukaan \[ \begin{align} & \text{jos } \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \text{ ja } g'(x) \neq 0, \\ & \text{niin } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align} \] L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää tarvittaessa moneen kertaan, eli funktion osoittajaa ja nimittäjää voidaan derivoida tarvittaessa useitakin kertoja. (a) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} =\dfrac{[value]e^{[value] \cdot 0}}{[value]} =\dfrac{[value] \cdot 1}{[value]} = [value].\) (b) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 0} \dfrac{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]}{0+1} = [value].\) (c) \( \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{[value]}{[value]} = [value] .\)

a) Determine the derivative ofDerivoi funktio

\[f(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle[value]}{\displaystyle[value]}. \]

Note: The numerator of your answer should be in an expanded form.Vastauksessa osoittajan pitää olla sievennetyssä muodossa.

\(f'(x)=~\)

b) Determine the second derivative ofSelvitä toinen derivaatta funktiolle

\[\displaystyle g(x)=[value] . \]

\(g''(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: a) To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: a) Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g_{1}(x)}{h_{1}(x)} = \frac{g_{1}'(x) h_{1}(x) - g_{1}(x) h_{1}'(x)}{h_{1}(x)^2}.\] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{align} D\left( [value] \right) & = [value] \\ D\left( [value] \right) & = [value] \\ \end{align}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{([value]) ([value])-([value]) ([value])}{([value])^2} \\ & = \displaystyle{[value]} \end{align}\] b) By the quotient rule,b) Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) & = \dfrac{[value]\cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & =\displaystyle{[value]} \end{align} \] Note that this can be written as \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). ThereforeHuomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ g''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]