Title: Kompleksiluvun juuret ja kompleksinen polynomi

Q: Johda kompleksisen juuren laskukaava

(Täydennä alasvetovalikoista oikea vastaus jokaiseen kohtaan.  Jokaiseen kohtaan on vastattava ennen vastauksen lukitsemista.)

Oletetaan, että kompleksiluku \(w\) on kompleksiluvun \(z\) \(n\):s juuri eli se toteuttaa yhtälön [...] (a. \(z=w^n\) b. \(z=wn\)). Merkitään, että \(w=te^{i\varphi}\) ja \(z=re^{i\theta}\). Tarkoituksena on siis saada ilmoitettua kompleksiluku \(w=te^{i\varphi}\) kompleksiluvun \(z=re^{i\theta}\) avulla.

Oletuksesta seuraa, että [...] (c. \(z=t^ne^{in\varphi}\) d. \(z=tne^{in\varphi}\)). Toisaalta kompleksiluku \(z\) voidaan kirjoittaa muodossa \(z=re^{i\theta}\). Näin ollen saadaan yhtäsuuruus [...] (e. \(t^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}\) f. \(tne^{in\varphi}=re^{i\theta}\)).

Jotta kaksi kompleksilukua ovat samoja, niiden itseisarvojen ja eksponenttiosien on oltava yhtä suuret.

1. Tarkastellaan ensin itseisarvoja eli yhtälöä [...] (g. \(t^n=r\) h. \(t^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}\)). Luvut \(t,r>0\) vastaavat kompleksilukujen itseisarvoja, joten ne ovat reaalisia ja näin ollen on olemassa yksikäsitteinen reaalinen \(n\). juuri [...] (i. \(t=\sqrt[n]{r}\) j. \(t=\sqrt[r]{n}\) ).

2. Tarkastellaan nyt eksponenttiosia eli yhtälöä [...] (k. \(e^{in\varphi}=e^{i\theta}\) l. \(t^n=r\)). Tämä toteutuu, kun [...] (m. \(n\varphi =\theta+2\pi k\) n. \(n\varphi = \theta + k\)), missä \(k\) on kokonaisluku. Luvun \(2\pi\) monikerrat on otettava huomioon, sillä kyseessä on aina sama kompleksiluku riippumatta vaihekulman kasvattamisesta tai pienentämisestä luvun \(2\pi\) eli täyden kierroksen verran. Vaihekulma voidaan ratkaista jakamalla puolittain luvulla \(n\), jolloin saadaan [...] (o. \(\varphi = \frac{\theta +2\pi k}{n}\) p. \(\varphi = \theta + \frac{2\pi k}{n}\)).

Nyt itseisarvo ja vaihekulma on saatu ratkaistua, joten kompleksiluvun \(z=re^{i\theta}\) \(n\). juuret voidaan kirjoittaa muodossa [...] (q. \(w_k = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}}\) r. \(w_k = \sqrt[r]{n}e^{i\frac{\theta+k}{n}}\)), missä \(k\) on kokonaisluku.

Kompleksisen juuren laskukaava \(w_k = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}}\) on nyt saatu johdettua. Lopuksi vielä muutama huomio.

- Koska juurien itseisarvo on \(\sqrt[n]{r}\), ne sijaitsevat [...] (s. \(\sqrt[n]{r}\) t. \(r^n\)) säteisellä origokeskisellä ympyrällä.
- Jokainen parametrin \(k\) valinta ei tuota erillistä juurta kulman jaksollisuuden (\(2\pi\)) takia. Jos parametriksi \(k\) asetetaan \(k+n\), niin \[ \begin{align} w_{k+n}&=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta +2\pi (k+n)}{n}}\\ &=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta +2\pi k+2\pi n}{n}}\\ &=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{\theta +2\pi k}{n}+2\pi)}\\ &=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}}=w_k \end{align} \].
- Näin ollen yhteensä \(n\) eri suurta juurta saadaan parametreillä [...] (u. \(k=0, 1, 2, ..., n-1\) v. \(k=0, 1, 2, ..., n\)) ja peräkkäisten juurten vaihe-ero \(\frac{\theta+2\pi (k+1)}{n}-\frac{\theta +2\pi k}{n}\) on tällöin [...] (x. \(\frac{2\pi}{n}\) y. \(2\pi\)).
- Jos yksi \(n\). juuri tunnetaan, kaikki muut pystytään määrittämään vaihe-eron avulla.

Juuren määritelmästä liikkeelle lähtien vertaamalla itseisarvoja ja eksponenttiosia saatiin siis yhtälön ratkaisuna kaava \(w_k = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}}\), mikä antaa parametreilla \(k=0, 1, 2, ..., n-1\) kompleksiluvun juuret, jotka sijaitsevat \(\frac{2\pi}{n}\) välein \(\sqrt[n]{r}\) säteisellä origokeskisellä ympyrällä.
Also offered: b; d; f; h; j; l; n; p; r; t; v; y
A: a; c; e; g; i; k; m; o; q; s; u; x
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

a) Palataan Johdanto-osion yhtälöön. Ratkaise yhtälö \(x^2-2x+2=0\).

Anna vastaus muodossa \(x=a+bi \text{ tai } x=a-bi\). Muista kirjoittaa kertomerkki ( * ) imaginääriosan ja imaginääriyksikön \(\text{i}\) väliin. Neliöjuuren saat tarvittaessa komennolla \(sqrt(x)\).

\(x=\) tai \(x=\)

b) Ratkaise yhtälö \(3x^2+2x+[value]=0\).

Anna vastaus muodossa \(x=a+bi \text{ tai } x=a-bi\). Muista kirjoittaa kertomerkki ( * ) imaginääriosan ja imaginääriyksikön \(\text{i}\) väliin. Neliöjuuren saat tarvittaessa komennolla \(sqrt(x)\).

\(x=\) tai \(x=\)
Feedback: Ratkaisu a) Ratkaistaan yhtälö \(x^2-2x+2=0\) käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa \(x^2-2x+2=0 \Longleftrightarrow x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{2\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i\). b) Ratkaistaan yhtälö \(3x^2+2x+[value]=0\) käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa \(3x^2+2x+[value]=0 \Longleftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot [value]}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm\sqrt{[value]}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{[value]}}{6}=\frac{-2\pm i\sqrt{[value]}}{6}=[value]\pm i[value]\).

Q: Pisteet tehtävästä 1 sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista yhteensä

(Tehtävästä maksimissaan 5 pistettä sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista 1 piste)
- 0 pistettä (tehtävä tekemättä ja malliratkaisu lukematta)
- 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu)
- 2 pistettä
- 3 pistettä
- 4 pistettä
- 5 pistettä
- 6 pistettä
A: 6 pistettä
Partly right: 5 pistettä (83%); 4 pistettä (67%); 3 pistettä (50%); 2 pistettä (33%); 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu) (17%)

Q: Pisteet tehtävästä 2 sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista yhteensä

(Tehtävästä maksimissaan 5 pistettä sekä malliratkaisun lukemisesta ja itsearvioinnista 1 piste)
- 0 pistettä (tehtävä tekemättä ja malliratkaisu lukematta)
- 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu)
- 2 pistettä
- 3 pistettä
- 4 pistettä
- 5 pistettä
- 6 pistettä
A: 6 pistettä
Partly right: 5 pistettä (83%); 4 pistettä (67%); 3 pistettä (50%); 2 pistettä (33%); 1 piste (tehtävä tekemättä, mutta malliratkaisu luettu) (17%)