Title: Harjoitus 1

Osoita totuustaulutarkastelun avulla:

\(\textbf{(a)}\) Osittelulaki: \( p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \). Ts. osoita, että \(p \lor (q \land r)\) ja \((p \lor q) \land (p \lor r) \) ovat loogisesti ekvivalentteja.

\(\textbf{(b)}\) Suora todistus: \( p \land (p \to q) \Rightarrow q.\)

Vihje: Kannattaa ratkaista tehtävä ensin paperilla ja sijoittaa sitten puuttuvat alkiot STACKiin.

\(\textbf{(a)}\) Täytä allaolevaan totuustauluun puuttuvat alkiot (siis x:llä merkityt). Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (* & p \lor (q \land r) \leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \quad (*** \\ \hline 1 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 1 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 1 & x & x & x & x & x & x \\ 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x \\ \end{array}\)

Allaolevassa taulukossa on tilan puutteen vuoksi kaksi viimeistä saraketta merkitty yhdellä ja kolmella tähdellä. Katso ylläolevasta taulukosta, mitä niiden kohdalla kuuluu olla.

\(\quad p \quad | \quad q \quad | \quad r \quad\) | \( \quad q \land r \quad \, \) | \(p \lor q \) | \( p \lor r \) | \(p \lor (q \land r) \) | \( * \) | \(*** \)
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\) |
\(\quad 1 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 1 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 1 \quad\)
\(\quad 0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0 \quad\)

\(\textbf{(b)}\) Täytä allaolevan totuustaulun puuttuvat alkiot. Alkiot ovat joko nollia tai ykkösiä.

\(\quad p \quad | \quad q \quad\) | \(\quad \quad p \to q \quad \quad\) | \(p \land (p \to q) \quad \) | \(p \land (p \to q) \Rightarrow q \)
\(1 \quad | \quad 1\) |
\(1 \quad | \quad 0\)
\(0 \quad | \quad 1\)
\(0 \quad | \quad 0\)
Feedback: Mallivastaus. \(\textbf{(a)}\) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} p & q & r & q \land r & p \lor q & p \lor r & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r) & p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\) \( \textbf{(b)} \) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & p \land (p \to q) & p \land (p \to q) \Rightarrow q \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \)

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen aaltosulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]

Selvitä, onko lause tosi vai epätosi:

\( \begin{align*} & \textbf{(a) } \exists\, x\in[1,[value]]:\ [value] \qquad \textbf{(b) } \forall\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0\\ & \textbf{(c) } \exists\, x\in\mathbb{R}:\ x^2-2x+1=0 \quad \textbf{(d) } \forall\, x\in\mathbb{N}\ \exists\,y\in\mathbb{R}:\ \frac{y}{x}=3 \end{align*} \)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Huom! Vastaa joka kohtaan tosi tai epätosi. Mieti vastauksesi ennen kuin lukitset vastauksen. Vain ensimmäinen vastauskerta otetaan huomioon pistelaskussa. Väärän vastauksen korjaaminen oikeaksi ei enää toisella kerralla lisää pistemäärää.

\( \textbf{(a)} \) \( \quad \) \( \textbf{(b)} \)

\( \textbf{(c)} \) \( \quad \) \( \textbf{(d)} \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) [value]. Suomeksi väite tarkoittaa: Väliltä \([1,[value]]\) löytyy reaaliluku, joka on aidosti [value] kuin [value]. Huomaamme, että tämä väite on [value] kaikilla \(x\in [1,[value]]\), eli väite on /* tosi */ [value]. \( \textbf{(b)} \) Epätosi. Väite ei ole tosi, valitsemalla esimerkiksi \(x=0\). \( \textbf{(c)} \) Tosi. Yhtälön ratkaisuiksi saadaan \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=1. \] Eli nähdään, että löytyy \(x=1\in\mathbb{R}\), jolla polynomi saa arvon \(0\). Näin ollen väite on tosi. \( \textbf{(d)} \) Tosi. Koska \(x\) in luonnollinen luku (eli \(1,2,3,....\)), niin erityisesti \(x\neq 0\) ja jakolasku \(y/x\) on aina hyvin määritelty. Jos \(x\):ää kohden valitaan \(y=3x\in\mathbb{R}\), nähdään, että yhtälö toteutuu \[ \frac{y}{x}=\frac{3x}{x}=3, \] ja väite on tosi.

Puiston harvennuksen yhteydessä kaadetut puut kuivataan kasassa ja toimitetaan lämpövoimalaan poltettavaksi. Tuoreen pöllin painosta on vettä [value] % ja kasassa kuivatun pöllin painosta on vettä [value] %. Täysin vedettömän puuaineksen poltosta saadaan energiaa 5,3 kWh/kg. Kosteaa puuta polttaessa aiheuttaa vesi 0,7 kWh:n energiahävikin vesikiloa kohti.

\(\textbf{(a) }\) Montako kiloa alkuaan [value]\(\mathbf{,0}\) kg painoinen pölli keveni kasassa kuivattaessa?

\(\textbf{(b) }\) Montako prosenttia enemmän energiaa saadaan kuivatusta pöllistä verrattuna siihen, että sama pölli olisi poltettu tuoreena? Pöllin massaa ei tunneta.

Ilmoita molemmat vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä. Anna \(\textbf{(b) }\)-kohdan vastaus nimenomaan prosenttina desimaaliluvun sijasta - älä käytä prosenttimerkkiä. Esim. jos vastaus on mielestäsi 95,7 %, kirjoita vastauskenttään " 95.7 ".

\(\textbf{(a)}\) kg.

\(\textbf{(b)}\) %.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan aluksi pöllin puuaineksen paino, joka on \[(100\%-[value]\%)\cdot [value] \, \textrm{kg} =[value]\, \textrm{kg}\] Olkoon kasassa kuivatun puun massa \(m_{k1},\) jolloin \[ (100\%-[value]\%)m_{k1}=[value] \,\textrm{kg} \Longrightarrow m_{k1}=\frac{[value]}{[value]}\approx [value]\, \textrm{kg}. \] Pölli keveni \([value]-\frac{[value]}[value]\approx [value] \, \textrm{kg}\). \( \textbf{(b)} \) Olkoon pöllin massa \(m\). Tuoreesta pöllistä saadaan energiaa \[ E_t=[value]\cdot m\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}=([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)\, m \, \textrm{kWh/kg} \] Kuivatusta pöllistä saadaan energiaa (kuivatun pöllin massa on \(m_{k}=\frac{[value]}{[value]}m\)) \[ \begin{align} E_k&=[value]\cdot m_k\cdot 5,3\, \textrm{kWh/kg}-[value]\cdot m_k\cdot 0,7\, \textrm{kWh/kg}\\ &=([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}\cdot m\, \textrm{kWh/kg} \end{align}\] Näin ollen prosentteina \[ \frac{E_k-E_t}{E_t}=\frac{([value]\cdot 5,3 -[value]\cdot 0,7)\cdot \frac{[value]}{[value]}-([value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7)}{[value]\cdot 5,3-[value]\cdot 0,7}=[value]\approx [value]\% \] Vastaus: \(\textbf{(a) } [value]\, \textrm{kg} \quad \textbf{(b) } [value]\% \)