Title: DIL käsitteenmuodostustehtävät

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^3-1}} < \sqrt{2}\cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) |
b) | \(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{n}} \geq \frac{1}{2\sqrt{n}}\) |
c) | \(\displaystyle n! < n^n\) |
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^3-1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{2}n^3 - 1}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}n^3}} = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{n^3}} = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\), kun \(\displaystyle \frac{1}{2}n^3-1>0\) eli \(n>\sqrt[3]{2}\).

Antiderivaatalla tarkoitetaan

Mikä seuraavista väitteistä ei ole totta
Feedback: Vastaus: Integraalifunktio on antiderivaatta ja määrättyä integraalia käytetään kuvaamaan pinta-alaa tai tilavuutta. Analyysin peruslause linkittää integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteen.

a) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=\sin(x)+1\) on integraalifunktio.

b) Funktiolla \(e^{x^2}\) ei ole olemassa integraalifunktiota.

c) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x) = \left\{\begin{align*} 2x &, \quad x\leq 1\\ 2 &, \quad x>1 \end{align*}\right.\) on olemassa integraalifunktio \(\textrm{F} = \left\{\begin{align*} x^2 &, \quad x\leq 1\\ 2x &, \quad x>1 \end{align*}\right.\)

d) Funktiolla \(f=\sin(2x)\) on olemassa yksikäsitteinen integraalifunktio.

e) Kuinka monta integraalifunktiota on funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=e^x+\cos(2x)\)?

f) Olkoon \(C\) mikä tahansa reaaliluku. Tällöin \(\displaystyle D\left(\int e^x \cos(x) \, \textrm{d}x \right) = e^x \cos(x) + \textrm{C}\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. b) Epätosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. Aina ei voi integraalifunktiota esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. c) Epätosi. Saatu integraalifunktio ei ole jatkuva, kun \(x=1\). Tällöin se ei ole derivoituva. d) Epätosi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). e) Äärettömästi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). f) Epätosi. Yhtälö pätee ainoastaan, kun \(C=0\).

a) Jos funktiot \(f\) ja \(g\) ovat integroituvia välillä \([a,b]\), niin \(f+g\) on integroituva välillä \([a,b]\) ja lisäksi \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x)+g(x)\big) \, \textrm{d}x = \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x + \int_a^b g(x) \, \textrm{d}x\).

b) Olkoon funktio \(f(x)=h,\) missä \(h\in \mathbb{R}\). Tällöin \(\displaystyle \int_1^2 f(x)\, \textrm{d}x = h\).

c) Olkoon \(f(x) \geq 0\) välillä \([a,b]\), kun \(a<b\). Tällöin \(\displaystyle \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x \geq 0\).

d) Jos funktio on integroituva välillä \([0,2]\) ja \(0\leq f(x) \leq 3\) kaikille \(x\in [0,2]\), niin integraali \(\displaystyle \textrm{I} = \int_0^2 f(x) \, \textrm{d}x\) on olemassa ja \(0\leq \textrm{I} \leq 6\).

e) Mikä seuraavista luvuista on suurin?

1. \(\displaystyle \int_{100}^{100} 1000^x \, \textrm{d}x\)
2. \(5\)
3. \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 8 \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle \int_3^2 2x \, \textrm{d}x\)

Valitse suurinta lukua vastaava kirjain

f) Välillä \(\textrm{I}\) on voimassa \(\displaystyle \int af(x)\, \textrm{d}x = a\int f(x) \, \textrm{d}x\, \), kun \(a=x^2\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio. b) Tosi. Vakiofunktion integrointi. c) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. d) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. e) 5. \(\int_a^a f(x) dx = 0\) ja \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\), kun \(a<b\). f) Epätosi. Et voi siirtää integraalin eteen muuttujasta \(x\) riippuvaa osaa!

a) Integraalifunktion \(\textrm{F}\) on oltava jatkuva.

b) Jos funktio \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\), niin funktio \(f\) on välttämättä jatkuva välillä \([a,b]\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, joten integraalifunktion on oltava derivoituva. Jotta integraalifunktio on derivoituva, se on jatkuva. b) Epätosi. Integraalifunktion olemassaolo ei kuitenkaan edellytä jatkuvuutta integroitavalta funktiolta.

Valitse oikeaa muotoa oleva osamurtokehitelmä kullekin rationaalifunktiolle.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{x(x+6)}\) | \(=\) |
b) | \(\displaystyle \frac{3}{x^2+6x+9}\) | \(=\) |
c) | \(\displaystyle \frac{5}{x^3+3x}\) | \(=\) |
d) | \(\displaystyle \frac{500}{(2x^2+4)^2}\) | \(=\) |
e) | \(\displaystyle \frac{3}{(x-2)^4}\) | \(=\) |

a) Perustele välivaiheet alasvetovalikosta.

 | \(\displaystyle D\big(f(x)g(x)\big) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \, f'(x)g(x) = D\big(f(x)g(x)\big) - f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = \int D\big(f(x)g(x)\big) dx - \int f(x)g'(x) dx\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx\) |

b) Kun derivoit \(f(x) = x^2\), saat \(f'(x) = \) . Toisaalta kun derivoit \(g(x) = x^2+1\), saat \(g'(x) = \) . Nyt \(f'(x) = g'(x)\), vaikka \(f(x) \neq g(x)\). Kun integroit \(f'(x)\):n tai \(g'(x)\):n, saat . Tämä on muistettava integroitaessa puolittain.

HUOM! Käytä vakiona \(C\):tä tässä tehtävässä.

a) Täydennä puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\quad=\quad\) | \(\displaystyle \lim_{c \to a^*} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad +\) | \(\displaystyle \quad \lim_{e \to b^*} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\).
 | \(a = \) | \(b = \)
 | \(* = \) | \(* = \)

b) Haluat laskea \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx\).

Kuinka monen epäoleellisen integraalin summana integraali on vähintään laskettava eli kuinka moneen osaan integroimisväli jaetaan?
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx = \lim_{c \to [value]^-} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad + \lim_{e \to [value]^+} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\). b) Nimittäjällä on \(2\) nollakohtaa eli \(\pm \sqrt{[value]}\). Integraali tulee jakaa seuraavasti: \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx = \lim_{c \to -\sqrt{[value]}^-} \int_{[value]}^{c}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{e \to -\sqrt{[value]}^+} \int_{e}^{0}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{f \to \sqrt{[value]}^-} \int_{0}^{f}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{g \to \sqrt{[value]}^+} \int_{g}^{[value]}\frac{1}{x^2-[value]} dx\). Huomaa, että toisen termin yläraja ja kolmannen termin alaraja voi olla muutakin kuin \(0\). Mitä?

a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että

b) Jos funktio \(f\) on rajoitettu suljetulla välillä \([a,b]\), niin funktion integraali välillä \([a,b]\) ja funktion \(f\) epäoleellinen integraali välillä \((a,b]\) ovat samat
Feedback: Malliratkaisu: a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että integroimisväli on rajoittamaton. b) Tosi. Rajoitetulle funktiolle epäoleellinen integraali antaa saman arvon kuin integraali.

a) Onko seuraava väite tosi vai epätosi?

\(\displaystyle \int\limits_{-2}^3 \frac{1}{x^4}\,\textrm{d}x = {\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-19mu}-2}^{\mspace{19mu}3}} -\frac{1}{3x^3} = -\frac{1}{3\cdot 3^3}-\left(-\frac{1}{3\cdot (-2)^3}\right)\)?

b) Oletetaan, että \(f\) on määritelty välillä \([a,b]\) ja integroituva välillä \([c,b]\) kaikilla \(c\in (a,b]\). Jos raja-arvoa \(\displaystyle \lim\limits_{c\to a+} \int\limits_c^b f(x) \,\textrm{d}x\) ei ole olemassa, niin \(\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \,\textrm{d}x\) hajaantuu.
Feedback: Malliratkaisu: a) Epätosi. Integroitava funktio ei ole määritetty, kun \(x = 0\). b) Tosi.

a) Mikä seuraavista ei kuvaa funktion \(f(x)=\sin(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa välillä \(0\leq x \leq 2\pi\)?

1. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} |\sin(x)| \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = 2\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle A = -2\int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain

b) Olkoot funktiot \(h\) ja \(g\colon [a,b] \to \mathbb{R}_{0}\) sekä \(a<c<b\).

Nyt \(\left\{\begin{align*} h(x) &\geq g(x) \quad \text{ välillä }[a,c] \text{ ja }\\ g(x) &\geq h(x) \quad \text{ välillä }[c,b]. \end{align*}\right.\)

Funktioiden \(h\) ja \(g\) väliin jäävä ala ei ole

1. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big|h(x)-g(x)\big| \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = \int_{a}^{c} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x + \int_{c}^{b} \big(g(x)-h(x)\big) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x = 0\), sillä pinta-alat x-akselin ylä- ja alapuolella kumoavat toisensa. b) \(\displaystyle \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\) ei huomioi, että \(g(x) \geq h(x)\) välillä \([c,b]\).

a) Riemannin summa on tehokas numeerisen integroinnin menetelmä

b) Yhdistä seuraavat numeerisen integroinnin menetelmät pinta-alan arvioinnissa käytettyihin muotoihin.

Riemannin summa
Puolisuunnikassääntö
Simpsonin kaava
Feedback: Malliratkaisu: a) Epätosi. Käytä mieluummin esim. Simpsonin kaavaa. b) Riemannin summa - Suorakulmio Puolisuunnikassääntö - Puolisuunnikas Simpsonin kaava - Paraabeli

Olkoon \(0 \leq h(x) \leq g(x) \leq f(x)\) kaikilla \(x\).

a) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_3^{\infty} h(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_3^{\infty} g(x) dx\)?

b) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_1^{\infty} f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_1^{\infty} g(x) dx\)

c) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 h(x) dx\) suppenee. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 g(x) dx\)?

d) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_0^{\infty} g(x) dx\)?
Feedback: Ratkaisut: a) Hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla. b) Ei voi päätellä, sillä suurempia arvoja saavan funktion hajaantumisesta ei voi päätellä mitään. c) Ei voi päätellä, sillä pienempiä arvoja saavan funktion suppenemisesta ei voi päätellä mitään. d) Ei voi päätellä, sillä eri rajat.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

- Differentiaaliyhtälöllä on aina yksikäsitteinen ratkaisu.
- Alkuehdon avulla on mahdollista määrittää, mikä ratkaisuparven ratkaisuista valitaan.
- 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöllä voi olla erikoisratkaisu, joka ei sisälly yleiseen ratkaisuun.
- Olkoon \(y' = y^2\) ja \(y(0) = 1\). Tässä tilanteessa on yksikäsitteinen ratkaisu
- Differentiaaliyhtälön \(y' = e^x\) voi ratkaista integroimalla.
- Differentiaaliyhtälön kertaluku on muuttujan \(y\) korkein potenssi.
- Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion \(y=y(x)\) yhden tai useamman derivaatan \(y',y'',y''',y^{(4)},\ldots\).
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Differentiaaliyhtälöllä on useita ratkaisuja, jotka ilmoitetaan yhden tai useamman parametrin avulla. Jos halutaan tarkastella yhtä tiettyä ratkaisua, tarvitaan yksi tai useampi alkuehto. - Tosi. Alkuehto auttaa valitsemaan tietyn ratkaisun. - Tosi. Erikoisratkaisu voi olla esim \(y(x)=0\), mikä ei välttämättä voi lausua yleisen ratkaisun papametrien avulla. - Tosi. Yksi alkuehto takaa 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön yksikäsitteisyyden. - Tosi. Differentiaaliyhtälö on muotoa y'=f(x). - Epätosi. Differentiaaliyhtälön kertalu on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista. - Tosi. Näin on!

a) Yhdistä sopivasti kirjoittamalla oikea kirjainsymboli kuhunkin ruutuun. Jokaiselle löytyy pari.

Normaalimuoto |  |
Alkuarvotehtävä |  |
Erikoisratkaisu |  |
Yksittäisratkaisu |  |
Yleinen ratkaisu |  |
Implisiittinen ratkaisu |  |
[value]) | Esitysmuoto, jossa korkein derivaatta on ratkaistuna, esim. \(y'=2y+x\).
[value]) | Sisältää differentiaaliyhtälön lisäksi yhden tai useamman alkuehdon.
[value]) | Differentiaaliyhtälön ratkaisu, jota ei voi esittää yleisen kaavan avulla.
[value]) | Eräs funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
[value]) | Esim. \(y=e^x+\frac{1}{2}Cx\). Toiselta nimeltään ratkaisuparvi.
[value]) | Tulos ei ole muodossa \(y(x)=f(x)\). Esim. \(\frac{1}{y(x)}=e^x+1\).

b) Olkoon \(y' = 2y\).

Alla on lueteltuna yhtälön ratkaisuja.

Millainen ratkaisu on kyseessä?

- \(y(x) = 3e^{2x-2}\)
- \(y(x) = Ce^{2x}\)
- \(y(x) = 0\)

1) Yhdistä 1. kertaluvun lineaariyhtälö ja integroiva tekijä valitsemalla sopiva kirjain.

\(xy'-3y = x^3\) |  |
\(y'+y = e^x\) |  |
\(y'+3y = 2xe^{-3x}\) |  |
\(y'+2xy = x\) |  |
\(y'+ \frac{5}{x}y = 7x\) |  |
\(y' = (1-y)\cos(x)\) |  |
[value]) | \(x^{-3}\)
[value]) | \(e^x\)
[value]) | \(e^{3x}\)
[value]) | \(e^{x^2}\)
[value]) | \(x^5\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}\)

2) Olkoon \(xy'+ [value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\).

Nyt integroiva tekijä on \(\displaystyle \mu(x) = e^{\int}\)^\(\displaystyle ^{dx} = \) .

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä. Yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu derivaatta \(D_x\big( \) \(y(x) \big)\).

Differentiaaliyhtälön ratkaisu on \(y(x) = \) (Käytä vakiota C).

Ratkaistaan \(C = \) hyödyntäen tietoa \(y(1) = 5\).

Alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu 1-kohtaan: Differentiaaliyhtälön \(y' + a(x)y = f(x)\) integroiva tekijä on muotoa \(\mu(x) = e^{\int a(x) \, dx}\). Malliratkaisu 2-kohtaan: \(xy'+[value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\). Muokataan \(xy'+[value]y = [value]x \Leftrightarrow y'+\frac{[value]}{x}y = [value]\). Nyt integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int \frac{[value]}{x}} dx = e^{[value]\ln(x)} = e^{\ln x^[value]} = x^[value]\). Kerrotaan yhtälö puolittain integroivalla tekijällä: \(x^[value] y' + [value][value]y = [value]x^[value]\). Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( x^[value] \cdot y(x) \big) = x^[value] y' + [value][value]y\) (tulon derivaatta). Integroidaan puolittain: \(x^[value] y(x) = x^[value]+C \Leftrightarrow y(x)=x+\frac{C}{x^[value]}\). Alkuarvotehtävän nojalla \(y(1) = 1+C = 5\) eli \(C = 4\). Siispä \(y(x) = x + \frac{4}{x^[value]}\).

Ratkaistaan \(y'=(1-y)\cos(x)\), kun \(y(\pi)=2\). Valitse kuhunkin kohtaan sopiva välivaiheen lauseke tai yhtälö. Jokaista käytetään täsmälleen kerran.

Muutetaan yhtälö muotoon |  |
Integroiva tekijä \(\mu(x)\) on |  |
Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä eli |  |
Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on tulon derivaatta |  |
jolloin yhtälö voidaan ilmaista |  |
Integroidaan puolittain eli |  |
Muutetaan ratkaistuun muotoon |  |
Sijoitetaan \(x=\pi\) ja \(y=2\) eli |  |
Ratkaistaan vakio |  |
Lopullinen ratkaisu on |  |
[value]) | \(y'+\cos(x)y=\cos(x)\)
[value]) | \(e^{\int \cos(x) dx} = e^{\sin(x)}\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}y'+e^{\sin(x)}\cos(x)y = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big]\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big] = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(y\cdot e^{\sin(x)} = e^{\sin(x)} + C\)
[value]) | \(y = 1+Ce^{-\sin(x)}\)
[value]) | \(2 = 1+C\)
[value]) | \(C = 1\)
[value]) | \(y(x) = 1+e^{-\sin(x)}\)

a) Järjestä 1. kertaluvun lineaariyhtälön \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\) ratkaisuvaiheet oikeaan järjestykseen kirjoittamalla numerot 1-5 tyhjiin ruutuihin.

 | Muodosta integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int a(x) dx}\).
 | Kerro yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä.
 | Tarkista, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( y(x)\mu(x) \big)\).
 | Integroi puolittain. Lisää vakio \(C\) oikealle puolelle.
 | Muuta eksplisiittiseen muotoon.

b) Tavoitteena on ratkaista \(y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\). Käytetään integroivana tekijänä \(\mu(x) = e^{\int a(x)dx}\). Valitse jokaiseen välivaiheeseen sopiva perustelu alasvetovalikosta.

 | \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle e^{\int a(x)dx} y'(x)+a(x)e^{\int a(x)dx} y(x) = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle D_x\big[ y(x)e^{\int a(x)dx} \big] = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x)e^{\int a(x)dx} = \int f(x)e^{\int a(x)dx} + C\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x) = e^{-\int a(x)dx} \Big( \int f(x)e^{\int a(x)dx} dx + C \Big)\) |

Mitkä seuraavista ovat separoituvia?
Feedback: Malliratkaisu: Separoituva yhtälö on muotoa: \(y'(x)=f(x)g(y(x))\).

a) Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan esittää muodossa

Ratkaiseminen:

- Kirjoita \(y' = \frac{dy}{dx}\) ja ajattele kyseessä olevan jakolasku. Siispä \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\).
- Separoi \(x\) ja \(y\) yhtälön eri puolille, jolloin \(\frac{1}{g(y)}dy = \) \(dx\).
- Integroi puolittain ja lisää integrointivakio oikealle.
\(\displaystyle\int \frac{1}{g(y)} dy = \int\) \(\displaystyle dx + C\).
- Saatu ratkaisu on
- Huomaa, että oletimme \(g(y) \neq 0\).

b) Olkoon \(y' = 2xy^2\).

Nyt \(\frac{dy}{dx} = \).

Separoidaan, jolloin \(\frac{dy}{y^2} = \) \(dx\).

Integroidaan puolittain:

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dy = \int \) \(\displaystyle dx\).

Siispä \(-\frac{1}{y} = \) .

Lopullinen eksplisiittinen ratkaisu on \(y(x) = \) .

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy''-y'=3x^2+x\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(3y''-y=e^x-5\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''+y'-3y=0\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''-5y'=y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-e^xy''=y^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(x^2y''-x(y')^3=2x-y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-xy=x^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy'-x^2=2y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Yhdistä 2. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö mahdolliseen järkevään yritteeseen \(y_p\).

\(y''-y = 2e^{2x}\) |  |
\(y''+2y'+y = 3e^{-x}\) |  |
\(y''-4y = 6x\) |  |
\(2y''-2y' = x^2\) |  |
\(y'' = x^2-2x+1\) |  |
\(y''-y = 2e^{-x}\) |  |
\(y''-2y'+y = e^{x}\) |  |
\(y''-y = 5\cos(3x)\) |  |
[value]) | \(y_p = ae^{2x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax+b\)
[value]) | \(y_p = ax^3+bx^2+cx+d\)
[value]) | \(y_p = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
[value]) | \(y_p = axe^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^x\)
[value]) | \(y_p = a\cos(3x)+b\sin(3x)\)

Ovatko seuraavat 2. kertaluvun lineaarisia yhtälöitä koskevat väitteet tosia vai epätosia? Huom! Pisteet näkyvät satunnaisessa järjestyksessä, joten niiden perusteella ei pysty päättelemään mikä kohdista on mahdollisesti väärin.

• Epähomogeenisen yhtälön \(y''+ay'+by = f(x)\) ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.
• Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun \(y_p\) tulee olla lineaarisesti riippuva vastaavan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta \(y_n\), jotta saadaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
• Et tarvitse karakteristista yhtälöä, kun ratkaiset epähomogeenista 2. kertaluvun yhtälöä.
• Määräämättömien kertoimien menetelmää käytetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Yksi alkuehto riittää siihen, että pystytään määrittämään homogeeniselle yhtälölle yksikäsitteinen ratkaisu.
• Olkoon \(y=c_1y_1+c_2y_2\, (c_1, c_2\in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Tällöin \(y_1\) ja \(y_2\) ovat lineaarisesti riippumattomia.
• Wronskin determinantti on lineaarisesti riippumattomille funktioille aina \(0\).
• Olkoon \(y = c_1y_1+c_2y_2 \, (c_1, c_2 \in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Nyt \(y_2\) on myös saman yhtälön ratkaisu.
• Vakion variointi-menetelmää hyödynnetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Jos homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksiset, yleinen ratkaisu sisältää trigonometrisia termejä.
Feedback: • Tosi. Näin on! • Epätosi. Vastausten tulee olla lineaarisesti riippumattomia. • Epätosi. Epähomogeenisen yhtälön ratkaisemiseen tarvitset homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja näin ollen karakteristisen yhtälön. • Tosi. Epähomogeeninen 2. kertaluvun yhtälö ratkaistaan tavallisesti joko määräämättömien kertoimien menetelmällä tai vakion varioinnilla. • Epätosi. ​2. kertaluvun tapauksessa tarvitaan vähintään kaksi alkuehtoa. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Epätosi. Lineaarisesti riippumattomille funktioille Wronskin determinantti poikkeaa aina nollasta. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Tosi. Näin on! • Tosi. Tällöin \(y = e^{\alpha x} \left( c_1\sin(\beta x)+ c_2\cos(\beta x) \right)\).

Yhdistä 2. kertaluvun homogeenisen differentiaaliyhtälön karakteristisen yhtälön juuret ja yleinen ratkaisu.

\(r_1 = 2\) ja \(r_2 = 3\) |
\(r_1 = r_2 = 2\) |
\(r_1 = 2+3i\) ja \(r_2 = 2-3i\) |
\(r_1 = r_2 = 3\) |

a) Mitkä seuraavista differentiaaliyhtälöä \(y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_{n-1}(x)y' + p_{(n)}(x)y = f(x)\) koskevista väitteistä pitävät paikkansa?

b) Olkoon differentiaaliyhtälö \(8y^{(8)}-y'''+y'-5y=0\) \(e^xy^{(5)}+y''-y=e^x\). Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia?

c) Mikä seuraavista on normaaliryhmä:
Feedback: Malliratkaisu: b) Kyseessä on lineaarinen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö, jonka kolmatta kertalua olevan termin kerroin on -1. Kyseessä on lineaarinen, epähomogeeninen viidettä kertalua oleva differentiaaliyhtälö. c) Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä koostuvaa yhtälöryhmää kutsutaan normaaliryhmäksi. Normaalimuotoinen \(n.\) kertaluvun differentiaaliyhtälö voidaan palauttaa normaaliryhmäksi.

a) Valitse seuraavista ne parit, jotka sisältävät lineaarisesti riippumattomat funktiot.

b) Olkoon \(y_1=e^{3x+5}\) ja \(y_2=e^{3x}\) homogeenisen yhtälön \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\) ratkaisuja. Määritä vastaava Wronskin determinantti.

\(W(x) = \det \) |  | \(=\) .

Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat .
Feedback: Mallivastaus: a) Voit helpoiten testata jakamalla \(\frac{y_1}{y_2}\). Jos osamäärä on vakio, ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvia. Muutoin ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia. Toinen vaihtoehto on tutkia Wronskin determinantin avulla. b) \(W(x) = [value] = [value]\). Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat [value].

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{5^k}\) on geometrinen.
- Sarja, jolle \(a_1 = 100\) ja \(a_{k+1} = 10^{100} a_k\), on geometrinen.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 5\cdot 3^k = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}\).
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{2^k} = \frac{5}{1-\frac{1}{2}} = 10\).
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{3}{2^k} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = 6\).
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 0\) ja \(r = \frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r=\frac{8}{7}\). Kyseinen sarja suppenee.
- Olkoon geometrisen sarjan \(a_1 = 2\) ja \(r = 1\). Tällöin osasumma \(S_6 = 6\cdot 2 = 12\).
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot (-1)^k\) hajaantuu.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. \(a_{k+1} = \frac{1}{5}a_k\). - Tosi. Kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla \(10^{100}\). - Epätosi. \(r=3>1\) eli sarja hajaantuu. - Epätosi. Nyt \(a = \frac{5}{2}\), sillä indeksi lähtee \(k=1\). - Epätosi. Halutaan laskea osasumma \(S_{10}\). - Tosi. Kyseinen sarja on muotoa \(0+0+0+\ldots = 0\). - Epätosi. \(r = \frac{8}{7}>1\) eli sarja hajaantuu. - Tosi. Kun \(r = 1\), summa on \(S_5 = 2+2+2+2+2+2 = 12\). - Tosi. \(|r|=|-1|=1\geq1\) eli sarja hajaantuu.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Olkoon \(\big(n^2\big)_{n=3}^{\infty}\). Lukujonon toinen termi on 16.
- Olkoon lukujonot \(\big( n \big)_{n=1}^{\infty}\) ja \(\big( n-1 \big)_{n=2}^{\infty}\). Molemmat lukujonot voidaan kirjoittaa muodossa \((1,2,3,4,5,\ldots)\).
- Tiedetään, että lukujono \(\big(a_n\big)_{n=8}^{\infty}\) suppenee. Tällöin \(\big(a_n\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee.
- Lukujono \(\big((-1)^n\big)_{n=0}^{\infty}\) suppenee kohti lukuja \(1\) ja \(-1\).
- Lukujono \(\big(n^3\big)_{n=1}^{\infty}\) suppenee kohti \(\infty\).
- Olkoon \(a_n \leq b_n \leq c_n\) kaikilla \(n\in \mathbb{N}\). Tiedetään, että \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 5\). Nyt \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = 5\).
- Olkoon \(a_1 = 3\) ja \(a_{n+1} = 3n-1\), kun \(n>1\). Lukujono on kasvava.
- Vakiolukujono \((5,5,5,\ldots)\) on alhaalta rajoitettu.
- Alhaalta rajoitettu vähenevä lukujono suppenee.
- Neperin luku \(\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\).
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. Lukujono on \((9,16,25,36,\ldots)\). - Tosi. Kyseessä on sama lukujono. - Tosi. Äärellinen määrä jonon alkupään termejä ei vaikuta suppenemiseen. - Epätosi. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = \lim_{n \to \infty}(-1) = -1\). Lukujono hajaantuu. - Epätosi. Lukujono hajaantuu, sillä \(L \notin \mathbb{R}\). - Epätosi. Kuristusperiaate ei toimi, sillä \(c_n \geq b_n\). Nyt emme tiedä \(c_n\):n suppenemisesta. - Tosi. Lukujono on \((3,8,23,68,\ldots)\). - Tosi. On olemassa luku m (esim. \(m=4\)), jolle \(a_n \geq m\) kaikilla \(n\) (nyt \(5 \geq 4\)). - Tosi. Piirrä kuva ja pohdi kuvan kautta. - Tosi. Neperin luvun määritelmä.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2k\) on positiiviterminen sarja.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k k\) on positiiviterminen sarja.
- Positiiviterminen sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \int_5^{\infty} f(x) dx\) suppenee. Nyt \(f\colon [5,\infty) \to \mathbb{R}\) on vähenevä funktio ja \(f(k) = a_k \quad \forall k \geq 1\).
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k^2\) suppenee, jos ja vain jos \(\displaystyle \int_1^{\infty} x^2 dx \,\, \big( f\colon [1,\infty) \to \mathbb{R}\) ja \(f(k)=a_k \quad \forall k\geq 1 \big)\) suppenee.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\) on yliharmoninen sarja.
- Aliharmoninen sarja suppenee.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}\) hajaantuu.
- Olkoon \(0\leq b_k \leq a_k\) kaikilla \(k\). Tiedetään, että \(\sum b_k\) suppenee. Myös sarjan \(\sum a_k\) on supettava.
- Kyseessä on positiiviterminen sarja ja suhdetestin tulos on \(L = 1\). Suhdetesti ei kerro suppenemisesta.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. \(a_{k} \geq 0 \quad \forall k\in [0,\infty)\). - Epätosi. Kun \(k=1\), niin \(a_1 = (-1)^1\cdot 1 = -1 < 0\). - Tosi. Integraalitesti. Integraalin alarajalla ei ole testin kannalta merkitystä. - Epätosi. Integraalitestissä oletuksena, että \(f(x)\) on vähenevä funktio, mikä ei nyt päde. - Epätosi. Kyseessä on geometrinen sarja, jonka \(q = \frac{1}{2}\). - Epätosi. Aliharmoninen sarja hajaantuu. - Tosi. Kyseessä on aliharmoninen sarja ja aliharmoninen sarja hajaantuu aina. - Epätosi. Kyseinen tilanne ei anna minorantti- eikä majoranttiperiaatteen pohjalta kuvaa suppenemisesta. - Tosi. Kun suhdetestin tulos on \(L_1 = 1\) tulee käyttää muuta testiä.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

Olkoon \(R>0\) potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde. Merkitään \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\).

- Funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \(\left( -R,R \right)\).
- Funktio \(f(x)\) on integroituva välillä \([a,b]\), jos \([a,b]\subset \left( -R,R \right)\).
- \(f'\):n suppenemissäde on \(R\).
- \(\displaystyle f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1}\).
- \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_kx^{k+1}}{k+1}\).
Feedback: Malliratkaisu: Lause 172. Olkoon \(R > 0\) potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde. Tällöin funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \(\left( −R, R \right)\) ja integroituva jokaisella välillä \([a, b] \subseteq \left( −R, R \right)\). Kun \(|x|<R\), niin \(\displaystyle f'(x) = \sum_{k=0}^{\infty}D(a_kx^k) = \sum_{k=1}^{\infty}ka_kx^{k-1} = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\) \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^x a_kt^k dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_kx^{k+1}}{k+1} = a_0x + \frac{1}{2}a_1x^2+\frac{1}{3}a_2x^3+\cdots\). Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde \(R\). - Tosi. - Tosi. - Tosi. - Tosi. - Tosi.

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+3)^k\cdot 2k}{k!}\) on potenssisarja.
- Sarja \(\displaystyle 1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\ldots\) voidaan tulkita potenssisarjaksi.
- Potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\) suppenee aina jollain muuttujan \(x\) arvolla.
- Olkoon potenssisarjan suppenemissäde \(R\). Kyseinen sarja suppenee siis aina välillä \([c-R,c+R]\).
- Potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenee itseisesti, jos \(|x|\leq R\) ja hajaantuu, jos \(|x|>R\). Tiedämme, että \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) suppenemissäde \(R = \infty\), niin sarja suppenee itseisesti kaikilla reaaliluvuilla \(x\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde \(R = 0\), niin sarja hajaantuu kaikilla reaalisilla arvoilla \(x\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\). - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}(x-0)^{2k}\). - Tosi. Sarja suppenee vähintään arvolla \(x = c\). - Epätosi. Emme tiedä tutkimatta, mitä tapahtuu välin päätepisteissä. - Epätosi. Päätepisteet on tutkittava erikseen. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Sarja suppenee, kun \(x=0\).

Järjestä taulukon kahden viimeisen sarakkeen sisällöt vastaamaan taulukon toisen sarakkeen tietoja käyttäen taulukon ensimmäisen sarakkeen numeroita.

([value]) | Taylorin polynomi | Taylorin kaava | Taylorin sarja | Maclaurenin sarja | \(\displaystyle P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = P_n(x)+R_n(x)\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) | Taylorin sarjan n:s osasumma. | Funktio esitetään Taylorin polynomin ja jäännöstermin/virhetermin summana. | Esittää funktiota itseään, kun jäännöstermin/virhetermin raja-arvo on nolla. | Taylorin sarja, jolle \(c=0\).

Sarakkeiden kolme ja neljä oikeat järjestykset: |

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) kuvaa funktiota \(f(x)\) pisteen \(a\) läheisyydessä paremmin kuin mikään muu \(1.\) asteen polynomi.
- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(\displaystyle P_n(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) approksimoi funktiota \(f(x)\) pisteen \(x=a\) ympäristössä paremmin kuin muu \(n\) asteen polynomi.
- Taylorin sarja suppenee kohti funktiota vain niissä suppenemisvälin pisteissä, joissa virhetermin raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to 0} R_n = 0\).
- Taylorin sarja on potenssisarja.
- Jos funktio on jatkuvasti derivoituva, niin Taylorin sarja on mahdollista muodostaa.
- Taylorin sarja suppenee aina kohti vastaavaa funktiota.
- \(\displaystyle \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\) kaikilla \(x\in \mathbb{R}\).
- \(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{k+1}}{k+1}\), kun \(x=2\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. \(P_1(a)=f(a)\) ja \(P_1'(a) = f'(a)\). - Tosi. \(P_n(a) = f(a), P_n'(a) = f'(a), \ldots, P_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)\). - Tosi. Näin on! - Tosi. Taylorin sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\). - Tosi. Näin on! - Epätosi. Vain jos virhetermin raja-arvo on nolla. - Tosi. Kyseessä on sinifunktion sarjakehitelmä, jonka suppenemisväli on \(\mathbb{R}\). - Epätosi. Suppenemisväli sarjakehitelmälle on \(-1<x\leq 1\).

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja on aina joko positiiviterminen tai vuorotteleva.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{2k}\cdot 3k\) on vuorotteleva sarja.
- Leibnizin testillä testataan vuorottelevan sarjan suppenemista.
- Jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\), niin vastaava vuorotteleva sarja välttämättä suppenee.
- Itseisesti suppeneva sarja aina suppenee.
- Suppeneva sarja suppenee aina myös itseisesti.
- Jos sarja ei suppene itseisesti, se automaattisesti hajaantuu.
- Tiedämme sarjan \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenevan. Sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee myös.
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Sarjan kaikki termit voivat olla myös esim. negatiivisia. - Epätosi. Potenssi on aina positiivinen eli kyse on positiivitermisestä sarjasta. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Oltava myös \(a_k\geq a_{k+1}\) (Leibnizin testi) - Tosi. Lause 164 opintomonisteessa. - Epätosi. Esim. harmoninen sarja ja vuorotteleva harmoninen sarja. - Epätosi. Jos sarja ei suppene itseisesti, emme voi päätellä sarjan suppenemista suoraan tästä. - Tosi. Jos \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenee, niin sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee itseisesti. Tällöin \(\displaystyle \sum a_k\) myös suppenee.

a) Osamurtokehitelmä on esitys sellaiselle rationaalifunktiolle, jossa osoittajan aste on kuin nimittäjän aste.

b) Kun poimitaan integroitavasta funktiosta jokin \(x\):stä riippuva osa, jota merkitään uudella muuttujalla \(u(x)\), puhutaan

c) Kun integroitaessa jokaisen muuttujan \(x\) paikalle sijoitetaan jokin muuttujasta \(u\) riippuva lauseke, tarkoitetaan yleensä

d) Trigonometrinen sijoitus perustuu yhtälöön \(\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1\). Sijoituksen tavoitteena on päästä eroon esim. muodosta \(\sqrt{a-x^2}\) (\(a>0\) vakio), jolloin sijoitetaan \(x = \sqrt{a}\sin(u)\) tai \(x = \sqrt{a}\cos(u)\). Tällöin

\(\sqrt{a-x^2} = \sqrt{a-a\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{1-\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{\cos^2(u)} = \sqrt{a}\cos(u)\),

mikä on helppo integroida. Hyödynnetään edellä mainittua integraalin \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\) ratkaisussa. Täydennä puuttuvat kohdat.

Valitaan \(x = -\cos^2(u)\), jolloin \(\displaystyle \frac{dx}{du} = \) .

Siispä \(dx = \) \(du\).

Tällöin

 | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-\cos^2(u)}}2\cos(u)\sin(u) du \quad \big| \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{2\cos(u)\sin(u)}{1+\sqrt{\sin^2(u)}} du = 2\int \frac{\cos(u)\sin(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \frac{\cos(u)+\cos(u)\sin(u)-\cos(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\frac{\cos(u)(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}-\frac{\cos(u)}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\cos(u) - \frac{D(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\big(\sin(u)-\) \(\big)+C\)
 | takaisin sijoitus
\(=\) | \(2\) \(-2\log(|1+ \)\(|) + C\).