Title: VM käsitteenmuodostustehtävät

Q: Missä järjestyksessä kannattaa elementaariset vaakarivimuunnokset tehdä, ja pohdi miksi!

[...]

[...]

[...]
A: Vasemmalta oikealle; Ensin kolmiomuoto; On tärkeää, että toimitaan systemaattisesti, ettei tehdä samoja asioita useampaan kertaan
Gap 1 offers: Ei mitään väliä; Oikealta vasemmalle; Vasemmalta oikealle
Gap 2 offers: Ensin kolmiomuoto; Ensin diagonaalille ykköset
Gap 3 offers: On ihan sama missä järjestyksessä saadaan nollia ja ykkösiä matriisiin; On tärkeää, että toimitaan systemaattisesti, ettei tehdä samoja asioita useampaan kertaan

Olkoon \(A\) \(3\times 3\)-matriisi.

Jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) on vain triviaali ratkaisu, niin

- kuinka monta ratkaisua on matriisiyhtälöllä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), kun \(\mathbf{b} = [value]\)

- matriisin \(A\) redusoidussa vaakariviporrasmuodossa voi olla täsmälleen \(2\) johtavaa ykköstä

- matriisin \(A\) rref-muoto on \(I_3\)
Feedback: Mallivastaus: Jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) on vain triviaali ratkaisu, niin tällöin \(N(A) = \{\mathbf{0}\}\) ja yhtälöllä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) on aina yksikäsitteinen ratkaisu \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\). Matriisin \(A\) redusoidussa vaakariviporrasmuodossa on täsmälleen \(3\) johtavaa ykköstä (yksi jokaisella sarakkeella)

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) \(\pi x +e y -\sqrt{z} = 7\) on lineaarinen yhtälö

b) \(\pi x +e y -\sqrt{2}z = w7\) on lineaarinen yhtälö

c) Yhtälöryhmillä \[\quad \left\{\begin{align*} 2x-y+3z &= 1 \\ x+y-z &= 3 \\ 2x+2y+z &= 7 \end{align*}\right.\quad \] ja \[\quad \left\{\begin{align*} 2x-y+3z &= 1 \\ x+y-z &= 3 \\ 3y-2z &= 6 \end{align*}\right.\]

on samat ratkaisut

d) On mahdollista, että lineaarisella yhtälöryhmällä on täsmälleen kaksi eri ratkaisua

e) Matriisi \([value]\) on elementaarisessa vaakariviporrasmuodossa eli rref-muodossa

f) Matriisi \([value]\) on elementaarisessa vaakariviporrasmuodossa eli rref-muodossa

g) Jos lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) on ratkaisu, niin \(\mathbf{b}\) voidaan esittää matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaationa
Feedback: Mallivastaus: a) Väärin! Yhtälö ei ole lineaarinen sillä se sisältää termin \(\sqrt{z}\) b) Oikein! c) Oikein! Tarkastellaan vasemmanpuoleista yhtälöryhmää \[\quad \left\{\begin{align*} 2x-y+3z &= 1 \\ x+y-z &= 3 \\ 2x+2y+z &= 7 \end{align*}\right.\quad \] Vähentämällä yhtälöryhmän viimeisestä yhtälöstä yhtälöryhmän ensimmäinen yhtälö muuttaa yhtälöryhmän vastaamaan oikeanpuoleista yhtälöryhmää. Näin ollen yhtälöryhmillä on sama ratkaisu. d) Väärin! Reaalikertoimisella lineaarisella yhtälöryhmällä on joko (a) yksikäsitteinen ratkaisu (ratkeava systeemi) tai (b) ääretön määrä ratkaisuja (ratkeava systeemi) tai (c) ei yhtään ratkaisua (ristiriitainen systeemi). e) Oikein! Matriisi on redusoidussa vaakariviporrasmuodossa, (reduced row echelon form, rref) jos sille pätee 1. Rivit, jotka sisältävät ainoastaan nollia, ovat alimmaisina. 2. Jokaisella nollasta poikkeavalla rivillä, rivin ensimmäisen nollasta poikkea- van alkion(=johtava alkio) alapuolella (samassa sarakkeessa) kaikki alkiot ovat nollia. 3. Jokaisella nollasta poikkeavalla rivillä johtava alkio on 1. Tätä kutsutaan rivin johtavaksi ykköseksi. 4. Johtavan alkion ylä- ja alapuolella on nollia ja rivin johtava alkio on edellisen rivin johtavan alkion oikealla puolella. f) Väärin! Rivin kaksi johtavana alkiona ei ole ykköstä vaan kakkonen ja rivi pitäisi kertoa luvulla \(\frac{1}{2}\). g) Oikein! Esimerkki: Olkoon lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisu ja merkitään \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) ja \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\). Tällöin \(A\mathbf{x} = x\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{bmatrix} = \mathbf{b}\). Selvästi \(\mathbf{b}\) on matriisin \(A\) sarakevektoreiden lineaarikombinaatio.

[Image: tasoA] | [Image: tasoB] | [Image: tasoC]

Tarkastellaan kolmea tasoa ja niistä muodostettua lineaarista yhtälöryhmää

\[\left\{ \begin{align*} a_1x+b_1y+c_1z &= d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z &= d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z &= d_3 \end{align*}\right. \]

Yhdistä ratkaisut ja niihin liittyvät kuvat. Merkitse kuvaan liittyvä kirjain oikeaan kohtaan.

 | \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix}\)
 | \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}t\),    \(t\in R\)
 | \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}t + \begin{bmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}d\),    \(t,d\in R\)
Feedback: Mallivastaus: A \(\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix} \quad\) Tasot leikaavat yhdessä pisteessä ja ratkaisuna on näin yksi piste. B \(\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}t, \quad t\in R \quad \) Kolmen tason leikkaus on suora ja ratkaisuna kaikki suoran pisteet. C \(\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}t + \begin{bmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}d, \quad t,d\in R \quad\) Ratkaisuna kaikki tason pisteet.

\(A\) on \(3 \times 3\) matriisi

Yhdistä oikein

rref([A|b]) \(= [value]\) |
rref([A|b]) \(= [value]\) |
rref([A|b]) \(= [value]\) |
rref([A|b]) \(= [value]\) |
a | Yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole ratkaisua
b | \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), kun \(\mathbf{x}=[value]\)
c | Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisut ovat \(\mathbf{x}=\) [value] \(+\) [value] \(t\)
d | Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisut ovat \(\mathbf{x}=\) [value] \(+\) [value] \(t\,+\) [value] \(s\)
Feedback: Mallivastaus: rref([A|b]) \(= [value]\) | b | \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), kun \(\mathbf{x}=[value]\) rref([A|b]) \(= [value]\) | a | Yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole ratkaisua rref([A|b]) \(= [value]\) | c | Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisut ovat \(\mathbf{x}=\) [value] \(+\) [value] \(t\) rref([A|b]) \(= [value]\) | d | Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisut ovat \(\mathbf{x}=\) [value] \(+\) [value] \(t\,+\) [value] \(s\)

Q: Milloin vektorin \(\mathbf{u}\) projektio vektorille \(\mathbf{v}\) eli \(\mathbf{p} = \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = c\mathbf{v}\) on samansuuntainen kun \(\mathbf{v}\)
- aina
- ei koskaan
- kun \( c > 0\)
- kun \( c < 0\)
- kun \( c = 0\)
- kun vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen kulma on välillä \((0,\frac{\pi}{2})\)
- kun vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen kulma on välillä \((\frac{\pi}{2},\pi)\)
A: kun \( c > 0\); kun vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen kulma on välillä \((0,\frac{\pi}{2})\)
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Tarkastellaan vektoreita \(\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n\)

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | \(\mathbf{x} + \mathbf{y}\) on aina pidempi kuin vektori \(\mathbf{x}\)
b) | Vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(r\mathbf{x}\) ovat yhdensuuntaiset, jos
 | \(r<0\)
 | \(r>0\)
 | \(r\geq 0\)
 | \(r=0\)
c) | Onko \(\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}\), kaikilla \(\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}\)
d) | Summa \(\mathbf{x} + \mathbf{y}\) voidaan laskea, jos \(x\in \mathbb{R}\) ja \(y\in \mathbb{R}^n\), missä \(n>1\)
e) | Vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) ovat samat, jos \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}\) ja \(\mathcal{y} = x_1 \begin{bmatrix}1\\0\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}0\\1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} + \ldots + x_n \begin{bmatrix}0\\ \vdots \\0\\0\\1\end{bmatrix}\)
Feedback: Mallivastaus: a) | Väärin | Esimerkiksi jos \(\mathbf{y} = -\frac{1}{2}\mathbf{x}\) niin tällöin \(\lVert \mathbf{x} \rVert > \frac{1}{2}\lVert \mathbf{x} \rVert = \lVert \frac{1}{2} \mathbf{x} \rVert = \lVert \mathbf{x} - \frac{1}{2}\mathbf{x}\rVert = \lVert \mathbf{x}+\mathbf{y} \rVert \). b) | Oikein | Vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(r\mathbf{x}\) ovat yhdensuuntaiset, kun \(r\neq 0\). | Oikein | | Väärin | | Väärin | c) | Oikein | Vektoreiden vaihdannaisuuden nojalla. d) | Väärin | Vektoreiden ulottuvuuden on oltava sama. e) | Oikein | Vektori \(\mathbf{y}\) sievenee muotoon \(\mathbf{x}\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(\lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert = \lVert \mathbf{a}\rVert \lVert \mathbf{b}\rVert\) niin vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
b) | Avaruuden \(\mathbb{R}^{3}\) vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ristitulona saatu vektori on kohtisuorassa sekä vektoria \(\mathbf{a}\) vastaan, että vektoria \(\mathbf{b}\) vastaan.
c) | Avaruuden \(\mathbb{R}^{3}\) vektorit ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan
d) | Jos \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}\), niin vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(\lVert \mathbf{a}\times \mathbf{b} \rVert = \lVert \mathbf{a}\rVert \lVert \mathbf{b} \rVert \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \lVert \mathbf{a}\rVert \lVert \mathbf{b} \rVert \) b) Oikein! Pätee ristitulon määritelmä nojalla. c) Väärin! d) Väärin! Jos \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}\), niin vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat yhdensuuntaiset.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Suora \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = [value] + [value]\, t \) on kohtisuorassa tasoa \([value]x+[value]y+[value]z\) vastaan
b) | Tasot \([value]x + [value]y + z = 0\) ja \([value]x + ([value])y + ([value])z = 0\) ovat samansuuntaiset
c) | Suora \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = [value] + [value]\, t \) kuuluu tasolle \([value]x[value]y+[value]z = [value]\)
d) | Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat \(\mathbb{R}^{3}\):n vektoreita ja \(\mathbf{u}\times \mathbf{v} = \mathbf{0}\), niin \(\mathbf{u} = \mathbf{v}\)
e) | Suora on samansuuntainen kuin taso, jos suoran suuntavektorin ja tason normaalin välinen pistetulo on nolla.
f) | Suora kuuluu tasolle, jos suoran suuntavektorin ja tason normaalin välinen pistetulo on nolla
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! Suora on yhdensuuntainen tason normaalivektorin kanssa ja näin ollen se on kohtisuorassa tasoa vastaan. b) Oikein! Tarkastellaan tasojen normaalivektoreita. Havaitaan, että \([value] = -2[value]\). Tästä seuraa, että tasot ovat yhdensuuntaiset. c) Väärin! Jotta suora voisi kuulua tasolle sen suuntavektorin tulee olla kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan. Suoran suuntavektori on \([value]\) ja tason normaalivektori on \([value]\). Vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa mikäli niiden välinen pistetulo on nolla \([value]\cdot [value] = [value] \neq 0\) d) Väärin! Yhdensuuntaisten vektoreiden ristitulo on nolla. e) Oikein! Tason normaalivektori on kohtisuorassa tasoa vastaan. Vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa mikäli niiden välinen pistetulo on nolla. f) Väärin! Vaikka suora on tason kanssa samansuuntainen ei se välttämättä ole tasolla.

Suunnikkaan pinta-ala on

kanta*korkeus = \(\Big\lVert\)\(\Big\rVert \cdot\).

Vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välisen kulman \(\alpha\)

sini \(\sin(\alpha)\) = \(\Big/ \Big\lVert\)\(\Big\rVert\),

jolloin \(h = \sin(\alpha)\Big\lVert\)\(\Big\rVert\).

Voidaan jatkaa laskua sijoittamalla \(h\) lausekkeeseen

kanta*korkeus = \(\Big\lVert\)\(\Big\rVert \Big\lVert\)\(\Big\rVert \sin(\alpha)\),

joka Lauseen 1.23 (Vektoreiden välinen kulma ja ristitulo) mukaan saadaan muotoon

kanta*korkeus = \(\Big\lVert\)\(\times\)\(\Big\rVert\)

Näin saimme perusteltua, että suunnikkaan pinta-ala on \(\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert\).
Feedback: Mallivastaus: Suunnikkaan pinta-ala on kanta*korkeus = \(\lVert \mathbf{u} \rVert \cdot h\). Vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välisen kulman \(\alpha\) sini \(\sin(\alpha)\) = \(\dfrac{h}{\lVert \mathbf{v} \rVert}\), jolloin \(h = \sin(\alpha)\lVert \mathbf{v} \rVert\). Voidaan jatkaa laskua sijoittamalla \(h\) lausekkeeseen kanta*korkeus = \(\lVert \mathbf{u} \rVert \lVert \mathbf{v} \rVert \sin(\alpha)\), joka Lauseen 1.23 (Vektoreiden välinen kulma ja ristitulo) mukaan saadaan muotoon kanta*korkeus = \(\lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert\). Näin saimme perusteltua, että suunnikkaan pinta-ala on \(\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert\).

Todistetaan liitännäisyys.

Laita todistuksen eri vaiheet oikeaan järjestykseen numeroimalla ne luvuilla 1-6.

 | [value]
 | [value]
 | [value]
 | [value]
 | [value]
 | [value]
Feedback: Mallivastaus: Oikea järjestys on: | [value] | [value] | [value] | [value] | [value] | [value] Jolloin todistus tulee muotoon: [value] [value] [value] [value] [value] [value]

Piirrä koordinaatistoon vektorit \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\).

\(\mathbf{u}\) alkaa pisteestä \(A = (3,-1)\) ja päättyy pisteeseen \(B = (2,2)\).

\(\mathbf{v}\) alkaa pisteestä \(C = (-1,1)\) ja päättyy pisteeseen \(D = (-2,4)\).

\(\mathbf{w}\) alkaa pisteestä \(E = (0,0)\) ja päättyy pisteeseen \(F = (-2,6)\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat samat |
b) | Vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat samat |
c) | Vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat yhdensuuntaiset |
Feedback: Mallivastaus: a) | Oikein! | Vektorit ovat samat, jos ne ovat samanpituisia ja niillä on sama suunta. Toisin sanoen niiden kaikki vastinkomponentit ovat samat. Vektoreilla \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) on sama suunta ja ne ovat samanpituisia, joten ne ovat samat. b) | Väärin! | Vektorit ovat samat, jos ne ovat samanpituisia ja niillä on sama suunta. Toisin sanoen niiden kaikki vastinkomponentit ovat samat. Vektoreilla \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{w}\) on sama suunta, mutta ne eivät ole samanpituisia, joten vektorit eivät ole samat. c) | Oikein! | Vektoreita kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos toinen saadaan toisesta skaalaamalla sen pituutta ja suuntaa sopivalla skalaarikertoimella. Huomataan, että \(\mathbf{u} = \frac{1}{2} \mathbf{w}\), joten vektorit ovat yhdensuuntaiset.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Mille tahansa vektoreille \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) pätee, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \leq \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert\)
b) | Vektoreiden summan normi on suurempi tai yhtä suuri kuin vektoreiden normien summa
c) | Yksikkövektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) välisen kulman kosini on \(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\)
d) | Jos \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\), niin \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\) tai \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
e) | On olemassa yksikkövektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) joille, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=3\)
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert \cos(\theta) \leq \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert\) b) Väärin! Vektoreiden summan normi on pienempi tai yhtä suuri kuin vektoreiden normien summa \(\lVert \mathbf{u} + \mathbf{v}\rVert \leq \lVert \mathbf{u}\rVert + \lVert \mathbf{v}\rVert \) c) Oikein! \( \displaystyle \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\lVert \mathbf{u} \rVert \lVert \mathbf{v} \rVert} = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{1\cdot 1} = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\) d) Väärin! Mikäli vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa niin tällöin pätee \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\) vaikka kumpikaan vektoreista ei olisi nollavektori. e) Väärin! Kohdassa a) havaittiin, että \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \leq \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert = 1*1 = 1\). Tilannetta on havainnollistettu alapuolella, jossa vasemmalla on kaksi yksikkövektoria ja oikealla vektoreiden pistetulo.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) Ainoastaan neliömatriisit voivat olla kääntyviä

b) Jos \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja ja \(A\) on kääntyvä niin \(A^{-1}BA=B\)

c) Jos \(A, B\) ja \(C\) ovat kääntyviä matriiseja ja \((ABC)^{-1}\) on olemassa, niin \(A,B\) ja \(C\) ovat samankokoisia matriiseja

d) Jos \(A, B\) ja \(C\) ovat kääntyviä matriiseja, niin \((ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! b) Väärin! Tämä ei päde yleisesti, vaan ainoastaan jos \(BA = AB\). c) Oikein! Koska matriisit \(A, B\) ja \(C\) ovat kääntyviä niin ne ovat neliömatriiseja. Koska \((ABC)^{-1}\) on olemassa, niin matriisien tulee olla samankokoisia neliömatriiseja. d) Oikein! \((ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) = ABCC^{-1}B^{-1}A^{-1} = ABIB^{-1}A^{-1} = AIA^{-1} = I\) \((C^{-1}B^{-1}A^{-1})(ABC) = C^{-1}B^{-1}A^{-1}ABC = C^{-1}B^{-1}IBC = C^{-1}IC = I\). Siispä \((ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}\).

Olkoon \(A\) kääntyvä \(n\times n\)-matriisi ja \(B\) \(t\times n\)-matriisi

Tarkastellaan matriisiyhtälöä \(XA=B\)

Tällöin \(X\) on \(\times\) -matriisi

Onko \(X=A^{-1}B\)

Onko \(X=BA^{-1}\)

Ratkaise \(X\), kun

\(ABXA^{-1}B^{-1} = I+A\) \(\quad\) (Syötä vastauksesi muodossa, jossa olet laskenut kaikki sulut auki. Käytä matriisin \(A\) käänteismatriisista merkintää A^(-1). Älä käytä kertomerkkejä.)

\(X = \)
Feedback: Jotta matriisi \(XA\) olisi määritelty tulee matriisissa \(X\) olla yhtä monta saraketta kuin matriisissa \(A\) on riveja. Matriisin \(XA\) tulee olla samankokoinen kuin matriisin \(B\) ja näin ollen matriisissa X tulee olla yhtä monta riviä kuin matriisissa \(B\). Saadaan, että matriisi \(X\) on \(t\times n\)-matriisi. Kerrotaan yhtälö \(XA=B\) puolittain oikealta matriisilla \(A^{-1}\). Saadaan \(X = BA^{-1}\). Matriisitulo ei ole vaihdannainen, joten väittämä \(X = A^{-1}B\) ei yleisesti pidä paikkaansa. \(\begin{align*} & ABXA^{-1}B^{-1} = I+A \\ \iff & ABX(BA)^{-1} = I+A \\ \iff & X(BA)^{-1} = (AB)^{-1}(I+A) \\ \iff & X = (AB)^{-1}(I+A)(BA) \\ \iff & X = (AB)^{-1}I(BA)+(AB)^{-1}A(BA) \\ \iff & X = B^{-1}A^{-1}BA+B^{-1}A^{-1}ABA \\ \iff & X = B^{-1}A^{-1}BA+B^{-1}BA \\ \iff & X = B^{-1}A^{-1}BA+A \\ \end{align*}\)

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kaikki vektorijoukoista

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad L = \{ a,b,c,d \} \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Vastaus:

Anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka sopivat vastaukseksi ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan oikeista vektorijoukoista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). Näistä vektoreista muodostetut ortogonaaliset vektorijoukot ovat siis \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \text{ ja } \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \). Oikea syöte on siis [value]. \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Lisäksi tietenkin kaikista vektoreista muodostettu joukko \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \} \) on lineaarisesti riippuva. Oikea syöte on siis [value]. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja ja sekä \(AB\), että \(BA\) on määritelty, niin \(A\) ja \(B\) ovat neliömatriiseja
b) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja ja sekä \(AB\), että \(BA\) on määritelty, niin \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia
c) | Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat vektoreita niin pistetulo \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\) voidaan esittää matriisitulona \(\mathbf{u}^{\text{T}}\mathbf{v}\)
d) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja ja \(A\neq 0\) ja lisäksi \(AB=0\), niin \(B=0\)
e) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja, joille \(AB=0\), niin \(AXB=0\) kaikille sopivan kokoisille matriiseille \(X\)
Feedback: Mallivastaus: a) Väärin! Kun \(A\) on \(n\times m\)-matriisi ja \(B\) on \(m\times n\)-matriisi, niin matriisit \(A\) ja \(B\) eivät ole neliömatriisija, mutta \(A_{n\times m}B_{m\times n}=AB_{n\times n}\) ja \(B_{m\times n}A_{n\times m} = BA_{m\times m}\) on määritelty. b) Väärin! Katso kohta a). c) Oikein! \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n u_iv_i = \mathbf{u}^{\text{T}}\mathbf{v}\). d) Väärin! Esim. \(A = [value]\) ja \(B = [value], \,AB = 0\). e) Väärin! Esim. \(A = [value]\) ja \(B = [value]\) ja \(X = [value]\), saadaan \(AXB = [value][value][value] = 1\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(\mathbf{s}\) on matriisiyhtälön \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) ratkaisu, niin myös \(2\mathbf{s}\) on ratkaisu
b) | Jos \(\mathbf{s}\) on matriisiyhtälön \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisu, niin myös \(2\mathbf{s}\) on ratkaisu
c) | Jos \(A\) on matriisi ja \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) kaikilla vektoreilla \(\mathbf{x}\), niin \(A = 0\) eli nollamatriisi
d) | Oletetaan, että \(AB=0\), onko tällöin \(A=0\) tai \(B=0\)
e) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat neliömatriiseja, niin onko \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(A(2\mathbf{s}) = 2(A\mathbf{s}) = 2\mathbf{0} = \mathbf{0}\). b) Väärin! \(A(2\mathbf{s}) = 2(A\mathbf{s}) = 2\mathbf{b} \neq \mathbf{b}\). c) Oikein! Mikä tahansa sarakkeiden lineaarikombinaatio tuottaa nollavektorin, joten matriisin \(A\) on oltava nollamatriisi. d) Väärin! Esim. \(A = [value]\) ja \(B = [value], \,AB = 0\). e) Väärin! Jos \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia neliömatriiseja, niin tällöin \((A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B)+B(A+B) = A^2+AB+BA+B^2\). Tästä havaitaan, että \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\), jos ja vain jos \(AB = BA\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia matriiseja, niin \((A+B)^{\text{T}} = A^{\text{T}}+B^{\text{T}}\)
b) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia matriiseja, niin \((AB)^{\text{T}} = A^{\text{T}}B^{\text{T}}\)
c) | Jos \(A\) on matriisi, niin \((A^{\text{T}})^{\text{T}} = A\)
d) | Jos \(A\), \(B\) ja \(C\) ovat matriiseja, joille \(AC=BC\), niin \(A=B\)
e) | Ainoastaan neliömatriiseilla on transpoosi
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! b) Väärin! \((AB)^{\text{T}} = B^{\text{T}}A^{\text{T}}\). c) Oikein! d) Väärin! Esim. \(A = [value]\), \(B = [value]\) ja \(C = [value]\). Tällöin \(AC = [value] = BC\), mutta \(A \neq B\). e) Väärin!

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(A\) on \(3\times 2\)-matriisi ja \(B\) on \(2\times 4\)-matriisi, niin \((AB)^{\text{T}}\) on \(4\times 3\)-matriisi
b) | Jos \(A^{\text{T}}B^{\text{T}}\) ja \(B^{\text{T}}A^{\text{T}}\) ovat molemmat määriteltyjä, niin \(A\) ja \(B\) ovat neliömatriiseja
c) | Matriisi on aina joko symmetrinen tai antisymmetrinen
d) | Matriisi \(A\) on symmetrinen, jos \(A^{\text{T}} = A\)
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(AB\) on \(3\times 4\)-matriisi, jolloin \((AB)^{\text{T}}\) on \(4 \times 3\)-matriisi. b) Väärin! Olkoon \(A\) \(n\times m\)-matriisi ja \(B\) \(m\times n\)-matriisi. Tällöin sekä \(A_{n\times m}^{\text{T}}B_{m\times n}^{\text{T}}\), että \(B_{m\times n}^{\text{T}}A_{n\times m}^{\text{T}}\) on määritelty vaikka matiriisit \(A\) ja \(B\) eivät ole neliömatriiseja. c) Väärin! Neliömatriisi on symmetrinen, jos \(A^{\text{T}}=A\) ja antisymmetrinen, jos \(A^{\text{T}}=-A\). d) Oikein!

\(A\) on \(3 \times 3\) matriisi

Yhdistä oikein

Matriisin aste on 1 |
Matriisin aste on 2 |
Matriisin aste on 3 |
a | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisussa on 1 vapaa muuttuja
b | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisussa on 2 vapaata muuttuja
c | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisu on yksi vektori \(\mathbf{s}\)
Feedback: Mallivastaus: Matriisin aste on 1 | b | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisussa on 2 vapaata muuttuja Matriisin aste on 2 | a | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisussa on 1 vapaa muuttuja Matriisin aste on 3 | c | matriisiyhtälön \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ratkaisu on yksi vektori \(\mathbf{s}\)

Olkoon \(A\) \(4\times 4\)-matriisi, joka ei ole kääntyvä. Tällöin

yhtälöllä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) voi olla täsmälleen yksi ratkaisu

yhtälöllä \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) on aina ääretön määrä ratkaisuja

\(rref(A) = I_4\)

\(A\) voidaan esittää elementaarimatriisien tulona
Feedback: Mallivastaus: Kun \(A\) on \(4\times 4\)-matriisi, joka ei ole kääntyvä, niin tällöin yhtälöllä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole yhtään ratkaisua tai sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Mikäli \(\mathbf{b}\) kuuluu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen, niin tällöin yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja, ja mikäli \(\mathbf{b}\) ei kuuluu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen, niin yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua. Yhtälöllä \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) on aina ääretön määrä ratkaisuja, koska matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia ja näin ollen osa sarakkeista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa. \(rref(A) = I_4\), vain silloin kun \(A\) on kääntyvä matriisi. Nyt \(A\) ei ole kääntyvä ja sen sarakkeet eivät ole lineaarisesti riippumattomia, joten redusoidussa vaakariviporrasmuodossa johtavia ykkösiä on vähemmän kuin \(4\), ja siinä on vähintään yksi nollarivi. Matriisia \(A\) ei voida esittää elementaarimatriisien tulona.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Voidaanko vektori \(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\) esittää vektoreiden \(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\) ja \(\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}\) lineaarikombinaationa

Jos vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) lineaarikombinaationa voidaan lausua nollavektori niin, että kertoimet eivät ole nollia, niin

b) | vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat samansuuntaiset
c) | vektorit \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) ovat yhdensuuntaiset
d) | vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) lineaarikombinaationa saadaan mikä tahansa \(\mathbb{R}^{n}\) vektori \((n\geq 2)\)
e) | vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) lineaarikombinaationa voidaan lausua kaikki yhden suoran pisteet
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} = 0 \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}\). b) Väärin! Ehto toteutuu kun vektorit ovat samansuuntaiset, mutta ehto voi toteutua vaikka vektorit eivät olisikaan samansuuntaiset. c) Oikein! Vektorit ovat välttämättä tällöin yhdensuuntaiset. d) Väärin! Koska vektorit ovat yhdensuuntaiset, niin niiden lineaarikombinaationa saadaan ainostaan pisteitä yhdeltä suoralta. e) Oikein! Tämä pitää paikkansa. Huomioi, että sama pätee myös yhdellä vektorilla \(\mathbf{a}\neq \mathbf{0}\).

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kaikki vektorijoukoista

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad L = \{ a,b,c,d \} \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Vastaus:

Anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka sopivat vastaukseksi ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan oikeista vektorijoukoista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). Näistä vektoreista muodostetut ortogonaaliset vektorijoukot ovat siis \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \}, \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \text{ ja } \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \). Näiden lisäksi vektorijoukko \( \{ \mathbf{[value]}, \mathbf{[value]} \} \) on ortogonaalinen, joten oikea syöte on [value]. \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Lisäksi tietenkin kaikista vektoreista muodostettu joukko \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \} \) on lineaarisesti riippuva. Oikea syöte on siis [value]. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Tarkastellaan vektoreita \(\vec{v}_1 = ([value],[value],[value]), \vec{v}_2 = ([value],[value],[value])\) ja \( \vec{v}_3 = ([value],[value],[value])\).

Merkitään vektorilla \(\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)\) mielivaltaista avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoria. Haluamme selvittää virittävätkö  vektorit \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) avaruuden \(\mathbb{R}^3\).

a)

Minkälaista yhtälöä on järkevää tällöin tarkastella?

1. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{w}\)
2. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja
3. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0}\)
4. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{0}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja
5. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 + \vec{w} = \vec{0}\)
6. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 + \vec{w} = \vec{0}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja

Syötä vastauslaatikkoon valitsemasi vaihtoehdon numero.

Vastaus:

b)

Muodosta matriisi, joka vastaa valitsemaasi yhtälöä. Voit syöttää vastaukseen kirjaimilla merkittävät vektorikomponentit kirjoittamalla alaindeksin suoraan komponentin kirjaimen jälkeen. Esimerkiksi vektorin \(\vec{w}\) komponentti \(w_1\) syötetään tekstikenttään kirjoittamalla w1.

c)

Muunna matriisi porrasmatriisiksi. Kirjoita vastauksessa vektorien komponenttien indeksit kirjaimen jälkeen. Esimerkiksi \(w_1-2\cdot w_2\) syötetään tekstikenttään kirjoittamalla w1-2*w2.

Vastaus:

d)

Onko yhtälöryhmällä ratkaisuja silloin, kun vektori \(\vec{w}\) on mielivaltainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori?

1. Kyllä.
2. Ei.

Vastaus:

e)

Onko seuraava väite tosi: Vektori \(\vec{w}\) kuuluu vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) virittämään aliavaruuteen? Mieti, miten perustelet vastauksesi.

1. Väite on tosi.
2. Väite on epätosi.

Vastaus:

f)

Onko seuraava väite tosi: Vektorit \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) virittävät avaruuden \(\mathbb{R}^3\)? Mieti, miten perustelet vastauksesi.

1. Väite on tosi.
2. Väite on epätosi.

Vastaus:
Feedback: Ratkaisu a) Kun haluamme selvittää virittävätkö vektorit jonkin vektoriavaruuden, niin tällöin virittävien vektorien lineaarikombinaationa pitäisi pystyä esittämään mikä tahansa viritettävän vektoriavaruuden alkio. Näin ollen jos \(\vec{w}\) on mielivaltainen vektoriavaruuden \(\mathbb{R}^3\) alkio, niin olemme kiinnostuneita yhtälöstä 2: \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\). b) Yhtälöä vastaava matriisi muodostetaan kirjoittamalla vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) kertoimet, siten, että kukin vektori muodostaa aina oman sarakkeensa. Vektorin \(\vec{w}\) komponentit \(w_1, w_2\) ja \(w_3\) kirjoitetaan oikeimmanpuoleiseen sarakkeeseen. Matriisia käsin muodostettaessa on hyvä huomata, että matriisin rivien lukumäärä on siis sama kuin vektorin komponenttien lukumäärä ja matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin yhtälössä esiintyvien vektorien lukumäärä. Yhtälöä vastaava matriisi on siis: [value]. c) Matriisi muunnetaan porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Porrasmuodossa halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisin porrasmuoto ei ole yksikäsitteinen. Eräs mahdollinen vastaus porrasmuotoiseksi matriisiksi tehtävään on: [value]. d) Porrasmatriisin viimeiseltä riviltä voidaan nähdä, että vektori \(\vec{w}\) voidaan valita siten, että viimeistä riviä saadaan vastaamaan epätosi yhtälö. Tehtävänannon mukaan \(\vec{w}\) on mielivaltainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori. Näin ollen yhtälöllä \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\) ei ole ratkaisua jokaiselle avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektorille \(\vec{w}\). Tässä on hyvä kuitenkin huomata, että vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa voidaan toki esittää joitakin avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoreita kuten nollavektori, \(\vec{v}_1\), jne. Vektorien lineaarikombinaationa ei voi kuitenkaan esittää mielivaltaista avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoria. e) Väite on epätosi. Vektorien virittämä aliavaruus on joukko, joka sisältää jokaisen virittäjävektorien lineaarikombinaation. Osoitimme juuri, että mielivaltaista avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoria \(\vec{w}\) ei voida esittää vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa. f) Väite on epätosi. Edellisten kohtien perusteella vektoreilla \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) ei voida esittää jokaista avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoria, joten ne eivät viritä avaruutta \(\mathbb{R}^3\).

HUOM! Vapaaehtoinen, ei pisteitä.

Tarkastellaan vektoreita \(\vec{v}_1 = ([value],[value],[value]), \vec{v}_2 = ([value],[value],[value])\) ja \( \vec{v}_3 = ([value],[value],[value])\).

Merkitään vektorilla \(\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)\) mielivaltaista avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoria. Haluamme selvittää virittävätkö  vektorit \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) avaruuden \(\mathbb{R}^3\).

a)

Minkälaista yhtälöä on järkevää tällöin tarkastella?

1. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{w}\)
2. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja
3. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0}\)
4. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{0}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja
5. \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 + \vec{w} = \vec{0}\)
6. \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 + \vec{w} = \vec{0}\), missä \(x_1, x_2\) ja \(x_3\) ovat reaalilukuja

Syötä vastauslaatikkoon valitsemasi vaihtoehdon numero.

Vastaus:

b)

Muodosta matriisi, joka vastaa valitsemaasi yhtälöä. Voit syöttää vastaukseen kirjaimilla merkittävät vektorikomponentit kirjoittamalla alaindeksin suoraan komponentin kirjaimen jälkeen. Esimerkiksi vektorin \(\vec{w}\) komponentti \(w_1\) syötetään tekstikenttään kirjoittamalla w1.

c)

Muunna matriisi porrasmatriisiksi. Kirjoita vastauksessa vektorien komponenttien indeksit kirjaimen jälkeen. Esimerkiksi \(w_1-2\cdot w_2\) syötetään tekstikenttään kirjoittamalla w1-2*w2.

Vastaus:

d)

Onko yhtälöryhmällä ratkaisuja silloin, kun vektori \(\vec{w}\) on mielivaltainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori?

1. Kyllä.
2. Ei.

Vastaus:

e)

Onko seuraava väite tosi: Vektori \(\vec{w}\) kuuluu vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) virittämään aliavaruuteen? Mieti, miten perustelet vastauksesi.

1. Väite on tosi.
2. Väite on epätosi.

Vastaus:

f)

Onko seuraava väite tosi: Vektorit \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) virittävät avaruuden \(\mathbb{R}^3\)? Mieti, miten perustelet vastauksesi.

1. Väite on tosi.
2. Väite on epätosi.

Vastaus:
Feedback: Ratkaisu a) Kun haluamme selvittää virittävätkö vektorit jonkin vektoriavaruuden, niin tällöin virittävien vektorien lineaarikombinaationa pitäisi pystyä esittämään mikä tahansa viritettävän vektoriavaruuden alkio. Näin ollen jos \(\vec{w}\) on mielivaltainen vektoriavaruuden \(\mathbb{R}^3\) alkio, niin olemme kiinnostuneita yhtälöstä 2: \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\). b) Yhtälöä vastaava matriisi muodostetaan kirjoittamalla vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) kertoimet, siten, että kukin vektori muodostaa aina oman sarakkeensa. Vektorin \(\vec{w}\) komponentit \(w_1, w_2\) ja \(w_3\) kirjoitetaan oikeimmanpuoleiseen sarakkeeseen. Matriisia käsin muodostettaessa on hyvä huomata, että matriisin rivien lukumäärä on siis sama kuin vektorin komponenttien lukumäärä ja matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin yhtälössä esiintyvien vektorien lukumäärä. Yhtälöä vastaava matriisi on siis: [value]. c) Matriisi muunnetaan porrasmuotoon tekemällä sille tarvittava määrä alkeisrivitoimituksia. Nämä ovat: - Rivin kertominen nollasta poikkeavalla reaaliluvulla. - Rivin lisääminen toiseen riviin reaaliluvulla kerrottuna. - Kahden rivin paikan vaihtaminen. Alkeisrivitoimituksia tehtäessä on helppoa tehdä huolimattomuusvirheitä. Hyvä tapa välttää virheitä on tehdä vain yksi alkeisrivitoimitus kerrallaan. Porrasmuodossa halutaan sellainen matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot: - Jos matriisissa on nollarivejä, niin ne ovat alimpina. - Jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ylemmän rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion oikealla puolella. Matriisin porrasmuoto ei ole yksikäsitteinen. Eräs mahdollinen vastaus porrasmuotoiseksi matriisiksi tehtävään on: [value]. d) Porrasmatriisissa ei ole sarakkeita, joilla ei olisi johtavaa alkiota, joten matriisia vastaavalla yhtälöllä ei ole vapaita muuttujia. Lisäksi mitään matriisin riviä ei vastaa epätosi yhtälö. Näin ollen yhtälöllä \(x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \vec{w}\) on täsmälleen yksi ratkaisu olivat vektorin \(\vec{w}\) komponentit mitkä hyvänsä. e) Väite on tosi. Vektorien virittämä aliavaruus on joukko, joka sisältää jokaisen virittäjävektorien lineaarikombinaation. Osoitimme juuri, että vektori \(\vec{w}\) voidaan esittää vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa, joten se kuuluu niiden virittämään aliavaruuteen. Voidaan siis kirjoittaa \(\vec{w} \in \text{span}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)\). f) Väite on tosi. Edellisen kohdan perusteella vektori \(\vec{w}\) kuuluu aliavaruuteen \(\text{span}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)\). Toisaalta \(\vec{w}\) on mielivaltainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori, joten jokainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori on ilmaistavissa vektorien \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) ja \(\vec{v}_3\) lineaarikombinaationa. Vektorit siis virittävät avaruuden \(\mathbb{R}^3\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(AB\) on olemassa, niin \(\text{rank}(AB)=\text{rank}A\,\text{rank}B\)
b) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat \(n\times n\)-matriiseja ja \(AB=cI\) jollakin \(c\neq 0\), niin \(\text{rank}A=\text{rank}B\)
c) | Jos \(A\) on \(7\times 5\)-matriisi, jonka aste on \(5\), niin lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) on vähintään yksi ratkaisu kaikille \(\mathbf{b}\)
d) | Jos \(V = \text{rref}(A)\), niin
 | \(\text{N}(A)=\text{N}(V)\) \(\text{N}(A)\) on matriisin \(A\) nolla-avaruus
 | \(\text{R}(A) = \text{R}(V)\) \(\text{R}(A)\) on matriisin \(A\) sarakeavaruus
e) | \(n\times n\)-matriisin, joka ei ole kääntyvä, aste on vähemmän kuin \(n\)
f) | Jos \(A\):n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, niin on olemassa sellainen vektori \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\), että \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)
g) | Olkoon \(A\) \(3\times 4\)-matriisi, mikä on matriisin asteen ja nolla-avaruuden kantavektoreiden lukumäärän summa
Feedback: Mallivastaus: a) Väärin! Esim. Olkoon \(A=[value]\) ja \(B = [value]\), joten \(\text{rank}(A) = 2\) ja \(\text{rank}(B) = 1\). \(AB = B\), joten \(\text{rank}(AB) = 1 \neq 2*1 = \text{rank}(A)\text{rank}(B)\) b) Oikein! Koska \(AB = cI\), niin seuraa tästä, että matriisit \(A\) ja \(B\) ovat kääntyviä. Näin ollen \(\text{rank}(A) = \text{rank}(B) = n\). c) Väärin! Tällöin lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) on korkeintaan yksi ratkaisu kaikille \(\mathbf{b}\) \(\big( N(A)=\{\mathbf{0}\}\big) \). d) Oikein! Eliminointi ei muuta nolla-avaruutta. \(\hphantom{d)}\) Väärin! Eliminointi muuttaa sarakeavaruutta. e) Oikein! \(n\times n\)-matriisin, joka ei ole kääntyvä, sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia, ja matriisin aste on pienempää kuin \(n\). f) Väärin! Tällöin matriisin \(A\) nolla-avaruuteen kuuluu ainoastaan nollavektori. g) \(\text{rank}(A) + \text{dim}(N(A)) = 4\).

Olkoon \(A\) \([value]\times [value]\)-matriisi.

Tarkastellaan matriisiyhtälöä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Tällöin

\(\mathbf{x}\) on \(\times\)-matriisi, eli \(\mathbf{x}\):ssä on riviä ja saraketta ja

\(\mathbf{b}\) on \(\times\)-matriisi, eli \(\mathbf{b}\):ssä on riviä ja saraketta.

Olkoon \(A\) \(4\times 5\)-matriisi.

Jos \(\mathbf{s}\) kuuluu \(A\):n nolla-avaruuteen, niin

\(\mathbf{s}\) on \(\times\)-matriisi.

Jos \(\mathbf{t}\) kuuluu \(A\):n sarakeavaruuteen, niin

\(\mathbf{t}\) on \(\times\)-matriisi.
Feedback: Olkoon \(A\) \([value]\times [value]\)-matriisi. Tarkastellaan matriisiyhtälöä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Tällöin \(\mathbf{x}\) on \([value]\times 1\)matriisi, eli \(\mathbf{x}\):ssä on \([value]\) riviä ja \(1\) sarake ja \(\mathbf{b}\) on \([value]\times 1\)-matriisi, eli \(\mathbf{b}\):ssä on \([value]\) riviä ja \(1\) sarake. Olkoon \(A\) \(4\times 5\)-matriisi. Jos \(\mathbf{s}\) kuuluu \(A\):n nolla-avaruuteen, niin \(\mathbf{s}\) on \([value]\times 1\)-matriisi. Jos \(\mathbf{t}\) kuuluu \(A\):n sarakeavaruuteen, niin \(\mathbf{t}\) on \([value]\times 1\)-matriisi.

Etsi kaksi vektoria, jotka virittävät tason \(([value])x+([value])y+([value])z=0\)

\(\mathbf{u}=\) |  | \(\quad\) | \(\mathbf{v}=\) |

Virittävätkö vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb{R}^2\)

Voiko vektoreiden \([value]\) ja \([value]\) lineaarikombinaationa lausua jokaisen avaruuden \(\mathbb{R}^2\) vektorin

Voiko vektoreiden \([value]\) ja \([value]\) lineaarikombinaationa lausua jokaisen avaruuden \(\mathbb{R}^2\) vektorin
Feedback: Mallivastaus: Etsitään aluksi vektori, joka kuuluu tasolle, asettamalla muuttujille \(x\) ja \(y\) arvot \(x = 1\) ja \(y=0\), ja lasketaan mikä muuttujan \(z\) arvon tulee olla. Saadaan \(z = -\frac{[value]}{[value]} = [value]\). Näin ollen vektoriksi saadaan \(\mathbf{u} = [value]\). Vielä tarvitaan toinen tason vektori, jonka tulee olla lineaarisesti riippumaton edellä saadun vektorin kanssa. Asetetaan nyt muuttujille \(x\) ja \(y\) arvot \(x = 0\) ja \(y=1\), ja lasketaan muuttujan \(z\) arvo. Saadaan \(z = -\frac{[value]}{[value]} = [value]\). Näin ollen vektoriksi saadaan \(\mathbf{v} = [value]\). Vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektoreita, joten ne eivät voi virittää avaruutta \(\mathbb{R}^2\). Vektorit \([value]\) ja \([value]\) ovat lineaarisesti riippumattomia, ja näin ollen ne virittävät avaruuden \(\mathbb{R}^2\), ja niiden lineaarikombinaationa voidaan lausua avaruuden \(\mathbb{R}^2\) kaikki vektorit. Sen sijaan vektorit \([value]\) ja \([value]\) ovat lineaarisesti riippuvia, joten ne eivät viritä avaruutta \(\mathbb{R}^2\), ja niiden lineaarikombinaationa ei voida lausua kaikkia avaruuden \(\mathbb{R}^2\) vektoreita.

Miksi joukko \(A = \left\{[value]\, \big\rvert\, x+2y-z=3 \right\} = \left\{[value]=[value]\,t+[value]\,s+[value]\, \big\rvert\, t, s\in \mathbb{R} \right\} \)

ei ole avaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruus?

a) | \(A\) on tyhjä joukko
b) | Jos \(\mathbf{u}\in A\) ja \(\mathbf{v}\in A\), niin välttämättä \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\notin A\)
c) | Jos \(\mathbf{u}\in A\) ja \(c \in \mathbb{R}\), niin välttämättä \(c\mathbf{u}\notin A\)

Joukko \(B = \left\{[value]\, \big\rvert\, x+2y-z=0 \right\} = \left\{[value]=[value]\,t+[value]\,s \, \big\rvert\, t, s\in \mathbb{R} \right\} \)

on avaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruus. Tarkasta kohdat

d) | \(B\) ei ole tyhjä joukko
e) | Jos \(\mathbf{u}\in B\) ja \(\mathbf{v}\in B\), niin välttämättä \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\in B\)
f) | Jos \(\mathbf{u}\in B\) ja \(c \in \mathbb{R}\), niin välttämättä \(c\mathbf{u}\in B\)

Miksi \(B\) on avaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruus ja \(A\) ei ole?

g) | \(A\) on taso, joka kulkee origon kautta
h) | \(B\) on taso, joka kulkee origon kautta
i) | Nollavektori kuuluu jokaiseen aliavaruuteen ja kun se ei kuulu \(A\):han ei \(A\) voi olla aliavaruus
Feedback: Mallivastaus: \(A\) muodostaa tason, joka ei kulje origon kautta. a) Väärin! b) Oikein! c) Oikein! \(B\) muodostaa tason, joka kulkee origon kautta. d) Oikein! e) Oikein! f) Oikein! g) Väärin! h) Oikein! i) Oikein! Katso kuva

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

Vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\) ja \(\mathbf{v}_3\) ovat lineaarisesti riippumattomia.

a) | Voivatko vektorit virittää avaruuden \(\mathbb{R}^2\)
b) | Voivatko vektorit virittää avaruuden \(\mathbb{R}^3\)
c) | Voivatko vektorit virittää avaruuden \(\mathbb{R}^4\)
d) | Kuinka monta lineaarisesti riippumatonta avaruuden \(\mathbb{R}^[value]\) vektoria virittää avaruuden \(\mathbb{R}^[value]\)
e) | Jos \(n\times n\)-matriisin sarakkeet virittävät avaruuden \(\mathbb{R}^n\), niin \(n\times n\)-matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia
Feedback: Mallivastaus: a) Väärin! Avaruudessa \(\mathbb{R}^2\) ei voi olla kolmea lineaarisesti riippumatonta vektoria. b) Oikein! c) Väärin! Avaruuden \(\mathbb{R}^4\) virittämiseen tarvitaan \(4\) lineaarisesti riippumatonta vektoria. d) \([value]\) lineaarisesti riippumatonta vektoria virittää avaruuden \(\mathbb{R}^[value]\). e) Oikein! \(n\) lineaarisesti riippumatonta vektoria virittää avaruuden \(\mathbb{R}^n\).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(\mathbf{u},\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippumattomia ja \(A = [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]\), niin \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) vain kun \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)
b) | Jos \(\mathbf{u},\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippumattomia ja \(A = [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]\), niin homogeenisella yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu
c) | Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat yhtälöryhmän \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisuja, niin \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\) on homogeenisen yhtälöryhmän \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) ratkaisu
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! b) Väärin! Yhtälön ainoa ratkaisu on triviaali ratkaisu \(\mathbf{c} = \mathbf{0}\). c) Oikein! Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat yhtälöryhmän \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisuja, niin \(A\mathbf{u}=\mathbf{b}\) ja \(A\mathbf{v}=\mathbf{b}\), jolloin \(A\mathbf{u}-A\mathbf{v}=\mathbf{b}-\mathbf{b}\). Tämä saadaan muotoon \(A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=\mathbf{0}\). Tästä nähdään, että \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\) on homogeenisen yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) ratkaisu.

Jos \(B\) on \(3\times 4\)-matriisi, niin \(B\):n nolla-avaruus on triviaali

Jos matriisin aste on \(2\), niin sen sarakeavaruuden kantavektoreiden lukumäärä on

Matriisin aste on johtavien ykkösten lukumäärä redusoidussa vaakariviporrasmuodossa

Jos \(A\mathbf{x}=2\mathbf{x}\), niin \(\mathbf{x}\) kuuluu \(A\):n sarakeavaruuteen

Matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, ainoastaan jos \(A\):n nolla-avaruus on nollavektori
Feedback: Mallivastaus: Jos \(B\) on \(3\times 4\)-matriisi, niin \(B\):n nolla-avaruus ei ole triviaali, koska matriisin sarakkeet eivät voi olla lineaarisesti riippumattomia. Jos matriisin aste on \(2\), niin sen sarakeavaruuden kantavektoreiden lukumäärä on \([value]\). Matriisin aste on johtavien ykkösten lukumäärä redusoidussa vaakariviporrasmuodossa. Jos \(A\mathbf{x}=2\mathbf{x}\), niin \(2\mathbf{x}\) kuuluu \(A\):n sarakeavaruuteen, mistä seuraa, että \(\mathbf{x}\) kuuluu \(A\):n sarakeavaruuteen. Matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia ainoastaan, jos \(A\):n nolla-avaruus on nollavektori.

Yhdistä oikein

\(\text{span}(\{\mathbf{u}\})\) |
\(\text{span}(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}), \mathbf{u}_1 \nparallel \mathbf{u}_2\) |
a | [Image: taso]
b | [Image: suora]
Feedback: Mallivastaus \(\text{span}(\{\mathbf{u}\})\) | [value] \(\text{span}(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}), \mathbf{u}_1 \nparallel \mathbf{u}_2\) | [value]

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Vektorin \(\mathbf{u}\) projektio vektorille \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) on \(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\mathbf{u}\)
b) | Vektorin \(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\) projektio \(xy\)-tasolle on \(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\)
c) | Jokainen avaruuden \(\mathbb{R}^{3}\) vektori on luonnollisen kannan kantavektoreiden \(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) ja \(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\) lineaarikombinaatio
d) | Jokainen avaruuden \(\mathbb{R}^{3}\) vektori voidaan lausua luonnollisen kannan kantavektoreiden \(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) ja \(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\) ja vektorin \(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\) lineaarikombinaationa
e) | Vektorit \(\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\) ja \(\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\-1\\1\end{bmatrix}\) ovat ortogonaaliset
f) | Vektori \(\frac{1}{15}\begin{bmatrix}1\\2\\0\\1\\3\end{bmatrix}\) on yksikkövektori
Feedback: Mallivastaus: a) | Väärin! | Vektorin \(\mathbf{u}\) projektio vektorille \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) on \(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\mathbf{v}\). b) | Oikein! | c) | Oikein! | Toisin sanoen, jokainen avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori voidaan esittää muodossa \(c_1\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+ c_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\). d) | Oikein! | Kolmen lineaarisesti riippumattoman vektorin \((\mathbb{R}^3)\) lineaarikombinaationa voidaan lausua mikä tahansa avaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektori. Kun vektoreita lisätään tämä ominaisuus ei katoa mihinkään. e) | Oikein! | Vektorit ovat ortogonaaliset eli toisiaan vastaan kohtisuorassa kun niiden pistetulo on nolla. \(\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1\\0\\-1\\-1\\1\end{bmatrix} = 1+0-1-1+1 = 0\). f) | Väärin! | Vektoria, jonka pituus on yksi kutsutaan yksikkövektoriksi. Vektorin \(\frac{1}{15}\begin{bmatrix}1\\2\\0\\1\\3\end{bmatrix}\) pituus on \(\sqrt{\big(\frac{1}{15}\big)^2 \cdot (1^2+2^2+0^2+1^2+3^2)} = \frac{\sqrt{15}}{15} \neq 1 \).

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat mitä tahansa vektoreita, niin \(\mathbf{0}\) kuuluu niiden virittämään avaruuteen
b) | Jos vektorijoukko \( \big\{ \mathbf{v}_i,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n \big\} \) on lineaarisesti riippuva, niin sen jokainen vektori voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa
c) | Jos vektorit \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) ovat lineaarisesti riippuvia niin yhtälössä \(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\ldots+c_n\mathbf{v}_n = 0\) ei mikään \(c_i\) saa olla nolla
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! b) Väärin! Esim. Olkoon \(\mathbf{v}_1 = [value], \mathbf{v}_2 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_3 = [value]\). Tällöin vektorijoukko \(\big\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 \big\} \) on lineaarisesti riippuva, mutta vektoria \(\mathbf{v}_1\) ei voida esittää vektorijoukon muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Tässä siis vektorit \(\mathbf{v}_1\) ja \(\mathbf{v}_2\) ovat lineaarisesti riippumattomia, mutta vektorin \(\mathbf{v}_3\) lisääminen tekee vektorijoukosta lineaarisesti riippuvan, sillä \(\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_2\). c) Väärin! Esim. Olkoon \(\mathbf{v}_1 = [value], \mathbf{v}_2 = [value]\) ja \(\mathbf{v}_3 = [value]\). Vektorit ovat selvästi lineaarisesti riippuvia, mutta \(3\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2-1\mathbf{v}_3 = 0\).

Yhdistä oikein

Jos \(A\mathbf{c}=\mathbf{0}\), niin \(\mathbf{c} = \mathbf{0}\) ja tällöin |
Jos on olemassa \(\mathbf{c}\neq \mathbf{0}\), jolle \(A\mathbf{c}=\mathbf{0}\), niin |
a | matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia
b | matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia
Feedback: Mallivastaus: Jos \(A\mathbf{c}=\mathbf{0}\), niin \(\mathbf{c} = \mathbf{0}\) ja tällöin | a | matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia Jos on olemassa \(\mathbf{c}\neq \mathbf{0}\), jolle \(A\mathbf{c}=\mathbf{0}\), niin | b | matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia

Investigate the linear dependence of vectors

\[\begin{align*} \mathbf{a} &= [value] \\ \mathbf{b} &= [value] \\ \mathbf{c} &= [value] \end{align*}\]

by choosing the correct alternative. Also compute the determinant of the matrix constructed from the row vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{c} \) and \( \mathbf{d}=[value] \).

Hint: Can the result from the first part be used in the second part?

([value]) | \(\quad\)The vectors are linearly dependent.

([value]) | \(\quad\)The vectors are linearly independent.

([value]) | \(\quad\)In this case it cannot be determined.

([value]) | \(\quad\)I'm in no mood for another Gauss-Jordan exercise.

Tutki vektoreiden

\[\begin{align*} \mathbf{a} &= [value] \\ \mathbf{b} &= [value] \\ \mathbf{c} &= [value] \end{align*}\]

lineaarista riippuvuutta valitsemalla oikeaa vaihtoehtoa vastaava numero alla olevasta listasta. Lisäksi laske sen matriisin determinantti, joka saadaan yllä olevista vaakavektoreista ja vektorista \( \mathbf{d}=[value] \).

Vinkki: Mieti voisiko ensimmäisen kohdan tulosta käyttää hyödyksi determinanttia laskettaessa.

([value]) | \(\quad\)Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.

([value]) | \(\quad\)Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

([value]) | \(\quad\)Tässä tapauksessa ei voida sanoa mitään.

([value]) | \(\quad\)Ei yhtään huvittaisi pyörittää taas jotain Gauss‑Jordan‑yhtälöryhmäjumppaa tämän asian selvittämiseksi.

Answer:

Vastaus:
Determinant:

Determinantti:
Feedback: Worked solution: Let's first investigate whether the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \) are linearly independent. Vectors \( \mathbf{v}_1 , \ \dots \ , \mathbf{v}_n \) are linearly independent if equation \[ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i \mathbf{v}_i = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \ \dots \ \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \quad \quad \alpha_i \in \mathbb{R} \] has no other solution except the trivial solution \( \alpha_1=\alpha_2=\dots =\alpha_n=0 \). Let's write up the equation for the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \): \[\begin{eqnarray*} \alpha_1 \mathbf{a} + \alpha_2 \mathbf{b} + \alpha_3 \mathbf{c} & = & \mathbf{0} \\ \Longleftrightarrow \alpha_1 [value]^\intercal + \alpha_2 [value]^\intercal + \alpha_3 [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal + [value]^\intercal + [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \end{eqnarray*}\] So now we have the system \[\left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ \end{array}\right. .\] The coefficient matrix, variable vector and parameter vector corresponding to this system are \[ \mathrm{A}=[value] \quad \mathbf{x}=[value] \quad \mathbf{b}=[value] \] and in matrix form the system is \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{A}} \underbrace[value]_{=\mathbf{x}} = \underbrace[value]_{= \mathbf{b}}. \] Now let's form the augmented matrix \( \mathrm{B}=[\mathrm{A} \vert \mathbf{b}] \) and calculate its rref. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{B} & = & [value] \\ \mathrm{rref} (\mathrm{B}) & = & [value] \\ \end{eqnarray*}\] Interpreting the rref back to a system of equations we have \[\begin{array}{rl} & \left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{r} \alpha_1 = [value] \\ \alpha_2 = [value] \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{l} \alpha_1 = [value] t \\ \alpha_2 = [value] t \\ \alpha_3 = t \end{array}\right. , \ t \in \mathbb{R} \\ \end{array}\] From this we see that there are infinitely many solutions which means the vectors \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) and \( \mathbf{c} \) are linearly dependent. Now we also know that the set \(\{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \}\) is also linearly dependent because a set of linearly dependent vectors will stay linearly dependent when any vector is added. Let's investigate the determinent next. The matrix in question is \[ \left[\begin{array}{c} \mathbf{a} \\ \hline \mathbf{b} \\ \hline \mathbf{c} \\ \hline \mathbf{d} \\ \end{array}\right] = [value].\] We also know that the rows of the matrix are linearly dependent. We could compute the determinant mechanically but there is also an easier way in this case. If either the rows or columns of a matrix form a linearly dependent set the determinant of the matrix must be zero. Therefore the determinant of the matrix in question is zero. Mallivastaus: Tutkitaan ensin ovatko vektorit \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) ja \( \mathbf{c} \) lineaarisesti riippumattomia. Vektorit \( \mathbf{v}_1 , \ \dots \ , \mathbf{v}_n \) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälöllä \[ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i \mathbf{v}_i = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \ \dots \ \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \quad \quad \alpha_i \in \mathbb{R} \] on vain triviaaliratkaisu \( \alpha_1=\alpha_2=\dots =\alpha_n=0 \). Kirjoitetaan yhtälö vektoreille \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) sekä \( \mathbf{c} \) ja ratkaistaan se. Yhtälö on \[\begin{eqnarray*} \alpha_1 \mathbf{a} + \alpha_2 \mathbf{b} + \alpha_3 \mathbf{c} & = & \mathbf{0} \\ \Longleftrightarrow \alpha_1 [value]^\intercal + \alpha_2 [value]^\intercal + \alpha_3 [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal + [value]^\intercal + [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \Longleftrightarrow [value]^\intercal & = & [value]^\intercal \\ \end{eqnarray*}\] Nyt tutkittavana on siis yhtälöryhmä \[\left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ [value] = 0 \\ \end{array}\right. .\] Tätä yhtälöryhmää vastaava kerroinmatriisi sekä muuttuja- ja parametrivektori ovat \[ \mathrm{A}=[value] \quad \mathbf{x}=[value] \quad \mathbf{b}=[value] \] ja vastaava matriisiyhtälö on \[ \underbrace[value]_{=\mathrm{A}} \underbrace[value]_{=\mathbf{x}} = \underbrace[value]_{= \mathbf{b}}. \] Muodostetaan nyt laajennettu matriisi \( \mathrm{B}=[\mathrm{A} \vert \mathbf{b}] \) ja lasketaan sen rref-muoto. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{B} & = & [value] \\ \mathrm{rref} (\mathrm{B}) & = & [value] \\ \end{eqnarray*}\] Tulkitaan rref-muotoinen matriisi takaisin yhtälöryhmäksi. \[\begin{array}{rl} & \left\{\begin{array}{r} [value] = 0 \\ [value] = 0 \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{r} \alpha_1 = [value] \\ \alpha_2 = [value] \end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow & \left\{\begin{array}{l} \alpha_1 = [value] t \\ \alpha_2 = [value] t \\ \alpha_3 = t \end{array}\right. , \ t \in \mathbb{R} \\ \end{array}\] Edellisestä huomaamme, että ratkaisuja on ääretön määrä eli vektorit \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) ja \( \mathbf{c} \) ovat lineaarisesti riippuvia. Nyt tiedämme, että joukko \(\{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \}\) on myös lineaarisesti riippuva, koska lineaarisesti riippuvasta joukosta ei saa lineaarisesti riippumatonta lisäämällä siihen vektoreita. Tutkitaan nyt rivivektoreista muodostetun matriisin determinanttia. Matriisi on \[ \left[\begin{array}{c} \mathbf{a} \\ \hline \mathbf{b} \\ \hline \mathbf{c} \\ \hline \mathbf{d} \\ \end{array}\right] = [value].\] Tiedämme lisäksi, että matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvia. Determinantin voisi laskea suoraan, mutta helpommin se saadaan ratkaistua, kun muistetaan eräs determinanttiin liittyvä tulos; nimittäin se, että matriisin determinantti on nolla, jos sen rivit tai sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippuvan joukon vektoreita. Koska tutkittavan matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvia, on sen determinantti nolla.

a) | Jos \(I\) on \(2\times 2\)-identiteettimatriisi, niin mitä on \(\text{det}\big((-[value])I \big)\)
b) | Kolmiomatriisi, jonka diagonaalilla ei ole yhtään nollaa, on aina kääntyvä
c) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia neliömatriiseja, niin \(\text{det}(A+B) = \text{det}(A)+\text{det}(B)\)
d) | Jos matriisin \(A\) determinantti on erisuuri kuin nolla, niin matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat
Feedback: Mallivastaus: a) \(\left| \begin{array}{cc} -[value] & 0 \\ 0 & -[value] \end{array} \right| = [value]\) b) Oikein! Kolmiomatriisin determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo. Mikäli diagonaalilla ei ole yhtään nollaa on determinantin arvo nollasta poikkeava. Koska determinantti ei ole nolla, niin matriisi on kääntyvä. c) Väärin! Esim. Olkoon \(A = [value]\) ja olkoon \(B = [value]\). Tällöin \(\text{det}(A+B) = 0 \neq 2 = \text{det}(A) + \text{det}(B)\). d) Oikein! Jos matriisin \(A\) determinantti on erisuuri kuin nolla, niin matriisi \(A\) on kääntyvä. Kääntyvän matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat.

a) | Jos \(A\) ja \(B\) ovat samankokoisia neliömatriiseja, niin \(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\)
b) | Olkoon \(A\) ja \(B\) \(n\times n\)-matriiseja, joille \(\text{det}(A)=[value]\) ja \(\text{det}(B)=[value]\). Laske determinantti \(\text{det}(A^3B^{-1}B^{\text{T}}B^2)\)
c) | Olkoon \(A\) \([value]\times [value]\)-matriisi, jolle \(\text{det}(A)=[value]\). Laske \(\text{det}([value]A)\)
d) | Matriisi ei ole kääntyvä, jos sen determinantti on nolla
e) | Jos \(\text{det}(A)\neq 0\), niin \(A^{-1}\) on olemassa
f) | Elementaariset vaakarivioperaatiot eivät muuta determinantin arvoa
g) | Jos \(A\) on neliömatriisi ja sen determinantti on nolla, niin sillä on nollarivi
h) | Olkoon \(A\) ja \(B\) \(n\times n\)-matriiseja, tällöin \(\text{det}(AB) = \text{det}(BA)\)
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! Katso luentomonisteen lause 5.14 b) [value] \(\text{det}(AB) = \text{det}(A)\text{det}(B)\) \(\text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)}\) \(\text{det}(A^{\text{T}}) = \text{det}(A)\) \(\text{det}(A^3B^{-1}B^{\text{T}}B^2) = \text{det}(A^3)\text{det}(B^{-1})\text{det}(B^{\text{T}})\text{det}(B^2) = \left( \text{det}(A)\right)^3 \frac{1}{\text{det}(B)}\text{det}(B)\left( \text{det}(B)\right)^2 = [value]^3\cdot \frac{1}{[value]}\cdot [value] \cdot ([value])^2 = [value]\) c) [value] \(\text{det}(cA) = c^n\text{det}(A)\) \(([value])^[value]\cdot [value] = [value]\) d) Oikein! e) Oikein! f) Väärin! Esim. Olkoon \(A = [value]\). Matriisin \(A\) determinantti on \(2\). Kerrotaan matriisin \(A\) rivi \(1\) luvulla \(\frac{1}{2}\), jolloin saadaan matriisi \([value]\), jonka determinantti on 1. g) Väärin! Esim. matriisin \([value]\) determinantti on nolla, vaikka matriisissa ei ole yhtään nollariviä. Mikäli \(n\times n\)-matriisin determinantti on nolla, niin tämän matriisin redusoidussa riviporrasmuodossa on vähintään yksi nollarivi. h) Oikein! \(\text{det}(AB) = \text{det}(A)\text{det}(B) = \text{det}(B)\text{det}(A) = \text{det}(BA)\)

a) | Matriisin \(A\) ominaisarvoa \(\lambda\) vastaavat ominaisvektorit ovat homogeenisen matriisiyhtälön \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\) ratkaisuja
b) | Jos matriisin \(A\) ominaisvektori on \(\mathbf{x}\), niin matriisin \(A\) ominaisvektoreita on kaikki vektorit (pois lukien nollavektori), jotka kuuluvat vektorin \(\mathbf{x}\) suuntaisesti kulkevalle suoralle
c) | \(4\times 4\)-matriisin karakteristinen polynomi on \(4\). asteen polynomi
d) | Jos kaikki matriisin \(A\) ominaisarvot ovat nollia, niin matriisi \(A\) on nollamatriisi
e) | Jokaisella \(2\times 2\)-matriisilla on vähintään yksi reaalinen ominaisarvo
Feedback: Mallivastaus: a) Väärin! \(\mathbf{x}\) ei saa olla nollavektori. b) Oikein! Kerrotaan ominaisarvoyhtälö puolittain vakiolla \(c\), jolloin saadaan \(cA\mathbf{x} = c\lambda\mathbf{x} \iff A(c\mathbf{x}) = \lambda(c\mathbf{x})\). c) Oikein! d) Väärin! Esim. Olkoon \(A = [value]\). Matriisin \(A\) kaikki ominaisarvot ovat nollia, mutta matriisi ei ole nollamatriisi e) Väärin! Esim. Olkoon \(A = [value]\). Matriisi on \(2\times 2\)-matriisi, mutta sillä ei ole yhtään reaalista ominaisarvoa.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin?

a) | Piste \(([value],[value],[value])\) kuuluu tasolle \(2x-3y+z=1\)
b) | Piste \(([value],[value],[value])\) kuuluu tasolle \(2x-3y+z=1\)
c) | Piste \(\Big([value],[value],[value]\Big)\) kuuluu suoralle \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}[value] \\ [value] \\[value]\end{bmatrix} t + \begin{bmatrix}[value] \\ [value] \\[value]\end{bmatrix}, \, t\in \mathbb{R}\)
d) | Voidaanko \(\mathbb{R}^{3}\):n suora esittää normaalimuodossa
e) | Voidaanko \(\mathbb{R}^{3}\):n taso esittää normaalimuodossa
Feedback: a) Oikein! \(2*([value])-3*([value])+([value])=1\) b) Väärin! \(2*([value])-3*([value])+([value])=3\neq 1\) c) Väärin! \([value]t+[value] = [value] \Rightarrow t=\frac{[value]-[value]}[value] = [value]\) \([value][value]+[value] = [value] \neq [value]\) d) Väärin! e) Oikein!

Pienimmän neliösumman mielessä mille tahansa matriisille \(A\), jonka sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) paras ratkaisu on \(\mathbf{\hat{x}} = (A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\mathbf{b}\)

Jos tarkastellaan matriisia \((A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\) ja kerrotaan se vasemmalta matriisilla \(A\) eli \(A(A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\), niin onko matriisi \(A(A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}} = AA^{-1}(A^{\text{T}})^{-1}A^{\text{T}} = I\)

Mikä kohta kaavassa on väärin? Miksi?

Toimii vain jos \(A\) on neliömatriisi ja kääntyvä

Jos \(A\) on kääntyvä, niin \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\), jolloin pienimmän neliösumman ratkaisu on \(\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{x}\,\)
Feedback: Mallivastaus: Pienimmän neliösumman mielessä mille tahansa matriisille \(A\), jonka sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, yhtälöryhmän \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) paras ratkaisu on \(\mathbf{\hat{x}} = (A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\mathbf{b}\).

a) | Matriisin \(A = [value]\) karakteristinen polynomi on \(P(\lambda) = (2-\lambda)(8-\lambda)(12-\lambda)\)
b) | Jos \(A = [value]\), niin \(\lambda=1\) on ominaisarvo matriisille \(A^{10}\)
c) | Matriisit \([value]\) ja \([value]\) ovat similaarisia
d) | Matriisi \(A = [value]\) on diagonalisoituva
e) | Jos \(n\times n\)-matriisi on diagonalisoituva, niin sillä on \(n\) eri ominaisarvoa
f) | Jos matriisilla on \(n\) eri ominaisarvoa, niin se on diagonalisoituva
g) | Jos \(A\) on symmetrinen matriisi, niin sen ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! Kolmiomatriisin ominaisarvot ovat päädiagonaalin alkiot. b) Oikein! Jos \(\lambda\) on matriisin \(A\) ominaisarvo, niin \(\lambda^{10}\) on matriisin \(A^{10}\) ominaisarvo. \(\lambda^{10} =1^{10} = 1\). c) Väärin! Jos kaksi matriisia ovat similaarisia niiden determinanttien tulee olla samat. d) Oikein! Jokainen diagonaalimatriisi on diagonalisoituva. Tällöin \(P = I\). e) Väärin! Esim. matriisi \(A = [value]\) on kolmiomatriisi, joten sen ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Näin ollen matriisilla on vain ominaisarvo \(1\), jonka algebrallinen kertaluku on \(2\). Matriisi on kuitenkin diagonalisoituva, sillä se on diagonaalimatriisi. f) Oikein! Kun matriisilla on \(n\) eri ominaisarvoa, niin tästä seuraa, että matriisin ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin ollen ominaisvektorimatriisi \(P\) on kääntyvä ja matriisi on diagonalisoituva. g) Väärin! Esim. Matriisi \([value]\) on symmetrinen, mutta sen ominaisarvot \((\lambda = \pm 1)\) eivät ole sen diagonaalialkiot. Sen sijaan kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot.

Jos \(A\) on \(m\times n\)-matriisi, niin tällöin

\(A^{\text{T}}A\) on \(\times\)-matriisi.

\((A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\) on \(\times\)-matriisi.

Pienimmän neliösumman ratkaisu

\(\mathbf{\hat{x}} = (A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\mathbf{b}\) on \(\times\)-matriisi eli -ulotteinen vektori.
Feedback: Mallivastaus: Jos \(A\) on \(m\times n\)-matriisi, niin tällöin \(A^{\text{T}}\) on \(n\times m\)-matriisi ja \(A^{\text{T}}A\) on \(n\times n\)-matriisi. \((A^{\text{T}}A)^{-1}\) on \(n\times n\)-matriisi, joten \((A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\) on \(n\times m\)-matriisi. \(\mathbf{b}\) on \(m\times 1\)-matriisi, joten \(\mathbf{\hat{x}} = (A^{\text{T}}A)^{-1}A^{\text{T}}\mathbf{b}\) on \(n\times 1\)-matriisi eli \(n\)-ulotteinen vektori.

Jos yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole ratkaisuja ja \(\mathbf{\hat{x}}\) on pienimmän neliösumman ratkaisu, niin

a) \(\quad\) | \(A\mathbf{\hat{x}}\) voidaan lausua matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaationa
b) | \(\mathbf{b}\) voidaan lausua matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaationa
c) | \(\mathbf{b}\) ei kuulu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen \(\text{R}(A)\)
d) | \(A\mathbf{\hat{x}}\) ei kuulu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen \(\text{R}(A)\)
e) | \(\mathbf{\hat{x}}\) kuuluu aina matriisin \(A\) sarakeavaruuteen \(\text{R}(A)\)
f) | \(\mathbf{\hat{x}}\) ei yleensä kuulu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen \(\text{R}(A)\)
g) | \(\mathbf{b}\) ja \(\mathbf{\hat{x}}\) ovat samankokoisia
Feedback: Mallivastaus: a) Oikein! \(A\mathbf{\hat{x}}\) on vektorin \(\mathbf{b}\) projektio matriisin \(A\) sarakeavaruudelle. b) Väärin! Ei voida, koska yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole ratkaisua. c) Oikein! Ei kuulu, koska yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ei ole ratkaisua. d) Väärin! \(A\mathbf{\hat{x}}\) kuuluu matriisin \(A\) sarakeavaruuteen. e) Väärin! f) Oikein! h) Väärin! Olkoon \(A\) \(m\times n\)-matriisi. Tällöin \(\mathbf{b}\) on \(m\times 1\)-matriisi ja \(\mathbf{\hat{x}}\) on \(n\times 1\)-matriisi.

Olkoon \(A\) \(3\times 3\)-matriisi.

Jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) on vain triviaali ratkaisu, niin

- kuinka monta ratkaisua on matriisiyhtälöllä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), kun \(\mathbf{b} = [value]\)

- matriisin \(A\) redusoidussa vaakariviporrasmuodossa voi olla täsmälleen \(2\) johtavaa ykköstä

- matriisi \(A^{-1}\) on olemassa

- \(A\) voidaan esittää elementaarimatriisien tulona
Feedback: Mallivastaus: Jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) on vain triviaali ratkaisu, niin tällöin \(N(A) = \{\mathbf{0}\}\) ja yhtälöllä \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) on aina yksikäsitteinen ratkaisu \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\). Matriisin \(A\) redusoidussa vaakariviporrasmuodossa on täsmälleen \(3\) johtavaa ykköstä (yksi jokaisella sarakkeella) ja matriisi \(A\) on kääntyvä. Tällöin matriisi \(A\) voidaan myös esittää elementaarimatriisien tulona. Katso myös luentomonisteen lause 3.40.