Title: Derivaatta ja funktion kulku

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x=\), \(x=\).

Mikä on pienimmän kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the smallest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on suurimman kriittisen pisteen laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1(=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the largest critical point? Answer 0 (=a local minimum point) or 1(=a local maximum point).
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_1\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_2\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu? Vastaa 0 (=aito paikallinen minimipiste) tai 1 (=aito paikallinen maksimipiste).

What is the nature of the critical point \(x_3\)? Answer 0 (=a local minimum point) or 1 (=a local maximum point).
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen minimipiste. Piste \(x=[value]\) on aito paikallinen maksimipiste. Piste \(x=0\) on aito paikallinen minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Find the derivatives of the following functions: Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[f(x)=[value]\]

(b) \[g(x)=[value]\]

(c) \[h(x)=[value]\]

(a)\(\quad f'\left(x\right)=\)

(b)\(\quad g'\left(x\right)=\)

(c)\(\quad h'\left(x\right)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] \[f(x)=([value]-[value])^{[value]} \] \[ f'(x) =[value]([value]-[value])^{[value]}([value]x^{[value]}-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]([value])^{[value]}(1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value](1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]x^{[value]}(1-[value])^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}).\] (b) Quotient rule: Osamäärän derivaatta: \[\Big( \frac{f}{g}\Big) '(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}: \] \[g(x)=\frac{x^3+1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x^3+1}{(1+x^2)^{1/2}} \] \[g'(x)=\frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-(x^3+1)\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} 2x}{[(1+x^2)^{1/2}]^2 } \] \[=\frac{3x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x(x^3+1)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \] \[=\frac{3x^2+3x^4-x^4-x}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{2x^4+3x^2-x}{(1+x^2)^{3/2}}. \] (c) Product rule: Tulon derivaatta: \[(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \] \[h(x)=\cos([value]x)\sin([value]x) \] \[h'(x)=-\sin([value]x)\cdot [value]\cdot \sin([value]x)+\cos([value]x)\cdot \cos([value]x)\cdot [value] \] \[=-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot \sin([value]x)+[value]\cdot \cos([value]x)\cdot \cos([value]x). \]

Find the derivatives of the following functions:

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). \] (a) \[f(x)= \cos(x^{[value]}) \] \[f'(x)=-\sin(x^{[value]})\cdot [value][value]=-[value][value]\cdot \sin(x^{[value]}). \] (b) \[g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]}=(x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \] \[g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{-1/2}\cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \] (c) \[h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2})\] \[h'(x)=-\sin((x^{[value]}+x^{[value]})^{3/2})\cdot \frac{3}{2} \cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \]

Find the derivatives of the following functions:

Laske seuraavien funktioiden derivaatat:

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\]

The functions have to be given in a form similar to \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), and sin/cos needs to be simplified to tan.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\), ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Chain rule: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] Since \(D\ln (x)=1/x\) and \(De^x=e^x\), then \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\]Koska \(D\ln (x)=1/x\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Similarly \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\]Vastaavasti \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Since \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), then \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]Koska \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), niin \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Find the derivative of the function Laske funktion

\[f(x)= [value]\]

derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Since the function \(f\) is a compound function, we can apply the chain rule. According to the chain ruleTehtävän funktio \(f\) on yhdistetty funktio, joten voimme soveltaa ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan \[ D(u \circ s) (x) = s'(x) \cdot u'(s(x)). \] To find the derivative, we need to use the chain rule several times.Ketjusääntöä täytyy soveltaa tehtävän funktioon moneen kertaan. \[\begin{array}{rll} D f(x) & = & D \text{ln}\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \\ & = & D\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left(D\sin([value]x)+D\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)+D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \frac{[value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x) \cos([value]x)}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \end{array}\] First we applied the chain rule to functions \( u(x) = \text{ln}(x) \) and \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). The derivative of the outer function is \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) and in the next phase we examine the derivative of the inner function \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). To differentiate the first term \(\sin([value]x)\), we use the chain rule for the functions \( u(x) = \sin(x) \) and \( s(x) = [value]x \). For the second term, the rule is applied to functions \( u(x) = x^2 \) and \( s(x) = \cos([value]x) \). This leaves us \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), where we only need to differentiate \(\cos([value]x)\) anymore.Ensimmäisenä ketjusääntöä sovellettiin valinnoilla \( u(x) = \text{ln}(x) \) ja \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). Ulkofunktion derivaatta on \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) ja seuraavassa vaiheessa lähdettiin tutkimaan sisäfunktion \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \) derivaattaa. Ensimmäinen termi, \(\sin([value]x)\), saadaan derivoitua soveltamalla ketjusääntöä kerran valinnoilla \( u(x) = \sin(x) \) ja \( s(x) = [value]x \). Toisen termin kohdalla sovelletaan ketjusääntöä valinnoilla \( u(x) = x^2 \) ja \( s(x) = \cos([value]x) \). Tästä päädymme muotoon \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), josta täytyy enää derivoida \(\cos([value]x)\).

Determine the derivative of the function \[f(x)=\frac[value][value] \] Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To find the derivative of the given function, we apply the quotient rule,: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä: \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] For this, we will differentiate the numerator and denominator separately.Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Now we can find the derivative of the given function.Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

DifferentiateDerivoi

a) \(f(x)= [value]\)

\(f'(x)=\)

b) \(g(x) = [value]\)

\(g'(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Derivate rules: Derivointisääntöjä: 1. Linearity: Lineaarisuus: \(\mathrm{D}(f(x) + g(x)) = f'(x)+g'(x)\) \(\mathrm{D}(\mathrm{c}f(x)) = \mathrm{c}f'(x), \text{whenkun }\mathrm{c}\in\mathbb{R}\text{ is constanton vakio}\) 2. Product rule: Tulon derivoimissääntö: \(\mathrm{D}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 3. Chain rule: Yhdistetyn funktion derivoimissääntö: \(D(f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\) We also know thatLisäksi tiedetään, että 1. \(\mathrm{D}(\text{constant functionvakiofunktio}) = 0\) 2. \(\mathrm{D}(x^{r}) = rx^{r-1}, r\neq 0\) 3. \(\mathrm{D}(\sin x) = \cos x\) a) \(f(x)= [value]\) \(f'(x) \stackrel{\text{2}}{=}\mathrm{D}(x)\cdot \sin ([value]x) + x\cdot \mathrm{D}(\sin ([value]x)) \stackrel{\text{b, c}}{=} [value]\) b) \(g(x) = [value]\) \(g'(x) \stackrel{\text{3, b}}{=} \frac{3}{2}\cdot ([value])^{\frac{3}{2}-1}\cdot \mathrm{D}([value]) \stackrel{\text{a, b}}{=} [value]\)

Funktion \(f(x)=[value]\) derivaatta \(f'(x)<0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), joten funktio on aidosti vähenevä, ja sillä on käänteisfunktio \(y=f^{-1}(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\).

Laske \((f^{-1})'([value])\).

The function \(f(x)=[value]\) has the derivative \(f'(x)<0\) for all \(x\in\mathbb{R}\). Hence the function is
strictly decreasing and it has the inverse function \(y=f^{-1}(x)\) for all \(x\in\mathbb{R}\).

Find \((f^{-1})'([value])\).

\((f^{-1})'([value])=\)
Feedback: Malliratkaisu: Käänteisfunktion derivaatta: Teorian mukaan \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})}, \,\,\textrm{missä}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Nyt laskettava \((f^{-1})'([value])\), joten \(y_0 = [value]\) ja \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Koska \(f'(x)=[value]\), niin \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \] The model solution: The derivative of the inverse function: \[ (f^{-1})'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})} \,\,\textrm{where}\,\, y_{0} = f(x_{0}). \] Now \((f^{-1})'([value])\) has to be computed. Therefore \(y_0 = [value]\) and \[\begin{align*} f(x_0) &= [value]x_0^5-[value]x_0^3-[value]x_0[value] = [value] \\ x_0 &= 0\in\mathbb{R}. \end{align*}\] Because \(f'(x)=[value]\) it follows \[ (f^{-1})'([value]) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-[value]\cdot0^4-[value]\cdot0^2-[value]} = -\frac{1}{[value]}. \]

Q: Muuttujan \(x\) muutamilla arvoilla tunnetaan funktioiden arvoja alla olevan taulukon mukaisesti.

\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\)
\(f(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(f'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]
\(g'(x) \) | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

1) Jos \(h(x) = f(x)g(x)\), niin \(h'([value]) =\)
2) Jos \(\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), niin \(h'([value]) = \)

3) Jos \(h(x) = g\big(f(x)\big)\), niin \(h'([value]) = \)

4) Jos \(h(x) = g^{-1}(x)\), niin \(h'([value]) = \)

Luvut voit antaa muodossa \(\verb:a/(b+c) + d*(r/a):\) ts. ei tarvitse laskea laskimella. Käytä sulkeita varmistamaan laskujärjestys.
Feedback: Mallivastaus: 1) \(\displaystyle h'([value]) = f'([value])g([value]) + f([value])g'([value]) = [value] \) 2) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{f'([value])g([value]) - f([value])g'([value])}{g([value])^2} = [value] \) 3) \(\displaystyle h'([value]) = g'\big((f([value])\big) \cdot f'([value]) = [value] \) 4) \(\displaystyle h'([value]) = \frac{1}{g'\big(g^{-1}([value])\big)} = \frac{1}{g'([value])} = [value] \)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Find the local extrema and their types of the function \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\). Provide the points in increasing order (\(x_1 < x_2 < x_3\)) as well as the second order derivatives evaluated in these points.

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The derivative of the function is \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), so all the possible extrema are \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) and \(x_3=[value]\). Since \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), then \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) and \(f''([value])=[value]>0\). That is, all the points are local extrema; the middle one is a local maximum and the other two are local minima.Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

Calculate the estimate of \(\sin([value])\) by hand. Make use of the facts \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) and \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). You should also use the approximations \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) and \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Note that the approximation of \(\pi\) effects only the length of the interval \(h\)). Solve the problem by linearizing the function \(f(x)=\sin{(x)}\). Advice: The approximation should be based on the following formula which stems from the definition of the derivative: \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Using the approximations given above, the solution will result in a fraction. You can either provide the exact value or an estimate with at least five decimals as your answer. Laske käsin luvun \(\sin([value])\) likiarvo. Käytä hyväksi tietoja, että \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) ja \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Lisäksi käytä approksimaatioita \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) ja \(\pi\approx\frac{314}{100}\). (Huomaa, että \(\pi\):n approksimaatio vaikuttaa ainoastaan välin pituuteen \(h\)). Tee tehtävä linearisoimalla funktiota \(f(x)=\sin{(x)}\). Ohje: Approksimaation tulee perustua derivaatan määritelmästä saatavan seuraavan kaavan käyttöön \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Käyttämällä yllä annettuja approksimaatteja, vastaukseksi tulee murtoluku. Vastauksen voi antaa, joko tarkkana arvona tai likiarvona vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\(\sin([value])\approx~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: First we form a linearization for the function \(\sin(x)\) about the point \(\frac{\pi}{6}\). For this we need the derivative of the function: Muodostetaan ensin funktiolle \(\sin(x)\) linearisointi pisteen \(\frac{\pi}{6}\) ympäristössä. Linearisointia varten tarvitsemme funktion derivaatan: \[ \sin ' (x) = \cos(x) \] The linearization is given by the formulaLinearisoinnin saamme laskettua kaavalla \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h,\] where \(x\) is the center of expansion and \(h\) is the distance from this point. In this case, \(x=\frac{\pi}{6}\) and \(f(x)=\sin(x)\). Therefore the linearization isjossa \(x\) on kehityskeskus ja \(h\) on siirtymä kehityskeskuksesta. Nyt \(x=\frac{\pi}{6}\) ja \(f(x)=\sin(x)\). Linearisointi on siten \[\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{6}+h\right) &\approx& \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\frac{173}{100}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot h \\ \end{eqnarray}\] We want to estimate the value of the sine function at [value], so we need to find its distance from the point \(\frac{\pi}{6}\).Haluamme arvioida sinifunktion arvoa pisteessä [value], joten meidän täytyy laskea sen etäisyys pisteestä \(\frac{\pi}{6}\). \[\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6}+h &=& [value] \\ h &=& [value]-\frac{\pi}{6} \\ h &=& [value]-\frac{\frac{314}{100}}{6} \\ h &=& [value]-\frac{314}{600} \\ h &=& [value] \\ \end{eqnarray}\] Now we can substitute the value for \(h\) in the linearization.Nyt voimme sijoittaa \(h\):n arvon saatuun linearisaatioon. \[\begin{eqnarray} \sin\left([value]\right) &=& \sin\left(\frac{\pi}{6}+[value]\right) \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot [value] \\ &=& [value] \\ &\approx& [value] \end{eqnarray}\]

The volume of a ball having a radius \(r\) is given by \(V=4\pi r^3/3\). Express the radius as a function of the volume \(V\mapsto r(V)\), and applying the linear approximation \(r\)-säteisen kuulan tilavuus on \(V=4\pi r^3/3\). Kirjoita kuulan säde tilavuuden funktiona \(V\mapsto r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

find out by how many percents does the radius increase as the volume of the ball increases by \([value]\) percents. Give your answer as an integer without the % sign.avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{wheremissä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] The relative change isSuhteellinen muutos on \[\frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] When the volume is increased by \([value]\) percents, i.e. \(V=[value]\cdot V_0\), the relative change of the radius isKun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

With Newton's method, we can find solutions for an equation of the form \(f(x)=0\), if the function \(f\) is "smooth" near the zero \(r\). We can then form a recursive sequence \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] where the first element \(x_{0}\) is chosen near the seeked zero \(r\). It can be shown that if the initial estimate \(x_{0}\) is sufficiently near this zero, then for the sequence \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\). That is, the sequence converges to the point \(r\).Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), mikäli funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono toteuttaa \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\) eli suppenee kohti haluttua juurta.

Apply Newton's iteration for the equation \([value]=0\) and calculate the first four values \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) and \(x_{4}\). For the initial guess, use \(x_{0}=[value]\). Provide your answer in the precision of at least five decimals.Sovella Newtonin iteraatiota yhtälöön \([value]=0\) ja laske iteraation neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Alkuarvauksena käytä \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In order to apply Newton's method to find the zeros of the function \(f(x)=[value]\), first we have to find its derivative: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \[ f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = \frac[value][value] \] Now we can form the recursive formula for \(f\): Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f\): \[\begin{array}{rll} x_{n+1} & = & x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = & x_{n} -([value])\cdot \frac[value][value]\\ & = & x_{n} -\frac[value][value]\\ \end{array}\] Next, starting from the initial guess \(x_0=[value]\) we keep iterating the recursive formula: Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ x_1 = x_{0} -\frac[value][value] = ([value]) -\frac{([value])^[value]+2 e^{[value]\cdot ([value])}}{[value]\cdot ([value])^[value]-[value]\cdot ([value])^[value]} = [value] \approx [value] \] \[\begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_{1} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_{2} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_{3} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]

Find the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn.

Etsi lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen ([value],[value]).

[value]

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) is \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Koska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). From calculus we remember that a function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the function \(D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\). The derivative of the function \(D^2(x)\) is \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value] \approx [value] \) and \(x_2 = [value] \approx [value] \). Next, we will examine the values of the function \(D^2\) at the zeros of its derivative.Nyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Tavoitteenamme on etsiä lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä, joten riittää etsiä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Differentiaalilaskennasta tiedämme, että funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[ D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]. \] Funktion \(D^2(x)\) derivaatta, \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \approx [value] \) ja \(x_2 = [value] \approx [value] \). Tutkitaan seuraavaksi funktion arvoja derivaatan nollakohdissa. \[\begin{array}{rll} D^2(x_1) & = & \left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] \[\begin{array}{rll} D^2(x_2) & = & \left( x_2-[value] \right)^2+x_2^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] At \(x=x_1\) the value of the function \(D^2(x)\) is smaller than at \(x=x_2\), so the function has a minimum at \(x=x_1\). Therefore, the shortest distance between the point ([value],[value]) and the curve \(C\) is Kohdassa \(x=x_1\) funktio \(D^2(x)\) saa pienemmän arvon kuin kohdassa \(x=x_2\), joten sillä on kohdassa \(x=x_1\) minimi. Pisteen ([value],[value]) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} D(x_1) & = & \sqrt{\left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3} \\ & = & \sqrt{[value]} \\ & = & [value]\\ & \approx & [value] \end{array}\]

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]