Title: Kuva ja alkukuva

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Tämän tehtävätyypin nimi on "Vedä sanat tekstiin". Vedettävät sanat (tai muut merkkijonot) löytyvät aina tehtävän lopusta. Vaihtoehdoissa saattaa esiintyä ylimääräisiä sanoja tai osa sanoista saattaa esiintyä tekstissä useammin kuin kerran. Tässä tehtävätyypissä saat palautetta vasta, kun olet vetänyt jokaiseen laatikkoon jonkin sanan.

Vedä kaupunkien nimet oikeille paikoille.

Suomen pääkaupunki on [...].
Ruotsin pääkaupunki on [...].
Norjan pääkaupunki on [...].
Tanskan pääkaupunki on [...].
Tämä yliopisto sijaitsee kaupungissa nimeltä [...].
Also offered: Lontoo
A: Helsinki; Tukholma; Oslo; Kööpenhamina; Helsinki
Feedback: Suomen pääkaupunki on Helsinki. Ruotsin pääkaupunki on Tukholma. Norjan pääkaupunki on Oslo. Tanskan pääkaupunki on Kööpenhamina. Tämä yliopisto sijaitsee kaupungissa nimeltä Helsinki.

Q: Oletetaan, että \(f \colon X \to Y\) on kuvaus. Pyritään osoittamaan, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).

Mudosta väitteen todistus.

Todistus

[...]

Tämä tarkoittaa, että [...].

[...]

[...]

[...]

[...]

Näin on näytetty, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).
Also offered: Oletetaan, että y ∈ fA∩fB.; Oletetaan, että x ∈ A∩B.; y ∈ A∩B ja y=f(x) jollain x ∈ A∩B; Koska f(x) ∈ fA, niin x ∈ A.; Vastaavasti koska f(x) ∈ fB, niin x ∈ B.; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ A; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ B
A: Oletetaan, että y ∈ f[A∩B].; y ∈ Y ja y=f(x) jollain x ∈ A∩B; Tällöin x ∈ A ja x ∈ B.; Koska x ∈ A, niin f(x) ∈ fA.; Vastaavasti koska x ∈ B, niin f(x) ∈ fB.; Koska y=f(x), niin y ∈ fA∩fB.
Feedback: Todistus Oletetaan, että \(y \in f[A \cap B]\). Tämä tarkoittaa, että \(y \in Y\) ja \(y=f(x)\) jollain \(x \in A \cap B\). Tällöin \(x \in A\) ja \(x \in B\). Koska \(x \in A\), niin \(f(x) \in fA\). Vastaavasti koska \(x \in B\), niin \(f(x) \in fB\). Koska \(y=f(x)\), niin \(y \in fA \cap fB\). Näin on näytetty, että \(f[A \cap B] \subset fA \cap fB\) kaikilla joukoilla \(A, B \subset X\).

Q: Oletetaan, että \(f \colon X \to Y\) on surjektio ja \(B \subset Y\). Pyritään osoittamaan, että \(B \subset f[f^{\leftarrow}B]\).

Laita väitteen todistuksen vaiheet oikeaan järjestykseen.

Todistus

[...]

Koska [...], niin [...].

Koska [...], niin [...].

Tästä seuraa \(f(x) \in f[f^{\leftarrow}B]\).

Lisäksi \(b=f(x)\), joten \(b \in f[f^{\leftarrow}B]\).
Also offered: f on kuvaus
A: Oletetaan, että b ∈ B.; f on surjektio; on olemassa x ∈ X siten, että f(x)=b; f(x)=b ∈ B; x ∈ f^(←)B