Title: IMP Matlab (viikko 5)

Kun halutaan todistaa, että jokin väite ei päde kaikilla alkioilla tai joukoilla, käytetään vastaesimerkkiä. Anna tässä tehtävässä vastaesimerkkeinä joukkoja, joissa yksittäiset alkiot ovat pilkuilla eroteltuina aaltosuluissa, esim. {0,1,2}.

Tarkastellaan väitettä "jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \not\subset C\)".

a) Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B = \)

\(C = \)

b) Väitteen negaatio on

i. jos \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), niin \(A \subset C\)

ii. jos \(A \subset C\), niin \(A \not\subset B\) ja \(B \subset C\)

iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\)

c) Anna esimerkki, joka osoittaa, että myöskään väitteen negaatio ei päde kaikilla joukoilla \(A, B\) ja \(C\).

\(A = \)

\(B  = \)

\(C = \)
Feedback: a) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{1\}\). Nyt \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\), mutta \(A \subset C\). Itse asiassa tässä esimerkissä \(A = C\), mutta se ei ole välttämätöntä. b) iii. \(A \subset B\) ja \(B \not\subset C\) ja \(A \subset C\). (Väitteen \(p_1 \rightarrow p_2\) negaatio on \(p_1 \land \neg p_2\).) c) Esimerkiksi \(A = \{1\}, B = \{1,2\}\) ja \(C = \{2\}\). Nyt \(A \not\subset C\), koska \(1 \notin C\). Siis väitteen negaatio on epätosi.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään ja piirretään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) kuvaajan käännepisteet. Näissä pisteissä kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Komentoikkunassa käännepisteet näkyvät vektorin \(\mathtt{p}\) alkioina.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Miksi derivointikomentoa ei ole kirjoitettu kahteen kertaan, vaikka lasketaan toinen derivaatta? Toimiiko sama integrointikomennon kanssa?
- Yhtälönratkaisukomennon solve ensimmäinen parametri ei ole tässä yhtälö, vaan ratkaistaan nimenomaan nollakohtia. Voiko sen syötteeksi kuitenkin laittaa kokonaisen yhtälön yhtäsuuruusmerkkeineen?
- Mitä komennon fplot jälkimmäinen parametri tekee? Muistatko vielä, millä erillisellä komennolla pystyy tekemään saman? Entä voiko komentoon fplot laittaa vastaavia piirtovärin ja -viivan valintaparametreja kuin komentoon plot

Kysymys: Mikä seuraavista ei ole funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx -0.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1 \approx 2.225\)
- \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 \approx 0.225\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x real

k = exp(sin(x));

f = diff(k,x)

g = diff(f,x);

t = solve(g,x);

X = -2:.06:5;

F = subs(f,x,X);

T = subs(f,x,t);

plot(X, F, t, T,'r*')

grid on


Komennot piirtävät erään funktion \(f\) kuvaajan. Alle on listattuna likiarvot viidelle pisteelle. Niiden joukossa ovat funktion \(f\) kriittisten pisteiden likiarvot. Kaikki listatut eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Mitä funktiolle \(k\) tehdään, kun sen avulla määritetään \(f\)? Onko funktion \(k\) käyttö ollut oleellista tämän tehtävän kysymyksen tai kuvan kannalta?
- Mitä täsmälleen komennolla solve on ratkaistu komentosarjassa? Näkyykö ratkaisu jotenkin kuvassa?
- Miten tässä tehtävässä suoritettavaan lasketaan vaikuttaa se, että komennon syms lisäparametrina on real? Muuttuisiko laskennassa tai kuvassa jotain, jos tätä lisäparametria ei käytetä?
- Saatko funktion \(f\) lausekkeen näkymään komentoikkunassa? Entä likiarvon tai likiarvot luvu(i)sta, jo(t)ka on talletettu muuttujaan t? Vihje: Miten komento double liittyy likiarvoihin?

Kysymys: Mikä seuraavista on maksimipiste?

Huom. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit. Voit tarvittaessa myös suurentaa kuvaikkunaa
- \( x=0 \)
- \( x \approx 2,48 \)
- \( x \approx -1,57 \)
- \( x \approx 1,57\)
- \( x \approx 0,67 \)
A: \( x \approx 0,67 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x

f = (x-1)^2*nthroot(x,3)

g = diff(f,x)

Xf = -1:0.01:1;

Xg = 0.005:.01:1;

F = subs(f,x,Xf);

G1 = subs(g,x,Xg);

G2 = subs(g,x,-Xg);

figure(3)

plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')

grid on


Komennot piirtävät saman funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) (sinisellä) ja sen derivaatan \(g=f'\) (punaisella) kuin edellisessä kysymyksessä, mutta piirtopisteitä on tiheämmin ja piirretään vain välillä [-1,1]. Äsken väärin piirretty kuvaaja näyttää nyt vähän enemmän siltä kuin pitäisi.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Miksi eri funktioiden kuvaajille on määritelty erilliset piirtopisteiden \(x\)-koordinaatit? Miksi derivaattafunktiolle on laskettu kahdet eri \(y\)-koordinaatit?
- Miksi samaan kuvaan on pystynyt piirtämään useita käyriä, vaikka koodissa ei ole käytetty edellisen kuvan säilyttävää komentoa hold on?
- Jos et ole edellisten vastausten lukitsemisen yhteydessä sulkenut edellisissä kysymyksissä avattuja kuvaikkunoita, pitäisi kuvaikkunoiden olla vielä jäljellä, mahdollisesti tässä tehtävässä avatun kuvaikkunan alla. Mitä komentoa tai komentoja käyttämällä saat tässä vaiheessa piirrettyä esimerkiksi kysymyksen 1 kuvaikkunaan vielä yhden kuvaajan lisää?

Tehtävä: Valitse täsmälleen kaksi vaihtoehtoa, jotka pitävät nyt paikkansa.
- Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla.
- Funktiolla \(f\) on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \).
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \).
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla.; Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \).

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x

f = (x-1)^2*nthroot(x,3)

g = diff(f,x)

X = -3:.07:3;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(2)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')

grid on


Nämä komennot kirjoittavat funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) ja sen derivaatan \(g=f'\) lausekkeet komentoikkunaan ja piirtävät kuvaajat samaan kuvaan. Funktio \(f\) on piirretty sinisellä ja derivaatta \(g\) punaisella. Tehtävää varten piirtopisteiden \(x\)-koordinaatit on tarkoituksella valittu niin, että yksi kuvaajista ei piirry ihan niinkuin sen pitäisi.

Huom. Voit halutessasi kirjoittaa koodin lisäksi komentoikkunaan komennon pretty(g), jolloin näet lasketun derivaatan ehkä hiukan helpommin luettavassa muodossa.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Jos olet komentoikkunan sijaan kirjoittanut koodin Matlabin Live Editorin ikkunaan ja ajanut ne siellä, toimiiko yllä mainittu komento pretty Live Editorissa samalla tavoin kuin komentoikkunassa?
- Miksi on käytetty komentoa nthroot sen sijaan, että kerrottaisiin lausekkeella x^(1/3)? (Katso dokumentaatiosta esimerkkitapaukset siltä nthroot-sivulta, joka ei liity Symbolic Math Toolboxiin.)
- Funktion \(f\) lauseketta ei ole talletettu symboliseen funktiorakenteeseen f(x), vaan muuttujaan f. Toimisiko koodi, jos käytettäisiin funktiorakennetta? Entä silloin, jos lisäksi vaihdettaisiin vektorin F määritteleväksi riviksi F=f(X)?

Kysymys: Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Toinen kuvaajista leikkaa itseään eli tekee silmukan.
- Funktion \(f\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
- Funktion \(f\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
A: Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all, close all

syms x h

f = exp(sin(x))

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(1)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')

grid on


Avautuvaan kuvaikkunaan on piirretty kahden funktion kuvaajat.

Alla olevan varsinaisen kysymyksen lisäksi voit pohtia myös seuraavia:
- Miksi funktiota \(f\) ei ole kirjoitettu koodiin muodossa e^sin(x)? Voisiko saman funktion saada aikaan kirjoittamalla niin? Entä voiko kirjoittaa exp^sin(x)?
- Mitä funktiolle \(f\) tehdään, jotta saadaan funktio \(g\) ?
- Mitä tekee komento subs?
- Voisiko komennon figure(1) jättää nyt pois? Entä muuttuisiko jotain, jos kirjoitettaisiin figure ilman määrettä (1)?

Kysymys: Missä pisteessä kahdella piirretyllä kuvaajalla on sama tangenttisuora? Tangenttisuoraa ei ole piirretty, mutta asian voi kuvasta päätellä.
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

int(f,x)

int(f,x,0,5)

integral(f,0,5)



Komento \(\mathtt{int}\) on Symbolic Math Toolboxiin liittyvä symbolisen integroinnin komento. Komento \(\mathtt{integral}\) on Matlabin peruskomento numeeriseen laskentaan eli määrätyn integraalin arvon approksimointiin. Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\ln(x)^2\) integraalifunktiota Matlab ei osaa laskea. Lasketaan välillä \(\left(0,5\right)\) numeerinen approksimaatio.

Komento \(\mathtt{integral}\) tarvitsee toimiakseen funktion syöttämisen ns. funktiokahvan avulla eli muodossa \(\mathtt{f=@(x)...}\). Myös \(\mathtt{int}\) hyväksyy tämän syötteen. Funktiokahvassa on laskutoimitusten *, / ja ^ edessä piste, joka kertoo, että matriiseihin liittyvät laskut hoidetaan alkioittain eikä koko matriisi kerralla. Komento \(\mathtt{integral}\) muodostaa käytön aikana approksimaatiopisteiden vektorin, joka syötetään sisälle funktioon, ja vektorit Matlab käsittelee matriiseina, joten jos funktiokahva ei sisältäisi pisteitä, saataisiin virheilmoitus. Matriisilaskutoimituksista tarkemmin kurssilla Vektorit ja matriisit.

Mikä seuraavista on Matlabin antama approksimaatio?
- \(1.9475\)
- \(1.4723\)
- \(2.3151\)
- \(0.3289\)
- \(0.6824\)
A: \(1.9475\) / \(1.4723\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

int(sqrt(1+x^3-x^5),x)



Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa. Live Editor käynnistetään painamalla Home-välilehden painiketta New Live Script. Harmaa alue on komentojen kirjoitusta varten, ja komennot ajetaan Live Editor -välilehden Run-nappia painamalla.
- Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Not computable.
- The command you entered has failed.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2 \approx -0.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1 \approx 2.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

syms x h

f = exp(sin(x))

m = (subs(f,x,x+h)-f)/h

g = limit(m,h,0)

X = -5:.06:5;

G = subs(g,x,X);

figure(1), plot(X, G)

grid on



Komennot piirtävät erään funktion \(g\) kuvaajan. Alle on listattuna viisi pistettä, joiden väitetään olevan funktion kriittisiä pisteitä. Kaikki niistä eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on. Mikä on funktion \(g\) lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? Sinun kannattaa ensin tunnistaa, mitkä pisteet ovat oikeasti niitä, mitä väitetään ja valita niistä lähin pisteelle \(x=0\). Satulapisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, joka on kriittinen, mutta ei ole lokaali ääriarvopiste.

Vihje: (Pitäisi toimia myös Matlab Onlinessa.) Voit suurentaa kuvaikkunan. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit.
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

figure(4), fplot(f,[-3,3])

hold on, grid on

fplot(g,[-3,3])

hold off



Piirretään vielä kerran sama kuva kuin edellä, mutta toisella tavalla käytettävällä piirtokomennolla. Se muodostaa itse piirtopisteensä. Toinen ero on, että yhdellä komennolla voi piirtää vain yhden kuvaajan. Jos sinä tai julkisessa käytössä olevalla koneella mahdollisesti joku toinen opiskelija ei ole muuttanut oletuspiirtovärejä toisiksi, funktio \(f\) pitäisi olla piirrettynä sinisellä ja sen derivaatta \(g=f'\) punaisella. Taaskaan ei kuva piirry täysin oikein. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion \(f\) ja derivaatan \(g=f'\) kuvaajat on piirretty täysin oikein välillä [-3,3].
- Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.
- Derivaatta \(g=f'\) ei ole määritelty välillä [-3,0), mutta se on piirretty siellä.
- Derivaatan \(g=f'\) nollakohdat .
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole nollakohtia.
A: Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

Xf = -3:.01:3;

Xg = .01:.01:3;

F = subs(f,x,Xf);

G1 = subs(g,x,Xg);

G2 = subs(g,x,-Xg);

figure(3)

plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')

grid on



Komennot piirtävät saman funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) (sinisellä) ja sen derivaatan \(g=f'\) (punaisella) kuin edellisessä kysymyksessä, mutta piirtopisteitä on tiheämmin ja vain välillä [-3,3]. Yksi kuvaajista ei ole vieläkään täysin sen näköinen, kuin sen pitäisi olla, mutta sen esitys on jo selvästi parempi.

Kaikki seuraavat väitteet esittelevät tilanteita, joiden perusteella tiedetään, että jokin funktio ei ole kaikkialla derivoituva. Valitse TASAN KAKSI vaihtoehtoa, jotka pätevät nyt käsiteltävän funktion tapauksessa.
- Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.
- Funktiolla \(f\) on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.; Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(2)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')



Nämä komennot tuottavat funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) ja sen derivaatan kuvaajat samaan kuvaan. Funktio \(f\) on piirretty sinisellä ja derivaatta \(g=f'\) punaisella. Ennen viimeisenä olevan piirtokomennon käyttöä muodostetaan vektori piirtopisteiden \(x\)-koordinaateista sekä vektorit funktion \(f\) ja sen derivaatan \(g=f'\) arvoista. Nyt \(x\)-koordinaatit on tarkoituksella valittu niin, että yksi kuvaajista ei piirry ihan niinkuin sen pitäisi. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?

Huomaa, että sinun tarvitsee tutustua myös derivaatan lausekkeeseen, jotta voisit varmuudella vastata tähän kysymykseen. Voit halutessasi kirjoittaa yllä olevien lisäksi komentoikkunaan komennon \(\mathtt{pretty(g)}\), jolloin näet lasketun derivaatan ehkä hiukan helpommin luettavassa muodossa.
- Toinen kuvaajista leikkaa itseään eli tekee silmukan.
- Funktion \(f\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
- Funktion \(f\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
A: Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x h

f = exp(sin(x))

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(1)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')

grid on



Avautuvaan kuvaikkunaan on piirretty kaksi käyrää. Mikä seuraavista on käyrien leikkauspiste?
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä seuraavat komennot Matlab-ohjelman komentoikkunaan ja tulkitse näkemäsi tulos. Komennot käsittelevät funktiota \(f\) jollain tavalla. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x h

f=x^3+x^2+x+1

m=(subs(f,x,x+h)-f)/h;

vastaus=limit(m,h,0)



Kun yllä olevat komennot syötetään Matlabissa, mitä funktiolle \(f\) on tapahtunut siinä tulosteessa, jonka nimeksi on annettu "vastaus"?
- Funktiosta \(f\) on piirretty kuva.
- Funktiolle \(f\) on laskettu raja-arvo lähestyttäessä pistettä \(x=0\).
- Funktio \(f\) on derivoitu.
- Alkiolle \(0\) on etsitty alkukuva kuvauksessa \(f\).
- Funktiolle \(f\) on etsitty yksi tai useampi nollakohta.
A: Funktio \(f\) on derivoitu.

Q: Vastaa kyselyyn, joka koskee todistamiseen liittyviä ajatuksia. Kysely löytyy osoitteesta https://moodle.helsinki.fi/mod/feedback/view.php?id=1678092.

Kyselyyn vastaaminen kestää noin 10 minuuttia. Saat siitä yhden kurssipisteen. (Huomaa, että yhden kurssipisteen painoarvo on enemmän kuin yhden tehtäväpisteen.)
- Vastasin kyselyyn
- En vastannut kyselyyn
A: Vastasin kyselyyn
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Mikä on funktion \(e^{x}\) Taylorin sarja origossa?
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.\)
- \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
- \(0\)
- \(1\)
A: \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\quad\quad n\in \mathbb{N}.\)
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.