Title: Harjoitus 2

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Perustele, miksi on / ei ole, kun palautat tehtävän ratkaisut PDF:nä Moodleen.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

On annettu funktio \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (f \circ f)(x) & = & f(f(x)) \\ (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f \circ f)([value]) & = & ([value]^[value]+1)^[value] + 1 = [value]^[value] + 1 \\ (f\circ f)([value]) & = & [value] \end{eqnarray*} \)

\(\text{Täytä seuraavan induktiotodistuksen tyhjät kohdat. Tee tehtävä vaihe kerrallaan kärsivällisesti edeten.} \)
\(\text{Tehtävää kannattaa yrittää, vaikkei sitä kokonaan osaisikaan, sillä jokaisesta oikein menneestä kohdasta saa 0,125 pistettä.} \)

Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \]

Tässä merkintä \( \sum_{i=1}^{n}2i \) tarkoittaa summaa \( \sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n \).

\( \MATHCHECK!!!! \)

\( \text{Todistus.} \)

\( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret.
Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i =\)
ja oikea puoli on , joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \).

\( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen
\( \sum_{i=1}^{k}2i =\) .

\( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) .

\( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \)
\( \sum_{i=1}^{k+1}2i = \) \( + \sum_{i=1}^{k}2i = \) \( + \) \( = \) .

Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.
Feedback: Mallivastaus: Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille \( n \in \mathbb{N} \) pätee \[ \sum_{i=1}^{n}2i=n(n+1). \] \( \text{Todistus.} \) \( \textbf{Alkuaskel}: \) Osoitetaan esimerkin kautta, että yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret. Kun \( n = 1\) , niin yhtälön vasen puoli on \( \sum_{i=1}^{1}2i = 2 \cdot 1 = 2\) ja oikea puoli on \( 1 \cdot (1+1) = 2 \), joten vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli ja näin ollen väite on tosi, kun \( n=1 \). \( \textbf{Induktio-oletus}: \) väite on tosi, kun \( n = k \), toisin sanoen \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1)\). \( \textbf{Induktioväite}: \sum_{i=1}^{k+1}2i = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) \). \( \textbf{Todistus induktioväitteelle:} \) "Pilkotaan" summa ensin siten, että viimeinen alkio otetaan summalausekkeen ulkopuolelle: \( \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i \). Käytetään sitten induktio-oletusta: \( \sum_{i=1}^{k}2i = k(k+1) \). \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{k+1}2i = 2(k+1) + \sum_{i=1}^{k}2i = 2(k+1) + k(k+1) = (k+1)(k+2). \) Ylläolevan ja induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. M.O.T.

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N} \, |\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Olkoot \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x)=[value] \) ja \( \displaystyle g:M_g\to \mathbb{R}, \quad g(x)=[value] \) reaalifunktioita.

\( \textbf{(a)} \) Määritä \(f^{-1}([value]) \). \( \textbf{(b)} \) Määritä funktion \(g\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_g\subset \mathbb{R} \). \( \textbf{(c)} \) Määritä \(g^{-1}([value]) \).

Anna kaikkien kohtien vastaus JOUKKONA. Joukko kirjoitetaan kaarisulkeiden avulla. Esim. luvusta a muodostuva joukko kirjoitetaan {a} ja luvuista a,b ja c muodostuva joukko kirjoitetaan {a,b,c}. \( \textbf{(b)} \) -kohdassa anna vastaukseksi se joukko, jonka alkio(t) eivät kuulu funktion \(g\) määrittelyjoukkoon.

\( \textbf{(a)} =\) \( \textbf{(b)} = \mathbb{R} \setminus \) \( \textbf{(c)} =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{(a)} \) Pisteen [value] alkukuva on joukko \[ \begin{align} f^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : f(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\} =[value]. \end{align} \] \( \mathbf{(b)} \) Funktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa, eli pisteessä \(x=[value]\). Näin ollen \[ M_{g}=\mathbb{R} \backslash \{[value]\}. \] \( \mathbf{(c)} \) Pisteen \( [value] \) alkukuva on joukko \[ \begin{align} g^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : g(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]\}=[value]. \end{align} \]