Title: Logaritmi

Laske

\[ \ln(e^{[value]} \cdot e^{[value]})= \]
Feedback: Mallivastaus: \[ \ln(e^{[value]} \cdot e^{[value]})= \ln(e^{[value]+[value]}) = ([value]+[value]) \cdot \ln(e) = ([value]+[value]) \cdot 1 = [value]+[value] = [value] \]

Mistä muuttujan x arvosta alkaen lauseke \( \log_[value](x) \) on positiivinen?

Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on muuttujan tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Vastaus:

Määritä muuttujan \( x \) arvo, kun \( \log_[value](x)=[value] \).

Voit antaa vastauksen myös potenssimuodossa.

\( x= \)

Ratkaise yhtälö \( \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value])=[value] \).

Anna vastaus tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(), esim. sqrt(2). Mieti, miksi vain yksi x:n arvo toteuttaa yhtälön.

\( x= \)

Solve the exponential equation \( [value]=[value] \).Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).Lös exponentialekvationen \( [value]=[value] \).

The number \(e\) (the base of the natural logarithm) is written as e. For example, \( \displaystyle \frac{2e+1}{3e-4} \) is typed (2*e+1)/(3*e-4).Luonnollisen logaritmin kantaluku \(e\) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( \displaystyle \frac{2e+1}{3e-4} \) kirjoitetaan (2*e+1)/(3*e-4).Talet \(e\) (basen för den naturliga logaritmen) matas in som e. Till exempel \( \displaystyle \frac{2e+1}{3e-4} \) skrivs (2*e+1)/(3*e-4).

\( x= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( \ln([value]-x) = 1+\ln([value]+x) \) \( \ln([value]-x)-\ln([value]+x) = 1 \) Using the facts \( \ln(e)=1 \) and \( \displaystyle \ln(a)-\ln(b)=\ln \left( \frac{a}{b} \right) \), we can express the equation in the formKäyttämällä hyväksi tietoja \( \ln(e)=1 \) ja \( \displaystyle \ln(a)-\ln(b)=\ln \left( \frac{a}{b} \right) \), saadaan yhtälö kirjoitettua muotoonUtnyttja att \( \ln(e)=1 \) och \( \displaystyle \ln(a)-\ln(b)=\ln \left( \frac{a}{b} \right) \) för att omforma ekvationen: \[ \begin{eqnarray*} \ln \left( \frac{[value]-x}{[value]+x} \right) &=& 1 \\ \frac{[value]-x}{[value]+x} & = & e \\ [value]-x & = & e([value]+x) \\ [value]-x & = & [value]e+ex \\ (e+1)x & = & [value]-[value]e \\ x & = & \frac{[value]-[value]e}{e+1} \end{eqnarray*} \]

Solve the logarithmic equation \( \ln(x)=[value] \).Ratkaise logaritmiyhtälö \( \ln(x)=[value] \).Lös logaritmekvationen \( \ln(x)=[value] \).

The number \(e\) (the base of the natural logarithm) is written as e. For example, \( 5e^2 \) is typed 5*e^2.Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( 5e^2 \) syötetään kirjoittamalla 5*e^2.Talet \(e\) (basen för den naturliga logaritmen) matas in som e. Till exempel \( 5e^2 \) skrivs 5*e^2.

\( x= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The logarithm is only defined for positive numbers, so the solutions must satisfy \( x>0 \).Logaritmi voidaan ottaa vain positiivisesta luvusta, joten alkuehto on \( x>0 \).Logaritmens definitionsmängd är de positiva talen, så eventuella lösningar bör uppfylla \( x>0 \). Using the definition of the logarithm, \( (\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x) \), it follows that \( x=e^[value] \).Logaritmin määritelmän \( (\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x) \) avulla saadaan, että \( x=e^[value] \).Från logaritmens definition \( (\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x) \) följer att \( x=e^[value] \). The solution is on the interval \( x>0 \) and satisfies the original equation.Tämä kuuluu määrittelyjoukkoon \( (x>0) \) ja toteuttaa alkuperäisen yhtälön.Talet är positivt och uppfyller den ursprungliga ekvationen. The step above can also be explained by taking the exponential function on both sides of the equation. Strictly increasing and decreasing functions (in their respective domains) may be applied to equation solving without inducing any "incorrect solutions". The reasoning looks as follows: Yllä oleva välivaihe voidaan selittää myös ottamalla yhtälön molemmat puolet eksponenttifunktion argumenteiksi. Aidosti kasvavia ja väheneviä funktioita voidaan (asianmukaisissa määrittelyjoukoissaan) soveltaa yhtälön molempiin puoliin ilman, että yhtälönratkaisu tuottaa "virheellisia ratkaisuja". Päättely näyttää siis seuraavanlaiselta: Steget ovan kan också förklaras som att vi tar exponentialfunktionen på bägge sidor av ekvationen. Strängt växande eller avtagande funktioner (med lämplig definitionsmängd) kan tillämpas på bägge sidor av en ekvation utan att tillföra "falska lösningar". Resonemanget ser alltså ut så här: \begin{eqnarray*}\ln(x)&=&[value]\qquad \bigl|\bigr|\ e^{\wedge}\\ e^{\ln(x)}&=&e^[value]\\ x &=& e^[value] \end{eqnarray*}

Solve the inequality \( \ln(x)<[value] \).Ratkaise epäyhtälö \( \ln(x)<[value] \).Lös olikheten \( \ln(x)<[value] \).

Give your answer as an inequality, \( x<a \) or \( x>a \), where \( a \) is an exact value.Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.Ge svaret som en olikhet, \( x<a \) eller \( x>a \), där \( a \) är ett exakt värde.

For natural logarithm, write ln() with the argument inside the brackets. For the number \( e \), type e.Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e.Den naturliga logaritmen matas in som ln(), talet \( e \) som e.

Answer: Vastaus: Svar:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Since the logarithm is only defined for positive numbers, the solutions must satisfy the initial condition \( x>0 \).Logaritmifunktio on määritelty vain positiivisille luvuille, joten ratkaisujen täytyy toteuttaa alkuehto \( x>0 \).Logaritmen är bara definierad för positiva tal så ett villkor är att \( x>0 \). Since the exponential function is strictly increasing, the direction of the inequality remains unchanged, when we take the exponential function on both sides: Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, niin epäyhtälömerkin suunta säilyy, kun epäyhtälön kummatkin puolet otetaan eksponenttifunktion argumenteiksi: Eftersom exponentialfunktionen är strängt växande gäller olikheten, i samma riktning, om vi tar exponentialfunktionen av bägge leden: \begin{eqnarray*} \ln(x) & < & [value] \qquad\bigl|\bigr|\ e^{\wedge}\\ x & < & e^[value]. \end{eqnarray*} In this case, the two conditions can be written as a double inequality: Tässä tapauksessa ehdot on mahdollista esittää kaksoisepäyhtälönä: I det här fallet kan man gärna ange de två villkoren som en dubbelolikhet: \[0<x<e^[value].\] (An alternative way to solve the inequality is to first solve the corresponding equation, move all the terms on the left side and make a sign chart.)(Vaihtoehtoinen tapa ratkaista epäyhtälö on ratkaista ensin sitä vastaava yhtälö, siirtää kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle ja tarkastella lausekkeen arvoja merkkikaavion avulla.)(Ett alternativt sätt att lösa olikheten är att lösa motsvarande ekvation, flytta alla termer till vänstra ledet och göra upp ett teckenschema.)

Solve the inequality \( [value]^x>[value] \).Ratkaise epäyhtälö \( [value]^x>[value] \).Lös olikheten \( [value]^x>[value] \).

Give your answer as an inequality, \( x<a \) or \( x>a \), where \( a \) is an exact value.Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.Ge svaret som en olikhet, \( x<a \) eller \( x>a \), där \( a \) är ett exakt värde.

For natural logarithm, write ln() with the argument inside the brackets. For the number \( e \), type e.Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) kirjoitetaan e.Den naturliga logaritmen matas in som ln(), talet \( e \) som e.

Answer: Vastaus: Svar:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: Taking the logarithm of both sides of the inequality (think why this is allowed) and using the fact \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), we getOttamalla epäyhtälöstä puolittain logaritmi (mieti, miksi näin saadaan tehdä) ja käyttämällä hyväksi tietoa \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \), saadaanTa logaritmen på bägge sidor av olikheten (fundera på varför detta är möjligt) och utnyttja egenskapen \( \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \): \begin{eqnarray*}\ln([value]^x) & > & \ln([value]) \\ x\cdot \ln([value]) & > & \ln([value]) \\ x & > & \frac{\ln([value])}{\ln([value])}.\end{eqnarray*}

For which values of \( x \) does it hold that \( \log_[value](x) \) is positive? Mistä muuttujan \( x \) arvosta alkaen lauseke \( \log_[value](x) \) on positiivinen? För vilka värden på \( x \) är uttrycket \( \log_[value](x) \) positivt?

Give your answer as an inequality, \( x<a \) or \( x>a \), where \( a \) is an exact value.Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on muuttujan tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.Ge svaret som en olikhet, \( x<a \) eller \( x>a \), där \( a \) är ett exakt värde.

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The problem can be expressed as the inequality \( \log_[value](x) > 0\). Take [value] as the base of both sides of the inequality. The direction of the inequality remains unchanged (why?): Esitä tehtävä epäyhtälönä \( \log_[value](x) > 0\). Ota luku [value] epäyhtälön kummankin puolen kantaluvuksi. Epäyhtälön suunta säilyy samana (mieti miksi): Skriv problemet som olikheten \( \log_[value](x) > 0\). Ta [value] upphöjt i vänstra ledet och [value] upphöjt i högra ledet. Olikheten bibehålls då med samma riktning (fundera på varför): \begin{eqnarray*} \log_[value](x) & > & 0 \qquad \bigl|\bigr| \ [value]^{\wedge}\\ [value]^{\log_[value](x)} & > & [value]^0 \\ x & > & 1. \end{eqnarray*}

Find the value of \( x \), when \( \log_[value](x)=[value] \).Määritä muuttujan \( x \) arvo, kun \( \log_[value](x)=[value] \).Bestäm värdet på variabeln \( x \) då \( \log_[value](x)=[value] \).

You can also give your answer in exponential form.Voit antaa vastauksen myös potenssimuodossa.Du kan också ge svaret i potensform.

\( x= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: According to the definition, \( \log_k(x)=a \) if and only if \( x=k^a \), soMääritelmän mukaan \( \log_k(x)=a \) jos ja vain jos \( x=k^a \), jotenEnlit definitionen är \( \log_k(x)=a \) om och endast om \( x=k^a \), så \[\log_[value](x) = [value] \qquad \Leftrightarrow \qquad x = [value]^[value]=[value].\]

Solve the equation \( \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value])=[value] \).Ratkaise yhtälö \( \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value])=[value] \).Lös ekvationen \( \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value])=[value] \).

Give your answer in exact form. Square root is written as sqrt(), e.g. sqrt(2). Think, why the equation has only one solution.Anna vastaus tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(), esim. sqrt(2). Mieti, miksi vain yksi x:n arvo toteuttaa yhtälön.Ge ett exakt värde som svar. Kvadratroten matas in som sqrt(), till exempel \(\sqrt{2}\) skrivs sqrt(2). Fundera på varför ekvationen har endast en lösning.

\( x= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The logarithmic expressions are defined, when \( x>[value] \) and \( x>[value] \), i.e. \( x>[value] \).Logaritmilausekkeet ovat määriteltyjä, kun \( x>[value] \) ja \( x>[value] \), eli kun \( x>[value] \).Logaritmuttrycken är definierade då \( x>[value] \) och \( x>[value] \), d.v.s. då \( x>[value] \). Using the identities \( \log_{k}(a)+\log_{k}(b)=\log_{k}(ab) \) and \( \log_{k} k^c=c \), the equation can be written in the formLogaritmin laskusääntöä \( \log_{k}(a)+\log_{k}(b)=\log_{k}(ab) \) ja tietoa \( \log_{k} k^c=c \) käyttämällä saadaan yhtälö muotoonMed egenskaperna \( \log_{k}(a)+\log_{k}(b)=\log_{k}(ab) \) och \( \log_{k} k^c=c \) kan ekvationen skrivas om \[\begin{array} {rrcl} & \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value]) & = & [value] \\ \Leftrightarrow & \log_[value]((x-[value])(x-[value])) & = & \log_[value] [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & (x-[value])(x-[value]) & = & [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & x^2-[value]x-[value]x+[value]\cdot [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x=[value] & \text{ or } & x=[value]. \end{array}\]\[\begin{array} {rrcl} & \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value]) & = & [value] \\ \Leftrightarrow & \log_[value]((x-[value])(x-[value])) & = & \log_[value] [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & (x-[value])(x-[value]) & = & [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & x^2-[value]x-[value]x+[value]\cdot [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x=[value] & \text{ tai } & x=[value]. \end{array}\]\[\begin{array} {rrcl} & \log_[value](x-[value])+\log_[value](x-[value]) & = & [value] \\ \Leftrightarrow & \log_[value]((x-[value])(x-[value])) & = & \log_[value] [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & (x-[value])(x-[value]) & = & [value]^[value] \\ \Leftrightarrow & x^2-[value]x-[value]x+[value]\cdot [value] & = & [value] \\ \Leftrightarrow & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 1\cdot [value]}}{2} \\ \Leftrightarrow & x=[value] & \text{ eller } & x=[value]. \end{array}\] Considering these roots, only \( x=[value] \) satisfies the condition \( x>[value] \) (the domain of the function is \( ][value], \infty[ \)).Näistä juurista vain \( x=[value] \) toteuttaa ehdon \( x>[value] \) (yhtälön määrittelyjoukko on \( ][value], \infty[ \)).Av dessa rötter uppfyller endast \( x=[value] \) kravet \( x>[value] \) (definitionsmängden för ekvationen är \( ][value], \infty[ \)).

Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Huom! Luonnollisen logaritmin kantaluku \(e\) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( \frac{2e+1}{3e-4} \) kirjoitetaan (2*e+1)/(3*e-4).

\( x= \)

Ratkaise eksponenttiyhtälö \( [value]=[value] \).

Huom! Vastauksessasi ln() merkitsee luonnollista logaritmia, esimerkiksi ln(32).

\( x= \)

Ratkaise logaritmiyhtälö \( \ln(x)=[value] \).

Huom! Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e. Esimerkiksi vastaus \( 5e^2 \) syötetään kirjoittamalla 5*e^2.

\( x= \)

Ratkaise epäyhtälö \( \ln(x)<[value] \).

Anna vastauksesi muodossa \(x<a \) tai \( x>a \) missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >. Pohdii myös, mistä valmiiksi annettu ehto \(x>0\) johtuu (syytä ei tarvitse kirjoittaa vastaukseen).

Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) merkitään e.

Vastaus: ja \(x>0\).

Ratkaise epäyhtälö \( [value]^x>[value] \).

Anna vastauksesi muodossa \( x<a \) tai \( x>a \), missä \( a \) on juuren tarkka arvo. Erisuuruusmerkit merkitään < tai >.

Huom! Merkitse luonnollista logaritmia ln(), esimerkiksi ln(32). Luonnollisen logaritmin kantaluku \( e \) kirjoitetaan e.

Vastaus: