Title: APK-tentti

Tämän sivun tehtävistä ensimmäinen on automaattitarkasteinen ja kaksi muuta ovat palautettavia tehtäviä (0-6 tenttipistettä per tehtävä). Huomaa, että toisella sivulla on lisäksi automaattitarkasteisia tehtäviä (0-1p per tehtävä).

Kirjoita tehtävien 2-3 ratkaisuihisi välivaiheet ja perustelut huolellisesti. Palautettavat tehtävät pisteytetään välivaiheiden mukaisesti.

Palauta tänne tenttiratkaisut 17.12. tentissä (linkin löydät myös Moodlen tenttiosiossa tenttilinkin alta) ennen tenttiajan päättymistä!

Palauta tänne tenttiratkaisut 17.12. tentissä (linkin löydät myös Moodlen tenttiosiossa tenttilinkin alta) ennen tenttiajan päättymistä!

Funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) gradientti pisteessä \((x,y)\) on \(([value],[value])\).

Funktion arvo kasvaa nopeimmin suuntaan

Funktion arvo vähenee nopeimmin suuntaan

Funktion arvo ei muutu lähdettäessä suuntaan

Funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) ääriarvopisteessä \((x,y)\) gradientista tiedetään, että

Jos funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) osittaisderivaatat ovat pisteessä \((a,b)\) nollia, niin

Funktion \(f(x,y)\) osittaisderivaatta pisteessä \((a,b)\) muuttujan \(x\) suhteen on \([value]\). Mitä seuraavista ei voi päätellä?

(a) Esitä kaksi eri polynomia, joilla molemmilla on kompleksilukujen joukossa täsmälleen neljä nollakohtaa, jotka ovat \(x=0\), \(x=[value]\), \(x=[value]+[value]i\) ja \(x=[value]-[value]i\).

(b) Todista epäsuoralla (ristiriitaan päätyvällä) todistuksella:

Jos \(n,m\in \mathbb{N}\) ja \(n^2+m^2\) on pariton luku, niin \(n\) on pariton tai \(m\) on pariton.

Jos \(a,b\in \mathbb{R}\) ja \(a\neq b\), niin \(a^2+b^2\neq 2ab\).

Jos \(a,b\in \mathbb{R}\) ja \(a\neq b\), niin \(ab\neq \dfrac{1}{4} (a+b)^2\).

Jos \(n,m\in \mathbb{Z}\) ja \(n\neq m\), niin \([value]n+[value]m\neq [value]\).

Jos \(n,m \in \mathbb{N}\) ja \([value]\) ei ole luvun \(nm\) tekijä, niin \([value]\) ei ole luvun \(n\) tekijä ja \([value]\) ei ole luvun \(m\) tekijä.

Huom. Kokonaisluku \(a\) on kokonaisluvun \(b\) tekijä, jos \(b=ac\) jollekin kokonaisluvulle \(c\).

Jos \(a,b\in \mathbb{R}_{+}\), niin \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Jos \(n\in \mathbb{N}\), niin \(\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ge \sqrt{n+1}\).

Jos \(a,b\in \mathbb{R}\) ja \(a\neq b\), niin \( \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} \neq 2\).

Jos \(a,b\in \mathbb{R}_{+}\) ja \(a\neq b\), niin \(a+b\neq 2\sqrt{ab}\).

Yhtälön \(y=[value]x\) toteuttava käyrä \(xy\)-tasolla ei leikkaa sitä käyrää, jonka pisteet toteuttavat yhtälön \([value]x^2- +[value]xy+y^2=1\).

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Rationaalifunktion \(f\) osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, joiden kertoimet ovat reaalilukuja ja korkeimman asteen termin kerroin on \(1\). Funktion \(f\) ainoa epäjatkuvuuskohta joukossa \(\mathbb{C}\) on poistuva epäjatkuuvuuskohta \(x=[value]\) ja ainoa nollakohta joukossa \(\mathbb{C}\) on \(x=[value]\). Laske

\(\displaystyle \lim_{x\to [value]} f(x)=\)

Tämän sivun tehtävät ovat palautettavia tehtäviä (0-6 tenttipistettä per tehtävä). Huomaa, että toisella sivulla on lisäksi automaattitarkasteisia tehtäviä (0-1p per tehtävä).

Kirjoita ratkaisuusi välivaiheet ja perustelut huolellisesti. Palautettavat tehtävät pisteytetään välivaiheiden mukaisesti.

Palauta tänne tenttiratkaisut 18.11. tentissä (linkin löydät myös Moodlen tenttiosiossa tenttilinkin alta) ennen tenttiajan päättymistä!

Tässä tehtävässä voi valita kahdesta vaihtoehdosta.

Toinen on hiukan monimutkaisempi, toinen helpompi, ja se näkyy maksimipisteissä. Tee tehtävän versioista vain toinen. Jos teet molemmat, saat pisteet huonommin menneen vaihtoehdon mukaan.

Vaihtoehto 1 (max 6p)

Määritellään funktio \(f(x)\) niin, että se on erotus niistä funktioista, joista ensimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\) ja jälkimmäinen antaa pisteen \(x\) etäisyyden pisteestä \([value]\). Määritä funktion \(f(x)\) integraali välillä \([[value],[value]]\).

Vaihtoehto 2 (max 4p)

Laske määrätty integraali

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( [value]x e^{x^2+1}+[value]x \right) dx.\]

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( \frac{[value]x}{x^2+1}+[value]x \right) dx.\]

\[\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{[value]}} \left( [value]x \sin(x^2+1) \cos(x^2+1)+[value]x \right) dx.\]

Perusteluksi kirjoita mitä integrointisääntöä käytät ja miten. Vastaa myös kysymykseen: Miten voit tulkita tämän määrätyn integraalin geometrisesti?

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Tämän sivun tehtävät ovat automaattitarkasteisia tehtäviä (0-1 tenttipistettä per tehtävä). Huomaa, että toisella sivulla on lisäksi palautettavia tehtäviä (0-6p per tehtävä).

Vastauslaatikon sisältävissä tehtävissä kirjoita oikea vastaus vastauslaatikkoon. Monivalintatehtävissä valitse oikea (ja vain oikea) vaihtoehto. Ole tarkkana, sillä vaikka oikeita vaihtoehtoja on vain yksi jokaisessa monivalintatehtävän osassa, valintaruutuja pystyy valitsemaan useita.

Vastaukset tallentuvat heti syöttämisen tai muuttamisen jälkeen, eli tehtävissä ei ole vastausten lukitusnappeja. Moodle ei kerro tentin aikana, menikö vastaus oikein.

Seuraava väite on epätosi. Etsi sille vastaesimerkki eli jokin yksittäinen alkio väitettä koskevasta joukosta, jolle väite ei päde.

Kaikki alkuluvut ovat parittomia.

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Minkä tahansa kokonaisluvun vastaluku on pienempi kuin luku itse.

Minkä tahansa kokonaisluvun neliö on suurempi kuin luku itse.

Luku \(n^2+1\) on alkuluku jokaiselle parilliselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Luku \(n^2-n+5\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n < 10\).

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Luku \(n^2+n+1\) on alkuluku jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n < 10\).

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Kaikki alkuluvut \(n\) välillä \(3 < n < 20\) voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi.

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Neliön ala ja piiri (=sivujen yhteispituus) ovat erisuuret aina, kun neliön sivun pituus on kokonaisluku.

Tasakylkisen kolmion piiri (=sivujen yhteispituus) on alkuluku aina, kun yhden sivun pituus on \(1\) ja kahden muun sivun pituus on mikä tahansa luonnollinen luku \(n < 10\).

Huom. Alkuluku on muotoa \(n\in \mathbb{Z}_{+}\!\setminus\{1\}\) oleva luku, jolle pätee \(\frac{n}{m}\in\mathbb{Z}_{+}\) vain jos \(m=1\) tai \(m=n\).

Funktioiden \(f(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) ja \(g(x)=[value]x\)\(+\) \(-\)\([value]\) kuvaajat eivät leikkaa minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Luku \(2n^2- +[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle kokonaisluvulle \(n\) väliltä \(-5\leq n\leq 5\).

Luku \(n^2-[value]n+[value]\) on positiivinen jokaiselle luonnolliselle luvulle \(n\leq 10\).

Lukua \(2\pi \) ei voi jakaa millään kokonaisluvulla niin, että osamäärä radiaaneina tarkoittaisi \([value]\) asteen kulmaa.

Funktion \(f(x) = [value]\) kuvaaja ei leikkaa \(x\) \(y\)-akselia minkään sellaisen \(x\) \(y\)-koordinaatin kohdalla, joka olisi kokonaisluku.

Suorakulmaisen kolmion kolmannen sivun pituus ei voi olla kokonaisluku, jos kahden muun sivun pituudet ovat \([value]\) ja \([value]\).

Tämän väitteen kumoava alkio: