Title: Tilavuus

Funktion \(f(x)=\dfrac[value]{x}\) kuvaaja välillä \([[value],[value]]\) pyörähtää suoran \(y=[value]\) ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus yhden desimaalin tarkkuudella.

\(V=\)
Feedback: Muodostuvan ympyrän säde on \(f(x)-[value]\) Tilavuus \[V=\pi\int_[value]^[value](f(x)-[value])^2dx\] \[\pi\int_[value]^[value]\left(\dfrac[value]{x}-[value]\right)^2dx=\pi\int_[value]^[value]([value]x^{-2}-[value]x^{-1}+[value])dx=\pi\Bigl/_{\!\!\![value]}^[value]([value]x^{-1}-[value]\cdot ln(x)+[value]x)\] Suoritetaan sijoitus \[\pi(([value]\cdot[value]^{-1}-[value]\cdot ln([value])+[value]\cdot[value])-([value]\cdot[value]^{-1}-[value]\cdot ln([value])+[value]\cdot[value]))\\=[value]\approx[value]\]

Funktion \[f(x)=\sqrt{{[value]\over x}}\] kuvaaja välillä \([[value],[value]]\) pyörähtää x-akselin ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus.

\(V=\)
Feedback: Tilavuus \[V=\pi\int_[value]^[value]f(x)^2dx\] \[\pi\int_[value]^[value]\left(\sqrt{{[value]\over x}}\right)^2dx=[value]\pi\int_[value]^[value]{1\over x}dx=[value]\pi\Bigl/_{\!\!\![value]}^[value]ln(x)=[value]\pi(ln([value])-ln([value]))=[value]\]

Funktion \(f(x)=\sqrt{x^2+[value]}\) kuvaaja välillä \([[value],[value]]\) pyörähtää x-akselin ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus.

\(V=\)
Feedback: Tilavuus \[V=\pi\int_[value]^[value]f(x)^2dx\] \[\pi\int_[value]^[value](\sqrt{x^2+[value]})^2dx=\pi\int_[value]^[value](x^2+[value])dx=\pi\Bigl/_{\!\!\![value]}^[value]({1\over3}x^3+[value]x)=\pi({1\over3}\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]-({1\over3}\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]))=[value]\]

Funktion \(f(x)=e^x\) kuvaaja välillä \([[value],[value]]\) pyörähtää x-akselin ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus.

\(V=\)
Feedback: Tilavuus \[V=\pi\int_[value]^[value]f(x)^2dx\] \[\pi\int_[value]^[value](e^x)^2dx=\pi\int_[value]^[value]e^{2x}dx=\dfrac{\pi}{2}\Bigl/_{\!\!\![value]}^[value]e^{2x}=\dfrac{\pi}{2}(e^[value]-e^[value])=[value]\]

Funktion \(f(x)=\dfrac[value]{x}\) kuvaaja välillä \([[value],[value]]\) pyörähtää x-akselin ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus.

\(V=\)
Feedback: Tilavuus \[V=\pi\int_[value]^[value]f(x)^2dx\] \[\pi\int_[value]^[value]\left(\dfrac[value]{x}\right)^2dx=[value]\pi\int_[value]^[value]x^{-2}dx=[value]\pi\Bigl/_{\!\!\![value]}^[value]-x^{-1}=[value]\pi(-[value]+[value])=[value]\]