Title: Derivaatta

Laske funktion \[f(x)=\frac[value][value] \] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän funktio voidaan derivoida esimerkiksi soveltamalla osamäärän derivoimissääntöä, \[ D \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2}. \] Lasketaan tätä varten osamäärän nimittäjän ja osoittajan derivaatat erikseen. \[\begin{array}{rll} D\left( [value] \right) & = & [value] \\ D\left( [value] \right) & = & [value] \\ \end{array}\] Nyt voimme laskea osamäärän derivaatan. \[\begin{array}{rll} D\left( \frac[value][value] \right) & = & \frac{([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])}{([value])^2} \\ & = & [value] \end{array}\]

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

(a) \[f(x)=[value]\]

(b) \[g(x)=[value]\]

(c) \[h(x)=[value]\]

(a)\(\quad f'\left(x\right)=\)

(b)\(\quad g'\left(x\right)=\)

(c)\(\quad h'\left(x\right)=\)
Feedback: Mallivastaus: (a) Ketjusääntö \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] \[f(x)=([value]-[value])^{[value]} \] \[ f'(x) =[value]([value]-[value])^{[value]}([value]x^{[value]}-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]([value])^{[value]}(1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value](1-[value])^{[value]}x^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}) \] \[=[value]x^{[value]}(1-[value])^{[value]}([value]-[value]x^{[value]}).\] (b) Osamäärän derivaatta \[\Big( \frac{f}{g}\Big) '(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}: \] \[g(x)=\frac{x^3+1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x^3+1}{(1+x^2)^{1/2}} \] \[g'(x)=\frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-(x^3+1)\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} 2x}{[(1+x^2)^{1/2}]^2 } \] \[=\frac{3x^2\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x(x^3+1)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \] \[=\frac{3x^2+3x^4-x^4-x}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{2x^4+3x^2-x}{(1+x^2)^{3/2}}. \] (c) Tulon derivaatta \[(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \] \[h(x)=\cos([value]x)\sin([value]x) \] \[h'(x)=-\sin([value]x)\cdot [value]\cdot \sin([value]x)+\cos([value]x)\cdot \cos([value]x)\cdot [value] \] \[=-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot \sin([value]x)+[value]\cdot \cos([value]x)\cdot \cos([value]x). \]

Määritä seuraavien funktioiden derivaatat

(a) \[ f(x)= \cos(x^[value]) \] (b) \[ g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]} \] (c) \[ h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2}) \]

(a):\(~f'(x)=~\)

(b):\(~g'(x)=~\)

(c):\(~h'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Ketjusääntö: \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). \] (a) \[f(x)= \cos(x^{[value]}) \] \[f'(x)=-\sin(x^{[value]})\cdot [value][value]=-[value][value]\cdot \sin(x^{[value]}). \] (b) \[g(x)=\sqrt{x^[value]+x^[value]}=(x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \] \[g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{-1/2}\cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \] (c) \[h(x)=\cos((x^[value]+x^[value])^{3/2})\] \[h'(x)=-\sin((x^{[value]}+x^{[value]})^{3/2})\cdot \frac{3}{2} \cdot (x^{[value]}+x^{[value]})^{1/2} \cdot ([value][value]+[value][value]) \] \[=[value]. \]

Laske funktioiden \[\begin{eqnarray} f(x)&=&\ln([value]+[value]e^{[value]x}), \\ g(x)&=&[value]\ln ([value]\cos ([value]x)), \\ h(x)&=&[value]\arctan([value]x). \end{eqnarray}\] derivaatat.

Funktiot annetaan esim. muodossa \({\tt e\textrm{^}(2*x)}\), \({\tt tan(3*x)}\) ja sin/cos täytyy sieventää muotoon tan.

\(f'(x)=~\) |
\(g'(x)=~\) |
\(h'(x)=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Ketjusääntö \[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x): \] Koska \(D\ln (x)=1/x\) ja \(De^x=e^x\), niin \[f'(x)=([value]+[value]e^{[value]x})^{-1}\cdot [value]\cdot [value] e^{[value]x} =[value].\] Vastaavasti \[g'(x)=\frac{[value]}{[value]\cos ([value]x)}\cdot [value]\cdot (-[value]\sin ([value]x))=[value].\] Koska \(D\arctan x =1/(1+x^2)\), niin \[h'(x)=\frac{[value]}{1+([value]x)^2}\cdot [value]=[value].\]

Laske funktion \[f(x)= [value]\] derivaatta.

\(f'(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Tehtävän funktio \(f\) on yhdistetty funktio, joten voimme soveltaa ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan \[ D(u \circ s) (x) = s'(x) \cdot u'(s(x)). \] Ketjusääntöä täytyy soveltaa tehtävän funktioon moneen kertaan. \[\begin{array}{rll} D f(x) & = & D \text{ln}\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \\ & = & D\left(\sin([value]x)+\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left(D\sin([value]x)+D\cos^2([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)+D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \left([value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\right) \cdot \frac{1}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \\ & = & \frac{[value]\cdot \cos([value]x)-[value]\cdot \sin([value]x) \cos([value]x)}{\sin([value]x)+\cos^2([value]x)} \end{array}\] Ensimmäisenä ketjusääntöä sovellettiin valinnoilla \( u(x) = \text{ln}(x) \) ja \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \). Ulkofunktion derivaatta on \( u_1'(x)=\frac{1}{x} \) ja seuraavassa vaiheessa lähdettiin tutkimaan sisäfunktion \( s(x) = \sin([value]x)+\cos^2([value]x) \) derivaattaa. Ensimmäinen termi, \(\sin([value]x)\), saadaan derivoitua soveltamalla ketjusääntöä kerran valinnoilla \( u(x) = \sin(x) \) ja \( s(x) = [value]x \). Toisen termin kohdalla sovelletaan ketjusääntöä valinnoilla \( u(x) = x^2 \) ja \( s(x) = \cos([value]x) \). Tästä päädymme muotoon \(D\cos([value]x)\cdot 2\cdot \cos([value]x)\), josta täytyy enää derivoida \(\cos([value]x)\).

Määritä funktion \(f(x)=3x^4-[value]x^3+[value]x^2\) paikalliset ääriarvokohdat ja niiden tyypit. Anna vastauksena kysytyt pisteet suuruusjärjestyksessä (\(x_1 < x_2 < x_3\)) ja niissä lasketut toisen derivaatan arvot.

\(x_1=~\) | \(x_2=~\) | \( x_3=~\)
\(~~f''(x_1)=~\) | \(~~f''(x_2)=~\) | \(~~f''(x_3)=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktion derivaatta on \(f'(x)=12x^3-[value]x^2+[value]x=12x(x-[value])(x-[value])\), joten mahdolliset ääriarvokohdat ovat \(x_1=0\), \(x_2=[value]\) ja \(x_3=[value]\). Koska \(f''(x)=36x^2-[value]x+[value]\), niin \(f''(0)=[value]>0\), \(f''([value])=[value]<0\) ja \(f''([value])=[value]>0\). Kaikki ovat siis paikallisia ääriarvokohtia; keskimmäinen on paikallinen maksimikohta ja muut paikallisia minimikohtia.

Laske käsin luvun \(\sin([value])\) likiarvo. Käytä hyväksi tietoja, että \(\sin{(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}\) ja \(\cos{(\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Lisäksi käytä approksimaatioita \(\sqrt{3}\approx\frac{173}{100}\) ja \(\pi\approx\frac{314}{100}\) (Huomaa, että \(\pi\):n approksimaatio vaikuttaa ainoastaan välin pituuteen \(h\)). Tee tehtävä linearisoimalla funktiota \(f(x)=\sin{(x)}\). Ohje: Approksimaation tulee perustua derivaatan määritelmästä saatavan seuraavan kaavan käyttöön \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.\] Käyttämällä yllä annettuja approksimaatteja, vastaukseksi tulee murtoluku. Vastauksen voi antaa, joko tarkkana arvona tai likiarvona vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\(\sin([value])\approx~\) |
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin funktiolle \(\sin(x)\) linearisointi pisteen \(\frac{\pi}{6}\) ympäristössä. Linearisointia varten tarvitsemme funktion derivaatan: \[ \sin ' (x) = \cos(x) \] Linearisoinnin saamme laskettua kaavalla \[ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h,\] jossa \(x\) on kehityskeskus ja \(h\) on siirtymä kehityskeskuksesta. Nyt siis \(x=\frac{\pi}{6}\) ja \(f=\sin\). Linearisointi on siis \[\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{6}+h\right) &\approx& \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{\frac{173}{100}}{2}\cdot h \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot h \\ \end{eqnarray}\] Haluamme arvioida sinifunktion arvoa pisteessä [value], joten meidän täytyy laskea sen etäisyys pisteestä \(\frac{\pi}{6}\). \[\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6}+h &=& [value] \\ h &=& [value]-\frac{\pi}{6} \\ h &=& [value]-\frac{\frac{314}{100}}{6} \\ h &=& [value]-\frac{314}{600} \\ h &=& [value] \\ \end{eqnarray}\] Nyt voimme sijoittaa \(h\):n arvon saatuun linearisaatioon. \[\begin{eqnarray} \sin\left([value]\right) &=& \sin\left(\frac{\pi}{6}+[value]\right) \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{173}{200}\cdot [value] \\ &=& [value] \\ &\approx& [value] \end{eqnarray}\]

\(r\)-säteisen kuulan tilavuus on \(V=4\pi r^3/3\). Kirjoita kuulan säde tilavuuden funktiona \(V\mapsto r(V)\) ja laske lineaarisen approksimoinnin

\[ r(V)\approx r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0) \]

avulla, montako prosenttia säde kasvaa, kun kuulan tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia. Anna vastaus kokonaislukuna ilman %-merkkiä.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \[V=\frac{4}{3}\pi r^3 \Leftrightarrow r=r(V)=\left( \frac{3}{4\pi} V \right) ^{1/3}=A\cdot V^{1/3} \ (\text{missä} \ A=\left( \frac{3}{4\pi} \right) ^{1/3} ) \] \[r(V)=r(V_0)+r'(V_0)(V-V_0)=\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0). \] Suhteellinen muutos on \[\frac{r(V)-r(V_0)}{r(V_0)}=\frac{\frac{A}{3}V_0^{-2/3}(V-V_0)}{AV_{0}^{1/3}}=\frac{1}{3}\frac{V-V_0}{V_0} \] Kun tilavuus kasvaa \([value]\) prosenttia, eli \(V=[value]\cdot V_0\), on säteen suhteellinen muutos \[\frac{1}{3}\frac{([value]-1)V_0}{V_0}=[value]\approx[value] \%. \]

Newtonin menetelmällä voidaan etsiä ratkaisuja yhtälölle \(f(x)=0\), mikäli funktio \(f\) on "sileä" etsittävän nollakohdan \(r\) lähellä. Tällöin määritellään rekursiivisesti jono \[ x_{n+1}=x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\] jossa ensimmäinen alkio \(x_{0}\) valitaan läheltä etsittyä nollakohtaa \(r\). Voidaan osoittaa, että jos alkuarvaus \(x_{0}\) on riittävän lähellä etsittyä nollakohtaa, niin saatu jono toteuttaa \(\lim_{n\to\infty}x_{n}=r\) eli suppenee kohti haluttua juurta.

Sovella Newtonin iteraatiota yhtälöön \([value]=0\) ja laske iteraation neljä ensimmäistä arvoa \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ja \(x_{4}\). Alkuarvauksena käytä \(x_{0}=[value]\). Ilmoita vastauksesi vähintään viiden desimaalin tarkkuudella.

\[ x_1 \] | \(=~\) |
\[ x_2 \] | \(=~\) |
\[ x_3 \] | \(=~\) |
\[ x_4 \] | \(=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Voidaksemme soveltaa Newtonin menetelmää funktion \(f(x)=[value]\) nollakohtien selvittämiseksi, täytyy kyseinen funktio ensin derivoida: \[ f'(x) = D([value]) = D([value])\cdot [value]+[value]\cdot D([value]) = \frac[value][value] \] Nyt voimme laskea Newtonin menetelmän rekursiokaavan funktiolle \(f(x)\): \[\begin{array}{rll} x_{n+1} & = & x_{n} -\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\ & = & x_{n} -([value])\cdot \frac[value][value]\\ & = & x_{n} -\frac[value][value]\\ \end{array}\] Seuraavaksi iteroidaan rekursiokaavaa lähtien alkuarvauksesta \(x_0=[value]\): \[ x_1 = x_{0} -\frac[value][value] = ([value]) -\frac{([value])^[value]+2 e^{[value]\cdot ([value])}}{[value]\cdot ([value])^[value]-[value]\cdot ([value])^[value]} = [value] \approx [value] \] \[\begin{array}{rllllllll} x_2 & = & x_{1} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_3 & = & x_{2} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \\ x_4 & = & x_{3} -\frac[value][value] & = & \dots & = & [value] & \approx & [value] \end{array}\]

Funktio \(f\) määritellään paloittain seuraavasti:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} [value] & x < -1\\ p(x) & -1\le x\le 1\\ [value] & x > 1 \end{array} \right. \]

Määritä kolmannen asteen polynomi \(p(x)\) siten, että funktio on jatkuvasti derivoituva. Funktiota kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi, kun sekä \(f(x)\) että \(f'(x)\) ovat jatkuvia funktioita.

\(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

\(a_0=~\)

\(a_1=~\)

\(a_2=~\)

\(a_3=~\)
Feedback: Mallivastaus: Funktio saadaan jatkettua polynomilla jatkuvasti derivoituvaksi, kun asetetaan sille ehdot \begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}p(x)&=&\lim_{x \to 1+}f(x)\\ \lim_{x \to -1}p(x)&=&\lim_{x \to -1-}f(x)\\ \lim_{x \to 1}p'(x)&=&\lim_{x \to 1+}f'(x)\\ \lim_{x \to -1}p'(x)&=&\lim_{x \to -1-}f'(x). \end{eqnarray} Nyt pätee \begin{eqnarray} f(x)&=&[value]\\ f'(x)&=&[value]. \end{eqnarray} Muodostetaan yhtälöryhmä polynomin kertoimien laskemiseksi. \begin{eqnarray} a_3\cdot 1^3+a_2\cdot 1^2+a_1\cdot 1+a_0&=&f(1)\nonumber\\ a_3\cdot (-1)^3+a_2\cdot (-1)^2+a_1\cdot (-1)+a_0&=&f(-1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot 1^2+2\cdot a_2\cdot 1+a_1&=&f'(1)\nonumber\\ 3\cdot a_3\cdot (-1)^2+2\cdot a_2\cdot (-1)+a_1&=&f'(-1)\nonumber \end{eqnarray} Esitetään yhtälöryhmä matriisimuodossa ja ratkaistaan kertoimet. \[ [value] \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \] \[ \begin{bmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} =[value] \]

Etsi lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen ([value],[value]). [value]

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Olkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] \((x,y)\in C\), joten pätee \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Nyt olemme siis saaneet etäisyylle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Tavoitteenamme on etsiä lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä, joten riittää etsiä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Differentiaalilaskennosta tiedämme, että funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \(D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\). Funktion \(D^2(x)\) derivaatta, \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \approx [value] \) ja \(x_2 = [value] \approx [value] \). Tutkitaan seuraavaksi funktion arvoja derivaatan nollakohdissa. \[\begin{array}{rll} D^2(x_1) & = & \left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] \[\begin{array}{rll} D^2(x_2) & = & \left( x_2-[value] \right)^2+x_2^3 \\ & = & \left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3 \\ & = & [value] \\ & = & [value] \\ & \approx & [value] \end{array}\] Kohdassa \(x=x_1\) funktio \(D^2(x)\) saa pienemmän arvon kuin kohdassa \(x=x_2\), joten sillä on kohdassa \(x=x_1\) minimi. Pisteen ([value],[value]) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} D(x_1) & = & \sqrt{\left( x_1-[value] \right)^2+x_1^3} \\ & = & \sqrt{[value]} \\ & = & [value]\\ & \approx & [value] \end{array}\]