Title: DEFA-projekti

Laske likiarvo integraalille

\[\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \mathrm{d}x \]

käyttämällä puolisuunnikassääntöä (engl. trapezoid rule). Jaa integroimisväli [value] osaan. Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \textrm{d}x \approx~\)
Feedback: Mallivastaus: Puolisuunnikassääntö \[\int_{a}^{b} f(x) \, \textrm{d}x\approx \frac{b-a}{n}(f(x_0)/2+f(x_1)+f(x_2)+\ldots +f(x_{n-1})+f(x_n)/2), \] missä \(n\) on välien lukumäärä, \(x_0=a\) ja \(x_n=b\). Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]}\cdot \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value]\left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]0+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+f(4)+f(9/2)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Kirjoita kuvissa annetut välit käyttäen kurssin merkintöjä. Valitse välejä \(I_1\) ja \(I_2\) varten oikeat sulut ja päätepisteet. Jos välin toinen päätepiste ei ole kuvassa, väli on rajoittamaton. Valkoinen pallo: piste ei ole mukana joukossa. Punainen pallo: piste on mukana joukossa. Anna ei-kokonaisluvut murtolukuina, älä käytä desimaali- tai sekalukuja. Esim. ei \(5,5\) tai \(5\frac{1}{2} \), vaan \(11/2\). Ääretön annetaan kirjoittamalla inf.

\(I_1 = \,\) ,

\(I_2 = \,\) ,

Yhdistä merkki ja sen tarkoitus.

\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |
\([value]\) |

Valitse vastaus jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

Alla on lainauksia lastenlauluista ja joululauluista. Mitkä niistä ovat lauselogiikan lauseita ja mitkä eivät?

Jos kyseessä on lauselogiikan lause, valitse pudotusvalikosta "Tosi" ja jos ei ole, valitse "Epätosi".

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

[value] \(\quad\)

Valitse jokaiseen kohtaan pudotusvalikosta vastaus ennen kuin painat vastauksen lukitusnappia, muuten tarkastus ei toimi.

Q: Täydennä totuustaulu.

\(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \rightarrow (r \wedge \neg q)\) | \(\neg q \vee (r \leftrightarrow p)\) | \((q \vee \neg r) \rightarrow p\)
\(1\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(1\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(1\) | \(0\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(1\) |  |  |
\(0\) | \(0\) | \(0\) |  |  |
Feedback: Mallivastaus: \(p\) | \(q\) | \(r\) | \((p \wedge q) \rightarrow (r \wedge \neg q)\) | \(\neg q \vee (r \leftrightarrow p)\) | \((q \vee \neg r) \rightarrow p\) \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\)
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Nämä tehtävät liittyvät toisen asteen yhtälöihin, joista kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 7.10.

Tarkastellaan aluksi yhtälöä \([value]x^2 = [value]x - [value]\).

a) Määritä yhtälön diskriminantti: \(D = \)

b) Ratkaise yhtälö.

\(x = \) tai  \(x = \)

Oletetaan sitten, että \(a\in\mathbb{R}\), ja tarkastellaan funktiota \(f_a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=[value]\).

c) Määritä yhtälön \(f(x)=0\) diskriminantin lauseke (jossa esiintyy muuttuja \(a\)):

\(D = \)

d) Määritä sellaiset luvut \(a\), joilla funktion \(f_a\) kuvaaja ei kohtaa vaaka-akselia.

\(a \)

Oletetaan lopuksi, että reaalikertoimisella toisen asteen yhtälöllä on eräänä ratkaisuna \(x=[value]\).

e) Mikä on yhtälön toinen ratkaisu? \(x = \)

f) Mistä yhtälöstä on kyse? Anna vastaus auki kerrotun polynomiyhtälön muodossa, esimerkiksi x^2+2*x+1=0.

g) Vapaaehtoinen lisätehtävä. Selitä tämä vitsi jollekulle tutullesi: https://xkcd.com/849/
Feedback: a) Yhtälön diskriminantti on \(([value])^2-4\cdot[value]\cdot[value]=[value]-[value]=[value]\). b) Yhtälö \([value]x^2 = [value] - [value]\) on yhtäpitävä yhtälön \([value]x^{2}-[value]x+[value]=0\) kanssa. Koska diskriminantti on \([value]<0\), yhtälön ratkaisut ovat \begin{align*} x=\frac{[value]\pm i \sqrt{|([value])^{2}-4\cdot [value]\cdot [value]|}}{2\cdot [value]}=\frac{[value]\pm [value]}[value]=\frac[value][value]\pm \frac[value][value]. \end{align*} Siis yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \(x=[value]\) tai \(x=[value]\). c) Diskriminantti on \(D=([value])^2-4\cdot a\cdot([value])=[value]\). d) Funktion \(f_a\) kuvaaja ei kohtaa vaaka-akselia täsmälleen silloin, kun yhtälöllä \(f_a=0\) ei ole reaalilukuratkaisuja. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Ratkaistaan epäyhtälö \(D<0\): \[ [value] < 0 \iff a [value] [value]. \] e) Jos reaalikertoimisella toisen asteen yhtälöllä on epäreaalinen juuri, yhtälön juuret ovat toistensa kompleksikonjugaatteja. Siispä toinen juuri on \(\overline{[value]}=[value]\). f) Edellisen kohdan perusteella tiedetään, että yhtälön juuret ovat [value] ja [value]. Haluttu toisen asteen yhtälö saadaan kirjoittamalla \(\bigl(x-([value])\bigr)\bigl(x-([value])\bigr) = 0\), sillä tulon nollasäännön perusteella tällä yhtälöllä on ratkaisu, jos ja vain jos \(x=[value]\) tai \(x=[value]\). Kertomalla sulut auki saadaan \begin{align*} \bigl(x-([value])\bigr)\bigl(x-([value])\bigr) & = 0 \\ \bigl((x-([value]))-([value]i)\bigr)\bigl((x-([value]))+([value]i)\bigr) & = 0 \\ (x-([value]))^2+([value])^2 & = 0 \\ x^2-([value])x+([value])+([value]) & = 0\\ [value]& = 0.\end{align*}

Tarkastellaan oheisen kuvan kaltaista täydellistä binääripuuta, jonka jokaisella solmulla on täsmälleen kaksi tai nolla lapsisolmua ja jonka kaikki lehdet (solmut ilman lapsia) ovat yhtä kaukana juurisolmusta. Juurisolmun syvyys on \(0\), sen lasten syvyys \(1\), jne.

[Image]

Osoitetaan induktiolla, että jos täydellisen binääripuun lehtien syvyys on \(n\), niin lehtien lukumäärä on \(2^n\).

Todistus. Alkuaskel. Tarkastellaan väitettä luvulla \(n = \) . Binääripuussa on tällöin lehti/lehteä. Toisaalta \(2^n = \) , joten väite pätee luvulla \(n = \).

Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(\in \mathbb{N}\). Halutaan osoittaa, että tällöin väite pätee myös luvulla \(k+1\).

Induktio-oletuksen nojalla puussa, jonka lehtien syvyys on , on lehteä. Lisäämällä näille solmuille lasta kullekin, saadaan täydellinen binääripuu, jonka lehtien syvyys on \(k+1\). Nyt syvyydessä \(k+1\) on yhteensä \(2 \cdot 2^k = \) lehteä. Siis väite pätee luvulla .

Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).
Feedback: Todistus. Alkuaskel. Tarkastellaan väitettä luvulla \(n = 0\). Binääripuussa on tällöin \(1\) solmu (juurisolmu), ja siten täsmälleen \(1\) lehti. Toisaalta \(2^n = 2^0 = 1\), joten väite pätee luvulla \(0\). Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee jollakin \(k \in \mathbb{N}\). Halutaan osoittaa, että tällöin väite pätee myös luvulla \(k+1\). Induktio-oletuksen nojalla puussa, jonka lehtien syvyys on \(k\), on \(2^k\) lehteä. Lisäämällä näille solmuille \(2\) lasta kullekin, saadaan täydellinen binääripuu, jonka lehtien syvyys on \(k+1\). Nyt syvyydessä \(k+1\) on yhteensä \(2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\) lehteä. Siis väite pätee luvulla \(k+1\). Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

Laske osittaisintegroimalla. Muista käyttää kaikissa tulossa kertolaskuoperaattorina tähteä (*). Eksponenttifunktion \( e^{ax} \) voit kirjoittaa muodossa \( \text{exp(a*x)} \) tai \( \text{e}\)^\(\text{(a*x)} \).

\( \Large{\int} \normalsize [value] \, \textrm{d}x = \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.

Osittaisintegroinnin kaava on \( \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \).

Miten pitää tässä tapauksessa funktiot \( f(x), f'(x), g(x) \text{ ja } g'(x) \) valita, jotta integraali saadaan laskettua mahdollisimman helposti?

\( f'(x) = \) ja \( g(x) = \)

\( f(x) = \) ja \( g'(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegroinnin kaava on \[ \Large{\int} \normalsize f'(x)g(x) \textrm{d}x = f(x)g(x) - \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \]. Valitaan \( f'(x) = [value] \) ja \( g(x) = x \) (jos valittaisiin \( f'(x) = x \) ja \( g(x) = [value] \), tulisi integraalista \( \Large{\int} \normalsize f(x)g'(x) \textrm{d}x \) vaikeampi kuin alkuperäisestä integraalista ja se pitäisi osittaisintegroida kahteen kertaan). Siten \( f(x) = [value], \quad f'(x) = [value], \quad g(x) = [value] \quad \text{ja } g'(x) = [value]\) ja näin saadaan \[ \begin{align} \Large{\int} \normalsize [value] & = [value] \cdot [value] - \large{\int} \normalsize [value] \cdot [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{1}{[value]} \large \int \normalsize \frac{1}{[value]} \cdot [value] [value] \textrm{d}x \\ & = \frac{x[value]}{[value]} - \frac{[value]}{[value]} + C \\ & = [value] + C. \end{align} \]

Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Poista tämä tehtävä myöhemmin.

Tarkastellaan renkaan \(\mathbb{Z}/[value]\mathbb{Z}\) kertotaulua:

[value]

Ja yhteenlaskutaulu:

[value]

Anna esimerkki luvusta, joka on samassa sivuluokassa luvun \(3\) kanssa:

Laske kertotaulun avulla

\(2 \cdot 2 = \)

\(2 \cdot 3 = \)

Testataan permutaatioiden toimintaa. Joukko \(S_4\) on

\([value]\).

Permutaatio \((132)\) listana

[value]

\((132)^{-1} = \) [value]

Selvitä, saako kombinatoriikkapaketin toimimaan stackeissä.

https://stack2.maths.ed.ac.uk/demo2018/question/type/stack/doc/doc.php/Developer/Maxima_packages.md

Laske seuraavien funktioiden derivaatat aluksi kynällä ja paperilla. Tarkista tuloksesi tietokoneella esim. osoitteessa \( \text{http://www.wolframalpha.com/} \). Kokeile komentoja: \( \text{derivative of (x^2-2)/(x+1)} \) tai \( \text{diff(2*cos(sin^2(x)),x)}\).

Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2.

\( \begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \displaystyle f_{a}(x)=[value] & \textbf{(b)} \quad \displaystyle f_b(x)=[value] \\ \\ & \textbf{(c)} \quad \displaystyle f_c(x)=[value] & \textbf{(d)} \quad \displaystyle f_d(x)=\left( 3 \sqrt{3x} + \frac{2}{x} \right) \left( 4x^2-x \right) \\ \\ & \textbf{(e)} \quad f_e(x)=\frac{[value]}{\Large{\sqrt[[value]]{x}}} & \textbf{(f)} \quad \displaystyle f_f(x)=[value] \end{align*}\)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = \) \( \quad \textbf{(b)} \quad \displaystyle f'_{b}(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle f'_{c}(x) = \) \( \quad \textbf{(d)} \quad \displaystyle f'_{d}(x) = \)

\( \textbf{(e)} \quad \displaystyle f'_{e}(x) = \) \( \quad \textbf{(f)} \quad \displaystyle f'_{f}(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f'_{a}(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( g(x) = [value]\) ja \( h(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} f'_{b}(x) & = \dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ & = \dfrac{[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \)Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = 2\sin(x) \) ja \( g(x) = [value]. \) \( g(x) \):nkin voi vielä jakaa yhdistetyksi funktioksi \( (p \circ q)(x) \), missä \( p(x) = x^2 \) ja \(q(x) = [value] \). Nyt ketjusäännön mukaan \[ g'(x) = D(p \circ q)(x) = D(p(q(x)) = q'(x)p'(q(x)) = [value] \cdot 2[value] = [value]\]. ja funktion \( f_c(x) \) derivaataksi saadaan \[ \begin{align} D(f \circ g)(x) & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2\cos([value]) \\ & =[value] \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(d)} \quad \)Derivoidaan suluissa olevat funktiot erikseen. Merkitään \( f_c(x) = g(x)h(x). \) Käyttämällä tämän jälkeen tulon derivoimissääntöä, saadaan \[ \begin{align} f'_d(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ &=\left(\frac{9}{2\sqrt{3x}}-\frac{2}{x^2}\right)\left(4x^2-x\right)+\left(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x}\right)\left(8x-1\right)\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+24\sqrt{3x}x+8-3\sqrt{3x}\\ &=\frac{18x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{72x^2}{\sqrt{3x}}+8-\frac{9x}{\sqrt{3x}}\\ &=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8\\. \end{align}\] \( \textbf{(e)} \quad \) Muokataan lauseke muotoon \( f'_e(x) = [value]x^{-1/[value]} \). Nyt funktio on helppo derivoida: \[ f'_e(x) = D([value]x^{-1/[value]})= [value] \cdot \left(-\frac{1}{[value]}x^{-[value]/[value]} \right) = [value].\] \( \textbf{(f)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \( f(x) = x^2 \) ja \( g(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} f'_f(x) &= D(f \circ g)(x) \\ & = D(f(g(x)) \\ & = g'(x)f'(g(x)) \\ & = [value] \cdot 2 [value] \\ & = [value] \end{align} \]

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ns. ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään nyt tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]

Derivoi seuraavat funktiot.

\( \textbf{(a)} \quad f(x)={\Large [value]} \quad \textbf{(b)} \quad f(x)= [value] \quad \textbf{(c)} \quad f(x)= [value] \)

Käytä trigonometristen ja logaritmifunktioiden kanssa sulkeita. Esim. \( \sin(x)\) ja \( \ln(x) \). Muista myös käyttää tuloissa kertolaskuoperaattorina tähteä. Esim. \( 9x\) kirjoitetaan 9*x.

\( \textbf{(a)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(b)} \quad f'(x)= \)

\( \textbf{(c)} \quad f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä eli ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = e^x \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] [value] \] \( \textbf{(b)} \quad \) Käytetään taas ketjusääntöä. Merkitään nyt \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [value]\), missä \(f(x) = \cos(x) \) ja \(g(x) = [value] \). Ketjusäännön mukaan \[ D(f \circ g)(x) = D(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) = [value] (-\sin([value]) = [value] \] \( \textbf{(c)} \quad \) Käytetään tulon derivoimissääntöä. Merkitään \( f(x) = g(x)h(x) \), missä \( g(x) = [value] \) ja \( h(x) = [value] \). Tulon derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align*} f'(x) & = D(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \\ & = [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value] \cdot \dfrac{1}{[value]x} \\ & = [value] \end{align*}\]