Title: MAT-01220 IMAB2

Vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), missä \( \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) \) ja \( \mathbf{v_2} \) on kohtisuoraan tätä vastaan oleva vektori. Mitkä ovat \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \), kun \[ \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{v}=[value]. \]

Anna vektorien alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \). Jos alkio ei ole kokonaisluku, on suositeltavaa antaa se murtolukumuodossa \( m / n \). Esimerkiksi luku \( \frac{125}{4} \) kirjoitetaan 125/4.

\( \textbf{Ratkaisu:} \)

\( \quad v_1 = \)
ja \( v_2 = \)
Feedback: /* Mallivastaus on kirjoitettu vähän vaikeasti, koska vektoreita on epämiellyttävä lukea, jos alkiot ovat murtolukuja. Tällä tavalla saadaan pidettyä murtoluvutkin yhdellä rivillä. */ \[ \textbf{Mallivastaus:} \] \[ \mathbf{v_1} = \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})= \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = \left( \dfrac{[value]+([value])+([value])}{[value]+[value]+[value]} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Koska \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \), on \[ \mathbf{v_2} = \mathbf{v} - \mathbf{v_1} = [value]- \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] = [value] \] Tarkistuksena lasketaan vielä kohtisuoruus: \[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value]/[value] \end{matrix} \right] /* = \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) */ = \frac{1}{[value]^2} \Bigg[ \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) + \left( [value] \right) \cdot \left( [value] \right) \Bigg] = [value]. \] Vektorien = \( \mathbf{v_1} \) ja \( \mathbf{v_2} \) pistetulo on nolla, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suoran kaksi pistettä ovat ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]). Mikä on pisteen ([value],[value],[value]) etäisyys tästä suorasta? Huomaa, että avaruuden \( \mathbb{R}^3\) suoralla ei ole normaalimuotoa.

Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

/* JSXGraph-kuva */

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Pisteiden ([value], [value], [value]) ja ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatit ovat samat eli \( z = [value] \). Siten suoran on oltava tasolla \( z = [value] \). Pisteen ([value],[value],[value]) \( z \)-koordinaatti puolestaan on \( z=[value] \). Siten se on eri tasolla kuin suora, joten tämä piste ei sijaitse suoralla. Lasketaan pisteen etäisyys suorasta. Muodostetaan vektori suoran pisteestä ([value], [value], [value]) pisteeseen ([value],[value],[value]). Näin saadaan vektori \[ \mathbf{v}=[value]-[value]=[value]. \] Olkoon vektori \( \mathbf{d} = [value]-[value]=[value] \) ko. suoran suuntavektori. Nyt vektori \( \mathbf{v} \) voidaan esittää summana \( \mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}\), missä \[ \begin{align} \mathbf{v_1}&=\text{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{v}) =\left( \dfrac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \right) \mathbf{d} = \left( \dfrac{[value]+[value]+0}{[value]+[value]+0} \right) [value] = \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ 0 \end{matrix} \right] \\ /* = [value] \\ */ & \Rightarrow \mathbf{v_2}=\mathbf{v}-\mathbf{v_1}= \left[ \begin{matrix} [value]/[value] \\ [value]/[value] \\ [value] \end{matrix} \right] /* = [value] */ \end{align}\] ja kysytty etäisyys on \[ \lVert \mathbf{v_2} \rVert = \sqrt{ \left( [value] \right)^2 + \left( [value] \right) ^2 + [value] ^2 } = [value]. \]

Kolmion kärkipisteet ovat ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]). Laske kolmion pinta-ala.
\(\textbf{Vihje:} \) Vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) virittämän suunnikkaan pinta-ala on \( \lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert \).

\( \mathbf{HUOM!} \) Vastaukseksi hyväksytään vain pinta-alan TARKKA ARVO! Älä anna likiarvoja. Syntaksivihjeitä: Jakolaskun saat /-merkin avulla ja neliöjuuren sqrt()-funktiolla. Esim. \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) kirjoitetaan a/(sqrt(b)).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Merkitään kolmion kärkipisteitä vektoreina \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value]. \] Näin kolmion sivuina ovat esimerkiksi vektorit \[ \mathbf{u}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=[value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{v}=\mathbf{c}-\mathbf{a}=[value]. \] Lasketaan ensin \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_1} - \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_2} +\left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e_3} = [value] \] Vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) virittämän suunnikkaan pinta-ala on tämän ristitulovektorin pituus \( \lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert \). Kysytty kolmion pinta-ala on puolet tästä: \[ A = \dfrac{1}{2}\lVert \mathbf{u} \times \mathbf{v} \rVert=\dfrac{\sqrt{([value])^2+([value])^2+([value])^2}}{2} = [value] \approx [value]. \]

Määritä matriisin \( A \) käänteismatriisi Gaussin eliminointimenetelmällä. Huom! Anna matriisin alkiot \( \textbf{tarkkoina arvoina} \) - älä käytä likiarvoja.

\[ A = [value] \]

Vastaus:
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:}\] Liitetään matriisin \( A \) oikealle puolelle yksikkömatriisi \( I \) ja määritetään näin saadun matriisin redusoitu vaakariviporrasmuoto. Seuraavissa operaatioissa \( R_i \) viittaa \(i\):nteen riviin sen hetkisessä matriisissa. Kertaa Gaussin eliminointimenetelmä eli riviporrasmuodon muodostaminen tarvittaessa luentomonisteesta. Tässä esimerkiksi ensimmäisessä vaiheessa vähennetään matriisin toisesta rivistä \( [value] \cdot [value] \) eli kerrotaan ensimmäinen rivi toisen rivin ensimmäisellä alkiolla ja sitten toisesta rivistä vähennetään tämä rivi \( [value] \cdot [value] \). \[ \begin{align} [A \, | \, I \, ] = &[value] \quad \Large \stackrel{R_2-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize \quad [value] \\ \\ \Large \stackrel{R_3-[value]R_1}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{R_3-([value]/[value])R_2}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] \\ \\ \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_2}{\longrightarrow} \normalsize &[value] \quad \Large \stackrel{\frac{1}{[value]}R_3}{\longrightarrow} \quad \normalsize [value] = [ I \, | \, A^{-1}]. \end{align} \] Käänteismatriisi on siis \[ [value]. \]

Laske \( A(\mathbf{b}^T \mathbf{b})^{-1}(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} A(\mathbf{b}^T \mathbf{b} )^{-1} (A^{-1})^T & = A ( \lVert \mathbf{b} \rVert^2 )^{-1} (A^{-1}) \\ & = A ( [value]^2 + ([value])^2 + [value]^2 )^{-1} A^{-1} \\ & = A \cdot [value]^{-1} \cdot A^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}AA^{-1} \\ & = \frac{1}{[value]}I \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Laske \( \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \mathbf{b}^T A^2 \mathbf{b} = \mathbf{b}^T AA\mathbf{b} = \mathbf{b}^T A^T A\mathbf{b} = (A\mathbf{b})^T A\mathbf{b} = \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 \] Koska \[ A\mathbf{b}=[value][value]=[value] \] on \( \lVert A\mathbf{b} \rVert ^2 = ([value])^2 + ([value])^2 + ([value])^2 \) = [value].

Laske \( (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T \), kun \[ A = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{b} = [value] \]

Jos vastaus on matriisi tai vektori, niin ne voit konstruoida matrix()-komennolla. Jokainen rivi laitetaan hakasulkuihin ja rivin alkiot erotellaan pilkulla. Samoin hakasulkeissa olevat rivit erotellaan pilkulla. Esim. matriisi ja vektorit \[ [value], \quad [value] \quad \text{ja} \quad [value] \] kirjoitetaan seuraavasti:
matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); \(\quad\) matrix([3,5,7]) \(\quad\) ja \(\quad\) matrix([[3],[5],[7]]).

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Sievennetään lauseketta ensin. Matriisi \( A \) on symmetrinen, sillä \( a_{ij} = a_{ji} \, \forall i,j \). Siten \( A^T = A \) ja myös käänteismatriisi on symmetrinen, eli \( (A^{-1})^T = A^{-1} \). \[ \begin{align} (I-A^{-1})(I+A+A^2)+(A^{-1})^T & = I + A + A^2 - A^{-1} (I+A+A^2) +A^{-1} \\ & = I + A + A^2 - A^{-1} - I - A + A^{-1} \\ & = A^2 \\ & = [value][value] \\ & = [value]. \end{align}\]

Laske \( \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) \), kun

\[ A = [value], \quad B = [value], \quad C = [value]. \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Sievennetään ensin lauseketta käyttäen determinantin laskusääntöjä: \[ \begin{align} \textrm{det}(A^T) &= \textrm{det}(A) \\ \textrm{det}(cA) & = c^n \textrm{det}(A), \quad \text{(missä n on } (n \, x \, n) -\text{matriisin koko. Tässä siis } n = 3.) \\ \textrm{det}(AB) & = \textrm{det}(A)\textrm{det}(B) \\ \textrm{det}(A^{-1}) & = \frac{1}{\textrm{det}(A)} \end{align} \] /* Huomaa että constant2/constant1 on AINA 2, joten se voidaan kirjoittaa suoraan mallivastaukseenkin. Kerroin on aina 2^3 = 8. */ Nyt siis \[ \begin{align} \textrm{det}(([value]A)^{-1} [value]CB^T A) & = \textrm{det} \left( \frac{1}{[value]}A^{-1} [value]CB^T A \right) \\ & = \textrm{det}(2A^{-1}) \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 2^3 \frac{1}{\textrm{det}(A)} \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \, \textrm{det}(A) \\ & = 8 \, \textrm{det}(C) \, \textrm{det}(B) \\ & = 8 \cdot ([value]) \cdot ([value]) = [value]. \end{align} \]

Mikä on se matriisi, jonka ominaisarvot ja eräät ominaisvektorit ovat \[ \lambda _1 = [value], \quad \mathbf{x_1} = [value] \quad \lambda _2 = [value], \quad \mathbf{x_2} = [value] \quad ? \]

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Koska \( 2 \times 2 \)-matriisilla on kaksi eri suurta ominaisarvoa [value] ja [value], on se diagonalisoituva. Siksi kysytty matriisi \( A \) voidaan esittää muodossa \( A = VDV^{-1} \), missä matriisin \( V \) sarakkeet ovat ominaisvektorit ja diagonaalimatrisiin \( D \) diagonaalialkiot ovat ominaisarvot vastaavassa järjestyksessä. Näin saadaan \[ \begin{align} A &= [value] [value] [value]^{-1} \\ \\ & = [value] [value] [value] \\ \\ & = [value][value] \\ \\ & = [value]. \end{align} \]

Jousen kappaleeseen kohdistama voima on \( F = -kx \), missä \( k \) on jousivakio (N / m) ja \( x \) on jousen venymä (m). Jousivakion määrittämiseksi on tehty seuraavat mittaukset. Määritä pienimmän neliösumman menetelmällä jousivakion arvo.

F | 2 | 3 | 5 | 7
x | [value] | [value] | [value] | [value]

\( \textbf{HUOM!} \) Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena PISTETTÄ! Esim. 1.11 - ei 1,11.

Vastaus:
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Kun sijoitetaan annetut mittaustulokset yhtälöön \( F = -kx \), saadaan seuraava yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{matrix} 2 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 3 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 5 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \\ 7 & = & -k \cdot ([value]) & = & [value]k \end{matrix} \right. \] Tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Lasketaan pienimmän neliösumman ratkaisu (PNS-ratkaisu). Merkitään yhtälöryhmää muodossa \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), missä \[ A = [value], \quad \mathbf{x} = k \quad \text{ja } \mathbf{b} = [value]. \] Pienimmän neliösumman ratkaisu saadaan yhtälöryhmän \( A^T A\mathbf{x} = A^T \mathbf{b} \) ratkaisusta. Siten \[ \begin{align} & [value][value]k = [value][value] \\ \Rightarrow & [value]k = [value] \\ \Rightarrow & k = [value] \end{align} \]

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[ \textbf{Malliratkaisu:} \] Matriisin aste \(\textrm{rank}(A) = 2\), kun matriisissa on korkeintaan kaksi lineaarisesti riippumatonta saraketta. Nähdään, että sarakkeet 1 ja 2 eivät ole yhdensuuntaiset, joten ainakin kaksi saraketta on lineaarisesti riippumattomia. Jos \(\textrm{det}(A) = 0\), matriisin kaikki kolme saraketta eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Määrätään siis vakio \( c \) siten, että \(\textrm{det}(A) = 0\). \[ \begin{align} \text{det }(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + c \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value]+[value]c = 0 \\ \Rightarrow c & = [value]. \end{align} \]

Määritä matriisissa \( A \) oleva vakion \( c \) arvo siten, että yksi ominaisarvo on \( [value] \). \[ A = [value]. \]

Vastaus: \( c = \)
Feedback: \[\textbf{Mallivastaus:} \] Kun \( \lambda = [value] \) on yksi ominaisarvo, on \(\textrm{det} (A-([value])I) = \textrm{det} (A+[value]I) = 0 \). Tästä saadaan seuraava tulos. Tässä matriisia on kehitetty Gaussin eliminoinnilla siten, että determinantti on helppo laskea (determinantin tulos ei tietenkään muutu, vaikka eliminointi tehdään - kunhan se tehdään oikein). \[ \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \] Yllä on vasemmalla \( \textrm{det} (A+[value]I) \). Keskimmäiseen determinanttiin päästään, kun toiselle riville lasketaan 1. ja 2. rivi yhteen ja kolmannelle riville puolestaan lasketaan 3. rivin ja 1. rivin erotus. Lopuksi on vielä kolmannesta rivistä vähennetty toinen rivi, ja päästään oikeanpuoleiseen determinanttiin. Nyt kannattaa kehittää determinanttia ensimmäisen pystyrivin suhteen, koska sen kaksi alkiota ovat nollia. \[ \begin{align} & \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| + 0 + 0 = 0 \\ \\ \Rightarrow & [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| = 0 \\ \\ \Rightarrow &[value] \left[ [value] \cdot ([value]) - 0 \cdot [value] \right] = 0 \\ \Rightarrow & [value] ([value]) = 0 \\ \Rightarrow & [value] = 0 \\ \Rightarrow &c = [value]. \end{align}\]

Olkoon matriisin

\[ A = [value] \]

erään ominaisarvon algebrallinen kertaluku \( = 1 \) ja tämän ominaisarvon yksi ominaisvektori [value]. Lisäksi tiedetään, että \( \textrm{det} (A) < 0 \) ja kaikki ominaisarvot ovat reaaliset.

Mikä on \( c \) ja onko matriisi \( A \) diagonalisoituva?

\( c = \)

Onko väite '\( A \text{ on diagonalisoituva} \)' tosi vai epätosi?

(Tämä tarkistetaan vain, jos \( c \) on oikein.)
Feedback: \[ \textbf{Mallivastaus:} \] Yksi ominaisvektori on [value]. Yhtälöstä \( A \mathbf{x}_1 = \lambda_1 \mathbf{x}_1 \) saadaan \[ \begin{align} [value][value] & = \lambda_1 [value] \\ \Rightarrow [value] & = \lambda_1 [value], \end{align} \] josta voidaan ratkaista \( \lambda_1 = [value] \), koska esim. \[ [value] = [value] \lambda_1 \Rightarrow \lambda_1 = [value] / [value] = [value]. \] Koska nyt \( \lambda_1 = [value]\), niin \[ \begin{align} [value] &= [value] \cdot ([value]) \\ \Rightarrow c & = [value] \end{align} \] Koska nyt \( \textrm{alg}([value]) = 1 \), kumpikaan muista ominaisarvoista ei siis ole [value]. Koska \( \textrm{det}(A)=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = [value] \lambda_2 \lambda_3 < 0 \), ovat \( \lambda_2 \) ja \( \lambda_3 \) erimerkkiset. Siten matriisilla on 3 eri suurta ominaisarvoa ja se on siksi diagonalisoituva.

Tason kolme pistettä ovat ([value],[value],[value]), ([value],[value],[value]) ja ([value],[value],[value]). Esitä tason yhtälö muodossa \( ax+by+cz+d=0\).

Vastaus: Yhtälö on \(x+\)\(y+\)\(z+\) \(=0\).
Tässä ei tarvitse käyttää sulkeita, vaikka jokin luvuista \(\{ a,b,c,d \}\) olisi negatiivinen.
Feedback: Mallivastaus Taso tulee määrätyksi, jos sen normaali \( \mathbf{n} \) tunnetaan ja samoin jokin sen piste \( \mathbf{r}_0 \) . Silloin tason normaaliyhtälöksi saadaan \( \mathbf{n} \cdot ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 ) = 0 \). Yhtälö saadaan yleiseen muotoon kirjoittamalla se "auki": \( ax+by+cz+d=0 \), kun \( \mathbf{r} = (x,y,z), \quad \mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0), \quad \mathbf{n} = \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \). Tällöin vakiolla \( d \) on arvo \( d = -ax_0-by_0-cz_0 \). Selvitetään normaalivektori \( \mathbf{n} \). Ratkaistaan ensin vektorit \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) tason yhtälön vektorimuodosta. Valitaan \( \begin{align} \mathbf{r}_0 &= (x_0, y_0, z_0) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{u} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]) \\ \mathbf{v} &= ([value],[value],[value]) - ([value],[value],[value]) = ([value],[value],[value]). \end{align} \) Normaalivektori \( n \) on nyt (kertaa ristitulon laskeminen tarvittaessa opintomonisteesta tai vaikkapa Wikipediasta). \( \begin{align} \mathbf{n} &= \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ & = ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{i} - ([value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value]) \mathbf{j} + ([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value])) \mathbf{k} \\ & = [value] \mathbf{i} + [value] \mathbf{j} + [value] \mathbf{k} \\ & = [value]. \end{align} \) Siten \( a = [value], \quad b = [value], \quad c = [value]\) ja \( d = -ax_0-by_0-cz_0 = -[value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] = [value]\). Suoran yhtälö on siis \( [value]x+[value]y+[value]z-[value] = 0 \).

Olkoon \( A = [value]\).

\( \textbf{(a)} \) Muodosta \( \text{rref}(A) \) eli matriisin redusoitu riviporrasmuoto.

\( \text{rref}(A) = \) .

\( \textbf{(b)} \) Mitä on \( \text{rank}(A) \)?

\( \text{rank}(A) = \) .
Feedback: Mallivastaus \( \textbf{(a)} \) Vaakarivimuunnoksilla päästään matriisiin \( \text{rref}(A) = \) [value]. Kertaa tarvittaessa RREF-muodon hakeminen luentomonisteesta. \( \textbf{(b)} \) Matriisin aste \( \text{rank}(A) \) nähdään \( \text{rref}(A) \):sta. Se on nollasta eroavien rivien lukumäärä eli siis johtavien ykkösten lukumäärä. Tässä tapauksessa siis \( \text{rank}(A) = 2 \).

Olkoot

/* [value], [value], [value], [value]

*/ \[ \mathbf{a} = [value], \quad \mathbf{b} = [value], \quad \mathbf{c} = [value], \quad \mathbf{d} = [value]. \]

Mitkä kolme vektoria muodostavat

\( \textbf{(a)} \) ortogonaalisen vektorijoukon? Vastaus:

\( \textbf{(b)} \) lineaarisesti riippuvan vektorijoukon? Vastaus:

(VIHJE a- ja b-kohtiin: Kirjoita vastauksesi vektorien muodostamana joukkona. Esimerkiksi jos oikea vastaus on mielestäsi vektorit \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) ja \( \mathbf{c} \), niin anna vastaus on muodossa {a,b,c}.)

\( \textbf{(c)} \) \( \mathbb{R}^3 \):n kannan? Anna tässä vastauksena kaikki ne vektorijoukot, jotka muodostavat kannan, kun vektorijoukkoja merkitään kirjaimin

\( \begin{cases} A &= \{ a,b,c \} \quad E = \{ a,b \} \quad J = \{ b,d\} \\ B &= \{ a,b,d \} \quad F = \{ a,c \} \quad K = \{ c,d \} \\ C &= \{ a,c,d \} \quad G = \{ a,d \} \quad \\ D &= \{ b,c,d\} \quad H = \{ b,c \} \quad \\ \end{cases} \)

Vastaus:

c)-kohdassa anna vastaus muodossa \( \{ E,F, \ldots \} \) eli valitse ylläolevista joukoista kaikki ne, jotka muodostavat kannan ja anna kaarisulkeiden sisällä joukot pilkuin eroteltuna, merkiten joukkoja niitä vastaavin kirjaimin. Huom! Oikeaksi vastaukseksi hyväksytään tässä vain sellainen vastaus, jossa on kaikki oikeat vektorijoukot. Ei siis riitä, että antaa vain osan kannaksi kelpaavista.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ortogonaalisen vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toisin sanoen ne vektorit, joiden välinen pistetulo on nolla. Tässä tapauksessa siis vektorit \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \). \( \textbf{(b)} \) Lineaarisesti riippuvan vektorijoukon muodostavat ne vektorit, jossa jokin vektori on kahden muun summa. Nyt \( -3 [value] + 4 [value] = [value]\), eli nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva. Kolmen vektorin muodostaman lineaarisesti riippuvan vektorijoukon löytää yhdistämällä kolme vektoria matriisiksi \( A \) ja transponoimalla matriisi. Jos transponoidun matriisin \( A^T \) riviporrasmuodossa \( \text{RREF}(A^T) \) on nollarivi, on vektorijoukko lineaarisesti riippuva. RREF-muodot kannattaa ajan säästämiseksi tarkistaa tietokoneella, esim. Matlabilla tai WolframAlphalla. Katso lisää opintomonisteen sivuilta 55-56. Nyt vektoreiden \( \mathbf{[value]}, \, \mathbf{[value]} \) ja \( \mathbf{[value]} \) muodostama joukko on lineaarisesti riippuva, sillä \( A = [value], \quad A^T = [value] \) ja \( \text{RREF}(A^T) = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Koska haetaan \( \mathbb{R}^3 \):n kantaa eli avaruuden dimensio on 3, on kannassakin oltava tasan kolme vektoria. Kannan vektoreiden on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nämä lineaarisesti riippumattomat vektorijoukot löydetään samalla menetelmällä kuin \( \textbf{(b)} \)-kohdassa, mutta tässä tapauksessa halutaan vain sellaisten vektorien joukko, joista muodostetun matriisin transpoosin riviporrasmuodossa EI OLE nollarivejä. Lue lisää opintomonisteesta sivulta 56. Nyt kannan muodostavat kaikki muut kolmen vektorin muodostamat joukot paitsi \( \textbf{(b)} \)-kohdan vastaus (jossa siis haettiin nimenomaan lineaarisesti riippuvaa vektorijoukkoa). Kannan muodostavat siis vektorijoukot [value], [value] ja [value]. Oikea syöte on siis [value].

Etsi yksi sellainen \( \mathbb{R}^3 \):n kanta, jossa yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} \) suuntainen. Esitä vektori \( \mathbf{x} \) näiden vektorien lineaarikombinaationa.

\( \mathbf{u} = [value], \quad \mathbf{x} = [value] \)
/* Tarkistus: \( [value]+[value]+[value] = [value] \).

*/

Vastaus: Ortonormaali kanta on \( \{ \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 \} \), missä

\( \mathbf{q}_1 = \) , \( \mathbf{q}_2 = \) ja \( \mathbf{q}_3 = \) .

Anna alla vektoreille \( \mathbf{q}_1 \), \( \mathbf{q}_2 \) ja \( \mathbf{q}_3 \) kertoimet siten, että niiden summa on \( \mathbf{x} \):

\( \mathbf{q}_1 + \) \( \mathbf{q}_2 + \) \( \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \).

Syntaksivihjeitä: Neliöjuuren saat tarvittaessa funktion sqrt() avulla. Esimerkiksi luku \( \dfrac{2}{\sqrt{11}} \) kirjoitetaan 2/sqrt(11).
Feedback: Malliratkaisu Huom. Ratkaisuja on äärettömän monta. Tässä on vain yksi tapa. Kolme \( \mathbb{R}^3 \):n ortonormaalia vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska \( \mathbb{R}^3 \):n kannassa on kolme vektoria, riittää löytää jokin halutunlainen kolmen ortonormaalin vektorin joukko. Etsitään ensin ortogonaalinen joukko. Yksi vektoreista on vektorin \( \mathbf{u} = [value] \) suuntainen. Valitaan toinen vektori \( \mathbf{v} \), jolle \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \). Tällainen vektori on esimerkiksi vektori \( \mathbf{v} = [value] \), sillä \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = [value] \cdot [value] = 0 \). Kolmas saadaan ristitulona \( \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_1 - \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_2 + \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| \mathbf{e}_3 = [value]. \) Näin on saatu 3 ortogonaalista vektoria, mikä voidaan tarkistaa laskemalla kaikkien parien pistetulot (näistä kaikista pitäisi tulla 0). Kun nämä vektorit jaetaan omilla pituuksillaan, saadaan ortonormaali joukko, joka on myös avaruuden \( \mathbb{R}^3 \) ortonormaali kanta: \( \left\{ \mathbf{q}_1 = [value][value], \quad \mathbf{q}_2 = [value][value], \quad \mathbf{q}_3 = [value][value] \right\}. \) Vektorin \( \mathbf{x} \) koordinaatit tässä kannassa ovat sellaiset luvut \( c_1, c_2, c_3 \), joilla \( c_1 \mathbf{q}_1 + c_2 \mathbf{q}_2 + c_3 \mathbf{q}_3 = \mathbf{x} \). Tämä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä. Merkitään \( Q = [\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 \mathbf{q}_3] \). Tämä on ortogonaalinen matriisi, jolloin \( Q^T = Q^{-1} \) ja \( \begin{align} Q \mathbf{c} &= \mathbf{x} \\ \\ \Leftrightarrow \mathbf{c} &= Q^{-1} \mathbf{x} = Q^T \mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{q}_3 \cdot \mathbf{x} \\ \end{matrix} \right] = [value] \end{align} \) Vektorin \( \mathbf{x} \) lineaarikombinaatioesitys on siis \( \mathbf{x} = [value] \mathbf{q}_1 + \left( [value] \right)\mathbf{q}_2 + \left( [value] \right) \mathbf{q}_3 \).