Title: Aiheviikko 2

Yhdistä 2. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö mahdolliseen järkevään yritteeseen \(y_p\).

\(y''-y = 2e^{2x}\) |  |
\(y''+2y'+y = 3e^{-x}\) |  |
\(y''-4y = 6x\) |  |
\(2y''-2y' = x^2\) |  |
\(y'' = x^2-2x+1\) |  |
\(y''-y = 2e^{-x}\) |  |
\(y''-2y'+y = e^{x}\) |  |
\(y''-y = 5\cos(3x)\) |  |
[value]) | \(y_p = ae^{2x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax+b\)
[value]) | \(y_p = ax^3+bx^2+cx+d\)
[value]) | \(y_p = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
[value]) | \(y_p = axe^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^x\)
[value]) | \(y_p = a\cos(3x)+b\sin(3x)\)

a) Valitse seuraavista ne parit, jotka sisältävät lineaarisesti riippumattomat funktiot.

b) Olkoon \(y_1=e^{3x+5}\) ja \(y_2=e^{3x}\) homogeenisen yhtälön \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\) ratkaisuja. Määritä vastaava Wronskin determinantti.

\(W(x) = \) |  | \(=\) .

Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat .
Feedback: Mallivastaus: a) Voit helpoiten testata jakamalla \(\frac{y_1}{y_2}\). Jos osamäärä on vakio, ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvia. Muutoin ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia. Toinen vaihtoehto on tutkia Wronskin determinantin avulla. b) \(W(x) = [value] = [value]\). Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat [value].

MATLAB-tehtävä

Moodlesta aiheviikon 4 verkkotehtävien kohdalta löytyy esimerkki tätä tehtävää varten.

Yleisohje

- Tehtävä 1 on aiheviikon 3 itsearviointi.
- Tehtävät 2-3 käsittelevät differentiaaliyhtälöiden perusterminologiaa.
- Tehtävät 4-10 ovat 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöihin liittyviä perustehtäviä.
- Tehtävä 11 on MATLAB-tehtävä.
- Tehtävät 12-13 ovat vapaaehtoisia lisätehtäviä.
- Tehtävä 14 on kirjallinen itsearviointi omasta osaamisesta näiden verkkotehtävien jälkeen

Differentiaaliyhtälöiden terminologiaa

Nämä tehtävät käsittelevät peruskäsitteitä, jotka on hyvä hallita.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy''-y'=3x^2+x\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(3y''-y=e^x-5\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''+y'-3y=0\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''-5y'=y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-e^xy''=y^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(x^2y''-x(y')^3=2x-y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-xy=x^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy'-x^2=2y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?

- Differentiaaliyhtälöllä on aina yksikäsitteinen ratkaisu.
- Alkuehdon avulla on mahdollista määrittää, mikä ratkaisuparven ratkaisuista valitaan.
- 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöllä voi olla erikoisratkaisu, joka ei sisälly yleiseen ratkaisuun.
- Olkoon \(y' = y^2\) ja \(y(0) = 1\). Tässä tilanteessa on yksikäsitteinen ratkaisu
- Differentiaaliyhtälön \(y' = e^x\) voi ratkaista integroimalla.
- Differentiaaliyhtälön kertaluku on muuttujan \(y\) korkein potenssi.
- Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion \(y=y(x)\) yhden tai useamman derivaatan \(y',y'',y''',y^{(4)},\ldots\).
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Differentiaaliyhtälöllä on useita ratkaisuja, jotka ilmoitetaan yhden tai useamman parametrin avulla. Jos halutaan tarkastella yhtä tiettyä ratkaisua, tarvitaan yksi tai useampi alkuehto. - Tosi. Alkuehto auttaa valitsemaan tietyn ratkaisun. - Tosi. Erikoisratkaisu voi olla esim \(y(x)=0\), mikä ei välttämättä voi lausua yleisen ratkaisun papametrien avulla. - Tosi. Yksi alkuehto takaa 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön yksikäsitteisyyden. - Tosi. Differentiaaliyhtälö on muotoa y'=f(x). - Epätosi. Differentiaaliyhtälön kertalu on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista. - Tosi. Näin on!

Function \(y\) that is of the form \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\) satisfies the following differential equation: \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \] Find the expression for \(y\). Hint: Substitute the given expression in the equation and determine the multipliers \(A\) and \(B\). Funktio \(y\), joka on muotoa \[ y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x), \] toteuttaa differentiaaliyhtälön \[ y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x). \] Ratkaise kertoimet \(A\) ja \(B\). Vihje: Sijoita annettu lauseke yhtälöön ja päättele kertoimet \(A\) ja \(B\). Mikä tällöin on funktion \(y\) lauseke?

\(\displaystyle y(x)=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: In this exercise we solve the differential equation \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) using a sophisticated guess \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Substituting the guess in the given equation we can solve the equation for the constants \(A\) and \(B\).Tässä tehtävässä ratkaistaan differentiaaliyhtälö \(y'+y = [value]\cdot \sin([value]\cdot x)\) sivistyneellä arvauksella \(y(x)=A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x)\). Sijoittamalla arvaus annettuun yhtälöön voidaan ratkaista vakiot \(A\) ja \(B\). First we have find the first order derivative of the function \(y\), as it is needed in the substitution.Lasketaan ensin yritteen ensimmäinen derivaatta, jota tarvitaan sijoitukseen. \begin{align*} y(x) &= A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) \\ y'(x) &= -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) \end{align*} Substituting \(y\) and its derivative in the differential equation we getSijoitetaan yrite ja sen derivaatta differentiaaliyhtälöön. \begin{align*} y'+y &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \\ -A\cdot [value] \cdot \sin([value]\cdot x) + B\cdot [value] \cdot \cos([value]\cdot x) + A\cdot \cos([value]\cdot x)+B\cdot \sin([value]\cdot x) &= [value]\cdot \sin([value]\cdot x) \end{align*} Now we can form a system of equations for \(A\) and \(B\).Nyt voidaan muodostaa yhtälöryhmä \(A\):lle ja \(B\):lle. \begin{equation*} \begin{cases} -A \cdot [value] + B &= [value] \\ B\cdot [value] +A &= 0 \end{cases} \end{equation*} For the solutions we getRatkaisuksi saadaan \begin{equation*} \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \end{cases}. \end{equation*} Thus the solution for the differential equation isKysytyn differentiaaliyhtälön ratkaiseva funktio \(y(x)\) on siis \[ y(x) = [value]. \]

Ratkaise integroitavissa oleva differentiaaliyhtälö

\(y'-\sin([value]x) = 0,\quad\) kun \(y(0) = 1\).

Yhtälön yleinen ratkaisu on \(y(x) = \)

Alkuehdon toteuttava ratkaisu on \(y(x) = \)
Feedback: Malliratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon \(y'(x) = \sin([value]x)\), josta integroimalla \(y(x) = \int \sin([value]x) dx = [value]\). Integraalifunktioiden ominaisuuksien nojalla tämä on yhtälön yleinen ratkaisu. Alkuehdon \(y(0) = 1\) toteuttava ratkaisu määritetään asettamalla \(y(0) = [value] = 1\), joten \(C = [value]\) ja siten kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on \([value]\).

a) Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[y' = [value]y\]

given that \[y([value])=[value]\]kun tiedetään, että \[y([value])=[value]\].

\(y(x) = \)

Give your answer in exact form! Käytä vastauksessasi tarkkoja arvoja!

b) Find the general solution for the differential equation Ratkaise yleisesti lineaarinen differentiaaliyhtälö

\[ y'+[value]y=[value]e^{[value]x} \]

using integrating factor.integroivaa tekijää käyttäen.

Integrating factor (do not include the constant of integration here): Integroiva tekijä (älä laita integrointivakiota tähän):

Solution (use C for the constant)Ratkaisu (käytä vakiona C:tä) \(\displaystyle y(x)=~\)

(Hint: Exponential function \(e^{5x}\) can be written in the form(Vinkki: Eksponenttifunktion \(e^{5x}\) voi kirjoittaa muodossa \({\tt exp(5*x)}\).)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: a) Theorem 6.1: The solutions to the differential equation \(y'=ky\) are of the form \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\).Lause 6.1: Differentiaaliyhtälön \(y'=ky\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=Ce^{kx}, C\in\mathbb{R}\). Thus the solutions to the differential equation \(y'=[value]y\) are of the form \(y(x) = Ce^{[value]x}\).Siis differentiaaliyhtälön \(y'=[value]y\) ratkaisut ovat muotoa \(y(x) = Ce^{[value]x}\). Solving for \(C\) we getRatkaisemalla yhtälö \(C\):n suhteen saadaan \begin{align*} &&y([value])&=[value]\\ \implies&&Ce^{[value]\cdot[value]}&=[value]\\ \implies&&C&=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}} \end{align*} ThereforeSiis \(y(x)=\frac[value]{e^{[value]\cdot[value]}}e^{[value]x} = [value]e^{[value](x-[value])}.\) b) \(y'+[value]y=[value]e^{[value]x}\) The integrating factor is of the form \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), where \(p(x)\) is the multiplier preceding \(y\), which in this case is the constant [value]. The integrating factor is \(\textrm{e}^{[value]x}\).Integroiva tekijä on muotoa \(\textrm{e}^{\int p(x) \, \textrm{d}x} \), jossa \(p(x)\) on \(y\):tä edeltävä kerroin eli tässä tapauksessa vakio [value]. Integroiva tekijä on siis \(\textrm{e}^{[value]x}\). Let us multiply both sides of the equation with the integrating factor: Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä: \begin{align*} \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x}\cdot\textrm{e}^{[value]x} \\ \textrm{e}^{[value]x}y'+[value]\textrm{e}^{[value]x}y&=[value]\textrm{e}^{[value]x} \\ \end{align*} The left side of the equation satisfies the conditions to apply the product rule. Yhtälön vasen puoli täyttää tulon derivointikaavan tunnusmerkit. \(\small{\textrm{D}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\) \[ \Rightarrow\textrm{D}(\textrm{e}^{[value]x}y)=[value]\textrm{e}^{[value]x} \] We integrate both sides with respect to \(x\).Integroidaan molemmat puolet \(x\):n suhteen \begin{align*} \Rightarrow \textrm{e}^{[value]x}y+A&=[value]+B \\ \\ \textrm{e}^{[value]x}y&=[value]+C,\quad\textrm{jossa }C=B-A \\ \end{align*} Solving for \(y\) we getFunktion \(y\) suhteen ratkaisemalla saadaan \[ y=[value]+\frac{C}{\textrm{e}^{[value]x}} \]

1) Yhdistä 1. kertaluvun lineaariyhtälö ja integroiva tekijä valitsemalla sopiva kirjain.

\(xy'-3y = x^3\) |  |
\(y'+y = e^x\) |  |
\(y'+3y = 2xe^{-3x}\) |  |
\(y'+2xy = x\) |  |
\(y'+ \frac{5}{x}y = 7x\) |  |
\(y' = (1-y)\cos(x)\) |  |
[value]) | \(x^{-3}\)
[value]) | \(e^x\)
[value]) | \(e^{3x}\)
[value]) | \(e^{x^2}\)
[value]) | \(x^5\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}\)

2) Olkoon \(xy'+ [value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\).

Nyt integroiva tekijä on \(\displaystyle \mu(x) = e^{\int}\)^\(\displaystyle ^{dx} = \) .

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä. Yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu derivaatta \(D_x\big( \) \(y(x) \big)\).

Differentiaaliyhtälön ratkaisu on \(y(x) = \) (Käytä vakiota C).

Ratkaistaan \(C = \) hyödyntäen tietoa \(y(1) = 5\).

Alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu 1-kohtaan: Differentiaaliyhtälön \(y' + a(x)y = f(x)\) integroiva tekijä on muotoa \(\mu(x) = e^{\int a(x) \, dx}\). Malliratkaisu 2-kohtaan: \(xy'+[value]y = [value]x\) ja \(y(1) = 5\). Muokataan \(xy'+[value]y = [value]x \Leftrightarrow y'+\frac{[value]}{x}y = [value]\). Nyt integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int \frac{[value]}{x}} dx = e^{[value]\ln(x)} = e^{\ln x^[value]} = x^[value]\). Kerrotaan yhtälö puolittain integroivalla tekijällä: \(x^[value] y' + [value][value]y = [value]x^[value]\). Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( x^[value] \cdot y(x) \big) = x^[value] y' + [value][value]y\) (tulon derivaatta). Integroidaan puolittain: \(x^[value] y(x) = x^[value]+C \Leftrightarrow y(x)=x+\frac{C}{x^[value]}\). Alkuarvotehtävän nojalla \(y(1) = 1+C = 5\) eli \(C = 4\). Siispä \(y(x) = x + \frac{4}{x^[value]}\).

a) Mitkä seuraavista ovat separoituvia?

b) Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan esittää muodossa

Ratkaiseminen:

- Kirjoita \(y' = \frac{dy}{dx}\) ja ajattele kyseessä olevan jakolasku. Siispä \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\).
- Separoi \(x\) ja \(y\) yhtälön eri puolille, jolloin \(\frac{1}{g(y)}dy = \) \(dx\).
- Integroi puolittain ja lisää integrointivakio oikealle.
\(\displaystyle\int \frac{1}{g(y)} dy = \int\) \(\displaystyle dx + C\).
- Saatu ratkaisu on
- Huomaa, että oletimme \(g(y) \neq 0\).

c) Olkoon \(y' = 2xy^2\).

Nyt \(\frac{dy}{dx} = \).

Separoidaan, jolloin \(\frac{dy}{y^2} = \) \(dx\).

Integroidaan puolittain:

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dy = \int \) \(\displaystyle dx\).

Siispä \(-\frac{1}{y} = \) .

Lopullinen eksplisiittinen ratkaisu on \(y(x) = \) .

Ovatko seuraavat 2. kertaluvun lineaarisia yhtälöitä koskevat väitteet tosia vai epätosia? Huom! Pisteet näkyvät satunnaisessa järjestyksessä, joten niiden perusteella ei pysty päättelemään mikä kohdista on mahdollisesti väärin.

• Epähomogeenisen yhtälön \(y''+ay'+by = f(x)\) ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.
• Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun \(y_p\) tulee olla lineaarisesti riippuva vastaavan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta \(y_n\), jotta saadaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
• Et tarvitse karakteristista yhtälöä, kun ratkaiset epähomogeenista 2. kertaluvun yhtälöä.
• Määräämättömien kertoimien menetelmää käytetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Yksi alkuehto riittää siihen, että pystytään määrittämään homogeeniselle yhtälölle yksikäsitteinen ratkaisu.
• Olkoon \(y=c_1y_1+c_2y_2\, (c_1, c_2\in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Tällöin \(y_1\) ja \(y_2\) ovat lineaarisesti riippumattomia.
• Wronskin determinantti on lineaarisesti riippumattomille funktioille aina \(0\).
• Olkoon \(y = c_1y_1+c_2y_2 \, (c_1, c_2 \in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Nyt \(y_2\) on myös saman yhtälön ratkaisu.
• Vakion variointi-menetelmää hyödynnetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Jos homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksiset, yleinen ratkaisu sisältää trigonometrisia termejä.
Feedback: • Tosi. Näin on! • Epätosi. Vastausten tulee olla lineaarisesti riippumattomia. • Epätosi. Epähomogeenisen yhtälön ratkaisemiseen tarvitset homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja näin ollen karakteristisen yhtälön. • Tosi. Epähomogeeninen 2. kertaluvun yhtälö ratkaistaan tavallisesti joko määräämättömien kertoimien menetelmällä tai vakion varioinnilla. • Epätosi. ​2. kertaluvun tapauksessa tarvitaan vähintään kaksi alkuehtoa. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Epätosi. Lineaarisesti riippumattomille funktioille Wronskin determinantti poikkeaa aina nollasta. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Tosi. Näin on! • Tosi. Tällöin \(y = e^{\alpha x} \left( c_1\sin(\beta x)+ c_2\cos(\beta x) \right)\).

Solve the differential equation \[[value]=0.\]Ratkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=0.\]

Find the characteristic equation of the given differential equation. Use the symbol \(r\) for the variable.Määritä annetun differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö. Käytäthän muuttujana kirjainta \(r\).

\(= 0\)

The zeros of the characteristic equation areKarakteristisen yhtälön nollakohdat ovat

\(r_1 = \)

\(r_2 = \)

Thus the general solution for the differential equation isTällöin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on

\(y(x) = C_1 \cdot\) \(+ C_2 \cdot \)

(\(C_1\) and \(C_2\) are constants)(\(C_1\) ja \(C_2\) ovat vakioita)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The characteristic equation of a homogeneous and linear differential equation having constant multipliers (i.e. that is of the form \( a y''+b y' + c y = 0 \)) is \( a r^2+b r + c = 0 \). In this exercise, we have to solve the differential equation \[ [value]=0, \] so the characteristic equation is \[ [value]. \]Homogeenisen, lineaarisen, vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön (muotoa \( a y''+b y' + c y = 0 \)) karakteristinen yhtälö on \( a r^2+b r + c = 0 \). Tässä tehtävässä ratkaistava differentiaaliyhtälö on \[ [value]=0, \] joten karakteristinen yhtälö on \[ [value]. \] The zeros of the characteristic equation can be found using the quadratic formula. The zeros are \( [value] \) and \( [value] \).Karakteristisen yhtälön nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \( [value] \) ja \( [value] \). The characteristic equation has two distinct roots, so the general solution to the differential equation is of the form \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] where \( r_1 \) and \( r_2 \) are the roots of the characteristic equation. Therefore, the solution to the differential equation is \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri juurta, joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] jossa \( r_1 \) ja \( r_2 \) ovat karakteristisen yhtälön juuret. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]

Find a particular solution for the differential equation \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] using the substitution \(Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x)\). Give the values of the constants in your answer (integers).Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] yksittäisratkaisu yritteen \[ Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \] avulla. Anna vastauksena vakioiden arvot (jotka ovat kokonaislukuja).

\(A=~\)

\(B=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The substitution provided in the exercise: Tehtävässä annettu yrite: \[ y(x)=Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \\ \Rightarrow y''(x)=-[value]A\sin([value]x)-[value]Ax\cos([value]x)+[value]B\cos([value]x)-[value]Bx\sin([value]x) \] Substituting these in the differential equation and solving for \(A\) and \(B\), we getSijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön ja ratkaistaan \(A\) ja \(B\). \[ -[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x)=[value]\cos([value]x) \] The solutions areRatkaisuiksi saadaan \[ [value]B=[value]~\Rightarrow B=[value] \] andja \[ -[value]A=0~\Rightarrow A=0 \]

Separoituvat differentiaaliyhtälöt

Kyseessä on perustehtävät.

Differentiaaliyhtälöiden terminologiaa

The general solution to a second order nonhomogeneous differential equationEpähomogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]

is of the formyleinen ratkaisu on on muotoa

\[y(x)=C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + y_0 (x),\]

where \(y_1\) and \(y_2\) are the solutions to the corresponding homogeneous equation, and \(y_0\) is a particular solution to the nonhomogeneous equation.missä \(y_1\) ja \(y_2\) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisut ja \(y_0\) on jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[[value]=x\]

given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla

\[y(0)=0 \text{ ja } y'(0)=0.\]

First form the characteristic equation of the corresponding homogeneous differential equation (\([value] = 0\)) and find its roots by solving \([value] = 0\). Then you can find the solutions corresponding these roots: Laske ensiksi vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön \[ [value] = 0 \] karakteristisen yhtälön \[ [value] = 0 \] juuret ja niitä vastaavat perusratkaisut:

\(\lambda_1 =\)

\(\lambda_2 =\)

\(y_1 = \)

\(y_2 = \)

To find the particular solution, use the substitution \(y_0 = A_0+A_1 x\) and determine the values of the constants: Käytä yksittäisratkaisulle yritettä \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja määritä vakioiden arvot:

\(A_0 = \)

\(A_1 =\)

Finally, using the given initial values, find the constants \(C_1\) and \(C_2\) and provide the solution for the differential equationMääritä vielä vakioiden \(C_1\) ja \(C_2\) arvot annettujen alkuarvojen avulla ja anna lopullinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

\(y(x)\) =
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=x\] given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla \(y(0)=0\) ja \(y'(0)=0\). Solving the characteristic equation of the corresponding homogeneous equation we get \(\lambda_1 = [value]\) and \(\lambda_2 = [value]\). Since the roots are distinct and real, the corresponding solutions are \(y_1 = [value]\) and \(y_2 = [value]\).Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisesta yhtälöstä \([value] = 0\) saadaan juuriksi \(\lambda_1 = [value]\) ja \(\lambda_2 = [value]\). Koska juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niitä vastaavat perusratkaisut ovat \(y_1 = [value]\) ja \(y_2 = [value]\). Substituting \(y_0 = A_0+A_1 x\) and its first and second order derivatives \(y_0' = A_1\) and \(y_0''=0\) in the differential equation, we getSijoitetaan yrite \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta \(y_0' = A_1\) ja \(y_0''=0\) differentiaaliyhtälöön. Näin saadaan yhtälö \[0-[value]A_1+[value]\cdot(A_0+A_1 x) = x,\] which holds when \(A_0 = [value]\) and \(A_1 = [value]\).joka pätee kun \(A_0 = [value]\) ja \(A_1 = [value]\). Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \[y(x)=C_1 [value] + C_2 [value] + [value] x + [value].\] For the initial value problem, we need to find \(y'(x)\).Alkuarvo-ongelmaa varten lasketaan vielä \(y'(x)\). \[y'(x) = [value],\] which takes us to the pair of equationsja saadaan yhtälöpari \[ \left\{\begin{aligned} y(0) &= 0 \\ y'(0) &= 0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} [value] &= 0\\ [value] &= 0 \end{aligned}\right. \] Solving for \(C_1\) and \(C_2\) we get \(C_1 = [value]\) and \(C_2 = [value]\). Therefore the solution for the initial value problem isRatkaisuiksi saadaan \(C_1 = [value]\) ja \(C_2 = [value]\). Alkuarvo-ongelman ratkaisu on siis \[y(x) = [value].\]

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.

Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu:

Karakteristinen yhtälö: (Käytä muuttujana r.)

Ratkaistaan \(r_1 = \) ja \(r_3 = \) .

Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\(y_n = \) (Käytä kertoimina a ja b.)

Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu:

Valitaan yrite \(y_p = \) . (Käytä kertoimena c.)

Nyt \(y_p' = \) ja \(y_p'' = \) .

Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = \) .

Siispä yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu: Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa. Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu: Karakteristinen yhtälö: [value] Ratkaistaan \(r_1 = [value]\) ja \(r_3 = [value]\) Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on \(y_n = [value]\) Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu: Valitaan yrite \(y_p = [value]\) Nyt \(y_p' = [value]\) ja \(y_p'' = [value]\) Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = [value]\). Siispä yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\)

Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella.

Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\).

Nyt \(y_2' = u'x + \) ja \(y_2'' = u''x+ \) \(\cdot \, u'\).

Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = \) .

Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = \) . Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!).

Nyt \(u = \) .

Tällöin ratkaisu \(y_2 = \) .

Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti

\(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \) , \(\quad x\neq 0\).

Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti |  | .

Yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) , \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella. Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\). Nyt \(y_2' = u'x + [value]\) ja \(y_2'' = u''x+ [value]u'\). Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = [value]\). Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = [value]\). Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!). Nyt \(u = [value]\). Tällöin ratkaisu \(y_2 = [value]\). Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti \(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = [value]\), \(\quad x\neq 0\). Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti riippumattomia. Yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\), \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).

Integroituva differentiaaliyhtälö

Seuraava tehtävä on helppo ratkaista pelkästään integroimalla.

Lineaarinen riippumattomuus ja Wronskin determinantti

Tämä tehtävä ei ole haastava, mutta on täydentävää tietämystä.

2. kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälö

Tämä on perustehtävä!

2. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö

Peustehtäviä aihepiiriin.

Kertaluvun pudotus

Vaihtoehtoinen ratkaisutapa ja tämä tehtävä on vapaaehtoinen lisätehtävä.

HUOM! Suosittelen tutustumaan!

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[y'(t) = \frac{e^{-t}-8}{y(t)}.\]

Pick the correct answer from the following choices. Write the number corresponding to your pick of choice in the text box below.Valitse oikea yksittäisratkaisu seuraavista vaihtoehdoista. Kirjoita ratkaisua vastaava numero tekstikenttään.

(1) \(\quad [value]\)

(2) \(\quad [value]\)

(3) \(\quad [value]\)

(4) \(\quad [value]\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The equation is separable. Multiplying with the function \(y(t)\) we getYhtälö on separoituva. Kertomalla funktiolla \(y(t)\) saadaan \begin{equation*} y(t)y'(t) = \textrm{e}^{-t}-8 \quad\Rightarrow\quad \int y(t)y'(t) \,\textrm d t = \int \left( \textrm{e}^{-t}-8 \right) \,\textrm d t = -\textrm{e}^{-t} - 8t + c, \end{equation*} and since \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), we getja koska \(\frac{\textrm d}{\textrm d t} y(t)^2 = 2y(t)y'(t)\), saadaan \begin{equation*} \int y(t)y'(t) \,\textrm d t= \tfrac 12 y(t)^2. \end{equation*} ThereforeSiten \begin{equation*} y(t)^2 = 2c - 2\textrm{e}^{-t} - 16t \quad\Rightarrow\quad y(t) = \pm \sqrt{C - 2\textrm{e}^{-t} - 16t}. \end{equation*}

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö

Tehtävät ovat perustehtäviä!

HUOM! Tutustu ennen tehtävien aloittamista opetusvideoon Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Nyt harjoittelemme erityisesti sitä, mistä PLUSSA-monisteen Lauseen 3.5.1. kaava tulee.