Title: Alkio ja osajoukko

Tutustu seuraavia tehtäviä varten kurssimateriaalin lukuihin 1.3 ja 1.4.

Olkoon \(A = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 < 5\} \).

Ovatko seuraavat joukkoa \(A\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

a) \(\{-1,2\} \in A\)

b) \(\{-1,2\} \subset A\)

c) \(\{-1,2,3\} \subset A\)

d) \(\emptyset \subset A\)

Olkoon \(B = \{7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}, \{\{7\}\}\}\).

Ovatko seuraavat joukkoa \(B\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

e) \(\{2,7,8\} \in B\)

f) \(\{2,7,8\} \subset B\)

g) \(\{\{2\},\{\{7\}\},8\} \subset B\)

h) \(\emptyset \in B\)
Feedback: a) Väärin, koska joukko \(\{-1,2\}\) ei ole \(A\):n alkio. b) Oikein. c) Väärin, sillä \(3 \notin A\). Tämä johtuu siitä, että \(3^2 = 9 > 5\). Joukon \(A\) alkiot ovat \(-2, -1, 0, 1\) ja \(2\). d) Oikein. Itse asiassa \(\emptyset \subset X\) kaikilla joukoilla \(X\). e) Oikein. f) Väärin, sillä \(2 \notin B\). Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). g) Oikein. h) Väärin. Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). Huomaa kuitenkin, että \(\emptyset \subset B\).

Aloitetaan opiskelu kisällimenetelmän tapaan tutustumalla uuteen aiheeseen tehtävien kautta. Seuraavien tehtävien avulla opettelet joukkoihin liittyviä merkintätapoja. Tietoa löydät kurssimateriaalin luvusta 1.1. Kun teet tehtäviä kurssimateriaalin avulla, opit samalla lukemaan matemaattista tekstiä. Jos jäät jumiin, voit aina kysyä neuvoa ohjaajilta.

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A=\{ x \in \mathbb{N} \mid [value]x-[value] \leq [value] \} \)

\(A=\)

b) \( B=\{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = [value] \} \)

\(B= \)
Feedback: a) Koska \([value]x-[value] \leq [value] \iff x \leq [value]\), niin \(A = [value] \). b) Yhtälön \(x^2 = [value]\) ratkaisut ovat \(x=[value]\) ja \(x=-[value]\), joten \(B = [value] \).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A = \{ n \in \mathbb{N} \mid n < 19 \text{ ja } n = [value]k \text{ jollain } k \in \mathbb{Z} \} \).

\(A= \)

b) \(B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2-[value]x+[value] < 0\} \)

\(B= \)
Feedback: a) \(A = [value] \) b) Ratkaistaan ensin epäyhtälö \(x^2-[value]x+[value] < 0\). Määritetään aluksi nollakohdat, eli ratkaistaan yhtälö \( x^2-[value]x+[value] = 0\). Tämän ratkaisut ovat \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). Koska \(y=x^2-[value]x+[value]\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, se saa negatiivisia arvoja nollakohtiensa välissä. Epäyhtälön ratkaisu on siten \([value] < x < [value]\). Kun valitaan tältä väliltä kaikki kokonaisluvut, niin saadaan \(B=[value]\).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \sqrt{x+[value]} = x \} \)

\(A = \)

b) \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2-[value]x+[value]=0 \text{ ja } x \neq k^2 \text{ kaikilla } k \in \mathbb{N} \} \)

\(B = \)
Feedback: a) Ratkaistaan yhtälö \(\sqrt{x+[value]}=x\). Nähdään, että \(\sqrt{x+[value]}=x\) \(\Rightarrow (\sqrt{x+[value]})^2=x^2\) \(\Rightarrow x+[value] =x^2\) \(\Rightarrow x^2-x-[value]=0\) \(\Rightarrow x=-[value] \text{ tai } x=[value]. \) Tarkistetaan sijoittamalla: Huomataan, että \(\sqrt{[value]+[value]}=[value]\), joten \(x=[value]\) on yhtälön ratkaisu. Toisaalta \(\sqrt{-[value]+[value]}=[value] \neq -[value]\), joten \(x=-[value]\) ei ole yhtälön ratkaisu. Näin ollen \(A=[value]\). b) Ratkaistaan yhtälö \(x^2-[value]x+[value]=0\). Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan \( x = \frac{-(-[value]) \pm \sqrt{(-[value])^2 -4 \cdot 1 \cdot [value]}}{2 \cdot 1} = \frac{[value] \pm \sqrt{[value]}}{2} = \frac{[value] \pm [value]}{2}\), eli \(x = [value]\) tai \(x =[value]\). Huomataan, että \([value]=[value]^2\), missä \([value] \in \mathbb{N}\). Sen sijaan selvästi \([value] \neq k^2\) kaikilla \(k \in \mathbb{N}\). Näin ollen \(B = [value]\).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\}\)

\(A = \)

b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\}\)

\(B = \)

c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\}\)

\(C = \)

d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\}\)

\(D = \)
Feedback: a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\} = \{[value], [value]\}\). b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä alkioiden toistaminen ei muuta joukkoa. c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\} = \{[value], [value]\}\), sillä \((n-[value])(n-[value]) = 0\) täsmälleen silloin, kun \(n = [value]\) tai \(n = [value]\). Huomataan, että kaikissa kohdissa joukko on sama.