Title: Funktiot

Olkoon \( f(x)=\Large{[value]} \) reaalifunktio.

\( \textbf{(a)} \) Mikä on \(f\):n (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko?

\( \textbf{(b)} \) Määritä \(f([value] )\), \(f([value])^{-1}\) ja \(f^{-1}(1)\).

\( \textbf{(c)} \) Onko \( f \) injektio?

Anna kaikki vastaukset \( \textbf{tarkkoina arvoina} \)!

Vihjeitä: \( \infty \) kirjoitetaan muodossa \( \text{inf} \) ja \( -\infty \) muodossa \( \text{minf} \). Neliöjuuren saat sqrt() -komennolla. Esim. \(\sqrt{x}\) kirjoitetaan sqrt(x). \( \textbf{(b)} \)-kohdan kolmannessa kohdassa muodosta ratkaisusi alkio(i)sta joukko, vaikka niitä olisikin vain yksi. Esimerkiksi jos saat ratkaisuksi arvon \( a \), kirjoita vastaus muodossa {a}. Jos saat ratkaisuksi arvot \(a\) ja \(b\), kirjoita vastaus muodossa {a,b} jne.

Pisteytys: \( \textbf{(a)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,1 pistettä, \( \textbf{(b)} \)-kohdan jokaisesta oikeasta vastauksesta 0,15 pistettä ja \( \textbf{(c)} \)-kohdasta 0,15 pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Joko \( x \) on välillä \( \leq x < \) TAI \( < x < \) .

\( \textbf{(b)} \)
\( \quad f([value] ) = \)
\( \quad f([value])^{-1} = \)
\( \quad f^{-1}(1) = \)

\( \textbf{(c)} \) Onko funktio \( f \) injektio? (tosi/true: on injektio; epätosi/false: ei ole injektio)
Mieti tykönäsi, miksi on / ei ole.
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) On oltava \(x^2-x\ne0\) ja lisäksi \([value]\ge0\). Esimerkiksi merkkikaavion avulla nähdään, että osamäärä \([value]\) on määritelty ja ei-negatiivinen täsmälleen silloin, kun \([value]\le x<0\) tai \(x>1\). Siten \(M_f=[[value],0)\cup(1,\infty)\). \( \textbf{(b)} \) \( \begin{align} &f([value])=[value], \\ &f([value])^{-1}=1/f([value])=[value] \\ &f^{-1}(1)=\{x\in M_f:\ f(x)=1\}=[value] \quad \text{(ratkaise yhtälö} [value]=1) \end{align} \) \( \textbf{(c)} \) Injektio on kuvaus, jossa jokainen lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden maalijoukon alkion alkukuva, toisin sanoen mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. Formaalisti ilmaistuna \[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b. \] \(f\) ei ole injektio, sillä esimerkiksi (ks. \( \textbf{(b)}\)-kohta) \(f([value])=1=f([value])\).

Olkoot \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x)=[value] \) ja \( \displaystyle g:M_g\to \mathbb{R}, \quad g(x)=[value] \) reaalifunktioita.

\( \textbf{(a)} \) Määritä \(f^{-1}([value]) \). \( \textbf{(b)} \) Määritä funktion \(g\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko \(M_g\subset \mathbb{R} \). \( \textbf{(c)} \) Määritä \(g^{-1}([value]) \).

Anna kaikkien kohtien vastaus JOUKKONA. Joukko kirjoitetaan aaltosulkeiden avulla. Esim. luvusta a muodostuva joukko kirjoitetaan {a} ja luvuista a,b ja c muodostuva joukko kirjoitetaan {a,b,c}. \( \textbf{(b)} \) -kohdassa anna vastaukseksi se joukko, jonka alkio(t) eivät kuulu funktion \(g\) määrittelyjoukkoon.

\( \textbf{(a)} =\) \( \textbf{(b)} = \mathbb{R} \setminus \) \( \textbf{(c)} =\)
Feedback: Mallivastaus: \( \mathbf{(a)} \) Pisteen [value] alkukuva on joukko \[ \begin{align} f^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : f(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]=0\} =[value]. \end{align} \] \( \mathbf{(b)} \) Funktio on määritelty kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa, eli pisteessä \(x=[value]\). Näin ollen \[ M_{g}=\mathbb{R} \backslash \{[value]\}. \] \( \mathbf{(c)} \) Pisteen \( [value] \) alkukuva on joukko \[ \begin{align} g^{-1}([value])&=\{x\in \mathbb{R} : g(x)=[value]\}=\{x\in \mathbb{R} : [value]=[value]\}\\ &=\{x\in \mathbb{R} : [value]\}=[value]. \end{align} \]

Olkoon \[f(x)=[value]\] funktio, jonka määrittelyjoukko \(M_{f}=[1,[value]]\) ja kuvajoukko \(K_{f}=[[value],[value]]\).

Määrää funktion \(f\) käänteisfunktio \(f^{-1}\) määrittelyjoukkoineen \(M_{f^{-1}}\).

Let \[f(x)=[value]\] be the function with the domain \(D_{f}=[1,[value]]\) and the range \(R_{f}=[[value],[value]]\).

Find the inverse \(f^{-1}\) of the function \(f\)and specify the domain \(D_{f^{-1}}\).

\(f^{-1}(x)=\),

\(M_{f^{-1}}=[\) , \(]\).
Feedback: Malliratkaisu: Merkitään \(y=[value]+\tfrac{[value]}{x}\), jolloin \(y\in [[value],[value]]\). The model solution: Let \(y=[value]\), \(y\in [[value],[value]]\). \begin{align*} y &=[value]\\ y-[value] &= [value]\\ \frac1{y-[value]}&= \frac{x}{[value]}\\ x&=\frac{[value]}{y-[value]} = f^{-1}(y) \end{align*} Siis Hence \[ f^{-1}(x) = \frac{[value]}{x-[value]},\quad M_{f^{-1}} = K_{f} = [[value],[value]]. \]

Olkoon \[f(x)=[value]\] funktio, jonka määritysjoukko \(M_{f}=[[value],[value]]\) ja kuvajoukko \(K_{f}=[[value],[value]]\).

Määrää funktion \(f\) käänteisfunktio \(f^{-1}\) määritysjoukkoineen \(M_{f^{-1}}\).

Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

Let \[f(x)=[value]\] be the function with the domain \(D_{f}=[[value],[value]]\) and the range \(R_{f}=[[value],[value]]\).

Find the inverse \(f^{-1}\) of the function \(f\)and specify the domain \(D_{f^{-1}}\).

The square root of a is written as sqrt(a), e.g. sqrt(2).

\(f^{-1}(x)=\),

\(M_{f^{-1}}=[\) , \(]\).
Feedback: Malliratkaisu: Merkitään \(y=[value]\), jolloin \(y\in [[value],[value]]\). The model solution: Let \(y=[value]\), \(y\in [[value],[value]]\). \begin{align*} y &= [value]\\ y-[value] &= [value]\\ [value]y-[value] &= [value]\\ [value]&=[value]y-[value]\\ [value] &= \pm[value] \\ x &= [value] = f^{-1}(y), \end{align*} missä valittiin \(-\sqrt{\cdot}\), koska \(x\in[[value],[value]]\) ja näin yhtälön vasen puoli on negatiivinen. Siis Hence \[ f^{-1}(x) = [value],\quad M_{f^{-1}} = K_{f} = [[value],[value]]. \]

Määrittelevätkö seuraavat yhtälöt \(y\):n \(x\):n funktiona?

Check if the following equations define \(y\) as the function of \(x\).

a) \([value]x^2-y=[value]\),

b) \([value]y^2-x=1\),

c) \([value]y=|x+[value]|\),

d) \([value]=x+[value]\).
Feedback: Ratkaisu: Yhtälöt määrittelevät funktion, jos \(y\) on mahdollista ratkaista yhtälöstä yksikäsitteisesti \(x\):n mukaan. Tämä onnistuu kohdissa a), c) ja d): Solution: An equation define a function, if it is possible to solve \(y\) from the equation uniquely with respect to \(x\). This is possible in the cases a), c) and d). a) \(y=[value]x^2-[value]\) c) \(y=\frac{|x+[value]|}{[value]}\) d) \(y=\sqrt[3]{\frac{x+[value]}{[value]}}\). Kohdassa b) taas tiettyyn \(x\):n arvoon liittyy useampia \(y\):n arvoja: b) \(y=\pm\sqrt{\frac{x+1}[value]}\). Esimerkiksi kun \(x=[value]\), saadaan \(y\):lle kaksi eri arvoa \(y=\pm1\).

On annettu funktio \( f(x)=[value] \). Laske yhdistetyn funktion \( (f\circ f)(x) \) arvo pisteessä \( x = [value] \).

\( (f\circ f)([value])= \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{eqnarray*} f(x) & = & [value]. \\ (f \circ f)(x) & = & f(f(x)) \\ (f \circ f)(x) & = & [value] \\ (f \circ f)([value]) & = & ([value]^[value]+1)^[value] + 1 = [value]^[value] + 1 \\ (f\circ f)([value]) & = & [value] \end{eqnarray*} \)

Olkoon \(f:A \to B\), \(f(x)=x^2+[value]\) funktio ja \(B=\{y \in \mathbb{N} \, |\,y\leq [value]\}.\)

\(\begin{align*} & \textbf{(a)} \quad \text{Etsi laajin joukko } A \subset \mathbb{Z} \text{ ja sitä vastaava arvojoukko } R_f. \\ \\ & \textbf{(b)} \quad \text{Määritä alkioiden } [value] \text{ ja } [value] \text{ alkukuvajoukot.} \end{align*}\)

Esitä joukot kaarisulkeiden avulla - myös sellaiset joukot, joissa on vain yksi alkio! Esimerkiksi luvuista 1, 7 ja 9 muodostuva joukko kirjoitetaan {1,7,9}. Vastaavasti joukko, jossa on vain luku 11 kirjoitetaan muodossa {11}.

\( \textbf{(a)} \quad A =\) \( \quad R_f = \)

\( \textbf{(b)} \quad \) Luvun [value] alkukuvajoukko: ,
luvun [value] alkukuvajoukko:
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Ratkaistaan yhtälö \( x^2 + [value] = f(x) \). Nyt \( f(x) = y \le [value] \), joten saadaan \[ \begin{align} x^2 + [value] &\le [value] \\ x^2 &\le [value] \\ x &\le [value] \lor x \ge - [value] \end{align} \] Koska alkukuvajoukko \( A \subset \mathbb{Z} \) eli alkukuvajoukon alkiot ovat kokonaislukuja, alkukuvajoukko \( A = [value] \). Sijoittamalla alkukuvajoukon arvot funktioon \( f(x) \) saadaan sitä vastaava arvojoukko \( R_f = [value]. \) \( \textbf{(b)} \) Ratkaistaan yhtälöt \( x^2 + [value] = [value] \) ja \( x^2 + [value] = [value]. \) \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] \[ \begin{align} x^2 + [value] &= [value] \\ x^2 & = [value] \\ x &= \pm [value] \end{align} \] Siis luvun [value] alkukuvajoukko on [value] ja luvun [value] alkukuvajoukko on [value].

Määrää funktion \(f\) määritysjoukko \(M_f \), kun \[f(x) = \frac{1}[value].\] Find the domain \(D_f \) of the function \(f\) when \[f(x) = \frac{1}[value].\]
\(M_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne\) \(D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne\) ja and \(x\ne\) \(\}\)
Feedback: Malliratkaisu: Määritysjoukko on koko reaalilukujen joukko \(\mathbb{R}\) poislukien rationaalifunktion nimittäjän nollakohdat. Nollakohdat ovat tässä tapauksessa yhtälön \([value]=0\) juuret. Ratkaisukaavan mukaan juuret ovat \[x=\frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2-([value])}}{2}=\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases}.\] Model solution: \(f\) is defined when \(x\in\mathbb{R}\) and \([value]\ne0\). \begin{align*} [value]&\ne0\\ x&\ne\frac{[value]\pm\sqrt{([value])^2-([value])}}{2}\\ x&\ne\begin{cases}[value]\\[value]\end{cases} \end{align*} Therefore \(D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne[value]\textrm{ and }x\ne[value]\}\).

Olkoon \(f(x)=[value]x^2+[value]\) funktio, jonka määritysjoukko \(M_f=][value]\sqrt{2},\infty[\). Olkoon edelleen \(g(x)=\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}\) funktio, jonka määritysjoukko \(M_g=][value],\infty[\).

Määrää yhdistetty funktio \(f\circ g\) määritysjoukkoineen \(M_{f\circ g}\). Sievennä vastauksesi.

Let \(f(x)=[value]x^2+[value]\) be the function with the domain \(D_f=][value]\sqrt{2},\infty[\). Moreover, let \(g(x)=\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}\) be the function with the domain \(D_g=][value],\infty[\). Find the composite function \(f\circ g\) with the domain \(D_{f\circ g}\). Present your answers in the simplified form.

\(f\circ g=\) ,

\(M_{f\circ g}=]\) \(D_{f\circ g}=]\) ,\(\,[\)
Feedback: Malliratkaisu: \[ \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = f(\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}) = [value](\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}})^2+[value]\\ &=\dfrac{[value]}{x-[value]}+[value] = \dfrac{[value]x}{x-[value]},\\ M_{f \circ g} &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x\in M_g \,\textrm{ ja }\, g(x)\in M_f \,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ ja }\, \dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}\gt [value]\sqrt{2}\,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ ja }\, \sqrt{x-[value]}\lt \sqrt{2}\,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ ja }\, x \lt [value] \,\}\\ & = ][value],[value][ \end{align*} \] Model solution: \[ \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = f(\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}) = [value](\dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}})^2+[value]\\ &=\dfrac{[value]}{x-[value]}+[value] = \dfrac{[value]x}{x-[value]},\\ D_{f \circ g} &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x\in D_g \,\textrm{ and }\, g(x)\in D_f \,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ and }\, \dfrac{[value]}{\sqrt{x-[value]}}\gt [value]\sqrt{2}\,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ and }\, \sqrt{x-[value]}\lt \sqrt{2}\,\} \\ &= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \gt [value] \,\textrm{ and }\, x \lt [value] \,\}\\ & = ][value],[value][ \end{align*} \]

Olkoon \(f(x)=[value]x^2+[value]\) funktio, jonka määrittelyjoukko \(M_f=[1,\infty[\).

Olkoon edelleen \(g(x)=\frac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\) funktio, jonka määrittelyjoukko \(M_g=[[value],\infty[\).

Määrää yhdistetyt funktiot \(f\circ g\), \(g\circ f\) ja \(f\circ f\)

määrittelyjoukkoineen \(M_{f\circ g}\), \(M_{g\circ f}\) ja \(M_{f\circ f}\). Sievennä vastauksesi.

Let \(f(x)=[value]x^2+[value]\) be the function with the domain \(D_f=[1,\infty[\).

Moreover, let \(g(x)=\frac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\) be the function with the domain \(D_g=[[value],\infty[\).

Find the composite functions \(f\circ g\), \(g\circ f\) and \(f\circ f\)

with the domains \(D_{f\circ g}\), \(D_{g\circ f}\) and \(D_{f\circ f}\). Present your answers in the simplified form.

\(f\circ g=\) , \(M_{f\circ g}=[\) \(D_{f\circ g}=[\) ,\(\infty [\)

\(g\circ f=\) , \(M_{g\circ f}=[\) \(D_{g\circ f}=[\) ,\(\infty [\)

\(f\circ f=\) , \(M_{f\circ f}=[\) \(D_{f\circ f}=[\) ,\(\infty [\)
Feedback: Malliratkaisu: Nyt \(M_f = [1,\infty[\) ja \(M_g = [4,\infty[\). Tällöin \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\tfrac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\,) = [value](\tfrac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\,)^2+[value] = x, \) \(M_{f \circ g} = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x\in M_g \,\textrm{ ja }\, g(x)\in M_f \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 4 \,\textrm{ ja }\, 1 \leq \tfrac{\sqrt{x-[value]}}{[value]} < \infty \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 4 \,\textrm{ ja }\, x \geq [value] \,\} = [[value],\infty[ ,\) \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g([value]x^2+[value]) = \tfrac{1}{[value]}\sqrt{[value]x^2+[value]-[value]} = |x| = x, \) \(M_{g \circ f} = \{\, x\in \mathbb{R} \,|\, x\in M_f \,\textrm{ ja }\, f(x)\in M_g \,\} \) \( = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 1 \,\textrm{ ja }\, 4 \leq [value]x^2+[value] < \infty \,\} \) \( = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 1 \,\textrm{ ja }\, \{ x \leq -\tfrac{1}{[value]}\,\textrm{ tai }\, x \geq \tfrac{1}{[value]}\} \,\} = [1,\infty[, \) \((f \circ f)(x) = f(f(x)) = [value]([value]x^2+[value])^2+[value] = [value]x^4+[value]x^2+[value] ,\) \(M_{f \circ f} = \{\, x\in \mathbb{R} \,|\, x\in M_f \,\textrm{ ja }\, f(x)\in M_f \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\,x \geq 1 \,\textrm{ ja }\, \underbrace{1 \leq [value]x^2+[value] < \infty}_{\textrm{ tosi kaikilla } x\in\mathbb{R}} \,\} = [1,\infty[ .\) Model solution: Now \(D_f = [1,\infty[\) and \(D_g = [4,\infty[\). Hence \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\tfrac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\,) = [value](\tfrac{1}{[value]}\sqrt{x-[value]}\,)^2+[value] = x, \) \(D_{f \circ g} = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x\in D_g \,\textrm{ and }\, g(x)\in D_f \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 4 \,\textrm{ and }\, 1 \leq \tfrac{\sqrt{x-[value]}}{[value]} < \infty \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 4 \,\textrm{ and }\, x \geq [value] \,\} = [[value],\infty[, \) \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g([value]x^2+[value]) = \tfrac{1}{[value]}\sqrt{[value]x^2+[value]-[value]} = |x| = x, \) \(D_{g \circ f} = \{\, x\in \mathbb{R} \,|\, x\in D_f \,\textrm{ and }\, f(x)\in D_g \,\} \) \( = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 1 \,\textrm{ and }\, 4 \leq [value]x^2+[value] < \infty \,\} \) \( = \{\, x\in\mathbb{R} \,|\, x \geq 1 \,\textrm{ and }\, \{ x \leq -\tfrac{1}{[value]}\,\textrm{ or }\, x \geq \tfrac{1}{[value]}\} \,\} = [1,\infty[, \) \((f \circ f)(x) = f(f(x)) = [value]([value]x^2+[value])^2+[value] = [value]x^4+[value]x^2+[value], \) \(D_{f \circ f} = \{\, x\in \mathbb{R} \,|\, x\in D_f \,\textrm{ and }\, f(x)\in D_f \,\} \) \(= \{\, x\in\mathbb{R} \,|\,x \geq 1 \,\textrm{ and }\, \underbrace{1 \leq [value]x^2+[value] < \infty}_{\textrm{ true for all } x\in\mathbb{R}} \,\} = [1,\infty[. \)

Olkoot \(f\) ja \(g\) funktioita, joille \(f(x)=\dfrac{x+[value]}{x+[value]}\) ja \(g(x)=\dfrac{x+[value]}{x-[value]}\).

Määrää funktiot \(f + g\),  \(ff\), \(f g\) ja \(\frac{f}{g}\). Sievennä vastauksesi.

Let functions \(f\) and \(g\) be \(f(x)\dfrac{x+[value]}{x+[value]}\) and \(g(x)\dfrac{x+[value]}{x-[value]}\)

Find fuctions \(f + g\), \(ff\), \(f g\) and \(\frac{f}{g}\). Simplify your answers.

\(f + g=\)

\(ff=\)

\(f g=\)

\(\frac{f}{g}=\)
Feedback: Ratkaisu: Yhteenlaskussa \(f+g\) summattavat on ensin lavennettava samannimisiksi, minkä jälkeen osoittajat lasketaan yhteen: \[f+g=\frac{(x+[value])(x-[value])}{(x+[value])(x-[value])}+\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x-[value])}=[value].\] Tulossa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään: \[ff=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x+[value])}=[value],\] \[fg=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x-[value])}=[value].\] Osamäärän laskeminen onnistuu tulon avulla, kun vaihdetaan \(g\):n osoittajan ja nimittäjän paikkaa: \[\frac{f}{g}=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x+[value])}=[value].\] Solution: The sum \(f+g\) is simplified by multiplying denominators and nominators so that the denominators are same in both terms. Then, the nominators are combined: \[f+g=\frac{(x+[value])(x-[value])}{(x+[value])(x-[value])}+\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x-[value])}=[value].\] The product is simplified by multiplicating the nominators and denominators: \[ff=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x+[value])}=[value],\] \[fg=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x-[value])}=[value].\] The fraction can be simplified by using product: \[\frac{f}{g}=\frac{(x+[value])(x+[value])}{(x+[value])(x+[value])}=[value].\]