Title: DigiCampus-vienti (Ville)

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2k\) on positiiviterminen sarja.
- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k k\) on positiiviterminen sarja.
- Positiiviterminen sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k\) suppenee, jos \(\displaystyle \int_5^{\infty} f(x) dx\) suppenee. Nyt \(f\colon [5,\infty) \to \mathbb{R}\) on vähenevä funktio ja \(f(k) = a_k \quad \forall k \geq 1\).
- Sarjan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k^2\) suppeneminen voitaisiin päätellä siitä, jos \(\displaystyle \int_1^{\infty} x^2 dx \,\, \big( f\colon [1,\infty) \to \mathbb{R}\) ja \(f(k)=a_k \quad \forall k\geq 1 \big)\) suppenisi.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\) on yliharmoninen sarja.
- Aliharmoninen sarja suppenee.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}\) hajaantuu.
- Olkoon \(0\leq b_k \leq a_k\) kaikilla \(k\). Tiedetään, että \(\sum b_k\) suppenee. Myös sarjan \(\sum a_k\) on supettava.
- Kyseessä on positiiviterminen sarja ja suhdetestin tulos on \(L = 1\). Suhdetesti ei kerro suppenemisesta.
Feedback: Ratkaisut: - Tosi. \(a_{k} \geq 0 \quad \forall k\in [0,\infty)\). - Epätosi. Kun \(k=1\), niin \(a_1 = (-1)^1\cdot 1 = -1 < 0\). - Tosi. Integraalitesti. Integraalin alarajalla ei ole testin kannalta merkitystä. - Epätosi. Integraalitestissä oletuksena, että \(f(x)\) on vähenevä funktio, mikä ei nyt päde. - Epätosi. Kyseessä on geometrinen sarja, jonka \(q = \frac{1}{2}\). - Epätosi. Aliharmoninen sarja hajaantuu. - Tosi. Kyseessä on aliharmoninen sarja ja aliharmoninen sarja hajaantuu aina. - Epätosi. Kyseinen tilanne ei anna minorantti- eikä majoranttiperiaatteen pohjalta kuvaa suppenemisesta. - Tosi. Kun suhdetestin tulos on \(L_1 = 1\) tulee käyttää muuta testiä.

a) Yhdistä sopivasti kirjoittamalla oikea kirjainsymboli kuhunkin ruutuun. Jokaiselle löytyy pari.

Normaalimuoto |  |
Alkuarvotehtävä |  |
Erikoisratkaisu |  |
Yksittäisratkaisu |  |
Yleinen ratkaisu |  |
Implisiittinen ratkaisu |  |
[value]) | Esitysmuoto, jossa korkein derivaatta on ratkaistuna, esim. \(y'=2y+x\).
[value]) | Sisältää differentiaaliyhtälön lisäksi yhden tai useamman alkuehdon.
[value]) | Differentiaaliyhtälön ratkaisu, jota ei voi esittää yleisen kaavan avulla.
[value]) | Eräs funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
[value]) | Esim. \(y=e^x+\frac{1}{2}Cx\). Toiselta nimeltään ratkaisuparvi.
[value]) | Tulos ei ole muodossa \(y(x)=f(x)\). Esim. \(\frac{1}{y(x)}=e^x+1\).

b) Olkoon \(y' = 2y\).

Alla on lueteltuna yhtälön ratkaisuja.

Millainen ratkaisu on kyseessä?

- \(y(x) = 3e^{2x-2}\)
- \(y(x) = Ce^{2x}\)
- \(y(x) = 0\)

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Laske määrätyt integraalit. (\(\pi = \) pi)

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)

(b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)

(c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) (b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) (c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Determine the following integral functions.VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot.

For the natural logarithm, use the command ln(a), e.g. ln(2). The base of the natural logarithm (Euler's number) should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku (Neperin luku) e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e. Käytä integroimisvakiona C.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, you may apply the following formula, for example: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Valitse oikeaa muotoa oleva osamurtokehitelmä kullekin rationaalifunktiolle.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{x(x+6)}\) | \(=\) |
b) | \(\displaystyle \frac{3}{x^2+6x+9}\) | \(=\) |
c) | \(\displaystyle \frac{5}{x^3+3x}\) | \(=\) |
d) | \(\displaystyle \frac{500}{(2x^2+4)^2}\) | \(=\) |
e) | \(\displaystyle \frac{3}{(x-2)^4}\) | \(=\) |

f) Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen.

Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = \) , \(x_2 = \) , \(x_3 = \) , \(x_4 = \) ,

joten \(x^4-2x^2+1 = \big( \) \(\big)^2\big( \) \(\big)^2\).

Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\) | \(=\) |

Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat.

Saadaan :n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on kpl.

Yhtälöryhmä on:

\(=0\)

\(=2\)

\(=0\)

\(=3\)

Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\big( \)+++\( \big)\).

Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \big[ \) \(\big] + C\).
Feedback: Malliratkaisu: f) Tehtävänä on integroida \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx\) osamurtokehitelmää hyödyntäen. Nimittäjän nollakohdat ovat \(x_1 = [value], x_2 = [value], x_3 [value], x_4 = [value]\), joten \(x^4-2x^2+1 = \big( [value] \big)^2\big( [value] \big)^2\). Merkitään \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1}\). Rakennetaan osamurtokehitelmä, jossa \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}\). Lavennetaan termit samannimisiksi ja järjestetään asteen mukaan. Jotta kaksi rationaalilauseketta olisivat samat, on osoittajien oltava yhtä suuret silloin kun nimittäjät ovat samat. Tällöin osoittajissa olevien polynomien samanasteisten termien kertoimien on oltava samat. Saadaan [value]:n yhtälön ryhmä, jossa tuntemattomia on [value] kpl. Yhtälöryhmä on: \[\left\{\begin{alignat*}{1} [value] &= 0 \\ [value] &= 2 \\ [value] &= 0 \\ [value] &= 3 \end{alignat*}\right.\] Siispä \(\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} = \frac{1}{4}\left( [value]+[value]+[value]+[value] \right)\). Tällöin \(\displaystyle \int \frac{2x^2+3}{x^4-2x^2+1} dx = \frac{1}{4} \left[ [value] \right] + C\).

CalculateIntegroi

\[\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx\]

using the substitution \(u = [value]\).käyttäen sijoitusta \(u = [value]\).

\(\mathrm{d}u =\) | \(\mathrm{d}x\)
The new lower limit: Uusi alaraja: |
The new upper limit: Uusi yläraja: |
\(\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx =\) |

HUOM! Tämä tehtävä on matemaattisesti niin yksinkertainen, että sen pystyisi tekemään ilman sijoitusta hyödyntäen yhdistetyn funktion integroimissääntöä. Nyt kokeile kuitenkin hyödyntää ehdotettua sijoitusta ja pohtia sen kautta mm. rajoja.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We notice that dismissing the constant \(\frac{1}{[value]}\) the integralHuomataan, että \[[value]\] is of the formon vakiokerrointa \(\frac{1}{[value]}\) vaille muotoa \[\int_{a}^{b} g'(x)\,f(g(x))\,\mathrm{d}x.\] Also, since \(u = g(x)\) and \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \).ja että \(u = g(x)\) ja \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \). For the new lower limit we get \(g(0) = [value]\) and for the upper limit \(g(1) = [value]\).Uudeksi alarajaksi saadaan \(g(0) = [value]\) ja ylärajaksi \(g(1) = [value]\). Now the integral can be expressed in the formNyt integraali voidaan kirjoittaa muodossa \begin{align*} \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u &= \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}u^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{[value]}\cdot\frac{2}{3}\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}u^{\frac{3}{2}}\\ &=[value]\left([value]^{\frac{3}{2}}-[value]^{\frac{3}{2}} \right) \end{align*}

a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että

b) Jos funktio \(f\) on rajoitettu suljetulla välillä \([a,b]\), niin funktion integraali välillä \([a,b]\) ja funktion \(f\) epäoleellinen integraali välillä \((a,b]\) ovat samat

c) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{3}{2}} dx = \)

Integraali |

d) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{2}{3}} dx = \)

Integraali |

Huom! \(\infty\) saat kirjoittamalla vastauskenttään inf
Feedback: Malliratkaisu: a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että integroimisväli on rajoittamaton. b) Tosi. Rajoitetulle funktiolle epäoleellinen integraali antaa saman arvon kuin integraali. c) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{3}{2}} dx= \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} -2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}-\lim_{c\to\infty} \frac{2}{\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}\). d) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{2}{3}} dx= \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} 3x^{\frac{1}{3}} = [value]+\lim_{c\to\infty} 3c^{\frac{1}{3}} = \infty\).

Compute the improper integralHAASTAVA: Laske seuraava epäoleellinen integraali. Vinkki: Hyödynnä kahteen kertaan osittaisintegrointia ja katso, mitä voit tämän jälkeen huomata!

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x. \]

Give your answer in exact form! Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x. \] Integration by parts: Osittaisintegrointi: \(\displaystyle\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\) \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x}\) \(v'(x)= [value] \Rightarrow v(x)= -\frac{1}{[value]} \cos({[value]}x)\) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} -\textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]} \cdot \cos([value]x)-\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]}\cos([value]x) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x \end{eqnarray*} Applying integration by parts again, we getKäytetään osittaisintegrointia uudestaan. Nyt \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x} \) \(v'(x)= \cos([value]x) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{[value]} \sin([value]x)\) \begin{eqnarray*} \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]} \bigg(\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x)-\int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{[value]} \sin([value]x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]} \bigg( 0- \frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x} \sin({[value]}x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]}\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x. \end{eqnarray*} Whoa! The original integrand appeared also on the right hand side of the equation! Let us move it to the left side.Ohoh! Alkuperäinen integroitava ilmestyi myös yhtälön toiselle puolelle! Siirretään se vasemmalle puolelle. \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ [value] \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Olkoon \(0 \leq h(x) \leq g(x) \leq f(x)\) kaikilla \(x\).

a) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_3^{\infty} h(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_3^{\infty} g(x) dx\)?

b) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_1^{\infty} f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_1^{\infty} g(x) dx\)

c) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 h(x) dx\) suppenee. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 g(x) dx\)?

d) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_0^{\infty} g(x) dx\)?
Feedback: Ratkaisut: a) Hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla. b) Ei voi päätellä, sillä suurempia arvoja saavan funktion hajaantumisesta ei voi päätellä mitään. c) Ei voi päätellä, sillä pienempiä arvoja saavan funktion suppenemisesta ei voi päätellä mitään. d) Ei voi päätellä, sillä eri rajat.

Ratkaistaan \(y'=(1-y)\cos(x)\), kun \(y(\pi)=2\). Valitse kuhunkin kohtaan sopiva välivaiheen lauseke tai yhtälö. Jokaista käytetään täsmälleen kerran.

Muutetaan yhtälö muotoon |  |
Integroiva tekijä \(\mu(x)\) on |  |
Kerrotaan yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä, jolloin saadaan |  |
Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on tulon derivaatta |  |
jolloin yhtälö voidaan ilmaista |  |
Integroidaan puolittain eli |  |
Muutetaan ratkaistuun muotoon |  |
Sijoitetaan \(x=\pi\) ja \(y=2\) eli |  |
Ratkaistaan vakio |  |
Lopullinen ratkaisu on |  |
[value]) | \(y'+\cos(x)y=\cos(x)\)
[value]) | \(e^{\int \cos(x) dx} = e^{\sin(x)}\)
[value]) | \(e^{\sin(x)}y'+e^{\sin(x)}\cos(x)y = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big]\)
[value]) | \(D_x\Big[ y\cdot e^{\sin(x)} \Big] = e^{\sin(x)}\cos(x)\)
[value]) | \(y\cdot e^{\sin(x)} = e^{\sin(x)} + C\)
[value]) | \(y = 1+Ce^{-\sin(x)}\)
[value]) | \(2 = 1+C\)
[value]) | \(C = 1\)
[value]) | \(y(x) = 1+e^{-\sin(x)}\)

a) Järjestä 1. kertaluvun lineaariyhtälön \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\) ratkaisuvaiheet oikeaan järjestykseen kirjoittamalla numerot 1-5 tyhjiin ruutuihin.

 | Muodosta integroiva tekijä \(\mu(x) = e^{\int a(x) dx}\).
 | Kerro yhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä.
 | Tarkista, että yhtälön vasemmalla puolella on derivaatta \(D_x \big( y(x)\mu(x) \big)\).
 | Integroi puolittain. Lisää vakio \(C\) oikealle puolelle.
 | Muuta eksplisiittiseen muotoon.

b) Tavoitteena on ratkaista \(y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\). Käytetään integroivana tekijänä \(\mu(x) = e^{\int a(x)dx}\). Valitse jokaiseen välivaiheeseen sopiva perustelu alasvetovalikosta.

 | \(y'(x)+a(x)y(x) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle e^{\int a(x)dx} y'(x)+a(x)e^{\int a(x)dx} y(x) = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle D_x\big[ y(x)e^{\int a(x)dx} \big] = f(x)e^{\int a(x)dx}\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x)e^{\int a(x)dx} = \int f(x)e^{\int a(x)dx}dx + C\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle y(x) = e^{-\int a(x)dx} \Big( \int f(x)e^{\int a(x)dx} dx + C \Big)\) |

Find a solution to the separable differential equation \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] that satisfies the initial condition \(y(1)=[value]\).Määritä separoituvalle differentiaaliyhtälölle \[ y'= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \] ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon \(y(1)=[value]\).

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: a) Let us begin by separating \(x\) and \(y\). We neglect the specific points for now and return to them later in case we are unable to derive the particular solution from the general solution.Aloitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla \(x\) ja \(y\). Jätetään erityiset pisteet huomiotta ja palataan niihin, mikäli yleisestä ratkaisusta ei saada haluttua yksittäisratkaisua. \begin{align*} y' &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \frac{dy}{dx} &= [value]\cdot \frac{[value]+y}{x} \\ \int \frac{1}{[value]+y} dy &= [value]\cdot \int \frac{1}{x} dx \end{align*} Integrating the previous equation gives us the general solution.Integroimalla saatu yhtälö saadaan yleinen ratkaisu. \begin{align*} \text{ln }|[value]+y| &= [value]\cdot \text{ln }|x| + \text{ln }|C| \\ \text{ln }|[value]+y| &= \text{ln }|x^{[value]}| + \text{ln }|C| \\ [value]+y &= Cx^{[value]} \\ y &= Cx^{[value]} - [value] \end{align*} The exercise is not over yet, since we wanted a particular solution that satisfies the condition \(y(1)=[value]\). Solving for \(C\), we getTehtävä ei lopu vielä tähän, sillä tehtävässä halutaan yksittäisratkaisu, joka toteuttaa ehdon \(y(1)=[value]\). Ratkaistaan siis integroimisvakio \(C\). \begin{align*} y(1) &= [value] \\ C(1)^{[value]} - [value] &= [value] \\ C - [value] &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} Therefore, the solution to the exercise isTehtävän ratkaisu on siten \[ y(x) = [value]x^{[value]} - [value]. \]

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+3)^k\cdot 2k}{k!}\) on potenssisarja.
- Sarja \(\displaystyle 1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\ldots\) voidaan tulkita potenssisarjaksi.
- Potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\) suppenee aina jollain muuttujan \(x\) arvolla.
- Olkoon potenssisarjan suppenemissäde \(R\). Kyseinen sarja suppenee siis aina välillä \([c-R,c+R]\).
- Tiedämme, että \(\displaystyle R = \lim_{k\to \infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\). Tällöin potenssisarja \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) suppenee itseisesti, jos \(|x|\leq R\) ja hajaantuu, jos \(|x|>R\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) suppenemissäde \(R = \infty\), niin sarja suppenee itseisesti kaikilla reaaliluvuilla \(x\).
- Jos potenssisarjan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_kx^k\) suppenemissäde \(R = 0\), niin sarja hajaantuu kaikilla reaalisilla arvoilla \(x\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k\). - Tosi. Sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}(x-0)^{2k}\). - Tosi. Sarja suppenee vähintään arvolla \(x = c\). - Epätosi. Emme tiedä tutkimatta, mitä tapahtuu välin päätepisteissä. - Epätosi. Päätepisteet on tutkittava erikseen. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Sarja suppenee, kun \(x=0\).

Potenssin laskusäännöt
- \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = \)
- \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\)
- \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot \)
- \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\)

Siispä

- \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot \)
- \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = \)
Feedback: Malliratkaisu: Potenssin laskusäännöt - \(\displaystyle a^{n+m} = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m} = [value]\) - \(\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\) - \(\displaystyle (ab)^n = a^n \cdot [value]\) - \(\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad (b\neq 0)\) Siispä - \(\displaystyle 2^{k+1} = 2^k \cdot [value]\) - \(\displaystyle \frac{2^{k+2}}{2^{k+1}} = [value]\)

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Sarja on aina joko positiiviterminen tai vuorotteleva.
- Sarja \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{2k}\cdot 3k\) on vuorotteleva sarja.
- Leibnizin testillä testataan vuorottelevan sarjan suppenemista.
- Jos \(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a_k = 0\), niin vastaava vuorotteleva sarja välttämättä suppenee.
- Itseisesti suppeneva sarja aina suppenee.
- Suppeneva sarja suppenee aina myös itseisesti.
- Jos sarja ei suppene itseisesti, se automaattisesti hajaantuu.
- Tiedämme sarjan \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenevan. Sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee myös.
Feedback: Malliratkaisu: - Epätosi. Sarjan kaikki termit voivat olla myös esim. negatiivisia. - Epätosi. Potenssi on aina positiivinen eli kyse on positiivitermisestä sarjasta. - Tosi. Näin on! - Epätosi. Oltava myös \(a_k\geq a_{k+1}\) (Leibnizin testi) - Tosi. Lause 6.2.6. opintomonisteessa. - Epätosi. Esim. harmoninen sarja ja vuorotteleva harmoninen sarja. - Epätosi. Jos sarja ei suppene itseisesti, emme voi päätellä sarjan suppenemista suoraan tästä. - Tosi. Jos \(\displaystyle \sum|a_k|\) suppenee, niin sarja \(\displaystyle \sum a_k\) suppenee itseisesti. Tällöin \(\displaystyle \sum a_k\) myös suppenee.

Oletetaan, että [value]€ talletetaan säästötilille, joka maksaa [value]% vuotuisen koron.

a) Muodosta vuosittain tapahtuvaa tilin rahamäärän muutosta kuvaava differentiaaliyhtälö. Merkitse tilillä olevaa rahamäärää kirjaimella \(A\) ja aikaa vuosina kirjaimella \(t\)

\(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\) |

b) Ratkaise differentiaaliyhtälö annetun alkuehdon avulla.

\(A(t)=\) |

c) Kuinka paljon korkoa tilille lisätään viiden vuoden kuluttua? (Eli laske \(\frac{dA}{dt}\) kun \(t=5\).) Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella.

Rahaa: euroa |

Syntaksivihjeitä:

- Muista käyttää pistettä (.) desimaaliluvuissa.
- Käytä kertomerkkinä tähteä (*).
- Eksponenttifunktio \(e^{x}\) merkitään muodossa e^x tai exp(x).
Feedback: Mallivastaus: a) Tilin rahamäärä \(A\) kasvaa ajassa \(t\) [value]% tilillä olevasta rahamäärästä, joten differentiaaliyhtälö on muotoa: \(\frac{dA}{dt}=[value] A\) b) Ratkaistaan differentiaaliyhtälö separoimalla \( \begin{array}{rcl} \frac{dA}{dt} &=& [value] A \\ \frac{dA}{A} &=& [value] dt \\ ln(A) &=& [value]t+C \\ A(t) &=& Ce^{[value]t} \end{array} \) Alkuehtona tiedetään, että \(A(0)=[value]\). Käytetään tätä tietoa ja ratkaistaan integroimisvakio C. \( \begin{array}{rcl} A(0) &=& Ce^{[value]*0} \\ [value] &=& C \end{array} \) Alkuehdon toteuttava muoto on \(A(t)=[value]e^{[value]t}\). c) Viiden vuoden kuluttua tilin rahamäärä kasvaa seuraavasti: \( \begin{array}{rcl} \frac{dA}{dt} &=& [value]A(5) \\ \frac{dA}{dt} &=& [value]*[value]*e^{[value]*5} \\ \frac{dA}{dt} &=& [value] \end{array} \) Viiden vuoden kuluttua tilille lisätään korkoa [value] euroa.

a) Integroitaessa funktio symbolisesti muuttujan \(x\) suhteen MATLAB:illa tulee koodinpätkä aloittaa komennolla

b) Integroi funktio \(\displaystyle f(x) = [value]\) muuttujan \(x\) suhteen MATLAB:illa käyttäen int-komentoa.

- MATLAB antaa tulokseksi .
- Onko \(g'(x) = f(x)\), kun \(\displaystyle g(x) = [value]\)?

c) Integroi funktio \(\displaystyle h(x) = [value]\) muuttujan \(x\) suhteen MATLAB:illa käyttäen int-komentoa.

- MATLAB antaa int-komennolla suoraan tulokseksi .
- Onko \(w'(x) = h(x)\), kun \(\displaystyle w(x) = [value]\)?

d) Mitä MATLAB antaa tulokseksi, kun lasket int-komennolla \(\displaystyle \int_[value]^[value] [value] dx\)?
Feedback: Mallivastaus: a) syms x luo symbolisen muuttujan x double(x) muuttaa x:n arvon kaksoistarkkuudelle format rat; x esittää x:n arvon rationaaliluvuksi pyöristettynä expand(x) laskee sulut auki ja sieventää x:n vpa(x) laskee x:lle (x symbolinen) liukuluku esityksen 32 numeron tarkkuudella b) Komennolla int([value],x) MATLAB antaa tulokseksi [value]. Huomaa, että MATLABin antama vastaus ei sisällä integroimisvakiota. Lasketaan \(g'(x)\) komennolla diff([value], x). Vastaukseksi saadaan [value], joten näin ollen \(g'(x) = f(x)\). c) Komennolla int([value],x) MATLAB antaa tulokseksi [value]. Lasketaan \(w'(x)\) komennolla diff([value], x). Vastaukseksi saadaan [value]. Tämä ei näytä samalta kuin \(h(x)\), mutta käyttämällä komentoa expand(diff([value], x)) havaitaan, että \(w'(x) = h(x)\). d) Oikea vastaus on NaN, joka merkitsee epälukua (Not-a-Number). NaN saadaan laskutoimituksen tulokseksi silloin, kun ei ole olemassa mielekästä vastausta edes äärettömien tai nollien avulla esitettynä. Esimerkiksi positiivisen ja negatiivisen äärettömän summa on tällainen: taustalla on ajatus, jonka mukaan emme tiedä kumpi ääretön on suurempi, joten mikään vastaus ei kelpaa.

a) Laske MATLAB:illa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\) käyttäen symsum-komentoa.

- Saat summaksi
- Kyseessä on
- Mitä lukua kohden vastaava sarja \((n\to \infty)\) suppenee eli mikä on sen summa?

b) Sinulla on käytössäsi alla oleva koodi. Aja kyseinen koodi MATLAB:illa.

n = 7;
s = 0;
for k=0:n
 s=s+sym(1/2)^(k-1)
end

- Mitä seuraavista, et näe MATLAB:in tulostamasta ratkaisusta?
Feedback: Mallivastaus: a) syms k n Fn = symsum((1/2)^(k-1),k,1,n) \(\text{Fn} = [value]\) Kyseessä on geometrisen sarjan \(n\):s osasumma. Finf = symsum((1/2)^(k-1),k,1,inf) \(\text{Finf} = [value]\) Nyt siis tarkasteltava geometrinen sarja suppenee , sillä \(\frac{1}{2}<1\). Kertauksena vielä: Jos osasummien \(S_n\) muodostama jono \(\left(S_n\right)\) suppenee ja sen raja-arvo on \(S = \lim_{n\to \infty} S_n\), niin sanotaan, että sarja suppenee ja että sen summa on \(S\). Jos \(S_n\) hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu. b) Oikea vastaus on geometrisen lukujonon 8 ensimmäistä alkiota. Huom! Kyseessä ei ole luettelo geometrisen lukujonon \(\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\) alkioista vaan juuri osasummista! for silmukan toimintaperiaate: for-silmukka käy läpi tietyllä välillä olevat luvut ja suorittaa jokaisen luvun kohdalla samanlaisen koodin.

Tässä tehtävässä tarkastellaan koko ajan funktion \(f(x)=\sin(x)\) Taylorin polynomeja kehityskeskuksena \(x=\pi\).

Löydät tähän tehtävään paljon apua kurssimateriaalista! Piirrä MATLAB:illa funktio \(f(x) = \sin(x)\) esim. välillä [-2,7]. Voit testata myös muita välejä. Laske ja piirrä samaan kuvaan eri värein vastaavat 1., 3. ja 5. asteen Taylorin polynomit kehityskeskuksenaan \(x = \pi\). Vastaa seuraaviin kysymyksiin.

- MATLAB antaa 3. asteen Taylorin polynomiksi kehityskeskuksella \(x = \pi\)  
- Mikä seuraavista Taylorin polynomeista antaa lähimmäksi saman arvon kuin alkuperäinen funktio \(\sin(x)\) pisteessä \(x=\pi\)?
- Mikä seuraavista Taylorin polynomeista approksimoi tarkimmin funktiota sin(x) välillä [-2,7]?
- Missä seuraavista pisteistä tehtävässä luotu 1. asteen Taylorin polynomi antaa parhaimman approksimaation funktiolle \(\sin(x)\)?
- Missä seuraavista pisteistä tehtävässä luotu 5. asteen Taylorin polynomi antaa parhaimman approksimaation funktiolle \(\sin(x)\)?
Feedback: Mallivastaus: syms x f=sin(x) P1=taylor(f,x,'ExpansionPoint',pi,'Order',2) P3=taylor(f,x,'ExpansionPoint',pi,'Order',4) P5=taylor(f,x,'ExpansionPoint',pi,'Order',6) X=[2:0.01:7]; % piirtoväli Y=subs(f,x,X); % f(x) arvoilla X plot(X,Y,'k') % musta viiva hold on % jatketaan piirtämistä samaan kuvaajaan Y1=subs(P1,x,X); % Taylorin polynomi P1 arvoilla X plot(X,Y1,'b') % sininen viiva Y3=subs(P3,x,X); % Taylorin polynomi P3 arvoilla X plot(X,Y3,'g') % vihreä viiva Y5=subs(P5,x,X); % Taylorin polynomi P5 arvoilla X plot(X,Y5,'r') % punainen viiva hold off Yleensä korkeamman asteen polynomi kuvaa paremmin alkuperäistä funktiota. Approksimaatio on tarkin aina kehityskeskuksessa.

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä):

Trigonometrinen sijoitus perustuu yhtälöön \(\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1\). Sijoituksen tavoitteena on päästä eroon esim. muodosta \(\sqrt{a-x^2}\) (\(a>0\) vakio), jolloin sijoitetaan \(x = \sqrt{a}\sin(u)\) tai \(x = \sqrt{a}\cos(u)\). Tällöin

\[\begin{align*}\sqrt{a-x^2} & = \sqrt{a-a\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{1-\sin^2(u)} \\ & = \sqrt{a}\sqrt{\cos^2(u)} = \sqrt{a}\cos(u), \end{align*}\]

mikä on helppo integroida. Hyödynnetään edellä mainittua integraalin \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\) ratkaisussa. Täydennä puuttuvat kohdat.

Valitaan \(x = -\cos^2(u)\), jolloin \(\displaystyle \frac{dx}{du} = \) .

Siispä \(dx = \) \(du\).

Tällöin

 | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-\cos^2(u)}}2\cos(u)\sin(u) du \quad \big| \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{2\cos(u)\sin(u)}{1+\sqrt{\sin^2(u)}} du = 2\int \frac{\cos(u)\sin(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \frac{\cos(u)+\cos(u)\sin(u)-\cos(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\frac{\cos(u)(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}-\frac{\cos(u)}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\cos(u) - \frac{D(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\big(\sin(u)-\) \(\big)+C\)
 | takaisin sijoitus
\(=\) | \(2\) \(-2\log(|1+ \)\(|) + C\).

a) Derivoinnin ketjusääntöön perustuen tiedämme, että \(\displaystyle \int f\big(g(x)\big)g'(x) dx = F\big(g(x)\big)+C\). Täydennä edellä mainittua kaavaa hyödyntäen puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int g'(x) e^{g(x)} dx = \)

\(\displaystyle \int \big(g(x)\big)^a\) \(\displaystyle dx = \frac{1}{a+1} \big(g(x)\big)^{a+1}+C, \quad a\neq -1\).

\(\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \) , \(\quad g(x)\neq 0\).

HUOM! Itseisarvon saat syöttämällä esim. |x|. Luonnollisen logaritmin saat esim. log(x). Funktion g(x) derivaatan kirjoittamalla g'(x). Käytä integroimisvakiona C:tä. Huomaa, että komentosanalla ilmaistut funktiot (kuten sin, cos, log) tarvitsevat ohjelmallisen käsittelyn takia aina syötteet suluissa, myös silloin kun sisäfunktiona on itseisarvolauseke, esim. sin(|x|).

b) Myös muuttujanvaihto (=sijoitusmenetelmä) perustuu ketjusääntöön.

Täydennä.

Sijoitus: \(u = u(x)\)

\(\displaystyle \int f \left( u(x) \right) u'(x) \,dx= \int \) \(du\)

Sijoitus: \(x=x(u)\)

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dx = \int f \left( x(u) \right) x'(u) \, du\)

Totta vai tarua? Valitse oikea vaihtoehto.

- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) kuvaa funktiota \(f(x)\) pisteen \(a\) läheisyydessä paremmin kuin mikään muu \(1.\) asteen polynomi.
- Tarkastellaan funktiota \(f(x)\), kun \(x = a\). Polynomi \(\displaystyle P_n(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) approksimoi funktiota \(f(x)\) pisteen \(x=a\) ympäristössä paremmin kuin muu \(n\) asteen polynomi.
- Taylorin sarja suppenee kohti funktiota vain niissä suppenemisvälin pisteissä, joissa virhetermin raja-arvo \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} R_n = 0\).
- Taylorin sarja on potenssisarja.
- Jos funktio on jatkuvasti derivoituva, niin Taylorin sarja on mahdollista muodostaa.
- Taylorin sarja suppenee aina kohti vastaavaa funktiota.
- \(\displaystyle \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\) kaikilla \(x\in \mathbb{R}\).
- \(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{k+1}}{k+1}\), kun \(x=2\).
Feedback: Malliratkaisu: - Tosi. \(P_1(a)=f(a)\) ja \(P_1'(a) = f'(a)\). - Tosi. \(P_n(a) = f(a), P_n'(a) = f'(a), \ldots, P_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)\). - Tosi. Näin on! - Tosi. Taylorin sarja on muotoa \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\). - Tosi. Näin on! - Epätosi. Vain jos virhetermin raja-arvo on nolla. - Tosi. Kyseessä on sinifunktion sarjakehitelmä, jonka suppenemisväli on \(\mathbb{R}\). - Epätosi. Suppenemisväli sarjakehitelmälle on \(-1<x\leq 1\).

Järjestä taulukon kahden viimeisen sarakkeen sisällöt vastaamaan taulukon toisen sarakkeen tietoja käyttäen taulukon ensimmäisen sarakkeen numeroita. Esim. Jos ylimmällä rivillä lukevaan käsitteeseen eli Taylorin polynomiin liittyvä kaava olisi rivillä (3), kirjoitat matriisin vasemmanpuoleiseen sarakkeeseen ylimmälle riville luvun 3.

([value]) | Taylorin polynomi | Taylorin kaava | Taylorin sarja | Maclaurinin sarja | \(\displaystyle P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = P_n(x)+R_n(x)\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\) | \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) | Taylorin sarjan n:s osasumma. | Funktio esitetään Taylorin polynomin ja jäännöstermin/virhetermin summana. | Esittää funktiota itseään, kun jäännöstermin/virhetermin raja-arvo on nolla. | Taylorin sarja, jolle \(c=0\).

Sarakkeiden kolme ja neljä oikeat järjestykset: |

Huom. Vastaus annetaan nyt matriisimuotoisena. Ainakin joillakin selaimilla joskus käy niin, että lukitusnappia ensimmäisen kerran painettaessa Moodle tarkastaa vain vastauksen syntaksin, ja vasta uudella lukitusnapin painalluksella Moodle arvioi, menikö oikein.