Title: Epäsuora todistaminen

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Oletetaan, että \(n\) on jokin kokonaisluku. Tarkastellaan väitettä "jos \(3n+2\) on pariton, niin \(n\) on pariton".

Laita väitteen kontrapositiotodistuksen vaiheet järjestykseen.

Todistus

[...]

[...]

[...], missä [...].

[...]

Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.
Also offered: Oletetaan, että n on pariton.; Oletetaan, että 3n+2 on pariton.; Oletetaan, että 3n+2 on parillinen.; Tällöin n=2k+1 jollain k ∈ ℤ.; Tällöin 3n+2=2k jollain k ∈ ℤ.; Tällöin 3n+2=2k+1 jollain k ∈ ℤ.; Nyt 3n+2=6k+5=2(3k+2)+1; 3k+2 on kokonaisluku; Siten 3n+2 on pariton.; Siten n on parillinen.; Siten n on pariton.
A: Oletetaan, että n on parillinen.; Tällöin n=2k jollain k ∈ ℤ.; Nyt 3n+2=6k+2=2(3k+1); 3k+1 on kokonaisluku; Siten 3n+2 on parillinen.
Feedback: Todistus Oletetaan, että \(n\) on parillinen. Tällöin \(n=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt \(3n+2=6k+2=2(3k+1)\), missä \(3k+1\) on kokonaisluku. Siten \(3n+2\) on parillinen. Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.

Q: Pyritään todistamaan, että jos \(A = \emptyset\) tai \(B = \emptyset\), niin \(A \times B = \emptyset\).

Täydennä todistus.

Todistus

Tehdään kontrapositiotodistus. Väitteen kontrapositio on, että jos [...], niin [...].

Oletetaan siis, että [...]. Tällöin on olemassa [...]. Nyt [...], joten [...].

Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.
Also offered: A × B = ∅; A ≠ ∅ tai B ≠ ∅; A = ∅ tai B = ∅
A: A × B ≠ ∅; A ≠ ∅ ja B ≠ ∅; A × B ≠ ∅; (a, b) ∈ A × B; a ∈ A ja b ∈ B; A ≠ ∅ ja B ≠ ∅
Feedback: Todistus Tehdään kontrapositiotodistus. Väitteen kontrapositio on, että jos \(A \times B \neq \emptyset\), niin \(A \neq \emptyset\) ja \(B \neq \emptyset\). Oletetaan siis, että \(A \times B \neq \emptyset\). Tällöin on olemassa \( (a,b) \in A \times B\). Nyt \(a \in A\) ja \(b \in B\), joten \(A \neq \emptyset\) ja \(B \neq \emptyset\). Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.

Q: Pyritään todistamaan, että jos \(A \times B = \emptyset\), niin \(A = \emptyset\) tai \(B = \emptyset\).

Täydennä todistus.

Todistus

Tehdään kontrapostiotodistus. Väitteen kontrapositio on, että jos [...], niin [...].

Oletetaan siis, että [...]. Tällöin on olemassa [...] ja [...]. Nyt [...], joten [...].

Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.
Also offered: A ≠ ∅ tai B ≠ ∅; A = ∅ tai B = ∅; A × B = ∅
A: A ≠ ∅ ja B ≠ ∅; A × B ≠ ∅; A ≠ ∅ ja B ≠ ∅; a ∈ A; b ∈ B; (a, b) ∈ A × B; A × B ≠ ∅
Feedback: Todistus Tehdään kontrapostiotodistus. Väitteen kontrapositio on, että jos \(A \neq \emptyset\) ja \(B \neq \emptyset\), niin \(A \times B = \emptyset\). Oletetaan siis, että \(A\neq \emptyset\) ja \(B \neq \emptyset\). Tällöin on olemassa \(a \in A\) ja \(b \in B\). Nyt \( (a,b) \in A \times B\), joten \(A \times B \neq \emptyset\). Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.