Title: Potenssit

Simplify the following expressions, when \( n=[value] \).Yksinkertaista seuraavat lausekkeet, kun \( n=[value] \).Förenkla uttryck nedan i fallet \( n=[value] \).

Exponents are written with the ^ sign. For example, \( x^3 \) is typed x^3.Kirjoita potenssit ^-merkin avulla. Esimerkiksi \( x^3 \) kirjoitetaan x^3.Potenser matas in med ^-tecknet. Till exempel \( x^3 \) skrivs x^3.

\( \displaystyle x^n x^{n+1} (x^{2n})^n= \)

\( \displaystyle \frac{x^n}{x^{n+1}} = \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: 1. \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^n x^{n+1} x^{2n^2} = x^{n+n+1+2n^2}=x^{2n(n+1)+1}. \) WhenKunDå \( n=[value] \), \( x^n x^{n+1} (x^{2n})^n=x^{2\cdot [value]([value]+1)+1}=[value] \). 2. \( \frac{x^n}{x^{n+1}} = x^{n-(n+1)}=x^{-1}=\frac{1}{x}. \) Hence, the second expression does not depend on \( n \).Toinen lauseke ei siis riipu \( n \):n arvosta.Det andra uttrycket beror alltså inte på \( n \).

Evaluate the following expressions, when \( a=[value] \) and \( b=[value] \).Laske seuraavien lausekkeiden arvot, kun \( a=[value] \) ja \( b=[value] \).Räkna ut värden på uttrycken nedan då \( a=[value] \) och \( b=[value] \).

Give your answers in exact form, as fractions, if needed.Anna vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina X/Y.Ge exakta värden som svar, i bråkform om det behövs.

\( \sqrt{a} \sqrt{b}=\)

\( \sqrt{a}+\sqrt{b}= \)

\( \displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( a=[value] \) andjaoch \( b=[value] \). \( \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt[value] \sqrt[value] =[value]\cdot [value]=[value] \) \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt[value]+\sqrt[value]=[value]+[value] \) \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt[value]}{\sqrt[value]}=\frac[value][value] \)

Simplify the expression \( (ax^2-b)+(cx-d)^n (x^m+u)\) to a polynomial, when \( a=[value] \), \( b=[value] \), \( c=[value] \), \( d=[value] \), \( u=[value] \), \( m=[value] \) and \( n=[value] \).Sievennä lauseke \( (ax^2-b)+(cx-d)^n (x^m+u)\) polynomiksi, kun \( a=[value] \), \( b=[value] \), \( c=[value] \), \( d=[value] \), \( u=[value] \), \( m=[value] \) ja \( n=[value] \).Förenkla uttrycket \( (ax^2-b)+(cx-d)^n (x^m+u)\) då \( a=[value] \), \( b=[value] \), \( c=[value] \), \( d=[value] \), \( u=[value] \), \( m=[value] \) och \( n=[value] \).

Expand the polynomial, i.e. express it in a form without parentheses. Use * for multiplication and ^ for exponent, for example \(2x(x-3)\) should be written as 2*x^2-6*x.Esitä polynomi aukikirjoitetussa muodossa ilman sulkeita kirjoittamalla kerto- ja potenssimerkit näkyviin. Esimerkiksi \(2x(x-3)\) kirjoitettaisiin 2*x^2-6*x.Expandera polynomet, d.v.s. uttryck det i en form utan parenteser. Använd * för multiplikation och ^ för potens, till exempel \(2x(x-3)\) skulle skrivas 2*x^2-6*x.

Answer: Vastaus: Svar:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: With the given values, it holds thatAnnetuilla arvoillaMed de givna värdena är \( ax^2-b=[value] \), \( (cx-d)^n=[value] \) andjaoch \( x^m+u=[value] \). Therefore \( (cx-d)^n (x^m+u)=[value] \).Siten \( (cx-d)^n (x^m+u)=[value] \).Därmed är \( (cx-d)^n (x^m+u)=[value] \). Combining the terms we getYhdistämällä termit saadaan vastausGenom att addera termerna fås uttrycket \( [value] \).

Find the zeros of \( [value] \). Give your answer in exact form, as a fraction, if needed.Määritä lausekkeen \( [value] \) nollakohdat. Anna vastaus tarkkana arvona, tarvittaessa murtolukuna muodossa X/Y.Bestäm nollställena till uttrycket \( [value] \). Ge exakta värden som svar, i bråkform om det behövs.

Answer: Vastaus: Svar:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: The square root is zero if and only if the expression under the root is zero.Neliöjuuri on nolla, kun neliöjuuren sisällä oleva lauseke on nolla.Kvadratroten är noll om och endast om uttrycket under roten är noll. \[ \begin{array}{lrcl} & [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow& [value] & = & 0 \\ \Leftrightarrow& [value]x & = & [value] \\ \Leftrightarrow& x & = & [value]. \end{array} \]

Solve the equation \( ([value])^2=([value])^2\). The answer is three values of \( x \) (some of which may equal).Ratkaise yhtälö \( ([value])^2=([value])^2\). Vastaukseksi tulee kolme \( x \):n arvoa (joista jotkut tai kaikki voivat olla yhtä suuria).Lös ekvationen \( ([value])^2=([value])^2\). Svaret är tre värden på \( x \) (där ett par eller alla värden kan sammanfalla).

Input example: the number \( \displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{3} \) is written as (1+sqrt(2))/3.Huom! Esimerkiksi luku \( \displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{3} \) syötetään kirjoittamalla (1+sqrt(2))/3.Inmatningsexempel: talet \( \displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{3} \) skrivs (1+sqrt(2))/3.

\( x_1 = \)

\( x_2 = \)

\( x_3 = \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Modellösning: \( ([value])^2=([value])^2. \) An equation of the form \( a^2=b^2 \) holds if and only if \( a=b \) or \( a=-b \). Using this information, the equation can be divided into two cases: Tiedetään, että \( a^2=b^2 \) jos ja vain jos \( a=b \) tai \( a=-b \). Yhtälö saadaan näin jaettua kahteen tapaukseen: En ekvation av typen \( a^2=b^2 \) är uppfylld om och endast om \( a=b \) eller \( a=-b \). Med denna information kan uppgiftsekvationen delas upp i två fall: \[ \begin{eqnarray*} [value]=[value] & \quad\text{or}\quad & [value]=[value] \\ [value]=0 & & [value]=0 \\ x=[value] & & x=\frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 2\cdot ([value])}}{4} \\ x=[value] & \text{or} & x=[value] \quad \text{or} \quad x=[value]. \end{eqnarray*} \]\[ \begin{eqnarray*} [value]=[value] & \quad\text{tai}\quad & [value]=[value] \\ [value]=0 & & [value]=0 \\ x=[value] & & x=\frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 2\cdot ([value])}}{4} \\ x=[value] & \text{tai} & x=[value] \quad \text{tai} \quad x=[value]. \end{eqnarray*} \]\[ \begin{eqnarray*} [value]=[value] & \quad\text{eller}\quad & [value]=[value] \\ [value]=0 & & [value]=0 \\ x=[value] & & x=\frac{[value]\pm \sqrt{([value])^2-4\cdot 2\cdot ([value])}}{4} \\ x=[value] & \text{eller} & x=[value] \quad \text{eller} \quad x=[value]. \end{eqnarray*} \]