Title: IMA1 (viikko 3) muut

Olkoon \(z_1 = [value]\) ja \(z_2 = [value]\). Mitä ovat seuraavat? Anna vastaukset tarkkoina arvoina, älä liukulukuina. \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)} \) .

\(\operatorname{Re}(z_1) = \,\) |  |
\(\operatorname{Im}(z_1) = \,\) |  |
\(z_1+z_2 = \,\) |  |
\(z_2-z_1 = \,\) |  |
\(\overline{z_1} = \,\) |  |
\(|z_2| = \,\) |  |

a) Origoa kierretään nollakulmasta lähtien kulman \([value]\pi\) verran. Ilmoita murtolukuna (ei sekalukuna!) puolikkaan tarkkuudella, kuinka monta kertaa ympyrä kierretään ja mihin suuntaan.

Vastaus: kertaa

b) Origokeskiseen \([value]\)-säteiseen ympyrään piirretään säde kulmassa \(\theta = [value]\pi\).
Anna säteen ympyränpuoleisen päätepisteen koordinaatit. Anna vastaus tarkkana arvona, esim. \(\frac{1}{\sqrt{5}} = \) 1/sqrt(5).

Vastaus: Päätepiste on \(\Big(\),\(\Big)\).

Järjestä kompleksilukujen osamäärän liittoluvun todistuksen osat loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(\frac{z}{w}\) reaali- ja imaginääriosat, jotta saat otettua liittoluvun.

\(\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(\displaystyle \frac{\overline z}{\overline w} \)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{a+bi}{c+di}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd-adi+bci}{c^2+d^2}\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \overline{\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\right)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd}{c^2+d^2}-\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{ac+bd+adi-bci}{c^2+d^2}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{a-bi}{c-di}\)
[value]) | \(\displaystyle \frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}\)

Järjestä kompleksilukujen osittelulain todistuksen rivit loogiseen järjestykseen.

Vihje: Pura todistusta sekä alusta loppuun päin että lopusta alkuun päin. Alusta loppuun päin mennessäsi etene etsimällä lausekkeen \(y+z\) reaali- ja imaginääriosat ennen kuin otat tulon \(x\):n kanssa.

\(x(y+z)\) | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = |
 | = | \(xy+xz\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i+z_1+z_2i)\)
[value]) | \((x_1+x_2i)((y_1+z_1)+(y_2+z_2)i)\)
[value]) | \(x_1(y_1+z_1)+x_2(y_1+z_1)i+x_1(y_2+z_2)i+x_2(y_2+z_2)i^2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_1z_1+x_2y_1i+x_2z_1i+x_1y_2i+x_1z_2i-x_2y_2-x_2z_2\)
[value]) | \(x_1y_1+x_2y_1i+x_1y_2i-x_2y_2+x_1z_1+x_2z_1i+x_1z_2i-x_2z_2\)
[value]) | \((x_1+x_2i)y_1+(x_1+x_2i)y_2i+(x_1+x_2i)z_1+(x_1+x_2i)z_2i\)
[value]) | \((x_1+x_2i)(y_1+y_2i)+(x_1+x_2i)(z_1+z_2i)\)

Seuraavan lauseen todistuksessa käytetään kolmioepäyhtälöä kahdesti. Tutustu kolmioepäyhtälön eri versioihin kurssimonisteen avulla. Järjestä todistuksen rivit loogiseen järjestykseen. Kirjoita vastauskaatikoihin luvut 1-7.

Kolmioepäyhtälöä käytetään tyypillisesti todistuksissa. On tavanomaista, että juuri ennen kolmioepäyhtälön käyttöä lauseketta muutetaan niin, että jokin sen termeistä kirjoitetaan toisessa muodossa, tai lisätään ja vähennetään jokin uusi termi (huomaa, että sama termi lisättynä ja vähennettynä tarkoittaa, että on lisätty käytännössä 0, ts. lausekkeen arvo ei ole muuttunut).

Lause. Olkoot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä reaalilukujen joukkoja ja olkoon \(L \in \mathbb{R}\). Jos on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut \(x\) ja \(y\), että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\), niin kaikille \(a \in A\) ja \(b \in B\) pätee

\[ | a - 4b | < x +2y + |L|. \]

Todistus. Oletetaan, että \( | a - L | < x\) kaikille \(a \in A\) ja \( | 2b - L | < y\) kaikille \(b \in B\). Tällöin

\( | a - 4b | \)

\( = | a -2L +2L -4b | \)
\( \leq | a -2L | + | 2L -4b | \)
\( = | a -2L | + 2 | L -2b | \)
\( = | a -2L | + 2 | 2b - L | \)
\( = | \left( a -L \right) -L | + 2 | 2b - L | \)
\( \leq | a -L | + | L | + 2 | 2b - L | \)
\( < x + | L | + 2y \)

Tarkasteellaan funktiota \(f\colon A\to B,\, f(x)=[value]\).

a) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on injektio, mutta ei surjektio.

\(B=\,\)

b) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on surjektio, mutta ei injektio.

\(B=\,\)

c) Olkoon \(A=[value]\).

Valitse seuraavasta listasta sellainen maalijoukko \(B\), että funktio \(f\) on bijektio.

\(B=\,\)

Onko väite tosi vai epätosi?

Olkoon \(f\colon A\to B\). Oletetaan, että sinulla on tiedossa kaikki alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) ja kaikki alkiot joukosta \(B\), mutta et ole vielä nähnyt funktion lauseketta. Väite: Esityksestä \(f\colon A\to B\) pystyy heti näkemään,

mikä on määrittelyjoukko

mikä on arvojoukko

mikä on maalijoukko

mikä on alkukuvajoukko

Maalijoukko sisältää vähintään arvojoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Arvojoukko sisältää vähintään maalijoukon sekä mahdollisia muita alkioita

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on aina sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin ulkofunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa ulkofunktion arvoa ei saa sijoittaa sisäfunktioon

Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on muuten sama kuin sisäfunktion määrittelyjoukko, mutta poistetaan ne pisteet, joilla saatavaa sisäfunktion arvoa ei saa sijoittaa ulkofunktioon

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

[value]

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus: