Title: Pal - Linearisointi

Maanomistaja mittaa suorakaiteen muotoisen peltonsa pinta-alaa. Hän saa askelmitalla pellon sivun pituudeksi \(n=[value]\) metriä. Tämän jälkeen hän ei jaksa enää mitata toista sivua vaan arvioi pellon lävistäjän ja mitatun sivun väliseksi kulmaksi \(\theta=[value]\), jolloin hän saa pellon pinta-alan neliömetreissä kaavasta

\[ \displaystyle A(\theta)=\frac{n^2\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{n^2}{\tan(\theta)}. \]

Oletetaan, että sivun pituuden mitta \(n\) on tarkka, mutta kulman arvioinnissa syntyy virhe \(\Delta\theta\), eli todellinen kulman arvo on \(\theta+\Delta\theta\).

Jos pinta-alan arvioinnissa tehty virhe \(|\Delta A|\) saa olla korkeintaan \(k=[value]\) (neliömetriä), eli \(|\Delta A|\leq k\), niin kuinka suuri kulman arviossa tehty arviointivirhe \(|\Delta \theta|\) saa korkeintaan olla? Käytä hyväksi lineaarista approksimaatiota.

Huom. Älä esitä mitään lukua laskennan välivaiheessa tai lopputuloksessa desimaaliesityksellä. Käytä tarkkoja arvoja.

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Fysikaalinen suure \(r\) riippuu mitatusta nopeudesta \(v\) kaavan

\[ r(v)=\sqrt{1- k v^2} \]

mukaisesti. Mittausjärjestelyistä riippuva vakio on tässä tapauksessa \(k=[value]\).

Mitatuksi nopeudeksi saadaan \(v=[value]\). Nopeutta mitattaessa tehdään mittausvirhe \(\Delta v\), jolloin todellinen nopeus on \(v+\Delta v\).

Arvioi kuinka suuri mittausvirheen itseisarvo saa olla, mikäli halutaan, että saatu suureen \(r\) arvo poikkeaa korkeintaan \(h=[value]\) yksikköä todellisesta, eli \(|\Delta r|\leq h\). Käytä arviossa lineaarista approksimaatiota.

Huom. Älä esitä mitään lukua laskennan välivaiheessa tai lopputuloksessa desimaaliesityksellä. Käytä tarkkoja arvoja.

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.

Yksinkertaisen virtapiirin vaiheiskulma \(\theta\) riippuu piirin resistanssista \(R\) funktion

\[\theta(R)=\arctan\left(\frac{1}{[value]R}\right)\]

mukaisesti.

Virtapiirin komponenttien tiedoista saadaan tieto, että \(R=[value]\). Resistanssi voi kuitenkin poiketa ilmoitetusta arvosta \(\Delta R\) verran, jolloin todellinen sen todellinen arvo on \(R+\Delta R\).

Arvioi lineaarisen approksimaation avulla kuinka suuri virhe \(|\Delta R|\) resistanssin arvossa voidaan sallia, mikäli halutaan, että saatu vaiheiskulman arvo poikkeaa korkeintaan \(\frac{1}{2}\) radiaania todellisesta, eli \(|\Delta \theta|\leq \frac{1}{2}\).

Huom. Älä esitä mitään lukua laskennan välivaiheessa tai lopputuloksessa desimaaliesityksellä. Käytä tarkkoja arvoja.

Tähän vastausruutuun ei tarvitse vastata mitään, eikä tarvitse painaa vastauksen lukitusta. Palauta ratkaisu pdf-tiedostossa.