Title: IMA1 (viikko 6)

Rationaalifunktio voidaan esittää muodossa

\(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)} \),

missä \( r(x) \) on polynomi, joka ilmoittaa jakolaskun kokonaisosan ja \( s(x) \) on polynomi, joka on jakojäännös.

(a) Jaa seuraavan rationaalifunktion osoittaja nimittäjällä jakokulmassa. Anna tuloksen kokonaisosa ja jakojäännös. Muista käyttää kertomerkkejä (*) jokaisessa kertolaskussa.

\( \displaystyle f(x)= [value] = \) \(\displaystyle + [value] \), missä \(s(x) = \) .

(b) Laske seuraava integraali

\( \displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Jakokulmassa jakamalla saadaan \( \displaystyle [value] = [value] + [value] \). Tulos voidaan tarkistaa kertolaskulla \( \displaystyle \left( [value] + [value]\right)([value]) = [value] = [value] \). (b) Käyttämällä kohdan (a) tulosta saadaan \( \begin{split} [value] & = \int\limits_{[value]}^{[value]} [value] + \frac{[value]}{[value]} \, \mathrm{d}x \\ & = [value]. \end{split} \)

Määrää funktion \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla. Find the critical points of the function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Pienempi kriittisistä pisteistä on The smaller critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Suurempi kriittisistä pisteistä on The bigger critical point is

\(x=\).

Mikä on sen laatu? What is the nature of the smallest critical point?

.

Anna vastaus vähintään toiseen pisteistä sekä sen laatuun ennen vastauksen lukitsemista. Give an answer to at least one of the critical points and its nature before clicking the Check button.
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=[value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} \lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2\gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = 2xe^{\tfrac{x}{[value]}}+x^2e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}=x(2+\tfrac{x}{[value]})\underbrace{e^{\tfrac{x}{[value]}}}_{>0}=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=[value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=(2+\tfrac{2x}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}+(2x+\tfrac{x^2}{[value]})e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]} =(x^2+[value]x+[value])e^{\tfrac{x}{[value]}}\tfrac{1}{[value]},\\ f''([value]) &=(([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value])e^{\tfrac{[value]}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=-2e^{-2} &\lt 0,\\ f''(0) &=(0^2+[value]\cdot 0+[value])e^{\tfrac{0}{[value]}}\tfrac{1}{[value]}=2 &\gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määrää funktion \(f(x)=[value]\) kriittiset pisteet sekä tutki niiden laatu kulkukaavion tai toisen derivaatan \(f''(x)\) avulla.

Find the critical points of the function \(f(x)=[value]\). Classify the critical points by using the second derivative \(f''(x)\).

Kriittiset pisteet pienimmästä suurimpaan ovat

The critical points from the smallest value to the largest value are

\(x_1=\), \(x_2=\), \(x_3=\).

Mikä on kriittisen pisteen \(x_1\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_1\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_2\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_2\)?

Mikä on kriittisen pisteen \(x_3\) laatu?

What is the nature of the critical point \(x_3\)?
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), on jatkuva ja derivoituva. Lisäksi \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] josta tulon nollasäännön mukaan saadaan kriittiset pisteet \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) tai \([value]\) tai \(x=0\). Kriittisten pisteiden laatu saadaan tutkimalla toisen derivaatan merkkiä kriittisissä pisteissä: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} Piste \(x=[value]\) on lokaali minimipiste. Piste \(x=[value]\) on lokaali maksimipiste. Piste \(x=0\) on lokaali minimipiste. Model solution: The function \(f(x)=[value]+[value]x^3+[value]x^2\), \(x\in\mathbb{R}\), is continuous and differentiable. Moreover, \[ f'(x) = [value]x^3+[value]x^2+[value]x= ([value]x^2+[value]x+[value])x=0, \] from which the critical points can be obtained by the zero-product property \(x=\frac{[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{[value]}= [value]\) or \([value]\) or \(x=0\). The nature of the critical points: \begin{align*} f''(x)&=[value]x^2+[value]x+[value],\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\gt 0,\\ f''([value]) &=[value]\cdot([value])^2+[value]\cdot ([value])+[value]=[value]\lt 0,\\ f''(0) &=[value]\cdot 0^2+[value]\cdot 0+[value]=[value] \gt 0. \end{align*} The point \(x=[value]\) is a local minimum point. The point \(x=[value]\) is a local maximum point. The point \(x=0\) is a local minimum point.

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)}\) ja \(\pi = \mathtt{pi}\).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \left( [value]\right) \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{ll} & \displaystyle{ \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x} \\ = & \displaystyle{ \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right)} \\ = & \displaystyle{ [value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] - \left([value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] \right)} \\ = &\displaystyle{ [value]} \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \displaystyle \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = &\displaystyle -[value]\cos\left([value]\right) - \left(-[value] \cos\left([value]\right)\right) \\ & = & \displaystyle [value] \end{array}\]

Laske määrätyt integraalit.

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] \left( [value] \right) \mathrm{d}x = \)

(b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \)

(c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} \left( [value] \right) = [value] \) (b) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] x\sqrt{x} \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] x^{\frac{5}{2}}= [value] \) (c) \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \tan x = [value] \)

Q: (a) Etsi funktion \(f(x)=[value]\) se integraalifunktio \(F(x)\), jonka kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta.

\(F(x) = \)

(b) Määritä sellaiset vakiot \(a\) ja \(b\), että funktio \( G(x) = [value] \) on funktion \( g(x) = [value] \) integraalifunktio.

\(a = \)
\(b = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Integroimalla \(f(x)\) saadaan \(F(x)= \displaystyle \int \left( [value] +C \right) \) Tämän funktion kuvaaja kulkee pisteen \(\left([value],[value]\right)\) kautta silloin, kun \(F\left([value]\right)=\displaystyle [value]\cdot\left([value]\right)^2- +[value]\cdot\left([value]\right+C=[value].\) Siis \( C= \displaystyle [value]+ -[value]\cdot\left([value]\right)^2+ -[value]\cdot\left([value]\right = [value].\) Näin ollen kysytty integraalifunktio on \(F(x)=\displaystyle [value].\) (b) Lasketaan \( G'(x)\) ja merkitään se samaksi funktion \(g(x)\) kanssa. \( G'(x) = [value] = a\, x \ln{x} +\left( a+2b \right) x = [value]\) Havaitaan, että funktio \(G(x)\) on funktion \(g(x)\) integraalifunktio täsmälleen silloin, kun termien \(x \ln(x)\) kertoimet ovat samat eli \( [value] = [value]\) ja kun lisäksi funktiossa \(G'(x)\) on toisen termin \(x\):n kerroin nolla eli \( [value] = 0 \). Yhtälöpari ratkaisemalla saadaan \( a = [value] \) ja \( b = [value] \).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske seuraavien funktioiden toiset derivaatat. Muista käyttää tähteä ( * ) kertomerkkinä kaikissa tuloissa. Käytä trigonometristen funktioiden argumentin ympärillä sulkuja, esim. tan(x). Trigonometristen funktioiden potenssit kirjoitetaan seuraavasti: \( \tan^2 (x) =\) tan(x)^2. Vastaa jokaiseen kohtaan ennen vastauksen lukitsemista.

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f(x)=[value] \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g(x)=[value] \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h(x)=[value] \)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle f''(x) = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle g''(x) = \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle h''(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Koska \( f'(x) = [value]\), niin \( f''(x) = [value]\) \( \textbf{(b)} \) Käytetään ketjusääntöä. Merkitään \( (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(g_1(x)) = [value]\), missä \( f_1(x) = x^2 \) ja \( g_1(x) = [value]. \) Ketjusäännön mukaan \[ \begin{align} g'(x) &= D(f_1 \circ g_1)(x) = D(f_1(g_1(x)) = f_1'(g(x))g_1'(x) \\ & = 2[value] \cdot ([value]) \end{align} \] Toinen derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä \[ \begin{align} g''(x) &= D([value][value][value]) = [value]([value][value] + [value]([value])) \\ & = [value] \end{align} \] \( \textbf{(c)} \quad \) Osamäärän derivoimissäännöllä. Merkitään \( f_2(x) = [value]\) ja \( g_2(x) = [value]\). Osamäärän derivoimissäännön mukaan \[ \begin{align} h'(x) & = \dfrac{f_2'(x)g_2(x)-f_2(x)g_2'(x)}{(g_2(x))^2} = \dfrac{[value] \cdot ([value]) - ([value] )\cdot [value]}{([value])^2} \\ & = [value] \end{align} \] Huomaa, että tämän voi kirjoittaa muotoon \( [value]\cdot ([value])^{-2}\). Näin ollen \[ h''(x) = -2\cdot([value])\cdot ([value])^{-3} \cdot ([value]) = \displaystyle{[value]} \]

The distance between the points \((x,y)\) and \((x_0,y_0)\) is given byPisteiden \((x,y)\) ja \((x_0,y_0)\) välinen etäisyys saadaan laskettua lausekkeella

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.\]

Find the shortest distance from the point \((x_0,y_0)=([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn. Etsi lyhin etäisyys pisteestä \((x_0,y_0)=([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen \(\left([value],[value]\right)\).

[value]

What is the distance function \(D(x)\) for which you should find the minimum? Mikä on etäisyysfunktio \(D(x)\), jolle etsit minimiä?

\(D(x)=\)

What is the point on \(C\) where the distance to \(([value],[value])\) is at its shortest? Mikä käyrän \(C\) piste on lähinnä pistettä \(([value],[value])\) ?

\((x,y)=\)(,).

What is the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C\)? Mikä on lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C\)?

\(D(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) isOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaKoska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). A function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the functionNyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Etsitään lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä etsimällä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\]. The derivative of the function \(D^2(x)\) is Funktion \(D^2(x)\) derivaatta on \[ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value]\) and \(x_2 = [value]\). Out of these numbers, the only one on \(C\) is \(x=[value]\geq0\). Then \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Therefore, the shortest distance between the point \(\left([value],[value]\right)\) and the curve \(C\) isjoka on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \) ja \(x_2 = [value] \). Näistä arvoista käyrällä \(C\) voi olla vain \(x=[value]\geq0\). Tällöin \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Pisteen \(\left([value],[value]\right)\) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} \displaystyle{D\left([value]\right)} & = & \displaystyle{\sqrt{\left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3}} \\ & = & \displaystyle{\sqrt{[value]} = 2\sqrt{11} \frac{16}{3\sqrt{3}}} \end{array}\]

Määritä funktioiden \( f_1(x) \) ja \( f_2(x) \) integraalifunktiot, kun

\[ f_1(x)=\displaystyle{[value]}  \quad \text{ja} \quad f_2(x)=[value]. \]

\( \int f_1(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
\( \int f_2(x) \, \textrm{d}x= \) + \( C \),
missä \( C \) on integrointivakio.
Feedback: Mallivastaus: Esitetään funktio \( f_1(x) \) niin, että jokainen osoittajan termi on jaettu nimittäjällä ja integroidaan. \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \int \left( [value] \right) dx \\ & = & \int \left( [value] x^2 + [value]x + [value] x^{-2} \right) \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{3} x^3 + [value]\cdot \frac{1}{2} x^2 + [value]\cdot \frac{1}{-1} x^{-1} \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \) Funktion \( (ax+b)^n \) integraalifunktio on \( \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{a}\cdot(ax+b)^{n+1} \). Siis \( \begin{eqnarray*} \int [value] \, dx & = & \frac{1}{[value]+1}\cdot \frac{1}{[value]} \cdot \left( [value] \right)^{[value]+1} \\ & = & [value] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

The distance between the points \((x,y)\) and \((x_0,y_0)\) is given byPisteiden \((x,y)\) ja \((x_0,y_0)\) välinen etäisyys saadaan laskettua lausekkeella

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.\]

Find the shortest distance from the point \((x_0,y_0)=([value],[value])\) to the curve \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Provide your answer in exact form. In the figure below both the curve \(y=[value]\) and the point ([value],[value]) are drawn. Etsi lyhin etäisyys pisteestä \((x_0,y_0)=([value],[value])\) käyrälle \(C=\{(x,y)\,\vert\,y=[value],\,\, x\ge 0\}\). Anna tarkka vastaus. Alla olevasta kuvaajasta näet käyrän \(y=[value]\) sekä pisteen \(\left([value],[value]\right)\). Kuvaajan x- ja y-akselien mittasuhteet eivät ole samat

[value]

What is the distance function \(D(x)\) for which you should find the minimum? Mikä on etäisyysfunktio \(D(x)\), jolle etsit minimiä?

\(D(x)=\)

What is the point on \(C\) where the distance to \(([value],[value])\) is at its shortest? Mikä käyrän \(C\) piste on lähinnä pistettä \(([value],[value])\) ?

\((x,y)=\)(,).

What is the shortest distance from the point \(([value],[value])\) to the curve \(C\)? Mikä on lyhin etäisyys pisteestä \(([value],[value])\) käyrälle \(C\)?

\(D(x)=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Let \((x,y)\) be a point in the curve \(C\). The distance between the points \((x,y)\) and \(([value],[value])\) isOlkoon \((x,y)\) käyrän \(C\) piste. Käyrän pisteen \((x,y)\) ja pisteen \(([value],[value])\) väliselle etäisyydelle saamme lausekkeen \[ D = \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( y-[value] \right)^2}. \] Since \((x,y)\in C\), then \(y=[value]\), which we can substitute in the distance formulaKoska \((x,y)\in C\), niin \(y=[value]\), jonka voimme sijoittaa etäisyyden lausekkeeseen. \[\begin{array}{rll} D & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value]-[value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+\left( [value] \right)^2} \\ & = & \sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3} \end{array}\] Now we have managed to form an expression for the distance that is only dependent on the \(x\)-coordinate, that is, \(D=D(x)\). Our aim is the find the shortest distance between the point \(([value],[value])\) and the curve \(C\), so it is sufficient to find the minimum of the function \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\). A function reaches its extrema at its critical points, i.e. at points where the derivative of the function is zero or where the derivative has a singularity. Because the square root function is strictly increasing, it is sufficient to examine the functionNyt olemme siis saaneet etäisyydelle kaavan, joka riippuu vain \(x\)-koordinaatista eli \(D=D(x)\). Etsitään lyhin etäisyys pisteen \(([value],[value])\) ja käyrän \(C\) välillä etsimällä funktiolle \(D(x)=\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\) minimi. Funktio saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä, joita ovat derivaatan nollakohdat ja kohdat, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, riittää tarkastella funktiota \[D^2(x)=\left(\sqrt{\left( x-[value] \right)^2+x^3}\right)^2=\left( x-[value] \right)^2+x^3=x^3+x^2-[value]x+[value]\]. The derivative of the function \(D^2(x)\) is Funktion \(D^2(x)\) derivaatta on \[ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}D^2(x)= 3x^2+2x-[value],\] which is a second degree polynomial, so we can find its zeros by applying the quadratic formula. The zeros are \(x_1 = [value]\) and \(x_2 = [value]\). Out of these numbers, the only one on \(C\) is \(x=[value]\geq0\). Then \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Therefore, the shortest distance between the point \(\left([value],[value]\right)\) and the curve \(C\) isjoka on toisen asteen polynomi, joten sen nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \(x_1 = [value] \) ja \(x_2 = [value] \). Näistä arvoista käyrällä \(C\) voi olla vain \(x=[value]\geq0\). Tällöin \(y=2\sqrt{2}+[value]\) \(y=\frac{8}{3\sqrt{3}}+[value]\). Pisteen \(\left([value],[value]\right)\) ja käyrän \(C\) välinen pienin etäisyys on siis \[\begin{array}{rll} \displaystyle{D\left([value]\right)} & = & \displaystyle{\sqrt{\left( [value]-[value] \right)^2+\left([value]\right)^3}} \\ & = & \displaystyle{\sqrt{[value]} = 2\sqrt{11} \frac{16}{3\sqrt{3}}} \end{array}\]