Title: Modulien tehtävät

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{6}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{6}i=2+3+4+5+6=20\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{100}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{100}i=0\cdot1\cdot\quad\dots \quad\cdot 99\cdot 100=0\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

2. Summausindeksin manipulointi

Yhdisteltäessä useampia eri summia usein manipuloidaan summattavaa lauseketta sellaiseksi, että siitä tulee samanlainen kuin muistakin.

Kaava:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)=\sum_{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\end{align*}\)

Q: Derivoi funktio:

\( i(x)=[value] \)

\(i'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

4. Moninkertaiset summat

Summia voidaan asettaa sisäkkäin, jolloin laskujärjestys on sisältä ulospäin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=s}^{m}\sum_{j=t}^{n}a_{i}c_{j}=\sum_{i=s}^{m}a_{i}\cdot\sum_{j=t}^{n}c_{j}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}\)

Q: Oletetaan, että olet Thaimaan Phuketissa lomalla ja kello on 22:00 kuuman kosteana perjantai-iltana paikallista aikaa. Menet juhlimaan yökerhoon, joka juuri avautui, ja jonka sisämitoiksi mittaat nopealla silmäyksellä; leveys [value] m, pituus [value] m ja korkeus [value] m.

Yökerho on täynnä asiakkaita, mutta pahaksi onneksesi suurin osa heistä on tupakoitsijoita. Havaitset, että tupakansavua, josta 0,04 g/litra on häkää, virtaa yökerhoon [value] litraa minuutissa. On ilmeistä, että asiakkaat aikovat olla yökerhossa valomerkkiin saakka, joten tupakansavua virtaa sisään tasaisesti koko illan.

Ilahdut, kun havaiset yökerhossa olevan ilmastointijärjestelmän, joka sekoittaa tupakansavun tasaiseksi pitoisuudeksi huoneilmaan. Sen ulosvirtausnopeus näyttää olevan [value] litraa minuutissa, joka on kymmenkertainen tupakansavun sisäänvirtaukseen verrattuna.

Haluat tanssia ja seurustella, mutta haluat myös säilyttää terveytesi. Muistat, että pitkittynyt altistuminen yli 0,012 % häkäpitoisuudelle on kotimaasi terveysviraston mukaan terveydelle vaarallista. Huomaat, että yökerho sulkee kello 03:00 paikallista aikaa, joten alat valmistella hätäsuunnitelmaa.

Tehtävä:
Ohje: Älä lisää yksiköitä vastauksiisi! Kannattaa miettiä laskiessa, täsmääkö yksiköt.

a) Mikä on yökerhon tilavuus \( V \) (litroina)?

\(V=\) l

b) Millä nopeudella \( I \) häkää kertyy yökerhoon (gramma per minuutti)?

\(I=\) \(\frac{\text{g}}{\text{min}}\)

c) Millä nopeudella \( U\) häkää virtaa yökerhosta (gramma per minuutti)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta. (Vastauksen tulee siis sisältää \(C(t)\)!)

\(U=\) \(\frac{\text{g}}{\text{min}}\)

d) Mikä on hään määrän tietyllä ajanhetkellä ilmaiseva funktio (gramma)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta tietyllä ajanhetkellä \(t\).

\(Q(t)=\) \( g \)

e) Miten kirjoitetaan differentiaaliyhtälö, joka ilmaisee häkäpitoisuuden muuttumista?

\(\frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)=

f) Sievennä edellinen differentiaaliyhtälö lineaariseen muotoon.

\(\frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)+=

g) Mikä on integroiva tekijä?
Ei integraalina!

\(\mu (t) =\)

h) Sovella integroivan tekijän menetelmää tehtävän differentiaaliyhtälöön ja hae yhtälön yleinen ratkaisu.
Käytä integrointivakiona muuttujaa \( k \). Huom! Älä sievennä integrointivakiota siten, että se sisältää koko vakion. (Esim. Jos saat \(C(t) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{100}k\cdot e^{\small{\dfrac{1}{-75}t}}\), niin ÄLÄ sievennä \(\dfrac{1}{100}k\) yhdeksi vakioksi)

\(C(t) =\)

i) Monenko minuutin kuluttua häkäpitoisuus saavuttaa kriittisen 0,012 % rajan?
Anna vastaus minuutin tarkkuudella ja pyöristä alaspäin kokonaiseen minuuttiin. Esim. 232,89 \( \approx \) 232.

\( t= \) \( \text{min} \)

j) Voitko siis olla yökerhossa valomerkkiin saakka?
Tosi/kyllä voit, epätosi/et voi olla, valitse jompi kumpi.
Feedback: Mallivastaus: a) Tilavuus on \( [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} = [value] \text{ litraa} \). b) Tupakansavua virtaa yökerhoon nopeudella [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Tupakansavun häkäpitoisuus on \(0.04\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten häkää kertyy yökerhoon \(\begin{align*}\bigg([value] \frac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg(\frac{4}{100}\frac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=[value]\frac{\text{g}}{\text{min}}\end{align*} \). c) Tuulettimien ulosvirtausnopeus on [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Funktio [value] ilmaisee häkäpitoisuuden. Joten häkää virtaa ulos yökerhosta \(\bigg([value]\frac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg([value]\frac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=\bigg([value]\frac{\text{g}}{\text{min}}\bigg)\). d) Tilavuus on \( V=[value] \text{ l} \). Hään määrän ilmoittava funktio on [value] \(\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten, \( Q(t)=V\cdot[value]=([value]\text{ l})\cdot [value] \frac{\text{g}}{\text{l}}=[value]\cdot [value]\text{ g} \). e) Häkäpitoisuuteen vaikuttavat yökerhossa jo oleva hään määrä, sinne tupakoitsijoiden johdosta lisääntyvä häkä ja ilmastoinnin mukana pakeneva häkä. Muistetaan myös nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus Näin ollen kun tiedetään sisään- ja ulosvirtausnopeus sekä yökerhossa vallitsevan hään määrä \(Q(t)\), niin saadaan \(\frac{d Q(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}([value]\cdot [value])=[value]-[value] \) f) Ratkaistmuotohan tarkoitti muotoa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) Näin ollen termejä siirtelemällä saadaan \(\dfrac{d}{dt}[value] + [value] = [value]\), mikä on kysytty ratkaistu muoto. g) Termistä [value][value], saadaan integroiva tekijä laskemalla \(e^{\int[value]dt}\). Näin integroivaksi tekijäksi saadaan [value]. h) Merkitään aluksi selkeyttämisen vuoksi \(A\):=[value] ja \(B\):=[value]. Nyt, \(\begin{align*}(\frac{d}{dt}C(t)+AC(t))e^{At}&=Be^{At}\\ D_{x}(C(t)e^{At})&=Be^{At} \\e^{At}C(t)&=B\int e^{At\ dt}\\C(t)&=\frac{B}{e^{At}}\bigg(\frac{e^{At}}{A}+k \bigg)\\C(t)&=\frac{B}{A}+kBe^{-At}, \end{align*}\) joten, \(\begin{align*}C(t) = [value]+k\cdot [value]\cdot e^{-[value]t}\end{align*}\). i) Yökerhossa ei ole alkuhetkellä kello 22:00 yhtään asiakasta ja siten häkääkään ei ole kerinnyt kertyä yökerhoon, siispä \( C(0)=0 \). Täten havaitaan, että \(\begin{align*}C(0)=[value]+{k\cdot [value]}\cdot \underset{=1}{\underbrace{e^{-[value]\cdot0}}}&=0 \\ {k\cdot [value]} &= [value],\end{align*}\) mistä saadaan \(k = [value]\) Näin ollen, kun \(k\) sijoitetaan takaisin yhtälöön, \( C(t) \) voidaan muotoilla uudelleen \(\begin{align*}C(t)=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg).\end{align*} \) Kriittinen raja on 0,012 %, joten ratkaistaan yhtälö \( C(t)=0,000012 \), jotta saadaan selville aika, minkä kuluttua yökerhossa on liikaa häkää. \(\begin{align*}\dfrac{12}{100000}&=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg)\\ \frac{3}{100}&=1-e^{-[value]\cdot t}\\ e^{-[value]\cdot t} &= \frac{97}{100} \\ -[value]\cdot t &= \ln\bigg(\frac{97}{100}\bigg) \\t&=\frac{\ln\bigg(\frac{97}{100}\bigg)}{-[value]}\\ &\approx [value]. \end{align*}\) Joten, kriittinen raja on minuutin tarkkuudella [value] minuuttia yökerhon avaamisen jälkeen. j) Yökerho menee kiinni kello 3:00, joten tästä voimme laskea, että vastaus kysymykseen "Kestääkö hän loppuun?", on [value]
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

Opetusvideoon pääset tästä.

Matriisin syöttäminen ja alkioihin viittaaminen

Matriisit syötetään vektorien tapaan käyttäen hakasulkeita. Puolipiste (;) vaihtaa riviä. Saman rivin alkiot erotetaan pilkuin tai välilyönnein. \(\texttt{A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]}\) Saman matriisin voi tulostaa vierekkäin ja allekkain \(\texttt{repmat}\)-komennolla. Komento ottaa argumenteikseen kolme muuttujaa: tulostettava matriisi, montako kertaa matriisi tulostetaan allekkain ja montako kertaa vierekkäin. Matriisi A saadaan monistettua kaksi kertaa allekkain ja kolme kertaa rinnakkain näin. \(\texttt{repmat(A,2,3)}\) Äskeinen komento vastaa määrittelyä \(\texttt{[1 2 3 1 2 3 1 2 3;}\) \(\texttt{ 4 5 6 4 5 6 4 5 6;}\) \(\texttt{ 7 8 9 7 8 9 7 8 9;}\) \(\texttt{ 1 2 3 1 2 3 1 2 3;}\) \(\texttt{ 4 5 6 4 5 6 4 5 6;}\) \(\texttt{ 7 8 9 7 8 9 7 8 9;}\) \(\texttt{ 1 2 3 1 2 3 1 2 3;}\) \(\texttt{ 4 5 6 4 5 6 4 5 6;}\) \(\texttt{ 7 8 9 7 8 9 7 8 9]}\) Matriisin alkioita indeksoidaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. Edellä määritellyn matriisin A kolmas alkio on 7 ja neljäs alkio on 2. Alkioihin voidaan viitata käyttäen rivin ja sarakkeen indeksejä. Matriisin A toisen rivin kolmas alkio: \(\texttt{A(2,3)}\) Kaksoispisteellä viitataan dimension kaikkiin alkioihin. Matriisin A ensimmäinen rivi: \(\texttt{A(1,:)}\) Useaan riviin/sarakkeeseen viitataan merkitsemällä indeksit vektoriksi. Matriisin A toisen ja kolmannen rivin ensimmäinen ja kolmas alkio: \(\texttt{A([2 3],[1 3])}\)

reshape

Komennolla reshape saadaan muutettua matriisin dimensioita säilyttäen alkuperäiset alkiot. Funktio reshape ottaa kolme argumenttia: - Muokattava matriisi - Rivien lukumäärä uudessa matriisissa - Sarakkeiden lukumäärä uudessa matriisissa Matriisi A voidaan muokata yksiriviseksi matriisiksi komennolla \(\texttt{reshape(A,1,9)}\) jolloin muodostuu matriisi \(\texttt{[1 4 7 2 5 8 3 6 9]}\) Merkitsemällä toisen tai kolmannen argumentin paikalle hakasulkeet [], MATLAB laskee itse tämän dimension arvon matriisin alkioiden määrän mukaisesti. HUOM! Matriisien alkioiden määrä pitää olla jaollinen syötetyillä rivien ja sarakkeiden lukumäärällä. Lisätietoa komennosta saat helpistä tai dokumentaatiosta.

Matriisin koko

Matriisin koko saadaan selville komennolla size. Komentoon voi syöttää vain matriisin tai toisena argumenttina sen dimension, josta ollaan kiinnostuneita. Esimerkiksi matriisin A sarakkeiden lukumäärä saadaan komennolla \(\texttt{size(A,2)}\) Komento \(\texttt{size(A)}\) antaa vektorin, jossa on ensin rivien lukumäärä ja sitten sarakkeiden lukumäärä. Komento \(\texttt{length}\) antaa paluuarvona matriisin suurimman dimension arvon.

syms ja solve

MATLABiin voi määritellä symbolisia muuttujia, joita voi käyttää esimerkiksi yhtälönratkaisussa. Symboliset muuttujat määritellään komennon \(\texttt{syms}\) avulla \(\texttt{syms x y}\) Nyt voidaan määritellä symboleita sisältäviä muuttujia, kuten yhtälöitä \(\texttt{eq = x^2 == 4}\) Yhtälöt voivat sisältää enemmän kuin yhden tuntemattoman muuttujan kunhan ne on määritelty symbolisiksi muuttujiksi. HUOM! Yhtälöissä käytetään vertailuoperaattoreita. MATLABissa = käytetään muuttujan määrittelyssä, mutta == tarkoittaa vertailuoperaattoria "on yhtä suuri kuin". Käytä siis == määritellessäsi yhtälöitä! Funktio \(\texttt{solve}\) ratkaisee yhtälöitä ja yhtälöryhmiä, esim. \(\texttt{solve(x^2==4)}\) tai jos yhtälö on tallennettu muuttujaan eq niin \(\texttt{solve(eq)}\) Jos \(\texttt{solve}\) ei saa ratkaistua tarkkoja arvoja, se antaa numeerisen approksimaation. Funktio ottaa syötteeksi yhtälön (jos ratkaistaan yhtälöryhmän, niin yhtälöt vektorissa erotettuna toisistaa pilkulla) ja valinnaisina syötteinä ratkaistavat muuttujat ja mahdolliset reunaehdot. Esim. x^2+y=4 ratkaistuna muuttujan y suhteen saadaan komennolla \(\texttt{solve(x^2+y==4,y)}\) \(\texttt{solve}\)-funktiosta on runsaasti esimerkkejä dokumentaatiossa.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB2.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkki tehtäviin:

help rref

Q: Derivoi funktio:

\( j(x)=[value] \)

\(j'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Derivoi funktio:

\( k(x)=[value] \)

\(k'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

\( \textbf{Esimerkki 1.1.}\) Tarkastellaan kappaletta, joka liikkuu vaakasuunnassa (x-akseli). Kappaleen nopeus ajanhetkellä \( t \) saadaan funktiosta \( v(t)=12-t^2 \). Etsitään ensin kappaleen sijainti \( x \) missä tahansa positiivisessa ajassa \( t \). Voidaan olettaa, että ajanhetkellä \(t=1\) ei kappale ole liikkunut mihinkään ja on origossa. Laske lopuksi, mikä on kappaleen sijainti kun \(t=3\).

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Koska funktio \( v(t) \) on sijaintifunktion derivaatta, voidaan muodostaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

\(\begin{align*}\dfrac{dx}{dt}=12-t^2\end{align*} \)

kuvaamaan tarkasteltavaa ongelmaa.Tässäkin voidaan aluksi separoida yhtälö, jotta päästään suoraan integroimaan.

\(\begin{align*}\dfrac{dx}{dt}&=12-t^2 \\ \Leftrightarrow \int 1{dx}&=\int 12-t^2 dt + C \\ \Leftrightarrow x(t) &= 12t-\dfrac{t^3}{3}+C.\end{align*}\)

Nyt \( x(t) \) kertoo kappaleen sijainnin positiivisella ajan hetkellä \( t \). Ts. funktioparvi \( x(t)=12t-\dfrac{t^3}{3}+C \) on yleinen ratkaisu (yleisessä ratkaisussa ei olla ratkaistu integrointivakiota \(C\) ) kappaleen paikalle. Mutta, koska meillä on annettu lisätietoja, niin saadaan ratkaistua arvo integrointivakiolle \( C \).

Tiedetään, että kun \(t=1\), niin kappale ei ole liikkunut mihinkään ja sijaitsee origossa, joten \(x(1) = 0\). Näin saadaan

\(\begin{align*}12-\dfrac{1}{3} +C = 0 \\ \Leftrightarrow C = -11\dfrac{2}{3}\end{align*}\)

Näin saatiin määritettyä vakiolle \(C \) arvo kyseisessä tilanteessa ja saatiin siis ratkaisu tälle alkuarvo-ongelmalle, joka siis on \(x(t) = -\dfrac{t^3}{3}+12t-11\dfrac{2}{3}\).

Lopuksi voidaan nyt saadulla ratkaisulla laskea, mikä olisi kappaleen sijainti siis \(x\)-akselilla ajanhetkellä \(t=3\).

\(x(3) = -\dfrac{3^3}{3}+12\cdot 3-11\dfrac{2}{3}= -9+36-11\dfrac{2}{3} = 15\dfrac{1}{3}\).

\( \textbf{Esimerkki 1.2.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(y' = 4x^3-3x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Merkitään \(y' = \dfrac{dy}{dx}\) Näin saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} &= 4x^3-3x \quad\mid\cdot dx\newline \Leftrightarrow \int dy &= \int (4x^3-3x) dx \newline \Leftrightarrow y &= x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + C,\end{align*}\)

joka on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Esimerkki 1.3.}\) Populaation muutosnopeuden \(P'(t)\) tiedetään olevan suoraanverrannollista populaation määrään \(P(t)\) tietyllä ajanhetkellä \(t\). Tiedetään, että ajan hetkellä \(t=0\) populaation määrä \(P(0)=150\). Tiedetään myös, että populaation kasvukerroin \(k = 0.0002\). Muodosta funktio populaation määrän kasvulle.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Koska populaation muutosnopeus on suoraanverrannollinen populaation määrään, niin saadaan \(P'(t) = kP(t)\), mikä on ekvivalenttia \(\dfrac{dP}{dt} = kP(t)\) kanssa.

Nyt separoimalla saadaan \(\dfrac{dP}{P(t)} = kdt\), jonka jälkeen voidaan integroida puolittain.

\(\begin{align*}&\int{\dfrac{dP}{P(t)}} = \int{kdt}\newline &\Leftrightarrow ln(P(t)) = kt + C_{1} \newline &\Leftrightarrow e^{ln(P(t))} = e^{kt+C_{1}} \newline &\Leftrightarrow P(t) = e^{kt+C_{1}} \newline &\Leftrightarrow P(t) = e^{kt}e^{C_{1}}\newline &\Leftrightarrow P(t) = Ce^{kt}.\end{align*}\)

Sijoittamalla \(k\) saadaan ratkaisun yleinen muoto \(P(t) = Ce^{0.0002t}.\)

Nyt hyödynnetään alkuehtoa saadaksemme lopullisen ratkaisun.

\(\begin{align*}&P(0) = Ce^{0.0002\cdot 0} = 150\newline &\Leftrightarrow Ce^{0} = 150 \newline &\Leftrightarrow C = 150\end{align*}\)

Täten kyseisen alkuarvo-ongelman ratkaisu on \(P(t) = 150e^{0.0002t}\)

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y' = 2yx \quad y(0) = 3\)

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Lähdetään separoimaan differentiaaliyhtälöä.
\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} &= 2yx \newline \Leftrightarrow \dfrac{dy}{y} &= 2xdx \newline \Leftrightarrow \int \dfrac{dy}{y} &= \int 2xdx \newline \Leftrightarrow ln|y| &= x^2 + C_{1}\newline \Leftrightarrow |y| &= e^{x^2+C_{1}}\newline \Leftrightarrow |y| &= e^{x^2}e^{C_{1}}\newline \Leftrightarrow |y| &= Ce^{x^2},\end{align*}\)

missä \(C = e^{C_{1}}\). Alkuehdosta nähdään, että ratkaisun täytyy olla positiivinen, voidaan siis jättää itseisarvot pois. Näin saadaan

\(\begin{align*}y(0) = Ce^{0^2} = 3\newline\Leftrightarrow C = 3\end{align*}\)

Näin saadaan lopulliseksi ratkaisuksi \(y = 3e^{x^2}\)

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö \( y'=xy+3x \). Määritä myös yhtälön tietty ratkaisu, jonka käyrä kulkee pisteen \( (0,2) \) kautta.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Lähdetään liikkeelle separoimalla yhtälö ja integroimalla puolittain.

\(\begin{align*}y'&=xy+3x\\y'&=x(y+3)\quad\mid : (y+3)\neq0\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}y'&=x\quad\mid y'=\frac{dy}{dx}\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}\frac{dy}{dx}&=x\quad\mid\cdot\ dx\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}dy&=x\ dx\\ \Rightarrow\quad \int \frac{1}{y+3} dy&=\int x\ dx\\ \Rightarrow\quad \ln\mid y+3\mid&=\frac{1}{2}x^2+C\\ \Rightarrow\quad \mid y+3 \mid&=e^{\frac{1}{2}x^2+C}\\ \Rightarrow\quad \mid y+3 \mid&=e^{\frac{1}{2}x^2}e^C\end{align*}\)

Viimeisestä lausekkeesta saadaan \(y+3=e^{\frac{1}{2}x^2}e^C\) tai \(y+3=-e^{\frac{1}{2}x^2}e^C \).

Edellisessä muodossa on \( e^C>0 \) ja vastaavasti \( -e^C<0 \). Yhtälöt voidaan yhdistää muotoon

\(y+3=C'e^{\frac{1}{2}x^2}\),

missä \( C'\neq 0 \). Siispä

\( y=C'e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \),

missä \( C'\neq 0 \).

Yhtälö jaettiin alkuvaiheessa lausekkeella \( y+3 \), jonka nollakohta on \( y=-3 \). Yhtälön muodosta \( y'=x(y+3) \) nähdään, että vakiofunktio \( y=-3 \) toteuttaa yhtälön, sillä \( y' \) on vakiofunktio \( 0 \).

Kun sallitaan \( C'=0 \), myös erikoisratkaisu \( y=-3 \) sisältyy ratkaisuun. (Tämä on siis yksittäisratkaisu ja alkuarvo-ongelmatehtävissä ei ole niin olennaista löytää tällaisia. Usein jos tehtävissä esiintyy nollalla jakamista, nämä erikoispisteet kannattaa tarkastaa yleistä ratkaisua ajatellen.)

Yhtälön yleinen ratkaisu siis on

\( y=C'e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \),

missä \( C' \) on reaaliluku.

Määritetään lopuksi differentiaaliyhtälön \( y'=xy+3x \) tietty ratkaisu, jolle pätee \( y(0)=2 \). Koska

\( y(0)=C'e^{\frac{1}{2}0^2}-3=C'\cdot 1 -3 = C'-3 \),

niin tulee olla

\( \begin{align*}C'-3&=2\\ \Rightarrow\quad C'&=5.\end{align*} \)

Siis kysytty yksittäisratkaisu on \( y=5e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \).

\( \textbf{Esimerkki 2.3.}\) Kun jäälohkare, jonka lämpötila on \( 0 \) °C, tuodaan lämpimään, se alkaa heti sulaa. Jos ympäristön lämpötila ja ilmanpaine pysyvät samana ja jos ei tuule, niin kappaleen sulamisnopeus hetkellä \( t \) on likimain suoraan verrannollinen kappaleen pinnan alaan hetkellä \( t \). Alussa kuution muotoisen jääpalan tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja viiden tunnin kuluttua enää \( 8,0 \) dm^3

Missä ajassa kuutio sulaa kokonaan?

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Olkoon \( V(t) \) jääkuution tilavuus \( t \) tuntia sulamisen alkamisen jälkeen. Tilavuuden pienenemisnopeus hetkellä \( t \) on funktion \( V(t) \) derivaatta \( V'(t) \). Muodostetaan differentiaaliyhtälö, josta voidaan ratkaista funktio \( V(t) \).

Ilmaistaan kuution pinnan ala kuution tilavuuden avulla. Hetkellä \( t \) kuution särmä on

\( a(t)=\sqrt[3]{V(t)}=V(t)^{\frac{1}{3}} \)

ja kuution pinnan ala on

\( 6a(t)^2=6\Bigg(V(t)^\frac{1}{3} \Bigg)^2 =6V(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Koska tilavuuden muutosnopeus on suoraan verrannollinen pinnan alaan, niin

\( V'(t)=k\cdot 6V(t)^{\frac{2}{3}}, \)

missä \( k \) on verrannollisuuskerroin. Yhdistetään differentiaaliyhtälön oikean puolen vakiokertoimet merkitsemällä \( k\cdot 6=m \) ja ratkaistaan differentiaaliyhtälö

\( V'(t)=mV(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Merkitään \( V(t)=V \), jolloin differentiaaliyhtälö tulee muotoon \( V'=mV^{\frac{2}{3}} \), missä siis \( V \) on muuttujan \( t \) funktio ja \( m \) on vakio.

Separoidaan yhtälö.

\(\begin{align*}V'&=mV^{\frac{2}{3}}\quad\mid : V^{\frac{2}{3}}\neq 0\\ \Rightarrow\quad \frac{V'}{V^{\frac{2}{3}}}&=m\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}V'&=m\quad\mid V'=\frac{dV}{dt}\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}\frac{dV}{dt}&=m\quad\mid\cdot\ dt\\ \Rightarrow\quad V^{-\frac{2}{3}}dV&=m\ dt\\ \Rightarrow\quad \int V^{-\frac{2}{3}} dV&=\int m\ dt\\ \Rightarrow\quad 3V^{\frac{1}{3}}&= mt+C\\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=\frac{m}{3}t+\frac{C}{3}\quad\Biggl\lvert\frac{m}{3}=n,\quad\frac{C}{3}=C'\\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=nt+C'\\ \Rightarrow\quad V&=(nt+C')^3 \end{align*}\)

Kuution tilavuuden \( t \) tunnin kuluttua ilmaisee funktio, joka on muotoa \( V(t)=(nt+C')^3 \).

Ratkaistaan vakiot \( n \) ja \( C' \).

Hetkellä \( t=0 \) kappaleen tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja hetkellä \( t=5 \) kappaleen tilavuus oli \( 8,0 \) dm^3.

\( \begin{align*}&\begin{cases}(n\cdot 0 + C')^3 &= 10\\ (n\cdot 5 + C')^3 &= 8,0\end{cases}\\&\begin{cases}C'^3 &= 10\\ (5n+C')^3 &= 8,0\end{cases}\end{align*} \)

Ensimäisestä yhtälöstä saadaan \( C'=\sqrt[3]{10}\approx 2,15 \). Toisesta yhtälöstä saadaan

\(\begin{align*} 5n+C'&=\sqrt[3]{8,0}\\ \Rightarrow\quad n&= \frac{1}{5}\bigg(\sqrt[3]{8,0}-C'\bigg)\\ \Rightarrow\quad n&=\frac{1}{5}\bigg(\sqrt[3]{8,0}-\sqrt[3]{10}\bigg)\\ \Rightarrow\quad n&\approx -0,0309.\end{align*} \)

Siis \( t \) tunnin kuluttua kappaleen tilavuus on

\( V(t)=(-0,0309t+2,15)^{3}. \)

Tilavuus on nolla, kun

\( \begin{align*}-0,0309t + 2,15 &= 0\\ \Rightarrow\quad t&=\frac{2,15}{0,0309}\\ \Rightarrow\quad t&\approx 70. \end{align*} \)

Jääkuutio sulaa kokonaan eli tilavuus on nolla noin \( 70 \) tunnissa.

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2xy}{x^2+1} = 2x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Yhtälö on valmiiksi muodossa \( \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\), joten \(P(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\). Näin ollen integroivaksi tekijäksi saadaan \(\rho (x) = e^{\int {(\dfrac{2x}{x^2+1})dx}} = e^{ln(x^2+1)} = x^2+1\).

Nyt kerrotaan integroivalla tekijällä puolittain. Näin saadaan

\(\begin{align*}(x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+(x^2+1)\dfrac{2xy}{x^2+1} = (x^2+1)2x \newline \Leftrightarrow (x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+2xy = (x^2+1)2x\end{align*}\)

Nyt huomataan, että yhtälön vasemman puolen voi kirjoittaa \(D_{x}[(x^2+1)y]\)
(tämän huomaaminen ratkaisua varten on oleellista!), joten yhtälö voidaan kirjoittaa

\(D_{x}[(x^2+1)y]= (x^2+1)2x\).

Seuraavaksi integroidaan puolittain, jolloin saadaan

\((x^2+1)y = \int 2x(x^2+1)dx = \dfrac{2}{3}(x^2+1)^2 + C\).

Lopuksi jaetaan puolittain integroivalla tekijällä ja saadaan

\(y=\dfrac{2}{3}(x^2+1) + C\),

joka on kysytty yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Ratkaise alkuarvotehtävä

\(\begin{align*}\frac{dy}{dx}-y=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}},\quad y(0)=0.\end{align*}\)

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Havaitaan, että \(P(x)= -1 \) ja \( Q(x)=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}} \), joten integroiva tekijä on

\(\rho(x)=e^{\int P(x) dx}=e^{\int (-1) dx}=e^{-x}. \)

Kerrotaan ratkaistava yhtälö molemmin puolin integroivalla tekijällä \( e^{-x} \), jolloin saadaan

\(e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}. \)

Huomataan, että vasen puoli voidaan kirjoittaa tulon derivaatan avulla ja saadaan

\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y)=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}.\)

Siten integroimalla muuttujan \( x \) suhteen saadaan

\(\begin{align*} \int \frac{d}{dx}(e^{-x}y) dx &=\int\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}dx \\ \Leftrightarrow \qquad  e^{-x}y &= -\frac{33}{32}e^{-\frac{4x}{3}}+C,\end{align*} \)

ja edelleen jakamalla puolittain integroivalla tekijällä \( e^{-x} \) päädytään muotoon \( y(x)=Ce^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}. \)

Sijoittamalla \( y(0)=0 \) saadaan \( C=\frac{33}{32} \), joten alkuarvotehtävän ratkaisu on

\( y(x)=\frac{33}{32}e^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}=\frac{33}{32}\Big(e^{x}-e^{-\frac{x}{3}}\Big). \)

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Suonensisäinen tiputus on prosessi, jossa ainetta annostellaan tasaisesti verisuonistoon. Oletetaan, että sairaalassa olevalle potilaalle annostellaan lääkeainetta tipalla, joka annostelee lääkeainetta tasaisella \( I \) milligrammaa (mg) per minuutti nopeudella. Lisäksi oletetaan, että lääkitys leviää tasaisesti vartalon läpi ja eliminoituu nopeudella, joka on verrannollinen lääkeaineen pitoisuuteen ajan suhteen.

Tässä ongelmassa pitoisuuden määritellään olevan

\(\dfrac{\text{lääkeaineen määrä}}{\text{veren ja lääkeaineen tilavuus}}, \)

missä oletetaan, että veren ja lääkeaineen tilavuus \( V \) pysyy vakiona. Ongelmana on selvittää lääkeaineen pitoisuus ajan hetkellä \( t \). Tämän selvittämiseksi tarkastellaan verisuonistoa yksittäisenä säiliönä ja tutkitaan differentiaaliyhtälöä, joka mallintaa prosessia.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Jos merkitään lääkeaineen pitoisuutta \( C=C(t) \) ajan hetkellä \( t \) (mg/cm^3), niin tämän tyyppisen ongelman ehdot johtavat relaatioon

nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus

tai

\(V\dfrac{dC}{dt}=I-kC, \)

missä \( k \) on positiivinen vakio, joka riippuu lääkeaineesta ja potilaan fysiologisista ominaisuuksista.

Huomaa, että differentiaaliyhtälön vasen puoli on yksiköinä

\(cm^3\cdot\dfrac{\dfrac{mg}{cm^3}}{min}=\dfrac{mg}{min}. \)

ja että oikean puoleinen termi \( I \) on myöskin \(\frac{mg}{min}\). Koska \( C \) on ilmaistu muodossa \( \frac{mg}{cm^3} \), nähdään, että vakion \( k \) yksikön, joka ilmaisee ulosvirtausnopeutta, on oltava \( \frac{cm^3}{min} \).

Tämä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muodossa

\(\dfrac{dC}{dt}+\bigg(\dfrac{k}{V}\bigg)C=\dfrac{I}{V}.\)

Tämän yhtälön integroiva tekijä on

\(\begin{align*}\mu=e^{\int\frac{k}{V}dt}=e^{\frac{kt}{V}}.\end{align*}\)

Kun edellinen differentiaaliyhtälö kerrotaan puolittain integroivalla tekijällä \( \mu \), niin saadaan

\(e^{\frac{kt}{V}}\dfrac{dC}{dt}+\dfrac{k}{V}e^{\frac{kt}{V}}C=\bigg(\dfrac{I}{V}\bigg)e^{\frac{kt}{V}}.\)

Täten saadaan

\( \dfrac{d}{dt}\bigg(e^{\frac{kt}{V}}C \bigg)=\bigg(\dfrac{I}{V}\bigg)e^{\frac{kt}{V}} \)

joten integroimalla puolittain saadaan

\( e^{\frac{kt}{V}}C=\int\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}dt \)

ja

\(\begin{align*}e^{\frac{kt}{V}}C(t)&=\int\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}dt \\ \Leftrightarrow e^{\frac{kt}{V}}C(t)&=\dfrac{V}{k}\big(\frac{I}{V}\big)e^{\frac{kt}{V}}+\alpha \\ \Leftrightarrow C(t)&=\frac{I}{k}+\alpha e^{-\frac{kt}{V}}\end{align*}\).

Käyttäen alkuarvoehtoa \( C(0)=0 \), havaitaan, että \(\alpha=-\frac{I}{k} \), joten voimme kirjoittaa ratkaisun muodossa

\( C(t)=\frac{I}{k}-\frac{I}{k}e^{-\frac{kt}{V}}=\frac{I}{k}\bigg(1-e^{-\frac{kt}{V}}\bigg), \)

missä \( \alpha \) on integrointivakio.

Tarkastellaan lopuksi vielä, että mitä tapahtuu, kun aika kuluu. Tällöin \(\lim_{t\to\infty}C(t)=\frac{I}{k}\). Toisin sanoen potilaan kehossa olevan lääkeaineen pitoisuus saavuttaa kyllästyspisteen, joka on \( \frac{I}{k} \).

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Ratkaise alkuarvo-ongelma \(2y'' + 2y' - 4y = 2x + 3  \quad y'(0) = 2, y(0) = 1\)

\( \textbf{Ratkaisu}\): Etsitään aluksi vastaavan homogeenisen yhtälön \(2y'' + 2y' - 4y = 0\) yleinen ratkaisu. Aluksi muodostetaan karakteristinen yhtälö. Huomataan, että termillä \(y''\) on kerroin 2, jaetaan sillä, jotta yhtälö saadaan perusmuotoon. Näin saamme karakteristiseksi yhtälöksi \(\lambda^2 + \lambda -2 = 0\). Kun karakteristinen yhätlö ratkaistaan saadaan \(\lambda_{1}=-2,\:\lambda_{2}=1\).

Näin ollen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(y_{h} = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x}\).

Seuraavaksi kehitetään epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle yrite. Nyt, kun \(f(x)\) on polynomi, niin muodostetaan yritteeksi polynomi. Olkoon yrite muotoa \(y_{p} = ax^2 + bx + c\), tällön \(y_{p}'= 2ax + b\) ja \(y_{p}'' = 2a\). Sijoittamalla \(y_{p}\) yhtälöön saadaan siis

\(\begin{align*}2(2a) + 2(2ax + b) - 4(ax^2 + bx + c) &= 2x+3\newline 4a + 4ax + 2b - 4ax^2 - 4bx - 4c &= 2x+3 \newline -4ax^2 +(4a-4b)x +4a+2b-4c &= 2x+3 \end{align*}\)

Tästä saamme muodostettua yhtälöryhmän.

\(\begin{cases}-4a = 0 \\ 4a-4b = 2 \\ 4a + 2b - 4c = 3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = -\dfrac{1}{2} \\ c = -1\end{cases}\)

Näin saadaan siis epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi \(y = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

Vielä tulee ratkaista parametrit \(c_{1},c_{2}\) alkuehtojen avulla.
\(y' = -2c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{cases}y(0) = c_{1} + c_{2} -1 = 1 \newline y'(0) = -2c_{1} + c_{2} - \dfrac{1}{2} = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c_{1} = -\dfrac{1}{6} \\ c_{2} = \dfrac{13}{6}\end{cases}\)

Näin ollen saadaan alkuarvo-ongelmalle ratkaisuksi \(y = -\dfrac{1}{6}e^{-2x} + \dfrac{13}{6}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Osoita, että \( y_{1}(x)=x^{2} \) ja \( y_{2}(x)=x^{-3} \) ovat toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön

 \( x^{2}y''+2xy'-6y=0\),

ratkaisut, kun \( x>0 \). Lopuksi etsi vielä ratkaisu alkuarvo-ongelmalle \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \).

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Sijoittamalla ratkaisu \( y_{1}(x)=x^{2} \) annettuun yhtälöön havaitaan, että

\(x^{2}y_{1}''+2xy_{1}'-6y_{1}=x^{2}\cdot 2+2x\cdot 2x -6\cdot x^{2}=(2+4-6)x^{2}=0\)

ja vastaavasti sijoittamalla ratkaisu \( y_{2}(x)=x^{-3} \) saadaan

\(x^{2}y_{2}''+2xy_{2}'-6y_{2}=x^{2}\cdot 12x^{-5}+2x\cdot (-3x^{-4})-6\cdot x^{-3}=(12-6-6)x^{-3}=0. \)

Molemmat ovat siis ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \).

Koska kumpikaan \( \frac{y_{1}}{y_{2}}=x^5 \) tai \( \frac{y_{2}}{y_{1}}=x^{-5} \) ei ole vakio, niin ratkaisut \( y_{1}(x) \) ja \( y_{2}(x) \) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Ratkaistaan sitten alkuarvo-ongelma \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \). Koska \( y_{1}(x) \) ja \( y_{2}(x) \) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin näiden avulla voidaan löytää uusi ratkaisu aiemmin esitetylle differentiaaliyhtälölle asettamalla

\( y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x), \)

missä \(c_{1}, c_{2}\in\mathbb{R} \) ovat vakioita.

Täten edellisen nojalla

\( y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{-3} \)

on myös differentiaaliyhtälön \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \) ratkaisu. Derivoimalla saadaan

\( y'(x)=2c_{1}x-3c_{2}x^{-4} \),

josta edelleen saadaan yhtälöpari

\(\begin{cases}c_{1}+c_{2}&=10\\2c_{1}-3c_{2}&=5.\end{cases}\)

Ratkaistaan yhtälöpari helposti sijoittamalla \( c_{1}=10-c_{2} \) ensimmäisestä yhtälöstä toiseen ja saadaan

\( c_{1}=7\quad\text{ ja }\quad c_{2}=3. \)

Nyt ratkaisu alkuarvo-ongelmaan \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \), \( y(1)=10 \), \( y'(1)=5 \) on

\( y(x)=7x^{2}+3x^{-3}. \)

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Tässä konkreettinen esimerkki, miten yksinkertaiseltakin vaikuttavaa asiaa voi mallintaa differentiaaliyhtälöin.

Jokainen on varmasti havainnut korkin, puun palasen tai jonkin muun kappaleen keinuvan ylös ja alas jossakin nesteessä, kuten vedessä. Miten tämä keinuva liike voidaan mallintaa matemaattisesti?

Kun kelluva kappale on tasapainotilassa tai levossa, niin siihen vaikuttaa kaksi vastakkaista ja yhtäsuurta voimaa. Kappaleen massa painaa kappaletta alaspäin ja nesteen aiheuttama noste nostaa kappaletta ylöspäin.

Jos häiritsemme kappaleen tasapainotilaa painamalla tai nostamalla kappaletta, ja sitten vapauttamalla sen, niin kappale alkaa keinua ylös ja alas.

Kappaleen liikkeen fysikaalisena periaatteena on Newtonin toinen laki: \( F=ma \), massan ja kiihtyvyyden tulo on yhtäkuin kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.

Tarkastellaan esimerkiksi sylinterin muotoista kappaletta, jonka massa on jakautunut tasaisesti, tiheys on \( \rho \), poikkipinta-ala on \( A \) ja korkeus on \( L \).

Oletetaan, että kappale kelluu nesteessä, jonka tiheys on \( \rho_{\mathcal{l}} \), missä \( \rho < \rho_{\mathcal{l}} \). Tasapainotilassa tai levossa, kappale uppoaa nesteeseen kunnes kappaleen syrjäyttämän nesteen massa saavuttaa kappaleen massan. Olkoon kappaleen uppouma \( Y \).

Voidaan osoittaa, että

\( Y=\frac{\rho}{\rho_{\mathcal{l}}} L \).

Oletetaan, että kappaletta painetaan alaspäin. Merkitään syvyyttä, minkä verran kappaleesta on pinnan alapuolella ajan hetkellä \( t \), lausekkeella \( Y+y(t) \). Siten, \( y(t) \) ilmaisee kappaleen ajan kuluessa tapahtuvan muutoksen tasapainotilasta. Oletetaan, että \( y(t) \) on positiivinen, kun kappale painuu alaspäin.

Tasapainotilasta poikkeavassa tilassa kappaleeseen vaikuttava nettovoima on tyypillisesti nollasta eroava. Newtonin toinen laki, \( F=ma \), johtaa yhtälöön

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad\omega^{2}=\frac{\rho_\mathcal{l}}{\rho L} \),

missä \( g \) on gravitaatiovakio. Kappaleen poikkeama tasapainotilasta, \( y(t) \), voidaan siten löytää ratkaisemalla edellä mainittu toisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen yhtälö.

Pelkkä differentiaaliyhtälö ei riitä karakterisoimaan kappaleen liikettä yksikäsitteisesti. Tarvitaan kappaleen syvyys ja nopeus jollain tietyllä ajan hetkellä. Tämä onnistuu asettamalla alkuehdot \( y(t_{0})=y_{0} \) ja \( y'(t_{0})=y'_{0} \).

Näin ollen saadaan muodostettua alkuarvo-ongelma

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad y(0)=y_{0},\quad y'(0)=y'_{0} \),

jolla on yksikäsitteinen ratkaisu millä tahansa halutulla ajanjaksolla. Tarkastellaan kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi tapausta, jossa \( t_{0}=0 \).

Funktiot \( y_{1}(t)=\sin (\omega t) \) ja \( y_{2}(t)=\cos (\omega{2} t) \) ovat molemmat ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \). Tarkastetaan asia vielä sijoittamalla funktiot edellä mainittuun differentiaaliyhtälöön \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \) , josta saadaan

\( y(t)=C_{1}\sin (\omega t) + C_{2}\cos (\omega t)\), missä \(C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}, \)

joka on itseasiassa yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \).

Täten aiemmin esitetty alkuarvo-ongelma voidaan ratkaista sijoittamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun, josta saadaan yhtälöt

\(\begin{align*}y(0)&=C_{1}\sin(0)+C_{2}\cos(0)=y_{0},\\y'(0)&=C_{1}\omega\cos(0)-C_{2}\omega\sin(0)=y'_{0}.\end{align*} \)

Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan, että \( C_{1}=\frac{y'_{0}}{\omega} \) ja \( C_{2}=y_{0} \). Yksittäisratkaisu alkuarvo-ongelmaan on täten

\( y(t)=\frac{y'_{0} }{\omega }\sin(\omega t)+y_{0} \cos (\omega t) \).

Jos joko \( y_{0}=0 \) tai \( y'_{0}=0 \), on selvää, että ratkaisu ilmaisee sinimuotoista oskilloivaa käyttäytymistä, joka vastaa reaalimaailman havaintoja.

Anna palautetta Anna tämän viikon MATLAB-harjoituksista palautetta. Mikä oli hyvää? Mikä oli huonoa? Kaikki palaute on tervetullutta, sillä palautteen avulla voidaan kehittää tehtäviä tämän kurssin aikana sekä tulevaisuudessa.

3. Vakion siirtosääntö ja summan jakaminen osiin

Summalausekkeessa vakio voidaan siirtää summan edelle ja summa voidaan jakaa osiin.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot\sum_{n=s}^{t}f(n)\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)+\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)+g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{n=s}^{t}f(n)-\sum_{n=s}^{t}g(n)=\sum_{n=s}^{t}\bigg[ f(n)-g(n)\bigg]\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}\)

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=4}^{10}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(10-3=7\). Summattava: \(i+3\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}ki=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}ki=k\sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{kn(n+1)}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}ni=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{2k}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(2k-(k-1)=2k-k+1=k+1\). Summattava: \(i+(k-1)=i+k-1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}(i+1)\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+1\). Summattava: \(i+1-1=i\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+n=\dfrac{n^2+3n}{2}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(i+k+1)=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}k+\sum_{i=1}^{n}1=\dfrac{n(n+1)}{2}+kn+n=\dfrac{2n^2+2n+2kn^2+2kn+4n}{4}\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet löydetään derivoimalla funktio ja ratkaisemalla sen nollakohdat. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \), jolloin saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Koska derivaatan nimittäjä on toisen asteen funktio, niin voidaan ratkaista sen nollakohdat toisen asteen funktion ratkaisukaavalla. Vastaukseksi saadaan \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Derivoi funktio:

\( f(x)=[value] \)

\(f'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Muokkaa summaa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}i\end{align*}\)
siten, että summausindeksin \( i \) alarajaksi tulee 1.

Yläraja: |  |
 | \(\begin{align*}\sum\end{align*}\bigg(\) \( \bigg) \) |
Alaraja: | \(i=1\) |
Feedback: Mallivastaus 1: Yläraja: \( n+1 \) Summattava: \( i-1 \) Mallivastaus 2: Yläraja: \( n \) Summattava: \( i \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Funktiot

Funktiot, joita tutkitaan optimointi -modulissa, ovat muotoa \(f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \) olevia funktiota, missä \(n,m\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan

- yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio (reaalifunktio), jos \( n=m=1 \),
- yhden muuttujan funktio, jos \( n=1 \),
- usean muuttujan funktio, jos \( m=1 \),
- reaaliarvoinen funktio, jos \( m=1 \), ja
- vektoriarvoinen funktio, jos \( m>1 \).

Tässä \( \mathbb{R}^{n} \) on määrittelyjoukko ja \( \mathbb{R}^{m} \) on maalijoukko.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.} \) Käydään läpi muutamia esimerkkejä edellä mainituista funktioista.

- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=x^3 \) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2} \), \( f(x)=(x,3x-1) \) on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y)=x^3-2y+1 \) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3} \), \( f(x,y)=(x^3,2xy,-4y) \) on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i+1)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2+1=n+3\). Alaraja: \(3+1=4\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1=\sum_{i=1}^{n}n=n^2\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=3}^{n+2}(i-2)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+2-2=n\). Alaraja: \(3-2=1\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \(f(x) = [value]\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet sijaitsevat funktion derivaatan nollakohdissa. Derivoimme funktion \(f(x) = [value]\) ja saamme derivaataksi \( [value] \), joten saamme kriittiseksi pisteeksi ratkaisemalla derivaatan nollakohdat \([value]\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Määritä se piste tai ne pisteet, jossa funktio \( f(x)=[value] \) saa pienimmän arvonsa välillä \( [value] \).

Huom. Syötä vastaus muodossa \( \big\{  x_{0},x_{1},...,x_{n}  \big\} \). Luvun \(\pi\) saa, kun kirjoittaa syötekenttään vain pi. Esimerkiksi, jos kirjoittaa pi^2, tarkoittaa se \(\pi^2\).
Feedback: Mallivastaus: Jos yhden muuttujan funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sen määrittelyjoukko on rajoitettu ja suljettu, jolloin, mahdolliset ääriarvot sijaitsevat määrittelyjoukon reunapisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Aluksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Määrittelyjoukon reunapisteet ovat \( [value] \) ja \( [value] \), jolloin huomataan, että \( \cos([value]) =\) \( [value] \neq 0 \) ja \( \cos([value]) =\) \( [value] \neq 0 \), joten reunapisteissä ei ole kriittisiä pisteitä. Reunapisteissä voi silti olla ääriarvo, joten se täytyy lopuksi varmistaa, mutta tässä tapauksessa on selvää ettei näin ole. Koska kosinifunktion nollakohdissa derivaatta \( f'(x)=[value] \) saa arvon nolla, ovat kriittiset pisteet \( [value]\). Lopuksi selvitetään minimipisteiden sijainnit kokeilemalla eri arvoja derivaatalle, joten saamme vastaukseksi \( [value]\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet löydetään derivoimalla funktio ja ratkaisemalla sen nollakohdat. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \), jolloin saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Nyt, koska derivaatan nimittäjä on toisen asteen funktio, niin voidaan ratkaista sen nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Vastaukseksi saadaan \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value]\) kriittiset pisteet sisäpisteissä, ehdokaspisteet reunalla ja maksimi ja minimi arvot ellipsin \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid [value]\leq 1 \} \) alueelta.

Vinkki: muista osan yksi sijoitusmenetelmä.

Huom! Anna kriittiset pisteet muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\).

Anna ehdokaspisteet reunalla muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\).

Huom: anna vastaus muodossa \( \{x_{0},\ldots,x_{n}\} \).

Kriittiset pisteet:

Ehdokaspisteet reunalla:

Maksimit:

Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan aluksi funktion \( f(x,y)=x^{2}+y^{2} \) osittaisderivaatat, joiksi saadaan \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=2y.\end{align*} \) Funktiolla \( f \) on siis kriittinen piste pisteessä \( (0,0) \). Tarkastellaan seuraavaksi ellipsin yhtälöä \( [value] = 1 \) ja ratkaistaan siitä \( y^{2} \): \( \begin{align*}y^{2}=[value]-\dfrac{[value]x^{2}}{[value]}. \end{align*} \) Sijoitetaan \( y^2 \) funktioon \( f \), josta saadaan yhden muuttujan funktio \( \begin{align*}g(x)=[value].\end{align*} \) Derivoidaan funktio \( g \), jolloin derivaataksi saadaan \( \begin{align*}g'(x)=[value],\end{align*} \) joten funktiolla \( g \) on ääriarvo pisteessä \( 0 \) ja se on \( g(0)=[value]\). Näin voimme reunakäyrän yhtälöstä laskemalla todeta, että \(x\) saa reunalla arvoksi kahdessa pisteessä \(0\). Nämä pisteet ovat \((0,-[value])\) ja \((0,[value])\). Näin ollen funktiolla \( f \) on minimi pisteessä \( (0,0) \) ja se on \( f(0,0)=0 \). Lisäksi maksimit pisteissä \( (0,-[value]) \) ja \( (0,[value]) \), jotka molemmat ovat \( f(0,-[value])=f(0,[value])=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value] \) maksimi- ja minimiarvot suoralta \(y=2x\), jossa \(x\in [1,[value]] \).

Huom: anna vastaukset likiarvoina muodossa \(\{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n} \} \) ja kahden desimaalin tarkkuudella!

Minimit:

Maksimit:
Feedback: Mallivastaus: Sijoitetaan suoran yhtälö \(y=2x \) funktioon \( f(x,y) \) ja saadaan yhden muuttujan funktio \( f(x)=[value]\). Koska \( x \) on rajoitettu suljetulle välille \( [1,[value]] \), niin funktio \( f(x)=[value] \) saa pienimmän ja suurimman arvonsa tuolla välillä tai sen päätepisteissä. Derivoidaan funktio \( f(x)=[value] \) ja saadaan \( f'(x)=[value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat ja saadaan vastaukseksi \( [value] \). Voidaan heti hylätä nollakohta \([value] \), koska se ei ole suljetulla välillä \( [1,[value]] \). Huomataan, että toinen nollakohta on tuolla välillä. Tällöin voidaan tarkistaa, että mikä arvo funktiolla \(f(x) \) on, kun \( x \) saa arvon \([value] \). Sijoitetaan tämä funktioon \( f(x)=[value] \) ja saadaan \( f\bigg([value]\bigg)=[value] \). Seuraavaksi sijoitetaan suljetun välin \( [1,[value]] \) päätepisteet funktioon \( f(x) \) ja selvitetään, että mitkä ovat funktion \( f(x) \) arvot päätepisteissä, jolloin saadaan \( f(1)=[value] \) ja \( f([value])=[value] \). Havaitaan, että maksimin tilanne on selvä, mutta täytyy vielä tarkistaa minimin tilanne. Tätä varten tarvitaan likiarvo luvusta \( f\bigg([value]\bigg)=[value] \), joka on viiden desimaalin tarkkuudella \( [value] \) ja huomataan, että se on minimi.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value]\) kriittiset pisteet sisäpisteissä, ehdokaspisteet reunalla ja minimi ja maksimi arvot suorien \(y=\dfrac{1}{3}x+3\), \(y=8x-20\) ja \(y=-\dfrac{6}{5}x -\dfrac{8}{5}\) rajaaman kolmion alueella.

Huom: anna kriittiset pisteet muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\).

Anna ehdokaspisteet reunalla muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\). Käytä tarkkuutena kahta desimaalia (pilkun tilalla piste).

Anna maksimi ja minimi kahden desimaalin (käytä pilkun sijaan pistettä) tarkkuudella muodossa \( \{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n}\} \).

Kriittiset pisteet:

Ehdokaspisteet reunalla:

Maksimit:

Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Aluksi muodostetaan funktion \( f(x,y)=[value]\) osittaisderivaatat, joiksi saadaan \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x-1,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=2y+1.\end{align*}\) Ratkaistaan pisteet, joissa osittaisderivaatat ovat nollia muodostamalla yhtälöpari: \(\begin{cases}2x-1&=0\\ 2y+1&=0.\end{cases}\) Nähdään heti, että osittaisderivaatat ovat nolla pisteessä \( \bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg) \), joka on kriittinen piste. Funktion arvo pisteessä \( \bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg) \) on \( f\bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg)=[value] \). Jotta ehdokaspisteet reunalla voidaan löytää, aloitetaan parametrisoimalla reunakäyrät. Etsitään ensin kolmion kärkipisteet laskemalla suorien leikkauspisteet. Näin kolmion kärjiksi saadaan \((3,4),(2,-4)\) ja \((3,2)\). Parametrisoimalla saadaan nyt kolme kolmiota rajoittavaa janaa \(a(t) = (6t-3,2t+2),\: b(t) = (3-t,4-t), \: (2-5t,6t-4), \quad t\in[0,1]\). Seuraavaksi sijoitetaan saadut parametrisoidut käyrät funktioon \( f \), josta saadaan yhden muuttujan funktio. Derivoidaan tämä uusi yhden muuttujan funktio ja ratkaistaan sen nollakohdat. Uudet funktiot ovat muuttujan \( t \) funktioita missä \( t\in[0,1] \). \(\begin{align*}a_{2}(t)&=[value]\\ b_{2}(t)&=[value]\\ c_{2}(t)&=[value]\end{align*} \) Sitten derivoidaan uudet funktiot. \(\begin{align*}a'_{2}(t)&=[value]\\ b'_{2}(t)&=[value]\\ c'_{2}(t)&=[value]\end{align*}\) Ratkaistaan derivaattojen nollakohdat. \(\begin{align*}t_{a_{2}}&=[value]\\ t_{b_{2}}&=[value]\\t_{c_{2}}&=[value]\end{align*}\) Sijoitetaan derivaattojen nollakohdat funktiohin \( a(t), b(t), c(t) \) ja saadaan ehdokaspisteiksi \(([value],[value]),([value],[value]),([value],[value]) \). Tulee muistaa, että reunalla ehdokaspisteiksi tulee huomioida kolmion kärki pisteet myös. Näin ollen myös pisteet \((3,4), (2,-4),(3,2)\) ovat ehdokaspisteitä. Lopuksi lasketaan funktion arvot vielä ehdokaspisteissä. Funktion \( f \) arvoksi ehdokaspisteissä saadaan \( f([value],[value])=[value]\approx [value]\\ f([value],[value])=[value]\approx[value]\\ f([value],[value])=[value]\approx[value]\\ f(3,4)=[value]\\ f(2,-4)=[value]\\ f(-3,2)=[value]. \). Sitten lasketaan funktion \( f \) arvot kolmion kärkipisteissä \( (3,4), (2,-4), (3,2) \) ja saadaan \(f(3,4)=[value], f(2,-4)=[value], f(-3,2)=[value]. \) Lopuksi verrataan saatuja funktion \( f \) arvoja ja saadaan maksimiksi \( f(3,4)=[value] \) ja minimiksi \( f\bigg(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2} \bigg)=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=[value] \) maksimi- ja minimiarvot käyrältä \(r(t)=([value],[value]) \), missä \([value]\leq t \leq [value] \).

Huom: anna vastaukset muodossa \(\{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n} \} \).

Minimit:

Maksimit:
Feedback: Mallivastaus: Ensin muunnamme käyrän \( r(t) \) muotoon \( y=x \) ja sijoitamme sen funktioon \( f(x,y)=[value] \), josta saamme yhden muuttujan funktion \( h(x)=[value]\). Derivoimme funktion \( h(x) \) ja saamme derivaataksi \( h'(x)=([value]) \). Seuraavaksi ratkaisemme sen nollakohdat ja saamme nollakohdiksi \( [value] \). Sitten selvitämme suljetun välin, jolla muuttuja \( x \) saa suurimman ja pienimmän arvonsa, jotka saamme käyrän \( r(t)\) avulla ja se on \( \bigg[[value] , [value]\bigg] \). Lopuksi selvitämme kokeilemalla minimin ja maksimin: \( \begin{align*} &f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\\&f\bigg([value],[value]\bigg)=[value],\end{align*} \) joten saamme minimiksi [value] ja maksimiksi [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Parametrisoi suoran \(y=[value]\) kohtien \( x=0 \) ja \( x=[value]\) väliin jäävä osa huomautuksen 2.4 menetelmällä.

Käytä parametrina muuttujaa \( t \).

\( r(t)=(\) |  | , |  | \( ) \), missä |  | \(\leq t \leq \) | .
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan parametrisointi \( y=t \) ja sijoitetaan \( t \) suoran yhtälöön, jolloin saadaan käyräksi \(r(t)=[value] \). Koska \( x \) on määritelty välillä \( [0,[value]] \), niin sama väli käy parametrin \( t \) määrittelyväliksi.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Funktiot

Funktiot, joita tutkitaan optimointi -modulissa, ovat muotoa \(f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \) olevia funktiota, missä \(n,m\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan

- yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio (reaalifunktio), jos \( n=m=1 \),
- yhden muuttujan funktio, jos \( n=1 \),
- usean muuttujan funktio, jos \( m=1 \),
- reaaliarvoinen funktio, jos \( m=1 \), ja
- vektoriarvoinen funktio, jos \( m>1 \).

Tässä \( \mathbb{R}^{n} \) on määrittelyjoukko ja \( \mathbb{R}^{m} \) on maalijoukko.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.} \) Käydään läpi muutamia esimerkkejä edellä mainituista funktioista.

- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=x^3 \) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2} \), \( f(x)=(x,3x-1) \) on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y)=x^3-2y+1 \) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3} \), \( f(x,y)=(x^3,2xy,-4y) \) on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio.

2. Käyrät ja parametrisointi

Tarkastellaan yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota

\( \begin{align*}r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n},  r(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)) \end{align*}\).

Funktioita \( x_{i}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kutsutaan funktion \( r \) koordinaattifunktioiksi tai komponenttifunktioiksi. Tapauksessa \( n=2 \) merkitään usein

\( \begin{align*}r(t)=(x(t),y(t))=x(t)i+y(t)j \end{align*} \)

ja tapauksessa \( n=3 \)

\( \begin{align*}r(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)i+y(t)j+z(t)k. \end{align*}\)

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Vektoriarvoisen funktion raja-arvo pisteessä \(t_{0}\in[a,b] \), merkitään \( \lim_{t\rightarrow t_{0}} r(t)\), on vektori

\(\begin{align*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=\bigg(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\ldots ,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t) \bigg), \end{align*}\)

mikäli koordinaattifunktioiden raja-arvot ovat olemassa. Edelleen \( r \) on jatkuva pisteessä \(t_{0} \), jos

\(\begin{align*} r(t_{0})=\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t) \end{align*}\)

ja jatkuva, jos \( r \) on jatkuva jokaisella \( t\in[a,b]. \)

\( \textbf{Lause 2.2.}\) Vektoriarvoinen funktio on jatkuva, jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \( x_{i}(t) \) ovat jatkuvia.

Geometrisesti jatkuvuus tapauksessa \( n=2 \) tarkoittaa sitä, että "kuva voidaan piirtää kynää nostamatta".

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Jos funktio \( r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) on jatkuva, niin sitä kutsutaan parametrisoiduksi käyräksi. Kuvajoukko \( C=r([a,b])=\{ r(t)\mid t\in[a,b] \} \) on käyrän jälki tai lyhyesti käyrä. Kun \( n=2 \), puhutaan tasokäyrästä ja kun \( n=3 \), puhutaan avaruuskäyrästä. Pistettä \( r(a) \) kutsutaan käyrän alkupisteeksi ja pistettä \( r(b) \) loppupisteeksi.

Käyrän jälki \( C \) voidaan ilmoittaa myös muulla tavoin kuin antamalla lauseke \( r(t) \), jolloin tarvittaessa muodostetaan parametrisointi. Varoituksena todettakoon, että käyrällä \( C \) on aina äärettömän monta erilaista parametrisointia.

\( \textbf{Huomautus 2.4.}\) Jatkuvan funktion \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kuvaajalle \( y=f(x) \) voidaan aina ottaa parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=(t,f(t)), \ t\in [a,b]. \end{align*}\)

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos{t},\sin{t}), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \).

[Image]

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos{2t},\sin{2t}), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos{-t},\sin{-t})=(\cos{t},-\sin{t}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t+\pi /2},\sin{t+\pi /2}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t},\sin{t}), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r'(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image] [Image]

Yllä olevissaa kuvaajissa on molemmissa parametrisoinneissa vielä kolmaskin komponentti, jotka molemmat ovat nollia. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ympyrä on piirretty \( z=0 \) tasolle ja sitä katsotaan (vasen kuva) ylhäältä päin. Tässä tasokäyrä on siis piirretty avaruuskäyräksi (oikea kuva)!

Ylläolevan kuvan voi piirtää myös suoraan tasokäyräksi, mutta tällöin kolmas komponentti jätetään pois.

On erittäin tärkeää huomata, että funktioita ja avaruuskäyriä voidaan piirtää samaan kuvaajaan, ja erityisesti tasokäyriä voidaan piirtää avaruudessa oleville tasoille.

\( \textbf{Määritelmä 2.6.}\) Olkoot \( a \) ja \( b \) tason pisteitä. Pisteiden \( a \) ja \( b \) kautta kulkevan suoran virittäjävektoriksi voidaan valita \( d=b-a \), jolloin piste \( x \) on suoralla, jos ja vain jos \( x=a+td \) jollakin \( t\in\mathbb{R}. \) Pistettä \( a \) kutsutaan kauttakulkupisteeksi.

\( \textbf{Esimerkki 2.7.}\) Alla olevaan kuvaan on piirretty pisteet \( x \) parametrin \( t \) arvoilla \( t=-\dfrac{1}{2} \) ja \( t=0 \) (piste \( a \)), \( t=1 \) (piste \( b \)) ja \( t=\dfrac{3}{2} \) . Suoran parametrisoinniksi siis käy

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in\mathbb{R}, \end{align*} \)

ja pisteitä \( a \) ja \( b \) yhdistävän janan parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ 0\leq t \leq 1.\end{align*} \)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.8.}\) Parametrisoidaan yksikkövektoreita \( i \) ja \( j \) vastaavat janat. Yksikkövektori on siis koordinaattiakselin suuntainen ja yhden mittainen vektori.

Yksikkövektorin \( i \) alkupiste on origo, joten \( a=(0,0) \) ja loppupiste on \( (1,0) \), joten \( b=(1,0) \).

Nyt voimme parametrisoida yksikkövektoria \( i \) vastaavan janan käytäen määritelmää \( 2.6 \):

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a)=(0,0)-t((1,0)-(0,0))=(t,0), \ 0\leq t \leq 1. \end{align*}\)

Vastaavasti voimme parametrisoida yksikkövektoria \( j \) vastaavan janan:

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a)=(0,0)-t((0,1)-(0,0))=(0,t), \ 0\leq t \leq 1. \end{align*}\)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.9.}\) Parametrisoidaan käyrä, joka kulkee pisteestä \( a \) pisteen \( b \) kautta pisteeseen \( c \), missä \( a=(1,2) \), \( b=(4,4) \) ja \(c=(5,-1) \). Ensiksi parametrisoidaan jana \( ab \) ja sitten jana \( bc\).

Janan \( ab \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( u \)

\(\begin{align*}u(t)&=a+t(b-a)\\&=(1,2)+t((4,4)-(1,2))\\&=(1,2)+t(3,2)\\&=(1,2)+(3t,2t)\\&=(3t+1,2t+2),\end{align*}\)

missä \( 0\leq t\leq 1 \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( u(0)=(1,2) \) ja \( u(1)=(4,4) \).

Sitten janan \( bc \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( v \)

\(\begin{align*}v(t)&=b+t(c-b)\\&=(4,4)+t((5,-1)-(4,4))\\&=(4,4)+t(1,-5)\\&=(4,4)+(t,-5t)\\&=(t+4,-5t+4),\end{align*}\)

missä \( 0\leq t\leq 1 \).

Tarkistetaan tästäkin alku- ja päätepisteet: \( v(0)=(4,4) \) ja \( v(1)=(5,-1) \).

[Image]

Nyt on hyvä kerrata, että tässäkin tapauksessa erilaisia parametrisointeja on ääretön määrä. Kuitenkin janojen ja suorien ollessa kyseessä on tämän ja edellisen esimerkin parametrisointi sovelluksissa useimmiten suotavaa.

Tehtävä 1:

Parametrisoi suora \(y=[value]\), joka on määritelty välillä \( [0,[value]] \) huomautuksen 2.4 menetelmällä.

Käytä parametrina muuttujaa \( t \).

\( r(t)=(\) |  | , |  | \( ) \), missä |  | \(\leq t \leq \) | .

3. Yhden muuttujan funktion ääriarvot

Tarkastellaan seuraavaksi miten etsitään yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet ja määritetään ääriarvot. Optimoitava ongelma voidaan useimmiten redusoida funktion ääriarvojen eli minimien ja maksimien etsimiseen.

\( \textbf{Määritelmä 3.1.}\) Funktion \( f \) kriittinen piste on funktion \( f\) määrittelyjoukon \( D \) piste \( c \), jolla pätee joko \( f'(c)=0 \) tai \( f'(c) \) ei ole määritelty.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^2 \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x, \end{align*} \)

josta voidaan ratkaista derivaatan \( f'(x)=2x \) nollakohta

\(\begin{align*}f'(x)&=0,\\2x&=0,\\x&=0, \end{align*} \)

joten kriittinen piste on \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^3+2x-8x  \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^3+2x-8x)=3x^2+4x-8. \end{align*} \)

Koska funktion \( f \) derivaatta \( f'(x)=3x^2+4x-8 \) on toisen asteen polynomi, niin sen nollakohdat ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

\(\begin{align*}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}. \end{align*} \)

Sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa derivaattaan \( f' \) ja etsitään sen nollakohdat

\(\begin{align*}x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 3 \cdot (-8)}}{2\cdot 3},\\&=\dfrac{-4\pm\sqrt{112}}{6},\\&=\dfrac{-4\pm 4 \sqrt{7}}{6},\\&=\dfrac{-2\pm 2 \sqrt{7}}{3}, \end{align*} \)

josta saadaan nollakohdiksi \( \Bigg\{\dfrac{2\sqrt{7}-2}{3},\dfrac{-2\sqrt{7}-2}{3}\Bigg\}  \), jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet.

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.4.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi. Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Aiemmassa esimerkissä 3.2 tutkittiin funktiota \( f(x)=x^2 \). Funktion \( f \) globaali minimi on pisteessä \( x=0 \) ja globaalia maksimia ei ole olemassa.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Funktiolla \( f(x)=x^3 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on kriittinen piste \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.7.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Tarkastellaan funktiota \( f(x)=\dfrac{x^6}{6}-2x^5+\dfrac{35x^4}{4}-\dfrac{50x^3}{3}+12x^2 \).

[Image]

Funktion \( f \) kuvaajasta näemme, että funktiolla \( f \) on kaksi globaalia minimiä, yksi lokaali minimi ja kaksi lokaalia maksimia, mutta ei yhtään globaalia maksimia. Jos funktion määrittelyjoukko olisi rajoitettu vaikkapa välille \( [0,4] \), niin tällöin funktiolla \( f \) olisi kaksi globaalia maksimia, kaksi globaalia minimiä ja yksi lokaali minimi.

\( \textbf{Lause 3.8.}\) Jos funktio \( f \) on jatkuva suljetulla välillä \( [a,b] \), niin funktio \( f \) saavuttaa globaalin maksiminsa ja miniminsä joissakin suljetun välin \( [a,b] \) pisteissä.

\( \textbf{Lause 3.9.}\) Jos funktiolla \( f \) on lokaali maksimi tai minimi pisteessä \( c\), ja jos \( f'(c) \) on olemassa, niin \( f'(c)=0 \).

\( \textbf{Huomautus 3.10.}\) Jos \( f'(c)=0 \), jossakin pisteessä \( c \), niin siitä ei seuraa, että tässä pisteessä olisi maksimi tai minimi! Esimerkissä 3.6 tarkasteltiin funktiota \( f(x)=x^3 \) ja sillä pätee \( f'(0)=0 \) pisteessä \( x=0 \), mutta kuitenkaan funktiolla \( f \) ei ole maksimia tai minimiä.

\( \textbf{Huomautus 3.11.}\) Funktion \( f \) ääriarvojen eli maksimien tai minimien etsinnässä suljetulla välillä \( [a,b] \) on seuraavat vaiheet: etsi funktion \( f \) kriittiset pisteet avoimelta väliltä \( ]a,b[ \), laske funktion \( f\) arvot kriittisissä pisteissä, laske funktion \( f \) arvot suljetun välin \( [a,b] \) päätepisteissä ja lopuksi määritä ääriarvojen laatu vertaamalla arvoja keskenään.

Tehtävä 2

Etsi funktion \(f(x) = [value]\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Tehtävä 3

Etsi funktion \( f(x)=[value] \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Tehtävä 4

Etsi funktion \( f(x)=[value] \) pisteet, joissa mahdolliset minimit sijaitsevat suljetulla välillä \( [value] \).

Huom. Syötä vastaus muodossa \( \big\{  f(x_{0}),f(x_{1}),...,f(x_{n})  \big\} \).

Tehtävä 5

Etsi funktion \(f(x) = [value]\) maksimit ja minimit suljetulla välillä \( \Big[-\dfrac{1}{2},4\Big] \).

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Maksimit: | Minimit:

Tehtävä 6

Mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \(f(x) = [value]\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \)?

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Q: Etsi funktion \(f(x) = [value]\) kriittiset pisteet, maksimi(t) ja minimi(t) suljetulta väliltä \( \Big[ -\dfrac{1}{2},4 \Big] \).

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).

Kriittiset pisteet: | Maksimi(t): | Minimi(t):
Feedback: Mallivastaus: Ensiksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( f'(x)=[value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joten kriittiset pisteet ovat \( [value] \). Molemmat kuuluvat funktion \( f \) määrittelyvälille \( [-\dfrac{1}{2},4] \), joten ne huomioidaan. Lasketaan arvot funktion \( f \) määrittelyvälin päätepisteissä: \( f(-\dfrac{1}{2})=[value] \) ja \( f(4)=[value] \). Lasketaan arvot funktion \( f \) kriittisissä pisteissä: \( f([value])=[value] \) ja \( f([value])=[value] \). Lopuksi määritetään maksimit ja minimit vertailemalla edellä laskettuja arvoja. Maksimit: \( [value] \). Minimit: \( [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \(f(x) = [value]\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \)?

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}  \} \).
Feedback: Mallivastaus: Aluksi funktio \( f(x)=[value] \) derivoidaan, josta saadaan derivaataksi \( [value] \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joiksi saadaan \( [value] \) ja jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet. Seuraavaksi täytyy määrittää, että mikä luvun \( a \) täytyy olla, jotta funktio \( f\) saa miniminsä pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \). Ensiksi hylätään piste \( 0 \), koska siinä ei esiinny lukua \( a \). Toiseksi havaitaan, että funktio \( f \) on symmetrinen ja siten riittää tarkastella jompaa kumpaa jäljellä olevaa kriittistä pistettä. Tarkastellaan yhtälöä \( \sqrt{\dfrac{a}{2}}=1 \). Korottamalla neliöön molemmin puolin ja kertomalla kahdella saadaan vastaukseksi \([value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Seuraavat funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty. Kysymys on joka kohdassa funktion \( f \) jatkuvuudesta määrittelyjoukossa \( D \).

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \), kun \( x\neq 0\) ja \( f(x,y)=0 \) muulloin sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\leq x, y\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2} \), kun \( (x,y)\neq (0,0) \) ja \( f(0,0)=1 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y)=x+2y+3 \) sekä \(D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0< x < 1, 0< y < 2 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( d) \) \( f(x,y)=x^2 + y^2 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x> 0, y>0 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( e) \) \( f(x,y)=\sin(\pi\sqrt{x^2 + y^2}) \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \dfrac{1}{2} \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( f) \) \( f(x,y)=xy \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=4x \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Maksimi ja minimi usean muuttujan funktioille

Usean muuttujan funktion maksimin ja minimin käsitteet ovat samankaltaiset kuin yhden muuttujan funktioiden vastaavat. Kerrataan kuitenkin vielä määritelmät.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi. Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Määritelmä 1.2.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on avoimella välillä, joka sisältää pisteen \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 1.3}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2-y^2 \) on yksi globaali maksimi, eikä yhtään globaalia minimiä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.4}\) Funktiolla \(f(x,y)=-x^4+20x^2-y^4+20y^2 \) on neljä globaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.5}\) Funktiolla \( f(x,y)= -x^4 -2x^3 + \dfrac{13x^{2}}{4} + \dfrac{x}{2} - y^4 - 2y^3 + \dfrac{13y^{2}}{4} + \dfrac{y}{2} - \dfrac{3}{2} \) on yksi globaali maksimi, kolme lokaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

2. Funktion jatkuvuus

3. Määrittelyjoukko suljettu

4. Määrittelyjoukko rajoitettu

Tehtävä 1

Seuraavat funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty.

Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \), kun \( x\neq 0\) ja \( f(x,y)=0 \) muulloin sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\leq x, y\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2} \), kun \( (x,y)\neq (0,0) \) ja \( f((0,0)=1 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y)=x+2y+3 \) sekä \(D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0< x < 1, 0< y < 2 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( d) \) \( f(x,y)=x^2 + y^2 \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\geq 0, y\geq 0 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( e) \) \( f(x,y)=\sin{\pi\sqrt{x^2 + y^2}} \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \dfrac{1}{2} \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( f) \) \( f(x,y)=xy \) sekä \( D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=4x \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |  | [Image]
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

Tehtävä 2

Seuraavat kolmen muuttujan funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty.

Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \), kun \( (x,y,z)\neq (0,0,0) \) ja \( f(0,0,0)=10 \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} } \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}<1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\geq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

Q: Seuraavat kolmen muuttujan funktiot \( f \) eivät saa suurinta ja/tai pienintä arvoaan alueessa \( D \) johtuen siitä, että ääriarvojen olemassaolon ehdot eivät täyty. Kysymys on funktion \( f \) jatkuvuudesta määrittelyjoukossa \( D \). Mikä seuraavista ei ole voimassa kussakin tapauksessa?

Huom: vastaa jokaiseen kohtaan jotain, jotta saat palautteen.

\( a) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \), kun \( (x,y,z)\neq (0,0,0) \) ja \( f(0,0,0)=10 \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\leq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( b) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} } \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0 < \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}<1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |

\( c) \) \( f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \) sekä \( D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\geq 1 \} \).

\( f\) jatkuva |  |  |
\( D \) rajoitettu |  |  |
\( D \) suljettu |  |  |
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Funktiot

Optimoinnissa pyritään löytämään optimaalisin tulos funktiolle tietyssä alueessa. Funktiot, joita tutkitaan tässä optimointi -modulissa, ovat muotoa \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R} \) olevia funktioita, missä \( n\in\{1,2,3\} \). Toisin sanoen funktioita, jotka ovat reaaliarvoisia yhden- tai useamman muuttujan funktioita. Tämä käytännössä tarkoittaa siis sitä, että pyritään etsimään suurin tai pienin arvo (riippuen tehtävästä) funktiolle annetussa alueessa.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.} \) Käydään läpi muutamia esimerkkejä edellä mainituista funktioista.

- \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=x^3 \) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y)=x^3-2y+1 \) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
- \( f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x,y,z)=x^2+3y-z \) on kolmen muuttujan reaaliarvoinen funktio.

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos{t},\sin{t}), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos{t} \) ja \( y=\sin{t} \).

[Image]

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos{2t},\sin{2t}), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos{-t},\sin{-t})=(\cos{t},-\sin{t}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t+\pi /2},\sin{t+\pi /2}), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos{t},\sin{t}), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r'(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image] [Image]

Yllä olevissaa kuvaajissa on molemmissa parametrisoinneissa vielä kolmaskin komponentti, jotka molemmat ovat nollia. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ympyrä on piirretty \( z=0 \) tasolle ja sitä katsotaan (vasen kuva) ylhäältä päin. Tässä tasokäyrä on siis piirretty avaruuskäyräksi (oikea kuva)!

Ylläolevan kuvan voi piirtää myös suoraan tasokäyräksi, mutta tällöin kolmas komponentti jätetään pois.

On erittäin tärkeää huomata, että funktioita ja avaruuskäyriä voidaan piirtää samaan kuvaajaan, ja erityisesti tasokäyriä voidaan piirtää avaruudessa oleville tasoille.

2. Käyrät ja parametrisointi

Käyrät ja parametrisointi ovat tärkeä osa optimointia. Yhden muuttujan jatkuvien funktioiden optimointi on aina käyrien optimointia. Myös useamman muuttujan optimointitehtävissä tavataan käyriä varsinkin kun optimoidaan alueen reunalla.

Parametrisointia käytetään taas optimoinnissa, jotta tiettyjä tapauksia voidaan palauttaa yhden muuttujan optimoinniksi. Tähänkin törmätään useamman muuttujan optimointitehtävissä. Parametrisoinnista on hyötyä, koska useamman muuttujan tapauksia on hankalampi ratkaista.

Seuraavaksi määritellään käyrä ja parametrisointi ja käydään läpi muutama esimerkki.

Tarkastellaan yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota

\( \begin{align*}r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n},  r(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)) \end{align*}\).

Funktioita \( x_{i}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kutsutaan funktion \( r \) koordinaattifunktioiksi tai komponenttifunktioiksi.

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Vektoriarvoisen funktion raja-arvo pisteessä \(t_{0}\in[a,b] \), merkitään \( \lim_{t\rightarrow t_{0}} r(t)\), on vektori

\(\begin{align*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=\bigg(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\ldots ,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t) \bigg), \end{align*}\)

mikäli koordinaattifunktioiden raja-arvot ovat olemassa. Edelleen \( r \) on jatkuva pisteessä \(t_{0} \), jos

\(\begin{align*} r(t_{0})=\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t) \end{align*}\)

ja jatkuva, jos \( r \) on jatkuva jokaisella \( t\in[a,b]. \)

\( \textbf{Lause 2.2.}\) Vektoriarvoinen funktio on jatkuva jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \( x_{i}(t) \) ovat jatkuvia.

Geometrisesti jatkuvuus tapauksessa \( n=2 \) tarkoittaa sitä, että "kuva voidaan piirtää kynää nostamatta".

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Jos funktio \( r:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) on jatkuva, niin sitä kutsutaan parametrisoiduksi käyräksi. Kuvajoukko \( C=r([a,b])=\{ r(t)\mid t\in[a,b] \} \) on käyrän jälki tai lyhyesti käyrä. Kun \( n=2 \), puhutaan tasokäyrästä ja kun \( n=3 \), puhutaan avaruuskäyrästä. Pistettä \( r(a) \) kutsutaan käyrän alkupisteeksi ja pistettä \( r(b) \) loppupisteeksi.

Käyrän jälki \( C \) voidaan ilmoittaa myös muulla tavoin kuin antamalla lauseke \( r(t) \), jolloin tarvittaessa muodostetaan parametrisointi.

Varoituksena todettakoon, että käyrällä \( C \) on aina äärettömän monta erilaista parametrisointia.

\( \textbf{Huomautus 2.4.}\) Jatkuvan funktion \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) kuvaajalle \( y=f(x) \) voidaan aina ottaa parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=(t,f(t)), \ t\in [a,b]. \end{align*}\)

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Yksikköympyrän \( C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1 \} \) parametrisoinniksi otetaan yleensä

\(\begin{align*}r(t)=(\cos(t),\sin(t)), 0\leq t\leq 2\pi \end{align*} \).

[Image]

Tässä siis käytetään muunnosta, jossa \( x = \cos(t) \) ja \( y=\sin(t) \). Ts. yhtälön \( x^{2}+y^{2} = 1 \) vasemmalle puolelle sijoitetaan \( x=\cos(t) \) ja \( y=\sin(t) \).

Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan yksikköympyrälle \( C \) samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:

\(\begin{align*}&r(t)=(\cos(2t),\sin(2t)), \ 0\leq t\leq \pi,\\ &r(t)=(\cos(-t),\sin(-t))=(\cos(t),-\sin(t)), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos(t+\pi /2),\sin(t+\pi /2)), \ 0\leq t \leq 2\pi,\\ &r(t)=(\cos(t),\sin(t)), \ 0\leq t\leq 5\pi .\end{align*}\)

Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä 2,5 kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja päätepisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä on yksinkertainen.

On myös hyvä huomata, että yksikköympyrän parametrisoinniksi voidaan ottaa huomautuksen 2.4 nojalla myös esimerkiksi \( r_{1}(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \) ja \(r_{2}(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \),  missä \( -1\leq t\leq 1 \). Koko käyrää ei siis tarvitse piirtää yhdellä lausekkeella, vaan voidaan piirtää useita käyriä, jotka yhdistyvät alku- ja loppupisteistään, mikäli halutaan, että käyrä on jatkuva.

[Image]

\( \textbf{Huomautus 2.6.}\) Olkoot \( a \) ja \( b \) tason pisteitä. Pisteiden \( a \) ja \( b \) kautta kulkevan suoran virittäjävektoriksi voidaan valita \( d=b-a \), jolloin piste \( x \) on suoralla, jos ja vain jos \( x=a+td \) jollakin \( t\in\mathbb{R}. \) Pistettä \( a \) kutsutaan kauttakulkupisteeksi.

\( \textbf{Esimerkki 2.7.}\) Alla olevaan kuvaan on piirretty pisteet \( x \) parametrin \( t \) arvoilla \( t=-\frac{1}{2} \) ja \( t=0 \) (piste \( a \)), \( t=1 \) (piste \( b \)) ja \( t=\frac{3}{2} \). Suoran parametrisoinniksi siis käy

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in\mathbb{R}, \end{align*} \)

ja pisteitä \( a \) ja \( b \) yhdistävän janan parametrisoinniksi

\(\begin{align*}r(t)=a+t(b-a), \ t\in[0,1].\end{align*} \)

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.8.}\) Parametrisoidaan käyrä, jonka alkupiste on \( a=(-2,-3) \) ja loppupiste \( b=(3,1) \).

Parametrisoidaan jana \( ab \)

\(\begin{align*}r(t)&=a+t(b-a)\\&=(-2,-3)+t((3,1)-(-2,-3))\\ &=(-2,-3)+t(5,4)\\&=(-2,-3)+(5t,4t)\\&=(5t-2,4t-3), \end{align*}\)

missä \(t\in[0,1] \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( r(0)=(-2,-3) \) ja \( r(1)=(3,1) \).

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.9.}\) Etsitään parametrisointi sellaisen kolmion reunajanoille, jonka kärkipisteet ovat \( a=(-2,-2) \), \( b=(-1,2) \) ja \(c=(3,1) \). Ensiksi parametrisoidaan janat \( ab \), \( bc \) ja \( ca \).

Janan \( ab \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( u \)

\(\begin{align*}u(t)&=a+t(b-a)\\&=(-2,-2)+t((-1,2)-(-2,-2))\\&=(-2,-2)+t(1,4)\\&=(-2,-2)+(t,4t)\\&=(t-2,4t-2),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan alku- ja päätepisteet: \( u(0)=(-2,-2) \) ja \( u(1)=(-1,2) \).

Sitten janan \( bc \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( v \)

\(\begin{align*}v(t)&=b+t(c-b)\\&=(-1,2)+t((3,-1)-(-1,2))\\&=(-1,2)+t(4,-3)\\&=(-1,2)+(4t,-3t)\\&=(4t-1,3t+2),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan  alku- ja päätepisteet: \( v(0)=(-1,2) \) ja \( v(1)=(3,-1) \).

Lopuksi janan \( ca \) parametrisoinniksi muodostetaan käyrä \( w \)

\(\begin{align*}w(t)&=c+t(a-c)\\&=(3,-1)+t((-2,-2)-(3,-1))\\&=(3,-1)+t(-5,-1)\\&=(3,-1)+(-5t,-t)\\&=(-5t+3,-t-1),\end{align*}\)

missä \( t\in[0,1] \).

Tarkistetaan  alku- ja päätepisteet: \( w(0)=(3,-1) \) ja \( w(1)=(-2,-2) \).

[Image]

Nyt on hyvä kerrata, että tässäkin tapauksessa erilaisia parametrisointeja on ääretön määrä. Kun jotain käyrää parametrisoi, niin parametrin \(t\) ei aina tarvitse kuulua välille \([0,1]\) (huomautus 2.4). Kuitenkin janojen ja suorien ollessa kyseessä on tämän ja edellisen esimerkin kaltainen parametrisointi, jossa \( t\in[0,1] \), sovelluksissa useimmiten suotavaa.

Jatkossa tullaan vielä oppimaan, että kun optimoidaan jotain funktiota alueessa, niin optimointia varten täytyy osata parametrisoida alueen reunakäyrät. Käysään tällaisesta tapauksesta esimerkki.

\( \textbf{Esimerkki 2.10.}\)  Käyrät \(y=x\) ja \(y=-x^2+2\) rajaavat alueen. Parametrisoidaan reunakäyrät siten, että ne rajaavat sisäänsä jäävän alueen.

[Image]

Etsitään aluksi pisteet, joissa kaksi käyrää leikkaavat.

Käyrien funktioista saadaan \(x=-x^2+2 \Rightarrow x=-2\) tai \(x=1\). Sijoittamalla takaisin vaikka yhtälöön \(y=x\) saadaan leikkauspisteiksi \((-2,-2),\:(1,1)\). Näin voidaan hyödyntää huomautusta 2.4 ja saadaan aluksi suoran \(y=x\) parametrisoinniksi \(r_{1}(t)=(t,t),\quad t\in [-2,1]\).

Samalla tavalla saadaan toisen käyrän parametrisoinniksi \(r_{2}(t) = (t,-t^2+2), \quad t\in [-2,1]\).

Tällä parametrisoinnilla saadaan käyrien sisään jäävä alue rajatuksi.

3. Yhden muuttujan funktion ääriarvot

Tarkastellaan seuraavaksi miten etsitään yhden muuttujan funktion kriittiset pisteet ja määritetään ääriarvot. Optimoitavaa ongelmaa voidaan usein mallintaa jollakin funktiolla, jolloin optimoitava ongelma voidaan ratkaista etsimällä tämän funktion ääriarvot.

\( \textbf{Määritelmä 3.1.}\) Funktion \( f \) kriittinen piste on funktion \( f\) määrittelyjoukon \( D \) piste \( c \), jolla pätee joko \( f'(c)=0 \) tai \( f'(c) \) ei ole määritelty.

On siis tärkeää ymmärtää, että jos fuktiolle löytyy kriittinen piste, mikä ei ole määrittelyjoukon sisällä, niin se ei kelpaa kriittiseksi pisteeksi.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^2 \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x, \end{align*} \)

josta voidaan ratkaista derivaatan \( f'(x)=2x \) nollakohta

\(\begin{align*}f'(x)&=0,\\2x&=0,\\x&=0, \end{align*} \)

joten kriittinen piste on \( x=0 \).

[Image]

\(\textbf{Esimerkki 3.3.}\) Etsitään funktion \( f(x)=x^3+2x-8x  \) kriittiset pisteet. Derivoidaan funktio \( f \), josta saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(x^3+2x-8x)=3x^2+4x-8. \end{align*} \)

Koska funktion \( f \) derivaatta \( f'(x)=3x^2+4x-8 \) on toisen asteen polynomi, niin sen nollakohdat ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

\(\begin{align*}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}. \end{align*} \)

Sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa derivaattaan \( f' \) ja etsitään sen nollakohdat

\(\begin{align*}x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 3 \cdot (-8)}}{2\cdot 3},\\&=\dfrac{-4\pm\sqrt{112}}{6},\\&=\dfrac{-4\pm 4 \sqrt{7}}{6},\\&=\dfrac{-2\pm 2 \sqrt{7}}{3}, \end{align*} \)

josta saadaan nollakohdiksi \( \Bigg\{\dfrac{2\sqrt{7}-2}{3},\dfrac{-2\sqrt{7}-2}{3}\Bigg\}  \), jotka ovat funktion \( f \) kriittiset pisteet.

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.4.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi.

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

Toisin sanoen funktiolla on globaali maksimi/minimi määrittelyjoukkonsa pisteessä \(c\), ja sen arvo on \(f(c)\), jos tämä on suurin/pienin arvo, mitä funktio saa koko määrittelyjoukossaan.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Aiemmassa esimerkissä 3.2 tutkittiin funktiota \( f(x)=x^2 \). Funktion \( f \) globaali minimi on pisteessä \( x=0 \) ja globaalia maksimia ei ole olemassa.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Funktiolla \( f(x)=x^3 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on kriittinen piste \( x=0 \).

[Image]

\( \textbf{Määritelmä 3.7.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos on olemassa avoin väli \( ]a,b[ \) siten, että \( c\in ]a,b[ \) ja \( f(c)\geq f(x) \) jokaisella \( x\in ]a,b[ \).

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos on olemassa avoin väli \( ]a,b[ \) siten, että \( c\in ]a,b[ \) ja \( f(c)\leq f(x) \) jokaisella \( x\in ]a,b[ \).

Vastaavasti kuin globaali maksimi/minimi, on lokaali maksimi/minimi suurin/pienin arvo minkä funktio saa omassa lähiympäristössään.

Yleistyksenä yhden muuttujan tapauksissa kuvaajissa maksimit ovat "kumpuja" ja minimit ovat "kuoppia".

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Tarkastellaan funktiota \( f(x)=\dfrac{x^6}{6}-2x^5+\dfrac{35x^4}{4}-\dfrac{50x^3}{3}+12x^2 \).

[Image]

Funktion \( f \) kuvaajasta näemme, että funktiolla \( f \) on kaksi globaalia minimiä, yksi lokaali minimi ja kaksi lokaalia maksimia, mutta ei yhtään globaalia maksimia.

Globaalit minimit ovat pisteissä \(x=0\) ja \(x=4\), koska kuten kuvaajasta nähdään niin näissä pisteissä funktio saa arvon \(f = 0\) ja missään muissa pisteissä funktio ei saa pienempiä arvoja. Määritelmän mukaankin, koska \(f(0) = f(4) \le f(x)\), niin näissä pisteissä on funktion globaalit minimit.

Funktion lokaalin minimin nähdään olevan pisteessä \(x=2\). Kuten kuvaajasta huomataan, funktion arvo on pienempää kuin, mikään muu piste sen lähiympäristössä. Esimerkiksi \(f(2) \le f(x)\), kun \(x\in ]1,3[\).

Samalla tavalla kuin lokaalit minimit ovat määritelmän mukaan funktion lokaalit maksimit pisteissä \(x=1\) ja \(x=3\).

Funktiolla \( f \) ei ole yhtään globaalia maksimia, koska derivaattaa \( f' \) tutkimalla voidaan selvittää, että koska esimerkiksi kun \(x > 5\), niin funktio on aidosti kasvava ja \(f'>1\), näin ollen \( f(x) \longrightarrow \infty \), kun \( x \longrightarrow -\infty \) ja vastaavasti kun \(x<-1\), niin funktio on aidosti vähenevä ja \(f'<-1\), täten kun \( f(x) \longrightarrow \infty \), kun \( x \longrightarrow \infty \).

Jos funktion määrittelyjoukko olisi rajoitettu vaikkapa välille \( [0,4] \), niin tällöin funktiolla \( f \) olisi kaksi globaalia maksimia, kaksi globaalia minimiä ja yksi lokaali minimi.

\( \textbf{Lause 3.9.}\) Jos funktio \( f \) on jatkuva suljetulla välillä \( [a,b] \), niin funktio \( f \) saavuttaa globaalin maksiminsa ja miniminsä joissakin suljetun välin \( [a,b] \) pisteissä.

Tämä on loogisesti pääteltävissä. Jos ajatellaan, että piirretään koordinaatistoon mikä tahansa jana pisteestä \(x=a\) pisteeseen \(x=b\) siten, että kynä ei kertaakaan irtoa paperista, niin jossain kohtaa piirretty viiva on korkeammalla y-akselilla kuin missään muussa pisteessä ja taas jossain kohtaa se on alempana kuin missään muussa pisteessä.

Täytyy kuitenkin noteerata, että jana ei välttämättä muodosta "kumpuja" tai "kuoppia" esimerkiksi, jos piirtää suoran kuvaajan. Tällöin maksimin ja/tai minimin voi löytää välin päätepisteistä. (Kannattaa vaikka kokeilla itse kynällä ja paperilla.)

\( \textbf{Lause 3.10.}\) Jos funktiolla \( f \) on lokaali maksimi tai minimi pisteessä \( c\), ja jos \( f'(c) \) on olemassa, niin \( f'(c)=0 \).

\( \textbf{Huomautus 3.11.}\) Jos \( f'(c)=0 \), jossakin pisteessä \( c \), niin siitä ei seuraa, että tässä pisteessä olisi maksimi tai minimi! Esimerkissä 3.6 tarkasteltiin funktiota \( f(x)=x^3 \) ja sillä pätee \( f'(0)=0 \) pisteessä \( x=0 \), mutta kuitenkaan funktiolla \( f \) ei ole maksimia tai minimiä.

\( \textbf{Huomautus 3.12.}\) Funktion \( f \) ääriarvojen eli maksimien tai minimien etsinnässä suljetulla välillä \( [a,b] \) on seuraavat vaiheet:

1. Etsi funktion \( f \) kriittiset pisteet avoimelta väliltä \( ]a,b[ \).

2. Laske funktion \( f\) arvot kriittisissä pisteissä

3. Laske funktion \( f \) arvot suljetun välin \( [a,b] \) päätepisteissä.

4. Lopuksi määritä ääriarvojen laatu vertaamalla arvoja keskenään.

1. Maksimi ja minimi usean muuttujan funktioille

Usean muuttujan funktion maksimin ja minimin käsitteet ovat samankaltaiset kuin yhden muuttujan funktioiden vastaavat. On tärkeää osata tunnistaa funktion minimit ja maksimit, koska optimoinnissa kyse on juuri näiden pisteiden etsimisestä. Nyt usean muuttujan funktioille minimin ja maksimin määritelmä on kutakuinkin samanlainen kuin yhdenkin muuttujan funktioille. Käydään silti vielä läpi näiden määritelmät muistin virkistämiseksi.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Funktiolla \( f\) on globaali maksimi (tai absoluuttinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan maksimiksi.

Vastaavasti, funktiolla \( f \) on globaali minimi (tai absoluuttinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \). Lukua \( f(c) \) kutsutaan minimiksi. Maksimia ja minimiä kutsutaan funktion \( f \) ääriarvoiksi.

\( \textbf{Määritelmä 1.2.}\) Funktiolla \( f \) on lokaali maksimi (tai suhteellinen maksimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\geq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on jossakin pisteen \( x \) ympäristössä, joka sisältää pisteen \( c \). Vastaavasti, funktiolla \( f \) on lokaali minimi (tai suhteellinen minimi) määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos \( f(c)\leq f(x) \) jokaisessa määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( x \), missä \( x \) on jossakin pisteen \( x \) ympäristössä, joka sisältää pisteen \( c \).

Niin kuin yhdenkin muuttujan tapauksissa, niin useankin muuttujan tapauksessa globaali maksimi ja minimi tarkoittavan kaikkein suurinta ja pieninta arvoa, minkä funktio saa määrittelyjoukossaan \(D\). Lokaalit ääriarvot ovat taas samalla tavalla kuin yhden muuttujan funktioilla tietyn rajatun alueen suurimpia ja pienimpiä arvoja, eli ns. yleisiä "kumpuja" ja "kuoppia". Mitä useamman muuttujan tapauksiin mennään tosin, on näitä kumpuja ja kuoppia vaikea mallintaa havainnollistaviksi kuviksi. Miten nämä maksimit ja minimit voidaan sitten jatkossa löytää, niin samalla menettelyllä kuin yhdenkin muuttujan tapauksissa, eli derivaatan avulla. Tähän perehdytään tosin paremmin myöhemmin, kun tutustutaan funktion kriittisiin pisteisiin.

Seuraavissa esimerkeissä kahden muuttujan tapauksissa nähdään minimit ja maksimit vielä tällaisina kumpuina ja kuoppina.

\( \textbf{Esimerkki 1.3}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2-y^2 \) on yksi globaali maksimi, eikä yhtään globaalia minimiä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.4}\) Funktiolla \(f(x,y)=-x^4+20x^2-y^4+20y^2 \) on neljä globaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.5}\) Funktiolla \( f(x,y)= -{{y}^{4}}+6{{y}^{3}}+13{{y}^{2}}-90y-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}-90x+144 \) on yksi globaali maksimi, kolme lokaalia maksimia ja yksi lokaali minimi.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.6}\) Funktiolla \( f(x,y)=-x^2+y^2 \) ei ole maksimia tai minimiä, mutta sillä on yksi satulapiste. Satulapiste ei täytä maksimin tai minimin määritelmää, sillä kuten kuvasta huomaa, ei piste ole alueensa minimi tai maksimi. Satulapiste sijaitsee kuitenkin funktion kriittisessä pisteessä, joista lisää myöhemmin.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.7}\) Funktiolla \( f(x,y)=\sin(2x)+\sin(2y) \) on äärettömästi maksimeja ja minimejä.

[Image]

2. Funktion jatkuvuus

Usean muuttujan funktion jatkuvuus on analoginen yhden muuttujan funktion tapauksen kanssa. Funktion jatkuvuus on merkittävä asia, kun etsitään funktion ääriarvoja, sillä jatkuvuus on yksi ehto maksimin ja minimin löytymiselle. Tässä kerrataan hieman funktion jatkuvuutta ja sen määrittelyä. Optimoinnissa kuitenkin tullaan keskittymään enemmän funktion ääriarvojen löytämiseen kuin funktion jatkuvuuden todistamiseen.

\( \textbf{Määritelmä 2.1.}\) Olkoon \( f:D\rightarrow \mathbb{R} \), missä \( D\subseteq\mathbb{R}^n \) ja \( n\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan jatkuva määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos jokaisella \( \varepsilon >0 \) on olemassa sellainen \( \delta >0 \), että \( \mid f(x)-f(c)\mid<\varepsilon\) aina, kun \(\| x-c\|<\delta \).

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Todistetaan esimerkin vuoksi, että funktio \( f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{2}+x_{3} \) on jatkuva pisteessä \( c=(1,2,3) \).

Olkoon \( \varepsilon > 0 \). Nyt, kolmioepäyhtälön nojalla

\(\begin{align*}\mid f(x)-f(c)\mid &= \mid x_{1}+x_{2}+x_{3} - 6 \mid\\&= \mid x_{1}-1 + x_{2}-2 + x_{3}-3 \mid\\ &\leq\mid x_{1}-1\mid + \mid x_{2}-2 \mid + \mid x_{3}-3 \mid\\&<\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}\\&=\varepsilon\end{align*}\)

aina, kun

\(\begin{align*}&\mid x_{1}-1 \mid=\sqrt{(x_{1}-1)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta,\\&\mid x_{2}-2 \mid=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta,\\&\mid x_{3}-3 \mid=\sqrt{(x_{3}-3)^{2}}\leq\sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+(x_{3}-3)^{2}}=\|x-c \|< \dfrac{\varepsilon}{3}:=\delta. \end{align*}\)

Tämä on kuitenkin kömpelöä ja delta-epsilon ehdolle on olemassa ekvivalentti ehto: jos funktiolla on raja-arvo tarkasteltavassa pisteessä, niin se on jatkuva siinä pisteessä. Täytyy muistaa, että tämä onnistuu vain siinä tapauksessa, että funktiolla tiedetään olevan raja-arvo kyseessä olevassa pisteessä, muuten joudutaan delta-epsilon tarkasteluun.

\( \textbf{Määritelmä 2.3.}\) Olkoon \( f:D\rightarrow \mathbb{R} \), missä \( D\subseteq\mathbb{R}^n \) ja \( n\in\mathbb{Z}_{+} \). Funktion \( f \) sanotaan olevan jatkuva määrittelyjoukon \( D \) pisteessä \( c \), jos

\(\begin{align*}\lim_{x \to c} f(x) = f(c). \end{align*}\)

Funktion on siis jatkuva pisteessä \( c \), jos se on määritelty pisteessä \( c \), sillä on raja-arvo pisteessä \( c \) ja funktion arvo on yhtä kuin raja-arvo pisteessä \( c \).

\( \textbf{Esimerkki 2.4.}\) Funktio \( f(x,y)=\cos(y) + x^{2} -x + 2 \) on jatkuva.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.5.}\) Funktio \( f(x,y)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}+y \) ei ole jatkuva eikä epäjatkuva pisteissä \( (x,y) \), missä \( x=1 \) ja \( x=-2 \), jokaisella \( y \), koska se ei ole määritelty noissa pisteissä. Samasta syystä funktiolla \( f \) ei myöskään ole raja-arvoa noissa pisteissä.

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 2.6.}\) Funktio \( f(x,y)=-200x^2 + \dfrac{200}{y} \) ei ole jatkuva eikä epäjatkuva pisteissä \( (x,y) \), missä \( y=0 \), jokaisella \( x \), koska se ei ole määritelty noissa pisteissä. Samasta syystä funktiolla \( f \) ei myöskään ole raja-arvoa noissa pisteissä.

[Image]

3. Avoimet ja suljetut joukot

Joukon sulkeutuvuus on tärkeää optimoinnissa, sillä kun etsitään jonkun funktion minimejä ja maksimeja jossain joukossa, niin vaatimuksena on, että joukko on tällöin rajoitettu ja suljettu. Käydään läpi määritelmin ja esimerkein milloin joukko on avoin, milloin suljettu, milloin ei kumpaakaan ja milloin molemmat.

\( \textbf{Määritelmä 3.1.}\) Olkoon \(A\subset \mathbb{R}^n\).

- Piste \(a\in \mathbb{R}^n\) on joukon \(A\) reunapiste, jos jokaisessa \(a\):n ympäristössä on sekä \(A\):n että \(A\):n komplementin pisteitä, ts. \(A \cap B(\textbf{a},r) \neq \emptyset\) ja \(A^{c}\cup B(\textbf{a},r) \neq \emptyset\) jokaisella \(r>0\).
- Joukon \(A\) reunapisteiden muodostamaa joukkoa kutsutaan \(A\):n reunaksi ja merkitään \(\partial A\).
- Joukon \(A\) sisäpisteiden muodostamaa joukkoa kutsutaan \(A\):n sisukseksi ja merkitään int(\(A\)).
- Joukkoa \(\overline{A} = A \cup \partial A\) kutsutaan \(A\):n sulkeumaksi.
- Joukko \(A\) on suljettu, jod \(A\) sisältää kaikki reunapisteensä.
- Joukko \(A\) on avoin, jos A ei sissällä yhtään reunapistettään.

Yllä on aluksi määritelty joukon \(A\) eri pisteet, jotta niiden avulla on voitu määritellä reuna ja täten sulkeutuvuus ja avoimuus.

Seuraavissa kuvallisissa esimerkeissä katkoviiva havainnollistaa sitä, ettei alueen kyseinen reuna kuulu alueeseen. Normaali viivoitus merkitsee taas sitä, että kyseinen reuna kuuluu alueeseen.

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Kolmio.

[Image] | [Image] | [Image]
Suljettu. Kaikki reunapisteet kuuluvat alueeseen. | Avoin. Yksikään reunapiste ei sisälly alueeseen. | Ei avoin eikä suljettu. Osa reunapisteistä sisältyy alueeseen, osa ei.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Neliö.

[Image] | [Image] | [Image]
Suljettu. Kaikki reunapisteet kuuluvat alueeseen. | Avoin. Yksikään reunapiste ei sisälly alueeseen. | Ei avoin eikä suljettu. Osa reunapisteistä sisältyy alueeseen, osa ei.

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Taso on suljettu avaruudessa. Taso on ääretön pinta, mutta avaruudessa kaikki tason pisteet ovat sen reunapisteitä ja koska nekuuluvat tasoon, niin määritelmän mukaan taso on suljettu avaruudessa.

\( \textbf{Esimerkki 3.4.}\) Suora on suljettu avaruudessa. Suoran kaikki pisteethän ovat sen reunapisteitä, ja suora sisältää kaikki pisteensä.

\( \textbf{Esimerkki 3.5.}\) Jana, joka sisältää päätepisteensä, on suljettu. Jana, joka ei sisällä päätepisteitään, on avoin. Jana, jolla on toinen päätepiste ei ole avoin eikä suljettu.

\( \textbf{Esimerkki 3.6.}\) Puolitaso on sellainen taso, joka on rajattu jollain käyrällä jostain kohtaa. Esimerkiksi koordinaattiakselin positiivinen puolitaso. Puolitaso, johon koordinaattiakseli kuuluu, on suljettu. Puolitaso, johon koordinaattiakseli ei kuulu, on avoin. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on suljettu, jos koordinaattiakselien positiiviset osat kuuluvat siihen. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on avoin, jos koordinaattiakselien positiiviset osat eivät kuulu siihen. Reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen neljännes on ei ole avoin eikä suljettu, jos koordinaattiakselien positiivisista osista jompi kumpi ei kuulu siihen.

\( \textbf{Esimerkki 3.7.}\) Yksikköympyrä on suljettu. Yksikköympyrä sisältää kaikki sisä- ja reunapisteensä.

\( \textbf{Esimerkki 3.8.}\) Reaalisuora \( \mathbb{R} \) on avoin ja suljettu. Reaalitaso \( \mathbb{R}^{2} \) on avoin ja suljettu. Reaaliavaruus \( \mathbb{R}^{3} \) on avoin ja suljettu.

4. Rajoitettu joukko

Joukon rajoittuneisuus on joukon sulkeutuvuuden ohella välttämättömyys minimin ja maksimin löytämiselle jollekin funktiolle jossain alueessa. Jotta siis funktiolle voidaan löytää minimi ja maksimi, täytyy joukon olla sekä suljettu että rajoitettu. Käydään seuraavaksi määritelmän ja esimerkkien avulla joukon rajoittuneisuutta läpi.

\( \textbf{Määritelmä 4.1.}\) Joukko \( D \) on rajoitettu jos ja vain jos on olemassa luku \( M>0 \) siten, että \( || x-y ||\leq M \) jokaisella \( x,y\in D \). Toisin sanoen joukosta \( D \) ei löydy kahta sellaista pistettä \( x \) ja \( y \), joiden välinen etäisyys on suurempi kuin \( M \).

Määritelmä käytännössä tarkoittaa siis sitä, että joukon halkaisija ei voi olla ääretön. Seuraavaksi muutama esimerkki.

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Yksikköympyrä.

[Image]

Yksikköympyrä on rajoitettu. Kuten kuvasta nähdään, ei yksikköympyrän sisältä voida valita kahta pistettä siten, että niiden välinen etäisyys olisi suurempaa kuin ääretön.

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Suora ei ole rajoitettu tasossa tai avaruudessa.

Tämä johtuu siitä, että suora on äärettömän pitkä. Näin ollen suoralta voidaan valita kaksi pistettä siten, että ne ovat äärettömän kaukana toisistaan.

\( \textbf{Esimerkki 4.4.}\) Jana on rajoitettu tasossa ja avaruudessa.

Jana on äärellisen pitkä. Tällöin, suurin etäisyys, mitä kahden pisteen välille voidaan saavuttaa on maksimissaan janan pituus, mikä on lyhempi kuin ääretön.

\( \textbf{Esimerkki 4.5.}\) Reaalisuora \( \mathbb{R} \) ei ole rajoitettu, reaalitaso \( \mathbb{R}^2 \) ei ole rajoitettu, eikä reaaliavaruus \( \mathbb{R}^3 \) ole rajoitettu.

Kaikki edellä mainitut ovat äärettömiä omissa ulottuvuuksissaan, täten ne ovat rajoittamattomia.

\( \textbf{Esimerkki 4.6.}\) Reaalisuoran \( \mathbb{R} \) positiivinen osa (\(x\geq 0\)) ei ole rajoitettu, reaalitason \( \mathbb{R}^2 \) positiivinen osa (\(x\geq 0, y\geq 0\)) ei ole rajoitettu, eikä reaaliavaruuden \( \mathbb{R}^3\) positiivinen osa (\(x\geq0, y\geq 0, z\geq 0\)) ole rajoitettu.

Vastaavasti kuin edelisessä esimerkissä, voidaan edelleen saavuttaa äärettömyys kahden pisteen välille, kun vain positiivisella puolella mennään äärettömyyteen. Näinpä kaikki edellä mainitut tapaukset ovat rajoittamattomia.

4. Sijoitus

Joskus on tarpeen löytää usean muuttujan funktion suurin ja pienin arvo tasossa tai avaruudessa kulkevan käyrän pisteiden joukosta. Tämä on yleistä esimerkiksi, kun tutkitaan tasossa tai avaruudessa olevan alueen reunakäyrän minimejä ja maksimeja. Mikäli käyrän parametrisointi tunnetaan, voidaan sen avulla palauttaa ääriarvotarkastelu yhden muuttujan funktion ääriarvojen tutkimiseksi. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tätä prosessia.

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=x^2 + y \) maksimit ja minimit suoran \(y=x-2\) siltä osalta, jossa \( 0 \leq x \leq 1 \) eli janalta, jonka päätepisteet ovat \( (0,-2) \) ja \( (1,-1) \).

Suoran pisteille pätee \( y=x-2 \), joten voidaan määritellä \( f(x,y)=f(x,x-2)=x^{2}+x-2:=h(x) \), missä \( 0 \leq x \leq 1 \). Derivoidaan funktio \( h(x) \), joksi saadaan \( h'(x)=2x+1 \). Funktio \( h(x) \) saavuttaa maksiminsa ja miniminsä joko välin päätepisteissä tai sen derivaatan nollakohdassa. Funktion \( h(x) \) derivaatan nollakohta on \( x=-\frac{1}{2} \). Derivaatan nollakohta ei ole välillä \( 0\leq x \leq 1 \), joten se hylätään.

Määritetään funktion \( h(x) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja: \( h(0)=-2 \) ja \( h(1)=0 \).

Näin ollen maksimiksi saadaan \( 0 \) pisteessä \( x=1 \) ja minimiksi \( -2 \) pisteessä \( x=1\).

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=x^{4} +(y-2)^{2} \) maksimit ja minimit paraabelin \(y=x^2\) siltä osalta, missä \( -2 \leq x \leq 2 \).

Paraabelin pisteille pätee \( y=x^2 \), joten voidaan määritellä \( f(x,y)=f(x,x^2)=x^{4}+(x^{2} - 2)^{2}=2x^{4}-4x^{2}+4:=h(x) \), missä \( -2 \leq x \leq 2 \). Derivoidaan funktio \( h(x) \) ja saadaan derivaataksi \( h'(x)=8x^3-8x \). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, joiksi saadaan \( x=0, x=-1 \) ja \( x=1 \). Kaikki derivaatan nollakohdat ovat määrittelyvälillä \( [-2,2] \), joten ne kaikki huomioidaan.

Määritetään funktion \( h(x) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja: \( h(-2)=20, h(2)=20, h(0)=4, h(-1)=2 \) ja \( h(1)=2 \).

Näin maksimiksi saadaan \( 20 \) paraabelin päätepisteissä \( x=-2 \) ja \( x=2 \) ja minimiksi \( 2 \) paraabelin pisteissä \( x=-1 \) ja \( x=1 \).

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Etsitään funktion \( f(x,y,z)=\dfrac{xy}{z} \) maksimit ja minimit käyrältä \( r(t)=(1+t,t,-3) \), missä \( -1 \leq t \leq 1 \).

Sijoitetaan käyrän komponenttifunktiot funktioon \( f \) ja määritetään, että \( f(x,y,z)=\frac{xy}{z}=\frac{(1+t)t}{-3}=\frac{t^{2}+t}{-3}:=h(t) \). Derivoidaan funktio \( h(t) \) ja saadaan derivaataksi \( h'(t)=\frac{-6t-3}{9}\). Ratkaistaan derivaatan \( h'(t) \) nollakohdat, joita on vain yksi ja joksi saadaan \( t=-\frac{1}{2} \).

Määritetään funktion \( h(t) \) maksimit ja minimit vertailemalla arvoja. Koska \( h(-1)=0 \), \( h\big(-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{12} \), ja \( h(1)=-\frac{2}{3} \), niin maksimi on \( \frac{1}{12} \) ja minimi \( -\frac{2}{3} \).

Käydään läpi vielä esimerkki, jossa nähdään, miten käyrien optimointiin voi törmätä useamman muuttujan funktioiden optimointitehtävissä.

\( \textbf{Esimerkki 4.4.}\) Etsitään funktion \(f(x,y) = 2y+3x\) suurin ja pienin arvo alueessa \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y+x^2 \le 2, y-x^2 \ge -2\}\).

Tässä kohtaa ei vielä perehdytä useamman muuttujan funktion kriittisten pisteiden määrittämiseen, vaikka proseduuri on käytännössä samankaltainen kuin yhden muuttujan funktioilla. Toodettakoon nyt vain, ettei tehtävän funktiolla edes olekaan kriittisiä pisteitä. (Tähän voi myöhemin palata ja miettiä miksei.)

Koska siis kriittisiä pisteitä ei ole, löytyvät funktion suurin ja pienin arvo alueen reunalta eli paraabelien \(y=x^2-2\) ja \(y=-x^2+2\), kun \(-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}\), muodostamalta käyrältä.

Suurin ja pienin arvo sis löydetään reunakäyriltä, joten lähdetään aluksi sijoittamanaan \(y=x^2-2\), funktioon, jotta se saadaan palautettua yhden muuttujan tapaukseksi.

\(\begin{align*}f(x,x^2-2) &= 2(x^2-2) + 3x = 2x^2 + 3x -4 \\ f' &= 4x + 3\end{align*}\)

Derivaatan nollakohdaksi saadaan täten \(x=-\dfrac{3}{4}\).

Vastaavasti, kun tutkitaan funktion kriittisiä pisteitä toisella reunakäyrällä \(y=-x^2+2\), saadaan samankaltaisela menettelyllä sieltä derivaatan nollakohdaksi \(x = \dfrac{3}{4}\).

Tutkitaan seuraavaksi mitä arvoja funktio saa näissä reunakäyrän kriittisissä pisteissä.

\(\begin{align*}f(-\dfrac{3}{4},-\dfrac{23}{16}) &= -\dfrac{41}{8} \\ f(\dfrac{3}{4},\dfrac{23}{16}) &= \dfrac{41}{8}\end{align*}\)

Näin nähdään, että funktio saa, sekä maksiminsa, että miniminsä reunalla ja minimin funktio saa pisteessä \(x=-\dfrac{3}{4}\) ja minimi on \(f_{min} = -\dfrac{41}{8}\) ja maksimin pisteessä \(x=\dfrac{3}{4}\) ja maksimi on \(f_{max} = \dfrac{41}{8}\).

1. Usean muuttujan funktion kriittiset pisteet

Määritelmä kriittiselle pisteelle säilyy periaatteessa ennallaan, kun tarkastellaan yhden muuttujan funktioiden sijasta usean muuttujan funktioita. Kriittiset pisteet ovat tärkeitä optimoinnissa, sillä kriittististä pisteistä aletaan etsimään funktion ääriarvoja. Käydään kriittisiä pisteitä läpi määritelmän ja esimerkkien avulla.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) Jatkuvan funktion \(f: D \longrightarrow \mathbb{R}\), missä \(D \subset \mathbb{R}^n\) on suljettu ja rajoitettu joukko, kriittinen piste on määrittelyjoukon \(D\) piste \(c\), jolle pätee \(f'(c) = 0\) tai \(f'(c)\) ei ole määritelty.

Merkille pantava asia on, että usean muuttujan funktioilla, jokaisen osittaisderivaatan tulee siis olla nolla, jotta kriittinen piste ja sitä kautta minimi tai maksimi voidaan löytää. Tällöin syntyy ns. "kumpu" tai "kuoppa", niinkuin yhdenkin muuttujan tapauksessa kun derivaatta on nolla. Ainoana erona on se, että nyt voidaan löytää "satulapiste", joka ei ole minimi tai maksimi, mutta on silti kriittinen piste. Tähän törmättiin jo aiemmin.

On hyvä huomata myös, että siinä missä yhden muuttujan funktiolla on yleensä kriittisiä pisteitä vain yksittäisissä pisteissä (pois lukien vakiofunktio), niin usean muuttujan funktioilla voi olla kokonaisia kriittisten pisteiden muodostamia joukkoja, kuten janoja tai suoria. Useimmiten useankin muuttujan tapauksessa kuitenkin kriittisten pisteiden joukko koostuu yksittäisistä (mahdollisesti äärettömän monista) pisteistä.

\( \textbf{Esimerkki 1.2.}\) Tässä on esimerkki tapauksesta, missä funktion kriittiset pisteet muodostavat suoran. Funktion \( f(x,y)=x^2 \) kriittiset pisteet ovat kaikki suoran \( x=0 \) pisteet, joten kriittisten pisteiden joukko on \( A=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=0 \} \).

[Image]

\( \textbf{Esimerkki 1.3.}\) Tässä on esimerkki tapauksesta, jossa funktion kriittiset pisteet ovat yksittäisiä, mutta niitä on äärettömän monta. Funktiolla \(f(x,y) = sin(2x)+sin(2y)\) on äärettömästi maksimeja ja minimejä.

[Image: sinikosini]

Tämä johtaa suoraan siitä, että derivoitaessa funktio saadaan osittasi derivaatoiksi \(\dfrac{\partial}{\partial x} f(x,y) = 2cos(2x)\) ja vastaavasti \(\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,y) = 2cos(2y)\). Kriittiset pisteet siis löytyvät pisteistä, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia eli, kun \(x,y = (2n+1)\dfrac{\pi}{2}, \:\: n\in\mathbb{Z}\). Täten siis kriittisiä pisteitä ääretön määrä.

Funktion derivoiminen on tärkeimpiä työkaluja, joita tarvitaan tarkastellessa optimointiin liittyviä ongelmia. Kannattaa jakaa derivointi osiin ja lopuksi yhdistää ne.

Kaavat:

\(\textbf{1.}\dfrac{d}{dx}(c)=0\) | \(\textbf{2.}\dfrac{d}{dx}[cf(x)]=cf'(x) \)
\(\textbf{3.}\dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\) | \(\textbf{4.}\dfrac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=f'(x)-g'(x)\)
\( \textbf{5.}\dfrac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\) | \(\textbf{6.}\dfrac{d}{dx}\bigg[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \bigg]=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}} \)
\(\textbf{7.}\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\) | \(\textbf{8.}\dfrac{d}{dx}(x^{n})= nx^{n-1}\)

Exponentti- ja logaritmifunktiot:

\(\textbf{9.}\dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x} \) | \(\textbf{10.}\dfrac{d}{dx}(a^{x})=a^{x}\ln{a} \)
\(\textbf{11.}\dfrac{d}{dx}\ln\vert x\vert =\dfrac{1}{x} \) | \(\textbf{12.}\dfrac{d}{dx}(\log_{a}{x})=\dfrac{1}{x\ln{a}} \)

Trigonometriset funktiot:

\(\textbf{13.}\dfrac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x} \) | \(\textbf{14.}\dfrac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x} \)
\(\textbf{15.}\dfrac{d}{dx}(\tan{x})=1+\tan^{2}{x}=\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}=\sec^{2}{x} \) |

Huom: teknisistä syistä, kannattaa käyttää tangentin derivoinnissa sekanttimuotoa.

2. Epälineaarisen yhtälöparin ratkaisu sijoittamalla

Usean muuttujan funktioilla kriittisten pisteiden etsiminen voi olla hankalampaa kuin yhden muuttujan tapauksessa, johtuen täysin useammista muuttujista. Kriittisten pisteiden etsiminen usean muuttujan funktioille palautuu homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen, joka ei aina ole lineaarinen. Ratkaiseminen saattaa kuitenkin onnistua käyttämällä sijoitusmenetelmää ja tulon nollasääntöä. Käydään seuraavassa esimerkissä läpi, miten sijoittaminen toimii.

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Etsitään funktion \( f(x,y)=-x^{2}y^{2}+xy^{2}+y \) kriittiset pisteet. '

Funktion kriittiset pisteethän sijaitsivat pisteissä, missä \(f'(c) = 0\). Usean muuttujan tapauksessa tämä tarkoittaa, että funktio täytyy osittaisderivoida molempien muuttujien suhteen. Muodostetaan siis funktion \( f \) osittaisderivaatat

\(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=-2xy^{2}+y^{2},\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-2x^{2}y+2xy+1.\end{align*} \)

Kriittisessä pisteessä molempien muuttujien suhteen derivaatan täytyy olla nolla. Siispä muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat derivaatat ovat nollia.

\(\begin{align*}&\begin{cases}-2xy^{2}+y^{2}&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases} \\ \Leftrightarrow &\begin{cases}y^{2}(-2x+1)&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases}\end{align*} \)

Ensimmäinen yhtälö toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( -2x+1=0 \). Näin ollen aiempi yhtälöpari voidaan jakaa kahteen yhtälöpariin, joissa käsitellään molemmat mahdolliset tapaukset. Kannattaa siis huomioida, että molemmissa tapauksissa jälkimmäinen yhtälö pysyy samana.

\(\begin{cases}y&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0\end{cases} \)

ja

\(\begin{cases}-2x+1&=0\\-2x^{2}y+2xy+1&=0.\end{cases} \)

Ensimmäisellä yhtälöparilla ei ole ratkaisua, sillä kun \( y=0 \) sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan epätosi yhtälö \( 1=0 \).

Jälkimmäisen yhtälöparin ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \( x=\dfrac{1}{2} \), joka sijoitetaan toiseen yhtälöön

\(\begin{align*}-2\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{2}y+2\dfrac{1}{2}+1&=0,\\y&=-2. \end{align*} \)

Näin ollen funktion \( f \) ainoa kriittinen piste on \(\bigg( \dfrac{1}{2},-2\bigg) \).

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Etsitään funktion \(f(x,y) = x^2-3xy+2y^2+y+1\) kriittiset pisteet.

Lasketaan ensin funktion osittaisderivaatat \(x\):n ja \(y\):n suhteen.

\(\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) = 2x - 3y\)

\(\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y) = -3x+4y + 1\)

Merkitään osittaisderivaatat nolliksi ja muodostetaan yhtälöryhmä, jotta voidaan löytää piste, missä molemmat osittaisderivaatat ovat nollia.

\(\begin{cases} 2x-3y = 0 \\ -3x+4y + 1= 0 \end{cases}\)

Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä \(x\), jotta se voidaan sijoittaa toiseen yhtälöön.

\(\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}y \\ -3x+4y + 1= 0\end{cases}\)

Sijoittamalla nyt ylempi yhtälö alempaan, saadaan

\(-\dfrac{9}{2}+4y+1=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{2}y = 1 \quad\Rightarrow\quad y=2\).

Kun \(y\) sijoitetaan takaisin ensimmäiseen yhtälöön saadaan että \(x=3\). Näin ollen kriittisiä pisteitä on vain yksi ja se sijaitsee pisteessä \((3,2)\).

Q: Derivoi funktio:

\( h(x)=[value] \)

\(h'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=x^{2}-xy-y^{3}+1 \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}],\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).

Kriittiset pisteet:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \(f(x,y)=x^{2}-xy-y^{3} +1\) osittaisderivaatat \(\begin{align*}&\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2x-y,\\ &\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)=-x-3y^{2}.\end{align*} \) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}2x-y&=0\\-x-3y^{2}&=0\end{cases} \) Yhtälöpari toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( -6y-1=0 \), joten tästä saadaan kaksi yhtälöparia \(\begin{cases}y&=0\\ -x-3y^{2}&=0\end{cases} \) ja \(\begin{cases}-6y-1&=0\\ -x-3y^{2}&=0.\end{cases} \) Ylemmästä yhtälöparista saadaan \( x=0 \), kun \( y=0 \) sijoitetaan alempaan yhtälöön. Alemmasta yhtälöparin ylemmästä yhtälöstä saadaan \( y=-\dfrac{1}{6} \) ja edelleen sijoittamalla se alempaan yhtälöön \( x=-\dfrac{1}{12} \). Joten funktion \( f \) kriittiset pisteet sijaitsevat pisteissä \( \bigg\{ \bigg[0,0\bigg],\bigg[-\dfrac{1}{12},-\dfrac{1}{6}\bigg]\bigg\}. \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=x^{2}(x-y)^{4} \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_0,y_0],...,[x_n,y_n]\} \).

Kriittiset pisteet:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \( f(x,y)=x^{2}(x-y)^{4} \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=2x(x-y)^{4}+4x^{2}(x-y)^{3},\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-4x^{2}(x-y)^{3}.\end{align*}\) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}2x(x-y)^{4}+4x^{2}(x-y)^{3}&=0\\ -4x^{2}(x-y)^{3}&=0\end{cases}\) Välittömästi havaitaan, että yhtälöpari toteutuu, kun \( x=0 \) ja \( y=x \). Näin ollen suorat \( x=0 \) ja \( y=x \) muodostavat funktion \( f \) kriittisten pisteiden joukon.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=xy^{2}-4xy+3y \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}],\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).

Kriittiset pisteet:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan ensin funktion \( f \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&=y^{2}-4y,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&=-2x+3.\end{align*}\) Muodostetaan sitten yhtälöpari ja ratkaistaan pisteet, joissa molemmat derivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}y^{2}-4y&=0\\ -2x+3&=0\end{cases} \) Ylempi yhtälö toteutuu, kun \( y=0 \) tai \( y=4 \), ja alempi, kun \( x=\frac{3}{4} \) tai \( x=-\frac{3}{4} \), joten kriittiset pisteet ovat \(\bigg( \dfrac{3}{4},0 \bigg) \) ja \( \bigg(-\dfrac{3}{4},4 \bigg) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Etsi funktion \( f(x,y)=xy+\dfrac{18}{x}+\dfrac{12}{y} \) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}]\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).

Kriittiset pisteet:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan funktion \( f \) osittaisderivaatat \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=y-\dfrac{18}{x^2},\\ \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=x-\dfrac{12}{y^2}.\end{align*} \) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan sijoittamalla pisteet, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. \(\begin{cases}y-\dfrac{18}{x^2}&=0\\x-\dfrac{12}{y^2}&=0\end{cases} \) Helposti nähdään, että yhtälöparin ainoa ratkaisu on \( (3,2) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Usean muuttujan funktion ääriarvot

Usean muuttujan ääriarvoja ratkaistaessa menetellään periaatteessa samoin kun yhden muuttujan tapauksessa. Kaikki aiemmissa osioissa opittu ovat kriittisiä ääriarvojen etsinnässä ja tuttuihin käsitteisiin törmätäänkin etsiessä ääriarvoja. Jos siis joku asia vaikuttaa hankalalta tai ei muistu mieleen, kannattaa palata taaksepäin ja kerrata hieman. Ääriarvoja lähdetään etsimään seuraamalla kolmiportaista ohjetta

1. Etsi kriittiset pisteet sisäpisteissä.

2. Etsi ehdokaspisteet alueen reunoilla.

3. Etsi maksimit ja minimit.

Jotta ääriarvoja alkuunsakaan voidaan lähteä etsimään, täytyy voida todeta, että ääriarvot ovat olemassa.

\( \textbf{Määritelmä 1.1.}\) (Ääriarvojen olemassa olo) Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^n\) suljettu ja rajoitettu joukko sekä \(f:D\Longrightarrow\mathbb{R}\) jatkuva funktio. Tällöin \(f\) saavutta \(D\):ssä sekä pienimmän että suurimman arvonsa, ts. on olemassa \(a\) ja \(b\in D\) siten, että \(f(a)=min_{D}f\) ja \(f(b)=max_{D}f\).

Tämä siis käytännössä tarkoittaa, että joukon pitää aluksikin olla rajoitettu ja suljettu sekä funktion tulee olla jatkuva. Tällöin funktiolla on olemassa maksimi ja minimi alueessa \(D\). Tämä taas tarkoittaa, että minimi ja maksimi ovat joko alueen sisäpisteissä tai sitten reunapisteissä, koska nekin kuuluvat suljettu alueeseen. Alueen \(D\) reunan voi muodostaa esimerkiksi ympyrä tai jotkut suorat ja käyrät.
Sisäpisteissä mahdoliiset minimi ja maksimi sijaitsevat kriittisissä pisteissä ja reunoja tutkittaessa pitää muodostaa reunakäyriä kuvaava(t) funktio(t) ja etsiä niiden kriittiset pisteet ja sitä kautta minimi ja maksimi.
Viimeiseksi siis täytyy vain sijoittaa ja kokeilla, mitä arvoja funktio antaa saaduilla ehdokaspisteillä ja tätä kautta määrittää lopulliset minimi ja maksimi.

Käydään tätä proseduuria läpi vielä esmerkkien kautta.

\(\textbf{Esimerkki 1.2}\) Etsi funktion \(f(x,y) = \dfrac{1}{3}x^3 - y^2x+y\) maksimi ja minimi alueessa, jonka rajaavat suorat \(y=0, \: x= 0\) ja \(y= -x+2\).

Noudatetaan kolmiportaista ohjeistusta eli aloitetaan etsimällä kriittiset pisteet alueen sisäpisteissä.
Osittaisderivoidaan siis funktio \(f\) ja merkitään osiddais derivaatat nolliksi. Näin saadaan yhtälöpari

\(\begin{cases}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) = x^2 - y^2 = 0\\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y) = -2xy +1 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x-y)(x+y) = 0 \\ -2xy +1 = 0\end{cases}\)
Nyt yhtälöpari saadaan jaettua kahtia kahdeksi yhtälöpariksi, jotka ovat
\(\begin{cases}x-y=0 \\ -2xy = 0 \end{cases}\) ja \(\begin{cases}x+y=0 \\ -2xy = 0 \end{cases}\).

Vasemman puoleinen yhtälöpari antaa ratkaisuiksi pisteet \((\sqrt{\dfrac{1}{2}},\sqrt{\dfrac{1}{2}})\) ja \((-\sqrt{\dfrac{1}{2}},-\sqrt{\dfrac{1}{2}})\). Oikean puoleinen yhtälöpari antaa ratkaisuiksi vain imaginäärisiä ratkaisuja, joten kyseiset pisteet hylätään.

[Image]

Kuten kuvasta nähdään on piste \((\sqrt{\dfrac{1}{2}},\sqrt{\dfrac{1}{2}})\) suorien määrittämän alueen sisäpiste ja taas piste \((-\sqrt{\dfrac{1}{2}},-\sqrt{\dfrac{1}{2}})\) on alueen ulkopuolella.

Pisteessä \((\sqrt{\dfrac{1}{2}},\sqrt{\dfrac{1}{2}})\) funktio saa arvoksi \(f(\sqrt{\dfrac{1}{2}},\sqrt{\dfrac{1}{2}}) = \dfrac{4}{6\sqrt{2}} \approx 0.47\).

Nyt kun funktion sisäpisteet on tarkastettu siirrytään proseduurin seuraavaan vaiheeseen eli ehdokaspisteiden etsimiseen reunalla.

Suora \(x=0\):
\(f(0,y) = y\) on kasvava funktio joukossa \(0\le y \le 2\). Täten minimi ja maksimi tällä suoralla tulevat välin päätepisteissa joten \(f(0,0) = 0\) ja \(f(0,2) = 2\).

Suora \(y=0\):
\(f(x,0) = \dfrac{1}{3}x^3\) on kasvava funktio joukossa \(0\le x \le 2\). Täten minimi ja maksimi tällä suoralla tulevat välin päätepisteissa joten \(f(0,0) = 0\) ja \(f(2,0) = \dfrac{8}{3}\).

Suora \(y=-x+2\):
\(f(x,-x+2) = \dfrac{1}{3}x^3-(-x+2)^2x-x+2 = -\dfrac{2}{3}x^3+4x^2-5x+2\). Kyseisen reunakäyrän ääriarvojen etsiminen palautui yhden muuttujan funktion ääriarvotehtäväksi. Etsitään siis kyseisen funktion ääriarvot, kun \(0\le y \le 2\).

\(f'(x,-x+2) = -2x^2+8x-5 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=2\pm \sqrt{\dfrac{3}{2}}\).
Saaduista pisteistä vain \(x = 2-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) on määrittelyjoukon sisällä, joten se kelpaa.
Näin saadaan kyseisessä pisteessä \(f(2-\sqrt{\dfrac{3}{2}},\sqrt{\dfrac{3}{2}}) \approx 0.22 \).
Välin päätepisteissä arvot on jo laskettu aikaisempien suorien tapauksissa.

Vielä viimeisenä kohtana tarkastellaa, että missä näistä tutkituista pisteistä funktio saa minimi- ja maksimi-arvona.

Tarkastelemalla laskettuja arvoja nähdään, että minimi on \(f(0,0) = 0\) ja maksimi on \(f(2,0) = \dfrac{8}{3}\)

\(\textbf{Esimerkki 1.3}\) Etsi funktion \(f(x,y) = xy - x^2y-xy^2\) maksimi ja minimi alueessa \(D = \{x,y\in\mathbb{R}|y\le 1,\: y\ge x^2\}\).

Noudatetaan taas kolmiportaista ohjetta ja aloitetaan etsimällä kriittiset pisteet alueen sisäpisteistä. Osittaisderivoidaan siis funktio.

\(\begin{cases}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) = y - 2xy - y^2 = y(1 - 2x - y)= 0 \\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y) = x - x^2 - 2xy = x(1- x -2y) = 0\end{cases}\)

Yhtälöistä saadaan, että \(y = 0\) tai \(1-2x-y=0\) ja \(x=0\) tai \(1-x-2y=0\). Näiden avulla kriittisiksi pisteiksi saadaan \((0,0), \:(1,0), \:(0,1)\) ja \((\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})\).

[Image]

Kuvasta nähdään, että piste \((\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})\) on alueen \(D\) sisällä. Pistettä \((1,0)\) ei oteta huomioon, koska se on alueen ulkopuolella ja pisteitä \((0,0)\) ja \((0,1)\) ei huomioida vielä tässä koska ne ovat alueen reunalla, eivätkä täten ole sisäpisteitä.

Saadussa sisäpisteessä funktion arvo on \(f(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}) = \dfrac{1}{27} \approx 0.037\).

Etsitään seuraavaksi ehdokaspisteet reunalla.

Suora \(y=1\):
\(f(x,1) = -x^2\) ja \(-1 \le x \le 1\), tämä seuraa siitä, että paraabeli \(y=x^2\) leikkaa suoran \(y=1\) pisteissä \((-1,1),\:(1,1)\).
Etsitään kyseisen funktion ääriarvot eli \(f'(x,1) = -2x = 0 \Rightarrow x=0\). Näin saadaan
\(f(0,1) = 0\). Välin reunoilla saadaan arvot \(f(-1,1) = -1\) ja \(f(1,1) = -1\).

Käyrä \(y = x^2\):
\(f(x,x^2) = x^3 - x^4 - x^5\) ja \(-1 \le x \le 1\).
Etsitään kyseisen funktion ääriarvot eli \(f'(x,x^2) = 3x^2-4x^3-5x^4 = x^2(3-4x-5x^2) = 0\).
Täsät seuraa, että \(x=0\) tai \(x=\dfrac{2 \pm \sqrt{19}}{-5} \approx 0.472\),. Näin saadaan
\(f(0,0) = 0\), \(f(0.472,0.223) \approx 0.032\) ja \(f(-1.272,1.617)\) on määrittelyjoukon ulkopuolella, joten sitä ei tarvitse huomioida. (Tässä käytetään likiarvoja selkeyttämisen vuoksi).

Viimeiseksi etsitään minimi ja maksimi saatujen pisteiden joukosta. Nähdään, että maksimi on \(f(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}) \approx 0.037\) ja minimit ovat \(f(-1,1)=f(1,1) = -1\).

Tämä proseduuri toimii siis kaikkiin useamman muuttujan tapauksiin, kuten kolmen neljän jne. muuttujan tapauksiin, ei ainoastaan kahden. Käydään tällaisesta tapauksesta yksi esimerkki.

\(\textbf{Esimerkki 1.4}\) Etsi funktion \(f(x,y,z) = 2-x + x^2 + 2y^2 + 3z^2\) minimi- ja maksimiarvo pallossa \(\{(x,y,z,)|x^2+y^2+z^2\le 1\}\).

Lähdetään liikkeelle osittaisderivoimalla funktio, jolloin saadaan seuraavanlainen yhtälöryhmä
\(\begin{cases}-1 +2x = 0 \\ 4y = 0 \\ 6z = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x = \dfrac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = 0\end{cases}\).
Tästä seuraa, että löydetään yksi kriittinen piste pisteestä \((\dfrac{1}{2},0,0)\), joka on alueen sisällä.

seuraavaksi etsitään ehdokaspisteet reunalta eli pallon pinnalta. Tämä tarkoittaa siis pintaa \(x^2+y^2+z^2 = 1\). Ratkaistaan reunan yhtälö \(z\):n suhteen, näin saadaan \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\). Sijoitetaan saatu arvo funktioon, jolloin saadaan
\(\begin{align*}f(x,y) &= 2-x + x^2 + 2y^2 + 3(\sqrt{1-x^2-y^2})^2 \\ &= 2-x + x^2 + 2y^2 + 3(1-x^2-y^2)  \\ &= 5 - x - 2x^2 - y^2 \end{align*}\).
Seuraavaksi osittaisderivoidaan saatu funktio, jolloin saadaan
\(\begin{cases}-1-4x = 0 \\ -2y = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x = -\dfrac{1}{4} \\ y = 0.\end{cases}\)
Kun sijoitetaan saadut \(x\):n ja \(y\):n arvot reunan funktioon saadaan \(z = \sqrt{\dfrac{15}{16}}\).
Nyt kun tiedetään kriittiset pisteet alueen sisällä, sekä ehdokaspisteet reunalla, niin voidaan tarkastella mikä näistä pisteistä antaa maksimin ja mikä minimin.

\(f(\dfrac{1}{2},0,0) = \dfrac{7}{4}\), mikä on minimi ja
\(f(-\dfrac{1}{4},0,\sqrt{\dfrac{15}{16}}) = \dfrac{41}{8}\), mikä on maksimi.

Q: Muokkaa summan
\(\begin{align*} \sum_{i=k}^{n+k}(i+k)\end{align*}\)
summausindeksin rajoja siten, että summa pysyy samana, mutta summattavaksi tulee \( i \).

Yläraja: | &nbsp |
 | \(\begin{align*}\sum i \end{align*}\) |
Alaraja: | \(i=\) |
Feedback: Mallivastaus: Yläraja: \(n+k+k=n+2k\). Alaraja: \(k+k=2k\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

1. Summa- ja tulonotaation tulkinta

Sigma \(\sum\) on kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään matematiikassa summan lyhennysmerkintänä. Pii \(\prod\) on niin ikään kreikkalaisen aakkoston kirjain ja sitä käytetään vastaavasti tulon lyhennysmerkintänä. Molemmat ovat siis yksinkertaisesti lyhennysmerkintöjä.

Summalauseke \(1+2+3+4 \) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien summa on \( 10 \).

Tulolauseke \(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) voidaan lyhentää muotoon
\(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i\end{align*}\)
ja molempien tulo on \( 24\).

Ala- ja yläraja ilmaisevat summattavien tai kerrottavien termien lukumäärän, mutta erityisesti muuttujan \(i\) arvon. Muuttujana voidaan käyttää melkein mitä tahansa kirjainta, mutta yleisimpiä ovat kuitenkin kirjaimet \( i \), \( j \) ja \( k \). On erityisen tärkeää huomata, että mahdollisesti summassa esiintyvät muut kirjaimet luetaan vakioina (esim. ulomman summan tai funktion muuttujat). Lisäksi muuttujan sijaan puhutaan yleisesti summausindeksistä ja tuloindeksistä.

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{n-1}+a_{n}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\prod_{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ \dots \ \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}\end{align*}\)

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(i+1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(i+1)=(0+1)+(1+1)+(2+1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{4}(i-1)= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{4}(i-1)=(2-1)+(3-1)+(4-1)=6\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{10}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}1=\underset{\text{10 kpl}}{1+\dots+1}=10\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=2}^{2}2= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=2}^{2}2=2\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}1= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}1=\underset{\text{n kpl}}{1+\dots+1}=n\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa (* on kertomerkki)
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}C= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}C=\sum_{i=1}^{n}\underset{\text{n kpl}}{C+\dots+C}=Cn\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=1}^{4}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske tulo
\(\begin{align*} \prod_{i=7}^{7}i= \end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=7}^{7}i=7\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

5. Geometrisen sarjan summa ja osasumma

Geometrinen sarja on sarja, jonka termeissä toistuu sama suhdeluku. Esimerkiksi sarja
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dots\)
on geometrinen, missä suhdeluku \( a=\frac{1}{2} \) ja skaalauskerroin \( r=\frac{1}{2} \).

Kaavat:
\(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\end{align*}\)
Jokaisella \(r \neq 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\end{align*}\).
Jokaisella \(\mid r\mid < 1\) pätee
\(\begin{align*}\quad a+ar+ar^2+\dots&=\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\dfrac{a}{1-r}\end{align*}\)

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{2}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^3}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\dfrac{4}{5}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{5}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{3}4^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{3}4^k=4^0\cdot4^1\cdot 4^2\cdot 4^3=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{3}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^4}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=2}^{\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^k=\dfrac{1\cdot\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^2}{1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{10}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^{11}}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)^k=\dfrac{1}{1-\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Reaaliluvun desimaaliesitys ei aina ole yksikäsitteinen. Tarkastellaan päättymätöntä desimaalilukua \( 0,999\ldots \), jota vastaa sarja
\(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{{10}^2}+\dfrac{9}{{10}^3}\dots\end{align*} \)

Laske tämän sarjan summa
\(\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^k=\dfrac{9\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^1}{1-\dfrac{1}{10}}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

6. Polynomien summa- ja tuloesitys

Summa- ja tulonotaation hyödyllisyys tulee erityisesti ilmi, kun niitä sovelletaan polynomeihin. Näin voidaan esittää polynomit hyvin yksinkertaisessa muodossa. Sovella aiemmin oppimaasi näissä tehtävissä.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}x^i&=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0+(1+1)x^1+(2+1)x^2+(3+1)x^3+(4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0+(x+1)^1+(x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita summaesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0+(x+1)^1+(x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}x^i&=x^0\cdot x^1\cdot x^2\cdot x^3\cdot x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{4}(i+1)x^i&=(0+1)x^0\cdot (1+1)x^1\cdot (2+1)x^2\cdot (3+1)x^3\cdot (4+1)x^4\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+1)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+1)^i&=(x+1)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+1)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Kirjoita tuloesitystä vastaava polynomi muodossa
\(\begin{align*}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\dots+a_{n}x^{n}\end{align*}\).

\(\begin{align*} \prod_{i=0}^{2}(x+i)^i=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\prod_{i=0}^{2}(x+i)^i&=(x+0)^0\cdot (x+1)^1\cdot (x+2)^2\\&=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Derivoi funktio:

\( g(x)=[value] \)

\(g'(x)= \)
Feedback: Mallivastaus: \( [value] \).
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Sixpack [value] on ollut säilössä komerossa, jonka lämpötila on \(T_k=[value]\,^\circ \rm{C}\).
Vieraiden tullessa saunailtaan päätät laittaa juomat pikaisen jäähtymisen toivossa pakkaseen, jonka lämpötila on \( T_p= -18\,^\circ \rm{C}\).
Arvioidaan, että [value] noudattaa tölkistä huolimatta Newtonin jäähtymislakia \(\frac{dT}{dt}=k(T-T_Y),\) missä \(T_Y\) on ympäristön lämpötila ja \(k\) on jokin vakio.
[value] minuutin kuluttua otat yhden tölkin, mutta [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) eli turhan lämmintä juotavaksi.

Ohje: Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*)! Useamman merkin potenssi, esim. \(x^{2\cdot a}\) kirjoitetaan x^(2*a).

a) Mikä on yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona?
Kirjoita alaindeksi normaalina merkkinä, esim. \(T_a\) muodossa Ta ja käytä tarvittaessa vakiona kirjainta \(C\).

\(T(t)=\)

b) Kuinka kauan täytyy vielä odottaa, että [value] lämpötila on tarjoilusuositusten mukainen [value] \(\,^\circ \rm{C}\)?
Anna vastauksesi minuutin tarkkuudella.

Aika: minuuttia
Feedback: Mallivastaus: a) Pakkaseen laitettaessa [value] on lämpimämpää kuin pakastimen ilma, joten \(T-T_p>0\). Yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona saadaan Newtonin jäähtymislaista, joka on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö. Lisäksi on syytä huomata, että lämpötilan termit voidaan erottaa yhtälön muista tekijöistä, joten diff.yhtälö on separoituva. Ratkaistaan siis Newtonin jäähtymislain yhtälö lämpötilan \(T\) suhteen: \( \begin{array}{ll} \frac{dT}{dt}& =k(T-T_p)\\ \Leftrightarrow& \int\frac{dT}{(T-T_p)} = \int kdt \\ \Leftrightarrow& \ln |T-T_p| =kt+C \\ \Leftrightarrow& T =T_p+e^{kt}e^C \end{array} \) Yleinen ratkaisu: \(T(t)= T_p+e^Ce^{k\cdot t}.\) b) Valitaan ajanhetkeksi \(t=0\) hetki, jolloin juomat laitettiin pakastimeen ja ajanyksiköksi minuutti. Tehtävänannosta saadaan alkuehdot, joiden avulla voidaan ratkaista \(e^C\) ja \(k\): \( \begin{array}{ll} T(0) = T_p+e^Ce^{k\cdot 0}= [value]\,^\circ \rm{C}+e^C=[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow e^C=[value]\,^\circ\rm{C}\\ T([value]) = T_p+e^Ce^{k\cdot [value]}= [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{k\cdot [value]} =[value]\,^\circ \rm{C} &\Rightarrow k=\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right) \end{array} \) /* Vakio k on kirjoitettu yhtälöihin auki, koska Maxima sieventää vaikealukuiseen muotoon */ Ratkaistaan, millä ajanhetkellä \(t\) [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) sijoittamalla määritetyt arvot yleiseen ratkaisuun. \( \begin{array}{ll} &T(t) = [value]\,^\circ \rm{C}+[value]\,^\circ \rm{C}\cdot e^{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)\cdot t}= [value]\,^\circ \rm{C}\\ \Rightarrow &t = \frac{\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}\\ \Rightarrow &t = [value]\ \text{minuuttia} \end{array} \) Koska ajanhetkeksi \(t=0\) valittiin ensimmäisen lämpötilamittauksen hetki, niin siitä on jo kulunut [value] minuuttia. Täytyy siis odottaa vielä [value] minuuttia, että [value] lämpötila on [value]\(\,^\circ \rm{C}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastellaan pohjoiseen virtaavaa jokea, jonka leveys on \( w=2a \). Suorat \( x=\pm a \) kuvaavat joen rantoja ja y-akseli joen keskikohtaa. Oletetaan, että nopeus \( v_{R} \), jolla joki virtaa, kasvaa kun siirrytään kohti joen keskikohtaa, ja se saadaan pisteen \( x \) etäisyytenä keskikohdasta yhtälöllä

\(\begin{align*}v_{R}=v_{0}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg)\end{align*}\),

missä \( v_{0} \) on keskivirran virtausnopeus.

Voit tarkastaa edellisestä yhtälöstä, että keskellä virtaus on nopein eli \( v_{R}=v_{0} \) ja hitain reunoilla eli \( v_{R}=0 \).

Oletetaan, että uimari aloittaa uintinsa joen länsirannalta pisteestä \( (-a,0) \) ja ui itään tasaisella nopeudella \( v_{S} \). Uimarin nopeusvektorissa on horisontaalinen komponentti \( v_{S} \) ja vertikaalinen komponentti \( v_{R} \). Siten uimarin suuntakulma \( \alpha \) saadaan yhtälöstä

\(\begin{align*}\tan{(\alpha)}=\dfrac{v_{R}}{v_{S}}.\end{align*}\)

Koska nyt \( \tan{(\alpha)}=dy/dx \), niin sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan differentiaaliyhtälö

\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg),\end{align*}\)

josta saadaan uimarin reitti \( y=y(x) \), kun hän ylittää joen.

Tehtävä:

Ohje: Älä lisää yksiköitä vastauksiisi!

Oletetaan, että joki virtaa pohjoiseen, sen leveys on [value] km ja sen virtausnopeus keskivirrassa on [value] km/h. Uimari aikoo ylittää joen uimalla tasaista nopeutta [value] km/h ja aloittaa uintinsa länsirannalta.

a) Mihin muotoon uimarin reitin ilmaiseva differentiaaliyhtälö kirjoitetaan?

\(\dfrac{dy}{dx}=\)

b) Mitä saadaan yleiseksi ratkaisuksi, kun a-kohdan yhtälö integroidaan puolittain? Käytä integrointivakiona kirjainta \( C \).

\(y(x)=\)

c) Mikä on alkuehto?

\(y\bigg(\) \(\bigg)=\)

d) Mitä saadaan integrointivakion \( C \) arvoksi? Tarkka arvo, ei desimaalilukua.

\(C=\)

e) Mikä on tällöin uimarin reitin ilmaiseva tietty funktio?

\(y(x)=\)

f) Kuinka pitkän matkan (km) uimari ajelehtii pohjoiseen uidessaan joen yli? Anna vastaus desimaalilukuna, kahden desimaalin tarkkuudella.

Matka=
Feedback: Mallivastaus: a) Uimarin nopeus on \( v_{S}=\) [value] km/h, joen leveys on \(w=\) [value] km ja keskivirran nopeus on \(v_{0}=\) [value] km/h, joten sijoitetaan nämä arvot yhtälöön \(\begin{align*}\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg),\end{align*}\) josta saadaan \(\begin{align*}\dfrac{dx}{dy}=[value]\end{align*}\). b) Ennen integrointia separoidaan yhtälö, jolloin saadaan \(\int 1dy = \int[value]dx \\ \Leftrightarrow y = [value]\), joka on kysytty yleinen ratkaisu. c) Koska uimari lähtee uimaan länsirannalta, niin \( y([value])=[value] \) d) Integrointivakio saadaan laskettua sijoittamalla alkuehto yleiseen ratkaisuun. Näin laskemalla saadaan, että \( C \) arvo on [value]. e) Uimarin reitin ilmaiseva funktio saadaan, kun laskettu integrointivakio sijoitetaan yleiseen ratkaisuun. Näin saadaan \( y(x)=[value] \). f) Pohjoiseen ajeltu matka saadaan laskemalla \(y\):n arvo, kun uimari on päässyt joen yli eli kun \(x\): arvo on [value]. Tällä \(x\):n arvolla laskiessa saadaan ajelehduksi matkaksi [value] km.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastellaan sylinterin muotoista poijua, jonka säde on \( r \), korkeus on \( h \) ja tasaisesti jakautunut tiheys \( \rho\leq 0.5 \frac{g}{cm^3} \) \( \bigg( \) veden tiheys on \( 1\frac{g}{cm^3} \) \( \bigg) \).

Alkutilanteessa poijua riiputetaan veden yllä siten, että sen pohja koskettaa veden pintaa ja sitten se vapautetaan veteen ajan hetkellä \(t=0\).

Tämän jälkeen siihen vaikuttaa kaksi voimaa: alaspäin suuntautuva painovoima \( F_{G} \), joka on yhtäkuin poijun massa eli \( mg=\rho\pi r^{2}hg \) ja ylöspäin suuntautuva noste \( F_{N} \), joka on yhtäkuin poijun syrjäyttämän veden massa eli \( \pi r^{2} xg \), missä \( x=x(t) \) on poijun pohjan syvyys ajan hetkellä \( t \).

Tehtävä:
Olkoon \( \rho \) = [value] \( \frac{g}{cm^{3}} \), \( r \) = [value] \( cm \), \( h \) = [value] \( cm \) ja \( g \) = [value] \( \frac{cm}{s^2} \).
Ohje: älä lisää yksiköitä vastauksiisi!

a) Minkä muodon Newtonin toinen liikelaki \( F=ma \), missä \(a\) on kiihtyvyys ja \(F\) kokonaisvoima, tällöin saa? Käytä muuttujaa \( t \).

x'' = - x

b) Sievennä edellinen yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön muotoon.

x'' + x =

c) Liitetään edelliseen differentiaaliyhtälöön alkuehto \( x(0)=x'(0)=0 \). Ratkaise tämä alkuarvo-ongelma.

\( x(t)= \)
Feedback: Mallivastaus: a) Kokonaisvoima \(F\) voidaan kirjoittaa kahden muun annetun voiman avulla \(F = F_{G} - F_{N}\). Kiihtyvyys \(a\) taas on paikan toinen derivaatta ajan suhteen eli \(a=x''\). Hyödyntämällä lähtötietoja saadaan, että \( F = ma = mx'' = \rho\pi r^{2} h x'' = [value] x''\) \( F_{G}=\rho\pi r^{2}hg = [value] \) \( F_{N}=\pi r^{2}gx = [value] x \), jolloin voidaan kirjoittaa paikan differentiaali yhtälöksi \([value] x''\) = [value] - [value] x. b) Sievennetään saatu yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differenitaaliyhtälön muotoon. Näin saadaan \(x'' + [value] x \) = [value]. c) Epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yhtäkuin homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu. Ratkaistaan siis aluksi homogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = 0 \). Muodostetaan karakteristinen yhtälö \( \lambda^{2} + [value] = 0 \). Ratkaistaan lambda, josta saadaan \( \begin{align*} \lambda=\pm i \sqrt{ [value] } \end{align*} \). Näin ollen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \( x_{HG}(t)= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) \). Ratkaistaan seuraavaksi epähomogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = [value] \). Vakio \( [value] \) on 0-asteen polynomi, joten kokeillaan yritteenä 1-asteen polynomia \( at+b \). \( \begin{align*}x_{p}(t)&=at+b\\ x_{p}'(t)&=a\\x_{p}''(t)&=0. \end{align*} \) Sijotetaan \( x_{p}(t) \) yhtälöön \( \begin{align*}0+\frac{[value]}{[value]}\bigg(at+b\bigg)&=[value]\\ \frac{[value]at}{[value]}+\frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ \frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ b=[value]. \end{align*} \) Siispä epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu \( x_{EHG}(t)=[value] \). Joten epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan \(\begin{align*}x(t)&=x_{HG}(t)+x_{EHG}(t)\\ &= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\end{align*}\) Lopuksi ratkaistaan alkuarvo-ongelma \( x(0)=x'(0)=0 \). \(\begin{align*}x(0)&= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\\ C_{1}&=-[value]\end{align*}\) Lisäksi selvästi nähdään, että \( C_{2}= 0 \). Siispä alkuarvo-ongelman ratkaisu on [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske summa
\(\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}i^{2}+ij=\end{align*}\)
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=\sum_{i=1}^{n}i\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=[value]\end{align*}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Eräs matriisien kertolaskun sovellus on atomien kiderakenteessa olevien mahdollisten polkujen listaaminen. Kiteissä atomien sijainnit muodostavat hilarakenteen. Atomi voi siirtyä sijainnista, jossa se on, mihin tahansa viereiseen sijaintiin, joka on vapaana.

Jos useampi kuin yksi viereisistä sijainneista on vapaana, niin atomi "valitsee" kohdesijaintinsa satunnaisesti. Polkua, jonka atomi muodostaa kulkiessaan kiderakenteessa, kutsutaan satunnaiskävelyksi.

Kiderakenne voidaan esittää suuntaamattoman graafin muodossa, jossa solmut esittävät atomien sijainteja ja särmät atomien mahdollisia polkuja. Atomi voi kulkea solmusta toiseen vain silloin, kun solmujen välillä on särmä. Alla olevassa kuvassa on eräs tälläinen graafi.

[Image]

Yllä olevassa graafissa atomi voi esimerkiksi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{2} \) tai \( v_{3} \), koska solmun \( v_{1} \) ja solmujen \( v_{2} \), \( v_{3} \) välillä on särmä. Toisaalta taas atomi ei voi liikkua pisteestä \( v_{1} \) pisteeseen \( v_{6} \), koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{6} \) välillä ei ole särmää.

Graafin kaksi solmua ovat vierekkäiset, jos niiden välillä on särmä. Piste ei voi olla vierekkäinen itsensä kanssa, joten looppeja ei sallita.

Polku, jonka pituus on \( n \) on solmujono \( t_{1},\dots,t_{n+1}\) siten, että jokainen solmu \( t_{j} \) on solmun \( v_{j+1} \) vieressä. Tälläinen polku esittää atomin mahdollista kulkureittiä kiteen eri sijaintien kautta. Samojen solmujen kautta voidaan kulkea useasti. Polku \( v_{i}-v_{j}\) on polku, joka alkaa solmusta \( v_{i} \) ja loppuu solmuun \( v_{j} \).

Fyysikot ja materiaali-insinöörit tutkivat kiteitä ja ovat kiinnostuneita seuraavasta kysymyksestä: Jos kiteessä on \( n \) sijaintia atomeille, jotka ovat solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), niin kuinka monta \( k \) pitkää polkua on minkä tahansa kahden sijainnin eli solmun välillä?

Matriisit tulevat tässä vaiheessa kuvaan. Määritellään adjungaatti matriisi \( A \) siten, että se on \( n\times n \) matriisi, jossa jokainen \( i,i \) alkio on nolla, ja alkioilla \( i\neq j \) pätee, että alkio \( i,j \) on 1, jos on olemassa särmä solmujen \( v_{i} \) ja \( v_{j} \) välillä, ja 0, jos särmää ei ole.

Esimerkiksi ylläolevan graafin adjugaatti matriisi on

\(A=\)[value]

Matriisin \( A \) alkio \( 1,2 \) on 1, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{2} \) välillä on särmä, kun taas alkio \( 1,5 \) on 0, koska solmujen \( v_{1} \) ja \( v_{5} \) välillä ei ole särmää.

Seuraava väite voidaan todistaa, mutta todistus sivuutetaan tässä esityksessä. Sen avulla voidaan ratkaista edellä mainittu ongelma kaikkien eri polkujen listaamisongelma.

Olkoon \( A=[a_{ij}] \) graafin \( G \), jossa on solmut \( v_{1},\dots,v_{n} \), adjungaatti matriisi. Olkoon \( k \) mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Tällöin erillisten \( v_{i}-v_{j} \) polkujen, joiden pituus on \( k \), lukumäärä on yhtä kuin matriisin \( A^{k} \) alkio \(i,j \).

Tehtävänä on alla olevan graafin adjungaatti matriisin muodostaminen ja kaikkien kolmen mittaisten polkujen solmusta \( v_{4} \) solmuun \( v_{7} \) selvittäminen.

[Image]

\(A^{3}=\) |

Polkujen lukumäärä: |

Maximan:
[value]
Oma:
\( [value]+[value] \cdot [value]\)
\( [value]-[value] \cdot [value]\)

Q: Olkoot \( z=[value]+[value]\cdot[value] \) ja \( w=[value]-[value] \).
Ratkaise seuraavat tehtävät.
Imaginaariyksikkö syötetään muodossa %i eli esimerkiksi a+b*%i, kun halutaan syöttää kompleksiluku \(a + b\cdot i \).

a)

\( \mathrm{Re}(z)= \)
\( \mathrm{Im}(w)= \)

b)

\( 2z-3w = \)

c)

\( z\cdot w = \)

d)

\( z\cdot w^{-1} = \)

e)

\( \overline{z} = \)

f)

\( \mid z\mid = \)
Feedback: Mallivastaus: a) \( \mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}([value]+[value]\cdot[value])=[value] \) \( \mathrm{Im}(w)=\mathrm{Im}([value][value])=[value] \) b) \( \begin{align*} 2z-3w &= 2([value]+[value]) -3([value][value])\\ &= [value]+[value]\cdot [value]-[value]+[value]\cdot[value]\\ &=[value]+[value]\cdot[value] \end{align*} \) c) \( \begin{align*} z\cdot w &=([value]+[value]\cdot[value])\cdot([value][value])\\ &=([value]\cdot[value]-[value]\cdot([value]))+(([value])\cdot ([value])+[value]\cdot[value])\cdot[value]\\ &=[value]+[value]\cdot[value] \end{align*} \) d) Lasketaan aluksi \( w^{-1} \). \( \begin{align*} w^{-1}&=\frac{4}{4^{2}+(-1)^{2}}-\frac{(-1)}{4^{2}+(-1)^{2}}\cdot [value]\\ &=\frac{4}{16 + 1} + \frac{1}{16 + 1}\cdot [value]\\ &=\frac{4}{17} + \frac{[value]}{17} \end{align*} \) Nyt voidaan laskea \( z\cdot w^{-1} \). \( \begin{align*} z\cdot w^{-1}&= (-5+7\cdot [value])+\bigg(\frac{4}{17}+\frac{[value]}{17}\bigg)\\ &= \bigg(\frac{(-5)\cdot 4 - 7\cdot 1}{17}\bigg) + \bigg(\frac{(-5)\cdot 1 + 7\cdot 4}{17} \bigg)\cdot [value]\\ &= \bigg(\frac{-20-7}{17}\bigg)+\bigg(\frac{-5+28}{17}\bigg)\cdot [value]\\ &= -\frac{27}{17}+\frac{23}{17}\cdot[value]. \end{align*} \) e) \( \overline{z}=-5-7\cdot [value] \). f) \( \begin{align*} \mid z \mid &= \sqrt{(-5)^{2}+7^{2}}\\ &=\sqrt{25+49}\\ &= \sqrt{74}\\ &= \sqrt{2}\sqrt{37} \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske määrätty integraali
\( \int_{[value]}^{[value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: Ensiksi täytyy integroida integroitava funktio. Kyseessä on polynomi, jolloin saadaan määräämättömäksi integraaliksi \( [value] + C \), missä \( C \) on integrointivakio. Sen jälkeen voidaan laskea integraali. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]} [value] &= {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \\ &= [value] \end{align*} \)
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Esitä \( x \) muodossa \( a + b\cdot i \), kun

a) \( z = (1 - 2\cdot i)^{2} \)

b) \( z=\dfrac{5 - 8\cdot i}{3 - 4\cdot i} \)

c) \( \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z_{1}} + \dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}} \), missä \( z_{1} = 3 - 4\cdot i \) ja \( z_{2} = 5 + 2\cdot i \).

a) \( z= \)

b) \( z= \)

c) \( z= \)
Feedback: Mallivastaus: a) \( \begin{align*} z &= (1-2\cdot i)^{2}\\ &=(1-2\cdot i)\cdot (1-2\cdot i)\\ &=(1\cdot 1 -(-2)\cdot (-2) )+(1\cdot (-2)-2\cdot 1)\cdot i\\ &=1-4 -2\cdot i - 2\cdot i\\ &=-3-4i \end{align*} \) b) Määritetään aluksi kompleksiluvun \( (3-4\cdot i) \) käänteisalkio \( (3-4\cdot i)^{-1} \). Nyt, \( \begin{align*} (3-4\cdot i)^{-1}&=\dfrac{3}{3^{2}+(-4)^{2}}-\dfrac{3}{3^{2}+(-4)^{2}}\\ &=\dfrac{3}{9+16}+\dfrac{4}{9+16}\cdot i\\ &=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\cdot i. \end{align*} \) Sievennetään sitten \( z \) oikeaan muotoon: \( \begin{align*} z&=\dfrac{5-8\cdot i}{3-4\cdot i}\\ &=(5-8\cdot i)\cdot \bigg(\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\bigg)\cdot i\\ &=\bigg(5\cdot\dfrac{3}{25}-(-8)\cdot\dfrac{4}{25}\bigg)+\bigg(5\cdot\dfrac{4}{25}+(-8)\cdot\dfrac{3}{25}\bigg)\cdot i\\ &=\bigg(\dfrac{15}{25}+\dfrac{32}{25} \bigg)+\bigg(\dfrac{20}{25}-\dfrac{24}{25} \bigg)\cdot i\\ &=\dfrac{47}{25}-\dfrac{4}{25}\cdot i. \end{align*} \) c) Ratkaistaan aluksi \( z \) yhtälöstä \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}} \) \( \begin{align*} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ \dfrac{z}{z}&=\dfrac{z}{z_{1}}+\dfrac{z}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ 1&=\dfrac{z}{z_{1}}+\dfrac{z}{z_{1}\cdot z_{2}}\\ 1&=z\bigg(\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)\\ z&=\dfrac{1}{\bigg(\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{1}{\bigg(\dfrac{z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}}{z_{1}^{2}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{1}{\dfrac{z_{1}}{z_{1}}\bigg(\dfrac{z_{2}+1}{z_{1}\cdot z_{2}}\bigg)}\\ z&=\dfrac{z_{1}\cdot z_{2}}{z_{2}+1}. \end{align*} \) Sijoitetaan tähän viimeiseen yhtälöön \( z_{1}=3-4\cdot i \) ja \( z_{2}=5+2\cdot i \): \( \begin{align*} z&=\dfrac{(3-4\cdot i)\dot (5+2\cdot i)}{(5+2\cdot i)+1}\\ &=\dfrac{15+6\cdot i -20\cdot i -8 i^{2}}{5+1+2\cdot i + 0\cdot i}\\ &=\dfrac{15+8-14\cdot i}{6+2\cdot i}\\ &=\dfrac{23-14\cdot i}{6+2\cdot i}\\ &=\dfrac{(23-14\cdot i)(6-2\cdot i)}{(6+2\cdot i)(6-2\cdot i)}\\ &=\dfrac{138-46\cdot i -84\cdot +28\cdot i^{2}}{36-12\cdot i +12\cdot i -4\cdot i^{2}}\\ &=\dfrac{138-130\cdot i -28}{36+4}\\ &=\dfrac{110-130\cdot i}{40}\\ &=\dfrac{11}{4}-\dfrac{13}{4}\cdot i. \end{align*} \)
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.

Q: Määritä moduli, argumentti ja muodosta napakoordinaattimuoto kompleksiluvuille \( z=[value] \) ja \( w=[value] \).

a) \( \mid z\mid= \)

b) \( \mathrm{arg} (z)= \)

c) \( z= \)

d) \( \mid w\mid= \)

e) \( \mathrm{arg} (w)= \)

f) \( w= \)
Feedback: Mallivastaus: a) \(\mid z\mid=\sqrt{[value]^2 + ([value])^2} \). b) Kulma on nyt välillä \(-\dfrac{-\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \), joten \( \theta = \arctan{\dfrac{[value]}{[value]}}=[value] \). Siis \(\mathrm{arg}z=[value] \) c) \( z = [value] (\cos{[value]}+i\cdot \sin{[value]} ) \). d) \(\mid w\mid =\sqrt{[value]^2 + [value]^2}\). e) Kulma on nyt välillä \(-\dfrac{-\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \), joten \( \theta = \arctan{\dfrac{[value]}{[value]}}=[value] \). Siis \(\mathrm{arg}z=[value] \) f) \(w=[value] (\cos{[value]}+i\cdot \sin{[value]} ) \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ilmoita seuraavat kompleksiluvut muodossa \(re^{i\cdot\theta} \):

Huom! jälkimmäinen vastauskenttä on siis \(e\):n eksponenttia.

a) \( z = (1+\sqrt{3}\cdot i)^2 \)

z = \( e^{i} \)

b) \( w = \dfrac{2+2\cdot i}{1-i} \)

w= \( e^{i} \)
Feedback: Mallivastaus: a) Merkitään aluksi \( z'=1+\sqrt{3}\cdot i \), ja lasketaan kompleksiluvun \( z' \) moduli ja argumentti, joiksi saadaan \( \mid z' \mid = \sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}} = 2 \) ja \( \mathrm{arg} z = \mathrm{arctan}(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3} \). Sen jälkeen muodostetaan luvun \( z' \) exponenttimuoto \( z'=2e^{\dfrac{i\cdot\pi}{3}} \). Näin ollen \( (z')^{2} = z = 4e^{\dfrac{2\cdot i \pi}{3}} \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Määritä kompleksiluvun \( [value] \) neljännet juuret. Anna juuret järjestyksessä, joka on koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä vastapäivään.

a)
\( w_{0} = \)

b)
\( w_{1} = \)

c)
\( w_{2} = \)

d)
\( w_{3} = \)
Feedback: Mallivastaus: Täytyy siis ratkaista yhtälö \( w^{4} = [value] \), missä \( w\in\mathbb{C} \). Tätä varten kompleksiluku \( [value] \) muokataan napakoordinaattimuotoon \( [value] \). Nyt \( \begin{align*} w^{4} = [value] \Rightarrow w = [value], \end{align*} \) josta ensimmäinen juuri saadaan. Koska etsitään neljää juurta, ja juuret sijaitsevat tasaisesti yksikköympyrällä, niin loput juuret ovat \( [value] \) välein. Näin ollen loput juuret ovat [value], [value] ja [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ratkaise polynomin \( p(x)=[value] \) juuret.

\(x_{1}= \)

\(x_{2}= \)
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan polynomi \( [value] \) toiseen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nyt, \( \begin{align*} x&=\dfrac{-(-([value]+[value]\cdot i))\pm\sqrt{(-([value]+[value]\cdot i))^{2}-[value]}}{2\cdot 1},\\ &=\frac{[value]+[value]\cdot i\pm\sqrt{([value]+[value]\cdot i)^{2}-[value]}}{2},\\ &=\dfrac{[value]+[value]\cdot i\pm\sqrt{([value]-[value])^{2}}}{2},\\ &=\dfrac{[value]+[value]\cdot i\pm [value]-[value]}{2}, \end{align*} \) josta saadaan juuriksi \( x_{1} = [value]\) ja \( x_{2}=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Ratkaise polynomin \( p(x)=[value] \) nollakohdat.

\(x_{1} = \)

\(x_{2} = \)

\(x_{3} = \)

\(x_{4} = \)
Feedback: Mallivastaus: Kokeilemalla havaitaan, että \( p([value])=[value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske käyrien \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) ja suorien \( x = [value]\) ja \( x = [value] \) väliin jäävä pinta-ala \( A \) neljän desimaalin tarkkuudella.

Huom! Käytä pistettä desimaalierottimena.

\( A \) =
Feedback: Mallivastaus: Tutkittava ongelma voidaan ratkaista määrätyn integraalin avulla asettamalla alarajaksi [value] ja ylärajaksi [value]. Muodostetaan integrandi käyristä \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) laskemalla ensin niiden erotus ja integroimalla se muuttujan \( x \) suhteen. Muodostetaan määrätty integraali ja integroidaan se. Lopuksi pyöristetään neljän desimaalin tarkkuuteen. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] - [value] \bigg) \ dx &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx\\ &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx \\ &= [value]\\ &\approx [value] \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Katsotaanpas, miltä tämä näyttää

Linkin takaa löytyy opetusvideo tämän viikon aiheista: TÄHÄN LINKKI

Muuttujat ja peruslaskutoimitukset

MATLABissa muuttujaan voidaan määritellä arvo yhtäsuuruusmerkin avulla, esim. \(\texttt{a = 2}\) MATLAB tulostaa suoritettujen komentojen tulokset ellei sitä kielletä erikseen. Jos komennon perään lisätään puolipiste (;), komento suoritetaan, mutta tulosta ei tulosteta, esim. \(\texttt{b = 5;}\) Peruslaskutoimituksia voi suorittaa esimerkiksi komennoilla +, -, * ja / ja tuloksia voidaan asettaa uuden muuttujan arvoksi, esim. \(\texttt{c = a*b}\)

Vektorit

Vektoreita voidaan syöttää hakasulkeiden avulla ja alkiot erotetaan toisistaan pilkulla tai välilyönnillä, esim. \(\texttt{d = [1 2 3]}\) \(\texttt{e = [1,2,3]}\) Edellä esitetyllä tavalla määritelty vektori on vaakavektori. Rivi saadaan vaihdettua puolipisteellä, minkä avulla voidaan muodostaa pystyvektoreita \(\texttt{f = [1; 2; 3]}\) Vektorin transpoosi saadaan myös merkeillä \(\texttt{.'}\) \(\texttt{f.'} \) Jos haluat poimia vektorista tietyn alkion, voit viitata siihen sulkeiden avulla. Esimerkiksi jos halutaan poimia edellä määritellyn vektorin \(\texttt{f}\) kolmas alkio, se saadaan näin: \(\texttt{f(3)}\) Jos halutaan poimia vektorista \(\texttt{g=[6 5 4 3 2 1]}\) toinen, kolmas ja neljäs alkio, se saadaan näin: \(\texttt{h = g(2:4)}\) Vektori voidaan kertoa skalaarilla *-merkillä \(\texttt{2*f}\) \(\texttt{f*2}\) Samanmittaisten vektoreiden alkiot voidaan pisteittäin kertoa, jakaa tai korottaa potenssiin lisäämällä laskutoimitusmerkin eteen piste, esim .* \(\texttt{f.*h}\)

Laskujen järjestäminen sulkein sekä yksinkertaisten funktioiden käyttö

Jos laskutoimituksessa yhtenä terminä on useasta muuttujasta muodostuva termi, syötetään termi sulkeisiin samalla tavalla kuin laskimella \((a+b)^2\) Joillekin laskutoimituksille on olemassa erillisiä funktioita. Tällaisia ovat esimerkiksi neliöjuuri \(\texttt{sqrt}\) ja normi \(\texttt{norm}\). Näiden syntaksi toimii yksinkertaisesti: \(\texttt{sqrt(4)}\) Lisää funktioiden käytöstä ja kirjoittamisesta MATLABilla tulossa myöhemmin kurssin aikana.

Apua ongelmatilanteissa

Jos et tiedä, mitä jonkin komento tekee, voit kirjoittaa komentoikkunaan \(\texttt{help}\) sekä etsimäsi komennon, esim. \(\texttt{help dot}\) Laajemman vastauksen saat etsimällä tietoa MATLABin dokumentaatiosta, jonka saat avattua MATLAB-ikkunan oikeassa yläkulmassa olevasta ?-painikkeesta. Myös Google on ystävä hädän hetkellä. Esimerkiksi hakusanoilla "Matlab dot product" löydät varmasti helposti tietoa pistetulon laskemisesta MATLABilla.

Opetusvideo harjoitusten aiheisiin

Opetusvideoon pääset tästä.

Muuttujat ja peruslaskutoimitukset

MATLABissa muuttujaan voidaan määritellä arvo yhtäsuuruusmerkin avulla, esim. \(\texttt{a = 2}\) MATLAB tulostaa suoritettujen komentojen tulokset ellei sitä kielletä erikseen. Jos komennon perään lisätään puolipiste (;), komento suoritetaan, mutta tulosta ei tulosteta, esim. \(\texttt{b = 5;}\) Peruslaskutoimituksia voi suorittaa esimerkiksi komennoilla +, -, * ja / ja tuloksia voidaan asettaa uuden muuttujan arvoksi, esim. \(\texttt{c = a*b}\)

Vektorit

Vektoreita voidaan syöttää hakasulkeiden avulla ja alkiot erotetaan toisistaan pilkulla tai välilyönnillä, esim. \(\texttt{d = [1 2 3]}\) \(\texttt{e = [1,2,3]}\) Kätevä tapa muodostaa tasavälisiä vektoreita on käyttää kaksoispistettä. \(\texttt{x = 1:3}\) Syntaksi luo vektorin, jonka ensimmäinen vektori on yksi, seuraava on edellistä aina yhden suurempi ja viimeinen alkio on enintään kolmosen suuruinen. Lisäämällä kaksoispisteillä erotetun luvun ala- ja ylärajan väliin, saat määriteltyä peräkkäisten alkioiden erotuksen. Esim. \(\texttt{y = 0.5:1.2:4}\) luo vektorin \(\texttt{[0.5 1.7 2.9]}\) Edellä esitetyillä tavoilla määritellyt vektorit ovat vaakavektoreita. Rivi saadaan vaihdettua puolipisteellä, minkä avulla voidaan muodostaa pystyvektoreita \(\texttt{f = [1; 2; 3]}\) Vektorin transpoosi saadaan myös merkeillä \(\texttt{.'}\) \(\texttt{f.'} \) Jos haluat poimia vektorista tietyn alkion, voit viitata siihen sulkeiden avulla. Esimerkiksi jos halutaan poimia edellä määritellyn vektorin \(\texttt{f}\) kolmas alkio, se saadaan näin: \(\texttt{f(3)}\) Jos halutaan poimia vektorista \(\texttt{g=[6 5 4 3 2 1]}\) toinen, kolmas ja neljäs alkio, se saadaan näin: \(\texttt{h = g(2:4)}\) Vektori voidaan kertoa skalaarilla *-merkillä \(\texttt{2*f}\) \(\texttt{f*2}\) Samanmittaisten vektoreiden alkiot voidaan pisteittäin kertoa, jakaa tai korottaa potenssiin lisäämällä laskutoimitusmerkin eteen piste, esim .* \(\texttt{f.*h}\)

Laskujen järjestäminen sulkein sekä yksinkertaisten funktioiden käyttö

Jos laskutoimituksessa yhtenä terminä on useasta muuttujasta muodostuva termi, syötetään termi sulkeisiin samalla tavalla kuin laskimella \((a+b)^2\) Joillekin laskutoimituksille on olemassa erillisiä funktioita. Tällaisia ovat esimerkiksi neliöjuuri \(\texttt{sqrt}\) ja normi \(\texttt{norm}\). Näiden syntaksi toimii yksinkertaisesti: \(\texttt{sqrt(4)}\) Lisää funktioiden käytöstä ja kirjoittamisesta MATLABilla tulossa myöhemmin kurssin aikana.

Apua ongelmatilanteissa

Jos et tiedä, mitä jonkin komento tekee, voit kirjoittaa komentoikkunaan \(\texttt{help}\) sekä etsimäsi komennon, esim. \(\texttt{help dot}\) Laajemman vastauksen saat etsimällä tietoa MATLABin dokumentaatiosta, jonka saat avattua MATLAB-ikkunan oikeassa yläkulmassa olevasta ?-painikkeesta. Myös Google on ystävä hädän hetkellä. Esimerkiksi hakusanoilla "Matlab dot product" löydät varmasti helposti tietoa pistetulon laskemisesta MATLABilla.

Harjoitukset

Viimeisessä tehtävässä sinun pitää kirjoittaa oma funktio, joten olethan harjoitellut sen tekoa esimerkiksi suorittamalla MATLABin alkeet. Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB1.p, joka löytyy kurssin Moodle-sivulta tehtävien alta. Lataa tiedosto ja aseta MATLABin aktiiviseksi kansioksi se kansio, jossa MATLAB1.p on. Aja tiedoston sisältämä ohjelma kirjoittamalla MATLABin komentoikkunaan MATLAB1. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Määritä vektorin \(T1\) 313. ja 345. alkion summa.

\(T1_{313}+T1_{345} = \)
Feedback: Saat poimittua oikeat alkiot vektorista viittaamalla alkioihin sulkeilla tähän tapaan: \(\texttt{T1(313)+T1(345)}\) Oikea vastaus on 15.

MATLABin oma funktio log ottaa logaritmin siihen syötetystä luvusta. Etsi helpin avulla tai MATLABin documentaatiosta, onko log-funktion logaritmin kantaluku 10 vai Neperin luku e.

MATLABin log-funktion kantaluku on .
Feedback: Jos haet tietoa komennolla help log, näyttöön tulee muun muassa seuraava teksti: \(\texttt{log Natural logarithm.}\) \(\texttt{ log(X) is the natural logarithm of the elements of X.}\) Luonnollisen logaritmin kantalukuhan on Neperin luku e.

Kirjoita editorilla oma funktio, joka laskee kahden funktiollesi syötetyn vektorin välisen kulman. Funktio voi olettaa, että syötetyissä vektoreissa on kolme reaalista alkiota. Nimeä funktiosi nimellä kulma. Syötä sitten komentoikkunaan seuraava rivi: rng(1); eka=randi([0,10],1,3);rng(2); toka=randi([11,20],1,3); kulma(eka,toka)

Vektorien välinen kulma on rad.
Feedback: Oman funktion määrittelemisestä löydät lisää tietoa helpistä tai täältä: https://se.mathworks.com/help/matlab/ref/function.html Tässä yksi esimerkki funktiosta, joka laskee sille syötettyjen vektorien kulman: function vast = kulma(eka,toka) pistet=dot(eka,toka); ekanormi=norm(eka); tokanormi=norm(toka); vast = acos(pistet/(ekanormi*tokanormi)); end Oikea vastaus on [value].

Työmuistiin on määritelty matriisi M. Muuta matriisi sellaiseksi, että siinä on 100 saraketta. Anna vastaukseksi uudelleen järjestämäsi matriisin alkio viimeiseltä riviltä sarakkeesta 50.

Kysytty alkio on:
Feedback: Dokumentaatiosta löydät neuvoja komentojen reshape ja size käyttöön. Näillä komennoilla saisit haluamasi vastauksen: Määritellään muuttuja uudelleen siten, että siinä on 100 saraketta \(\texttt{M=reshape(M,[],100);}\) Selvitetään uuden matriisin koko \(\texttt{size(M)}\) Saatiin vektori \(\texttt{[810 100]}\). Nyt viimeisen rivin 50. alkio \(\texttt{M(810,50)}\) Vastaus on [value].

Työmuistissa on seuraavanlainen matriisi: \(Y = [value]\) Tutki kuinka monta johtavaa ykköstä sen rref-muodossa on.

Johtavien ykkösten lukumäärä:
Feedback: Kirjoittamalla komentoikkunaan help rref saat ohjeistuksen funktion rref käyttöön. Argumentiksi syötetään vain alkuperäinen matriisi. Matriisin \(Y\) rref-muodoksi saadaan \([value]\) Rref-matriisista nähdään, että johtavia ykkösiä on 2.

Q: Kuinka monta ratkaisua tehtävän 2 matriisia \(Y\) vastaavalla yhtälöryhmällä on?
- yksi (Onkohan näin...)
- äärettömän monta (Hienoa, oikein!)
- ei yhtäkään (Mahtaisitkohan sittenkin löytää ratkaisun/ratkaisuja vastaavalle yhtälöryhmälle?)
A: äärettömän monta
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Rref-matriisista nähdään, että johtavia ykkösiä on kaksi ja kolmas muuttuja on vapaa. Näin ollen yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua.

\( \textbf{Esimerkki 1.1.}\) \(z=2+i\) ja \(w=4-3i\). Laske \(\text{Re}(z),\text{Im}(w),z+2w,2zw,|w|,\overline{z}\).

\(\text{Re}(z) = \text{Re}(2+i) = 2\)

\(\text{Im}(w) = \text{Im}(4-3i) = -3\)

\(z+2w = 2+i+4-3i = (2+4)+i(1-3) = 6-2i\)

\(2zw = 2(2+i)(4-3i) = 2(8-6i+4i+3) = 2(11-2i) = 22-4i\)

\(|w| = \sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)

\(\overline{z} = \overline{2+i} = 2-i\)

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

Opetusvideoon pääset tästä.

ones, zeros, eye

Funktio \(\texttt{ones}\) tuottaa matriisin, jossa on vain ykkösiä. Funktio tuottaa neliömatriisin, jos siinä käyttää yhtä argumenttia. Kahdella argumentilla voi määritellä sarakkeiden ja rivien lukumäärän erikseen. Vastaavalla tavalla pelkkiä nollia sisältävän matriisin tuottaa komento \(\texttt{zeros}\). Yksikkö- eli identiteettimatriisin tuottaa komento \(\texttt{eye}\).

Matriisien laskutoimitukset

Matriisien laskutoimitukset toimivat komennoilla \(\texttt{+}\), \(\texttt{-}\) ja \(\texttt{*}\). Tällöin tulee huolehtia, että dimensiot ovat matriisilaskusääntöjen mukaiset. Pisteittäin matriisit voidaan kertoa, kun lisätään kertomerkin eteen piste (\(\texttt{.*}\)). Matriisin alkiot voidaan korottaa pisteittäin potenssiin myös lisäämällä piste eksponenttimerkin eteen (\(\texttt{.^}\)). Matriisin korotus potenssiin (ilman pistettä edessä) tarkoittaa matriisilaskennan teorian mukaista matriisipotenssia.

Satunnaismatriisit

Erilaisia satunnaismatriiseja voidaan tuottaa usealla eri komennolla. \(\texttt{rand}\) tuottaa satunnaislukuja tasaisesta jakaumasta [0,1]. \(\texttt{randn}\) tuottaa satunnaislukuja normitetusta normaalijakaumasta. Dokumentaatiosta ja googlaamalla löydät lisää satunnaislukujen generoimisesta.

\(\texttt{for}\)-silmukka

\(\texttt{for}\)-silmukka käy läpi vektorin avulla määritellyn kierrosmäärän verran koodia, joka on rajattu sanojen \(\texttt{for}\) ja \(\texttt{end}\) väliin. Kierroksia käydään yhtä monta, kuin määrittelyyn syötetyssä vektorissa on alkioita. Kyseistä kierrosta vastaavaa vektorin alkiota voidaan käyttää muuttujana haluttaessa. Hyviä esimerkkejä \(\texttt{for}\)-silmukan käytöstä löydät MATLABin dokumentaatiosta.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB3.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkki tehtäviin:

Teht2: Mihin alkioon summa tallennetaan kullakin toisen for-silmukan kierroksella.

Anna komento, jolla saat määriteltyä 3x5 matriisin M, jonka alkiot ovat satunnaisia kokonaislukuja väliltä -10..10. Täydennä alla olevan määrittelyn yhtäsuuruusmerkin oikea puoli siten, että siinä ei ole yhtään välilyöntiä ja kaikki argumentit ovat vektoreita. Vektorien alkiot on erotettu toisistaan pilkuin. Älä merkitse puolipistettä rivin perään. Kaikki tästä poikkeavat syntaksit merkitään virheellisiksi. Esimerkkinä syntaksista täysin fiktiivinen funktio \(\texttt{rajat([xmin,ymin],[xmax,ymax])}\)

\(\texttt{M = }\)

Q: Anna komento, jolla saat määriteltyä 3x5 matriisin, jonka alkiot ovat satunnaisia kokonaislukuja väliltä -10..10. Täydennä alla olevan määrittelyn yhtäsuuruusmerkin oikea puoli siten, että siinä ei ole yhtään välilyöntiä ja kaikki argumentit ovat vektoreita. Vektorien alkiot on erotettu toisistaan pilkuin. Älä merkitse puolipistettä rivin perään. Kaikki tästä poikkeavat vastaukset merkitään virheellisiksi. Esimerkkinä syntaksista täysin fiktiivinen funktio \(\texttt{rajat([xmin,ymin],[xmax,ymax])}\)
A: randi([-10,10],[3,5])
Partly right: randi([-10,10],3,5) (50%)
Feedback ("randi([-10,10],[3,5])"): Aivan oikein, mahtavaa!!
Feedback ("randi([-10,10],3,5)"): Vastauksesi määrittelee matriisin oikein, mutta on hieman eri muotoa, kuin mitä kysyttiin. Hyvä suoritus joka tapauksessa! Saat tästä vastauksesta puolet mahdollisista pisteistä, mutta jos löydät paremmin tehtävänantoa vastaavan syntaksin, voit saada täydet pisteet!
Feedback (any other answer): Väärin meni tällä kertaa. Jos uskot löytäneesi oikean funktion, ole tarkkana tehtävänannon kanssa. Matriisin voi määritellä useammalla kuin yhdellä tavalla, mutta tässä pyydetään yhtä tiettyä.
Feedback: Komento \(\texttt{randi}\) tuottaa satunnaisia kokonaislukuja. Oletusarvoisesti funktio tuottaa kokonaislukuja ykkösestä ylöspäin, mutta sille voidaan syöttää myös muut rajat. Lisäargumenteilla voidaan määritellä matriisin koko. Lisätietoa löydät dokumentaatiosta.

Täydennä seuraavan MATLAB-funktion puuttuvat kohdat siten, että funktio laskee matriisikertolaskun. function AB = matriisitulo(A,B) dim1 = size(A,1); dim2 = size(A,2); dim3 = size(B,2); for i=1:dim

for j=1:dim

summa=0;

for k=1:dim

summa=summa+A(i,k)*B(k,j);

end

AB(i,j)=summa;

end

end
Feedback: Matriisikertolaskussa tulomatriisin yhtä alkiota määrittäessä siirrytään ensimmäisessä matriisissa rivillä oikealle ja toisessa matriisissa sarakkeessa ylhäältä alas. Uloin for-silmukka käy läpi matriisin A rivejä. Tulomatriisissa AB on yhtä monta riviä kuin matriisissa A. Oikea vastaus ensimmäiseen kohtaan on siis dim1. Sisimmäinen silmukka laskee yhteen matriisin A i:nnen rivin ja matriisin B k:nnen sarakkeen alkioiden tuloja. Silmukka käy siis läpi niin monta laskutoimitusta kuin matriisissa A on sarakkeita ja matriisissa B rivejä. Komento \(\texttt{size(A,2)}\) määrittää matriisin A rivien lukumäärän, joten oikea vastaus dim2. Toinen for-silmukka tallettaa tulomatriisiin sisimmän silmukan laskemia lukuja. Keskimmäisessä silmukassa nähdään, että tulomatriisiin AB tule j saraketta. Matriisitulon laskusääntöjen mukaan tulomatriisissa on yhtä monta saraketta kuin matriisitulon oikeanpuoleisessa matriisissa, joten toisen kohdan vastaus on dim3. OIKEAT VASTAUKSET: dim1, dim3, dim2

Anna matriisiyhtalön \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisu.
Syötä vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\(\mathbb{x}=\)
Feedback: Kenoviivalla ( \ ) saadaan ratkaistua matriisiyhtälö \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Syntaksi on seuraava: \(\texttt{x=A\b}\) Kenoviivaa vastaa funktio \(\texttt{mldivide(A,b)}\). Matriisiyhtälön \(\mathbf{x}A=\mathbf{b}\) ratkaisu saadaan vinoviivalla ( / ), jota vastaa funktio \(\texttt{mrdivide(A,b)}\). Yhtälöryhmän ratkaiseminen voidaan suorittaa toki käänteismatriisin avulla. MATLABissa tämä on kuitenkin hitaampaa kuin kenoviivan/vinoviivan (tai mldivide/mrdivide) käyttö. Tämän seikan merkitys kasvaa, kun käsitellään esimerkiksi mittausdatasta saatuja suuria matriiseja.

Q: Selvitä piirtämäsi kuvaajan "kahvan" avulla asetuksen FaceAlpha arvo. Anna vastauksesi MATLABin vastaustarkkuuden mukaisesti.
A: 0.5678
Feedback ("0.5678"): Hienoa, oikein meni!
Feedback ("1"): Olit kenties määritellyt handlen johonkin muuhun muuttujaan, kuin muuttujaan \(\texttt{h}\). Vastauksesi saattaa pitää paikkansa kyseiseen kuvaajaan, mutta nyt pyydettiin etsimään arvoa muuttujasta h. Olehan tarkkaavainen tehtävänantojen suhteen!
Feedback (any other answer): Nyt meni vikaan. Oikean vastauksen olisit saanut komennon \(\texttt{get}\) avulla.
Feedback: Kuvaajien kanssa voi kikkailla, kun vain hieman perehtyy asiaan. FaceAlpha on luku välillä [0,1] ja se kuvaa pinnan läpinäkyvyyttä. Asetuksen sait selville komennolla \(\texttt{get}\) ja sen saa muutettua komennolla \(\texttt{set}\).

Opetusvideo harjoituskerran aiheisiin

Opetusvideoon pääset tästä.

Käänteismatriisi

MATLAB muodostaa matriisin A käänteismatriisin komennolla \(\texttt{inv(A)}\) Jos matriisi A on singulaarinen tai "lähes singulaarinen", MATLAB antaa varoitusilmoituksen. Käänteismatriisi voidaan muodostaa myös Gaussin eliminointimenetelmällä. Eri funktiot (tai itse rakennetut tavat) käyttävät eri algoritmeja käänteismatriisin muodostamiseen, minkä vuoksi saadut käänteismatriisit eivät ole välttämättä täysin identtiset.

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu

Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla, mutta MATLABissa se ei ole laskennallisesti tehokasta. Seuraavat funktiot ja komennot ovat huomattavasti tehokkaampia. Yhtälöryhmän \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ratkaisu \(\mathbf{x}\) saadaan komennolla \(\texttt{mldivide(A,b)}\) tai \(\texttt{A\\b}\). Yhtälöryhmän \(\mathbf{x}A=\mathbf{b}\) ratkaisu saadaan komennolla \(\texttt{mrdivide(A,b)}\) tai \(\texttt{A/b}\). Jos yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, vastaukseksi saadaan pienimmän neliösumman ratkaisu. PNS-menetelmään palataan viimeisellä viikolla.

meshgrid ja surf

3D-pintoja voidaan piirtää komennolla \(\texttt{surf}\) (sanasta surface). Komento luo koordinaattipisteiden välille pinnan. Ensin kuitenkin pitää luoda pisteikkö. Ensin määritellään vektorit, esim. \(\texttt{x}\) ja \(\texttt{y}\), jotka sisältävät halutun ruudukon pisteiden x- ja y koodrinaatit. Komento \(\texttt{[X Y]=meshgrid(x,y)}\) luo matriisit \(\texttt{X}\) ja \(\texttt{Y}\) siten, että \(\texttt{X}\) sisältää jokaista pistettä vastaavat x-koordinaatit ja \(\texttt{Y}\) sisältää pisteitä vastaavat y-koordinaatit. Tämän jälkeen luodaan matriisi (esim. \(\texttt{Z}\)), joka sisältää haluttujen pisteiden z-koordinaatit. 3D-pinta voidaan nyt muodostaa komennolla \(\texttt{surf(X,Y,Z)}\). \(\texttt{surf}\)-funktion ensimmäinen argumentti on matriisi, joka sisältää siis pisteiden x-koordinaatit, toinen argumentti sisältää y-koordinaatit ja kolmas z-koordinaatit. Näin ollen argumenttina toimivien matriisien dimensioiden tulee täsmätä. Palauta mieleesi MATLABin alkeista, miten voit tallentaa kuvaajan "handlen" ja miten saat sen asetuksia muutettua.

Harjoitukset

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB4.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Minkä vastauksen MATLAB antoi, kun kerroit matriisin \(A\) vektorilla \(\mathbf{c}\), joka kuuluu matriisin \(A\) nolla-avaruuteen.

\(A*c=\)\(*10\hat{ }\)
Feedback: Vektori \(\mathbf{c}\) tosiaan on muodostettu MATLABin luoman nolla-avaruuden kantavektorien lineaarikombinaationa. Vaikka vastaukseksi ei tullutkaan aivan nollavektori, voidaan vastausta pitää tässä tapauksessa oikeana. Kun otetaan huomioon, että MATLAB muodostaa nolla-avaruuden kantavektorit numeerisesti, voidaan approksimoida nollavektoriksi vektori, jonka alkioit ovat hyvin hyvin pieniä.

Mikä on työmuistiin määritellyn matriisin \(X\) determinantti? Anna vastaus siinä muodossa, kuin MATLAB sen ilmoitti.

Onko matriisi \(X\) determinantin perusteella kääntyvä? (Vastaus yksittäinen merkki: k/e)
Feedback: Matriisi \(X\) on 6x6-matriisi, joten sen determinantin laskeminen käsin on jo melko työlästä. Komento \(\texttt{det(A)}\) laskee determinantin onneksi puolestasi. Tässä tapauksessa \(det(X))=[value]\). Koska determinantti on nollasta poikkeava, matriisi on kääntyvä.

Harjoitus 5

Näissä harjoituksissa et tarvitse montaa uutta komentoa ja osaat hakea tietoa MATLABin käytöstä myös itsenäisesti. Opetusvideota tai ohjetekstejä ei siis ole tarjolla, mutta pärjäät jo varmasti hienosti ilman niiitä!

Harjoitustehtävät

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB5.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkkejä

nolla-avaruus = null space Kertaa matriisiyhtälön ratkaisu MATLABilla viime harkoista. Tutustu if-rakenteeseen ja kertaa for-rakenne

Anna matriisin \(B\) ominaisarvoa \(3.4269\) vastaava ominaisvektori.
Feedback: Komento \(\texttt{[vektorit arvot]=eig(B)}\) tuottaa matriisin \(\texttt{vektorit}=\)[value] ja matriisin \(\texttt{arvot}=\)[value]. Ominaisarvo \(3.4269\) on \(\texttt{arvot}\)-matriisin toisessa sarakkeessa, joten sitä vastaava ominaisvektori löytyy matriisin \(\texttt{vektorit}\) toisesta sarakkeesta.

Anna saamasi polynomisovitteen kertoimet. Sovitefunktion polynomi on muotoa

\(s(t)=\)\(*t^3+\)\(*t^2+\)\(*t+\).
Feedback: Ratkaisun saat opintomonisteen mukaisesti laskemalla \(rref(V^TV|V^T\mathbf{t})\), missä \(\mathbf{t}\) on pystyvektori. Saat kertoimet sisältävän vektorin myös kenoviivan avulla, sillä kenoviiva antaa yhtälön \(V\mathbf{x}=\mathbf{t}\) pienimmän neliösumman ratkaisun. MATLABin alkeissa opeteltiin käyttämään polyfit-funktiota. Polyfitista MATLABin helppi kertoo seuraavaa: \(\texttt{ P = polyfit(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of}\) \(\texttt{ degree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is a}\) \(\texttt{ row vector of length N+1 containing the polynomial coefficients in}\) \(\texttt{ descending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).}\) Siis komennon \(\texttt{polyfit(t,s,3)}\) tulosteen ensimmäinen alkio on kolmannen asteen termin kerroin, toinen on toisen asteen termin kerroin, kolmas alkio on ensimmäisen asteen kerroin ja neljäs alkio on vakiotermi.

Tee piirtämääsi pisteikköön Curve Fitting -työkalulla Sum of Sine -sovite ja valitse termien määräksi 2. Anna parametrin \(\texttt{a1}\) suuruus.

\(\texttt{a1}=\)
Feedback: Välilehdeltä Apps löytyvän Curve Fitting -työkalun luoma Sum of Sine -sovite, kun on valittu termien määräksi kaksi, antaa sovitteen muotoa \(a1*sin(b1*x+c1)+a2*sin(b2*x+c2)\). Vasemmalla näkyy parametrien arvot sovitteessa, mistä voidaan lukea että piirtämässäsi sovitteessa parametrin \(\texttt{a1}\) tulee olla [value]

Anna palautetta Anna palautetta tämän viikon sekä halutessasi menneistä MATLAB-harjoituksista. Mikä oli hyvää? Mikä oli huonoa? Kaikki palaute on tervetullutta, sillä palautteen avulla voidaan kehittää tehtäviä tulevaisuudessa.

Harjoitus 6

Osaat jo etsiä itse tietoa MATLABin komennoista niin jouhevasti, ettei opetusvideoita tarvita eikä valmiita komentoja enää tarvitse opettaa. Kertaa kuitenkin MATLABin alkeista sovitteen tekeminen pistejoukkoon polyfit-komennolla sekä alkeiden samalta kerralta Curve Fitting -työkalun käyttö. Jotkut MATLABin funktiot on rakennettu niin, että ne voivat antaa yhden tai useamman paluuarvon riippuen määrittelystä. Määrittely menisi kutakuinkin tähän tapaan eri tapauksissa: Yksi paluuarvo: \(\texttt{x=omafunktioni(n,s)}\) Kaksi paluuarvoa: \(\texttt{[x y]=omafunktioni(n,s)}\)

Harjoitustehtävät

Tähän harjoitukseen liittyvät tehtävät löytyvät tiedostosta MATLAB6.p Lataa tiedosto ja aja se. Tiedosto sisältää ohjelman ja tehtävät tulevat vastaan sen aikana.

Vinkkejä

ominaisarvo = eigenvalue, ominaisvektori = eigenvector

Yleistä Differentiaaliyhtälöistä

Differentiaaliyhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman funktion \(y=y(x)\) yhden tai useamman derivaatan \(y', y'', y''',...\). Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis aina yhtälö, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälön \(y'(x)=y(x)\) ratkaisu on funktio \(y(x) = Ce^x\), missä \(C\) on jokin vakio, sillä kun funktio sijoitetaan differentiaaliyhtälöön, niin nähdään

\(\begin{align*}D_{x} (Ce^x) &= Ce^x\newline \Leftrightarrow Ce^x &= Ce^x. \end{align*}\)

Näin huomataan, että funktio \(y(x)=Ce^x\) on differentiaaliyhtälön \(y'(x)=y(x)\) ratkaisu. Kaikki funktiot, jotka toteuttavat differentiaaliyhtälön ovat differentiaaliyhtälön ratkaisuja.

Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen ei ole mitään yleispätevää menetelmää, siksi on oleellista osata tunnista millaista muotoa mikäkin differentiaaliyhtälö on, jotta voidaan soveltaa sopivaa ratkaisumenetlemää. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa oleellista on myös tunnistaa differentiaaliyhtälön kertaluku. Differentiaaliyhtälön kertaluku on sama kuin korkein differentiaaliyhtälössä esiintyvä derivaatan kertaluku. Esimerkiksi differentiaaliyhtälön \(y''(x)-2y(x) = -2x^2\) kertaluku on kaksi.

Kannattaa huomioida, että useimmissa tehtävissä derivaattoja merkitään \(y',y'',...\) sen sijaan, että sitä kirjoitettaisiin joka kerta näkyviin, minkä muuttujan funktio \(y\) on, kuten \(y'(x),y''(x),...\).

Differentiaaliyhtälölle voidaan asettaa alussa myös alkuehto, jolloin puhutaan alkuarvo-ongelmasta. Tämä siis tarkoittaa, että annetun yhtälön mukana annetaan jokin arvo funktiolle jollakin muuttujan arvolla, esimerkiksi \(y(1) = 2\). Alkuarvo-ongelmalla on usein vain yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan ratkaisemalla alkuehdon avulla parametri \(C\). Jos siis kyseessä on alku-arvo ongelma, etsitään sellaista yksittäistä ratkaisua, joka toteuttaa kaikki alkuehdot differentiaaliyhtälön ohella.

Jos taas pitää ratkaista differentiaaliyhtälön yleinen muoto, niin ratkaisussa täytyy esiintyä aina parametri, jota differentiaaliyhtälöiden tapauksessa merkitään \(C\).

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

Yksinkertaisimpia differentiaali yhtälöitä voi ratkaista suoraan integroimalla. Suoraan integroimalla ratkaiseminen on käytännössä separoinnin yksinkertainen muoto.

Kun käytetään suoraan integrointimenetelmää, on kyseessä usein tapaus, jossa jotain ilmiötä voidaan mallintaa kaavalla \(\dfrac{dx}{dt}=kx\), missä \(k\) on verrannollisuuskerroin.

Kun ratkaisua haetaan integroimalla ja differentiaaliyhtälö on muotoa \(\dfrac{dx}{dt}=kx\), niin ratkaisu alkaa aluksi separoimalla muuttujat. Tässä toimessa ajatellaan, että \(\dfrac{dx}{dt}\) on vain normaali jakolasku. Tarkoituksena on siis saada \(dx\) ja \(dy\) termi yhtälön eripuolille siten, että samalla puolella on vain samannimisiä termejä. Differentiaali yhtälön siis ollessa \(\dfrac{dx}{dt}=kx\) saadaan ratkaisuksi

\(\begin{align*}&\Leftrightarrow\dfrac{dx}{dt}=kx\newline &\Leftrightarrow\dfrac{dx}{x}=kdt\newline &\Leftrightarrow\int{\dfrac{dx}{x}} = \int{kdt}\newline &\Leftrightarrow ln(x) = kt + C_{1},\end{align*}\)

missä \(C=e^{C_{1}}\) on vakio, mikä voitaisiin laskea, jos tehtävässä olisi annettu alkuehto.

Itse differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio \(x(t)\), joten \(x\) tulee vielä ratkaista saadusta yhtälöstä. Korottamalla molemmat \(e\):n eksponenttiin saadaan \(e^{ln(x)}=e^{kt+C_{1}}\), josta saadaan

\(\begin{align*}x = e^{ln(x)} = e^{kt + C_{1}} = e^{kt}e^{C_{1}} = Ce^{kt},\end{align*}\)

missä \(C=e^{C_1}\) on vakio, joka voitaisiin määrittää, jos tehtävässä olisi annettu alkuarvo.

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

\( \textbf{Esimerkki 1.1.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(y' = 4x^3-3x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Merkitään \(y' = \dfrac{dy}{dx}\) Näin saadaan

\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} &= 4x^3-3x \quad\mid\cdot dx\newline \Leftrightarrow \int dy &= \int (4x^3-3x) dx \newline \Leftrightarrow y &= x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + C,\end{align*}\)

joka on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Esimerkki 1.2.}\) Populaation muutosnopeuden \(P'(t)\) tiedetään olevan suoraanverrannollista populaation määrään \(P(t)\) tietyllä ajanhetkellä \(t\). Tiedetään, että ajan hetkellä \(t=0\) populaation määrä \(P(0)=150\). Tiedetään myös, että populaation kasvukerroin \(k = 0.0002\). Muodosta funktio populaation määrän kasvulle.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Koska populaation muutosnopeus on suoraanverrannollinen populaation määrään, niin saadaan \(P'(t) = kP(t)\), mikä on ekvivalenttia \(\dfrac{dP}{dt} = kP(t)\) kanssa.

Nyt separoimalla saadaan \(\dfrac{dP}{P(t)} = kdt\), jonka jälkeen voidaan integroida puolittain.

\(\begin{align*}&\int{\dfrac{dP}{P(t)}} = \int{kdt}\newline &\Leftrightarrow ln(P(t)) = kt + C_{1} \newline &\Leftrightarrow e^{ln(P(t))} = e^{kt+C_{1}} \newline &\Leftrightarrow P(t) = e^{kt+C_{1}} \newline &\Leftrightarrow P(t) = e^{kt}e^{C_{1}}\newline &\Leftrightarrow P(t) = Ce^{kt}.\end{align*}\)

Sijoittamalla \(k\) saadaan ratkaisun yleinen muoto \(P(t) = Ce^{0.0002t}.\)

Nyt hyödynnetään alkuehtoa saadaksemme lopullisen ratkaisun.

\(\begin{align*}&P(0) = Ce^{0.0002\cdot 0} = 150\newline &\Leftrightarrow Ce^{0} = 150 \newline &\Leftrightarrow C = 150\end{align*}\)

Täten kyseisen alkuarvo-ongelman ratkaisu on \(P(t) = 150e^{0.0002t}\)

Ratkaise alkuarvotehtävä \(y' = [value], \quad y(1) = [value]\).

Käytä integrointivakiona kirjainta \(C\)

a) Kirjoita differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

\(y_{y}=\)

b) Ratkaise vakio \(C\)
\(C=\)

c) Kirjoita alkuarvotehtävän lopullinen ratkaisu
\(y=\)
Feedback: Mallivastaus: \(y' = [value], \quad y(1) = [value]\) a) Merkitään aluksi \(\dfrac{dy}{dx} = [value]\) Separoidaan muuttujat seuraavaksi, näin saadaan \(1dy = ([value])dx\) Integroidaan puolittain \(\begin{align*}\int 1dy &= \int{([value]})dx \\ \Leftrightarrow y &= [value]\end{align*}\) Tämä on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. b) Parametri \(C\) saadaan ratkaistua hyödyntämällä alkuehtoa. Eli sijoitetaan alkuehto yhtälöön. \(y(1) = [value] +[value] \:[value] + C = [value] \\ \Leftrightarrow C = [value]\) c) Jotta saadaan alkuarvotehtävän ratkaisu tulee yleisen ratkaisun parametrin paikalle sijoittaa alkuehdon avulla saatu arvo. Näin ollen \(y = [value]\)

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

Separoituvat funktiot ovat aina muotoa \(\dfrac{dy}{dx} = R(x,y)\), missä \(R(x,y)\) on siis kahden muuttujan funktio. Erityistapauksessa, jos funktio R(x,y) sisältää vain yhtä muuttujaa, on silloin annettu differentiaaliyhtälö aina separoituva ja suoraan integroitavissa. Separointia voidaan käyttää myös tapauksessa, joissa funktio \(R(x,y)\) voidaan lausua funktioiden \(f(x)\) ja \(g(y)\) tulona. Kun tämä jako tehdään, saa yhtälö muodon
\(\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y).\end{align*}\)
Tällainen yhtälö on separoituva, sillä funktiot voidaan jakaa yhtäsuuruusmerkin molemmille puolille siten, että yhtälölle saadaan muoto
\(\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx\).
Voidan merkitä vielä, että \(\dfrac{1}{g(y)} = h(y)\), jolloin saadaan \(h(y)dy = f(x)dx\). Tämän jälkeen differentiaaliyhtälön ratkaisu haettaisiin integroimalla puolittain ja yhtälö ratkaistaisiin riippuvan muuttujan eli tässä tapauksessa \(y\):n suhteen.
Jos tehtävässä olisi vielä annettu erikseen alkuehto, tulisi tietysti etsiä alkuarvo-ongelman ratkaisu, eikä tyytyä yleiseen ratkaisuun.

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y' = 2yx \quad y(0) = 3\)

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Lähdetään separoimaan differentiaaliyhtälöä.
\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} &= 2yx \newline \Leftrightarrow \dfrac{dy}{y} &= 2xdx \newline \Leftrightarrow \int \dfrac{dy}{y} &= \int 2xdx \newline \Leftrightarrow ln|y| &= x^2 + C_{1}\newline \Leftrightarrow |y| &= e^{x^2+C_{1}}\newline \Leftrightarrow |y| &= e^{x^2}e^{C_{1}}\newline \Leftrightarrow |y| &= Ce^{x^2},\end{align*}\)

missä \(C = e^{C_{1}}\). Alkuehdosta nähdään, että ratkaisun täytyy olla positiivinen, voidaan siis jättää itseisarvot pois. Näin saadaan

\(\begin{align*}y(0) = Ce^{0^2} = 3\newline\Leftrightarrow C = 3\end{align*}\)

Näin saadaan lopulliseksi ratkaisuksi \(y = 3e^{x^2}\)

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat muotoa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\). Tässä yhtälössä sekä \(P(x)\) että \(Q(x)\) ovat muuttujan \(x\) funktioita. Funktoiden \(P\) ja \(Q\) ollessa vakioita on yhtälö separoituva ja voidaan ratkaista separoimalla yhtälö.

Jos ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), niin tällöin differentiaaliyhtälön voi ratkaista käyttäen integroivaa tekijää. Integroiva tekijiä määritellään \(\rho(x) = e^{\int P(x)dx}\). Integroivalla tekijällä siis kerrotaan differentiaaliyhtälö puolittain.

Kun integroivalla tekijällä on kerrottu puolittain, saadaan yhtälön vasemmalle puolelle \((y'(x) + P(x)y(x))e^{A(x)}\), missä \(A(x)\) on \(P(x)\):n intergraali.

Tunnistetaan yhtälön vasemman puolen olevan muotoa \(D_{x}(y(x)\rho (x))\). (Kannataa derivoida itse auki, jos ei sitä suoraan näe.)

Tämän jälkeen integroidaan puolittain ja lopuksi vielä integroinnin jälkeen jaetaan integroivalla tekijällä, jotta saadaan ratkaisu selville.

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2xy}{x^2+1} = 2x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Yhtälö on valmiiksi muodossa \( \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\), joten \(P(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\). Näin ollen integroivaksi tekijäksi saadaan \(\rho (x) = e^{\int {(\dfrac{2x}{x^2+1})dx}} = e^{ln(x^2+1)} = x^2+1\).

Nyt kerrotaan integroivalla tekijällä puolittain. Näin saadaan

\(\begin{align*}(x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+(x^2+1)\dfrac{2xy}{x^2+1} = (x^2+1)2x \newline \Leftrightarrow (x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+2xy = (x^2+1)2x\end{align*}\)

Nyt huomataan, että yhtälön vasemman puolen voi kirjoittaa \(D_{x}[(x^2+1)y]\)
(tämän huomaaminen ratkaisua varten on oleellista!), joten yhtälö voidaan kirjoittaa

\(D_{x}[(x^2+1)y]= (x^2+1)2x\).

Seuraavaksi integroidaan puolittain, jolloin saadaan

\((x^2+1)y = \int 2x(x^2+1)dx = \dfrac{2}{3}(x^2+1)^2 + C\).

Lopuksi jaetaan puolittain integroivalla tekijällä ja saadaan

\(y=\dfrac{2}{3}(x^2+1) + C\),

joka on kysytty yleinen ratkaisu.

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa \(A(x)\dfrac{d^2y}{dx^2} + B(x)\dfrac{dy}{dx} + C(x)y = F(x)\). Missä \(A(x), B(x), C(x), F(x)\) ovat kaikki riippumattoman muuttujan \(x\) funktioita.

Jos toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen ja \(y_{1}\) ja \(y_{2}\) ovat sen ratkaisuja, niin tällöin myös ratkaisujen lineaarikombinaatio \(y = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}\) on homogeenisen yhtälön ratkaisu.

Käsiteltäessä vakiokertoimista toisen kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä, eli muotoa \(y'' + ay' + by = 0\) olevia differentiaaliyhtälöitä voidaan yhtälön ratkaisut löytää karakteristisen yhtälön avulla. Vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on

\(\lambda^2 + a\lambda + b = 0\),

josta voidaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla ratkaista \(\lambda_{1,2}\).

Jos karakteristisella yhtälöllä on

1) kaksi erisuurta reaalista juurta \(\lambda_{1}\) ja \(\lambda_{2}\), niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

\(y = c_1e^{\lambda_{1}x} + c_2e^{\lambda_{2}x}\)

2) kaksi yhtäsuurta reaalista juurta, niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

\(y = c_1e^{\lambda x} + c_2xe^{\lambda x}\)

3) imaginääriset juuret \(\lambda = \alpha \pm \beta i\), niin differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa

\(y = e^{\alpha x}(c_{1}sin(\beta x) + c_{2}cos(\beta x))\)

Jos toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen, niin tällöin, jos \(y_{h} = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}\) on homogeenisen yhtälön ratkaisu, niin \(y = y_{h} + y_{p}\) on epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu, missä \(y_{p}\) on epähomogeenisen yhtälön ykisttäisratkaisu.

Se miten \(y_{p}\) löydetään on yksinkertaisesti koittamalla eri vaihtoehtoja. Yritteelle on olemassa kuitenkin suuntaviivoja, minkä mukaan yritettä kannattaa ruveta keksimään. Kun differentiaaliyhtälö on muotoa \(y'' + ay' + by = f(x)\), jos f(x) on

1) polynomi, niin yrite on polynomi astetta \(n\). Jos \(b\neq 0\) niin \(y_{p}\):n aste on \(n\). Jos \(b=0\) ja \(a \neq 0\), niin \(y_{p}\):n aste on \(n+1\), jos \(a=b=0\), niin \(y_{p}\):n aste on \(n+2\). Polynomien aste \(n\) tulee käytännössä etsiä kokeilemalla.

2) muotoa \(ce^{\alpha x}\), niin yrite on
\(\quad \bullet\) \(Ae^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) ei ole karakteristisen yhtälön juuri
\(\quad \bullet\) \(Axe^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) on karakteristisen yhtälön yksinkertainen juuri
\(\quad \bullet\) \(Ax^2e^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) on karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri

3) muotoa \(c\: cos(\omega x)\) tai \(c\: sin(\omega x)\), niin yrite on \(Acos(\omega x) + B\sin(\omega x)\), jos \(i\omega\) ei ole karakteristisen yhtälön juuri.

Kohdissa 2) ja 3) on hyvä huomata, että jos \(\alpha\) tai \(i\omega\) on karakteristisen yhtälön juuri ja yritetään käyttää sopimatonta yritettä, niin yrite ei toteuta alkuperäistä differentiaaliyhtälöä.

Kuten tästä ilmenee, ei toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen ole kovin yksiselitteistä. Ratkaisua etsiessä kannattaa toimia systemaattisesti ensin ratkaisten karakteristisen yhtälön ja sen juuret. Seuraavaksi etsii yritteellä yksittäisen ratkaisun, jos differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen. Ei kannata lannistua, jos ensimmäinen yrite ei toimi, sitten vain yrittää jotain muuta. Tässäkin täytyy muistaa, että jos kyseessä on alkuarvotehtävä, tulee tehtävä ratkaista loppuun asti ja määrittää parametrit.

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Ratkaise alkuarvo-ongelma \(2y'' + 2y' - 4y = 2x + 3  \quad y'(0) = 2, y(0) = 1\)

\( \textbf{Ratkaisu}\): Etsitään aluksi vastaavan homogeenisen yhtälön \(2y'' + 2y' - 4y = 0\) yleinen ratkaisu. Aluksi muodostetaan karakteristinen yhtälö. Huomataan, että termillä \(y''\) on kerroin 2, jaetaan sillä, jotta yhtälö saadaan perusmuotoon. Näin saamme karakteristiseksi yhtälöksi \(\lambda^2 + \lambda -2 = 0\). Kun karakteristinen yhätlö ratkaistaan saadaan \(\lambda_{1}=-2,\:\lambda_{2}=1\).

Näin ollen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(y_{h} = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x}\).

Seuraavaksi kehitetään epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle yrite. Nyt, kun \(f(x)\) on polynomi, niin muodostetaan yritteeksi polynomi. Olkoon yrite muotoa \(y_{p} = ax^2 + bx + c\), tällön \(y_{p}'= 2ax + b\) ja \(y_{p}'' = 2a\). Sijoittamalla \(y_{p}\) yhtälöön saadaan siis

\(\begin{align*}2(2a) + 2(2ax + b) - 4(ax^2 + bx + c) &= 2x+3\newline 4a + 4ax + 2b - 4ax^2 - 4bx - 4c &= 2x+3 \newline -4ax^2 +(4a-4b)x +4a+2b-4c &= 2x+3 \end{align*}\)

Tästä saamme muodostettua yhtälöryhmän.

\(\begin{cases}-4a = 0 \\ 4a-4b = 2 \\ 4a + 2b - 4c = 3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = -\dfrac{1}{2} \\ c = -1\end{cases}\)

Näin saadaan siis epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi \(y = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

Vielä tulee ratkaista parametrit \(c_{1},c_{2}\) alkuehtojen avulla.
\(y' = -2c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{cases}y(0) = c_{1} + c_{2} -1 = 1 \newline y'(0) = -2c_{1} + c_{2} - \dfrac{1}{2} = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c_{1} = -\dfrac{1}{6} \\ c_{2} = \dfrac{13}{6}\end{cases}\)

Näin ollen saadaan alkuarvo-ongelmalle ratkaisuksi \(y = -\dfrac{1}{6}e^{-2x} + \dfrac{13}{6}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

Ratkaise alkuarvotehtävä \(y' = [value], \quad y([value])=1\).

\(y=\)
Feedback: Malliratkaisu: Ratkaise alkuarvotehtävä \(y' = [value], \quad y([value])=1\) Separoidaan aluksi muuttujat, näin saadaan \(y\:dy = ([value]x + [value])dx\) Integroidaan sitten puolittain. \(\begin{align*}\int y\:dy &= \int ([value]x + [value])dx + C_{1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}y^2 &= [value] + [value] \:+ \:C_{1}\end{align*}\) Tästä saadaan yleinen ratkaisu joka on siis \(y = \sqrt{[value] + [value] \:+ \:C}\), missä \(C=2C_{1}\) Seuraavaksi hyödynnetään alkuehtoa, jotta löydetään haluttu yksittäinen ratkaisu. \(\begin{align*}y([value]) = \sqrt{[value]\cdot[value]^2 + [value]\cdot[value] \:+ \:C} &= 1 \quad |()^2 \\ \Leftrightarrow [value] \:+ \:C &= 1 \\ \Leftrightarrow C &= [value]\end{align*}\) Täten annetun alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y = \sqrt{[value]}\)

Ratkaise alkuarvotehtävä \(\dfrac{xy'}{[value]} + x^{[value]}y = [value], \quad y'(0) = [value]\)

a) Laske integroiva tekijä.

\(\rho(x) =\)

b) Laske lopullinen ratkaisu.

\(y =\)
Feedback: Mallivastaus: Ratkaise alkuarvotehtävä \(\dfrac{xy'}{[value]} + x^{[value]}y = [value], \quad y'(0) = [value]\) Yhtälö ei ole vielä muodossa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), joten aloitetaan jakamalla puolittain \(x\):llä ja kerrotaan puolittain \([value]\):lla. Näin saadaan \(y' + [value] = [value]\) Nyt yhtälö on saatu haluttuun muotoon ja nähdään, että yhtälössä \(P(x)= [value]\). Tämän avulla voidaan ratkaista integroiva tekijä kaavalla \(\rho(x) = e^{\int P(x)dx}\). Näin ollen integroivaksi tekijäksi saadaan \(\rho(x) = e^{\int[value]dx} = e^{x^{[value]}}\). Kerrotaan yhtälöä integroivalla tekijällä puolittain. \(y'e^{x^{[value]}} + [value]e^{x^{[value]}} = [value]\) Huomataan, että vasemman puolen voikirjoittaa \(y'e^{x^{[value]}} + [value]e^{x^{[value]}} = D_{x}(e^{x^{[value]}}y)\). Nyt yhtälö on siis muodossa \(D_{x}(e^{x^{[value]}}y) = [value]\) Integroidaan puolittain. \(e^{x^{[value]}}y = \int([value])dx + C \\ \Leftrightarrow e^{x^{[value]}}y = [value] + C\) Jaetaan vielä integroivalla tekijällä puolittain, jolloin saadaan \(y = [value]\) Saatu tulos on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Etsitään nyt alkuehtoa hyödyntäen yksittäisratkaisu. Sijoitetaan alkuehto saatuun ratkaisuun. \(y(0) = C + [value] = [value] \\ \Leftrightarrow C = [value]\) Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis \(y = [value]\).

Ratkaise alkuarvotehtävä [value]\(\quad y(0)=[value],y'(0) = [value]\).

a) Etsi vastaavan homogeeniyhtälön karakteristisen yhtälön ratkaisut

\(\lambda_{1} =\), \(\lambda_{2} =\)

b) Ilmoita vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu. Käytä parametreinä c1 ja c2 ja kirjoita ne juuri kyseisessä muodossa.

\(y_{h}=\)

c) Etsi alkuarvotehtävän lopullinen ratkaisu. (Etsi ensin yksittäisratkaisu ja sitten hyödynnä alkuehtoja.)

\(y =\)
Feedback: Mallivastaus Ratkaise alkuarvotehtävä [value]\(\quad y(0)=[value],y'(0) = [value]\). a) Lähdetään tutkimaan vastaavaa homogeeniyhtälöä ja etsitään sen karakteristinen yhtälö. Kun homogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa \(ay'' + by' + cy = 0\), niin sen karaksteristinen yhtälö on muotoa \(a\lambda^2 + b\lambda +c = 0\). Täten saamme yhtälömme karakteristiseksi yhtälöksi \([value] = 0\). Kun karakteristinen yhtälö ratkaistaan, saadaan \(\lambda_{1} = [value]\) ja \(\lambda_{2} = [value]\). b) Kun tiedämme karakteristisen yhtälön ratkaisut, voidaan muodostaa homogeeni yhtälön ratkaisu kaavalla \(y_{h} = c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}\). Näin saadaan homogeeniyhtälön yleiseksi ratkaisuksi siis \(y_{h} = [value]\). c) Lähdetään etsimään yhtälölle yksittäisratkaisua \(y_{p}\). Koska yhtälössä funktio \(f(x) = [value]\), niin yritteeksi otetaan \([value]\). Huomataan, että eksponentissa oleva \(x\):n kerroin [value] ei ole kumpikaan karakteristisen yhtälön juurista \(\lambda_{1}\) tai \(\lambda_{2}\), täten siis yritteemme on hyvä. Lasketaan yritteen derivaatat. \(y_{p}' = [value],\quad y_{p}'' = [value]\) Sijoitetaan yritteet alkuperäiseen yhtälöön [value]. \(\begin{align*}[value] &= [value]\\ \Leftrightarrow a &= [value]\end{align*}\) Näin saadaan yksittäisratkaisuksi \(y_{p} = [value]e^{[value]}\). Siispä yhtälömme yleinen ratkaisu on \(y = y_{h} + y_{p} = [value]e^{[value]}\) Ratkaistaan vielä kertoimet \(c_{1}\) ja \(c_{2}\) annettujen alkuehtojen avulla. \(y' = [value]\) Alkuehtojen avulla saadaan yhtälöpari \(\left\{\begin{align*} y(0) &= [value]\\ y'(0) &= [value]\end{align*}\right.\) Näin saadaan vaikoiden arvoksi [value]. Sijoitetaan vakiot yleiseen ratkaisuun ja näin saadaan alkuarvotehtävän ratkaisuksi \(y=[value]\).

Etsi funktion \(f(x,y) = x^3-y^2x+x+y\) kriittiset pisteet.

Huom: syötä vastaus muodossa \( \{ [x_{0},y_{0}]\dots,[x_{n},y_{n}] \} \).

Kriittiset pisteet:
Feedback: Mallivastaus: Osittaisderivoidaan funktio ensin molempien muuttujien suhteen. \(\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) = 3x^2-y^2+1\) \(\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y) = -2xy + 1\) Kriittisessä pisteessä kaikkien osittaisderivaattojen tulee olla nolla, joten muodostetaan yhtälöpari saaduista yhtälöistä \(\begin{cases}3x^2-y^2+1=0 \\ -2xy + 1=0\end{cases}\) ratkaistaan alemmasta yhtälöstä \(y\) ja sijoitetaan se ylempään yhtälöön. Näin saadaan \(\begin{align*}3x^2-(\dfrac{1}{2x})^2 + 1 &= 0 \\ 3x^2 + \dfrac{1}{4x^2}+1&=0 \quad |\cdot 4x^2 \\ 12x^4 + 4x^2 -1 &= 0\end{align*}\) Sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa ratkaistaksemme aluksi \(x^2\) arvon, sillä yhtälömme voidaan kirjoittaa \(12(x^2)^2 + 4x^2 - 1 = 0\), mistä huomataan, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa voi käyttää. Käytettyämme yhtälöä saadaan \(x^2 = -\dfrac{1}{2}\) tai \(x^2 = \dfrac{1}{6}\). Ensimmäinen näistä ratkaisuista hylätään, koska juurrettavasta tulisi negatiivinen ja optimoinnissa kriittisten pisteiden tulee olla aina reaalisia. Näin ollen saadaan, että \(x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{6}}\) Sijoittamalla \(x\) takaisin jompaan kumpaan yhtälöparin yhtälöistä saadaan molempia \(x\):iä vastaavat \(y\):n arvot. Näin ollen kriittisiksi pisteiksi saadaan \(\bigg\{\bigg[\sqrt{\dfrac{1}{6}},\sqrt{\dfrac{3}{2}}\bigg],\bigg[-\sqrt{\dfrac{1}{6}},-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\bigg]\bigg\}\)

Parametrisoi janat \(ab, bc, ac\) käyttäen huomautuksen 2.6 ja esimerkin 2.7 menetelmää, kun \(a=([value],[value]),b=([value],[value]),c=([value],[value])\).

Huom. Anna parametrisoidut janat muodossa [x(t),y(t)] ja väli merkintänä [a,b]!

\(ab\): \(u(t)=\), \(t\in\)

\(bc\): \(v(t)=\), \(t\in\)

\(ac\): \(w(t)=\), \(t\in\)

Parametrisoi jana, jonka päätepisteet ovat annettu.

Huom. Käytä huomautuksen 2.6 ja esimerkin 2.7 menetelmää.

Käytä parametrisoinnin ilmoittamisessa hakasulkeita eli \(r(t) = [x(t),y(t)]\). Ilmita myös t:n väli seuraavalla tavalla \(t\in[a,b]\)

a) ([value],[value]) ja ([value],[value]),   \(r(t) =\), \(t\in\)

b) ([value],[value]) ja ([value],[value]),   \(r(t) =\), \(t\in\)

c) ([value],[value]) ja ([value],[value]),   \(r(t) =\), \(t\in\)

Parametrisoi käyrät \(y=x^3+[value]x^2\) ja \(y=[value]\) siten, että ne rajaavat niiden sisään jäävän alueen. Käytä apuna huomautusta 2.4

Merkitään käyrän \(y=x^3+[value]x^2\) parametrisointia \(f(t)\) ja käyrän \(y=[value]\) parametrisointia \(g(t)\).

Käytä parametrisointien ja muuttujan t ilmaisemiseen hakasulkeita (esim. \(f(t)=[t, t+1], \quad t\in[0,2]).\)

\(f(t)=\),   \(t\in\)

\(g(t)=\),    \(t\in\)

Etsi funktion \(f(x,y) = x^3+y^3-xy\) kriittiset pisteet sisäpisteissä, ehdokaspisteet reunalla ja minimi ja maksimi alueessa, jonka rajaavat käyrät \(y=[value]\) ja \(y=x^2\).

Huom: anna kriittiset pisteet muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\).

Anna ehdokaspisteet reunalla muodossa \(\{[x_{0},y_{0}],[x_{1},x_{1}],...[x_{n},y_{n}]\}\).

Anna maksimit ja minimit muodossa \( \{x_{0}, x_{1},\ldots ,x_{n}\} \).

Kriittiset pisteet:

Ehdokaspisteet reunalla:

Maksimit:

Minimit:
Feedback: Mallivastaus: Muodostetaan aluksi funktion \(f(x,y) = x^3+y^3-xy\) osittaisderivaatat, joiksi saadaan \(\begin{align*}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)&= 3x^2-y, \\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)&= 3y^3-x.\end{align*}\) Etsitään kriittiset pisteet merkitsemällä molemmat osittaisderivaatat nolliksi ja etsitään millä \(x\) ja \(y\) arvoilla yhtälöpari toteutuu. \(\begin{cases}3x^2-y=0\\ 3y^2-x=0\end{cases} \Rightarrow x=0,y=0\) tai \(x=\dfrac{1}{3},y=\dfrac{1}{3}\). Koska piste \((0,0)\) on käyrällä, niin sitä ei kelpuuteta kriittiseksi pisteeksi sisäpisteissä. Näin ollen ainoa kriittinen sisäpiste on \((\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})\). Etsitään seuraavaksi ehdokaspisteet reunalla. Tutkitaan ensin käyrää \(y=x^2\), sijoitetaan se tehtävän funktioon jolloin saadaan \(f(x,x^2) = x^3 + x^6 - x^3 = x^6\). Etsitään missä saadun funktion kriitiset pisteet ovat. \(f'(x,x^2) = 6x^5 = 0 \Rightarrow x=0\) eli kriittinen piste pisteessä \((0,0)\). Myös käyrien leikkauspisteet tulee ottaa huomioon ehdokaspisteisiin, joten etsitään ne seuraavaksi. Merkitään \(x^2 = [value]\), näin saadaan leikkauspisteiksi \(([value],[value])\) ja \(([value],[value])\). Etsitään ehdokaspisteet vielä käyrältä \(y=[value]\). Merkitään \(f(x,[value])=x^3+[value]-[value]x\). Derivoidaan funktio ja etsitään sen nollakohdat, jotta löydetyään ehdokaspisteet. \(f'(x,[value])=3x^2-[value]=0 \Rightarrow x=\pm[value]\). Näin ollen ehdokaspisteiksi saadaan vielä \(([value],[value])\) ja \((-[value],[value])\). Eli ehdokaspisteet ovat \((0,0), ([value],[value]), ([value],[value]), ([value],[value]), (-[value],[value])\). Lopuksi vain lasketaan funktion arvot kaikissa saaduissa ehdoksapisteissä, joista meille haravoituu maksimiksi \(f([value],[value])=[value]\) ja minimiksi \(f(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{27}\)

Huom! \(y''\):n, \(y'\):n ja \(y\):n välillä ei ole laskutoimitusmerkkejä valmiina, eli jos jonkun kertoimen etumerkiksi tulee miinus, muista laittaa se vastaukseen. Plus-merkkiä ei tarvitse erikseen merkitä. Jos jotain \(y\):istä ei esiinny vastauksessa, merkitse keroimeksi \(0\).

a) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=c_{1}e^{[value]} + c_{2}e^{[value]}\).

\(y''\)\(y'\)\(y = 0\)

b) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=c_{1}e^{[value]} + c_{2}xe^{[value]}\).
\(y''\)\(y'\)\(y= 0\)
Feedback: Malliratkaisu: a) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä kaksi eriarvoista juurta, jotka ovat \(\lambda_{1}=[value]\) ja \(\lambda_{2}=[value]\). Näin ollen \(([value])([value]) = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \(y'' + [value]' [value]y = 0\). b) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä kaksi samanarvoista juurta, joka on \(\lambda = [value]\). Näin ollen \(([value])^2 = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \([value] = 0\)

Huom! \(y''\):n, \(y'\):n ja \(y\):n välillä ei ole laskutoimitusmerkkejä valmiina, eli jos jonkun kertoimen etumerkiksi tulee miinus, muista laittaa se vastaukseen. Plus-merkkiä ei tarvitse erikseen merkitä. Jos jotain \(y\):istä ei esiinny vastauksessa, merkitse keroimeksi \(0\).

a) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=c_{1}e^{[value]} + c_{2}e^{[value]}\).

\(y''\)\(y'\)\(y = 0\)

b) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=e^{[value]}(c_{1}\text{sin}([value])+c_{2}\text{cos}([value]))\).

\(y''\)\(y'\)\(y = 0\)
Feedback: Malliratkaisu: a) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä kaksi eriarvoista juurta, jotka ovat \(\lambda_{1}=[value]\) ja \(\lambda_{2}=[value]\). Näin ollen \(([value])([value]) = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \([value] = 0\). b) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä on kaksi eriarvoista juurta, jotka ovat \(\lambda_{1,2} = [value] \pm [value]j\). Näin ollen \((r-([value] - [value]j))(r-([value] + [value]j)) = ([value])([value]) \\ = [value] [value] + [value]j [value] + [value] [value]j - [value]j + [value]j + [value] = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \([value] = 0\).

Huom! \(y''\):n, \(y'\):n ja \(y\):n välillä ei ole laskutoimitusmerkkejä valmiina, eli jos jonkun kertoimen etumerkiksi tulee miinus, muista laittaa se vastaukseen. Plus-merkkiä ei tarvitse erikseen merkitä. Jos jotain \(y\):istä ei esiinny vastauksessa, merkitse keroimeksi \(0\).

a) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=c_{1}e^{[value]} + c_{2}xe^{[value]}\).
\(y''\)\(y'\)\(y= 0\)

b) Etsi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa \(y_{h}=e^{[value]}(c_{1}\text{sin}([value])+c_{2}\text{cos}([value]))\).

\(y''\)\(y'\)\(y = 0\)
Feedback: Malliratkaisu: a) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä kaksi samanarvoista juurta, joka on \(\lambda = [value]\). Näin ollen \(([value])^2 = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \([value] = 0\) b) \(y_{h}\):n muodosta nähdään, että karakteristisella yhtälöllä on kaksi eriarvoista juurta, jotka ovat \(\lambda_{1,2} = [value] \pm [value]j\). Näin ollen \((r-([value] - [value]j))(r-([value] + [value]j)) = ([value])([value]) \\ = [value] [value] + [value]j [value] + [value] [value]j - [value]j + [value]j + [value] = [value]\), mistä seuraa, että haluttu differentiaaliyhtälö on muotoa \([value] = 0\).

Yhtälöryhmän ratkaisut on tallennettu struct-tyyppiseen muuttujaan "vastaus". Tutki dokumentaation avulla, miten saat muuttujasta "vastaus" yhtaloryhmassa esiintyneen muuttujan x arvon selville. Syota muuttujan x arvo 5 desimaalin tarkkuudella.

\(x\approx\)
Feedback: Komento \(\texttt{vastaus = solve([2*sin(x/2)-14*y==30,x*y/2==-pi],x,y)}\) tallentaa yhtälöryhmän \(\left\{ \begin{array} 2 \sin \frac{x}{2} -14y = 30 \\ x\frac{y}{2}=-\pi \end{array}\right. \) ratkaisun struct-tyyppiseen muuttujaan \(\texttt{vastaus}\). Muuttujan alkioon x viitataan kirjoittamalla \(\texttt{vastaus.x}\) ja vastaukseksi saadaan \(\texttt{3.1415926535897932384626433832795}\approx 3,14159\). Nokkela laskija huomaa, että vastaus on itse asiassa aika lähellä lukua \(\pi\). Vastaavasti yhtälöryhmän muuttujan y ratkaisuksi saadaan \(-2\).

Yleistä kompleksiluvuista ja niiden laskutoimituksista

Kompleksiluvut ovat muotoa \(z = x + iy\) olevia lukuja, missä \(x,y \in \mathbb{R}\) ja \(i=\sqrt{-1}\). Kompleksi luvut muodostuvat aina reaali- ja imaginääriosasta. Toisin sanoen, kun kompleksiluku on muotoa \(z = x + iy\), niin \(\text{Re}[z] = x\) ja \(\text{Im}[z] = y\) .

Kompleksiluvuille voidaan määritellä myös laskutoimituksia seuraavasti

Olkoot \(z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) ja \(z_{2}=x_{2}+iy_{2}\).

Summa: Tällöin näiden kompleksilukujen summa on \(z_{1}+z_{2} = x_{1} + iy_{1} + x_{2}+iy_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i(y_{1}+y_{2})\).

Tulo: Tällöin näiden lukujen tulo on \(z_{1}z_{2} = (x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2}) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})\).

Erotus: Voidaan määritellä summan avulla \(z_{1}-z_{2} = z_{1}+ (-z_{2})\).

Osamäärä: Voidaan määritellä tulon avulla \(\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = z_{1}z_{2}^{-1}\), \(z_{2}\ne 0\).

Kompleksiluvun käänteisluvun saa lasketuksi kaavalla \(z^{-1} = \dfrac{x}{x^2+y^2}-\dfrac{yi}{x^2+y^2}\)

Määritellään kopleksiluvuille myös kompleksikonjugaatti eli liittoluku sekä moduli eli itseisarvo

Kompleksikonjugaatti: \(\overline{z} = x - iy\)

Moduli: \(|z| = \sqrt{x^2+y^2}\)

Kompleksiluvun muut kirjoitusasut

Kompleksiluvuthan kirjoitetaan pääasiallisesti muodossa \(z = x + iy\), mutta tämä ei ole ainoa tapa ilmaista kompleksilukuja.

Kompleksiluvut voi ilmaista myös polaarimuodossa sekä eksponenttimuodossa.

Polaarimuoto:

Kompleksiluku \(z=x+iy\) voidaan piirtää kompleksitasoon seuraavasti

[Image]

Kuvasta voidaan nähdä, että \(x = r\text{cos}\varphi \) ja \(y = r\text{sin}\varphi\), missä \(r = |z|\) ja \(\text{tan}\varphi = \dfrac{y}{x}\). Näin saadaan, että

\(z = r(\text{cos}\varphi + i\text{sin}\varphi)\).

Kompleksiluvun polaarimuodon kulmaa \(\varphi\) sanotaan myös \(z\):n argumentiksi ja merkitään \(\text{arg}(z) = \varphi\).

Eksponenttimuoto:

Kompleksiluvun eksponenttimuoto on \(z = re^{i\varphi}\), missä \(r = |z|\) ja \(\varphi = \text{arg}(z)\).

Eli koontina vielä \(z = x + iy = r(\text{cos}(\varphi) + i\text{sin}(\varphi)) = re^{i\varphi}\)

Kompleksiluvun juuret

Tutustutaan aluksi De Moivre'n kaavaan:

Olkoon \(z = r(\text{cos}\varphi + i\text{sin}\varphi)\), tällöin \(z^{n}=r^{n}(\text{cos}(n\varphi)+i\text{sin}(n\varphi)), \qquad n\in\mathbb{N}\).

De Moivre'n kaavaa apuna käyttäen voimme määritellä kompleksilukujen juuret.

Määritelläänpä siis, kuinka voidaan löytää kompleksiluvun \(n\):net juuret.

Kompleksiluvun \(z\) \(n\):s juuri on muotoa \(w=z^{1/n}\).

Näin ollen \(w = z^{1/n} = \sqrt[n]{r}(\text{cos}(\dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}) + i\text{sin}(\dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}))\), missä \(k=0,1,...,n-1, \quad \forall n\in\mathbb{N}\).

Tämä siis tarkoittaa sitä, että \(z\):lla on \(n\) kappaletta \(n\):siä juuria. Jos esimerkiksi \(n=k\), niin nähdään, että saadaan sama tulos, kun \(n=0\).

Kompleksisten polynomien juuret

Kompleksisen polynomin juuret voi ratkaista samanlaisin menettelyin kuin reaalisenkin. Jos polynomin asteluku on korkeampi kuin kaksi, niin täytyy lähteä liikkeelle arvaamalla erästä ratkaisua, jonka jälkeen voi jakokulmaa apuna käyttäen löytää loput juuret.

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Ilmoita kompleksiluku \(z=2+2i\) napakoordinaattimuodossa.

Lasketaan aluksi \(r\). \(r = |z| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}\).

Lasketaan seuraavaksi luvun \(z\) argumentti \(\text{arg}(z)\).

\(\text{arg}(z) = \varphi \Rightarrow \varphi = \text{arctan}(\dfrac{2}{2}) = \dfrac{\pi}{4}\)

Nyt voidaan muodostaa kompleksiluvun napakoordinaattimuoto, saadaan

\(z = \sqrt{8}(\text{cos}(\dfrac{\pi}{4})+i\text{sin}(\dfrac{\pi}{4}))\)

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Ilmoita kompleksiluku \(z = 1+ (\sqrt{2}-1)i\) muodossa \(re^{i\varphi}\)

Lasketaan aluksi \(r\). \(r=|z| = \sqrt{1^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2}}=\sqrt{2(2-\sqrt{2})}\)

Laketaan kompleksiluvun argumentti \(\text{arg}(z)=\varphi \Rightarrow \varphi = \text{arctan}(\dfrac{\sqrt{2}-1}{1}) = \dfrac{\pi}{8}\)

Näin sadaan siis \(z = 1+ (\sqrt{2}-1)i = \sqrt{2(2-\sqrt{2})}e^{i\frac{\pi}{8}}\)

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Määritä kaikki kompleksiluvun \(z=-3+3i\) toiset juuret.

 Merkittäköön yleistä juurta \(w\):llä. Lasketaan aluksi \(r = |z| = \sqrt{(-3)^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}\).

Seuraavaksi lasksetaan argumentti \(\text{arg}(z) = \varphi \Rightarrow \varphi = \text{arctan}(\dfrac{3}{-3})=\dfrac{3\pi}{4}\).

Nyt koska haetaan \(z\):n tosisia juuria, tarkoittaa se, että juuria on kaksi.

Ensimmäinen juuri \(w_{1}\) saadaan siis juuri lasketuilla arvoilla, eli tässä tapauksessa \(k=0\), juuri \(w_{2}\) saadaan \(k\):n arvolla 1.

\(w_{1}=3\sqrt{2}(\text{cos}(\dfrac{3\pi}{8})+i\text{sin}(\dfrac{3\pi}{8}))\),

\(w_{2}=3\sqrt{2}(\text{cos}(\dfrac{11\pi}{8})+i\text{sin}(\dfrac{11\pi}{8}))\).

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Etsi polynomin \(p(x) = x^2 - 6ix - 10x + 30i\) juuret.

Ratakaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Saadaan,
\(\begin{align*}x &= \dfrac{-(-(6i+10)) \pm \sqrt{(-(6i+10))^2 - 120i}}{2\cdot 1} \\ &= \dfrac{10 + 6i \pm \sqrt{(10 + 6i)^2 - 120i}}{2} \\ &= \dfrac{10 + 6i \pm \sqrt{100 + 120i - 36 - 120i}}{2} \\ &= \dfrac{10 + 6i \pm \sqrt{64}}{2} \\ &= \dfrac{10 + 6i \pm 8}{2}, \end{align*}\)
josta saadaan juurisksi \(x_{1} = 9 + 3i\) ja \(x_{2} = 1+3i\)

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Etsi polynomin \(p(x) = x^3 - 2x^2 - 8ix^2 - 15x +16ix +30\) juuret.

Tehtävää voi lähteä ratkomaan, joko arvaamalla erästä ratkaisua tai etsiä mahdollisia arvausvaihtoehtoja rationaalilukujuuriehdokkailla. Rationaalilukujuuriehdokkaita haetaan etsimällä vakiotermin tekijät ja jakamalla ne korkeimman asteluvun termin kertoimen tekijöillä.

Vakiotermin tekijät ovat siis \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 5,\pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30\) ja \(x^3\):n kertoimen tekijät \(\pm 1\). Näin ollen rationaalilukujuuriehdokkaat ovat \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 5,\pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30\). Yritetään sijoittaa yhtälöön ensin vaikka ihan hatusta heitettynä \(x=2\).

\(p(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 - 8i\cdot 2^3 - 15\cdot 2 + 16i\cdot 2 + 30 = 0\).

Koska ehdokkaalla saatiin tulokseksi nolla, niin eräs yhtälön ratkaisu on \(x=2\) ja täten eräs polynomin tekijä on \((x-2)\). Jos arvaus rationaalilukujuuriehdokkaalla ei heti mene oikein, yritä seuraavaa.

Jakokulmaa taitavasti käyttäen saamme siis kirjoitettua polynomimme muotoon \((x-2)(x^2-8ix-15)\), josta toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttämällä saamme lopuiksi polynomin juuriksi \(x=3i\) tai \(x=5i\).

Vielä koontina polynomin juuret ovat \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3i\) ja \(x_{3}=5i\)

Mika on z-koordinaatti pisteessa, jonka x-koordinaatti on 2 ja y-koordinaatti on -1. Anna vastauksesi MATLABin tulostarkkuudella.
Feedback: Kunkin matriisin alkio tietyssä kohdassa vastaa aina yhden pisteen koordinaattia. Pienen kikkailun avulla voidaan piirtää esimerkiksi donitseja ja muita jänniä muotoja. Halutessasi leikkiä pintojen piirtämisellä, kannattaa tutustua hyvin komennon surf-dokumentaatioon ja etsiä vaikka Googlella valmiita koodeja aiheeseen tutustumisen tukemiseksi.

Kuinka monta lineaarisesti riippumatonta ortogonaalista kantavektoria on Gram-Schmidtin ortogonalisointiprosessilla muodostamassasi kannassa?

Mikä on muodostetun kannan kolmas kantavektori?