Title: IMP

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\). Tarkoitus on osoittaa, että \(a+b>c\).

Täydennä väitteen ristiriitatodistus kuljettamalla alimpana olevista laatikoista sopivat oikeille paikoilleen.

Todistus

Tehdään vastaoletus: [...].

Korottamalla epäyhtälö [...] potenssiin saadaan [...].

Koska [...], niin \(a^2+2ab+b^2 >a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2 >\)[...], mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan [...].

Koska [...] päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.
Also offered: a + b < c; kolmanteen; a² + b² ≤ c²; a² + b² < c²; Pythagoraan lauseesta; a² + b² ≠ c²; a² + 2ab + b² < c²; a² + 2ab + b²
A: a + b ≤ c; toiseen; a² + 2ab + b² ≤ c²; 2ab > 0; a² + b²; a² + b² = c²; vastaoletuksesta
Feedback: Todistus Tehdään vastaoletus: \(a+b \leq c\). Korottamalla epäyhtälö toiseen potenssiin saadaan \(a^2+2ab+b^2 \leq c^2\). Koska \(2ab>0\), niin \(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2>a^2+b^2\), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan \(a^2+b^2=c^2\). Koska vastaoletuksesta päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.

Q: Oletetaan, että \(n\) on jokin kokonaisluku. Tarkastellaan väitettä "jos \(3n+2\) on pariton, niin \(n\) on pariton".

Laita väitteen kontrapositiotodistuksen vaiheet järjestykseen kuljettamalla alimpana olevista laatikoista sopivat oikeille paikoilleen.

Todistus

[...]

[...]

[...], missä [...].

[...]

Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.
Also offered: Oletetaan, että n on pariton.; Oletetaan, että 3n+2 on pariton.; Oletetaan, että 3n+2 on parillinen.; Tällöin n=2k+1 jollain k ∈ ℤ.; Tällöin 3n+2=2k jollain k ∈ ℤ.; Tällöin 3n+2=2k+1 jollain k ∈ ℤ.; Nyt 3n+2=6k+5=2(3k+2)+1; 3k+2 on kokonaisluku; Siten 3n+2 on pariton.; Siten n on parillinen.; Siten n on pariton.
A: Oletetaan, että n on parillinen.; Tällöin n=2k jollain k ∈ ℤ.; Nyt 3n+2=6k+2=2(3k+1); 3k+1 on kokonaisluku; Siten 3n+2 on parillinen.
Feedback: Todistus Oletetaan, että \(n\) on parillinen. Tällöin \(n=2k\) jollain \(k \in \mathbb{Z}\). Nyt \(3n+2=6k+2=2(3k+1)\), missä \(3k+1\) on kokonaisluku. Siten \(3n+2\) on parillinen. Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.

Q: Oletetaan, että \(A, B\) ja \(C\) ovat joukkoja. Tarkastellaan väitettä "jos \(A \cap C \subset B\), niin \( (A \setminus B) \cap C = \emptyset \).

Laita väitteen kontrapositiotodistuksen vaiheet järjestykseen.

Todistus

[...]

[...]

[...]

[...]

[...]

[...]

[...]

Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.
Also offered: Oletetaan, että x ∈ (A∖B)∩C.; Oletetaan, että A∩C ⊂ B.; Siten (A∖B)∩C = ∅.
A: Oletetaan, että (A∖B)∩C ≠ ∅.; Tällöin on olemassa x ∈ (A∖B)∩C.; Nyt x ∈ A∖B ja x ∈ C.; Koska x ∈ A ja x ∈ C, niin x ∈ A∩C, ja; lisäksi nähdään, että x ∉ B.; Nyt siis x ∉ B, mutta x ∈ A∩C.; Siten A∩C ⊂ B ei päde.
Feedback: Todistus Oletetaan, että \( ( A \setminus B) \cap C \neq \emptyset\). Tällöin on olemassa \(x \in ( A \setminus B) \cap C\). Nyt \(x \in A \setminus B\) ja \(x \in C\). Edelleen \(x \in A\), mutta \(x \notin B\). Koska \(x \in A\) ja \(x \in C\), niin \(x \in A \cap C\). Nyt siis \(x \notin B\), mutta \(x \in A \cap C\). Siten \(A \cap C \subset B\) ei päde. Näin on todistettu väitteen kontrapositio, joten myös alkuperäinen väite pätee.