Title: Aiheviikko 1

Antiderivaatalla tarkoitetaan

Mikä seuraavista väitteistä ei ole totta
Feedback: Vastaus: Integraalifunktio on antiderivaatta ja määrättyä integraalia käytetään kuvaamaan pinta-alaa tai tilavuutta. Analyysin peruslause linkittää integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteen.

a) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=\sin(x)+1\) on integraalifunktio.

b) Funktiolla \(e^{x^2}\) ei ole olemassa integraalifunktiota.

c) Funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x) = \left\{\begin{align*} 2x &, \quad x\leq 1\\ 2 &, \quad x>1 \end{align*}\right.\) on olemassa integraalifunktio \(\textrm{F} = \left\{\begin{align*} x^2 &, \quad x\leq 1\\ 2x &, \quad x>1 \end{align*}\right.\)

d) Funktiolla \(f=\sin(2x)\) on olemassa yksikäsitteinen integraalifunktio.

e) Kuinka monta integraalifunktiota on funktiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)=e^x+\cos(2x)\)?

f) Olkoon \(C\) mikä tahansa reaaliluku. Tällöin \(\displaystyle D\left(\int e^x \cos(x) \, \textrm{d}x \right) = e^x \cos(x) + \textrm{C}\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. b) Epätosi. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. Aina ei voi integraalifunktiota esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. c) Epätosi. Saatu integraalifunktio ei ole jatkuva, kun \(x=1\). Tällöin se ei ole derivoituva. d) Epätosi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). e) Äärettömästi. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, mutta saman funktion eri integraalifunktiot eroavat vain vakion verran (\(+C\)). f) Epätosi. Yhtälö pätee ainoastaan, kun \(C=0\).

a) Jos funktiot \(f\) ja \(g\) ovat integroituvia välillä \([a,b]\), niin \(f+g\) on integroituva välillä \([a,b]\) ja lisäksi \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x)+g(x)\big) \, \textrm{d}x = \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x + \int_a^b g(x) \, \textrm{d}x\).

b) Olkoon funktio \(f(x)=h,\) missä \(h\in \mathbb{R}\). Tällöin \(\displaystyle \int_1^2 f(x)\, \textrm{d}x = h\).

c) Olkoon \(f(x) \geq 0\) välillä \([a,b]\), kun \(a<b\). Tällöin \(\displaystyle \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x \geq 0\).

d) Jos funktio on integroituva välillä \([0,2]\) ja \(0\leq f(x) \leq 3\) kaikille \(x\in [0,2]\), niin integraali \(\displaystyle \textrm{I} = \int_0^2 f(x) \, \textrm{d}x\) on olemassa ja \(0\leq \textrm{I} \leq 6\).

e) Mikä seuraavista luvuista on suurin?

1. \(\displaystyle \int_{100}^{100} 1000^x \, \textrm{d}x\)
2. \(5\)
3. \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 8 \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle \int_3^2 2x \, \textrm{d}x\)

Valitse suurinta lukua vastaava kirjain

f) Välillä \(\textrm{I}\) on voimassa \(\displaystyle \int af(x)\, \textrm{d}x = a\int f(x) \, \textrm{d}x\, \), kun \(a=x^2\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio. b) Tosi. Vakiofunktion integrointi. c) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. d) Tosi. Perustele itsellesi pinta-alana. e) 5. \(\int_a^a f(x) dx = 0\) ja \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\), kun \(a<b\). f) Epätosi. Et voi siirtää integraalin eteen muuttujasta \(x\) riippuvaa osaa!

a) Integraalifunktion \(\textrm{F}\) on oltava jatkuva.

b) Jos funktio \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\), niin funktio \(f\) on välttämättä jatkuva välillä \([a,b]\).
Feedback: Malliratkaisu: a) Tosi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, joten integraalifunktion on oltava derivoituva. Jotta integraalifunktio on derivoituva, se on jatkuva. b) Epätosi. Integraalifunktion olemassaolo ei kuitenkaan edellytä jatkuvuutta integroitavalta funktiolta.

a) Osamurtokehitelmä on esitys sellaiselle rationaalifunktiolle, jossa osoittajan aste on kuin nimittäjän aste.

b) Kun poimitaan integroitavasta funktiosta jokin \(x\):stä riippuva osa, jota merkitään uudella muuttujalla \(u(x)\), puhutaan

c) Kun integroitaessa jokaisen muuttujan \(x\) paikalle sijoitetaan jokin muuttujasta \(u\) riippuva lauseke, tarkoitetaan yleensä

d) Trigonometrinen sijoitus perustuu yhtälöön \(\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1\). Sijoituksen tavoitteena on päästä eroon esim. muodosta \(\sqrt{a-x^2}\) (\(a>0\) vakio), jolloin sijoitetaan \(x = \sqrt{a}\sin(u)\) tai \(x = \sqrt{a}\cos(u)\). Tällöin

\(\sqrt{a-x^2} = \sqrt{a-a\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{1-\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{\cos^2(u)} = \sqrt{a}\cos(u)\),

mikä on helppo integroida. Hyödynnetään edellä mainittua integraalin \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\) ratkaisussa. Täydennä puuttuvat kohdat.

Valitaan \(x = -\cos^2(u)\), jolloin \(\displaystyle \frac{dx}{du} = \) .

Siispä \(dx = \) \(du\).

Tällöin

 | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-\cos^2(u)}}2\cos(u)\sin(u) du \quad \big| \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{2\cos(u)\sin(u)}{1+\sqrt{\sin^2(u)}} du = 2\int \frac{\cos(u)\sin(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \frac{\cos(u)+\cos(u)\sin(u)-\cos(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\frac{\cos(u)(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}-\frac{\cos(u)}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\cos(u) - \frac{D(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\big(\sin(u)-\) \(\big)+C\)
 | takaisin sijoitus
\(=\) | \(2\) \(-2\log(|1+ \)\(|) + C\).

a) Kappale lähtee levosta ajanhetkellä \(t=0\) liikkumaan pitkin \(x\)-akselia. Ajanhetkellä \(t\) kappaleen vauhdin tiedetään olevan \(v(t) = 4t^3\).

• Ajanhetkellä \(t\) kiihtyvyys voidaan selvittää

• \(a(t) = \)

b) Antilla on kännykässään sovellus, joka mittaa reaaliajassa Antin liikkumisnopeutta. Sovelluksen mukaan Antin nopeus kotoa opiskelupaikkaan tullessa aikaisin aamulla noudatti funktiota \(v(t) = \sin(\frac{t}{10})+10\), kun yksikkönä on \(m/s\). Aikaa matkaan kului \(12\) min. Kuinka pitkä matka oli?

• \(12\) min = \(s\).

• Matka voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

• Matka on noin

Valitse oikeaa muotoa oleva osamurtokehitelmä kullekin rationaalifunktiolle.

a) | \(\displaystyle \frac{1}{x(x+6)}\) | \(=\) |
b) | \(\displaystyle \frac{3}{x^2+6x+9}\) | \(=\) |
c) | \(\displaystyle \frac{5}{x^3+3x}\) | \(=\) |
d) | \(\displaystyle \frac{500}{(2x^2+4)^2}\) | \(=\) |
e) | \(\displaystyle \frac{3}{(x-2)^4}\) | \(=\) |

a) Perustele välivaiheet alasvetovalikosta.

 | \(\displaystyle D\big(f(x)g(x)\big) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \, f'(x)g(x) = D\big(f(x)g(x)\big) - f(x)g'(x)\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = \int D\big(f(x)g(x)\big) dx - \int f(x)g'(x) dx\) |
\(\Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx\) |

b) Kun derivoit \(f(x) = x^2\), saat \(f'(x) = \) . Toisaalta kun derivoit \(g(x) = x^2+1\), saat \(g'(x) = \) . Nyt \(f'(x) = g'(x)\), vaikka \(f(x) \neq g(x)\). Kun integroit \(f'(x)\):n tai \(g'(x)\):n, saat . Tämä on muistettava integroitaessa puolittain.

HUOM! Käytä vakiona \(C\):tä tässä tehtävässä.

Täydennä seuraavan laskun puuttuvat osat.

Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\).

Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään eli

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

Siispä alasummaksi saadaan

\(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\).

Määritetään sitten yläsumma. Nyt

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan

\(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} + 4\).

Tihennetään jakoa. Tällöin

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \)

ja

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \)

Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L\) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).
Feedback: Malliratkaisu: Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \frac{2}{n}\) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\). Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli pienin arvo saavutetaan osavälin alarajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2(i-1)}{n}\). Sijoittamalla \(x_i^*\) annettuun funktioon alasummaksi saadaan \(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2(i-1)}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Määritetään sitten yläsumma. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli suurin arvo saavutetaan osavälin ylärajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2i}{n}\) eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan \(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2i}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Tihennetään jakoa. Tällöin \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3}\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3} \). Ylläolevat raja-arvot saadaan helposti laskettua ottamalla \(n^2\) osoittajassa yhteiseksi tekijäksi. Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).

a) Derivoinnin ketjusääntöön perustuen tiedämme, että \(\displaystyle \int f\big(g(x)\big)g'(x) dx = F\big(g(x)\big)+C\). Täydennä edellä mainittua kaavaa hyödyntäen puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int g'(x) e^{g(x)} dx = \)

\(\displaystyle \int \big(g(x)\big)^a\) \(\displaystyle dx = \frac{1}{a+1} \big(g(x)\big)^{a+1}+C, \quad a\neq -1\).

\(\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \) , \(\quad g(x)\neq 0\).

HUOM! Itseisarvon saat syöttämällä esim. |x|. Luonnollisen logaritmin saat esim. log(x). Funktion g(x) derivaatan kirjoittamalla g'(x). Käytä vakiona \(C\):tä.

b) Myös muuttujanvaihto (=sijoitusmenetelmä) perustuu ketjusääntöön.

Täydennä.

Suora sijoitus: \(u = u(x)\)

\(\displaystyle \int f \left( u(x) \right) u'(x) \,dx= \int \) \(du\)

Käänteinen sijoitus: \(x=x(u)\)

\(\displaystyle \int \) \(\displaystyle dx = \int f \left( x(u) \right) x'(u) \, du\)

Determine the following integral functions.VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot.

For the natural logarithm, use the command ln(a), e.g. ln(2). The base of the natural logarithm (Euler's number) should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku (Neperin luku) e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, you may apply the following formula, for example: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Determine the following integral functions. For the constant of integration, you can use the letter C, for example. VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Tarkastellaan määrätyn integraalin \[ \displaystyle \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] tarkan arvon laskemista sijoituksen \(t=e^x\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=e^x\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Mitkä ovat muuttujan \(t\) integrointirajat?

\(\textrm{c) }\) Mikä on määrätyn integraalin tarkka arvo?

Consider the evaluation of the exact value for the definite integral \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] with the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=e^x\).

\(\textrm{b) }\) What are the limits of the variable \(t\) for integration?

\(\textrm{c) }\) What is the exact value of the definite integral?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(t\) integrointirajat ovat \(\textrm{b) }\) The limits of the variable \(t\) for integration: \(\le t \le\).

\(\textrm{c) }\) Määrätyn integraalin tarkka arvo on \(\textrm{c) }\) The exact value of the definite integral is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Integroimisrajat: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*} Model solution: \[ \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} e^{x} &= t\\ x &= \ln{t}\\ \mathrm{d}x &= \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. \end{align*} Limits: \begin{alignat*}{2} x&=0&\quad t&=e^0=1\\ x&=\ln([value])&\quad t&=e^{\ln([value])}=[value]. \end{alignat*} \begin{align*} \int\limits_{0}^{\ln([value])} \frac{[value]}{e^{-x}+[value]}\,\mathrm{d}x &= \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{t^{-1}+[value]}\cdot\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{1}^{[value]}\frac{[value]}{[value]t+1}\,\mathrm{d}t \\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{\,[value]}[value]\ln\left|[value]t+1\right|=[value]\ln([value])-[value]\ln([value])\\ &=[value]\ln([value]) \end{align*}

Tarkastellaan funktion \[ \displaystyle f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] integraalifunktioiden määräämistä sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) avulla.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio sijoituksen \(t=\sqrt{x}\) jälkeen.

\(\textrm{b) }\) Määrää funktion \(f(x)\) kaikki integraalifunktiot. Merkitse \(C\) yleiseksi integrointivakioksi.

\(\textrm{c) }\) Määrää sellainen funktion \(f(x)\) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta.

Consider finding integral functions of the function \[ f(x) = \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}} \] with the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{a) }\) Write the expression for the function depending on the variable \(t\) after the substitution \(t=\sqrt{x}\).

\(\textrm{b) }\) Find all integral functions of the function \(f(x)\). Denote by \(C\) the general integration constant.

\(\textrm{c) }\) Find the integral function of the function \(f(x)\) the graph of which is passing through the origin \((0,0)\).

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(t\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(t\) is .

\(\textrm{b) }\) Kaikki integraalifunktiot ovat \(\textrm{b) }\) All integral functions are .

\(\textrm{c) }\) Integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta, on \(\textrm{c) }\) The integral function the graph of which is passing through the origin \((0,0)\) is .
Feedback: Malliratkaisu: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Sijoitetaan \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} Integraalifunktion kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta: \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Siis \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \] Model solution: \[ F(x)=\int\frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x \] Substitute \begin{align*} x^{\tfrac12} &= t\\ x &= t^2, t\ge0\\ \mathrm{d}x &= 2t \,\mathrm{d}t. \end{align*} \begin{align*} F(x)=\int \frac{[value]}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+[value])^{[value]}}\,\mathrm{d}x &= \int \frac{[value]}{t(t+[value])^{[value]}}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \int [value](t+[value])^{[value]}\,\mathrm{d}t \\ &=[value](t+[value])^{[value]}+C =[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+C \end{align*} The graph of the integral function is passing through the origin \((0,0)\): \begin{align*} F(0) &= 0\\ [value](\sqrt{0}+[value])^{[value]}+C &= 0\\ C &=[value] . \end{align*} Hence \[ F(x)=[value](\sqrt{x}+[value])^{[value]}+[value]. \]

CalculateIntegroi

\[\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx\]

using the substitution \(u = [value]\).käyttäen sijoitusta \(u = [value]\).

\(\mathrm{d}u =\) | \(\mathrm{d}x\)
The new lower limit: Uusi alaraja: |
The new upper limit: Uusi yläraja: |
\(\displaystyle \int\limits_0^1 [value][value] \, dx =\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We notice that dismissing the constant \(\frac{1}{[value]}\) the integralHuomataan, että \[[value]\] is of the formon vakiokerrointa \(\frac{1}{[value]}\) vaille muotoa \[\int_{a}^{b} g'(x)\,f(g(x))\,\mathrm{d}x.\] Also, since \(u = g(x)\) and \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \).ja että \(u = g(x)\) ja \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = [value] \implies \mathrm{d}u = [value]\,\mathrm{d}x \). For the new lower limit we get \(g(0) = [value]\) and for the upper limit \(g(1) = [value]\).Uudeksi alarajaksi saadaan \(g(0) = [value]\) ja ylärajaksi \(g(1) = [value]\). Now the integral can be expressed in the formNyt integraali voidaan kirjoittaa muodossa \begin{align*} \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u &= \frac{1}{[value]}\int_{[value]}^{[value]}u^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{[value]}\cdot\frac{2}{3}\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}u^{\frac{3}{2}}\\ &=[value]\left([value]^{\frac{3}{2}}-[value]^{\frac{3}{2}} \right) \end{align*}

Osittaisintegrointikaava määrätylle integraalille on

\[\displaystyle \int\limits_a^b u(x)v'(x)\,dx = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Sovella kaavaa määrätyn integraalin

\[\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x\]

laskemiseen. Miten valitset funktion \(u(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(v(x)\) sijoitusvaiheessa ja toisessa integraalissa?

Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2).

The integration by parts formula for the definite integral is \[\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = {\Bigl/}_{\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x.\]

Apply the formula for solving the definite integral \[\int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x.\] What is your choice for the function \(u(x)\) in the first integral? What is the function \(v(x)\) in the substitution and in the second integral?

The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3)

\(u(x)=\) , \(v(x)=\) .

Mikä on määrätyn integraalin arvo? Anna vastauksesi tarkkana arvona.

What is the value of the definite integral? Give your answer as exact value.

\(\displaystyle \int\limits_1^{[value]} [value]\,\mathrm{d}x=\) .
Feedback: Malliratkaisu: The model solution: \(u(x)=\ln(x)\), \(v(x)=[value]\). \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\int\limits_1^{[value]} [value]\,dx =\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot \underbrace{[value]}_{v'}\,dx \stackrel{\text{os.int.}}{=}{\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}\underbrace{\ln(x)}_u\cdot\underbrace{[value]}_{v} -\int\limits_1^{[value]}\underbrace{\frac1x}_{u'}\cdot\underbrace{[value]}_{v}\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}[value]\ln(x)-\int\limits_1^{[value]\,} [value]\,dx ={\Bigl/}_{\!\!1}^{[value]\,}([value]\ln(x)-[value]) =[value] \end{align*}

Osittaisintegrointikaava integraalifunktion määrittämiseksi on

\[\displaystyle \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \]

Sovella kaavaa integraalifunktion

\[\displaystyle \int x\, [value]\,\mathrm{d}x \]

määrittämiseen.

Miten valitset funktion \(v'(x)\) ensimmäisessä integraalissa? Mikä on funktio \(u'(x)\) toisessa integraalissa? Sini merkitään sin, esim. sin(0). Kosini merkitään cos, esim. cos(1).

The integration by parts formula for determining the integral function is \[ \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, \mathrm{d}x. \] Apply the formula for determining the integral function \[ \int [value]\,\mathrm{d}x. \]

What is your choice for the function \(v'(x)\) in the first integral? What is the function \(u'(x)\) in the second integral? Sine is written as sin, e.g. sin(0). Cosine is written as cos, e.g. cos(1).

\(v'(x)=\) , \(u'(x)=\)

Mikä on integraalifunktion lauseke?

What is the expression of the integral function?

Integraalifunktio on

The integral function is

.
Feedback: Malliratkaisu: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{os.int.}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{os.int.}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \] Model solution: \(v'(x)=\cos(x+[value])\), \(u'(x)=1\) \[ \begin{align*} \int\underbrace{x}_u\underbrace{\cos(x+[value])}_{v'}\,\mathrm{d}x &\stackrel{\text{int. by parts}}{=} \underbrace{x}_u\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\sin(x+[value])}_{v}\,\mathrm{d}x\\ &\stackrel{\hphantom{\text{int. by parts}}}=x\sin(x+[value])+\cos(x+[value])+C \end{align*} \]

VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä):

a) Osamurtokehitelmä on esitys sellaiselle rationaalifunktiolle, jossa osoittajan aste on kuin nimittäjän aste.

b) Kun poimitaan integroitavasta funktiosta jokin \(x\):stä riippuva osa, jota merkitään uudella muuttujalla \(u(x)\), puhutaan

c) Kun integroitaessa jokaisen muuttujan \(x\) paikalle sijoitetaan jokin muuttujasta \(u\) riippuva lauseke, tarkoitetaan yleensä

d) Trigonometrinen sijoitus perustuu yhtälöön \(\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1\). Sijoituksen tavoitteena on päästä eroon esim. muodosta \(\sqrt{a-x^2}\) (\(a>0\) vakio), jolloin sijoitetaan \(x = \sqrt{a}\sin(u)\) tai \(x = \sqrt{a}\cos(u)\). Tällöin

\(\sqrt{a-x^2} = \sqrt{a-a\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{1-\sin^2(u)} = \sqrt{a}\sqrt{\cos^2(u)} = \sqrt{a}\cos(u)\),

mikä on helppo integroida. Hyödynnetään edellä mainittua integraalin \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\) ratkaisussa. Täydennä puuttuvat kohdat.

Valitaan \(x = -\cos^2(u)\), jolloin \(\displaystyle \frac{dx}{du} = \) .

Siispä \(dx = \) \(du\).

Tällöin

 | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1+x}} dx\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-\cos^2(u)}}2\cos(u)\sin(u) du \quad \big| \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1\)
\(=\) | \(\displaystyle \int \frac{2\cos(u)\sin(u)}{1+\sqrt{\sin^2(u)}} du = 2\int \frac{\cos(u)\sin(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \frac{\cos(u)+\cos(u)\sin(u)-\cos(u)}{1+\sin(u)} du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\frac{\cos(u)(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}-\frac{\cos(u)}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\int \left(\cos(u) - \frac{D(1+\sin(u))}{1+\sin(u)}\right) du\)
\(=\) | \(\displaystyle 2\big(\sin(u)-\) \(\big)+C\)
 | takaisin sijoitus
\(=\) | \(2\) \(-2\log(|1+ \)\(|) + C\).