Title: Tilastollinen testaaminen

Kaksi eri opetusryhmää A ja B  tekivät saman matematiikan kokeen. Tulokset ovat Moodle-sivun kansiossa  Aiheviikko 6, tehtävä 1, datat . Ryhmän A tulokset ovat tiedostossa  data[value]A.csv ja ryhmän B tulokset  tiedostossa  data[value]B.csv. Tulokset oletetaan normaalijakautuneiksi siten, että jakaumilla on samat, mutta tuntemattomat varianssit. Testaa, onko ryhmillä sama koetulosten odotusarvo 0.01 riskitasolla. Nollahypoteesi on  \(H_0:\ \mu_A=\mu_B\) ja vaihtoehtoinen hypoteesi on tässä tilanteessa \(H_1: \ \mu_A\neq \mu_B\).

Tee tehtävä sopivan tietokoneohjelman avulla. Ohjeet ovat Matlabin käyttöön, tehtävät pystyy tekemään myös Excelillä tai R:llä. Lataa datatiedostot ja siirrä ne Matlabin oletuskansioon. Tiedostojen lukeminen Matlabin muuttujaksi tästä kansiosta onnistuu komennolla  dataA=csvread('data[value]A.csv');   dataB=csvread('data[value]B.csv');  Laskemisessa tarvittavat luvut saat komennoilla mean, var, tcdf, size.  Ohjeita esim. tästä.

Vastaa seuraaviin kysymyksiin 4 desimaalin tarkkuudella. Ensimmäiset tulokset ovat alkutietoja, joita tarvitset tehtävän seuraavissa vaiheissa ja ovat siis myös vihjeitä tehtävän suorittamiseen. Matlabin tulokset saa 4 desimaaliseen muotoon antamalla alussa komennon format

a) Mitkä ovat ryhmien tulosten otoskeskiarvot.

\(\overline{x}_A = \) |  |  |
\(\overline{x}_B = \) |  |  |

b) Mitkä ovat otosvarianssit \(s^2_A,\ s^2_B\) ja niistä laskettu yhteisotosvarianssi \(S^2\)

\(s^2_A  =\) |  |  |
\(s^2_B  = \) |  |  |
\(S^2 = \) |  |  |

c) Laske testiin liittyvä testisuureen \(t\) arvo ja \(p-\)arvo.

\(t=\) |  |  |
\(p=\) |  |  |

d) Mikä on johtopäätös? Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa, voit siis tarkistaa muiden kohtien vastauksia, jos jätät tämän tyhjäksi.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, ryhmien tulosten odotusarvot ovat samat,
\(1=H_1\) valitaan, ryhmien tulosten odotusarvot eivät ole samat.

Vastaus = |  |  |
Feedback: Seuraavilla Matlabin komennoilla saat otoskeskiarvot ja otosvarianssit dataA=load('data[value]A.csv') dataB=load('data[value]B.csv') mA=mean(dataA) [value] mB=mean(dataB) [value] vA=var(dataA) [value] vB=var(dataB) [value] dataA:ssa on \(n=[value]\) koetulosta ja dataB:ssä on \(m=[value]\) koetulosta . Nämä saadaan Matlabilla n=size(dataA) m=size(dataB) Yhteisotosvarianssi saadaan kaavalla \[S^2=\dfrac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}\] ja Matlabilla S2=((n-1)*vA+(m-1)*vB)/(n+m-2) [value] Hypoteesiin liittyvä \(t-\)testisuure on \[T = \dfrac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S^2/n+S^2/m}}\sim t(n+m-2).\] Testisuureen arvo Matlabilla saadaan t=(mA-mB)/(sqrt(S2/n + S2/m)) [value] Jos ryhmien A ja B järjestystä vaihdetaan saadaan testisuureeksi vastaluku [value]. Koska luonnollisesti testi on sama järjestyksestä riippumatta, molemmat vastaukset on hyväksytty oikeaksi. Testin \(p-\)arvo tässä kaksisuuntaisessa testissä on todennäköisyys \(2\cdot \textrm{min}\{ P(T<[value]), 1- P(T<[value])\}\). Nyt todennäköisyys \(P(T<[value])=[value]\) on todennäköisyyksistä pienempi, joten \(p-\)arvo on [value]. Koska \(p-\)arvo \([value]\) [value] \(0.01\), valitaan hypoteesi \(H_[value]\): eri opetusryhmien tulokset [value] samat.

Tuotteen tietyn mittaustuloksen on tiedetty noudattavan normaalijakaumaa \( \mathrm{N}(\mu,[value])\). Nyt tuotantoprosessista otetussa [value] kappaleen näytteessä on otosvarianssin havaittu suurentuneen ollen \(s^2=[value]\). Voisiko tämä poikkeama johtua siitä, että prosessissa on jokin mittaustulosten hajontaa lisäävä muutos vai onko tämä poikkeama edelleen normaalia vaihtelua. Testaa nollahypoteesia \(H_0: \ \sigma^2=[value]\) vaihtoehtoista hypoteesia \(H_1: \ \sigma^2>[value]\) vastaan riskitasolla 0.10. Vastaukset 3 desimaalin tarkkuudella.

a) Mikä on testin kriittisen alueen \(C\) alaraja (ylärajaa ei ole)
C =   [ , \(\infty\)  )

b) Mitkä ovat testiin liittyvä testisuureen \(w\) arvo ja \(p\)-arvo (\(p-\)arvoa ei saa tarkasti taulukoiden avulla)

\(w=\) |  |  |
\(p=\) |  |  |

c) Mikä on johtopäätös? Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa, voit siis tarkistaa muiden kohtien vastauksia.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, varianssi ei ole muuttunut,
\(1=H_1\) valitaan, mittaustulosten varianssi on kasvanut, jotakin on muuttunut tuotantoprosessissa.

Vastaus = |  |  |
Feedback: a) Testattaessa satunnaismuuttujan \(X\sim\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)\) varianssia koskevaa hypoteesia \(H_0: \ \sigma^2=[value]\) vaihtoehtoista hypoteesia \(H_1: \ \sigma^2>[value]\) vastaan käytetään testisuuretta \[W=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)=\chi^2([value])\] missä \(n\) on otoskoko, \(s^2\) on otosvarianssi ja \(\sigma^2\) on varianssi. Tämän muotoisen vastahypoteesin kohdalla riskitasolla 0.10 kriittisen alueen alaraja \(w_1\) on luku, joka toteuttaa ehdon \(P(W<w_1)=0.90\) ja taulukoista tai Matlabilla komennolla \(\texttt{chi2inv(0.90, [value]) }\) saadaan arvoksi \(w_1=[value]\). Testisuureen arvoksi nollahypoteesin ollessa tosi saadaan lukujen perusteella \[w=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}= \dfrac{[value]\cdot[value]}{[value]}=[value]\] joka ei kuulu kriittiselle alueelle. Siis nollahypoteesi jää voimaan ja varianssi ei ole muuttunut. Saman lopputuloksen voi päätellä myös \(p-\)arvon avulla. \(p-\)arvo toteuttaa ehdon \(p=P(W>[value])=[value]\) ja se saadaan Matlabilla komennolla \(\texttt {1-chi2cdf([value], [value])} \). \(p-\)arvo on suurempi kuin valittu riskitaso, joten nollahypoteesi jää voimaan.

Valmistaja ilmoittaa, että yhden muropaketin paino \(X\sim \mathrm{N}(500, 10^2).\)  Asiakas väittää, että muropakettien keksimääräinen paino on alle pakkauksessa ilmoitetun painon 500 g.  Asiaa testataan punnitsemalla 25 muropakettia ja saadaan otoskeskiarvoksi \(496\)g. Onko asiakas oikeassa?

Koska asiakas väittää painon olevan alle 500 g, tutkitaan hypoteeseja \[H_0 :\  \mu = 500,\ \ \ H_1 :\  \mu < 500\]. Tutki asiaa kahdella eri  riskitasolla \(\alpha=0.05\) ja \(\alpha=0.01\). Käytä testisuureena suoraan otoskeskiarvoa.

a) Mikä on testiin liittyvä  \(p\)-arvo neljän desimaalin tarkkuudella

\(p=\) |  |  |

b) Mikä on johtopäätös? Näissä kohdissa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa, voit siis tarkistaa muiden kohtien vastauksia, jos jätät tämän kohdan tyhjäksi.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, paketin painon odotusarvo on 500g.
\(1=H_1\) valitaan, paketin painon odotusarvo on alle 500 g.

Kun \(\alpha=0.05\) : |  |  |
Kun \(\alpha=0.01\) : |  |  |
Feedback: Nyt otoskeskiarvo 25 tuotteen otoksessa \[\overline{X}\sim \mathrm{N}\left(500, \frac{100}{25}\right) = \mathrm{N}(500, 2^2)\]. Koska asiakas väittää painon olevan alle 500 g, tutkitaan hypoteeseja \[H_0 :\ \mu = 500,\ \ \ H_1 :\ \mu < 500\] Kun käytetään testisuureena otoskeskiarvoa, sen arvo tässä otoksessa on annettu \(\overline{x}=496\). Vastahypoteesin muodosta johtuen testin \(p-\)arvo \(=P(\overline{X}<496)=[value]\), joka saadaan Matlabilla \(\texttt{normcdf(496,500,2)}\) tai normeeraamalla \begin{eqnarray*} P(\overline{X}<496)&=& P\left(\dfrac{\overline{X}-500}{2}<\dfrac{496-500}{2}\right)= \Phi(-2) = 1-\Phi(2) = [value] \end{eqnarray*} Kun \(\alpha=0.05\), on \(p-\)arvo \([value]<0.05\) ja \(H_0\) hylätään. Muropaketin painon odotusarvo on alle 500g. Asiakas olisi tämän perusteella oikeassa oletuksessaan. Kun \(\alpha=0.01\), on \(p-\)arvo \([value]>0.01\) ja \(H_0\) jää voimaan. Muropaketin painon odotusarvo on 500g ja otoksen perusteella laskettu otoskeskiarvo on normaali arvo. Tämä tehtävä antaa esimerkin siitä, miten riskitason valinta voi vaikuttaa johtopäätökseen.

Henkilöt A, B ja C  aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A:n saapumistodennäköisyys on \([value]\), B:n \([value]\) ja C:n \([value]\). Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella

a)

Vastaus:

b)

Vastaus:

c)

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\)="A tulee paikalle", \(B\)="B tulee paikalle", \(C\)="C tulee paikalle", \(D\)="D tulee paikalle". Nyt \(P(A)=[value],\ P(B)=[value], P(C)=[value]\). a)

Tarkastellaan aloitusviikolla tehtyä Buffonin neulakoetta. Olkoon neulan pituus \(l=1\) ja välin pituus \(t=1\).

Aloitusviikolla kerätty data löytyy Moodlesta aiheviikon 1 kohdalta. Kokeessa, missä neulan pituus oli sama kuin suorien etäisyys toisistaan, heitettiin neulaa yhteensä 2974 kertaa ja näistä 1969 osui viivaan.

a) Testaa nollahypoteesia \(H_0: p = \frac{2}{\pi}\) riskitasolla \(\alpha = 0.01\). Hyödynnä tässä kohtaa kaikkia heittoja. Tässä \(p\) on binomijakauman parametri sille, että neula osuu viivaan. Laske kriittinen alue hyödyntäen binomijakaumaa, että sen normaaliaproksimaatiota.

b) Eräs Prime-ryhmä heitti neulaa 100 kertaa ja niistä 67 osui viivaan. Tee tälle vastaava testi.

c) Tee testi vielä kerran, mutta käytä datana oman Prime-ryhmän heittojen tuloksia.

d) Mitä yleisesti voidaan sanoa tilastollisesta testaamisesta ja sen onnistumisesta, kun otoskoko kasvaa?

Anna vastaukset neljän desimaalin tarkkuudella.

a) Määritä piste-estimaatti parametrille \(p\), testin \(p\)-arvo sekä kriittisten alueiden rajat käytettäessä binomijakaumaa ja käytettäsessä normaalijakaumaa.

\(\hat{p} = \)

\(p\)-arvo =

\(C_{\text{bin}} = \big(-\infty,\) \(\big) \cup \big(\) , \(\infty \big)\)

\(C_{\text{norm}} = \big(-\infty,\) \(\big) \cup \big(\) , \(\infty \big)\)

b) Määritä piste-estimaatti parametrille \(p\), testin \(p\)-arvo sekä kriittisten alueiden rajat käytettäessä binomijakaumaa ja käytettäsessä normaalijakaumaa.

\(\hat{p} = \)

\(p\)-arvo =

\(C_{\text{bin}} = \big(-\infty,\) \(\big) \cup \big(\) , \(\infty \big)\)

\(C_{\text{norm}} = \big(-\infty,\) \(\big) \cup \big(\) , \(\infty \big)\)

c) Olen tehnyt tehtävän c-kohdan (pdf palautus)

d) Olen tehnyt tehtävän d-kohdan (pdf palautus)
Feedback: a) alpha = 0.01; p = 2/pi; n = 2974; osui = 1969; pest = osui/n testinparvo = 2*(min(binocdf(osui,n,p),binocdf(osui,n,p,'upper'))) CIbino = binoinv([alpha/2 1-alpha/2],n,p)/n % kriittinen alue on tämän komplementti CInorm = norminv([alpha/2 1-alpha/2],p,sqrt(p*(1-p)/n)) % kriittinen alue on tämän komplementti b) alpha = 0.01; p = 2/pi; n = 100; osui = 67; pest = osui/n testinparvo = 2*(min(binocdf(osui,n,p),binocdf(osui,n,p,'upper'))) CIbino = binoinv([alpha/2 1-alpha/2],n,p)/n % kriittinen alue on tämän komplementti CInorm = norminv([alpha/2 1-alpha/2],p,sqrt(p*(1-p)/n)) % kriittinen alue on tämän komplementti d) -kohtaan pohdintaa siitä, että kun otos on suurempi, niin pystymme havaitsemaan pienempiä eroja tilastollisesti merkittävästi. B-kohdassa pest on suurempi kuin A-kohdassa, mutta B-kohdassa se ei osu kriittiselle alueelle, kuten A-kohdassa. Binomijakauman normaalijakauma approksimaatiosta on hyvä kun n on iso. Kuitenkin pienillä n:n arvoilla nämä poikkeavat suuresti toisista. Toinen on symmetrinen ja toinen ei. Miten tämä vaikuttaa kriittisen alueen määrittämiseen? Miten kriittinenalue tulisi määritellä, jos siitä haluttaisiin mahdollisimman iso?

Luentomateriaalissa ei ole esitelty testiä binomijakauman parametriä \(p\) koskevalle hypoteesille, mutta luottamusvälin yhteydessä esitettyjen tuloksien avulla voidaan muodostaa testi tähän tarkoitukseen. Testauksen idea voidaan pelkistetysti esittää siten, että muodostetaan nollahypoteesin mukainen luottamusväli ja nollahypoteesi jää voimaan, kun otossuureen arvo kuuluu luottamusvälille. Kaksisuuntaisessa testissä kriittinen alue = luottamusvälin komplementti, yksisuuntaisessa testissä valitaan kriittinen alue valitaan sopivasti vain jakauman toisesta reunasta.

Viime vaaleissa puoleen kannatus on ollut [value] (=[value]%). Nyt 500 hengen mielipidetiedustelussa kannatus oli  [value] (=[value]%). Voidaanko tämän perusteella tulkita, että kannatus on noussut.

Kyselytutkimuksen  500 vastaajan yhteistulos \(X \sim\mathrm{Bin}(500,p)\). Jos otetetaan nollahypoteesi \(H_0: p=[value]\) oikeaksi, niin parametrin \(p\) estimaattori suhteellinen osuus \(\hat{P}=\dfrac{X}{500}\) noudattaa keskeisen raja-arvolauseen mukaan likimäärin normaalijakaumaa. Käytä tätä testisuureena.

Tutki nollahypoteesia \(H_0: p=[value]\) vaihtoehtoista hypoteesia \(H_1: p>[value]\)  vastaan  riskitasolla \(\alpha=0.05\).  Vastaukset 3 desimaalin tarkkuudella.

a) Kriittinen alue \(C\) =   [ , 1 ]

b) Testiin liittyvä \(p-\)arvo =

c) Mikä on johtopäätös? Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, kannatus ei ole kasvanut
\(1=H_1\) valitaan, kannatus on kasvanut

Vastaus = |  |  |
Feedback: Kyselytutkimuksen 500 vastaajan yhteistulos \(X \sim\mathrm{Bin}(500,p)\). Jos otetetaan nollahypoteesi \(H_0: p=[value]\) oikeaksi, niin parametrin \(p\) estimaattori suhteellinen osuus \(\hat{P}=\dfrac{X}{500}\) noudattaa keskeisen raja-arvolauseen mukaan likimäärin normaalijakaumaa \[\hat{P}\sim\mathrm{N}\left(p, \dfrac{p(1-p)}{n}\right) = \mathrm{N}\left([value], \dfrac{[value](1-[value])}{500}\right)=\mathrm{N}\left([value], [value]^2\right)\] Kriittisen alueen alarajalla \(c\) todennäköisyys \(P(\hat{P}>c)=0.05\), josta saadaan ratkaistua \(c=[value]\). Matlabilla tämä saadaan \(\texttt{norminv(0.95,[value],sqrt([value]*(1-[value])/500))}\) \(p-\)arvo puolestaan on todennäköisyys \(p=P(\hat{P}>[value])=1-P(\hat{P}\leq[value]) = [value]\). Matlabilla \(\texttt{1-normcdf([value],[value],sqrt([value]*(1-[value])/500))}\) Koska \(p-\)arvo \(=[value] < 0.05\), nollahypoteesi hylätään ja kannatus on siis kasvanut.

Valmistaja ilmoittaa, että yhden muropaketin paino \(X\sim \mathrm{N}([value], [value]^2)\). Asiakas väittää, että muropakettien keksimääräinen paino on alle pakkauksessa ilmoitetun painon [value] g. Asiaa testataan punnitsemalla [value] muropakettia ja saadaan otoskeskiarvoksi [value] g. Onko asiakas oikeassa?

Koska asiakas väittää painon olevan alle [value] g, tutkitaan hypoteeseja \[H_0 : \mu = 500,\ \ \ H_1 : \mu < 500\]. Tutki asiaa kahdella eri riskitasolla \(\alpha=0.05\) ja \(\alpha=0.01\). Käytä testisuureena suoraan otoskeskiarvoa.

Mikä on testiin liittyvä \(p\)-arvo neljän desimaalin tarkkuudella.

\(p = \)

Vastaa ovatko seuraavat väitteet epätosia =0 vai tosia = 1.

Jokaisessa kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa.

a) Kriittisen alueen todennäköisyys on \(\alpha\) =riskitaso.

b) Jos riskitasoa suurennetaan, niin virheellisen johtopäätöksen : '\(H_0\) hylätään vaikka se olisi tosi'  kasvaa.

c) Jos riskitasoa pienennetään, myös testin \(p-\) arvo pienenee.

d) Jos testissä käytettävän otoksen kokoa kasvatetaan, niin virheellisten johtopäätösten todennäköisyys tavallisesti pienenee.

e) Jos testissä käytettävän otoksen kokoa kasvatetaan, niin \(p-\)arvo pienenee.

f) Normaalijakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvoa testattaessa varianssin tunteminen pienentää kriittisen alueen kokoa.

g) 2- suuntaisessa testissä kriittinen alue on kaksiosainen. Nämä kaksi osaa ovat aina symmetrisesti testisuureen jakauman reunoilla.

h) On mahdollista, että \(p-\)arvo <0.

a) |  |  |
b) |  |  |
c) |  |  |
d) |  |  |
e) |  |  |

f) |  |  |
g) |  |  |
h) |  |  |
Feedback: Tosia ovat väitteet a,b,d, ja f.

Tuotteen käyttöikää \(X\) mitattiin [value] kappaleen otoksella. Mittaustuloksien otoskeskiarvoksi saatiin \(\overline{x}=[value]\) tuntia ja otoskeskihajonnaksi \(s=[value]\). Oletetaan, että käyttöikä on  normaalijakautunut satunnaismuuttuja. Vastaukset 1 desimaalin tarkkuudella.

a) Mikä on odotusarvon 99%:n luottamusväli
Luottamusväli =   [ ,   ]

b) Miten luottamusväli muuttuu, jos oletettaisiin, että saatu otoskeskihajonta olisikin tarkka arvio keskihajonnasta eli \(\sigma=[value]\).

Luottamusväli =   [ ,   ]
Feedback: Olkoon \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) otos satunnaismuuttujasta \(X\sim\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)\), jonka varianssi on tuntematon. Tällöin odotusarvon \(\mu\) \(100(1-\alpha)~\%\):n luottamusväli on \[\left[\overline{x}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right].\] Mittaustuloksien otoskeskiarvoksi saatiin \(\overline{x}=[value]\) tuntia ja otoskeskihajonnaksi \(s=[value]\). 99%:n luottamustasolla arvoksi \(\alpha=.01\), jolloin \(t_{\alpha/2}=t_0.005=[value]\). Kaavaan sijoittamalla saadaan \[\left[\overline{x}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right] = \left[[value]-[value]\frac{[value]}{\sqrt{[value]}},[value]+[value]\frac{[value]}{\sqrt{[value]}}\right] = [[value], [value]]\] Olkoon \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) otos satunnaismuuttujasta \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\), jossa varianssi \(\sigma^2\) tunnetaan. Tällöin odotusarvon \(\mu\) \(100(1-\alpha)~\%\):n luottamusväli on \[\left[\overline{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].\] Kyseessä on muuten sama tulos, mutta käytetään normaalijakaumasta saatua arvoa \(z_{\alpha/2}=z_0.005=[value]\) ja keskihajontaa \(sigma\). Kaavaan sijoittamalla saadaan \[\left[\overline{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[[value]-[value]\frac{[value]}{\sqrt{[value]}},[value]+[value]\frac{[value]}{\sqrt{[value]}}\right] = [[value], [value]]\]

Noppaa on heitetty 100 kertaa ja tulosten summaksi on saatu [value]. Onko noppa kunnollinen siinä mielessä, että se antaa keskimäärin oikeita tuloksia? Tutki asiaa keskeisen raja-arvolauseen avulla, kuinka harvinainen tulos [value] tai sitä suurempi arvo on? Käytä 0.05 riskitasoa.

Vastaa seuraaviin tarkkana arvona tai 3 desimaalin tarkkuudella. Ensimmäiset tulokset ovat alkutietoja, joita tarvitset tehtävän seuraavissa vaiheissa ja ovat siis myös vihjeitä tehtävän suorittamiseen.

a) Mikä on yhden nopanheiton tuloksen \(X_i\) odotusarvo ja varianssi.  Mieti, mitä jakaumaa tulos noudattaa.

\(E(X_i) = \) |  |  |
\(Var(X_i) = \) |  |  |

b) Kun lasketaan 100 tulosta yhteen, saadaan satunnaismuuttuja \(X\). Mikä on summan odotusarvo ja varianssi. Mikä on summamuuttujan jakauma.

\(E(X) = \) |  |  |
\(Var(X) = \) |  |  |

c) Kun noppa on kunnollinen, on voimassa nollahypoteesi \(H_0:\ \mu=E(X)\) (käytä tässä edellä saatua arvoa).  Vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi asetetaan tässä tilanteessa \(H_1: \ \mu> E(X)\).  Laske testiin liittyvä \(p-\)arvo kolmen desimaalin tarkkuudella

\(p = \) |  |  |

d) Onko noppa testin perusteella kunnollinen. Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa.  Vastaa
\( 0=H_0\) jää voimaan, noppa on kunnollinen,
\(1=H_1\) valitaan, noppa ei ole kunnollinen.

Vastaus = |  |  |
Feedback: Kun \(X_i\)='Nopanheiton i tulos', niin \(X_i\sim\mathrm{Tasd}(1,6)\) ja \(f(x_i)=\dfrac{1}{6},\ x_i\in\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Nyt \[E(X_i)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}\] ja \[E(X_i^2)=\dfrac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=\dfrac{91}{6}\] ja edelleen \[\mathrm{Var}(X_i)=\dfrac{91}{6}-\left(\dfrac{7}{2} \right)^2=\dfrac{35}{12}\] Silmälukujen summa 100 heitossa \(=X\) on keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalisti jakautunut \[X=\sum\limits_{i=1}^{100} X_i \stackrel{.}{\sim}\mathrm{N}\left(100\cdot\dfrac{7}{2} ,100\cdot \dfrac{35}{12}\right) = \mathrm{N}(350, 17.078^2)\] Tutkitaan nolla-hypoteesia \(H_0: \mu = 350\) ja valitaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi \(H_1: \mu > 350\). \(p-\)arvo on todennäköisyys \[P(X \geq [value]) = 1- P\left(\underbrace{\dfrac{X-350}{[value]}}_{\sim N(0,1)}\leq\dfrac{[value]-350}{[value]}\right)=1-P( Z\leq [value])= 1-[value] =[value]\] Matlabilla sama saadaan \(\texttt{1-normcdf([value],350,17.078)}\). Tämä saatu todennäköisyys \([value] < 0.05\), joka oli testin riskitaso. Näin nollahypoteesi hylätään ja noppa ei ole kunnollinen, vaan se antaa keskimääräistä suurempia silmälukuja.

Katukauppias on todennut, että ohikulkija ostaa 5 € maksavan tuotteen, jos hänellä on ainakin 10 € käteistä rahaa mukanaan. Hän kysyy 5 ohikulkijalta heidän rahoistaan ja saa vastaukset [value],[value],[value],[value] ja [value]  €.  Onko ohikulkijoilla keskimäärin 10 € rahaa mukanaan eli onko tuotteen hinta kohdallaan vai pitäisikö hintaa laskea. Kun \(H_0:\mu=10\), niin mikä on sopiva vastahypoteesi tässä tilanteessa? Tutki asiaa 5%:n riskitasolla. Oletetaan, että rahamäärä \(X \)noudattaa normaalijakaumaa.

Vastaa seuraaviin kysymyksiin 3 desimaalin tarkkuudella. Ensimmäiset tulokset ovat alkutietoja, joita tarvitset tehtävän seuraavissa vaiheissa ja ovat siis myös vihjeitä tehtävän suorittamiseen.

a) Mikä ovat otoskeskiarvo ja otosvarianssi

\(\overline{x} = \) |  |  |
\(s^2 = \) |  |  |

b) Mitkä ovat testiin liittyvä testisuureen arvo ja \(p\)-arvo (p-arvoa ei saa tarkasti taulukoiden avulla)

\(t=\) |  |  |
\(p=\) |  |  |

c) Mikä on johtopäätös? Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa, voit siis tarkistaa muiden kohtien vastauksia.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, hinta on kohdallaan,
\(1=H_1\) valitaan, hinta on liian suuri.

Vastaus = |  |  |
Feedback: Merkitään \(X=\)'rahamäärä' ja tarkoitus on siis tutkia onko saatu otos todennäköisesti peräisin jakaumasta \(X\sim\mathrm{N}(10,\sigma^2)\). Asetetaan nollahypoteesiksi \[H_0:\ \mu =10\]. Koska kauppiaan kokemuksen mukaan tuotetta ei osteta, jos käteistä on alle 10 €, niin vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi valitaan \[ H_1:\mu < 10 \]. Riskitaso \(\alpha=0.05\). Lasketaan otoskeskiarvo ja otosvarianssi \begin{eqnarray*} \overline{x}&=&\frac{1}{5}([value]+[value]+[value]+[value]+[value])=[value]\\ s^2&=&\frac{1}{4}(([value]-[value])^2+([value]-[value])^2+([value]-[value])^2+([value]-[value])^2+([value]-[value])^2)=[value]\end{eqnarray*} Nyt todellinen varianssi on tuntematon, käytetään siis otosvarianssia ja siksi käytetään \(t-\)testisuuretta \[T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]. Tässä tapauksessa, kun oletetaan, että nollahypoteesi on totta \[T=\frac{\overline{X}-10}{S/\sqrt{5}}\sim t(4)\]. Jakaumataulukosta saadaan kriittiseksi alueeksi väli \((-\infty, -2.132]\), sillä \(P(T\leq -2.132)=0.05\). Laskettu testisuureen arvo \[t= \frac{[value]-10}{\sqrt{[value]}/\sqrt{5}}=[value]\] ei osu kriittiselle alueelle. On siis kyse normaalista vaihtelusta ja nollahypoteesi \(\mu=10\) on jää voimaan ja siis myös hinta 5 e on kohdallaan. Testiin liittyvä \(p-\)arvo on todennäköisyys \[p=P(T<[value])=[value]\], joka saadaan Matlabilla \(\texttt{tcdf([value],4)}\) tai esim. Stattrek.com-sivustolta laskemalla \(t-\)jakauman kertymäfunktion arvo kohdassa [value].

Tutkittaessa lattiamateriaalien A ja B kulutuskestävyyttä mitattiin materiaalista A  [value]  näytepalaa ja materiaalista B  [value]  näytepalaa. Kulutuskestävyyden oletetaan olevan normaalisti jakautunut. Otosvariansseiksi saatiin \(s_A^2=[value]\) ja \(s_B^2=[value]\).  Tutki nollahypoteesia \(H_0: \sigma_A^2=\sigma_B^2\) vaihtoehtoista hypoteesia  \(H_1: \sigma_A^2\neq \sigma_B^2\)  5%:n merkitsevyystasolla.

Vastaa seuraaviin kysymyksiin 3 desimaalin tarkkuudella.

a) Kriittinen alue \(C\) koostuu kahdesta osasta . Mitkä ovat osien rajat?
\(C\)=   ( \( 0\),  ] \(\cup \)  [ ,  \(\infty\)  )

b) Mitkä ovat testiin liittyvä testisuureen \(f\) arvo ja \(p\)-arvo (\(p-\)arvoa ei saa tarkasti taulukoiden avulla)

\(f=\) |  |  |
\(p=\) |  |  |

c) Mikä on johtopäätös? Tässä kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi, ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa, voit siis tarkistaa muiden kohtien vastauksia.  Vastausvaihtoehdot ovat
\( 0=H_0\) jää voimaan, otosten varianssit ovat samat,
\(1=H_1\) valitaan, otosten varianssit ovat erisuuret.

Vastaus = |  |  |
Feedback: Nolla- ja vaihtoehtoinen hypoteesi ovat \[H_0:\ \sigma_A^2=\sigma_B^2, H_1:\ \sigma_A^2\neq\sigma_B^2\]. Varianssien yhtäsuuruuden tutkimiseen käytetään \(F-\)testisuuretta, joka nollahypoteesin voimassa ollessa on \[F=\dfrac{S_A^2/\sigma_A^2}{S_B^2/\sigma_B^2}=\dfrac{S_A^2}{S_B^2}\sim F([value],[value])\] Tutkitaan seuraavaksi, millä välillä on 95 % testisuureen normaaleista arvoista. Taulukoiden perusteella \[P(F\leq x)=0.025 \Leftrightarrow P\left(\dfrac{1}{F}\leq \dfrac{1}{x}\right)=0.975 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=[value] \Leftrightarrow x=[value]\] \[P(F\leq x)=0.975 \Rightarrow x=[value] \] Samat tulokset saa Matlabilla komennolla \(\texttt{finv([0.025, 0.975],12,10)}\) Nyt saatu testisuureen kriittinen alue koostuu kahdesta osasta \([0, [value]]\) ja \([[value], \infty)\). Tässä otoksessa testisuureen arvo \(F=\dfrac{s_A^2}{s_B^2}=\dfrac{[value]}{[value]}=[value]\) ei kuulu kriittiselle alueelle. Alkuperäinen oletus \(\sigma_A^2=\sigma_B^2\) jää voimaan. Todennäköisyys \(P(F<[value])=[value] < 0.5\) saadaan Matlabilla \(\texttt{fcfd([value],12,10)}\). Testin \(p-\)arvo = \(2\cdot \textrm{min}\{P(F<[value]), 1-P(F<[value]\}\) ja sen arvo on \([value]>0.05\). \(H_0\) jää voimaan, otosten varianssit ovat samat.

Kaksi eri opetusryhmää A ja B  tekivät saman matematiikan kokeen. Tulokset ovat Moodle-sivun kansiossa  Aiheviikko 6, tehtävä 1, datat . Ryhmän A tulokset ovat tiedostossa  data[value]A.csv ja ryhmän B tulokset tiedostossa data[value]B.csv.
Lataa nämä Matlabiin komenoilla:
dataA=csvread('data7A.csv');
dataB=csvread('data7B.csv');
Tulokset oletetaan normaalijakautuneiksi siten, että jakaumilla on samat, mutta tuntemattomat varianssit. Testaa, onko ryhmillä sama koetulosten odotusarvo 0.01 riskitasolla. Nollahypoteesi on \(H_0:\ \mu_A=\mu_B\) ja vaihtoehtoinen hypoteesi on tässä tilanteessa \(H_1: \ \mu_A\neq \mu_B\).

a) Tee tehtävä komennolla [H,P,CI,STATS] = ttest2(...).

b) Kerro, mitä komennon laskemat H, P, CI ja STATS ovat.

c) Laske tehtävän p-arvo myös Excelillä T.TEST (T.TESTI) komennolla.

Vastaa seuraaviin kysymyksiin 4 desimaalin tarkkuudella.

a) Määritä yhteisotosvarianssi \(S^2\), testisuureen \(t\) arvo ja \(p-\)arvo.

\(S^2 = \)

\(t = \)

\(p = \)

b) Olen tehnyt tehtävän b-kohdan (pdf palautus)

c) Olen tehnyt tehtävän c-kohdan (pdf palautus)
Feedback: a) [H,P,CI,STATS] = ttest2(dataA,dataB,'alpha',0.01,'vartype','equal'); S2 = STATS.sd^2 % yhteisotosvarianssi (Matlab: STATS.sd yhteisotoshajonta) t = STATS.tstat % t-arvo p = P % p-arvo b) Käydään läpi ttest2 komennon laskemat asiat: help ttest2 n = numel(dataA);m = numel(dataB); sa2 = var(dataA);sb2 = var(dataB); tstat=(xa-xb)/(sqrt(sa/n+sa/m)) % STATS.tstat df = m+n-2 % STATS.df sd=sqrt(((n-1)*sa2+(m-1)*sb2)/(n+m-2)) % STATS.sd P=2*min(tcdf(T,v),tcdf(T,v,'upper')) %p-arvo Luottamusväli CI: mean(dataA)-mean(dataB)+tinv([alpha/2 1-alpha/2],df)*sd*sqrt(1/n+1/m) \(\displaystyle T = \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S^2/n+S^2/m}} \sim t(n+m-2)\). H = P < alpha % Tarkastetaan onko p-arvo pienempi kuin riskitaso alpha [H,P,CI,STATS] = ttest2(dataA,dataB,'alpha',0.01,'vartype','equal') STATS.sd^2 c) Lasketan tehtävän p-arvo myös Excelillä T.TEST komennolla. [Image: Excel-kuva]