Title: Lauselogiikka

Q: Valitse lauseen C loogisesti ekvivalentti muoto, jossa ei ole negaatiota, kun C on...
- ¬(p ∧ ¬q ∧ r) | p ⇒ (r ⇒ q)
- ¬p ⇒ (¬q ∨ ¬r) | q ∧ r ⇒ p
- ¬p ⇒ (q ⇒ ¬r) | q ∧ r ⇒ p
Also offered: p ⇔ (r ∧ q); r ∨ q ⇒ p

Q: L002
Merkitään

$$p$$: 'on kesä'
$$q$$: 'on lämmintä'

Etsi käännökset seuraaville lauseille:
- $$p \wedge q$$ | on kesä ja lämmintä
- $$p \wedge \neg q$$ | on kesä, muttei lämmintä
- $$\neg p \wedge \neg q$$ | ei ole kesä, eikä lämmintä
- $$\neg p \Rightarrow \neg q$$ | jos ei ole kesä, niin ei ole lämmintä.
- $$p \Rightarrow q$$ | jos on kesä, on lämmintä
- $$q \Rightarrow p$$ | on kesä, jos on lämmintä
- $$p \vee \neg q $$ | on kesä tai ei ole lämmintä
- $$q \vee \neg q$$ | on lämmintä tai ei

Q: L003
Esitettävä konjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi negaation ja disjunktion avulla.
- $$p \wedge q$$ | ¬ ( ¬ p ∨ ¬ q)
- $$p \Rightarrow q$$ | ¬ p ∨ q
- $$p \Leftrightarrow q$$ | ¬ (p ∨ q) ∨ ¬ (¬p ∨ ¬q)
Also offered: p ∨ ¬ q; (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨ q)

Q: L005
Muodosta loogisesti ekvivalentit parit.
- ¬p ⇒ ¬q | p ∨ ¬q
- ¬(¬¬p ∨ q) | ¬p ∧ ¬ q
- ¬(p ∧ ¬q) | ¬ p ∨ q
- ¬(¬ p ⇒ q) | ¬p ∧ ¬ q
- ¬(p ⇒ ¬ q) | p ∧ q
- ¬ p ⇒ q | p ∨ q
- ¬(¬¬¬ p ∨ ¬ q) | p ∧ q
Also offered: p ∧ ¬q

Q: L007
Etsi konnektiivin nimi.
- $$\Leftrightarrow$$ | ekvivalenssi
- $$\vee$$ | disjunktio
- $$\Rightarrow$$ | implikaatio
- $$\wedge$$ | konjunktio
- $$\neg$$ | negaatio

Q: L021
Ovatko seuraavat lauseet epätosia vai tosia? Valitse oikea vaihtoehto.
- (1) 1 + 1 = 3 | epätosi
- (2) Yllä kohdassa (1) esitetty väite on tosi. | epätosi
- (3) Kohdan (1) tai (2) väite on tosi. | epätosi
- (4) Kaikki väitteet (1)-(4) tässä tehtävässä ovat epätosia. | ei voi vastata
Also offered: tosi

Moodle-harjoitusten kehittämiseen ovat vuosien varrella osallistuneet Susanna Lankinen, Jesse Railo, Raine Rönnholm ja Miikka Vilander.

Q: L010
Mikä on lauseen $$\neg (p \wedge q) \vee \neg(\neg p \wedge \neg q)$$ totuusarvo, kun totuustaulun rivi on...
- p | q 0 | 0 | 1
- p | q 0 | 1 | 1
- p | q 1 | 0 | 1
- p | q 1 | 1 | 1
Also offered: 0

Q: L011
Mikä on lauseen $$ (p \vee q \Rightarrow p \wedge q) \Leftrightarrow (p \wedge q \Rightarrow p \vee q)$$ totuusarvo, kun totuustaulun rivi on ...
- p | q 0 | 0 | 1
- p | q 0 | 1 | 0
- p | q 1 | 0 | 0
- p | q 1 | 1 | 1

Q: L012
Tarkastellaan luvun $$x$$ itseisarvoa $$|x|$$. Siis

$$|x|$$ =
$$\left{
\begin{array}{rl}
x, & {\rm jos\ } x > 0, \\
0, & {\rm jos\ } x = 0, \\
-x, & {\rm jos\ } x < 0, \\
\end{array}$$
\right.

Ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia?
- Riittävä ehto sille, että $$|x| \not= 0$$, on, että $$x > 0$$. | tosi
- Välttämätön ehto sille, että $$|x| \not= 0$$, on, että $$x > 0$$. | epätosi
- Riittävä ehto sille, että $$x < 0$$, on, että $$|x| \not= 0$$. | epätosi
- Välttämätön ehto sille, että $$x < 0$$, on, että $$|x| \not= 0$$. | tosi

Q: L013
Perusteluksi sille, että lause $$(p \Rightarrow q)\vee\neg (p \Rightarrow q)$$ on tautologia, riittää todeta, että se on esimerkki  kolmannen poissuljetun laista.
Nimittäin se saadaan kolmannen poissuljetun laista $$A \vee \neg A$$ sijoittamalla $$A$$:n paikalle $$p \Rightarrow q$$.

Perustele seuraavien lauseiden tautologisuus vastaavan tapaan nimeämällä tautologia, josta ne ovat esimerkkejä.
- ¬((p ⇔ q) ∧ (r ∨ s)) ⇔ ¬(p ⇔ q) ∨ ¬(r ∨ s) | de Morganin sääntö
- (p ⇔ q) ⇒ (p ∧ s) ⇔ ¬((p ⇔ q) ∧ ¬(p ∧ s)) | Implikaatio konjunktion negaationa
- (p ∨ q) ∧ ((r ⇔ p) ∨ (q ⇒ s)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (r ⇔ p)) ∨ ((p ∨ q) ∧ (q ⇒ s)) | Osittelulaki
Also offered: Liitännäisyys; Implikaatio disjunktiona; Vaihdannaisuus

Q: L008
Väitteelle, että premisseistä A_1, A_2, ... A_n voi päätellä johtopäätöksen B, käytetään tässä merkintää
$$A_1, A_2, \ldots, A_n |\!\!\!= B.$$
Muistathan, että ristiriitaisista premisseistä (siis premisseistä, jotka eivät koskaan voi olla samanaikaisesti tosia) voi päätellä mitä tahansa.

Alla kirjain X viittaa mielivaltaiseen lauselogiikan lauseeseen (atomilause tai yhdistetty lause). Kirjaimen X paikalle siis ajatellaan voitavan sijoittaa mikä tahansa lause. Kun esimerkiksi kysytään, onko voimassa $$X |\!\!\!= p$$, niin vastaus on "ei voi tietää", sillä jos esim. $$X = p$$ tai vaikkapa $$X = p \wedge q$$, niin vastaus on myönteinen, mutta jos $$X = q$$ tai vaikkapa $$X = p \vee q$$, niin vastaus on kielteinen.
- Onko voimassa $$\neg p \Rightarrow q, \ \neg q, \ r \ |\!\!\!= \ r \Rightarrow (p \vee X)$$ ? | on
- Onko voimassa $$\neg p \Leftrightarrow q, \ \neg q, \ r \ |\!\!\!= \ r \Rightarrow (p \wedge X)$$ ? | ei voi tietää
- Onko voimassa $$p \wedge q \wedge r, \ X \ |\!\!\!= \ p$$ ? | on
- Onko voimassa $$p \wedge q \wedge r, \ X \ |\!\!\!= \ \neg p$$ ? | ei voi tietää
- Onko voimassa $$p,\ p \Leftrightarrow q \ |\!\!\!= \ \neg q \wedge X$$ ? | ei
- Onko voimassa $$p,\ p \Leftrightarrow q, \neg q \ |\!\!\!= \ \neg p \wedge X$$ ? | on

Q: L009
Mikä on lauseen $$q \wedge \neg p \wedge \neg \neg q$$ totuusarvo, kun totuustaulun rivi on...
- p | q 0 | 0 | 0
- p | q 0 | 1 | 1
- p | q 1 | 0 | 0
- p | q 1 | 1 | 0

Q: L006
Kuinka monta vaakariviä on täydellisessä totuustaulussa, kun lausemuuttujia (eli propositiosymboleita eli atomilauseita eli lauseita, joiden totuustaulu muodostetaan) on {n} kappaletta?

Mieti myös, mikä olisi vastaus yleisessä tapauksessa "muodostetaan lauseiden p_1, p_2, ..., p_n totuustaulu eli lausemuuttujia n kappaletta" (tätä vastausta ei kuitenkaan voi antaa Moodlessa).

Anna vastaukseksi siis pelkkä numero, esimerkiksi "10" ilman lainausmerkkejä, jos luulet, että vaakarivejä on 10.
A: pow(2, {n}) (formula; values not in the backup's text)

Q: L014

Shefferin viiva | (eli NAND) määritellään seuraavasti:

p | q | p|q
0 | 0 | 1
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 0

Valitse, miten seuraavat konnektiivit esitetään Shefferin viivan avulla.
- $$\neg p$$ | p | p
- $$p \wedge q$$ | (q | p) | (q | p)
- $$p \vee q$$ | (p | p) | (q | q)
Also offered: (p | q) | p; q | p

Q: L015

Tiedetään, että A on tosi ja C on epätosi, mutta lauseen B totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$A \wedge C$$ | Epätosi
- $$B \wedge C$$ | Epätosi
- $$A \vee C$$ | Tosi
- $$B \vee C$$ | Ei voi tietää
- $$A \Rightarrow C$$ | Epätosi
- $$B \Rightarrow C $$ | Ei voi tietää
- $$C \Rightarrow A$$ | Tosi
- $$C \Rightarrow B$$ | Tosi
- $$(A \Leftrightarrow C) \Leftrightarrow C$$ | Tosi
- $$(B \Leftrightarrow C) \Leftrightarrow C$$ | Ei voi tietää

Q: L016
Tiedetään, että p on tosi ja q on epätosi, mutta lauseen r totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$p \wedge (q \vee r)$$ | Ei voi tietää
- $$q \wedge (p \vee r)$$ | Epätosi
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow r)$$ | Tosi
- $$r \Rightarrow (p \Rightarrow q)$$ | Ei voi tietää
- $$(q \wedge r) \Leftrightarrow r$$ | Ei voi tietää
- $$(p \wedge r) \Leftrightarrow r$$ | Tosi
- $$\neg \neg\neg \neg\neg \neg\neg (q \wedge r)$$ | Tosi
- $$\neg(r \vee p) \wedge \left( (p\wedge r) \Leftrightarrow (q \vee r) \right)$$ | Epätosi
- $$q \Rightarrow \left( p \Leftrightarrow \left(r \Rightarrow \left( q \Leftrightarrow (p \Rightarrow r )\right) \right) \right)$$ | Tosi

Q: L017
Tiedetään, että p on tosi ja q on epätosi, mutta lauseen r totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$q \Rightarrow r$$ | Tosi
- $$r \Rightarrow p$$ | Tosi
- $$\neg(r \Rightarrow q)$$ | Ei voi tietää
- $$(p \Leftrightarrow r) \Leftrightarrow r$$ | Tosi
- $$(q \Leftrightarrow \neg r) \Leftrightarrow \neg r$$ | Epätosi
- $$(p \Leftrightarrow r) \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r)$$ | Epätosi
- $$(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (r \Leftrightarrow q)$$ | Ei voi tietää
- $$(p \Leftrightarrow r) \Leftrightarrow \neg(q \Leftrightarrow r)$$ | Tosi

Q: L018

Tiedetään, että p ja q ovat tosia, r on epätosi, mutta lauseen s totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$(p \wedge q) \Leftrightarrow (s \wedge r)$$ | Epätosi
- $$(p \vee q) \Leftrightarrow (s \wedge r)$$ | Epätosi
- $$\neg(p \vee s) \wedge \neg(q \vee \neg s)$$ | Epätosi
- $$s \Rightarrow (p \Rightarrow q)$$ | Tosi
- $$(q \Rightarrow p) \Rightarrow s$$ | Ei voi tietää
- $$(r \Rightarrow p) \Rightarrow s$$ | Ei voi tietää

Q: L019

Tiedetään, että p on epätosi ja q on tosi, mutta lauseen r totuusarvoa ei tiedetä. Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$p \wedge (q \vee r)$$ | Epätosi
- $$q \wedge (p \vee r)$$ | Ei voi tietää
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow r)$$ | Tosi
- $$r \Rightarrow (p \Rightarrow q)$$ | Tosi
- $$(q \wedge r) \Leftrightarrow r$$ | Tosi
- $$(p \wedge r) \Leftrightarrow r$$ | Ei voi tietää
- $$\neg \neg\neg \neg (\neg \neg\neg q \wedge r)$$ | Epätosi
- $$\neg(r \vee p) \wedge \left( (p\wedge r) \Leftrightarrow (q \vee r) \right)$$ | Epätosi
- $$q \Rightarrow \left( p \Leftrightarrow \left(r \Rightarrow \left( q \Leftrightarrow (p \Rightarrow r )\right) \right) \right)$$ | Epätosi

Q: L020

Tiedetään, että $$\, p \wedge q$$ on tosi ja $$r \wedge s$$ on epätosi

Mitkä ovat alla olevien lauseiden totuusarvot (tosi/epätosi/ei voi tietää)?
- $$(p \wedge r) \Leftrightarrow (q \wedge s)$$ | Ei voi tietää
- $$(p \vee q) \Leftrightarrow (\neg s \vee \neg r)$$ | Tosi
- $$\neg(p \vee s) \wedge \neg (q \vee \neg s)$$ | Epätosi
- $$r \Rightarrow (s \Rightarrow q)$$ | Tosi
- $$(q \Rightarrow p) \Rightarrow (r \Rightarrow s)$$ | Ei voi tietää
- $$(p\Rightarrow r)\Rightarrow (s\Rightarrow q)$$ | Tosi

Q: L036

Merkitään $$A \equiv B$$, jos lauseet $$A$$ ja $$B$$ ovat loogisesti ekvivalentit. Valitse todet väitteet seuraavista
- $$(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$$
- $$(p \wedge q) \equiv \neg (p \Rightarrow \neg q)$$
- $$p \vee q \equiv \neg p \Rightarrow q$$
- $$p \vee q \equiv \neg p \Leftrightarrow q$$
- $$p \Rightarrow q \equiv p \vee \neg q$$
- $$p \Rightarrow q \equiv p \wedge \neg q$$
- $$p \Leftrightarrow q \equiv (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$$
- $$p\Leftrightarrow q \equiv \neg((p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q))$$
A: $$(p \wedge q) \equiv \neg (p \Rightarrow \neg q)$$; $$p \vee q \equiv \neg p \Rightarrow q$$; $$p \Leftrightarrow q \equiv (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$$; $$p\Leftrightarrow q \equiv \neg((p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q))$$

Q: L037

Tiedetään, että lauseet $$A \Rightarrow B$$, $$B \Rightarrow C$$, $$C \Rightarrow D$$ ja $$D \Rightarrow A$$ ovat tosia.

Mitä voidaan sanoa lauseiden A, B, C ja D totuusarvoista? (Valitse yksi.)
- Ei juuri mitään, esimerkiksi A voi olla tosi tai epätosi ja tästä riippumattomasti D voi olla tosi tai epätosi.
- Kaikki lauseet A, B, C ja D ovat pakostakin tosia.
- Kaikki lauseet A, B, C ja D ovat pakostakin epätosia.
- Lauseilla A, B, C ja D on välttämättä samat totuusarvot.
A: Lauseilla A, B, C ja D on välttämättä samat totuusarvot.
Partly right: Kaikki lauseet A, B, C ja D ovat pakostakin tosia. (50%); Kaikki lauseet A, B, C ja D ovat pakostakin epätosia. (50%)

Q: L038
Missä seuraavissa lauseissa 'tai' on mielekästä tulkita poissulkevaksi eli eksklusiiviseksi taiksi?
- Voit opiskella matematiikkaa tai tilastotiedettä
- Lukion jälkeen voi mennä opiskelemaan tai pitää välivuoden.
- Huomenna on tiistai tai keskiviikko.
- Logiikan opettajamme on opiskellut matematiikkaa tai filosofiaa.
- Auton takapenkille mahtuu kolme aikuista tai neljä lasta.
A: Lukion jälkeen voi mennä opiskelemaan tai pitää välivuoden.; Huomenna on tiistai tai keskiviikko.; Auton takapenkille mahtuu kolme aikuista tai neljä lasta.

Q: L039

Merkitään $$A_1, A_2, \ldots, A_n \ |\!\!\!= B$$, jos oletuksista $$A_1, A_2, \ldots, A_n$$ voidaan pätevästi päätellä johtopäätös $$B$$.

Valitse todet väitteet (eli ne tapaukset, jossa päättely on pätevä).
- $$A,\ A \Rightarrow \neg B,\ \neg B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$
- $$A \wedge B,\ C \wedge D\ |\!\!\!= A \wedge D$$
- $$A \vee B,\ C \vee D\ |\!\!\!= A \vee D$$
- $$A \vee (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \vee (B \wedge C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \wedge (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \Leftrightarrow \neg B,\ B \ |\!\!\!= \neg A$$
- $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$
- $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow \neg C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$
- $$A,\ \neg A \Rightarrow B,\ B \Rightarrow \neg C\ |\!\!\!= \neg C$$
- $$B,\ \neg A \Rightarrow B,\ B \Rightarrow \neg C\ |\!\!\!= \neg A$$
- $$C,\ \neg A \Rightarrow B,\ B \Rightarrow \neg C\ |\!\!\!= A$$
- $$\neg C,\ \neg A \Rightarrow B,\ B \Rightarrow \neg C\ |\!\!\!= A$$
A: $$A,\ A \Rightarrow \neg B,\ \neg B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$; $$A \wedge B,\ C \wedge D\ |\!\!\!= A \wedge D$$; $$A \vee (B \wedge C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$; $$A \wedge (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$; $$A \Leftrightarrow \neg B,\ B \ |\!\!\!= \neg A$$; $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow \neg C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$; $$C,\ \neg A \Rightarrow B,\ B \Rightarrow \neg C\ |\!\!\!= A$$

Q: L040
Mitkä seuraavista päättelyistä ovat päteviä?

(Ohje: Tutki pätevyyttä tekemällä totuustaulu tai luonnollisella päättelyllä.)
- $$\begin{array}{c}p \\ \hline \\ p \vee q \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \\ \hline p \wedge q \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \vee q \\ \hline p \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \wedge q\\ \hline q \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \vee q \\ \neg p\\ \hline q \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \Rightarrow q \\ \neg p\\ \hline \neg q \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \Rightarrow q\\ \hline q \Rightarrow p \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \Rightarrow q \\ \hline \neg p \Rightarrow \neg q \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \Leftrightarrow q \\ \neg q\\ \hline \neg p \\ \ \\ \end{array}$$
- $$\begin{array}{c} p \Rightarrow q\\ \hline \neg q \Rightarrow \neg p \\ \ \\ \end{array}$$
A: $$\begin{array}{c}p \\ \hline \\ p \vee q \\ \ \\ \end{array}$$; $$\begin{array}{c} p \wedge q\\ \hline q \\ \ \\ \end{array}$$; $$\begin{array}{c} p \vee q \\ \neg p\\ \hline q \\ \ \\ \end{array}$$; $$\begin{array}{c} p \Leftrightarrow q \\ \neg q\\ \hline \neg p \\ \ \\ \end{array}$$; $$\begin{array}{c} p \Rightarrow q\\ \hline \neg q \Rightarrow \neg p \\ \ \\ \end{array}$$

Q: L041

Merkitään $$A_1, A_2, \ldots, A_n \ |\!\!\!= B$$, jos oletuksista $$A_1, A_2, \ldots, A_n$$ voidaan pätevästi päätellä johtopäätös $$B$$.

Valitse todet väitteet (eli ne tapaukset, jossa päättely on pätevä).
- $$\neg A,\ A \Rightarrow \neg B,\ B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$
- $$\neg A,\ \neg B \Rightarrow A,\ B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$
- $$A,\ A \Rightarrow \neg B,\ B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$
- $$A \vee (B \wedge C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \wedge (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \vee (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$
- $$A \Leftrightarrow \neg B,\ B \Leftrightarrow \neg C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow \neg C$$
- $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow \neg C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$
- $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$
A: $$\neg A,\ \neg B \Rightarrow A,\ B \Rightarrow C\ |\!\!\!= C$$; $$A \vee (B \wedge C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$; $$A \wedge (B \vee C),\ A \Rightarrow D,\ B \Rightarrow D\ |\!\!\!= D$$; $$A \Leftrightarrow B,\ \neg B \Leftrightarrow \neg C\ |\!\!\!= A\Leftrightarrow C$$

Q: L042

Onko lause $$x^2 \ge 0$$ suljettu vai ei?
- Ei ole, sillä muuttujan x arvoa ei ole annettu.
- On, sillä väite on tosi riippumatta muuttujan x arvosta.
- Ei ole, sillä ei ole sanottu, onko x reaalinen vai kompleksiluku.
- Oikeastaan kaikki valinnat ovat perusteltuja. Vastaus riippuu kontekstista.
A: Oikeastaan kaikki valinnat ovat perusteltuja. Vastaus riippuu kontekstista.
Partly right: Ei ole, sillä muuttujan x arvoa ei ole annettu. (50%); On, sillä väite on tosi riippumatta muuttujan x arvosta. (50%); Ei ole, sillä ei ole sanottu, onko x reaalinen vai kompleksiluku. (50%)

Q: L043
Mitkä seuraavista ovat suljettuja lauseita?
- "6 + 5 = 6" (Suljettu, epätosi lause.)
- "x + 2 = 4" (Ei ole suljettu, pitäisi tietää muuttujan x arvo.)
- "Luvun $$\pi$$ desimaalikehitelmässä esiintyy miljoona peräkkäistä ykköstä." (On suljettu, vaikka totuusarvoa ei tiedetä)
- "Maapallon ulkopuolella on älyllistä elämää, josta ihmiskunta ei koskaan tule tietämään mitään" (On suljettu, vaikka totuusarvoa ei tulla koskaan tietämään.)
- "Kunpa tämä kurssi loppuisi." (Ei ole suljettu. Kyse ei ole väitelauseesta, vaan toiveesta.)
- "Kaikki toivovat, että tämä kurssi loppuisi." (On suljettu.)
- "Tänään on kaunis ilma" (Tulkintakysymys.)
A: "6 + 5 = 6"; "Luvun $$\pi$$ desimaalikehitelmässä esiintyy miljoona peräkkäistä ykköstä."; "Maapallon ulkopuolella on älyllistä elämää, josta ihmiskunta ei koskaan tule tietämään mitään"; "Kaikki toivovat, että tämä kurssi loppuisi."

Q: L004

Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$p$$ | $$q$$ | $$\neg((p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p))$$ | $$q \Rightarrow (q \wedge \neg q)$$ | $$\neg ((p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p))\Leftrightarrow (q \Rightarrow (q \wedge \neg q))$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...]
A: 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0

Q: L022
Alla on looginen ekvivalenssiketju. Merkitse, mitä tautologioita on käytetty.

$$(\neg p \wedge q) \Rightarrow p \equiv$$ [...]
$$\neg p \Rightarrow \neg(\neg p \wedge q) \equiv$$ [...]
$$\neg p \Rightarrow \neg\neg p \vee \neg q \equiv$$ [...]
$$\neg p \Rightarrow p \vee \neg q \equiv$$ [...]
$$\neg\neg p \vee (p \vee \neg q) \equiv$$ [...]
$$p \vee (p \vee \neg q) \equiv$$ [...]
$$(p \vee p) \vee \neg q \equiv$$ [...]
$$p \vee \neg q \equiv$$ [...]
$$\neg q \vee p \equiv$$ [...]
$$q \Rightarrow p$$
A: Kontrapositio; de Morganin sääntö; Kaksoisnegaatio; Implikaatio disjunktiona; Kaksoisnegaatio; Liitännäisyys disjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Implikaatio disjunktiona
Gap 1 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 2 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 3 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 4 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 5 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 6 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 7 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 8 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 9 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio

Q: L023
Alla on looginen ekvivalenssiketju. Merkitse, mitä tautologioita on käytetty.

$$\neg(\neg p \vee \neg(p \wedge q))\equiv$$[...]
$$\neg\neg p \wedge \neg\neg(p \wedge q)\equiv$$[...]
$$p \wedge \neg\neg( p \wedge q) \equiv$$ [...]
$$p \wedge (p \wedge q) \equiv$$ [...]
$$(p \wedge p) \wedge q \equiv$$[...]
$$p \wedge q$$

Muistutuksena lista tautologioista:

p ⇔ p | Identiteetti
¬(p ∧ ¬p) | Poissuljettu ristiriita
p ∨ ¬p | Poissuljettu kolmas
¬¬p ⇔ p | Kaksoisnegaatio
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q | de Morganin sääntö
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q | de Morganin sääntö
p ∧ p ⇔ p | Idempotenssi konjunktiolle
p ∨ p ⇔ p | Idempotenssi disjunktiolle
p ∧ q ⇔ q ∧ p | Vaihdannaisuus konjunktiolle
p ∨ q ⇔ q ∨ p | Vaihdannaisuus disjunktiolle
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r | Liitännäisyys konjunktiolle
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r | Liitännäisyys disjunktiolle
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) | Osittelulaki konjunktio-disjunktio
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) | Osittelulaki disjunktio-konjunktio
p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q | Implikaatio disjunktiona
p ⇒ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) | Implikaatio konjunktion negaationa
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) | Kontrapositio
A: de Morganin sääntö; Kaksoisnegaatio; Kaksoisnegaatio; Liitännäisyys konjunktiolle; Idempotenssi konjunktiolle
Gap 1 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 2 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 3 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 4 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio
Gap 5 offers: Identiteeti; Poissuljetun ristiriita laki; Poissuljetun kolmas; Kaksoisnegaatio; de Morganin sääntö; Idempotenssi konjunktiolle; Idempotenssi disjunktiolle; Vaihdannaisuus konjunktiolle; Vaihdannaisuus disjunktiolle; Liitännäisyys konjunktiolle; Liitännäisyys disjunktiolle; Osittelulaki konjunktio-disjunktio; Osittelulaki disjunktio-konjunktio; Implikaatio disjunktiona; Implikaatio konjunktion negaationa; Kontrapositio

Q: L024

Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$(p \wedge q)\vee (q \wedge r) \vee (p \wedge r)$$
0 | 0 | 0 | [...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L025

Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$p$$ | $$q$$ | $$\neg((p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p))$$ | $$q \Rightarrow (q \wedge \neg q)$$ | $$\neg ((p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p))\Leftrightarrow (q \Rightarrow (q \wedge \neg q))$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...]
A: 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0

Q: L026
Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r)$$
0 | 0 | 0 | [...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L027
Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r$$
0 | 0 | 0 | [...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L028

Anna totuustaulun viimeinen sarake. Totuustaulu kannattaa ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$ (\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg r)$$
0 | 0 | 0 | [...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 1; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L029

Anna totuustaulun viimeinen sarake.Totuustaulu kannattaakin ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$(\neg p \wedge (q \vee \neg r)) \Leftrightarrow ((\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg r))$$
0 | 0 | 0 | _[...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L030

Tee alla oleva totuustaulukko. Laskujärjestys on osoitettu numeroin.

 |  | 1. | 3. | 2.
$$p$$ | $$q$$ | $$\neg p$$ | $$\vee$$ | $$(q \wedge p)$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...]
A: 1; 1; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0

Q: L031

Tee alla oleva totuustaulukko. Laskujärjestys on osoitettu numeroin.

 |  | 1. | 3. | 2. | 5. | 2. | 4. | 1.
p | q | $$(p \vee q$$ | $$\Rightarrow$$ | $$p \wedge q)$$ | $$\Leftrightarrow$$ | $$(p \wedge q$$ | $$\Rightarrow$$ | $$p \vee q)$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
A: 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0
Gap 13 offers: 1; 0
Gap 14 offers: 1; 0
Gap 15 offers: 1; 0
Gap 16 offers: 1; 0
Gap 17 offers: 1; 0
Gap 18 offers: 1; 0
Gap 19 offers: 1; 0
Gap 20 offers: 1; 0
Gap 21 offers: 1; 0
Gap 22 offers: 1; 0
Gap 23 offers: 1; 0
Gap 24 offers: 1; 0
Gap 25 offers: 1; 0
Gap 26 offers: 1; 0
Gap 27 offers: 1; 0
Gap 28 offers: 1; 0

Q: L032

Tee alla oleva totuustaulukko. Laskujärjestys on osoitettu numeroin.

 |  | 1. | 3. | 2. | 5. | 2. | 4. | 1.
$$p$$ | $$q$$ | $$(p \vee q$$ | $$\Rightarrow$$ | $$p \wedge q)$$ | $$\Leftrightarrow$$ | $$(p \wedge q$$ | $$\Rightarrow$$ | $$p \vee q)$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
A: 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0
Gap 13 offers: 1; 0
Gap 14 offers: 1; 0
Gap 15 offers: 1; 0
Gap 16 offers: 1; 0
Gap 17 offers: 1; 0
Gap 18 offers: 1; 0
Gap 19 offers: 1; 0
Gap 20 offers: 1; 0
Gap 21 offers: 1; 0
Gap 22 offers: 1; 0
Gap 23 offers: 1; 0
Gap 24 offers: 1; 0
Gap 25 offers: 1; 0
Gap 26 offers: 1; 0
Gap 27 offers: 1; 0
Gap 28 offers: 1; 0

Q: L033

Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$ p$$ | $$ q$$ | $$(p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p)$$ | $$q \Rightarrow \neg q$$ | $$(p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p)\Leftrightarrow (q \Rightarrow \neg q)$$
0 | 0 | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | [...] | [...] | [...]
A: 1; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0

Q: L034

Merkitse taulukkoon totuusarvot.

$$\, p\,$$ | $$\, q\,$$ | $$\, r\,$$ | $$p \Rightarrow \neg q$$ | $$q\Rightarrow \neg r$$ | $$(p \Rightarrow \neg q)\wedge (q \Rightarrow \neg r)$$ | $$p \Rightarrow \neg r$$ | $$((p \Rightarrow \neg q)\wedge (q \Rightarrow \neg r)) \Rightarrow (p \Rightarrow \neg r)$$
0 | 0 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
0 | 0 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
0 | 1 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 0 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | 0 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
1 | 1 | 1 | [...] | [...] | [...] | [...] | [...]
A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0
Gap 9 offers: 1; 0
Gap 10 offers: 1; 0
Gap 11 offers: 1; 0
Gap 12 offers: 1; 0
Gap 13 offers: 1; 0
Gap 14 offers: 1; 0
Gap 15 offers: 1; 0
Gap 16 offers: 1; 0
Gap 17 offers: 1; 0
Gap 18 offers: 1; 0
Gap 19 offers: 1; 0
Gap 20 offers: 1; 0
Gap 21 offers: 1; 0
Gap 22 offers: 1; 0
Gap 23 offers: 1; 0
Gap 24 offers: 1; 0
Gap 25 offers: 1; 0
Gap 26 offers: 1; 0
Gap 27 offers: 1; 0
Gap 28 offers: 1; 0
Gap 29 offers: 1; 0
Gap 30 offers: 1; 0
Gap 31 offers: 1; 0
Gap 32 offers: 1; 0
Gap 33 offers: 1; 0
Gap 34 offers: 1; 0
Gap 35 offers: 1; 0
Gap 36 offers: 1; 0
Gap 37 offers: 1; 0
Gap 38 offers: 1; 0
Gap 39 offers: 1; 0
Gap 40 offers: 1; 0

Q: L035

Merkitse taulukkoon totuusarvot. (Tehtävä kannattaa ensin tehdä paperille.)

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$(p \wedge q)\vee((q \vee r)\wedge(p\vee r))$$
0 | 0 | 0 | [...]
0 | 0 | 1 | [...]
0 | 1 | 0 | [...]
0 | 1 | 1 | [...]
1 | 0 | 0 | [...]
1 | 0 | 1 | [...]
1 | 1 | 0 | [...]
1 | 1 | 1 | [...]
A: 0; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1
Gap 1 offers: 1; 0
Gap 2 offers: 1; 0
Gap 3 offers: 1; 0
Gap 4 offers: 1; 0
Gap 5 offers: 1; 0
Gap 6 offers: 1; 0
Gap 7 offers: 1; 0
Gap 8 offers: 1; 0

Q: L044
Mitkä alla olevista lauseista ovat tautologioita?
- A∨ B ∨ C⇒ (A ∨ D) ∨ (B ∨ E)
- A∧ B ∧ C ∧ D⇒ (B ∧ E)∨ (C ∧ ¬ E)
- ¬(A∧ B∧ C∧¬ A ∧ ¬ D)
- ¬ A ⇔ ((¬¬¬ A⇔ ¬ A) ⇔ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ A)
- A⇒(B⇒(C⇒ (D ⇒ A)))
- (A⇒(¬ A⇒ B)) ∧ ((C ⇒ ¬ D) ⇒ (D ⇒ ¬ C))
- ¬(A∧¬ B)∧ ¬(C∨ D) ⇔¬ A∧ B ∧ ¬ C∧¬ D
- (A⇒ B ∧ C)∧(B⇒ D)⇒(A⇒ D)
- ((A⇒ B)⇒(B⇒ A)) ⇒ (A ⇔ B)
- ((B⇒¬ A)⇔(¬ A⇒ B)) ⇔ ((C⇒ ¬ D)⇔(D ⇒ C))
- (A⇒ (¬ B ⇒ (C ⇒ ¬ D)))⇔(D ⇒(¬ C ⇒ (B ⇒ A)))
- (A∧ B⇒ C)⇔(¬ C⇒(¬ A∨¬ B))
- (A∨¬ B⇒¬ C)⇔ (C⇒(A∧ B))
- (¬ A∨ B⇒¬ C)⇔ (C⇒(A∧¬ B))
A: A∧ B ∧ C ∧ D⇒ (B ∧ E)∨ (C ∧ ¬ E); ¬(A∧ B∧ C∧¬ A ∧ ¬ D); ¬ A ⇔ ((¬¬¬ A⇔ ¬ A) ⇔ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ A); A⇒(B⇒(C⇒ (D ⇒ A))); (A⇒(¬ A⇒ B)) ∧ ((C ⇒ ¬ D) ⇒ (D ⇒ ¬ C)); (A⇒ B ∧ C)∧(B⇒ D)⇒(A⇒ D); (A∧ B⇒ C)⇔(¬ C⇒(¬ A∨¬ B)); (¬ A∨ B⇒¬ C)⇔ (C⇒(A∧¬ B))

Q: L045
Määritellään loogiset vakiot $$\top$$ (verum) ja $$\bot$$ (falsum) niin, että $$\top$$ on aina tosi ja $$\bot$$ aina epätosi.
Mitkä seuraavista ovat tautologioita?
- p ⇒ ⊤
- ⊤ ⇒ p
- p ∧ ⊤ ⇔ ⊤
- p ∨ ⊤ ⇔ ⊤
- p ∨ ⊤
- p ∧ ⊤
- ¬(p ∨ ⊤)
- ¬(p ∧ ⊤)
- p ⇒ ⊥
- ⊥ ⇒ p
- p ∧ ⊥ ⇔ ⊥
- p ∨ ⊥ ⇔ ⊥
- p ∨ ⊥
- p ∧ ⊥
- ¬(p ∨ ⊥)
- ¬(p ∧ ⊥)
A: p ⇒ ⊤; p ∨ ⊤ ⇔ ⊤; p ∨ ⊤; ⊥ ⇒ p; p ∧ ⊥ ⇔ ⊥; ¬(p ∧ ⊥)

Q: L046
Määritellään loogiset vakiot $$\top$$ (verum) ja $$\bot$$ (falsum) niin, että $$\top$$ on aina tosi ja $$\bot$$ aina epätosi. Mitkä seuraavista ovat tautologioita?
- $$\top \Rightarrow (q \Rightarrow r)$$
- $$p \Rightarrow (\top \Rightarrow r)$$
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow \top)$$
- $$\bot \Rightarrow (q \Rightarrow r)$$
- $$p \Rightarrow (\bot \Rightarrow r)$$
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow \bot)$$
A: $$p \Rightarrow (q \Rightarrow \top)$$; $$\bot \Rightarrow (q \Rightarrow r)$$; $$p \Rightarrow (\bot \Rightarrow r)$$

Q: L047

Mitkä seuraavista lauseista ovat tautologioita?
- $$p \vee (q \wedge \neg p)$$
- $$p \vee (q \vee \neg p)$$
- $$p \wedge (q \vee \neg p)$$
- $$\neg(p \wedge (q \vee \neg p))$$
- $$\neg(p \wedge (q \wedge \neg p))$$
- $$(p \wedge q) \Rightarrow (q \vee r)$$
- $$(p \vee q) \Rightarrow (q \wedge r)$$
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow (r \Rightarrow q))$$
- $$p \Rightarrow (q \Rightarrow (p \Rightarrow r))$$
- $$(p \Rightarrow q)\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)$$
- $$(p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow q)$$
A: $$p \vee (q \vee \neg p)$$; $$\neg(p \wedge (q \wedge \neg p))$$; $$(p \wedge q) \Rightarrow (q \vee r)$$; $$p \Rightarrow (q \Rightarrow (r \Rightarrow q))$$; $$(p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow q)$$

Q: L048

Tiedetään, että lauseet $$\neg (A \Leftrightarrow B)$$, $$A \wedge B \Leftrightarrow C \vee D$$ ja $$\neg C \Rightarrow (\neg D \Rightarrow \neg E)$$

ovat tosia.

Valitse todet väitteet.
- Lauseille A ja B on sama totuusarvo.
- Lauseille C ja D on sama totuusarvo.
- A on tosi.
- B on epätosi
- C on tosi.
- D on epätosi.
- E voi olla tosi (on ehkä välttämättäkin tosi).
- E voi olla epätosi (on ehkä välttämättäkin epätosi).
A: Lauseille C ja D on sama totuusarvo.; D on epätosi.; E voi olla epätosi (on ehkä välttämättäkin epätosi).

Q: L049
Jos lauseet
$$A \vee B$$
$$A \Leftrightarrow C$$
$$C \Rightarrow B$$
ovat tosia, niin...
- ...on välttämättä niin, että lause C on tosi.
- ...on mahdollista, että sekä A että B ovat tosia.
- ...on mahdollista, että A on epätosi ja C on tosi.
- ...on välttämätöntä, että C:llä ja B:llä on sama totuusarvo.
A: ...on mahdollista, että sekä A että B ovat tosia.

Q: L050

Millä tavoilla voidaan määritellä negaatio, kun käytettävissä on $$\top$$ ja $$\bot$$, eli mitkä seuraavista lauseista ovat loogisesti ekvivalentteja lauseen $$\neg p$$ kanssa?
- $$p \Rightarrow \bot$$
- $$\bot \Leftrightarrow p$$
- $$\top \Rightarrow p$$
- $$(p \vee \bot) \Leftrightarrow \top$$
- $$(p \vee \top) \Leftrightarrow \bot$$
- $$(p \wedge \top) \Leftrightarrow \bot$$
- $$(p \wedge \bot) \Leftrightarrow \top$$
- $$(\top \Rightarrow p) \Leftrightarrow \bot$$
A: $$p \Rightarrow \bot$$; $$\bot \Leftrightarrow p$$; $$(p \wedge \top) \Leftrightarrow \bot$$; $$(\top \Rightarrow p) \Leftrightarrow \bot$$

Q: L056

Mitkä seuravista implikaatioista ovat tautologioita?
- $$(p \Rightarrow q) \Rightarrow (p \Rightarrow q)$$
- $$p \Rightarrow ((q \Rightarrow p) \Rightarrow q)$$
- $$((p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow q$$
A: $$(p \Rightarrow q) \Rightarrow (p \Rightarrow q)$$

Q: L051
Anna totuustaulun viimeinen sarake. Vastaa huolellisesti, sillä yksikin väärä 0/1 nollaa vastauksen pisteet. Totuustaulu kannattaakin ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$((p \Rightarrow q) \Rightarrow r) \Leftrightarrow (p \Rightarrow (q \Rightarrow r))$$
0 | 0 | 0 | a_1
0 | 0 | 1 | a_2
0 | 1 | 0 | a_3
0 | 1 | 1 | a_4
1 | 0 | 0 | a_5
1 | 0 | 1 | a_6
1 | 1 | 0 | a_7
1 | 1 | 1 | a_8

Anna vastaus muodossa a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8, esim. jos kaikki arvot ovat epätosia, vastaus on 00000000. Älä lisää mitään ylimääräisiä merkkejä tai välilyöntejä paitsi halutessasi voit selvyyden vuoksi jättää välilyönnin arvojen a_4 ja a_5 väliin.

Pohdittavaksi: Mitä totuustaulu kertoo implikaation liitännäisyydestä?
A: 01011111 / 0101 1111

Q: L052
Anna totuustaulun viimeisen sarakkeen arvot.

p | q | (p ∨ q) ⇔ ¬(p ∨ ¬q)
0 | 0 | a
0 | 1 | b
1 | 0 | c
1 | 1 | d

Anna vastaus muodossa abcd, esim. 0101. Älä lisää ylimääräisiä merkkejä.
A: 1100

Q: L053

Anna totuustaulun viimeinen sarake. Vastaa huolellisesti, sillä yksikin väärä 0/1 nollaa vastauksen pisteet. Totuustaulu kannattaakin ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$ \neg p \wedge (q \vee \neg r)$$
0 | 0 | 0 | a_1
0 | 0 | 1 | a_2
0 | 1 | 0 | a_3
0 | 1 | 1 | a_4
1 | 0 | 0 | a_5
1 | 0 | 1 | a_6
1 | 1 | 0 | a_7
1 | 1 | 1 | a_8

Anna vastaus muodossa a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8, esim. jos kaikki arvot ovat epätosia, vastaus on 00000000. Älä lisää mitään ylimääräisiä merkkejä tai välilyöntejä paitsi halutessasi voit selvyyden vuoksi jättää välilyönnin arvojen a_4 ja a_5 väliin.
A: 10110000 / 1011 0000

Q: L054
Anna totuustaulun viimeinen sarake. Vastaa huolellisesti, sillä yksikin väärä 0/1 nollaa vastauksen pisteet. Totuustaulu kannattaakin ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$ (\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg r)$$
0 | 0 | 0 | a_1
0 | 0 | 1 | a_2
0 | 1 | 0 | a_3
0 | 1 | 1 | a_4
1 | 0 | 0 | a_5
1 | 0 | 1 | a_6
1 | 1 | 0 | a_7
1 | 1 | 1 | a_8

Anna vastaus muodossa a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8, esim. jos kaikki arvot ovat epätosia, vastaus on 00000000. Älä lisää mitään ylimääräisiä merkkejä tai välilyöntejä paitsi halutessasi voit selvyyden vuoksi jättää välilyönnin arvojen a_4 ja a_5 väliin.
A: 10110000 / 1011 0000

Q: L055
Anna totuustaulun viimeinen sarake. Vastaa huolellisesti, sillä yksikin väärä 0/1 nollaa vastauksen pisteet. Totuustaulu kannattaakin ensin tehdä paperille.

$$p$$ | $$q$$ | $$r$$ | $$(\neg p \wedge (q \vee \neg r)) \Leftrightarrow ((\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg r))$$
0 | 0 | 0 | a_1
0 | 0 | 1 | a_2
0 | 1 | 0 | a_3
0 | 1 | 1 | a_4
1 | 0 | 0 | a_5
1 | 0 | 1 | a_6
1 | 1 | 0 | a_7
1 | 1 | 1 | a_8

Anna vastaus muodossa a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8, esim. jos kaikki arvot ovat epätosia, vastaus on 00000000. Älä lisää mitään ylimääräisiä merkkejä tai välilyöntejä paitsi halutessasi voit selvyyden vuoksi jättää välilyönnin arvojen a_4 ja a_5 väliin.
A: 11111111 / 1111 1111