Title: Alkio ja osajoukko

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A = \{ n \in \mathbb{N} \mid n < 19 \text{ ja } n = [value]k \text{ jollain } k \in \mathbb{Z} \} \).

\(A= \)

b) \(B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2-[value]x+[value] < 0\} \)

\(B= \)
Feedback: a) \(A = [value] \) b) Ratkaistaan ensin epäyhtälö \(x^2-[value]x+[value] < 0\). Määritetään aluksi nollakohdat, eli ratkaistaan yhtälö \( x^2-[value]x+[value] = 0\). Tämän ratkaisut ovat \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). Koska \(y=x^2-[value]x+[value]\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, se saa negatiivisia arvoja nollakohtiensa välissä. Epäyhtälön ratkaisu on siten \([value] < x < [value]\). Kun valitaan tältä väliltä kaikki kokonaisluvut, niin saadaan \(B=[value]\).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\}\)

\(A = \)

b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\}\)

\(B = \)

c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\}\)

\(C = \)

d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\}\)

\(D = \)
Feedback: a) \(A = \{[value] - 10 \cdot [value], [value] - 10 \cdot [value]\} = \{[value], [value]\}\). b) \(B = \{[value],[value],[value],[value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä alkioiden toistaminen ei muuta joukkoa. c) \(C = \{x \in \mathbb{Q} \mid |x-[value]| = [value]\} = \{[value], [value]\}\), sillä yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun \(x = [value]\) tai \(x = [value]\). d) \(D = \{n \in \mathbb{N} \mid (n-[value])(n-[value]) = 0\} = \{[value], [value]\}\), sillä \((n-[value])(n-[value]) = 0\) täsmälleen silloin, kun \(n = [value]\) tai \(n = [value]\). Huomataan, että kaikissa kohdissa joukko on sama.

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \(A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \sqrt{x+[value]} = x \} \)

\(A = \)

b) \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2-[value]x+[value]=0 \text{ ja } x \neq k^2 \text{ kaikilla } k \in \mathbb{N} \} \)

\(B = \)
Feedback: a) Ratkaistaan yhtälö \(\sqrt{x+[value]}=x\). Nähdään, että \(\sqrt{x+[value]}=x\) \(\Rightarrow (\sqrt{x+[value]})^2=x^2\) \(\Rightarrow x+[value] =x^2\) \(\Rightarrow x^2-x-[value]=0\) \(\Rightarrow x=-[value] \text{ tai } x=[value]. \) Tarkistetaan sijoittamalla: Huomataan, että \(\sqrt{[value]+[value]}=[value]\), joten \(x=[value]\) on yhtälön ratkaisu. Toisaalta \(\sqrt{-[value]+[value]}=[value] \neq -[value]\), joten \(x=-[value]\) ei ole yhtälön ratkaisu. Näin ollen \(A=[value]\). b) Ratkaistaan yhtälö \(x^2-[value]x+[value]=0\). Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan \( x = \frac{-(-[value]) \pm \sqrt{(-[value])^2 -4 \cdot 1 \cdot [value]}}{2 \cdot 1} = \frac{[value] \pm \sqrt{[value]}}{2} = \frac{[value] \pm [value]}{2}\), eli \(x = [value]\) tai \(x =[value]\). Huomataan, että \([value]=[value]^2\), missä \([value] \in \mathbb{N}\). Sen sijaan selvästi \([value] \neq k^2\) kaikilla \(k \in \mathbb{N}\). Näin ollen \(B = [value]\).

Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot joukkomerkintää käyttäen.

a) \( A=\{ x \in \mathbb{N} \mid [value]x-[value] \leq [value] \} \)

\(A=\)

b) \( B=\{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = [value] \} \)

\(B= \)
Feedback: a) Koska \([value]x-[value] \leq [value] \iff x \leq [value]\), niin \(A = [value] \). b) Yhtälön \(x^2 = [value]\) ratkaisut ovat \(x=[value]\) ja \(x=-[value]\), joten \(B = [value] \).

Olkoon \(A = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 < 5\} \).

Ovatko seuraavat joukkoa \(A\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

a) \(\{-1,2\} \in A\)

b) \(\{-1,2\} \subset A\)

c) \(\{-1,2,3\} \subset A\)

d) \(\emptyset \subset A\)

Olkoon \(B = \{7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}, \{\{7\}\}\}\).

Ovatko seuraavat joukkoa \(B\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

e) \(\{2,7,8\} \in B\)

f) \(\{2,7,8\} \subset B\)

g) \(\{\{2\},\{\{7\}\},8\} \subset B\)

h) \(\emptyset \in B\)
Feedback: a) Väärin, koska joukko \(\{-1,2\}\) ei ole \(A\):n alkio. b) Oikein. c) Väärin, sillä \(3 \notin A\). Tämä johtuu siitä, että \(3^2 = 9 > 5\). Joukon \(A\) alkiot ovat \(-2, -1, 0, 1\) ja \(2\). d) Oikein. Itse asiassa \(\emptyset \subset X\) kaikilla joukoilla \(X\). e) Oikein. f) Väärin, sillä \(2 \notin B\). Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). g) Oikein. h) Väärin. Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). Huomaa kuitenkin, että \(\emptyset \subset B\).