Title: Osajoukkotodistukset

Q: Seuraavissa tehtävissä syvennetään edelleen todistusten laatimisen taitoja. Kertaa kurssimateriaalin luvuista 1.5–1.6, miten joukkojen sisältyvyys ja yhtäsuuruus todistetaan, sekä luvusta 3.2 "jos...niin" -tyyppisen väitteen todistamista. Kiinnitä erityistä huomiota todistuksen kokonaisrakenteeseen sekä todistuksissa esiintyviin matemaattisiin sanontatapoihin.

Oletetaan, että \(X\) on jokin joukko. Osoita, että sen kaikille osajoukoille \(A\) ja \(B\) on voimassa \(\complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B\). (Tämä on toinen ns. de Morganin laeista.)

Todistus.

Osoitetaan ensin, että \(\complement(A \cap B) \subset \complement A \cup \complement B\). Olkoon [...]. Komplementin määritelmän nojalla \(x \in X\) ja [...]. Koska \(x \notin A \cap B\), niin leikkauksen määritelmän nojalla \(x \notin A\) tai \(x \notin B\). Tiedetään, että \(x \in X\), joten \(x \in \complement A\) tai [...]. Yhdisteen määritelmän nojalla [...]. On osoitettu, että \(\complement (A \cap B) \subset \complement A \cup \complement B\).

Osoitetaan sitten, että \(\complement A \cup \complement B \subset \complement(A \cap B)\). Olkoon [...]. Yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in \complement A\) tai \(x \in \complement B\). Tarkastellaan tapaukset.

1. Oletetaan, että [...]. Tällöin \(x \in X\) ja \(x \notin A\). Koska \(x \notin A\), niin leikkauksen määritelmän nojalla [...]. Siis \(x \in \complement (A \cap B)\).
2. Oletetaan, että [...]. Tällöin \(x \in X\) ja \(x \notin B\). Koska \(x \notin B\), niin leikkauksen määritelmän nojalla [...]. Siis \(x \in \complement (A \cap B)\).

Molemmissa tapauksissa [...]. On osoitettu, että \(\complement A \cup \complement B \subset \complement (A \cap B)\).

Siis \(\complement (A \cap B) = \complement A \cup \complement B\).
A: x ∈ ∁ (A ∩ B); x ∉ A ∩ B; x ∈ ∁ B; x ∈ ∁ A ∪ ∁ B; x ∈ ∁ A ∪ ∁ B; x ∈ ∁ A; x ∉ A ∩ B; x ∈ ∁ B; x ∉ A ∩ B; x ∈ ∁ (A ∩ B)
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: Todistus. Osoitetaan ensin, että \(\complement(A \cap B) \subset \complement A \cup \complement B\). Olkoon \(x \in \complement (A \cap B)\). Komplementin määritelmän nojalla \(x \in X\) ja \(x \notin A \cap B\). Koska \(x \notin A \cap B\), niin leikkauksen määritelmän nojalla \(x \notin A\) tai \(x \notin B\). Tiedetään, että \(x \in X\), joten \(x \in \complement A\) tai \(x \in \complement B\). Yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in \complement A \cup \complement B\). On osoitettu, että \(\complement (A \cap B) \subset \complement A \cup \complement B\). Osoitetaan sitten, että \(\complement A \cup \complement B \subset \complement(A \cap B)\). Olkoon \(x \in \complement A \cup \complement B\). Yhdisteen määritelmän nojalla \(x \in \complement A\) tai \(x \in \complement B\). Tarkastellaan tapaukset. 1. Oletetaan, että \(x \in \complement A\). Tällöin \(x \in X\) ja \(x \notin A\). Koska \(x \notin A\), niin leikkauksen määritelmän nojalla \(x \notin A \cap B\). Siis \(x \in \complement (A \cap B)\). 2. Oletetaan, että \(x \in \complement B\). Tällöin \(x \in X\) ja \(x \notin B\). Koska \(x \notin B\), niin leikkauksen määritelmän nojalla \(x \notin A \cap B\). Siis \(x \in \complement (A \cap B)\). Molemmissa tapauksissa \(x \in \complement (A \cap B)\). On osoitettu, että \(\complement A \cup \complement B \subset \complement (A \cap B)\). Siis \(\complement (A \cap B) = \complement A \cup \complement B\).