Title: IMA1 (viikko 3) muut

Seuraava lause löytyy kurssimonisteesta ilman todistusta. Lisää perustelut todistuksen jokaisen yhtäsuuruusmerkin yhteyteen. Jokaista perustelua käytetään yhden kerran.

Trigonometrian peruskaava on \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\).

Lause Jos \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + \sin \theta_1)\) ja \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + \sin \theta_2)\), niin

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Todistus.

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\) | = | \(\displaystyle \frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2+i\sin\theta_2}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2-i(-\sin\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}{\cos(-\theta_2)-i\sin(-\theta_2)(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2))}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{(\cos\theta_1\cos(-\theta_2)-\sin\theta_1\sin(-\theta_2)) + i(\sin\theta_1\cos(-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)-i^2\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1+(-\theta_2))+i\sin(\theta_1+(-\theta_2))}{\cos^2(-\theta_2)+\sin^2(-\theta_2)}\)
 | = | \(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}\cdot (\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))\)

Tarkastellaan polynomia

\(p(x) = [value]\)

[value]

Polynomin mahdollisia rationaalisia (kokonais- tai murtoluku) nollakohtia on vain ne, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{\text{vakiotermin tekijä}}{\text{korkeinasteisen termin kertoimen tekijä}}\).

(a) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) vakiotermin [value] tekijöitä. Anna vastaus joukkona aaltosulkeissa, esim. {1,-1}, samoin seuraavaan kahteen kysymykseen.
Vastaus:

(b) Anna kaikki kokonaisluvut, jotka ovat polynomin \(p(x)\) korkeinasteisen termin kertoimen [value] tekijöitä.
Vastaus:

(c) Anna kaikki luvut, jotka ovat tehtävän alussa esitetyllä tavalla polynomin \(p(x)\) mahdollisia rationaalisia nollakohtia.
Vastaus:

(d) Etsi kokeilemalla yksi polynomin \(p(x)\) rationaalinen nollakohta.
Vastaus: