Title: Juurtenhakualgoritmi satunnainen

Hae juuret polynomille \(P(x)=2x^4-6x^3-x^2+2x+3\) ja jaa se tekijöihin käyttäen polynomin juurtenhakualgoritmia.

Vinkki 1: Toista arvaus kaksi kertaa positiivisilla kokonaisluvuilla.

Vinkki 2: Jos \(P(x)\) on kokonaislukukertoiminen polynomi ja jos \(\frac{p}{q}\) on polynomin juuri, niin \(p\) on vakiotermin kerroin ja \(q\) on korkeimman asteen termin kerroin. Näin voidaan siis rajata joukkoa, josta etsiä rationaalisia juuria.

Esimerkiksi jos \(P(x)=3x^4-13x^3+3x^2+3x+4\), niin vakiotermin \(4\) tekijät ovat \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\) ja korkeimman asteen termin \(3\) tekijät ovat \(\pm 1, \pm 3\).

Näin ollen mahdollisiset juuret ovat \( \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{4}{3}\) ja sievennettynä ne ovat \( \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}\). Oikeat reaaliset juuret ovat \( 1\) ja \(4\).
Feedback: Ratkaisu Polynomin \(P(x)=2x^4-6x^3-x^2+2x+3\) vakiotermin \(3\) tekijät ovat \(\pm 1,\pm 3\) ja korkeimman asteen termin \(2\) tekijät ovat \(\pm 1, \pm 2\). Näin ollen mahdollisia juuria ovat \( \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{3}{2}\) ja sievennettynä ne ovat \( \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}\). Näistä \(1\) ja \(3\) ovat positiivisia kokonaislukuja. Huomataan, että \(P(1)=2\cdot 1^4-6\cdot 1^3-1^2+2\cdot 1+3=0\) eli \(x-1\) on polynomin \(P\) tekijä. Jakamalla jakokulmassa \(\frac{2x^4-6x^3-x^2+2x+3}{x-1}\) polynomi saadaan muotoon \(P=(x-1)(2x^3-4x^2-5x-3)\). Huomataan, että polynomille \(Q=2x^3-4x^2-5x-3\) pätee, että \(Q(3)=2\cdot 3^3-4\cdot 3^2-5\cdot 3-3=0\) eli \(x-3\) on polynomin \(Q\) tekijä. Jakamalla jakokulmassa \(\frac{2x^3-4x^2-5x-3}{x-3}\) polynomi \(Q\) saadaan muotoon \(Q=(x-3)(2x^2+2x+1)\). Näin ollen polynomi \(P=(x-1)(x-3)(2x^2+2x+1)\). Toisen asteen polynomin juuret voidaan ratkaista toisen asteen ratkaisukaavalla \(x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{4}=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{4}=\frac{-2\pm 2i}{4}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\). Näin ollen tulomuodossa polynomi \( \begin{align} P&=2(x-1)(x-3)(x-(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}))(x-(-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}))\\ &=2(x-1)(x-3)(x+\frac{1}{2}-\frac{i}{2})(x+\frac{1}{2}+\frac{i}{2}). \end{align} \) Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. Voit antaa tehtävästä pisteitä seuraavasti (yhteensä 5 pistettä) - 1 piste, jos on kaksi juurta on löydetty arvaamalla tai päättelemällä - 1 piste, jos tunnistettu polynomin kaksi tekijää arvattujen tai pääteltyjen juurien avulla - 1 piste, jos suoritettu jakolaskut jakokulmassa - 1 piste, jos ratkaistu toisen asteen polynomin juuret toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla - 1 piste, jos jaettu polynomi tekijöihin juurien avulla - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa

Hae juuret polynomille \(P(x)=2x^4-4x^3-x^2+x+2\) käyttäen polynomin juurtenhakualgoritmia.

Vinkki 1: Toista arvaus kaksi kertaa positiivisilla kokonaisluvuilla.

Vinkki 2: Jos \(P(x)\) on kokonaislukukertoiminen polynomi ja jos \(\frac{p}{q}\) on polynomin juuri, niin \(p\) on vakiotermin kerroin ja \(q\) on korkeimman asteen termin kerroin. Näin voidaan siis rajata joukkoa, josta etsiä rationaalisia juuria.

Esimerkiksi jos \(P(x)=3x^4-13x^3+3x^2+3x+4\), niin vakiotermin \(4\) tekijät ovat \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\) ja korkeimman asteen termin \(3\) tekijät ovat \(\pm 1, \pm 3\).

Näin ollen mahdollisiset juuret ovat \( \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{4}{3}\) ja sievennettynä ne ovat \( \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}\). Oikeat reaaliset juuret ovat \( 1\) ja \(4\).
Feedback: Ratkaisu Polynomin \(P(x)=2x^4-4x^3-x^2+x+2\) vakiotermin \(2\) tekijät ovat \(\pm 1,\pm 2\) ja korkeimman asteen termin \(2\) tekijät ovat \(\pm 1, \pm 2\). Näin ollen mahdollisia juuria ovat \( \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}\) ja sievennettynä ne ovat \( \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 1\). Näistä \(1\) ja \(2\) ovat positiivisia kokonaislukuja. Huomataan, että \(P(1)=2\cdot 1^4-4\cdot 1^3-1^2+1+2=0\) eli \(x-1\) on polynomin \(P\) tekijä. Jakamalla jakokulmassa \(\frac{2x^4-4x^3-x^2+x+2}{x-1}\) polynomi saadaan muotoon \(P=(x-1)(2x^3-2x^2-3x-2)\). Huomataan, että polynomille \(Q=2x^3-2x^2-3x-2\) pätee, että \(Q(2)=2\cdot 2^3-2\cdot 2^2-3\cdot 2-2=0\) eli \(x-2\) on polynomin \(Q\) tekijä. Jakamalla jakokulmassa \(\frac{2x^3-2x^2-3x-2}{x-2}\) polynomi \(Q\) saadaan muotoon \(Q=(x-2)(2x^2+2x+1)\). Näin ollen polynomi \(P=(x-1)(x-2)(2x^2+2x+1)\). Toisen asteen polynomin juuret voidaan ratkaista toisen asteen ratkaisukaavalla \(x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{4}=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{4}=\frac{-2\pm 2i}{4}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\). Näin ollen tulomuodossa polynomi \( \begin{align} P&=2(x-1)(x-2)(x-(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}))(x-(-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}))\\ &=2(x-2)(x-3)(x+\frac{1}{2}-\frac{i}{2})(x+\frac{1}{2}+\frac{i}{2}). \end{align} \) Pisteytysohjeet Saat 1 pisteen, kun luet läpi malliratkaisun ja teet itsearvioinnin. Voit antaa tehtävästä pisteitä seuraavasti (yhteensä 5 pistettä) - 1 piste, jos on kaksi juurta on löydetty arvaamalla tai päättelemällä - 1 piste, jos tunnistettu polynomin kaksi tekijää arvattujen tai pääteltyjen juurien avulla - 1 piste, jos suoritettu jakolaskut jakokulmassa - 1 piste, jos ratkaistu toisen asteen polynomin juuret toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla - 1 piste, jos jaettu polynomi tekijöihin juurien avulla - Laskuvirheiden ja erilaisten ratkaisumallien kohdalla voit käyttää omaa harkintaa