Title: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttujan \(X\) otosavaruus  \(\Omega=\{[value], [value], [value], [value], [value]\}\). Satunnaismuuttujan tiheysfunktion tiedetään saavan seuraavat arvot: \(f([value])=[value],\ f([value])=[value], \ f([value])=[value]\) ja \(f([value])=[value]\). Anna vastaukset kahden desimaalin tarkkuudella.

a) Mitä on \(f([value])\) ?     Vastaus:

b) Mitä on \(P([value]<x\leq [value] )\) ?     Vastaus:

c) Kun \(F(x)\) on satunnaismuuttujan kertymäfunktio, niin mitä on  \(1-F([value])\)  Vastaus:

d) Entä mitä on \(P(\sqrt{X}+X>[value] )\) ? Vastaus:

Tämä on aiheviikon 2 Primen ryhmätehtävä.

Jokainen tekee tehtävät 1 ja 2 moodleen (STACK) itse (pisteitä jaossa 0-3 pistettä), mutta tehtäviä on tarkoitus pohtia ja tehdä yhdessä. Primen lopuksi ryhmä palauttaa yhteisesti kaksi pdf-tiedostoa, joista PDF 1 on tehty TG-Insinöörimatematiikka C 5:sen ryhmän Teams-kanavalla (tai haluamalla tavalla) omavalintaisella työkalulla ja PDF 2 on tehty porukalla käyttäen Matlabin Live editoria. Molemmat tehdään ryhmässä yhdessä.

Prime-time keskustelu käydään Prime-opettajan kanssa Teams:ssa. Teidät on jaettu Teamsissa ryhmiin ja ryhmille on ilmoitettu tarkka kellonaika keskusteluun. Käykää katsomassa Teams:ssa (sekä TG-Insinöörimatematiikka C 5 ja TG-Reenaamo) olevia Chat kanavia.

PDF 1:ssä tulee olla:
- Prime-ryhmän nimi.
- Osallistujien sähköpostiosoitteet.
- Tehtävien 1 välivaiheet.
- Ryhmäläisille aiheviikon aikana tai Primessä eteen tulleet kysymykset vähintään 5 kappaletta ja niihin laaditut vastaukset. (Näistä saa max 5 ryhmätehtävän pisteistä) Nämä käydään suullisesti lävitse myös Prime-opettajan kanssa.

PDF 2:ssa tulee olla:

- Tehtävän 3 ratkaisu MATLAB:n Live Editorilla tehtynä. (Tämä toinen pdf pisteytetään asteikolla 0-2 p.).

Tehtävä 1.  Jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) otosavaruus on reaalilukuväli \(\Omega=[1,[value]]\) ja tiheysfunktio on muotoa \[f(x)=\dfrac{c}{x}\]. Laske seuraavat arvot.

a)  vakio c = |  |
b) \(P(X\geq 3)\) = |  |
c) Millä vakion \(d\) arvolla \(P(X\leq d)=\dfrac{1}{4}\)? |  |
d) Odotusarvo \(E(X)\) = |  |

e) Piirrä sekä tiheysfunktion että kertymäfunktion kuvaajat (esim. MATLAB:illa).

Tehtävä 2.  Monivalintakokeessa on 4 vaihtoehtoa, joista yksi on oikea vastaus. [value]% opiskelijoista tietää oikean vastauksen. Vaikka opiskelija tietää vastauksen, niin hän vastaa  väärin todennäköisyydellä [value]. Jos taas opiskelija ei tiedä vastausta, hän valitsee satunnaisesti yhden vaihtoehdon. Jos tehtävään on vastattu oikein, niin millä todennäköisyydellä vastaaja on tiennyt oikean vastauksen.

Vastaus = |  |

Tehtävä 3.  Kirjoittakaa edellisten tehtävien välivaiheet ja perustelut Matlabin live-editorilla ja tallentakaa tämä  yhdeksi pdf-dokumentiksi valikosta Save->Export to PDF. Tiedoston voi ja kannattaa tallentaa omaan Matlab-kansioon .mlx-muodossa mahdollista jatkomuokkausta varten. Tämä on siis toinen palautettava pdf-tiedosto.
Feedback: tehtävä 2. a) [value] , [value] b) [value] , [value] c) [value] , [value] d) [value] , [value] tehtävä 3 [value] , [value]

Tehtävän ohjeet

Tämän harjoituksen tarkoitus on harjoitella exam-tenttiä varten ja kerrata lukujen 1-3 asioita. Arvostelukohteina ovat tehtävien oikeellisuus, pdf-palautus ja muiden ohjeiden noudattaminen. Pisteitä voi saada max 25 pistettä.

Tuota ratkaisustasi yksi pdf-tiedosto käyttäen niitä ohjelmia, joita on käytössä myös Exam-tentissä Tuni Exam-luokissa. Käytettävissä on mm. Matlab R2019a, Microsoft Office 2019. Täydellinen listaus ohjelmista on sivulla https://sites.tuni.fi/exam/ohjeet/ohjelmistot/.  Koska Exam-tenteissä ei ole käytössä käsinkirjoitusvälineitä eikä verkkoa, ratkaisussa ei voi olla mitään käsinkirjoitettua/valokuvattua tekstiä tai kuvaa. Pdf-vastauksen tulee olla siis sellainen, että sen voisi tuottaa Exam-tentissä. Toki tässä harjoituksessa voit käyttää materiaalia asioiden oppimiseen.

Tehtävissä on ohjeet ratkaisemisen ja pdf-dokumentin tuottamiseen Matlabin 2019b live-editoria hyväksikäyttäen.  Matlabin saa ladattua omalle koneelleen ja se on käytössä myös tietokoneluokissa. Moodle-sivulla on linkki Matlabin asentamiseen, videoituihin ohjeisiin, miten tuottaa ratkaisu pdf-muodossa samoin ohje versiolle 2016b, jossa valikkorakenne on erilainen.  Jos käytät muuta kuin Matlabia, tee  tehtävät vastaavasti.

Matlabin live-editorin käyttö

- Avaa Matlab ja  Matlabissa avaa uusi live-editorin ikkuna: Home-> New Live Script.
- Kun kirjoitat Live-editorissa tavallista tekstiä, valitse Live editor -> Text, jolloin tämä osio editorista on tekstinkäsittelytilassa. Voit lisätä matemaattisia merkintöjä välilehden Insert->Equation kautta, jolloin voit käyttää kaavaeditoria tai kirjoittaa Latex-koodia.
- Kun valitset Live-editor->Code, voit kirjoittaa Matlab-koodia. Koodin sekaan voi laittaa kommentteja %-merkin jälkeen.
- Valinnalla Live-editor->Section Break sisältö voidaan jakaa erikseen suoritettaviin osiin.
- Koodi suoritetaan napeista Run Section (aktiivisen osio) tai Run (kaikki osiot). Tulokset näkyvät oikeanpuoleisessa osassa.
- Tehtävässä tarvittavia Matlab-komentoja. Lisätietoa Matlabin helpistä, hakuikkuna Find, oikealla ylhäällä.
  - \(\texttt{syms x} \)     symbolisen muuttujan \(x\) luominen
  - \(\texttt{int(fx,x,a,b)} \)     määrätty integraali \(\int\limits_a^b fx\ dx\)
  - \(\texttt{solve(fx==a,x)}\)     yhtälön \(fx=a\) ratkaiseminen muuttujan \(x\) suhteen
  - \(\texttt{fplot(fx,[a,b])} \)     funktion \(fx\) kuvaaja välillä \([a,b]\)
  - luonnollinen logartimi: \(\texttt{ln( )} \), eksponenttifunktio \(e^x : \texttt{exp( )} \)

Ohjeet tehtäviin vastaamiseen ja pdf-dokumentin tekemiseen.
- Laita tehtävän alkuun näkyviin tehtävänanto, voit tuoda sen kuvakaappauksena tältä sivulta leikepöydän kautta.
- Anna kaikki vastaukset tarkkoina arvoina tai 3 desimaalin tarkkuudella.
- Kirjoita täydellinen vastaus, josta selviää välivaiheet, perustelut, matlab-laskut. Käytä tekstissä tarvittaessa myös matemaattisia merkintöjä.
- Tehtävien vastaukset julkaistaan tentin päättymisen jälkeen ma 23.3. pdf-palautukset tarkistetaan tämän jälkeen.

Henkilöt A, B ja C  aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A:n saapumistodennäköisyys on \([value]\), B:n \([value]\) ja C:n \([value]\). Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella

a)

Vastaus:

b)

Vastaus:

c)

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\)="A tulee paikalle", \(B\)="B tulee paikalle", \(C\)="C tulee paikalle", \(D\)="D tulee paikalle". Nyt \(P(A)=[value],\ P(B)=[value], P(C)=[value]\). a)

Tässä tehtävässä anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella, eksponenttifunktio on exp(). Esim. \( e^2 \) kirjoitetaan exp(2).

Elektronisen komponentin kestoikä \( T \) (vuosissa) noudattaa eksponenttijakaumaa Exp([value]), jonka tiheysfunktio on

\( f(t) = [value]e^{-[value]t} \), kun \( t \geq 0 \). Laske todennäköisyys, että komponentti kestää

\( \textbf{(a)} \) enintään [value] kuukautta

Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) vähintään [value] [value]

Vastaus: |
Feedback: Malliratkaisu: Lasketaan ensin kertymäfunktio \( F(t) = \int \limits_{0}^{t} [value]e^{-[value]x} \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{t} -e^{-[value]x} = 1-e^{-[value]t}, \quad t \geq 0 \). Nyt vastaukset saadaan kertymäfunktion avulla (huomaa, että aika täytyy antaa vuosina) \( \textbf{(a)} \quad P\left(T \leq [value]\right) = F\left([value]\right) = 1 - e^{-[value] \cdot [value]} \approx [value]\). \( \textbf{(b)} \quad P\left(T \geq [value]\right) = 1 - P\left(T < [value]\right) = 1 - F([value])=1-\left( 1-e^{-[value] \cdot [value]}\right) = e^{-[value]} \approx [value]\). Vastaukset saisi myös ilman kertymäfunktiota suoraan integroimalla \( \textbf{(a)} \quad P\left(T \leq [value]\right) = \int \limits_{0}^{[value]} [value]e^{-[value]x} \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} -e^{-[value]x} = 1-e^{-[value] \cdot [value]} \approx [value]\). \( \textbf{(b)} \quad P\left(T \geq [value]\right) = 1 - \int \limits_{0}^{[value]} [value]e^{-[value]x} \, \textrm{d}x = 1 - \mathop{\Big/}\limits_{0}^{[value]} -e^{-[value]x} = 1- \left(1-e^{-[value] \cdot [value]}\right) \approx [value] \)

Satunnaismuuttujan \( X \) tiheysfunktio on muotoa

\( f(x) = cx \), missä \( c \) on vakio. Tapahtumat \( A \) ja \( B \) määritellään:

\( A = \{ X \in \Omega \, | \, X \geq [value] \} \) ja \( B = \{ X \in \Omega \, | \, X < [value] \} \).

Määritä luku \( c \) ja laske ehdollinen todennäköisyys \( P(A \, | \, B) \), kun

(Anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä.)

\( \textbf{(a)} \quad X \) on diskreetti otosavaruutenaan \( \Omega = [value] \).

\(\quad \quad \quad c = \) |
\( P(A \, | \, B) = \) |

\( \textbf{(b)} \quad X \) on jatkuva otosavaruutenaan \( \Omega = [[value],[value]] \).

\(\quad \quad \quad c = \) |
\( P(A \, | \, B) = \) |
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad X \) on diskreetti otosavaruutenaan \( \Omega = [value] \). Pistetodennäköisyyksien summan tulee olla \( = 1 \), joten \( P(\Omega) = \sum \limits_{x=[value]}^[value] cx = c([value]+[value]+[value]+[value]) = [value]c = 1 \Rightarrow c = [value] \). Koska \( A = \{ X \in \Omega \, | \, X \geq [value] \} = [value] \) ja \( B = \{ X \in \Omega \, | \, X < [value] \} = [value] \), on \( A \cap B = [value] \) ja \( P(A \, | \, B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{[value]\cdot [value]}{[value] \cdot ([value]+[value])} = [value] = [value]\). \( \textbf{(b)} \quad X \) on jatkuva otosavaruutenaan \( \Omega = [[value], [value]] \). Koko otosavaruuden todennäköisyyden tulee olla \( = 1 \), joten \( P(\Omega) = \large \int \limits_{[value]}^{[value]} \normalsize cx \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{[value]}^{[value]} \dfrac{cx^2}{2} = [value] = 1 \Rightarrow c = [value] \) Koska \( A = \{ X \in \Omega \, | \, X \geq [value] \} = [[value],[value]] \) ja \( B = \{ X \in \Omega \, | \, X < [value] \} = [[value],[value]) \), on \( A \cap B = [[value],[value]) \) ja \( P(A \, | \, B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\large \int \limits_{[value]}^{[value]} \normalsize cx \, \textrm{d}x}{\large \int \limits_{[value]}^{[value]} \normalsize cx \, \textrm{d}x} = \dfrac{\mathop{\Big/}\limits_{[value]}^{[value]} [value]}{\mathop{\Big/}\limits_{[value]}^{[value]} [value]} = \dfrac{[value]}{[value]} = [value] = [value]\).

Let \(X\) denote the lifetime of a lamp in 1000 h intervals and assume that \(X\) has the probability density functionOlkoon \(X\) lampun käyttöikää tuhansina tunteina kuvaava satunnaismuuttuja ja oletetaan, että satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio onLåt \(X\) beteckna en lampas livstid i antal 1000 h och anta att \(X\) har täthetsfunktionen \[ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{c}{x^2}, & [value] \leq x \leq [value]\\ 0, & \mathrm{otherwisemuutenannars}. \end{cases} \]

a) Determine the constant \(c\).Määritä vakio \(c\).Bestäm konstanten \(c\).

b) What is the probability that the lifetime of a lamp exceeds \([value]\) h? Millä todennäköisyydellä lampun käyttöiäksi tulee yli \([value]\) h? Vilken är sannolikheten för att lampans livstid blir över \([value]\) h?

Give your answer exact or with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastaus tarkkana arvona tai [value] merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaren exakt eller med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

a) | \(c=~\) |
b) | \(\mathbb{P}\{X \geq [value]\}=~\) |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: a) For a probability density function \(f\) it must hold thatTiheysfunktiolle \(f\) tulee olla voimassaFör en täthetsfunktion \(f\) måste det gälla att \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, \mathrm{d}x = 1 \] and \(f(x)\geq 0\) for all \(x\).ja \(f(x)\geq 0\) kaikilla \(x\).och \(f(x)\geq 0\) för alla \(x\). Let us determine the constant \(c\) by integrating over the probability density function.Määritetään vakio \(c\) integroimalla tiheysfunktiota.Vi bestämmer konstanten \(c\) genom att integrera över täthetsfunktionen. \[\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\, \mathrm{d}x & = & \int_{\textstyle [value]}^{\textstyle [value]} \frac{c}{x^2}\, \mathrm{d}x \\ & = & c \int_{\textstyle [value]}^{\textstyle [value]} x^{-2}\, \mathrm{d}x \\ & = & -c \, \bigg[ x^{-1} \bigg]_ {\textstyle [value]}^{\textstyle [value]} \\ & = & -c \, \left( \frac{1}[value] - [value] \right) \\ & = & [value] c \end{eqnarray}\] Now we demand that the value of the integral equals \(1\) and solve the equation for \(c\).Vaadimme nyt, että integraalin arvon on oltava \(1\) ja ratkaisemme tämän avulla vakion \(c\) arvon.Vi kräver nu att integralens värde ska vara \(1\) och löser ut \(c\). \[\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\, \mathrm{d}x & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & \\ [value] c & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & \\ c & = & [value] \end{eqnarray}\] The probability density function is thereforeTiheysfunktioksi saadaan siisTäthetsfunktionen är alltså \[ f_X(x) = \begin{cases}\displaystyle [value], & [value] \leq x \leq [value]\\ 0, & \text{otherwise.muuten.annars.} \end{cases} \] b) Integrating the probability function over a suitable interval gives the sought probability. Keep in mind that \(X\) describes the lifetime of the lamp in the accuracy of 1000 h! Thus, the lower limit of the integral is \(\dfrac[value]{1000} = [value]\).Kysytty todennäköisyys saadaan integroimalla tiheysfunktiota sopivan välin yli. Muista, että satunnaismuuttuja \(X\) kuvaa lampun käyttöikää 1000 h tarkkuudella! Integraalin alarajaksi saadaan siten \(\dfrac[value]{1000} = [value]\).Integralen av täthetsfunktionen över ett passligt intervall ger sannolikheten. Kom ihåg att \(X\) betecknar livslängden i antal 1000 h! Den nedre gränsen på integralen blir därför \(\dfrac[value]{1000} = [value]\). \[\begin{eqnarray} \mathbb{P}\{ X \geq [value]\, h\} & = & \int_[value]^{+\infty} f_X(x)\, \mathrm{d}x \\ & = & \int_[value]^[value] [value]\, \mathrm{d}x \\ & = & [value] \int_[value]^[value] x^{-2}\, \mathrm{d}x \\ & = & [value] \bigg[ x^{-1} \bigg]_ [value]^[value] \\ & = & [value] \left( [value] - [value] \right) \\ & = & [value] \end{eqnarray}\]

Satunnaismuuttujan \(X\) otosavaruus  \(\Omega=\{[value], [value], [value], [value], [value]\}\). Satunnaismuuttujan tiheysfunktion arvoista tiedetään: \(f([value])=[value],\ f([value])=[value], \ f([value])=[value]\) ja \(f([value])=[value]\).  Merkintä  \(F(x)\) tarkoittaa satunnaismuuttujan kertymäfunktiota. Laske seuraavat arvot/todennäköisyydet. Vastaukset murtolukuna tai kahden desimaalin tarkkuudella.

a) \(f([value])\) =

b) \(P([value]<x\leq [value] )\) =

c) \(1-F([value])\) =

d) \(P(\sqrt{X}+X>[value] )\) =
Feedback: a) Koska koko otosavaruuden todennäköisyys = 1, täytyy olla \( f([value]) = 1-f([value])-f([value])-f([value])-f([value])=1-[value]-[value]-[value]-[value]=[value].\) b) \(P([value]<x\leq [value] ) = f([value])+f([value])=[value]+[value]=[value].\) c) \(1-F([value])=1-f([value])-f([value])-f([value])=f([value])+f([value])=[value]+[value]=[value]\) d) Tapahtuma \(\sqrt{X}+X>[value]=\{ [value], [value], [value], [value]\}\). Tämän komplementti on \(\{ [value]\}\) ja kysytty todennäköisyys on \(P(\sqrt{X}+X>[value] )=1-f([value])= 1- [value]=[value]\)

Diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) saamat arvot ovat joukossa \(\{1,2,3,4,5\}\).

Lisäksi tiedetään, että kertymäfunktio \(F\) saa seuraavia arvoja:

\[ F(1)=[value],\,F(2)=[value],\,F(3)=[value],\,F(4)=[value]. \]

Olkoon \(f\) satunnaismuuttujan \(X\) pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin

a)   \(f([value]) = \) ,

b)   odotusarvo \(\mathbb{E} X = \) .
Feedback: Mallivastaus: a) Pistetodennäköisyysfunktion arvot saadaan laskettua seuraavasti \(f(1) = F(1) = [value]\), \(f(2) = F(2)-F(1) = [value]-[value] = [value]\), \(f(3) = F(3)-F(2) = [value]-[value] = [value]\), \(f(4) = F(4)-F(3) = [value]-[value] = [value]\), \(f(5) = 1-F(4) = 1-[value] = [value]\). b) Edellä laskettujen arvojen avulla saadaan laskettua satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo \(\mathbb{E} X = f(1)\cdot 1+ f(2)\cdot 2+ f(3)\cdot 3+ f(4)\cdot 4+ f(5)\cdot 5 = [value] \cdot 1 + [value] \cdot 2 + [value] \cdot 3 + [value] \cdot 4 + [value] \cdot 5 = [value]\).

Tarkastellaan  funktiota  \(f(x)=kx\)  välillä  \(x\in [[value],[value]]\) . Anna kaikki vastaukset tarkkoina arvoina, tarvittaessa murtolukuina.
a) Millä \(k\):n arvolla \(f(x)\) on jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio? Vastaus:  \(k=\)

b) Laske \(P([value] \leq X \leq [value])\).  Vastaus:

c)  Määritä kertymäfunktio \(F(x)\) ja laske sen avulla \(P(X>[value])\).

 |  | kun \(x<\) |
\(F(x)=\) |  | kun \(\leq x \leq \) |
 |  | kun \(x>\) |

\(P(X>[value])\) = .
Feedback: Mallivastaus: a) \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} kx\ dx= \int\limits_{[value]}^{[value]} kx\ dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]} \dfrac{kx^2}{2} = [value]k \stackrel{oltava}{=} 1 \ \Rightarrow \ k=[value]\] b) \[ P([value]\leq X\leq [value])=\int\limits_{[value]}^{[value]} [value]x\ dx= \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]}[value]x^2 = [value]\] c) Kertymäfunktio on paloittain määritelty funktio. Kun \(x\) on välillä \([[value],[value]]\) \(F(x)= \int\limits_{[value]}^{x} [value]t \ dt = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}x}[value]t^2 = [value]\) Kertymäfunktio on siis \(F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & {\rm kun \ } x<[value] \\ [value] & {\rm kun \ } [value]\leq x\leq [value] \\ 1 & {\rm kun \ } x>[value] \end{array} \right. \) Todennäköisyys \[P(X>[value])=1-P(X\leq [value])=1-F([value])=1-\dfrac{[value]^2-[value]^2}{[value]}=[value]\]

Tarkastellaan  funktiota  \(f(x)=kx^2\)  välillä  \(x\in [[value],[value]]\) .  Vastaukset tarkkana arvona, tarvittaessa siis murtolukuna.
a) Millä \(k\):n arvolla \(f(x)\) on jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio? Vastaus:  \(k=\)

b) Laske \(P([value] \leq X \leq [value])\).  Vastaus:

c)  Määritä kertymäfunktio \(F(x)\) ja laske sen avulla \(P(X>[value])\). Kertymäfunktio täytyy määritellä paloittain. Vastauksista tulkitaan toinen funktioista. Vastaa kaikkiin alakohtiin ennen kuin lukitset vastauksen.

 |  | , | kun \(x<\) |
\(F(x)=\) |  | , | kun \(\leq x \leq \) |
 |  | , | kun \(x>\) |

\(P(X>[value])\) = .
Feedback: Mallivastaus: a) \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} kx^2\ dx= \int\limits_{[value]}^{[value]} kx^2\ dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]} \dfrac{kx^3}{3} = [value]k \stackrel{oltava}{=} 1 \ \Rightarrow \ k=[value]\] b) \[ P([value]\leq X\leq [value])=\int\limits_{[value]}^{[value]} [value]x^2\ dx= \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]}[value]x^3 = [value]\] c) Kertymäfunktio on paloittain määritelty funktio. Kun \(x\) on välillä \([[value],[value]]\) \(F(x)= \int\limits_{[value]}^{x} [value]t^2 \ dt = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}x}[value]t^3 = [value]\) Kertymäfunktio on siis \(F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & {\rm kun \ } x<[value] \\ [value] & {\rm kun \ } [value]\leq x\leq [value] \\ 1 & {\rm kun \ } x>[value] \end{array} \right. \) Todennäköisyys \[P(X>[value])=1-P(X\leq [value])=1-F([value])=1-\dfrac{[value]^3-[value]^3}{[value]}=[value]\]

Satunnaismuuttujalla \(X\) on kertymäfunktio \(F\colon\mathbb{R}\to[0,1]\),

\[ F(x)= \begin{cases} 0 &, \text{kun }x<0 \\ x^2&, \text{kun }0\le x\le 1\\ 1 &, \text{kun }x>1. \\ \end{cases} \]

Määritä

\(\mathbb{P}\{X\le [value]\}\)

\(\mathbb{P}\{X> [value]\}\)

\(\mathbb{P}\{[value]<X\le [value]\}\)

Anna vastauksesi neljän desimaalin tarkkuudella.
Feedback: Mallivastaus: \(\mathbb{P}\{X\le [value]\} = F([value]) = [value]^2 = [value]\) \(\mathbb{P}\{X> [value]\} = 1 - \mathbb{P}\{X\le [value]\} = 1-F([value]) = 1-[value]^2 = [value]\) \(\mathbb{P}\{[value]

Satunnaismuuttujan \(X\) kertymäfunktio on

\(F_X\colon\mathbb{R}\to[0,1]\), \[ F_x(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan(x), \]

ja sillä tiedetään olevan jatkuva tiheysfunktio \(f_X\). Määritä

a)   \(\mathbb{P}\{[value]\leq X\leq [value]\} = \)

b)   \(f_X([value]) = \)

Syötä vastauksesi kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
Feedback: Mallivastaus: a) \(\mathbb{P}\{[value]\leq X\leq [value]\} = F([value]) - F([value]) \approx [value]\) b) Jos kertymäfunktio on annettu, niin tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktio. Saadaan \(F'_X = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan(x)\right) = [value]\). Näin ollen \(f_X([value]) = \frac{1}{\pi\cdot (([value])^2+1)} \approx [value]\).

Diskreetin satunnaisvektorin \( X,Y \) tiheysfunktio on muotoa \( f(x,y) = c(x+y) \), missä \( c \) on jokin vakio, ja otosavaruus on

\( \Omega = \{ (-1,2), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2) \} \)

Mikä on vakio \( c \)? Anna vastaus tarkkana murtolukuna. Vastaus: |

Laske seuraavat todennäköisyydet tarkkoina murtolukuarvoina.

\( P(X>Y) = \) |
\( P(X^2 \geq 1) = \) |
\( P(X+Y \geq 2 \, | \, Y = 2) = \) |
Feedback: Malliratkaisu: Funktio \( f(x,y) = c(x+y) \) on tiheysfunktio, jos \( f(x,y) \geq 0 \) ja \[ P(\Omega) = \sum \limits_{(x,y) \in \Omega} f(x,y) = 1. \] Lasketaan ensin koko otosavaruuden todennäköisyys. \( \begin{align} \sum \limits_{(x,y) \in \Omega} f(x,y) = & c(-1+2)+c(0+1)+c(0+2)+c(1+0)+c(1+1) \\ & + c(1+2)+c(2+(-1))+c(2+0)+c(2+1)+c(2+2) \\ = & 20c = 1 \Rightarrow c = \dfrac{1}{20}. \end{align} \) Nyt voidaan laskea tapahtumien todennäköisyydet tutkimalla, mitkä alkeistapaukset kuuluvat kuhunkin tapahtumaan. \( P(X > Y) = f(1,0)+f(2,-1)+f(2,0)+f(2,1) = \dfrac{1+1+2+3}{20} = \dfrac{7}{20} \) \( P(X^2 \geq 1) = 1-P(X^2<1) = 1 - ( f(0,1)+f(0,2) ) = 1 - \dfrac{1+2}{20} = \dfrac{17}{20}\) \( \begin{align} P(X+Y \geq 2 \, | \, Y = 2) &= \dfrac{P(\{ X+Y \geq 2 \} \cap \{ Y=2 \})}{P(Y=2)} \\ &= \dfrac{f(0,2)+f(1,2)+f(2,2)}{f(-1,2)+f(0,2)+f(1,2)+f(2,2)} \\ &= \dfrac{[value](2+3+4)}{[value](1+2+3+4)} = \dfrac{9}{10} \end{align} \).

Satunnaisvektorin \( (X,Y) \) tiheysfunktio on \( f(x,y) = [value] \), kun \( 0 < y < x < 1 \).

Laske ehdollinen todennäköisyys

\( P \left( X \geq [value] \, \Large | \, \normalsize Y \geq [value] \right) = \)

Anna vastauksesi tarkkana arvona tai kolmedesimaalisena likiarvona. (EI PROSENTTEINA)
Feedback: Malliratkaisu: Todennäköisyys saadaan ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan \( P \left( X \geq [value] \, \Large | \, \normalsize Y \geq [value] \right) = \dfrac{P(X \geq [value] \text{ ja } Y \geq [value])}{P(Y \geq [value])} \). Lasketaan erikseen osoittaja ja nimittäjä. Osoittajan laskemisessa käytetään yhteisjakauman tiheysfunktiota \( \begin{align} P \left( X \geq [value] \text{ ja } \normalsize Y \geq [value] \right) &= \int\limits_{[value]}^1 \int\limits_{[value]}^x [value] \, \textrm{d}y \, \textrm{d}x = \int\limits_{[value]}^1 \left( \mathop{\Big/}\limits_{[value]}^x [value]y \right) \textrm{d}x \\ &= \int\limits_{[value]}^1 [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{[value]}^1 [value] \\ &= [value] \end{align} \) Nimittäjä lasketaan käyttäen satunnaismuuttujan \( Y \) marginaalijakauman tiheysfunktiota \( f_2(y) = \int\limits_{y}^1 [value] \, \textrm{d}x = \mathop{\Big/}\limits_{y}^1 [value] = [value], \quad y \in \Omega_{y} = (0,1) \), jolloin \( \begin{align} P \left( Y \geq [value] \right) &= \int\limits_{[value]}^1 [value] \, \textrm{d}y = \mathop{\Big/}\limits_{[value]}^1 [value] \\ &= [value] \end{align} \) ja kysytty todennäköisyys on siis \( P \left( X \geq [value] \, \Large | \, \normalsize Y \geq [value] \right) = \dfrac{[value]}{[value]} = [value] \approx [value] \).

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla \(X\) on otosavaruus \(\Omega=[a,b]\) ja kertymäfunktio \(F\colon\mathbb{R}\to[0,1]\),
\[ F(x)= \begin{cases} 0 &, \text{kun }x<a \\ \dfrac{[value]}{[value]}&, \text{kun }a\le x\le b\\ 1 &, \text{kun }x>b. \\ \end{cases} \]
Anna vastaukset tarkkana arvona.

a) Mikä on otosavaruuden alaraja \( a\)?

b) Mikä on otosavaruuden yläraja \( b\)?

c)  Mitä on  \( P([value]\leq x \leq [value])\)?

d)  Mikä on  tiheysfunktio\( f(x)\)?
Feedback: Mallivastaus: a) Kertymäfunktio on kasvava funktio, joka saa arvon 0 otosavaruuden alarajalla (ja ennen sitä) ja arvon 1 otosavaruuden ylärajalla (ja sen jälkeen). Kertymäfunktion nollakohdat \(\dfrac{[value]}{[value]}=0 \) ovat samat kuin yhtälön \([value]=0\) nollakohdat ja ne ovat \[ x=\dfrac {[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{2} = \begin{cases} [value]\\ [value] \end{cases} \] Koska kertymäfunktio on ylöspäin aukeava paraabeli, valitaan nollakohdista suurempi, koska tämän jälkeen funktio on kasvava. Luku \(a=[value]\) b) Luvuksi \(b\) valitaan suurempi luvuista \(x\), jotka toteuttavat yhtälön \(F(x)=1 \). Koska funktio on kasvava luvun \(a=[value]\) jälkeen, on myös valittu \(b>a\). Yhtälön \(\dfrac{[value]}{[value]}=1\) ovat samat kuin yhtälön \([value]-[value]=0\) nollakohdat ja ne ovat \[ x=\dfrac {[value]\pm\sqrt{[value]-[value]}}{2} = \begin{cases} [value]\\ [value] \end{cases} \] Luku \(b=[value]\) c) Todennäköisyys \( P([value]\leq x \leq [value])=F([value])-F( [value])=[value]- [value] = [value]\) d) Tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta, joten \(f(x)=F'(x)=[value]\)

Diskreetti satunnaisvektori \((X,Y)\) on tasaisesti jakautunut otosavaruuteensa \(\Omega =\{ (X,Y)\mid x,y\in\mathbb{Z}_+,\ 3< x+2y\leq 7 \} \).
Määrää satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) otosavaruudet ja  tiheysfunktiot (=marginaalijakaumien tiheysfunktiot).

Esitä vastaukset tarkkoina arvoina vektorimuodossa. Otosavaruuden alkiot luetellaan vektorin alkioina suuruusjärjestyksessä ja tiheysfunktion arvot vastaavassa järjestyksessä. Vektorit ilmoitetaan hakasuluissa ja alkiot erotetaan  pilkulla. Esimerkki: otosavaruus \( \{ 4,5,6\}\) ilmoitetaan \(\texttt{[4, 5, 6]}\) ja tiheysfunktio voisi olla esimerkiksi \(\texttt{[1/2, 1/3, 1/6]}\) (sama määrä alkioita kuin otosavaruudessa). Oikeaan vastaukseen vaaditaan, että kaikki vektorin alkiot ovat oikein.

a) \(\Omega_x = \)

b) \(f_x = \)

c) \(\Omega_y = \)

d) \(f_y = \)
Feedback: Mallivastaus: Ehdon \(3< x+2y\leq 7\) toteuttaa allaolevaan taulukkoon \(\times\):llä merkityt 8 alkeistapausta \((x,y)\), jotka muodostavat otosavaruuden \[\Omega_{(X,Y)}=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(5,1) \}\] \[\begin{array}{cc|ccccc|c} &&&&x&&&\\ &&1&2&3&4&5&\Sigma\\ \hline &1&-&\times &\times &\times &\times &4 \\ y&2&\times &\times &\times &- &- &3 \\ &3&\times&-&- &- &- &1\\ \hline &\Sigma&2&2&2&1&1&8\\ \end{array} \] Jokainen \((x,y)\) on yhtä todennäköinen, eli \[f(x,y)=\frac{1}{8},\ (x,y)\in \Omega_{(X,Y)}\] Taulukon sarake- ja rivisummista saadaan marginaalijakaumien tiheysfunktiot. \(\bullet \ f_x :\quad \Omega_x=\{1,2,3,4,5\}\) ja \[f_x(1)=\frac{1}{4}, \ f_x(2)=\frac{1}{4}, \ f_x(3)=\frac{1}{4}, \ f_x(4)=\frac{1}{8}, \ f_x(5)=\frac{1}{8}\] \(\bullet \ f_y :\quad \Omega_y=\{1,2,3\}\) ja \[f_y(1)=\frac{1}{2}, \ f_y(2)=\frac{3}{8}, \ f_y(3)=\frac{1}{8}\]

Satunnaisvektorin \(X,Y\) yhteisjakauman tiheysfunktio on \[ f(x,y)=[value]\]
otosavaruudessa  \[\Omega=\{(x,y) : 1\leq x\leq 3,\ 1\leq y\leq 2\}\].
Anna funktioiden kertoimet tarkkoina arvoina ja muista käyttää kertomerkkiä *. Potenssiin korotus ^-merkillä. Huomaa myös käyttää oikeaa muuttujaa funktioissa.

a) Mikä on marginaalijakauman tiheysfunktio \(f_x(x) \) ?

b) Mikä on marginaalijakauman tiheysfunktio \(f_y(y) \) ?

c) Ovatko satunnaismuuttujat   \(X\)  ja \(Y\) riippumattomia? Tässä c-kohdassa vain 1 vastauskerta. Mieti siis tarkasti vastauksesi ennen kuin lukitset vastauksen. Täysin vastaamatta jättäminen ei vie vastauskertaa. Vastaa 0=epätosi tai 1=tosi.
Feedback: Mallivastaus: a) \(f_x(x)=\int\limits_1^2 [value] \ dy= \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}1}^{\mspace{17mu}2} [value]=[value] \) b) \(f_y(y)=\int\limits_1^3 [value] \ dx= \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}1}^{\mspace{17mu}3} [value]=[value] \) c) Koska \[f_x(x)f_y(y)=([value])\cdot([value])=[value]=f(x,y)\] ovat satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) riippumattomia.

Neliön sivun pituus \( X\) on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on \(f(x)=\dfrac{x}{[value]}\) ja minimiarvo on [value]. Ilmoita kaikki vastaukset tarkkoina arvoina.

a) Mikä on sivun pituuden maksimiarvo \(a\)? Vastaus:

b)  \(Y=X^2\) on satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa neliön pinta-alan.  Mitä arvoja neliön pinta-ala voi saada eli mikä on \(\Omega_y\)? Ilmoita vastaus vektorina \(\texttt{[alaraja, ylaraja]}\).
Vastaus: \(\Omega_y =\)

c) Mikä on satunnaismuuttujan \(Y=X^2\) tiheysfunktio. Käytä muuttujana kirjainta \(y\). Vastaus:

d) Millä todennäköisyydellä sivun pituus \(X \geq [value]\) ? Vastaus:

e) Entä millä todennäköisyydellä pinta-ala \(Y \geq [value]\) ? Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Neliön sivun pituus \( X\) on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on \(f(x)=\dfrac{x}{[value]}\) ja minimiarvo on [value]. a) Koko otosavaruuden \([[value],a]\) todennäköisyys = 1, joten \[ P([value]\leq X\leq a)=\int\limits_{[value]}^a \dfrac{x}{[value]}\ dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}a} \dfrac{x^2}{[value]} = \dfrac{a^2}{[value]}-\dfrac{[value]^2}{[value]}=1 \Rightarrow a=[value]\] b) Kun \(X\in[[value],[value]]\), niin \(Y=X^2\in[[value],[value]]=\Omega_y\) . c) \(f(x)=\dfrac{x}{[value]},\ x\in\Omega_X=[[value],[value]]\). Nyt muunnosfunktio \(h(x)=x^2\) on derivoituva ja aidosti monotoninen. Sillä on siis käänteisfunktio \(y=h(x)=x^2 \Leftrightarrow y=\sqrt{x} = h^{-1}(y)\) Nyt satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio saadaan \[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right| = \dfrac{\sqrt{x}}{[value]}\left| \dfrac{1}{[value]\sqrt{x}}\right|=\dfrac{1}[value]\] Pinta-ala on siis tasajakautunut välillä \([[value],[value]]\). d) \[P(X \geq [value])=\int\limits_{[value]}^[value] \dfrac{x}{[value]}\ dx = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]} \dfrac{x^2}{[value]} = \dfrac{[value]}{[value]}-\dfrac{[value]}{[value]}=\dfrac{[value]}{[value]}\]. e) \[P(Y \geq [value])= \int\limits_{[value]}^[value] \dfrac{1}{[value]}\ dy = \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}[value]} \dfrac{x}{[value]} =\dfrac12\]

Satunnaisvektorin \( (X,Y) \) tiheysfunktio on \( f(x,y) = [value] \), kun \( (x,y)\in\Omega=\{ (x,y) : 0  \leq x \leq  1, \ x\leq y \leq 1\} \).
Tässä tehtävässä todennäköisyydet lasketaan tasointegraalien avulla

a)  Laske todennäköisyys \( P(X\leq [value],\ Y\geq [value]) \) =

b)  Laske todennäköisyys \( P(\ Y\geq [value]) \) =

c)  Laske todennäköisyys \( P(Y-X\geq [value]) \) =

Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella tai tarkkoina arvoina.
Feedback: Malliratkaisu: Satunnaisvektorin \( (X,Y) \) tiheysfunktio on \( f(x,y) = [value] \), kun \( (x,y)\in\Omega=\{ (x,y) : 0 \leq x \leq 1, \ x\leq y \leq 1\} \). Kaikki tapahtumat ovat otosavaruuden osajoukkoja, joten tarkastellaan joka kohdassa mikä on tapahtuman ja otosavaruuden leikkausjoukko ja esitetään se muuttujien \(X\) ja \(Y\) epäyhtälöinä. Kuva otosavaruudesta ja tapahtumasta otosavaruudessa auttaa hahmottamaan tilannetta. a) Laske todennäköisyys \( P(X\leq [value],\ Y\geq [value]) \) Tapahtuma voidaan ilmoittaa joukkona \[A=\left\{ (x,y)\in\Omega\mid 0\leq x\leq [value], \ [value]\leq y\leq 1 \right\}\] ja kysytty todennäköisyys on siis \begin{eqnarray*} P(A) & = & \iint_A [value] \ dydx = \int\limits_{0}^{[value]} \int\limits_{[value]}^{1} [value] \ dydx \\ & = & \int\limits_{0}^{[value]} \left(\ \ \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}1} [value] \right) \ dx = \int\limits_{0}^{[value]} [value] \ dx \\ & = &\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}[value]} [value] =[value] = [value] \end{eqnarray*} b) Laske todennäköisyys \( P(\ Y\geq [value]) \) Tapahtuma voidaan ilmoittaa joukkona \[B=\left\{ (x,y)\in\Omega\mid 0\leq x\leq y, \ [value]\leq y\leq 1 \right\}\]. Tämä voidaan laskea yhtenä tasointegraalina, kun integroidaan ensin \(x:\)n suhteen ja kysytty todennäköisyys on siis \begin{eqnarray*} P(B) & = & \iint_B [value] \ dxdy = \int\limits_{[value]}^{1} \int\limits_{0}^{y} [value] \ dxdy \\ & = & \int\limits_{[value]}^{1} \left(\ \ \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}y} [value] \right) \ dy = \int\limits_{[value]}^{1} [value] \ dy \\ & = &\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}[value]}^{\mspace{17mu}1} [value] =[value]=[value] \end{eqnarray*} c) Laske todennäköisyys \( P(Y-X\leq [value]) \) Tapahtuma voidaan ilmoittaa joukkona \[C=\left\{ (x,y)\in\Omega\mid 0\leq x\leq [value], \ x+[value]\leq y\leq 1 \right\}\] ja kysytty todennäköisyys on siis \begin{eqnarray*} P(C) & = & \iint_C [value] \ dydx = \int\limits_{0}^{[value]} \int\limits_{x+[value]}^{1} [value] \ dydx \\ & = & \int\limits_{0}^{[value]} \left(\ \ \mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}x+[value]}^{\mspace{17mu}1} [value] \right) \ dx = \int\limits_{0}^{[value]} [value] \ dx \\ & = &\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-18mu}0}^{\mspace{17mu}[value]} [value] \\ & = &[value]=[value] \end{eqnarray*}