Title: Tietojenkäsittelytieteen matematiikka

Oheisessa kaavakuvassa on näkyvissä Kampin kortteleita välillä Albertinkatu–Yrjönkatu ja Merimiehenkatu–Lönnrotinkatu.

[Image]

Opiskelija A kävelee joka arkiaamu kotoaan Merimiehenkadun ja Albertinkadun kulmasta (piste \(A\)) Vanhan kirkkopuiston kulmalle (piste \(B\)).

a) Oletetaan, että A kulkee aina kuvassa näkyviä teitä pitkin ja aina jompaan kumpaan nuolilla merkityistä suunnista. Kuinka monta erilaista kävelyreittiä hänellä silloin on pisteestä \(A\) pisteeseen \(B\)?

b) Oletetaan, että A poikkeaa joka arkiaamu kahvilassa pisteessä \(P\). Kuinka monta erilaista reittiä hän tällöin voi kulkea?

c) Jos A haluaakin vältellä kahvilaa eikä koskaan kulje pisteen \(P\) kautta, kuinka monta erilaista reittiä hän voi kulkea?

Saat palautetta kohtaan c) vasta vastattuasi kaikkiin kohtiin.
Feedback: a) Kävelyreitti voidaan kuvata bittijonona, jossa 0 vastaa korttelin mittaista matkaa kuvassa oikealle ja 1 korttelin mittaista matkaa kuvassa ylöspäin (tai toisinpäin). Jokainen 8 bitin jono, jossa on 3 nollaa ja 5 ykköstä, vastaa sallittua reittiä pisteestä \(A\) pisteeseen \(B\). Esimerkiksi jono \(0001\,1111\) vastaa reittiä, joka kulkee kuvan alalaitaa oikealle ja sitten oikeaa laitaa ylöspäin. Ne kolme osaa, jotka opiskelija kulkee oikealle, eli ne paikat bittijonossa, johon tulee 0, opiskelija voi valita \(\binom{8}{3}=56\) eri tavalla. Loput osat hänen täytyy kulkea ylöspäin, eli loppujen bittien täytyy olla ykkösiä. Reitti on siis määrätty täysin, kun oikealle kuljettavat osat on valittu. Näin ollen kaikkien reittivaihtoehtojen määrä on 56. b) Kävelyreitti kulkee nyt kahvilan kautta, joten bittijonon viides bitti on kiinnitetty ja se on 1, sillä opiskelijan täytyy kulkea kahvilan ohi. Mahdollisia reittejä paikasta \(A\) kahvilaan on \(\binom{4}{2} = 6\). Jokaista tällaista reittiä kohti kahvilasta paikkaan \(B\) on \(\binom{3}{1}=3\) mahdollista reittiä. Siten mahdollisia reittejä on kaikkiaan \(\binom{4}{2} \cdot\binom{3}{1} = 6 \cdot 3 = 18.\) c) Kaikki kävelyreitit paikasta \(A\) paikkaan \(B\) sisältävät sekä pisteen \(P\) kautta kulkevat että sen kautta kulkemattomat reitit. Niinpä reitit, jotka eivät kulje pisteen \(P\) kautta, saadaan kun kaikista mahdollisista reiteistä vähennetään ne, jotka kulkevat pisteen \(P\) kautta. Kohdassa a) laskettiin jo kaikki reitit ja kohdassa b) kaikki ne reitit, jotka kulkevat pisteen \(P\) kautta. Siis pisteen \(P\) kautta kulkemattomia reittejä on \(56 - 18 = 38\).

Tässä tehtävässä tutustutaan kurssimonisteen lauseeseen 8.1.13, joka selittää ”binomikerroin”-nimityksen alkuperän.

a) Määritä termin \(x^[value]y^[value]\) kerroin polynomissa \((x+y)^[value]\).

b) Laske summan \[\sum_{k = 0}^n [value]^k\binom{n}{k}\] arvo tapauksissa, jossa \(n = 1\), \(n = 2\) ja \(n=3\).

\(\sum_{k = 0}^1 [value]^k\binom{1}{k} = \)

\(\sum_{k = 0}^2 [value]^k\binom{2}{k} = \)

\(\sum_{k = 0}^3 [value]^k\binom{3}{k} = \)

Sinun on vastattava kaikkiin kolmeen kohtaan saadaksesi palautetta.

c) Mikä on summan \[\sum_{k = 0}^n [value]^k\binom{n}{k}\] arvo yleisessä tapauksessa, kun \(n\) on luonnollinen luku? Anna vastaus lausekkeena, joka riippuu muuttujasta \(n\).

d) Miten edellisen kohdan kysymys liittyy binomikaavaan (lause 8.1.13)? Kirjoita luvut \(x\) ja \(y\), joihin liittyvä binomin potenssi \((x+y)^n\) perustelee edellisen kohdan vastauksen.

\(x = \)

\(y = \)

Sinun on vastattava molempiin kohtiin saadaksesi palautetta.

e) Vapaaehtoinen lisätehtävä. Keksi ja ratkaise tehtävä, joka hyödyntää binomikertoimia ja liittyy oheisen sarjakuvan tilanteeseen: https://xkcd.com/1374/
Feedback: a) Lauseen 8.1.13 mukaan \[(x+y)^[value]=\sum_{k=0}^[value]\binom[value]{k}x^{[value]-k}y^k.\] Koska \(x^{17-k}y^k=x^[value]y^[value]\) täsmälleen silloin, kun \(k=[value]\), on kysytty kerroin \(\binom[value][value]=[value]\). b) \[\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 [value]^k\binom{1}{k} &= [value]^0\binom{1}{0} + [value]^1\binom{1}{1} = [value] + [value] = [value] \\ \sum_{k = 0}^2 [value]^k\binom{2}{k} &= [value]^0\binom{2}{0} + [value]^1\binom{2}{1} + [value]^2\binom{2}{2} = [value] +[value]\cdot 2 +[value] =[value] \\ \sum_{k = 0}^3 [value]^k\binom{3}{k} &= [value]^0\binom{3}{0} + [value]^1\binom{3}{1} + [value]^2\binom{3}{2} + [value]^3\binom{3}{3}\\ & = 1 + [value]\cdot 3 + [value]\cdot 3 + [value] = [value] \end{aligned}\] c) Kohdan b) vastauksista voi arvata, että yleinen muoto lausekkeelle on [value]. Tarkempi perustelu annetaan kohdassa d). d) Binomikaavan mukaan \[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k}\]. Kun oikeaa puolta verrataan kohdan c) lausekkeeseen, nähdään, että valitsemalla \(x=[value]\) ja \(y=1\) saadaan lausekkeet vastaamaan toisiaan. Täten kohdan c) lausekkeen arvo on \(([value]+1)^n\) eli \([value]^n\).

Tämä tehtävä liittyy geometrisiin sarjoihin, joista voit lukea kurssimateriaalin luvusta 8.2.

Tässä tehtävässä desimaalilukuja ei hyväksytä vastaukseksi vaan on käytettävä murtolukuja. Syötä murtoluvut muodossa 2/3. Voit myös syöttää vastauksen lukulausekkeena, esim. ((1-1/2)^3)/4.

Sinun on vastattava sekä a- että b-kohdassa kaikkiin alakohtiin ennen kuin saat kyseisestä kohdasta palautetta.

a) Laske seuraavien geometristen sarjojen \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k\) osasummat, kun

i) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

ii) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

iii) \(a = [value]\), \(q = [value]\) ja \(n = [value]\)

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \)

b) Suppenevatko edelliset sarjat, kun \(n\) päästetään kasvamaan rajatta? Jos sarja suppenee, laske sen summa. Vastaukseksi kelpaa joko sarjan summa, jos sarja suppenee, tai inf, mikäli sarja hajaantuu (eli \( \sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \infty \)).

i) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)

ii) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)

iii) \(a = [value]\), \(q = [value]\)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \)
Feedback: a) Lasketaan summat materiaalin lauseen 8.2.8 avulla. Jokaisen summan kohdalla pätee \(a, q \in \mathbb{R}, q \neq 1\) ja \(n \in \mathbb{N}, n \neq 0\). Voimme siis käyttää lausetta osasummien laskemiseen. i) \begin{align*} S_[value] &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot [value]^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-[value]^[value]}{1-[value]}\\ &= [value] \end{align*} ii) \begin{align*} S_[value] &=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot \left([value]\right)^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-\left([value]\right)^[value]}{1-\left([value]\right)}\\ &= [value] \end{align*} iii) \begin{align*} S_[value] &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} aq^k \\ &= \displaystyle\sum_{k=0}^{[value]-1} [value] \cdot \left([value]\right)^k \\ &\overset{L.8.3.8.}{=} [value] \cdot \frac{1-\left([value]\right)^[value]}{1-[value]}\\ &= [value] \end{align*} b) Materiaalin lauseen 8.2.12. mukaan geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos sen suhdeluvulle \(q\) pätee \(-1<q<1\). Tällöin saamme summan laskettua kaavalla \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \frac{a}{1-q}\). Näin ollen: i) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot [value]^k \) ei suppene, sillä \([value] < 1.\) Tällöin \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot [value]^k = \infty\), joten sarja hajaantuu. ii) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \) suppenee, sillä \(-1 < [value] < 0.\) Sarjan summa on \[ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \overset{L.8.2.12}{=} \frac[value]{1-\left([value]\right)} =\frac[value][value] = [value] \]. iii) sarja \( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \) suppenee, sillä \(0 < [value] < 1.\) Sarjan summa on \[ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} [value] \cdot \left([value]\right)^k \overset{L.8.2.12}{=} \frac[value]{1-[value]} = \frac[value][value]= [value] \].

Tämä tehtävä liittyy geometrisiin lukujonoihin, joista voit lukea kurssimateriaalin luvusta 8.2.

Pohdi kohdissa a) ja b), voisiko lukujono olla geometrinen? Jos jono on geometrinen, laske myös jonon suhdeluku.

a) \([value], [value], [value], [value], \dots\)

Lukujono voi olla geometrinen?

Mikä on jonon suhdeluku? Jos jono ei ole geometrinen, vastaa 0.

b) \([value], [value], [value], [value], \dots\)

Lukujono voi olla geometrinen?

Mikä on jonon suhdeluku? Jos jono ei ole geometrinen, vastaa 0.

Kohdissa c) ja d) laske lukujonon \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) neljä ensimmäistä termiä ja kerro, onko lukujono geometrinen.

 c) \(a_0 = [value]\) ja \(a_n = na_{n-1}\) kaikilla \(n \in \mathbb{N} \setminus\{0\}\).

\( a_0 = \)
\( a_1 = \)
\( a_2 = \)
\( a_3 = \)

Onko lukujono geometrinen?

 d) \(a_n = 1+\sum_{i=0}^n 2^i\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

\( a_0 = \)
\( a_1 = \)
\( a_2 = \)
\( a_3 = \)

Onko lukujono geometrinen?
Feedback: a) Lukujono voi olla geometrinen, sillä sen ensimmäiset jäsenet kasvavat samassa suhteessa. Suhdeluku eli kahden perättäisen jäsenen välinen suhde on koko ajan [value]. Nimittäin: \([value]=[value]\cdot [value]\), \([value]=[value]\cdot [value]\) ja \([value]=[value]\cdot [value]\). b) Lukujono ei ole geometrinen, sillä esimerkiksi kahden ensimmäisen jäsenen suhde on \([value] / [value] = [value]\), mutta neljännen ja kolmannen jäsenen suhde on \([value] / [value] = [value]\). c) Lasketaan: \begin{align*} a_0 &= [value] \\ a_1 &= 1\cdot [value] = [value] \\ a_2 &= 2\cdot [value] = [value] \\ a_3 &= 3\cdot [value] = [value].\end{align*} Lukujono ei ole geometrinen. Esimerkiksi ensimmäisten kahden jäsenen suhde on \(a_1/a_0=[value]/[value]=[value]\), mutta seuraavien jäsenten suhde on \(a_2/a_1=[value]/[value]=[value]\). d) Lasketaan: \begin{align*} a_0 &= 1+2^0 = 1+1=[value] \\ a_1 &= 1+(2^0+2^1) = 1+(1+2)=[value] \\ a_2 &= 1+(2^0+2^1+2^2) = 1+(1+2+4)=[value] \\ a_3 &= 1+(2^0+2^1+2^2+2^3) = 1+(1+2+4+8)=[value]. \end{align*} Lukujono on geometrinen. Tämän voi arvata ensimmäisten jäsenten perusteella, mutta tarkkaan päättelyyn voidaan käyttää esimerkiksi geometrisen sarjan osasummien kaavaa. Sen mukaan \[\sum_{i=0}^n 2^i = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} = \frac{1-2^{n+1}}{-1} = 2^{n+1}-1,\] joten peräkkäisten jäsenten suhde on \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1+(2^{n+2}-1)}{1+(2^{n+1}-1)} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2.\] Jos olet pelannut peliä 1024 tai sen varianttia, saatat huomata tässä kohdassa yhtäläisyyden kyseisen pelin kanssa.

Eräässä yliopistossa irtisanottiin yt-neuvotteluissa joka kevät 10 % tutkijoista, ja kesäisin tilannetta yritettiin korjata rekrytoimalla \([value]\) uutta tutkijaa.

Tarkastellaan lukujonoa \((a_n)\), jossa jäsen \(a_n\) ilmaisee tutkijoiden määrän vuoden \(n\) syyslukukauden alussa (\(n = 0\) vastaa vuotta 2018).

a) Muodosta rekursioyhtälö, joka kertoo, miten \(a_{n+1}\) riippuu luvusta \(a_n\). Kirjoita luku \(a_n\) muodossa an.

\( a_{n+1} =\)

b) Tuntematon luku \(a_0\) ilmaisee tutkijoiden määrän syyslukukauden 2018 alussa. Kirjoita lausekkeet, joka kuvaavat tutkijoiden määrää yhden, kahden ja kolmen vuoden kuluttua riippuen alkuarvosta \(a_0\). Kirjoita luku \(a_0\) muodossa a0. Lausekkeet eivät saa riippua muista muuttujista.

\( a_1 =\)

\( a_2 =\)

\( a_3 =\)

c) Jatkamalla samaan tapaan voidaan päätellä yleinen kaava luvulle \(a_n\). Täytä alla olevaan kaavaan puuttuvat osat. Kirjoita jälleen luku \(a_0\) muodossa a0.

\(a_n = \) \( + \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \)

d) Oletetaan, että vuoden 2019 kevätlukukauden alussa yliopistossa oli \([value]\) tutkijaa. Jos tilanne jatkuu samankaltaisena, arvioi geometrisen sarjan summakaavan avulla tutkijoiden lukumäärää 20 vuoden kuluttua. Pyöristä lopputulos alaspäin kokonaisluvuksi.

\(a_{20} = \)
Feedback: Ratkaisu a) Koska keväisin 10 % tutkijoista irtisanotaan ja 90 % jää jäljelle, ja kesän jälkeen [value] uutta tutkijaa aloittaa työnsä, niin seuraavan syyslukukauden alussa tutkijoita on \(a_{n+1} = 0.9a_n + [value].\) b) Lasketaan rekursioyhtälöä käyttäen: \( a_1 = [value] \) \( a_2 = [value]\cdot([value])+[value] = [value] \) \( a_3 = [value]\cdot([value])+[value] = [value]. \) c) Edellisestä kohdasta huomataan, että alkuperäinen lukumäärä \(a_0\) tulee joka vuosi kerrottua luvulla 0.9. Tähän lisätään joka vuosi luku [value], joka tulee myös kerrottua luvulla 0.9 kaikkina lisäystä seuraavina vuosina. Näin ollen yhteismääräksi tulee \[ a_n=0.9^n \cdot a_0 + \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}0.9^j\cdot [value]. \] d) Käytetään geometrisen sarjan summakaavaa. Kahdenkymmenen vuoden kuluttua tutkijamäärä yliopistolla on \[ \begin{split} a_{20} &= 0.9^{20}\cdot a_0 + \sum_{j = 0}^{20-1} 0.9^j\cdot [value]= 0.9^{20}\cdot [value] + \sum_{j = 0}^{19} 0.90^j \cdot [value] \\ &= 0.90^{20}\cdot[value] +[value] \cdot \frac{1-0.90^{20}}{1-0.90} \approx [value].\end{split}\]

Kuvan prosessi kuvaa ns. Kochin lumihiutaleen muodostusta. (Niels Fabian Helge von Koch, 1870–1924, ruotsalainen matemaatikko.)

[Image]
CC BY-SA 3.0, Link

Sivut

Lasketaan esimerkin vuoksi, paljonko sivuja Kochin lumihiutaleella on konstruktion eri vaiheissa. Merkitään sivujen lukumäärää vaiheessa \(n\) symbolilla \(s_n\). Sivulla tarkoitetaan reunan suoraa osaa. Sivuja tulee koko ajan lisää, ja samalla ne lyhenevät, mutta kussakin vaiheessa kaikki sivut ovat samanpituisia. Alkuperäinen kolmio edustaa vaihetta \(n=0\), joten \(s_0=3\).

Kussakin vaiheessa kaikille kuvion sivuille lisätään ”väkänen”, joten kustakin sivusta tulee uuteen vaiheeseen neljä sivua. Täten voidaan päätellä, että sivujen määrä vaiheessa \(n+1\) riippuu sivujen määrästä edellisessä vaiheessa kaavan \(s_{n+1}=4s_n\) mukaisesti. (Tämä on ns. rekursiokaava, joka ilmaisee jonkin arvon riippuvuuden edellisen vaiheen arvosta.)

Koska sivujen lukumäärä kasvaa joka vaiheessa nelinkertaiseksi, jono \(s_n\) on geometrinen, ja sen suhdeluku on 4. Sivujen lukumäärän riippuvuus vaiheesta \(n\) voidaan ilmaista seuraavasti: \(s_n=3\cdot 4^n\).

Piiri

Selvitetään seuraavaksi Kochin lumihiutaleen piirin eli ulkoreunan pituuden käyttäytymistä.

Merkitään symbolilla \(a_n\) kunkin sivun pituutta vaiheessa \(n\). Oletetaan, että alkuperäisen kolmion sivun pituus on 1, eli \(a_0=1\).

a) Muodosta lauseke, joka kuvaa Kochin lumihiutaleen vaiheen \(n+1\) sivun pituuden riippuvuutta edellisen vaiheen sivun pituudesta. (Kyseessä on siis rekursiokaavan muodostaminen.) Kirjoita \(a_n\) muodossa an.

\(a_{n+1} = \)

b) Muodosta sitten lauseke, joka kuvaa kunkin vaiheen sivun pituuden riippuvuutta suoraan luvusta \(n\) (ilman rekursiota eli riippuvuutta edellisistä vaiheista).

\(a_n = \)

c) Merkitään symbolilla \(p_n\) Kochin lumihiutaleen piiriä (eli ulkoreunan pituutta) konstruktion vaiheessa \(n\). Muodosta lauseke, joka kuvaa piirin riippuvuutta luvusta \(n\).

\(p_n = \)

d) Jos Kochin lumihiutaleen muodostusprosessia jatketaan äärettömän kauan, mikä on tuloksena saatavan kuvion piiri \(p\)? Jos olet sitä mieltä, että piiri on ääretön, kirjoita inf.

\(p = \)
Feedback: Ratkaisu a) Joka vaiheessa kuvion sivu pienee kolmasosaan edellisen vaiheen sivun pituudesta, joten \(a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n\). b) Eri vaiheiden sivun pituudet muodostavat geometrisen jonon, jonka suhdeluku on \(1/3\). Alkuperäisen kolmion sivun pituus on 1, joten \(a_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\). c) Kuvion piiri saadaan kertomalla sivujen lukumäärä yhden sivun pituudella, joten \(p_n=s_n\cdot a_n=[value]\cdot[value]=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^n\). d) Kun \(n\) kasvaa rajatta, kuvion piiri \(p_n\) kasvaa myös rajatta.

Tämä tehtävä liittyy osajoukkojen lukumäärän selvittämiseen binomikertoimien avulla. Aiheesta kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 8.1.

a) Jalkapallojoukkueessa on \([value]\) henkeä. Ennen peliä heistä \([value]\) valitaan pelaajiksi ja \([value]\) vaihtopelaajiksi. Kuinka monella eri tavalla tämä valinta voidaan tehdä?

b) Luennoitsija laatii kertaustehtäviksi \([value]\) väitettä, joista jokainen on tosi (T) tai epätosi (E). Väitteistä \([value]\) on tosia. Kuinka monta erilaista oikeaa vastausriviä on mahdollista muodostaa vaihtelemalla väitteiden järjestystä?

c) Korttipakassa on \(52\) korttia, joista tasan \(4\) on ässiä ja tasan \(4\) kuningattaria. Montako erilaista [value] kortin joukkoa on olemassa, jotka sisältävät tasan \(1\) ässän ja [value] kuningatarta (ja lisäksi muita kortteja)?
Feedback: a) Joukkueen [value] pelaajasta saadaan valittua \[\binom[value][value] = [value]\] erilaista [value] pelaajan kokoonpanoa. b) Vastausrivit voidaan muodostaa ottamalla [value] eri tehtävänumeroa ja antamalla niille todet väitteet ja lopuille [value] epätodet väitteet. Nämä [value] voidaan valita \[ \binom[value][value] = [value] \] eri tavalla. c) Joukkoon tulevalle ässälle on [value] vaihtoehtoa, kuningattarille \(\binom{4}{[value]}=[value]\) vaihtoehtoa ja lopuille korteille \(\binom{44}{[value]}=[value]\) vaihtoehtoa. Tuloperiaatetta soveltaen saadaan yhteensä \([value]\cdot[value]\cdot[value]=[value]\) erilaista joukkoa.

Tämä tehtävä perustuu kurssimateriaalin lukuun 8.3, erityisesti esimerkkeihin 8.3.6 ja 8.3.7.

Määritä seuraavat logaritmit tai niiden likiarvot jakolaskun avulla välivaiheineen. Anna vastaukseksi laskemasi välivaiheet sekä varsinainen logaritmi. Esimerkiksi logaritmin \(\log_2 40\) välivaiheet annettaisiin muodossa [20, 10, 5, 2.5, 1.25], missä viimeinen likiarvo on lähinnä ykköstä. Logaritmin vastaus olisi tällöin 5 (likiarvo).

Käytä välivaiheiden likiarvoissa kahden desimaalin tarkkuutta. Varsinaisen logaritmin likiarvo on tarkoitus antaa kokonaisluvuksi pyöristettynä. Viimeisessä kohdassa vastauksen tulee sisältää muuttuja \(n\).

 a) \( \log_2 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

b) \( \log_2 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

c) \( \log_3 [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

d) \( \log_{10} [value] \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

e) \( \log_2 (2^[value] \cdot 2^[value]) \)

Välivaiheet:

Logaritmi:

f) \( \log_2 ([value]\cdot 8^n) \), missä \(n\in\mathbb{N}\)

Logaritmi:
Feedback: Ratkaisu a) 2-kantainen logaritmi luvusta 1024 kertoo kuinka monta kertaa se on jaettava luvulla 2, jotta tulos olisi 1. Tutkitaan, voidaanko lukua 1024 toistuvasti luvulla 2 jakamalla saada osamääräksi 1. \begin{align*} \frac{1024}{2}&=512, & \frac{512}{2}&=256, & \frac{256}{2}&=128, &\frac{128}{2}&=64, & \frac{64}{2}&=32, \\ \frac{32}{2}&=16,& \frac{16}{2}&=8,& \frac{8}{2}&=4, & \frac{4}{2}&=2, & \frac{2}{2}&=1. & &\end{align*} Kun luku 1024 jaettiin luvulla 2 kymmenen kertaa saatiin osamääräksi 1, joten \( \log_2 1024=10\). b) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 2. \begin{align*} \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], & \frac[value]{2}&=[value], \\ \frac[value]{2} &= [value], & \frac[value]{2}&= [value], & \frac[value]{2}&= [value], & \frac[value]{2}&= [value]. \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 2 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_2 [value]\approx [value]\). c) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 3. \begin{align*} \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&=[value],\\ \frac[value]{3}&=[value], & \frac[value]{3}&= [value]. & & \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 3 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_3 [value]\approx [value]\). d) Jaetaan lukua [value] toistuvasti luvulla 10. \begin{align*} \frac[value]{10}&=[value],& \frac[value]{10}&=[value],& \frac[value]{10}&=[value], \\ \frac[value]{10}&=[value], & \frac[value]{10}&=[value], & \frac[value]{10}&=[value] , \\ \frac[value]{10}&=[value] & & & & \end{align*} Huomataan, että jakamalla lukua [value] toistuvasti luvulla 10 ei saada osamääräksi lukua 1. Lähimmäksi päästiin jakamalla se [value] kertaa, joten \( \log_{10} [value]\approx [value]\). e) Jaetaan lukua \(2^3\cdot 2^4\) toistuvasti luvulla 2. \begin{align*} \frac{2^3\cdot 2^4}{2}&=2^3\cdot 2^3,& \frac{2^3\cdot 2^3}{2}&=2^3\cdot 2^2,& \frac{2^3\cdot 2^2}{2}&={2^3\cdot 2}, \\ \frac{2^3\cdot 2}{2}&=2^3, & \frac{2^3}{2}&=2^2, & \frac{2^2}{2}&={2} , \\ \frac{2}{2}&=1 & & & & \end{align*} Kun luku \(2^3\cdot 2^4\) jaetaan luvulla 2 seitsemän kertaa, saadaan lopulta osamääräksi 1. Tämän näkee myös siitä, että \(2^3\cdot 2^4\) on saatu kertomalla luku 2 ensin kolme kertaa itsellään ja tämän jälkeen vielä neljä kertaa. Luvussa \(2^3\cdot 2^4\) esiintyy siis tekijä 2 yhteensä \(3+4=7\) kertaa. f) Luku \(8^n\) voidaan kirjoittaa muodossa \((2\cdot 2\cdot 2)^n\). Tästä nähdään, että aina kun luku \(8^n\) jaetaan kolmasti luvulla \(2\), eksponentista \(n\) voidaan vähentää yksi: \[8^n/2/2/2=\dfrac{(2\cdot 2\cdot 2)^n}{2\cdot 2\cdot 2}=(2\cdot 2\cdot 2)^{n-1}=8^{n-1}.\] Siispä kun luku \([value]\cdot 8^n\) on jaettu yhteensä \(3n\) kertaa, jaettavana on jäljellä enää luku \([value]\). Tämä on vielä jaettava \([value]\) kertaa, jotta päästään lähelle ykköstä. Näin ollen jakoja tarvitaan yhteensä \(3n+[value]\), joten tämä on kysytyn logaritmin likiarvo.

Tutustu logaritmin laskusääntöihin kurssimateriaalin luvussa 8.3.

Oletetaan, että \(a \in \mathbb{R}\) ja \(a > 1\). Täydennä seuraavat virkkeet jollain luvuilla. Kaikki logaritmit tarkoittavat tässä 2-kantaisia logaritmeja.

a) Kun luku \(a\) kasvaa [value]-kertaiseksi, sen logaritmi kasvaa luvulla .

b) Kun luku \(a\) korotetaan potenssiin [value], sen logaritmi kasvaa -kertaiseksi.

c) Kun luku \(3\) muuttuu luvuksi , sen logaritmi kasvaa [value]-kertaiseksi.

Mitä voit edellisten kohtien nojalla päätellä luvun logaritmin kasvunopeudesta luvun itsensä kasvunopeuteen verrattuna?

Hanoin torni on peli, jossa siirretään kiekkoja pylväästä toiseen. Jos renkaiden lukumäärä on \(n\), siirtoja pelin voittamiseen tarvitaan \(2^n-1\). Oletetaan, että pystyt tekemään yhden siirron sekunnissa.

d) Kuinka monta tuntia menee 15 kiekon Hanoin tornin siirtämiseen? Vastaa lähimmän kokonaisluvun tarkkuudella.

e) Montako kiekkoa tarvitaan, jotta tornin siirtämiseen menisi 30 vuorokautta? Vastaa lähimmän kokonaisluvun tarkkuudella.
Feedback: a) Koska \(\log_2([value]a)=\log_2([value])+\log_2(a)=[value]+\log_2(a)\), luvun \(a\) 2-kantainen logaritmi kasvaa luvulla [value], kun \(a\) kasvaa [value]-kertaiseksi. b) Koska \(\log_2(a^[value])=[value]\log_2(a)\), luvun \(a\) 2-kantainen logaritmi kasvaa [value]-kertaiseksi, jos \(a\) korotetaan potenssiin [value]. c) Tehtävässä haetaan ratkaisua yhtälöön \(\log_2(x)=[value]\cdot\log_2(3)\). Logaritmin laskusääntöjen mukaan \([value]\cdot\log_2(3)=\log_2(3^[value])=\log_2([value]).\) Tästä nähdään, että \(x=[value]\). d) 15 kiekon siirtämiseen menee noin \(2^{15}=32768\) sekuntia. Koska tunnissa on 3600 sekuntia, tunteja kuluu yhteensä \(32768/3600\approx 9{,}1\) eli noin 9 tuntia. Torni olisi siis siirretty yhden pitkän työpäivän päätteeksi. e) 30 vuorokaudessa on \(30\cdot 24\cdot 3600=2592000\) sekuntia, siis noin kaksi ja puoli miljoonaa sekuntia. Etsitään siis lukua \(n\), jolle pätee \(2^n-1=2592000\). Logaritmien avulla saadaan \(n=\log_2 2592001=\ln 2592001 / \ln 2\approx 21{,}3\). Kiekkoja tarvitaan siis 21, vain kuusi enemmän kuin edellisessä kohdassa.

a) Ratkaise seuraavasta yhtälöstä muuttuja \(x\). Käytä vastauksessasi luonnollista logaritmia ja kirjoita se muodossa log, esimerkiksi \(\ln 3\) kirjoitetaan log(3).

\[[value]\cdot [value]^x=[value]\]

\(x = \)

b) Opiskelijakahvi maksaa eräällä yliopistolla [value] euroa. Kahvin hinta nousee joka vuosi [value] prosentilla. Kuinka monen vuoden kuluttua opiskelijakahvin hinta on kaksi kertaa niin kallis kuin nyt? Anna vastauksesi kokonaislukuna ylöspäin pyöristettynä.
Feedback: Ratkaisu a) Ratkaistaan yhtälö: \begin{align*}[value]\cdot [value]^x=[value] & \iff [value]^x=\frac{[value]}{[value]}=[value]\\ & \iff \ln([value]^x)=\ln\left([value]\right) \\ & \iff x\ln([value])=\ln\left([value]\right) \\ & \iff x = [value]. \end{align*} b) Merkitään kysyttyä vuosien määrää muuttujalla \(x\). Opiskelijakahvin hinta on \(x\) vuoden kuluttua \[[value]\cdot\left([value]\right)^x = 2 \cdot [value].\] Tämä on tutkittava yhtälö. Ratkaistaan: \begin{align*} [value]\cdot\left([value]\right)^x = 2 \cdot [value] & \iff \left([value]\right)^x= 2 \\ & \iff x\ln\left([value]\right) = \ln{2} \\& \iff x = \frac{\ln 2}{\ln[value]} = [value].\end{align*} Vastausta pyydettiin kokonaislukuna. Näin ollen opiskelijakahvin hinta on kaksinkertaistunut \([value]\) vuoden kuluttua.

Palauta mieleesi 2-kantaisen logaritmin määritelmä. Ratkaise sitten luku \(x\) seuraavissa tapauksissa. Anna vastaukseksi tarkat arvot. Älä käytä desimaalilukuja. Ilmaise kaksikantainen logaritmi, eslm. \(\log_2(10)\), muodossa log(10)/log(2).

a) \(\log_2(x) = [value]\)

\(x = \)

b) \(\log_2(x) = [value]\)

\(x = \)

c) \(2^x = [value]\)

\(x = \)

d) \(2^{[value]x-[value]} = [value]\)

\(x = \)
Feedback: Ratkaisu Määritelmänä käytetään: \(\log_2(x)=y\), jos ja vain jos \(2^y=x\). a) \(\log_2(x) = [value] \ \iff \ x=2^[value]=[value]\) b) \(\log_2(x) = [value] \ \iff \ x=2^[value]=2^[value]\cdot 2^{1/2}= 2^[value]\sqrt{2}\) c) \(2^x = [value] \ \iff \ x=\log_2([value]) = [value]\) d)\begin{align*} 2^{[value]x-[value]} = [value] & \iff [value]x-[value]=\log_2([value]) \\ & \iff [value]x=\log_2([value])+[value] \\ & \iff x=\dfrac{1}[value]\bigl(\log_2([value])+[value]\bigr) = \dfrac{1}[value]\bigl([value]+[value]\bigr) \\ & \qquad\quad = \dfrac{1}[value] \cdot [value] = [value] \end{align*}

Erään geometrisen lukujonon \((a_n)\) toinen jäsen on \(a_1=[value]\) ja neljäs jäsen \(a_3=[value]\). Lisäksi tiedetään, että jonon ensimmäinen jäsen \(a_0\) on [value].

a) Mikä on jonon suhdeluku?

b) Mikä on jonon ensimmäinen jäsen?

c) Mikä on sarjan \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) summa? Voit antaa vastauksen sieventämättömänä lausekkeena. Vastaa und (niin kuin "undefined") jos sarja ei suppene.
Feedback: Ratkaisu a) Jos suhdelukua merkitään \(q\), tiedetään, että \(a_2=q\cdot a_1\), jolloin \(a_3=q\cdot a_2=q^2\cdot a_1\). Näin ollen \[q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{[value]}{[value]}=[value].\] Tästä saadaan \(q=\pm([value])\). Koska lisäksi \(a_0\) on [value] ja \(a_1=q\cdot a_0\), voidaan päätellä, että \(q=[value]\). b) Koska \(a_1=q\cdot a_0\), voidaan edellisen kohdan perusteella laskea \(a_0=\dfrac{a_1}{q}=\dfrac{[value]}{[value]}=[value]\). c) Geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos suhdeluvulle \(q\) pätee \(-1<q<1\). Jos sarja suppenee, sen summa on kaavan mukaan \(\sum_{n=0}^\infty a_n=\dfrac{a_0}{1-q}\). Koska \(q=[value]\), sarja [value], ja sen summa on [value].