Title: DIL Osaamistesti 3

Q: (a) Täydennä seuraavien olioiden kohdalle niiden kuvaus, sekä tieto niiden suppenemisesta tai hajaantumisesta.

\(\displaystyle (a_n)_{n = 1}^{\infty}, \ a_n = n + 1 \text{ TAI } \frac{1}{n + 1}\) | [...] | [...] (10-11)
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n\) | [...] | [...] (10-11)
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\) | [...] | [...]
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}\) | [...] | [...]
TAI |  |
\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\) | [...] | [...]

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Leibnizin testillä voidaan tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan sarja suppenee silloin, kun sarjan [...] ja sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.

TAI

(b) Täydennä seuraavan tekstin tyhjät kohdat.

Suhdetestillä voidaan yrittää tutkia [...] sarjan [...]. Sen mukaan sarja suppenee silloin, kun sarjan [...] ja sarjan [...]. Jos [...], tämä testi ei anna tulosta.
Also offered: vuorotteleva sarja; Taylorin sarja; Maclaurinin sarja; Fibonaccin jono; positiivitermisen; negatiivitermisen; hajaantumista; termien itseisarvo kasvaa jostakin indeksin arvosta eteenpäin; termien itseisarvo vähenee johonkin indeksin arvoon saakka; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on suurempi kuin 1; termien itseisarvojen raja-arvo on 1; termien itseisarvojen summa on äärellinen; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on suurempi kuin 1; kumpikaan ehdoista ei toteudu; termien itseisarvot eivät suppene kohti nollaa; peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on suurempi kuin 1; edellä päädytään ristiriitaan
A: lukujono; suppenee; geometrinen sarja; suppenee; harmoninen sarja; hajaantuu; aliharmoninen sarja; hajaantuu; yliharmoninen sarja; suppenee; vuorottelevan; suppenemista; termien itseisarvo vähenee jostakin indeksin arvosta eteenpäin; termien itseisarvot suppenevat kohti nollaa; vähintään toinen ehdoista ei toteudu; minkä tahansa; suppenemista tai hajaantumista; peräkkäisten termien suhteen itseisarvolla on raja-arvo; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on pienempi kuin 1; peräkkäisten termien suhteen itseisarvon raja-arvo on 1
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Tutkitaan potenssisarjan

\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(x - c)^n = \sum_{n = 0}^{\infty}[value]\)

suppenemisväliä suhdetestin avulla. Raja-arvo

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}(x - c)^{n + 1}}{a_n(x - c)^n}\right| = \lim_{n \to \infty}\) \(\cdot \big|[value]\big|=\) \(\cdot \big|[value]\big|\),

joten potenssisarja suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

\(\big|[value]\big|\) ,

ja hajaantuu silloin, kun

\(\big|[value]\big|\) .

Niinpä potenssisarjan suppenemissäde on \(R =\) . Koska potenssisarjan kehityskeskus on \(x =\) , sarja suppenee ainakin välillä

\(,\) .

(Valitse yllä väli sekä pudotusvalikoista siihen liittyvät sulut.)

Tutkitaan sitten potenssisarjan suppenemista edellä saadun välin päätepisteissä ja aloitetaan pienemmästä päätepisteestä. Kun \(x =\) , potenssisarja supistuu muotoon

\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\) , joka .

Kun taas \(x =\) , potenssisarja supistuu muotoon

\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\) , joka .

Yhdistämällä nämä tiedot potenssisarjan suppenemisväliksi saadaan

\(,\) .

(Valitse yllä väli sekä pudotusvalikoista siihen liittyvät sulut.)

Tämän informaation perusteella voidaan päätellä nopeasti, että sarja

\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}[value]\)

ja että sarja

\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}[value]\) .

Mikä on seuraavan 2. kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sekä alkuehdot  \(y(0)=[value], \  y'(0)=[value] \)   toteuttava ratkaisu? Huomaa, että yhtälöstä puuttuu termi \(y\) ja tämä ei ole vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö.
\[([value])y''+[value]y'=[value]\]
Feedback: Differentiaaliyhtälö \(([value])y''+[value]y'=[value],\ x>0\) muuttuu sijoituksella \(z=y'\) 1. kertaluvun lineaariseksi epähomogeeniseksi differentiaaliyhtälöksi \[([value])z'+[value]z=[value] \Rightarrow z'+\frac{[value]}{[value]} z=\frac{[value]}{[value]}\] Termin \(z\) kerroinfunktio on \[a(x)=\frac{[value]}{[value]} \Rightarrow A(x)=\int \frac{[value]}{[value]}\ dx =\ln([value])\] joten integroiva tekijä on \[e^{\ln([value]) }=[value]\] Kerrotaan yhtälö integroivalla tekijällä puolittain \begin{eqnarray*} &&z'+\frac{[value]}{[value]} z=\frac{[value]}{[value]} \quad | \cdot [value]\\ &\Rightarrow& ([value])z'+[value] z=[value] \\ &\Rightarrow& D(([value])z) = [value] \\ &\Rightarrow&([value])z= [value] +C \\ &\Rightarrow& z= \dfrac{[value] +C}{[value]}\\ &\Rightarrow& y= \int \dfrac{[value] +C}{[value]}\ dx = [value]+C\left([value]\right) + D \end{eqnarray*} Alkuehdoista saadaan ratkaistua vakiot \(C\) ja \(D\) \[ y'(0)=z(0)= \dfrac{[value]\cdot 0 +C}{1+0^2} = [value] \Rightarrow C=[value]\] \[ y(0)=z(0)= D= [value] \Rightarrow D=[value]\] Alkuarvotehtävän vastaus on \[y(x)=[value]+[value]\left([value]\right) + [value]\]

Sarjojen osaamistesti ja koko kurssia koskevat palautettavat tehtävät

Vastaa kaikkiin kohtiin. Voit käyttää Matlabia vapaasti apunasi. Aikaa suoritukseen on 1 tunti 55 minuuttia. Muista pitää silmällä jäljellä olevaa aikaa.

Tehtävien 1-2 osalta vastauksia ei lukita erikseen, ja viimeiseksi antamasi vastaus jää voimaan. Vastaukset palautuvat automaattisesti suoritusajan lopussa.

Tehtävät 3-4 ovat palautettavia tehtäviä, joiden ratkaisut kirjoitetaan esimerkiksi Matlabin Live Editorilla, ja niistä tehty pdf-tiedosto palautetaan tenttiaktiviteetin alla sijaitsevaan palautusaktiviteettiin. Matlabissa pdf-tiedoston saa tehtyä Live Editor -välilehdellä valitsemalla Export as PDF. Matlabia saa käyttää myös laskentaan, mutta palautettavien tehtävien tarkastuksessa pisteytetään nimenomaan laskennan välivaiheita ja osa välivaiheista tuottaa enemmän pisteitä käsin kirjoitettuna kuin Matlabilla laskettuna.

Muista kirjoittaa kaikki kertomerkit paikalleen, sekä käytä sulkuja tarpeen mukaan. Hyödynnä myös seuraavia syöttöohjeita.

- peruslaskutoimitukset: +, -, *, /, ^
- itseisarvo: abs(x)
- neliöjuuri: sqrt(x)
- luku \(\pi\): pi
- ääretön \(\infty\): inf
- trigonometriset funktiot: sin(x), cos(x)
- eksponenttifunktio: e^x tai exp(x)
- luonnollinen logaritmifunktio: ln(x)

Kaavoja:

\[\int f'(x)g(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \, dx \]

\[\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]

\[s= \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\]

\[A= 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\]

\[V= \pi \int_a^b f(x)^2 \, dx\]