Title: Aiheviikko 4

Find the general solution \(y(t)\) for the differential equation \[ y''(t) = [value].\] Also, find the particular solution \(y_{e}(t)\), for which it holds that \(y([value])=[value]\) and \(y'([value])=[value]\). Note that the general solution needs to contain constants, as well. Hint: How would you write the characteristic polynomial for the corresponding homogeneous equation? Etsi yleinen ratkaisu \(y(t)\) differentiaaliyhtälölle \[ y''(t) = [value].\] Etsi lisäksi se erikoisratkaisu \(y_{e}(t)\), joka toteuttaa alkuarvot \[y([value])=[value] \text{ ja } y'([value])=[value]\]. Huomaa, että yleisessä ratkaisussa täytyy olla vakiotermejä. Vihje: Kuinka kirjoitat yhtälön homogeenisen osan karakteristisen polynomin?

\(y(t) = \)

\(y_{e}(t) = \)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: We want to solve the differential equation \[ y''(t) = [value]. \] The equation in question is a second order differential equation. Since the equation is of suitable form, we can find the solution by integrating it twice.Tehtävänämme on ratkaista differentiaaliyhtälö \[ y''(t) = [value]. \] Kyseessä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Koska yhtälö on sopivaa muotoa, voidaan se ratkaista integroimalla kahteen kertaan. Let us integrate both sides of the equation with respect to \(t\): \[\begin{array}{rll} \int y''(t) dt & = & \int \left([value] \right) dt \\ y'(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt \\ y'(t) & = & [value] + [value] + C \\ \end{array}\] We integrate once more: \[\begin{array}{rll} \int y'(t) dt & = & \int \left( [value] + [value] + C \right) dt \\ y(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt + \int C dt \\ y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ \end{array}\] Now we have found the general solution for the differential equation, \[ y(t) = [value] + [value] + C t + D .\] Integroidaan puolittain muuttujan \(t\) suhteen: \[\begin{array}{rll} \int y''(t) dt & = & \int \left([value] \right) dt \\ y'(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt \\ y'(t) & = & [value] + [value] + C \\ \end{array}\] Integroidaan vielä toiseen kertaan: \[\begin{array}{rll} \int y'(t) dt & = & \int \left( [value] + [value] + C \right) dt \\ y(t) & = & \int [value] dt + \int [value] dt + \int C dt \\ y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ \end{array}\] Nyt olemme siis saaneet selville differentiaaliyhtälön yleisen ratkaisun, \[ y(t) = [value] + [value] + C t + D .\] To find the particular solution, we need to determine the values for the constants \(C\) and \(D\) using the initial conditions. According to the first initial condition \[ y([value])=[value] ,\] so substituting in the equation \(y(t) = [value] + [value] + C t + D\) we get \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value]+[value]+[value] + D \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] According to the second initial condition \[ y'([value])=[value] ,\] so substituting in the equation \( y'(t) = [value] + [value] + C \) we get \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value] + [value] + C \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Thus, the values of the constants are \(C = [value]\) and \(D = [value]\). Substituting these in the expression for the general solution we get \[\begin{array}{rll} y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ & = & [value] + [value]. \end{array}\] The particular solution satisfying the initial conditions is therefore \[y_e(t) = [value] + [value].\] Erikoisratkaisua varten täytyy vakioiden \(C\) ja \(D\) arvot ratkaista alkuehtojen avulla. Ensimmäisen alkuehdon mukaan \[ y([value])=[value] ,\] joten lausekkeeseen \(y(t) = [value] + [value] + C t + D\) sijoittamalla saadaan \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value]+[value]+[value] + D \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Toisen alkuehdon mukaan \[ y'([value])=[value] ,\] joten lausekkeeseen \( y'(t) = [value] + [value] + C \) sijoittamalla saadaan \[\begin{array}{rll} [value] & = & [value] + [value] + C \\ [value] & = & [value] \\ [value] & = & [value] . \end{array}\] Vakioiden arvot ovat siis \(C = [value]\) ja \(D = [value]\). Sijoittamalla nämä yleisen ratkaisun lausekkeeseen saamme \[\begin{array}{rll} y(t) & = & [value] + [value] + C t + D \\ & = & [value] + [value]. \end{array}\] Alkuehdot täyttävä erikoisratkaisu on siis \[y_e(t) = [value] + [value].\]

Ovatko seuraavat 2. kertaluvun lineaarisia yhtälöitä koskevat väitteet tosia vai epätosia? Huom! Pisteet näkyvät satunnaisessa järjestyksessä, joten niiden perusteella ei pysty päättelemään mikä kohdista on mahdollisesti väärin.

• Epähomogeenisen yhtälön \(y''+ay'+by = f(x)\) ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.
• Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun \(y_p\) tulee olla lineaarisesti riippuva vastaavan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta \(y_n\), jotta saadaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
• Et tarvitse karakteristista yhtälöä, kun ratkaiset epähomogeenista 2. kertaluvun yhtälöä.
• Määräämättömien kertoimien menetelmää käytetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Yksi alkuehto riittää siihen, että pystytään määrittämään homogeeniselle yhtälölle yksikäsitteinen ratkaisu.
• Olkoon \(y=c_1y_1+c_2y_2\, (c_1, c_2\in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Tällöin \(y_1\) ja \(y_2\) ovat lineaarisesti riippumattomia.
• Wronskin determinantti on lineaarisesti riippumattomille funktioille aina \(0\).
• Olkoon \(y = c_1y_1+c_2y_2 \, (c_1, c_2 \in \mathbb{R})\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\). Nyt \(y_2\) on myös saman yhtälön ratkaisu.
• Vakion variointi-menetelmää hyödynnetään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun löytämiseen.
• Jos homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksiset, yleinen ratkaisu sisältää trigonometrisia termejä.
Feedback: • Tosi. Näin on! • Epätosi. Vastausten tulee olla lineaarisesti riippumattomia. • Epätosi. Epähomogeenisen yhtälön ratkaisemiseen tarvitset homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja näin ollen karakteristisen yhtälön. • Tosi. Epähomogeeninen 2. kertaluvun yhtälö ratkaistaan tavallisesti joko määräämättömien kertoimien menetelmällä tai vakion varioinnilla. • Epätosi. ​2. kertaluvun tapauksessa tarvitaan vähintään kaksi alkuehtoa. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Epätosi. Lineaarisesti riippumattomille funktioille Wronskin determinantti poikkeaa aina nollasta. • Tosi. Yleinen ratkaisu koostuu lineaarisesti riippumattomien ratkaisuiden lineaarikombinaatiosta. • Tosi. Näin on! • Tosi. Tällöin \(y = e^{\alpha x} \left( c_1\sin(\beta x)+ c_2\cos(\beta x) \right)\).

Yhdistä 2. kertaluvun homogeenisen differentiaaliyhtälön karakteristisen yhtälön juuret ja yleinen ratkaisu.

\(r_1 = 2\) ja \(r_2 = 3\) |
\(r_1 = r_2 = 2\) |
\(r_1 = 2+3i\) ja \(r_2 = 2-3i\) |
\(r_1 = r_2 = 3\) |

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy''-y'=3x^2+x\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(3y''-y=e^x-5\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''+y'-3y=0\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(2y''-5y'=y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-e^xy''=y^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(x^2y''-x(y')^3=2x-y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y'-xy=x^2\).

Olkoon differentiaaliyhtälö \(xy'-x^2=2y\).

Kyseessä on |  | differentiaaliyhtälö.

Yhdistä 2. kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö mahdolliseen järkevään yritteeseen \(y_p\).

\(y''-y = 2e^{2x}\) |  |
\(y''+2y'+y = 3e^{-x}\) |  |
\(y''-4y = 6x\) |  |
\(2y''-2y' = x^2\) |  |
\(y'' = x^2-2x+1\) |  |
\(y''-y = 2e^{-x}\) |  |
\(y''-2y'+y = e^{x}\) |  |
\(y''-y = 5\cos(3x)\) |  |
[value]) | \(y_p = ae^{2x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax+b\)
[value]) | \(y_p = ax^3+bx^2+cx+d\)
[value]) | \(y_p = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
[value]) | \(y_p = axe^{-x}\)
[value]) | \(y_p = ax^2e^x\)
[value]) | \(y_p = a\cos(3x)+b\sin(3x)\)

Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa.

Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu:

Karakteristinen yhtälö: (Käytä muuttujana r.)

Ratkaistaan \(r_1 = \) ja \(r_3 = \) .

Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\(y_n = \) (Käytä kertoimina a ja b.)

Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu:

Valitaan yrite \(y_p = \) . (Käytä kertoimena c.)

Nyt \(y_p' = \) ja \(y_p'' = \) .

Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = \) .

Siispä yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) .
Feedback: Malliratkaisu: Olkoon differentiaaliyhtälö \(y''-4y'+5y = e^{-x}\). Kyseessä on epähomogeeninen toisen kertaluvun yhtälö eli ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa. Homogeenisen yhtälön \(y''-4y'+5y = 0\) yleinen ratkaisu: Karakteristinen yhtälö: [value] Ratkaistaan \(r_1 = [value]\) ja \(r_3 = [value]\) Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on \(y_n = [value]\) Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu: Valitaan yrite \(y_p = [value]\) Nyt \(y_p' = [value]\) ja \(y_p'' = [value]\) Sijoitetaan yhtälöön \(y''-4y'+5y = e^{-x}\) \(y_p,\,y_p'\) ja \(y_p''\). Saadusta yhtälöstä ratkaistaan \(c = [value]\). Siispä yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\)

a) Mitkä seuraavista differentiaaliyhtälöä \(y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_{n-1}(x)y' + p_{(n)}(x)y = f(x)\) koskevista väitteistä pitävät paikkansa?

b) Olkoon differentiaaliyhtälö \(8y^{(8)}-y'''+y'-5y=0\) \(e^xy^{(5)}+y''-y=e^x\). Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia?

c) Mikä seuraavista on normaaliryhmä:
Feedback: Malliratkaisu: b) Kyseessä on lineaarinen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö, jonka kolmatta kertalua olevan termin kerroin on -1. Kyseessä on lineaarinen, epähomogeeninen viidettä kertalua oleva differentiaaliyhtälö. c) Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä koostuvaa yhtälöryhmää kutsutaan normaaliryhmäksi. Normaalimuotoinen \(n.\) kertaluvun differentiaaliyhtälö voidaan palauttaa normaaliryhmäksi.

a) Valitse seuraavista ne parit, jotka sisältävät lineaarisesti riippumattomat funktiot.

b) Olkoon \(y_1=e^{3x+5}\) ja \(y_2=e^{3x}\) homogeenisen yhtälön \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\) ratkaisuja. Määritä vastaava Wronskin determinantti.

\(W(x) = \det \) |  | \(=\) .

Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat .
Feedback: Mallivastaus: a) Voit helpoiten testata jakamalla \(\frac{y_1}{y_2}\). Jos osamäärä on vakio, ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvia. Muutoin ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia. Toinen vaihtoehto on tutkia Wronskin determinantin avulla. b) \(W(x) = [value] = [value]\). Wronskin determinantin mukaan \(y_1\) ja \(y_2\) ovat [value].

Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella.

Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\).

Nyt \(y_2' = u'x + \) ja \(y_2'' = u''x+ \) \(\cdot \, u'\).

Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = \) .

Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = \) . Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!).

Nyt \(u = \) .

Tällöin ratkaisu \(y_2 = \) .

Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti

\(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \) , \(\quad x\neq 0\).

Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti |  | .

Yleinen ratkaisu on

\(y(x) = \) , \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).
Feedback: Malliratkaisu: Tehtävä: Olkoon \(\displaystyle y''-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0\) ja tiedetään, että \(x\neq 0\). Yhtälöllä on ratkaisu \(y_1 = x\). Määritetään yleinen ratkaisu kertaluvun pudotuksella. Ratkaisu: Haetaan toista ratkaisua yritteellä \(y_2(x) = u(x)x\). Nyt \(y_2' = u'x + [value]\) ja \(y_2'' = u''x+ [value]u'\). Sijoitetaan \(y_2,y_2'\) ja \(y_2''\) alkuperäiseen yhtälöön. Yhtälö tulee sievennettynä muotoon \(u''x+u' = [value]\). Merkitään \(z=u'\), jolloin yhtälö on muotoa \(z'x+z = [value]\). Kyseessä on \(1.\) kertaluvun separoituva yhtälö, jonka eräs ratkaisu on \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\) (tarkasta!). Nyt \(u = [value]\). Tällöin ratkaisu \(y_2 = [value]\). Ratkaisuja \(y_1\) ja \(y_2\) vastaava Wronskin determinantti \(W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = [value]\), \(\quad x\neq 0\). Ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\) ovat siis lineaarisesti riippumattomia. Yleinen ratkaisu on \(y(x) = [value]\), \(\quad C,D\in \mathbb{R}, x\neq 0\).

Solve the differential equation \[[value]=0.\]Ratkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=0.\]

Find the characteristic equation of the given differential equation. Use the symbol \(r\) for the variable.Määritä annetun differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö. Käytäthän muuttujana kirjainta \(r\).

\(= 0\)

The zeros of the characteristic equation areKarakteristisen yhtälön nollakohdat ovat

\(r_1 = \)

\(r_2 = \)

Thus the general solution for the differential equation isTällöin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on

\(y(x) = C_1 \cdot\) \(+ C_2 \cdot \)

(\(C_1\) and \(C_2\) are constants)(\(C_1\) ja \(C_2\) ovat vakioita)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The characteristic equation of a homogeneous and linear differential equation having constant multipliers (i.e. that is of the form \( a y''+b y' + c y = 0 \)) is \( a r^2+b r + c = 0 \). In this exercise, we have to solve the differential equation \[ [value]=0, \] so the characteristic equation is \[ [value]. \]Homogeenisen, lineaarisen, vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön (muotoa \( a y''+b y' + c y = 0 \)) karakteristinen yhtälö on \( a r^2+b r + c = 0 \). Tässä tehtävässä ratkaistava differentiaaliyhtälö on \[ [value]=0, \] joten karakteristinen yhtälö on \[ [value]. \] The zeros of the characteristic equation can be found using the quadratic formula. The zeros are \( [value] \) and \( [value] \).Karakteristisen yhtälön nollakohdat saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Nollakohdat ovat \( [value] \) ja \( [value] \). The characteristic equation has two distinct roots, so the general solution to the differential equation is of the form \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] where \( r_1 \) and \( r_2 \) are the roots of the characteristic equation. Therefore, the solution to the differential equation is \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri juurta, joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{r_1 x} + C_2 \textrm{e}^{r_2 x}, \] jossa \( r_1 \) ja \( r_2 \) ovat karakteristisen yhtälön juuret. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \[ y(x)=C_1 \textrm{e}^{[value] x} + C_2 \textrm{e}^{[value] x}.\]

Find a particular solution for the differential equation \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] using the substitution \(Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x)\). Give the values of the constants in your answer (integers).Määritä differentiaaliyhtälön \[ y''+[value]y=[value]\cos([value] x) \] yksittäisratkaisu yritteen \[ Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \] avulla. Anna vastauksena vakioiden arvot (jotka ovat kokonaislukuja).

\(A=~\)

\(B=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The substitution provided in the exercise: Tehtävässä annettu yrite: \[ y(x)=Ax\cos([value] x)+Bx\sin([value] x) \\ \Rightarrow y''(x)=-[value]A\sin([value]x)-[value]Ax\cos([value]x)+[value]B\cos([value]x)-[value]Bx\sin([value]x) \] Substituting these in the differential equation and solving for \(A\) and \(B\), we getSijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön ja ratkaistaan \(A\) ja \(B\). \[ -[value]A\sin([value]x)+[value]B\cos([value]x)=[value]\cos([value]x) \] The solutions areRatkaisuiksi saadaan \[ [value]B=[value]~\Rightarrow B=[value] \] andja \[ -[value]A=0~\Rightarrow A=0 \]

The general solution to a second order nonhomogeneous differential equationEpähomogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]

is of the formyleinen ratkaisu on on muotoa

\[y(x)=C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + y_0 (x),\]

where \(y_1\) and \(y_2\) are the solutions to the corresponding homogeneous equation, and \(y_0\) is a particular solution to the nonhomogeneous equation.missä \(y_1\) ja \(y_2\) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisut ja \(y_0\) on jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö

\[[value]=x\]

given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla

\[y(0)=0 \text{ ja } y'(0)=0.\]

First form the characteristic equation of the corresponding homogeneous differential equation (\([value] = 0\)) and find its roots by solving \([value] = 0\). Then you can find the solutions corresponding these roots: Laske ensiksi vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön \[ [value] = 0 \] karakteristisen yhtälön \[ [value] = 0 \] juuret ja niitä vastaavat perusratkaisut:

\(\lambda_1 =\)

\(\lambda_2 =\)

\(y_1 = \)

\(y_2 = \)

To find the particular solution, use the substitution \(y_0 = A_0+A_1 x\) and determine the values of the constants: Käytä yksittäisratkaisulle yritettä \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja määritä vakioiden arvot:

\(A_0 = \)

\(A_1 =\)

Finally, using the given initial values, find the constants \(C_1\) and \(C_2\) and provide the solution for the differential equationMääritä vielä vakioiden \(C_1\) ja \(C_2\) arvot annettujen alkuarvojen avulla ja anna lopullinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

\(y(x)\) =
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Solve the differential equationRatkaise differentiaaliyhtälö \[[value]=x\] given the initial values \(y(0)=0\) and \(y'(0)=0\).alkuarvoilla \(y(0)=0\) ja \(y'(0)=0\). Solving the characteristic equation of the corresponding homogeneous equation we get \(\lambda_1 = [value]\) and \(\lambda_2 = [value]\). Since the roots are distinct and real, the corresponding solutions are \(y_1 = [value]\) and \(y_2 = [value]\).Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisesta yhtälöstä \([value] = 0\) saadaan juuriksi \(\lambda_1 = [value]\) ja \(\lambda_2 = [value]\). Koska juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niitä vastaavat perusratkaisut ovat \(y_1 = [value]\) ja \(y_2 = [value]\). Substituting \(y_0 = A_0+A_1 x\) and its first and second order derivatives \(y_0' = A_1\) and \(y_0''=0\) in the differential equation, we getSijoitetaan yrite \(y_0 = A_0+A_1 x\) ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta \(y_0' = A_1\) ja \(y_0''=0\) differentiaaliyhtälöön. Näin saadaan yhtälö \[0-[value]A_1+[value]\cdot(A_0+A_1 x) = x,\] which holds when \(A_0 = [value]\) and \(A_1 = [value]\).joka pätee kun \(A_0 = [value]\) ja \(A_1 = [value]\). Therefore the general solution for the differential equation isDifferentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \[y(x)=C_1 [value] + C_2 [value] + [value] x + [value].\] For the initial value problem, we need to find \(y'(x)\).Alkuarvo-ongelmaa varten lasketaan vielä \(y'(x)\). \[y'(x) = [value],\] which takes us to the pair of equationsja saadaan yhtälöpari \[ \left\{\begin{aligned} y(0) &= 0 \\ y'(0) &= 0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} [value] &= 0\\ [value] &= 0 \end{aligned}\right. \] Solving for \(C_1\) and \(C_2\) we get \(C_1 = [value]\) and \(C_2 = [value]\). Therefore the solution for the initial value problem isRatkaisuiksi saadaan \(C_1 = [value]\) ja \(C_2 = [value]\). Alkuarvo-ongelman ratkaisu on siis \[y(x) = [value].\]