Title: Joukko-oppi

Mitkä seuraavista joukoista tyhjiä?

(a)

(b)

(c)

(d)

Tässä \(]a,b[\) on siis avoin väli \(\{x\in \mathbb R\,:\, a\lt x \lt b\}\) ja \([a,b]\) on suljettu väli \(\{x\in \mathbb R\,:\, a\leq x \leq b\}\).

Anna vastauksesi joukkona muodossa \(\{a,c,d\}\).

Vastaus:
Feedback: Malliratkaisu: (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] 0, \frac [value][value]\right [\) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin \(x>0\) ja silloin löytyy luku \([value]_0 \geq 1\) siten, että \( \frac [value]{[value]_0}< x\) mutta silloin \(x\notin \left ] 0, \frac [value]{[value]_0}\right [ \) joten \(x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty \left] 0, \frac [value][value]\right [\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left[ 0, \frac [value][value]\right ]\) ei ole tyhjä koska siihen kuuluu luku \(0\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] -\frac [value][value],0\right [\) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin \(x<0\) ja silloin löytyy luku \([value]_0 \geq 1\) siten, että \(x<- \frac [value]{[value]_0}\) mutta silloin \(x\notin \left( -\frac [value]{[value]_0},0\right ) \) joten \(x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty \left ] -\frac [value][value],0\right [\). (a) Joukko \(\bigcap_{[value]=1}^\infty \left[ -\frac [value][value],0\right ]\) ei ole tyhjä koska siihen kuuluu luku \(0\). (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^3+[value]x^2 - [value] x+ [value]=0\}\) ei ole tyhjä koska funktio \(f(x)=x^3+[value]x^2 - [value] x+ [value]\) on jatkuva, \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ja \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) joten sillä on ainakin yksi nollakohta. (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^5-[value]x^4 + [value] x^2- [value]=0\}\) ei ole tyhjä koska funktio \(f(x)=x^5-[value]x^4 + [value] x^2- [value]\) on jatkuva, \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ja \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) joten sillä on ainakin yksi nollakohta. (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^2+[value]x + [value] =0\}\) on tyhjä koska \(x^2+[value]x + [value] = (x+[value])^2+ 1\geq 1 >0\) kaikilla \(x\in \mathbb R\). (b) Joukko \( \{ x\in \mathbb R \,:\, x^2-[value]x + [value] =0\}\) on tyhjä koska \(x^2-[value]x + [value]= (x-[value])^2 +3 \geq 3 >0\) kaikilla \(x\in \mathbb R\). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ][value],\infty[ \) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin se olisi reaaliluku ja silloin on olemassa luku \([value]_0\geq 1\) siten että \([value]_0\geq x\) josta seuraa, että \( x\notin ][value]_0,\infty[\) joten \( x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty ][value],\infty[ \). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-\infty, [value][ \) ei ole tyhjä koska siihen kuuluvat kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin \( 1\). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-\infty, -[value][ \) on tyhjä koska jos \(x\) olisi tämän joukon alkio niin se olisi reaaliluku ja silloin on olemassa luku \([value]_0\geq 1\) siten että \(-[value]_0\leq x\) josta seuraa, että \( x\notin ]-\infty, -[value]_0[\) joten \( x\notin \bigcap_{[value]=1}^\infty (-\infty, -[value]) \). (c) Joukko \( \bigcap_{[value]=1}^\infty ]-[value],\infty[ \) ei ole tyhjä koska siihen kuuluvat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin \(-1\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \sin(x)=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\sin(x)\,:\, x\in \mathbb R\}= [-1,1]\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \cos(x)=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\cos(x)\,:\, x\in \mathbb R\}= [-1,1]\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \textrm{e}^x=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\textrm{e}^x\,:\, x\in \mathbb R\}= (0,\infty)\). (d) Joukko \(\{x\in \mathbb R \,:\, \textrm{e}^{-x}=[value]\}\) tyhjä koska \(\{\textrm{e}^{-x}\,:\, x\in \mathbb R\}= ]0,\infty[\).

The sets \(A\), \(B\), and \(C\) contains the points inside the corresponding circles below.Tasojoukkoihin \(A\), \(B\) ja \(C\) kuuluvat alla olevien vastaavien ympyröiden sisäpuolella olevat pisteet.

Now you should decide which of the sets below isNyt tehtävänäsi on on päätellä mikä alla olevista joukoista on \[ ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \] and which isja mikä on \[ ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]}. \]

\( ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \) is figureon kuviossa

\( ({[value]} {[value]} {[value]}) {[value]} {[value]} \) is figureon kuviossa

Let \(A=[value]\) and \(B=[value]\). Determine \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\), and \(B\setminus A\).Olkoot \(A=[value]\) ja \(B=[value]\). Määritä \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\) ja \(B\setminus A\).

In the answer, set \(\{1,2,3\}\) should be written as \({\tt \{1,2,3\}}\) and empty set \(\emptyset\) should be written as \({\tt set()}\) or \({\tt \{\}}\).Joukko \(\{1,2,3\}\) kirjoitetaan vastauksessa muodossa \({\tt \{1,2,3\}}\) ja tyhjä joukko \(\emptyset\) kirjoitetaan muodossa \({\tt \{\}}\).

\(A\cup B\)=

\(A\cap B\)=

\(A\setminus B\)=

\(B\setminus A\)=
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: The set \(A\cup B\) contains elements that belong either to set \(A\) or \(B\) (or both) so in this case \( A\cup B = [value]\).Joukkoon \(A\cup B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) tai joukkoon \(B\) (tai molempiin) joten tässä tapauksessa \( A\cup B = [value]\). The set \(A\cap B\) contains elements that belong both to set \(A\) and \(B\) so in this case \( A\cap B = [value]\).Joukkoon \(A\cap B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat sekä joukkoon \(A\) että joukkoon \(B\) joten tässä tapauksessa \( A\cap B = [value]\). The set \(A\setminus B\) contains elements that belong to set \(A\) but do not belong to set \(B\) so in this case \( A\setminus B = [value]\).Joukkoon \(A\setminus B\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(A\) mutta eivät kuulu joukkoon \(B\) joten tässä tapauksessa \( A\setminus B = [value]\). The set \(B\setminus A\) contains elements that belong to set \(B\) but do not belong to set \(A\) so in this case \( B\setminus A = [value]\).Joukkoon \(B\setminus A\) kuuluvat ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon \(B\) mutta eivät kuulu joukkoon \(A\) joten tässä tapauksessa \( B\setminus A = [value]\).

Pohdi seuraavia kysymyksiä ja vastaa sitten kysymyksiin. Valitse "tosi", jos vastauksesi on kyllä ja "epätosi", jos vastauksesi on ei.

Tarkastellaan joukkoja \( A = [value] \) ja \( B = [value] \).

(a) Onko \( A \subseteq B \)? Entä onko \( B \subseteq A \) ?
(b) Kuuluuko \( a \) joukkoon \( A \)? Entä kuuluuko \( a \) joukkoon \( B \)?
(c) Kuuluuko \( \{a\} \) joukkoon \( A \)? Entä kuuluuko \( \{a\} \) joukkoon \( B \)?
(d) Onko \( \{b,c\} \subseteq B \)? Entä onko \( \{b,c\} \subseteq A \)?
(e) Onko \( \{a\} \subseteq B \)? Entä onko \( \{a\} \subseteq A \)?

Määritellään joukot \(A\), \(B\) ja \(C\) seuraavasti:

\(\begin{align*} &A=\{x \in \mathbb{N}:1 \le x \le [value] \} \qquad B= \{x \in \mathbb{N}: \text{x on parillinen,}\ x \le [value] \} \\ &C= \{x \in \mathbb{N}: x=2^{n}, n\ \text{on kokonaisluku,} \ 1 \le n \le [value] \} \end{align*}\)

Tässä merkintä \( \mathbb{N} \) tarkoittaa kokonaislukuja lähtien luvusta \( 1:  1, 2, 3 \ldots \)

Määritä seuraavat:

\( \begin{align*} \textbf{(a)}\quad A \cup B \qquad \textbf{(b)}\quad A \cap B \quad \textbf{(c)}\quad A \cup C \quad \textbf{(d)}\quad A \cap C \quad \end{align*} \)

Kirjoita joukko käyttäen kaarisulkeita: {a,b,c,d, ... , k}. Esimerkiksi luvuista 3, 10 ja 19 muodostuva joukko kirjoitetaan {3, 10, 19}.

\(\textbf{(a)}\quad A \cup B=\)

\(\textbf{(b)}\quad A \cap B=\)

\(\textbf{(c)}\quad A \cup C=\)

\(\textbf{(d)}\quad A \cap C=\)
Feedback: Mallivastaus: Joukot ovat \[ \begin{align*} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value] \end{align*} \] \(\textbf{(a)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(B \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(b)}\) Joukkojen \(A \) ja \(B \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(B \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap B = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(c)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) unioni eli joukko, joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät joko \(A \):ssa tai \(C \):ssä tai molemmissa, on \[ \begin{align*} A \cup C = [value]. \\ \end{align*} \] \(\textbf{(d)}\) Joukkojen \(A \) ja \(C \) leikkaus joka sisältää ne alkiot, jotka esiintyvät sekä \(A \):ssa että \(C \):ssä, on \[ \begin{align*} A \cap C = [value]. \\ \end{align*} \]