Title: Injektiot, surjektiot ja bijektiot

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\). Tarkoitus on osoittaa, että \(a+b>c\).

Täydennä väitteen ristiriitatodistus kuljettamalla alimpana olevista laatikoista sopivat oikeille paikoilleen.

Todistus

Tehdään vastaoletus: [...].

Korottamalla epäyhtälö [...] potenssiin saadaan [...].

Koska [...], niin \(a^2+2ab+b^2 >a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2 >\)[...], mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan [...].

Koska [...] päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.
Also offered: a + b < c; kolmanteen; a² + b² ≤ c²; a² + b² < c²; Pythagoraan lauseesta; a² + b² ≠ c²; a² + 2ab + b² < c²; a² + 2ab + b²
A: a + b ≤ c; toiseen; a² + 2ab + b² ≤ c²; 2ab > 0; a² + b²; a² + b² = c²; vastaoletuksesta
Feedback: Todistus Tehdään vastaoletus: \(a+b \leq c\). Korottamalla epäyhtälö toiseen potenssiin saadaan \(a^2+2ab+b^2 \leq c^2\). Koska \(2ab>0\), niin \(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2>a^2+b^2\), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan \(a^2+b^2=c^2\). Koska vastaoletuksesta päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.

Q: Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\). Tarkoitus on osoittaa, että \(a+b>c\).

Täydennä väitteen ristiriitatodistus.

Todistus

Tehdään vastaoletus: [...].

Korottamalla epäyhtälö [...] potenssiin saadaan [...].

Koska [...], niin \(a^2+2ab+b^2 >a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2 >\)[...], mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan [...].

Koska [...] päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.
Also offered: a + b < c; kolmanteen; a² + b² ≤ c²; a² + b² < c²; Pythagoraan lauseesta; a² + b² ≠ c²; a² + 2ab + b² < c²; a² + 2ab + b²
A: a + b ≤ c; toiseen; a² + 2ab + b² ≤ c²; 2ab > 0; a² + b²; a² + b² = c²; vastaoletuksesta
Feedback: Todistus Tehdään vastaoletus: \(a+b \leq c\). Korottamalla epäyhtälö toiseen potenssiin saadaan \(a^2+2ab+b^2 \leq c^2\). Koska \(2ab>0\), niin \(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\). Näin ollen \(c^2>a^2+b^2\), mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, jonka mukaan \(a^2+b^2=c^2\). Koska vastaoletuksesta päädyttiin ristiriitaan, alkuperäisen väitteen täytyy päteä.

Q: Tutustutaan vielä lyhyesti loogisiin konnektiiveihin. Tarvittavat tiedot löydät kurssimateriaalin luvusta 2.1. Tässä kohdassa siis hypätään hetkeksi seuraavaan lukuun; matemaattisia tekstejä luetaankin harvoin alusta loppuun, vaan tyypillisemmin tietoa etsitään eri kohdista tekstiä tarpeen mukaan.

Tässä tehtävässä \(p\) tarkoittaa "ajattelen" ja \(q\) tarkoittaa "olen olemassa". Ilmaise seuraavat propositiolauseet suomen kielellä.

a) \(p \rightarrow q\)

[...][...][...][...][...]

b) \(\neg q \rightarrow \neg p\)

[...][...][...][...][...][...][...]

c) \(p \land \neg q\)

[...][...][...][...][...]

d) \(\neg p \rightarrow \neg q\)

[...][...][...][...][...][...][...]
Also offered: tai; vain
A: jos; ajattelen; niin; olen; olemassa; jos; en; ole; olemassa; niin; en; ajattele; ajattelen; mutta; en; ole; olemassa; jos; en; ajattele; niin; en; ole; olemassa
Feedback: a) Jos ajattelen, niin olen olemassa. b) Jos en ole olemassa, niin en ajattele. c) Ajattelen, mutta en ole olemassa. d) Jos en ajattele, niin en ole olemassa.

Q: Seuraavan tehtävän avulla tutustutaan negaation vaikutukseen kvanttoreita sisältävissä lauseissa. Tästä kerrotaan kurssimateriaalin luvussa 2.4.

Muodosta seuraaville lauseille niiden negaation kanssa ekvivalentti propositiolause, jossa ei esiinny negaatiosymbolia \(\neg\). Ovatko muodostamasi väitteet tosia, kun \(n\) on kokonaisluku?

a) \(\exists n (n = - n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n\) [...] \(-n)\).

Tämä väite on [...].

b) \(\exists n (n^2 = 2)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n^2\) [...] \(2)\).

Tämä väite on [...].

c) \(\forall n (3n \leq 4n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((3n\) [...] \(4n)\).

Tämä väite on [...].

d) \(\forall n (n^2 \geq n)\)

Väitteen negaatio on [...] \((n^2\) [...] \(n)\).

Tämä väite on [...].
Also offered: ≤; ≥; =
A: ∀n; ≠; epätosi; ∀n; ≠; tosi; ∃n; >; tosi; ∃n; <; epätosi
Feedback: a) \(\forall n(n \neq -n)\) Väite on epätosi, sillä \(0 = -0\) (ts. nolla on itsensä vastaluku). b) \(\forall n(n^2 \neq 2)\) Väite on tosi. Yhtälöstä \(n^2 = 2\) saadaan \(n = \sqrt{2}\) tai \(n = - \sqrt{2}\). Nämä eivät kuitenkaan ole kokonaislukuja. c) \(\exists n(3n > 4n)\) Väite on tosi, sillä esimerkiksi \(3 \cdot (-1) = -3 > -4 = 4 \cdot (-1)\). d) \(\exists n(n^2 < n)\) Väite on epätosi.

Q: Viime viikolla aloitettiin kvanttoreihin tutustuminen. Tässä tehtävässä jatketaan kvanttorien opiskelua.

Muotoile seuraavat kvanttoreita sisältävät väitteet logiikan symbolikielellä.

a) Jos \(c > -4\), niin yhtälöllä \(x^2 + 5x = c\) on ratkaisu.

[...][...][...][...]

b) Jos luku on negatiivinen, se ei ole minkään luvun toinen potenssi.

[...]\((\)[...][...][...][...]\()\)

c) Joukot \(A\) ja \(B\) eivät ole erilliset eli ne kohtaavat.

(Laita tässä tehtävässä joukkoa \(A\) koskeva väite ensin.)

[...]\((\)[...][...][...]\()\)
Also offered: ⋁
A: c > -4; →; ∃x; (x² + 5x = c); ∀x; x < 0; →; ∀y; (x ≠ y²); ∃x; x ∈ A; ⋀; x ∈ B
Feedback: a) \(c > -4 \rightarrow \exists x(x^2 + 5x = c)\) b) \(\forall x (x < 0 \rightarrow \forall y(x \neq y^2)\) c) \(\exists x(x \in A \land x \in B)\)

Q: Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kuvaus, jolle \(f(x)=6x+9\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) on surjektio.

[...]

[...]

[...]

Näin on näytetty, että [...] \(y \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(x=\)[...]\(\in \mathbb{R}\), että \(f(x)=y\).

[...]
Also offered: erästä
A: Oletetaan, että y ∈ ℝ.; Valitaan (y - 9) / 6 ∈ ℝ.; Nyt f((y - 9) / 6) = 6 * (y - 9) / 6 + 9 = y.; jokaista; (y - 9) / 6; Siis kuvaus f on surjektio.
Feedback: Oletetaan, että \(y \in \mathbb{R}\). Valitaan \( \frac{y-9}{6} \in \mathbb{R} \). Nyt \( f\left( \frac{y-9}{6} \right) = 6 \cdot \frac{y-9}{6}\ +9 = y.\) Näin on näytetty, että jokaista \(y \in \mathbb{R}\) kohti on olemassa sellainen \(x = \frac{y-9}{6} \in \mathbb{R}\), että \(f(x)=y\). Siis kuvaus \(f\) on surjektio.

Q: Olkoon \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kuvaus, jolle \(f(x)=6x+9\) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Osoitetaan, että kuvaus \(f\) on injektio.

[...]

[...]

[...]

[...] saadaan yhtälö [...].

[...] saadaan yhtälö [...].

Näin on näytetty, että [...] \(a, b \in \mathbb{R}\) yhtälöstä [...] seuraa [...].

[...]
Also offered: joillakin
A: Oletetaan, että a, b ∈ ℝ.; Oletetaan lisäksi, että f(a) = f(b).; Tällöin 6a + 9 = 6b + 9.; Vähentämällä puolittain luku 9; 6a = 6b; Jakamalla puolittain luvulla 6; a = b; kaikilla; f(a) = f(b); a = b; Siis kuvaus f on injektio.
Feedback: Oletetaan, että \(a,b \in \mathbb{R}\). Oletetaan lisäksi, että \(f(a)=f(b)\). Tällöin \(6a+9=6b+9\). Vähentämällä puolittain luku 9 saadaan yhtälö \(6a=6b\). Jakamalla puolittain luvulla 6 saadan yhtälö \(a=b\). Näin on näytetty, että kaikilla \(a,b \in \mathbb{R}\) yhtälöstä \(f(a)=f(b)\) seuraa \(a=b\). Siis kuvaus \(f\) on injektio.