Title: Aiheviikko 2

Find the arc length of the curve

Määritä käyrän

\[\displaystyle y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \]

on the interval \([value]\leq x\leq [value]\). Give an exact answer!

pituus välillä \([value]\leq x\leq [value]\). Anna vastaus tarkkana arvona!

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The length \(S\) of the arc \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) is given byKäyrän \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) pituus \(S\) saadaan laskettua kaavalla \[S= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \] The integral is taken from \([value]\) to \([value]\).Rajat ovat \([value]\) ja \([value]\), ja \[f'(x)=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x^{-2}. \] \begin{eqnarray*} S & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^2-x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^4-2x^0+x^{-4})} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{x^4+2+x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{(x^2+x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} (x^2+x^{-2}) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \bigg|_{[value]}^{[value]} \frac{1}{3} x^3-x^{-1} \\ & = & \frac{1}{2}((\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})-(\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})) \\ & = & \frac{1}{2}([value]-[value]) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Määritä integroimalla käyrän \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) ja suoran \(y=[value]\) rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala. Käyrän ja suoran leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Anna vastauksesi tarkkana arvona.

Find by integration the finite area enclosed by the curve \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) and the line \(y=[value]\). The \(x\)-coordinates of the intersection points for the curve and the line are \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Give your answer as exact value.

Pinta-ala on The area is .
Feedback: Malliratkaisu: Koska \([value]x^3-[value]x\ge[value]\), kun \(-2\le x\le -1\), ja \([value]x^3-[value]x \le [value]\), kun \( -1 < x \le 3 \), niin \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Kuva: [value] Model solution: Because \([value]x^3-[value]x\ge[value]\) when \(-2\le x\le -1\), and \([value]x^3-[value]x \le [value]\) when \( -1 < x \le 3 \), it follows \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Vapaaehtoinen (ei pisteitä): Määrää käyrien \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) ja \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\) kaikkien leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit. Määrää edelleen käyrien rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala integroimalla.

Find the \(x\)-coordinates of all intersection points for the curves \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) and \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\). Moreover, find by integration the finite area enclosed by the curves.

Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat pienimmästä suurimpaan

The \(x\)-coordinates of the intersection points are from the smallest value to the largest value

,,.

Pinta-ala on

The area is

.
Feedback: Malliratkaisu: Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatti: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ tai }\; x&=0\;\textrm{ tai }\; x=[value]. \end{align*} \] Koska \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\), kun \(-[value]\le x\le 0\), ja \(f(x)-g(x) \le 0\), kun \(0\lt x\le [value]\), niin \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Kuva: Model solution: The \(x\)-coordinates of the intersection point: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ or }\; x&=0\;\textrm{ or }\; x=[value]. \end{align*} \] Because \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\) when \(-[value]\le x\le 0\), and \(f(x)-g(x) \le 0\) when \(0\lt x\le [value]\), it follows \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Calculate an estimate \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) for the integral \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] using Simpson's rule, when the interval is divided into four sections. Calculate an error estimate by applying the formula \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] where \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).Laske likiarvo \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) integraalille \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] Simpsonin säännöllä, kun integroimisväli jaetaan neljään osaan. Laske virhearvio käyttämällä kaavaa \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] missä \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).

EstimateLikiarvo \( S_[value]=~\) |
Estimate for errorVirhearvio \(C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The goal of the exercise is to calculate an estimate for the integral of the function \(f(x)=[value]\) using Simpson's rule. The boundaries for the integral are \(a=[value]\) and \(b=[value]\) and the interval is divided into \(n=[value]\) parts of equal length, i.e. each subinterval has a length of \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). In the following table you can see the evaluated function values at the endpoints of each subinterval.Tehtävänä on laskea funktion \(f(x)=[value]\) integraalille likiarvo Simpsonin säännöllä. Integrointirajat ovat \(a=[value]\) ja \(b=[value]\) ja integrointiväli jaetaan neljään saman pituiseen osaan eli \(n=[value]\), joten yhden osavälin pituus on \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). Seuraavaan taulukkoon on laskettu funktion arvot osavälien reunoilla. \(\begin{array}{rlllll} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x: & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ f(x): & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \end{array}\) According to Simpson's rule, the estimate isSimpsonin säännön mukaan likiarvo on \begin{align*} S_4 & = \frac{h}{3} \left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+f(x_4)\right) \\ & = \frac{[value]}{3} \left( [value]+4\cdot [value]+2\cdot [value]+4\cdot [value]+[value] \right)\\ & \approx [value]. \end{align*} Estimate for the error isVirhearvio on \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4},\] wheremissä \[C_4=\max_{x\in[0,b]} |f^{(4)}(x)|\] \begin{align*} f'(x) & = [value] \\ f''(x) & = [value] \\ f^{(3)}(x) & = [value] \\ f^{(4)}(x) & = [value]. \end{align*} ThusSiis \[C_4=\max_{x\in [[value],[value]]} |[value]| = 0\] and the estimate for the error isja virhearvio on \[C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=0\cdot \frac{([value]-[value])^5}{180\cdot 4^4} =0.\] N.B. The fourth derivative of a third degree polynomial is always zero, so Simpson's rule provides a precise result for all third degree polynomials.Huom! Kolmannen asteen polynomin neljäs derivaatta on aina 0, joten Simpsonin sääntö on tarkka kolmannen asteen polynomeille.

Find an estimate for the integralLaske likiarvo integraalille

\[\displaystyle \int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \mathrm{d}x \]

by applying the trapezoid rule. Divide the interval into [value] parts. Give your answer in exact form! käyttämällä puolisuunnikassääntöä (engl. trapezoid rule). Jaa integroimisväli [value] osaan. Anna likiarvo tarkkana arvona!

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \textrm{d}x \approx~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Trapezoid rule: Puolisuunnikassääntö: \[\int_{a}^{b} f(x) \, \textrm{d}x\approx \frac{b-a}{n}(f(x_0)/2+f(x_1)+f(x_2)+\ldots +f(x_{n-1})+f(x_n)/2), \] where \(n\) is the number of subintervals, \(x_0=a\) and \(x_n=b\). Nowmissä \(n\) on välien lukumäärä, \(x_0=a\) ja \(x_n=b\). Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]}\cdot \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value]\left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]0+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+f(4)+f(9/2)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Käyrä

\[ \displaystyle y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}},\]

missä \( 0\le x\le1,\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}, 0\le x\le1, \] rotates around the \(x\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(x\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{b) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \] Model solution: The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \]

Käyrä

\[\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, \]

missä \(0\le x\le[value]\), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on muuttujan \(y\) yläraja kappaleen tilavuuden laskemisessa?

\(\textrm{c) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value], \] rotates around the \(y\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(y\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the upper limit of the variable \(y\) for calculating the volume of the solid?

\(\textrm{c) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(y\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(y\) yläraja on \(\textrm{b) }\) The upper limit of the variable \(y\) is .

\(\textrm{c) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{c) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \] Model solution: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \]

Compute the improper integralLaske epäoleellinen integraaliVapaaehtoinen (ei pisteitä): Laske epäoleellinen integraali

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x. \]

Give your answer in exact form! Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x. \] Integration by parts: Osittaisintegrointi: \(\displaystyle\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\) \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x}\) \(v'(x)= [value] \Rightarrow v(x)= -\frac{1}{[value]} \cos({[value]}x)\) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} -\textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]} \cdot \cos([value]x)+\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]}\cos([value]x) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x \end{eqnarray*} Applying integration by parts again, we getKäytetään osittaisintegrointia uudestaan. Nyt \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x} \) \(v'(x)= \cos([value]x) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{[value]} \sin([value]x)\) \begin{eqnarray*} \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg(\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x)+\int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{[value]} \sin([value]x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg( 0+ \frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x} \sin({[value]}x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]}\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x. \end{eqnarray*} Whoa! The original integrand appeared also on the right hand side of the equation! Let us move it to the left side.Ohoh! Alkuperäinen integroitava ilmestyi myös yhtälön toiselle puolelle! Siirretään se vasemmalle puolelle. \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ [value] \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Integroi \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx\).

a) Ilman itseisarvoja integraali on

\(\displaystyle I = \int_a^b \) \(dx\) | \(+\) | \(\displaystyle \int_c^d \) \(dx\), missä
\(a = \) |  | \(c = \)
\(b = \) |  | \(d = \) .

b) Lopullinen tulos on \(I = \) .
Feedback: Malliratkaisu: \(|[value]| = \begin{cases} [value], & \text{ kun } x \geq [value] \\ [value], & \text{ kun } x \leq [value] \end{cases}\) \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx = \int_[value]^[value] [value] dx + \int_[value]^[value][value] dx = [value]\).

a) Täydennä puuttuvat kohdat:

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\quad=\quad\) | \(\displaystyle \lim_{c \to a^*} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad +\) | \(\displaystyle \quad \lim_{e \to b^*} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\).
 | \(a = \) | \(b = \)
 | \(* = \) | \(* = \)

b) Haluat laskea \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx\).

Kuinka monen epäoleellisen integraalin summana integraali on vähintään laskettava eli kuinka moneen osaan integroimisväli jaetaan?
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx = \lim_{c \to [value]^-} \int_{[value]}^{c} \frac{1}{x-[value]} dx \quad + \lim_{e \to [value]^+} \int_{e}^{[value]} \frac{1}{x-[value]} dx\). b) Nimittäjällä on \(2\) nollakohtaa eli \(\pm \sqrt{[value]}\). Integraali tulee jakaa seuraavasti: \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{x^2-[value]} dx = \lim_{c \to -\sqrt{[value]}^-} \int_{[value]}^{c}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{e \to -\sqrt{[value]}^+} \int_{e}^{0}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{f \to \sqrt{[value]}^-} \int_{0}^{f}\frac{1}{x^2-[value]} dx + \lim_{g \to \sqrt{[value]}^+} \int_{g}^{[value]}\frac{1}{x^2-[value]} dx\). Huomaa, että toisen termin yläraja ja kolmannen termin alaraja voi olla muutakin kuin \(0\). Mitä?

a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että

b) Jos funktio \(f\) on rajoitettu suljetulla välillä \([a,b]\), niin funktion integraali välillä \([a,b]\) ja funktion \(f\) epäoleellinen integraali välillä \((a,b]\) ovat samat
Feedback: Malliratkaisu: a) Epäoleelliselle integraalille on tyypillistä, että integroimisväli on rajoittamaton. b) Tosi. Rajoitetulle funktiolle epäoleellinen integraali antaa saman arvon kuin integraali.

a) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{3}{2}} dx = \)

Integraali |

b) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{2}{3}} dx = \)

Integraali |

Huom! \(\infty\) saat kirjoittamalla vastauskenttään inf
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{3}{2}} = \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} -2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}-\lim_{c\to\infty} \frac{2}{\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}\). b) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} 3x^{\frac{1}{3}} = [value]+\lim_{c\to\infty} 3c^{\frac{1}{3}} = \infty\).

a) Onko seuraava väite tosi vai epätosi?

\(\displaystyle \int\limits_{-2}^3 \frac{1}{x^4}\,\textrm{d}x = {\mathop{\Big/}\limits_{\mspace{-19mu}-2}^{\mspace{19mu}3}} -\frac{1}{3x^3} = -\frac{1}{3\cdot 3^3}-\left(-\frac{1}{3\cdot (-2)^3}\right)\)?

b) Oletetaan, että \(f\) on määritelty välillä \([a,b]\) ja integroituva välillä \([c,b]\) kaikilla \(c\in (a,b]\). Jos raja-arvoa \(\displaystyle \lim\limits_{c\to a+} \int\limits_c^b f(x) \,\textrm{d}x\) ei ole olemassa, niin \(\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \,\textrm{d}x\) hajaantuu.
Feedback: Malliratkaisu: a) Epätosi. Integroitava funktio ei ole määritetty, kun \(x = 0\). b) Tosi.

a) Mikä seuraavista ei kuvaa funktion \(f(x)=\sin(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa välillä \(0\leq x \leq 2\pi\)?

1. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} |\sin(x)| \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = 2\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)
4. \(\displaystyle A = -2\int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain

b) Olkoot funktiot \(h\) ja \(g\colon [a,b] \to \mathbb{R}_{0}\) sekä \(a<c<b\).

Nyt \(\left\{\begin{align*} h(x) &\geq g(x) \quad \text{ välillä }[a,c] \text{ ja }\\ g(x) &\geq h(x) \quad \text{ välillä }[c,b]. \end{align*}\right.\)

Funktioiden \(h\) ja \(g\) väliin jäävä ala ei ole

1. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big|h(x)-g(x)\big| \, \textrm{d}x\)
2. \(\displaystyle A = \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\)
3. \(\displaystyle A = \int_{a}^{c} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x + \int_{c}^{b} \big(g(x)-h(x)\big) \, \textrm{d}x\)

Valitse vastaava kirjain
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, \textrm{d}x = 0\), sillä pinta-alat x-akselin ylä- ja alapuolella kumoavat toisensa. b) \(\displaystyle \int_{a}^{b} \big(h(x)-g(x)\big) \, \textrm{d}x\) ei huomioi, että \(g(x) \geq h(x)\) välillä \([c,b]\).

a) Riemannin summa on tehokas numeerisen integroinnin menetelmä

b) Yhdistä seuraavat numeerisen integroinnin menetelmät pinta-alan arvioinnissa käytettyihin muotoihin.

Riemannin summa
Puolisuunnikassääntö
Simpsonin kaava
Feedback: Malliratkaisu: a) Epätosi. Käytä mieluummin esim. Simpsonin kaavaa. b) Riemannin summa - Suorakulmio Puolisuunnikassääntö - Puolisuunnikas Simpsonin kaava - Paraabeli

Olkoon \(0 \leq h(x) \leq g(x) \leq f(x)\) kaikilla \(x\).

a) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_3^{\infty} h(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_3^{\infty} g(x) dx\)?

b) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_1^{\infty} f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_1^{\infty} g(x) dx\)

c) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 h(x) dx\) suppenee. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 g(x) dx\)?

d) Tiedetään, että \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) dx\) hajaantuu. Mitä tapahtuu integraalille \(\displaystyle \int_0^{\infty} g(x) dx\)?
Feedback: Ratkaisut: a) Hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla. b) Ei voi päätellä, sillä suurempia arvoja saavan funktion hajaantumisesta ei voi päätellä mitään. c) Ei voi päätellä, sillä pienempiä arvoja saavan funktion suppenemisesta ei voi päätellä mitään. d) Ei voi päätellä, sillä eri rajat.