Title: Integraalifunktio ja määrätty integraali

Täydennä seuraavan laskun puuttuvat osat.

Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\).

Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään eli

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

Siispä alasummaksi saadaan

\(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\).

Määritetään sitten yläsumma. Nyt

\(\displaystyle x_i^*\) | \(=\) |

eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan

\(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i\) | \(=\) |
 | \(=\) | \(\displaystyle \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} + 4\).

Tihennetään jakoa. Tällöin

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \)

ja

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \)

Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L\) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).
Feedback: Malliratkaisu: Lasketaan \(\displaystyle \int_0^2 (x^2+2) dx\). Jaetaan väli \(\displaystyle \left[0,2\right] n\) yhtäsuureen palaan, jolloin osavälin pituus \(\Delta x_i = \frac{2}{n}\) ja osavälit \(\displaystyle \left[\frac{2(i-1)}{n}, \frac{2i}{n}\right]\). Määritetään ensin alasumma. Tarkastelupisteeksi \(x_i^*\) valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on pienimmillään. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli pienin arvo saavutetaan osavälin alarajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2(i-1)}{n}\). Sijoittamalla \(x_i^*\) annettuun funktioon alasummaksi saadaan \(\displaystyle L = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2(i-1)}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Määritetään sitten yläsumma. Kyseessä on aidosti kasvava funktio tarkasteluvälillä eli suurin arvo saavutetaan osavälin ylärajalla ja näin ollen \(\displaystyle x_i^* = \frac{2i}{n}\) eli valitaan osavälin piste, jossa funktion arvo on suurin. Siispä yläsummaksi saadaan \(\displaystyle U = \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{2i}{n} \right)^2 +2 \right) \frac{2}{n} = \ldots = \frac{4}{3}\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} + 4\). Tihennetään jakoa. Tällöin \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3}\) ja \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}+4 = \frac{20}{3} \). Ylläolevat raja-arvot saadaan helposti laskettua ottamalla \(n^2\) osoittajassa yhteiseksi tekijäksi. Koska \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L = \lim_{n \to \infty} U\) ja \(L \leq R \leq U\) (\(R\) on Riemannin summa), niin kuristusperiaatteen mukaan \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R = \int_0^2 x^2+2 dx = \frac{20}{3}\).

a) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{3}{2}} dx = \)

Integraali |

b) Laske \(\displaystyle \int_[value]^\infty x^{-\frac{2}{3}} dx = \)

Integraali |

Huom! \(\infty\) saat kirjoittamalla vastauskenttään inf
Feedback: Malliratkaisu: a) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{3}{2}} = \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} -2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}-\lim_{c\to\infty} \frac{2}{\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{[value]}}\). b) \(\displaystyle \int_{[value]}^{\infty} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{c\to\infty} \int_{[value]}^{c} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{c\to\infty} \Big/_{[value]}^{c} 3x^{\frac{1}{3}} = [value]+\lim_{c\to\infty} 3c^{\frac{1}{3}} = \infty\).

Q: Laske oheiset integraalit. Jos integraali ei suppene, vastaa \(\verb+hajaantuu+\)

(a) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value]x^[value] \, \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}} \) \(= \)

(b) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value]x^[value] \, \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}} \) \(= \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Koska \(x\):n potenssi on \( [value] \), integraali suppee. Saadaan: \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}} [value] = [value] \). (b) Koska \(x\):n potenssi on \( [value] \), integraali hajaantuu. Voidaan merkitä \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\, k}} [value] = \infty \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske funktion \( f(x) = [value] \) kuvaajan pituus \( s \) välillä \( [[value],[value]] \) neljän desimaalin tarkkuudella.

\( s = \)
Feedback: Mallivastaus: Funktion \( f(x) \) kuvaajan pituus \( s \) välillä \( [a,b] \)saadaan kaavalla \( s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}} dx \). Näin ollen, \( \begin{align*} s&=\int_{[value]}^{[value]}\sqrt{1+[value]} dx\\ &=[value]\\ &\approx [value]. \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Calculate the following integrals. Give your answers in exact form. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2).

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right) \\ & = & [value] - \left([value]\right) \\ & = & [value] \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = & -[value]\cdot \cos([value]) - \left(-[value]\cdot \cos([value])\right) \\ & = & [value] \end{array}\]

Compute the following integrals: Laske seuraavat integraalit:

(a)\[\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x \] (b)\[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x \] (c)\[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x \]

Give your answers in exact form! The base of natural logarithm should be typed as e, e.g. 2*e. For square root, use command sqrt(a), e.g. sqrt(2). Anna vastaukset tarkkoina arvoina! Neliöjuuri a merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e, esim. 2*e.

(a) | \(\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}([value]x^2-[value]\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}+[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]^{3/2}+[value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]^2+[value]\cdot [value]^{3/2}-[value]\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*} (b) \[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]}2\sin(\frac{x}{2})=2\sin([value])-2\sin(0)=2\sin([value])=[value]. \] (c) \[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} [value]=[value]. \]

Determine a function \(y\) such that for all \(x\) it holds thatMääritä sellainen funktio \(y\), että kaikilla \(x\) pätee

\[y(x)=[value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]} y(t) \, \textrm{d}t. \]

Hint: Based on the equation conclude that \(y\) is of the form \(y(x)=[value]+Ax^{[value]}\), where \(A\) is a constant. Substitute an expression of this form to the given equation and determine a suitable value for \(A\).Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella \(y\) on muotoa \(y(x)=[value]+Ax^{[value]}\), missä \(A\) on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten \(A\) täytyy valita.

\(y(x)=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(y\colon [0,[value]]\to \mathbb{R} \ \ \ \ x\in [0,[value]]\) \[y(x)=[value]+x^{[value]}\underbrace{\int_{0}^{[value]}y(t) \, \textrm{d}t}_{A} \ \ \Vert y(x)=[value]+Ax^{[value]} \] \begin{eqnarray*} y(x) & = & [value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]}([value]+At^{[value]}) \, \textrm{d}t \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \int_{0}^{[value]}[value] \, \textrm{d}t + \int_{0}^{[value]}At^{[value]} \, \textrm{d}t\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}[value]t+\bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}\frac{1}{[value]}At^{[value]}\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}(([value]-0)+(\frac{1}{[value]}A\cdot [value]^{[value]}-\frac{1}{[value]}A\cdot 0^[value])) \\ & = & [value]+x^{[value]}([value]+[value]A) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow A & = & [value]+[value]A \\ [value]A & = & [value] \\ A & = & [value] \end{eqnarray*} \[\Rightarrow y(x)=[value] \]

Määrää sellainen funktion \[f(x)=[value]\] integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta. Luonnollinen logaritmi merkitään ln, esim. ln(2). Arcustangentti merkitään atan, esim. atan(1). Itseisarvo merkitään abs, esim. abs(x).

Find the integral function of the function \[f(x)=[value]\] the graph of which is passing through the origin \((0,0)\). The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3). The arcus tangent of b is written as atan(b), e.g. atan(1). The absolute value of c is written as abs(c), e.g. abs(-2).

Integraalifunktio onThe integral function is .
Feedback: Malliratkaisu: The model solution: \[ F(x) = \int f(x)\,\mathrm{d}x = \int [value]\,\mathrm{d}x \] Osamurtokehitelmä: Partial fraction expansion: \[ \begin{align*} f(x) &=[value] = [value]+[value] \\ &= [value] \\ &=[value] . \end{align*} \] Osoittajia vertaamalla saadaan yhtälöryhmä The system of equations follow by comparing the numerators: \[ \left\{\begin{array}{rrrllll} A&+B&&=0&|\,\cdot1&&\\ &[value]B&+C&=[value]&&&\\ A&&+[value]C&=0.&|\,\cdot(-1)&&\\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(A\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. Eliminate \(A\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ \left\{\begin{array}{rrll} B&-[value]C&=0&|\,\cdot [value]\\ [value]B&+C&=[value]&|\,\cdot(-1)\\ \end{array}\right. \] Eliminoidaan \(B\) kertomalla puolittain sopivasti ja laskemalla yhteen. Eliminate \(B\) by multiplying both sides of the equation appropriately and adding together. \[ ([value])C=-[value], \] josta \(C=[value]\). Edelleen sijoittamalla saadaan \(A=-[value]\) ja \(B=[value]\). Tällöin which gives \(C=[value]\). By substituting it follows \(A=-[value]\) ja \(B=[value]\). Hence \[ f(x) =[value]+[value]. \] \[ \begin{align*} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d}x = \int ([value]+[value]+[value])\,\mathrm{d}x\\ &=[value]+[value]+[value]+C. \end{align*} \] Integraalifunktion kuvaaja kulkee origon \((0,0)\) kautta, joten The graph of the integral function is passing through the origin \((0,0)\) and consequently \[ \begin{align*} F(0) =[value]+[value]+[value]+C &=0\\ C &=[value]. \end{align*} \] Kysytty integraalifunktio on The integral function is \[ F(x) = [value]+[value]+[value]. \]

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään \(\sqrt{x} = \mathtt{sqrt(x)}\) ja \(\pi = \mathtt{pi}\).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \left( [value]\right) \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{ll} & \displaystyle{ \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x} \\ = & \displaystyle{ \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right)} \\ = & \displaystyle{ [value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] - \left([value]\cdot[value]^2- +[value]\cdot[value]^{\frac{3}{2}}- +[value]\cdot[value] \right)} \\ = &\displaystyle{ [value]} \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \displaystyle\int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \displaystyle \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = &\displaystyle -[value]\cos\left([value]\right) - \left(-[value] \cos\left([value]\right)\right) \\ & = & \displaystyle [value] + - [value] \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\]

Laske integraalit \[\text{(a) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] \[\text{(b) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] (Vihje: Mikä on \(D(\ln(\cos(x))\)?)

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku merkitään e, esim. 2*e. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

Vastaukset:

(a) |  |
(b) |  |
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} |[value]-x| \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} ([value]-x) \, \mathrm{d}x+\int_{[value]}^{[value]} (x-[value]) \, \mathrm{d}x \\ & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} ([value]x-\frac{1}{2}x^2)+\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} (\frac{1}{2}x^2-[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+\frac{1}{2}\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+[value]^2 \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} (b) \[D\left(\ln\left(\cos(x)\right)\right)=\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).\] \[\int_{0}^{[value]} \tan(x) \, \mathrm{d}x = \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} -\ln\left(\cos(x)\right)=-\ln\left(\cos\left([value]\right)\right)-\left[-\ln\left(\cos(0)\right)\right] = [value].\]

Determine the following integral functions.VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot.

For the natural logarithm, use the command ln(a), e.g. ln(2). The base of the natural logarithm (Euler's number) should be typed as e, e.g. 2*e. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku (Neperin luku) e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: To calculate the integrals, you may apply the following formula, for example: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Determine the following integral functions. For the constant of integration, you can use the letter C, for example. VAPAAEHTOINEN TEHTÄVÄ (ei pisteitä): Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

a) Kappale lähtee levosta ajanhetkellä \(t=0\) liikkumaan pitkin \(x\)-akselia. Ajanhetkellä \(t\) kappaleen vauhdin tiedetään olevan \(v(t) = 4t^3\).

• Ajanhetkellä \(t\) kiihtyvyys voidaan selvittää

• \(a(t) = \)

b) Antilla on kännykässään sovellus, joka mittaa reaaliajassa Antin liikkumisnopeutta. Sovelluksen mukaan Antin nopeus kotoa opiskelupaikkaan tullessa aikaisin aamulla noudatti funktiota \(v(t) = \sin(\frac{t}{10})+10\), kun yksikkönä on \(m/s\). Aikaa matkaan kului \(12\) min. Kuinka pitkä matka oli?

• \(12\) min = \(s\).

• Matka voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

• Matka on noin

Q: Tarkastellaan funktion \( f(x) = [value] \) kuvaajaa. Kun funktion \( f(x) \) kuvaaja pyörähtää x-akselin ympäri muodostuu pyörähdyskappale \( K \).

Laske pyörähdyskappaleen \( K \) tilavuus \( V(K) \) ja pinta-ala \( A(K) \) suljetulla välillä \( [[value],[value]] \) neljän desimaalin tarkkuudella.

a) \( V(K) \) =

b) \( A(K) \) =
Feedback: Mallivastaus a) Pyörähdyskappaleen \( K \) tilavuus saadaan laskettua kaavalla \( V(K) = \pi\int_{a}^{b} f(x)^{2}\ dx \). Määrätyn integraalin rajat saadaan suljetun välin \( [[value],[value]] \) reunapisteistä. Nyt \( \begin{align*} V(K) &= \pi\int_{[value]}^{[value]} \bigg([value]\bigg)^{2} \ dx\\ &= \pi\int_{[value]}^{[value]} \bigg([value]\bigg) \ dx\\ &= [value]\\ &\approx [value]. \end{align*} \) b) Pyörähdyskappaleen \( K \) pinta-ala saadaan laskettua kaavalla \( A(K) = 2\cdot\pi\int_{a}^{b}\mid f(x) \mid\sqrt{1+f'(x)^{2}}\ dx \). Määrätyn integraalin rajat ovat samat kuin yllä. Täten \( \begin{align*} A(K) &= 2\cdot\pi\int_{[value]}^{[value]} [value]\sqrt{1+[value]} \ dx\\ &= [value]\\ &\approx [value]. \end{align*} \)
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Compute the improper integralLaske epäoleellinen integraaliVapaaehtoinen (ei pisteitä): Laske epäoleellinen integraali

\[ \displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x. \]

Give your answer in exact form! Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x. \] Integration by parts: Osittaisintegrointi: \(\displaystyle\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\) \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x}\) \(v'(x)= [value] \Rightarrow v(x)= -\frac{1}{[value]} \cos({[value]}x)\) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} -\textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]} \cdot \cos([value]x)+\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]}\cos([value]x) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x \end{eqnarray*} Applying integration by parts again, we getKäytetään osittaisintegrointia uudestaan. Nyt \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x} \) \(v'(x)= \cos([value]x) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{[value]} \sin([value]x)\) \begin{eqnarray*} \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg(\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x)+\int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{[value]} \sin([value]x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg( 0+ \frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x} \sin({[value]}x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]}\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x. \end{eqnarray*} Whoa! The original integrand appeared also on the right hand side of the equation! Let us move it to the left side.Ohoh! Alkuperäinen integroitava ilmestyi myös yhtälön toiselle puolelle! Siirretään se vasemmalle puolelle. \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ [value] \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Integroi \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx\).

a) Ilman itseisarvoja integraali on

\(\displaystyle I = \int_a^b \) \(dx\) | \(+\) | \(\displaystyle \int_c^d \) \(dx\), missä
\(a = \) |  | \(c = \)
\(b = \) |  | \(d = \) .

b) Lopullinen tulos on \(I = \) .
Feedback: Malliratkaisu: \(|[value]| = \begin{cases} [value], & \text{ kun } x \geq [value] \\ [value], & \text{ kun } x \leq [value] \end{cases}\) \(\displaystyle I = \int_[value]^[value] |[value]| dx = \int_[value]^[value] [value] dx + \int_[value]^[value][value] dx = [value]\).

Find an estimate for the integralLaske likiarvo integraalille

\[\displaystyle \int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \mathrm{d}x \]

by applying the trapezoid rule. Divide the interval into [value] parts. Give your answer in exact form! käyttämällä puolisuunnikassääntöä (engl. trapezoid rule). Jaa integroimisväli [value] osaan. Anna likiarvo tarkkana arvona!

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \textrm{d}x \approx~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Trapezoid rule: Puolisuunnikassääntö: \[\int_{a}^{b} f(x) \, \textrm{d}x\approx \frac{b-a}{n}(f(x_0)/2+f(x_1)+f(x_2)+\ldots +f(x_{n-1})+f(x_n)/2), \] where \(n\) is the number of subintervals, \(x_0=a\) and \(x_n=b\). Nowmissä \(n\) on välien lukumäärä, \(x_0=a\) ja \(x_n=b\). Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]}\cdot \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value]\left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]0+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+f(4)+f(9/2)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Käyrä

\[ \displaystyle y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}},\]

missä \( 0\le x\le1,\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}, 0\le x\le1, \] rotates around the \(x\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(x\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{b) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \] Model solution: The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \]

Käyrä

\[\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, \]

missä \(0\le x\le[value]\), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on muuttujan \(y\) yläraja kappaleen tilavuuden laskemisessa?

\(\textrm{c) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value], \] rotates around the \(y\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(y\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the upper limit of the variable \(y\) for calculating the volume of the solid?

\(\textrm{c) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(y\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(y\) yläraja on \(\textrm{b) }\) The upper limit of the variable \(y\) is .

\(\textrm{c) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{c) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \] Model solution: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \]

Q: Laske
(a) \(\displaystyle [value] = \)
(b) \(\displaystyle [value] = \)
(c) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = \)
(d) \(\displaystyle [value] = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) \(\displaystyle [value] = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] = [value] \) \( \begin{split} \textbf{(b)} \; [value] & = [value] + [value] \\ & = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] + {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \\ & = [value]. \end{split} \) (c) \(\displaystyle \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = -\int\limits_[value]^[value] [value] = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] = [value] \) (d) \(\displaystyle [value] = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] = [value] \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske määrätty integraali
\( \int_{[value]}^{[value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: Ensiksi täytyy integroida integroitava funktio. Kyseessä on polynomi, jolloin saadaan määräämättömäksi integraaliksi \( [value] + C \), missä \( C \) on integrointivakio. Sen jälkeen voidaan laskea integraali. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]} [value] &= {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] \\ &= [value] \end{align*} \)
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.
  Hint: Nyt ei ihan onnistunut.
  Hint: Jokin meni vikaan.

Q: Laske käyrien \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) ja suorien \( x = [value]\) ja \( x = [value] \) väliin jäävä pinta-ala \( A \) neljän desimaalin tarkkuudella.

Huom! Käytä pistettä desimaalierottimena.

\( A \) =
Feedback: Mallivastaus: Tutkittava ongelma voidaan ratkaista määrätyn integraalin avulla asettamalla alarajaksi [value] ja ylärajaksi [value]. Muodostetaan integrandi käyristä \( f(x) = [value] \) ja \( g(x) = [value] \) laskemalla ensin niiden erotus ja integroimalla se muuttujan \( x \) suhteen. Muodostetaan määrätty integraali ja integroidaan se. Lopuksi pyöristetään neljän desimaalin tarkkuuteen. \( \begin{align*} \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] - [value] \bigg) \ dx &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx\\ &= \int_{[value]}^{[value]}\bigg( [value] \bigg) \ dx \\ &= [value]\\ &\approx [value] \end{align*} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Laske se funktion \(f(x) = [value] \) integraalifunkio \(F(x)\), jolle \(F([value]) = [value] \).
\( F(x) = \)
Feedback: Mallivastaus: Haetaan ensiksi funktion \(f(x) = [value] \) yleinen integraalifunktio. Osittaisintegroimalla saadaan \(F(x) = \displaystyle [value] = [value] - \int [value] \, \mathrm{d}x = [value] + C \). Ehdosta \(F([value]) = [value] \) saadaan vakiolle \(C\) yhtälö \([value] + C = [value]\), mistä saadaan \(C\):lle arvo [value]. Siten kysytty integraalifunktio on \( \displaystyle F(x) = [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.