Title: Alkio ja osajoukko

Määritellään funktio \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ja \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=5-(x-3)^2\).

Määritellään suljetut välit \(U = [-5,5]\) ja \(V = [1,6]\). Piirrä funktioiden \(f\) ja \(h\) kuvaajat ja määritä niiden avulla seuraavat joukot. Syötä suljettu väli muodossa [a,b]. Kuvaajien piirtämisessä voit käyttää apuna esimerkiksi GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

a) \(f^{\leftarrow}U = \)

b) \(h^{\leftarrow}V = \)
Feedback: a) [Image] Kuvaajan perusteella \(f^{\leftarrow}U=[-1,4]\). b) [Image] Kuvaajan perusteella \(h^{\leftarrow}V=[1,5]\).

Kurssimateriaalin luvussa 5.3 määritellään osajoukon alkukuva, joka on tietyllä tavalla käänteinen aiemmin opitulle osajoukon kuvalle. Tutustu osajoukon alkukuvaan seuraavien tehtävien avulla. Voit käyttää kuvaajien piirtämisessä apuna esimerkiksi Wolfram|Alphaa, GeoGebraa tai jotain muuta matematiikkaohjelmistoa.

Tarkastellaan kuvausta \(f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), jolle \( n \mapsto|n-2|-1\).
Merkitään \( A=[value] \) ja \( B=[value] \). Määritä seuraavat joukot.

a) \(f^{\leftarrow}A = \)

b) \(f^{\leftarrow}B = \)
Feedback: a) Alkukuvaa \(f^{\leftarrow}A\) varten etsitään kaikki mahdolliset \(z \in \mathbb{Z}\), joille pätee \(f(z) \in A\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1\) \( \iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1 \) \(\iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Ratkaistaan yhtälö \(f(z) = [value]\): \(f(z) = [value] \iff |z-2|-1= [value] \iff |z-2|=[value]+1\) \( \iff z-2=[value]+1 \text{ tai } z-2=-[value]-1 \iff z = [value] \text{ tai } z = [value]\). Kaiken kaikkiaan siis \(f^{\leftarrow}A = [value]\). b) Itseisarvolle pätee \(|z-2| \geq 0\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\), joten \(f(z) = |z-2|-1 \geq 0-1 =-1\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\). Siis \(f(z) \notin B\) kaikilla \(z \in \mathbb{Z}\), mistä seuraa, että \(f^{\leftarrow}B = [value]\).

Tutustu seuraavia tehtäviä varten kurssimateriaalin lukuihin 1.3 ja 1.4.

Olkoon \(A = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 < 5\} \).

Ovatko seuraavat joukkoa \(A\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

a) \(\{-1,2\} \in A\)

b) \(\{-1,2\} \subset A\)

c) \(\{-1,2,3\} \subset A\)

d) \(\emptyset \subset A\)

Olkoon \(B = \{7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}, \{\{7\}\}\}\).

Ovatko seuraavat joukkoa \(B\) koskevat väittämät oikein vai väärin? Sinun on vastattava jokaiseen kohtaan saadaksesi palautetta tehtävästä.

e) \(\{2,7,8\} \in B\)

f) \(\{2,7,8\} \subset B\)

g) \(\{\{2\},\{\{7\}\},8\} \subset B\)

h) \(\emptyset \in B\)
Feedback: a) Väärin, koska joukko \(\{-1,2\}\) ei ole \(A\):n alkio. b) Oikein. c) Väärin, sillä \(3 \notin A\). Tämä johtuu siitä, että \(3^2 = 9 > 5\). Joukon \(A\) alkiot ovat \(-2, -1, 0, 1\) ja \(2\). d) Oikein. Itse asiassa \(\emptyset \subset X\) kaikilla joukoilla \(X\). e) Oikein. f) Väärin, sillä \(2 \notin B\). Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). g) Oikein. h) Väärin. Joukon \(B\) alkiot ovat \(7, 8, \{2\}, \{2,7,8\}\) ja \(\{\{7\}\}\). Huomaa kuitenkin, että \(\emptyset \subset B\).