Title: Raja-arvo ja jatkuvuus

Q: Olkoon funktio
\[ \displaystyle \qquad f: f(x) = [value]. \]
Määritä seuraavat toispuoleiset raja-arvot

a) \(\displaystyle \lim_{x \to [value]^+} f(x) = \)
b) \(\displaystyle \lim_{x \to [value]^-} f(x) = \)

c) Onko funktiolla raja-arvo kohdassa \(x = [value]\)?
d) Onko funktio jatkuva kohdassa \(x = [value]\)?
Feedback: Mallivastaus: a) Aluksi poistetaan itseisarvomerkit. Kun \(x > [value]\), lauseke \(x - [value] > 0\). Tällöin \(|x - [value]| = x - [value]\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = \lim_{x \to [value]^+} [value] = [value]. \] b) Aluksi poistetaan itseisarvomerkit. Kun \(x < [value]\), lauseke \(x - [value] < 0\). Tällöin \(|x - [value]| = [value] - x\). Siis \[ \qquad \displaystyle \lim_{x \to [value]^-} [value] = \lim_{x \to [value]^-} \frac{[value]}{[value]} = \lim_{x \to [value]^-} [value] = [value]. \] c) Toispuoleiset raja-arvot ovat erit, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(x = [value]\). d) c-kohdasta seuraa suoraan, ettei funktio voi olla jatkuva kohdass \( x = [value] \). Sen näkee myös funktion määrittelyjoukosta \(D_f = \mathbb{R} - \{0, [value]\}\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Q: Määritä seuraavat raja-arvot. (\(\infty = \verb+inf+\) ja \(-\infty = \verb+minf+\))
a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \]
b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \]
c) \[\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \]
Feedback: Mallivastaus: a) \[\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2([value]) = \lim_{x \to 0} ([value]) = [value]\] b) \[\displaystyle \lim_{x \to \infty} [value] = \lim_{x \to \infty} [value] = [value]\] c) \(\displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \lim_{x \to [value]} [value] \cdot [value] = \lim_{x \to [value]} [value] = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Laske raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty} \large( [value] )^{\Large[value]} \).

Ohje: kirjoita ensin sulkulauseke muodossa \( (\cdots)=e^{\ln(\cdots)}\).

Syntaksivihje: Esimerkiksi \( \sqrt{x} \) kirjoitetaan muodossa sqrt(x) tai x^(1/2), \( \sqrt[7]{x} \) muodossa x^(1/7) ja \(e^x \) muodossa e^(x) tai exp(x).

\(\lim\limits_{x\to\infty}\large( [value] )^{\Large[value]}=\)
Feedback: Mallivastaus: \( \large \left(e^x+x\right)^{ \Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\ln(e^x+x)\right)^{\Large[value]} \normalsize =\exp \large \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) \). Soveltamalla l'Hospital'n sääntöä eksponentin sisäfunktioon kolmesti saadaan \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{[value](e^x+x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x+[value]} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{[value]e^x}=\frac{1}{[value]}, \] joten \[\lim\limits_{x\to\infty} \large \left(e^x+x\right)^{\Large [value]} \normalsize = \lim\limits_{x\to\infty} \exp \left(\frac{\ln(e^x+x)}{[value]x}\right) = \exp \left( \frac{1}{[value]} \right) = \large [value].\]

Laske seuraavat raja-arvot. (Äärettömät kirjoitetaan seuraavasti: \( \infty = \) inf ja \( -\infty = \) minf.)

\( \textbf{(a)} \quad \displaystyle \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \quad = \)

\( \textbf{(b)} \quad \displaystyle \lim_{x \to a} [value], \quad = \) \( \, \textrm{ol. } \, a\neq 0 \)

\( \textbf{(c)} \quad \displaystyle \lim_{x \to [value]} [value] = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \quad \) Lukua -[value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]}&=\lim_{x \to -[value]} \frac{([value])([value])}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to -[value]} \frac{[value]}{[value]} \\ &= \frac{-[value]+[value]}{-[value]+[value]}=[value] \end{align*} \( \textbf{(b)} \quad \) \( a \):ta ei voida sijoittaa suoraan lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten muokataan hieman lauseketta ensin. \begin{align*} \lim_{x \to a}\frac{\frac{1}{x}^{ (a}-\frac{1}{a}^{ (x}}{x-a}&= \lim_{x \to a}\frac{\frac{a-x}{ax}}{x-a} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-(x-a)}{ax(x-a)} \\ &= \lim_{x \to a}\frac{-1}{ax}=-\frac{1}{a^2} \end{align*} \( \textbf{(c)} \quad \) Lukua [value] ei voida suoraan sijoittaa lausekkeeseen, sillä se tuottaisi \( \dfrac{0}{0} \), joten lauseketta pitää hieman muokata. \begin{align*} \lim_{x \to [value]}[value]^{([value]} &=\lim_{x \to [value]}\frac{([value])([value])}{([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} \\ &=\lim_{x \to [value]} \frac{1}{([value])([value])} \\ &=\frac{1}{([value]+[value])([value]+[value])}=[value]. \end{align*}

Olkoon

\( f(x)=\begin{cases} [value], &\text{ kun }x<[value],\\ a, &\text{ kun }x=[value],\\ bx^2, &\text{ kun }x>[value]. \end{cases}\)

Määritä \(a\):n ja \(b\):n arvot siten, että funktio \(f\) on jatkuva jokaisella \(x \in \mathbb{R}\).

\(a \quad = \quad \)
\(b \quad = \quad \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=[value] \) tulee olla samat. Lisäksi funktion arvo tässä pisteessä täytyy olla yhtä suuri kuin toispuoleiset raja-arvot. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]-} \, f(x) = \lim_{x\to [value]-} \, ([value]) = [value]\cdot [value] - [value] = [value] \]. Jotta funktio olisi jatkuva, täytyy nyt siis olla \(f([value])=a=[value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \[ \lim_{x\to [value]+} \, f(x) = \lim_{x\to [value]+} \, (bx^2) = b \cdot [value]^2 = [value] \]. Nyt siis tulee olla \( [value]=[value] \), eli \( b=[value] \). \( \textbf{Vastaus:} \quad a = [value], \quad b=[value]. \)

Määritä vakio \( b \) siten, että funktio \( f \) on kaikkialla jatkuva.

Funktio \( f \) on määritelty paloittain seuraavasti:

\( f(x)= \begin{cases} bx-[value], & \text{kun} \ x<3 \\ [value], & \text{kun} \ x\geq 3. \end{cases} \)

Anna vastaus tarkkana arvona!

\( b= \)
Feedback: Mallivastaus: Jotta funktio \( f(x) \) olisi kaikkialla jatkuva, sen vasemman ja oikean puoleiset raja-arvot pisteessä \( x=3 \) tulee olla samat. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3-} \, ([value]) = b\cdot 3-[value] = [value] \). Oikeanpuoleinen raja-arvo: \( \lim_{x\to 3+} \, (x^2-3) = 3^2-3 = 6 \). Nyt siis tulee olla \( [value]=6 \), eli \( b=[value] \).

Assume it known that \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\). Determine the limit

Oletetaan tunnetuksi, että \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\). Määritä raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin([value]x)}{x} \]

Answer:

Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Denoting \(y= [value]x\), we getMerkitsemällä \(y= [value]x\), saadaan \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin ([value]x)}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{\frac{y}{[value]}}=\lim_{y\to 0} [value]\frac{\sin(y)}{y}=[value]\cdot 1=[value]. \]

Let us determine the limit \[ \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]} \] using the reasoning below. Answer to the questions concerning the steps taken by picking the correct choice from the list below. Note that the rows are numbered by 1-4. In the following questions numbers refer to this numbering.Lasketaan raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]} \] käyttämällä alla olevaa päättelyketjua. Vastaa päättelyketjua koskeviin kysymyksiin valitsemalla oikea vaihtoehto alla olevasta listasta. Huomaa, että rivit on numeroitu 1-4. Alla olevissa kysymyksissä viitataan numeroilla tähän numerointiin.

We begin by determining the limit for the logarithm of the given function \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}\): Ensin lasketaan raja-arvo kysytyn funktion \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}\) logaritmifunktiolle:

\[\begin{array}{rlllr} \lim_{x\to 0}\frac{\ln{\cos{[value]x} } }[value] &\overset{1}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos{[value]x}}\cdot(-\sin{[value]x})\cdot [value] }{[value]x} & \text{ }& (1)\\ &\overset{2}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\sin{[value]x}}{[value]x\cos{[value]x}} && (2)\\ &\overset{3}{=}&\lim_{x\to 0}\frac{-[value]\cos{[value]x}} {-[value]x\sin{[value]x} + [value]\cos{[value]x}} && (3)\\ &\overset{4}{=}&[value] && (4) \end{array}\]

Now the actual limit of interest can be determined using the formula \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\).Nyt haluttu raja-arvo voidaan laskea kaavalla \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\).

Question 1
On what principle is the above reasoning process based on? Insert the number of your pick of choice in the box below.

\begin{array}{rl} (1) & \text{l'Hôpital's rule}\\ (2) & \text{Taylor series of trigonometric functions}\\ (3) & \text{Bolzano's theorem}\\ (4) & \text{Mean value theorem}\\ \end{array}

Kysymys 1
Mihin periaatteeseen yllä oleva raja-arvon laskeminen perustuu? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{l'Hôpitalin säännön käyttöön}\\ (2) & \text{Trigonometristen funktioiden Taylorin sarjojen käyttöön}\\ (3) & \text{Bolzanon lauseen käyttöön}\\ (4) & \text{Väliarvolauseen käyttöön}\\ \end{array}

Answer: Vastaus:

Question 2
Which of the above equalities (1-4) are based on the method corresponding to the answer to the previous question? Insert the number of your pick of choice.

\begin{array}{rl} (1) & \text{Row 1}\\ (2) & \text{Row 2}\\ (3) & \text{Row 3}\\ (4) & \text{Row 4}\\ (5) & \text{Rows 1 and 2}\\ (6) & \text{Rows 1 and 3}\\ (7) & \text{Rows 2 and 3}\\ (8) & \text{Rows 1, 2 and 3}\\ \end{array}

Kysymys 2
Mitkä kaikki yhtäsuuruusmerkit (1-4) on saatu käyttämällä edellisessä kohdassa antamaasi menetelmää raja-arvon laskemiseksi? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\begin{array}{rl} (1) & \text{Rivin 1}\\ (2) & \text{Rivin 2}\\ (3) & \text{Rivin 3}\\ (4) & \text{Rivin 4}\\ (5) & \text{Rivien 1 ja 2}\\ (6) & \text{Rivien 1 ja 3}\\ (7) & \text{Rivien 2 ja 3}\\ (8) & \text{Rivien 1, 2 ja 3}\\ \end{array}

Answer: Vastaus:

Question 3
Determine the limit by solving the rest of the problem.
Kysymys 3
Laske tehtävä loppuun ja ilmoita kysytty raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos{[value]x})^{\frac{1}[value]}=~\) |

Question 4 Kysymys 4

Why was it possible to calculate the limit by applying the formula \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\)? Insert the number of your pick of choice. Miksi raja-arvo voitiin lopuksi laskea käyttämällä kaavaa \(a^b=e^{b\ln{(a)}}\)? Syötä kenttään vaihtoehdon numero.

\(\text{(1) Because the function } \ln{x} \text{ is a continuous injection in the vicinity of } [value].\)
\(\text{(2) Because the function } \ln{x} \text{ is continous at } x=[value] .\)
\(\text{(3) Because there is not a real } x \text{ such that the function } e^x \text{ would be zero or infinite.}\)
\(\text{(4) Because the exponential function and the logarithmic function are each other's inverse functions.}\) \(\text{(1) Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva injektio pisteen } [value] \text{ ympäristössä.}\)
\(\text{(2) Koska funktio } \ln{x} \text{ on jatkuva pisteessä } x=[value] .\)
\(\text{(3) Koska funktio } e^x \text{ ei ole nolla tai ääretön missään reaalipisteessä } x .\)
\(\text{(4) Koska eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita.}\)
Answer: Vastaus:

Using l'Hôpital's rule, determine the following limitLaske l'Hôpitalin säännön avulla raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value].\]

When applying l'Hôpital's rule, the functions in the numerator and denominator are differentiated separately. Enter the result of the differentiation in the first text box.L'Hôpitalin sääntöä sovellettaessa derivoidaan murtolausekkeen osoittajaa ja nimittäjää erikseen. Kirjoita ensimmäiseen kenttään derivoinnin tulos.

\(\displaystyle \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |

After differentiation, you can take the limit assuming the expression has been brought to a suitable form. Enter the limit in the following text box.Derivoinnin jälkeen voidaan ottaa raja-arvo, jos lauseke on saatu sopivaan muotoon. Kirjoita seuraavaan kenttään saatu raja-arvo.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac[value][value] =~ \) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: L'Hôpital's rule can be applied to calculating the limit of a quotient in certain cases. Let us consider the limit \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}.\] L'Hôpital's rule may be applied only if \[\begin{array}{rl} (1) & \lim_{x\to c} f(x) =\lim_{x\to c} g(x) = 0 \text{ or } \pm \infty, \\ (2) & \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ exists and} \\ (3) & g'(x)\neq 0. \end{array}\] In practice, the first condition means that the limit has to be of the form \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) or \(\frac{-\infty}{-\infty}\). If these conditions are satisfied, then \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää osamäärän raja-arvon laskemiseen tietyissä tilanteissa. Olkoon \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\] tutkittava raja-arvo. L'Hôpitalin sääntöä voidaan soveltaa vain jos \[\begin{array}{rl} (1) & \lim_{x\to c} f(x) =\lim_{x\to c} g(x) = 0 \text{ tai } \pm \infty, \\ (2) & \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ on olemassa ja} \\ (3) & g'(x)\neq 0. \end{array}\] Ensimmäinen ehto käytännössä tarkoittaa, että raja-arvon täytyy olla muotoa \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) tai \(\frac{-\infty}{-\infty}\). Jos edelliset ehdot pätevät, niin \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] The limit \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] \] is of the form \(\frac{0}{0}\). We differentiate the numerator and denominator and examine whether the conditions in l'Hôpital's rule are satisfied. \[ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \frac{ [value]}{[value]} = [value] \underset{x\to 0}{\longrightarrow} [value] \] Based on the previous examination we see that the condition (2) holds. Also the condition (3) holds, because \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value] \neq 0\). Thus, according to l'Hôpital's rule, we get Raja-arvo \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] \] on muotoa \(\frac{0}{0}\). Derivoidaan osamäärän osoittaja ja nimittäjä ja tutkitaan toteutuvatko l'Hôpitalin säännön ehdot. \[ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \frac{ [value]}{[value]} = [value] \underset{x\to 0}{\longrightarrow} [value] \] Edellisen perusteella ehto (2) siis pätee. Myös ehto (3) pätee, koska \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value] \neq 0\). Nyt siis l'Hôpitalin säännön perusteella \[ \lim_{x\to 0}\frac[value][value] = \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} = \lim_{x\to 0} \left([value]\right) = [value]\]

Using l'Hôpital's rule determine the following limits. Give your answers in exact form! Laske l'Hôpitalin säännön avulla seuraavat raja-arvot. Anna vastaus tarkkana arvona!

\[ \begin{align*} \text{(a)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{\sin ([value]x)}{x} \\ \\ \\ \text{(b)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ([value]x)}{x^2} \end{align*} \]

Answers: Vastaukset:

(a)

(b)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] assuming the latter limit exists. L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on voimassa \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. (a) \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{x}\] Since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}x=0,\] we may apply the l'Hôpital's rule. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}x=0,\] voidaan soveltaa l'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] and \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\]Derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] NowNyt \[ \lim_{x\to 0} \frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value]\] (b) \[[value]\] Again, since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to 0}([value]) = [value] = 0,\] we may apply the L'Hôpital's rule. Taas koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to 0}([value]) = [value] = 0,\] voidaan soveltaa L'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we getDerivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}([value]) = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Further, we notice that since the numerator and denominator are continuously differentiable it holds that \[\lim_{x\to 0}[value] = \lim_{x\to 0}([value]) = 0,\] so we may apply L'Hôpital's rule again. Huomataan, että edelleen osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja niille pätee \[\lim_{x\to 0}[value] = \lim_{x\to 0}([value]) = 0,\] joten sovelletaan L'Hôpitalin sääntöä uudestaan. Now differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Finally, we are able to determine the limit: \[[value] \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value].\]Nyt derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value]\] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value] = [value].\] Raja-arvoksi saadaan lopulta laskettua \[[value] \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]} = [value].\]

Using l'Hôpital's rule, determine the limitLaske l'Hôpitalin säännön avulla raja-arvo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}\]

In the first text box, write the expression you get having calculated the first order derivatives. For the second box provide the actual limit (an integer).Kirjoita ensimmäiseen kenttään lauseke, joka saadaan soveltamalla l'Hôpitalin sääntöä kerran derivoimalla raja-arvolauseketta ja toiseen kenttään itse raja-arvoksi saatava kokonaisluku.

\(\displaystyle\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=~\) |

Next, select from the following options when l'Hôpital's rule is applicable. Type the number corresponding to your pick of choice in the box below.Lisäksi valitse seuraavista vaihtoehdoista milloin l'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää kirjoittamalla oikeaa vastausta vastaava numero alla olevaan tekstikenttään.

\(([value])\quad\) | L'Hôpital's rule may be applied to all kinds of situations without any restrictions.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää kaikkien raja-arvojen laskentaan ilman rajoituksia.

\(([value])\quad\) | Calculating a limit, l'Hôpital's rule may be applied to quotients of the form \(\frac{0}{\infty}\) and \(\frac{\infty}{0}\), assuming the derivatives exist and the derivative of the denominator is non-zero at the point where the limit is determined.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää muotoa \(\frac{0}{\infty}\) ja \(\frac{\infty}{0}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | Calculating a limit, l'Hôpital's rule may be applied to quotients of the form \(\frac{0}{0}\) and \(\frac{\infty}{\infty}\), assuming the derivatives exist and the derivative of the denominator is non-zero at the point where the limit is determined.L'Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää muotoa \(\frac{0}{0}\) ja \(\frac{\infty}{\infty}\) oleviin raja-arvon osamääriin, mikäli derivaatat ovat olemassa ja nimittäjän derivatta ei ole nolla raja-arvon pisteessä.

\(([value])\quad\) | When applying l'Hôpital's rule, limits are insignificant. All that matters is the differentiability of the functions. L'Hôpitalin säännössä tärkeää on ainoastaan funktioiden derivoituvuus ja raja-arvoilla ei ole merkitystä.
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]} {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]}=\frac{[value]}{[value]}=[value]. \] \[\lim_{x\to 0}\frac{[value]}{[value]}=\lim_{x\to 0}[value]=[value](0-1)=[value]. \]

Compute the following limits using l'Hôpital's rule:

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä l'Hôpitalin sääntöä:

(a)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} \]

(b)

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x} \]

Give your answers in exact form!

Anna vastaukseksi tarkat arvot!

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}=~\) |
\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\textrm{e}^{[value]x})}{[value]x}=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \(f,g\colon [0,\infty)\to \mathbb{R}\) are continuously differentiable and \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\), thenL'Hôpitalin säännön mukaan, jos \(f,g\colon [0,\infty)\to \mathbb{R}\) ovat jatkuvasti derivoituvia ja \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\), niin \[\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}, \] assuming the right hand side limit exists. jos oikean puolen raja-arvo on olemassa. (a) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)}\] Now \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+\ln(x))=\infty=\lim_{x\to\infty}([value]+\ln(x))\] and both of the equations are differentiable, so Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+\ln(x))=\infty=\lim_{x\to\infty}([value]+\ln(x))\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+\ln(x))}{[value]+\ln(x)} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+\ln(x))}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]+\ln(x)} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1/x}{[value]+\ln(x)}}{1/x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]+\ln(x)} \\ & = & 0. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x}\] Now \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+e^{[value]x})=\infty=\lim_{x\to \infty} [value]x\] and both of the equations are differentiable, so Nyt \[\lim_{x\to \infty} \ln([value]+e^{[value]x})=\infty=\lim_{x\to \infty} [value]x\] ja molemmat lausekkeet ovat derivoituvia, joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{\ln([value]+e^{[value]x})}{[value]x} & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln([value]+e^{[value]x})}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{[value]e^{[value]x}}{[value]+e^{[value]x}}}{[value]} \\ & = & \lim_{x\to \infty} \frac{1}{[value]} \frac{[value]}{[value]e^{-[value]x}+1} \\ & = & \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*}

Using appropriate substitutions, calculate the following limits:

Laske seuraavat raja-arvot käyttämällä sopivaa sijoitusta:

(a) | \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}[value]=~\) |
(b) | \( \displaystyle \lim_{x\to 81} [value]=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) We solve the exercise using an extremely common transformation \(x=t^{-1}\), which proves its usefulness especially when the original limit approaches infinity. Specifically, in that case, \(t \rightarrow 0\). By substituting \(x=t^{-1}\) we get \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8x+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{8t^{-1}+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}}. \] Before calculating the limit we need to simplify the expression. \[ \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[12]{t}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \frac{\sqrt[12]{0}+1}{\sqrt[3]{8+3 \cdot 0}} = \frac{1}{2} \] Ratkaistaan tehtävä käyttämällä erittäin yleistä muuttujanvaihtoa \(x=t^{-1}\), joka osoittaa erinomaisuutensa erityisesti silloin, kun alkuperäinen raja-arvo lähestyy ääretöntä. Tällöin nimittäin \(t \rightarrow 0\). Muuttujanvaihdolla \(x=t^{-1}\) lauseke saadaan muotoon \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8x+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{8t^{-1}+3}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+\sqrt[3]{t^{-1}}}{\sqrt[3]{t^{-1}}\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}}. \] Saatua muotoa täytyy vielä sieventää ennen sijoitusta. \[ \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[3]{t}\sqrt[4]{t^{-1}}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \lim_{t\to0} \frac{\sqrt[12]{t}+1}{\sqrt[3]{8+3t}} = \frac{\sqrt[12]{0}+1}{\sqrt[3]{8+3 \cdot 0}} = \frac{1}{2} \] (b) We apply the transformation \(t=[value] \Rightarrow x=t^4\). Now the expression can be written in the form \[ \lim_{x\to81} \frac{\sqrt{x}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{\sqrt{t^4}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3}. \] Dividing the nominator further into factors, we can finally determine the limit. Käytetään muuttujanvaihtoa \(t=[value] \Rightarrow x=t^4\). Näin saadaan lauseke muotoon \[ \lim_{x\to81} \frac{\sqrt{x}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{\sqrt{t^4}-9}{[value]-3} = \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3}. \] Osoittajan voi edelleen jakaa tekijöihin, jolloin raja-arvo saadaan laskettua: \[ \lim_{t\to3} \frac{t^2-9}{t-3} = \lim_{t\to3} \frac{(t-3)(t+3)}{t-3} = \lim_{t\to3} (t+3) = 6. \]

Calculate the limits of the following sequences:

Laske lukujonojen

(a) \[a_n=\frac{[value]}{[value]} \]

(b) \[b_n=\frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n} \]

Note: Provide your answers in exact form.

raja-arvot. Huom. Anna vastaukseksi tarkat arvot.

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=\)

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} b_n=\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) We divide the numerator and denominator of the expression by the biggest exponent in the denominator, \(n^3\): Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \(n^3\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\lim_{n\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\frac{[value]+0+0}{[value]+0+0}=[value].\] (b) We divide the numerator and denominator of the expression by the biggest exponent in the denominator, \([value]^n\): Jaetaan lausekkeen osoittaja ja nimittäjä nimittäjän korkeimmalla potenssilla, \([value]^n\): \[\lim_{n\to \infty} \frac{[value]\cdot [value]^{n+1}}{2+[value]^n}=\lim_{n\to \infty} [value]\cdot \frac[value]{\frac{2}{[value]^n}+1}=[value]\cdot \frac{[value]}{0+1}=[value].\]

Using l'Hôpital's rule determine the following limits. Give your answers in exact form! Laske l'Hôpitalin säännön avulla seuraavat raja-arvot. Anna vastaus tarkkana arvona!

\[ \begin{align*} \text{(a)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{\sin ([value]x)}{\sin ([value]x)} \\ \\ \\ \text{(b)} \quad &\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ([value]x)}{1-\cos ([value]x)} \end{align*} \]

Answers: Vastaukset:

(a)

(b)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\] L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\] (a) \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)}\] Now \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=0,\] so Nyt \[\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=\lim_{x\to 0}\sin([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\cos([value]x)}{[value]\cos([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]}. \end{eqnarray*} (b) \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)}\] Now \[\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=0,\] so Nyt \[\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=\lim_{x\to 0}1-\cos([value]x)=0,\] joten \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos([value]x)}{1-\cos([value]x)} &=& \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1-\cos([value]x)} \\ &=& \lim_{x\to 0} \frac{[value]\sin([value]x)}{[value]\sin([value]x)} \\ &=& \frac{[value]}{[value]} \lim_{x\to 0} \frac{\sin([value]x)}{\sin([value]x)} \\ &\stackrel{(a)}{=}& \frac{[value]^2}{[value]^2} \\ &=& [value]. \end{eqnarray*}

Laske seuraava raja-arvo käyttämättä derivaattaa:

Evaluate the following limit without using the derivative:

\[\lim\limits_{x \to [value]} [value].\]

Raja-arvo on The limit is .
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \(\begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\lim\limits_{x\to [value]} [value] = \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{[value]}\\ &= \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{(\sqrt{[value]})^2-([value])^2} = \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])}\\ &= \lim_{x \to [value]} \frac{[value]}{([value])([value])([value])} = \lim_{x \to [value]}([value]) =[value] \end{align*}\)

Determine the following limits. Do not use approximate values. For symbols \(\infty\) and \(-\infty\), type inf or minf, respectively.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to[value]+} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[\lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) In the (a) part of the exercise, it should be noticed that the point is approached from the positive direction. This means that the absolute value is always non-negative and thus we can leave the absolute value bars out.Tehtävän a-kohdassa tulee huomata, että tarkastelupistettä lähestytään positiivisesta suunnasta. Tämä tarkoittaa, että itseisarvo on aina ei-negatiivinen. Itseisarvomerkit voidaan siis suoraan jättää pois. \[ \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} [value] = \lim_{x\to[value]+} \frac{-([value]-x)}{[value]-x} = \lim_{x\to[value]+} \frac{-1}{1} = -1 \] It is worth noting that if we approached the point from the negative side instead, the answer would be different in sign. The function has one-sided limits at \(x=[value]\) but they are nonequal. In other words, limit at \(x=[value]\) does not exist.Kannattaa huomata, että tässä tehtävässä negatiiviselta puolelta lähestyminen muuttaisi vastauksen merkin positiiviseksi. Funktiolla on toispuoleiset raja-arvot pisteessä \(x=[value]\), mutta ne eivät ole samat. Siis raja-arvoa pisteessä \(x=[value]\) ei ole olemassa. (b) We can see the answer right away by looking at the exponents of \(x\), but here we will justify our reasoning more accurately. First we reduce the expression by \(x^2\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\frac[value]{x^2}}{1+\frac[value]{x^2}} = \infty \] From this form we see that \(x\) will remain in the numerator, when \(x \rightarrow \infty\). Consequently, the limit approaches to infinity.Ratkaisu voidaan nähdä suoraan katsomalla \(x\):n eksponentteja, mutta perustellaan vastaus tarkemmin. Supistetaan lauseke termillä \(x^2\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\frac[value]{x^2}}{1+\frac[value]{x^2}} = \infty \] Saadusta muodosta havaitaan, että termi \(x\) jää jäljelle osoittajaan, kun \(x \rightarrow \infty\). Sen seurauksena raja-arvo lähestyy ääretöntä.

Laske seuraava raja-arvo käyttämättä derivaattaa:

Evaluate the following limit without using the derivative:

\[ \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{[value]}{[value]-\sqrt{[value]}}. \]

Raja-arvo on The limit is .
Feedback: Malliratkaisu: Model solution: \[ \begin{align*} &\hphantom{=}\,\,\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{[value]x^2+[value]}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\sqrt{x^2([value]+\frac{[value]}{x^2})}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x-\underbrace{|x|}_{=-x}\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{[value]x+x\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]x}{x([value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}})} =\lim_{x\to-\infty}\frac{[value]}{[value]+\sqrt{[value]+\frac{[value]}{x^2}}} =[value] \end{align*} \]

Determine the following limits. Do not use approximate values. For symbols \(\infty\) and \(-\infty\), type inf or minf, respectively.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to2} \left([value]\right) \] | \(=~\) |
(b) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) In the (a) part of the exercise we reach the solution by decomposing both terms such that they have a common denominator. To achieve this, we decompose the first term by \((x+2)\).Tehtävän a-kohdassa ratkaisu löydetään laventamalla molemmat termit samannimisiksi. Ensimmäinen termi tulee siis laventaa \((x+2)\):lla. \[ \lim_{x\to2} \left([value]\right) = \lim_{x\to2} \frac{[value](x+2)-[value]}{x^2-4} = \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} \] From the derived form we notice that the term \((x-2)\) gets cancelled out and from the remaining expression we can determine the desired limit straight away.Saadusta muodosta havaitaan, että termi \((x-2)\) supistuu pois ja jäljelle jäävästä lausekkeesta saadaan suoraan laskettua haluttu raja-arvo. \[ \lim_{x\to2} \frac{[value](x-2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to2} \frac{[value]}{x+2} = \frac{[value]}{2+2} = [value] \] (b) By examining the terms in the numerator, we see that the \(x^4\) terms get cancelled out and only lower degree terms will remain. The term \(x^3\) in the denominator will drag the lower degree terms in the numerator to zero, when \(x \rightarrow \infty\). This means that those who have a more advanced mind, could solve the exercise just by examining the constants of the terms of degree 3. But since we are not like that, we will resort to familiar brute force techniques to get the problem nailed down.Osoittajan termejä tarkastelemalla nähdään, että \(x^4\)-termit kumoutuvat ja jäljelle jää vain alempiasteisia termejä. Nimittäjässä oleva termi \(x^3\) pakottaa osoittajassa olevat astetta 3 pienemmät termit nollaksi, kun \(x \rightarrow \infty\). Harjaantunut mieli voi siis ratkaista tehtävän tarkastelemalla pelkästään astetta 3 olevien termien kertoimia. Ratkaistaan tehtävä kuitenkin harjoituksen vuoksi raa'alla voimalla. \begin{align} \lim_{x\to\infty} [value] &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-([value])}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{[value]}{x^3} \\ &= \lim_{x\to\infty} ([value]) \\ &= [value] \end{align}

Determine the following limits. Do not use approximate values. For symbols \(\infty\) and \(-\infty\), type inf or minf, respectively.

Laske seuraavat raja-arvot. Älä käytä likiarvoja. \(\infty\)-symbolin saat komennolla inf ja \(-\infty\)-symbolin komennolla minf.

(a) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
(b) | \[ \lim_{x\to\infty} [value] \] | \(=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) For the solution, notice that according to the definition of Napier's constant \[ \lim_{x\to\infty} [value] = e. \] Now it is easy to determine the limit: \[ \lim_{x\to\infty} [value] = [value] \]Ratkaisua varten tulee huomata, että Neperin luvun määritelmän mukaan \[ \lim_{x\to\infty} [value] = e. \] Nyt kysytty raja-arvo on helppo laskea. \[ \lim_{x\to\infty} [value] = [value] \] (b) For the solution, we reduce the expression by removing the term \((x+1)!\).Ratkaisu saadaan supistamalla termillä \((x+1)!\). \[ \lim_{x\to\infty} [value] = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} \] To progress, we split the term \((x+1)!\) into factors.Saadusta muodosta päästään eteenpäin hajottamalla termi \((x+1)!\) tekijöihin. \[ \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{(x-1)!}{(x+1)(x)(x-1)!}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)(x-1)!}} = \lim_{x\to\infty} \frac{[value]-\frac{1}{(x+1)(x)}}{1+\frac{[value]}{(x+1)(x)}} = [value] \] The term \(1/(x(x+1))\) appearing both in the numerator and denominator approaches zero as \(x \rightarrow \infty\). Applying this fact we obtain the limit.Sekä osoittajassa että nimittäjässä esiintyvä termi \(1/(x(x+1))\) lähestyy nollaa, kun \(x \rightarrow \infty\). Tämän perusteella saadaan kysytty raja-arvo.

Determine the limit using l'Hôpital's ruleLaske raja-arvo käyttämällä l'Hôpitalin sääntöä

\(\lim_{x\to [value]} \frac{\sin \left([value]\pi x\right)}{[value]x-[value]} =~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: According to l'Hôpital's rule, if \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] or \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] and the functions are continuously differentiable, then it holds that \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] assuming the latter limit exists. L'Hôpitalin säännön mukaan, jos \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0\] tai \[\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=\pm \infty\] ja funktiot ovat jatkuvasti derivoituvia, on voimassa \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},\] mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Since the numerator and denominator are continuously differentiable and \[\lim_{x\to [value]}\sin \left([value]\pi x\right)=\lim_{x\to [value]}[value]x-[value]=0,\] we may apply l'Hôpital's rule.Koska osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvasti derivoituvia ja \[\lim_{x\to [value]}\sin \left([value]\pi x\right)=\lim_{x\to [value]}[value]x-[value]=0,\] voidaan soveltaa L'Hôpitalin sääntöä. Differentiating the functions we get \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin \left([value]\pi x\right) = [value]\pi\cos \left([value]\pi x\right) \] and \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x-[value] = [value].\]Derivoimalla saadaan \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin \left([value]\pi x\right) = [value]\pi\cos \left([value]\pi x\right) \] ja \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[value]x-[value] = [value].\] NowNyt \[ \lim_{x\to [value]} \frac{\sin \left([value]\pi x\right)}{[value]x-[value]} \stackrel{L'H.}{=} \lim_{x\to [value]} \frac{[value]\pi\cos \left([value]\pi x\right)}{[value]} = [value].\]