Title: MAT-01260 Matematiikka 2

Määritä \( a \in \mathbb{R} \) siten, että

\[ \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value]. \]

Vastaus: \( a = \)
Feedback: Mallivastaus: Kehitetään determinanttia ensimmäisen vaakarivin suhteen. Tällöin \[ \begin{align} & \left| \begin{matrix} [value] & a & 0 \\ 1 & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - a \left| \begin{matrix} 1 & [value] \\ 0 & [value] \end{matrix} \right| + 0 \left| \begin{matrix} 1 & [value]\\ 0 & [value] \end{matrix} \right| = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value] \big[ \normalsize ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) \big] \normalsize - a [ ([value]) \cdot ([value]) - ([value]) \cdot ([value]) ] + 0 = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &[value]-([value])a = [value] \\ \\ \Leftrightarrow &a = [value] \end{align} \] Determinanttia voidaan kehittää minkä vain vaaka- tai pystyrivin suhteen. Kannattaa valita sellainen rivi, jossa on mahdollisimman paljon nollia, koska tällöin jää vähemmän laskettavaa. Esimerkiksi tässä ei tarvinnut laskea kolmatta \( (2x2) \)-determinanttia ollenkaan, koska se kerrotaan nollalla. Tässä tehtävässä siis yhtä nopeasti päästään ratkaisuun, jos kehitettäisiin determinantti alimman vaakarivin, vasemman pystyrivin tai oikean pystyrivin suhteen.

Olkoot \( \mathbf{x} = [value], \quad \mathbf{y} = [value], \quad \mathbf{v} = [value], \)

\( \textbf{(a)} \) Miten pitää \( t \) valita, että \( \mathbf{v} \) voidaan esittää vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaationa?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(b)} \) Miten pitää \( t \) valita, jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset?
Vastaus: \( t = \) .

\( \textbf{(c)} \) Miten pitää \( t \) valita, että vektori \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori?
Vastaus: \( t = \) .
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) olisi vektoreiden \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) lineaarikombinaatio, on joillakin vakioilla \( c_1, c_2 \) oltava \[ \begin{align} c_1 \mathbf{x} + c_2 \mathbf{y} &= \mathbf{v} \\ c_1 [value] + c_2 [value] &= [value]. \end{align} \] Vektorien ylimmistä alkioista saadaan yhtälö \( c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 = 1 \Leftrightarrow c_1 = 1. \) Toiselta riviltä saadaan \( c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 = [value] \Leftrightarrow c_2 = [value] \). Nyt ollaan ratkaistu vakiot \( c_1 \) ja \( c_2 \) ja siten \[ \begin{align} c_1 &[value] + c_2 [value] = [value] \\ \Leftrightarrow 1 &[value]+[value] [value] = [value] \\ \Leftrightarrow &[value] + [value] = [value] \\ \\ \Leftrightarrow & [value]+[value] \cdot t = [value] \\ \Leftrightarrow & t = [value]. \end{align} \] \( \textbf{(b)} \) Jotta \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{y} \) olisivat ortogonaaliset, on niiden pistetulon oltava \( 0 \). Siten \[ \begin{align} [value] \cdot [value] &= 0\\ \\ \Leftrightarrow (0 \cdot 1) + ([value] \cdot [value]) + t \cdot [value] &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= [value]. \end{align} \] \( \textbf{(c)} \) Jotta \( \mathbf{y} \) olisi yksikkövektori, on vektorin pituuden eli normin oltava \( 1 \) eli \[ \begin{align} \| \mathbf{y} \| &= 1 \\ \Leftrightarrow \sqrt{0^2 + 1^2 + t^2} &= 1 \quad \big| ()^2 \\ \Leftrightarrow 1+t^2 &= 1 \\ \Leftrightarrow t^2 &= 0 \\ \Leftrightarrow t &= 0. \end{align} \]

Olkoot \( \mathbf{u} = [value]\mathbf{e}_1 + [value]\mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{v} = -\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \text{ sekä} \quad \mathbf{w} = \mathbf{e}_1 + [value]\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \).

Tarkista seuraavat kohdat ensin Matlabilla ja kirjoita vastaukset STACKiin vasta sen jälkeen.

\( \textbf{(a)} \) Laske \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \).
Vastaus: \( \mathbf{e}_1 + \) \( \mathbf{e}_2 + \) \( \mathbf{e}_3 \).

\( \textbf{(b)} \) Laske vektorikolmitulo \( \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \).
Vastaus: \( \mathbf{e}_1 + \) \( \mathbf{e}_2 + \) \( \mathbf{e}_3 \).
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{(a)} \) Karteesisessa koordinaatistossa x- ,y- ja z-akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla \( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \text{ ja } \mathbf{e}_3 \) määriteltyjen vektoreiden \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) ristitulo voidaan laskea determinantin avulla: \[ \begin{align} \mathbf{u} \times \mathbf{v} & = \text{det} \left[ \begin{matrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ [value] & [value] & [value] \\ 0 & [value] & [value] \end{matrix} \right] \\ & = [value]\mathbf{e}_1 - ([value]) \mathbf{e}_1 + [value] \mathbf{e}_2 - [value] \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3 - [value]\mathbf{e}_3 \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + [value] \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3. \end{align} \] \( \textbf{(b)} \) Vektorikolmitulo on vektori, joka voidaan laskea kaavalla \[ \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \mathbf{v}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - \mathbf{w}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}). \] Nyt \[ \begin{align} \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value] + [value] \cdot ([value]) \\ & = [value] \\ \\ & \text{ja} \\ \\ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} & = [value] \cdot [value] + [value] \cdot ([value]) + [value] \cdot ([value]) \\ & = [value]. \end{align} \] Siten \[ \begin{align} \mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) & = \mathbf{v}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - \mathbf{w}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \\ & = [value] \mathbf{v} - ([value]) \mathbf{w} \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + ([value]) \mathbf{e}_3 - ( [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + [value] \mathbf{e}_3 ) \\ & = [value] \mathbf{e}_1 + ([value]) \mathbf{e}_2 + ([value]) \mathbf{e}_3. \end{align} \]

Jaa matriisi

\[ A = [value] \]

summaksi \( A = S + N \) siten, että matriisi \( S \) on symmetrinen ja \( N \) antisymmetrinen.

\( S = \)

\( N = \) .
Feedback: Mallivastaus: Matriisi \( S \) on symmetrinen, jos sille pätee \( S^T = S \). Matriisi \( N \) on symmetrinen, jos sille pätee \( N^T = -N \). Nyt tulee löytää siis symmetrinen matriisi \( S \) ja antisymmetrinen matriisi \( N \) siten, että \( S+N = A \). Toisin sanoen kaikilla \( i, j \in \{ 1,2,3,4 \} \) pätee \[ \begin{cases} s_{ij} = s_{ji} \\ n_{ij} = -n_{ji} \\ s_{ij} + n_{ij} = a_{ij}. \end{cases} \] Matriisit \( S \) ja \( N \) löydetään kokeilemalla, mutta yllä olevista ehdoista huomataan ainakin heti, että kun \( i = j \), niin on oltava \( n_{ij} = 0 \), koska muuten ehto \( n_{ij} = -n_{ji} \) ei täyty. Toisin sanoen matriisin \( N \) diagonaalialkioiden tulee olla nollia. Tästä saadaankin kolmannen ehdon perusteella ratkaistua matriisin \( S \) diagonaalialkiot. Huomataan, että esimerkiksi matriiseilla \( S = [value] \quad \text{ja} \quad N = [value] \) ylläolevat ehdot pätevät, sillä \[ S^T = [value] = S \] \[ N^T = [value] = -N \] ja \[ S+N = [value] = A. \]

Tarkastellaan matriisia

\( A = [value] \),

missä \( a \in \mathbb{R} \). Millä parametrin \( a \) valinnalla

\( \text{det}(A) = 0 \)?

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina!

Ratkaisuja on kaksi: \( a_1 = \) tai \( a_2 = \) .

Syntaksivihje: Neliöjuuren saat sqrt()-funktion avulla. Esim. \( \sqrt{11} \) kirjoitetaan sqrt(11). Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*) ja jakolaskuoperaattorina /-merkkiä.
Feedback: Mallivastaus: Determinanttia kannattaa kehittää viimeiseltä pystyriviltä (tai toiselta vaakariviltä), koska siellä on nolla. Tässä ratkaisussa on kehitetty viimeisen pystyrivin suhteen. Näin saadaan \( \begin{align} \text{det}(A) & = \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value]\\ [value] & [value]\\ \end{matrix} \right| - 0 \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ \\ & = [value] \left([value] \cdot [value] - [value] \cdot ([value]) \right) - 0 + [value] \left( [value] \cdot ([value]) - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \) Nyt haluttiin, että \( \text{det}(A) = 0 \), eli \[ [value] = 0 \]. Ratkaistaan, millä \( a \):n arvoilla yhtälö toteutuu. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \( a \):n arvoiksi \( a_1 = [value] \) tai \( a_2 = [value] \).

Jaa vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen (vastaus 1) ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin (vastaus 2), kun

\( \begin{align} \textbf{(a)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = [value], \\ \textbf{(b)} \quad &\mathbf{v} = [value] \quad \text{ja} \quad \mathbf{u} = \left[ \begin{matrix} [value]/3 \\ [value]/3 \\ [value]/6 \end{matrix} \right] \end{align} \)

\( \textbf{(a)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .

\( \textbf{(b)} \) Vastaus 1: , vastaus 2: .
Feedback: Mallivastaus: Jaetaan vektori \( \mathbf{v} \) vektorin \( \mathbf{u} \) suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Toisin sanoen lasketaan \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \) ja tätä vastaan kohtisuora osa on \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) \). Piirrä kuva! \( \textbf{(a)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \). \( \textbf{(b)} \quad \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \right) \mathbf{u} = [value]. \) Tällöin \( \mathbf{w} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) = [value] \). Tarkistus: \( \text{proj}_{\mathbf{u}}( \mathbf{v} ) + \mathbf{w} = [value]+[value]=[value] = \mathbf{v} \).

Esitä vektori \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2} \) vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \) lineaarikombinaationa, eli määritä kertoimet \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) siten, että \( {\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v} \).

\( c_1 = \)
\( c_2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( {\bf a}={\bf e_1}+{\bf e_2}, {\bf u}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2}, {\bf v}=[value]{\bf e_1} +[value]{\bf e_2} \). Sijoittamalla \( {\bf u }\) ja \( {\bf v }\) vektoriin \[{\bf a}=c_1{\bf u}+c_2{\bf v}, \] saadaan yhtälöryhmä \[\left\{ \begin{split} [value]c_1+[value]c_2 & = 1, \\ [value]c_1+[value]c_2 & = 1. \end{split} \right.\] Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1-[value]c_2}[value] \). Kun tämä sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan \( \displaystyle c_2=-\frac{1}{[value]} \). Sijoittamalla saatu arvo saadaan \( \displaystyle c_1=\frac{1+[value]}[value]=[value] \). Eli \( \displaystyle {\bf a}=[value]{\bf u}-[value]{\bf v} \).

Olkoon matriisi
\[
A = [value].
\]
Laske determinantti.

\( \det(A) = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \det(A) &= \left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{matrix} \right| = [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| +([value]) \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ &= [value] \end{align} \) (2x2 matriisien [value] determinantti saadaan kaavalla \(ad-bc\).)

Olkoon \( {\bf u}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \). Laske

\( {\bf u}\cdot {\bf v} = \) , ja

vektoreiden välisen kulman \(\theta\) kosinin tarkka arvo: \(\cos\theta=\)

Neliöjuuri kirjoitetaan esim. muodossa sqrt(5), kertolasku esim. 3*5 ja jakolasku esim. 4/9.
Feedback: Mallivastaus: Vektoreiden \({\bf u}=u_1{\bf e_1}+u_2{\bf e_2}+u_3{\bf e_3}+u_4{\bf e_4}\) ja \({\bf v}=v_1{\bf e_1}+v_2{\bf e_2}+v_3{\bf e_3}+v_4{\bf e_4}\) pistetulo on \[{\bf u}\cdot {\bf v} = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+u_4v_4,\] joten annettujen vektoreiden \( {\bf u}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) ja \( {\bf v}=[value]{\bf e_1}+[value]{\bf e_2}+[value]{\bf e_3}+[value]{\bf e_4} \) pistetulo on \[{\bf u}\cdot {\bf v}= [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot [value] +[value]\cdot[value]=[value].\] Jos \(\theta\) on vektoreiden \({\bf u}\) ja \({\bf v}\) välinen kulma, niin silloin \[{\bf u}\cdot {\bf v}=|{\bf u}|\,|{\bf v}|\cos \theta,\] eli vektoreiden \({\bf u} \) ja \({\bf v}\) välisen kulman kosini on \[\cos\theta =\frac{{\bf u}\cdot {\bf v}}{|{\bf u}| |{\bf v}|}.\] Nyt \[|{\bf u}|=\sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2+[value]^2}=[value], \] ja \[|{\bf v}|=\sqrt{[value]^2+[value]^2+[value]^2+[value]^2}=[value],\] eli \[\cos \theta=\frac[value]{[value]\cdot [value]}=[value].\]

Olkoon \( u=([value],[value]), v=([value],[value]) \). Määritä

Pistetulo \( u\cdot v = \)

Vektoreiden \( u \) ja \( v \) välinen kulma \( \theta \) (radiaaneina): \( \theta \approx \)

Anna kulman likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.
Feedback: Mallivastaus: Vektoreiden \( u=(u_1,u_2) \) ja \( v=(v_1,v_2) \) pistetulo on \[ u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2, \] joten annettujen vektoreiden \( u=([value],[value]) \) ja \( v=([value],[value]) \) pistetulo on \[u\cdot v = [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]=[value]. \] Jos \( \theta \) on vektoreiden \( u \) ja \( v \) välinen kulma, niin silloin \[u\cdot v=|u|\,|v|\cos \theta, \] eli vektoreiden \( u=([value],[value]) \) ja \(v=([value],[value]) \) välinen kulma on \[\theta = \cos^{-1} \frac{u\cdot v}{|u|\,|v|}.\] Nyt \[|u|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value],\] ja \[|v|=\sqrt{[value]^2+[value]^2}=[value],\] eli \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac[value]{[value]\cdot [value]} \right) \approx [value] \ \text{(rad)}.\]

Olkoon \(x=([value],[value]), y=([value],[value]), z=([value],[value])\). Määritä

\(\|x-y\|+\|y-z\|=\)

\(\|x-z\|=\)

Mieti, ovatko pisteet \(x,y,z\) samalla suoralla? Miten tämän voi päätellä edellisten laskujen perusteella?

Anna vastaukseksi likiarvo kolmen (3) desimaalin tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.
Feedback: Mallivastaus: \(\begin{align*} \|x-y\|+\|y-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\|+\|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\|+\|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2}+\sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*} \) \(\begin{align*} \|x-z\| & = \|([value],[value])-([value],[value])\| \\ & = \|([value],[value])\| \\ & = \sqrt{([value])^2+([value])^2} \\ & \approx [value]. \end{align*}\) Pisteet ovat samalla suoralla jos ja vain jos \[ \|x-z\|=\|x-y\|+\|y-z\|. \]

Määritä tulo \(Ax\), kun
\[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array} \right] \ \text{ja} \ x=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T. \]

\( Ax = \bigg [ \) \( \bigg ]^T. \)
Feedback: Mallivastaus: \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \] ja \[ x=\left[\begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right].\] \begin{eqnarray*} Ax & = & \left[ \begin{array}{ccc} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value]\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ [value]\cdot [value]+[value]\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \\ ([value])\cdot [value]+([value])\cdot [value]+[value]\cdot ([value]) \end{array} \right] \\ & = & \left[ \begin{array}{c} [value] \\ [value] \\ [value] \end{array} \right]. \end{eqnarray*}

Ratkaise yhtälöryhmä. Älä kirjoita vastauskenttiin ylimääräisiä välilyöntejä. Jostain syystä ne voivat aiheuttaa virhetilanteen.

\[ \begin{eqnarray}
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\nonumber\\
[value]&=& [value]\ .\nonumber
\end{eqnarray} \]

\( x_1= \)
\( x_2= \)
\( x_3= \)
Feedback: Mallivastaus Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava "yhtälöryhmä", siis \[ \begin{align} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{align}\]

Olkoot matriisit
\[
A = [value] \qquad \textrm{ja} \qquad B = [value].
\]

Määritä parametri \(k\) siten, että \(AB = BA\).

\(k= \)
Feedback: Mallivastaus: Aloitetaan laskemalla matriisitulot \(AB\) ja \(BA\). \( \begin{align*} AB & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value], \\ BA & = [value] \cdot [value] \\ & {} = [value]. \end{align*} \) Jotta matriisitulot olisivat yhtä suuret, matriisien vastaavat alkiot pitää olla yhtä suuret. Huomataan, että matriisituloista kaksi alkiota ovat identtiset, joten määritellään parametri \(k\) esim. merkitsemällä yhtä suuriksi alkiot \((AB)_{21} = (BA)_{21}\). \(\begin{align*} (AB)_{21} & = (BA)_{21} \\ [value] & = [value] \\ [value] & = [value] \\ k & = [value]. \end{align*} \) Tarkistetaan vielä lopuksi, että viimeinen alkio on tuloissa yhtä suuret. \(\begin{align*} (BA)_{12} & = [value] \qquad || \textrm{ } k=[value] \\ & {} = [value], \end{align*} \) joka on yhtä suuri kuin alkio \((AB)_{12} = [value]\).

Olkoon matriisi

\[
A = [value].
\]

Laske \((s\cdot I - A)^{-1}\), kun \( s\in\mathbb{R}\setminus\{[value],[value]\} \). Anna kaikki polynomit aukilasketussa muodossa eli muodossa \( as^2+bs+c \) muodon \( (s-s_1)(s-s_2) \) sijasta.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Kääntyville \(2\textrm{x}2\) matriiseille pätee \( A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \) Näin ollen \( \begin{eqnarray*} (s\cdot I - A)^{-1} & = & [value]^{-1} \\ & = & \frac{1}[value] \cdot \left( \begin{array}{cc} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{array} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \)

Olkoon
\[ A^{-1}=[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske matriisien tulomatriisin käänteismatriisi \( (AB)^{-1} \).
Laske tulo [value]\((AB)^{-1}\).
Mieti, missä vaiheessa on hyvä kertoa annetulla vakiolla [value], koska osa murtolukutermeistä voivat supistua pois.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} B^{-1} &= [value] \\ \\ [value]B^{-1} &= [value]\\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] (B^{-1} A^{-1}) \\ &= ([value] B^{-1}) A^{-1} \\ &= [value][value] = [value] \end{align} \). TOINEN TAPA (työläämpi): \( \begin{align} A = (A^{-1})^{-1} &= [value] \\ \\ AB & = [value][value] = [value] \\ \\ (AB)^{-1} &= [value] \\ \\ [value](AB)^{-1} &= [value] \end{align} \).

Olkoot matriisi

\[ A = [value] \]

ja vektori

\[ b = [value].\]

Ratkaise yhtälöryhmä \(Ax=b\).

\(x= \)
Feedback: Ratkaisu: Yhtälöryhmä voidaan ratkaista ratkaisemalla \( x_i \) kerrallaan sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmällä. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista myös matriisien avulla käyttämällä Gaussin eliminointia. Kirjoitetaan systeemi kokonaismatriisina ja muunnetaan se redusoituun riviporrasmuotoon: \[ \left[ A | \mathbf{b} \right] = [value] \Longrightarrow \text{rref}(\left[ A | \mathbf{b} \right]) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & [value] \\ 0 & 1 & 0 & [value] \\ 0 & 0 & 1 & [value] \end{matrix} \right] \] Kirjoitetaan nyt redusoitua riviporrasmuotoa vastaava "yhtälöryhmä", siis \[ \begin{align} x_1 &= [value] \\ x_2 &= [value] \\ x_3 &= [value]. \end{align}\] Toinen tapa: Ratkaisu saadaan kertomalla yhtälöä vasemmalta matriisin \(A\) inverssillä: \( \begin{align} Ax&=b \\ A^{-1}Ax&=A^{-1}b \\ x&=A^{-1}b \\ x&=[value][value] \\ x&= [value] \end{align} \)

Tee matriisille \(A=[value]\) LU-hajotelma. Etsi siis alakolmiomatriisi \(L\) ja yläkolmiomatriisi \(U\) siten, että \(A=LU\).

Alakolmiomatriisi \(L\):

Yläkolmiomatriisi \(U\):
Feedback: Mallivastaus: (Tarkista LU-hajotelma tarvittaessa esimerkiksi kurssin opintomonisteesta) 1. vaihe: \( l_1 = [value], \quad L_1 = [value], \quad L_1 A = [value] \) 2. vaihe: \( l_2 = [value], \quad L_2 = [value], \quad L_2 L_1 A = [value] \) Valmis hajotelma: \( L = [value], \quad U = [value] \) Tarkistus: \( LU = [value][value] = [value] = A \)

Olkoon

\[
A = [value].
\]

Matriisin \(A\) transpoosi on:
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \(M\) transpoosi \(M^{\mathsf{T}}\) määritellään seuraavasti. \[ M_{ij}^{\mathsf{T}} = M_{ji}. \] Näin ollen matriisin \[ A = [value] \] transpoosiksi saadaan \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \]

Olkoon

\[ A =[value]\quad\quad\mbox{ja}\quad\quad B=[value]. \]

Laske \(A^{\mathsf{T}}B\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Matriisin \( A \) transpoosi on \[ A^{\mathsf{T}} = [value]. \] Siten \[ A^{\mathsf{T}}B = [value][value] = [value]. \]

Laske determinantti.

\[ A=\left[\begin{array}{ccc}
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \\
[value] & [value] & [value] \end{array}
\right]\]

\(\det(A)=\) .
Feedback: Mallivastaus: \[ \begin{align} \det(A)&=\left| \begin{matrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ &= [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| - [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| + [value] \cdot \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \\ \end{matrix} \right| \\ & = [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) - [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) + [value] \cdot \left( [value] \cdot [value] - [value] \cdot [value] \right) \\ & = [value]. \end{align} \]

Laske seuraavan matriisin determinantti

\[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right |\]

Determinantin arvo on .
Feedback: Vastaus: Determinantti kannattaa lähteä kehittämään siitä vaaka- tai pystyrivistä, jossa on mahdollisimman paljon nollia (miksi?). Kertaa determinantin kehittäminen esim. opintomonisteesta. \[ \left| \begin{array}{ccccc}[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\[value] & [value] & [value] & [value] & [value]\end{array}\right | = [value].\]

Olkoon matriisi

\[ A = [value]. \]

Laske matriisin karakteristinen polynomi. Käytä muuttujana \(s\)-kirjainta.

\( p_A(s) = \)

Matriisin ominaisarvot ovat:

\( \lambda_1 = \)

\( \lambda_2 = \)

\( \lambda_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: Matriisin karakteristinen polynomi on (käytetään tässä muuttujana nyt \( \lambda \):aa, vaikka vastauksessa piti käyttää \( s \):ää) \[ \begin{align} \textrm{det}(\lambda I - A) &= \textrm{det} \left( [value] \right) \\ &= ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| - ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| + ([value]) \left| \begin{matrix} [value] & [value] \\ [value] & [value] \end{matrix} \right| \\ \\ &= [value] \end{align} \] Matriisin ominaisarvot saadaan ratkaisemalla karakteristisen polynomin juuret: \[ \begin{align} [value] &= 0 \\ [value] &= 0 \\ \\ \\ \lambda_1 &= [value] \\ \lambda_2 &= [value] \\ \lambda_3 &= [value] \\ \end{align} \]

Matriisin \(A\) ominaisparit = (ominaisarvo, ominaisvektori) ovat \(([value], [[value],[value]]^T)\) ja \(([value],[[value],[value]]^T)\).

Matriisi \(A\) on tällöin:
Feedback: Mallivastaus: Ominaisarvoista ja -vektoreista saadaan matriisit \[ D=\begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \ \text{ ja }\ P=[{\bf v}_1|{\bf v}_2]= \begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \] Kääntämällä matriisi \(P\) saadaan \[ P^{-1} = \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\end{bmatrix}. \] Matriisi \(A\) on näiden kolmen matriisin tulo. \[ A=PDP^{-1}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&0\\ 0&[value]\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [value]&-[value]\\ -[value]&[value]\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [value]&[value]\\ [value]&[value]\\ \end{bmatrix}. \]

Laske \(A^5\) diagonalisoinnin \(A=PDP^{-1}\) avulla, kun \[A = [value].\] Anna myös matriisin ominaisarvot \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\).

Ominaisarvot:

\(\lambda_1 = \)

\(\lambda_2 = \)

\(A^5=\)
Feedback: Mallivastaus: Diagonalisointi tehdään siten, että lasketaan ominaisarvot ja muodostetaan tästä diagonaalimatriisi \( D \). Matriisi \( P \) muodostuu ominaisvektoreista. Nyt \( \lambda_1 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Lisäksi \( \lambda_2 = [value] \) ja sitä vastaava ominaisvektori on \( [value] \). Näin saadaan \[ \begin{align} D & = [value], \\ P & = [value] \quad \text{ja} \\ P^{-1} & = \frac{1}{([value]) \cdot ([value])-([value]) \cdot ([value])}[value] = \frac{1}{[value]}[value]. \end{align} \] Nyt \( A = PDP^{-1} \) ja siten \[ \begin{align} A^5 &= PD^5 P^{-1} \\ &= [value] [value]^5 \left( [value][value] \right) \\ &\stackrel{***}{=} [value][value] \left[ \begin{matrix} ([value])^5 & 0 \\ 0 & ([value])^5 \end{matrix} \right] [value] \\ &= [value][value][value][value] \\ &= [value] \end{align} \]. \( *** \) Diagonaalimatriisille pätee \[ \left[ \begin{matrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{matrix} \right]^n = \left[ \begin{matrix} (a_{11})^n & 0 \\ 0 & (a_{22})^n \end{matrix} \right]. \]