Title: Integraali

Määritä käyrän

\[ y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \]

pituus välillä \([value]\leq x\leq [value]\). Anna vastaus tarkkana arvona!

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Käyrän \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) pituus \(S\) saadaan laskettua kaavalla \[S= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \] Rajat ovat \([value]\) ja \([value]\). \[f'(x)=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x^{-2} \] \begin{eqnarray*} S & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^2-x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^4-2x^0+x^{-4})} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{x^4+2+x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{(x^2+x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} (x^2+x^{-2}) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \bigg|_{[value]}^{[value]} \frac{1}{3} x^3-x^{-1} \\ & = & \frac{1}{2}((\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})-(\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})) \\ & = & \frac{1}{2}([value]-[value]) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Määritä seuraavat integraalit. Anna vastauksesi tarkkana arvona. Neliöjuuri merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

(a) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int_{[value]}^{[value]} [value] \, \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] \left([value]\right) \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value]\right) \\ & = & [value] - \left([value]\right) \\ & = & [value] \end{array}\] (b) \[\begin{array}{rll} \int_[value]^[value] [value] \mathrm{d}x & = & \Bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} \left( [value] \right)\\ & = & -[value]\cdot \cos([value]) - \left(-[value]\cdot \cos([value])\right) \\ & = & [value] \end{array}\]

Laske integraalit \[\text{(a) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] \[\text{(b) } \int_{0}^[value] [value] \, \mathrm{d}x\] (Vihje: Mikä on \(D(\ln(\cos(x))\)?)

Anna vastauksesi tarkkoina arvoina. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku merkitään e, esim. 2*e. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

Vastaukset:

(a) |  |
(b) |  |
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} |[value]-x| \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} ([value]-x) \, \mathrm{d}x+\int_{[value]}^{[value]} (x-[value]) \, \mathrm{d}x \\ & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} ([value]x-\frac{1}{2}x^2)+\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} (\frac{1}{2}x^2-[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+\frac{1}{2}\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]-\frac{1}{2}\cdot [value]^2+[value]^2 \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} (b) \[D\left(\ln\left(\cos(x)\right)\right)=\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).\] \[\int_{0}^{[value]} \tan(x) \, \mathrm{d}x = \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]} -\ln\left(\cos(x)\right)=-\ln\left(\cos\left([value]\right)\right)-\left[-\ln\left(\cos(0)\right)\right] = [value].\]

Määritä sellainen funktio \(y\), että kaikilla \(x\) pätee

\[y(x)=[value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]} y(t) \, \textrm{d}t. \]

Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella \(y\) on muotoa \(y(x)=[value]+Ax^{[value]}\), missä \(A\) on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten \(A\) täytyy valita.

\(y(x)=~\)
Feedback: Mallivastaus: \(y\colon [0,[value]]\to \mathbb{R} \ \ \ \ x\in [0,[value]]\) \[y(x)=[value]+x^{[value]}\underbrace{\int_{0}^{[value]}y(t) \, \textrm{d}t}_{A} \ \ \Vert y(x)=[value]+Ax^{[value]} \] \begin{eqnarray*} y(x) & = & [value]+x^{[value]}\int_{0}^{[value]}([value]+At^{[value]}) \, \textrm{d}t \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \int_{0}^{[value]}[value] \, \textrm{d}t + \int_{0}^{[value]}At^{[value]} \, \textrm{d}t\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}\left( \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}[value]t+\bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]}\frac{1}{[value]}At^{[value]}\right) \\ & = & [value]+x^{[value]}(([value]-0)+(\frac{1}{[value]}A\cdot [value]^{[value]}-\frac{1}{[value]}A\cdot 0^[value])) \\ & = & [value]+x^{[value]}([value]+[value]A) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow A & = & [value]+[value]A \\ [value]A & = & [value] \\ A & = & [value] \end{eqnarray*} \[\Rightarrow y(x)=[value] \]

Laske seuraavat integraalit

(a)\[\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x \] (b)\[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x \] (c)\[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x \]

Anna vastaukset tarkkoina arvoina! Neliöjuuri a merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e, esim. 2*e.

(a) | \(\int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{[value]}([value]x-[value]\sqrt{x}+[value]) \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]}([value]x^2-[value]\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}+[value]x) \\ & = & [value]\cdot [value]^2-[value]\cdot [value]^{3/2}+[value]\cdot [value]-[value]\cdot [value]^2+[value]\cdot [value]^{3/2}-[value]\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*} (b) \[\int_{0}^{[value]} \cos(\frac{x}{2}) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,[value]}2\sin(\frac{x}{2})=2\sin([value])-2\sin(0)=2\sin([value])=[value]. \] (c) \[\int_{[value]}^{[value]} [value] \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\![value]}^{\,[value]} [value]=[value]. \]

Laske epäoleellinen integraali

\[ \int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x. \]

Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\int_{[value]}^{[value]} \textrm{e}^{-x} [value] \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x. \] Osittaisintegroinnin kaava: \(\displaystyle\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x=\bigg/_{\!\!\!\!a}^{\,b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\) \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x}\) \(v'(x)= [value] \Rightarrow v(x)= -\frac{1}{[value]} \cos({[value]}x)\) \begin{eqnarray*} \int_{[value]}^{\infty} \textrm{e}^{-x} {[value]} \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} -\textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]} \cdot \cos([value]x)+\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cdot \frac{1}{[value]}\cos([value]x) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x \end{eqnarray*} Käytetään osittaisintegrointia uudestaan. Nyt \(u(x)=\textrm{e}^{-x} \Rightarrow u'(x)=-\textrm{e}^{-x} \) \(v'(x)= \cos([value]x) \Rightarrow v(x)=\frac{1}{[value]} \sin([value]x)\) \begin{eqnarray*} \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \cos([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg(\bigg/_{\!\!\!\!0}^{\,\infty} \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x)+\int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{[value]} \sin([value]x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}+\frac{1}{[value]} \bigg( 0+ \frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} -\textrm{e}^{-x} \sin({[value]}x) \, \textrm{d}x \bigg) \\ & = & \frac{1}{[value]}-\frac{1}{[value]}\int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x. \end{eqnarray*} Alkuperäinen integroitava ilmestyi myös yhtälön toiselle puolelle! Siirretään se vasemmalle puolelle. \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x+\frac{1}{[value]} \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x}\sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ [value] \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} \\ \int_{0}^{\infty} \textrm{e}^{-x} \sin([value]x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Funktioiden \(f,g\) kuvaajat rajaavat yhdessä \(x\)-akselin ja pystysuorien \(y=\) vakio kanssa tasojoukkoja. Määritä niiden pinta-alat, kun

(a) \[f(x)=1/x^{[value]},~~~0 < x \leq 1 \] (b) \[g(x)=1/x^{[value]}, \ \ \ x\geq 1. \]

Anna vastaukset tarkkoina arvoina. \(\infty\) merkitään \({\tt inf}\).

Vastaus (a):

Vastaus (b):
Feedback: Mallivastaus: (a) \begin{align*} A =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{x^[value]} \, dx \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} x^{[value]} \, dx \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} -\frac{x^{[value]}}{[value]} \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} [value] \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \left( -\frac{1}[value]+\underbrace{\frac{1}{[value] \varepsilon}}_{\infty} \right) \\ \\ \\ =&\infty \\ \end{align*} (b) \[\begin{align*} A =&\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{[value]}} \\ \\ =&\bigg/_{\!\!\!1}^{\,\infty} [value] \\ \\ \\ =&-\underbrace{\frac{1}{\infty}}_{0}+\frac{1}{[value]} \\ =&[value]. \\ \end{align*}\]

Määritä seuraavat integraalifunktiot:

(a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x \]

(b) \[\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x \]

(c) \[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x \]

Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmin kantaluku e merkitään e-kirjaimella, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x={}\)
(b) | \(\displaystyle\int e^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x={}\)
(c) | \(\displaystyle\int \frac{[value]x}{[value]+x^2}\, \textrm{d}x={}\)
Feedback: Mallivastaus: Nämä integraalit voidaan laskea esimerkiksi soveltamalla seuraavaa integrointikaavaa: \[\int g'(f(x))\cdot f'(x) \, \textrm{d}x=g(f(x))+\textrm{C}\] (a) \[\int \cos([value]x+[value]) \, \textrm{d}x = \int \cos([value]x+[value])\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x= \frac{1}{[value]} \sin([value]x+[value])+\textrm{C}. \] (b) \[\int \textrm{e}^{[value]x-[value]} \, \textrm{d}x= \int \textrm{e}^{[value]x-[value]}\cdot \frac{[value]}{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \textrm{e}^{[value]x-[value]}+\textrm{C}. \] (c)\[\int \frac{[value]x}{[value]+x^2} \, \textrm{d}x=[value]\int \frac{1}{[value]+x^2} \cdot \frac{2x}{2} \, \textrm{d}x = \frac{[value]}{2} \ln([value]+x^2)+\textrm{C}. \]

Määritä seuraavat integraalifunktiot. Voit käyttää vakiona esimerkiksi C-kirjainta.

(a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x \]

(a) | \(\displaystyle\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=~\)
(b) | \(\displaystyle\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x=~\)
(c) | \(\displaystyle\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: (a) \[\int \left( x^{[value]}+\frac{1}{x^{[value]}} \right) \, \textrm{d}x=\int x^{[value]} \, \textrm{d}x +\int x^{-[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]}x^{[value]}-\frac{1}{[value]}x^{-[value]}+C. \] (b) \[\int x^{[value]} (1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x= \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C=\frac{1}{[value]}(1+x^{[value]})^{[value]}+C. \] (c) \[\int x^{[value]} \sqrt{[value]+x^{[value]}} \, \textrm{d}x = \int \frac{[value]}{[value]} x^{[value]}([value]+x^{[value]})^{1/2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{[value]} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} ([value]+x^{[value]})^{3/2} = \frac{1}{[value]} ([value]+x^{[value]})^{3/2}+C. \]

Määrää seuraavat integraalifunktiot. Luvun \(a\) luonnollinen logaritmi merkitään muodossa ln(a), esim. ln(2). Luonnollisen logaritmi kantaluku \(\mathrm{e}\) merkitään muuttujalla e, esim. 2*e.

(a) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(c) | \(\displaystyle\int [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Funktiot saadaan integroitua soveltamalla yhdistetyn funktion integrointikaavaa: \[ \int g'(x)\cdot f'(g(x)) \mathrm{d}x = f(g(x)) + C\] (a) \[ \int \cos([value]+[value]) \mathrm{d}x =[value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\cos(\overbrace{[value]+[value]}^{g(x)})}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (b) \[ \int \mathrm{e}^{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace{[value]}_{g'(x)} \underbrace{\mathrm{e}^{\overbrace{[value]}^{g(x)}}}_{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\] (c) \[ \int \frac[value]{[value]} \mathrm{d}x = [value] \int \underbrace[value]_{g'(x)} \overbrace{(\underbrace{[value]}_{g(x)})^{-1}}^{f'(g(x))} \mathrm{d}x = [value]\]

Laske funktion \[f(x) = \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \] integraali. Luvun a luonnollinen logaritmi merkitään ln(a), esim. ln(2). Itseisarvo x merkitään abs(x).

\(\displaystyle\int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, \mathrm{d}x=~\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int \frac{x+{[value]}}{x(x-{[value]})(x+{[value]})} \, \mathrm{d}x \] Osamurtokehitelmä \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} & = & \frac{A}{x}+\frac{B}{x-[value]}+\frac{C}{x+[value]} \\ & = & \frac{A(x-[value])(x+[value])+Bx(x+[value])+Cx(x-[value])}{x(x-[value])(x+[value])} \\ & = & \frac{(A+B+C)x^2+([value]+[value]B-[value]C)x-[value]A}{x(x-[value])(x+[value])}, \end{array}\] missä \[\begin{cases} A+B+C &= 0 \\ [value]+[value]B-[value]C &= 1 \\ -[value]A &= [value]. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B+C &= [value] \\ [value]B-[value]C &= [value] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A &= [value] \\ B &= [value] \\ C &= [value]. \end{cases} \] Siis \[\begin{array}{rll} \int \frac{x+[value]}{x(x-[value])(x+[value])} \, dx & = & \int \left( [value]\cdot \frac{1}{x}+[value]\cdot \frac{1}{x-[value]}+[value]\cdot \frac{1}{x+[value]} \right) \, \mathrm{d}x \\ & = & [value]. \end{array}\]

Laske seuraavat integraalit käyttämällä annettuja sijoituksia: (a)\[ \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{sij.} \ \ u=[value]. \] (b)\[ \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \ \ \ \ \ \text{sij.} \ \ x=[value]u. \] Vihje: b)-kohdassa voi lopuksi käyttää kaavaa \[ \int \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x= \frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin(x)}{2}+ \ \text{vakio} \]

(a) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int_{0}^[value] \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: (a) \[ \int_{0}^{1/2} [value] \] Sijoitetaan \(u=[value] \Rightarrow x=[value]\) \(\mathrm{d}x={[value]} \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=1/2 \Rightarrow u={[value]}\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{1/2} [value] \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{[value]} \sin(u)\cdot [value] \, \mathrm{d}u \cos(u)\cdot {[value]} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} -\cos(u) \sin(u) \\ & = & [value] ( -\cos([value])+\cos(0) )=[value] ([value]+1)=[value] \sin([value])-\sin(0) ) = [value]\cdot [value]=[value] . \end{array}\] (b) \[ \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x \] Sijoitetaan \(x=[value]u \Rightarrow u=\frac{x}{[value]}\) \(\mathrm{d}x = [value] \, \mathrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=0\) \(x=[value] \Rightarrow u=1\). \[\begin{array}{rll} \int_{0}^{[value]} \sqrt{[value]-x^2} \, \mathrm{d}x & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value]-([value]u)^2} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & \int_{0}^{1} \sqrt{[value](1-u^2)} \cdot [value] \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \int_{0}^{1} \sqrt{1-u^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & [value] \bigg/_{\!\!\!0}^{\,1} \frac{u\sqrt{1-u^2}+\arcsin(u)}{2} \\ & = & [value]\cdot \frac{\arcsin(1)-\arcsin(0)}{2}=\frac{[value]}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=[value]. \end{array}\]

Määritä sopivan sijoituksen avulla

\[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x \]

Huom. arctan merkitään atan, esim. atan(1).

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x=\)
Feedback: Mallivastaus: \[\int_{0}^{1} \frac{1}[value] \, \textrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x \] Sijoitetaan \(u=x+[value] \Rightarrow x=u-[value]\) \(\textrm{d}x=\textrm{d}u\) \(x=0 \Rightarrow u=[value]\) \(x=1 \Rightarrow u=[value]\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+[value])^2+1} \, \textrm{d}x & = & \int_{[value]}^{[value]} \frac{1}{1+u^2} \, \textrm{d}u \\ & = & \bigg/_{\!\!\![value]}^{\,[value]} \arctan(u) \\ & = & \arctan([value])-\arctan([value]). \end{eqnarray*}

Laske integraali: \[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\pi\) merkitään pi, esim. 2*pi. Neliöjuuri a:sta merkitään sqrt(a), esim. sqrt(2).

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x =\)
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on \[\int f'(x)g(x) \, \textrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \textrm{d}x. \] \[ \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x \] Lasketaan ensin integraali \(\int x^2 [value] \, \textrm{d}x\). Valitaan \(f'=[value] \Rightarrow f=[value] \ \ \ \ g=x^2 \Rightarrow g'=2x\). \[ \int x^2 [value] \, dx=[value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x. \] Nyt käytetään osittaisintegrointia uudestaan. Valitaan \(f'= \cos(x) \Rightarrow f= \sin(x) \ \ \ g=-2x \Rightarrow g'=-2\). \begin{eqnarray*} [value]-\int ([value]) \, \textrm{d}x & = & [value]-([value])-\int ([value]) \, \textrm{d}x) \\ & = & [value]+C \\ & = & ( [value]) \cos(x) +2x\sin(x) + C \end{eqnarray*} Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} x^2 [value] \, \textrm{d}x & = & \bigg/_{\!\!\!0}^{\,[value]} [([value]) \cos(x) +2x\sin(x) +C] \\ & = & (2-([value])^2)\cdot \cos([value])+2\cdot [value] \cdot \sin([value])+0-[(2-0^2)\cdot \cos(0)] \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Laske osittaisintegroinnin avulla

(a) | \(\displaystyle\quad \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x=~\) |
(b) | \(\displaystyle\quad \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on \[\int f'(x)g(x) \, \mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \, \mathrm{d}x \] (a) \[ \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x\] Valitaan \(f'=\cos([value]x) \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}\sin([value]x) \ \ \ g=x \Rightarrow g'=1\) \begin{eqnarray*} \int x\cos([value]x) \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]} x\sin([value]x)-\int 1\cdot \frac{1}{[value]}\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}{[value]}\cdot \frac{1}{[value]}\int [value]\sin([value]x) \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)-\frac{1}[value] (-\cos([value]x)+C) \\ & = & \frac{1}{[value]}x\sin([value]x)+\frac{1}[value]\cos([value]x)+C'. \end{eqnarray*} (a) \[\int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x\] Valitaan \(f'=e^{[value]x} \Rightarrow f=\frac{1}{[value]}e^{[value]x} \ \ \ g=x+[value] \Rightarrow g'=1\). \begin{eqnarray*} \int (x+[value])e^{[value]x} \, \mathrm{d}x & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}{[value]} \int e^{[value]x} \, \mathrm{d}x \\ & = & \frac{1}{[value]}(x+[value])e^{[value]x}-\frac{1}[value]e^{[value]x}+C. \end{eqnarray*}

Laske annetut integraalit käyttäen osittaisintegrointia. Huomaa, että arctan(\(x\)) = atan(\(x\)) = tan\(^{-1}(x)\). Käytä tässä tehtävässä merkintää atan(\(x\)).

(a) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
(b) | \(\displaystyle \int [value] \mathrm{d}x =~\) |
Feedback: Mallivastaus: Osittaisintegrointikaava on muotoa \[ \int f(x) g'(x)\mathrm{d}x = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \mathrm{d}x. \] Osittaisintegrointikaavan käyttämiseksi tulee valita integroitavasta funktiosta \(f(x)\), jota derivoidaan ja \(g'(x)\), jota integroidaan. (a) Integroitava funktio on muotoa \(x \cdot \cos(x)\). Valitaan \(f(x) = x\) ja \(g'(x) = \cos(x)\). Tällöin \(f'(x) = 1\) ja \(g(x) = \sin(x)\). Tällä valinnalla saadaan funktio integroitua. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \mathrm{d}x = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C \] (b) Nyt integroitava funktio on \(1 \cdot \tan^{-1}(x)\). Valitaan \(f(x) = \tan^{-1}(x)\) ja \(g'(x) = 1\). Tällöin \(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) ja \(g(x) = x\). Etukertoimen 1 valitseminen toiseksi funktioksi on varsin yleinen ja toimiva temppu. \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x \] Jäljelle jäävä integraali voidaan laskea, kun saadaan osoittajaan sisäfunktion \(1+x^2\) derivaatta \(2x\). \[ \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \text{ln} |1+x^2| \] Itseisarvomerkit voidaan poistaa, sillä \(1+x^2\) on aina positiivinen. Vastaukseksi saadaan \[ \int [value] \mathrm{d}x = x \cdot \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \text{ln} (1+x^2) + C. \]

Laske likiarvo \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) integraalille \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] Simpsonin säännöllä, kun integroimisväli jaetaan neljään osaan. Laske virhearvio käyttämällä kaavaa \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] missä \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).

Likiarvo \( S_[value]=~\) |
Virhearvio \(C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=~\) |
Feedback: Mallivastaus: Tehtävänä on laskea funktion \(f(x)=[value]\) integraalille likiarvo Simpsonin säännöllä. Integrointirajat ovat \(a=[value]\) ja \(b=[value]\) ja integrointiväli jaetaan neljään saman pituiseen osaan eli \(n=[value]\), joten yhden osavälin pituus on \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). Seuraavaan taulukkoon on laskettu funktion arvot osavälien reunoilla. \(\begin{array}{rlllll} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x: & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ f(x): & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \end{array}\) Simpsonin säännön mukaan likiarvo on \begin{align*} S_4 & = \frac{h}{3} \left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+f(x_4)\right) \\ & = \frac{[value]}{3} \left( [value]+4\cdot [value]+2\cdot [value]+4\cdot [value]+[value] \right)\\ & \approx [value]. \end{align*} Virhearvio: \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4},\] missä \[C_4=\max_{x\in[0,b]} |f^{(4)}(x)|\] \begin{align*} f'(x) & = [value] \\ f''(x) & = [value] \\ f^{(3)}(x) & = [value] \\ f^{(4)}(x) & = [value], \end{align*} Siis \[C_4=\max_{x\in [[value],[value]]} |[value]| = 0.\] Ja virhearvio: \[C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=0\cdot \frac{([value]-[value])^5}{180\cdot 4^4} =0.\] Huom! Kolmannen asteen polynomin neljäs derivaatta on aina 0, joten Simpsonin sääntö on tarkka kolmannen asteen polynomeille.

Käyrä \(y=[value]\), missä \(0\leq x \leq [value]\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Määritä näin saadun kappaleen tilavuus.

\(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \(y={[value]}\). Tapa 1 \begin{eqnarray*} V & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} (\sin(x))^2 \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{2}\pi ([value]-0)-[value]\cdot \frac{1}{4}\pi (\sin([value])-\sin(0)) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} Tapa 2 Osittaisintegroinnilla (\(\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x= |_{a}^{b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\)) \(u(x)=\sin(x) \ \ \ u'(x)=\cos(x)\) \(v'(x)=\sin(x) \ \ \ v(x)=-\cos(x)\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} \sin(x) \sin(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x))\sin(x)-\int_{0}^{[value]} (-\cos(x))\cos(x) \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x)) \sin(x)+\int_{0}^{[value]} (1-\sin^2(x)) \, \textrm{d}x \\ 2 \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & -\bigg|_{0}^{[value]} \cos(x)\sin(x)+\int_{0}^{[value]} 1 \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{2}([value]+[value])=[value] \\ \Rightarrow [value]\pi \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

Paraabelin kaari \(y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]\) pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske näin saadun paraboloidisen maljan tilavuus. Vihje: Integroi maljan poikkileikkauksen pinta-alaa muodossa \[V= \int_{0}^{[value]} A(y) \, \textrm{d}y. \] Anna vastaus tarkkana arvona. \(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: \[y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]. \] \begin{eqnarray*} x^2 & = & \frac{1}{[value]} y \ \ \Arrowvert \sqrt{} \\ x & = & \sqrt{\frac{1}{[value]}y} \ \ \ \text{käänteisfunktio} \end{eqnarray*} Kun \(x=0, \ \ \ y=0\) Kun \(x=[value], \ \ \ y=[value]\). \begin{eqnarray*} A & = & \int_{0}^{[value]} \pi \frac{1}{[value]} y \, \textrm{d}y \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \bigg|_{0}^{[value]} \frac{y^2}{2} \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \left( \frac{[value]^2}{2}-\frac{0^2}{2} \right) \\ & = & \pi \cdot \frac{1}{[value]}\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*}

Laske likiarvo integraalille

\[\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \mathrm{d}x \]

käyttämällä puolisuunnikassääntöä (engl. trapezoid rule). Jaa integroimisväli [value] osaan. Anna vastaus tarkkana arvona!

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \textrm{d}x \approx~\)
Feedback: Mallivastaus: Puolisuunnikassääntö \[\int_{a}^{b} f(x) \, \textrm{d}x\approx \frac{b-a}{n}(f(x_0)/2+f(x_1)+f(x_2)+\ldots +f(x_{n-1})+f(x_n)/2), \] missä \(n\) on välien lukumäärä, \(x_0=a\) ja \(x_n=b\). Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]}\cdot \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value]\left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]0+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+f(4)+f(9/2)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}