Title: Ekvivalenssitodistukset

Feedback shared by this category's questions, if right: Vastauksesi on oikein.
Feedback shared by this category's questions, if partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
Feedback shared by this category's questions, if wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Olkoon \(n \in \mathbb{Z}\). Täydennä todistus väitteelle "\(n\) on parillinen, jos ja vain jos \(n^2\) on jaollinen luvulla \(4\)".

Todistus. Oletetaan, että [...]. Tällöin [...] jollakin \(k \in \mathbb{Z}\). Nähdään, että \(n^2\) = [...], missä [...] \(\in \mathbb{Z}\). Siis [...].

Oletetaan sitten, että [...]. Tästä seuraa, että [...]. Osoitetaan, että myös [...].
Tehdään vastaoletus, että \(n\) on pariton. Nyt \(n\) = [...] jollakin \(m \in \mathbb{Z}\). Tällöin \(n^2\) = [...] = [...] = [...] eli [...].
Päädyttiin ristiriitaan, joten alkuperäinen väite on tosi. Siis [...].
A: n on parillinen; n = 2k; (2k)² = 4k²; k²; n² on jaollinen luvulla 4; n² on jaollinen luvulla 4; n² on parillinen; n on parillinen; 2m + 1; (2m+1)²; 4m² + 4m + 1; 2(2m² + 2m) + 1; n² on pariton; n on parillinen
Feedback: Todistus. Oletetaan ensin, että \(n\) on parillinen. Tällöin \(n = 2k\) jollakin \(k \in \mathbb{Z}\). Nähdään, että \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2\), missä \(k^2 \in \mathbb{Z}\). Siis \(n^2\) on jaollinen neljällä. Oletetaan sitten, että \(n^2\) on jaollinen neljällä. Tästä seuraa, että \(n^2\) on parillinen. Osoitetaan, että myös \(n\) on parillinen. Tehdään vastaoletus, että \(n\) on pariton. Nyt \(n = 2m + 1\) jollakin \(m \in \mathbb{Z}\). Tällöin \(n^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1\) eli \(n^2\) on pariton. Päädyttiin ristiriitaan, joten alkuperäinen väite on tosi. Siis \(n\) on parillinen.

Q: Joukkojen osoittaminen samaksi on itse asiassa eräänlainen ekvivalenssitodistus eli ”jos ja vain jos”-tyyppinen todistus. Ekvivalenssitodistuksia käsitellään laajemmin kurssimateriaalin luvussa 3.3. Ryhdy tutustumaan tuohon lukuun vastatessasi seuraavan tehtävän kysymyksiin.

Tarkastelleen väitettä "\( (a+b)^2=a^2+b^2\), jos ja vain jos \(a=0\) tai \(b=0\)".

Täydennä väitteen ekvivalenssitodistuksen rakenne. Osa todistuksesta puuttuu tarkoituksella.

Todistetaan ensimmäinen suunta ("\( \Rightarrow \)").

[...]

                \( \vdots \)

[...]

Todistetaan toinen suunta ("\(\Leftarrow\)").

[...]

                \( \vdots \)

[...]
A: Oletetaan, että (a + b)² = a² + b².; Siis a = 0 tai b = 0.; Oletetaan, että a = 0 tai b = 0.; Siis (a + b)² = a² + b².
Feedback: Todistetaan ensimmäinen suunta ("\( \Rightarrow \)"). Oletetaan, että \( (a+b)^2=a^2+b^2\). \( \vdots \) Siis \(a=0\) tai \(b=0\). Todistetaan toinen suunta ("\(\Leftarrow\)"). Oletetaan, että \(a=0\) tai \(b=0\). \( \vdots \) Siis \((a+b)^2=a^2+b^2\).