Title: Mallinnusmoduli DIL

Yleistä Differentiaaliyhtälöistä

Differentiaaliyhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka sisältää funktion \(y=y(x)\) yhden tai useamman derivaatan \(y'\), \(y''\), \(y'''\), jne. Kaikki differentiaaliyhtälön toteuttavat funktiot \(y(x)\) ovat differentiaaliyhtälön ratkaisuja.

Esimerkiksi funktio \(y(x) = Ce^x\), missä \(C\) on vakio, on differentiaaliyhtälön \(y'(x)=y(x)\) ratkaisu. Kun tämä funktio sijoitetaan differentiaaliyhtälöön, havaitaan että se toteuttaa yhtälön:

\(\begin{align*}D_{x} (Ce^x) &= Ce^x\\ \Leftrightarrow \quad Ce^x &= Ce^x. \end{align*}\)

Ratkaisua kutsutaan yleiseksi ratkaisuksi, kun se toteuttaa differentiaaliyhtälön kaikilla arvoilla \(C\in \mathbb R\). Jos tarkastellaan vain yksittäisellä parametrin \(C\) arvolla saatavaa ratkaisua, esim. sitä jossa \(C=3\), puhutaan yksittäisratkaisusta. Lisäksi voi olla erikoisratkaisuja, joita ei voi esittää yleisen funktion kaavalla millään parametrin \(C\) arvolla.

Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen ei ole yleispätevää menetelmää, on vain menetelmiä tietyntyyppisille differentiaaliyhtälöille. On oleellista osata tunnistaa differentiaaliyhtälön tyyppi, jotta voidaan soveltaa sopivaa ratkaisumenetelmää. Menetelmän muoto riippuu myös differentiaaliyhtälön tyypin lisäksi myös sen kertaluvusta. Differentiaaliyhtälön kertaluvulla tarkoitetaan korkeinta yhtälössä esiintyvää derivaatan kertalukua. Esimerkiksi yhtälön \(y''(x)-2y(x) = -2x^2\) kertaluku on kaksi.

Usein derivaattoja merkitään \(y'\), \(y''\), jne sen sijaan, että kirjoitettaisiin joka kerta näkyviin funktion muuttuja, esim. \(y'(x)\), \(y''(x)\). Muuttuja kannattaa jättää kirjoittamatta, jos siitä ei koidu väärinymmärryksen vaaraa, sillä näin vähennetään kirjoitustyötä ja helpotetaan yhtälön lukemista.

Differentiaaliyhtälölle voidaan asettaa myös yksi tai useampi alkuehto, jolloin puhutaan alkuarvo-ongelmasta. Tällöin differentiaaliyhtälön mukana annetaan yksittäisellä muuttujan arvolla saatava ratkaisufunktion arvo sekä mahdollisesti sen derivaattojen arvoja, esimerkiksi \(y(1) = 2\) ja \(y'(1)=0\). Ehdoissa esiintyy aina sama muuttujan \(x\) arvo (jos useampia, ehtoja kutsutaan reunaehdoiksi). Alkuarvo-ongelmaan pyritään löytämään yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan ratkaisemalla alkuehtojen voimassa ollessa saatava arvo parametrille \(C\). Ratkaisun pitää toteuttaa kaikki annetut alkuehdot. Differentiaaliyhtälön kertaluku vaikuttaa siihen, kuinka monta alkuehtoa tarvitaan yksikäsitteisen ratkaisun saamiseksi.

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

\( \textbf{Esimerkki 1.1.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(y' = 4x^3-3x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Differentiaaliyhtälöstä saadaan suoraan integroimalla yleinen ratkaisu

\(\displaystyle y = \int \left(4x^3-3x\right)dx = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C.\)

\( \textbf{Esimerkki 1.2.}\) Tarkastellaan kappaletta, joka liikkuu vaakasuunnassa \(x\)-akselilla. Kappaleen nopeus hetkellä \( t \) saadaan funktiosta \( v(t)=12-t^2 \). Etsitään ensin kappaleen sijainti \( x \) millä tahansa hetkellä \( t>0 \). Oletetaan, että hetkellä \(t=1\) ei kappale ole liikkunut mihinkään ja on origossa. Mikä on tällöin kappaleen sijainti kun \(t=3\)?

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Koska funktio \( v(t) \) on sijaintifunktion derivaatta, voidaan muodostaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

\(\dfrac{dx}{dt}=12-t^2 \)

kuvaamaan tarkasteltavaa ongelmaa. Näin ollen saadaan

\(\displaystyle x(t)=\int \left( 12-t^2\right)dt + C = 12t-\frac{t^3}{3}+C.\)

Funktio \( x(t) \) kertoo kappaleen sijainnin hetkellä \(t \). Funktioparvi \( x(t)=12t-\frac{1}{3}t^3+C \) on yleinen ratkaisu kappaleen paikalle. Koska tehtävässä on annettu alkuehto, saadaan ratkaistua yksittäinen arvo integrointivakiolle \( C \).

Kun \(t=1\), kappale ei ole liikkunut mihinkään ja sijaitsee origossa, eli \(x(1) = 0\). Saadaan

\(\displaystyle 12-\frac{1}{3} +C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = -\frac{35}{3}.\)

Näin ollen alkuarvo-ongelman ratkaisu on \(x(t) = -\dfrac{t^3}{3}+12t-\dfrac{35}{3}\).

Lasketaan vielä tämän ratkaisun avulla, mikä on kappaleen sijainti \(x\)-akselilla ajanhetkellä \(t=3\).

\(x(3) = \displaystyle -\frac{3^3}{3}+12\cdot 3-\frac{35}{3}= -9+36-\frac{35}{3} = \frac{46}{3}\)

1. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroimalla

Yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä voi ratkaista suoraan integroimalla. Näissä yksinkertaisissa ratkaisutilanteissa on ratkaistavana differentiaaliyhtälö, jossa jotain ilmiötä mallinnetaan kaavalla \(\dfrac{dy}{dx}=f(x)\), missä \(f(x)\) jokin muuttujasta \(x\) riippuva funktio, jonka esityksessä ei esiinny funktion \(y(x)\) nimeä. Tällöin ratkaisussa tarvitsee vain integroida \(f(x)\).

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x) \quad \Rightarrow \quad y(x) =\int f(x)\, dt +C,\)

missä \(C\) on integroimisvakio, jolle voidaan määrittää arvo, jos tehtävässä on annettu alkuehto.

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

\( \textbf{Esimerkki 2.1.}\) Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y' = 2yx, \quad y(0) = 3\)

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Separoidaan differentiaaliyhtälö ja integroidaan se puolittain.

\(\begin{align*}  \displaystyle{ \frac{dy}{dx}} &= 2yx\quad\mid\cdot dx \, : y \\ \Rightarrow \quad\displaystyle{\frac{dy}{y}} &= 2x\,dx \\ \Rightarrow \quad\displaystyle{\int \frac{dy}{y}} &= \displaystyle{ \int 2x\,dx} \\ \Rightarrow \quad \ln{|y|} &= x^2 + C_{1}\\ \Rightarrow \quad |y| &= e^{x^2+C_{1}} = e^{x^2}e^{C_{1}} = C_{2} e^{x^2},\end{align*}\)

missä \(C_{2} = e^{C_{1}}>0\). Itseiarvot voidaan poistaa, jos otetaan käyttöön vielä merkintä \(C = \pm C_{2}\). Siis \(y(x)=Ce^{x^2}\), \(C\neq0\).

Ensimmäisellä rivillä ei jakaminen ollut sallittu vakiofunktiolla \(y=0\). Vakiofunktio \(y=0\) toteuttaa differentiaaliyhtälön, mutta ei ole erikoisratkaisu, sillä se voidaan esittää yllä saadulla kaavalla lisäämällä sallituksi arvon \(C=0\). Yleinen ratkaisu on \(y(x)=Ce^{x^2}\), \(C\in \mathbb R\).

Alkuehdosta olisi voinut päätellä, että ratkaisun täytyy olla positiivinen, joten itseisarvot ja tapauksen \(y=0\) tarkastelemisen olisi voinut jättää kokonaan käsittelemättä. Alkuehto huomioiden saadaan

\(\displaystyle y(0) = Ce^{0^2} = 3 \quad \Rightarrow \quad C = 3.\)

Alkuarvo-ongelman ratkaisu on \(y =\displaystyle 3e^{x^2}\).

\( \textbf{Esimerkki 2.2.}\) Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö \( y'=xy+3x \). Määritä myös yhtälön se ratkaisu, jonka kuvaaja kulkee pisteen \( (0,2) \) kautta.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Separoidaan yhtälö ja integroidaan puolittain.

\(\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=xy+3x =x(y+3)\quad\mid\cdot\ dx\, : (y+3)\neq0\\ \Rightarrow\quad \frac{1}{y+3}dy&=x\ dx\\ \Rightarrow\quad \int \frac{1}{y+3} dy&=\int x\ dx\\ \Rightarrow\quad \ln\mid y+3\mid&=\frac{1}{2}x^2+C_1\\ \Rightarrow\quad \mid y+3 \mid&=e^{\frac{1}{2}x^2+C_1}=e^{\frac{1}{2}x^2}e^C_1\end{align*}\)

Merkitään \(C=\pm e^{C_1}\), jolloin \(y+3=C e^{\frac{1}{2}x^2}\), \(C\neq 0\). Näin ollen \( y=C e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \), missä \( C \neq 0 \).

Yhtälö jaettiin separoitaessa lausekkeella \( y+3 \), jonka nollakohta on \( y=-3 \). Yhtälön muodosta \( y'=x(y+3) \) nähdään, että vakiofunktio \( y=-3 \) toteuttaa yhtälön, sillä \( y'=0 \). Kun sallitaan \( C=0 \), myös ratkaisu \( y=-3 \) sisältyy yleiseen ratkaisuun.

Yhtälön yleinen ratkaisu siis on \( y=Ce^{\frac{1}{2}x^2}-3 \), missä \( C \in \mathbb R \).

Etsitään lopuksi alkuehdon \( y(0)=2 \) toteuttava yksittäisratkaisu. Koska

\( y(0)=Ce^{\frac{1}{2}0^2}-3=C'\cdot 1 -3 = C'-3 =2 \),

niin \( C=5\). Siis alkuarvo-ongelman ratkaisu on \( y=5e^{\frac{1}{2}x^2}-3 \).

\( \textbf{Esimerkki 2.3.}\) Populaation muutosnopeuden \(P'(t)\) tiedetään olevan suoraan verrannollinen populaation suuruuteen \(P(t)\) hetkellä \(t\). Hetkellä \(t=0\) populaation määrän tunnetaan olevan \(P(0)=150\). Tiedetään myös, että populaation kasvukerroin on \(k = 0.0002\). Muodosta funktio populaation määrän kasvulle.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Koska populaation muutosnopeus on suoraan verrannollinen populaation suuruuteen, saadaan

\(\displaystyle P'(t) = \frac{dP}{dt}= kP(t)\).

Separoidaan ja integroidaan puolittain.

\(\begin{align*} \frac{dP}{P(t)} &= k\,dt\\ \Rightarrow\quad \displaystyle{ \int{\frac{dP}{P(t)}} } & = \int k\,dt \\ \Rightarrow\quad \ln(P(t)) &= kt + C_{1} \\ \Rightarrow\quad e^{\ln(P(t))} &= e^{kt+C_{1}} \\ \Rightarrow\quad P(t) &= e^{kt+C_{1}} = e^{kt}e^{C_{1}}= Ce^{kt}.\end{align*}\)

Sijoittamalla \(k\) saadaan ratkaisun yleinen muoto \(P(t) = Ce^{0.0002t}.\)

Käsitellään vielä alkuehto.

\(P(0) = Ce^{0.0002\cdot 0} = Ce^{0} = C = 150.\)

Alkuarvo-ongelman ratkaisu on \(P(t) = 150e^{0.0002t}\).

\( \textbf{Esimerkki 2.4.}\) Jäälohkareen lämpötila on \( 0 \) °C. Kun se tuodaan lämpimään, se alkaa heti sulaa. Jos ympäristön lämpötila ja ilmanpaine pysyvät samana ja jos ei tuule, niin kappaleen sulamisnopeus hetkellä \( t \) on likimain suoraan verrannollinen kappaleen pinnan alaan hetkellä \( t \). Alussa kuution muotoisen jääpalan tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja viiden tunnin kuluttua enää \( 8,\!0 \) dm^3.

Missä ajassa kuutio sulaa kokonaan?

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Olkoon \( V(t) \) jääkuution tilavuus \( t \) tuntia sulamisen alkamisen jälkeen. Tilavuuden pienenemisnopeus hetkellä \( t \) on funktion \( V(t) \) derivaatta \( V'(t) \). Muodostetaan differentiaaliyhtälö, josta voidaan ratkaista funktio \( V(t) \).

Ilmaistaan kuution pinnan ala kuution tilavuuden avulla. Hetkellä \( t \) kuution särmä on

\( a(t)=\sqrt[3]{V(t)}=V(t)^{\frac{1}{3}} \)

ja kuution pinnan ala on

\( 6a(t)^2=6\left(V(t)^\frac{1}{3} \right)^2 =6V(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Koska tilavuuden muutosnopeus on suoraan verrannollinen pinnan alaan, niin

\( V'(t)=k\cdot 6V(t)^{\frac{2}{3}}, \)

missä \( k \) on verrannollisuuskerroin. Yhdistetään differentiaaliyhtälön oikean puolen vakiokertoimet merkitsemällä \( k\cdot 6=m \) ja ratkaistaan differentiaaliyhtälö

\( V'(t)=mV(t)^{\frac{2}{3}}. \)

Merkitään \( V(t)=V \) ja \(V'=\frac{dV}{dt}\). Separoidaan yhtälö.

\(\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=mV^{\frac{2}{3}}\quad\mid \cdot\, dt\, : V^{\frac{2}{3}}\neq 0\\ \Rightarrow \quad \frac{dV}{V^{\frac{2}{3}}}&=m\, dt\\ \Rightarrow\quad \int V^{-\frac{2}{3}} dV&=\int m\ dt\\ \Rightarrow\quad 3V^{\frac{1}{3}}&= mt+C_1\\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=\frac{m}{3}t+\frac{C_1}{3}\quad\Biggl\lvert\frac{m}{3}=n,\quad\frac{C_1}{3}=C_2 \\ \Rightarrow\quad V^{\frac{1}{3}}&=nt+C_2\\ \Rightarrow\quad V&=(nt+C_2)^3 \end{align*}\)

Kuution tilavuuden \( t \) tunnin kuluttua ilmaisee funktio \( V(t)=(nt+C_2)^3 \). Ratkaistaan vielä vakiot \( n \) ja \( C_2 \).

Hetkellä \( t=0 \) kappaleen tilavuus oli \( 10 \) dm^3 ja hetkellä \( t=5 \) kappaleen tilavuus oli \( 8,\!0 \) dm^3.

\( \begin{cases}(n\cdot 0 + C_2)^3 &= 10\\ (n\cdot 5 + C_2)^3 &= 8,\!0\end{cases} \; \Rightarrow \; \begin{cases}C_2^3 &= 10\\ (5n+C_2)^3 &= 8,\!0\end{cases} \)

Ensimäisestä yhtälöstä saadaan \( C_2=\sqrt[3]{10}\approx 2,\!15 \). Toisesta yhtälöstä saadaan \(5n+C_2 =\sqrt[3]{8,\!0}\), jolloin

\(n= \displaystyle \frac{1}{5}\left(\sqrt[3]{8,\!0}-C_2\right) =\frac{1}{5}\left(\sqrt[3]{8,\!0}-\sqrt[3]{10}\right) \approx -0,0309.\)

Siis \( t \) tunnin kuluttua kappaleen tilavuus on

\( V(t)=(-0,\!0309t+2,\!15)^{3}. \)

Tilavuus on nolla, kun

\( -0,\!0309t + 2,\!15 = 0 \quad \Rightarrow \quad t=\displaystyle{ \frac{2,\!15}{0,\!0309}} \approx 70. \)

Jääkuutio sulaa kokonaan eli tilavuus on nolla noin \( 70 \) tunnissa.

2. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

Separoituvat funktiot ovat muotoa \(\dfrac{dy}{dx} = R(x,y)\), missä \(R(x,y)\) on kahden muuttujan funktio, joista \(y\) on itse asiassa etsittävä funktio \(y(x)\). Sitä sanotaan funktiossa \(R(x,y)\) riippuvaksi muuttujaksi, koska se riippuu muuttujasta \(x\). Separointia voidaan käyttää tapauksessa, joissa funktio \(R(x,y)\) voidaan lausua funktioiden \(f(x)\) ja \(g(y)\) tulona. Se erityistapaus, jossa funktio \(g(y)\) on vakio, esiteltiin jo edellä suorana integrointitehtävänä. Huomaa, että myös \(f(x)\) voi olla vakio, esimerkiksi tilanteessa, jossa jotain ilmiötä mallinnetaan kaavalla \(\dfrac{dy}{dx}=ky\), missä \(k\) on verrannollisuuskerroin.

Ratkaisu aloitetaan separoimalla muuttujat. Separointi tarkoittaa yhtälön kirjoittamista niin, että kaikki funktionimeen \(y\) liittyvä esitetään yhtälön vasemmalla puolella ja kaikki muuttujaan \(x\) liittyvä yhtälön oikealla puolella. Tässä yhteydessä ajatellaan, että \(\dfrac{dy}{dx}\) on normaali jakolasku. Tarkoituksena on siis saada \(dy\) ja \(dx\) yhtälön eri puolille kertomalla puolittain \(dx\):llä, jolloin yhtälölle saadaan muoto

\(\displaystyle \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\).

Voidaan merkitä vielä, että \(\dfrac{1}{g(y)} = h(y)\), jolloin saadaan \(h(y)\,dy = f(x)\,dx\). Tämän jälkeen differentiaaliyhtälön ratkaisu haetaan integroimalla puolittain ja lopuksi yhtälöstä pyritään ratkaisemaan riippuva muuttuja eli \(y\) eksplisiittisesti, joka tarkoittaa sitä, että muokataan puolittaisen integroinnin tuloksena syntyvää, integrointivakion \(C\) sisältävää yhtälöä niin, että tulos saadaan muotoon \(y=F(x)\). Tämä on tehtävän yleinen ratkaisu.

Jos tehtävässä on annettu alkuehto, etsitään vielä tässä vaiheessa alkuarvo-ongelman ratkaisu selvittämällä integrointivakion \(C\) arvo alkuehton toteutuessa. Erikoisratkaisuiksi sanotaan niitä yksittäisratkaisuja, joita ei voida esittää yleisen ratkaisun kaavalla. Mahdollisia erikoisratkaisuja löytyy separointivaiheessa, jos tehtävän separointi vaatii jakamista. Kannattaa tarkastaa erikseen tilanteet, jossa jakajaksi tulisi vakiofunktio \(0\). Alkuarvotehtävissä alkuehto todella harvoin osuu erikoisratkaisun kohdalle, joten erikoisratkaisujen etsiminen ei yleensä ole alkuarvo-ongelman ratkaisun kannalta kovin olennaista.

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

\( \textbf{Esimerkki 3.1.}\) Etsi differentiaaliyhtälön \(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2xy}{x^2+1} = 2x\) yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Yhtälö on valmiiksi standardimuodossa \( \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\), joten \(P(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\). Näin ollen integroivaksi tekijäksi saadaan

\[\rho (x) = \displaystyle e^{\int \, \left(\frac{2x}{x^2+1}\right) \,dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1\].

Kerrotaan integroivalla tekijällä puolittain. Näin saadaan

\(\begin{align*}(x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+(x^2+1)\dfrac{2xy}{x^2+1} = 2x(x^2+1) \\ \Leftrightarrow (x^2+1)\dfrac{dy}{dx}+2xy = 2x(x^2+1)\end{align*}\)

Huomataan, että yhtälön vasemman puolen voi kirjoittaa \(D_{x}\left((x^2+1)y\right)\). Tämän tunnistaminen on oleellista ratkaisun löytymiselle. Nyt yhtälö voidaan kirjoittaa

\(D_{x}\left((x^2+1)y\right)= 2x(x^2+1)\).

Seuraavaksi integroidaan puolittain, jolloin saadaan

\((x^2+1)y = \displaystyle \int 2x(x^2+1)\,dx = \frac{1}{2}(x^2+1)^2 + C\).

Lopuksi jaetaan puolittain integroivalla tekijällä ja saadaan

\(y=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}(x^2+1)^2 + C}{x^2+1}=\frac{1}{2}(x^2+1) + \frac{C}{x^2+1}\),

joka on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

\( \textbf{Esimerkki 3.2.}\) Ratkaise alkuarvotehtävä

\(\begin{align*}\frac{dy}{dx}-y=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}},\quad y(0)=0.\end{align*}\)

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Havaitaan, että \(P(x)= -1 \) ja \( Q(x)=\frac{11}{8}e^{-\frac{x}{3}} \), joten integroiva tekijä on

\(\rho(x)=\displaystyle e^{\int P(x)\, dx}=e^{\int \,(-1)\, dx}=e^{-x}. \)

Kerrotaan ratkaistava yhtälö molemmin puolin integroivalla tekijällä \( e^{-x} \), jolloin saadaan

\[\displaystyle e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}. \]

Huomataan, että vasen puoli voidaan kirjoittaa tulon derivaatan avulla

\(\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{-x}y)=\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}.\)

Siten integroimalla muuttujan \( x \) suhteen saadaan

\(\begin{align*} \int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)\, dx &=\int\frac{11}{8}e^{-\frac{4x}{3}}dx \\ \Leftrightarrow \qquad  e^{-x}y &= -\frac{33}{32}e^{-\frac{4x}{3}}+C,\end{align*} \)

ja edelleen jakamalla puolittain integroivalla tekijällä \( e^{-x} \) päädytään muotoon

\[ \displaystyle y(x)=Ce^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}. \]

Sijoittamalla \( y(0)=0 \) saadaan \( C=\frac{33}{32} \), joten alkuarvotehtävän ratkaisu on

\[ \displaystyle y(x)=\frac{33}{32}e^{x}-\frac{33}{32}e^{-\frac{x}{3}}=\frac{33}{32}\Big(e^{x}-e^{-\frac{x}{3}}\Big). \]

\( \textbf{Esimerkki 3.3.}\) Suonensisäinen tiputus on prosessi, jossa ainetta annostellaan tasaisesti verisuonistoon. Oletetaan, että sairaalassa olevalle potilaalle annostellaan lääkeainetta tipalla, joka annostelee lääkeainetta tasaisella nopeudella \( I \) milligrammaa (mg) per minuutti. Lisäksi oletetaan, että lääkitys leviää tasaisesti vartalon läpi ja eliminoituu nopeudella, joka on verrannollinen lääkeaineen pitoisuuteen ajan suhteen.

Tässä ongelmassa pitoisuuden määritellään olevan

\(\dfrac{\text{lääkeaineen määrä}}{\text{veren ja lääkeaineen tilavuus}}, \)

missä oletetaan, että veren ja lääkeaineen tilavuus \( V \) pysyy vakiona. Ongelmana on selvittää lääkeaineen pitoisuus ajan hetkellä \( t \). Tämän selvittämiseksi tarkastellaan verisuonistoa yksittäisenä säiliönä ja tutkitaan differentiaaliyhtälöä, joka mallintaa prosessia.

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Jos merkitään lääkeaineen pitoisuutta \( C=C(t) \) ajan hetkellä \( t \) (mg/cm^3), niin tämän tyyppisen ongelman ehdot johtavat relaatioon

nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus

tai matemaattisin merkein ilmaistuna

\(V\dfrac{dC}{dt}=I-kC, \)

missä \( k \) on positiivinen vakio, joka riippuu lääkeaineesta ja potilaan fysiologisista ominaisuuksista.

Huomaa, että differentiaaliyhtälön vasen puoli on yksiköinä

\(\displaystyle \mathrm{cm}^3\cdot\frac{\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{cm}^3}}{\mathrm{min}}=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{min}}. \)

ja että oikean puoleinen termi \( I \) on myöskin \(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{min}}\). Koska \( C \) on ilmaistu muodossa \( \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{cm}^3} \), nähdään, että vakion \( k \) yksikön, joka ilmaisee ulosvirtausnopeutta, on oltava \( \frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm{min}} \).

Differentiaaliyhtälö on lineaarinen ja voidaan kirjoittaa standardimuodossa

\(\displaystyle \frac{dC}{dt}+\frac{k}{V}\, C=\frac{I}{V}.\)

Tämän yhtälön integroiva tekijä on

\(\begin{align*}\rho(t)=e^{\int\frac{k}{V}dt}=e^{\frac{kt}{V}}.\end{align*}\)

Kun differentiaaliyhtälö kerrotaan puolittain integroivalla tekijällä \( \mu \), saadaan

\(\displaystyle e^{\frac{kt}{V}}\frac{dC}{dt}+\frac{k}{V}e^{\frac{kt}{V}}C=\frac{I}{V}\,e^{\frac{kt}{V}}.\)

Sama voidaan kirjoittaa muodossa

\( \displaystyle \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{kt}{V}}C \right)=\frac{I}{V}\,e^{\frac{kt}{V}}, \)

joten integroimalla puolittain ja käyttämällä oikealla puolella integrointivakiona \(\alpha\):a saadaan

\(\begin{align*}\displaystyle{e^{\frac{kt}{V}}C(t)}&=\displaystyle{\int \frac{I}{V}\,e^{\frac{kt}{V}}dt} \\ \Leftrightarrow \displaystyle{e^{\frac{kt}{V}}C(t)}&=\displaystyle{\frac{V}{k}\,\frac{I}{V}\,e^{\frac{kt}{V}}+\alpha} \\ \Leftrightarrow C(t)&=\displaystyle{\frac{I}{k}+\alpha e^{-\frac{kt}{V}}}.\end{align*}\)

Alkuehdon \( C(0)=0 \) huomioon ottamalla havaitaan, että \(\alpha=-\frac{I}{k} \), joten ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa

\[ C(t)=\displaystyle \frac{I}{k}-\frac{I}{k} e^{-\frac{kt}{V}}=\frac{I}{k}\left(1-e^{-\frac{kt}{V}}\right), \]

missä \( \alpha \) on integrointivakio.

Tarkastellaan lopuksi vielä mitä tapahtuu, kun aika kuluu. Tällöin \({\displaystyle \lim_{t\to\infty}C(t)}=\frac{I}{k}\). Toisin sanoen potilaan kehossa olevan lääkeaineen pitoisuus saavuttaa kyllästyspisteen, joka on \( \frac{I}{k} \).

Q: Sixpack [value]ä on ollut säilössä komerossa, jonka lämpötila on \(T_k=[value]\,^\circ \rm{C}\).
Vieraiden tullessa saunailtaan päätät laittaa juomat pikaisen jäähtymisen toivossa pakkaseen, jonka lämpötila on \( T_p= -18\,^\circ \rm{C}\).
Arvioidaan, että [value] noudattaa tölkistä huolimatta Newtonin jäähtymislakia

\(\displaystyle \frac{dT}{dt}=k(T-T_Y),\)

missä \(T_Y\) on ympäristön lämpötila ja \(k\) on jokin vakio.

[value] minuutin kuluttua otat yhden tölkin, mutta [value] lämpötila on [value] \(\,^\circ \rm{C}\) eli turhan lämmintä juotavaksi.

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä (*). Useamman merkin eksponentti, esim. \(x^{2\cdot a}\) kirjoitetaan sulkujen avulla x^(2*a).

a) Mikä on yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona?

Kirjoita alaindeksi normaalina merkkinä, esim. \(T_a\) muodossa Ta ja käytä vakiona kirjainta \(C\).

\(T(t)=\) |

b) Kuinka kauan täytyy vielä odottaa, että [value] lämpötila on tarjoilusuositusten mukainen [value]\(\,^\circ \rm{C}\)?

Anna vastauksesi minuutin tarkkuudella.

Aika: minuuttia |
Feedback: Mallivastaus: a) Pakkaseen laitettaessa [value] on lämpimämpää kuin pakastimen ilma, joten \(T-T_p>0\). Yleinen ratkaisu [value] lämpötilalle ajan funktiona saadaan Newtonin jäähtymislaista, joka on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö. Lämpötilan differentiaaliyhtälö on separoituva. \( \begin{align} \displaystyle{\frac{dT}{dt}}&=k(T-T_p)\\ \Rightarrow \quad \displaystyle{\int\frac{dT}{(T-T_p)}} &= \displaystyle{\int k\,dt} \\ \Rightarrow \quad \ln |T-T_p| &=kt+C_1 \\ \Rightarrow \quad T &=T_p+e^{kt}e^{C_1} = T_p+Ce^{kt}\end{align} \) Yleinen ratkaisu on \(T(t)= T_p+Ce^{kt}.\) b) Valitaan \(t=0\) hetkeksi, jolloin juomat laitettiin pakastimeen. Ajan yksikkö on minuutti. Tehtävässä mainittujen tietojen mukaisesti saadaan reunaehdot \(T(0)=[value]\) ja \(T([value])=[value]\), joiden avulla voidaan ratkaista \(C\) ja \(k\): \( \begin{array}{ll} T(0) = T_p+Ce^{ 0\cdot k}= [value]+C=[value] &\Rightarrow C=[value]\\ T([value]) = T_p+Ce^{[value]k}= [value]+[value] e^{[value]k} =[value] &\Rightarrow k= \displaystyle{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)} \end{array} \) /* Vakio k on kirjoitettu yhtälöihin auki, koska Maxima sieventää vaikealukuiseen muotoon */ Ratkaistaan, millä hetkellä \(t\) [value] lämpötila on \([value]^\circ \rm{C}\) sijoittamalla määritetyt arvot yleiseen ratkaisuun. \( \begin{align} T(t) &= [value] +[value] e^{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right) t} = [value]\\ \Rightarrow \quad t &= \displaystyle{ \frac{\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}{\frac{1}{[value]}\ln\left(\frac{[value]}{[value]}\right)}} \approx [value]\ \text{min} \end{align} \) Hetkeksi \(t=0\) valittiin ensimmäisen lämpötilamittauksen hetki, ja siitä on kulunut [value] minuuttia. Täytyy siis odottaa vielä [value] minuuttia, että [value] lämpötila on [value]\(\,^\circ \rm{C}\).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

3. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen integroivalla tekijällä

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset standardimuotoiset differentiaaliyhtälöt ovat muotoa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\). Standardimuotoinen tarkoittaa, että korkeimman kertaluvun derivaatan kerroin on \(1\). Tässä yhtälössä sekä \(P(x)\) että \(Q(x)\) ovat muuttujan \(x\) funktioita. Funktoiden \(P\) ja \(Q\) ollessa vakioita on yhtälö myös separoituva ja voidaan siis vaihtoehtoisesti ratkaista separoimalla.

Ensimmäisen kertaluvun standardimuotoinen lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista käyttäen integroivaa tekijää. Integroiva tekijä määritellään \(\rho(x) = e^{\int P(x)\,dx}\), missä olevaan integraaliin ei lisätä integrointivakiota, sillä tarvitaan vain yksittäinen ratkaisu. Kun integroiva tekijä on selvitetty ja sievennetty, kerrotaan sillä differentiaaliyhtälö puolittain. Tämän kertomisen takia funktion \(\rho(x)\) nimessä on sana tekijä.

Puolittain kertomisen seurauksena on yhtälön vasen puoli saatu muotoon \(e^{A(x)}(y'(x) + P(x)y(x))\), missä \(A(x)\) on \(P(x)\):n intergraalifunktio, eli \(P(x)=A'(x)\). Yhtälön vasen puoli voidaan siis esittää muodossa \(e^{A(x)}y'(x) + A'(x)e^{A(x)}y(x)\). Tämä muoto on tulon derivaatta \(D_{x}(e^{A(x)}y(x))\). Kannataa derivoida itse auki, jos sitä ei suoraan näe tästä esityksestä.

Kun yhtälön vasen puoli on tunnistettu tulon \(\rho (x)y(x)\) derivaataksi, voidaan yhtälö integroida puolittain. Vasemmalla puolella derivaatta ja integraali ovat toisilleen käänteiset operaatiot, joten integroinnin tuloksena on vasemmalla \(\rho (x)y(x)\). Integrointivakio lisätään nyt vain oikean puolen integraaliin eli \(\int Q(x)dx + C\). Integroinnin jälkeen jaetaan vielä yhtälö puolittain integroivalla tekijällä \(\rho (x)\), jotta saadaan selville ratkaisun \(y(x)\) ns. eksplisiittinen muoto. Muista jakaa integroivalla tekijällä myös integroimisvakio \(C\).

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

\( \textbf{Esimerkki 4.1.}\) Ratkaise alkuarvo-ongelma \(2y'' + 2y' - 4y = 2x + 3,  \quad y'(0) = 2, y(0) = 1\)

\( \textbf{Ratkaisu}\): Etsitään aluksi vastaavan homogeenisen yhtälön \(2y'' + 2y' - 4y = 0\) yleinen ratkaisu, jota varten muodostetaan karakteristinen yhtälö. Huomataan, että jokaisella termillä on parillinen kerroin, joten jaetaan sillä, jotta yhtälö karakteristisen yhtälön juurten selvittely vähän helpottuu. Karakteristiseksi yhtälöksi saadaan \(\lambda^2 + \lambda -2 = 0\). Tällä on juurina \(\lambda_{1}=-2\) ja \(\lambda_{2}=1\). Näin ollen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\(y_{h} = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x}\).

Seuraavaksi muodostetaan epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisua varten yrite. Kun \(f(x)\) on polynomi, niin yritekin on, ja samanasteinen polynomi riittää nyt. Siis \(y_{p} = ax^2 + bx + c\), jolloin \(y_{p}'= 2ax + b\) ja \(y_{p}'' = 2a\). Sijoittamalla \(y_{p}\) yhtälöön saadaan

\(\begin{align*}2(2a) + 2(2ax + b) - 4(ax^2 + bx + c) &= 2x+3\newline 4a + 4ax + 2b - 4ax^2 - 4bx - 4c &= 2x+3 \newline -4ax^2 +(4a-4b)x +4a+2b-4c &= 2x+3 \end{align*}\)

Tästä saamme muodostettua yhtälöryhmän.

\(\begin{cases}-4a = 0 \\ 4a-4b = 2 \\ 4a + 2b - 4c = 3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = -\dfrac{1}{2} \\ c = -1\end{cases}\)

Epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan siis \(y = c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

Ratkaistaan vielä alkuehtojen mukaiset parametrien \(c_{1},c_{2}\) arvot. Siksi tarvitaan derivaattaa

\(y' = -2c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}.\)

Sijoitetaan alkuehtojen mukaiset luvut ratkaisuun ja sen derivaattaan.

\(\begin{cases}y(0) = c_{1} + c_{2} -1 = 1 \newline y'(0) = -2c_{1} + c_{2} - \dfrac{1}{2} = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c_{1} = -\dfrac{1}{6} \\ c_{2} = \dfrac{13}{6}\end{cases}\)

Alkuarvo-ongelman ratkaisu on

\(y = -\dfrac{1}{6}e^{-2x} + \dfrac{13}{6}e^{x} - \dfrac{1}{2}x -1\).

\( \textbf{Esimerkki 4.2.}\) Osoita, että \( y_{1}(x)=x^{2} \) ja \( y_{2}(x)=x^{-3} \) ovat toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön

\( x^{2}y''+2xy'-6y=0\)

ratkaisut, kun \( x>0 \). Lopuksi etsi vielä ratkaisu alkuarvo-ongelmalle \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \).

\( \textbf{Ratkaisu:}\) Sijoittamalla ratkaisu \( y_{1}(x)=x^{2} \) annettuun yhtälöön havaitaan, että

\(x^{2}y_{1}''+2xy_{1}'-6y_{1}=x^{2}\cdot 2+2x\cdot 2x -6\cdot x^{2}=(2+4-6)x^{2}=0\)

ja vastaavasti sijoittamalla ratkaisu \( y_{2}(x)=x^{-3} \) saadaan

\(x^{2}y_{2}''+2xy_{2}'-6y_{2}=x^{2}\cdot 12x^{-5}+2x\cdot (-3x^{-4})-6\cdot x^{-3}=(12-6-6)x^{-3}=0. \)

Molemmat ovat siis ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( x^{2}y''+2xy'-6y=0 \).

Koska suhde \( \frac{y_{1}}{y_{2}}=x^5 \) ei ole vakio, niin ratkaisut \( y_{1}(x) \) ja \( y_{2}(x) \) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Ratkaistaan sitten alkuarvo-ongelma \( y(1)=10 \) ja \( y'(1)=5 \). Koska \( y_{1}\) ja \( y_{2}\) ovat lineaarisesti riippumattomat ratkaisut, on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

\( y(x)=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{-3}, \)

missä \(c_{1}, c_{2}\in\mathbb{R} \) ovat vakioita. Derivoimalla saadaan

\( y'(x)=2c_{1}x-3c_{2}x^{-4} \),

ja alkuehdot sijoittamalla yhtälöpari

\(\begin{cases}c_{1}+c_{2}&=10\\2c_{1}-3c_{2}&=5.\end{cases}\)

Ratkaistaan yhtälöpari helposti sijoittamalla \( c_{1}=10-c_{2} \) ensimmäisestä yhtälöstä toiseen ja saadaan

\( c_{1}=7\quad\text{ ja }\quad c_{2}=3. \)

Alkuarvo-ongelman ratkaisu on \( y(x)=7x^{2}+3x^{-3}. \)

\( \textbf{Esimerkki 4.3.}\) Tämä on konkreettinen esimerkki siitä, miten yksinkertaiseltakin vaikuttavaa asiaa voi mallintaa differentiaaliyhtälöiden avulla.

Jokainen on varmasti havainnut korkin, puun palasen tai jonkin muun kappaleen keinuvan ylös ja alas jossakin nesteessä, kuten vedessä. Miten tämä keinuva liike voidaan mallintaa matemaattisesti?

Kun kelluva kappale on tasapainotilassa tai levossa, siihen vaikuttaa kaksi vastakkaista yhtäsuurta voimaa. Kappaleen massa painaa kappaletta alaspäin ja nesteen aiheuttama noste nostaa kappaletta ylöspäin.

Jos häiritsemme kappaleen tasapainotilaa painamalla tai nostamalla kappaletta ja sitten vapauttamalla sen, niin kappale alkaa keinua ylös ja alas.

Kappaleen liikkeen fysikaalisena periaatteena on Newtonin toinen laki \( F=ma \), massan ja kiihtyvyyden tulo on kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.

Tarkastellaan esimerkiksi sylinterin muotoista kappaletta, jonka massa on jakautunut tasaisesti, tiheys on \( \rho \), poikkipinta-ala on \( A \) ja korkeus on \( L \).

Oletetaan, että kappale kelluu nesteessä, jonka tiheys on \( \rho_{\mathcal{l}} \), missä \( \rho < \rho_{\mathcal{l}} \). Tasapainotilassa tai levossa ollessaan kappale uppoaa nesteeseen kunnes kappaleen syrjäyttämän nesteen massa saavuttaa kappaleen massan. Olkoon kappaleen uppouma \( Y \).

Voidaan osoittaa, että

\( Y=\frac{\rho}{\rho_{\mathcal{l}}} L \).

Oletetaan, että kappaletta painetaan alaspäin. Merkitään kappaleen syvyyttä eli kappaleesta veden pinnan alapuolella hetkellä \( t \) olevan osan korkeutta lausekkeella \( Y+y(t) \). Tällöin \( y(t) \) ilmaisee ajan \(t\) kuluessa tapahtuvan muutoksen kappaleen tasapainotilasta. Oletetaan, että \( y(t) \) on positiivinen, kun kappale painuu alaspäin.

Tasapainotilasta poikkeavassa tilassa kappaleeseen vaikuttava nettovoima on tyypillisesti nollasta eroava. Newtonin toinen laki johtaa yhtälöön

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad\omega^{2}=\frac{\rho_\mathcal{l}g}{\rho L} \),

missä \( g \) on gravitaatiovakio. Kappaleen poikkeama tasapainotilasta, \( y(t) \), voidaan siten löytää ratkaisemalla kyseinen  homogeeninen lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö. Yksikäsitteistä ratkaisua varten tarvitaan lisäksi kappaleen syvyys ja nopeus jollain tietyllä hetkellä. Tämä onnistuu asettamalla alkuehdot \( y(t_{0})=y_{0} \) ja \( y'(t_{0})=y'_{0} \). Näin ollen saadaan muodostettua alkuarvo-ongelma

\( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0,\quad y(0)=y_{0},\quad y'(0)=y'_{0} \),

jolla on yksikäsitteinen ratkaisu millä tahansa halutulla ajanjaksolla. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi tapausta, jossa \( t_{0}=0 \).

Funktiot \( y_{1}(t)=\sin (\omega t) \) ja \( y_{2}(t)=\cos (\omega{2} t) \) ovat molemmat ratkaisuja differentiaaliyhtälölle \( y''(t)+\omega^{2}y(t)=0 \), jonka voit tarkastaa sijoittamalla funktiot edellä mainittuun differentiaaliyhtälöön. Yhtälön yleinen ratkaisu on

\( y(t)=c_{1}\sin (\omega t) + c_{2}\cos (\omega t)\), missä \(c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}. \)

Alkuarvo-ongelma voidaan ratkaista sijoittamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun, josta saadaan yhtälöt

\(\begin{align*}y(0)&=c_{1}\sin(0)+c_{2}\cos(0)=y_{0},\\y'(0)&=c_{1}\omega\cos(0)-c_{2}\omega\sin(0)=y'_{0}.\end{align*} \)

Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan \( c_{1}=\frac{y'_{0}}{\omega} \) ja \( c_{2}=y_{0} \). Yksittäisratkaisu alkuarvo-ongelmaan on täten

\( y(t)=\frac{y'_{0} }{\omega }\sin(\omega t)+y_{0} \cos (\omega t) \).

Jos joko \( y_{0}=0 \) tai \( y'_{0}=0 \), on selvää, että ratkaisu ilmaisee sinimuotoista oskilloivaa käyttäytymistä, joka vastaa reaalimaailman havaintoja.

4. Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa \(A(x)\dfrac{d^2y}{dx^2} + B(x)\dfrac{dy}{dx} + C(x)y = F(x)\). Missä \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) ja \(F(x)\) ovat kaikki muuttujan \(x\) funktioita.

Jos toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen eli \(F(x)=0\), ja \(y_{1}\) ja \(y_{2}\) ovat sen ratkaisuja, niin lineaarikombinaatio \(y = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}\) on myös homogeenisen yhtälön ratkaisu. Jos \(y_{1}\) ja \(y_{2}\) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin \(y = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}\) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.

Jos toisen kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälö on vakiokertoiminen eli muotoa \(y'' + ay' + by = 0\), voidaan yhtälön ratkaisut löytää karakteristisen yhtälön avulla. Karakteristinen yhtälö on tällöin

\(\lambda^2 + a\lambda + b = 0\),

ja siitä voidaan ratkaista juuret \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\) toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.

Jos karakteristisella yhtälöllä on

1) kaksi erisuurta reaalista juurta \(\lambda_{1}\) ja \(\lambda_{2}\), niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

\(y = c_1e^{\lambda_{1}x} + c_2e^{\lambda_{2}x}\)

2) kaksi yhtäsuurta reaalista juurta, niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

\(y = c_1e^{\lambda x} + c_2xe^{\lambda x}\)

3) imaginääriset juuret \(\lambda = \alpha \pm \beta i\), niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

\(y = e^{\alpha x}(c_{1}\sin(\beta x) + c_{2}\cos(\beta x))\)

Jos \(y_{h} = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}\) on toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaisu ja \(y_{p}\) on vastaavan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, joka on lineaarisesti riippumaton ratkaisusta \(y_h\), niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on \(y = y_{h} + y_{p}\).

Yksittäisratkaisu \(y_{p}\) vakiokertoimiselle differentiaaliyhtälölle muotoa \(y'' + ay' + by = f(x)\) löydetään yleisille funktiotyypeille \(f(x)\) funktiotyyppiä vastaavan yritteen avulla. Jos f(x) on

1) polynomi astetta \(n\), niin yrite \(y_p\) on polynomi. Jos \(b\neq 0\) niin \(y_{p}\):n aste on \(n\). Jos \(b=0\) ja \(a \neq 0\), niin \(y_{p}\):n aste on \(n+1\), jos \(a=b=0\), niin \(y_{p}\):n aste on \(n+2\). Muista kirjoittaa myös kaikki pienempiasteiset termit yritteeseen, elleivät ne jo esiinny homogeenisen yhtälön ratkaisussa.

2) muotoa \(ce^{\alpha x}\), niin yrite on
\(\quad \small\bullet\) \(Ae^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) ei ole karakteristisen yhtälön juuri
\(\quad \small\bullet\) \(Axe^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) on karakteristisen yhtälön yksinkertainen juuri
\(\quad \small\bullet\) \(Ax^2e^{\alpha x}\), jos \(\alpha\) on karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri

3) muotoa \(c\cos(\omega x)\) tai \(c\sin(\omega x)\), niin yrite on \(A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)\), jos \(i\omega\) ei ole karakteristisen yhtälön juuri.

Kohdissa 2) on hyvä huomata, että jos \(\alpha\) ei ole karakteristisen yhtälön juuri ja yritetään käyttää yritettä, jossa eksponenttifunktiota on kerrottu \(x\):llä, niin yrite ei toteuta alkuperäistä differentiaaliyhtälöä.

Kuten huomaat, ei toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen ole kovin yksiselitteistä. Ratkaisua etsiessä kannattaa toimia systemaattisesti ensin ratkaisten karakteristinen yhtälö ja määräten sen perusteella homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu. Epähomogeenisen yhtälön tapauksessa seuraavaksi etsitään yritteellä yksittäisratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle. Ei kannata lannistua, jos ensimmäinen yrite olisikin mennyt väärin. Epähomogeenisessa tapauksessa muista myös, että et ala ratkaista mahdollista alkuehdot täyttävää yksittäisratkaisua heti homogeeniyhtälön ratkaisun jälkeen, vaan vasta epähomogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun selvittyä.

Q: Tarkastellaan pohjoiseen virtaavaa jokea, jonka leveys on \( w=2a \). Suorat \( x=\pm a \) kuvaavat joen rantoja ja \(y\)-akseli joen keskikohtaa. Oletetaan, että joen virtaamisnopeus \( v_{R} \) kasvaa kun siirrytään kohti joen keskikohtaa niin, että nopeus saadaan kaavalla

\(\begin{align*}v_{R}=v_{0}\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\end{align*}\),

missä \( v_{0} \) on keskivirran virtausnopeus ja \(x\) etäisyys joen keskikohdasta.

Voit tarkastaa edellisestä yhtälöstä, että keskellä virtaus on nopein eli \( v_{R}=v_{0} \) ja hitain reunoilla eli \( v_{R}=0 \).

Oletetaan, että uimari aloittaa uintinsa joen länsirannalta pisteestä \( (-a,0) \) ja ui itään tasaisella nopeudella \( v_{S} \). Uimarin nopeusvektorissa on horisontaalinen komponentti \( v_{S} \) ja vertikaalinen komponentti \( v_{R} \). Siten uimarin suuntakulma \( \alpha \) saadaan yhtälöstä

\(\begin{align*}\tan{(\alpha)}=\dfrac{v_{R}}{v_{S}}.\end{align*}\)

Suuntakulman tangentti on toisaalta sama kuin uimarin kulkemaa reittiä ilmaisevan käyrän \(y=y(x)\) kulmakerroin, joka saadaan laskettua funktion \(y\) derivaattana eli

\( \displaystyle \tan{(\alpha)}=\frac{dy}{dx} \).

Yhdistämällä kolmen kaavarivin tiedot saadaan differentiaaliyhtälö

\(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\bigg(1-\dfrac{x^2}{a^2}\bigg), \end{align*}\)

jonka ratkaisu on uimarin joenylitysreittiä kuvaava \( y=y(x) \).

Tehtävä:

Oletetaan, että joki virtaa pohjoiseen, sen leveys on [value] km ja sen virtausnopeus keskivirrassa on [value] km/h. Uimari aikoo ylittää joen uimalla tasaista nopeutta [value] km/h kohti itää ja hän aloittaa uintinsa länsirannalta.

Huom. Älä lisää yksiköitä vastauksiisi!

a) Mihin muotoon uimarin reittiin liittyvä differentiaaliyhtälö näillä arvoilla kirjoitetaan?

\(\dfrac{dy}{dx}=\) |

b) Mitä saadaan yleiseksi ratkaisuksi, kun a-kohdan yhtälö integroidaan puolittain? Käytä integrointivakiona kirjainta \( C \).

\(y(x)=\) |

c) Mikä on alkuehto?

\(y\bigg(\) \(\bigg) =\) |

d) Mitä saadaan integrointivakion \( C \) arvoksi? Tarkka arvo, ei desimaalilukua.

\(C=\) |

e) Mikä on tällöin uimarin reittiä kuvaava funktio?

\(y(x)=\) |

f) Kuinka pitkän matkan (km) uimari ajelehtii pohjoiseen uidessaan joen yli? Anna vastaus desimaalilukuna, kahden desimaalin tarkkuudella.

Matka\(\,=\) |
Feedback: Mallivastaus: a) Uimarin nopeus on \( v_{S}=\) [value] km/h, joen leveys on \(w=\) [value] km ja keskivirran nopeus on \(v_{0}=\) [value] km/h, joten sijoitetaan nämä arvot yhtälöön \(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v_{0}}{v_{S}}\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right),\end{align*}\) josta saadaan \(\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}=[value]\end{align*}\). b) Integroimalla puolittain saadaan yleinen ratkaisu \(y =\displaystyle \int[value]\,dx = [value]\). c) Koska uimari lähtee uimaan länsirannalta, niin \( y([value])=[value]\). d) Integrointivakio saadaan laskettua sijoittamalla alkuehto yleiseen ratkaisuun. Näin laskemalla saadaan \( C \):n arvoksi [value]. e) Edellisessä kohdassa laskettu integrointivakio sijoitetaan yleiseen ratkaisuun ja saadaan yksittäisratkaisu \( y(x)=\displaystyle[value] \). f) Pohjoiseen ajelehdittu matka saadaan laskemalla \(y\):n arvo, kun uimari on päässyt joen yli eli kun \(x\):n arvo on [value]. Tällä \(x\):n arvolla laskiessa saadaan uimarin ajelehtimaksi matkaksi [value] km.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Ratkaise alkuarvotehtävä \(y' = [value], \quad y(1) = [value]\).

Käytä integrointivakiona kirjainta \(C\).

a) Kirjoita differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

\(y=\) |

b) Ratkaise vakio \(C\).

\(C=\) |

c) Kirjoita alkuarvotehtävän ratkaisu.

\(y=\) |
Feedback: Mallivastaus: a) Integroidaan puolittain. \(\displaystyle y = \int{([value]})\,dx = [value]\). Tämä on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. b) Parametri \(C\) saadaan ratkaistua alkuehto sijoittamalla. \(y(1) = [value] +[value] \:[value] + C = [value] \quad \Leftrightarrow \quad C = [value]\). c) Sijoittaan kohdassa (b) laskettu \(C\) kohdan (a) ratkaisuun. \(y = [value]\).

Erään radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on [value] vuotta. Ydinonnettomuuden jälkeen radioaktiivisen aineen säteily on [value]-kertainen ihmiselle elinkelpoiseen säteilyyn verrattuna.

a) Muodosta radioaktiivisen aineen hajoamista kuvaava differentiaaliyhtälö, kun hajoaminen on suoraan verrannollista aineen säteilyn tasoon \(P\). Käytä verrannollisuuskertoimena kirjainta \(k\).

\(\displaystyle \frac{dP}{dt}=\) |

b) Ratkaise differentiaaliyhtälö annettujen tietojen avulla:

- \( P_0 = P(0) = [value] \)
- \( P([value]) = \frac{1}{2}P_0\).

Kirjoita verrannollisuuskertoimen \(k\) arvo neljän desimaalin tarkkuudella.

\(P(t)=\) |

c) Kuinka kauan kestää, kunnes säteilyn taso on ihmiselle elinkelpoinen eli mitä aika \(t\) on, kun \(P(t)=1\)? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

\(t=\) vuotta |

Syntaksivihjeitä:

- Muista käyttää pistettä (.) desimaaliluvuissa.
- Käytä kertomerkkinä tähteä (*).
- Eksponenttifunktio \(e^{x}\) merkitään muodossa e^x tai exp(x).
Feedback: Mallivastaus: a) Radioaktiivinen hajoaminen on suoraan verrannollista säteilyn tasoon \(P\), joten differentiaaliyhtälö on muotoa \(\frac{dP}{dt}=kP\) b) Ratkaistaan differentiaaliyhtälö separoimalla \( \begin{array}{rcl} \frac{dP}{dt} &=& k P \\ \frac{dP}{P} &=& k dt \\ ln(P) &=& kt+C \\ P(t) &=& Ce^{kt} \end{array} \) Alkuehtona tiedetään, että \(P(0)=[value]\). Käytetään tätä tietoa ja ratkaistaan integroimisvakio C. \( \begin{array}{rcl} P(0) &=& Ce^{k*0} \\ [value] &=& C \end{array} \) Myös puoliintumisaika tiedetään, joten ratkaistaan sen avulla verrannollisuuskerroin \(k\). \( \begin{array}{rcl} P([value]) &=& [value] \\ [value]e^{[value]k} &=& [value] \\ [value]k &=& \ln{\frac{1}{2}} \\ k &=& \frac{\ln{\frac{1}{2}}}{[value]} \\ k &=& [value] \end{array} \) Differentiaaliyhtälön yleinen muoto on \(P(t)=[value]e^{[value]t}\). c) Säteilyn taso on laskenut elinkelpoiselle tasolle, kun \(P(t)=1\). \( \begin{array}{rcl} P(t) &=& 1 \\ [value]e^{[value]t} &=& 1 \\ t &=& \frac{\ln{\frac{1}{[value]}}}{[value]} \\ t &=& [value] \end{array} \) Alue on elinkelponen noin [value] vuoden kuluttua.

Ratkaise alkuarvotehtävä \(y' =\displaystyle [value], \quad y([value])=1\).

\(y=\) |
Feedback: Malliratkaisu: Separoidaan aluksi muuttujat ja saadaan \(y\,dy = ([value]x + [value])dx\) Integroidaan sitten puolittain. \(\begin{align*}\int y\,dy &= \int ([value]x + [value])dx + C_{1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}y^2 &= [value] + [value] + C_{1}\end{align*}\) Tästä saadaan yleinen ratkaisu \(y = \sqrt{[value] + [value] + C}\), missä \(C=2C_{1}\) Seuraavaksi etsitään alkuehdon toteuttava ratkaisu. \(\begin{align*}y([value]) = \sqrt{[value]\cdot[value]^2 + [value]\cdot[value]+C} &= 1 \quad |()^2 \\ \Leftrightarrow [value] +C &= 1 \\ \Leftrightarrow C &= [value]\end{align*}\) Alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y = \sqrt{[value]}\).

Oletetaan, että [value]€ talletetaan säästötilille, joka maksaa [value]% vuotuisen koron.

a) Muodosta vuosittain tapahtuvaa tilin rahamäärän muutosta kuvaava differentiaaliyhtälö. Merkitse tilillä olevaa rahamäärää kirjaimella \(A\) ja aikaa vuosina kirjaimella \(t\)

\(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\) |

b) Ratkaise differentiaaliyhtälö annetun alkuehdon avulla.

\(A(t)=\) |

c) Kuinka paljon korkoa tilille lisätään viiden vuoden kuluttua? (Eli laske \(\frac{dA}{dt}\) kun \(t=5\).) Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella.

Rahaa: euroa |

Syntaksivihjeitä:

- Muista käyttää pistettä (.) desimaaliluvuissa.
- Käytä kertomerkkinä tähteä (*).
- Eksponenttifunktio \(e^{x}\) merkitään muodossa e^x tai exp(x).
Feedback: Mallivastaus: a) Tilin rahamäärä \(A\) kasvaa ajassa \(t\) [value]% tilillä olevasta rahamäärästä, joten differentiaaliyhtälö on muotoa: \(\frac{dA}{dt}=[value] A\) b) Ratkaistaan differentiaaliyhtälö separoimalla \( \begin{array}{rcl} \frac{dA}{dt} &=& [value] A \\ \frac{dA}{A} &=& [value] dt \\ ln(A) &=& [value]t+C \\ A(t) &=& Ce^{[value]t} \end{array} \) Alkuehtona tiedetään, että \(A(0)=[value]\). Käytetään tätä tietoa ja ratkaistaan integroimisvakio C. \( \begin{array}{rcl} A(0) &=& Ce^{[value]*0} \\ [value] &=& C \end{array} \) Differentiaaliyhtälön yleinen muoto on \(A(t)=[value]e^{[value]t}\). c) Viiden vuoden kuluttua tilin rahamäärä kasvaa seuraavasti: \( \begin{array}{rcl} \frac{dA}{dt} &=& [value]A(5) \\ \frac{dA}{dt} &=& [value]*[value]*e^{[value]*5} \\ \frac{dA}{dt} &=& [value] \end{array} \) Viiden vuoden kuluttua tilille lisätään korkoa [value] euroa.

Q: Oletetaan, että olet Thaimaan Phuketissa lomalla ja kello on 22:00 kuuman kosteana perjantai-iltana paikallista aikaa. Menet juhlimaan yökerhoon, joka juuri avautui, ja jonka sisämitoiksi mittaat nopealla silmäyksellä; leveys [value] m, pituus [value] m ja korkeus [value] m.

Yökerho on täynnä asiakkaita, mutta pahaksi onneksesi suurin osa heistä on tupakoitsijoita. Havaitset, että tupakansavua, josta 0,04 g/litra on häkää, virtaa yökerhoon [value] litraa minuutissa. On ilmeistä, että asiakkaat aikovat olla yökerhossa valomerkkiin saakka, joten tupakansavua virtaa sisään tasaisesti koko illan.

Ilahdut, kun havaiset yökerhossa olevan ilmastointijärjestelmän, joka sekoittaa tupakansavun tasaiseksi pitoisuudeksi huoneilmaan. Sen ulosvirtausnopeus näyttää olevan [value] litraa minuutissa, joka on kymmenkertainen tupakansavun sisäänvirtaukseen verrattuna.

Haluat tanssia ja seurustella, mutta haluat myös säilyttää terveytesi. Muistat, että pitkittynyt altistuminen yli 0,012 % häkäpitoisuudelle on kotimaasi terveysviraston mukaan terveydelle vaarallista. Huomaat, että yökerho sulkee kello 03:00 paikallista aikaa, joten alat valmistella hätäsuunnitelmaa.

Tehtävä:

Ohje: Älä lisää yksiköitä vastauksiisi! Kannattaa miettiä laskiessa, täsmääkö yksiköt.

a) Mikä on yökerhon tilavuus \( V \) (litroina)?

\(V=\) l |

b) Millä nopeudella \( I \) häkää kertyy yökerhoon (gramma per minuutti)?

\(I=\) \(\dfrac{\text{g}}{\text{min}}\) |

c) Millä nopeudella \( U\) häkää virtaa yökerhosta (gramma per minuutti)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta. (Vastauksen tulee siis sisältää \(C(t)\)!)

\(U=\) \(\dfrac{\text{g}}{\text{min}}\) |

d) Mikä on hään määrän tietyllä ajanhetkellä ilmaiseva funktio (gramma)?
Käytä funktiota \( C(t) \) ilmaisemaan häkäpitoisuutta tietyllä ajanhetkellä \(t\).

\(Q(t)=\) \( g \) |

e) Miten kirjoitetaan differentiaaliyhtälö, joka ilmaisee häkäpitoisuuden muuttumista?

\(\displaystyle \frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)= |

f) Sievennä edellinen differentiaaliyhtälö lineaariseen standardimuotoon.

\(\displaystyle \frac{d Q(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\) \(\bigg(\)\(\bigg)\)+= |

g) Mikä on integroiva tekijä?
Älä kirjoita integraalina vaan laske ja sievennä.

\(\mu (t) =\) |

h) Sovella integroivan tekijän menetelmää tehtävän differentiaaliyhtälöön ja hae yhtälön yleinen ratkaisu.
Käytä integrointivakiona muuttujaa \( k \). Huom! Älä sievennä integrointivakiota siten, että se sisältää koko vakion. (Esim. Jos saat \(C(t) = \frac{1}{10} + \frac{1}{100}k\cdot e^{\small{-\frac{1}{75}t}}\), niin ÄLÄ sievennä \(\frac{1}{100}k\) yhdeksi vakioksi)

\(C(t) =\) |

i) Monenko minuutin kuluttua häkäpitoisuus saavuttaa kriittisen 0,012 % rajan?
Anna vastaus minuutin tarkkuudella ja pyöristä alaspäin kokonaiseen minuuttiin. Esim. 232,89 \( \approx \) 232.

\( t= \) \( \text{min} \) |

j) Voitko siis olla yökerhossa valomerkkiin saakka?
Tosi/kyllä voit, epätosi/et voi olla, valitse jompi kumpi.
Feedback: Mallivastaus: a) Tilavuus on \( [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} \cdot [value] \text{ m} = [value] \text{ litraa} \). b) Tupakansavua virtaa yökerhoon nopeudella [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Tupakansavun häkäpitoisuus on \(0.04\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten häkää kertyy yökerhoon \(\begin{align*}\bigg([value] \frac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg(\frac{4}{100}\frac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=[value]\frac{\text{g}}{\text{min}}\end{align*} \). c) Tuulettimien ulosvirtausnopeus on [value] \(\frac{\text{l}}{\text{min}} \). Funktio [value] ilmaisee häkäpitoisuuden. Joten häkää virtaa ulos yökerhosta \(\bigg([value]\dfrac{\text{l}}{\text{min}}\bigg)\cdot\bigg([value]\dfrac{\text{g}}{\text{l}}\bigg)=\bigg([value]\dfrac{\text{g}}{\text{min}}\bigg)\). d) Tilavuus on \( V=[value] \text{ l} \). Hään määrän ilmoittava funktio on [value] \(\frac{\text{g}}{\text{l}} \). Joten, \( Q(t)=V\cdot[value]=([value]\text{ l})\cdot [value] \dfrac{\text{g}}{\text{l}}=[value]\cdot [value]\text{ g} \). e) Häkäpitoisuuteen vaikuttavat yökerhossa jo oleva hään määrä, sinne tupakoitsijoiden johdosta lisääntyvä häkä ja ilmastoinnin mukana pakeneva häkä. Muistetaan myös nettomuutos = sisäänvirtausnopeus - ulosvirtausnopeus Näin ollen kun tiedetään sisään- ja ulosvirtausnopeus sekä yökerhossa vallitsevan hään määrä \(Q(t)\), niin saadaan \(\displaystyle \frac{d Q(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}([value]\cdot [value])=[value]-[value] \) f) Ratkaisumuotohan tarkoitti muotoa \(\displaystyle \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) Näin ollen termejä siirtelemällä saadaan \(\displaystyle \dfrac{d}{dt}[value] + [value] = [value]\), mikä on kysytty ratkaistu muoto. g) Termistä [value][value], saadaan integroiva tekijä laskemalla \(e^{\int[value]dt}\). Näin integroivaksi tekijäksi saadaan [value]. h) Merkitään aluksi selkeyttämisen vuoksi \(A := [value]\) ja \(B := [value]\). Nyt, \(\begin{align*}(\frac{d}{dt}C(t)+AC(t))e^{At}&=Be^{At}\\ D_{x}(C(t)e^{At})&=Be^{At} \\e^{At}C(t)&=B\int e^{At\ dt}\\C(t)&=\frac{B}{e^{At}}\bigg(\frac{e^{At}}{A}+k \bigg)\\C(t)&=\frac{B}{A}+kBe^{-At}, \end{align*}\) joten, \(\begin{align*}C(t) = [value]+k\cdot [value]\cdot e^{-[value]t}\end{align*}\). i) Yökerhossa ei ole alkuhetkellä kello 22:00 yhtään asiakasta ja siten häkääkään ei ole kerinnyt kertyä yökerhoon, siispä \( C(0)=0 \). Täten havaitaan, että \(\begin{align*}C(0)=[value]+{k\cdot [value]}\cdot \underset{=1}{\underbrace{e^{-[value]\cdot0}}}&=0 \\ {k\cdot [value]} &= [value],\end{align*}\) mistä saadaan \(k = [value]\) Näin ollen, kun \(k\) sijoitetaan takaisin yhtälöön, \( C(t) \) voidaan muotoilla uudelleen \(\begin{align*}C(t)=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg).\end{align*} \) Kriittinen raja on 0,012 %, joten ratkaistaan yhtälö \( C(t)=0,000012 \), jotta saadaan selville aika, minkä kuluttua yökerhossa on liikaa häkää. \(\begin{align*}\dfrac{12}{100000}&=[value]\bigg(1-e^{-[value]\cdot t}\bigg)\\ \frac{3}{100}&=1-e^{-[value]\cdot t}\\ e^{-[value]\cdot t} &= \frac{97}{100} \\ -[value]\cdot t &= \ln\bigg(\frac{97}{100}\bigg) \\t&=\frac{\ln\bigg(\frac{97}{100}\bigg)}{-[value]}\\ &\approx [value]. \end{align*}\) Joten, kriittinen raja on minuutin tarkkuudella [value] minuuttia yökerhon avaamisen jälkeen. j) Yökerho menee kiinni kello 3:00, joten tästä voimme laskea, että vastaus kysymykseen "Kestääkö hän loppuun?", on [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Ratkaise alkuarvotehtävä \(\dfrac{xy'}{[value]} + x^{[value]}y = [value], \quad y(0) = [value].\)

a) Laske integroiva tekijä.

\(\rho(x) =\)

b) Laske alkuarvotehtävän ratkaisu.

\(y =\)
Feedback: Mallivastaus: Ratkaise alkuarvotehtävä \(\dfrac{xy'}{[value]} + x^{[value]}y = [value], \quad y(0) = [value]\) Yhtälö ei ole vielä muodossa \(\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), joten aloitetaan jakamalla puolittain \(x\):llä ja kerrotaan puolittain \([value]\):lla. Näin saadaan \(y' + [value] = [value]\) Nyt yhtälö on saatu haluttuun muotoon ja nähdään, että yhtälössä \(P(x)= [value]\). Tämän avulla voidaan ratkaista integroiva tekijä kaavalla \(\rho(x) = e^{\int P(x)dx}\). Näin ollen integroivaksi tekijäksi saadaan \(\rho(x) = e^{\int[value]dx} = e^{x^{[value]}}\). Kerrotaan yhtälöä integroivalla tekijällä puolittain. \(y'e^{x^{[value]}} + [value]e^{x^{[value]}} = [value]\) Huomataan, että vasemman puolen voikirjoittaa \(y'e^{x^{[value]}} + [value]e^{x^{[value]}} = D_{x}(e^{x^{[value]}}y)\). Nyt yhtälö on siis muodossa \(D_{x}(e^{x^{[value]}}y) = [value]\) Integroidaan puolittain. \(e^{x^{[value]}}y = \int([value])dx + C \\ \Leftrightarrow e^{x^{[value]}}y = [value] + C\) Jaetaan vielä integroivalla tekijällä puolittain, jolloin saadaan \(y = [value]\) Saatu tulos on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Etsitään nyt alkuehtoa hyödyntäen yksittäisratkaisu. Sijoitetaan alkuehto saatuun ratkaisuun. \(y(0) = C + [value] = [value] \\ \Leftrightarrow C = [value]\) Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis \(y = [value]\).

Lamborghinin kiihtyvyys \(a\) on verrannollinen luvun [value] ja auton nopeuden \(v\) erotukseen.

a) | Muodosta auton kiihtyvyyttä kuvaava differentiaaliyhtälö. Kuvaa nopeutta kirjaimella \(v\) ja käytä verrannollisuuskertoimena kirjainta \(k\). |
 | \(a=\dfrac{dv}{dt}=\) |  |
b) | Ratkaise differentiaaliyhtälö, kun auton nopeus \(v\) hetkellä \(t=0\) on \(0 \, \text{km/h}\) ja verrannollisuuskerroin \(k=[value]\). |
 | \(v(t)=\) |  |
c) | Laske aika, jonka kuluttua auton nopeus \(v(t)=[value] \, \text{km/h}\). Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella. |
 | \(t=\) |  |

Syntaksivihjeitä:

- Muista käyttää pistettä (.) desimaaliluvuissa.
- Käytä kertomerkkinä tähteä (*).
- Eksponenttifunktio \(e^{x}\) merkitään muodossa e^(x) tai exp(x).
Feedback: Mallivastaus: a) Auton nopeus \(v\) kasvaa ajassa \(t\) suhteessa erotukseen \([value]-v\): \(\frac{dv}{dt}=k([value]-v)\) b) Kyseessä on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, joten ratkaistaan se integroivan tekijän avulla. \( \begin{array}{rcl} \frac{dv}{dt} &=& k([value]-v) \\ \frac{dv}{dt} &=& [value]k-kv \\ \frac{dv}{dt} + kv &=& [value]k \end{array} \) Muodostetaan integroiva tekijä: \( \rho = e^{\int k \text{dt}} = e^{kt} \). Kerrotaan yhtälö puolittain integroivalla tekijällä: \( e^{kt} \frac{dv}{dt}+e^{kt}kv=e^{kt}[value]k \). Tunnistetaan, että vasen puoli vastaa derivaattaa: \( \frac{d}{dt}(e^{kt}v) = e^{kt}[value]k \). Integroidaan kumpikin puoli: \( \begin{array}{rcl} e^{kt}v &=& \int e^{kt}[value]k \text{dt} \\ e^{kt}v &=& [value]e^{kt}+C \\ v(t) &=& [value]+Ce^{-kt} \end{array} \) Ratkaistaan C alkuarvon \(v(0)=0\) avulla ja sijoitetaan \( k=[value] \) \( \begin{array}{rcl} v(0) &=& 0 \\ [value]+C &=& 0 \\ C &=& -[value] \end{array} \) Ratkaistu muoto: \( v(t)=[value]-[value]e^{-[value]t}=[value](1-e^{-[value]t}) \) c) Ratkaistaan yhtälö \(v(t) = [value]\): \( \begin{array}{rcl} [value](1-e^{-[value]t}) &=& [value] \\ e^{-[value]t} &=& 1-\frac{[value]}{[value]} \\ -[value]t &=& \ln{(1-\frac{[value]}{[value]})} \\ t &=& \frac{\ln{(1-\frac{[value]}{[value]}})}{-[value]} \\ t &=& [value] \end{array} \) Auto kiihtyy nopeuteen \([value] \, \text{km/h}\) ajassa \(t=[value] \, \text{s}\).

Q: Tarkastellaan sylinterin muotoista poijua, jonka säde on \( r \), korkeus on \( h \) ja tasaisesti jakautunut tiheys \( \rho\leq 0.5 \frac{g}{cm^3} \) \( \bigg( \) veden tiheys on \( 1\frac{g}{cm^3} \) \( \bigg) \).

Alkutilanteessa poijua riiputetaan veden yllä siten, että sen pohja koskettaa veden pintaa ja sitten se vapautetaan veteen ajan hetkellä \(t=0\).

Tämän jälkeen siihen vaikuttaa kaksi voimaa: alaspäin suuntautuva painovoima \( F_{G} \), joka on yhtäkuin poijun massa eli \( mg=\rho\pi r^{2}hg \) ja ylöspäin suuntautuva noste \( F_{N} \), joka on yhtäkuin poijun syrjäyttämän veden massa eli \( \pi r^{2} xg \), missä \( x=x(t) \) on poijun pohjan syvyys ajan hetkellä \( t \).

Tehtävä:
Olkoon \( \rho \) = [value] \( \frac{g}{cm^{3}} \), \( r \) = [value] \( cm \), \( h \) = [value] \( cm \) ja \( g \) = [value] \( \frac{cm}{s^2} \).
Ohje: älä lisää yksiköitä vastauksiisi!

a) Minkä muodon Newtonin toinen liikelaki \( F=ma \), missä \(a\) on kiihtyvyys ja \(F\) kokonaisvoima, tällöin saa? Käytä muuttujaa \( t \).

x'' = - x

b) Sievennä edellinen yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön muotoon.

x'' + x =

c) Liitetään edelliseen differentiaaliyhtälöön alkuehto \( x(0)=x'(0)=0 \). Ratkaise tämä alkuarvo-ongelma.

\( x(t)= \)
Feedback: Mallivastaus: a) Kokonaisvoima \(F\) voidaan kirjoittaa kahden muun annetun voiman avulla \(F = F_{G} - F_{N}\). Kiihtyvyys \(a\) taas on paikan toinen derivaatta ajan suhteen eli \(a=x''\). Hyödyntämällä lähtötietoja saadaan, että \( F = ma = mx'' = \rho\pi r^{2} h x'' = [value] x''\) \( F_{G}=\rho\pi r^{2}hg = [value] \) \( F_{N}=\pi r^{2}gx = [value] x \), jolloin voidaan kirjoittaa paikan differentiaali yhtälöksi \([value] x''\) = [value] - [value] x. b) Sievennetään saatu yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön muotoon. Näin saadaan \(x'' + [value] x \) = [value]. c) Epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yhtäkuin homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu. Ratkaistaan siis aluksi homogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = 0 \). Muodostetaan karakteristinen yhtälö \( \lambda^{2} + [value] = 0 \). Ratkaistaan lambda, josta saadaan \( \begin{align*} \lambda=\pm i \sqrt{ [value] } \end{align*} \). Näin ollen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \( x_{HG}(t)= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) \). Ratkaistaan seuraavaksi epähomogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = [value] \). Vakio \( [value] \) on 0-asteen polynomi, joten kokeillaan yritteenä 1-asteen polynomia \( at+b \). \( \begin{align*}x_{p}(t)&=at+b\\ x_{p}'(t)&=a\\x_{p}''(t)&=0. \end{align*} \) Sijotetaan \( x_{p}(t) \) yhtälöön \( \begin{align*}0+\frac{[value]}{[value]}\bigg(at+b\bigg)&=[value]\\ \frac{[value]at}{[value]}+\frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ \frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ b=[value]. \end{align*} \) Siispä epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu \( x_{EHG}(t)=[value] \). Joten epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan \(\begin{align*}x(t)&=x_{HG}(t)+x_{EHG}(t)\\ &= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) + [value]\end{align*}\) Lopuksi ratkaistaan alkuarvo-ongelma \( x(0)=x'(0)=0 \). \(\begin{align*}x(0)&= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] }t\bigg) + [value]\\ C_{1}&=-[value]\end{align*}\) Lisäksi selvästi nähdään, että \( C_{2}= 0 \). Siispä alkuarvo-ongelman ratkaisu on [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastellaan sylinterin muotoista poijua, jonka säde on \( r \), korkeus on \( h \) ja tasaisesti jakautunut tiheys \( \rho\leq 0.5 \frac{g}{cm^3} \) \( \bigg( \) veden tiheys on \( 1\frac{g}{cm^3} \) \( \bigg) \).

Alkutilanteessa poijua riiputetaan veden yllä siten, että sen pohja koskettaa veden pintaa ja sitten se vapautetaan veteen ajan hetkellä \(t=0\).

Tämän jälkeen siihen vaikuttaa kaksi voimaa: alaspäin suuntautuva painovoima \( F_{G} \), joka on yhtäkuin poijun massa eli \( mg=\rho\pi r^{2}hg \) ja ylöspäin suuntautuva noste \( F_{N} \), joka on yhtäkuin poijun syrjäyttämän veden massa eli \( \pi r^{2} xg \), missä \( x=x(t) \) on poijun pohjan syvyys ajan hetkellä \( t \).

Tehtävä:
Olkoon \( \rho \) = [value] \( \frac{g}{cm^{3}} \), \( r \) = [value] \( cm \), \( h \) = [value] \( cm \) ja \( g \) = [value] \( \frac{cm}{s^2} \).
Ohje: älä lisää yksiköitä vastauksiisi!

a) Minkä muodon Newtonin toinen liikelaki \( F=ma \), missä \(a\) on kiihtyvyys ja \(F\) kokonaisvoima, tällöin saa? Käytä muuttujaa \( t \).

x'' = - x

b) Sievennä edellinen yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön muotoon.

x'' + x =

c) Liitetään edelliseen differentiaaliyhtälöön alkuehto \( x(0)=x'(0)=0 \). Ratkaise tämä alkuarvo-ongelma.

\( x(t)= \)
Feedback: Mallivastaus: a) Kokonaisvoima \(F\) voidaan kirjoittaa kahden muun annetun voiman avulla \(F = F_{G} - F_{N}\). Kiihtyvyys \(a\) taas on paikan toinen derivaatta ajan suhteen eli \(a=x''\). Hyödyntämällä lähtötietoja saadaan, että \( F = ma = mx'' = \rho\pi r^{2} h x'' = [value] x''\) \( F_{G}=\rho\pi r^{2}hg = [value] \) \( F_{N}=\pi r^{2}gx = [value] x \), jolloin voidaan kirjoittaa paikan differentiaali yhtälöksi \([value] x''\) = [value] - [value] x. b) Sievennetään saatu yhtälö toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differenitaaliyhtälön muotoon. Näin saadaan \(x'' + [value] x \) = [value]. c) Epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yhtäkuin homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja epähomogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu. Ratkaistaan siis aluksi homogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = 0 \). Muodostetaan karakteristinen yhtälö \( \lambda^{2} + [value] = 0 \). Ratkaistaan lambda, josta saadaan \( \begin{align*} \lambda=\pm i \sqrt{ [value] } \end{align*} \). Näin ollen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan \( x_{HG}(t)= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) \). Ratkaistaan seuraavaksi epähomogeeninen differentiaaliyhtälö \( x''+[value] x = [value] \). Vakio \( [value] \) on 0-asteen polynomi, joten kokeillaan yritteenä 1-asteen polynomia \( at+b \). \( \begin{align*}x_{p}(t)&=at+b\\ x_{p}'(t)&=a\\x_{p}''(t)&=0. \end{align*} \) Sijotetaan \( x_{p}(t) \) yhtälöön \( \begin{align*}0+\frac{[value]}{[value]}\bigg(at+b\bigg)&=[value]\\ \frac{[value]at}{[value]}+\frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ \frac{[value]b}{[value]}&=[value]\\ b=[value]. \end{align*} \) Siispä epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu \( x_{EHG}(t)=[value] \). Joten epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan \(\begin{align*}x(t)&=x_{HG}(t)+x_{EHG}(t)\\ &= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\end{align*}\) Lopuksi ratkaistaan alkuarvo-ongelma \( x(0)=x'(0)=0 \). \(\begin{align*}x(0)&= C_{1} \cos\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + C_{2}\sin\bigg(\sqrt{ [value] t}\bigg) + [value]\\ C_{1}&=-[value]\end{align*}\) Lisäksi selvästi nähdään, että \( C_{2}= 0 \). Siispä alkuarvo-ongelman ratkaisu on [value].
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Ratkaise alkuarvotehtävä [value]\(\quad y(0)=[value],y'(0) = [value]\).

a) Etsi vastaavan homogeeniyhtälön karakteristisen yhtälön ratkaisut

\(\lambda_{1} =\), \(\lambda_{2} =\)

b) Ilmoita vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu. Käytä parametreinä c1 ja c2 ja kirjoita ne juuri kyseisessä muodossa.

\(y_{h}=\)

c) Etsi alkuarvotehtävän lopullinen ratkaisu. (Etsi ensin yksittäisratkaisu ja sitten hyödynnä alkuehtoja.)

\(y =\)
Feedback: Mallivastaus Ratkaise alkuarvotehtävä [value]\(\quad y(0)=[value],y'(0) = [value]\). a) Lähdetään tutkimaan vastaavaa homogeeniyhtälöä ja etsitään sen karakteristinen yhtälö. Kun homogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa \(ay'' + by' + cy = 0\), niin sen karaksteristinen yhtälö on muotoa \(a\lambda^2 + b\lambda +c = 0\). Täten saamme yhtälömme karakteristiseksi yhtälöksi \([value] = 0\). Kun karakteristinen yhtälö ratkaistaan, saadaan \(\lambda_{1} = [value]\) ja \(\lambda_{2} = [value]\). b) Kun tiedämme karakteristisen yhtälön ratkaisut, voidaan muodostaa homogeeni yhtälön ratkaisu kaavalla \(y_{h} = c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}\). Näin saadaan homogeeniyhtälön yleiseksi ratkaisuksi siis \(y_{h} = [value]\). c) Lähdetään etsimään yhtälölle yksittäisratkaisua \(y_{p}\). Koska yhtälössä funktio \(f(x) = [value]\), niin yritteeksi otetaan \([value]\). Huomataan, että eksponentissa oleva \(x\):n kerroin [value] ei ole kumpikaan karakteristisen yhtälön juurista \(\lambda_{1}\) tai \(\lambda_{2}\), täten siis yritteemme on hyvä. Lasketaan yritteen derivaatat. \(y_{p}' = [value],\quad y_{p}'' = [value]\) Sijoitetaan yritteet alkuperäiseen yhtälöön [value]. \(\begin{align*}[value] &= [value]\\ \Leftrightarrow a &= [value]\end{align*}\) Näin saadaan yksittäisratkaisuksi \(y_{p} = [value]e^{[value]}\). Siispä yhtälömme yleinen ratkaisu on \(y = y_{h} + y_{p} = [value]e^{[value]}\) Ratkaistaan vielä kertoimet \(c_{1}\) ja \(c_{2}\) annettujen alkuehtojen avulla. \(y' = [value]\) Alkuehtojen avulla saadaan yhtälöpari \(\left\{\begin{align*} y(0) &= [value]\\ y'(0) &= [value]\end{align*}\right.\) Näin saadaan vaikoiden arvoksi [value]. Sijoitetaan vakiot yleiseen ratkaisuun ja näin saadaan alkuarvotehtävän ratkaisuksi \(y=[value]\).