Title: IMA1 (viikko 3)

Q: Olkoon \(f\) sellainen funktio, että \[\qquad f(0) = [value], \quad f(1) = [value], \quad f(2) = [value], \quad f(3) = [value], \] ja olkoon \(g\) sellainen funktio, että \[\qquad g(0) = [value], \quad g(1) = [value], \quad g(2) = [value], \quad g(3) = [value]. \] Lisäksi määritellään yhdistetyt funktiot \[\qquad h = f \circ g \mbox{ ja } k = g \circ f. \]

Täytä oikeat vastaukset.
1) \(h([value]) =\)
2) \(k([value]) =\)
3) \(f^{-1}([value]) =\)
4) \(g([value])^{-1} =\)
5) Jos \(h(x) = [value]\), niin \(x = \)
6) \(h^{-1}([value]) =\)
Feedback: Mallivastaus: 1) Funktion \(h\) arvo \(h(x) = f(g(x))\), joten \[ h([value]) = f(g([value])) = f([value]) = [value]. \] 2) Funktion \(k\) arvo \(k(x) = g(f(x)) \), joten \[ k([value]) = g(f([value])) = g([value]) = [value]. \] 3) Merkintä \(f^{-1}\) tarkoittaa funktion \(f\) käänteisfunktiota, eli jos \(f(x) = [value]\), niin silloin \(x = [value] \), joten \(f^{-1}([value]) = [value]\). 4) Merkintä \(g([value])^{-1}\) tarkoittaa funktion arvon \(g([value])\) käänteislukua, joten \[ g([value])^{-1} = \frac{1}{g([value])} = [value]. \] 5) Jos \(h(x) = [value]\), niin funktion \(h\) määritelmän mukaan \[ [value] = h(x) = f(g(x)). \] Koska \(f([value]) = [value]\), niin täytyy olla \(g(x) = [value]\), ja siten \(x = [value]\). 6) Merkintä \(h^{-1}([value])\) tarkoittaa samaa, kuin mitä edellisessä kohdassa kysyttiin, joten \(h^{-1}([value]) = [value]\).
  Hint: Neljä vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kolme vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Kaksi vastauskertaa jäljellä.
  Hint: Yksi vastauskerta jäljellä.

Määrää kompleksiluvun \(z=\displaystyle{\frac{[value]}{[value]}}\)

moduli (eli itseisarvo) ja argumentti. Luvun \(x\) neliöjuuren voit syöttää muodossa sqrt(\(x\)) ja luvun \(\pi\) voit syöttää kirjottamalla pi. Imaginaariyksikkö on i.

\(|z|=\) ja \(\arg z=\)\(+n2\pi, \ n\in\mathbb{Z}\).
Feedback: Ratkaisu: Koska osamäärän itseisarvo on itseisarvojen osamäärä, \(|z|=\frac{|[value]|}{|[value]|}=\frac{\sqrt{([value])^2+([value])^2}}{\sqrt{([value])^2+([value])^2}}=\frac{[value]}{[value]}=[value]\). Koska kahden kompleksiluvun osamäärän argumentti on näiden lukujen argumenttien erotus, \(\arg z = \arg([value])-\arg([value])+n2\pi=[value]-[value]+n2\pi=[value]+n2\pi\).

Vastaa kysymyksiin. Muista käyttää tähteä kaikissa tuloissa. Syntaksivihje: Esimerkiksi luku \( 100 e^{-i \pi / 7} \) kirjoitetaan muodossa 100*exp(-i*pi/7).

(a) Ilmoita napakoordinaateissa kompleksiluvut \(z_1 = [value]-[value]i\) ja \(w_1=[value]-\sqrt3\,i\).

Vihje: Piirrä summittainen kuva siitä, missä neljänneksessä ja suurin piirtein missä kohtaa neljännestä luku sijaitsee. Laske moduli. Kirjoita sen laskettuasi kompleksiluku niin, että moduli on yhteisenä tekijänä. Tällöin toisen tekijän pitäisi siinä vaiheessa olla yksikköympyrällä sijaitseva piste. Sen jälkeen mieti tätä pistettä ilman etumerkkejä, jolloin se on muotoa \(\cos{\phi} +i\sin{\phi}\), jossa oleva kulma \(\phi\) löytyy muistikolmioiden avulla. Päättele kuvasi perusteella, missä kohtaa kuviota kulma \(\phi\) sijaitsee ja kuinka saat sen avulla pääteltyä positiiviselta \(x\)-akselista lähtevän kulman, jonka tarvitset vastaukseesi.

\(z_1\) | = |  |
\(w_1\) | = |  |

(b) Muunna kompleksiluvut \(\displaystyle z_2 = 2 e^{i [value]}\) ja \(\displaystyle w_2 = [value]e^{-i\frac{\pi}{2}}\) muotoon \(x+yi\) ja laske niiden summa.

\(z_2+w_2 = \)

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Käytä tässä tehtävässä kertomerkkiä imaginääriyksikköä kirjoittaessasi. Esimerkiksi luku \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

(a) \( \ z_1 \cdot z_2 = \)
\( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

(b) \( \ \dfrac{z_1}{z_2} = \)
\( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

(c) \( \ z_1^2 = \)
\( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Olkoon \( z_1 = [value] \) ja \( z_2 = [value] \). Laske seuraavat ja esitä vastaus muodossa \(a+bi\).

Muista käyttää kertomerkkinä tähteä ( * ) kaikissa tuloissa. Esimerkiksi luku \( 19 + 16i \) kirjoitetaan 19 + 16*i.

\( \textbf{(a)} \quad z_1 \cdot z_2 = \) , \( \quad z_2 \cdot z_1 = \)

\( \textbf{(b)} \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \) , \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \)

\( \textbf{(c)} \quad z_1^2 = \) , \( \quad z_2^2 = \)
Feedback: Mallivastaus: \( \begin{align} \textbf{(a)} \quad & z_1 \cdot z_2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2 \cdot z_1 = z_1 \cdot z_2 = [value]. \end{align} \) \( \textbf{(b)} \quad \)Kompleksilukujen jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla. Näin saadaan nimittäjään reaaliluku. \( \quad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value] \) \( \quad \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{z_2 z_1^*}{z_1 z_1^*} = \dfrac{([value])([value])}{([value])([value])} = \dfrac{[value]}{[value]} = \large [value]. \) \( \begin{align} \textbf{(c)} \quad & z_1^2 = ([value])([value]) = [value] \\ \\ & z_2^2 = ([value])([value]) = [value] \end{align} \)

Luvun \(z\) eräs neljäs juuri on \(w_0 = [value]\). Määritä luku \(z\) ja loput sen neljänsistä juurista. Kirjoita luku \(z\) ja juuret vastauslaatikoihin muodossa \(a+b[value]\) siinäkin tapauksessa, että laskisit juuret käyttäen apuna napakoordinaatteja. Anna jälkimmäiseen vastauslaatikkoon vastauksena muiden neljänsien juurten joukko aaltosulkeiden sisällä eli \(\{a_1 +b_1 [value], a_2 + b_2 [value], a_3 + b_3 [value]\}\).

Huom. Tehtävässä esiintyvän \(w_0\):n kulmaa ei tarvitse osata tentissä. Toisaalta tämän tehtävän ratkaistaksesi sinun ei välttämättä tarvitse missään vaiheessa kyseistä kulmaa selvittää. Selvitä sen sijaan kahden peräkkäisen (vastapäivään mentäessä) neljännen juuren välinen kulma, piirrä juuret ympyrälle ja mieti sen perusteella niiden koordinaatteja.

Luku \(z = \)

Luvun \(z\) muiden juurten muodostama joukko on
Feedback: Mallivastaus: Luku \(z = w_0^4 = [value] = (([value])^2)^2 = [value] = [value]\). Neljännet juuret sijaitsevat ympyrän kehällä \(\frac{\pi}{2}\):n välein. Seuraava saadaan edellisestä kertomalla termillä \(e^{[value]\frac{\pi}{2}} = [value]\). Siis juuret ovat \[ \qquad w_0, [value]w_0, [value]^2w_0, [value]^3w_0 \] eli \[ \qquad [value], [value], [value], [value]. \]