Title: Matlab IMP

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

f(x)=-exp(-x^2+2*x+2)*x^2

df2(x)=diff(f,x,2)

p=solve(df2,x)

fplot(f,[-2,4])

hold on

plot(p,f(p),'r*')

grid on


Tällä komentosarjalla etsitään funktion \( f(x)=-x^2e^{-x^2+2x+2} \) toisen derivaatan nollakohdat eli funktion kuvaajan käännepisteet. Siis ne pisteet, joissa kuvaajan kuperuuden suunta vaihtuu. Käännepisteistä muodostuva ratkaisuvektori \(\mathtt{p}\) näkyy komentoikkunassa (lue se sieltä). Lisäksi käännepisteet on piirretty kuvaajalle. Mikä seuraavista EI OLE funktion \(f\) käännepiste?
- \(x=-1\)
- \(x=1\)
- \(x=1-\sqrt{6}/2 \approx -0.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2+1 \approx 2.225\)
- \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)
A: \(x=\sqrt{6}/2-1 \approx 0.225\)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

clear all, close all

syms x

int(sqrt(1+x^3-x^5),x)



Matlab ei osaa laskea joidenkin funktioiden integraaleja, mm. funktion \( \sqrt{1+x^3-x^5} \). Minkä tuloksen Matlab palauttaa, kun ei osaa laskea?

Huom. Aja tämä komento nimenomaan komentoikkunassa. Kannattaa tosin katsoa myös, mitä Live Editorissa näkyy komentoa ajettaessa. Live Editor käynnistetään painamalla Home-välilehden painiketta New Live Script. Harmaa alue on komentojen kirjoitusta varten, ja komennot ajetaan Live Editor -välilehden Run-nappia painamalla.
- Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.
- Not computable.
- The command you entered has failed.
- NaN (= Not a Number)
- Kolme kysymysmerkkiä (???).
A: Suurin piirtein saman komennon, joka syötettiin laskettavaksi.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Olet nyt nähnyt käytettävän Matlab-komentoja. Toivottavasti tutustuit paitsi niiden tuottamiin tuloksiin, myös itse komentoihin. Voit myös hakea apua Matlabin help-sivuilta. Riippuen vähän siitä, minkä vuoden versio Matlabista on käytössäsi, tarpeeksi uusista versioista pitäisi oikeasta ylälaidasta löytyä laatikko "search documentation". Kirjoita siihen komennon nimi ja valitse esiin tulevasta listasta haluamasi vaihtoehto.

Joillakin komennoilla on useampi dokumentaatiosivu komennon erilaisille käsittelytavoille tai Matlabin erilaisissa lisäpaketeissa käytettäville versioille. Insinöörimatematiikan kursseilla tarvitset erityisesti Symbolic Math Toolboxiin liittyviä komentoja.

Tunnista kysymyksissä esiintyvät komennot. Mukana on myös muutama komento, joita ei näissä kysymyksissä etsitä. Ole tarkkana, jotkut komentojen nimet voivat olla hämääviä.
- Mikä on derivointikomento? | diff
- Millä komennolla piirretään kaksiulotteisia kuvaajia? | plot
- Mikä komento avaa uuden kuvaikkunan (ilman että kuvaan piirretään mitään)? | figure
- Millä komennolla tehdään sijoitus lausekkeessa olevan muuttujan paikalle? | subs
- Millä komennolla saa kuvan taustalle apuviivaristikon? | grid
Also offered: syms; hold; exp
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä seuraavat komennot Matlab-ohjelman komentoikkunaan ja tulkitse näkemäsi tulos. Komennot käsittelevät funktiota \(f\) jollain tavalla. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

clear all

syms x h

f=x^3+x^2+x+1

m=(subs(f,x,x+h)-f)/h;

vastaus=limit(m,h,0)



Kun yllä olevat komennot syötetään Matlabissa, mitä funktiolle \(f\) on tapahtunut siinä tulosteessa, jonka nimeksi on annettu "vastaus"?
- Funktiosta \(f\) on piirretty kuva.
- Funktiolle \(f\) on laskettu raja-arvo lähestyttäessä pistettä \(x=0\).
- Funktio \(f\) on derivoitu.
- Alkiolle \(0\) on etsitty alkukuva kuvauksessa \(f\).
- Funktiolle \(f\) on etsitty yksi tai useampi nollakohta.
A: Funktio \(f\) on derivoitu.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x h

f = exp(sin(x))

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(1)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')

grid on



Avautuvaan kuvaikkunaan on piirretty kaksi käyrää. Mikä seuraavista on käyrien leikkauspiste?
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (0,-1)
- (-1,0)
A: (0,1)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

X = -5:.06:5;

F = subs(f,x,X);

G = subs(g,x,X);

figure(2)

plot(X, F, 'b', X, G, 'r')



Nämä komennot tuottavat funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) ja sen derivaatan kuvaajat samaan kuvaan. Funktio \(f\) on piirretty sinisellä ja derivaatta \(g=f'\) punaisella. Ennen viimeisenä olevan piirtokomennon käyttöä muodostetaan vektori piirtopisteiden \(x\)-koordinaateista sekä vektorit funktion \(f\) ja sen derivaatan \(g=f'\) arvoista. Nyt \(x\)-koordinaatit on tarkoituksella valittu niin, että yksi kuvaajista ei piirry ihan niinkuin sen pitäisi. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?

Huomaa, että sinun tarvitsee tutustua myös derivaatan lausekkeeseen, jotta voisit varmuudella vastata tähän kysymykseen. Voit halutessasi kirjoittaa yllä olevien lisäksi komentoikkunaan komennon \(\mathtt{pretty(g)}\), jolloin näet lasketun derivaatan ehkä hiukan helpommin luettavassa muodossa.
- Toinen kuvaajista leikkaa itseään eli tekee silmukan.
- Funktion \(f\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
- Funktion \(f\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja ei ole jatkuva.
- Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.
A: Derivaatan \(g=f'\) ei pitäisi olla jatkuva, kun \(x=0\), mutta piirretty kuvaaja on jatkuva.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x
f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

Xf = -3:.01:3;

Xg = .01:.01:3;

F = subs(f,x,Xf);

G1 = subs(g,x,Xg);

G2 = subs(g,x,-Xg);

figure(3)

plot(Xf, F, 'b', Xg, G1, 'r', -Xg, G2, 'r')

grid on



Komennot piirtävät saman funktion \( f(x)=(x-1)^2 \sqrt[3]{x} \) (sinisellä) ja sen derivaatan \(g=f'\) (punaisella) kuin edellisessä kysymyksessä, mutta piirtopisteitä on tiheämmin ja vain välillä [-3,3]. Yksi kuvaajista ei ole vieläkään täysin sen näköinen, kuin sen pitäisi olla, mutta sen esitys on jo selvästi parempi.

Kaikki seuraavat väitteet esittelevät tilanteita, joiden perusteella tiedetään, että jokin funktio ei ole kaikkialla derivoituva. Valitse TASAN KAKSI vaihtoehtoa, jotka pätevät nyt käsiteltävän funktion tapauksessa.
- Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.
- Funktiolla \(f\) on origossa hyppäysepäjatkuvuus.
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( + \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) on origossa epäoleellinen raja-arvo \( - \infty \) (oikealta ja vasemmalta sama).
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.
A: Funktio \(f\) on jatkuva kaikkialla, mutta sen kuvaajalla on origossa kärki.; Derivaatalla \(g=f'\) ei ole origossa raja-arvoa eikä epäoleellista raja-arvoa, koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f = (x-1)^2*x^(1/3)

g = diff(f,x)

figure(4), fplot(f,[-3,3])

hold on, grid on

fplot(g,[-3,3])

hold off



Piirretään vielä kerran sama kuva kuin edellä, mutta toisella tavalla käytettävällä piirtokomennolla. Se muodostaa itse piirtopisteensä. Toinen ero on, että yhdellä komennolla voi piirtää vain yhden kuvaajan. Jos sinä tai julkisessa käytössä olevalla koneella mahdollisesti joku toinen opiskelija ei ole muuttanut oletuspiirtovärejä toisiksi, funktio \(f\) pitäisi olla piirrettynä sinisellä ja sen derivaatta \(g=f'\) punaisella. Taaskaan ei kuva piirry täysin oikein. Vain yksi seuraavista väitteistä on tosi. Mikä niistä?
- Funktion \(f\) ja derivaatan \(g=f'\) kuvaajat on piirretty täysin oikein välillä [-3,3].
- Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.
- Derivaatta \(g=f'\) ei ole määritelty välillä [-3,0), mutta se on piirretty siellä.
- Derivaatan \(g=f'\) nollakohdat .
- Derivaatalla \(g=f'\) ei ole nollakohtia.
A: Funktio \(f\) on määritelty välillä [-3,0), mutta sitä ei ole piirretty siellä.

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

int(sin(x)/x,x)

int(1/log(x),x)

int(exp(x)/x,x)



Kurssimonisteessa mainittaan, että mm. yksinkertaisen näköisillä funktioilla \( \displaystyle{\frac{\sin{x}}{x}}\), \( \displaystyle{\frac{1}{\ln{x}}}\) ja \( \displaystyle{\frac{e^{x}}{x}}\) ei ole esitystä äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Kuitenkin kyseisiä integraaleja tarvitaan tietyissä tilanteissa, josta syystä Matlabissa on niille erilliset nimet. Valitse alla jokaiselle kolmelle oikea tulos.

\( \displaystyle{\int \frac{\sin{x}}{x} dx} =\)[...]

\( \displaystyle{\int \frac{1}{\ln{x}} dx} =\)[...]

\( \quad \displaystyle{\int \frac{e^{x}}{x} dx}= \)[...]
A: sinint(x); logint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\)
Gap 1 offers: sinint(x); si(x); sineint(x); sint(x)
Gap 2 offers: lnint(x)\(\:\); li(x)\(\,\); logint(x)\(\,\); lint(x)
Gap 3 offers: exint(x)\(\,\); ei(x)\(\,\); expint(x)\(\:\); eint(x)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot. On suositeltavaa, että käytät tietokoneesi copy ja paste -toimintoja. Jos kirjoitat komennot itse, tarkasta huolellisesti, että kaikki merkit ovat samoja kuin alla.

syms x h

f = exp(sin(x))

m = (subs(f,x,x+h)-f)/h

g = limit(m,h,0)

X = -5:.06:5;

G = subs(g,x,X);

figure(1), plot(X, G)

grid on



Komennot piirtävät erään funktion \(g\) kuvaajan. Alle on listattuna viisi pistettä, joiden väitetään olevan funktion kriittisiä pisteitä. Kaikki niistä eivät ole kriittisiä, mutta yksi tai useampi kuitenkin on. Mikä on funktion \(g\) lähinnä pistettä \( x=0 \) oleva kriittinen piste? Sinun kannattaa ensin tunnistaa, mitkä pisteet ovat oikeasti niitä, mitä väitetään ja valita niistä lähin pisteelle \(x=0\). Satulapisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, joka on kriittinen, mutta ei ole lokaali ääriarvopiste.

Vihje: (Pitäisi toimia myös Matlab Onlinessa.) Voit suurentaa kuvaikkunan. Kun laitat hiiren osoittimen kuvaajan päälle, parin sekunnin päästä esiin ponnahtaa pieni ruutu, joka kertoo, mitkä ovat osoittimen alla olevan pisteen koordinaatit.
- Maksimipiste \( x=0 \)
- Minimipiste \( x=e^{-1} \approx 0,37\)
- Maksimipiste \( x= \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} \approx 0,62 \)
- Minimipiste \( x=-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx -0,87\)
- Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)
A: Satulapiste \( x=-\displaystyle{\frac{\pi}{2}} \approx -1,57 \)

Q: Matlab-kysymys

Toisin kuin muissa verkkotehtävissä, tähän kysymykseen voi vastata vain kerran, joten yritä vastata tarkasti. Et voi myöskään selailla tehtäviä etukäteen, koska seuraavalle sivulle siirtyminen tulkitaan tyhjäksi vastaukseksi.

Syötä Matlabin komentoikkunassa seuraavat komennot.

syms x

f=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2

int(f,x)

int(f,x,0,5)

integral(f,0,5)



Komento \(\mathtt{int}\) on Symbolic Math Toolboxiin liittyvä symbolisen integroinnin komento. Komento \(\mathtt{integral}\) on Matlabin peruskomento numeeriseen laskentaan eli määrätyn integraalin arvon approksimointiin. Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\ln(x)^2\) integraalifunktiota Matlab ei osaa laskea. Lasketaan välillä \(\left(0,5\right)\) numeerinen approksimaatio.

Komento \(\mathtt{integral}\) tarvitsee toimiakseen funktion syöttämisen ns. funktiokahvan avulla eli muodossa \(\mathtt{f=@(x)...}\). Myös \(\mathtt{int}\) hyväksyy tämän syötteen. Funktiokahvassa on laskutoimitusten *, / ja ^ edessä piste, joka kertoo, että matriiseihin liittyvät laskut hoidetaan alkioittain eikä koko matriisi kerralla. Komento \(\mathtt{integral}\) muodostaa käytön aikana approksimaatiopisteiden vektorin, joka syötetään sisälle funktioon, ja vektorit Matlab käsittelee matriiseina, joten jos funktiokahva ei sisältäisi pisteitä, saataisiin virheilmoitus. Matriisilaskutoimituksista tarkemmin kurssilla Vektorit ja matriisit.

Mikä seuraavista on Matlabin antama approksimaatio?
- \(1.9475\)
- \(1.4723\)
- \(2.3151\)
- \(0.3289\)
- \(0.6824\)
A: \(1.9475\) / \(1.4723\)