Title: Todistaminen

Q: Mitkä seuraavista elementeistä liittyvät mihinkin todistustyyppiin? Vedä tekstit oikeisiin laatikoihin. Osa teksteistä esiintyy useamman kerran.
- Zone 1 | "jos, niin"
- Zone 2 | "jos ja vain jos"
- Zone 3 | alkuaskel
- Zone 4 | induktioaskel
- Zone 5 | "kaikilla luonnollisilla luvuilla"
- Zone 6 | oletus
- Zone 7 | johtopäätös
- Zone 8 | oletus
- Zone 9 | johtopäätös
- Zone 10 | kaksi implikaatiota
- Zone 11 | oletus
- Zone 12 | johtopäätös
If right: Vastauksesi on oikein.
If partly right: Vastauksesi on osittain oikein.
If wrong: Vastauksesi on väärin.
Feedback: [Image]

Q: Palauta mieleen, mitä eri todistustekniikoita kurssilla on käyty läpi. Mikä on oikea (tai paras) tapa todistaa seuraavat väitteet?

a) \(\sum \limits_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1} - 1\) kaikilla \(n \in \mathbb{N}\).

[...]

b) Jos \(n\) on parillinen kokonaisluku, niin \(n^2\) on parillinen.

[...]

c) Jos \(n^2\) on pariton, niin \(n\) on pariton.

[...]

d) \(\sqrt{2}\) on irrationaaliluku.

[...]

e) Kokonaisluku \(x\) on parillinen, jos ja vain jos \(x+1\) on pariton.

[...]

f) Juhlista löytyy aina kaksi ihmistä, jotka ovat kätelleet täsmälleen yhtä montaa ihmistä (itseään ei voi kätellä).

[...]

g) \(n\):nnes kolmioluku on \(\frac{n(n+1)}{2}\) (alla on kuva kolmesta ensimmäisestä kolmioluvusta).

[...]

[Image]
A: Induktiotodistus; Implikaatiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus; Ekvivalenssitodistus; Ristiriitatodistus; Induktiotodistus
Gap 1 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 2 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 3 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 4 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 5 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 6 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Gap 7 offers: Implikaatiotodistus; Ekvivalenssitodistus; Induktiotodistus; Kontrapositiotodistus; Ristiriitatodistus
Feedback: a) Induktiotodistus b) Implikaatiotodistus c) Kontrapositiotodistus d) Ristiriitatodistus e) Ekvivalenssitodistus f) Ristiriitatodistus g) Induktiotodistus