Title: Integraalilaskenta 1

Lasketaan funktion

\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} [value], & \text{kun } x < 0 \\ [value], & \text{kun } x \geq 0 \end{cases}\)

integraali \(\displaystyle \int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x.\)

Tämän paloittain määritellyn funktion integraali voidaan laskea palojen integraalien avulla siten, että

\(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x = I_1\) \(I_2,\) missä

\(\displaystyle I_1 = \int_{-2}^a\) \(\,\mathrm{d}x\),

\(\displaystyle I_2 = \int_a^{2}\) \(\,\mathrm{d}x\)

ja

\(a =\) .

Integraali \(I_1\) voidaan laskea avulla, jolloin siihen liittyvät integraalifunktiot ovat muotoa

\({} + C\).

Niinpä integraalin \(I_1\) tarkka arvo on

\(I_1 =\) .

Integraali \(I_2\) voidaan puolestaan laskea avulla. Sitä varten merkitään integroitavasta funktiosta

\(= u(x)v'(x)\), missä \(u(x) =\) ja \(v'(x) =\) .

Niinpä \(u'(x) =\) ja \(v(x) =\) , joten integraaliin \(I_2\) liittyvät integraalifunktiot ovat muotoa

\(\displaystyle {} - \int\) \(\,\mathrm{d}x =\) \({} + C.\)

Nyt voidaan siis todeta, että integraalin \(I_2\) tarkka arvo on

\(I_2 = \bigg/_{\!\!\! a}^{\,2}\) \(=\) .

Niinpä \(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x =\) .

Lasketaan funktion

\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} [value], & \text{kun } x < 0 \\ [value], & \text{kun } x \geq 0 \end{cases}\)

integraali \(\displaystyle \int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x.\)

Tämän paloittain määritellyn funktion integraali voidaan laskea palojen integraalien avulla siten, että

\(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x = I_1\) \(I_2,\) missä

\(\displaystyle I_1 = \int_{-2}^a\) \(\,\mathrm{d}x\),

\(\displaystyle I_2 = \int_a^{2}\) \(\,\mathrm{d}x\)

ja

\(a =\) .

Integraali \(I_1\) voidaan laskea avulla, jolloin siihen liittyvät integraalifunktiot ovat muotoa

\({} + C\).

Niinpä integraalin \(I_1\) tarkka arvo on

\(I_1 =\) .

Integraali \(I_2\) voidaan puolestaan laskea avulla. Sitä varten merkitään integroitavasta funktiosta

\(\displaystyle = \frac{A}{x + [value]} + \frac{B}{x + [value]} = \frac{p(x)}{(x + [value])(x + [value])}\),

missä \(p(x) =\) on ensimmäisen asteen polynomi.

Jotta tämä yhtälö toteutuisi kaikilla muuttujan \(x\) mahdollisilla arvoilla, on oltava

\(= 0\)

\(= 1\)

Tämän yhtälöparin ratkaisuna saadaan \(A =\) ja \(B =\) . Nyt voidaan siis todeta, että integraalin \(I_2\) tarkka arvo on

\(\displaystyle I_2 = \int_{a}^{2}\) \(\displaystyle\,\mathrm{d}x + \int_{a}^{2}\) \(\,\mathrm{d}x\)

\(= \bigg/_{\!\!\! a}^{\,2}\) \({} + \bigg/_{\!\!\! a}^{\,2}\) \(=\) .

Niinpä \(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x =\) .