Title: Numeerinen integrointi ja geometrisia sovellutuksia

Calculate an estimate \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) for the integral \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] using Simpson's rule, when the interval is divided into four sections. Calculate an error estimate by applying the formula \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] where \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).Laske likiarvo \(S_n=S_n(f,a,b)\approx \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x\) integraalille \[ \int_[value]^[value] \left( [value] \right)\, \mathrm{d}x \] Simpsonin säännöllä, kun integroimisväli jaetaan neljään osaan. Laske virhearvio käyttämällä kaavaa \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}, \] missä \( C_4=\max_{t\in [a,b]} \left| f^{(4)}(t) \right|\).

EstimateLikiarvo \( S_[value]=~\) |
Estimate for errorVirhearvio \(C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=~\) |
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The goal of the exercise is to calculate an estimate for the integral of the function \(f(x)=[value]\) using Simpson's rule. The boundaries for the integral are \(a=[value]\) and \(b=[value]\) and the interval is divided into \(n=[value]\) parts of equal length, i.e. each subinterval has a length of \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). In the following table you can see the evaluated function values at the endpoints of each subinterval.Tehtävänä on laskea funktion \(f(x)=[value]\) integraalille likiarvo Simpsonin säännöllä. Integrointirajat ovat \(a=[value]\) ja \(b=[value]\) ja integrointiväli jaetaan neljään saman pituiseen osaan eli \(n=[value]\), joten yhden osavälin pituus on \(h=\frac{b-a}{n}=[value]\). Seuraavaan taulukkoon on laskettu funktion arvot osavälien reunoilla. \(\begin{array}{rlllll} & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x: & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \\ f(x): & [value] & [value] & [value] & [value] & [value] \end{array}\) According to Simpson's rule, the estimate isSimpsonin säännön mukaan likiarvo on \begin{align*} S_4 & = \frac{h}{3} \left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+f(x_4)\right) \\ & = \frac{[value]}{3} \left( [value]+4\cdot [value]+2\cdot [value]+4\cdot [value]+[value] \right)\\ & \approx [value]. \end{align*} Estimate for the error isVirhearvio on \[\bigg| S_n-\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \bigg| \leq C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4},\] wheremissä \[C_4=\max_{x\in[0,b]} |f^{(4)}(x)|\] \begin{align*} f'(x) & = [value] \\ f''(x) & = [value] \\ f^{(3)}(x) & = [value] \\ f^{(4)}(x) & = [value]. \end{align*} ThusSiis \[C_4=\max_{x\in [[value],[value]]} |[value]| = 0\] and the estimate for the error isja virhearvio on \[C_4 \frac{(b-a)^5}{180n^4}=0\cdot \frac{([value]-[value])^5}{180\cdot 4^4} =0.\] N.B. The fourth derivative of a third degree polynomial is always zero, so Simpson's rule provides a precise result for all third degree polynomials.Huom! Kolmannen asteen polynomin neljäs derivaatta on aina 0, joten Simpsonin sääntö on tarkka kolmannen asteen polynomeille.

Määrää käyrien \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) ja \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\) kaikkien leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit. Määrää edelleen käyrien rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala integroimalla.

Find the \(x\)-coordinates of all intersection points for the curves \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) and \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\). Moreover, find by integration the finite area enclosed by the curves.

Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat pienimmästä suurimpaan

The \(x\)-coordinates of the intersection points are from the smallest value to the largest value

,,.

Pinta-ala on

The area is

.
Feedback: Malliratkaisu: Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatti: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ tai }\; x&=0\;\textrm{ tai }\; x=[value]. \end{align*} \] Koska \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\), kun \(-[value]\le x\le 0\), ja \(f(x)-g(x) \le 0\), kun \(0\lt x\le [value]\), niin \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Kuva: Model solution: The \(x\)-coordinates of the intersection point: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ or }\; x&=0\;\textrm{ or }\; x=[value]. \end{align*} \] Because \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\) when \(-[value]\le x\le 0\), and \(f(x)-g(x) \le 0\) when \(0\lt x\le [value]\), it follows \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Määritä integroimalla käyrän \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) ja suoran \(y=[value]\) rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala. Käyrän ja suoran leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Anna vastauksesi tarkkana arvona.

Find by integration the finite area enclosed by the curve \(y=f(x)=[value]x^3-[value]x\) and the line \(y=[value]\). The \(x\)-coordinates of the intersection points for the curve and the line are \(-2\), \(-1\) ja \(3\). Give your answer as exact value.

Pinta-ala on The area is .
Feedback: Malliratkaisu: Koska \([value]x^3-[value]x\ge[value]\), kun \(-2\le x\le -1\), ja \([value]x^3-[value]x \le [value]\), kun \( -1 < x \le 3 \), niin \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Kuva: [value] Model solution: Because \([value]x^3-[value]x\ge[value]\) when \(-2\le x\le -1\), and \([value]x^3-[value]x \le [value]\) when \( -1 < x \le 3 \), it follows \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-2}^{3}\left|[value]x^3-[value]x-[value]\right|\,dx =\int\limits_{-2}^{-1}([value]x^3-[value]x-[value])\,dx+\int\limits_{-1}^{3}([value]-[value]x^3+[value]x)\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-2}^{\,-1}([value])+{\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,3}([value])\\ &=[value]-[value]+[value] -([value])=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Find the arc length of the curve

Määritä käyrän

\[ y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \]

on the interval \([value]\leq x\leq [value]\). Give an exact answer!

pituus välillä \([value]\leq x\leq [value]\). Anna vastaus tarkkana arvona!

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The length \(S\) of the arc \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) is given byKäyrän \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) pituus \(S\) saadaan laskettua kaavalla \[S= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \] The integral is taken from \([value]\) to \([value]\).Rajat ovat \([value]\) ja \([value]\), ja \[f'(x)=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x^{-2}. \] \begin{eqnarray*} S & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^2-x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^4-2x^0+x^{-4})} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{x^4+2+x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{(x^2+x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} (x^2+x^{-2}) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \bigg|_{[value]}^{[value]} \frac{1}{3} x^3-x^{-1} \\ & = & \frac{1}{2}((\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})-(\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})) \\ & = & \frac{1}{2}([value]-[value]) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

The graphs of the functions \(f,g\), together with the \(x\)-axis and vertical lines \(x=c\) define sets in the plane. Determine the areas of these sets, whenFunktioiden \(f,g\) kuvaajat rajaavat yhdessä \(x\)-akselin ja pystysuorien \(x=c\) kanssa tasojoukkoja. Määritä niiden pinta-alat, kun

(a) \[f(x)=1/x^{[value]},~~~0 < x \leq 1 \] (b) \[g(x)=1/x^{[value]}, \ \ \ x\geq 1. \]

Give your answers in exact form. For \(\infty\), type \({\tt inf}\).Anna vastaukset tarkkoina arvoina. \(\infty\) merkitään \({\tt inf}\).

AnswerVastaus (a):

AnswerVastaus (b):
Feedback: Model solution: Mallivastaus: (a) \[\begin{align*} A =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{x^[value]} \, dx \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} x^{[value]} \, dx \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} -\frac{x^{[value]}}{[value]} \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg/_{\!\!\!\varepsilon}^{\,1} [value] \\ \\ =&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \left( -\frac{1}[value]+\underbrace{\frac{1}{[value] \varepsilon}}_{\infty} \right) \\ \\ \\ =&\underline{\underline{\infty}} \\ \end{align*}\] (b) \[\begin{align*} A =&\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{[value]}} \\ \\ =&\bigg/_{\!\!\!1}^{\,\infty} [value] \\ \\ \\ =&-\underbrace{\frac{1}{\infty}}_{0}+\frac{1}{[value]} \\ =&\underline{\underline{[value]}}. \\ \end{align*}\]

Määritä käyrän \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\), \(x\)-akselin sekä suorien \(x=-1\) ja \([value]\) rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala.

Anna vastauksesi tarkkana arvona. Luonnollinen logaritmi a:sta merkitään ln(a), esim. ln(2).

Calculate the finite area restricted by the curve \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\), \(x\) -axis and the lines \(x=-1\), \([value]\).

Give your answer as exact value.The natural logarithm of a is written as ln(a), e.g. ln(3).

Pinta-ala onThe area is .
Feedback: Malliratkaisu: Koska \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\le0\), kun \(-1\le x\le 0\), ja \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}>0\), kun \( 0 < x \le [value] \), niin The model solution: Because \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\le0\) when \(-1\le x\le 0\), and \(y=f(x)=\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}>0\) when \( 0 < x \le [value] \), it follows that \[ \begin{align*} A&=\int\limits_{-1}^{[value]}\left|\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\right|\,dx =\int\limits_{-1}^{0}(-\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1})\,dx+\int\limits_{0}^{[value]}\frac{[value]x^[value]}{x^[value]+1}\,dx\\ &={\Bigl/}_{\!\!-1}^{\,0}(-[value])+{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}[value]\\ &=-\ln(1)+\ln(2)+\ln([value])-\ln(1)=\ln([value]). \end{align*} \] Kuva: Illustration: [value]

The curve \(y=[value]\), where \(0\leq x \leq [value]\) revolves around the \(x\)-axis. Determine the volume of this solid. Käyrä \(y=[value]\), missä \(0\leq x \leq [value]\), pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Määritä näin saadun kappaleen tilavuus.

The symbol \(\pi\) is written as \({\tt pi}\).Symboli \(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \(y={[value]}\). Method 1Tapa 1 \begin{eqnarray*} V & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} (\sin(x))^2 \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\pi \int_{0}^{[value]} \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \, \textrm{d}x \\ & = & [value]\cdot \frac{1}{2}\pi ([value]-0)-[value]\cdot \frac{1}{4}\pi (\sin([value])-\sin(0)) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} Method 2Tapa 2 Applying integration by parts (\(\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x= |_{a}^{b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\))Osittaisintegroinnilla (\(\int_a^{b} u(x)v'(x) \, \textrm{d}x= |_{a}^{b} u(x)v(x)-\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \textrm{d}x\)) \(u(x)=\sin(x) \ \ \ u'(x)=\cos(x)\) \(v'(x)=\sin(x) \ \ \ v(x)=-\cos(x)\). \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} \sin(x) \sin(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x))\sin(x)-\int_{0}^{[value]} (-\cos(x))\cos(x) \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \bigg|_{0}^{[value]} (-\cos(x)) \sin(x)+\int_{0}^{[value]} (1-\sin^2(x)) \, \textrm{d}x \\ 2 \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & -\bigg|_{0}^{[value]} \cos(x)\sin(x)+\int_{0}^{[value]} 1 \, \textrm{d}x \\ \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & \frac{1}{2}([value]+[value])=[value] \\ \Rightarrow [value]\pi \int_{0}^{[value]} \sin^2(x) \, \textrm{d}x & = & [value]. \end{eqnarray*}

The arc of the parabola \(y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]\) revolves around the \(y\)-axis. Find the volume of this parabolic cup. Hint: Integrate the cross section of the cup in the form \[V= \int_{0}^{[value]} A(y) \, \textrm{d}y. \] Give your answer in exact form. The symbol \(\pi\) is written as \({\tt pi}\). Paraabelin kaari \(y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]\) pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske näin saadun paraboloidisen maljan tilavuus. Vihje: Integroi maljan poikkileikkauksen pinta-alaa muodossa \[V= \int_{0}^{[value]} A(y) \, \textrm{d}y. \] Anna vastaus tarkkana arvona. Symbolia \(\pi\) merkitään \({\tt pi}\).

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: \[y=[value]x^2, \ \ \ 0 \leq x \leq [value]. \] \begin{eqnarray*} x^2 & = & \frac{1}{[value]} y \ \ \Arrowvert \sqrt{} \\ x & = & \sqrt{\frac{1}{[value]}y} \ \ \ \text{inverse functionkäänteisfunktio} \end{eqnarray*} WhenKun \(x=0, \ \ \ y=0,\) Whenja kun \(x=[value], \ \ \ y=[value]\). \begin{eqnarray*} A & = & \int_{0}^{[value]} \pi \frac{1}{[value]} y \, \textrm{d}y \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \bigg|_{0}^{[value]} \frac{y^2}{2} \\ & = & \pi \frac{1}{[value]} \left( \frac{[value]^2}{2}-\frac{0^2}{2} \right) \\ & = & \pi \cdot \frac{1}{[value]}\cdot [value] \\ & = & [value] \end{eqnarray*}

Find an estimate for the integralLaske likiarvo integraalille

\[\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \mathrm{d}x \]

by applying the trapezoid rule. Divide the interval into [value] parts. Give your answer in exact form! käyttämällä puolisuunnikassääntöä (engl. trapezoid rule). Jaa integroimisväli [value] osaan. Anna likiarvo tarkkana arvona!

\(\displaystyle\int_{0}^{[value]} ([value]+x^{[value]}) \, \textrm{d}x \approx~\)
Feedback: Model solution: Mallivastaus: Trapezoid rule: Puolisuunnikassääntö: \[\int_{a}^{b} f(x) \, \textrm{d}x\approx \frac{b-a}{n}(f(x_0)/2+f(x_1)+f(x_2)+\ldots +f(x_{n-1})+f(x_n)/2), \] where \(n\) is the number of subintervals, \(x_0=a\) and \(x_n=b\). Nowmissä \(n\) on välien lukumäärä, \(x_0=a\) ja \(x_n=b\). Nyt \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]}\cdot \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value]\left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+\frac{f(4)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]0+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \int_{0}^{[value]} ([value]+[value]x^{[value]}) \, \textrm{d}x & \approx & \frac{[value]}{[value]} \left( \frac{f(0)}{2}+f(1/2)+f(1)+f(3/2)+f(2)+f(5/2)+f(3)+f(7/2)+f(4)+f(9/2)+\frac{f(5)}{2} \right) \\ & = & [value] \left( \frac{[value]}{2}+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+[value]+\frac{[value]}{2} \right) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Käyrä \[ y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}, 0\le x\le1, \] pyörähtää \(x\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}, 0\le x\le1, \] rotates around the \(x\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(x\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(x\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(x\) is .

\(\textrm{b) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{b) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \] Model solution: The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}x &= \pi\int\limits_{0}^{1}\frac{[value]x+[value]}{[value]x^2+[value]x+[value]}\,\mathrm{d}x =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,1}\ln\left|[value]x^2+[value]x+[value]\right|\\ &=\pi\ln([value])-\pi\ln([value])=\pi\ln([value]). \end{align*} \]

Käyrä \[ y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value], \] pyörähtää \(y\)-akselin ympäri.

\(\textrm{a) }\) Kirjoita muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio pyörähdyskappaleen tilavuuden laskemiseksi. \(\pi\) merkitään pi.

\(\textrm{b) }\) Mikä on muuttujan \(y\) yläraja kappaleen tilavuuden laskemisessa?

\(\textrm{c) }\) Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

The curve \[ y=f(x)=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value], \] rotates around the \(y\)-axis.

\(\textrm{a) }\) Write the expression of the function depending on the variable \(y\) for calculating the volume of the solid by integration. \(\pi\) is written as pi.

\(\textrm{b) }\) What is the upper limit of the variable \(y\) for calculating the volume of the solid?

\(\textrm{c) }\) What is the volume of the solid?

\(\textrm{a) }\) Muuttujasta \(y\) riippuva integroitava funktio on \(\textrm{a) }\) The function for integration depending on the variable \(y\) is .

\(\textrm{b) }\) Muuttujan \(y\) yläraja on \(\textrm{b) }\) The upper limit of the variable \(y\) is .

\(\textrm{c) }\) Pyörähdyskappaleen tilavuus on \(\textrm{c) }\) The volume of the solid is .
Feedback: Malliratkaisu: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} Pyörähdyskappaleen tilavuus: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \] Model solution: \begin{align*} y=f(x)&=\frac{1}{[value]}x^{[value]}, 0\le x\le[value]\\ x=f^{-1}(y)&=[value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}},0\le y\le [value] \end{align*} The volume of the solid generated by rotating the curve: \[ \begin{align*} \pi\int\limits_{0}^{[value]} \left([value]^{\tfrac1{[value]}}y^{\tfrac1{[value]}}\right)^2\,\mathrm{d}y &= \pi\int\limits_{0}^{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac2{[value]}}\,\mathrm{d}y =\pi{\Bigl/}_{\!\!0}^{\,[value]}\frac{[value]}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}y^{\tfrac{[value]}{[value]}}\\ &=\frac{[value]\pi}{[value]}[value]^{\tfrac2{[value]}}([value]^{[value]})^{\tfrac{[value]}{[value]}} =\frac{[value]\pi [value]^{[value]}}{[value]}=[value]. \end{align*} \]

Find the arc length of the curve

Määritä käyrän

\[\displaystyle y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \]

on the interval \([value]\leq x\leq [value]\). Give an exact answer!

pituus välillä \([value]\leq x\leq [value]\). Anna vastaus tarkkana arvona!

Answer: Vastaus:
Feedback: Model solution: Mallivastaus: The length \(S\) of the arc \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) is given byKäyrän \( y=f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x} \) pituus \(S\) saadaan laskettua kaavalla \[S= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \] The integral is taken from \([value]\) to \([value]\).Rajat ovat \([value]\) ja \([value]\), ja \[f'(x)=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2} x^{-2}. \] \begin{eqnarray*} S & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^2-x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}(x^4-2x^0+x^{-4})} \, \textrm{d}x \\ & = & \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{x^4+2+x^{-4}} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} \sqrt{(x^2+x^{-2})^2} \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \int_{[value]}^{[value]} (x^2+x^{-2}) \, \textrm{d}x \\ & = & \frac{1}{2} \bigg|_{[value]}^{[value]} \frac{1}{3} x^3-x^{-1} \\ & = & \frac{1}{2}((\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})-(\frac{[value]}{3}-\frac{1}{[value]})) \\ & = & \frac{1}{2}([value]-[value]) \\ & = & [value]. \end{eqnarray*}

Vapaaehtoinen (ei pisteitä): Määrää käyrien \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) ja \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\) kaikkien leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit. Määrää edelleen käyrien rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala integroimalla.

Find the \(x\)-coordinates of all intersection points for the curves \(y=f(x)=[value]x^3+[value]x^2-[value]x\) and \(y=g(x)=[value]x^3+[value]x^2+[value]x\). Moreover, find by integration the finite area enclosed by the curves.

Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatit ovat pienimmästä suurimpaan

The \(x\)-coordinates of the intersection points are from the smallest value to the largest value

,,.

Pinta-ala on

The area is

.
Feedback: Malliratkaisu: Leikkauspisteiden \(x\)-koordinaatti: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ tai }\; x&=0\;\textrm{ tai }\; x=[value]. \end{align*} \] Koska \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\), kun \(-[value]\le x\le 0\), ja \(f(x)-g(x) \le 0\), kun \(0\lt x\le [value]\), niin \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Kuva: Model solution: The \(x\)-coordinates of the intersection point: \[ \begin{align*} [value]x^3+[value]x^2-[value]x &= [value]x^3+[value]x^2+[value]x\\ 4x(x^2+[value]x-[value]) &= 0 \\ x=-[value] \;\textrm{ or }\; x&=0\;\textrm{ or }\; x=[value]. \end{align*} \] Because \(f(x)-g(x)=4x^3+[value]x^2-[value]x\ge0\) when \(-[value]\le x\le 0\), and \(f(x)-g(x) \le 0\) when \(0\lt x\le [value]\), it follows \[ \begin{align*} \int\limits_{-[value]}^{[value]}\left|4x^3+[value]x^2-[value]x\right|\,\mathrm{d}x&= \int\limits_{-[value]}^{0}(4x^3+[value]x^2-[value]x)\,\mathrm{d}x +\int\limits_{0}^{[value]}(-4x^3-[value]x^2+[value]x)\,\mathrm{d}x\\ &={\Bigl/}_{\!\![value]}^{0\,}(x^4+[value]x^3-[value]x^2)+{\Bigl/}_{\!\!0}^{[value]\,}(-x^4-[value]x^3+[value]x^2)\\ &=-([value])^4+[value]\cdot[value]^3+[value]([value])^2-[value]^4-[value]\cdot[value]^3+[value]\cdot[value]^2\\ &=[value]. \end{align*} \] Figure: [value]

Q: Laske käyrien \(y = [value]\) ja \(y = [value]\) rajoittaman alueen pinta-ala.

\(A = \)
Feedback: Mallivastaus: Ratkaistaan aluksi käyrien \(y = [value] \) ja \(y = [value] \) leikkauskohdat. Ratkaistaan \( [value] = [value] \quad \Leftrightarrow \quad [value] = 0 \), mistä saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla leikkauskohdat \(x = [value] \) ja \(x = [value] \). Koska suora \( y = [value] \) kulkee leikkauskohtien välissä paraabelin \(y = [value] \) yläpuolella, käyrien rajaaman alueen pinta-ala saadaan integroimalla \( \displaystyle [value] = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] = [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Käyrä \(y = [value], \quad [value] \leq x \leq [value] \) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Laske syntyneen kappaleen pinta-ala.

\(A = \)
Feedback: Mallivastaus: Muotoa \(y = f(x), \quad a \leq x \leq b\) olevan käyrän muodostaman pyörähdyskappaleen pinta-ala saadaan laskettua kaavalla \(A = \displaystyle 2 \pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x \). Koska annettu käyrä on \( y = [value], \quad [value] \leq x \leq [value] \), niin \(f(x) = [value]\), \( \displaystyle f'(x) = [value] \), ja siten pinta-alaksi saadaan \(\displaystyle A = [value] = [value] = {\bigg/_{\mspace{-15mu}[value]}^{\,[value]}} [value] = [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: Tarkastellaan funktiota \(f(x) = [value]\).

(a) Laske käyrän \(y = f(x) \) ja \(x\)-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \).
\(A_1 = \)

(b) Täydennä lauseke, jolla saa laskettua käyrän \(y = f(x) \) kaaren pituuden välillä \(x \in [[value], [value]] \).
\(s = \displaystyle \int\limits_a^b \) \(\mathrm{d}x\), missä
\(a = \) ja \(b = \) .

(c) Täydennä lauseke syntyvän kappaleen pinta-alalle, kun käyrä \( y = f(x) \) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \(x \in [[value], [value]] \).
\( A_2 = \displaystyle \int\limits_c^d \) \(\mathrm{d}x\), missä
\(c = \) ja \(d = \) .
Feedback: Mallivastaus: (a) Käyrän \(y = f(x) \) ja \(x\)-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \) saadaan integroimalla \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] f(x) - 0 \, \mathrm{d}x = [value] = [value] \). (b) Käyrän \(y = f(x) \) kaaren pituus välillä \(x \in [[value], [value]] \) saadaan integroimalla \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x = [value] \). (c) Kappaleen, joka syntyy käyrän \(y = f(x) \) pyörähtäessä \(x\)-akselin ympäri välillä \(x \in [[value], [value]] \), pinta-ala saadaan integroimalla \( \displaystyle \int\limits_[value]^[value] \pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x = [value] \).
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.

Q: (a) Laske sinikäyrän ja \(x\)-akselin rajaama pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \) \(A_1 = \)

(b) Laske kosinikäyrän ja \(x\)-akselin rajaama pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \) \(A_2 = \)

(c) Laske sinikäyrän ja kosinikäyrän väliin jäävä pinta-ala, kun \(x \in [[value], [value]] \) \(A_3 = \)
Feedback: Mallivastaus: (a) Sinikäykäyrän ja \(x\)-akselin rajaama pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \) saadaan integroimalla \( \displaystyle [value] = \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x + \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = 2 + 2 = [value] \). (b) Kosinikäykäyrän ja \(x\)-akselin rajaama pinta-ala välillä \(x \in [[value], [value]] \) saadaan integroimalla \( \displaystyle [value] = \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x + \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x + \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x = 1 + 2 + 1 = [value] \). (c) Sinikäykäyrän ja kosinikäykäyrän välinen pinta-ala, kun \(x \in [[value], [value]] \), saadaan integroimalla \( \displaystyle [value]. \) Koska sini- ja kosinikäyrät leikkaavat kohdissa \(x = [value] \) ja \(x = [value] \), integraali jakautuu osiin: \( \begin{split} & \displaystyle [value] \\ = & \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x + \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x + \int\limits_[value]^[value] [value] \, \mathrm{d}x \\ = & \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \\ = & 4\sqrt{2}. \end{split} \)
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.
  Hint: Ei mennyt ihan oikein. Yritä uudelleen.
  Hint: Nyt tuli jokin moka. Kokeile uudelleen.