Title: Todennäköisyys

Laitteessa on kaksi samanlaista, toisistaan riippumatonta komponenttia \(A\) ja \(B\). Jos  \(A\) ja \(B\) ovat viallisia, laite ei toimi. Muulloin laite toimii normaalisti. On todettu, että [value] %  uusista laitteista ei toimi johtuen juuri viallisista komponenteista \(A\) ja \(B\). Tärkeälle asiakkaalle halutaan toimittaa vain sellaisia laitteita, jossa \(A\) ja \(B\) ovat ehjiä. Kuinka monta tällaista laitetta keskimäärin löytyy 1000 kpl laite-erästä? Pyöristä vastauksesi lähimpään kokonaislukuun.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Kun Kun \( A \) ja \( B \) ovat riippumattomia, niin \( P(A\cap B)=P(A)P(B) \). Yhteenlaskusäännöstä saadaan \( P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) \) josta voidaan ratkaista \( P(B)=\frac{P(A\cup B)-P(A)}{1-P(A)}=\frac{[value]-[value]}{1-[value]} \approx [value] \). Kun Kun \( A \) ja \( B \) ovat riippumattomia, niin myös \( A \) ja \(\overline{B}\) ovat riippumattomia ja \( P(A\cap \overline{B} ) = P(A)P(\overline{B})=[value]\cdot(1-[value]) \approx [value] \).

Henkilöt A, B ja C  aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A:n saapumistodennäköisyys on \([value]\), B:n \([value]\) ja C:n \([value]\). Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella

a)

Vastaus:

b)

Vastaus:

c)

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\)="A tulee paikalle", \(B\)="B tulee paikalle", \(C\)="C tulee paikalle", \(D\)="D tulee paikalle". Nyt \(P(A)=[value],\ P(B)=[value], P(C)=[value]\). a)

Tarkastellaan jonoja, joissa on [value] kappaletta merkkejä nolla tai yksi (esim. [value]).

\( \textbf{(a)} \) Montako erilaista jonoa on olemassa?

Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) Kuinka monessa jonossa on [value] nollaa ja kolme ykköstä?

Vastaus: |

\( \textbf{(c)} \) Kuinka monessa jonossa on ainakin [value] nollaa?

Vastaus: |
Feedback: Ratkaisu \( \textbf{(a)} \) Jonon pituus on [value] ja jokaisen alkion kohdalla on kaksi mahdollisuutta (0 tai 1). Erilaisia jonoja on täten \(2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 \) ([value] kpl) \(= 2^{[value]} = [value] \). \( \textbf{(b)} \) Numeroidaan jonon paikat luvuilla 1-[value]. Oletetaan, että jonossa on [value] nollaa ja siis [value] ykköstä. Lukujono poikkeaa toisesta, jos nollien paikat ovat erilaiset, eli jos nollien paikkoja kuvaava [value] luvun joukko on erilainen. Erilaisia [value] luvun joukkoja ja siis erilaisia [value] nollan ja 3 ykkösen jonoja on \( \binom{[value]}{[value]} = \dfrac{[value]!}{[value]!3!} = \dfrac{[value]\cdot[value]\cdot[value]}{1\cdot2\cdot3} = [value] \) Saman asian voi ajatella myös seuraavasti. [value] alkiolla on \( [value]! = [value] \) eri järjestystä. Nyt kun alkioista [value] on nollaa ja 3 ykkösiä, on jonojen joukoissa samoja jonoja. [value] nollaa voidaan järjestää \( [value]! = [value] \) eri tavalla ja 3 ykköstä \( 3! = 6 \) eri tavalla. Näin erilaisia jonoja on \( \dfrac{[value]!}{[value]!3!} = \binom{[value]}{[value]} = [value] \). \( \textbf{(c)} \) Jonossa on ainakin [value] nollaa, jos siinä on [value], [value], [value] tai [value] nollaa. \( \textbf{(b)} \)-kohdan mukaisesti tällaisia jonoja on \( \binom{[value]}{[value]} + \binom{[value]}{[value]} + \binom{[value]}{[value]} + \binom{[value]}{[value]} = [value]+[value]+[value]+1 = [value] \).

4 pelaajaa A,B,C ja D pelaavat shakkiturnauksen. Ensin arvotaan peliparit ja näiden pelien voittajat pelaavat sitten turnauksen voitosta. Peleissä ei tule tasapelejä. Aikaisempien turnausten perusteella on laskettu seuraavan taulukon mukaiset voittotodennäköisyydet kaikkien keskinäisistä peleistä. Esimerkiksi A voittaa D:n todennäköisyydellä 0.3. Millä todennäköisyydellä pelaaja [value] voittaa turnauksen?  Anna vastaus 3 desimaalin tarkkuudella.

 | A voittaa | B voittaa | C voittaa | D voittaa
A:n | - | [value] | [value] | [value]
B:n | [value] | - | [value] | [value]
C:n | [value] | [value] | - | [value]
D:n | [value] | [value] | [value] | -

Vastaus: [value] voittaa turnauksen todennäköisyydellä
Feedback: Mallivastaus: Pelaajan [value] ensimmäinen vastapelaaja on satunnaisesti valittu toinen pelaaja, joten jokaisen vastustajan todennäköisyys 1/3. Jos [value] voittaa, seuraavaksi vastustajaksi tulee toisen peliparin voittaja. Näin saadaan erilaisiksi mahdollisuuksiksi [value]:n turnausvoittoon seuraavan taulukon mukaiset tilanteet ja todennäköisyydet. Merkitään tapahtumia \(X>Y=\)" X voittaa Y:n " ja \(VX\)="vastustaja on \(X\)". Viimeisessä sarakkeessa on kerrottu rivin todennäköisyydet, jolloin saadaan kyseisen pelisarjan todennäköisyys. Alimmalla rivillä on näiden summa, joka on kysytty todennäköisyys. \[ \begin{array}[c]{ccccc} \hline \textrm{1. peli}&\textrm{[value] voittaa }& \textrm{2. peli}&\textrm{[value] voittaa}& \textrm{Tulo}\\ \hline P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] & [value]\\ P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] & [value]\\ P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] & [value]\\ P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] &[value]\\ P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] & [value]\\ P(V[value])=1/3 & P([value]>[value])=[value] & P(V[value])=P([value]>[value])=[value] & P([value]>[value])=[value] &[value]\\ \hline \textrm{Yhteensä}&&&&[value]\\ \hline \end{array} \] Näin todennäköisyys, että [value] voittaa turnauksen on [value].

Monivalintakokeessa on [value] vaihtoehtoa, joista yksi on oikea vastaus. [value]% opiskelijoista tietää oikean vastauksen. Vaikka opiskelija tietää vastauksen, niin hän vastaa  väärin todennäköisyydellä [value]. Jos taas opiskelija ei tiedä vastausta, hän valitsee satunnaisesti yhden vaihtoehdon.  Vastaa kolmen desimaalin tarkkuudella.

a) Millä todennäköisyydellä tehtävään on vastattu oikein?

b) Jos tehtävään on vastattu oikein, niin millä todennäköisyydellä vastaaja on tiennyt oikean vastauksen?
Feedback: Mallivastaus: Määritellään tapahtumat \(A\)='vastaus on oikein' ja \(B\)='opiskelija tietää vastauksen'. Tietojen perusteella \(P(B) = [value] \Rightarrow P(\overline{B}) = [value]\). Jos opiskelija tietää, niin vastaus on oikein todennäköisyydellä \(P(A\mid B)=[value]\). Jos opiskelija ei tiedä, niin arvattu vastaus on oikein todennäköisyydellä \(P(A\mid\overline{B})=[value]\). a) Tapahtumat \(B\) ja \(\overline{B}\) muodostavat otosavaruuden osituksen ja kokonaistodennäköisyyden kaavalla vastaus on oikein todennäköisyydellä \begin{eqnarray*} P(A)& = & P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\\ & = & P(B)P(A\ |\ B)+P(\overline{B})P(A\ |\ \overline{B})\\ & = & [value]\cdot [value] + [value]\cdot [value] =[value] \end{eqnarray*} b) Kysytty todennäköisyys on \(P(B\mid A).\) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella saadaan \[ P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}= \dfrac{P(B)P(A\ |\ B)}{P(A)} = \dfrac{[value]\cdot [value]}{[value]} = [value] \]

\( N = [value] \) donitsin joukossa on \(m = [value] \) eilistä. Millä todennäköisyydellä \(n = [value] \) donitsin otoksessa on

\( \textbf{(a)} \) ei ole yhtään eilistä \( \quad \textbf{(b)} \) on [value] eilistä?
\( \textbf{(c)} \) Millä todennäköisyydellä eilisten donitsien olemassaolo paljastuu?

HUOM! Anna vastauksesi kolmen desimaalin tarkkuudella (välillä 0 ... 1). Käytä desimaalierottimena pistettä.

\( \textbf{(a)} \) Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) Vastaus: |

\( \textbf{(c)} \) Vastaus: |
Feedback: Ratkaisu \( \textbf{(a)} \quad P(X=0) = \dfrac{\binom{[value]}{0}\binom{[value]}{[value]}}{\binom{[value]}{[value]}} = \dfrac{1 \cdot [value]}{[value]} = [value]\) \( \textbf{(b)} \quad P(X=[value]) = \dfrac{\binom{[value]}{[value]}\binom{[value]}{[value]}}{\binom{[value]}{[value]}} = \dfrac{[value] \cdot [value]}{[value]} = [value]\) \( \textbf{(c)} \quad\textbf{(a)} \) -kohdan avulla saadaan \( P(X > 0) = 1 - P(X=0) = 1 - [value] = [value]\)

Tiedetään, että \( P(A) = [value], \quad P(B \, | \, A) = [value]0 \) ja \(P(B \, | \, \overline{A}) = [value]0 \). Laske seuraavat. Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella (välillä 0 ... 1). Moodle käyttää ns. pankkiirin pyöristyssääntöä. Jos tarkka arvo on kolmidesimaalinen luku, jonka toinen desimaali on parillinen ja kolmas = 5, pyöristä alaspäin (esim. 0.025->0.02, 0.045->0.04, 0.065->0.06 jne). Jos taas toinen desimaali on pariton ja kolmas = 5, pyöristetään normaalisti ylöspäin (0.015->0.02, 0.035 -> 0.04, 0.055->0.06 jne).

\( \textbf{(a)} \quad P(A \cap B) = \) |
\( \textbf{(b)} \quad P(B) = \) |
\( \textbf{(c)} \quad P(A \cup B) =\) |
\( \textbf{(d)} \quad P(A \, | \, B) =\) |
\( \textbf{(e)} \quad P(A \, | \, \overline{B}) =\) |
\( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A} \, \backslash \, B) =\) |
Feedback: Malliratkaisu \( \textbf{(a)} \quad P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=[value]\cdot [value] = [value] \) \( \textbf{(b)} \quad \begin{array}{l} P(B) &= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \\ &= P(A\cap B)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})\\ &= [value]+[value]\cdot [value] = [value] \end{array} \) \( \textbf{(c)} \quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=[value]+[value]-[value]=[value]\) \( \textbf{(d)} \quad P(A\ |\ B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(e)} \quad P(A\ |\ \overline{B} ) = \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A)-P(A\cap {B})}{P(\overline{B})} = \frac{[value]-[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A}\ \backslash \ B) = P(\overline{A}\cap\overline{B}) = P(\overline{A\cup B})=1- P(A\cup B) = 1-[value] = [value] \)

Tiedetään, että \( P(A) = [value]0, \quad P(B \, | \, A) = [value]0 \) ja \(P(B \, | \, \overline{A}) = [value]0 \). Laske seuraavat todennäköisyydet. Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

\( \textbf{(a)} \quad P(A \cap B) = \) |
\( \textbf{(b)} \quad P(B) = \) |
\( \textbf{(c)} \quad P(A \cup B) =\) |
\( \textbf{(d)} \quad P(A \, | \, B) =\) |
\( \textbf{(e)} \quad P(A \, | \, \overline{B}) =\) |
\( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A} \, \backslash \, B) =\) |
Feedback: Malliratkaisu \( \textbf{(a)} \quad P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=[value]\cdot [value] = [value] \) \( \textbf{(b)} \quad \begin{array}{l} P(B) &= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \\ &= P(A\cap B)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})\\ &= [value]+[value]\cdot [value] = [value] \end{array} \) \( \textbf{(c)} \quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=[value]+[value]-[value]=[value]\) \( \textbf{(d)} \quad P(A\ |\ B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(e)} \quad P(A\ |\ \overline{B} ) = \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A)-P(A\cap {B})}{P(\overline{B})} = \frac{[value]-[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A}\ \backslash \ B) = P(\overline{A}\cap\overline{B}) = P(\overline{A\cup B})=1- P(A\cup B) = 1-[value] = [value] \)

Tiedetään, että \( P(A) = [value], \, P(B \, | \, A) = [value]0 \) ja \(P(B \, | \, \overline{A}) = [value]0 \). Laske seuraavat.

Anna vastauksesi kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

\( \textbf{(a)} \quad P(A \cap B) = \) |
\( \textbf{(b)} \quad P(B) = \) |
\( \textbf{(c)} \quad P(A \cup B) =\) |
\( \textbf{(d)} \quad P(A \, | \, B) =\) |
\( \textbf{(e)} \quad P(A \, | \, \overline{B}) =\) |
\( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A} \, \backslash \, B) =\) |
Feedback: Malliratkaisu \( \textbf{(a)} \quad P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=[value]\cdot [value] = [value] \) \( \textbf{(b)} \quad \begin{array}{l} P(B) &= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \\ &= P(A\cap B)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})\\ &= [value]+[value]\cdot [value] = [value] \end{array} \) \( \textbf{(c)} \quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=[value]+[value]-[value]=[value]\) \( \textbf{(d)} \quad P(A\ |\ B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(e)} \quad P(A\ |\ \overline{B} ) = \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A)-P(A\cap {B})}{P(\overline{B})} = \frac{[value]-[value]}{[value]}=[value] \) \( \textbf{(f)} \quad P(\overline{A}\ \backslash \ B) = P(\overline{A}\cap\overline{B}) = P(\overline{A\cup B})=1- P(A\cup B) = 1-[value] = [value] \)

Let \(\mathbb{P}(A)=[value]\) and \(\mathbb{P}(B)=[value]\). Calculate the probability of \(A\cup B\), whenOlkoon \(\mathbb{P}(A)=[value]\) ja \(\mathbb{P}(B)=[value]\). Laske todennäköisyys tapahtumalle \(A\cup B\), kunLåt \(\mathbb{P}(A)=[value]\) och \(\mathbb{P}(B)=[value]\). Beräkna sannolikheten för \(A\cup B\), då

a) \(\mathbb{P}(A \cap B) = [value]\).

b) \(A\) and \(B\) are disjoint events.\(A\) ja \(B\) ovat erillisiä tapahtumia.\(A\) ja \(B\) ovat erillisiä tapahtumia.\(A\) och \(B\) är oförenliga händelser.

c) \(A\) and \(B\) are independent.\(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia tapahtumia.\(A\) och \(B\) är oberoende.

Give the answer in exact form or with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastauksesi tarkkoina arvoina tai [value] merkitsevän numeron tarkkuuteen pyöristettyinä. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaren exakt eller med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

a)\(~\mathbb{P}(A\cup B)=\) |  |
b)\(~\mathbb{P}(A\cup B)=\) |  |
c)\(~\mathbb{P}(A\cup B)=\) |  |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: To solve the problem we need the formula \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).\]Tehtävän ratkaisemiseksi tarvitsemme kaavaa \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).\]För att lösa uppgiften behövs formeln \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).\] The value of the last term depends on the result to the subquestion.Viimeisen termin arvo riippuu tehtävän alakohdan tuloksesta.Värdet på den sista termen beror på deluppgiften. a) The last term in the formula is given directly, the answer is \[ \mathbb{P}(A\cup B) = [value]+[value]-[value] = [value] \]Kaavan viimeisimmän termin arvo on suoraan annettu, oikea vastaus on \[ \mathbb{P}(A\cup B) = [value]+[value]-[value] = [value] \]Den sista termen i formeln är direkt given, rätt svar är \[ \mathbb{P}(A\cup B) = [value]+[value]-[value] = [value] \] b) If \(A\) and \(B\) are disjoint, then \(\mathbb{P}(A \cap B)=0\). ThusJos \(A\) ja \(B\) ovat erillisiä tapahtumia, niin \(\mathbb{P}(A \cap B)=0\). Todennäköisyydeksi saadaanOm \(A\) och \(B\) är oförenliga händelser gäller \(\mathbb{P}(A \cap B)=0\). Sannolikheten blir \[ \begin{split} \mathbb{P}(A\cup B) &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) \\ &= [value] + [value] \\ &= [value]. \end{split} \] c) The events \(A\) and \(B\) are independent, if and only if \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B)\). We getTapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia, jos ja vain jos \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B)\). SaadaanHändelserna \(A\) och \(B\) är oberoende om och endast om \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B)\). Vi får \[ \begin{split} \mathbb{P}(A\cup B) &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \\ &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B) \\ &= [value] + [value] - [value] \\ &= [value]. \end{split} \]

Tuotteessa voi olla materiaalivika (\(A\)) tai käsittelyvika (\(B\)). Olkoon \( P(A) = [value], \quad P(B) = [value] \) ja \( P(A \cap B) = [value] \).

Millä todennäköisyydellä

\( \textbf{(a)} \) satunnaisesti valittu tuote on viallinen?
Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) tuotteessa on materiaalivika, jos siinä on tarkalleen yksi vika?
Vastaus: |

(HUOM! Anna molemmat vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella välillä 0 ... 1. Käytä desimaalierottimena pistettä.)
Feedback: Ratkaisu \( \textbf{(a)} \) Tuote on viallinen, jos siinä on materiaalivika tai käsittelyvika tai molemmat: \( P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) = [value]+[value]-[value]=[value] \). \( \textbf{(b)} \) Tuotteessa on täsmälleen yksi vika (olkoon se tapahtuma \( C \) ), kun siinä on materiaalivika tai käsittelyvika, mutta ei molempia: \( P(C) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = [value] - [value] = [value] \) ja kysytty ehdollinen todennäköisyys on tällöin \( P(A\, | \, C) = \dfrac{P(A \cap C)}{P(C)} = \dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{P(C)}=\dfrac{[value]-[value]}{[value]} \approx [value] \)

Kolmen koneen K1, K2 ja K3 osuudet kokonaistuotannosta ovat K1: [value] %, K2: [value] % ja K3: [value] %.

Koneiden valmistamista tuotteista on virheellisiä K1: [value] %, K2: [value] % ja K3: [value] %. Kaikki valmistetut tuotteet sekoitetaan.

\( \textbf{(a)} \) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tuote on virheellinen (4 desimaalin tarkkuudella)?

Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) Entä millä todennäköisyydellä virheelliseksi todettu satunnaisesti valittu tuote on tehty koneella K[value] (3 desimaalin tarkkuudella)?

Vastaus: |
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{a)} \) Olkoon \( K_i=\) ''Tuote tehty koneella \(K_i\)'' ja \(V=\) ''Tuote on virheellinen''. Tiedetään, että \(P(K_1)=[value], \, P(K_2)=[value], \,P(K_3)=[value]\) ja \(P(V\mid K_1)=[value], \, \, P(V\mid K_2)=[value], \, \, P(V\mid K_3)=[value].\) Kokonaistodennäköisyyden kaavalla \( \begin{array}{rcl} P(V) &= & P(K_1)P(V\mid K_1)+P(K_2)P(V\mid K_2)+P(K_3)P(V\mid K_3) \\ & = & [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value]=[value]. \end{array}\) \( \textbf{b)} \quad P(K_{[value]} \mid V)=\frac{P(K_{[value]} \cap V)}{P(V)}= \frac{P(K_{[value]})P(V\mid K_{[value]})}{P(V)}= \frac{[value] \cdot [value]}{[value]}=[value] \)

[value]

[value]

[value]

[value]

[value]

Kolmen koneen K1, K2 ja K3 osuudet kokonaistuotannosta ovat K1: [value] %, K2: [value] % ja K3: [value] %.

Koneiden valmistamista tuotteista on virheellisiä K1: [value] %, K2: [value] % ja K3: [value] %. Kaikki valmistetut tuotteet sekoitetaan.

\( \textbf{(a)} \) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tuote on virheellinen (4 desimaalin tarkkuudella)?

Vastaus: |

\( \textbf{(b)} \) Entä millä todennäköisyydellä virheelliseksi todettu satunnaisesti valittu tuote on tehty koneella K[value] (3 desimaalin tarkkuudella)?

Vastaus: |
Feedback: Mallivastaus: \( \textbf{a)} \) Olkoon \( K_i=\) ''Tuote tehty koneella \(K_i\)'' ja \(V=\) ''Tuote on virheellinen''. Tiedetään, että \(P(K_1)=[value], \, P(K_2)=[value], \,P(K_3)=[value]\) ja \(P(V\mid K_1)=[value], \, \, P(V\mid K_2)=[value], \, \, P(V\mid K_3)=[value].\) Kokonaistodennäköisyyden kaavalla \( \begin{array}{rcl} P(V) &= & P(K_1)P(V\mid K_1)+P(K_2)P(V\mid K_2)+P(K_3)P(V\mid K_3) \\ & = & [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value]+[value] \cdot [value]=[value]. \end{array}\) \( \textbf{b)} \quad P(K_{[value]} \mid V)=\frac{P(K_{[value]} \cap V)}{P(V)}= \frac{P(K_{[value]})P(V\mid K_{[value]})}{P(V)}= \frac{[value] \cdot [value]}{[value]}=[value] \)

Olkoon \( P(A) = [value] \) ja \( P(A \cup B) = [value] \).  Anna vastauksesi kahden desimaalin tarkkuudella.

a) Mitä on \( P(A \cap \overline{B}) \), kun \( A \) ja \( B \) ovat erillisiä.
Vastaus:

b) Mitä on \( P(A \cap \overline{B}) \), kun \( P(A \cap B)=[value] \).
Vastaus:

c) Mitä on \( P(A \cap \overline{B}) \), kun \( A \) ja \( B \) ovat riippumattomia.
Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: a) Kun joukot ovat erilliset on \( P(A\cap \overline{B})=P(A)=[value] \) b) \( P(A \cap \overline{B}) =P(A)-P(A \cap B) =[value]-[value]=[value] \) c) Kun \( A \) ja \( B \) ovat riippumattomia, niin \( P(A\cap B)=P(A)P(B) \). Yhteenlaskusäännöstä saadaan \( P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) \) josta voidaan ratkaista \( P(B)=\dfrac{P(A\cup B)-P(A)}{1-P(A)}=\dfrac{[value]-[value]}{1-[value]} \approx [value] \). Kun \( A \) ja \( B \) ovat riippumattomia, niin myös \( A \) ja \(\overline{B}\) ovat riippumattomia ja \( P(A\cap \overline{B} ) = P(A)P(\overline{B})=[value]\cdot(1-[value]) \approx [value] \).

For two given events \(A\) and \(B\) it holds that \(\mathbb{P}(A)=[value]\) and \(\mathbb{P}(B|A)=[value]\). Calculate a) the lower and b) the upper limit of the possible values of \(\mathbb{P}(B)\).Kahden tapahtuman \(A\) ja \(B\) todennäköisyyksistä tiedetään, että \(\mathbb{P}(A)=[value]\) ja \(\mathbb{P}(B|A)=[value]\). Laske todennäköisyyden \(\mathbb{P}(B)\) mahdollisen arvon
a) alaraja ja b) yläraja.För två givna händelser \(A\) och \(B\) gäller \(\mathbb{P}(A)=[value]\) och \(\mathbb{P}(B|A)=[value]\). Beräkna a) den undre och b) den övre gränsen för möjliga värden hos \(\mathbb{P}(B)\).

Give the answer with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastaus [value] merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaren med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

a) | Lower limitAlarajaUndre gräns \(=\) |  |
b) | Upper limitYlärajaÖvre gräns \(=\) |  |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: The conditional probability is defined as follows: Ehdollinen todennäköisyys määritellään seuraavasti: Den betingade sannolikheten definieras som: \[ \mathbb{P}(B|A) = \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P}(A)}\] In addition, it holds thatLisäksi päteeoch dessutom gäller \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\setminus A) + \mathbb{P}(B\cap A). \] We do not have any information about \(\mathbb{P}(B\setminus A)\), but we can approximate the probability as follows: \[ 0\leq \mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A) = 1-\mathbb{P}(A), \] where \(U\) describes the whole sample space. The inequality \(\mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A)\) holds, since \(\mathbb{P}(B\setminus A)\) grows if \(B\) becomes greater and the event \(B\) cannot obviously be larger than the whole sample space \(U\).Todennäköisyyttä \(\mathbb{P}(B\setminus A)\) ei tiedetä, mutta voimme arvioida todennäköisyyttä seuraavasti: \[ 0\leq \mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A) = 1-\mathbb{P}(A), \] jossa \(U\) kuvaa koko otosavaruutta. Epäyhtälö \(\mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A)\) on voimassa, koska \(\mathbb{P}(B\setminus A)\) kasvaa, kun \(B\) suurenee, ja tapahtuma \(B\) ei luonnollisestikaan voi olla suurempi kuin koko otosavaruus \(U\).Vi har ingen information om \(\mathbb{P}(B\setminus A)\), men vi kan uppskatta sannolikheten så här: \[ 0\leq \mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A) = 1-\mathbb{P}(A), \] där \(U\) betecknar hela utfallsrummet. Olikheten \(\mathbb{P}(B\setminus A)\leq \mathbb{P}(U \setminus A)\) gäller eftersom \(\mathbb{P}(B\setminus A)\) växer om \(B\) blir större och händelsen \(B\) naturligtvis inte kan vara större än hela utfallsrummet \(U\). a) Therefore, for \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(\emptyset)\) we get the lower limitSiten, koska \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(\emptyset)\), niin alarajaksi saadaanEn undre gräns får vi alltså för \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(\emptyset)\), vilket ger \[ \begin{split} \mathbb{P}(B) &= 0+\mathbb{P}(B\cap A) \\ &= 0+\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A) \\ &= [value]\cdot [value] \\ &= [value]. \end{split} \] b) The upper limit is given by \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(U \setminus A)\): Yläraja puolestaan saadaan lausekkeesta \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(U \setminus A)\): En övre gräns får vi å andra sidan ur \(\mathbb{P}(B\setminus A) = \mathbb{P}(U \setminus A)\): \[ \begin{split} \mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(U \setminus A)+\mathbb{P}(B\cap A) \\ &= 1-\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A) \\ &= 1-[value]+[value]\cdot [value] \\ &= [value] \end{split} \] It is of course also worth to keep in mind that the upper limit cannot obviously be greater than \(1\).Tehtävässä on myös syytä muistaa, ettei ylärajan arvo voi luonnollisestikaan olla suurempi kuin \(1\).Det gäller också att komma ihåg att den övre gränsen naturligtvis inte kan vara större än \(1\).

Let \(\mathbb{P}(A) = [value]\), \(\mathbb{P}(B)= [value]\) and \(\mathbb{P}(C) = [value]\) and let us assume that \(A\), \(B\) and \(C\) are pairwise independent.Olkoon \(\mathbb{P}(A) = [value]\), \(\mathbb{P}(B)= [value]\) ja \(\mathbb{P}(C) = [value]\) ja oletetaan, että tapahtumat \(A\), \(B\) ja \(C\) ovat pareittain riippumattomia.Låt \(\mathbb{P}(A) = [value]\), \(\mathbb{P}(B)= [value]\) och \(\mathbb{P}(C) = [value]\) och anta att \(A\), \(B\) och \(C\) är parvis oberoende.

Calculate \(\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(A \cup C)+\mathbb{P}(B \cup C)\).Laske \(\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(A \cup C)+\mathbb{P}(B \cup C)\).Beräkna \(\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(A \cup C)+\mathbb{P}(B \cup C)\).

Give the answer in exact form or with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastaus tarkkana arvona tai [value] merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaret exakt eller med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

\(\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(A \cup C)+\mathbb{P}(B \cup C)=\) |  |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: For the union of two events we have \[ \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \]Kahden tapahtuman yhdisteen todennäköisyys on \[ \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \]För unionen av två händelser har vi \[ \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \] Additionally, since we know that the events \(A\) and \(B\) are independent, it holds that \[ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B). \]Lisäksi tiedetään, että tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat keskenään riippumattomia, joten \[ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B). \]Dessutom vet vi att om händelserna \(A\) och \(B\) är oberoende gäller \[ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B). \] Hence, we obtainSaadaan siisVi får alltså \[ \begin{align*} \mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(A \cup C)+\mathbb{P}(B \cup C) &= 2\,\mathbb{P}(A)+2\,\mathbb{P}(B) \\ &\quad+2\,\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B) \\ &\quad-\mathbb{P}(B) \, \mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(C) \, \mathbb{P}(A) \\ &=[value]. \end{align*} \]

Ryhmätyötilassa on [value] kiinteätä istumapaikkaa.

a) Kuinka monella tavalla [value] henkilöä voidaan asettaa istumaan pöydän ääreen?

b) Ryhmätyötilaan saapuvat henkilöt kättelevät toisiaan niin, että kaikki kättelevät kaikkia muita. Kuinka monta kättelyä kaikkiaan tarvitaan?
Feedback: Mallivastaus: a) Ensimmäinen henkilö voi valita istumapaikkansa [value] erilaisesta vaihtoehdosta, seuraava henkilö [value] vaihtoehdosta jne. aina viimeiseen henkilöön asti, jolla on valittavanaan enää yksi mahdollinen paikka. Tapoja järjestää [value] henkilöä pöydän ääreen on siis yhteensä \[ [value]! = [value]. \] b) Vastaus saadaan, kun lasketaan kuinka monella eri tavalla [value] henkilöstä voidaan valita kaksi henkilöä. Vastaukseksi saadaan \(\displaystyle \binom{[value]}{2} = \frac{[value]!}{2!([value]-2)!} = \frac{[value]\cdot [value]}{2} = [value]\).

Ville has forgot the [value]-digit code to his safe. Each digit in the code is an integer between \(0\) and \(9\). How many codes does Ville has to try out in the worst case to get the safe open, i.e. how many different combinations there are in total? Ville on unohtanut [value]-numeroisen pääsykoodin kassakaappinsa oveen. Koodin jokaisen numeron paikalle voidaan valita luku väliltä \(0\) ja \(9\). Kuinka monta koodia Villen on pahimmassa tapauksessa kokeiltava saadakseen kassakaappinsa oven auki, ts. kuinka monta erilaista koodiyhdistelmää kassakaappiin on kaiken kaikkiaan olemassa? Ville har glömt den [value]-siffriga koden till sitt kassaskåp. Varje siffra i koden kan väljas mellan \(0\) och \(9\). Hur många olika kombinationer måste han i värsta fall testa, d.v.s. hur många kombinationer finns det totalt?

Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: Each digit in the code can be chosen in 10 different ways (since the digits are integers between 0 and 9). This means that there are 10 different possibilities for the first digit, 10 for the second digit and so on. Thus, the number of possible codes is \[10^{[value]} = [value].\]Koodin jokainen numero voidaan valita 10 eri tavalla (koska numerot ovat lukuarvoja väliltä 0 ja 9). Koodin ensimmäiseksi numeroksi on siis 10 erilaista vaihtoehtoa, samoin toiseksi ja sitä seuraaviksi numeroiksi. Mahdollisia koodiyhdistelmiä on siten yhteensä \[10^{[value]} = [value].\]Varje siffra i koden kan väljas på 10 olika sätt (eftersom den kan väljas mellan 0 och 9). Vi får alltså 10 olika möjligheter på första platsen, 10 på andra osv. Det totala antalet möjliga koder blir alltså \[10^{[value]} = [value].\]

From [value] identical bearings [value] are chosen to undergo a quality test. In how many different ways can the bearings be selected for the test?[value] identtisestä laakerista [value] kappaletta valitaan tutkittavaksi laaduntarkkailuun. Kuinka monella tavalla laakerit on mahdollista valita tarkastusta varten? Av [value] identiska kullager ska [value] stycken kvalitetstestas. På hur många olika sätt går det att välja ut kullagren för testning?

Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: Since the sampling is done without replacement and the order the bearings are picked is insignificant, there areKoska poiminta suoritetaan ilman takaisinpanoa eikä poimintajärjestyksellä ole merkitystä, niin tapoja on yhteensäUtan återläggning och utan beaktande av dragordningen får vi \[ \binom{[value]}{[value]} = \frac{[value]!}{[value]! \cdot ([value]-[value])!} = [value] \] different ways. (That is, there are \(\dbinom{n}{x}\) combinations of \(x\) elements in a set sized \(n\).)erilaista. (Eli \(n\):n alkion joukossa on yhteensä \(\dbinom{n}{x}\) kappaletta \(x\):n alkion kombinaatioita.)olika sätt. (Dvs. det finns \(\dbinom{n}{x}\) kombinationer av \(x\) element valda bland \(n\).)

A string consisting only of ones and zeros is [value] characters long. How many different strings of this length is it possible to form using [value] ones and [value] zeros? Merkkijono, joka koostuu ainoastaan ykkösistä ja nollista, on [value] merkkiä pitkä. Kuinka monta erilaista tämänpituista merkkijonoa [value] ykkösestä ja [value] nollasta on mahdollista muodostaa? En sträng bestående av endast ettor och nollor är [value] tecken lång. Hur många olika sådana strängar finns det med [value] ettor och [value] nollor?

Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: Since the string consists only of two different characters, it is sufficient to focus only on one of them, e.g. on the ones, and calculate the number of ways ones can be placed in the string. The rest character slots are simply filled with zeros, that is, once the positions of the ones are determined there is only one way left to place the zeros.Koska merkkijono koostuu ainoastaan kahdesta erilaisesta merkistä, riittää että rajoitamme tarkastelun vain toiseen merkkiin, esim. ykkösiin, ja laskemme kuinka monella tavalla ykköset on mahdollista sijoittaa merkkijonoon. Jäljellä olevat paikat vain täytetään lopuksi nollilla, eli kun ykkösten paikat on valittu, nollien paikat määräytyvät merkkijonossa yksikäsitteisesti.Eftersom strängen består av bara två olika tecken så räcker det med att vi fokuserar på det ena, t.ex. ettorna, och räknar ut alla olika sätt att placera ut ettorna i strängen. Resten kommer bara att fyllas med nollor, dvs. när ettornas positioner i strängen har bestämts så finns det bara ett möjligt sätt att placera ut nollorna. [value] ones can be placed in the string in \(\dbinom{[value]}{[value]}\) different ways, as there are [value] slots to choose from. Then the zeros can be placed in only one way to fill up the string. Thus, the answer is[value] ykköstä voidaan asettaa merkkijonoon \(\dbinom{[value]}{[value]}\) eri tavalla, koska merkkijonossa on yhteensä [value] paikkaa joista valita. Tämän jälkeen nollat voidaan sijoittaa merkkijonoon täsmälleen yhdellä tavalla, jotta vaadittu merkkimäärä tulisi täyteen. Vastaukseksi saadaan siisDe [value] ettorna kan placeras på \(\dbinom{[value]}{[value]}\) olika sätt då det finns [value] platser att välja på. Nollorna kan sedan bara placeras ut på ett enda sätt så att de fyller upp strängen. Vi får alltså svaret \[ \binom{[value]}{[value]} = \frac{[value]!}{[value]! \cdot ([value]-[value])!} = [value]. \]

The probability for a camel to get diagnosed as sick is [value]. Further, assume that the probability for a sick camel to get diagnosed as sick is [value].Todennäköisyys sille, että kameli saa sairausdiagnoosin on [value]. Todennäköisyys sille, että kameli on sairas ja saa sairausdiagnoosin on [value].Sannolikheten för att en kamel får diagnosen sjuk är [value]. Anta vidare att sannolikheten för att en kamel är sjuk och får diagnosen sjuk är [value].

a) What is the probability that a camel is sick if it is diagnosed as sick? Millä todennäköisyydellä kameli on sairas, jos kameli on saanut sairausdiagnoosin? Vilken är sannolikheten för att en kamel är sjuk om den får diagnosen sjuk?

b) What is the probability that a camel is healthy and is diagnosed as sick? Millä todennäköisyydellä kameli on terve ja saa sairausdiagnoosin? Vilken är sannolikheten för att en kamel är frisk och diagnostiseras som sjuk?

Hint: Vihje: Tips: If we combine the conditional probability with the probability for the complement event we get \[ P(\overline{A} \mid B)=1-P(A \mid B). \]Yhdistämällä ehdollisen todennäköisyyden ja komplementtitodennäköisyyden kaavat saadaan, että \[ P(\overline{A} \mid B)=1-P(A \mid B). \]Om man kombinerar betingad sannolikhet och komplementsatsen, så får man \[ P(\oveline{A} \mid B)=1-P(A \mid B). \]

Give the answer exact or with [value] significant figures. Use point as the decimal separator.Anna vastaus tarkkana arvona tai [value] merkitsevän numeron tarkkuudella. Käytä pistettä desimaalierottimena.Ge svaren exakt eller med [value] gällande siffror. Använd punkt som decimaltecken.

a) | Answer: Vastaus: Svar: |
b) | Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: We introduce the eventsOtetaan käyttöön merkinnätVi inför händelserna \[\begin{split} S &: \text{"The camel is sickKameli on sairasKamelen är sjuk"} \\ D &: \text{"The camel is diagnosed as sickKameli saa sairausdiagnoosinKamelen får diagnosen sjuk"}. \end{split}\] a) We want to find the conditional probability \(p(S\mid D)\), i.e. the probability that a camel that is diagnosed as sick really is sick, which is given by the formulaEtsimme ehdollista todennäköisyyttä \(p(S\mid D)\), eli todennäköisyyttä sille, että sairausdiagnoosin saanut kameli todellakin on sairas, mikä saadaan kaavastaVi söker den betingade sannolikheten \(p(S\mid D)\), dvs. att en kamel som har diagnosticerats som sjuk verkligen är sjuk, som ges av formeln \[p(S\mid D) = \frac{p(S \cap D)}{p(D)}.\] We already know that \(p(D) = [value]\) ja \(p(S \cap D) = [value]\), so we only need to substitute the values and simplify to get the answer: Tiedämme jo, että \(p(D) = [value]\) ja \(p(S \cap D) = [value]\), joten meidän tulee vain sijoittaa kaavaan tuntemamme arvot ja laskea: Vi vet redan att \(p(D) = [value]\) och \(p(S \cap D) = [value]\) så det är bara att sätta in värdena och räkna ut svaret: \[p(S\mid D) = \frac{[value]}{[value]} \approx [value].\] b) Now we are looking for the probability \(p( S^C \cap D)\). To solve the problem, we use the multiplication rule, complement rule and conditional probability: Nyt etsimme todennäköisyyttä \(p( S^C \cap D)\). Tehtävän ratkaisemiseksi käytämme todennäköisyyslaskennan tulosääntöä, komplementtitodennäköisyyttä sekä ehdollista todennäköisyyttä: Nu söker vi sannolikheten \(p( S^C \cap D)\). Vi kan använda multiplikationssatsen, komplementsatsen och betingad sannolikhet för att lösa uppgiften: \[\begin{split} p( S^C \cap D) &= p(D)\cdot p( S^C \mid D) \\ &\ \\ &= p(D)\cdot \left(1-p(S \mid D)\right). &\ \\ &= p(D) \cdot\left(1-\frac{p(S \cap D)}{p(D)}\right) \\ &= p(D)-p(S\cap D) \end{split}\] We getSaadaanVi får \[p(S^C \cap D) = [value] - [value] \approx [value] .\]

Korttipakasta nostetaan umpimähkään takaisinpanematta viisi korttia. Millä todennäköisyydellä joukossa on ainakin yksi ässä ja ainakin yksi kuvakortti?
Vihje: Komplementtitapahtumat, De Morganin laki.

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\) = 'ainakin yksi ässä' ja \(B\) = 'ainakin yksi kuvakortti' , jolloin \(\overline{A}\) = 'ei yhtään ässää' ja \(\overline{B}\) = 'ei yhtään kuvakorttia'. Nyt kysytty todennäköisyys \(P(A\cap B)\) voidaan joukko-opin laskusääntöjen avulla muokata helpommin laskettavaan muotoon \[ \begin{array}{rcl} P(A\cap B) & = & 1-P(\overline{A\cap B})\\ & = & 1- P(\overline{A}\cup \overline{B})\\ & = & 1- \left[P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A}\cap \overline{B}) \right] \end{array} \] Lasketaan nämä todennäköisyydet. Erilaisia viiden kortin osajoukkoja on \({52 \choose 5} = 2 598 960 \) kpl. Tapahtuman \(\overline{A}\) = 'ei yhtään ässää' ( ja siis 5 ei-ässää) todennäköisyys on \[P(\overline{A}) = \dfrac{{4\choose 0}{48\choose 5}}{{52\choose 5}}=\dfrac{35673}{54145}=0.6588\] ja tapahtuman 'ei yhtään kuvaa' todennäköisyys on \[P(\overline{B}) = \dfrac{{12\choose 0}{40\choose 5}}{{52\choose 5}}=\dfrac{2109}{8330}=0.2532\] Tapahtuma 'ei yhtään ässää eikä yhtään kuvaa' tapahtuu todennäköisyydellä \[P(\overline{A}\cap \overline{B}) = \dfrac{{16\choose 0}{36\choose 5}}{{52\choose 5}}=\dfrac{66}{455}=0.1451\] ja kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan \[ \begin{array}{rcl} P(A\cap B) & = & 1- \left[P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A}\cap \overline{B}) \right] \\ & = & 1-[ 0.6588 +0.2532 -0.1451 ] = 0.233 \end{array} \]

Joukossa \(A\) on \([value]\) alkiota ja joukossa \(B\) \([value]\) alkiota.

Kuinka monta

a) | kuvausta \(f\colon A\to B\),
b) | injektiota \(f\colon A\to B\),
c) | injektiota \(f\colon B\to A\)

on olemassa?

a)

b)

c)
Feedback: Mallivastaus: Merkitään \(|A|=m\) ja \(|B|=n\). Funktioden \(f\colon A\to B\) lukumäärä on \(|B|^{|A|}=n^m\). Injektioiden \(f\colon A\to B\) lukumäärä on \(\frac{n!}{(n-m)!}\), kun \(m\leq n\) ja \(0\), kun \(m>n\). Saadaan: a) \([value]^{[value]} = [value]\) b) [value], sillä \(m>n\) c) \(\frac{[value]!}{([value]-[value])!} = [value]\)

Todennäköisyysavaruudesta \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) tiedetään, että tapahtumille \(A\) ja \(B\) pätee

\(\mathbb{P}(A)=[value]\), \(\mathbb{P}(B)=[value]\) ja \(\mathbb{P}(A\cap B)=[value]\).

Määritä

\(\mathbb{P}(A\cup B)\)

\(\mathbb{P}(\Omega\setminus A)\)

\(\mathbb{P}(A\setminus B)\)

\(\mathbb{P}(A\cup(\Omega\setminus B))\)
Feedback: Mallivastaus: \(\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B) = [value]+[value]-[value] = [value]\) \(\mathbb{P}(\Omega\setminus A) = 1-\mathbb{P}(A) = 1-[value] = [value]\) \(\mathbb{P}(A\setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A\cap B) = [value]-[value] = [value]\) \(\mathbb{P}(A\cup(\Omega\setminus B)) = (1-\mathbb{P}(B)) + \mathbb{P}(A\cap B) = (1-[value])+[value] = [value]\)

Henkilöt A, B ja C  aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A:n saapumistodennäköisyys on \([value]\), B:n \([value]\) ja C:n \([value]\). Vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella

a)  Millä todennäköisyydellä peli-ilta onnistuu eli vähintään kaksi henkilöä tulee paikalle?

Vastaus:

b)  Huoneessa on valot, joten ainakin joku on tullut paikalle. Millä todennäköisyydellä B on paikalla?

Vastaus:

c) Neljäs henkilö D sanoo tulevansa mukaan todennäköisyydellä  \([value]\), jos kaikki muutkin tulevat. Muulloin D tulee todennäköisyydellä \([value]\). Millä todennäköisyydellä \(D\) tulee paikalle?

Vastaus:
Feedback: Mallivastaus: Merkitään tapahtumia \(A\)="A tulee paikalle", \(B\)="B tulee paikalle", \(C\)="C tulee paikalle", \(D\)="D tulee paikalle". Nyt \(P(A)=[value],\ P(B)=[value], P(C)=[value]\). a) Ainakin kaksi tulee paikalle, jos kaikki 3 tulevat tai joku pareista \(AB, AC, BC\) tulee paikalle ja kolmas ei tule. Koska tulemiset (ja myös poisjäämiset) ovat toisistaan riippumattomia, saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi \begin{eqnarray*} \quad && P(A\cap B\cap C)+ P(A\cap B\cap \overline{C}) + P(A\cap \overline{B}\cap C) + P(\overline{A}\cap B\cap C) \\ &=&[value] \cdot [value] \cdot [value] + [value] \cdot[value] \cdot[value] + [value] \cdot [value] \cdot [value] + [value] \cdot [value] \cdot [value] \\ &=&[value] \end{eqnarray*} b) Kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys \begin{eqnarray*} P(B\mid A\cup B\cup C)& = &\dfrac{P(B\cap ( A\cup B\cup C))}{P( A\cup B\cup C)}= \dfrac{P(B)}{1-P(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C})}\\ &=&\dfrac{[value]}{1-[value]\cdot [value] \cdot [value]} = [value] \end{eqnarray*} c) Tehtävässä on annettu ehdolliset todennäköisyydet \(P(D\mid A\cap B\cap C)=[value]\) ja \(P(D\mid \overline{A\cap B\cap C})=[value]\). Kokonaistodennäköisyyden avulla saadaan kysytty todennäköisyys \begin{eqnarray*} P(D)&=& P(D\mid A\cap B\cap C)P(A\cap B\cap C) + P(D\mid \overline{A\cap B\cap C})P(\overline{A\cap B\cap C}) \\ &=& [value]\cdot [value] \cdot [value] \cdot [value] + [value]\cdot (1-[value] \cdot [value] \cdot [value]) = [value] \end{eqnarray*}

You try to tell your fortune by drawing two cards from a peculiar deck of [value] cards. Each of the cards has one of [value] possible colors and there is an equal number of cards of each color in the deck. What is the probability that you draw two cards of the same color? The cards are drawn without replacement.Kokeilet ennustaa tulevaisuuttasi nostamalla erikoislaatuisesta [value] kortin pakasta kaksi korttia. Kortteja on väritykseltään [value] erilaista ja kunkin väristä korttia on pakassa yhtä monta. Mikä on todennäköisyys, että nostat pakasta kaksi samanväristä korttia? Nosto suoritetaan ilman takaisinpanoa.Du försöker spå din framtid genom att dra två kort ur en speciell kortlek med [value] kort. Det finns [value] olika färger med lika många kort av varje färg. Vad är sannolikheten för att dra två kort av samma färg? Dragningen sker utan återläggning.

Give your answer exact.Anna vastauksesi tarkkana arvona.Ge svaret exakt.

Answer: Vastaus: Svar: |
Feedback: Model solution: Malliratkaisu: Lösningsförslag: In this problem it is sufficient to study just one event \(A\): "the second card is of the same color as the first card"Tässä tehtävässä riittää tarkastella vain yhtä tapahtumaa \(A\): "toinen kortti on samanvärinen kuin ensimmäinen kortti"Här finns bara en händelse \(A\): "andra kortet har samma färg som första kortet" Once we have drawn one card from the deck there are still [value] cards left. Out of these \([value]/[value]-1=[value]\) are of the same color as the one drawn at the beginning. Assuming that the deck is properly shuffled, that is, all of the cards are equally probable, we get the probabilityNostettuamme pinosta yhden kortin pakkaan jää vielä jäljelle [value] korttia. Näistä \([value]/[value]-1=[value]\) on samanvärisiä kuin alussa nostamamme kortti. Olettamalla, että korttipino on hyvin sekoitettu, eli kaikki kortit ovat keskenään yhtä todennäköisiä, saadaan kysytyksi todennäköisyydeksiVi drar ett kort ur högen och efter det finns [value] kort kvar. Av dem är \([value]/[value]-1=[value]\) av samma färg som kortet vi först drog. Det måste antas att korthögen är välblandad, så att alla kort är lika sannolika, och då fås \[p(A) = \frac{[value]}{[value]}.\]