Title: DIL STACK

a) Tutustu komentoon dsolve joko MATLAB:in dokumentaation tai helpin avulla. Ratkaise kyseisen komennon avulla differentiaaliyhtälö \(y'=[value]y\), kun \(y\) on muuttujan \(x\) funktio.

- Siispä yleinen ratkaisu on \(y = \) .
- Onko \(y = [value]e^{[value]x}\) edellä mainitun differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu?
- Onko \(y = [value]e^{[value]x}\) edellä mainitun differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu?

b) Ratkaise dsolve-komennolla \(\displaystyle y'=4y-\frac{4y^2}{5}\).

- Yleinen ratkaisu on \(y = \) .
- Lisäksi \(y = 5\) on .
- Kuinka monta erikoisratkaisua kyseisellä differentiaaliyhtälöllä on?
Feedback: a) syms y(x) eqn = diff(y,x) == [value]*y; S = dsolve(eqn) \(\text{S}=C_1 e^{[value]x}\) Kun \(C = [value]\), niin \(S = [value] e^{[value]x}\), joten \(y = [value]e^{[value]x}\) on selvästi annetun differentiaaliyhtälön ratkaisu. Sijoittamalla \(y = [value]e^{[value]x}\) annettuun differentiaaliyhtälöön huomataan, että se ei toteuta annettua yhtälöä. b) syms y(x) eqn = diff(y,x) == 4*y-4*y^2/5; S = dsolve(eqn) \(\text{S}=\frac{-5}{e^{C_1 - 4x} - 1}\\ \qquad 0\\ \qquad 5\) Erikoisratkaisut ovat siis 0 ja 5.

Ratkaise MATLAB:illa differentiaaliyhtälö \(y''(x) + 2y'(x) + 2y(x) = 0\) ja vastaa seuraaviin kysymyksiin.

- Karakteristisellä yhtälöllä on
- Yleinen ratkaisu on muotoa
- Jos meillä on lisäksi alkuehto \(y(0)=0\), MATLAB antaa ratkaisuksi
Onko tämä ratkaisu yksikäsitteinen?
- Yksikäsitteiseen ratkaisuun tarvitaan alkuehtoa.
Feedback: Mallivastaus: syms y(x) eqn = diff(y,x,2) + 2*diff(y,x) + 2*y == 0; ySol(x) = dsolve(eqn) \(\text{ySol(x)} = C_1e^{-x}\cos(x) - C_2e^{-x}\sin(x)\) Karakteristisellä yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta. Yleinen ratkaisu on muotoa \(e^{-x}\left(C_1\sin(x)+C_2\cos(x)\right)\) Jos meillä on lisäksi alkuehto \(y(0)=0\), MATLAB antaa ratkaisuksi cond = y(0) == 0; ySol(x) = dsolve(eqn,cond) \(\text{ySol(x)} = -C_1e^{-x}\sin(x)\) Tämä ratkaisu ei ole yksikäsitteinen. Yksikäsitteiseen ratkaisuun tarvitaan \(2\) alkuehtoa, sillä kyseessä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

Alla on laskettu raja-arvo lausekkeelle [value]. Täydennä välivaiheet ratkaisuun siten, että kukin vaihe on korvattu kirjaimella, jolle annetaan lauseke alempana olevaan vastauslaatikkoon.

Kirjoita vastauksiin (kplmea viimeistä lukuunottamatta) sarjakehitelmien summista neljä ensimmäistä termiä.

Vaihe 1: Muodosta kosinin ja sinin sarjakehitelmät.(LINKKI MONISTEEN LIITTEISIIN)

\[ \lim_{x \to 0} [value] = \lim_{x \to 0} \frac{1-(A)}{B} \]

Vaihe 2: Sievennä osoittajaa

\[= \lim_{x \to 0} \frac{C}{B} \]

Vaihe 3: Etsi yhteinen tekijä osoittajasta ja nimittäjästä ja supista se

\[= \lim_{x \to 0} \frac{D}{E} \]

Vaihe 4: Laske raja-arvo

\[=\frac{F}{G} = H \]

\(A=\)

\(B=\)

\(C=\)

\(D=\)

\(E=\)

\(F=\)

\(G=\)

\(H=\)