Title: Prosenttilaskut - perusteet
Course: Talousmatematiikka 1 osp > Section: Talousmatematiikka

Prosentti

Sana prosentti tulee latinan kielen ilmaisusta pro centum, joka tarkoittaa kirjaimellisesti ”sataa kohden” tai ”sadasta”.

Prosenttimerkki (%) voidaan ajatella olevan symboli matematiikan merkinnälle "yksi sadasosa", eli \( \frac {1}{100} \). Prosenttimerkintää käytetään kuitenkin vain erityisessä merkityksessä matematiikassa. Sillä ilmaistaan aina jonkin luvun suhdetta johonkin toiseen lukuun.

Prosentit ovat siis sadasosia jostain, toisin sanoen prosentteja käytetään ilmaisemaan suhteellista osuutta verrattuna johonkin vertailuarvoon. Matemaattisissa laskutoimituksissa prosentit voidaan ajatella olevan yksiköitä, jonka symbolina käytetään %-merkkiä.

Prosenttilaskujen käytännön tehtävät ja kysymykset

Prosenttilaskennan käytännön kysymyksenasettelut ja tehtävät voidaan jakaa karkeasti
neljään ryhmään.

1. "Kuinka monta prosenttia luku \(a\) on luvusta \(b\)?"
2. "Kuinka paljon on \( p \ \% \) luvusta \(b\)?"
3. "Kuinka paljon on tuloksena, jos luku \(a\) kasvaa \( p \ \% \)?"
4. "Kuinka monta prosenttia luku \(a\) on suurempi (tai pienempi) kuin luku \(b\)?"

Prosenttikerroin

Prosenttilukua (ts. lukuarvoa, jonka perässä on \(\%\)-merkki) ei käytetä yleensä sellaisenaan laskutoimituksissa.

Laskutoimitusta varten prosenttiluku on järkevää muuttaa desimaaliluvuksi. Prosenttilaskujen yhteydessä tuota prosenttiluvusta saatua desimaalilukua sanotaan prosenttikertoimeksi. Tätä nimitystä käytetään myös myöhemmissä tämän kurssin osioissa ja tämän kurssin laskutoimituksissa prosenttiluvut muutetaan aina prosenttikertoimiksi ennen laskutoimituksia.

Jos prosenttiluku on annettu muodossa \( p \ \% \), se voidaan aina kirjoittaa murtolukuna \( \frac {p}{100} \).

Esimerkkejä:

a)     \( 3 \ \% \ = \frac {3}{100} = \ 0{,}03 \)

b)     \( 0,478 \ \% = \frac {0,478}{100} = 0{,}00478 \)

c)     \( 76 \ \% = \frac {76}{100} = 0{,}76 \)

d)     \( 123 \ \% = \frac {123}{100} = 1{,}23 \)

e)     \( 210 \ \% = \frac {210}{100} = 2{,}10 \)

Promille

Prosentin sukulaiskäsite on promille, joka tulee vastaavasta latinan ilmaisusta pro mille, eli kirjaimellisesti "tuhatta kohden" tai "tuhannesta". Promillen symboli on ‰.

Prosentit on mahdollista muuntaa helposti promilleiksi, ja tietenkin myös päinvastoin, kun muistaa, että \( 1 \ \% = 10 \ ‰ \)

Jos suhdeluku on annettu promilleina muodossa \( p \ ‰ \), se on mahdollista esittää murtolukuna \( \frac {p}{1000} \).

a)    \( 30 \ ‰ \ = \frac {30}{1000} \ = 0{,}030\)

b)    \( 4{,}78 \ ‰ \ = \frac {4,78}{1000} \ = 0{,}00478 \)

c)    \( 760 \ ‰ \ = \frac {760}{1000} \ = 0{,}760 \)

d)    \( 1230 \ ‰ \ = \frac {1230}{1000} \ = 1{,}230 \)

e)    \( 2100 \ ‰ \ = \frac {2100}{1000} \ = 2{,}100 \)

Promilleja käytetään samalla tavoin kuin prosentteja. Promilleja käytetään erityisesti niissä tilanteissa, joissa suhdeluku olisi prosentteina ilmaistuna hyvin pieni.

Vertailuprosentti ja perusarvo

Vertailuprosentilla tarkoitetaan sitä, kuinka monta prosenttia jokin lukuarvo on jostakin vertailukohtana olevasta lukuarvosta. Vertailukohtana olevaa lukua kutsutaan tehtävässä perusarvoksi.

Kysymyksen perusmalli on ”Kuinka monta prosenttia luku \(𝑎\) on luvusta \(𝑏\)?”

Tämä tehtävätyyppi ratkaistaan vertaamalla lukua \(a\) lukuun \(b\), eli lasketaan lukujen suhde jakolaskuna:

$$ \frac{a}{b} $$

Huomaa, että vertailtavien lukujen suhde saadaan jakolaskun vastauksena desimaalilukuna , joka täytyy muuttaa lopullisessa vastauksessa prosenttiluvuksi.

Vertailua tehtäessä perusarvo on aina jakolaskun jakajana, tai jos suhde esitetään murtolukumuodossa kuten tämän sivun esimerkeissä, perusarvo on aina nimittäjänä.

Esimerkkejä. Kiinnitä huomio siihen, mikä seuraavissa tehtävissä on vertailun perusarvo. Ts. mitä halutaan verrata ja mihin?

a) Kuinka monta prosenttia luku \(20\) on luvusta \(80\)?

b) Kuinka monta prosenttia luku \(80\) on luvusta \(20\)?

Ratkaisut:

a) Perusarvo on tässä tapauksessa \(80\). Lukua \(20\) verrataan siihen. Lasketaan osamäärä ja muutetaan desimaalilukuna saatu vastaus prosenttiluvuksi:
$$ \frac{20}{80} \ = \ 0{,}25 \ = \ 25 \ \% $$

b) Tässä tapauksessa perusarvo on \(20\) ja lukua \(80\) verrataan siihen. Lasketaan osamäärä ja muutetaan vastauksena saatu desimaaliluku prosenttiluvuksi:
$$ \frac{80}{20} \ = \ 4 \ = \ 400 \ \% $$

Prosenttiosuuden laskeminen

Silloin kun halutaan tietää jotakin prosenttiosuutta vastaava osa luvusta b, se lasketaan seuraavan esimerkin mukaisesti.

Esimerkki: Kuinka paljon on 𝑝 % luvusta b ?

Tällainen tehtävä ratkaistaan kohdistamalla prosenttiluku \(p \ \% \) lähtöarvoon \(b\). , eli tehtävän perusarvoon.

Ennen laskutoimitusta prosenttiluku on muutettava kuitenkin aina prosenttikertoimeksi, eli paljaaksi desimaaliluvuksi tai murtoluvuksi \( \frac{p}{100} \).

$$ \frac{p}{100} \ \cdot \ b \ = \ a $$

Vastauksena saadaan luku \(a\), joka on siis \(p \ \% \) luvusta \(b\).

Esimerkki:

Kuinka paljon on \( 15 \ \% \) luvusta \(450\) ?

$$ \frac{15}{100} \ \cdot \ 450 \ = \ 0{,}15 \ \cdot \ 450 \ = \ 67{,}50 $$

Vastaus: \( 15 \ \% \) luvusta \(450\) on \( 67{,}50\)

Muutosprosentti

Kun halutaan kuvata muutosta tai muutoksen suuruutta prosentteina, puhutaan muutosprosenteista.

Muutos tapahtuu aina luvun alkuarvosta johonkin muutoksen jälkeiseen tilanteeseen, eli loppuarvoon. Varsinainen muutoksen suuruus on siis loppuarvon ja alkuarvon erotus.

Muutoksen suuruutta verrataan sen jälkeen perusarvoon, joka on siis muutosprosentti-laskuissa luvun alkuarvo.

Tehtävissä halutaan tyypillisesti tietää "Kuinka monta prosenttia luku \(a\) on suurempi (tai pienempi) kuin luku \(b\)?"

Tällöin kysymys on siis kahden luvun \( a\) ja \(b\) erotuksen suuruudesta, jota halutaan verrata perusarvoon, eli lukuun \(b\). Tällaisessa tehtävässä on aina ensin laskettava lukujen \(a\) ja \(b\) erotuksen suuruus. Laskussa voidaan käyttää suuruuksien eron itseisarvoa, mutta silloin vastauksessa täytyy kiinnittää huomiota siihen, onko luku \(a\) suurempi vai pienempi kuin luku \(b\). Jos lasketaan erotus seuraavan laskukaavan mukaan, luvun etumerkki kertoo mihin suuntaan muutos tapahtuu.

$$ \frac{ \ b \ – \ a \ }{b} \ = \ p \ \% $$

Esimerkkejä:

1) Kuinka monta prosenttia luku 65 on suurempi kuin luku 50?

Muutoksen suuruus on \( loppuarvo -  alkuarvo \), eli \( 65 – 50 = 15\).

Muutosta verrataan nyt perusarvoon, eli alkuarvoon:

$$ \frac{15}{50} \ = \ 0{,}30 \ = \ 30 \ \% \ suurempi $$

2) Kuinka monta prosenttia luku 50 on pienempi kuin luku 65?
Muutoksen suuruus on jälleen \( loppuarvo – alkuarvo\) , mutta on tärkeää huomata, että erotus on miinusmerkkinen, eli \( 50 - 65  = - 15 \).
Vertaillaan jälleen muutosta perusarvoon, eli alkuarvoon:
$$ \frac{-15 \ }{ \ 65 \ } \ = \ - 0{,}23 \ = \ - 23 \ \% \ \ \ {,} \ eli \ luku \ 50 \ on \ 23 \ \% \ pienempi \ kuin \ luku \ 65 $$
Koska muutos on alaspäin, eli miinusmerkkinen, myös muutosprosentti on miinusmerkkinen. Tämä tarkoittaa, että luku \(50\) on \( 23 \ \% \) pienempi kuin luku \(65\).

Prosentuaalinen kasvu ja väheneminen

Prosentuaalisen kasvun ja vähenemisen laskemisessa on helpointa opetella käyttämään ns. muutoskerrointa. Muutoskerroin on luku, joka sisältää luvun \(b\) perusarvon ja siihen mukana laskettavan lisäyksen (\(+\)-merkkinen prosenttikerroin) tai vähennyksen (\(-\)-merkkinen prosenttikerroin).

Kysymyksen tyyppi on yleensä "Mikä luku saadaan (=\(a\)), kun luku \(b\) kasvaa (tai vähenee) \(p \ \%\)?"

$$ ( 1 \pm \frac{p}{100} ) \ \cdot \ b \ = a $$

Esimerkkeinä muutoskertoimista ja niiden käytöstä voidaan ottaa tapaukset, jossa luku \(50\) a) kasvaa \(23 \ \%\), b) pienenee \(26 \ \%\) ja c) kasvaa \(234 \ \%\). Kiinnitä alla olevissa esimerkeissä huomio prosenttilukua vastaavaan lisäykseen tai vähennykseen sulkulausekkeessa olevassa muutoskertoimen laskutoimituksessa.

a) luku \(50\) kasvaa \(23 \ \%\):       \( ( 1 + 0{,}23 ) \cdot 50 \ = 1{,}23 \cdot 50 = 61{,}50 \)

b) luku \(50\) pienenee \(26 \ \%\):   \( ( 1 - 0{,}26 ) \cdot 50 \ = 0{,}74 \cdot 50 = 37{,}00 \)

c) luku \(50\) kasvaa \(234 \ \%\):     \( ( 1 + 2{,}34 ) \cdot 50 \ = 3{,}34 \cdot 50 = 167{,}00 \)

Muutoskertoimessa on mukana aina perusarvo, joka näkyy sulkumerkkien sisällä lukuna ”1”. Perusarvoon lisätään muutoksen suuruus desimaalilukuna. Muutos voi olla ylöspäin (+ merkkinen muutos) tai alaspäin (- merkkinen muutos).

Laskutoimituksen tuloksena saadaan muutoksen jälkeinen lopputilanne, jossa perusarvoon on lisätty muutoksen osuus, joko ylöspäin (= lisäämällä muutoksen suuruus perusarvoon) tai alaspäin (= vähentämällä muutoksen suuruus perusarvosta).

Peräkkäiset muutokset

Prosenttilaskuissa, erityisesti talouslaskuissa, on usein tarve laskea useiden peräkkäisten prosenttimuutosten vaikutus.

Esimerkki:

1. Hinta on \( 95 \) euroa ja se nousee ensin \( 5 \ \% \) ja sitten vielä uudelleen \( 6 \ \% \).
2. \( 2000 \) euroa sijoitetaan rahastoon, joka tuottaa vuodessa \( 1{,}8 \ \% \) korkoa. Vuotuinen korko jätetään rahastoon kasvamaan korkoa seuraavina vuosina. Kuinka paljon sijoituksen arvo on 4 vuoden kuluttua?

Peräkkäiset muutokset lasketaan kuten prosenttuaalinen kasvu (tai väheneminen) muutoskertoimien avulla kertolaskuna (muutoskertoimia käsiteltiin yksityiskohtaisemmin edellisessä luvussa).

Edellä mainitun esimerkki 1:n ratkaisu:

\( 95 € \ \cdot \ 1{,}05 \ \cdot \ 1{,}06 \ = 105{,}74 € \)

Esimerkin 2 ratkaisu:

\( 2000 € \ \cdot \ 1{,}018 \ \cdot \ 1{,}018 \ \cdot \ 1{,}018 \ \cdot \ 1{,}018 \ = 2147{,}93 € \)

Tuntemattoman perusarvon ratkaiseminen

Joskus prosenttilaskutehtävässä tiedetään lopputulos ja muutoksen suuruus prosenttilukuna, mutta lähtöarvo on tuntematon.

Tällainen ongelma on esimerkiksi tehtävä, jossa täytyy laskea tuotteen veroton hinta, kun tiedossa on tavaran myyntihinta kuluttajalle sekä myyntihintaan sisältyvän arvonlisäveron suuruus prosentteina.

Tällainen tehtävä on mahdollista ratkaista yhtälön avulla.

Esimerkki:

Mikä on tietokoneen veroton hinta, jos sen myyntihinta on 399 euroa ja myyntihinnassa on 24 % arvonlisäveroa?

Aluksi kirjoitetaan myyntihinnan muodostumisen lauseke:

\( Myyntihinta \ = \ veroton \ hinta \ + \ ALV \)

Toisaalta tiedämme, että ALV on 24 % verottomasta hinnasta, eli ALV voidaan kirjoittaa seuraavana lausekkeena:

\( ALV \ = \ 0{,}24 \ \cdot \ \ veroton \ hinta \)

Merkitään lausekkeen yksinkertaistamiseksi verotonta hintaa muuttujalla \(x\) ja kirjoitetaan yllä olevat lausekkeet uudelleen \(x\):n avulla:

\( ALV \ = \ 0{,}24 \ \cdot \ \ x \)

\( Myyntihinta \ = \ x \ + \ ALV  \ \ = \ \ x \ + \ 0{,}24 \ \cdot \ \ x \ \ = \ \ (1 + 0{,}24) \cdot x \ \ =\ \ 1{,}24 \cdot x \)

Kirjoitetaan tehtävä yhtälön muotoon:

\( 399 \ € \ \ = \ \ 1{,}24 \cdot x \)

\( x \ \ = \ \ \frac{ \ 399 \ €}{1{,}24} \ \ = \ \ 321{,}77 \ € \)

Vastaus: Tietokoneen veroton hinta on 321,77 €.

Tämän tyyppiset tehtävät on toki mahdollista laskea myös muistamalla yllä olevan esimerkin viimeisellä rivillä oleva laskukaava ulkoa. Silloin on kuitenkin muistettava muuttaa nimittäjässä oleva luku tarvittaessa vastaamaan esim. 10 % arvonlisäveroprosenttia, jne.