Title: Boolen algebra
Course: AMK-valmennus, päätöksentekotaidot (1 OSP)

Boolen algebra on loogisten väittämien matemaattisen ratkaisun malli totuustalukoiden avulla.

Keskeisenä ideana boolen algebrassa on se, että väittämät ovat joko tosia tai epätosia, välimyötoja ei ole.

A
0
1

Yllä olevassa totuustaulukossa A on jokin väite ja 0 tarkoittaa väitteen olevan ei totta, eli väärä ja 1 tarkoittaa, että väite olisi tosi.

Taulukolla voidaan tarkastella samaan aikaan useita väitteitä, kuten A ja B, jolloin erilaisia yhdistelmiä väitteiden totuudenmukaisuuteen tulee 4.

A | B
0 | 0
0 | 1
1 | 0
1 | 1

Bollen algebrassa on olemassa muutamia operaattoreita, eli toimintoja, jotka vaikuttava saatuun totuusarvoon. Tällaisia ovat

negaatio | ⌐ | "Ei"
disjunktio | ⋁ | "tai"
konjunktio | ⋀ | "ja"
implikaatio | ⇒ | "Jos A niin B"
ekvivalenssi | ⇔ | "Jos ja vain jos A, niin B"

Ajatellaan vaikka että väite A on Matilla on hieno auto ja väite B Niinalla on hieno auto.

Väite ⌐A tarkoittaisi, että väite on tosi aina, väite A ei ole tosi- Eli tässä tilanteessa negaatio on tosi, kun Matilla ei ole hienoa autoa.

A |  | ⌐A
0 |  | 1
0 |  | 1
1 |  | 0
1 |  | 0

Kuvassa Punaisella kaikki negaatioon kuuluvat alueet.

Väite A⋁B tarkoittaisi, että ainakin toisella on hieno auto. Alla olevassa taulukossa näkyy, että vain silloin, kun kummallakaan ei ole hienoa autoa, väite "tai" ei pidä paikkaansa.

A | B |  | A⋁B
0 | 0 |  | 0
0 | 1 |  | 1
1 | 0 |  | 1
1 | 1 |  | 1

Kuvassa disjunktioon kuuluvat alueet.

Väite A⋀B Tarkoittaa että molemmilla on joko hienot autot tai sitten molemmilla ei ole hienoja autoja, eli molempien osalta väitteet pitää olla joko totta tai valhetta.

A | B |  | A⋀B
0 | 0 |  | 0
0 | 1 |  | 0
1 | 0 |  | 0
1 | 1 |  | 1

Kuvassa konjunktioon kuuluvat alueet

Väite A⇒B tarkoittaa: Jos Matilla on hieno auto, niin Maijalla on hieno auto, eli silloin, jos molemmilla on todet, niin vastaus on tosi. Toisaalta väite ei olta kantaa siihen, että onko Maijalla hieno auto, jos Matilla ei ole. Ainut mitä Implikaatio estää on tilanne, jossa todesta seuraa epätosi.

A | B |  | A⇒B
0 | 0 |  | 1
0 | 1 |  | 1
1 | 0 |  | 0
1 | 1 |  | 1

Väite A⇔B tarkoittaa: Jos ja vain jos Matilla on hieno auto, niin Maijalla on hieno auto, eli silloin, jos molemmilla on todet, niin vastaus on tosi. Toisaalta väite kertoo, että vain silloin Maijalla on hieno auto, jos Matillakin on hieno auto, eli väite ei ole totta, jos vain toisella on hieno auto. TOisaalta väite on todenmukainen, jos kummallakaan ei ole hienoa autoa.

A | B |  | A⇔B
0 | 0 |  | 1
0 | 1 |  | 0
1 | 0 |  | 0
1 | 1 |  | 1

Yleensä käyttettäessä Boolen algebraa ja yllä mainittuja operaattoreita, on ratkaisussa ensin formaloitava, eli muodostettava boolen algebran mallinen lauseke.

Esimerkki 1.

Formaloi väite: jääkaapissa on kylmää, ainoastaan silloin, jos ei ole sähkökatkoa ja Cecile on muistanut sulkea oven. jääkaapissa on kylmä voi olla j, on sähkökatko voi olla s ja Cecile on muistanut sulkea oven voi olla c.

Ei ole sähkökatkoa olisi ⌐s

Eli kohta "ei ole sähkökatkoa ja Cecile on muistanut sulkea oven" olisi ⌐s⋀c

Kohta " ainoastaan silloin" voisi kirjoittaa myös toisin "jos ja vain jos", eli kyseessä olisi ekvivalennsi, eli
j⇔⌐s⋀c

Ratkaistaessa totuustaulussa väitettä ratkaistaisiin tästä ensin j, s ja c, sen jälkeen ⌐s, ja siitä konjunktio (⋀) c:n kanssa ja viimeisenä j:n ja konjunktion ekvivalenssi.

Esimerkki 2.

Matti, Pekka ja Risto esittävät arvoituksen siitä, kuka heistä ei ole käynyt armeijaa. Kaikki kolme puhuvat vain totta.

Matti: "Jos minä en ollut armeijassa, ei ollut Pekkakaan."

Pekka: "En ollut armeijassa, mutta ainakin yksi meistä oli"

Risto: "Olen käynyt armeijan jos ja vain jos Mattikin on käynyt armeijan, mutta pekka ei"

Formalisodaan eli kirjoitetaan yllä olevien operaatoreiden avulla Matin Pekan ja Riston väitteet. Matti on m ja pekka on p ja Risto on R.

Matti: ⌐m⇒⌐p

Pekka: ⌐m⋀(m⋁p⋁r)

Risto: r⇔(m⋀⌐p)

Tehdään sitten totuustaulukko kaikista väitteistä:

Matti | Pekka | Risto |  | ⌐m | ⇒ | ⌐p |  | ⌐p | ⋀ | (m⋁p⋁r) |  | r | ⇔ | m | ⋀ | ⌐p
1 | 1 | 1 |  | 0 | 1 | 0 |  | 0 | 0 | 1 |  | 1 | 0 | 1 | 0 | 0
1 | 1 | 0 |  | 0 | 1 | 0 |  | 0 | 0 | 1 |  | 0 | 1 | 1 | 0 | 0
1 | 0 | 1 |  | 0 | 1 | 1 |  | 1 | 1 | 1 |  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 1 |  | 1 | 1 | 1 |  | 0 | 0 | 1 | 1 | 1
0 | 1 | 1 |  | 1 | 0 | 0 |  | 0 | 0 | 1 |  | 1 | 0 | 0 | 0 | 0
0 | 1 | 0 |  | 1 | 0 | 0 |  | 0 | 0 | 1 |  | 0 | 1 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 1 |  | 1 | 1 | 1 |  | 1 | 1 | 1 |  | 1 | 0 | 0 | 0 | 1
0 | 0 | 0 |  | 1 | 1 | 1 |  | 1 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 0 | 0 | 1

Punaisella merkityt ovat väitteissä viimeinen kohta ja jotta väite olisi totta, pitää siitä saada arvo 1, eli "tosi".

Kaikkien kolmen väitteet ovat 16 erilaisesta yhdistelmästä vain sillä, että Matti ja Risto on käynyt armeijan, mutta pekka ei, saadaan oikea vastaus.

Tämän, kuten muutkin boolen algebran tehtävät voi ratkaista myös päättelemällä, eli..

Yksi ei ole käynyt armeijassa, eli armeijassa on käynyt matti ja pekka, matti ja risto,  tai risto ja pekka.

Pekka sanoi, että hän ei ole käynyt armeijaa, joten matti ja risto ovat ne, jotka ovat käyneet armeijan.
http://