Title: Kuviot ja sarjat
Course: AMK-valmennus, päätöksentekotaidot (1 OSP)

Kuvio- ja sarjatehtävissä on ideana täydentää puuttuva kohta aikaisempien kohtien tiedon mukaan.

Kuvioissa tai sarjoissa on olemassa johdonmukaisuus, eli jokin sääntö, millä seuraava kohta saadaan aikaiseksi.

Tehtävissä kannattaa lähteä alista katsomaan, että millaisella säännöllä saadaan seuraava kuva/sarja.

Sarjoista

Sarjoja voi olla monenlaisia, käydään tässä läpi muutama perustyyppi sarjoista.

Aritmeettinen sarja

Aritmeettisessa sarjassa peräkkäisten termien erotus eli miinuslasku on aina sama, kuten vaikka sarjassa:

1  3  5  7  9  11  13  15

Sarjassa jokainen termi on kasvanut kahdella edellisestä, eli niiden erotus olisi 2.

Sarjan termeistä voi tehdä myös matemaattisen yhtälön, jos se auttaa hahmottamaan paremmin asiaa.

\( x_n=x_1+(n-1)\cdot d \), missä x_1 on sarjan ensimmäinen temi, x_n on n:s termi ja d on peräkkäisten termien erotus, eli yllä oleva 2.

Geometrinen sarja

Geometrisessä sarjassa peräkkäisten termien osamäärä eli jakolasku on aina sama. Täsätä mallina voisi olla sarja:

2  6  18  54  162  486  1458

Tästäkin sajasta voisi tehdä jokaiselle temille yhtälön \( x_n=x_1\cdot q^{n-1} \), jossa q olisi peräkkäisten termien osamäärä, eli 3.

Neliöiden sarja

Neliöiden sarjassa peräkkäisten termien erotuksessa tai osamäärässä ei ole nähtävissä yhteneväisyyttä, kuten vaikka sarjassa:

1  4  9  16  25  36  49

Aritmeettisuus ja geometrisuus kannattaa katsoa ensin, koska kyseessä on yleisimmät sarjat ja helpoiten huomattavat.

Kun kumpikaan ei tuota tulosta, pitää ruveta luovemmaksi.

Sarjassa itseasiassa jokainen tekijä on potenssilaskun tulos, eli:

1^2  2^2  3^2  4^2  5^2  6^2  7^2

Tästä saisi muodostettua termin yhtälöksi \( x_n=n^2 \)

Muita täekeitä sarjoja on esimerkiksi fibonaccin sarja:

0  1  1  2  3  5  8

Fibonaccin sarjassa ei aluksi näytä olevan mitään järkeä, mutta seuraava termi on itseasiassa aina kahden edellisen summa.

Matemaattisesti se tarkoittaisi siis \( x_n=x_{n-2}+x_{n-1} \) , Seuraava termi olisi siis 5+8=13.

Esimerkki 1.

Mikä on seuraava termi

a. 1  4  7  10  13  16

b. 0  2  2  4  6  10

Aloitetaan a-kohdasta.

katsotaan ensin kahden ensimmäisen termin välistä yhteyttä, eli 1  ja  4.

4 olisi 1 kertaa 4, eli kyseessä voisi olla geometrinen sarja, mutta sutten 7 ei ole 4*4.

4 on 1+3 ja myös 7 on 4+3. Tämä +3 näyttää toimivan kaikille termeille, eli kyseessä on aritmeettinen sarja,

Seuraava termi olisi 16+3 eli 18

b.

Geometrinen lukujono ei ole, sillä se lähtee luvusta 0

Myöskään aritmeettinen se ei ole, sillä luku 2 esiintyy kahtena peräkkäisenä terminä.

Pitää siis lähteä luovemmaksi..

katsotaan, miten summat sarjassa toimii

0+2=2, 0+2+2=4, mutta 0+2+2+4=4, eli lupaava alku, mutta ei ole tämä.

Kokeillaan 2. edellisen termin summaa.

0+2=2, 2+2=4, 2+4=6, 4+6=10.

Tämä siis toimii.

Näinollen seuraava termi olisi 6+10=16

Kuviot

Kuvioarvoitukset ovat usen 3x3 mallisia arvoituksia, joissa on kaksi kolmen kuvion sarjaa ja viimeisestä puuttuu yksi kuvio.

Esimerkki 2.

Mikä kuva kuuluu tyhjään ruutuun?

Kuviossa kahdella ylemmällä rivillä on kolme geometristä muotoa, eli ympyrä, neliö ja kolmio.

Tästä voi päätellä, että alhaalta puuttuu ympyrä, sillä siellä on jo neliö ja kolmio.

Geometriset kuviot on väritetty joko mustaksi, harmaaksi tai valkoiseksi siten, että kahdella ylimmistä riveistä on yksi musta, yksi harmaa ja yksi valkoinen.

Alimmalla rivillä on musta ja harmaa muoto, joten valkoinen puuttuu.

Ruudusta puuttuisi siis valkoinen pallo, eli A on oikea vastaus.